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09/04/2018 1 Transf . de Massa - ENG 524, Capítulo 7 Prof. Dr. Édler L. de Albuquerque, Eng. Química IFBA Transferência de Massa ENG 524 Capítulo 7 Introdução à Convecção Mássica Prof. Édler Lins de Albuquerque 1 Transf . de Massa - ENG 524, Capítulo 7 Prof. Dr. Édler L. de Albuquerque, Eng. Química IFBA Camada-Limite de Velocidade Onde: → Espessura da camada-limite, definida como o valor de y para qual: u 0,99u

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Transferência de Massa – ENG 524

Capítulo 7 – Introdução à Convecção Mássica

Prof. Édler Lins de Albuquerque1

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Camada-Limite de Velocidade

Onde:

→ Espessura da camada-limite, definida como o valor de y para qual:

u 0,99 u

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Camada-Limite de Velocidade

sf 2

Cu / 2

s

y 0

u

y

Fornece a base para o coeficiente de atrito local Cf que éum parâmetro adimensional chave para a determinaçãodo arraste:

s é a tensão cisalhante, que para um fluido Newtoniano é dada por:

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Camadas-Limite de Velocidade Laminar e Turbulenta

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Camadas-Limite de Velocidade

Laminar e Turbulenta

• Camada Limite Laminar

Movimento altamente ordenado

• Zona de Transição

Escoamento com comportamento ora laminar oraturbulento

• Camada Limite Turbulenta

Escoamento altamente irregular caracterizado pelomovimento tridimensional aleatório

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Regiões da Camada Limite Turbulenta

• Subcamada Viscosa

Dominada pelo mecanismo da difusão

• Camada de Amortecimento

Mecanismo de difusão e mistura turbulenta

• Zona turbulenta

Mistura turbulenta

Camadas-Limite de Velocidade

Laminar e Turbulenta

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Regiões da Camada Limite Turbulenta

Camadas-Limite de Velocidade

Laminar e Turbulenta

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5cx ,c

u xRe 5 10

Razão entre forças de inércia e viscosas

Camadas-Limite de Velocidade

Laminar e Turbulenta

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Camada-Limite Térmica

t → Espessura da camada-limite térmica, definida como o valor de y para qual:

s

s

T T0,99

T T

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Camada-Limite Térmica

s f

y 0

Tq k

y

s sq h T T

fy 0

s

Tk

yh

T T

Para qualquer distância x da aresta frontal, o fluxo térmico na superfície local pode ser obtido pela lei de Fourier no fluido em y = 0:

Pela Lei de Resfriamento de Newton:

Combinando as duas equações, resulta:

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Transferência de Calor

Coeficientes Convectivos Local e Médio

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Transferência de Calor

sAs

q q dA

s sAs

q T T hdA

s sq h A T T

A taxa total de transferência de calor pode ser obtida por:

Definindo um Coeficiente Convectivo Médio

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ss As

1h hdA

A

L

o

1h hdx

L

Para placa plana, h varia apenas com a distância x , logo:

Transferência de Calor

s sAs

q T T hdA s sq h A T T

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Equações das Camadas-Limite para Escoamento Laminar

0y

v

x

u

2

2

u u 1 p uu v

x y x y

22

2p

T T T uu v

x y c yy

Continuidade

Momento na direção x

Conservação da Energia

(6.27)

(6.28)

(6.29)

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As Equações das Camadas-Limite

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O PROBLEMA DA CONVECÇÃO- O fluxo local e a taxa de transferência total de calor e massa são de

capital importância em problemas de convecção;

- As equações para determinação do fluxo e da taxa dependem doscoeficientes convectivos local e médio;

- A transferência por convecção é influenciada pelas camadas-limite;

- Os coeficientes convectivos dependem de várias propriedades dosfluidos como, densidade, viscosidade, condutividade térmica ecalor específico;

- Os coeficientes convectivos são funções, também, da geometria dasuperfície e das condições do escoamento;

- A DETERMINAÇÃO DESTES COEFICIENTES É O PROBLEMA DACONVECÇÃO.

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As Equações das Camadas-Limite

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Convecção Mássica x Contribuição Convectiva

✓ Contribuição Convectiva

NyyCDN

VC ou vConvectiva

ãoContribuiç ou Advecção

nwwDn

n

1i

iAAABA

AA

n

1i

iAAABA

✓ Convecção Mássica

CCkN

kn

AAmA

AAmA

p

p

O coeficiente convectivo detransferência de massa (km) éinfluenciado pelas características doescoamento (v e y) e pela interaçãosoluto-meio (DAB) !!!!!

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Convecção Mássica em regime permanente

Coeficiente Convectivo local de transferência de Massa

AA

0y

A

ABm

p

x

y

)y,x(

Dk

Coeficiente Convectivo de transferência de Massa, calculado como uma média

L

dxkkk

L

m

mm

x 0

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Regiões da Camada Limite Turbulenta

Subcamada Viscosa

Camada de Amortecimento

Zona Turbulenta

Camadas-Limite de Velocidade

Laminar e Turbulenta

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Camadas-Limite Térmica e de Concentração (Mássica) Laminares e Turbulentas

• Comportamento similar à camada limite de velocidade;

• Profundamente influenciadas pela natureza do escoamento.

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Regime permanente, meio não-reacional, T e p constantes nomeio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.

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Formas Simplificadas para a Equação daContinuidade do Soluto A

.0v e constantes são C e ,D:suposições das iasConsequênc

rDvvt

RCDvCCvt

C

AB

"'

AAABAAA

"'

AAABAAA

A2

ABA

A2

ABA

Dv

CDCv

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Transferência de Massa em Escoamento Laminar

Equações do Movimento para sistemas incompressíveis,

constituídos por misturas binárias, com propriedades

constantes e sem a ocorrência de reações químicas:

A2

ABA

2

xDDt

Dx

:química reação sem e constantes p e T com

A soluto o para Molar deContinuida da Equação

vgpDt

vD

:velincompresí Stokes-Navier de Equação

0v

:deContinuida da Equação

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Transferência de Massa em Escoamento Laminar

Definindo-se grandezas adimensionais auxiliares, tem-

se:

A0A1

A0A*A

*

20**

xx

xxx

L

Vtt

V

)pp(p

V

vv

V é uma velocidade característica;L é um comprimento linear característico;

(p – p0) é uma diferença de pressão característica;(xA1 – xA0) é uma diferença de concentração característica.

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Transferência de Massa em Escoamento Laminar

Definindo-se grandezas adimensionais auxiliares, tem-

se:

Adimensionalisando-se as equações anteriores:A0A1

A0A*A

*

20**

xx

xxx

L

Vtt

V

)pp(p

V

vv

AB

2

*A

2*

*

*A

*2***

*

*

**

DSc ;

gL

VFr ;

VLRe

transporte de Equações

xScRe

1

Dt

Dx

vRe

1

g

g

Fr

1p

Dt

vD

0v

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Números Adimensionais em Fenômenos de Transporte

mássica deDifusivida

inerciais Forças

D

Lu

D

VLPe

convectiva ãoContribuiç

mássica Convecção

u

k

V

kSt

mássica convecção à aResistênci

molecular nível em mássica difusão à sistênciaRe

k/1

D/L

D

LkSh

molecular nível em mássica dedifusivida

molecular nível em momento de dedifusivida

DDSc

nalgravitacio Força

inerciais Forças

gL

VFr

viscosas Forças

inerciais ForçasvLvLRe

ABAB

M

mmM

m

AB

AB

m

ABAB

2

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Números Adimensionais em Transferência de Massa

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Convecção Mássica Forçada x Natural

✓ Convecção Mássica Forçada

Movimento da misturaocasionado por um agenteexterno, cuja contribuiçãoconvectiva refere-se àvelocidade do escoamento.

✓ Convecção Mássica Natural

Movimento fruto dacirculação das correntes damistura, caracterizada pelacombinação dacompressibilidade mássica damistura e forças volumares,com contribuição convectivaadvinda do empuxo mássico.

e

AAmAAAmA CCkNknpp

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Convecção Mássica Forçada

Movimento da mistura ocasionado por um agenteexterno, cuja contribuição convectiva refere-se àvelocidade do escoamento.

e

AAmAAAmA CCkNknpp

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Convecção Mássica em regime permanente

Coeficiente Convectivo local de transferência de Massa

AA

0y

A

ABm

p

x

y

)y,x(

Dk

Coeficiente Convectivo de transferência de Massa, calculado como uma média

L

dxkk

L

0m

m

x

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Convecção em regime permanente

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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa

plana em regime permanenteEquação da

Continuidade Global Equação de Navier-Stokes

Equação da Difusão de Calor

Equação da Continuidade Molar para a espécie A

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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa

plana em regime permanente

Rescrevendo as equações em função de novas variáveis:

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plana em regime permanente

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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa

plana em regime permanente

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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa

plana em regime permanente

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plana em regime permanente

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Em escoamento interno, tem-se umaregião de desenvolvimento do perfil deconcentração.

A camada limite de concentração continuaa se desenvolver na direção do fluxo atésua espessura atingir o centro da tubulaçãoe acabar as camadas limite.

Interpretação Física dos Parâmetros adimensionais

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Um número de Schmidt próximo a um (Sc = 1) indicaque a transferência de momento e a transferênciade massa por difusão sãocomparáveis, e as camadas-limite de velocidade e concentração praticamentecoincidem.

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As espessuras relativas das camadas-limite laminares podem ser dadaspelas seguintes relações:

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km = hmassCoeficiente convectivo de Transferência de Massa

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Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7

Pro

f. D

r. É

dle

rL.

de

Alb

uq

uer

qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

43

Os Números de Nusselt eSherwood representam aefetividade, respectivamente,da convecção térmica e daconvecção mássica nasuperfície.

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Pro

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rL.

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qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

44

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. Qu

ímic

a IF

BA

45

Analogias das Camadas-Limite

Subcamada Viscosa

Camada de Amortecimento

Zona Turbulenta

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. Qu

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BA

Analogias entre as Transferências de Momentum, Calor e Massa

✓ Segundo Welty et al. (2001), existem cinco condiçõesque devem ser satisfeitas em um sistema para que hajasimilaridade entre os fenômenos de transporte: Não existir produção/consumo de energia ou massa

(ausência de reação química homogênea);

Não existir emissão ou absorção de energia porradiação;

Não existir dissipação viscosa;

O perfil de velocidade não deve ser afetado pelatransferência de massa; assim a taxa de transferência demassa deve ser pequena;

As propriedades físicas devem ser constantes, ouaproximadamente constantes na média.

46

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a IF

BA

TRANSFERÊNCIAS DE CALOR E DE MASSA

47

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a IF

BA

QUADRO COMPARATIVO ENTRE AS TRANSFERÊNCIAS DE

CALOR E MASSA – Regime Laminar

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BA

QUADRO COMPARATIVO ENTRE AS TRANSFERÊNCIAS DE

CALOR E MASSA - REGIME TURBUENTO

Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7

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Analogia entre Convecção Natural (Mássica e Térmica )

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BA

51

O N. de Sherwood pode ser obtido a partir do N. de Nusseltsubstituindo-se o N. de Prandtl pelo N. de Schmidt (convecção forçada)ou o N. de Grashof Térmico pelo Mássico (convecção natural).

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BA

52

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BA

53

Analogia de ReynoldsCaso Especial: Pr Sc Le 1

C

ScRe

Sh

v

kSt

:setem ,)v(yv)v(

C Como

)v(yv

k

)CC(k)CC(y

DN

v

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yCC

CC

y

fmM

y

xf

y

xm

As,Am

y

s,AAABy,A

y

x

ys,AA

s,AA

2

2

20

220

0

0

00

Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7

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. Qu

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BA

54

Analogia de ReynoldsCaso Especial: Pr Sc Le 1

Validade:- Somente tensões cisalhantesestão presentes, ou seja, nenhumtipo de arraste é verificado;

- Experimentalmente, vale pararegiões de escoamentocompletamente turbulento.

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BA

55

Analogia de Prandlt

▪ Considera a subcamada viscosa (região de parede) e azona turbulenta;▪ Na subcamada laminar, as difusividades turbulentasde massa e momento são desprezíveis e a tensão e ofluxo de transf. de massa na parede são constantes.

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56

Analogia de Prandlt

s

x

syA

ABAAs

AB

syA

AAs

AB

syAC

C

AA

ABsyA

ssx

s

v

xx

s

vN

DCC

D

NCC

dyD

NCd

dy

CdDN

v

dydvdy

dv

Para

A

As

x

,

,

0

,

,

00

)(

:limite camada da expessura uma

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57

Analogia de Prandlt

)1(2/512

C

Re :

2/5)/(52//(v

:,5v y se-tem viscosa, subcamada na Como

)1()/(1

2

C

)]1D

( [)(

:se-tem acima, equações das lim

)()(

)(

:se-tem limite,-Camada da partir a ,turbulenta zona a

2

C

Re:Reynolds de Analogia a vale ,turbulenta zona a

)(

f

f

AB,

,

2f

,

ScCSc

Sh

v

kStAssim

CvvCvv

setem

Scvvv

kvv

N

CC

CinandoE

CCvv

CCkN

Para

vSc

Sh

v

kPara

vN

DCC

f

mM

fxfx

x

mx

ssyA

AAs

A

AA

x

sAAmyA

sm

s

x

syA

ABAAs

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BA

58

Analogia de von Kármán

Ampliou a abordagem de Prandlt, considerando, alémda subcamada viscosa (região de parede) e a zonaturbulenta, a zona de amortecimento (transição).

]}/)Sc[(LnSc{/C

C

ScRe

Sh

v

kSt

]}/Pr)[(Ln{Pr/C

C

ScRe

NuSt

f

f

mM

f

f

65112512

65112512

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BA

Analogia de Chilton-Colburn

59

• Surgiu da necessidade de se levar em conta a contribuiçãoturbulenta, mesmo muito próximo à interface.• Um modelo mais realista leva em conta, portanto, além daspropriedades moleculares, as turbulentas.

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BA

Analogia de Chilton-Colburn

60

• Um modelo mais realista leva em conta, portanto, além daspropriedades moleculares, as turbulentas. Muitos dadosexperimentais propõem variações cúbicas destaspropriedades junto de interfaces.

No extremo das camadas adjacentes à interface, aspropriedades de transporte molecular e turbulento devemser iguais, assim:

3D

(T)

ABAB

3H

(T)

3M

(T)

tec D D

tec

tec

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BA

Analogia de Chilton-Colburn

61

3D

AB3D

(T)

AB

3H

3H

(T)

3M

3M

(T)

DD tec

tec

tec

3D

AB3H

3M

D

D

M3/1

3D

3M

AB

H

M3/1

3H

3M

Sc D

PrPr

3D

(T)

ABAB

3H

(T)

3M

(T)

tec D D

tec

tec

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Pro

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a IF

BA

Analogia de Chilton-Colburn

62

3/1

D

M

3/1

H

M

Sc

Pr

DHM

f ShNuRe2

CL

3/1f

3/1f

ScRe2

CSh

PrRe2

CNu

3/13/1f

ScRe

Sh

PrRe

Nu

2

C

Fórmula matemática que expressa a analogia de Chilton-Colburn

km~ (DAB)2/3

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BA

Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

63

3/13/1f

ScRe

Sh

PrRe

Nu

2

C

Fórmula matemática que expressa a analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

A partir de qualquer expressão para o cálculo de Cf, chega-se acorrelações para estimar h ou km, implícitos, respect., em Nu e Sh.Por exemplo, usando-se a fórmula de Blasius para escoamentosturbulentos em tubos lisos, tem-se:

3/18,0

53

4/1f

ScRe039,0Sh

)10Re(2,1x10 Re

0791,0C

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Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

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3/13/1f

ScRe

Sh

PrRe

Nu

2

C

Fórmula matemática que expressa a analogia completa de Chilton-Colburn

Introduzindo-se os fatores j para os fenômenos de transporte,chega-se as seguintes relações:

DHM

1/3D1/3Hf

M

jjj

ScRe

Shj ;

PrRe

Nuj ;

2

Cj

Expressões para a analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

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Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

65

3/13/1f

ScRe

Sh

PrRe

Nu

2

C

Fórmula matemática que expressa a analogia completa de Chilton-Colburn

DHM

3/2M1/3D

jjj

ScStScRe

Shj

Expressões para a analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

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BA

Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn

66

líquidos) e gases(Sc,

jjj

ScRe

Sh

PrRe

NuC

DHM

//

f

250060

2 3131

Experimentalmente, verificou-se que esta relaçãoé exata para paredes planas e satisfatória paraoutras geometrias nas quais o arraste de formanão esteja presente.

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BA

Analogia de Chilton-Colburn

67

geometrias de tipos Variados

Líquidos e Gases

Pr,

Sc,

jjScRe

Sh

PrRe

Nu

DH

//

10060

250060

3131

Quando o arraste de forma estiver presente, aanalogia se resume a Calor e Massa:

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BA

68

Limitações na Analogia entre Convecção Térmica e Mássica

▪ Os N. de Nusselt são usualmente obtidos para superfícies lisas;

▪ Muitas relações para Nusselt são obtidas a uma temperaturaconstante na superfície.

A analogia entre convecçãotérmica e mássica é válidasomente para os casos nos quaiso fluxo da espécie emtransferência de massa nãointerfere no fluxo total de fluidoatravessando a superfície. Nalinguagem usada por CREMASCO(2004), o fator de injeção é nulo.

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BA

69

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Pro

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. Qu

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a IF

BA

Outras Analogias (Tratamento Cremasco)

70

)T(

D

)T(M

)T(

)T(ABAB

)T(fm

M

A)T(

D

)T(M

)T(

)T(ABAB

)T(2f

Am

p

p,A

A)T(

D

)T(M

)T(

)T(ABAB

)T(

)T(

AB

)T(M

)T(

)T(D

A)T(

ABAB

p

p,A

)T(M

)T()T(2fp

)T(D

A)T(

ABABA)T(

ABABAmp,A

/1

D/D1

Sc

1

2

C

u

kSt

u/1

D/D1

Sc

1

u2

Ckn

u/1

D/D1Du

DDn

u

dy

)u(du

2

C

DDdy

)(dDDkn

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a IF

BA

is.desprezíve são parede da região na asresistênci RePrRe2

As

StStSc

ShNuCM

f

Analogia de Reynolds (Escoamentos Turbulentos): = 1.

Outras Analogias e suas relações

71

Analogia de Prandtl: = [1+a1/2(Sc-1)]-1

2

C

)T(D

)T(M

)T(

)T(ABAB

)T(m

M

f/1

D/D1

Sc

1

u

kSt

Analogia de von Kármán: = [1+51/2(Sc-1+ Ln[(1 + 5Sc)/6])]-1

Analogia de Chilton-Colburn: = (1/Sc) (M/D) = Sc-2/3

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BA

QUADRO COMPARATIVO ENTRE AS ANALOGIAS PARA AS

TRANSFERÊNCIAS DE CALOR E MASSA

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a IF

BA

FIM !!!

73

Bibliografia:Cremasco, M. A. Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª edição,EDUNICAMP, 2004;

Pinho, M. N. e Prazeres, D. M. Fundamentos de Transferência deMassa. IST Press, 2008;

Pirani, Marcelo J. Introdução à Convecção. Disciplina ENG309 - UFBA(Aula em ppt). Acesso em março de 2016.