CAPITULO 7 Torção Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e...

CAPITULO 7

Torção

Resistência dos Materiais

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


Sumário: Torção

Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de determinar os

diagramas de esforços internos de torção. Obter experimentalmente o módulo de distorção.

Relacionar as tensões tangenciais com os esforços de torção e propriedades geométricas

dos corpos. Estabelecer a relação entre a potência e o momento torçor. Relacionar o ângulo

de torção de veios de secção circular com os esforços de torção, módulo de distorção e

propriedades geométricas. Resolver problemas hiperestáticos de grau 1.



Esforços internos de torção

Equação matemática para cálculo das tensões tangenciais

Distribuição das tensões tangenciais nos corpos solicitados

Ângulo de torção

Momento polar de Inércia

Torção em Eixos de Secção Circular

• O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.

• O eixo transmite o momento T ao gerador.

• A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.



Exercício de Esforços Internos de Torção

Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.



Análise das Tensões num Eixo

dAdFT

• O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em relação ao centro:



Análise das Tensões num Eixo

• O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da barra.

• Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos opostos, nas extremidades da peça.

• Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo.



• O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo:

L

T

Deformações nos Eixos de Secção Circular

• Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se deformam.



Deformações nos Eixos de Secção Circular

maxmax e cL

c

LL

ou

• A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra.



Tensões no Regime Elástico

Jc

dAc

dAT max2max

• Recordar que:

421 cJ

41

422

1 ccJ e max J

T

J

Tc

• Fórmulas de torção no regime elástico:

• A partir da equação anterior:

max Gc

G

maxc

Aplicando a lei de Hooke, G , vem:

A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra.



Tensões no Regime Elástico

max0

0max45

0max0max

2

2

245cos2

o

A

A

A

F

AAF

• Considerar um elemento que forme um ângulo de 45o com o eixo da barra,



Modos de Falha Torcionais

• Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.

• Material dúctil.

• Material frágil.



a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;

b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa.

O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:



Exercício Resolvido 1

• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:

CDAB

ABx

TT

TM

mkN6

mkN60 mkN20

mkN14mkN60

BC

BCx

T

TM



• Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões tangenciais no eixo BC:

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

ccJ

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max

J

cTBC

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

• Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:

m109.38

mkN665

3

32

42

max

c

cMPa

c

Tc

J

Tc

mm8.772 cd



Ângulo de Torção no Regime Elástico

L

c max

• Aplicando a Lei de Hooke,

JG

Tc

G max

max

• Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,

JG

TL

i ii

ii

GJ

LT



• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.

Eixos Estaticamente Indeterminados

• A partir do diagrama de corpo livre,

Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado.

ftlb90 BA TT

ftlb9012

21 AA TJL

JLT

• Substituir na equação de equilíbrio inicial,

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0

• Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,



a) O maior momento torçor T0 que pode ser aplicado à extremidade do eixo AB.

b) O ângulo de torção da extremidade A do eixo AB.

Exercício Resolvido 2



Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura. Para uma tensão tangencial admissível nos veios de 8000 psi e G=11.2*10^6 psi. Calcular:

• Procede-se ao equilíbrio estático dos dois veios de modo a obter o momento torçor no veio CD em função do momento torçor aplicado T:

0

0

8.2

in.45.20

in.875.00

TT

TFM

TFM

CD

CDC

B

• Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens:

CB

CCB

CB

CCBB

r

r

rr

8.2

in.875.0

in.45.2



• Cálculo do máximo momento torçor T0.

in.lb561

in.5.0

in.5.08.28000

in.lb663

in.375.0

in.375.08000

0

42

0max

0

42

0max

T

Tpsi

J

cT

T

Tpsi

J

cT

CD

CD

AB

AB

inlb5610 T

• Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do eixo AB.

ooo

/

oo

o

642

/

o

642

/

48.102.2226.8

26.895.28.28.2

95.2rad514.0

psi102.11in.5.0

.24in.lb5618.2

2.22rad387.0

psi102.11in.375.0

.24in.lb561

BABA

CB

CD

CDDC

AB

ABBA

in

GJ

LT

in

GJ

LT

o48.10ADEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


Projecto de Eixos de Transmissão

• As principais especificações a serem consideradas são:

potência; velocidade de rotação.

• Determinar o momento torçor,

f

PPT

fTTP

2

2

• Determinar a secção do eixo,

vazadoseixos2

maciços eixos2

max

41

42

22

max

3

max

Tcc

cc

J

Tc

c

JJ

Tc

• O projectista deverá seleccionar materiais e dimensões adequadas, de modo a não exceder a tensão tangencial admissível.



Torção em Barras de Secção Não Circular

• Para valores elevados de a/b, a tensão tangencial máxima e o ângulo de torção são os mesmos que para uma barra de secção rectangular.

Gabc

TL

abc

T3

22

1max

• Para barras de secção rectangular constante,

• As secções transversais de barras de secção não circular não permanecem planas.



Tubos de Paredes Finas

• Somando as forças aplicadas na porção AB, na direcção do eixo x,

A tensão tangencial varia inversamente com a espessura.

qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

0

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

t

ds

GA

TL24

• Ângulo de torção,



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