CAPITULO I INTRODUÇÃO - uenf.br · II) componentes internos (linhas de transmissão, trafos,...

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

O principal objetivo de um sistema de energia elétrica e atender os níveis

de demanda de seus consumidores com qualidade e confiabilidade em níveis

considerados adequados. Isto requer que os responsáveis pela manutenção da

integridade do sistema realizem continuamente estudos que vão desde

planejamento a longo prazo ate a operação do sistema no tempo real.

O Brasil possui o terceiro maior potêncial hidrelétrico do mundo (261 GW),

com uma capacidade total instalada de 73.96 GW, e uma produção anual de 340.5

TWH ate o ano de 2002), ONS (2003). Entretanto a demanda de energia eletrica

tem crescido rapidamente nas últimas décadas (com uma media de 12,2% na

década de 70, 5,8% na década de 80 e 9% no 1º semestre de 95), Melo(1998).

Este crescimento tem sido atendido pelo aumento da capacidade de geração

hidrelétrica, uma vez que constitui uma forma de geração mais barata que a

térmica (passou-se de uma participação de 84% do total da capacidade instalada

no ano de 1984 para 86% no ano de 2002) ), ONS (2003).

2

1 .1 - Descrição do Problema

O problema do controle e otimização de sistemas de potência está ligado

diretamente a administração da geração e distribuição da energia hidrelétrica

considerando os recursos físicos já existentes. Assim sendo, podemos dividi-lo em

duas vertentes bem distintas como se segue:

I) Expansão de sistemas de potência: trata do planejamento do crescimento

do sistema a longo prazo.

II) Geração e transmissão de energia elétrica: trata diretamente da

distribuição da energia e da administração dos recursos hídricos, a curto e a médio

prazos, respectivamente, considerando os recursos naturais j existentes.

O problema de despacho de energia, também conhecido como Fluxo de

Potência Ótimo (FPO) refere-se a segunda vertente do problema principal; e é

motivo desta proposta.

Ao longo das últimas décadas, a disponibilidade de recursos e o fato de não

se utilizarem ferramentas computacionais que empregassem técnicas de otimização,

contribuiu para que se adotassem soluções sub-ótimas na tentativa do

melhoramento do desempenho dos sistemas de potência. No entanto, a crescente

escassez dos recursos para investimento no setor e o crescimento natural da

demanda, tornou essencial o uso destas técnicas com o objetivo de manter o

suprimento em níveis de qualidade adequados.

O problema do Fluxo de Potência Ótimo (FPO) pode ser definido como sendo

a determinação de um estado de uma rede elétrica em que se otimiza uma

3

determinada Função Objetivo satisfazendo um conjunto de restrições de caráter

físico e operacional.

A função objetivo típica está orientada a:

I) Minimizar os custos operacionais do sistema.

II) Maximizar a qualidade do suprimento do sistema.

III) Minimizar os custos de investimentos no sistema.

IV) Maximizar a confiabilidade do sistema.

O FPO é caracterizado matematicamente como um problema de programação

não linear com centenas a milhares de variáveis (problema de grande porte), que

pode ser formulado como se segue:

min f (x)

s. a: h (x) = 0

g(x) ≤ 0

x Rn

As restrições de desigualdade são restrições de caráter funcional, como por

exemplo monitoramento de fluxo em circuitos e restrições de canalização que

representam os limites físicos e operacionais do sistema. Outrossim, as restrições de

igualdade correspondem basicamente as equações de balanço de potência ativa e

reativa em cada barra da rede.

4

Temos como principais variáveis obtidas num estudo de fluxo de potência, o

módulo e o angulo de fase da tensão em cada barra da rede e as potências ativa e

reativa circulantes em cada linha de transmissão.

1.2 - Histórico do Problema

A primeira formulação matemática do problema FPO surgiu em 1962 com

Carpentier (1962), Desde então, uma serie de métodos foram propostos para a sua

solução. O método de "Gradientes Reduzidos", foi aplicado por Dommel-Tinney

(1968,apud Melo1998), onde as variáveis do problema são divididas em variáveis

dependentes e independentes. As restrições funcionais e as restrições de

canalização sobre as variáveis dependentes são incluídas na função objetivo através

de penalização externa. A maior dificuldade do método esta relacionada a

determinação do parâmetro de penalidade no processo iterativo, de forma a não

interferir demasiadamente na solução do problema original por um lado ou não

perder a viabilidade por outro.

Como extensão do método de "Gradiente Reduzido", foi proposto o método

de "Gradiente Reduzido Generalizado" (G.R.G.), aplicado a problemas de natureza

não lineares contendo restrições de igualdade, por Abadie-Carpentier (1981, apud

Melo 1998).

Um algoritmo especifico baseado no G.R.G. foi desenvolvido pelo próprio

Carpentier (1973), para resolução do FPO onde neste caso particular existem

restrições de desigualdade, denominado Método das "Injeções Diferenciais".

Um dos primeiros métodos de segunda ordem foi o método de "Lagrangeano

Aumentado Projetado", por Burchett (1982) onde tem como principal desvantagem o

tempo de processamento devido a densidade da matriz Hessiana aproximada.

Aperfeiçoamentos deste método foram propostos utilizando "Programação

Quadrática Seqüencial" (PQS) (com aproximação quadrática da função objetivo e

linearização das restrições). Neste caso o problema original e transformado numa

5

seqüência de problemas quadráticos. A cada iteração os problemas são resolvidos

utilizando uma estratégia de conjunto ativo e a direção de descida usando técnicas

Quasi-Newton, até a determinação do ponto ótimo dos subproblemas e

consequentemente do problema original, ver Pereira (1991).

1.3 - Aplicação do Problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO)

O problema FPO pode ser definido como uma ferramenta que pode ser

utilizada para aplicações em tempo real, expansão ótima de fontes de potência

reativa, analise de confiabilidade, etc.

O FPO é utilizado em aplicações em tempo real auxiliando ao operador na

tomada de decisões. A disponibilidade de diversas funções objetivo e controles

permite determinar as medidas corretivas para reparos de violações operativas

(subtensões e sobretensôes nas barras, sobrecarregamentos nos circuitos, etc.) no

sistema quanto em estado normal (caso base) quanto em situações de contingência

(quebra de equipamentos). O método de otimização de fontes de potência reativa se

baseia em uma estrutura de três níveis (subproblema de investimentos, subproblema

de operação no caso base e subproblema de operação nas contingências). A

expansão ótima de fontes de potência reativa consiste na determinação de um plano

de investimentos de mínimo custo em equipamentos de compensação reativa

(bancos de capacitores, reatores, compensadores estáticos, etc.), de tal forma a

viabilizar o sistema tanto no caso de funcionamento normal como em situações de

emergência.

Na analise de confiabilidade, o FPO é utilizado como uma ferramenta na

avaliação dos cenários críticos tanto no caso base quanto nas situações de

anomalias. A avaliação dos cenários críticos é feita através de uma minimização de

cortes de carga que é uma particularidade do FPO.

6

De acordo com o sistema em que for aplicado, o problema FPO pode ser

modelado de forma a possuir centenas a milhares de variáveis, fator diretamente

relacionado as suas características físicas. Desta forma o processo de modelagem

destes problemas de grande porte incluindo a função objetivo e as restrições em

geral, torna-se mais um desafio a ser vencido, uma vez que uma imperfeita

adequação em suas equações pode influir na convergência de seus solucionadores.

1.4 - Objetivo do Trabalho

No presente trabalho busca-se o desenvolvimento e implementação de uma

interface computacional que visa interligar o problema FPO a um solucionador

desenvolvido para problemas de grande porte. Consiste basicamente em gerar o

modelo matemático do problema FPO e então "alimentar" o solucionador. Este

algoritmo desenvolvido por Melo (2002) é baseado no Método Seqüencial

Quadrático para solução de problemas programação não linear, ao qual adiciona-se

técnicas de grande porte para manipulação dos dados.

Desta forma buscamos resumir nossa estratégia da seguinte maneira: No

capítulo II tratamos da Modelagem do problema FPO com seus objetivos e suas

restrições.

No capítulo III descrevemos a metodologia básica da Programação

Quadrática Seqüencial (PSQ).

No capítulo IV enfocamos o processo de criação dos programas geradores

dos arquivos texto em MATLAB e o processo de modelá-los para o ambiente

DELPHI.

No capítulo V comentamos sobre os resultados alcançados em relação à

nossa proposição inicial.

No capítulo VI basicamente propomos algumas sugestões para tabalho

futuros.

7

CAPÍTULO II

O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO

A formulação de um problema típico de FPO é a seguinte:

Min f (x)

s. a .: h (x) = 0

g (x) ≤ 0

x R n ,

onde suas características foram descritas no item 1.1 resultando então num

problema de programação não linear de grande porte.

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2.1 - Fluxo de Potência

O problema do fluxo de potência associado a um sistema de energia elétrica

consiste em determinar o estado de funcionamento deste sistema, e

conseqüentemente, dos fluxos de potência que circulam pelos equipamentos

inerentes ao sistema em estudo. Partindo da premissa de que o trabalho do sistema

é permanente (estacionário), o problema pode ser representado por um modelo

estático da rede constituído por um conjunto de equações e inequações algébricas.

A não linearidade das equações ocorre devido a características de modelagem das

componentes do sistema.

Tais componentes supra citados podem ser divididos para melhor

compreensão em dois grupos distintos:

I) componentes externos (geradores e cargas) - modelados através

de injeções de potência nas barras(ou nós) da rede.

II) componentes internos (linhas de transmissão, trafos, defasadores,

capacitores) - modelados por equações algébricas que representam o fluxo da

potência que flui por estes.

As equações básicas de fluxo de potência são referidas à Primeira Lei de

Kirchoff (lei dos nós) que estabelece que a potência liquida injetada em cada nó da

rede deve ser igual a soma das potências nos componentes internos que torna o nó

especificado como um de seus extremos. Isto corresponde a impor a conservação

das potências ativa e reativa em cada nó da rede.

9

2.2 - Prepararação do Modelo de um Problema FPO

Na formulação do problema, são associadas, por cada barra da rede os

seguintes parâmetros:

i : ângulo de tensão na barra i.

iV : módulo de tensão na barra i.

iQ : geração liquida (geração-carga) de potência reativa na barra i.

iP : geração liquida (geração-carga) de potência ativa na barra i.

Na solução do problema, por cada barra, dois destes parâmetros possuem

valor (entram como dados) e dois entram como variáveis, onde a partir desta

conotação podemos definir três tipos distintos de barras:

I) BARRA PV OU DE GERAÇÃO: são barras ligadas a unidades

geradoras. Nesta barra admitimos conhecer a Potência Ativa Gerada gP e o módulo

da tensão V da barra; ficando como variáveis a potência reativa gerada gQ e o

ângulo de fase da tensão da barra.

II) BARRA PQ OU DE CARGA: são barras onde estão ligadas as

cargas do sistema (ou da rede). Estas barras estão caracterizadas por uma

absorção especifica de potência ativa e potência reativa. Desta forma o módulo de

tensão V e o ângulo de fase da tensão da barra restarão como variáveis.

III) BARRA V OU BARRA SWING: no sistema considera-se (no

mínimo) uma barra onde as variáveis fixadas são o módulo da tensão V e o ângulo

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de fase da tensão da barra, restando como variáveis as potências ativa gP e

reativa gQ para a garantia do balanço de energia no sistema em estudo.

Isto posto, podemos classificar estes parâmetros em dois tipos distintos:

parâmetros de estado "x" (variáveis) e parâmetros de controle "u" (fixados). Desta

forma o problema geral de fluxo de potência pode ser formulado através de um

conjunto de inequações e equações algébricas da seguinte forma:

h (x,u) = 0

g (x,u) 0

x Rn

Outros parâmetros utilizados comumente no problema FPO:

i : ângulo de tensão na barra i.

Vi : módulo de tensão na barra i.

iPG : geração de potência ativa no gerador i.

iQG : geração de potência reativa no gerador i.

),( jia : tap do transformador i-j.

),( ji :ângulo do desfasamento no circuito i-j.

iQC : potência reativa capacitiva alocada na barra i.

iQI : potência reativa indutiva alocada na barra i.

iPA : potência ativa alocada na barra i .

11

iFC : fração de carga efetiva na barra i (em pu).

iIT : intercâmbio na barra i.

),( jiXC : controle da reatância de capacitor serie no circuito i-j.

shib : controle de susceptância shunt no banco de capacitores /

indutores na barra i.

A seguinte convenção de sinais é adotada nas equações: uma injeção de

potência e considerada positiva quando entra na barra (geração) e considerada

negativa quando sai da barra (carga). Entretanto, por outro lado, os fluxos de

potência são considerados positivos quando saem da barra e negativos quando

entram na barra.

Objetivando uma melhor compreensão, consideraremos um sistema elétrico

compostos por cinco barras (figura 4.1). O problema FPO visa determinar as

grandezas elétricas de cada barra, de tal forma que os fluxos de potência que serão

estabelecidos nas linhas de transmissão (LT's) otimizem uma certa função objetivo.

Figura 4. 1 - Sistema de 5 Barras

12

Onde:

iP : Geração liquida (geração - carga) de potência ativa na barra i.

iQ : Geração liquida (geração - carga) de potência reativa na barra i.

iV : modulo da tensão na barra i.

i : ângulo da tensão na barra i.

)54( : ângulo de desfasamento no circuito 4-5.

)42( a : representa os tap's do transformador no circuito 2-4.

)53( a representa os tap's do transformador no circuito 3-5.

1q , 3q :correspondem as gerações de potência reativa nas barras 1 e 3.

1p , 3p :correspondem as gerações de potência ativa nas barras 1 e 3.

2.2.1 - Função Objetivo

A classe de funções objetivo que formulam o problema FPO incluem funções

de natureza linear ou não linear. Dependendo do tipo de aplicação podemos

formular o problema combinando uma ou mais funções objetivo ao mesmo tempo. A

seguir apresentaremos os objetivos mais comuns na literatura com seus respectivos

modelos matemáticos.

13

Mínimo Custo de Geração de Potência Ativa:

f = IGi ii PGCP

onde:

IG - conjunto de geradores controláveis de potência ativa.

iCP - custo de geração de potência ativa do gerador i.

iPG - geração de potência ativa do gerador i.

Mínimo Custo de Geração de Potência Reativa:

f = ½ IGi ii QGCQ 2

onde:

IG : conjunto de geradores controláveis de potência reativa.

iCQ : custo de geração de potência reativa do gerador i.

iQG : geração de potência reativa do gerador i.

Mínimo Custo de Alocação de Potência Reativa:

f = IQci ciCQ + iIQIi iQICQI

14

onde:

cIQ :conjunto de barras de alocação de potência reativa capacitiva.

ciCQ : custo de alocação de potência reativa capacitiva na barra i.

iQC : potência reativa capacitiva alocada na barra i.

iIQ : conjunto de barras de alocação de potência reativa indutiva.

IiCQ : custo de alocação de potência reativa indutiva na barra i.

iQI : potência reativa indutiva alocada na barra i.

Minimo Custo de Alocação de Potência Ativa:

f = ½ IpI ii PACp

onde:

pI : conjunto de barras de alocação de potência ativa.

iCP : custo de alocação de potência ativa na barra i.

iPA : potência ativa alocada na barra i.

Mínima Perda:

f =

Icji jiij PP,

)(

15

onde:

cI : conjunto de circuitos do sistema

jiij PP , : fluxo de potência ativa nos circuitos i-j e j-i

Minimo Corte de Carga.

f = iPL )1( iIci i FCCFC

onde:

cI : conjunto de barras de carga.

iCFC : custo de corte na barra i.

iFC : fração de carga efetiva na barra i (em pu).

iPL : carga ativa na barra i.

Minimo desvio de Potência Ativa gerada:

f =½ 2

____

)- ( IGi ii PGPG

onde:

IG : conjunto de geradores controláveis de potência reativa.

: peso associado ao desvio de potência ativa.

16

iPG : geração de potência ativa no gerador i.

iPG : geração de potência ativa inicial no gerador i.

Minimo Desvio de Ânqulo de Defasamento:

f =½ )(_____

),( ijIji ij

onde:

I : conjunto de barras com controle de angulo de defasamento.

: peso associado ao desvio de angulo de defasamento.

ij : angulo de defasamento do circuito i-j.

________

ij : angulo de defasamento inicial do circuito i-j.

Mínimo Desvio de Tensão:

f = ½ 2)( iiIiVV

onde:

I : conjunto de barras do sistema.

: peso associado ao desvio de tensão.

17

iV : tensão na barra i.

iV : tensão inicial na barra i.

Minimo desvio de Tap.

f = ½ 2

______

,) ( ijItji ij aa

onde:

tI : conjunto de barras do sistema.

: peso associado ao desvio de tap.

ija : tap do transformador i-j.

______

ija : tap inicial do transformador i-j.

Mínimo desvio de intercâmbio:

f = ½ 2

,

____

) - ( Jtji ii ITIT

onde:

tJ : conjunto áreas de intercâmbio do sistema.

: peso associado ao intercâmbio entre áreas .

18

iIT : intercâmbio da área i.

iIT : intercâmbio inicial da área i.

2.2.2 - Restrições de Igualdade

As restrições de igualdade básicas do FPO correspondem a duas equações

para cada barra,sendo uma relativa a potência ativa e a putra à potência reativa.

ij iij PP

ij iiiij bshVQQ 2

onde:

i : conjunto de barras ligadas a barra i.

iQ : geração líquida (geração menos carga) de potência reativa na

barra i.

iP : geração líquida (geração menos carga) de potência ativa na

barra i.

ibsh : susceptância shunt na barra i.

ijQ : fluxo de potência reativa no circuito i-j.

ijP : fluxo de potência ativa no circuito i-j.

19

As expressões gerais dos fluxos de potência ativa e reativa em linhas

de transmissão, defasadores e transformadores são as seguintes:

)cos()sen()(2

ijijijijijijjiijijijiijij bgVVabshbVaQ (I)

)cos()sen()(2

ijijijijijijjiijijijjji bgVVabshbVQ (II)

)sen()cos()(22

ijijijijijijjiijijijiijij bgVVabshbVaP (III)

)sen()cos(2

ijijijijijijjiijijjji bgVVagVP (IV)

onde:

ijbsh : susceptância shunt no circuito i-j.

ijb : susceptância série no circuito i-j.

ijg : condutância série no circuito i-j.

ij : ângulo de defasamento no circuito i-j.

ija : tap do transformador i-j.

ij : diferença ângular i - j .

Variando de acordo com cada caso em particular várias equações podem

ser acrescidas ao FPO como as relativas ao intercâmbio líquido entre áreas ou

outras restrições adicionadas a critério do usuário, de acordo com o objetivo

20

específico portanto alguns dos controles podem ser considerados fixos, assim como

algumas das variáveis zeradas dependendo da rede analisada.

Em seqüência, apresentaremos as restrições acima mencionadas através de

uma modelagem mais abrangente:

Equações de Balanço de Potência Ativa:

ij ijP = iPG - iFC + iFC ( iA + iB + iA iV + iB iV 2 ) iPL + iPA

onde:

i : conjunto de barras ligadas à barra i.

ijP : fluxo de potência ativa no circuito i-j.

iPG : potência ativa gerada na barra i.

iPL : carga ativa na barra i.

iFC : fator de carga (em pu) na barra i.

iA : fator de carga (em pu) da variação linear da carga ativa

em relação a tensão.

iB : fator de carga (em pu) da variação quadrática da carga

ativa em relação a tensão

iPA : alocação de potência ativa na barra i.

21

iV : Tensão na barra i

Equações de Balanço de Potência Reativa

ij ijQ = iQG + iQC - QIi + iV 2ibsh - iFC (1 - iC - iD - iC iV - iD iV 2 ) iQL

onde:

i : conjunto de barras ligadas à barra i.

ijQ : fluxo de potência reativa no circuito i-j.

iQG : potência reativa gerada na barra i.

iQC : alocação de potência reativa capacitiva na barra i.

iQI : alocação de potência reativa indutiva na barra i

.

iV : módulo de tensão na barra i.

ibsh : susceptância shunt na barra i.

iQL : carga reativa na barra i.

iFC : fator de carga (em pu) na barra i.

iC : fator de carga (em pu) da variação linear da carga

reativa em relação à tensão.

22

iD : fator de carga (em pu) da variação quadrática da carga

reativa em relação à tensão.

Nas equações apresentadas é incluído um fator de variação das cargas em

relação à tensão. Não considerar esta hipótese é equivalente a iA = iB = iC = iD = 0.

As expressões dos fluxos ijQ e jiQ correspondem as equações (I) e (II),

respectivamente.

Neste trabalho não trataremos das equações de fluxo considerando os fatores

de carga das barras, bem como os fatores das variações quadráticas e lineares das

cargas em relação às tensões e sim da forma tradicional (Kirchoff).

Intercâmbio Líquido entre Áreas:

1IT = 1I ijP +

2I jiP - 3I ijP -

4I jiP

onde:

1IT : intercâmbio líquido na área 1

1I : conjunto de circuitos de interligação i-j tal que

• A medição é realizada no nó i.

•O nó i 1


• A medição é realizada no nó j.

•O nó j 1


• A medição é realizada no nó i.

•O nó i 1

23


• A medição é realizada no nó j.

•O nó j 1

2.2.3 – Restrições de Desigualdade

O conjunto de desigualdades representa as restrições operacionais ,

correspondendo às restrições de canalização nas variáveis e restriçòes funcionais.

Elas traduzem os limites de operaçào do sistema.

Módulo de Tensão:

miniV iV max

iV

onde:

min

iV :Valor mínimo permitido para a tensão na barra i

max

iV :Valor máximo permitido para a tensào na barra i

Potência Ativa Gerada :

miniPG iPG max

iPG

onde:

24

miniPG :limite inferior para a geração de potência ativa no gerador i

maxiPG :limite superior para geração de potência ativa no gerador i.

Potência Reativa Gerada :

miniQG iQG max

iQG

onde ;

miniQG : limite inferior para a geração de potência reativa no gerador i.

maxiQG : limite superior para a geração de potência reativa no gerador i.

Potência Reativ ia Capacitiva Alocada

0 iQC maxiQC

onde:

maxiQC :limite superior para a alocação de potência reativa capacitiva

Potência Reativa Indutiva Alocada:

0 iQI maxiQI

onde:

25

maxiQI :limite superior para a alocação de potência reativa indutiva

Potência Ativa Alocada:

0 ≤ iPA ≤ maxiPA

onde:

maxiPA :limite superior para a alocação de potência ativa.

Tap do Transformador:

minija ≤ ija ≤

maxija

onde:

minija : valor mínimo permitido para o tap do transformador no circuito i-j.

maxija :valor máximo permitido para o tap do transformador no circuito i-j.

Anqulo de Defasamento:

minij ≤ ij ≤ max

ij

onde:

minij :valor mínimo permitido para o defasamento no circuito i-j.

26

maxij :valor máximo permitido para defasamento no circuito i-j.

Rejeição de Carga

Existem algumas situações, como por exemplo sistemas com problemas de

tensão ou carregamento nos circuitos, onde pode ser necessário diminuir a carga em

determinadas barras de forma a viabilizar o sistema. Estes cortes de carga são

modelados matematicamente através do fator (FCi) presente nas equações de

balanço ativo e reativo e o qual encontra-se entre os limites:

0 ≤ iFC ≤ 1

Intercâmbio entre Areas:

min

iIT ≤ iIT ≤ maxiIT

onde: min

iIT :limite mínimo permitido para o intercâmbio na área i.

max

iIT :limite máximo permitido para o intercâmbio na área i.

Carreqamento nos circuitos

O máximo carregamento de fluxo em um circuito i-j ( maxijs ) pode ser

considerado como sendo:

2ijP + 2

ijQ ≤ maxijS

27

CAPÍTULO I I I

PROGRAMAÇÃO SEQUENCIAL QUADRÁTICA

A programação seqüencial quadrática é um método de solução de problemas

não lineares, que faz uso de uma seqüência de sub problemas quadráticos

associados ao problema original. Demonstra-se que a seqüência de soluções

obtidas pelos subproblemas quadráticos converge para a solução do problema

principal. Estes métodos empregam o método de Newton (ou quase Newton) para

resolver as condições de K.K.T (ou condições de primeira Ordem) do problema

Original.

Os métodos Seqüênciais Quadráticos (MSQ) são considerados como as

técnicas mais eficientes na resolução de problemas de otimização com restrições

não lineares ( ver Powell, 1983 - apud Melo 1998).

28

3.1– Montagem do Problema

Para apresentar as idéias deste método, considere um problema não linear

contendo unicamente restrições de igualdade onde todas as funções são contínuas

e duas vezes diferenciáveis, como se segue:

n

i

R xl ..., 2, 1,i 0(x)h :s.a

f(x)min :

P

(3.1)

As condições de otimalidade para o problema (3.1) requerem uma solução

primal nRx e um vetor de multiplicadores de Lagrange lRv que satisfaçam:

,0)(,0)()(

xhxhvxf t

(3.2)

onde:

)x(f - gradiente da função objetivo f(x).

)x(h - Jacobiano das restrições h(x).

l

iii hvxfvxL

1

)(),( - Função Lagrange ou Lagrangeano.

Isto posto,podemos então empregar um subproblema de minimização

quadrática cujas condições de otimização são iguais a do problema original.

Tal subproblema pode ser observado abaixo, onde o termo constante )x(f k

foi inserido na função objetivo por conveniência:

l ..., 2, 1,i 0)(h)(h :s.a

)(21)()f(xminimizar ),(

ii

2k

xxx

xxLxxxfvxPQ

Tkk

kTT

kkk

(3.3)

29

O vetor de multiplicadores de Lagrange do subproblema quadrático (3.3) satisfaz:

)x(hx)x(L)x(f T 2 (3.4)

onde:

)x(f k - denota ogradiente da função objetivo )x(f no ponto kx .

)x(hv)x(f)x(L kkkk222 - denota a matriz Hessiana do

Lagrangeano da função f(x) no ponto kx .

3.2 – Algoritmo Seqüencial Quadrático Básico (PSQ)

Início: Fazer o contador 1k e selecionar uma solução inicial conveniente Primal-

Dual )v,x( kk .

Passo Principal: Resolver o subproblema quadrático (3.3) para obter uma solução

kx e obter um conjunto de multiplicadores de Lagrange 1kv associados às

restrições de igualdade. Se 0 kx , então )v,x( kk 1 satisfaz as condições de K.K.T.

(3.2) para o problema P, então PARE. Caso contrário, faça kkk xxx 1 ,

incrementar k de 1, e repetir o passo principal.

Para uma análise da convergência do algoritmo anterior ver Bazaraa (1993).

3.2.1-Extensão do algoritmo básico PSQ incluindo Restrições de Desigualdade

30

Considere a inclusão de restrições de desigualdade m ..., 1,j ,)x(g j 0 no

problema P, onde as funções )x(g j são contínuas e duas vezes diferenciáveis,

conforme se segue:

m ..., 1,j 0)(g l ..., 1,i 0)(h :s.a

f(x)minimizar :

j

i

xx

P

(3.5)

Neste caso, existem basicamente duas formulações alternativas para o

subproblema quadrático:

Formulação IQP (Innequality Constrained Quadratic Programming)

Formulação EQP (Equality Constrained Quadratic Programming)

Na formulação IQP todas a restrições do problema original são linearizadas e

incluídas no subproblema quadrático como pode ser observado abaixo em que para

uma dada iteração ( kk ux , ), kv onde kk vu e 0 são, respectivamente, os

multiplicadores de Lagrange para as restrições de desigualdade e igualdade,

teremos:

m ..., 1,j 0)()(g l ..., 1,i 0)()(h :s.a

)(21)()f(xMinimizar :) v,u ,(

j

i

2kkk

xxgxxxhx

xxLxxxfxPQ

Tkjk

Tkik

kTT

kk

(3.6)

onde:

)()()(),,()( xgvxhuxfvuxLxL tk

tkkkk

Na formulação EQP se tem uma predição do conjunto ativo kI , ou seja das

restrições de desigualdade 0)x(g kj que serão satisfeitas exatamente em seus

limites 0)x(g kj no ponto kx , e será atualizada a cada iteração. O subproblema

quadrático é definido apenas em função das restrições ativas na iteração k :

31

kj

i

2kkk

Ij 0)(ˆ)(g l ..., 1,i 0)()(h :s.a

)(21)()f(xMinimizar :) v,u ,(

xxgxxxhx

xxLxxxfxPQ

Tkjk

Tkik

kTT

kk

(3.7)

onde:

)x(g)x(g kjkj tal que KIj

)x(g)x(g kjk tal que KIj

Os problemas PQ supra-citados fazem uso de uma aproximaçao (matriz B)

definida positiva da matriz hessiana do lagrangeano ( )(2kxL ). A estratégia

utilizada para se conseguir tentar tal aproximação foi tentar a decomposição de

Cholesky da matriz )(2kxL . Sendo possivel tal decomposição, faríamos a própria

matriz Hessiana como a matriz B. Caso fosse contrário, pertubaríamos a diagonal

principal da matriz Hessiana até que fosse possível sua decomposição por Cholesky,

usando esta matriz perturbada como a aproximação definida positiva de )(2kxL . O

algoritmo para obtermos a aproximação de B é o seguinte:

3.3 - Algoritmo para obter a aproximação B

Passo inicial: Tentar a decomposição de Cholesky da matriz Hessiana do

Lagrangeano )(2kxL . Caso consiga Cholesky, fazer B = )(2

kxL .

Caso não consiga fazer )(min*5.1 ...1 inn d

Passo Principal: Fazer B = )(2kxL + ( * ). Tentar a decomposição de

Cholesky da Matriz B. Caso consiga, PARAR. Caso ainda não,fazer ,*4 e

repetir o passo principal.

onde:

32

- Matriz identidade.

id - elementos da diagonal pricipal da matriz )(2kxL .

Desta forma o subproblema quadrático (3.7) fica:

kT

kjkj

Tkiki

TTkkkkk

Ij x)x(g)x(g l ..., 1,i x)x(h)x(h s.a.

x Bxx)x(f)f(x r Minimiza:)v ,u ,x(QP

0

021

(3.8)

onde:

)x(g)x(g kjkj tal que KIj

)x(g)x(g kjk tal que KIj

B é uma aproximação definida positiva da hessiana do

Lagrangeano )(2kxL .

Neste caso, a resolução do subproblema quadrático consiste apenas da

solução do seguinte sistema de equações lineares:

k

k

k

k

k

Tk

b)x(f

vx

* J

JB

1

1

0 (3.9)

onde:

kkj

kik

kkj

kik

IjEi

, )x(g)x(h

b

IjEi

, )x(g)x(h

J

(3.10)

33

Um aspecto crítico desta formulação é a atualização da previsão do conjunto

ativo kI a cada iteração. O algoritmo de atualização do conjunto ativo utilizado

neste trabalho é o mesmo desenvolvido na dissertação de mestrado de Melo (1998).

Uma maneira de assegurar a convergência global do algoritmo é garantir que

1kx seja uma solução melhor do que kx . Isto pode ser feito utilizando o vetor x

(solução do subproblema quadrático) como uma direção de descida para uma

função que garanta um decréscimo razoável no seu valor (função de descida). Para

garantir tal decréscimo na função, introduz-se a idéia da Função de Mérito.

3.4 – Função de Mérito

Uma Função de Mérito é definida como sendo uma função que, juntamente

com a função objetivo, é minimizada na solução do problema, servindo como função

de descida e proporcionando uma idéia da não otimalidade do ponto atual.

Preferivelmente esta deve ser uma função fácil de ser avaliada, e não deve

prejudicar a convergência do algoritmo.

Dentre as funções de mérito mais utilizadas podemos destacar a função de

Penalidade (ou função de penalidade do valor absoluto), especificada abaixo:

l

i

l

iiiE xhxgxfxF

1 1)()(,0max)(),( (3.11)

Esta função de mérito tem a propriedade de “penalização exata”, isto é, para

finito suficientemente grande, x * e um mínimo irrestrito para *),,( xFE .

Adicionalmente, pode ser sempre escolhido de tal forma que x seja uma direção

de descida para )(xFE , conforme pode-se observar no seguinte lema:

34

Lema 3.1 Dada uma iteração kx , considere o subproblema quadrático PQ dado por (3.7),

onde )(2kxL é substituido por uma aproximação kB definida positiva. Seja x a

solução do subproblema com multiplicadores de Lagrange u e v associados com as

restrições de desigualdade e igualdade, respectivamente. Se x 0, e

se 1max u ,...... lm vvu ,.........1, , então x é uma direção de descida em para a

função de penalidade eF dada por (3.11).

Prova : ver Bazaraa(1993), lema 10.4.1. Uma função de mérito alternativa que tem recebido atenção considerável é a Função Lagrangeana Aumentada ( Augmented Lagrangian Penalty Function ) - também conhecida como função de penalidade de multiplicadores. Considere primeiro o caso em que todas restrições não lineares são igualdades, a Função Lagrangeana Aumentada associada é definida como:

FALAG( ,,vx ) = )()(21)()( xhxhxhvxf tt (3.12)

onde:

v - multiplicador de Lagrange estimado.

- parâmetro de penalidade não negativa.

Observe que se ** ,vx é uma solução da condição de K.K.T para o problema

(3.1), então derivando FALAG em relação a variável x e avaliando em

),,( ** vx ,temos:

FALAG

)(hv)(),( *i

*i

1

*** xxfvxl

i+ 0)()(h **

l

1ii

xhx i , (3.13)

35

isto é, enquanto que na função de penalidade absoluta (3.11) é preciso

fazer para conseguir obter *x , para o problema (3.12) só é preciso fazer

suficientemente grande (sob convenientes condições de regularidade) para que o

ponto crítico *x de FALAG ),( *vx transforme em um mínimo (local).

Observe que a função (3.12) é a função Lagrangeana acrescida do termo de

penalidade quadrática, daí o nome de “Função Lagrangeana Aumentada’. Como

conseqüência , (3.12) pode ser vista como uma função de penalidade quadrátíca

com respeito ao seguinte problema que é equivalente à P:

Minimizar )(xf + 0)(:)(1

xhxhv ii

l

ii , para li ,.......,1 (3.14)

A função Lagrangeana Aumentada, além de ser diferenciável, possui a

propriedade crucial de penalização exata, isto é,existe um valor finito do parâmetro

de penalidade * para (3.12) tal que para todo ** , x é um mínimo exato para

(3.12), quando *vv , sendo esta propriedade vista no seguinte teorema:

Teorema 3.2

Considere o problema P :minimizar lixhxf i ,....1,0)(/)( Seja *(x , *v ) uma

solução da condição de K.K.T. que satisfaz a condição suficiente de segunda ordem

para um mínimo local. Então existe um * tal que para. * , a função de

penalidade Lagrangeana Aumentada (FALAG), definida em *vv , também atinge um

mínimo local estrito em x . Em particular se f é convexa, e os lihi ,....,1, são afins,

então qualquer solução x para P , também minimiza FALAG ( *,vx ) para todo 0 . Prova: ver Bazaraa (1993), teorema 9.3.3.

36

3.5 - Algoritmo de solução

O algoritmo de programação seqüencial quadrático generalizado tanto

para restrições de igualdade quanto desigualdades pode ser estabelecido

como: • Passo Inicial: Fazer k = 0 e Ik = Ø.

Escolher um ponto inicial x0 viável e valores iniciais para:

0000 ,,, xu

• Passo 1: Calcular os valores de kkkk bJxfxf e ),( ),( 2 .

onde

kkj

kik

kkj

kik

IjEi

, )x(g)x(h

b

IjEi

, )x(g)x(h

J

• Passo 2: Verificar se )(2kxf é definida positiva. Se )(2

kxf é definida

positiva fazer B = )(2kxf , caso contrário perturbar a diagonal principal

até conseguir uma aproximação B definida positiva

• Passo 3: Resolver o seguinte subproblema quadrático:

kT

kjkj

Tkiki

TTkkkkk

Ij x)x(g)x(g l ..., 1,i x)x(h)x(h s.a.

x Bxx)x(f)f(x r Minimiza:)v ,u ,x(QP

0

021

37

• Passo 4: Testar os valores encontrados de 1k1 e kx para verificar se kx .

e solução ótima do problema quadrático (3.6). Caso positivo, ir ao

passo 5.

Caso contrário, verificar se precisa acrescentar ou retirar restrições

ao problema (3.8) e voltar ao passo 3.

• Passo 5: Se 01 kx , então xk é um ponto de K.K.T., faça 11 kku PARE

Caso contrário, calcule o tamanho do passo utilizando a função de

mérito Lagrangeano Aumentado, faça kkk uu 1 e atualize xk e uk

11

11

kkk

kkk

uuuxxx

• Passo 6: Verificar se 1kx é viável para o problema original. Caso seja, ir

ao passo 7. Caso contrário, corrigir o ponto 1kx utilizando um

passo lam através do algoritmo de viabilidade (ver Melo, 1998) com:

11 kkk xlamxx

• Passo 7: Se xk+1 - xk = 0, PARE. Caso contrário faça k = k+1 e retornar ao

passo 1

38

3.6 - Funcionamento do Solucionador

Problemas esparsos de Grande Porte são problemas em que a modelagem

matemática envolve a resolução de grandes sistemas de equações lineares do tipo

Ax=b, onde a maioria dos elementos inerentes a matriz A são nulos. No entanto

existem técnicas especificas para o armazenamento e a realização dos cálculos que

evitama manipulação desta grande quantidade de elementos nulos, ver Pereira

(1991), Melo (2002), Zlatev (1991), onde algumas destas técnicas foram elaboradas

para resolução de casos específicos. Mostraremos a seguir o resumo do modelo de

armazenamento desenvolvido fazendo uso de listas duplamente encadeadas por

ponteiros elaborado na tese de Doutorado de Melo (2002), que é a ferramenta de

operação utilizada neste trabalho.

3.6.1 - O Modelo de Armazenamento Dinâmico para Matrizes Esparsas

Uma estrutura de dados composta por matrizes e vetores sempre deverá ser

declarada em sua dimensão, direta ou indiretamente, fator crucial para

dimensionarmos a quantidade de memória a ser disponibilizada para o

armazenamento dos dados. Esta estrutura pode então ser classificada como

estática, uma vez que seu tamanho não se altera enquanto o programa executa a

solução do problema. Denotamos como "fill-ins" todos os elementos não-nulos que

serão criados durante a elaboração de cálculos computacionais, e os mesmos

devem ser anteriormente previstos em uma estrutura estática de dados. O não

cumprimento desta condição pode vir a dificultar ou até mesmo inviabilizar a

codificação de certas rotinas devido à limitações de seus executores. Se o espaço

reservado para a quantidade de fill-ins que irá ser criado não for suficiente, então o

programa deverá interromper a sua execução e emitir uma mensagem de erro.

Neste caso, seria necessária uma estrutura de dados realmente dinâmica, ou seja,

uma estrutura que altere o seu tamanho de acordo com a quantidade de dados

armazenados e não uma estrutura de tamanho fixo e superdimensionada com

posições extras para armazenar os fill-ins que serão criados posteriormente.

39

O modelo de armazenamento proposto será composto de duas listas

ordenadas duplamente encadeadas, formadas por ponteiros. Na primeira lista, os

elementos serão ordenados pelas linhas, sendo que a informação do primeiro e do

último elemento de cada linha é armazenada nas duas primeiras colunas de uma

matriz denominada HAPO1.

Cada nó desta lista será composto de um ponteiro do tipo registro chamado de

POALUCNLU contendo as seguintes informações:

ALU : este campo irá armazenar o valor do elemento da matriz A . CNLU : este campo irá armazenar o número da coluna do elemento. Anterior : este campo irá armazenar o endereço da memória do elemento

anterior. O valor Nil indica que não existe elemento anterior ao elemento em

questão, ou seja, este elemento é o primeiro da lista.

Sucessor - este campo irá armazenar o endereço da memória do próximo

elemento da lista. O valor Nil indica que não existe elemento seguinte ao

elemento em questão, ou seja, este elemento é o último da lista.

Na segunda lista os elementos serão ordenados pelas colunas, sendo que a

informação do primeiro e do último elemento de cada coluna é armazenada na

primeira e segunda coluna da matriz HAPO2. Cada nó desta lista será composto de

um ponteiro do tipo registro chamado de PORNLU contendo as seguintes

informações:

RNLU – este campo irá armazenar o número da linha do elemento.

Anterior – este campo irá armazenar o endereço da memória do elemento

anterior. O valor Nil indica que não existe elemento anterior ao elemento em

questão, ou seja, este elemento é o primeiro da lista.

Sucessor - este campo irá armazenar o endereço da memória do próximo

elemento da lista. O valor Nil indica que não existe elemento seguinte ao

elemento em questão, ou seja, este elemento é o último da lista.

40

Considere como exemplo a seguinte matriz A com 11 elementos não nulos (NZ=11):

0902000002010003003010

000010200300

....

.....

.6.0

A (3.6.1.1)

As listas ordenadas por linhas e por colunas para a matriz do exemplo

(3.6.1.1) podem ser observadas a seguir:

ALU: 6.0CNLU: 1ANTERIOR: NIL

:488F:0124SUCESSOR

488F:0110

ALU: 2.0CNLU: 1ANTERIOR:488F:0124

:488F:014CSUCESSOR

488F:0138


:488F:0160SUCESSOR

488F:014C

ALU: 1.0CNLU: 2ANTERIOR:488F:014C

:488F:0174SUCESSOR

488F:0160


:488F:0188SUCESSOR

488F:0174


:488F:019CSUCESSOR

488F:0188


:488F:01B0SUCESSOR

488F:019C

ALU: 2.0CNLU: 4ANTERIOR:488F:019C

:488F:01C4SUCESSOR

488F:01B0

ALU: 2.0CNLU: 4ANTERIOR:488F:01B0

:488F:01D8SUCESSOR

488F:01C4

ALU: 9.0CNLU: 5ANTERIOR:488F:01C4SUCESSOR: NIL

488F:01D8


:488F:0138SUCESSOR

488F:0124

NIL

NIL

3.6.1.2 – Lista Ordenada por Linhas do Modelo de Armazenamento Proposto

RNLU: 1ANTERIOR: NIL

:488F:020CSUCESSOR

488F:0200

RNLU: 2ANTERIOR:488F:020C

:488F:0224SUCESSOR

488F:0218

RNLU: 3ANTERIOR:488F:0218

:488F:0230SUCESSOR

488F:0224


:488F:023CSUCESSOR

488F:0230


:488F:0248SUCESSOR

488F:023C


:488F:0218SUCESSOR

488F:020CNIL

RNLU: 1ANTERIOR:488F:023C

:488F:0254SUCESSOR

488F:0248


:488F:0260SUCESSOR

488F:0254


:488F:026CSUCESSOR

488F:0260


:488F:0278SUCESSOR

488F:026C

RNLU: 5ANTERIOR:488F:026CSUCESSOR: NIL

488F:0278 NIL

3.6.1.3 – Lista Ordenada por Colunas do Modelo de Armazenamento Proposto

As duas primeiras colunas da matriz HAPO1 serão preenchidas com os

endereços dos ponteiros do primeiro e do último elemento de cada linha, como pode

ser observado a seguir:

41

MATRIZ HAPO1 COLUNA

LINHA

1

2

1 488F:0110 488F:0124 2 488F:0138 488F:014C 3 488F:0160 488F:0188 4 488F:019C 488F:01B0 5 488F:01C4 488F:01D8 Informações sobre as

posições iniciais e finais dos ponteiros da lista ordenada por linhas

3.6.1.4 - Matriz HAPO1

As duas primeiras colunas da matriz HAPO2 serão preenchidas com os

endereços dos ponteiros do primeiro e do último elemento de cada coluna, como

pode ser observado a seguir:

MATRIZ HAPO2 COLUNA

LINHA

3

4

1 488F:0200 488F:020C 2 488F:0218 488F:0224 3 488F:0230 488F:023C 4 488F:0248 488F:0260 5 488F:026C 488F:0278 Informações sobre as

posições iniciais e finais dos ponteiros da lista ordenada por colunas

3.6.1.5 - Matriz HAPO2

Na resolução de sistemas lineares de equações usando a estrutura anterior, a

matriz A será triangularizada pelo processo de Eliminação Gaussiana (E.G.). Neste

processo serão usados dois ponetiros auxiliares (IND_LATUAL e IND_LPRÓX), que

irão percorrer as listas ordenadas, até completar a total triangularização da Matriz A.

42

O IND_LATUAL irá percorrer a linha de referência enquanto o IND_LPRÓX

percorrerá as linhas onde serão zerados os elementos abaixo da diagonal principal

da respectiva matriz.

Para maiores detalhes sobre o processo E.G. usando a estrutura mencionada

ver Melo, (2002).

43

CAPITULO IV

METODOLOGIA DO TRABALHO

No presente capítulo, objetivamos descrever de maneira didática os percursos

percorridos desde a fase inicial até a implementação dos algoritmos e os programas

relativos ao problema de Fluxo de Potência. Para isso, foi criado inicialmente um

modelo de sistema com apenas três barras, separadas apenas por linhas de

transmissão e interligadas entre si.

4.1 - Montagem da Estrutura

A premissa inicial no estruturamento dos dados foi gerarmos uma Matriz de

Incidência, contendo elementos de conexão entre as barras do sistema designados

pelo nº um (1) , ou pelo nº zero (0), para onde não houver conexão . Foi então

criado um programa para gerarmos esta matriz. Após a criação, concluímos que tal

programa poderia ser substituído por um arquivo de leitura que contivesse os

mesmos elementos, uma vez que tornava-se viável e mais veloz fazer apenas a

leitura do que ocuparmos memória com programação.

44

Isto posto, passamos para o momento seguinte, onde necessitaríamos criar

uma identidade para as barras do sistema. Esta identidade poderia ser: Geradora,

Carga ou Swing onde atribuímos os índices 1, 2 e 3, respectivamente ,onde para

cada tipo de barra iríamos entrar com os parâmetros pertinentes, que são dois por

barra, e definindo desta maneira, implicitamente, as variáveis associadas a barra

respectiva.

Definida a Matriz de Incidência já com os seus elementos de controle

devidamente endereçados em sua estrutura, bem como as relativas barras com suas

respectivas identidades, teríamos necessidade de agora identificar qual o tipo de

relação entre as barras, ou seja, de que forma estas barras estão sendo

interligadas.

Assim sendo, definimos então três tipos de prováveis techos (ou conexões)

entre barras:

Por linha de transmissão

Por transformador em fase

Por transformador defasador

Definidos os tipos distintos de trechos, criamos então um índice de controle

destas conexões, pertencentes a uma matriz que expressaria de forma clara a

maneira da interligação entre barras, onde para cada tipo de interligação distinta

alguns parâmetros poderiam ser alterados, por exemplo:

Índice zero (0) para conexão – significa não haver conexão nas barras.

Índice quatro (4) para conexão - significa que as barras são conectadas

apenas por linhas de transmissão ( L.T'.s ).

45

Índice cinco (5) para conexão - neste caso, já não mais existe as LT.'S

e sim um transformador entre estas barras. Esta diferença na forma de interligação

entre as barras provoca, por exemplo, uma alteração no parâmetro ),( jia do trecho,

que exprime a diferenciação no nível de tensão nestes trechos. Assim:

* ija para trecho i - j = LT'.S = 1

* ija para trecho i - j = transformador ( verificar arquivo tappu1)

onde:

ija : valor do tap (em pu) do transformador pertencente ao trecho (i - j) .

Em cada tipo de trecho do sistema elétrico existe uma particularidade relativa

ao lançamento dos parâmetros do trecho, fato que deve ser cuidadosamente

observado, uma vez que poderá influenciar diretamente nos cálculos do problema

F.P.O.

Como já fora mencionado, iniciamos o processo de operacionalização do

sistema com uma rede composta apenas por três barras ( todas interligadas entre si)

onde para cada barra designamos uma classificação distinta. Assim criamos então

um sistema de dimensão (3 x 3) onde a definição das barras com seus respectivos

parâmetros pode ser informada mediante o vetor abaixo:

Barra = 231 ,

Onde a descrição dos tipos de barra para este modelo foi o seguinte:

Barra tipo 1 - Barra de geração.

Barra tipo 2 - Barra de carga.

Barra tipo 3 - Barra de referência ou Swing.

46

Definidos os tipos de barras para o modelo tido como protótipo para o

sistema, definiremos agora os tipos de trecho que podem existir na interligação

destas barras, conforme mencionamos anteriormente. A matriz abaixo esclarece tal

proposição :

Trecho :

044404440

Analisando todos os parâmetros pertinentes ao modelo do trecho LT; tais

como Resistências, Reatâncias, Yshunt e outros trechos em seus respectivos

valores na grandeza por unidade (o que será discutido a seguir), iniciamos os

programas relativos aos balanços de energia, jacobiano das restrições e Hessiana

para termos a certeza do seu funcionamento e assim darmos uma maior robustez ao

trabalho.

Encontradas de forma satisfatória as equações do problema dado com teste

(o problema anterior era composto de três barras), decidimos entâo através de um

modelo para análise de confiabilidade apresentado em Carvalho (1999),

denominado R B test system composto por seis (06) barras, onde para este caso

em particular teríamos além do acréscimo do número de barras a sofisticação dos

dispositivos pertinentes aos trechos entre elas e assim fazer os mesmos testes

porém sem ainda nos preocuparmos com os limites físicos e operacionais do

sistema.

Assim sendo, certos tipos de barras foram definidas pelo modelo, tais como a

barra 1, por exemplo, onde desta forma podemos novamente montar o seguinte

vetor para as barras do sistema:.

Barra : 222213 ,

Onde a definição dos tipos das barras é idêntica à do modelo anterior.

47

O passo seguinte seria então definirmos todos os dados necessários ao

programa gerador das equações e particionarmos estes dados em dados de entrada

pela tela ou dados de entrada por arquivos de leitura. Todos os dados relativos a

trechos (que poderiam ser representados na forma matricial) foram então pré

definidos na forma de arquivos de leitura facilitando assim o tempo de sua entrada

bem como a velocidade no processamento do programa. Por exemplo, criamos o

arquivo abaixo :

ARQUIVO VARIÁVEL

Conex 2 trecho

Dando sequência ao trabalho podemos também montar uma matriz que

retrate de uma forma mais esclarecedora a definição de cada trecho entre as barras

do sistema com seus respectivos índices e suas correlações com os dispositivos

existentes nos mesmos (já fora mencionado antes), isto é, a matriz pode ser

montada de forma a especificar a existência de linhas de transmissão,

transformadores em fase ou ainda a presença de defasadores entre os trechos .

Trecho =

040000405500050450054004005005000450

Agora sabemos que a variável trecho na posição 31 recebe o índice quatro

(4) definido então a existência de uma linha de transmissão entre estas barras.

Obs : note que todas as matrizes para estes arquivos de leitura apresentarâo

dimensão (6x6).

48

No modelo acima mencionado, fizemos também a inclusão de

transformadores em alguns trechos objetivando assim o equacionamento mais

completo do mesmo, onde teríamos de maneira forçada de convertermos as

Impedâncias dos transformadores, pois admitimos que os valores destas

Impedâncias estão em suas respectivas bases, tornando necessário a mudança

para a base requerida.

Observação: fornecida a impedância do transformador em sua placa (em pu),

a mudança de base só é necessária para o caso das tensões de placa dos trafos

não serem as mesmas das tensões base do sistema.

Desta forma o processo de "alimentação" dos programas geradores de

equações tornou-se satisfatório em seu propósito mediante o cumprimento das

necessidades reais existentes. Partimos então para uma aplicação final, de maior

robustez que as anteriores onde pudéssemos verificar a confiabilidade dos

programas elaborados.

Um modelo de vinte e quatro barras da IEEE, denominado the IEEE Reliability

test system task force of the Aplication of Probability Methods Subcommittes -

(1996), nos foi proposto para teste onde desta vez já teriamos que modelá-lo para as

características do solucionador desenvolvido por Melo (2002). A estrutura do modelo

anterior seria largamente aproveitada, relativa à parte de programação, onde

tomaríamos as devidas precauções em realizar as mudanças necessárias em suas

peculiaridades, e fazer a interface entre o MATLAB, versão 5.0, para o solucionador

supra citado, que fora desenvolvido no ambiente DELPHI, versão 3.0.

Em seguida nos faltaria criar os arquivos de leitura necessários aos

programas geradores de equações, uma vez que uma pequena quantidade de

parâmetros foi fornecida pela própria tela do MATLAB. Desta forma todos os

parâmetros de apresentação matricial foram pré-definidos nestes arquivos de leitura,

da mesma forma que no modelo anterior, objetivando confiabilidade e velocidade em

níveis satisfatórios no processamento das equações finais, visto que o acesso direto

ao arquivo nos permite uma probabilidade de erro quase mínima, comparado ao

processo de lançamento dos mesmos dados, arquivo por arquivo, que poderia nos

49

trazer transtornos maiores em cada provável erro no lançamento. Foram criados

vários arquivos de leitura tais como o exemplo abaixo mencionado:

ARQUIVO VARIÁVEL

Barras 2 Barra

Cor A

Onde:

Barra = 211322121111222221222211 ;

O arquivo Cor, que possui a dimensão de 24 X 24, possui 576 elementos e

nos fornece a Matriz de Incidência entre as barras do sistema, assim como outros

arquivos do modelo também nos fornecem outras Matrizes similares tais como

Matriz de tipos de trechos, Matriz de tap’s de transformadores, Matriz de resistências

e reatâncias das linhas de transmissão dentre outras, que se encontram no apêndice

A deste trabaho.

Podemos notar que a matriz de incidência A, através do apêndice A1, possui a

característica de ser do tipo esparsa, ou seja, apresenta-se com uma grande

quantidade de elementos nulos. Outras matrizes que são fornecidas como arquivos

de leitura para inserção de parâmetros, se comportam de forma análoga,

contribuindo de forma considerável para o atraso no tempo do processamento e

também ocupando espaço na memória do computador.

Particularmente para este modelo não foi necessário se executar a mudança

de base por unidade (p.u.) nas Impedâncias dos transformadores, uma vez que elas

já foram fornecidas em percentagem e se encontravam nas suas respectivas bases

(100 MVA -230 /138 KV), de acordo com o posicionamento da área em questão,

tornando mais veloz o lançamento dos parâmetros de entrada para os programas

geradores.

50

O passo seguinte seria iniciar a criação dos programas em MATLAB

geradores dos arquivos no formato ".txt " a serem aplicados ao solucionador. Para

cada modelo, são atribuídas duas variáveis por barra e a montagem das equações

de fluxo de Potência Ativa e Reativa é feita automaticamente em conjunto com a

geração da Matriz Jacobiana das restições e da Matriz Hessiana, uma vez que a

metodologia utilizada na programação foi aplicada para tal. A tabela abaixo propõe

esclarecer a quantidade de equações geradas, individualmente por sistema, e as

dimensões das respectivas matrizes inerentes a cada tipo de modelo proposto:

Dimensão do sistema

N de Variáveis

Canalizadas

Equações de balanço - total

Dim. Matriz Jacobiano

Dim. Matriz Hessiana

3 barras 06 06 6X6 6X6

6 barras 12 12 12X12 12X12

24 barras 48 48 48X48 48X48

Podemos então com clareza resumir a quantidade de equações geradas por

sistema, uma vez que um campo pertinente à uma matriz de cada modelo,

representa , respectivamente, a geração duma equação de acordo com a tabela

abaixo:

N de

Variáveis no sistema

N de

Restrições do modelo

N Equações

Jacobiano (balanço)

N Equações

Hessiana (balanço)

Total de Equações geradas

06 18 36 36 90

12 36 144 144 324

48 144 2304 2304 4752

4.2 - Grandezas Por Unidade

Alguns parâmetros tais como Potências Aparentes, Correntes, Tensões e

Impedâncias de um circuito, muitas vezes são expressas em um circuito em

porcentagens ou em valores por unidade, em relação ao valor base ou valor de

51

referência escolhido para cada grandeza. Por exemplo: se a base for 120KV,

tensões de 108, 12, 120, 126KV se transformariam em 0.90, 1.0 e 1.05 por unidade

ou 90, 100 e 105 % respectivamente. O valor por unidade é definido como a relação

entre o valor da grandeza e a base expressa em fração decimal. O uso tanto dos

valores por unidade como das porcentagens proporciona cálculos serem mais

simples do que os valores reais em ohms, volts ou amperes. O método por unidade

tem uma vantagem sobre o percentual porque o produto de suas grandezas,

expresso em valores por unidade, fornece também um valor por unidade ao passo

que o produto dos valores multiplicados em porcentagem deve ser dividido por 100

para novamente traduzir-se em porcentagem.

Tensão, corrente, potência aparente e impedância, são grandezas que se

relacionam de forma que a escolha de valores de base para quaisquer duas dela

determina os valores de base para as outras duas. Se especificarmos as bases para

corrente e tensão, poderemos então determinar as bases para a impedância e para

a potência aparente. A Impedância base é a que apresentará uma queda de tensão

entre seus terminais igual a tensão base, quando a corrente que por ela circular for a

corrente base. A potência aparente (KVA) base em sistemas monofásicos é o

produto da tensão base em KV, pela corrente base em amperes. Usualmente as

bases escolhidas são a potência aparente em KVA e a tensão em KV. Para sistemas

monofásicos ou trifásicos onde o termo tensão refere-se à tensão entre a linha e o

neutro e a potência será a potência por fase, teremos as seguintes expressões

relacionando as diversas grandezas.

Corrente base em amperes = Pot. Aparente base (KVA) (4.2.1)

Tensão (KV)

Impedância base = Tensão base em (KV) (4.2.2)

Corrente base (A)

Impedância base = (Tensão base em KV)² x 1000 (4.2.3)

Pot. Aparente base em KVA

Impedância base = ___( Tensão base em KV )²___ (4.2.4)

Pot. Aparente base em MVA

52

Impedância (pu) de elemento de um circuito = Impedância real (Ώ) (4.2.5)

Impedância base

Como os circuitos trifásicos são resolvidos com uma linha simples com

retorno pelo neutro, as bases para as grandezas no diagrama de Impedância são

KVA por fase e KV entre linha e neutro. Em geral são fornecidos os KVA ou MVA

trifásicos totais e os KV entre linhas. Graças a este costume pode se originar uma

confusão sobre a relação existente entre a tensão de linha por unidade e a tensão

de fase por unidade. Muito embora uma tensão de linha possa ser escolhida como

base, a tensão a ser utilizada no circuito monofásico equivalente ainda e a tensão

fase e neutro é igual a tensão de linha base dividida por 3 . Sendo esta relação

igual a relação entre as tensões de linha e de fase num sistema trifásico equilibrado,

o valor por unidade de uma tensão entre linha e neutro, com tensão base também

entre linha e neutro, é igual ao valor por unidade da tensão de linha no mesmo ponto

com tensão base d linha se o sistema estiver equilibrado. Analogamente os KVA

trifásicos são o triplo dos KVA por fase e a potência Aparente trifásica base em KVA

será o triplo da potência aparente base, por fase, em KVA. Daremos então com um

intuito de maior esclarecimento o seguinte exemplo:

Se a potência aparente base for 30.000 KVA e a tensão de linha base for 120

KV, os valores base por fase serão 30.000 / 3 = 10.000 KVA e 120/ 3 = 69,2 KV.

Então, para uma tensão de linha de 108 KV, a tensão de fase será 108/ 3 = 62,3

KV e a tensão por unidade será 108 / 120 = 62,3/69,2 = 0.90. Uma potência trifásica

total de 18.000 KVA é equivalente a 18.000 / 3 = 6.000 KVA por fase e a Impedância

por unidade será 18.000/30.000 = 6.000/10.000= 0.6.

Em tudo o que foi anteriormente mencionado podemos substituir KVA por

MVA, a menos que se especifique o contrário, uma dada tensão base em um

sistema trifásico será sempre uma tensão de linha e uma dada potência aparente

base será sempre a total trifásica. A Impedância base e a corrente base podem ser

obtidas diretamente dos valores base de tensão (KV) e potência aparente (KVA) .

Se considerarmos os KV base como tensão de linha, virá:

53

Corrente base em (A) = Pot. Aparente base em KVA (4.2.6)

3 . tensão base em KV

assim, da equação 4.2.3 podemos definir o valor da Impedância base através das

seguintes formas:

Impedância base (Ώ) = (Tensão base em KV / 3 ) 2 . 1000 (4.2.7)

Pot. Aparente base em KVA / 3

Impedância base (Ώ) = ( Tensão base em KV)² x 1000 (4.2.8)

Pot. Aparente base em KVA

Ou ainda:

Impedância base (Ώ) = ( Tensão base em KV)² (4.2.9) Pot. Aparente base ( MVA)

Sendo as equações 4.2.3 e 4.2.4 idênticas as 4.2.7 e 4.2.8 respectivamente, a

mesma equação para a Impedância base é válida tanto para circuitos monofásicos

como para trifásicos. No caso do circuito trifásico a tensão de linha em KV deve ser

usada na equação com a potência aparente, em KVA ou MVA por fase. A equação

4.2.1 determina a corrente base para sistemas monofásicos ou trifásicos, onde as

bases são especificadas em KVA por fase e KV entre linha e neutro. A equação

4.2.6 determina a corrente base para sistemas trifásicos onde as bases

especificadas em KVA total para as três fases e em KV entre linhas.

Por vezes a Impedância por unidade de um componente de um sistema na

qual o componente se situa. Uma vez que todas as Impedâncias de qualquer parte

de um sistema devem ser expressas na mesma base, para efeito de cálculo, é

necessário Ter-se um meio de converter a Impedância por unidade de uma base

para outra. Substituindo-se 4.2.3 ou 4.2.7 na equação 4.2.5 , obtemos para qualquer

elemento de um circuito:

Z (p.u.)= Z real (Ω)x Potência Aparente base (KVA) (4.2.10)

Tensão base em KV x 1000

54

O que mostra que a Impedância por unidade é diretamente proporcional a

potência aparente base e inversamente proporcional ao quadrado da tensão base.

Nessas condições para passarmos uma Impedância por unidade numa dada base

para uma impedância por unidade em uma base nova aplica-se a seguinte equação:

Z nova(p.u.)= Z antiga(p.u.) (Tensão base em KV dada)² x (Pot. Ap. em KVA nova)

(Tensão base em KV nova)² (Pot. Ap. em KVA dada)

Onde:

Z : impedância do elemento;

4.2.1 - Escolha da Base para as Grandezas Por Unidade

A escolha dos valores básicos para a Potência Aparente (KVA) para a tensão

(V), a Potência Aparente (KVA) para a tensão (V), deve ser feia de modo a reduzir

ao máximo o trabalho de cálculo. Inicialmente escolhe-se uma base para uma parte

do circuito. Então as bases para as outras partes, separadas da parte original por

transformadores, serão determinadas de acordo com os princípios que serão

desenvolvidos. A base escolhida deve ser tal que conduza a obtençâo de valores de

Tensão e de Corrente de regime, por unidade, próximo de (1) um ,para simplificar os

cálculos. Muito tempo será economizado se a base for escolhida de modo que

poucas grandezas por unidade, já conhecidas, tenham que ser convertidas a uma

nova base.

Quando a Resistência e a Reatância de um dispositivo forem dadas pelo

fabricante em porcentagem ou em valores por unidade, subentende-se que as

bases são os KVA e os KV nominais do dispositivo. Existem tabelas que fornecem

valores aproximados das Impedâncias por unidade de transformadores, geradores,

motores síncronos e de indução. Os valores constantes destas tabela são baseados

em valores médios para dispositivos de tipo e tamanho similares.

(4.2.11)

55

Os valores ôhmicos da Resistência e da Reatância de dispersão dependem

do lado em que forem medidos, se do lado de alta ou baixa tensão. A potência

aparente base em KVA será a potência nominal do transformador; tensão base é a

tensão nominal do enrolamento de baixa tensão, se os valores ôhmicos forem

referidos ao lado de baixa, ou a tensão nominal do enrolamento de alta tensão , se

os valores estiverem referidos ao lado de alta. A Impedância por unidade, em ambos

os casos, será a mesma.

4.2.2 - Vantagens dos cálculos por unidade.

Efetuar cálculos em sistemas elétricos em valores por unidade representa

uma enorme simplificação do trabalho. Uma apreciação real do valor do método só e

conseguida através de experiência. A seguir, apresentaremos resumidamente

algumas vantagens do calculo por unidade.

1 - Os fabricantes usualmente especificam a Impedância de um dispositivo

em porcentagem ou em valor por unidade, tendo como base os valores nominais.

2 2 - As Impedâncias por unidade de máquinas de um mesmo tipo em geral

variam dentro de uma faixa relativamente estreita , muito embora os valores ôhmicos

variem em diferentes valores nominais. Por esta razão, quando nâo se conhece a

Impedância, é geralmente possível selecioná-la à partir de valores médios tabulados,

que proporcionam um valor razoavelmente correto.

3 3 - A maneira pela qual os transformadores são ligados nos circuitos trifásicos

não afetam as Impedâncias por unidade do circuito equivalente, muito embora

determine a relação entre as tensões base nos dois lados do transformador.

56

4.3 – O Ponto Inicial

Uma vez definidos os parâmetros pertinentes ao modelo em questão (vinte e

quatro barras), restava encontrar um ponto de partida que satisfizesse, dentro das

características deste modelo, as equações das restrições de igualdade baseadas na

primeira lei de Kirchoff da eletricidade (lei dos nós) e ao mesmo tempo fosse

compatível com o critério de viabilidade do ponto inicial proposto pelo solucionador

(todas as equacões pertinentes aos balanços de energia ativa e reativa devem ser

zeradas antes da inicializaçao dos processamentos computacionais). Os dados

pertinentes aos trechos, barras e aos equipamentos que o compõem, vetores ponto

inicial e final, diagrama unifilar do sistema em estudo se encontram no apêndice B

deste trabalho.

Após reconhecidos e identificados os parâmetros necessários, conforme já

mencionamos, iniciamos então o processo de criação dos arquivos geradores dos

balanços de energia ativa e reativa, do Jacobiano das restriçoes de igualdade e

da matriz Hessiana das relativas restrições. Foram criadas diversas combinaçoes

de arquivos , modelados de acordo com as características das variáveis do

problema, como exemplificaremos a seguir:

h1 (2*k-1) -representa as equações de balanço de potência ativa da barra ( k )

h1(2*k)- representa as equações de balanço de potência reativa da barra ( k )

jh1(2*k-1,Tx)-representa parte da Matriz Jacobiana das restrições ativas

jh1(2*k ,Tx)- representa parte da Matriz Jacobiana das restrições reativas

H(2*l1-1,Sx1),H(2*l1,Sx1),H(2*l1-1,Sx2),H(2*l1,Sx2)-representam partes da Matriz Hessiana

das restrições ativas e reativas.

Em cada tipo de programa desenvolvido, bem como seu objetivo proposto,

foram elaborados critérios de priorizaçào tanto das variáveis inerentes ao problema

(ou ao arquivo), quanto dos parâmetros necessários à avaliaçào dos tipos de trechos

entre barras, dos dispositivos inerentes aos trechos e todos os aparatos necessários

ao funcionamento dos mesmos.

57

No apêndice C podemos apresentar através de pequenos trechos os

programas geradores dos arquivos contendo as equações de balanço, Matriz

Jacobiana e Matriz Hessiana, e a metodologia pela qual executamos a priorização

nos critérios, fator relevante para a correta montagem destes arquivos.

À seguir apresentamos o fluxograma de um dos programas geradores das

equações de Balanço de potência Ativa e Reativa onde, na execução do processo

de programação substituimos os indices (i,j) por (l,k) respectivamente:

58

Fluxograma de Balanço de Potência Ativa e Reativa

S

Trecho = LT´s

l > n

k > n

A(l,k) = 1

N

N

S

S

N

Definir Matriz de Incidência - A Definir Vetores V(k), P(k) e Q(k) n = 24; k = 1,..., n; l = 1,..., n Abrir arquivos para balanços de pot. Ativa e Reativa

fechar arquivos para balanços de pot. Ativa e Reativa

Definir Matriz de conexões entre trechos

Definir Matrizes para variáveis RTF e XTF Definir Matriz para Relação de transformação dos trafos

a(l,k) = 1 Definir Matrizes para variáveis RLT e XLT

Calcular Gtpu, Btpu e Bshtpu Escrever

n

lkl

n

lkl QP

11 e

k=k+1 l=1

Fim

l = l + 1

N

S

l > n

59

CAPÍTULO V

RESULTADOS OBTIDOS

Neste capítulo em particular mostraramos os resultados alcançados quando

aplicados à cada sistema distinto, de acordo com as ferramentas utilizadas para os

mesmos. A seguir mostramos uma descrição sumária destes resultados.

SISTEMA 1 :

03 Barras

03 L.T'S

00 Transformadores

03 Shunt's

01 Gerador

SISTEMA 2 :

06 Barras

03 L.T'S

02 Transformadores

06 Shunt's

01 Gerador

60

SISTEMA 3 :

24 Barras

38 L.T'S

03 Transformadores

38 Shunt's

07 Geradores

Os testes computacionais foram realizados com uma máquina do tipo

Pentium 3 MMX de 750 MHz e 64 MB de memória RAM, no ambiente MATLAB -

Versão 5, onde geramos um total de oito arquivos no formato .txt , por sistema, de

maneira em que os mesmos fossem reconhecidos pelo ambiente DELPHI - Versão

3.0 (para o caso 24 barras), e serem usados pelo programa solucionador

desenvolvido por Melo (2002).

Isto posto, através do processamento, geramos 02 (dois) arquivos para as

equações de fluxo ativo e reativo, 02 (dois) arquivos relativos ao Jacobiano das

restrições de igualdade e 04 (quatro) arquivos relativos a Matriz Hessiana das

mesmas restrições. O modelo admite os limites físicos e operacionais do sistema

como sendo as restrições de desigualdade, o que facilitaria de forma considerável o

tratamento das mesmas principalmente em relação a Matriz Hessiana.

Desta forma podemos então montar a seguinte tabela com os arquivos

gerados pelo MATLAB :

Dimensão do Sistema № de arquivos gerados Tempo de processamento

3 X 3 08 Aprox 07min

6 X 6 08 Aprox 10min

24X24 08 Aprox 18min

61

Para o sistema de vinte e quatro (24) barras, o programa gerador da Matriz

Hessiana foi automatizado, o que contribuiu muito na redução do tempo de

processamento dos arquivos pertinentes ao mesmo. Vale também observar que a

tabela acima não relata o tempo de processamento relativo à proposição

desenvolvida por Melo(2002), o que não é o nosso enfoque principal.

Em seguida apresentaremos alguns trechos dos arquivos gerados contendo

as equações de balanço de energia, Matiz Jacobiano das restrições e da Matriz

Hessiana, elaborados no ambiente MATLAB.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Consideraçoes para alguns trechos do FPO (Equações de Balanço P e Q) % Leonardo Sardinha- Fev-2003 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% h1[1]:= (sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*(13.00)-( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))) + (sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*( 1.15)-( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))+(-4.44)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))) + (sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*( 2.86)-( 1.00)*( 1.04)*X[10]*(( 2.86)*cos(X[1]-X[9]+( 0.00))+(-11.10)*sin(X[1]-X[9]+( 0.00))) + 0 - ( 0.38); h1[3]:= (sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*(13.00)-( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[3]-X[1]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[3]-X[1]+( 0.00))) + (sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*( 1.91)-( 1.00)*( 1.04)*X[8]*(( 1.91)*cos(X[3]-X[7]+( 0.00))+(-7.40)*sin(X[3]-X[7]+( 0.00))) + (sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*( 1.26)-( 1.00)*( 1.04)*X[12]*(( 1.26)*cos(X[3]-X[11]+( 0.00))+(-4.88)*sin(X[3]-X[11]+( 0.00))) + 0 - ( 0.50); h1[5]:= (sqr( 1.00))*(sqr(X[6]))*( 1.15)-( 1.00)*X[6]*( 1.04)*(( 1.15)*cos(X[5]-X[1]+( 0.00))+(-4.44)*sin(X[5]-X[1]+( 0.00))) + (sqr( 1.00))*(sqr(X[6]))*( 2.04)-(( 1.00)*X[6]*X[18]*(( 2.04)*cos(X[5]-X[17]+( 0.00))+(-7.88)*sin(X[5]-X[17]+( 0.00)))) + (sqr( 1.00))*(sqr(X[6]))*( 0.33)-(( 1.00)*X[6]*X[48]*(( 0.33)*cos(X[5]-X[47]+( 0.00))+(-11.91)*sin(X[5]-X[47]+( 0.00)))) + 0 - (-1.90); h1[7]:= (sqr( 1.00))*(sqr(X[8]))*( 1.91)-( 1.00)*X[8]*( 1.04)*(( 1.91)*cos(X[7]-X[3]+( 0.00))+(-7.40)*sin(X[7]-X[3]+( 0.00))) + (sqr( 1.00))*(sqr(X[8]))*( 2.34)-(( 1.00)*X[8]*X[18]*(( 2.34)*cos(X[7]-X[17]+( 0.00))+(-9.04)*sin(X[7]-X[17]+( 0.00)))) + 0 - (-0.78); h1[2]:= (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*((-69.51)+( 0.23))-( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))) +

62

(-1)*(sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*((-4.44)+( 0.03))-( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))-(-4.44)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))) + (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*((-11.10)+( 0.01))-( 1.00)*( 1.04)*X[10]*(( 2.86)*sin(X[1]-X[9]+( 0.00))-(-11.10)*cos(X[1]-X[9]+( 0.00))) + 0 - X[2] - ( 0.14); h1[4]:= (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*((-69.51)+( 0.23))-( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[3]-X[1]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[3]-X[1]+( 0.00))) + (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*((-7.40)+( 0.02))-( 1.00)*( 1.04)*X[8]*(( 1.91)*sin(X[3]-X[7]+( 0.00))-(-7.40)*cos(X[3]-X[7]+( 0.00))) + (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr( 1.04))*((-4.88)+( 0.03))-( 1.00)*( 1.04)*X[12]*(( 1.26)*sin(X[3]-X[11]+( 0.00))-(-4.88)*cos(X[3]-X[11]+( 0.00))) + 0 - X[4] - ( 0.14); h1[6]:= (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr(X[6]))*((-4.44)+( 0.03))-( 1.00)*X[6]*( 1.04)*(( 1.15)*sin(X[5]-X[1]+( 0.00))-(-4.44)*cos(X[5]-X[1]+( 0.00))) + (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr(X[6]))*((-7.88)+( 0.02))-(( 1.00)*X[6]*X[18]*(( 2.04)*sin(X[5]-X[17]+( 0.00))-(-7.88)*cos(X[5]-X[17]+( 0.00)))) + (-1)*(sqr( 1.00))*(sqr(X[6]))*((-11.91)+( 0.00))-(( 1.00)*X[6]*X[48]*(( 0.33)*sin(X[5]-X[47]+( 0.00))-(-11.91)*cos(X[5]-X[47]+( 0.00)))) + 0 - (-0.67) - X[6]*( 0.02); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Consideraçoes para alguns trechos do FPO (´Matriz Jacobiana P e Q) % Leonardo Sardinha- Fev-2003 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% jh1[1, 1]:= ( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))) + ( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))-(-4.44)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))) + ( 1.00)*( 1.04)*X[10]*(( 2.86)*sin(X[1]-X[9]+( 0.00))-(-11.10)*cos(X[1]-X[9]+( 0.00))) + 0 + 0; jh1[1, 2]:= 0 + 0 + 0 + 0 + 0; jh1[1, 3]:= (-1)*(( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[1]-X[1]+( 0.00)))) + 0 + 0; jh1[2, 1]:= (-1)*( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))) + (-1)*( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))+(-4.44)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))) + (-1)*( 1.00)*( 1.04)*X[10]*(( 2.86)*cos(X[1]-X[9]+( 0.00))+(-11.10)*sin(X[1]-X[9]+( 0.00))) + 0 - 1; jh1[2, 2]:= 0 + 0 - 1;

63

jh1[2, 3]:= ( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))) + 0 - 1; jh1[2, 4]:= 0 + 0 - 1; jh1[2, 5]:= 0 + ( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))+(-4.44)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))) + 0 - 1; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Consideraçoes para alguns trechos do FPO (´Matriz Hessiana P e Q) % Leonardo Sardinha- Fev-2003 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% H[1,1]:= lamb[1]*( ( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))) + ( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))-(-4.44)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))) + ( 1.00)*( 1.04)*X[10]*(( 2.86)*cos(X[1]-X[9]+( 0.00))+(-11.10)*sin(X[1]-X[9]+( 0.00))) + 0 ) + lamb[2]*( ( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))) + ( 1.00)*( 1.04)*X[6]*(( 1.15)*cos(X[1]-X[5]+( 0.00))+(-4.44)*sin(X[1]-X[5]+( 0.00))) + ( 1.00)*( 1.04)*X[10]*(( 2.86)*sin(X[1]-X[9]+( 0.00))-(-11.10)*cos(X[1]-X[9]+( 0.00))) + 0 ) + lamb[3]*( ( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[3]-X[1]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[3]-X[1]+( 0.00))) + 0 + 0 + 0 ) + lamb[4]*( ( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[3]-X[1]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[3]-X[1]+( 0.00))) + 0 + 0 + 0 ) + lamb[5]*( ( 1.00)*X[6]*( 1.04)*(( 1.15)*cos(X[5]-X[1]+( 0.00))+(-4.44)*sin(X[5]-X[1]+( 0.00))) + 0 + 0 + 0 ) + lamb[6]*( ( 1.00)*X[6]*( 1.04)*(( 1.15)*sin(X[5]-X[1]+( 0.00))-(-4.44)*cos(X[5]-X[1]+( 0.00))) +0 + 0 + 0 ) + 0 + lamb[9]*( ( 1.00)*X[10]*( 1.04)*(( 2.86)*cos(X[9]-X[1]+( 0.00))+(-11.10)*sin(X[9]-X[1]+( 0.00))) + 0 + 0 ) + lamb[10]*( ( 1.00)*X[10]*( 1.04)*(( 2.86)*sin(X[9]-X[1]+( 0.00))-(-11.10)*cos(X[9]-X[1]+( 0.00))) +0 + 0 ) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ; H[1,2]:= lamb[1]*( 0 + 0 + 0 + 0 ) + lamb[2]*( 0 + 0 + 0 + 0 ) + lamb[3]*( 0 + 0 + 0 + 0 ) + lamb[4]*( 0 + 0 + 0 + 0 ) + lamb[5]*( 0 + 0 + 0 + 0 ) + lamb[6]*( 0 + 0 + 0 + 0 ) + 0 + lamb[9]*( 0 + 0 + 0 ) + lamb[10]*( 0 + 0 + 0 ) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ; H[1,3]:= lamb[1]*( (-1)*(( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00)))) + 0 + 0 + 0 ) + lamb[2]*( (-1)*(( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[1]-X[3]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[1]-X[3]+( 0.00)))) + 0 + 0 + 0 ) + lamb[3]*( (-1)*(( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*cos(X[3]-X[1]+( 0.00))+(-69.51)*sin(X[3]-X[1]+( 0.00)))) + 0 + 0 + 0 ) +

64

lamb[4]*( (-1)*(( 1.00)*( 1.04)*( 1.04)*((13.00)*sin(X[3]-X[1]+( 0.00))-(-69.51)*cos(X[3]-X[1]+( 0.00)))) + 0 + 0 + 0 ) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

65

CAPITULO V I

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Este trabalho descreve a implementação básica de uma técnica de grande

porte que proporcionasse em um sistema matricial interligado por pontos, gerar as

equações necessárias a um software solucionador que utilizasse Programação

Quadrática Sequencial como ferramenta de funcionamento.

Um dos principais desafios durante a implementação do método proposto foi o

estabelecimento de uma estratégia de trabalho eficiente. À partir da execução de

alguns testes com características distintas, pudemos obter informações preciosas

para o aperfeiçoamento de nossa estratégia, fator este que nos tornou empenhados

no cumprimento do nosso propósito.

Consideramos então que a principal contribuição deste trabalho foi a

elaboração de uma interface entre o modelo e seu solucionador, visto que os

mesmos se encontravam em ambientes de programação totalmente diferentes.

Esta afirmação se solidifica nos resultados alcançados e que podem servir

como estimuladores de outros prováveis trabalhos nesta área.

Fundamentado nos resultados que encorajam a continuação dos trabalhos

nesta área, podemos citar algumas sugestões para pesquisas futuras:

66

- Analisar a possibilidade de serem criadas novas interfaces computaconais

entre o MATLAB e outros ambientes de programação como por exemplo:

FORTRAN, C++ , PASCAL, fator que poderia criar vertentes a serem exploradas no

processo de otimização de problemas de grande porte.

- Desenvolvimiento de solucionador em MATLAB que pudesse explorar as

técnicas de esparsidade para problemas de grande porte.

- Aumentar a robustez do modelo proposto, podendo-se acrescentar técnicas

de confiabilidade em Sistemas de Potência para testá-lo no mesmo solucionador.

67

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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69

Apêndice A 1 – Dados Para o Sistema IEEE RTS – 24 Barras

Matriz de Incidência

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Matriz de Incidencia 24 X 24 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A=[0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1; 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

70


Matriz de tap´s de Transformadores

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Relação de transformaçao dos trafos %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.04 1.04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.01 1.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0.96 0.99 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0.96 0.99 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] % a(l,k)= 1/Reldostrafos(l,k);

71


Matriz de tipos de trechos

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Tipos de Trechos 24 X 24 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% trecho=[0 4 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 4 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5; 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 4 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 4 4 0 0 0 4 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 4 4 0 4 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 4 0 4 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 4 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 4 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0; 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0] % trecho(l,k)= 4 - L.T's. % trecho(l,k)= 5 - Transformador.

72


Matriz de resistências (em pu) das L.T's

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %R das linhas (pu)24 X 24 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rp= [0 .0026 .0546 0 .0218 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; .0026 0 0 .0328 0 .0497 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; .0546 0 0 0 0 0 0 0 .0308 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 .0328 0 0 0 0 0 0 .0268 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; .0218 0 0 0 0 0 0 0 0 .0228 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 .0497 0 0 0 0 0 0 0 .0139 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 .0159 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 .0159 0 .0427 .0427 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 .0308 .0268 0 0 0 .0427 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 .0228 .0139 0 .0427 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .00610 .00540 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .00610 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0124 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .00610 .00610 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0110 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0054 0 0 0 0 .005 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0022 0 0 0 0 .00315 0 0 .00670; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .005 .0022 0 .0033 0 .003 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .003 0 .0018 0 0 0 .0135 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0018 0 0 0 .00165 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .003 0 0 0 .00255 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .00255 0 0 0 .0014 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .00315 0 0 .00165 0 0 0 .0087 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0135 0 0 0 .0087 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0124 .0110 0 0 0 0 0 0 .0014 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0067 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

73


Matriz de reatâncias (em pu) das L.T's

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %X das linhas (pu)24 X 24 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Xp= [0 .0139 .2112 0 .0845 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; .0139 0 0 .1267 0 .192 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; .2112 0 0 0 0 0 0 0 .119 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 .1267 0 0 0 0 0 0 .1037 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; .0845 0 0 0 0 0 0 0 0 .088 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 .192 0 0 0 0 0 0 0 .0605 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 .0614 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 .0614 0 .1615 .1615 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 .119 .1037 0 0 0 .1615 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 .088 .0605 0 .1615 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0476 .0418 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0966 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0476 .0476 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0865 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0418 0 0 0 0 .0389 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0173 0 0 0 0 .0245 0 0 .0519; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0389 .0173 0 .0259 0 .0231 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0259 0 .0144 0 0 0 .1053 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0144 0 0 0 .01295 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0231 0 0 0 .0198 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0198 0 0 0 .0108 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0245 0 0 .01295 0 0 0 .0678 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .1053 0 0 0 .0678 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0966 .0865 0 0 0 0 0 0 .0108 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0519 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

74

Apêndice B – Dados Para o Sistema IEEE RTS – 24 Barras

Tabela B.1 – Dados de Barras AC – Sistema RTS

Nº.Barra Tipo Nome Barra

Módulo Tensão (p.u.)

Ângulo Ger. Ativa (MW)

Ger. Reativa (MVAr)

Ger. Reativa

Min.

Ger. Reativa

Max.

Carga Ativa (MW)

Carga Reativa (MVAr)

Capacit/

Reator (MVAr)

Nº. Área

1 1 BARRA 1 1,040 -24 152,5 79,6 -50,0 96,8 114,4 40,5 1

2 1 BARRA 2 1,040 -24 152,5 71,9 -50,0 78,4 102,4 36,2 1

3 2 BARRA 3 0,983 -22 189,6 67,0 1

4 2 BARRA 4 1,005 -25 78,3 27,5 1

5 2 BARRA 5 1,021 -26 75,3 26,6 8,0 1

6 2 BARRA 6 1,013 -27 144,6 51,1 -100,0 1

7 1 BARRA 7 0,990 -17 289,7 58,5 0,0 78,6 132,4 46,8 1

8 2 BARRA 8 0,972 -23 169,0 59,8 27,1 1

9 2 BARRA 9 1,010 -21 183,8 64,8 1

10 2 BARRA 10 1,028 -23 204,7 72,5 1

11 2 BARRA 11 1,003 -15 0,0 0,0 1

12 2 BARRA 12 1,013 -14 0,0 0,0 1

13 1 BARRA 13 1,040 -10 493,1 231,9 0,0 45,4 254,5 89,9 2

14 1 BARRA 14 0,995 -13 0,0 66,9 -50,0 0,0 186,1 65,9 2

15 1 BARRA 15 1,006 -6 146,2 74,1 -50,0 94,5 303,8 107,3 2

16 1 BARRA 16 1,010 -6 125,0 41,4 -50,0 54,3 95,8 33,9 2

17 2 BARRA 17 1,022 -2 0,0 0,0 2

18 1 BARRA 18 1,025 -1 384,2 86,0 -50,0 0,0 320,3 113,1 2

19 2 BARRA 19 1,019 -7 175,2 61,8 2

20 2 BARRA 20 1,037 -6 123,2 43,4 2

21 3 BARRA 21 1,030 0 380,5 63,0 -50,0 0,0 0,0 0,0 2

22 1 BARRA 22 1,050 5 260,1 18,4 -60,0 30,0 0,0 0,0 2

23 1 BARRA 23 1,050 -5 514,7 145,4 -1252,0 48,6 0,0 0,0 2

24 2 BARRA 24 0,986 -12 0,0 0,0 2

Os tipos de barras são definidos da seguinte maneira: Tipo 1 – barra PV Tipo 2 – barra PQ Tipo 3– barra de referência

75

Tabela B.2 – Dados de Circuitos – Sistema RTS

Nº.Barra de

Nº.Barra para

Resist. (%)

Reatância (%)

Susceptância (MVAr)

Tap de Transformador

(p.u.)

Tap Min. (p.u.)

Tap Max. (p.u.)

1 2 0,26 1,39 46,11 1 3 5,46 21,12 5,72 1 5 2,18 8,45 2,29 2 4 3,28 12,67 3,43 2 6 4,97 19,20 5,20 3 9 3,08 11,90 3,22 3 24 0,23 8,39 1,00 0,95 1,05 4 9 2,68 10,37 2,81 5 10 2,28 8,83 2,39 6 10 1,39 6,05 245,90 7 8 1,59 6,14 1,66 8 9 4,27 16,51 4,47 8 10 4,27 16,51 4,47 9 11 0,23 8,39 1,04 0,95 1,05 9 12 0,23 8,39 1,04 0,95 1,05 10 11 0,23 8,39 1,01 0,95 1,05 10 12 0,23 8,39 1,01 0,95 1,05 11 13 0,61 4,76 9,99 11 14 0,54 4,18 8,79 12 13 0,61 4,76 9,99 12 23 1,24 9,66 20,30 13 23 1,11 8,65 18,18 14 16 0,50 3,89 8,18 15 16 0,22 1,73 3,64 15 21 0,63 4,90 10,30 15 21 0,63 4,90 10,30 15 24 0,67 5,19 10,91 16 17 0,33 2,59 5,45 16 19 0,30 2,31 4,85 17 18 0,18 1,44 3,03 17 22 1,35 10,53 22,12 18 21 0,33 2,59 5,45 18 21 0,33 2,59 5,45 19 20 0,51 3,96 8,33 19 20 0,51 3,96 8,33 20 23 0,28 2,16 4,55 20 23 0,28 2,16 4,55 21 22 0,87 6,78 14,24

76

B.3 Ponto Inicial ( P , Q e V em p.u. ; em radianos ) Tabela B.3 – Dados de Circuitos – Sistema RTS

X0[1]= -0.42 X0[2]= 0.39 X0[3]= -0.42 X0[4]= 0.36 X0[5]= -0.38 X0[6]= 0.98 X0[7]= -0.44 X0[8]= 1.01 X0[9]= -0.45 X0[10]= 1.02 X0[11]= -0.47 X0[12]= 1.01 X0[13]= -0.29 X0[14]= 0.12 X0[15]= -0.40 X0[16]= 0.97 X0[17]= -0.36 X0[18]= 1.01 X0[19]= -0.40 X0[20]= 1.03 X0[21]= -026 X0[22]= 1.00 X0[23]= -0.24 X0[24]= 1.01 X0[25]= -0.17 X0[26]= 1.42 X0[27]= -0.22 X0[28]= 0.01 X0[29]= -0.10 X0[30]= -0.33 X0[31]= -0.10 X0[32]= 0.12 X0[33]= -0.03 X0[34]= 1.02 X0[35]= -0.02 X0[36]= -0.27 X0[37]= -0.12 X0[38]= 1.02 X0[39]= -0.10 X0[40]= 1.04 X0[41]= 3.81 X0[42]= 0.63 X0[43]= 0.09 X0[44]= 0.18 X0[45]= -0.09 X0[46]= 1.45 X0[47]= -0.21 X0[48]= 0.99

f(X) = 3.34999999999999964

77

B.4 Ponto Final ( P , Q e V em p.u. ; em radianos ) Tabela B.4 – Dados de Circuitos – Sistema RTS

X*[1]:=-0.420000000000100460 X*[2]:=0.3802358942195717100 X*[3]:=-0.420000000000133320 X*[4]:=-0.369764105770291280 X*[5]:=-0.380000000000623010 X*[6]:=0.9799999999998488800 X*[7]:=-0.439999999999920790 X*[8]:=1.0099999999999793600 X*[9]:=-0.449999999999855290 X*[10]:=1.019999999999988690 X*[11]:=-0.47000000000028119 X*[12]:=1.009999999999940280 X*[13]:=-0.29000000000000148 X*[14]:=0.110235894229708770 X*[15]:=-0.39999999999999875 X*[16]:=0.969999999999999200 X*[17]:=-0.36000000000005106 X*[18]:=1.009999999999994240 X*[19]:=-0.40000000000010016 X*[20]:=1.030000000000026670 X*[21]:=-0.25999999999989071 X*[22]:=0.999999999999968250 X*[23]:=-0.24000000000044852 X*[24]:=1.010000000000070840 X*[25]:=-0.16999999999933679 X*[26]:=1.410235894229708850 X*[27]:=-0.22000000000043130 X*[28]:=0.058820528854768800 X*[29]:=-0.09999999999993044 X*[30]:=-0.33976410577029131 X*[31]:=-0.09999999999991827 X*[32]:=0.11023589422970877 X*[33]:=-0.03000000000000475 X*[34]:=1.020000000000008230 X*[35]:=-0.01999999999997688 X*[36]:=-0.27976410577029132 X*[37]:=-0.11999999999969227 X*[38]:=1.020000000001345830 X*[39]:=-0.10000000000287586 X*[40]:=1.040000000000556480 X*[41]:=3.858820528862955790 X*[42]:=0.620235894229709040 X*[43]:=0.089999999999992500 X*[44]:=0.170235894229708670 X*[45]:=-0.09000000000226732 X*[46]:=1.440235894229708880 X*[47]:=-0.21000000000019195 X*[48]:=0.989999999999914280

f(X) = 3.25235894228695077

78

B.5 Diagrama Unifilar A Figura A.1 mostra o diagrama unifilar do sistema IEEE RTS de 24 barras.

CS

Barra---1 Barra---2

Barra---3

Barra---4

Barra---5

Barra---6

Barra---7

Barra---8

Barra---9 Barra--10

Barra--11 Barra--12

Barra--13 Barra--14

Barra--15

Barra--16

Barra--

Barra--18

Barra--19 Barra--20

Barra--22 Barra--21

Barra--23

Barra--24

***** RTS - 138 kV *****

***** RTS - 230 kV *****

Figura A.1 – Diagrama Unifilar – Sistema RTS

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Apêndice C – Dados Para o Sistema IEEE RTS – 24 Barras

Programas Geradores de Equações - Ambiente " MATLAB "

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Consideraçoes para alguns trechos do FPO (Equações de Balanço P e Q) % Leonardo Sardinha- Fev-2003 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %diferenca para o newtrec24- só faço uso das equações de fluxo de Pij function [V,tet,Gtpu,Btpu,Bshtpu,Bshtpubarra,fi]= nt24(n) %n=24; saida1 = fopen('c:\matlab\24barras\ex2434.txt','w'); saida2 = fopen('c:\matlab\24barras\ex2435.txt','w'); cor barras2 conex2 SB=100; % SBn em MVA for k=1:n, if (Barra(k)==1) % a barra é de geração PBarra(k)=input(sprintf('Entre com o valor da Potencia Ativa da Barra(%d)=',k)); VBarra(k)= input(sprintf ('Entre com o valor da Tensão da Barra(%d)=',k )); Px(k)= PBarra(k)/SB;%PB:Potencia Ativa Base(em p.u.) V(k)= VBarra(k); elseif (Barra(k)==2) % é uma barra de carga PBarra(k)= input(sprintf ('Entre com o valor da Potencia Ativa da Barra(%d)=',k )); QBarra(k)= input (sprintf ('Entre com o valor da Potencia Reativa da Barra(%d)=',k )); Px(k)= PBarra(k)/SB;%PB:Potencia Ativa Base (em p.u.) Qx(k)= QBarra(k)/SB;%QB:Potencia Reativa Base (em p.u.)

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elseif (Barra(k)==3)%neste caso Referencla ou Swlng;Recebe o lndlce 3 V(k)=1;%(em p.u.) tet(k)=0;%(em p.u.) %obs: Faremos SWlNG uma Barra de Geração,para avallarmos as perdas do slstema. else end %if Barra end % do primeiro for k for k=1:n, fprintf(saida1 ,'h1[%d]:= ',2*k-1); fprintf(saida2 ,'h1[%d]:= ',2*k); for l=1:n, if (A(l,k)== 1) if (trecho(l,k)==4) %LT'S a(l,k)=1; fi(l,k)=0; %comprim resist reatan YShunt Ztpu(l,k)= Rp(l,k) + Xp(l,k)*i; Ytpu(l,k)= 1/Ztpu(l,k); Gtpu(l,k)= real(Ytpu(l,k)); Btpu(l,k)= imag(Ytpu(l,k)); if Barra(k)==1 if Barra(l)==1 %Para Energia Ativa: %P(k,l)= a(l,k)^2*V(k)^2*Gtpu(l,k)-a(l,k)*V(k)*V(l)*(Gtpu(l,k)*cos(X(2*k-1)-X(2*l-1)+fi(l,k))+Btpu(l,k)*sin(X(2*k-1)-X(2*l-1)+ fi(l,k))); fprintf(saida1 ,'(sqr(%5.2f))*(sqr(%5.2f))*(%5.2f)-(%5.2f)* (%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))+(%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),Gtpu(l,k),a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k));

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%Para Energia Reativa: %Q(k,l)= (-1)*a(l,k)^2*V(k)^2*(Btpu(l,k)+Bshtpu(l,k))-a(l,k)*V(k)*V(l)*(Gtpu(l,k)*sin(X(2*k-1)-X(2*l-1)+fi(l,k))-Btpu(l,k)*cos(X(2*k-1)-X(2*l-1)+fi(l,k))); fprintf(saida2 ,' (-1)*(sqr(%5.2f))*(sqr(%5.2f))*((%5.2f)+(%5.2f))-(%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))-(%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),Btpu(l,k),Bshtpu(l,k),a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k)); elseif Barra(l)==2 %Para Energia Ativa: %P(k,l)= a(l,k)^2*V(k)^2*Gtpu(l,k)-a(l,k)*V(k)*X(2*l)*(Gtpu(l,k)*cos(X(2*k-1)-X(2*l-1)+fi(l,k))+Btpu(l,k)*sin(X(2*k-1)-X(2*l-1)+ fi(l,k))); fprintf(saida1 ,'(sqr(%5.2f))*(sqr(%5.2f))*(%5.2f)-(%5.2f)*(%5.2f)*X[%d]*((%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))+(%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),Gtpu(l,k),a(l,k),V(k),2*l,Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k)); %Para Energia Reativa: %Q(k,l)= (-1)*a(l,k)^2*V(k)^2*(Btpu(l,k)+Bshtpu(l,k))-a(l,k)*V(k)*X(2*l)*(Gtpu(l,k)*sin(X(2*k-1)-X(2*l-1)+fi(l,k))-Btpu(l,k)*cos(X(2*k-1)-X(2*l-1)+fi(l,k))); fprintf(saida2 ,' (-1)*(sqr(%5.2f))*(sqr(%5.2f))*((%5.2f)+(%5.2f))-(%5.2f)*(%5.2f)*X[%d]*((%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))-(%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),Btpu(l,k),Bshtpu(l,k),a(l,k),V(k),2*l,Gtpu(l,k),2*k-1,2*l- 1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k)); else %neste caso a bara B(l)==3 %Para Energia Ativa: %P(k,l)= a(l,k)^2*V(k)^2*Gtpu(l,k)-a(l,k)*V(k)*V(l)*(Gtpu(l,k)*cos(X(2*k-1)-tet(l)+fi(l,k))+Btpu(l,k)*sin(X(2*k-1)-tet(l)+ fi(l,k))); fprintf(saida1 ,'(sqr(%5.2f))*(sqr(%5.2f))*(%5.2f)-(%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*cos(X[%d]-(%5.2f)+(%5.2f))+(%5.2f)*sin(X[%d]-(%5.2f)+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),Gtpu(l,k),a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,tet(l),fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,tet(l),fi(l,k));

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%Para Energia Reativa: %Q(k,l)= (-1)*a(l,k)^2*V(k)^2*(Btpu(l,k)+Bshtpu(l,k))-a(l,k)*V(k)*V(l)*(Gtpu(l,k)*sin(X(2*k-1)-tet(l)+fi(l,k))-Btpu(l,k)*cos(X(2*k-1)-tet(l)+fi(l,k))); fprintf(saida2 ,'(-1)*(sqr(%5.2f))*(sqr(%5.2f))*((%5.2f)+(%5.2f))-(%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*sin(X[%d]-(%5.2f)+(%5.2f))-(%5.2f)*cos(X[%d]-(%5.2f)+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),Btpu(l,k),Bshtpu(l,k),a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,tet(l),fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,tet(l),fi(l,k)); end % lf Bk=1,com Bl=1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %DEFINICAO DAS DERIVADAS DE PRIMEIRA ORDEM PARA AS EQUACOES DE BALANCO - RESTRICOES DE IGUALDADE P e Q %Leonardo Sardinha - Fev-2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %diferenca para o dertest24- só foram consideradas derivadas das equaçoes %pertinentes aos fluxos P(k,l)-P(i,j) n=24 [V,tet,Gtpu,Btpu,Bshtpu,Bshtpubarra,fi]= nt24(n) saida71 = fopen('c:\matlab\24barras\jacob2485.txt','w'); saida72= fopen('c:\matlab\24barras\jacob2486.txt','w'); cor SB=100; % SBn em MVA barras2 for k=1:n %Barras de origem for Tx=1:2*n Iabre=0; for l=1:n %Barras de destino if A(l,k)==1 % ou A(l,k)=~0 if Iabre==0 fprintf(saida71 ,'jh1[%d, ',2*k-1); fprintf(saida72,'jh1[%d, ',2*k); Iabre=1; end

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conex2 if (trecho(l,k)==4) a(l,k)=1; if Barra(k)==1 if Barra(l)==1 if Tx==2*l-1 %Derivar P e Q(i,j) em rel a tetl if Iabre==1 fprintf(saida71 ,' %d]:= ',Tx); fprintf(saida72,' %d]:= ',Tx); Iabre=2; end %Parte Ativa fprintf(saida71 ,'(-1)*((%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))-(%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f)))) + ',a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*1-1,fi(l,k)); %Parte Reativa fprintf(saida72,'(%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))+(%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k)); elseif Tx==2*l %Derivar P e Q(j,i) em rel a Ql if Iabre==1 fprintf(saida71 ,' %d]:= ',Tx); fprintf(saida72,' %d]:= ',Tx); Iabre=2; end fprintf(saida71 ,'%d + ',0); %Parte Reativa %DQQl(l,k) fprintf(saida72,'%d + ',0); elseif Tx==2*k-1 %Derivar P e Q(i,j) em rel a tetk if Iabre==1 fprintf(saida71 ,' %d]:= ',Tx); fprintf(saida72,' %d]:= ',Tx);

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Iabre=2; end %Parte Ativa %DPtetk(l,k) fprintf(saida71 ,'(%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))-(%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k)); %Parte Reativa %DQtetk(l,k) fprintf(saida72,'(-1)*(%5.2f)*(%5.2f)*(%5.2f)*((%5.2f)*cos(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))+(%5.2f)*sin(X[%d]-X[%d]+(%5.2f))) + ',a(l,k),V(k),V(l),Gtpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k),Btpu(l,k),2*k-1,2*l-1,fi(l,k)); elseif Tx==2*k %Derivar P e Q(i,j) em rel a Qk if Iabre==1 fprintf(saida71 ,' %d]:= ',Tx); fprintf(saida72,' %d]:= ',Tx); Iabre=2; end %Parte Ativa %DPQk(l,k) fprintf(saida71 ,'%d + ',0); %Parte Reativa %DQQk(l,k) fprintf(saida72,'%d + ',0); else if Iabre==1 fprintf(saida71 ,' %d]:=0 + ',Tx); fprintf(saida72,' %d]:= 0 + ',Tx); Iabre=2; end end

CAPITULO I INTRODUÇÃO - uenf.br · II) componentes internos (linhas de transmissão, trafos,...

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