Capítulo 6

Distribuições Amostrais

A inferência estatística está interessada em tomar decisões sobre uma populaçao, baseando-seapenas na informação contida em uma amostra aleatória da população de interesse. Por exemplo,o engenheiro de uma fábrica de refrigerantes pode estar interessado no volume médio de enchi-mento de uma lata de refrigerante que espera-se ser de 300 ml. Deste modo, para verificar se amáquina que faz o enchimento está regulada, o engenheiro coleta uma amostra aleatória de 25latas e calcula o volume médio amostral obtendo x = 298ml. A próxima pergunta que o enge-nheiro desejará responder é qual a probabilidade do volume médio de enchimento de uma latade refrigerante seja maior que 305 ml e menor que 295 ml dado que o valor observado da médiaamostral foi x = 298ml? Para responder a esta questão, em primeiro lugar, note que a média amos-tral X =

P

i�1 Xi é uma função de variáveis aleatórias, portanto é também uma variável aleatória,logo X possui uma distribuição de probabilidade associada.

Definição 6.1. Uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória X com função dis-tribuição F , é um vetor X

e

= (X1, X2, . . . , Xn ) em que as componentes Xi são independentes e possuemdistribuição F .

Da Definição 6.1 pode-se concluir que dada uma amostra aleatória Xe

= (X1, X2, . . . , Xn ) de umavariável X com média µ e variancia�2 então E (Xi ) =µ e V a r (Xi ) =�2 para todo i = {1, 2, . . . , n}.

Definição 6.2. A distribuição de probabilidade de um estimador é chamada de distribuição amos-

tral.

Por exemplo, a distribuição de probabilidade de X é chamada de distribuição amostral da mé-dia. Portanto, dado que X em uma distribuição de probabilidade pode-se calcular P(295 < X <305) bastando para isso conhecer a distribuição de probabilidade de X .

Observação 6.1. A distribuição amostral de um estimador depende da distribuição de probabili-dade da população da qual a amostra foi selecionada, do tamanho da amostra e do método deseleção da amostra.

Um resultado importante muito utilizado em inferência é o Teorema Central do Limite, quefornece uma inportante conclusão a respeito da distribuição da soma de variáveis aleatórias inde-pendentes.

47

Teorema 6.1. Seja {Xn , n � 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamntedistribuídas, com média µ e variancia�2 <1. Então, para Sn =

Pni=1 Xn , tem-se

Sn �E (Sn )p

V a r (Sn )=

Sn �nµ�p

nd�! N (0, 1)

6.1 Distribuição Amostral da Média

Seja X uma variável aleatória com média µ e variância�2. Então,

(i) Se X ⇠N (µ,�2) tem-se que, X ⇠NÄ

µ; �2

n

ä

, em que

X =

Pni=1 Xi

n=

X1+X2+ · · ·+Xn

n,

para X1, . . . , Xn uma amostra aleatória da variável X . De fato, pode-se provar que a somade variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição normal com média µ evariância�2 também terá um distribuição normal, com média

E (X ) = E

Ç

Pni=1 Xi

n

å

=1n

nX

i=1

E (Xi ) =1n

nµ=µ,

e variância

V a r (X ) = V a r

Ç

Pni=1 Xi

n

å

=1

n 2V a r

⇣

nX

i=1

Xi

⌘

Resultado:

V a r⇣

nX

i=1

Xi

⌘

=nX

i=1

V a r (Xi )+2n�1X

i=1

nX

j=i+1

Cov (Xi , X j )

em queCov (Xi , X j ) = E (Xi X j )�E (Xi )E (X j )

se Xi e X j forem independentes então E (Xi X j ) = E (Xi X j ), logo Cov (Xi , X j ) = 0 e portantopara X1, . . . , Xn independentes, segue que

V a r⇣

nX

i=1

Xi

⌘

=nX

i=1

V a r (Xi ).

Deste modo, segue que,

V a r (X ) =1

n 2

nX

i=1

V a r (Xi ) =1

n 2

nX

i=1

�2 =1

n 2n�2 =

�2

n.

Portanto,

Z =X �µ�pn

⇠N (0, 1)

Entretanto, se o valor da variância não for conhecido utilizaremos o estimador,

S2 =

Pni=1(Xi �X )2

n �1,

para�2. Deste modo temos que,

T =X �µ

S2⇠ tn�1

Se X não tiver distribuição normal então pelo Teorema Central do Limite segue que a distribuiçãoda média amostral será aproximadamente normal com média µ e variância �

2

n.

Observação 6.2. A qualidade da aproximação normal para a distribuição amostral da mé-dia dependerá do tamanho da amostra e da distribuição da população de onde foi retirada aamostra. Em muito casos de interesse prático, se n � 30 a aproximação normal será satisfató-ria, independente da distribuição da população.

Exemplo 6.1. Uma fábrica produz resistores que têm uma resistência média de 100⌦ com desviopadrão de 10⌦. Supondo que a distribuição das resistências seja normal, encontre a probabilidadede uma amostra aleatória de 25 resistores ter uma média menor que 95⌦.Solução:

P(X < 95) = P

Z <95�100

10p25

!

= P(Z <�2, 5) = 0, 0062

6.2 Distribuição Amostral da Proporção

Seja X ⇠ b e r (p ). Retirada uma amostra aleatória (X1, . . . , Xn ) da variável X, tem-se que, Y =X1+ · · ·+Xn ⇠b (n , p ), pois Y conta o número de vezes que um certo evento de interesse A aparecena amostra. Lembrando que E (Y ) = np , isto é, E (Y ) é o número médio de vezes que o eventode interesse aparece em uma amostra de tamanho n. Assim, p = E (Y )

n, logo p é a proporção de

vezes que o evento de interesse aparece em uma amostra de tamanho n. Portanto, dada amostraaleatória (X1, . . . , Xn ), um estimador para o parâmetro p é dado por,

bp =X1+ · · ·+Xn

n.

Agora note que, para 0 k n , tem-se,

P✓

bp =kn

◆

= P✓

X1+ · · ·+Xn

n=

kn

◆

= P(Y = k )

Portanto, podemos obter a distribuição de probabilidade de bp a partir da distribuição de proba-bilidade de Y . Foi anteriormente visto que a distribuição da média amostral pode ser aproximadapela distribuição normal para n grande. Assim note que,

bp =X1+ · · ·+Xn

n= X .

Logo, do Teorema Central do Limite, segue que bp terá distribuição aproximadamente normal commédia,

E (bp ) = E✓

X1+ · · ·+Xn

n

◆

=1n

E (X1+ · · ·+Xn ) =1n

np = p

e variância,

V a r (bp ) = V a r✓

X1+ · · ·+Xn

n

◆

=1

n 2V a r (X1+ · · ·+Xn ) =

1n 2

np (1�p ) =p (1�p )

n.

Portanto, bpa⇠ N

Ä

p , p (1�p )n

ä

. Deste modo,

Z =bp �p

∆

p (1�p )n

DGGGGA

n!1 N (0, 1).

Exemplo 6.2. Tem-se que p = 0, 47 logo

Z =bp �p

∆

bp (1�bp )n

a⇠ N (0, 1)

portanto,

Pbp (bp > 0, 5) = PZ

0

B

@

Z >0, 5�0, 47∆

0,47⇥0,53500

1

C

A

= PZ (Z > 1, 34) = 0, 09

Exemplo 6.3. Tem-se que X ⇠N (180, 402) logo para uma amostra de 16 elementos tem-se que X ⇠N

Ä

180, 402

16

ä

, portanto:(a)

P(X > 168, X < 192) = 1�P(168 X 192) = 1�P(�1, 2Z 1, 2) = 0, 2301;

(b) 36⇥P(X > 175) = P(Z >�0, 125)⇡ 20;(c) Do problema tem-se que p = 0, 2 e P

bp (bp 0, 1) = 0, 05 isto implica que,

0, 1�0, 2∆

0,2⇥0,8n

=�1, 64 logo

«

0, 2⇥0, 8n

=1

16, 4

Deste modo, segue quePbp (bp > 0, 25) = PZ (Z > 0, 82) = 0, 2061.

Capítulo 7

Inferência Estatística

Objetivo: Produzir afirmações a respeito de uma determinada população de interesse, usual-mente sobre características desta população, a partir de uma amostra desta população.

Exemplo 7.1. Para investigar se um determinado processo está produzindo peças dentro das espe-cificações técnicas exigidas, neste caso diâmetro nominal de projeto é 15 mm, realizou-se o seguinteexperimento: coletou-se uma amostra aleatória de 50 peças e mediu-se o diâmetro de cada uma,obtendo-se um diâmetro médio de X = 16, 5 mm. Esta é uma estimativa pontual da verdadeiramédia populacional µ.

A próxima questão é: Qual a margem de erro(E) desta estimativa? Ou de outra maneira, paraqual intervalo de valores possíveis para µ,

⇣

X �E ; X +E⌘

posso ter uma confiança 100(1�↵)% de que este intervalo conterá o verdadeiro valor µ?Uma outra questão de interesse é: Será que o valor de X mostra evidências que µ= 15 mm?

Descrevemos neste exemplo, os três problemas básicos da Inferência Estatística:

(i) Estimação pontual;

(ii) Intervalo de confiança;

(iii) Teste de hipótese.

7.1 Estimação Pontual

Objetivo: Encontrar estimadores que possuam boas propriedades, para que a partir deles se possaencontrar estimativas para os parâmetros populacionais de interesse.

Definição 7.1 (Estimador). É uma função da amostra, logo é também uma variável aleatória. Ex.:Dada uma amostra aleatória X

⇠=�

X1, . . . , Xn�

da variável X tem-se que um estimador para a média

é dado por:

X =X1+ · · ·+Xn

n.

51

Definição 7.2 (Estimativa). É um particular valor numérico assumido por um estimador. Ex.: Dadoa amostra X

⇠=�

5, 4, 6�

tem-se que,

X =5+4+6

3= 5

é uma estimativa para µ.

Notação:

(

✓ : parâmetro populacional de interesseb✓ : Estimador para ✓

7.1.1 Propriedades de um estimador

Que propriedades deveríamos esperar de um bom estimador? É importante que a distribuiçãoseja o mais concentrada possível em torno do verdadeiro valor do parâmetro ✓ . Se tal ocorrer,então quase toda a vez que for extraída uma amostra, a estimativa resultante b✓ estará próxima doverdadeiro valor ✓ .

Não viciado. Um estimador b✓ é não viciado para ✓ se, E (b✓ ) = ✓ , para todo ✓ 2 ⇥(espaço pa-ramétrico) e para todo n(tamanho da amostra). Portanto o vício de um estimador é dadopor,

b (✓ ) = E (b✓ )�✓ .

Exemplo 7.2. Para bµ= X temos que,

E (X ) = E✓

X1+ · · ·+Xn

n

◆

=E (X1)+ · · ·+E (Xn )

n

Suposição: X⇠=

�

X1, . . . , Xn�

é uma amostra aleatória da variável X que tem média µ e va-

riância �2, portanto E (X1) = E (X2) = · · · = E (Xm ) = E (X ) = µ e V a r (X1) = V a r (X2) = · · · =V a r (Xm ) = V a r (X ) =�2. Logo,

E (X ) =n ⇥µ

n=µ.

Portanto X é um estimador não viciado para µ.

Consistência. Um estimador b✓ é consistente se ele for assintóticamente não viciado, isto é,

limn!1

E (b✓ ) = ✓

e se sua variância tende a zero quando n aumenta, isto é,

limn!1

V a r (b✓ ) = 0

7.2 Intervalo de Confiança

Em muitas situações, uma estimativa pontual não fornece informação suficiente sobre umparâmetro. No exemplo sobre o processo produtivo de uma peça em que o diâmetro nominalde projeto era 15 mm e a partir de uma amostra aleatória de 50 peças, verificou-se um diâmetromédio de X = 16, 5 mm. Entretanto, é improvável que a verdadeira média µ seja exatamente iguala 16,5. Assim, é necessário que se saiba o quão preciso foi a estimativa pontual obtida. Umamaneira de se fazr isso é atráves de uma estimativa intervalar do parâmetro denominado intervalode confiança.

Um intervalo de confiança é um intervalo de valores utilizado para estimar o verdadeiro valorde parâmetro populacional. De um modo geral, estamos interessados em encontrar um intervaloda forma

�

b✓ �E ; b✓ +E�

, em que b✓ é o estimador de um parâmetro de interesse ✓ e E é a margemde erro ou erro de precisão.

Definição 7.3 (Margem de Erro). Seja ✏= b✓ �✓ o erro amostral, então, a margem de erro é definidocomo a diferença máxima provável, com probabilidade 1�↵, entre o estimador b✓ e o parâmetro ✓ ,isto é,

P(|b✓ �✓ | E ) = 1�↵Para BUSSAB E MORETTIN (2005) a margem de erro é denominada erro amostral máximo, en-

quanto que TRIOLA (2005) afirma que a margem de erro é também conhecida como erro máximode estimativa.

Da definição de margem de erro, percebe-se que todo intervalo de confiança está associado aum nível de confiança 100(1�↵)% que é a probabilidade de que o intervalo contenha o verdadeirovalor do parâmetro, isto é,

P⇣

b✓ �E < ✓ < b✓ +E⌘

= 1�↵, 0<↵< 1

Logo, ↵ será a probabilidade de que o intervalo não contenha o verdadeiro valor do parâmetro.A margem de erro E deverá ser tal que,

P⇣

|b✓ �✓ | E⌘

.

Deste modo,considerando que b✓ ⇠D(✓ ,�2b✓), segue que,

|b✓ �✓ |=(

b✓ �✓ se b✓ � ✓�(b✓ �✓ ) se b✓ < ✓ .

Assim,n

|b✓ �✓ | Eo

=n

b✓ �✓ Eo

\n

� (b✓ �✓ )� Eo

=n

�E b✓ �✓ Eo

Portanto,

P⇣

|b✓ �✓ | E⌘

= P⇣

�E b✓ �✓ E⌘

= P

Ç

� E�

b✓

b✓ �✓�

b✓

E�

b✓

å

= P✓

� E�

b✓

W E�

b✓

◆

= P(�w↵1 W w↵2) = 1�↵

em que ↵1+↵2 = ↵. Se a distribuição de b✓ for simétrica, então ↵1 = ↵2 = ↵2

. Logo, considerando asimetria tem-se que

E =w ↵2�

b✓

Notação: I C�

✓ ; (1�↵)%�

=⇣

b✓ �E ; b✓ +E⌘

7.3 Intervalo de Confiança para a Média

Seja X= (X1, . . . , Xn ) uma amostra iid(independente e identicamente distribuída).

7.3.1 Caso 1: X possui distribuição normal com Variância conhecida.

Tem-se que,�X =�pn

e

X �µ�pn

⇠N (0, 1)

assim,

E = z ↵2

�pn) I C

�

µ ; (1�↵)%�

=✓

X � z ↵2

�pn

; X + z ↵2

�pn

◆

7.3.2 Caso 2: X possui distribuição normal com Variância desconhecida.

Quando a Variância�2 é desconhecida, substituímos�2 por S2, assim,

X �µSpn

⇠ tn�1

portanto,

E = t(n�1 , ↵2 )Spn) I C

�

µ ; (1�↵)%�

=✓

X � t(n�1 , ↵2 )Spn

; X + t(n�1 , ↵2 )Spn

◆

7.3.3 Caso 3: Grandes Amostras: n�30.

Se a Variância�2 for desconhecida,

X �µ�pn

a⇠N (0, 1)

logo,

E = z ↵2

�pn) I C

�

µ ; (1�↵)%�

=✓

X � z ↵2

�pn

; X + z ↵2

�pn

◆

Se a Variância�2 for desconhecida, substituímos�2 por S2,

X �µSpn

a⇠N (0, 1)

logo,

E = z ↵2

Spn) I C

�

µ ; (1�↵)%�

=✓

X � z ↵2

Spn

; X + z ↵2

Spn

◆

Exemplo 7.3. Em uma amostra aleatória de 25 mulheres observou-se uma taxa média de hemoglo-bina de 16g /100m l . Supondo que a taxa de hemoglobina em mulheres é uma variável aleatóriacom distribuição normal com desvio padrão�= 1g /100m l de sangue. Determine um intervalo deconfiança com um nível de confiança de 95% para a média µ. Se a taxa média de hemoglobina emmulheres normais fosse de 17g /100m l , o que você pode concluir a partir do IC acima?

Solução: Do problema tem-se que X = 16 e � = 1. Tem-se ainda que ↵ = 0, 05 portanto z ↵2= 1, 96.

Assim,

I C�

µ ; 95%�

=✓

16�1, 961p25

; 16+1, 961p25

◆

=�

15, 6 ; 16, 4�

7.4 Intervalo de Confiança para a proporção

Seja X ⇠ b e r (p ). Retirada uma amostra aleatória (X1, . . . , Xn ) da variável X, tem-se que, Y =X1+ · · ·+Xn ⇠b (n , p ), pois Y conta o número de vezes que um certo evento de interesse A aparecena amostra. Um estimador para o parâmetro p é dado por,

bp =X1+ · · ·+Xn

n.

Do Teorema Central do Limite, segue que,

Z =bp �p

∆

p (1�p )n

DGGGGA

n!1 N (0, 1)

e portanto, para n grande�

n ⇥min(p , 1�p )> 10�

,

bpa⇠ N

✓

p ,p (1�p )

n

◆

.

Como p não é conhecido a variância do estimador bp também não é conhecida e portantodeveremos utilizar o próprio estimador bp para estimá-la. Nestas condições, segue que,

Z =bp �p

∆

bp (1�bp )n

a⇠ N (0, 1)

Intervalo de Confiança para a proporçãoSuposições:

• A amostra é aleatória simples;

• As condições para a distribuição binomial são satisfeitas.

• A distribuição normal pode ser utilizada para aproximar a distribuição das proporções amos-trais se

�

n ⇥min(p , 1�p )> 10�

são satisfeitos.

Um intervalo de confiança com nível de confiança de (1�↵)% é dado por:

E = z ↵2

r

bp (1� bp )n

) I C�

p ; (1�↵)%�

=

bp � z ↵2

r

bp (1� bp )n

; bp + z ↵2

r

bp (1� bp )n

!

Exemplo 7.4. Quando Mendel realizou seus famosos experimentos em genética com ervilhas, umaamostra das descendentes consistia de 428 ervilhas verdes e 152 ervilhas amarelas.

(a) Determine um intervalo de confiança com nível de confiança de 95% para a porcentagem deervilhas amarelas;

(b) Com base na teoria da genética, Mendel esperava que 25% das ervilhas descendentes fossemamarelas. Dado que a porcentagem das ervilhas amarelas não é 25%, os resultados contradi-zem a teoria de Mendel?

Solução:

(a) Dada a amostra de 580 ervilhas, temos que uma estimativa para a proporção de ervilhas ama-relas é

bp =152580= 0, 262

portanto, np = 152> 5 e n (1�p )> 5, assim,

I C�

p ; 95%�

=

0, 262�1, 96⇥r

0, 262(1�0, 262)580

; 0, 262+1, 96⇥r

0, 262(1�0, 262)580

!

= (0, 262�0, 036 ; 0, 262+0, 036) = (0, 226 ; 0, 298)

7.5 Teste de Hipótese

Um hipótese é uma suposição a respeito de um determinado problema, por exemplo:Um lote de parafusos, de origem desconhecida, será leiloada a um preço muito convidativo.

Um indústria está interessada em adquirir um lote desses parafusos, entretanto, ela precisa saberse os parafusos satisfazem as especificações técnicas relacionadas a resistência a tração. O edi-tal do leilão diz que, pouco antes do início do leilão será divulgada a resistência média de umaamostra de 25 parafusos. Qual a regra de decisão deve ser utilizada pela indústria?

Estas suposições podem ser formuladas através de um teste de hipótese estatístico, que é umprocesso de decisão para avaliar as hipóteses feitas a respeito de uma determinada população.Desta forma, testar uma hipótese, significa verificar se um pressuposto é verdadeiro ou não. Estaverificação é feita através de uma amostra coletada da população em estudo; no exemplo anteriora população era o lote de parafusos.

Portanto, o objetivo de um teste de hipótese é fornecer uma metodologia(procedimento) quenos permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apóiem ou não uma hipóteseestatística formulada.

Assim sendo, a formulação de um teste de hipótese estatístico inicia-se com a afirmação deuma hipótese estatística.

Definição 7.4 (Hipótese Estatística). É usualmente uma conjectura a respeito de um parâmetropopulacional.

No exemplo dos parafusos, a indústria deseja saber se a resistência média à tração é superior a145 Kg, isto é, µ> 145.

Para cada situação existem dois tipos de hipótese estatística: a hipótese nula denotada por H0

e a hipótese alternativa denotada por H1

Existem básicamente 3 tipos de formulações para os testes de hipótese:

Situação A. Uma máquina automática para encher pacotes de café foi regulada para colocar emmédia 500 g de café com uma variância de 400 g 2. Após algum tempo de trabalho, deseja-severificar se a média do processo está sob controle, as hipóteses para esta situação são:

(

H0 : µ= 500

H1 : µ 6= 500

Este teste é denominado teste bilateral;

Situação B. O dono de uma fábrica de confecção de tapetes está desconfiado que está havendoum gasto excessivo de tinta em uma das etapas do processo. Sabe-se que a quantidademédia de tinta gasta no processo é de 1, 6 l , as hipóteses para esta situação são:

(

H0 : µ= 1, 6 ou µ 1, 6

H1 : µ> 1, 6

Este teste é denominado teste unilateral à direita;

Situação C. Uma companhia farmacêutica desconfia que o tempo de duração do efeito de ummedicamento da companhia concorrente é menor que o anunciado por ela que é 225 minu-tos, as hipóteses para esta situação são:

(

H0 : µ= 225 ou µ� 225

H1 : µ< 225

Este teste é denominado teste unilateral à esquerda.

Em um teste de hipótese, existem apenas quatro resultados possíveis:

H0 é verdadeira H0 é falsaRejeitar H0 Erro tipo I Decisão corretaNão Rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II

Elementos de um teste de hipótese

Nível de significância: É a probabilidade de se cometer o erro tipo I, é denotado por ↵, isto é,

P(Erro tipo I) =↵= P(Rejeitar H0|H0 é verdadeira).

Beta do teste: É a probabilidade de se cometer o erro tipo II, é denotado por � , e é dado por,

P(Erro tipo II) = � = P(Não Rejeitar H0|H0 é falsa).

Região Crítica(RC): É o conjunto de valores de b✓ para o qual a hipótese deve ser rejeitada,também chamada de região de rejeição.

Nível descritivo ou p -valor do teste: É a probabilidade de ocorrer valores do estimador b✓ , maisextremos que o valor observado b✓ (!) = x , isto é, que a estimativa obtida, sob a hipótese que H0 éverdadeira, isto é,

• Se H1 : ✓ > ✓0 então x �✓0 > 0, assim

p -valor= P�

b✓ > x�

�H0 é verdadeira�

= P✓

W >x �✓0

�b✓

◆

;

• Se H1 : ✓ < ✓0 então x �✓0 < 0, assim

p -valor= P�

b✓ < x�

�H0 é verdadeira�

= P✓

W <x �✓0

�b✓

◆

.

Logo, em qualquer uma dessas situações tem-se que

p -valor= P

W >

�

�x �✓0

�

�

�b✓

!

• Se H1 : ✓ 6= ✓0 então, x �✓0 > 0 ou x �✓0 < 0, assim

p -valor= 2⇥P

W >

�

�x �✓0

�

�

�b✓

!

Observe que quanto menor for o p -valor, mais forte será a evidência de que a hipótese H0 nãoé verdadeira. Portanto, o p -valor mede a força da evidência contra H0. Em outras palavras, quantomenor o p-valor menor será a probabilidade de H0 ser verdadeira.

Observação 7.1. Sempre que acontecer b✓ (!) = x = ✓0 então não rejeita-se a hipótese H0.

7.6 Procedimento Geral do Teste de Hipótese - Uma Amostra

1. Formulação das hipóteses:

Situação A:

(

H0 : ✓ = ✓0

H1 : ✓ 6= ✓0Situação B:

(

H0 : ✓ ✓0

H1 : ✓ > ✓0Situação C:

(

H0 : ✓ � ✓0

H1 : ✓ < ✓0

2. p-valor:

• Nas situações B e C,

p-valor= P

W >

�

�x �✓0

�

�

�b✓

!

• Na situação A,

p-valor= 2⇥P

W >

�

�x �✓0

�

�

�b✓

!

3. Região crítica:

Situação A: RC =⇤�1 ,�wc1

⇤[ ⇥wc2 ,1⇥

Situação B: RC =⇤�1 ,�wc1

⇤

Situação C: RC =⇥

wc2 ,1⇥

em que wc1 e wc2 satisfaz as seguintes condições:

P�

W wc1

�

=↵1

P�

W �wc2

�

=↵2.

em que ↵1 + ↵2 = ↵. Se a distribuição de W for simétrica então, wc2 = �wc1 e nesse caso↵1 =↵2 = ↵2 . A variável transformada W é chamada de estatística do teste, e nesse caso comoa distribuição de W não depende de nenhum parâmetro desconhecido, denominamos dequantidade pivotal.

Se�b✓ não for conhecido então substitui-se pelo respectivo estimador b�

b✓ .

4. Decisões e Conclusões possíveis:

Pelo método do p-valor:

• rejeitar H0 se p-valor↵.

Conclusão: Como p-valor ↵ rejeitamos H0 ao nível de significância de 100↵%. Logo,existem evidências de que a hipótese H1 é verdadeira;

• não rejeitar H0 caso contrário.

Conclusão: Como p-valor> ↵ não rejeitamos H0 ao nível de significância de 100↵%.Logo, não existem evidências de que a hipótese H1 é verdadeira.

Pelo método da região crítica:

• rejeitar H0 se Wc a l 2RC .

Conclusão: Como Wc a l 2 RC rejeitamos H0 ao nível de significância de 100↵%. Logo,existem evidências de que a hipótese H1 é verdadeira;

• não rejeitar H0 se Wc a l /2RC .

Conclusão: Como Wc a l /2 RC não rejeitamos H0 ao nível de significância de 100↵%.Logo, não existem evidências de que a hipótese H1 é verdadeira.

7.7 Teste de hipótese para a média

Seja X uma variável aleatória com média µ e desvio padrão �. Seja bµ = X um estimador paraµ e�X o desvio padrão deste estimador.

7.7.1 Caso 1: X possui distribuição normal com Variância conhecida.

Estatística do teste:

Z =X �µ0

�X=

X �µ0�pn

⇠ N (0, 1)

Região crítica:

Situação A: RC =�

x 2R : x �z ↵2

ou x � z ↵2

Situação B: RC =�

x 2R : x � z↵

Situação C: RC =�

x 2R : x �z↵

p-valor do teste:

• Para as situações B e C tem-se que p-valor= P

Ç

Z >

�

�x�µ0

�

�

�pn

å

• Para a situação A tem-se que p-valor= 2⇥P

Ç

Z >

�

�x�µ0

�

�

�pn

å

7.7.2 Caso 2: X possui distribuição normal com Variância desconhecida.

Estatística do teste:

T =X �µ0

SX=

X �µ0Spn

⇠ tn�1;

Região crítica:

Situação A: RC =�

x 2R : x �t(n�1, ↵2 ,) ou x � t(n�1, ↵2 ,)

Situação B: RC =�

x 2R : x � t (n�1,↵,)

Situação C: RC =�

x 2R : x �t (n�1,↵,)

p-valor do teste: p-valor= P

Ç

T >

�

�x�µ0

�

�

Spn

å

p-valor do teste:

• Para as situações B e C tem-se que p-valor= P

Ç

T >

�

�x�µ0

�

�

Spn

å

• Para a situação A tem-se que p-valor= 2⇥P

Ç

T >

�

�x�µ0

�

�

Spn

å

7.7.3 Caso 3: Grandes Amostras: n�30.

Estatística do teste:

• Se a variância for conhecida:

Z =X �µ0

�X=

X �µ0�pn

a⇠ N (0, 1)

• Se a variância for desconhecida:

Z =X �µ0

�X=

X �µ0Spn

a⇠ N (0, 1)

Região crítica:

Situação A: RC =�

x 2R : x �z ↵2

ou x � z ↵2

Situação B: RC =�

x 2R : x � z↵

Situação C: RC =�

x 2R : x �z↵

p-valor do teste:

• Para as situações B e C tem-se que p-valor= P

Ç

Z >

�

�x�µ0

�

�

�pn

å

• Para a situação A tem-se que p-valor= 2⇥P

Ç

Z >

�

�x�µ0

�

�

�pn

å

7.8 Teste de hipótese para a proporção

Seja X uma variável aleatória com ditribuição X ⇠ ber(p ). Seja Xe

= (X1, . . . , Xn ) uma amostrai.i.d. de X , então um estomador para o parânetro p é dado por

bp =

Pni=1

n=

kn

em que k é o número de vezes que o evento de interesse aparece na amostra Xe

.Estatística do teste: pelo Teorema Central do Limite, tem-se para n grande que a estatística do

teste é dada por

Z =bp �p0

∆

p0(1�p0)n

a⇠ N (0, 1)

Região crítica:

Situação A: RC =�

x 2R : x �z ↵2

ou x � z ↵2

Situação B: RC =�

x 2R : x � z↵

Situação C: RC =�

x 2R : x �z↵

p-valor do teste:

• Para as situações B e C tem-se que p-valor= P

Ç

Z >

�

�p�p0

�

�

∆

p0(1�p0)n

å

• Para a situação A tem-se que p-valor= 2⇥P

Ç

Z >

�

�p�p0

�

�

∆

p0(1�p0)n

å

Capítulo 8

Correlação e Regressão Linear Simples

Nesse capítulo iremos estudar a Correlação e a Regressão Linear Simples. Na primeira seçãoiremos tratar sobre coefiente de correlação linear que é um coeficiente que mede a intensidade darelação linear entre duas variáveis. Na segunda seção trataremos da regressão linear simples. Naanálise de regressão o objetivo é investigar a relação entre as variáveis e predizer o valor de umaem função da outra.

8.1 Coeficiente de Correlação Linear(⇢)

O coeficiente de correlação linear é utilizado quando se desejar verificar se duas variáveis estãorelacionadas. Mais especificamente, se duas variáveis possuem relação linear entre elas. Essecoeficiente é também denominado correlação de Pearson.

Definição 8.1 (Coeficiente de Correlação Linear). Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com médiaµX eµY e desvio padrão�X e�Y respectivamente, então o Coeficiente de Correlação Linear é definidocomo,

⇢X ,Y =⇢(X , Y ) =E (X Y )�E (X )E (Y )p

V a r (X )p

V a r (Y ).

Propriedades:

1. O coeficente de correlação linear independe da unidade de medida das variáves. Trata-se deum número adimensional;

2. O coeficente de correlação linear é invariante sobre transformações lineares, isto é, se U =a X +b e V = c Y +d então, ⇢U ,V =⇢X ,Y ;

3. O coeficente de correlação linear é um valor entre -1 e 1, em que:

(a) Se ⇢ < 0 temos uma relação negativa, isto é, uma relação linear inversa;

(b) Se ⇢ > 0 temos uma relação positiva, isto é, uma relação linear direta;

(c) Se ⇢ = 0 temos uma ausência relação linear;

63

(d) Se |⇢|= 1 temos uma relação linear perfeita.

Definição 8.2 (Coeficiente de Correlação Linear amostral). Dada uma amostra i.i.d das variáveis

X e Y,⇣

(X1, Y1), . . . , (Xn , Xn )⌘

, então um estimador (b⇢) para o Coeficiente de Correlação Linear é dadopor,

b⇢ = r =

Pni=1(Xi �X )(Yi �Y )

q

⇣

Pni=1(Xi �X )2

⌘

q

⇣

Pni=1(Yi �Y )2

⌘

=nPn

i=1 Xi Yi �Ä

Pni=1 Xi

äÄ

Pni=1 Yi

ä

q

nPn

i=1 X 2i �

Ä

Pni=1 Xi

ä2q

nPn

i=1 Y 2i �

Ä

Pni=1 Yi

ä2

8.1.1 Interpretação geométrica

O produto escalar de dois vetores A= (a 1, a 2, · · · , a n ) e B= (b1,b2, · · · ,bn ) é o resultado do pro-duto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de A pela [[projeção escalar]] deB em A, isto é,

A ·B= kAkkBkcos↵

Onde ↵ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos, dados por,

||A||=p

a 21+a 2

2+ · · ·+a 2n

e||B||=

p

b 21 +b 2

2 + · · ·+b 2n

O produto escalar entre dois vetores também pode ser visto como,

A ·B=nX

i=1

a i bi = a 1b1+a 2b2+ · · ·+a nbn

Deste modo o cosseno do angulo entre os dois vetores (↵) é dado por:

cos(↵) =A ·BkAkkBk =

Pni=1 a i bi = a 1b1+a 2b2+ · · ·+a nbn

p

a 21+a 2

2+ · · ·+a 2n ⇥

p

b 21 +b 2

2 + · · ·+b 2n

(8.1)

Considere duas amostras i.i.d. das variáveis X e Y, (X1, . . . , Xn ) de X e (Y1, . . . , Yn ). Essas amostraspodem ser consideradas como vetores em um espaço de n dimensões. Assim, subtraindo cadavalor de sua respectiva média, tem-se (X1� X , . . . , Xn � X ) e (Y1� Y , . . . , Yn � Y ). Assim, da equação8.1 o cosseno do ângulo ↵ entre estes vetores é dado por:

cos(↵) =

NX

i=1

(Xi � X ) · (Yi � Y )

s

NX

i=1

(Xi � X )2 ·s

NX

i=1

(Yi � Y )2

Logo, cos(↵) =⇢. Sendo assim:

• Se ⇢ = 1, o ângulo ↵= 0�, os dois vetores são colineares (paralelos);

• Se ⇢ = 0, o ângulo ↵= 90�, os dois vetores são ortogonais;

• Se ⇢ =�1, o ângulo ↵= 180�, os dois vetores são colineares com sentidos opostos;

8.1.2 Teste de hipótese para o Coeficiente de Correlação

Hipótese:(

H0 : ⇢ =⇢0

H1 : ⇢ 6=⇢0

Estatística do Teste:

T = |r |«

n �21� r 2

Região crítica: RC=¶

x 2 [0,1) : x � t ↵2

©

Decisão: rejeitar H0 se Tc a l 2RC

8.2 Regressão Linear Simples

Tem por objetivo encontrar qual a relação linear entre as variáveis aleatórias, se a mesma exis-tir.

Relação linear simples: Y = b0 + b1X + e . Em que, e é erro aleatório. Dada uma amostra

Xe

=⇣

(X1, Y1), . . . , (Xn , Yn )⌘

tem-se que,

Yi =b0+b1Xi + ei

onde ei é suposto ter distribuição normal com média zero e variância�2 com (e1, . . . , en ) indepen-dentes e identicamente distribuídos.

Nestas condições deseja-se estimar b0 e b1 obtendo-se assim a reta estimada bYi = bb0 +bb1Xi ,para a partir dela podermos fazer predições de Y a partir de valores conhecidos de X.

Observação 8.1. A variável X é denominada variável independente ou explicativa e a variável Y devariável dependente ou resposta.

8.3 Estimação dos parâmetros

O método de mínimos quadrados é usado para estimar os parâmetros do modelo (b0 e b1) econsiste em fazer com que a soma dos erros quadráticos seja menor possível, ou seja, este métodoconsiste em obter os valores de b0 e b1 que minimizam a expressão:

f (b0,b1) =nX

i=1

e 2i =

nX

i=1

(Yi � (b0+b1Xi ))2

Aplicando-se derivadas parciais à expressão acima, e igualando-se a zero, acharemos as se-guintes estimativas para b0 e b1, as quais chamaremos de bb0 e bb1, respectivamente:

bb0 =

Pni=1 Yi �bb1

Pni=1 Xi

n

bb1 =nPn

i=1 Xi Yi �Ä

Pni=1 Xi

äÄ

Pni=1 Yi

ä

nPn

i=1 X 2i �

Ä

Pni=1 Xi

ä2

A chamada equação (reta) de regressão é dada por

bYi =bb0+bb1Xi .

A diferença entre os valores observados e os preditos é chamada de resíduo (bei ):

bei = Yi � bYi

O resíduo relativo à i-ésima observação (bei ) pode ser considerado uma estimativa do erro ale-atório (ei ) desta observação.

8.3.1 Coeficiente de Determinação (R2)

O coeficiente de determinação é uma medida descritiva da proporção da variação de Y quepode ser explicada por variações em X, segundo o modelo de regressão especificado. Ele é dadopela seguinte razão:

R2 = 1�Pn

i=1(Yi � bYi )2Pn

i=1(Yi �Y i )2= 1�

Pni=1 Y 2

i �bb0

Pni=1 Yi �bb1

Pni=1 Xi Yi

Pni=1 Y 2

i �Ä

Pni=1 Yi

ä2.

n

Referências Bibliográficas

BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica, 5a Edição, São Paulo: Saraiva, 2005.

FISHER, R. A. On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics. Philosophical Transac-tions of the Royal Society, A, v.222, p.309-368, 1922.

FISHER, R. A. Statistical methods for research workers. Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925. (Bio-logical monographs and manuals, n.5)

GRAUNT, J. (1662). Bills of Mortality. London. Disponível em<http://www.ac.wwu.edu/ stephan/Graunt/bills.html>. Acesso em: 5 de novembro de2007.

FUNDAÇÃO INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Normas de apre-sentação tabular. 3. ed. Rio de janeiro, 1993. 63p.

KOLMOGOROV, A. N. Foundations of the Theory of Probability. 2. ed., NewYork: Chelsea Publishing Company, 1956. 84p. Original publicado em 1933 emAlemão como “Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung”. Disponível em<http://www.kolmogorov.com/Foundations.html>. Acesso em: 5 de novembro de 2007.

TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística, Tradução da 9a Edição, Rio de Janeiro: LTC, 2005.

67