Capítulo 1 Introdução e Coleta de Dadospmbortolon.wdfiles.com/local--files/home/Met Quant_Aula 1...

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-1

Capítulo 1

Introdução e Coleta de Dados


Objetivos

Neste capítulo você aprenderá:

Como a estatística é usada nos negócios

As fontes de dados em negócios

Os tipos de dados utilizados


Por que estudar Estatística?

Os tomadores de decisão usam estatística para:

Apresentar e descrever apropriadamente

informações dos negócios que administram

Tirar conclusões sobre uma grande população,

usando informações de amostras

Fazer previsões sobre as atividades de forma mais

confiável

Melhorar os processos

Estatística para Ciências

Contábeis

É uma ferramenta, um método

Instrumento auxiliar na tomada de decisões

Análise de indicadores (lucratividade, rentabilidade, atividade) Evolução histórica, variabilidade, comparações com empresas

do mesmo setor. A empresa está acima ou abaixo da média do setor, acima ou abaixo da mediana? Está em que quartil?

A previsão dos indicadores pode ser insumo ao planejamento e orçamento.

Administração de estoques e caixa Como definir os níveis ótimos de estoque?

Como variam as demandas por matérias-primas e produtos acabados?

Como variam os tempos de entrega dos fornecedores?


Estatística para Ciências

Contábeis Custo de capital (próprio e de terceiros e o que os

determina) Se a empresa tem ações em bolsa, como o preço de sua ação

varia com as oscilações do mercado? Os bancos que fornecem empréstimos cobram taxas adequadas

ao risco de crédito que a empresa representa? Como avaliar se estas taxas são adequadas?

Auditorias e fiscalizações Auditorias em processos das empresas podem ser extremamente

custosas. Por exemplo, a verificação da correta contabilização de faturas significa analisar TODAS as faturas? É possível concluir com base na análise de amostras?

Como órgãos públicos planejam a fiscalização das atividades das empresas?

Pesquisas acadêmicas (modelos de previsão de falência, governança corporativa / disclosure)


Métodos Estatísticos

Teoria da Probabilidade

EstatísticaO “braço” da matemática que transforma os dados em informação útil

aos tomadores de decisão.

Estatística Descritiva

Coleta, resume e descreve os dados

Estatística Inferencial

Permite concluir e tomar decisões a respeito de uma população baseando-se em dados de amostras dessa população.


Estatística Descritiva

Coletar Dados

ex. Pesquisa

Apresentar Dados

ex. Tabelas e gráficos

Caracterizar os dados

ex. Média amostral =iX

n


Estatística Inferencial

Estimação

ex. Estimar o peso médio da

população com base no peso

médio de uma amostra

Teste de hipótese

ex. Testar a afirmação de que o

peso médio da população é de

65 kg

Concluir ou tomar decisões sobre uma população com base em resultados de amostras.

Vocabulário Básico da Estatística

Variável Uma variável corresponde a uma característica de um item ou

de um indivíduo

População Uma população consiste em todos os itens ou indivíduos em

relação aos quais você deseja tirar uma conclusão

Amostra Uma amostra corresponde à parcela da população selecionada

para análise

Parâmetro Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma

característica de uma população

Estatística Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma

característica de uma amostra


População x Amostra

População Amostra

Medidas usadas para descrever a

população são chamadas

parâmetros

Medidas calculadas a partir de

uma amostra são chamadas

estatísticas


Fontes de Dados

Fontes Primárias: quem coleta e quem analisa são a

mesma pessoa

Dados de uma pesquisa política

Dados coletados de um experimento

Dados de observação

Fontes Secundárias: a pessoa que realiza a análise

não é quem a coletou

Análise de dados de censo

Dados de jornais ou publicados na internet


Tipos de Variáveis

Tipo de

Variável

Categórica Numérica

Discreta Contínua

Exemplos:

Estado Civil

Partido político

Cor dos olhos

(Categorias definidas)Exemplos:

Número de filhos

Defeitos por hora

(Contagem)

Exemplos:

Peso

Voltagem

(Características mensuráveis)

Tipos de Variáveis

Tipo de Variável Tipos de Perguntas Respostas

Categórica

Você atualmente

possui ações ou

títulos?

( ) Sim

( ) Não

Numérica

Discreta: Quantas

revistas você assina

atualmente?

______ Número

Contínua: Qual é a

sua altura?

______ Centímetros

Níveis de mensuração – um outro meio

de classificar os dados

Dados

Quantitativo

ou numérico

Qualitativo

ou categórico

Intervalar Razão Nominais Ordinais

Níveis de mensuração – Variáveis

qualitativas

Nominais:

As observações são nomeadas, rotuladas ou classificadas.

Não há ordem ou hierarquia.

Quando há duas categorias a variável é dicotômica, quando há mais de duas

denomina-se variável categórica.

Ex: país de origem, religião.

Não é possível realizar operações aritméticas com seus valores.

As estatísticas avaliadas são as baseadas em frequência, como moda e distribuição

de frequência.

Variável Categórica Categorias

Tem computador?

Tipo de ações

Provedor Internet

Sim / Não

UOL / Globo.com

Crescimento / Valor / Outras


qualitativas Ordinais:

Há uma relação > (maior do que) válida para todos os pares de classes.

A relação > poderá incluir mais alto do que, mais difícil do que, mais

importante do que, preferível, etc.

Ex: status social, grau de escolaridade, hierarquização de um conjunto de

afirmações, atitudes em relação a determinado fato.

Categorical Variable Ordered Categories

Satisfação com o produto Satisfeito, Neutro, Insatisfeito

Cargo Instrutor, Prof. Assistente, Prof. Adjunto,

Prof. Titular

Ratings de títulos de dívidas AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, C,

DDD, DD, D

Notas de Provas A, B, C, D, F


quantitativas

Nível intervalar: Quando se designa arbitrariamente a uma categoria o valor

zero e, a partir desse marco, constrói-se a escala.

As categorias mantém uma relação de ordem, além de intervalos iguais de medição.

O zero (0) é arbitrário, não é real.

Ex: temperatura (o zero é uma categoria e não implica que haja temperatura igual a zero), peso, altura, volume

Nível de razão O zero (0) é absoluto, há um ponto na escala onde não existe a

propriedade.

Permite saber se um número é o dobro ou o triplo de outro.

Ex: renda, idade, quantidade produzida. Obs.: para estas variáveis é possível aplicar todas as estatísticas paramétricas

comuns.

Níveis de Manipulação – Variáveis

Dependentes e Independentes

Variável Independente: é aquela que é

observada/medida e se supõe causar algum efeito

sobre a variável dependente

Variável dependente: é aquela cuja variação se quer

explicar a partir da variação na variável

independente

Exemplo: será que a variação no preço da ação da

Petrobrás é influenciada pela variação no índice

Ibovespa?

Neste caso a variável dependente é a cotação da ação da

Petrobrás e a variável independente é a cotação do índice

Ibovespa.

Classificação das Variáveis

Qualitativa

Nominal

Qualitativa

Ordinal

Número Est. civil Instrução Filhos Salário (SM) Idade

1 1 1 0 4. 00 26

2 2 1 1 4. 56 32

3 2 1 2 5. 25 36

4 1 2 0 5. 73 20

5 1 1 0 6. 26 40

6 2 1 0 6. 66 28

7 1 1 0 6. 86 41

8 1 1 0 7. 39 43

9 2 2 1 7. 59 34

10 1 2 0 7. 44 23

Quantitativa

Razão

Quantitativa

Razão

Quantitativa

Razão


Capítulo 2

Apresentando Dados emTabelas e Gráficos


Objetivos:

Nesse capítulo, você aprenderá:

Desenvolver tabelas e gráficos para dados

categóricos

Desenvolver tabelas e gráficos para dados

numéricos

Os princípios para uma apresentação

apropriada de gráficos


Organizando Dados Categóricos:

Tabela Resumo

Uma tabela resumida indica a frequência, a quantidade ou a

percentagem de itens em um conjunto de categorias, de tal

modo que você possa verificar diferenças entre as categorias.

Como você aproveita os feriados? Percentagem

Em casa com a família 45%

Viajando para visitar a família 38%

Férias 5%

Trabalhando 5%

Outros 7%



Gráfico de Barras

Em um gráfico de barras, uma barra ilustra cada uma das

categorias, cujo comprimento representa a quantidade,

frequência ou a percentagem de valores que se

posicionam em uma determinada categoria.

45%

38%

5%

5%

7%

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Em casa com a família

Viajando para visitar a família

Férias

Trabalhando

Outros

Como você aproveita os feriados?



Gráfico de Pizza O gráfico de pizza é um círculo desmembrado em fatias que

representam categorias. O tamanho de cada uma das fatias da

pizza varia de acordo com a percentagem em cada uma das

categorias..

45%

38%

5%

5%7%

How Do You Spend the Holiday's

Em casa com a família

Viajando para visitar a família

Férias

Trabalhando

Outros



Diagrama de Pareto

Utilizado para mostrar dados categóricos

Um gráfico de barras, onde as categorias são

mostradas em ordem decrescente de frequência

Uma linha correspondente aos percentuais

acumulados é mostrado no mesmo gráfico

Usado para separar os “poucos vitais” dos “muitos

triviais” (Princípio de Pareto)



Diagrama de Pareto%

ac

um

ula

do

em

ca

da

tipo

(linh

ad

o g

ráfic

o)

%in

ve

sti

do

em

ca

da

ca

teg

ori

a

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

Stocks Bonds Savings CD

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Carteira de Investimentos

Ações Renda Fixa Poupança CDB



Disposição Ordenada Uma disposição ordenada consiste em uma sequência de

dados, em uma ordem de classificação, do menor valor para

o maior valor..

Idade dos

alunos da

amostra

Estudantes do turno matutino

16 17 17 18 18 18

19 19 20 20 21 22

22 25 27 32 38 42

Estudantes do turno noturno

18 18 19 19 20 21

23 28 32 33 41 45



Disposição Ramo e Folha Uma disposição ramo-e-folha organiza dados em grupos

(chamados de ramos) de tal modo que os valores dentro de

cada grupo (as folhas) se ramifiquem para a direita de cada

linha.

Ramo Folha

1 6778889

9

2 0012257

3 28

4 2

Idade dos Estudantes

Turno Matutino Turno Noturno

Ramo Folha

1 8899

2 0138

3 23

4 15



Distribuição de Frequência

A distribuição de frequência é uma tabela resumida, na qualos dados são dispostos em grupos de classe ordenadosnumericamente.

Atenção deve ser dada à seleção da quantidade apropriada de grupos de classe para a tabela, à determinação da amplitude adequada para um grupo de classe, e ao estabelecimento de limites para cada grupo de classe, visando evitar sobreposições.

Para determinar a amplitude de um intervalo de classe vocêdivide a amplitude (maior valor – menor valor) do conjunto de dados pela quantidade desejada de grupos de classe.



Distribuição de Frequência -

Exemplo

Exemplo: Um fabricante de isolamento térmico seleciona

aleatoriamente 20 dias de inverno e registra a temperatura

média diária.

24, 35, 17, 21, 24, 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27




Exemplo

Organize os dados em ordem crescente:12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Encontre a amplitude: 58 - 12 = 46

Selecione o no. de classes: 5 (usualmente entre 5 e 15)

Calcule a amplitude do intervalo de classe: 10 (46/5 e arredonde para cima)

Determine os limites para cada grupo de classe: 10, 20, 30, 40, 50, 60

Determine os pontos médios de cada grupo de classe: 15, 25, 35, 45, 55

Conte as observações em cada grupo de classe




Exemplo

Classe Frequência

10 - 20 3 .15 15

20 - 30 6 .30 30

30 - 40 5 .25 25

40 - 50 4 .20 20

50 - 60 2 .10 10

Total 20 1.00 100

FrequênciaRelativa Percentagem



Histograma

Um gráfico onde os dados numéricos são apresentados naforma de distribuição de frequências e chamadohistograma.

Os limites de classe (ou pontos médios de classes) sãomostrados no eixo horizontal.

O eixo vertical mostra a frequência, frequênciarelativa, ou percentagem.

Barras de alturas apropriadas são usadas para representaro no. de observações dentro de cada classe.



Histograma

0

1

2

3

4

5

6

7

5 15 25 35 45 55 More

Fre

qu

ên

cia

Histograma: Temperatura diária

Classe Frequência

10 - 20 3 .15 15

20 - 30 6 .30 30

30 - 40 5 .25 25

40 - 50 4 .20 20

50 - 60 2 .10 10

Total 20 1.00 100

Frequência Relativa Percentagem



Histograma no Excel

1. Selecione:

Ferramentas /

análise de dados



Histograma no Excel

2. Escolha Histograma

3. Informe o intervalo de entrada e o intervalo de bloco(intervalo de bloco é o conjuntode células contendo os limitessuperiores de cada grupo de classe)

4. Marque Resultado do gráficoe clique em “OK”



Polígono de Percentagens

Um polígono de percentagens é formado fazendo-se com que o ponto médio de cada classe representeos dados naquela classe e, depois, interligando-se a sequência de pontos médios em suas respectivaspercentagens de classe.

O polígono de percentagens acumuladas (ogiva) exibe a variável de interesse ao longo do eixo X e a percentagem acumulada ao longo do eixo Y.



Polígono de Percentagens

0

2

4

6

8

5 15 25 35 45 55 More

Fre

qu

ên

cia

Polígono de Frequência: temperatura diária

Classe Frequência

10 - 20 3 .15 15

20 - 30 6 .30 30

30 - 40 5 .25 25

40 - 50 4 .20 20

50 - 60 2 .10 10

Total 20 1.00 100

Frequência Relativa Percentagem


Organizando Dados Categóricos: Polígono

de Percentagens Acumuladas

0

50

100

10 20 30 40 50 60

% a

cu

mu

lad

o

Ogiva: Temperatura Diária

Classe Limite Inferior % menor que o

limite inferior

10<20 10 0

20<30 20 15

30<40 30 45

40<50 40 70

50<60 50 90

60 100


Tabulações Cruzadas:

A Tabela de Contingência

Uma tabela de contingência apresenta os resultados de duasvariáveis categóricas. As respostas combinadas sãoclassificadas de modo tal que as categorias de uma variávelfiquem localizadas nas linhas, enquanto as categorias da outravariável fiquem localizadas nas colunas.

Os valores localizados na interseção entre linhas e colunas sãochamados de células.

Uma maneira eficiente de exibir visualmente os resultados de dados com classificação cruzada é pela construção de um gráfico de barras paralelas.



A Tabela de Contingência

Importância da

marca

Masculino Feminino Total

Maior 450 300 750

Igual ou menor 3300 3450 6750

Total 3750 3750 7500

Uma pesquisa foi conduzida para estudar a importâncica damarca para consumidores em comparação com anos atrás. Os resultados, classificados por sexo, são os seguintes:



Gráfico de Barras Paralelas

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Maior

Menor ou Igual

No. de respondentes

Resp

osta

Importância da Marca

Feminino

Maculino


Gráfico de Dispersão

Gráficos de Dispersão são utilizados para investigar

possíveis relações entre duas variáveis numéricas.

Cada observação é tomada a partir de duas variáveis

numéricas.

Uma variável é avaliada no eixo horizontal e outra

no eixo vertical.


Gráfico de Dispersão - Exemplo

Volume

diário

Custo

diário

23 125

26 140

29 146

33 160

38 167

42 170

50 188

55 195

60 200

0

50

100

150

200

250

20 30 40 50 60 70

Cu

sto

diá

rio

Volume diário

Custo diário x Volume diário


Séries Temporais

Um gráfico de séries temporais é utilizado para

estudar padrões nos valores de uma variável

numérica ao longo do tempo. Cada valor é “plotado”

com um ponto em um gráfico com duas dimensões,

no eixo X fica a linha do tempo e no eixo Y os

valores da variável que se está estudando.


Série Temporal - Exemplo

Frequência (em milhões) em parques de diversão e temáticos nos EUA

entre 2000-2005

Ano No. ano Frequência

2000 0 317

2001 1 319

2002 2 324

2003 3 322

2004 4 328

2005 5 335


Série Temporal - Exemplo

316

320

324

328

332

336

0 1 2 3 4 5 6

Fre

qu

ên

cia

Ano (desde 2000)

Frequência em parques temáticos nos EUA

(milhões)


Diretrizes para gráficos bem

elaborados

O gráfico não deve distorcer os dados

O gráfico não deve conter adornos desnecessários(sucata de gráficos)

Qualquer gráfico bidimensional deve conter umaescala para cada um dos eixos

A escala no eixo vertical deve inicial em zero

Todos os eixos devem ter legendas apropriadas

O gráfico deve conter um título

O gráfico mais simples possível deve ser utilizadopara um determinado conjunto de dados


Capítulo 3

Medidas Numéricas Descritivas


Objetivos

Neste capítulo, você aprenderá:

A descrever as propriedades de tendência central,

variação e formato, em dados numéricos

A calcular medidas descritivas resumidas para uma

população

A construir e interpretar um box-plot

A descrever a covariância e o coeficiente de

correlação


Resumo das definições

A tendência central corresponde à extensão

na qual todos os valores de dados se agrupam

em torno de um valor central típico

Variação corresponde ao montante de

dispersão, ou spread, de valores em relação a

um valor central

Formato corresponde ao padrão da

distribuição de valores do valor mais baixo

para o mais alto


Medidas de Tendência Central

A Média Aritmética

É a medida mais comum de tendência central

Para uma amostra de tamanho n:

n

XXX

n

X

X n21

n

1i

i

Tamanho da amostra Valores observados



A Média Aritmética

A medida mais comum de tendência central

Média = soma dos valores dividido pelo no. de valores

Afetada por valores extremos (outliers)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Media = 3

35

15

5

54321

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Media = 4

45

20

5

104321



A Mediana

Em um conjunto de dados ordenados, a mediana é o valor no

meio da sequência (50% dos valores estão acima dela e 50%

abaixo)

Não é afetada por valores extremos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Median = 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Median = 4



Localizando a Mediana

A mediana de um conjunto ordenado de dados estána posição de no .

Se existir uma quantidade ímpar de valores, a mediana é o valor no meio do conjunto de observações ordenadas.

Se o no. de observações é par a mediana é a médiados dois valores que estão no meio na ordem de classificação.

Observe que não é o valor da mediana, somente indica a posição em que a mediana está no conjunto ordenado de dados.

2

1n

2

1n


Medidas de Tendência Central:

Moda

Valor que ocorre com maior frequência

Não é afetado por valores extremos

Utilizado tanto para dados categóricos quanto

numéricos

Pode haver nenhuma moda

Pode haver várias modas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

Não há moda



Exemplo de Revisão

Preços de Casas:

$2,000,000

500,000300,000100,000100,000

Soma 3,000,000

Média: ($3,000,000/5)

= $600,000

Mediana: valor do meio nadistribuição ordenada

= $300,000

Moda: valor mais frequente= $100,000



Que medidas escolher?

A média é geralmente utilizada, a menos que

haja outliers.

Neste caso a mediana é mais frequentemente

utilizada, já que não é afetada por valores

extremos.


Quartis

Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro

partes iguais, com mesma quantidade de observações.

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

O primeiro quartil, Q1, é o valor para o qual 25% das observações são menores e 75% são maiores

Q2 é a mediana (50% são menores e 50% são maiores)

Somente 25% dos valores são maiores do que o terceiroquartil.


Localizando os Quartis

Encontre o quartil identificando o valor, no conjunto ordenado de observações, que corresponde às seguintes posições:

Posição do 1o. quartil: Q1 = (n+1)/4 posição

Posição do 2o. quartil: Q2 = (n+1)/2 posição

Posição do 3o. quartil: Q3 = 3(n+1)/4 posição

onde n é o no. de valores observados


Quartis

Orientações

Regra 1: se o resultado é um no. inteiro, então o quartil é

igual à observação naquela posição.

Regra 2: se o resultado for uma metade fracionada(2.5,

3.5, etc), então o quartil é a média entre os valores

correspondentes na ordem classificada.

Regra 3: Se não for nenhuma das situações anteriores,

você arredonda para o inteiro mais próximo e seleciona o

valor na ordem de classificação.


Quartis

Localizando o 1o. Quartil

Exemplo: encontre o 1o. quartil

Amostra de dados ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21 22

Primeiro, obserque que n = 9.

Q1 = está na posição (9+1)/4 = 2.5 da distribuição ordenada,

então use o valor entre as posições 2o e 3o ,

então Q1 = 12.5

Q1 e Q3 são medidas de localização não-central

Q2 = mediana, uma medida de tendência central



Média Geométrica

Média Geométrica

Mede a taxa de variação de uma variável ao longo do tempo

Média geométrica da taxa de retorno

Mede o percentual médio de retorno de um investimento ao

longo do tempo

Onde Ri é a taxa de retorno no período i

n

nG XXXX /1

21 )(

1)]R1()R1()R1[(R n/1

n21G



Média Geométrica

Um investimento de $100,000 cai a $50,000 no final do ano1 e retorna a $100,000 no final do ano 2:

O retorno no período todo é zero, já que o valor do início e do final do período é o mesmo.

000,100$X000,50$X000,100$X 321

50% queda 100% aumento



Média Geométrica

Use os retornos anuais para calcular o retorno médio pelamédia aritmética e pela média geométrica:

25.2

)1()5.(

X

Taxa de retorno(médiaaritmética):

Taxa de retorno(médiageométrica): %0111)]2()50[(.

1))]1(1())5.(1[(

1)]1()1()1[(

2/12/1

2/1

/1

21

n

nG RRRR

Resultado equivocado

Resultadocorreto



Resumo

Tendência Central

MédiaAritmética

Mediana Moda MédiaGeométrica

n

X

X

n

i

i 1

n/1

n21G )XXX(X

Valor do meionumasequênciaordenada

Valor maisfrequente no conjunto de observações


Medidas de Variação

A variação mede o spread ou dispersão, dos

valores em um conjunto de dados.

Amplitude

Amplitude Interquartil

Variância

Desvio Padrão

Coeficiente de Variação



Amplitude

É a medida mais simples de variação

Diferença entro o valor máximo e o mínimo no conjunto de

observações:

Amplitude = Xmaior – Xmenor

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Amplitude = 13 - 1 = 12

Exemplo:



Desvantagens da Amplitude Não leva em consideração o modo como os dados estão

distribuídos

Sensível a outliers

7 8 9 10 11 12

Range = 12 - 7 = 5

7 8 9 10 11 12

Range = 12 - 7 = 5

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120

Amplitude = 5 - 1 = 4

Amplitude = 120 - 1 = 119




Os problemas causados pelos outliers podem ser eliminados utilizando-se a amplitude interquartil.

A amplitude interquartil pode eliminar algunsvalores altos e baixos e calcula a amplitude entre osremanescentes.

Amplitude Interquartil = 3o quartil – 1o quartil

= Q3 – Q1




Mediana

(Q2)X

maximoXminimo Q1 Q3

Exemplo:

25% 25% 25% 25%

12 30 45 57 70


= 57 – 30 = 27



Variância

A variância da amostra é a soma das diferenças em torno da

média aritmética elevadas ao quadrado, dividida pelo tamanho

da amostra menos 1.

Variância da amostra:

Onde: = média aritmética

n = tamanho da amostra

Xi = ij valor da variável X

X

1-n

)X(X

S

n

1i

2

i2



Desvio Padrão

Medida mais utilizada de variação

Mostra a variação em torno da média

Tem a mesma unidade dos dados originais

Desvio Padrão da Amostra:1-n

)X(X

S

n

1i

2

i



Desvio Padrão

Etapas para o cálculo do Desvio Padrão:

1. Calcule a diferença entre cada valor e a média

aritmética.

2. Eleve ao quadrado cada diferença.

3. Some as diferenças elevadas ao quadrado.

4. Divida esse total por n-1 para obter a variância da

amostra.

5. Calcule a raiz quadrada da variância da amostra

para obter o desvio-padrão da amostra.



Desvio PadrãoAmostraDados (Xi) : 10 12 14 15 17 18 18 24

n = 8 Media = X = 16

4,24267

126

18

16)(2416)(1416)(1216)(10

1n

)X(24)X(14)X(12)X(10S

2222

2222

Uma medida da dispersão“média” em torno da média



Comparando Desvios Padrão

Media = 15.5

S = 3,33811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Dados B

Dados A

Media = 15.5

S = 0,926

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Media = 15.5

S = 4,570

Dados C



Comparando Desvios Padrão

Desvio Padrão pequeno

Desvio Padrão grande



Resumo das Características

Quanto mais dispersos os dados, maior a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio-padrão.

Quanto mais os dados são concentrados, menor a a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio-padrão.

Se os valores são todos iguais (nenhumavariação), todas essas medidas serão zero.

Nenhuma dessas medidas pode ser nuncanegativa.



O coeficiente de variação é o desvio padrão divididopela média, multiplicado por 100.

É sempre expresso na forma percentual (%).

Mostra a variação em relação à média.

O CV pode ser usado para comparar dois ou maisconjuntos de dados que estão em unidadesdiferentes.

100%X

SCV



Ação A:

Preço médio no último ano = $50

Desvio Padrão = $5

Ação B:

Preço médio no último ano = $100

Desvio Padrão = $5

10%100%$50

$5100%

X

SCVA

5%100%$100

$5100%

X

SCVB

Ambas açõestêm o mesmodesvio padrão, mas o preçoda ação B é menosvariávelrelativamentea seu preçomédio


Localizando Outliers Extremos

Z-Score

Para calcular o Z-score de um determinado valor, subtraia a média e divida pelo desvio-padrão.

O Z-score é a distância, em desvios-padrão, queaquela observação está da média do conjunto de dados.

Um valor é considerado outlier extremo se o seu Z-score é menor que -3.0 ou maior que +3.0.

Quanto maior o valor absoluto do Z-score, maisdistante o valor está da média.



Z-Score

onde X representa o valor observado

X é a média da amostra

S é o desvio-padrão da amostra

S

XXZ



Z-Score

Suponha que a média do teste ANPAD seja

300 com desvio-padrão de 100.

Calcule o z-score para uma nota de 450.

5,1100

150

100

300450

S

XXZ

Uma pontuação de 450 está 1,5 desvios padrão acimada média e não seria considerado um outlier.


Formato da Distribuição

Descreve como os dados estão distribuídos

Medidas de Formato

Simetria ou Assimetria

Media = MedianaMedia < Mediana Mediana < Media

Assimetria à direitaAssimetria à esquerda Simétrica


Medidas numéricas descritivas

para uma população

As estatísticas descritivas apresentadas

anteriormente descrevem uma amostra, não a

população.

Medidas descritivas que descrevem a população são

denominadas parâmetros, e representadas por letras

gregas.

Os mais importantes parâmetros da população são a

média, a variância e o desvio padrão.


Média populacional

A média populacional é a soma dos valores da

população dividido pelo tamanho da população, N.

N

XXX

N

XN

N

i

i

211

μ = média populacional

N = tamanho da população


Onde:


Variância Populacional

N

XN

1i

2

i2

μ)(

σ

A variância populacional é a média dos desvios emrelação a média populacional ao quadrado.

Onde: μ = média populacional




Desvio Padrão da População

O desvio padrão da população é a medida mais

comum de variação.

Tem as mesmas unidades de medida dos dados

originais.

N

XN

1i

2

i μ)(

σ

Onde: μ = média populacional




Estatísticas Amostrais x

Parâmetros Populacionais

Medida Parâmetro

Populacional

Estatística

Amostral

Média

Variância

Desvio Padrão

X

2S

S

2


Regra Empírica

A regra empírica aproxima a variação dos dados a

uma distribuição com formato de sino.

Aproximadamente 68% dos dados, em uma distribuiçãoem forma de sino, estão contidos dentro de umadistância de ±1 desvio padrão da média aritmética, ou

1σμ

μ

68%

1σμ


The Empirical Rule

2σμ

3σμ

Aproximadamente 95% dos dados, em uma distribuiçãoem forma de sino, estão contidos dentro de uma distância de ±2 desvio padrão da média aritmética, ou

Aproximadamente 99,7% dos dados, em uma distribuiçãoem forma de sino, estão contidos dentro de uma distância de ±3 desvio padrão da média aritmética, ou

3σμ

99.7%95%

2σμ


Usando a regra empírica

Suponha que a variável notas no TOEFL tenha uma

distribuição em forma de sino com média 500 e

desvio padrão de 90. Então, :

68% de todos os scores ficaram entre 410 e 590

(500 +/- 90).

95% de todos os scores ficaram entre 320 e 680

(500 +/- 180).

99.7% de todos os scores ficaram entre 230 e 770

(500 +/- 270).


Regra de Chebyshev

Independentemente de como os dados sãodistribuídos (simétricos ou assimétricos), pelomenos (1 - 1/k2) dos valores estarão dentro de um intervalo de k desvios padrão da média (parak > 1)

Examples:

k=2 (1 - 1/22) = 75% ……..... (μ ± 2σ)

k=3 (1 - 1/32) = 89% ………. (μ ± 3σ)

entrePelo menos


Análise Exploratória de Dados

Resumo dos cinco números

Os cinco números que descrevem a dispersão

dos dados são:

Mínimo

Primeiro Quartil(Q1)

Mediana (Q2)

Terceiro Quartil (Q3)

Máximo



O Box-Plot

O Box-Plot é uma representação gráfica dos cinco

números anteriores.

25% 25% 25% 25%

Mínimo 1º. Q 3º. Q MáximoMediana



O Box-Plot

O Box e a linha central ficam centralizadas entre osextremos se os dados são distribuídos de forma simétrica em torno da mediana.

Mínimo 1º. Q 3º. Q MáximoMediana



O Box-Plot

Assimetria à direitaAssimetria à esquerda Simétrico

Q1 Q2Q3 Q1Q2Q3 Q1 Q2 Q3


Covariância da amostra

1n

)YY)(XX(

)Y,X(cov

n

1i

ii

A covariância mede a força de uma relação linear entre duas variáveis numéricas.

A covariância da amostra:

A covariância indica apenas a força daquela relação linear.

Não significa que há uma relação de causa e efeito entre as variáveis.


Covariância da amostra

Covariância entre duas variáveis aleatórias:

cov(X,Y) > 0 X e Y tendem a se mover na mesma

direção

cov(X,Y) < 0 X e Y tendem a se mover em

direções opostas

cov(X,Y) = 0 X e Y são independentes


O Coeficiente de Correlação

O coeficiente de correlação mede a força relativa de uma relação linear entre duas variáveis numéricas.

Coeficiente de correlação da amostra:

YXn

1i

2

i

n

1i

2

i

n

1i

ii

SS

)Y,X(cov

)YY()XX(

)YY)(XX(

r



Adimensional

Varia entre –1 e 1

Quanto mais perto de –1, mais forte é a relação

linear negativa

Quanto mais perto de 1, mais forte é a relação

linear positiva

Quanto mais perto de 0, mais fraca é qualquer

relação linear



Y

X

Y

X

Y

Xr = -1 r = -.6 r = 0

Y

Xr = +1

X

Y

Xr = +.3


Armadilhas em medidas

descritivas numéricas

Análise de dados é objetiva

Devem ser relatadas as medidas numéricas descritivasmais apropriadas para um determinado conjunto de dados.

A interpretação dos dados é subjetiva

A interpretação deve ser feita de maneira correta, neutrae clara.


Questões Éticas

Medidas descritivas numéricas:

Tanto resultados favoráveis como desfavoráveis devemser reportados

Os resultados devem ser apresentados de maneiracorreta, objetiva e neutra

Não deve usar uma medida resumida inapropriada com objetivo de distorcer os fatos favorecendo um ponto de vista.

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