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02(2013_2)ConceitosBásicos.docx 22/07/2015 IFBA-CEIE -ENG423 Eletrônica de Potência - Prof. Antônio Luiz Aguiar 1

Capítulo 2 Formas de ondas periódicas e distorcidas

2.1 INTRODUÇÃO

Os conversores eletrônicos de potência (CEP) operam através de chaveamentos, produzindo formas

de ondas distorcidas (i.e que não são nem senoides puras nem CC puras) tanto na entrada como na

saída. Estes tipos de ondas produzem diversos efeitos indesejáveis, como interferências

eletromagnéticas e de rádio frequência, aumento das perdas nos motores, transformadores e linhas,

etc., exigindo cuidados especiais na seleção e utilização de instrumentos de medição, e

necessitando de filtros para melhorar a qualidade de energia desejada. Por outro lado, a análise e o

projeto dos CEP devem levar em conta o fato de seus dispositivos ativos e passivos estarem

submetidos a tensões e/ou correntes distorcidas.

Neste capítulo estudaremos alguns conceitos básicos relacionados às formas de ondas periódicas

distorcidas.

2.2 FORMAS DE ONDAS PERIÓDICAS

Uma forma de onda ( )f t (função do tempo) é dita periódica de período T se seu valor em um

instante de tempo 0t for igual ao seu valor em um instante 0t nT , onde n é um inteiro:

0 0( ) ( )f t f t nT (2.1)

Período T

0t

Tempo t

( )f t

0t T

(a)

Período 2

Ângulo

( )f

0 0 2

(b)

Figura 2.1 – Forma de onda periódica.

A função apresenta uma forma de onda que se repete regularmente com um período T. O período T

define o ciclo da função.

A frequência da onda é por sua vez definida como sendo o número de ciclos por unidade de tempo

e é igual ao inverso do período

fT

1

(2.2)

A mesma função pode ser representada em termos do ângulo t , onde é a freqüência em

rad/s

2

2 fT

(2.3)


2.2.1 Parâmetros de desempenho

Uma onda (ou função) periódica não senoidal pode ser caracterizada por alguns parâmetros de

interesse, denominados parâmetros de desempenho, que são úteis para o projeto e avaliação de

desempenho dos conversores eletrônicos de potência. Alguns desses parâmetros são:

Valor máximo (ou valor de pico) F e valor mínimo F : são os valores que delimitam a faixa na

qual os valores da função se situam. Eles podem ser positivos ou negativos, obviamente com

F F . Quando são iguais em módulo, como no caso de uma onda puramente senoidal, é usual

citar apenas o valor de pico F , ou o valor pico a pico ˆ2F

Valor médio mF e valor eficaz efF , que serão definidos nas próximas seções.

Fator de forma: é a relação entre o valor eficaz e o valor médio da função periódica. É utilizado

em funções periódicas CC:

ef

fm

FFF

F (2.4)

Fator de pico ou fator de crista: é a relação entre o valor de pico da função e o seu valor eficaz.

Serve tanto para ondas CC quanto para ondas CA.

ˆ

ˆ

ef

FFF

F (2.5)

Outros parâmetros de desempenho serão definidos ao longo deste capítulo.

2.2.1-1 Valor médio

O valor médio de uma função periódica de período T, no intervalo de t1 a t1+T é definido

matematicamente como:

1

1

1Méd ( ) ( )

t T

m

t

f t F f t dtT

(2.6)

2.2.1-2 Propriedades do valor médio.

Vamos tratar de algumas propriedades decorrentes da definição do valor médio. A integral da Eq.6

corresponde à área entre a curva e o eixo dos tempos em um período completo. Assim, podemos

interpretar graficamente o valor médio através da relação:

Area total sob a curva em um período completo

períodomF (2.7)

Por exemplo, o valor médio da função periódica da Fig.2a é igual à área A1 (ou a área A3) dividida

pelo período. Por outro lado, se reescrevemos a Eq.6 como

1

1

( )

t T

m

t

F T f t dt

(2.8)


podemos observar que a área sob o valor médio em um período completo (área A2 na Fig.2a) é

igual à área total sob a função. Em consequência, as áreas A1, A2 e A3 são iguais conforme

ilustrado na Fig.2a.

Por outro lado, a Eq. 6 também pode ser reescrita na forma

0)(

1

1

Tt

t

m dtFtf (2.9)

Esta expressão indica que a área total compreendida entre a função e seu valor médio, acima do

valor médio, é igual à área total entre a função e o valor médio, abaixo do valor médio, como

mostra a Fig.2b. A área acima do valor médio é tomada como positiva e a área abaixo do valor

médio é tomada como negativa para que sua soma dê zero, conforme ditado pela Eq.916.

A ondulação ou componente CA de uma função periódica ( )f t cujo valor médio é mF é definida

por

( ) ( )CA mf t f t F (2.10)

Da Eq.10, segue-se que o valor médio do componente CA de uma onda periódica é nulo:

1

1

1Méd ( ) ( ) 0

t T

CA m

t

f t f t F dtT

(2.11)

A Fig.2c ilustra esta propriedade.

É conveniente observar que, para uma curva simétrica em relação à abscissa, como, por exemplo,

uma onda senoidal pura, o valor médio é nulo.

Segue-se também da definição do componente CA, que toda onda periódica pode ser decomposta

em um componente CA de valor médio nulo e um componente CC

( ) ( )CA mf t f t F (2.12)


0 T 2T 3T

Áreas iguais

Áreas iguais

T T T

( )f t

: Valor médiomF

1A 2A 3A

(a)

(b)

0 T 2T 3T

Áreas iguais

(c)

( )CAf t

t

t

t

: Valor médiomF

0mF

FigValMedPropGraf

Figura 2.2 – Propriedades gráficas relativas ao valor médio.

Exemplo 2.1

Mostrar que, para uma senoide pura de frequência h , com h inteiro ( 1, 2, 3,...h ), o valor

médio sobre um período 2 /T é nulo.

Seja uma senoide dada por ˆ( ) cos( )v t V h t . O seu valor médio sobre um período T

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 ˆMéd ( ) ( ) ( ) cos( )

ˆsen ( ) sen

ˆsen 2 sen

t T t T

mt t

v t V v t dt v t V h t dtT T

Vh t T h t

T

Vh t h h t

T

Como h é um inteiro, segue-se que 1 1sen 2 senh t h h t e o valor médio 0mV .


Tensão média sobre uma indutância

Um princípio básico bastante útil em Eletrônica de Potência é o seguinte:

Em regime permanente, a tensão entre os terminais de uma indutância

tem um valor médio nulo sobre um ciclo completo. (2.13)

Isto decorre da definição do valor médio da tensão sobre uma indutância em um ciclo completo:

2 /

0

( )2

Lm LV v t dt

(2.14)

Sendo ( ) ( ) /L Lv t Ldi t dt , podemos escrever 1

( ) ( )L Ldi t v t dtL

e

(2 / )

(0)

( )2 2

L

L

i

Lm L L

i

L LV di t i

(2.15)

Porém, em regime permanente, por definição, a corrente no início de um ciclo é igual à corrente no

final do ciclo. Logo, a variação da corrente em um ciclo completo é nula,

0)0(2

LLL iii

(2.16)

Consequentemente, o valor médio da tensão na indutância 0LmV em um ciclo completo.

Como exemplo, a Fig.3a mostra um circuito onde estão definidas as tensões , ,d R Lv v v cujas formas

de ondas são ilustradas na Fig.3b. A tensão na indutância é L d Rv v v , com R dv Ri . Como a

tensão média na indutância é nula, segue-se que as áreas 1A e 2A são iguais na Fig.3b.

(a)

dv Rv

Lv

1 2A A

1 2A A

T FigVeIemL

(b)

Figura 2.3 – Formas de ondas periódicas da tensão e corrente em uma indutância.

Por um raciocínio análogo (ou pela dualidade), podemos também concluir que a corrente média

CmI em um capacitor, em um ciclo completo e em regime permanente, também é nula.

2.2.1-3 Valor eficaz

Definição

Vs

D

R

Ldid

vd vR

vL


Define-se matematicamente o valor eficaz1 de uma onda periódica no intervalo [ 1 1,t t T ] como

sendo a raiz quadrada do valor médio do quadrado da função:

1

1

21( )

t T

ef

t

F f t dtT

(2.17)

efI

Mesma

potência

dissipada

Corrente de forma de

onda qualquer

Corrente eficaz:

Corrente cc que resulta

em dissipação igual

iR R

05_InterpretacaoFisicaValorEficaz.vsd

Figura 2.4 – Interpretação física do valor eficaz

Interpretação física do valor eficaz

O valor eficaz de uma corrente de forma de onda periódica distorcida qualquer, de período T, pode

ser interpretado como correspondendo ao valor de uma corrente contínua que, no final de um

intervalo de tempo igual a T, dissipa a mesma energia que a onda distorcida, sobre uma mesma

carga resistiva (Isto também equivale a dizer que ambas as correntes dissipam a mesma potência

média sobre o período T).

2 2

0 0

1 1( )

T T

CCw R I dt Ri t dtT T

donde 2

0

1( )

T

CC efI i t dt IT

( )f t

Valor

eficaz

de

2( )f t

( )f t

Valor médio de 2( )f t

ValorEficazOndaSenoidal.vsd

Figura 2.5 – Valor eficaz de uma onda senoidal e de uma senóide retificada.

Exemplo 2.2

Determinar o valor eficaz de uma onda senoidal pura.

Seja uma onda senoidal pura descrita por ˆ( ) sen( )f t F t . De acordo com a Eq.17, o seu valor

eficaz é dado por

1 O valor eficaz também é conhecido como valor RMS (do inglês Root Mean Square ) que é um mnemônico para raiz

quadrada do valor médio da função elevado ao quadrado).


1 1

1 1

1 1

2 22 2

ˆ1 1ˆ ˆ( sen( )) ( sen( ))2 2

t T

eft

FF F t dt F t d t

T

(2.18)

onde usamos a relação 1

1

22[sen( )]efF t d t

. Portanto, o valor eficaz de uma onda

senoidal pura é igual ao seu valor de pico dividido por 2 .

Na Fig.5 são mostrados, além da senoide, os termos correspondentes à senoide ao quadrado, ao

valor médio da senoide ao quadrado e finalmente à raiz do valor médio da senoide ao quadrado,

sendo este último o próprio valor eficaz. Observamos que, sendo dependente do quadrado na

função, o valor eficaz é indiferente ao sinal da função. Assim, por exemplo, uma onda senoidal

totalmente retificada tem o mesmo valor eficaz que a onda senoidal original, como indicado na

Fig.5.

1 21

2ef efI I

Valor

eficaz para

a ½ onda

Valor eficaz

para a onda

completa 2efI

(a) (b)

22 ( )i t 22Méd ( )i t

21Méd ( )i t

21( )i t

2 ( )i t

1( )i t

FigValorEfSenoideRetif

Figura 2.6. – Valor eficaz de ondas senoidais: (a) onda completa e (b) meia onda ou onda retificada, representadas em um período..

Exemplo 2.3

Determinar o valor eficaz de uma meia senoide em relação ao da senoide completa.

Solução

É comum os mais desavisados responderem ½ à esta questão. Entretanto esta resposta, geralmente

guiada pelo senso comum, está incorreta. O valor eficaz de uma onda senoidal retificada em meia

onda ( 1( )i t na Fig.6b) não é a metade do valor eficaz da onda senoidal completa (ou retificada de

onda completa), ( 2 ( )i t na Fig.6a). É o valor da integral de { 1( )i t }2 no intervalo [0-T] que é a metade

do valor da integral de { 2 ( )i t }2 no mesmo intervalo, conforme ilustrado na Fig.6. Portanto,

1 1

1 1

2 22 21 21 2

1 1 1 1( ) ( )

2 2

t T t T

ef ef

t t

I i t dt i t dt IT T

donde 1 2

1

2ef efI I

Assim, vemos que o valor eficaz de uma meia onda senoidal é 1/ 2 do valor eficaz da senoide

completa.

Algumas propriedades do valor eficaz

Para ampliar os conceitos sobre o valor eficaz de ondas distorcidas, vamos considerar uma corrente

periódica formada por dois componentes tais que

1 2( ) ( ) ( )i t i t i t (2.19)


De acordo com a definição matemática do valor eficaz, Eq. 17, podemos escrever

1

1

22 2 21 2 1 2

1( ) 2Méd ( ) ( )

t T

ef ef eftI i t dt I I i t i t

T

(2.20)

onde 1

11 2 1 2

1Méd ( ) ( ) ( ) ( )

t T

ti t i t i t i t dt

T

. Esta é uma expressão geral para o valor eficaz da

onda periódica em função dos seus dois componentes. Em particular, se 1 2Méd ( ) ( ) 0i t i t ,

2 2 2 2 21 2 1 2ouef ef ef ef ef efI I I I I I (2.21)

Propriedade 1 - O valor eficaz de uma corrente com forma de onda periódica qualquer é dado por

2 2 2 2 2ouef CC CA ef CC CAI I I I I I (2.22)

onde CCI é o valor do componente CC e CAI é o valor do componente CA (ondulação da

corrente). Neste caso, isto se dá porque sendo a corrente dada por ( ) ( )cc CAi t I i t , o valor médio

do produto dos dois componentes Méd ( ) Méd ( ) 0cc CA cc CAI i t I i t , uma vez que o valor

médio do componente CA de uma onda periódica é nulo (Eq. 11).

Propriedade 2 – O valor eficaz da soma de duas ondas periódicas descontínuas 1 2( ) ( ) ( )i t i t i t ,

de período T , cujos intervalos de descontinuidade 1T e 2T (onde o componente se anula) são

complementares (i.e a soma dos intervalos de descontinuidade dos componentes dá o período da

onda resultante, 1 2 T T T ), Fig.7, é dado por

2 2 2 2 21 2 1 2ouef ef ef ef ef efI I I I I I (2.23)

onde 1 2,ef efI I são os valores eficazes dos componentes. Neste caso, claramente isto vem do fato

de que 1 2( ) ( ) 0i t i t produz 1 2Méd ( ) ( ) 0i t i t .

1( )i t

2 ( )i t

1 2( ) ( ) ( )i t i t i t

1T

2T

1 2Período T T T

FigDuasOndasDescComplem

Figura 2.7 – Onda periódica formada por dois componentes com intervalos de descontinuidade complementares.

Propriedade 3 – O valor eficaz de uma onda periódica constituída por duas ondas senoidais de

frequências múltiplas inteiras de uma mesma frequência é dado por


a) Zero, se as ondas são de frequências diferentes.

b) Se as ondas tiverem a mesma frequência, o valor eficaz da sua soma será

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cos( ) ou 2 cos( )ef efI I I I I I I I I I (2.24)

Para demonstrar esta propriedade, consideremos duas ondas dadas por 1 1 1ˆ( ) cos( )i t I n t e

2 2 1ˆ( ) cos( )i t I n t , onde os n’s são números inteiros. Fazendo uso da identidade

cos cos 1/ 2 cos( ) cos( )A B A B A B , podemos escrever para o produto das correntes

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) cos ( ) cos ( )i t i t I I n n t n n t

onde 1 1ˆ / 2I I e 2 2

ˆ / 2I I são os valores eficazes dos componentes senoidais. Vemos da

expressão acima, que se 1 2n n , o valor médio do produto será nulo. Por outro lado, se 1 2n n , o

valor médio do produto será 1 2 1 2cos( )I I , daí a Eq.24. O resultado da Eq. 24 é compatível

com a soma fasorial 1 2 I I I das correntes senoidais de mesma frequência.

Propriedade 4 – Uma onda periódica ( )i t descontínua de período T com um intervalo de

continuidade onT dentro de um período, e cujo valor eficaz relativo ao intervalo de continuidade é

'I , Fig.8, tem o valor eficaz dado por

'onef

TI I

T

(2.25)

Esta propriedade pode ser demonstrada, considerando a Fig.8, como segue

2 2

0 0

1 1( ) ( ) '

onTTon on

efon

T TI i t dt i t dt I

T T T T

Valor eficaz 'I

onT

T

Valor eficaz

'onef

TI I

T

( )i t

(Período )onT

FigValEfOndDesc

Figura 2.8 – Valor eficaz de uma onda periódica com descontinuidade.

Exemplo 2.4

Medições de uma mesma corrente distorcida periódica através de um programa de simulação,

utilizando um amperímetro CC e um amperímetro CA, fornecem os seguintes valores: 5ACCI e

1ACAI , respectivamente. Sabendo que o amperímetro CC indica o valor médio da corrente e o

amperímetro CA indica o valor eficaz do componente CA da corrente, determinar o valor eficaz total

da corrente.

Solução


De acordo com a Propriedade 1, Eq.22, 2 2 2 25 1 5,1Aef CC CAI I I

I

DT

T

t

2

I

2

I

DT

T

t

(a) (b)

DT

( / 2)I I I

I I

T

ˆ ( / 2)I I I

t

(c)

3i1i 2i

FigExempValEf

Figura 2.9 – Formas de ondas para o cálculo de valores eficazes.

Exemplo 2.5

Determinar os valores eficazes das formas de ondas da Fig.9: a) através da definição matemática

(Eq.17); b) das propriedades do valor eficaz.

Solução

a) Da Eq.17, o valor eficaz da corrente 1i é

2 21 1

0 0

1 1( )

T DT

efI i t dt I dt D IT T

(2.26)

Para a corrente 2i , temos, no intervalo [0,DT]: 2 ( )2

I Ii t t

DT

. Para o valor eficaz da corrente 2i

temos, de acordo com a Eq.17:

2

222 2

0 0

2 23 2 2 2 2 2 2

1 1( )

2

1

3 2 2 3 2 4 120

T DT

efI I

I i t dt t dtT T DT

DTI t I t I I I I I

t D DT DT DT

,

donde

212

efD

I I (2.27)

Para a corrente 3i , que no intervalo [0,DT] é dada por 3( )2

I Ii t t I

DT

,

2

223 3

0 0

2 23 2 2 2 2 22 2

1 1( )

2

12

3 2 2 2 3 2 3 120

T DT

efI I

I i t dt t I dtT T DT

DTI t I I t I I I I I

I I t I D D IT DT DT

22

312

efI

I D I

(2.28)


b) No intervalo DT , o valor eficaz da corrente 1i é 1'I I . Da propriedade 4,

1 1'on

efT DT

I I I D IT T

que é o mesmo resultado encontrado no item anterior (Eq.26).

O valor eficaz da corrente 2i no intervalo [0,DT] pode ser encontrado fazendo a integração

conforme a definição matemática, ou utilizando o resultado da Eq. 27 com 1D . O resultado é

21

'12

I I e, usando a propriedade 4, obtemos 2 2'12

efD

I DI I

que é o mesmo resultado da Eq.27.

Para a corrente 3i , observamos primeiro que 3 1 2i i i . Como o valor médio de 2i no intervalo

DT é nulo, podemos aplicar a propriedade 1 para a determinação do valor eficaz de 3i neste

intervalo, com 1' 'CCI I I e 21

' '12

CAI I I , encontrando

22 2

23' ' '

12CC CA

II I I I

. Em seguida, aplicamos a propriedade 4, que

resulta em

22

3 3'12

efI

I D I D I

que é igual ao resultado da Eq.28.

Este exemplo mostra que a aplicação das propriedades pode resultar em considerável economia

de tempo de cálculo. As propriedades do valor eficaz e os resultados deste Exemplo serão úteis

quando do estudo dos conversores CC/CC onde formas de ondas similares ou que podem ser

associadas às da Fig. 9 serão encontradas.

2.3 POTÊNCIA E ENERGIA

Receptor ou

carga( )v t

( )i t

( )p t

( )w t

(a)

Gerador ou

fonte( )v t

( )i t

( )p t

( )w t

(b)

Gerador ou

fonte( )v t

( )i t

( )p t

( )w t

(c)

Receptor ou

carga( )v t

( )p t

( )w t

( )i t

FigConvPot

Figura 2.10 – Dipolos e convenções de potência. (a) Convenção carga ou receptor (ou motor). (b) Convenção fonte

ou fornecedor (ou gerador). (c) Conjunto gerador/receptor.

A potência instantânea ( )p t absorvida ou fornecida por um dipolo elétrico, em um dado instante de

tempo, é dada pelo produto da tensão e corrente instantâneas naquele dado instante.

( ) ( ) ( )p t v t i t (2.29)

O sinal de ( )p t dependerá da convenção adotada para as polaridades de corrente e potência:

a) Na convenção carga ou receptor ou motor, as polaridades da tensão e a da corrente são

como indicado na Fig.10a, e a potência absorvida pela carga é considerada positiva. Nesse

caso, uma potência ( )p t negativa em um dado instante indica que a carga está fornecendo

potência de volta à fonte naquele instante.


b) Na convenção fonte ou fornecedor ou gerador, o sentido da corrente é invertido em relação

ao da corrente na convenção carga, Fig.10b. Isto significa que a potência ( )p t será positiva

quando a fonte estiver fornecendo potência e negativa quando a fonte estiver absorvendo

potência.

A escolha da convenção é arbitrária e é mais uma questão de conveniência. A Fig.10c mostra as

polaridades para as grandezas positivas no caso de um conjunto gerador/receptor, onde as duas

convenções estão combinadas. Um valor positivo de ( )p t indica que a fonte está fornecendo

potência e a carga está absorvendo potência, sendo o fluxo de potência no sentido da fonte para a

carga. Já um valor negativo de ( )p t indica que a carga é quem está fornecendo potência e a fonte é

quem está absorvendo potência, sendo o fluxo de potência da carga para a fonte, nesse caso. Para o

restante deste texto, vamos considerar em geral as convenções gerador/receptor conforme a

Fig.10c, a menos que seja explicitado de outra forma localmente.

A potência instantânea é igual à taxa de variação da energia em relação ao tempo:

( ) ( )

( ) ( ) ( )dw t dq dw t

p t v t i tdq dt dt

(2.30)

Logo, a energia incremental ( )dw t que a fonte fornece (ou que a carga absorve) no instante de

tempo t, durante um intervalo incremental de tempo dt, é

( ) ( )dw t p t dt (2.31)

e a energia total absorvida pela carga em um intervalo de tempo 1 2[ , ]t t é

2

1

( ) ( )

t

t

w t p t dt (2.32)

Esta variação de energia segue a mesma convenção da potência, conforme mostrado na Fig.10.

A potência média fornecida à carga durante o intervalo de tempo 1 2[ , ]t t é

2

1

2 1

( )

( )

t

tm

p t dt

w tP

t t T

(2.33)

onde 2 1T t t .

2.3.1 Potência para ondas CC puras

Receptor ou

cargadV

dI

dP

( )w t

(a)

( )p t

dP

t

(b)

( )w t

t

(c)

dP t


FigPotOndCC

Figura 2.11 – Potência e energia em CC. (a) Dipolo e variáveis CC. (b) Potência instantânea. (c) Energia.

Consideremos um dipolo CC com tensão e corrente constantes em seus terminais, i.e ( ) dv t V e

( ) di t I , Fig.11a. A potência instantânea de entrada do dipolo é

( ) d d dp t V I P (2.34)

que é constante, i.e perfeitamente CC, sem ondulações, Fig.11b.

A variação instantânea de energia de entrada do dipolo, de acordo com a Eq.32 é, com 1 0t

( ) dw t P t (2.35)

e constatamos que a energia absorvida pela carga cresce linearmente com o tempo, Fig.11c.

2.3.2 Potência para ondas senoidais puras

Consideremos o dipolo elétrico da Fig.12a, com formas de ondas da tensão e da corrente de entrada

puramente senoidais, como as da Fig.12b, dadas por

j

j

ˆ( ) cos ( ) Re 2

ˆ( ) cos ( ) Re 2

tV

tI

v t V t e

i t I t e

V

I (2.36)

onde ˆ / 2V V V e ˆ / 2I I são os valores eficazes da tensão e da corrente, respectivamente, e j VVe

V e j IIe

I são os respectivos fasores eficazes, representados no plano complexo na

Fig.12c.

( )v t

( )i t

( )p t

( )w t

(a) (b)

I

V

IV

Re

Im

(c)

( )i t

( )v t

V

V

I

I

t

FigDipoloVeI_Sen

Figura 2.12 – Tensão e corrente senoidais. (a) Dipolo, (b) Formas de ondas senoidais

Fazendo uso da relação *Re / 2 X X X , onde *X é o complexo conjugado de X , podemos

reescrever a tensão e a corrente instantâneas:


j * -j

j * -j

( ) 2 / 2

( ) 2 / 2

t t

t t

v t e e

i t e e

V V

I I (2.37)

A potência instantânea ( )p t absorvida pelo dipolo pode ser expressa por:

* j2

( )

( ) ( ) ( ) Re

cos( ) cos(2 )

m CA

t

V I V I

P p t

p t v t i t e

V I V I t

V I V I

(2.38)

Observamos que, no caso de ondas senoidais puras, a potência instantânea não é constante, como

no caso de ondas CC puras, e sim variável no tempo, sendo composta por dois termos

a) Um componente constante mP ,

cos( ) cosm V IP V I V I (2.39)

onde V I é o ângulo de defasagem entre V e I , Fig.12c, (medido como positivo no sentido

de I para V . Segue-se que mP é exatamente o valor médio da potência instantânea ( )p t :

1

1

1Méd ( ) ( )

t T

m

t

p t p t dt PT

(2.40)

uma vez que o valor médio do termo alternado é nulo. A potência média mP é o componente que

efetivamente contribui para uma absorção de energia pela carga. Ele é o responsável pelo fluxo útil

(líquido) ou efetivo de energia entre a fonte e a carga, e por isso é também designado por potência

útil, potência efetiva ou ainda potência ativa.

b) O segundo componente de ( )p t é o termo

( ) cos(2 )CA V Ip t S t (2.41)

designado potência instantânea intrínseca. O termo ( )CAp t tem uma frequência que é o dobro da

frequência da rede, e uma amplitude igual a S V I . Este termo não contribui para a potência útil

porque seu valor médio em um semiciclo é nulo.

É comum que a tensão seja tomada como referência para os fasores. Assim, com 0V e I ,

a equação da potência instantânea fica sendo

( ) cos cos(2 )p t V I S t (2.42)

Para uma corrente atrasada em relação à tensão, cf a Fig.13a, a forma de onda de ( )p t é como a

mostrada na Fig.13b. Observamos que a potência instantânea ( )p t oscila entre um valor mínimo

0mP P S e um valor máximo ˆ 0mP P S , adotando valores negativos durante uma parte

do semiperiodo. Durante este intervalo, a energia é devolvida da carga para a fonte. Durante o resto

do semiperíodo, a energia flui da fonte para a carga. O valor médio da potência mP corresponde à


área total sob a curva ( )p t em um semiciclo, que é a soma algébrica das duas áreas hachuriadas na

figura E E , dividida pelo semiciclo (T/2).

A energia que flui para a carga, de um instante 0t até um dado instante t, é dada por

0

( ) ( ) sen(2 ) sen2

t

mS

w t p t dt P t t

(2.43)

A energia total na carga em um dado instante t é ( ) ( ) (0)w t w t w onde (0)w é a energia

armazenada no sistema em 0t , que depende da configuração e dos elementos L e C da carga. A

Fig.13b ilustra a forma de onda da potência instantânea e a evolução no tempo da energia cedida à

carga a partir de 0t . Vemos que a energia ( )w t cresce com o tempo oscilando em torno do valor

mP t que é a energia fornecida pela potência efetiva. A energia total fornecida à carga após N

semiciclos completos pode ser calculada por

/ 2N mW P N T (2.44)

Depois de escoado um intervalo de tempo suficientemente longo para que o termo oscilante seja

desprezível em relação ao termo que cresce linearmente, a energia fornecida à carga, após um

intervalo de tempo T , é simplesmente

N mW P T (2.45)

I

V

I Re

( )p t

Energia fornecida à carga

Energia devolvida à

rede

S V I

cosmP V I

mPPotência média

I

( )v t

( )i tS V I

t

(a)

( )w tmP t

(b) (c)

sen(2 ) sen2

St

E

E

FigPotInstRegSenoid

Figura 2.13 – Potência instantânea em regime senoidal.

2.3.2-1 Potência aparente, potência reativa e fator de potência

Para o dipolo da Fig.12a, vamos considerar a potência aparente complexa2 definida por

* jP Q S VI (2.46)

2 Note que a potência complexa não é um fasor, pois não representa uma grandeza senoidal, e o diagrama de potência

também não é um diagrama fasorial.


A potência aparente | |S S é definida pelo produto da tensão eficaz V pela corrente eficaz I:

S V I (2.47)

e é dada em volt-ampères (VA), ou seus múltiplos (kVA, MVA). O componente da potência

aparente

ReP S é denominado potência ativa e é o mesmo termo mP P considerado

anteriormente. O componente Im{ }Q S é denominado potência reativa, que é dada em VAR ou

seus múltiplos (kVAR, MVAR). Valem as relações seguintes:

Re cos , Im senP V I Q V I S S (2.48)

2 2

cos jsen ,

, tan /

S

S P Q Q P

S (2.49)

Por outro lado, se resolvermos a corrente I em dois componentes a r I I I , sendo

cosa aI I I denominado componente ativo da corrente e j j senr rI I I denominado

componente reativo da corrente, teremos

j j

e

a r

r r

VI VI P Q

P V I Q V I

S (2.50)

Estas expressões podem ser representadas através do chamado diagrama ou triângulo de potência

ilustrado na Fig.14. Observamos que a potência reativa para uma carga indutiva é positiva 0LQ

e, para uma carga capacitiva a potência reativa é negativa 0CQ , segundo as convenções

adotadas.

Os componentes ativo ( )ai t e reativo ( )ri t instantâneos da corrente podem ser escritos como segue

j j

j j

( ) Re 2 Re 2 cos 2 cos cos

( ) Re 2 Re 2 ( j sen ) 2 sen sen

t ta a

t tr r

i t e I e I t

i t e I e I t

I

I

(2.51)

Com ( ) 2 cosv t V t e ( ) ( ) ( )a ri t i t i t , e fazendo uso das identidades 2cos (1 cos2 ) / 2A A

e 2sen 2sen cosA A A , a expressão alternativa da potência instantânea é

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) cos (2cos 2 ) sen sen

cos (1 cos 2 ) sen sen 2

cos 2 sen 2

a r

a r

p t p t

p t v t i t i t VI t VI t

VI t VI t

P P t Q t

(2.52)

onde ( ) ( ) ( ) cos2a ap t v t i t P P t é a potência ativa instantânea e ( ) ( ) ( ) sen 2r rp t v t i t Q t

é a potência reativa instantânea. Observamos que nenhum dos dois componentes é constante, e que

apenas o componente da potência ativa instantânea contribui para a potência efetiva, com o

componente da potência reativa apenas oscilando pra lá e prá cá entre a fonte e a carga, com valor

médio nulo em um semiciclo.


I

V

I Re

(a)

Im

aI

rLI

Re

(b)

Im

j LQ

P

S

Indutivo

I

V

IRe

(c)

Im

aI

rCI

Re

(d)

Im

Capacitivo

j CQ

P

S

Re

(e)

Im

P

S

FigDiagPot

Figura 2.14 – Diagrama ou triângulo de potência.

Fator de potência

O fator de potência de um sistema é definido como a razão entre a potência ativa (efetiva) e a

potência aparente absorvidas ou fornecidas pelo sistema.

Potência ativa

Potência aparente

Pfp

S (2.53)

No caso de um dipolo com ondas puramente senoidais,

cos

cosP VI

fpS VI

(2.54)

Para um sistema trifásico equilibrado, com fnV sendo a tensão eficaz fase-neutro, e I a corrente

eficaz de linha, o fator de potência é

3 cos

cos3

fn

fn

V IPfp

S V I

(2.55)

Convém observar que o fator de potência é igual a cos apenas no caso de ondas puramente

senoidais. No caso de ondas distorcidas, cosfp , como veremos mais adiante.

2.4 DECOMPOSIÇÃO HARMÔNICA

Um dos métodos mais utilizados na análise de circuitos com ondas periódicas distorcidas é a

Análise de Fourier que consiste em decompor uma onda periódica distorcida em uma série infinita


de termos do tipo senoidal, donde provém a denominação decomposição harmônica. Em linhas

gerais, uma função periódica f(t) 3

de forma de onda distorcida, de período T e frequência angular

1 12 2 /f T , pode ser representada por um somatório infinito de componentes do tipo

senoidal (denominados harmônicos), cujas frequências 1hf h f são múltiplos inteiros

(h = 1, 2, 3, etc.) da frequência 1f de ( )f t , denominada frequência fundamental4. Este somatório

de senoides é expresso matematicamente através da série de Fourier

0 1 1

1 2

( ) cos1 sen1 ... cos ...

sen sen 2 ... sen ...

h

h

f t a a t b t a h t

b t b t b h t

(2.56)

onde a0 é o valor médio (ou componente CC) sobre um ciclo da onda, h = 1 corresponde ao termo

fundamental e h > 1 corresponde aos harmônicos. Alternativamente, podemos expressar a série de

outra forma, em termos do termo CC, do componente fundamental e dos harmônicos:

0 1 12termo fundamental

CC harmônicos

( ) cos1 sen1 cos senh hh

f t a a t b t a h t b h t

(2.57)

ou, ainda, em termos de um componente CC e um componente CA:

01componente

CC componente CA

( ) cos senh hh

f t a a h t b h t

(2.58)

Estas são representações em série de Fourier em formas trigonométricas.

A série de Fourier pode também ser representada na forma amplitude-fase, ou ainda, fazendo uso

da indentidade de Euler j cos jsene , na forma exponencial ou complexa. A primeira opção

de apresentação da série nestas formas é com o termo CC e um termo CA correspondente à soma

do fundamental mais os harmônicos:

j0 0

1 1

( ) (cos ) Re th h h

h h

f t a C h t a e

C (2.59)

onde, j h

h hC e

C , com 2 2h h hC a b e tan ( / )h h hb a . A segunda opção de apresentação

da série na forma amplitude-fase e na forma exponencial complexa é o termo CC mais o

fundamental mais os harmônicos, como segue

3 A função f(t) pode também ser expressa alternativamente como ( )f , i.e, em termos do ângulo t .

4 Estritamente falando, a forma de onda deve atender algumas condições específicas denominadas condições de

Dirichlet condições estas que são geralmente satisfeitas pelas funções encontradas na natureza. Convém também

ressaltar que, enquanto uma função verdadeiramente periódica ( )f t existe de a t t e repete a si mesmo por

uma quantidade infinita de vezes, as funções físicas tem duração de vida finita e, portanto, são apenas “quase

periódicas”. A verdadeira função periódica é apenas um modelo matemático da função física quase periódica. Outros

métodos, como a transformada de Fourier, etc, são mais adequados para a análise de sinais não periódicos.


0 1 12Fundamental

Harmônicos

j j0 1

2

( ) cos( ) (cos )

Re Re

h hhCC

t h th

h

f t a C t C h t

a e e

C C

(2.60)

2.4.1 Determinação dos coeficientes da Série de Fourier

Os coeficientes a0 , ah e bh são determinados através das relações seguintes:

(2.61)

(2.62)

(2.63)

Os coeficientes hC ou ( ,h hC ) podem ser determinados por

1

2j -j -j

0 0

2 1( ) ( )

cos + jC sen

h

Th t h

h h

h h h h

C e f t e dt f e dT

C

C (2.64)

2.4.2 Valores eficazes para ondas periódicas distorcidas

Tomemos como exemplo uma corrente que seja uma função periódica distorcida representada pela

sua série de Fourier

1

ˆ( ) cos( )cc h hh

i t I I h t

(2.65)

O valor eficaz total I5desta corrente

5 Relembrando a interpretação física do valor eficaz de uma corrente que o faz corresponder a uma corrente CC, a

representação do valor eficaz por uma letra maiúscula, apenas, deixando de lado o subscrito ef , é justificada.

1 1

1 1

2

0 01 1

( ) ou ( )2

t T

t

a f t d t a f dT

1 1

1 1

22 1

( )cos ou ( )cos

t T

h h

t

a f t h t d t a f h dT

1 1

1 1

22 1

( )sen ou ( )sen

t T

h h

t

b f t h t d t b f h dT


1 1

1 1

1

1

2

22

1

22

2

1 1

2

1

0

1 1 ˆ( ) cos( )

1 ˆ ˆ2 cos( ) cos( )

ˆ2 Méd cos( )

Méd

t T t T

CC h ht th

t T

CC CC h h h hth h

CC CC h hh

I i t dt I I h t dtT T

I I I h t I h t dtT

I I I h t

2 2 2 21 2 3

1

1, 1

...

ˆ ˆcos( ) cos( )

hh

j j k kj k

I I I I

I j t I k t

(2.66)

No 3° termo do lado direito desta equação, o valor médio do produto de duas senoides com

frequências diferentes e múltiplas de 1 1/f T é nulo, e o valor médio do produto de duas senoides

de mesma frequência amplitude e frequência é igual a 2hI , sendo hI o valor eficaz dessa senoide,

conforme discutido na Seção 2.3.1-3 Algumas Propriedades do Valor Eficaz. Assim, restarão

apenas os componentes de mesma frequência elevados ao quadrado na expressão de I , o valor

eficaz total da corrente ( )i t

.

2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1

2

...CC CC hh

I I I I I I I I

(2.67)

2 2 2 2 2 2 21 2 3 1

2

...cc cc hh

I I I I I I I I

(2.68)

Esta expressão nos diz que o valor eficaz total da corrente é igual à raiz quadrada da soma dos

valores eficazes dos componentes da série elevados ao quadrado.

Às vezes é mais conveniente escrever a corrente eficaz na forma

2 2CC CAI I I

(2.69)

onde 2 21

2CA h

h

I I I

é o valor eficaz de todos os componentes alternados da corrente,

incluindo o fundamental. Se a corrente não tiver o componente CC (valor médio), então o valor

eficaz é igual ao valor eficaz do componente CA, dado por

2 21

2

, se 0CA h CCh

I I I I I

(2.70)


2.4.3 Distorção harmônica

O conceito de distorção harmônica é utilizado em relação a ondas alternadas (CA com valor médio

nulo) e busca indicar o quanto uma onda CA distorcida se afasta de uma senoide pura. Vamos

desenvolver esse conceito de distorção harmônica em relação a uma corrente CA distorcida, sendo

que o mesmo procedimento e resultados podem ser aplicados, de forma análoga, em relação a uma

tensão CA distorcida. A corrente de distorção instantânea é definida como a diferença entre a

corrente real na rede e o fundamental da corrente:

1( ) ( ) ( )disi t i t i t (2.71)

A Fig.15 ilustra as formas de ondas de uma corrente CA distorcida si , do seu componente

fundamental 1i e da corrente de distorção instantânea 1dis s si i i . (É conveniente observar que, no

caso mais geral de uma onda alternada periódica que possua um componente CC, o valor deste

componente, pela definição da corrente de distorção, estará embutido no valor eficaz computado da

corrente total e, portanto, entrará no computo do valor eficaz da corrente de distorção)

1i

si

disi

FigDisHarmCorr

Figura 2.15 – Distorção harmônica da corrente (Carga L pura).

O valor eficaz da corrente de distorção é, de acordo com a definição de valor eficaz,

2 2

0

1( )

2dis disI i t d t

(2.72)

2 2 21disI I I (2.73)

A distorção harmônica é quantificada pela distorção harmônica total, cuja sigla em inglês, THD

“ Total Harmonic Distortion” é amplamente utilizada, cuja definição é:

A ITHD é a razão entre o valor eficaz da corrente de distorção e o valor eficaz do

fundamental da corrente:

2 22 2

0 1

1 1 1

1( )

2dis

disI

i t d tI II

THDI I I

(2.74)

onde I é o valor eficaz total da corrente. Evidentemente, também podemos calcular a THD através

desta equação utilizando os valores de pico do fundamental 1I e dos harmônicos ˆhI ao invés de

utilizar os valores eficazes. Programas de simulação como o Multisim, PSpice, etc., apresentam os


resultados da análise de Fourier em termos dos valores de pico do fundamental e harmônicos,

porém a THD é sempre calculada em relação ao fundamental, de acordo com a Eq.74.

Da Eq.74, a corrente eficaz pode ser expressa em termos do ITHD e do valor eficaz do fundamental

211 (THD )II I (2.75)

A THDpode ser determinada, de forma aproximada, usando-se um número limitado de harmônicos

(até o Nh-ésimo), cujo valor eficaz 2 2 2 2 2

1 2 3 ,e NhI I I I I através da relação:

22

2

1 1

THD

Nh

he h

I

II

I I

(2.76)

Para uma tensão, teremos

Distorção harmônica: 2

2dis h

h

V V

Distorção harmônica total percentual:

22 21

1 1 12

% 100 100 100dis hV

h

V VV VTHD

V V V

2.4.4 Solução de redes lineares pelo método da decomposição harmônica

A resposta em regime permanente de uma rede linear a uma excitação periódica distorcida pode ser

obtida através do método da decomposição harmônica e da aplicação do princípio da superposição.

Suponhamos uma rede linear, representada por um dipolo com sua impedância operacional (p)Z

equivalente6

, alimentada por uma fonte de tensão periódica distorcida cuja função ( )v t é

conhecida, Fig.16a. Deseja-se determinar a resposta da corrente ( )i t em regime permanente. A

tensão é representada pela série truncada em um dado valor máximo maxh H , Fig.16b.

1j1

1 1

( ) 2 cos( ) 2H H

h tCC h Vh CC h

h h

v t V V h t V e

V (2.77)

6 A impedância operacional equivalente (p)Z

de um sistema é determinada substituindo-se, nas equações diferenciais

ou no modelo de circuito instantâneo do sistema, os operadores derivada ( ) /d dt d( )/dt e integral ( )dt por p e 1/ p ,

respectivamente, e usando-se as leis de circuito tradicionais para a obtenção da impedância equivalente.


( )v t

( )i t

Dipolo

linear

(p)Z

( )ev t

( )i t

Dipolo

linear

(p)Z

ccV

1 1 1ˆ cos( )VV t

2 1 2ˆ cos(2 )VV t

1ˆ cos( )H VHV H t

(a) (b)

CCV

CCI

Dipolo

linear

(0)Z

(c)

hV

hI

Dipolo

linear

( j )Z h

(d)

FigRespRedeEscDist

Figura 2.16 – Resposta de uma rede linear a uma excitação em tensão periódica distorcida.

Uma sequência de passos para a determinação da corrente é a seguinte:

1) Inicialmente, determinamos os coeficientes da série, sendo que para os termos CA, os

coeficientes serão iguais a 2 hV , onde hV são os fasores eficazes correspondentes:

h VhV V ou VhjhV e

V (2.78)

2) Em seguida, obtemos a resposta da corrente para cada componente da tensão ( )v t :

Para o componente CC, Fig.16c:

(0)

CCCC

VI

Z (2.79)

Para os componentes CA, usando o método dos fasores, Fig.16d:

( )

Ihjhh h Ih hI I e

j

V

IZ

(2.80)

3) A partir dos fasores das correntes, obtemos a resposta no tempo para cada componente CA

da corrente, individualmente,

1( ) 2 cos( )h h Ihi t I h t (2.81)

4) Finalmente, somamos os termos para obter a estimativa da corrente total ( )ei t


11

ˆ( ) cos( )N

e CC h Ihh

i t I I h t

(2.82)

Devemos observar que, para efetuar cálculos, só podemos tomar um número finito de termos, e a

série de ( )v t tem que ser truncada no H-ésimo harmônico. Portanto, a tensão estimada ( )ev t é uma

estimativa ou aproximação de ( )v t , que é tanto mais exata quanto maior for H, i.e o máximo

harmônico considerado. Há também, evidentemente, um erro entre a corrente estimada ( )ei t e a

corrente ( )i t (que é a resposta exata à excitação ( )v t ), que também pode ser feito tão pequeno

quanto se queira escolhendo H suficientemente grande. Um número de harmônicos relativamente

elevado pode ser necessário para uma reprodução mais exata dos valores instantâneos da tensão,

principalmente se a forma de onda contiver descontinuidades. Porém, no caso da corrente, e em

particular para circuitos do tipo indutivo, a amplitude dos componentes harmônicos da corrente cai

com h mais rapidamente do que a amplitude dos componentes da tensão, devido à filtragem

realizado pelos elementos indutivos. Assim, para o cálculo de valores eficazes ou de parâmetros de

desempenho da corrente, ou quando não for necessária uma reprodução com boa exatidão dos

valores instantâneos, um número relativamente pequeno de harmônicos da corrente pode ser o

suficiente.

A abordagem delineada acima, com o princípio da superposição, sugere que a potência fornecida ao

dipolo linear possa ser calculada através da soma das potências individuais referentes a cada

componente. Isto se mostrará verdadeiro na próxima seção.

2.5 POTÊNCIA PARA ONDAS PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS

Consideremos novamente as convenções da Fig.10c, com tensão e corrente com formas de ondas

periódicas porém, agora, distorcidas. As formas de ondas da tensão e da corrente podem ser

decompostas em suas respectivas séries de harmônicos.

1 1 1 2 1 2ˆ ˆ( ) cos( ) cos(2 ) ...CC V Vv t V V t V t (2.83)

1 1 1 2 1 2ˆ ˆ( ) cos( ) cos(2 ) ...CC I Ii t I I t I t

(2.84)

A potência instantânea ( ) ( ) ( )p t v t i t será dada por:

produtos produtos

( ) . .

de mesma frequencia de frequências diferentes

CC CCp t V I v i v i

(2 .85)

Esta expressão indica que, para a potência instantânea total, todos os componentes instantâneos da

tensão interagem com todos os componentes instantâneos da corrente.

A potência útil mP fornecida pela fonte ou absorvida pela carga é o valor médio de p(t) em um

período

1

1

1( )

t T

m tP p t dt

T

(2 .86)


Como visto na Seção 2.3.1-3 Algumas Propriedades do Valor Eficaz, os termos resultantes dos

produtos v i de componentes de tensão e de corrente com frequências diferentes tem um valor

médio nulo, e os termos produtos v.i de mesma frequência tem um valor médio igual a :

1 ˆ ˆ cos cos2

h h h h h hV I V I (2.87)

onde ,h hV I são os valores eficazes dos componentes do h-ésimo harmônico da tensão e da

corrente, respectivamente, e h Vh Ih é o ângulo de defasagem entre os componentes da

tensão e da corrente para o h-ésimo harmônico. Dessa forma, a potência útil Pm fica sendo :

1 1 1 2 2 2

fundamental harmônicosCC

cos cos . ...m CC CCP V I V I V I (2 .88)

Para produzir potência útil, o componente CC da tensão só interage com o componente CC da

corrente, o primeiro harmônico da tensão só interage com o primeiro harmônico da corrente, e

assim por diante.

Resumindo,

só contribuem para a potência útil os termos de mesma frequência.

Despontam daí dois casos particulares de interesse:

a) No caso em que a tensão de entrada de um dipolo for uma senoide pura (uma fonte de

tensão senoidal) de valor eficaz 1V e a corrente for distorcida, a potência útil absorvida pelo

dipolo é dada apenas pelo componente fundamental:

1 1 1cosmP V I (2.89)

onde I1 é o valor eficaz do fundamental da corrente. A mesma relação é válida para o caso

em que o dipolo é alimentado por uma fonte de corrente de valor eficaz I1 e a tensão é

distorcida, com valor eficaz 1V .

b) No caso da tensão de entrada de um dipolo ser uma tensão CC pura (fonte de tensão CC de

valor CCV ) e a corrente for distorcida, a potência útil absorvida pelo dipolo será :

CC CC CCP V I (2.90)

onde CCI é o valor médio da corrente. Esta relação vale também para o caso em que o

dipolo é alimentado por uma fonte de corrente CC de valor CCI e o valor médio da tensão

distorcida de entrada é CCV .

2.5.1 Potência aparente e fator de potência

Consideremos o caso de um dipolo não linear, i.e não existe uma relação linear entre os respectivos

componentes harmônicos da tensão e da corrente. Uma carga desse tipo é conhecida como carga

não linear. Os conversores eletrônicos de potência são exemplos desse tipo de carga. Nesse caso,

não é possível encontrar a resposta da corrente para uma dada excitação em tensão utilizando o

método delineado na seção 2.4.4. Porém, suporemos que, por algum outro meio que não interessa

especificar no momento, dispomos do conhecimento dos componentes da série de Fourier da


corrente, porque, nesta seção, estamos mais interessados no conceito e definição de grandezas

como a potência aparente, a potência reativa e o fator de potência na presença de harmônicos

gerados por cargas não lineares.

Para os propósitos deste texto, a potência aparente, no caso mais geral de ondas distorcidas, pode

ser definida da seguinte forma.

a) Para um sistema monofásico:

S V I (2.91)

onde ,V I são os valores eficazes da tensão e da corrente, respectivamente.

b) Para um sistema trifásico equilibrado:

3 3fn LLS V I V I (2.92)

onde fnV é o valor eficaz da tensão fase-neutro, LLV é o valor eficaz da tensão fase-fase

(entre linhas), e I é a corrente de linha.

O fator de potência é definido, de forma geral, como sendo a relação entre a potência útil total e a

potência aparente total fornecidas ao sistema

Potência ativa total

Potência aparente totalfp (2.93)

( )v t

( )i t

Dipolo

não linearTensão

senoidal

pura

Corrente

distorcida

( )v t

( )i t

Dipolo

não linearTensão

distorcida

Corrente

distorcida

(a) (b)

FigDipNLin

Figura 2.17 – Dipolo não linear. a) Alimentado com tensão senoidal pura, com corrente distorcida. b) Tensão e

corrente terminais distorcidas.

2.5.1-1 Dipolo não linear com tensão senoidal pura

Para o dipolo (ou carga) não linear da Fig.17a, com uma tensão perfeitamente senoidal e corrente

periódica distorcida, temos, para os valores da corrente e tensão eficaz nos terminais do dipolo

1

2 2 2 2 21 2 1... H

V V

I I I I I

(2.94)


onde 2

2

H h

h

I I

disI definido anteriormente.

A potência aparente é dada por, Eq.91

2 2 2 2

1 1 2 1 1... disS V I V I I V I I (2.95)

donde

2 22

1 1 1

2 21

2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 21 1

dis

I

a r dis

I

S V I V I

S D

V I V I V I

P Q D

(2.96)

onde 1 1 1aP V I e 1 1 1rQ V I são a potência ativa e a potência reativa do fundamental,

respectivamente, e 1I HD V I é denominada potência de distorção da corrente. Estes resultados

sugerem o diagrama de potência da Fig.18a.

1

1S

1P

1jQ

ID

S

1P

1jQ

(a) (b)

ID

S

FigDiagPotDis

Figura 2.18 – Diagrama de potência para tensão senoidal e corrente distorcida.

Do exposto, podemos tirar as seguintes conclusões a respeito da potência aparente com distorção da

corrente:

a) Uma vez que o valor eficaz da corrente cresce, em relação ao valor eficaz do fundamental,

devido aos harmônicos, a potência aparente com distorção S é maior em relação à potência

aparente fundamental 1S .

b) Não existe uma relação do tipo cosP S , como a encontrada no caso de ondas puramente

senoidais (Eq.54), conforme pode ser visto pelo diagrama da Fig.18b.

c) O diagrama da Fig.18b mostra também que não existe um termo puramente reativo capaz de

fechar a relação vetorial entre S e 1P . Isto deixa em suspenso a definição da potência

reativa na presença de harmônicos.


Fator de potência

Para o caso do dipolo não linear da Fig.17a, com distorção apenas da corrente, há iteração apenas

entre o fundamental da corrente e a tensão para a produção de potência útil. Portanto, a potência

ativa total é devida apenas ao componente fundamental 1P P . O fator de potência, de acordo com

a definição geral de fator de potência (Eq.53),

1 1 1 1 11

1

cosPotência ativacos

Potência aparente

P V I Ifp

S V I I

11cos

Ifp

I (2.97)

A relação 1 /I I , entre o valor eficaz do fundamental e o valor eficaz total da corrente é denominada

fator de distorção e corresponde a cos

1cosI

I (2.98)

sendo , o ângulo de distorção, conforme indicado na Fig.18a. Com isto, o fator de potência é

expresso

1cos cosfp (2.99)

Vemos, portanto, que, se houver harmônicos na corrente, então cos 1 e o fator de potência será

sempre 1cosfp .

Por outro lado, substituindo o valor eficaz total da corrente da Eq.75 na Eq.97, obtemos uma

relação entre o fator de potência e o THD da corrente

1

2

cos

1 (THD )I

fp

(2.100)


PROBLEMAS

i

Lvv

R

Rv

L

(a)

( )v t

10V

( )t ms0, 2 0,6 1, 2 2,2

(b)

( )v t

10V

( )t ms

0, 2 1, 2 2,2

10V

(c)

Figura 2.19 – Para os Problemas 1 e 2.

P2.1 O circuito da Fig.19a é alimentado por uma tensão formada por um trem de pulsos de frequência 10kHzf e

ciclo de trabalho / 0,5onT T , conforme a Figura b. Trace as formas de ondas de ( ), ( ) e ( )Lv t i t v t , com

5T :

a) Para o regime transitório, de t=0 até 5t

b) Para dois ciclos de regime permanente.

Dica: Considere que o circuito em regime estará em regime permanente quando o desvio de ( )f t

em relação a ( )f t T for inferior a 0,1%, no final de cada pulso.

c) Determine os valores médios das tensões no circuito em regime permanente e verifique a LKT.

P2.2 O circuito da Fig.19a é agora alimentado por uma tensão retangular de frequência 10 kHzf e ciclo de

trabalho / 0,5onT T , conforme a Figura (c).

a) Trace as formas de ondas de ( ), ( ) e ( )Lv t i t v t , com 2R , para 1/ 5T , T e 5T ,

de 0t até o circuito atingir o regime permanente.

b) Para cada caso do item anterior, determine o número de ciclos da tensão de entrada necessários

para a resposta do circuito atingir o seu regime permanente.

c) Trace dois ciclos das formas de ondas ( ), ( ) e ( )Lv t i t v t para cada caso de τ em regime

permanente, iniciando na subida do pulso de tensão.

d) Determine o valor eficaz da corrente para cada valor de τ.

e) Determine a potência P dissipada pela resistência para cada valor de τ.

R

eV L

( )i t

0t

0( ) oI t I

FigPChavRL

Figura 2.20 – Para o Problema 3..

P2.3 Para o circuito da Figura :

a) Escreva a equação diferencial de malha do circuito.

b) Obtenha a equação transformada do circuito no domínio-s.

c) Determine o circuito correspondente no domínio-s.

d) Resolva a equação para I(s).

e) Determine i(t) através da transformada inversa de Laplace.


LI

FigPValEf1

Figura 2.21 – Para o Problema 4.

P2.4 Mostre que o valor eficaz da forma de onda da Fig.21 é dado por ef LI D I .

2

I

2

I

DT

T

t

2

I

2

I

T

t

(1 )D T

2

I

2

I

T

t

(1 )D TDT

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

FigPValEf


P2.5 Considere a forma de onda da Fig.22 (a)

a) Mostre que o seu valor eficaz é dado por 12

efD

I I .

b) Com base no resultado do item anterior, determinar os valores eficazes das formas de ondas da

Fig.22 (b),(c).

c) Com base nos resultados dos itens anteriores e do Problema 4, determine os valores eficazes para

as formas de ondas da Fig.22 (d) a (f).


A

t

A

0 2

A

t

A

0 2

A

t

A

0

(a) (b) (c)

( )f t ( )f t ( )f t

Figura 2.23 – Para o problema 6.

P2.6 Para cada uma das formas de ondas da Fig.23 Figura :

a) Determine os coeficientes da série de Fourier.

b) Traçe o respectivo espectro de frequência normalizado em relação à amplitude do fundamental.

c) Plote a forma de onda original e a forma de onda reconstituída a partir da série de Fourier

truncada em 11h .

i

Lvv

R

Rv

L

FigPDecomHarm


P2.7 No circuito da Fig.24Figura , a fonte de tensão tem a forma de onda da Fig.22 (b), sendo Â = 10V ,

10 kHzf , 2R . Para as constantes de tempo 1/ 5T , T e 5T :

a) Trace os diagramas de amplitude e fase versus ordem do fundamental e harmônicos para a

admitância 1( ) ( )jh jh Y Z . Normalizar as amplitudes em termos da amplitude da

admitância para o fundamental 1( ) ( )j j Y Z .

b) Trace os diagramas de amplitude e fase versus ordem do harmônico para o fundamental e

harmônicos da corrente normalizada em termos do fundamental da corrente.

c) Reconstitua a forma de onda da tensão e da corrente a partir dos harmônicos.

d) Determine o valor eficaz da corrente para um número suficiente de harmônicos tal que o erro

seja menor que 1%. Comparar com os resultados do Problema 2. item (d).

Determine a potência média dissipada pela resistência: i) utilizando o valor eficaz computado no item

anterior; ii) utilizando a soma das potências individuais devidas aos harmônicos (Eq. (2 .88)).

Comparar com os resultados do Problema 2 item (e).

P2.8 Uma carga tem tensão e corrente senoidais de frequência f representadas pelos respectivos fasores eficazes

0jefV eV e j

efI e I .

a) Escreva a expressão da potência instantânea ( )p t em termos de cosef efP V I e

senef efQ V I .

b) Para 127efV V , 10efI A e 60f Hz , trace as formas de ondas de

( ), ( ), ( ) ( )v t i t s t v t i t e P, : i) para uma corrente atrasada de π/3 em relação à tensão;

ii) para uma corrente adiantada de π/3 em relação à tensão. Determine o valor máximo de ( )p t e

o fator de potência da carga em cada caso.


c) Repita o item anterior: i) para uma corrente atrasada de π/2 em relação à tensão; ii) para uma

corrente adiantada de π/2 em relação à tensão.

d) Repita o item anterior para uma corrente defasada de π em relação à tensão.

e) Escreva a expressão para a corrente ( )i t decomposta em um componente ativo ( )ai t em fase

com a tensão mais um componente reativo ( )qi t em quadratura com a tensão.

f) Utilizando os valores eficazes acima, e para ϕ= -π/3, trace os gráficos de ( ) ( ) (ap t v t i e

( ) ( ) (qq t v t i e determine os valores médios de ( )p t e ( )q t .

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