Capıtulo 3

D in am ica

E x e rc ıc io 3.1 : Um homem de massa 90 kg esta dentro de um elevador. Deter-mine a forca q ue o p iso ex erce sob re o homem em cada um dos seguintes casos:

a) O elevador sob e com veloc idade constante.

b ) O elevador desce com veloc idade constante.

c ) O elevador desce com movimento uniformemente retardado de acelerac aoigual a 3 m/ s2.

d) O cab o do elevador p arte.

E x e rc ıc io 3.2 : Uma sonda meteorologica com a massa de 2 0 kg encontra-sesusp ensa de um b alao de helio, p or meio de uma corda.

a) S e, na sua viagem estratosferica, o b alao sub ir com uma acelerac ao max imade grandeza 3 .5 m/ s2, q ual e a tensao mınima q ue a corda devera sup ortar?

b ) E m q ue condic oes seria a tensao na corda igual ao p eso da sonda?

c ) S e a sonda e o b alao c aırem verticalmente com acelerac ao de grandeza4 .9 m/ s2, q ual e a forca q ue a corda ex erce sob re a sonda?

R ep resentar, num diagrama, as forcas q ue actuam na sonda p ara cada uma das 3

situac oes.

27

Dinamica

Exercıcio 3.3: Dois blocos A e B, de massas mA = 2 kg e mB = 1 kg re-spectivamente, estao em contacto e sobre uma mesa plana sem atrito. Uma forcahorizontal e aplicada a um dos blocos:

A

B

F

F ig u ra 3 .1 : E x e rcıcio 3 .3 .

a) Se a forca, com intensidade 3 N , for aplicada com o sentido indicado nafi gura 3.1 , determinar a forca de contacto entre os dois blocos.

b) M ostrar que, se uma forca com igual grandeza mas sentido oposto for apli-cada nao no bloco A mas no bloco B, a forca de contacto entre os dois blocossera 2 N (de valor diferente do encontrado na alınea anterior).

Exercıcio 3.4 : Um bloco A com 3 kg de massa e colocado sobre um bloco B demassa igual a 5 kg, como mostra a fi gura 3.2. Admita que nao ha atrito entre obloco B e a superfıcie sobre a qual esta colocado. Os coefi cientes de atrito estaticoe cinetico entre os dois blocos sao 0.2 e 0.1 , respectivamente, e todas as superfıciesem contacto sao horizontais.

B

A

F

F ig u ra 3 .2: E x e rcıcio 3 .4 .

a) Q ual a forca maxima que, aplicada paralelamente a superfıcie, sobre o blocoB, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um em relacao aooutro?

b) Q ual a aceleracao dos blocos na situacao da alınea anterior?

c) Q ual a aceleracao do bloco A, se a forca aplicada no bloco B exceder o valorcalculado na primeira alınea?

28

Dinamica

Exercıcio 3.5: Dois blocos A e B, de massas m e 10 m, respectivamente, estaocolocados ao lado um do outro, sobre uma mesa plana e horizontal. Os coeficientesde atrito estatico e cinetico entre os blocos e a mesa sao µe e µc. Estando o conjuntodos blocos inicialmente em repouso, aplica-se-lhes uma forca horizontal como seindica na figura 3.3.

FF

A

B B

A

Figura 3.3: Exercıcio 3.5 .

a) Determinar a funcao F1(m,µe) que representa a intensidade maxima daforca ~F1, aplicada sobre o corpo A, de modo a que o sistema se mantenhaem repouso.

b) Obter a funcao F2(m,µe), intensidade maxima da forca horizontal ~F2, apli-cada sobre o corpo B, para a qual o sistema ainda se mantem em repouso.

c) C omparar os valores das intensidades das forcas exercidas por um blocosobre o outro, em cada um dos casos anteriores.

d) Determinar a funcao a(F ′

1,m,µc), aceleracao do movimento dos blocos, se

a intensidade da forca ~F ′

1aplicada em A for maior que a de ~F1 referida na

primeira alınea.

e) Retire-se a forca ~F ′

1e aplique-se ~F ′

2= −

~F ′

1em B; qual sera a aceleracao do

movimento de cada um dos blocos?

f) P ara as situacoes descritas nas duas alıneas anteriores, quais serao as inten-sidades das forcas que cada um dos blocos exerce sobre o outro?

Exercıcio 3.6 : Os blocos A e B representados na figura 3.4 tem massas de 1 kge 2 kg, respectivamente. O bloco A esta preso a parede por uma corda horizontal esobre B esta a ser exercida uma forca ~F horizontal de intensidade 12.5 N. Sabendoque o coeficiente de atrito estatico entre A e B vale 0.25 e que o corpo B esta naeminencia de se mover, determine:

a) O coeficiente de atrito estatico entre B e a superfıcie em que esta apoiado.

b) A tensao na corda.

29

Dinamica

B

A

F

Figura 3.4: Exercıcio 3.6 .

c) Sabe-se que o coeficiente de atrito cinetico entre A e B e 10% inferior aocoeficiente de atrito estatico. Se o corpo B entrar em movimento, quantopassara a valer a tensao no fio?

Exercıcio 3.7: O bloco representado na figura 3.5 esta prestes a cair! Sabendoque as massas da esfera e do bloco sao iguais, e que o coeficiente de atrito estaticoentre todas as superfıcies em contacto e µ, determine:

mm

Figura 3.5: Exercıcio 3.7.

a) o angulo θ(µ);

b) a grandeza da tensao no fio T (m, µ).

Exercıcio 3.8 : Um corpo de massa 50 g desce um plano inclinado, de altura1 m e inclinacao 30◦, partindo do repouso da posicao mais elevada do plano. Ocoeficiente de atrito cinetico entre o corpo e a superfıcie do plano e 0.4.

a) Representar num esquema todas as forcas aplicadas no corpo e calcular avelocidade com que o corpo atinge a base do plano.

b) Calcular a velocidade com que o corpo atingiria a base do plano se naohouvesse atrito.

30

Dinamica

Exercıcio 3.9: Um bloco de 60 N de peso esta apoiado num plano inclinado sem

atrito, que forma um angulo de 20◦ com a horizontal. O bloco e empurrado para

cima por uma forca de 30 N paralela ao plano. Qual e a aceleracao do bloco?

Exercıcio 3.10 : Supondo que os dois blocos, de massas m1 = 200 g e m2 = 130 g,

representados na figura 3.6 podem deslizar sobre as superfıcies em que assentam

sem atrito, determine a aceleracao de cada um e a tensao no fio.

mm

3 0 º6 0 º

Figura 3.6: Exercıcio 3.10.

Exercıcio 3.11: Dois blocos, de iguais dimensoes, mas feitos de materiais dis-tintos, encontram-se sobre um plano inclinado. F azendo variar a inclinacao θ doplano, verifica-se que o bloco B comeca a deslizar para uma inclinacao θ1, enquantoque o bloco A so comeca a deslizar para um angulo θ2 = 2θ1.

Determinar, em cada um dos casos representados na 3.7 , o valor do angulo

θ para o qual o conjunto comeca a deslizar, considerando que, em qualquer dos

casos, os blocos sao apenas justapostos e que nao ha movimento relativo entre eles.

A

B

AB

A

B

III III

Figura 3.7: Exercıcio 3.11.

Exercıcio 3.12:

a) Qual a forca paralela ao plano que devera ser aplicada a uma partıcula demassa m = 50 g, para que se encontre em repouso sobre um plano inclinadoque faz um angulo de 20◦ com a horizontal? Suponha que o atrito entre oplano e a partıcula e desprezavel.

31

Dinamica

b) Se a mesma partıcula for colocada sobre um outro plano com a mesmainclinacao, sendo o coeficiente de atrito estatico entre o plano e a partıculaµ = 0.5, calcule a forca maxima que se lhe pode aplicar, paralelamente aoplano, no sentido ascendente e no sentido descendente sem que ela se mova.Qual e o valor da forca de atrito se a forca aplicada paralelamente ao planofor nula?

Exercıcio 3.13: Um bloco de massa M = 500 g desliza sem atrito sobre uma

superfıcie horizontal, unido por um fio a um corpo de massa m = 200 g (ver figura

3.8 ). No instante t = 0 s o bloco movia-se para a esquerda e passados 5 s volta a

passar pela posicao inicial, movendo-se em sentido contrario. Calcule a velocidade

inicial e o espaco percorrido pelo bloco durante os primeiros 5 s do movimento.

M

A

Figura 3.8: Exercıcio 3.13.

Exercıcio 3.14: Nos extremos de uma corda, que passa por uma roldana com

eixo fixo, estao penduradas, a uma altura h = 2 m do chao, dois corpos cujas

massas sao m1 = 100 g e m2 = 200 g (ver figura 3.9). No momento inicial os

corpos estao em repouso. Determinar a tensao da corda, quando os corpos se

movem e o tempo ao fim do qual o corpo de massa m2 atinge o chao.

1m

h

2m

Figura 3.9: Exercıcio 3.14.

32

Dinamica

Exercıcio 3.15: Os corpos A e B representados na figura 3.10 tem massas iguaisa 3 kg e 2 kg, respectivamente. O corpo B esta ligado ao chao pelo fio 2 e ao corpoA pelo fio 1, que passa pela gola de uma roldana fixa presa ao tecto. Despreze oatrito e a massa da roldana e considere os fios inextensıveis e sem massa (roldanae fios ideais).

1

A B

2

Figura 3.10: Exercıcio 3.15.

a) Calcule a tensao no fio 2.

b) Se cortar o fio 2, ao fim de quanto tempo os corpos A e B estao afastadosentre si de 2 m, medidos na vertical?

Exercıcio 3.16: Nos extremos de um fio que passa por duas roldanas fixas,

foram suspensos dois pratos de balanca; em cada um dos pratos foram colocados

corpos de peso total P , tal como indica a figura 3.11.

Se de um dos pratos da balanca se retirarem alguns corpos, ficando o peso nesse

prato reduzido a 2

3P , qual devera ser o peso P ′ que se deve adicionar ao outro

prato, para que a tensao no fio continue a ter o mesmo valor?

Figura 3.11: Exercıcio 3.16.

33

Dinamica

Exercıcio 3.17: No eixo de uma roldana movel foi pendurado o corpo A de peso~P (como mostra a figura 3.12). Com que forca ~F e necessario puxar o extremo

da corda, passando por uma segunda roldana, para que o corpo A se mova com

aceleracao ~a no sentido ascendente? E para que o corpo fique em repouso? A

massa das roldanas e da corda sao desprezaveis e o fio considerado inextensıvel.

A

F

Figura 3.12: Exercıcio 3.17.

Exercıcio 3.18: O sistema representado na figura 3.13 esta inicialmente em re-pouso, sendo as massas dos corpos A, B e C, respectivamente, iguais a m, 2 m e1.6 m. As massas das roldanas e dos fios podem ser desprezados, e estes consider-ados inextensıveis. Se o sistema for libertado, calcular:

A B

C

Figura 3.13: Exercıcio 3.18.

a) A aceleracao de cada um dos corpos.

b) As intensidades das forcas que os fios exercem sobre cada um dos corpos.

34

Dinamica

Exercıcio 3.19: Qual e a forca com que e necessario empurrar o bloco de massa

M (figura 3.14) para que os corpos de massas m1 e m2 nao se movimentem em

relacao ao bloco de massa M? Despreze todos os atritos, bem como as massas da

roldana e do fio, que se pode considerar inextensıvel.

m

mM

Figura 3.14: Exercıcio 3.19.

Exercıcio 3.20: Considere a situacao representada na figura 3.15, em que nao

h a atrito em nenh uma superfıcie. Q ual dev era ser a relacao entre as massas para

que m3 nao se mov imente em relacao a m2? Q ual e, neste caso, a aceleracao do

conjunto?

3m

1m

2m

α

Figura 3.15 : Exercıcio 3.2 0 .

Exercıcio 3.21 : U ma curv a de raio 12 0 m e projectada para uma v elocidade decirculacao de 18 m/ s.

a) Q ual sera o angulo correcto para a inclinacao da estrada se suposermos quenao h a atrito entre os pneus e a estrada?

b ) S e a curv a nao for inclinada, qual e o coeficiente mınimo de atrito entre ospneus e a estrada de modo que aquela v elocidade nao h aja derrapagens?

35

Dinamica

Exercıcio 3.22: Um carro desloca-se numa estrada a 80 km/h, entrando numacurva de 300 m de raio.

a) Se a superfıcie da estrada estiver coberta com uma fina camada de gelo, qualdeve ser a inclinacao mınima da curva para que o carro possa descreve-la?

b) Quando o gelo funde, deix ando a descoberto a superfıcie rugosa da estrada,o coeficiente de atrito entre esta e os pneus do carro e 0.4 . Qual e entao amax ima velocidade com que o automovel pode dar a curva (cuja inclinacaoe a calculada na alınea anterior) sem derrapar? O valor encontrado dependeda massa do carro?

Exercıcio 3.23: Uma curva de uma estrada forma um arco de circunferencia de135 m de raio.

a) Se a curva tiver 7 .4 ◦ de inclinacao, para que velocidade foi projectada?Considere o atrito desprez avel.

b) Se o coeficiente de atrito entre o piso e os pneus de um carro que se encontrea dar a curva for 0.4 , qual e a max ima velocidade com que este podera dara curva (sem se despistar)?

Exercıcio 3.24 : Um fio de comprimento L, que se encontra preso a um ponto

fix o, tem numa ex tremidade uma massa m que gira em torno de um eix o vertical

com velocidade angular constante ω. D eterminar o angulo θ que a corda faz com

a vertical.

Exercıcio 3.25 : Um aviao desloca-se horizontalmente com uma velocidade con-stante de 36 0 km/h arrastando um objecto com massa igual a 20 kg, o qual seencontra suspenso do aviao por meio de uma corda que forma com a vertical umangulo de 6 0◦.

a) D etermine a forca de resistencia do ar ex ercida sobre o objecto.

b) P assando o aviao a descrever circunferencias de raio tal que a trajectoriado objecto suspenso e uma circunferencia de raio 500 m, descrita com avelocidade mencionada inicialmente, determine a tensao da corda.

36

Dinamica

Exercıcio 3.26: Uma pequena esfera encontra-se dentro de um tubo de vidro

que roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical (ver

figura 3.16). O atrito da esfera com o tubo de vidro e desprezavel. Qual devera

θh

ω

Figura 3.16: Exercıcio 3.26.

ser a frequencia de rotacao do tubo para que a esfera permaneca em ” equilıbrio”

na posicao indicada?

Exercıcio 3.27 : Um corpo que serve de suporte a um foguete assenta sem atritosobre um plano horizontal, preso por um fio de comprimento 0.5 m a um pontofixo O, como mostra a figura 3.17. O conjunto, cuja massa pode considerar-seconstante e igual a 0.5 kg, parte do repouso no instante t = 0 s, com o fio esticadoe passa entao a descrever uma trajectoria circular, centrada em O. O fogueteligado ao corpo tem uma direccao tangente a trajectoria e comunica ao corpo umaaceleracao tangencial constante de modulo 2 m/s2. O combustıvel do foguete duraapenas 10 segundos e tem massa desprezavel.

O

Figura 3.17 : Exercıcio 3.27 .

a) R epresentar num esquema a posicao, a velocidade e a aceleracao do conjuntono instante t = 5 s, indicando a posicao inicial escolhida.

b) Se o fio nao suportar tensoes superiores a 50 N , verificar se ele parte ou nao,antes de o combustıvel acabar.

c) Se for usado um fio que nao parte, caracterizar o movimento do conjunto apartir do momento em que acaba o combustıvel do foguete.

37

Dinamica

Exercıcio 3.28: Um bloco de 10 kg de massa repousa sem atrito, sustentadopor uma corda com 2 m de comprimento, sobre um plano inclinado que pode girarem torno do eixo A B como mostra a figura 3.18.

A

B3 0 º

Figura 3.18 : Exercıcio 3.28 .

a) Determine a tensao na corda quando a velocidade de rotacao do conjuntoconstituıdo pelo plano inclinado e pelo bloco for igual a 10 rot/minuto.

b) Determine a velocidade angular a partir da qual o bloco comeca a elevar-see abandona o plano.

Exercıcio 3.29 : O carrocel de cadeiras suspensas representado na figura 3.19roda com uma velocidade angular de 1.25 rad/s.

θ

4m

2 m

Figura 3.19: Exercıcio 3.29.

a) Se o peso de cada cadeira for 10 N, calcular o angulo θ quando na cadeirase senta uma pessoa que pesa 500 N.

b) E ste angulo aumenta ou diminui se na cadeira estiver uma pessoa maispesada? E a tensao do fio?

38

Dinamica

Exercıcio 3.30: Um jovem encontra-se sobre uma balanca-dinamometro que,

por sua vez, se encontra sobre uma plataforma que desliza, sem atrito, sobre um

plano inclinado (ver figura 3.20). Se o peso habitual do jovem for 50 kgf quanto

marcara a balanca dinamometro nesta situacao?

30º

Figura 3.20: Exercıcio 3.30.

39

Dinamica

3.1 Solucoes da dinamica

Solucao 3.1:

a) ~F = 882 N.

b) ~F = 882 N.

c) ~F = 1152 N.

d) ~F = 0 N.

Solucao 3.2:

a) Tmın ima = 266 N.

b) Se o movimento for rectilıneo e uniforme.

c) F orca vertical, de baixo para cima, com intensidade igual a 98 N.

Solucao 3.3:

a) 1 N.

Solucao 3.4:

a) ~F = 15.68 N.

b) |~a| = 1.96 m/s2.

c) |~a| = 0.98 m/s2.

Solucao 3.5:

a) F1 = 11µemg .

b) F2 = 11µemg .

c)N

(1)A B

= 10µemg

N(2)A B

= µemg

d) |a| =F ′

1

11m− µcg.

40

Dinamica

e) |a| =F ′

1

11m− µcg.

f)N

′(1)A B = 10

11F1

N′(2)A B = 1

11F1

Solucao 3.6:

a ) µe = 0 .3 4 .

b ) T = 2 .4 5 N .

c ) T ′ = 2 .2 1 N .

Solucao 3.7 :

a ) tan (θ) = 13µ

.

b ) T = mg2 9 + 1

µ2 .

Solucao 3.8 :

a ) |~v | = 2 .4 5 m / s.

b ) |~v | = 4 .4 3 m / s.

Solucao 3.9 : |~a| = 1 .5 5 m / s2.

Solucao 3.1 0 : a = 0 .3 7 m / s2; T = 1 .0 5 N .

Solucao 3.1 1 : θ =

i) θ1

ii) 2 θ1

iii) a rc ta n mA ta n (2θ1)+mB ta n (θ1)mA+mB

Solucao 3.1 2 :

a ) ~F = 0 .1 6 8 N .

b )Fm a x im a a sc e n d e n te

= 0 .3 9 8 NFm a x im a d e sc e n d e n te

= 0 .0 6 3 N

N a o se a p lic a n d o n en h u m a fo rc a , a fo rc a d e a trito e 0 .1 6 8 N .

41

Dinamica

Solucao 3.13: |~vo| = 7 m/s; O bloco percorre 17.5 m nos primeiros 5 s.

Solucao 3.14 : T = 1.31 N; ∆t = 1.11 s

Solucao 3.15 :

a) ~T = 9.8 N.

b) ∆t = 1.01 s.

Solucao 3.16: P ′ = P .

Solucao 3.17:M ov endo-se para cima : F = mg+a

2

E m repouso : F = mg2

Solucao 3.18:

a)

aA = 0 m/s2

aB =−4.9 m/s2

aC = 2.45 m/s2

b)FA = mgFB = mgFC = 2mg

Solucao 3.19: F = (M + m1 + m2)m2

m1g.

Solucao 3.20:tan α = m1

m1+m2+m3

a = g tan α

Solucao 3.21:

a) θ = 15.4◦

b) µ = 0.28.

Solucao 3.22:

a) θ = 9.5◦.

42

Dinamica

b) vmaxima = 42.3 m/s = 152 k m/h.

Solucao 3.23:

a) |~v| = 13.1 m/s = 47 k m/h.

b) |~v| = 27.2 m/s = 98 k m/h.

Solucao 3.24: θ = arccos gω2L

Solucao 3.25:

a) F = 339 N.

b) T = 560 N.

Solucao 3.26: f = 12π

gh tan2(θ)

Solucao 3.27:

a) D iag rama.

b) P arte.

c) Movimento circular uniforme, com velocidade escalar ig ual a 20 m/s.

Solucao 3.28:

a) 65.4 N.

b) 3.13 rad/s.

Solucao 3.29:

a) θ = 41◦.

b) O ang ulo nao varia, enq uanto q ue a tensao no fi o e proporcional ao peso dapessoa.

43

Dinamica

Solucao 3.30: Pmedido = 34 50 kgf.

44