Capítulo 3 e 4 Inequaçõespaulo.amaro/Mat I/Cap03 e 04...4x –3 ≥ 0 – x + 1 ≤ 0 8x > 0...

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Capítulo 4 – Função quadrática

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA


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4.1

Capítulo

3 e 4 Inequações

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Inequações do 1o grau

Toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade

em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax + b

(com a ≠ 0) e o segundo membro é zero é chamada de

inequação do 1o grau na incógnita x.

Exemplos

▪ 4x – 3 ≥ 0

▪ – x + 1 ≤ 0

▪ 8x > 0

▪ –5x – 0,2 < 0

3.22

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Princípios de equivalência das desigualdades

Princípio aditivo

▪ –4 > –7 ⇒ –4 + 12 > –7 + 12 ⇒ 8 > 5

sinal mantido

▪ –2 < 3 ⇒ –2 + (–6) < 3 + (–6) ⇒ –8 < –3

sinal mantido

3.22

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Princípio multiplicativo

▪ –12 < 8 ⇒ –12 ∙ 2 < 8 ∙ 2 ⇒ –24 < 16

sinal mantido

3.22

▪ 21 > 15 ⇒ 21 ∙ > 15 ∙ ⇒ 7 > 5

sinal mantido

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▪ 14 > 1 ⇒ 14 ∙ (–3) < 1 ∙ (–3) ⇒ –42 < –3

sinal invertido

sinal invertido

▪ –32 < 64 ⇒ –32 ∙ > 64 ∙ ⇒ 16 > –32

3.22

Princípio multiplicativo

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Resolução de inequações

Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação

3(x + 2) ≤ 2(2x + 4).

3(x + 2) ≤ 2(2x + 4)

3x + 6 ≤ 4x + 8

3x – 4x + 6 – 8 ≤ 0

–x – 2 ≤ 0

x + 2 ≥ 0

x ≥ –2

3.23

Logo, o conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≥ –2}

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Resolução de inequações

f(x) ≥ 0 ⇒ x ≥ –2

O conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≥ –2}

3.23

Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação

3(x + 2) ≤ 2(2x + 4).

3(x + 2) ≤ 2(2x + 4) ⇒ x + 2 ≥ 0

f(x)

f(x) = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = –2 (zero da função f)

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Exercício resolvido

R7. Determinar o conjunto solução da inequação

.

3.24

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Inequação-produto

▪ f(x) ∙ g(x) > 0 ▪ f(x) ∙ g(x) ≥ 0

▪ f(x) ∙ g(x) < 0 ▪ f(x) ∙ g(x) ≤ 0

Exemplos

▪

▪ (0,45x – 7) ∙ (8 – 2x) < 0

▪ (89x + 1) ∙ ≥ 0

▪ (3x + 4) ∙

3.25

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Inequação-quociente

▪

▪▪

▪

Exemplos

▪

▪

▪

▪

3.25

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Resolução de inequação-produto

Para f(x) ∙ g(x) < 0 ⇒

(x + 1) ∙ (3x – 2) < 0, em ℝ.

f(x) g(x)

3.26

Vamos resolver

14243

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Então, o conjunto solução da inequação

(x + 1) ∙ (3x – 2) < 0 é:

3.26

Quadro de sinais

Resolução de inequação-produto

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R8. Resolver, em ℝ, a inequação quociente .

3.27

R9. Resolver a inequação , em ℝ.

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Inequações simultâneas

Algumas inequações são apresentadas por duas desigualdades

ou por um sistema de inequações. Elas são chamadas

inequações simultâneas.

Exemplos

▪ ▪

3.29

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(I) 3 + 2 ≤ 2x ⇒ 5 ≤ 2x ⇒ x ≥ . SI =

S = ou S =

3.30

Vamos resolver, no conjunto dos números reais, as inequações

simultâneas 3 ≤ 2x – 2 < x + 5.

Devemos encontrar a solução das inequações (I) e (II):

(II) 2x – x < 5 + 2 ⇒ x < 7. SII =

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R10. Resolver, em ℝ, o sistema de inequações:

3.31

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Identificação do domínio de uma função por meio de inequações

Observe como determinamos o domínio da função

dada pela lei y = .

Então: D =

3.32

y =

radicando de índice par não pode ser nulo

0 x

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R11. Encontre o domínio da função y = .

3.33

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Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que

pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro

membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o

segundo membro é zero.a


a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0

b) –x² + 0,5x ≤ 0

c) 5x² – 2 < 0

d) –4x² + x + > 0

4.35

Exemplos

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Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos

números reais.

Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f:

Primeiro, determinamos os zeros de f:

3x² – 8x – 3 ≥ 0

f(x)

4.36

3x2 – 8x – 3 = 0

= 64 + 36 = 100


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Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para

os quais a função f é positiva ou nula.

Assim, o conjunto solução da inequação é:

S =

4.36


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Exemplo


▪ f(x) = x – 5 (zero de f: 5)

▪ g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)

4.37

14243

Sinal de f Sinal de g

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Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação.

Logo, o conjunto solução da inequação é:

S =

4.37

Exemplo


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▪ f(x) = x (zero de f: 0)

▪ g(x) = –x² – 4

(g não tem zeros)

4.38

–x3 – 4x < 0 x(–x2 – 4) < 0

14243


Exemplo


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Logo, o conjunto solução da inequação é:

S =

4.38

Exemplo


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R11. Resolver a inequação em ℝ.

4.39

R12. Geometria. Determinar a área

da parte azul da figura em

função de x e encontrar o maior

valor inteiro que x pode assumir.

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Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte

sistema de inequações:

Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma

mais simples:

4.41


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▪ Zeros de f: –4 e 2 ▪ Zeros de g: 1 e 2

4.41

f(x) g(x)

Assim temos:


S2=S1 =


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A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma

das inequações:

Logo, o conjunto solução do sistema é:

S =

4.41


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R13. Resolver, em ℝ, a inequação

4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.

4.42

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Vamos determinar o domínio da função dada pela lei

Em , devemos ter:

f(x)

h(x)

4.43

Exemplo

Determinação do domínio de uma função por meio de inequações

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Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:

▪ f(x) = x² – 2x + 1

zero real duplo de f: 1

▪ h(x) = 2x – 7

zero de h:

4.43

Sinal de f Sinal de h

Exemplo


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O zero da função h não pode ser considerado, pois anula o

denominador da inequação:

Logo, D =

4.43

Exemplo



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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso

Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,

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