Capítulo 4 – Diagramas de esforços em pórticos...

Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano

Capítulo 4 – Diagramas de esforços em pórticos planos 4.1 – Pórticos planos Este capítulo será dedicado ao estudo dos quadros ou pórticos planos. Chama-se pórtico plano a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas contidas no próprio plano da estrutura. Para validade desta definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano da estrutura. 4.2– Equações de equilíbrio em pórticos planos As equações de equilíbrio estático disponíveis para determinação de reações de apoio em pórticos planos, considerando-se que não há cargas nem reações na direção transversal ao plano da estrutura (plano xy), são as três equações a seguir:

∑∑ == 0VFy Somatório das forças verticais nulo

∑∑ == 0HFx Somatório das forças horizontais nulo

0==∑∑ Pz MM Somatório dos momentos em qualquer ponto nulo

Como já vimos no item 3.6, cada rótula existente no quadro plano, interceptando uma de suas barras ou posicionada em um de seus vértices, representa uma seção onde o momento fletor é conhecido e igual a zero. A cada rótula corresponde, portanto, uma equação adicional ao sistema das três equações de equilíbrio, a qual envolve parte das cargas atuantes e das reações de apoio a determinar. Assim, a existência de uma rótula acrescenta uma equação ao sistema de equações de de equilíbrio, permitindo ampliar o número de incógnitas que podem ser determinadas pelo sistema de equações disponível e mantendo a condição de isostaticidade do quadro. 0 momento fletor produzido pelas forças ligadas a rótula por um lado ou pelo =RotM

outro é nulo, Calculadas as reações de apoio em um quadro plano, a determinação dos esforços seccionais nas sucessivas seções transversais, bem como o traçado de seus diagramas, se faz exatamente obedecendo-se aos mesmos princípios apresentados no estudo de vigas isostáticas, sendo também válidos todos os artifícios aplicáveis a cada caso de carregamento que se apresente. As convenções de sinais podem ser observadas no item 2.3

Ultima atualização em 29/6/2007 43

Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano

4.3– Pórticos planos simples Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, os quais chamaremos de quadros simples. Estes quadros são resolvidos sem a necessidade de decomposição em partes menores. As principais diferenças entre os tipos de quadros simples estão relacionadas ao cálculo das reações de apoio. Uma vez determinadas estas reações, o traçado dos diagramas se dá de forma muito semelhante ao que já foi apresentado sobre vigas isostáticas. Os itens abaixo apresentam de forma resumida estas diferenças no cálculo das reações de apoio para cada um dos quatro tipos.

4.3.1 – Quadro biapoiado Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução.

+ = 3 incógnitas 3 equações

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

==

∑∑∑∑∑∑

0

0

0

Pz

x

y

MM

HF

VF

Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.b).

A partir do cálculo das reações apresentadas na figura acima, é possível traçar os diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor. A forma de traçar os diagramas em vigas já foi apresentada no quadro Sabendo Mais 8. O quadro Sabendo Mais 11 apresenta algumas considerações adicionais sobre os diagramas de esforços em pórticos.

44


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Quadro 11 – Considerações adicionais sobre diagramas em quadros Sabendo+

Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra e as

extremidades de cada barra; - Nos trechos entre estes pontos, verificar quais as forças na direção da

barras ligadas ao trecho por um lado OU pelo outro e verificar se estão “entrando” no trecho (compressão) ou “saindo”do trecho (tração).

- Traçar os diagramas, observando que o lado para o qual marcamos os valores é indiferente, interessando apenas o sinal (compressão negativo e tração positivo).

Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita em barras horizontais e inclinadas

e de baixo para cima em barras verticais, plotar, a partir do eixo da estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida em que forem surgindo, de acordo com o que já foi apresentado no quadro 8.

- Deve-se considerar, em cada nó, o efeito das forças transmitidas naquele ponto proveniente das outras barras.

Momento Fletor: Observar que marcar as extremidades de cada barra significa que em

cada nó teremos 2 ou mais pontos de momentos fletores a serem calculados, dependendo do número de barras que chega ao nó.

- No cálculo dos valores, verificar que os momentos calculados por um lado OU pelo outro da seção devem considerar todas as forças ligadas a seção pelo lado considerado.

Os diagramas para o quadro biapoiado são apresentados a seguir.

D.N. D.Q. D.M. Observação: Para os sinais e lados de traçado do diagrama de esforços normais ficarem compatíveis com os de esforços cortantes, consideramos o lado esquerdo das barras verticais como positivo e o lado direito como negativo.

Ultima atualização em


4.3.2– Quadro engastado Os quadros engastados apresentam as 3 reações de apoio proveniente do engaste. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução.

= 3 incógnitas 3 equações

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

==

∑∑∑∑∑∑

0

0

0

Pz

x

y

MM

HF

VF

Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.c).

A partir destas reações é possível traçar os diagramas apresentados a seguir.

D.N. D.Q. D.M.

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4.3.3– Quadro Triarticulado 4.3.3– Quadro Triarticulado Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional (momento fletor na rótula nulo).

Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional (momento fletor na rótula nulo).

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⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

==

∑∑∑∑∑∑

0

0

0

Pz

x

y

MM

HF

VF

Rótula = uma equação adicional 0=RotM

Um exemplo de cálculo das reações em quadros triarticulados é apresentado a seguir:

Há duas reações (vertical e horizontal) em cada apoio do 2º gênero. Deve-se descobrir as quatro incógnitas do problema: VA Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima ( ) HA Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para esquerda ( ) VB Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima ( ) HB Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda ( ) Utilizando as quatro equações disponíveis:



⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−⋅=

=−=−⋅−−−⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅===

=⋅++=+=

=+=

−

=

=

=

∑∑

∑

∑

0435,16

0666634335,1325,464663230:0

163264:0

12:0

1

1

1

BBDROT

BBA

n

ii

BA

n

ii

BA

n

ii

HVM

VVMMz

kNVVY

kNHHX

Logo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=→=+−=+⋅−==→=

=+=+

− kNHHHMkNVV

kNVVkNHH

BBBDROT

BB

BA

BA

604244113911666

1612

Então:

kNVkNH

A

A

56

==

A partir destas reações de apoio e possível traçar os diagramas de esforços atuantes:

D.N. D.Q.

D.M.

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Observações: - Neste exemplo o apoio B não se encontra alinhado com a rótula nem na direção

vertical nem na horizontal. Quando algum apoio se encontra alinhado com a rótula, torna-se mais fácil obter imediatamente uma das reações de apoio através da equação da rótla.

- Para o traçado dos diagramas de esforços normal e cortante da barra inclinada,

basta considera-la uma vigar inclinada com o total do carregamento ligado pela esquerda aplicado ma extremidade esquerda e o total do carregamento a direita aplicado na extremidade direita.

Faz-se então a decomposição destas forças para auxiliar o traçado direto dos

diagramas.

4.3.4– Quadro biapoiado com rótula e tirante (ou escora) Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução. Quando se inclui em um quadro biapoiado uma rótula e um tirante (ou escora), o quadro permanesse isóstático. Como isso ocorre?


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

==

∑∑∑∑∑∑

0

0

0

Pz

x

y

MM

HF

VF

Rótula = uma equação adicional 0=RotM Tirante = uma incógnita adicional ?=TirN



Considando uma barra descarregada e rotulada em suas extremidades, os esforços cortante e de momento fletor nesta barra são nulos, havendo apenas esforço normal. Quando este esforço é de tração chama-se a barra de tirante e quando o esforço é de compressão a barra é denominada escora. O valor do esforço normal no tirante (ou escora) torna-se mais uma incógnita do problema. Desta forma, a rótula adicional fornece mais uma equação (momento fletor na rótula nulo).a fim de garantir a isostaticidade da estrutura. Para o cálculo das três reações nos apoios, procede-se como em um quadro biapoiado padrão (item 4.3.1). A equação da rótula é utilizada para a determinação do esforço normal no tirante. O cálculo deste esforço normal é feito substituindo o tirante por duas forças opostas de mesmo módulo aplicadas onde ficavam as extremidades do tirante.

=

N N

VA Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima ( ) VB Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima ( ) HB Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda ( ) N Esforço normal no tirante, adotado inicialmente saindo do tirante ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+=

=−=+⋅⋅−⋅⋅===

=⋅=+=

==

−

=

=

=

∑∑

∑

∑

024

012442421220:0

1262:0

0:0

1

1

1

NM

VVMMz

kNVVY

kNHX

EROT

AAB

n

ii

BA

n

ii

B

n

ii

Logo:

kNVkNH

A

B

30

==

kNVkNN

B 92

=−=

50


Ou seja, o esforço normal é contrário ao adotado inicialmente. O tirante está, na realidade, puxando as barras verticais para dentro, de forma a evitar que o quadro se abra em conseqüência dos momentos aplicados na rótula.

Ou seja, o esforço normal é contrário ao adotado inicialmente. O tirante está, na realidade, puxando as barras verticais para dentro, de forma a evitar que o quadro se abra em conseqüência dos momentos aplicados na rótula. Observação: Como as barras estão puxando o tirante para fora, ele oferece uma reação, puxando as barras para dentro. Esta reação é representada pelas forças N. A convenção de sinais apresentada no item 2.3.1 afirma que o esforço normal é: positivo na tração (forças “saindo da seção”) e negativo na compressão (forças “entrando na seção”)

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ds ds

N(+) N(-)

No caso do tirante, apesar das setas estarem entrando na barra, o esforço normal é positivo pois as setas representam uma reação do tirante às ações por ele sofridas. Desta forma, em tirantes (ou escoras):

Escora N(-)

Tirante N(+)

A partir das reações de apoio e do esforço normal calculado, é possível traçar os diagramas de esforços atuantes:

D.N. D.Q.



D.M. Observações: - Verifica-se o efeito do tirante no traçado do diagrama de esforço normal (barra superior

horizontal em compressão), no diagrama de cortante (barras verticais com cortante acima do tirante) e no diagrama de momentos fletores (variação do momento nas barras verticais).

- O momento na rótula é sempre zero. No entanto, verifica-se no diagrama de momentos fletores a existência de momentos de valor 4kNm. A explicação para isso é a descontinuidade provocada pelos momentos aplicados em torno da rótula. O momento atinge um valor de 4kNm ao se aproximar da rótula, a carga-momento provoca uma descontinuidade fazendo o momento descer até zero. Após a rótula, onde o momento é nulo, surge uma nova descontinuidade provocada por outro momento aplicado.

- No cálculo das reações de apoio, o efeito do tirante não é considerado pois as forças se anulam (representam um esforço interno e não uma solicitação externa).

4.4– Pórticos planos compostos Assim como as vigas podem se associar formando vigas gerber, quadros que possuem estabilidade própria também podem servir como apoios para outros quadros ou vigas, formando um quadro composto. Nesse caso, para sua solução, a estrutura será também desmembrada em quadros que servem como apoio e outros quadros que neles se apoiam (todos isostáticos), recebendo os primeiros, além das cargas que lhes são diretamente aplicadas, as reações de apoio dos segundos, devidamente invertidas. A figura abaixo exemplifica o problema:

52


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Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos quadros simples que o constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles sem estabilidade própria. Transferem-se então as reações de apoio invertidas para os quadros que lhes servem como apoio. Desta forma, os quadros que possuem estabilidade própria são os últimos a serem resolvidos pois seu carregamento depende das forças transmitidas pelas rótulas. Na decomposição deve-se verificar se cada um dos quadros simples pertence aos 4 tipos apresentados no item 4.3. 4.5– Exercícios resolvidos Em desenvolvimento. Exercícios sugeridos do Sussekind. 6.1 até 6.10 6.13 até 6.28



4.6– Exercícios propostos 1) Traçar os diagramas de esforços para as estruturas a seguir: a)

b)

c)

54


d)

2) Decompor os quadros compostos a seguir apresentando ordem de solução e transferência

de cargas: a)

3) Traçar os diagramas de esforços para os quadros compostos a seguir: a)



b)

c)

d)

56


e) e)

4.7– Respostas dos exercícios propostos !) a)

2.25



b)

6.75

c)

0.5

58


d) d)

6.25

2) a)

1o 2o

3o

2o



3) a)

2

60


b)



c)

4

62


d) d)

1.5



e)

64

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