Capítulo 4

Derivadas e suas AplicaçõesAo final deste capítulo você deverá: Compreender taxa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função

interpretar seu significado geométrico; Calcular e aplicar algumas regras de derivadas; Determinar a derivada de função composta; Empregar a regra da cadeia ou derivada de função

composta e suas aplicações; Compreender a diferencial e descrever algumas funções

marginais. Aplicar a regra de L’Hospital Determinar os pontos de máximos e mínimos aplicando

a derivada segunda.

4.1 Incremento e taxa média de variação

Consideremos uma função f dada por ( )y f x= . Quando x varia de um valor inicial de x para um valor final de x , temos o incremento em x . O símbolo matemático para a variação em x , chamada incremento em x , será x∆ (leia-se delta x ). Logo,

x∆ = valor final de x – valor inicial de x .

Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para um valor final 2,5, o incremento em x será 2,5 2 0,5x∆ = − = .

O incremento em y , y∆ (leia-se delta y ), será

y∆ = valor final de y – valor inicial de y .

Por exemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor final 7,25, o incremento em y será 7,25 5 2,25y∆ = − = .

Consideremos agora a função 2( ) 1y f x x= = + . Vamos calcular x∆ quando x varia do valor 1x = para 3x = e também calcular y∆ . Inicialmente temos 3 1 2x∆ = − = . Para calcularmos o valor de y∆ , temos• para 21 (1) 1 1 2x y f= ⇒ = = + = e

• para 23 (3) 3 1 10x y f= ⇒ = = + = .

1

Assim, 10 2 8y∆ = − = . Portanto, 2x∆ = e 8y∆ = .

De um modo geral, temos

Valor inicial de 0x x= e valor final de 0x x x= + ∆ ;

Valor inicial de 0( )y f x= e valor final de ( )0y f x x= + ∆ . Assim,

( )0 0( )y f x x f x∆ = + ∆ − .

Para a função 2( ) 1y f x x= = + , temos

( )0 0( )y f x x f x∆ = + ∆ −

( ) ( )2 20 01 1x x x= + ∆ + − +

( ) 22 20 0 02 1 1x x x x x= + ∆ + ∆ + − −

( ) 2

02x x x= ∆ + ∆Portanto,

( ) 2

02y x x x∆ = × ×∆ + ∆ .

O que acabamos de mencionar, o conceito de incremento, nos motiva

a seguinte definição.

Definição. Seja ( )f x uma função definição em um intervalo [ , ]a b e

0 [ , ]∈x a b , [ , ]x a b∀ ∈ com 0x x≠ . Quando a variável x passa para o valor

0x x= para o valor 0x x x= + ∆ sofrendo uma variação x∆ , 0x x x∆ = − , o

correspondente valor da função passa de 0( )f x para o valor ( )0f x x+ ∆

sofrendo, portanto, uma variação ( ) ( )0 0y f x x f x∆ = + ∆ − ,

Conforme a abaixo

2

O quociente( ) ( )0 00

0

( ) ( ) f x x f xf x f xy

x x x x

+ ∆ −−∆ = =∆ − ∆

,

recebe o nome de taxa média de variação da função ( )f x quando x passa do valor 0x para o valor 0x x x= + ∆

e expressa a variação média sofrida pelos valores da função ( )f x entre estes dois pontos.

Exemplo 4.1. Seja a função f tal que ( ) 2 1f x x= + , para x∈ ¡ . Determine a taxa média de variação de f quando x passa de 0 1x = para 0 4x x+ ∆ = .

Resolução: Como 0 4x x+ ∆ = temos 1 4 4 1 3x x+ ∆ = ⇒ ∆ = − = ;

0( ) (1) 2 1 1 3f x f= = × + = e 0( ) (4) 2 4 1 9f x x f+ ∆ = = × + = .Logo,

0 0( ) ( ) 9 3 62

3 3

f x x f xy

x x

+ ∆ −∆ −= = = =∆ ∆

.

Exemplo 4.2. Seja a função f tal que 2( ) 4f x x= + , para x∈ ¡ . Determine a taxa média de variação de f quando x passa de 0 2x = para 0 5x x+ ∆ = .

Resolução: Como 0 5x x+ ∆ = temos 2 5 5 2 3x x+ ∆ = ⇒ ∆ = − = ; 2

0( ) (2) 2 4 4 4 8f x f= = + = + = e 20( ) (5) 5 4 25 4 29f x x f+ ∆ = = + = + = .

Logo,0 0( ) ( ) 29 8 21

73 3

f x x f xy

x x

+ ∆ −∆ −= = = =∆ ∆

.

Exemplo 4.3. A função custo total para produzir x unidades de uma mercadoria, ( )C x , em reais, é dada pela equação 2( ) 2 0,5 10C x x x= − + . Determinar a taxa média de variação do custo total em relação a x , quando x varia de 0x unidades para 0x x+ ∆ unidades.

Resolução: Sabemos pela definição de taxa média de variação do custo total é dada por

( )0 0( )C x x C xC

x x

+ ∆ −∆ =∆ ∆

.

Assim,

( ) ( )2

0 0 0( ) 2 0,5 10C x x x x x x+ ∆ = + ∆ − + ∆ +

( ) 220 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10x x x x x x= + ∆ + ∆ − − ∆ +

e

3

20 0 0( ) 2 0,5 10C x x x= − +

Logo, ( )0 0( )C x x C xC

x x

+ ∆ −∆ =∆ ∆

( ) ( )22 20 0 0 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10 2 (0,5) 10x x x x x x x x

x

+ ∆ + ∆ − − ∆ + − − +=

∆

( ) 22 20 0 0 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10 2 (0,5) 10x x x x x x x x

x

+ ∆ + ∆ − − ∆ + − + −=

∆

( ) 22 20 0 0 0 02 4 2 (0,5) (0,5) 10 2 (0,5) 10x x x x x x x x

x

+ ∆ + ∆ − − ∆ + − + −=

∆

( ) 2

00

4 2 (0,5)4 2 0,5

x x x xx x

x

∆ + ∆ − ∆= = + ∆ −

∆.

Portanto, a taxa média de variação da função custo total 2( ) 2 0,5 10C x x x= − + quando x varia de 0x unidades para 0x x+ ∆

unidades é 04 2 0,5C

x xx

∆ = + ∆ −∆

.

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos

1) Determinar a taxa média de variação das funções seguintes entre os pontos indicados:a) ( ) 3f x = ; 2 e 4

b) 2( )f x x x= + ; 2 e 2−

c) 1

( ) 1f xx

= − ; 3 e 6

d) 2( )f x x= − ; 4 e 1− −e) ( ) 1f x x= − + ; 2 e 6−

2) Determinar a taxa média de variação da função ( ) 1f x x= + entre

os pontos 0x e 0x x+ ∆ .

3) Uma fábrica de doces verificou que o custo total diário para produzir x caixas de doces cristalizados, em reais, era dado por

21( ) 2

2C x x x= + + . Determinar a taxa média de variação do custo em

relação a x .

4.2 Derivada de uma função

4

Na seção anterior compreendemos o significado de taxa média de variação de uma função ( )f x quando x passa do valor 0x para o valor

0x x+ ∆ e isto nos leva a seguinte definição.

Definição. (Derivada). A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio de f é a função '( )f x dada por

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x∆ →

+ ∆ −=∆

,

se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função )(xf é derivável em x .

Definição. Derivada de uma função no ponto 0x . Se 0x for um número particular no domínio de f , então a derivada da função f no ponto 0x , denotada por 0'( )f x , é dada por

0'( )f x 0 0

0

( ) ( )limx

f x x f xx∆ →

+ ∆ −=∆

,

se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função )(xf é derivável em 0x , ou seja, existe 0'( )f x .

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada, por exemplo,

0'( )f x , 0( )Df x , 0( )y x′ , 0

( )x

dfdx

, 0

( )x

dydx

, '( )f x , 'y ,df

dx,

dy

dx, etc.

Exemplo 4.4. Dada 2( ) 4 8f x x= + , calcular a derivada de f .

Resolução: Se x é algum número no domínio de f , então pela definição 4.2 vem

0

( ) ( )´( ) lim

x

f x x f xf x

x∆ →

+ ∆ −=∆

( ) ( )2 2

0

4 8 4 8limx

x x x

x∆ →

+ ∆ + − + =∆

( )2 2 2

0

4 2 ( ) 8 4 8limx

x x x x x

x∆ →

+ ∆ + ∆ + − −=

∆2 2 2

0

4 8 4( ) 4limx

x x x x x

x∆ →

+ ∆ + ∆ −=∆

2

0

8 4( )limx

x x x

x∆ →

∆ + ∆=∆

( )0

8 4limx

x x x

x∆ →

∆ + ∆=

∆

5

0lim(8 4 ) 8x

x x x∆ →

= + ∆ =

Portanto, a derivada de 2( ) 4 8f x x= + , em relação a x , é 8x , ou seja, ' ( ) 8f x x= .

Exemplo 4.5. Dada 2( ) 5 3f x x= + , encontrar a derivada de f no ponto 0 2x = , ou seja, '(2)f .

Resolução: Pela definição acima, vem

( )

0

2 (2)'(2) lim

x

f x ff

x∆ →

+ ∆ −=

∆

( ) ( )2 2

0

5 2 3 5 2 3limx

x

x∆ →

+ ∆ + − × + =∆

( )2 2

0

5 2 2 2 ( ) 3 23limx

x x

x∆ →

+ × ×∆ + ∆ + −=

∆2

0

20 20 5 ( ) 20limx

x x

x∆ →

+ ×∆ + × ∆ −=∆

2

0

20 5 ( )limx

x x

x∆ →

×∆ + × ∆=∆

( )0

20 5limx

x x

x∆ →

∆ + ×∆=

∆( )

0lim 20 5 20x

x∆ →

= + ×∆ =

Portanto, '(2) 20f = .

Observações

(i) Se não existe o limite ou se é igual a ±∞ , dizemos que a função não é derivável no ponto 0x , isto é, ∃ ′ 0( )f x .

(ii) Uma função é derivável num intervalo [ , ]a b , se existem derivadas em qualquer ponto do intervalo [ , ]a b .

4.2.1 Interpretação geométrica da derivada

A derivada de uma função num dado ponto, quando existe, tem um significado geométrico importante que é o discutido nesta seção.

6

Seja ( )f x uma função definida e contínua em [ , ]a b . Seja G o gráfico da função ( )f x . Seja [ , ]x a b∈ e 0 [ , )x a b∈ , 0x x≠ . Veja a figura abaixoFALTA O GRÁFICO DA INTERPRETAÇÃO GEOMETRICA DA DERIVA

A reta s determinada pelos pontos 0 0( , ( ))P x f x e ( , ( ))Q x f x é uma secante à curva G e o se o coeficiente angular α é

0

0

( ) ( )

f x f xtg

x x−α =− .

Se f é derivável no ponto x , quando 0x x→ , Q P→ e s t→ , onde t é tangente geométrica à curva G no ponto P , isto é,

0

0

( ) ( ) ( )

f x f xtg f x

x x−′β = =− .

Assim, podemos dizer que a derivada de uma função ( )f x quando existe, assume em cada ponto 0x , um

valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de ( )f x , no ponto de abscissa 0x .

Observação. Sabemos que a equação de uma reta não vertical passando em um ponto 0 0( , )x y é dada por

0 0( )y y m x x− = − ,

onde m é o coeficiente angular da reta. Se ( )f x é uma função derivável em 0x x= segue da interpretação geométrica da derivada

que a reta tangente ao gráfico de ( )f x no ponto ( )0 0, ( )x f x tem

coeficiente angular 0(́ )a f x= . Portanto, a equação da reta tangente é

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x′− = − .

7

4.2.2Cálculo das derivadas

O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode ser bastante complicado. Contudo, com base na definição de derivada da função ( )f x em relação a variável x , é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho. São as chamadas regras de derivação para soma, produto e quociente de funções. Elas são importantes no cálculo de derivadas de qualquer função.

A seguir apresentaremos alguns exemplos de cálculo de derivada usando a definição. Posteriormente, estes exemplos vão ser utilizados como regras de derivação.

Derivada da função constante

Se ( )f x k= , onde k é uma constante, então ( ) 0f x′ = .

Por exemplo, se ( ) 4f x = , então ( ) 0f x′ = .

Derivada da função afim

Se ( )f x ax b= + , onde a e b são constante e 0a≠ , então ( )f x a′ = .

Por exemplo:(i) Se ( ) 5 4f x x= + , então ( ) 5f x′ = ;(ii) Se ( ) 2 6f x x= − , então ( ) 6f x′ = − .

Derivada da função potência

Se ( ) nf x x= , onde n∈¥ , então 1( ) nf x nx −′ = .

Por exemplo:(i) Se 4( )f x x= , então 3( ) 4f x x′ = ;

(ii) Se 2( )f x x= , então ( ) 2f x x′ = .

Observação. Podemos estender a potência n∈¥ , para qualquer n

que seja inteiro ou racional. Por exemplo, se =34( )f x x , então

3 11

4 43 3

'( )4 4

f x x x− −

= = , aqui 3

4n = .

Derivada da função soma

8

Sejam ( )g x e ( )h x duas funções deriváveis no ponto x , então ( ) ( ) ( )= +f x g x h x também é derivável no ponto x e

( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f x g x h x .

Logo, se ( ) ( ) ( )= +f x g x h x , então ( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f x g x h x .

Observação. Podemos estender a propriedade dada acima para a soma de n funções, isto é, se

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x= + + +K ,então

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x′ ′ ′′ = + + +K .

Por exemplo, se 4 2( ) 3f x x x x= + + , então 3( ) 4 6 1f x x x′ = + + .

Derivada da função produto

Sejam ( )u x e ( )v x duas funções deriváveis em x , então ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ também é derivável em x e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x u x v x′ ′ ′= ⋅ + ⋅ .

Logo, se ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ , então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x v x u x′ ′ ′= ⋅ + ⋅ .

Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente,

f u v v u′ ′ ′= ⋅ + ⋅ .

Observação. Podemos estender a propriedade dada acima para o produto de n funções, ou seja, se

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x f x= K ,então

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x f x f x f x f x f x′ ′′ = +K K

1 2( ) ( ) ( )nf x f x f x′+ +K K .

Em particular, se 1 2( ) ( ) ( ) ( )nf x f x f x u x= = = =K , então

1( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )n nf x u x f x n u x u x−′ ′= ⇒ = .

Por exemplo:

9

(i) 2( ) 5f x x= ( ) 10f x x′⇒ = ;

(ii) 3 2( ) 7 4 5f x x x x= + + 2( ) 21 8 5f x x x′⇒ = + + ;

(iii) 2 5( ) ( 1)f x x x= + + 2 4( ) 5( 1) (2 1)f x x x x′⇒ = + + + .

Derivada da função quocienteSejam ( )u x e ( )v x duas funções deriváveis no ponto x . Seja

( )( )

( )

u xf x

v x= com ( ) 0v x ≠ . Então

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ( ))

v x u x u x v xf x

v x

′ ′−′ = .

Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente,

2

v u u vf

v

′ ′⋅ − ⋅′ = .

Por exemplo:

(i)1

( )f xx

= 2 2

0 1 1 1( )

xf x

x x

⋅ − ⋅′⇒ = = − ;

(ii)2

( )1

xf x

x=

+ 2

( 1) 2 2 1( )

( 1)

x xf x

x

+ ⋅ − ⋅′⇒ =+ 2 2

2( 1) 2 2

( 1) ( 1)

x x

x x

+ −= =+ + ;

(iii) 2

1( )

xf x

x

+= 2

4

1 ( 1) 2( )

x x xf x

x

⋅ − + ⋅′⇒ =2 2

4 3

2 2 2x x x x

x x

− − − −= = .

Resumindo, temos as seguintes fórmulas de derivação. Seja ( )f x uma função de x , então temos as seguintes regras de derivação: (i) ( )f x k= ( ) 0f x′⇒ = , onde k é uma constante; (ii) ( )f x ax b= + ( )f x a′⇒ = , onde a e b são

constantes;(iii) ( ) nf x x= 1( ) nf x nx −′⇒ = , onde n ∈¤ , racionais;(iv) ( ) ( ) ( )= +f x g x h x ( ) ( ) ( )f x g x h x′ ′ ′⇒ = + ;(v) ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x v x u x′ ′ ′⇒ = ⋅ + ⋅ , (vi) ( ) ( ( ))nf x u x= 1( ) ( ( )) ( )nf x n u x u x−′ ′⇒ = ;

(vii)( )

( )( )

u xf x

v x= ′⇒ ( )f x

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

v x u x u x v x

v x

′ ′−= , ( ) 0v x ≠

.

4.2.3 Derivadas das funções exponencial e logarítmica

10

A seguir apresentaremos as fórmulas (sem demonstração) para o cálculo de derivadas de algumas funções trigonométricas, da exponencial e logarítmica.

Derivada da função exponencial

Seja ( ) xf x a= , a +∈ ¡ e 1a ≠ , então

( ) ( ) ' lnx xf x a a a′ = = .

Em particular, quando a e= , então ( ) ( )x xf x e f x e′= ⇒ = .

Derivada da função logarítmica

Seja ( ) logaf x x= , a +∈ ¡ e 1a ≠ , então 1

( ) (log ) 'lnaf x x

x a′ = =

×.

Em particular,

( ) log lnef x x x= = 1( )f x

x′⇒ = .

Vamos agora resolver alguns exemplos para calcular a derivada de algumas funções utilizando as regras apresentadas.

Exemplo 4.6. Calcular a derivada de 3 2( ) 7 3 5 6f x x x x= − + − .

Resolução: Usando as regras acima, vem

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2'( ) 7 3 5 6 ' 7 ' 3 ' 5 ' 6 'f x x x x x x x= − + − = − + + ,

ou,3 1 2 1 1 1 2'( ) 7 3 3 2 5 0 21 6 5f x x x x x x− − −= × − × + × + = − + .

Portanto, a derivada da função 3 2( ) 7 3 5 6f x x x x= − + − é dada por2'( ) 21 6 5f x x x= − + .

Exemplo 4.7. Calcular a derivada de

( ) ( )3 2 2( ) 2 5 3 1 3 2 5f x x x x x x= − + − × − + .

Resolução: Inicialmente, vamos considerar 3 2( ) 2 5 3 1u x x x x= − + − e 2( ) 3 2 5v x x x= − + .

Assim,

11

( )3 2 2 2'( ) 2 5 3 1 ' 6 10 3 0 6 10 3u x x x x x x x x= − + − = − + − = − + ,

ou 2'( ) 6 10 3u x x x= − +

e

( )2'( ) 3 2 5 ' 6 2 0 6 2v x x x x x= − + = − + = − .

Agora, usando a regra acima,vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x v x u x′ ′ ′= × + ×

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 22 5 3 1 6 2 3 2 5 6 10 3x x x x x x x x= − + − − + − + − +4 3 230 76 87 68 17x x x x= − + − + .

Portanto, a derivada da função

( ) ( )3 2 2( ) 2 5 3 1 3 2 5f x x x x x x= − + − − +é dada por

4 3 2'( ) 30 76 87 68 17f x x x x x= − + − + .

Exemplo 4.8. Determinar a derivada de

2

1( )

4

xf x

x

+=−

.

Resolução: Pela regra acima, temos

( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2

22 2

4 1 ' 1 4 '1'( )

4 4

x x x xxf x

x x

′ − × + − + × −+ = = ÷− −

( ) ( ) ( )( )

2

22

4 1 1 2

4

x x x

x

− × − + ×=

−

( )2 2

22

4 2 2

4

x x x

x

− − −=−

( )2

22

2 4

4

x x

x

− − −=−

Portanto, a derivada da função

2

1( )

4

xf x

x

+=−

é a função dada por

( )2

22

2 4'( )

4

x xf x

x

− − −=−

.

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

12

Exercícios propostos

Obtenha a derivada de cada função a seguir:

4) ( ) 5f x = − .

5) 3 21 1( ) 4 8

3 2f x x x x= − + − .

6)4

3( )f x x−

= .

7) 2 1

3 5( )f x x x= + .

8) ( ) lnf x x x= × .

4.3 Derivada de função composta

Sejam ( )y f x= e ( )u g x= duas funções tais que suas derivadas existem e exista a derivada da função ( ( ))y f g x= que indicaremos por dy

dx, então

( ( )) ( )dy

y f g x g xdx

′ ′ ′= = ⋅ ,

ou ainda,dy dy du

ydx du dx

′ = = × .

Logo, ( ( ))y f g x= ⇒ ( ( )) ( )y f g x g x′ ′ ′= × .

A derivada obtida acima da função composta também é conhecida como regra da cadeia.

Exemplo 4.9. Determinar a derivada da função 4 xy e= .

Resolução: Temos, 4 xy e= , então uy e= , onde 4u x= , udye

du= e 4

du

dx= .

Logo,

4udy dy duy e

dx du dx′ = = × = 44 xe= ,

Portanto, a derivada de 4 xy e= é a função 44 xy e′ = .

Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim:

Exemplo 4.10. Determinar a derivada de

13

( ) 43 24 2y x x x= − + − .

Resolução: Aqui, 3 24 2u x x x= − + − , 4n = e 2' 3 8 1u x x= − + .

Assim, 4y u= .

Logo,

( ) ( ) ( )34 1 3 3 2 2' 4 ' 4 ' 4 4 2 3 8 1y u u u u x x x x x−= × = × × = − + − − + .

Portanto, a derivada de ( ) 43 24 2y x x x= − + − é a função

( ) ( )33 2 2' 4 4 2 3 8 1y x x x x x= × − + − × − + .

Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim:

Exemplo 4.11. Encontrar a derivada de 21y x= + .

Resolução: Sabemos que

( )1

2 2 21 1y x x= + = + ,

onde

21u x= + , 1

2n = e ' 0 2 2u x x= + = .

Assim, 1

2y u= .

Logo,1 1

12 2

1 2 22

1 1 ' ' 2' ' '

2 2 2 2 1 12

u u x xy u u u u

u x xu

− −= × × = × × = = = =

× × + +×.

Portanto,

21y x= + ⇒21

xy

x′ =

+.

Exemplo 4.12. Determinar a derivada de21

ln2

y x = − ÷ .

Resolução: Aqui temos 21

2u x= − e

1' 2

2u x x= − × × = − .

Logo,

14

2 2

' 1 2'

1 12 2 2

u x xy

xu xx x

−= = = = =− .

Portanto, a derivada de 21ln

2y x = − ÷

é a função 2

'yx

= .

Em resumo temos as seguintes derivadas importantes:1. ny u= 1' 'ny nu u−⇒ = .2. y u v= ' ' 'y u v v u⇒ = + .

3.u

yv

=2

' ''

u v v uy

v

−⇒ = .

4. uy a= ( )' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a⇒ = > ≠ .

5. uy e= ' 'uy e u⇒ = .

6. logay u= '' loga

uy e

u⇒ = .

7. lny u= 1' 'y u

u⇒ = .

8. vy u= 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = + ,onde u e v são funções deriváveis de x e n constante.

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos

Obtenha a derivada de cada função a seguir:9) 3ln( 1)y x= + .

10) 3 5( ) (2 4 1)h x x x= + + .

11) 3 5

1( )

(2 4 1)h x

x x=

+ + .

12)3 2

( )1

xf x

x

−=+

.

13) ( ) 4( ) log 1 5h x x= − .

4.4 Derivada de função inversa

Seja ( )y f x= uma função inversível, derivável no ponto x , onde ( ) 0f x′ ≠ . A função inversa de ( )y f x= que representaremos por

( )x g y= é derivável no ponto y sendo ( )y f x= , sua derivada é

15

1( )

( )g y

f x′ =

′ .

Ou seja, se ( )y f x= , função dada, e ( )x g y= , sua inversa, então 1

( )( )

g yf x

′ =′ .

Exemplo 4.13. Calcular a derivada da função inversa de ( ) 5 7y f x x= = − .

Resolução: Inicialmente vamos calcular a função inversa de ( ) 5 7y f x x= = − que é ( )x g y= . Aplicando a regra prática para

encontrarmos a função inversa de uma dada função, estudada na seção 3.7, temos

75 7 5 7 5 7

5

xy x x y y x y

+= − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ = ,

ou ainda 7

( )5

yx g y

+= = .

Assim, a função inversa de ( ) 5 7f x x= − é 7

( )5

yx g y

+= = e ( ) 5f x′ = .

Logo, 1 1 1

( ) ( )( ) 5 5

g y g yf x

′ ′= = ⇒ =′ .

De fato, calculando a derivada da função ( )g y em relação a y , temos'

7 1( )

5 5

yg y

+ ′ = = ÷ .

Portanto, a derivada da função inversa de

( ) 5 7y f x x= = − , 7

( )5

yg y

+=

é dada por 1

( )5

g y′ = .

Exemplo 4.14. Determine a derivada da inversa da função 3( )y f x x= = para 0x > .

Resolução. Vamos calcular a função inversa de 3( )y f x x= = aplicando a regra prática estudada no capítulo anterior. Assim, a função inversa da função 3( )y f x x= = é 3( )x g y y= = , (0, )y ∈ ∞ e

2(́ ) 3 0f x x= ≠ para todo 0x > , logo

16

( ) 223

1 1 1(́ )

(́ ) 3 3g y

f x x y= = = .

Portanto, a derivada da inversa da função 3( )f x x= para 0x > , 3( )g y y= é

( ) 23

1(́ )

3g y

y= .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos

14) Calcular a derivada da função inversa de 5( )y f x x= = no ponto 1y = .

15) Determinar a derivada da função inversa de 2( ) 2 3y f x x= = − .

16) Determinar a derivada da função inversa de ( ) 5 7y f x x= = − .

17) Determinar a derivada da função inversa de 4( ) 1y f x x= = + .

4.5 Derivadas sucessivas

Suponha que f é uma função derivável no intervalo I . Se a função )´(xf , chamada de derivada primeira de )(xf , é derivável no mesmo

intervalo, então existe a função derivada de )´(xf , indicada como )´´(xf que é chamada de derivada segunda de )(xf . Diz-se então

que )(xf é duas vezes derivável.

Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que )(xf é n vezes derivável, obtém-se a função derivada n -ésima, ou derivada de ordem n , de )(xf indicada como )(nf )(x . As funções )´(xf ,

)´´(xf ,..., )(nf )(x , são as derivadas sucessivas de )(xf .

Exemplo 4.15. Determinar todas as derivadas da função

3 2( ) 2 1f x x x= + + .

Resolução: Aplicando as regras de derivação estudadas, temos

3 2( ) 2 1f x x x= + + ,2( ) 3 4f x x x′ = + ,

( ) 6 4f x x′′ = + ,

17

( ) 6f x′′′ = ,( ) 0ivf x = ,

( ) 0nf x = , 4n∀ ≥ .

Portanto, todas as derivadas da função 3 2( ) 2 1f x x x= + + é ( ) 0nf x = , 4n∀ ≥ .

Exemplo 4.16. Obtenha a derivada terceira da função1

( )f xx

= .

Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos

1( )f x

x= ,

2

1( )f x

x′ = − ,

3

2( )f x

x′′ = ,

4

6( )f x

x′′′ = − .

Portanto, a derivada terceira de 1

( )f xx

= é 4

6( )f x

x′′′ = − .

Exemplo 4.17. Obtenha a derivada de ordem 4 da função 2( ) xf x e−= .

Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos

2( ) xf x e−= ,2'( ) 2 xf x e−= − × ,

2''( ) 4 xf x e−= × ,2'''( ) 8 xf x e−= − × ,2''''( ) 16 xf x e−= × .

Portanto, a derivada de ordem 4 ou a quarta derivada da função 2( ) xf x e−= é 2''''( ) 16 xf x e−= × e consequentemente,

( ) 2( ) ( 1) 2 ,n n n nf x e n−= − × × ∀ ∈¥ .

Resolva, agora, os seguintes exercícios propostos.

Exercícios propostos

18

18) Calcular todas as derivadas da função 1

( )f xx

= .

19) Determinar a segunda derivada da função 4 3 2( ) 2 3 4 2f x x x x x= − + − + .

20) Determinar a segunda derivada da função 1

( ) 2f x xx

= + .

4.6 A Diferencial

Suponha que a função f seja definida por ( )y f x= e f seja derivável em 0x . A variação sofrida por f , quando se passa do ponto 0x ao

ponto 0x x+ ∆ é

( )0 0( )y f f x x f x∆ = ∆ = + ∆ − .

Usando o símbolo ≈ , significando "é aproximadamente igual a", dizemos que 0( )f f x x′∆ ≈ ∆ , se x∆ for suficientemente pequeno. O lado direto da expressão acima é definido como a diferencial de y . Isto nos motiva a seguinte definição.

Definição. Se a função f é definida por ( )y f x= , então a diferencial de y , no ponto 0x , denotada por dy ou df é dada por

0( )df f x x′= ∆

onde 0x está no domínio de f ′ e x∆ é um incremento arbitrário de 0x .

Observação. Note que df depende de x∆ e é fácil perceber que quanto menor for x∆ , mais próximo df estará de f∆ . Assim, podemos dizer que

df f≅ ∆ para pequenos valores de x∆ .

Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproximadamente variações de f , para pequenos valores de

x∆ .

Exemplo. Consideremos a função 2( ) 3f x x= , 0 1x = e 0 1,01x x+ ∆ = , logo 1,01 1 0,01x∆ = − = . Calcular f∆ e df .

Resolução: Vamos calcular inicialmente f∆ dado por

( )0 0( )f f x x f x∆ = + ∆ − , assim

( )0 0( )f f x x f x∆ = + ∆ −(1,01) (1)f f= −

19

( ) 2 23 1,01 3 1

3 1,0201 3 1

3,0603 3 0,0603

= × − ×= × − ×= − =

.

Para calcularmos a diferencial de f no ponto 0 1x = e 0,01x∆ = temos

'( ) 6f x x= e '(1) 6 1 6f = × = ,Assim,

0( ) '(1) 0,01 6 0,01 0,06df f x x f′= ×∆ = × = × = .

Não é difícil de observar que df f≅ ∆ .

Portanto, 0,0603f∆ = e 0,06df = .

Exemplo. Calcule a diferencial de 2( )y f x x= = no ponto 0 2x = e 0,01x∆ = .

Resolução: Sabemos que a diferencial de uma função f no ponto 0x é dada por

0( )df f x x′= ∆ ou (2) 0,01df f ′= × .Como

'( ) 2f x x= e '(2) 2 2 4f = × = ,vem

(2) 0,01 4 0,01 0,04df f ′= × = × = .

Portanto, a diferencial de 2( )y f x x= = no ponto 0 2x = e 0,01x∆ = é 0,04df = .

Exemplo. Seja a função 2( ) 4 3 1y f x x x= = − + , encontre y∆ e dy para(i) qualquer x e x∆ ;(ii) 2x = , 0,1x∆ = ;(iii) 2x = , 0,01x∆ = ;(iv) 2x = , 0,001x∆ = .

Resolução: (i) Vamos calcular inicialmente y∆ . Como 24 3 1y x x= − + , temos

24( ) 3( ) 1 ( )y x x x x f x∆ = + ∆ − + ∆ + −

( ) ( )2 2 2 24 2 ( ) 3 4 1 4 3 1x x x x x x x x= + ∆ + ∆ − − + − − +

( ) 22 24 8 4 3 3 1 4 3 1x x x x x x x x= + ×∆ + × ∆ − − ×∆ + − + −

( ) 28 3 4x x x x= ×∆ − ×∆ + ∆

20

( ) ( ) 28 3 4x x x= − ×∆ + ∆ .

Portanto,

( ) ( ) 28 3 4y x x x∆ = − ×∆ + × ∆ .

Agora, vamos calcular dy . Sabemos que ( )dy f x x′= ×∆ . A derivada de

2( ) 4 3 1y f x x x= = − +em relação a x é

'( ) 8 3f x x= − .Assim,

'( ) (8 3)dy f x x x x= ×∆ = − ∆Portanto,

(8 3)dy x x= − ×∆ .

Os resultados para as partes (ii), (iii) e (iv) são apresentados no quadro abaixo, onde

2(8 3) 4( )y x x x∆ = − ∆ + ∆ e (8 3)dy x x= − ∆

x x∆ y∆ dy

2 0,1 1,34 1,32 0,01 0,1304 0,132 0,00

10,013004

0,013

Exercícios propostos

21) Calcular dy da função 2

( ) xy f x e−= = no ponto 0 0x = para 0,01x∆ =.

22) Obtenha a diferencial de ( )1

xy f x

x= =

− no ponto 0 2x = para

0,1x∆ = .23) Seja a função 2( ) 5y f x x x= = − . Calcular y∆ e dy para 0 1x = − e

0,01x∆ = .

4.7 Aplicações: Funções marginais

Em Administração e Economia, dada uma função ( )f x , costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em ( )f x por uma pequena variação de x . Chama-se função marginal de ( )f x à função derivada de ( )f x . Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a

21

derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seção veremos algumas funções marginais.

Função custo marginal

Suponha que ( )C x seja o custo total de produção de x unidades de certo produto, com 0x ≥ e ( ) 0C x ≥ . A função C é chamada de função custo total e temos a seguinte definição.

Definição. Se ( )C x é o custo total de produção de x unidades de um produto, então o custo marginal quando 0x x= , é dado por 0'( )C x , caso exista. A função '( )C x é chamada função custo marginal.

Assim, pela seção anterior,

0 0 0'( ) ( 1) ( )C x C C x C x≅ ∆ = + − .

Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional, a partir de

0x unidades.

Na definição acima, 0'( )C x pode ser interpretada como a taxa de

variação do custo total quando 0x x= unidades são produzidas.

Exemplo 4.18. Suponhamos que ( )C x seja o custo total de fabricação de x pares de calçados da marca WW dado pela equação

2( ) 110 4 0,02C x x x= + + . Determinar o custo marginal quando 50x = .

Resolução: Vamos calcular a derivada da função 2( ) 110 4 0,02C x x x= + + , ou seja, '( ) 4 0,04C x x= + e '(50) 4 0,04 50 6C = + × = .

Assim sendo, a taxa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados da marca WW são fabricados, é R$6,00 por par fabricado.

O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é

'(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − e

( ) ( )2 2(51) (50) 110 4 51 0,02 51 110 4 50 0,02 (50)C C− = + × + × − + × + ×366,02 360 6,02= − =

Assim, '(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − = 6,02.

Logo, '(50)C é o custo aproximado da produção do qüinquagésimo primeiro par de calçado da marca WW.

22

Portanto, o custo marginal quando 50x = é ( )' 50 6C = .

Exemplo 4.19. Consideremos a função custo 3 2( ) 0,02 0,4 400 200C x x x x= − + + , determinar o custo marginal para 20x =

.

Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função

3 2( ) 0,02 0,4 400 200C x x x x= − + + ,ou seja,

2'( ) 0,06 0,8 400C x x x= − +e

2'(20) 0,06 (20) 0,8 20 400 408C = × − × + = .

Como '(20) (21) (20)C C C C≅ ∆ = − , vem

( )3 2'(20) 0,02 (21) 0,4 (21) 400 21 200C ≅ × − × + × +

( )3 20,02 (20) 0,4 (20) 400 20 200− × − × + × +8.608,82 8.200 408,82≅ − = .

Logo, '(20)C é o custo aproximado da produção do vigésimo primeiro item.

Portanto, o custo marginal quando 20x = é '(20) 408C = .

Função receita marginal

Suponha que ( )R x seja a receita total obtida pela venda de x unidades de um produto e temos a seguinte definição.

Definição. Se ( )R x é a receita obtida quando x unidades de um produto são demandadas, então a receita marginal, quando 0x x= , é dado por 0'( )R x , caso exista. A função '( )R x é chamada função receita marginal. 0'( )R x pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variação da receita total quanto

0x x= unidades são demandadas.

Assim, pela seção anterior,

0 0 0'( ) ( 1) ( )R x R R x R x≅ ∆ = + − .

Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de 0x unidades.

23

Exemplo 4.20. Suponha de ( )R x seja a receita total recebida na venda de x cadeiras da loja BBC, e 2( ) 4 2000R x x x= − + . Calcular a receita marginal para 40x = .

Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função 2( ) 4 2000R x x x= − + , ou seja,

'( ) 8 2000R x x= − + e '(40) 8 40 2000 1.680R = − × + = .Como,

'(40) (41) (40)R R R≅ −

( ) ( )2 24 41 2000 41 4 (40) 2000 40≅ − × + × − − × + ×75.276 73.600 1.676≅ − = .

Logo, '(40)R é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira carteira.

Portanto, a receita marginal quando 40x = é '(40) 1.680R = .

Exemplo 4.21. Consideremos a função receita total da venda de x

estantes dada por 2

( ) 5002

xR x x= − . Calcular a receita marginal para

50x = .

Resolução: Calculando a derivada da função 2

( ) 5002

xR x x= − , temos

'( ) 500R x x= − e '(50) 500 50 450R = − = .Como

( ) 2 251 (50)'(50) (51) (50) 500 51 500.50

2 2R R R

≅ − = × − − − ÷

24.199,50 23.750 449,50≅ − = .

Logo, '(50)R é a receita efetiva da venda da qüinquagésima estante. Portanto, a receita marginal quando 50x = é '(50) 450R = .

Função produtividade marginal

Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade x de um fator de produção variável. Chama-se função produtividade marginal do fator à derivada da função P em relação a x .

Exemplo 4.22. A quantidade P (em toneladas) produzida por mês de certo produto e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção ( ) 1016P x x= . Determinar a produtividade marginal quando 64x = .

24

Resolução: Vamos calcular a derivada da função ( ) 1016P x x= em relação a x que é a função produtividade marginal do fator trabalho mensal, logo

1

2( ) 1016 1016P x x x= =1 1

12 2

1

2

1 1 508'( ) 1016 508 508

2P x x x

xx

− −⇒ = = = = ,

ou seja, 508

'( )P xx

= .

Calculando a produtividade marginal quando 64x = , temos

508 508'(64) 63,5

864P = = = .

Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na produção mensal será, aproximadamente, 63,5 toneladas.

Portanto, a produtividade marginal da função produção ( ) 1.016P x x= × quando 64x = é 63,5 toneladas.

Exemplo 4.23. Considere a função produção ( ) 500 6P H H H= × − , onde P é a produção mensal (em toneladas), e H , o número de homens-hora empregados. Calcular: a) função produtividade marginal, '( )P H ; b) '(100)P .Resolução: a) Vamos calcular a derivada da função P em relação a H , logo

1

2( ) 500 6 500 6P H H H H H= × − = × −1 1

12 21

'( ) 500 6 250 62

P H H H− −

⇒ = × × − = × −

1

2

1 250250 6 6

HH

= × − = − ,

ou seja, 250

'( ) 6P HH

= − .

Portanto, a função produtividade marginal é 250

'( ) 6P HH

= − .

b) Agora, vamos calcular '(100)P , isto é, 250 250

'(100) 6 6 25 6 1910100

P = − = − = − = .

25

Portanto, '(100) 19P = .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios Propostos

24) O custo total da produção de x unidades de certo produto é dado

por 2

( ) 80040

xC x x= − . Calcular:

a) a função custo marginal; b) o custo marginal para 1.000x = ; c) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $

600.

25) Dada a função custo 3 2( ) 0,3 2,5 20 200C x x x x= − + + , obtenha o custo marginal para 50x = e 100x = .

26) Dada a função custo 3 2( ) 0,3 2,5 20 200C x x x x= − + + , obtenha o custo médio para 10x = .

Sugestão. O custo médio, CM, é dado por ( )C x

CMx

= .

27) Dada a função receita 2( ) 3 1.500R x x x= − + obtenha a receita marginal quando 250x = .

28) A receita total recebida da venda de x televisores em cores é

dada por 3

( ) 70040

xR x x= − . Determinar:

a) a função receita marginal; b) a receita marginal quando 20x = .

29) Dada da função receita total 2( ) 20 1500R x x x= − + , determinar a receita média para 10x = .

Sugestão. A receita medida, RM, é dada por ( )R x

RMx

= .

30) A quantidade P (em kilograma) produzida por dia de certo produto e x o trabalho diário envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção 2( ) 100 5 7P x x x x= × + − + . Determinar: a) a função produtividade marginal;b) a produtividade marginal quando 36x = .

4.8 Regra de L´Hospital

Vamos estudar, nesta seção, outra aplicação das derivadas, que consiste num modo bastante útil de calcular limites de formas indeterminadas, a chamada regra (ou

26

Teorema) de L’Hospital que nos permite levantar indeterminações do tipo 0

0 e

∞∞

estudadas no capítulo anterior, provenientes do cálculo do limite do quociente de duas funções deriváveis.

Glossário.

Regra de L'Hospital foi incorporada por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hospital, em 1696. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há

indeterminações do tipo 0

ou0

∞∞

.

Nesta seção queremos calcular o limite )(

)(lim

xg

xfax→

, nos seguintes casos

(a) 0)( →xf e 0)( →xg quando ax → ;(b) ∞→)(xf e ∞→)(xg quando ax → .

Em ambos, calculamos '( )f x , '( )g x e '( )

lim'( )x a

f x

g x→. Se este limite existe

segue que )(

)(lim

xg

xfax→

também existe. Caso a indeterminação continua,

isto é, '( )f x e '( )g x satisfazem (a) e (b), calcule ''( )f x e ''( )g x e ''( )

lim''( )x a

f x

g x→. E assim por diante.

Exemplo 4.24. Usando a regra de L’Hospital, calcular o valor do limite

2

24

12lim

3 4x

x x

x x→

− −− −

.

Resolução: Aqui 2( ) 12f x x x= − − e 2( ) 3 4g x x x= − − . Aplicando as propriedades dos limites estudadas na seção 3.11, vem

2 2

4 4lim ( ) lim( 12) 4 4 12 0x x

f x x x→ →

= − − = − − =

e 2 2

4 4lim ( ) lim( 3 4) 4 3 4 4 0x x

g x x x→ →

= − − = − × − = .

Como 4lim ( ) 0x

f x→

= e 4lim ( ) 0x

g x→

= temos uma indeterminação do tipo 0

0.

Calculando '( )f x vem '( ) 2 1f x x= − e calculando '( )g x vem '( ) 2 3g x x= − .

27

Aplicando a regra de L’Hospital, temos

2

24 4

12 2 1 2 4 1 7lim lim

3 4 2 3 2 4 3 5x x

x x x

x x x→ →

− − − × −= = =− − − × −

.

Portanto, 2

24

12 7lim

3 4 5x

x x

x x→

− − =− −

.

Exemplo 4.25. Calcular 0

lim1 xx

x

e→ −.

Resolução: Aqui ( )f x x= e ( ) 1 xg x e= − . Aplicando as propriedades dos limites estudadas na seção 3.11, vem

0lim 0x

x→

= e 0

0lim(1 ) 1 1 1 0x

xe e

→− = − = − = .

Como 0lim 0x

x→

= e 0

lim(1 ) 0x

xe

→− = temos uma indeterminação do tipo

0

0.

Calculando '( )f x e '( )g x vem '( ) 1f x = e '( ) xg x e= − .

Aplicando a regra de L’Hospital, temos

0 0

1 1lim lim 1

1 1x xx x

x

e e→ →= = = −

− − −.

Portanto,

0lim 1

1 xx

x

e→= −

−.

Exemplo 4.26. Calcular 2

limxx

x

e→∞.

Resolução: Como 2lim

xx

→∞= ∞ e lim x

xe

→∞= ∞ , temos uma indeterminação

do tipo ∞∞

.

Logo,

( )( )

22 2lim lim lim

x xx x xx

xx x

e ee→∞ →∞ →∞

′= =

′.

A indeterminação continua. Aplicando novamente a regra, vem

( )( )2 ´2 2

lim lim lim 0´x xxx x x

xx

e ee→∞ →∞ →∞= = = .

28

Portanto, 2

lim 0xx

x

e→∞= .

Exemplo 4.27. Calcular

( )2

0lim logx

x x→

.

Resolução: Aplicando as propriedades dos limites estudadas na seção 3.11, vem

2

0 0lim ( ) lim 0x x

f x x→ →

= = e ( ) ( )0 0 0

lim ( ) lim log log limx x x

g x x x→ → →

= = = ∞ .

Temos uma indeterminação do tipo 0×∞ , pois ( )lim ( ) ( )x a

f x g x→

× , no caso,

( ) 0f x → e ( )g x → ∞ , quando 0x → .

Vamos escrever

( ) ( )lim ( ) ( ) lim

1( )

x a x a

g xf x g x

f x

→ →× =

.

obtendo assim as indeterminações do tipo

0

0 ou

∞∞

.

Assim,

( )220 0 0

2

log loglim log lim lim

1x x x

x xx x

xx

−→ → →× = =

,

ou,

( )220 0

loglim log limx x

xx x

x−→ →× = .

Como ( ) ( )0 0

lim log log limx x

x x→ →

= = ∞ e 2

0limx

x−

→= ∞ , temos uma indeterminação

do tipo ∞∞

.

Aplicando a regra de L’Hospital, vem

( ) ( )( )

'

' 320 0 0

1log

lim log lim lim2x x x

x xx xxx

−−→ → →× = =

− ×

1 1 ( 3) 2

30 0 0lim lim lim 0

2 2 2x x x

x x x

x

− − − −

−→ → →= = = =

− ×

Portanto,

( )2

0lim log 0x

x x→

× = .

29

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios Propostos

31) Aplicando a regra de L’Hospital calcular os seguintes limites.

a) ( )

0

sen 6lim

4x

x

x→. b)

2

2lim 1 tg x

xx

π π→

− .

c) 0

1 coslimx

x

senx→

−. d)

1

ln 1lim

1xx

x x

e→

− +−

.

e) 2

32

4lim

8x

x

x→

−−

. f) ln

limx

x

x→∞.

g) 3

2lim

x

x

e

x→∞. h)

3

21

3 2lim

2 1x

x x

x x→

− +− −

.

4.9 Máximos e mínimos de uma função

Esta seção tem como objetivo estudar aplicações da derivada para determinar os valores máximos e mínimos de uma função e para isto necessitamos da seguinte definição.

Definição 4.2. Dada a função :f I → ¡ , um ponto Ix ∈0 é chamado de

)(i ponto de máximo relativo (ou local) da função quando

0( ) ( )f x f x≥ para todo x I∈ ; )(ii ponto de mínimo relativo (ou local) da função quando

0( ) ( )f x f x≤ para todo x I∈ .

O valor 0( )f x é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local)

de f e ( )0 0, ( )x f x são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo

relativo (ou local) de f .

Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos.

Definição 4.3. Dada a função ( )f x , um ponto 0x onde f é derivável em 0x e 0'( ) 0f x = ou f não é derivável em 0x é chamado de ponto crítico da função f .

Exemplo 4.28. Seja a função 3 2( ) 3f x x x= − , x∈ ¡ . Determinar os pontos críticos de f .

Resolução: Sabemos que 3 2( ) 3f x x x= − é uma função polinomial derivável em todo x∈ ¡ .

30

Calculando '( )f x temos ( )2'( ) 3 6 3 2f x x x x x= − = −

Agora '( ) 0f x = implica em 23 6 0x x− = , ou seja, 0x = e 2x = são os pontos críticos da função 3 2( ) 3f x x x= − .

Exemplo 4.29. Determinar o ponto crítico da função 2

3( ) ( 1)f x x= − ,

x∈ ¡ .

Resolução: Calculando '( )f x , temos

( ) ( )( )

2 11

3 31

3

2 2 2 1'( ) 1 1

3 3 3 1f x x x

x

− −= − = − = ×−

,

ou,

( )1

3

2 1'( )

3 1f x

x= ×

−.

A função dada não derivável em 1x = , isto é, não existe '(1)f . Nesse caso, 1x = é o único ponto crítico de f .

Exemplo 4.30. Calcular os pontos críticos da função 3 2( ) 1f x x x x= + − + no intervalo 1

2[ 2, ]− .

Resolução: Inicialmente temos se 3 2( ) 1f x x x x= + − + então 2'( ) 3 2 1f x x x= + − .

Fazendo (́ ) 0f x = , vem 23 2 1 0x x+ − = . Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as

raízes 1x = − e 1

3x = .

Portanto, 1x = − e 1

3x = são os pontos críticos de 3 2( ) 1f x x x x= + − + em

12[ 2, ]− .

Definição 4.4. Seja f uma função derivável em 0x . Se f tem um máximo ou mínimo relativo (ou local) em 0x , então 0(́ ) 0f x = .

Por exemplo, a função 2( )f x x= , para ( 1, 1)x∈ − , tem derivada '( ) 2f x x= . Em 0x = , a função tem um mínimo relativo e '(0) 0f = .

Vimos no Capítulo2, seção 2.2 que dada uma função :f I → ¡ , f é crescente no intervalo I quando dados Ixx ∈21 , , quaisquer, com

31

1 2x x≤ , tem-se 1 2( ) ( )f x f x≤ e f é decrescente no intervalo I quando dados 1 2, x x I∈ , quaisquer, com 1 2x x≤ , tem-se 1 2( ) ( )f x f x≥ .O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é crescente ou decrescente.

Teorema 4.1. Seja ( )f x uma função derivável no intervalo ( , )a b , então (a) Se '( ) 0f x = em ( , )a b , então )(xf é constante em ( , )a b ;(b) Se '( ) 0f x > em ( , )a b , então )(xf é crescente em ( , )a b ;(c) Se '( ) 0f x < em ( , )a b , então )(xf é decrescente em ( , )a b .

Exemplo 4.31. Seja 2( )f x x= . Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente.

Resolução: Temos 2( )f x x= e '( ) 2f x x= .

Agora, '( ) 2 0f x x= ≤ se e somente se 0x ≤ então ( ) 0f x′ ≤ , logo, f é decrescente em ( ,0]−∞ e '( ) 2 0f x x= ≥ se e somente se 0x ≥ então

( ) 0f x′ ≥ , logo, f é crescente em ( ,0]−∞ .

Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim:

x ( )f x Conclusão0x < − ( )f x decrescente em

( ,0]−∞0x > + ( )f x crescente em

[0, )−∞

Veja a figura abaixo:

Figura 4.1

32

Exemplo 4.32. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde 3( )f x x= .

Resolução: De 3( )f x x= temos 2( ) 3f x x′ = . Agora, 23 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , para todo x∈ ¡ e f é crescente em ¡ .

Exemplo 4.33. Seja 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + definida para todo x real. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente.

Resolução: Temos 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + . Agora, fazendo ( ) 0f x′ = , vem 23 12 9 0x x− + = . Resolvendo esta equação pela regra de Bhaskara, temos as raízes 3x = e 1x = . Logo,

( ) 3( 1)( 3)f x x x′ = − − .

Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim,

x ( )f x′ Conclusão1 0 ponto crítico de f

1x < + f é crescente1 3x< < − f é decrescente

3x = 0 ponto crítico de f3x > + f é crescente

Portanto, ( )f x é crescente em ( ,1]−∞ e [3,∞ ) e decrescente em [1,3]. Também 3x = e 1x = são extremos da função (pontos críticos).

Teste da segunda derivada para extremos relativos

Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição.

Definição 4.5. Seja 0x um ponto crítico de uma função na qual

0( ) 0f x′ = e f ′ existe para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha o ponto 0x . Então 0( )f x′′ existe e (i) se 0''( ) 0f x < então f tem um valor máximo relativo em 0x ;(ii) se 0''( ) 0f x > então f tem um valor mínimo relativo em 0x .

Exemplo 4.34. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função 4 3 24

( ) 43

f x x x x= + − pelo critério ou teste da segunda derivada.

33

Resolução: Temos 4 3 24( ) 4

3f x x x x= + − então 3 2( ) 4 4 8f x x x x′ = + − .

Agora, ( ) 0f x′ = vem 3 24 4 8 0x x x+ − = . Fatorando a expressão 3 24 4 8 0x x x+ − = vem

24 ( 2) 4 ( 2)( 1) 0x x x x x x+ − = + − = .

A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será igual a zero se, e somente,

0x = , 2x = − e 1x = .

Logo, 0x = , 2x = − e 1x = são pontos críticos da função f .

Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente. Calculando ''( )f x temos

2( ) 12 8 8f x x x′′ = + − .

Analisando para 0x = , vem 2(0) 12 0 8 0 8 8 0f ′′ = × + × − = − < , assim 0x = é um ponto de máximo relativo da função f e seu valor no ponto 0x = é

4 3 24(0) 0 0 4 0 0

3f = + × − × = ou (0) 0f = .

Analisando para 1x = , vem 2(1) 12 1 8 1 8 12 0f ′′ = × + × − = > , assim 1x = é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é

4 3 24 4 8(1) 1 1 4 1 1 4

3 3 3f = + × − × = + − = − ou

8(1)

3f = − .

Finalmente analisando para 2x = − , vem

2( 2) 12 ( 2) 8 ( 2) 8f ′′ − = × − + × − − 12 4 16 8 24 0= × − − = > .

Assim 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é

4 3 24 4 32( 2) ( 2) ( 2) 4 ( 2) 16 ( 8) 4 4

3 3 3f − = − + × − − × − = + × − − × = − ,

ou seja, 32

( 2)3

f − = − .

Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f , 1x = é um ponto de mínimo relativo da função f e 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f . Veja a figura abaixo

34

Figura 4.2

Exemplo 4.35. Encontrar os extremos relativos da função 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + usando o critério da segunda derivada.

Resolução: Temos, 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + e ( ) 6 12f x x′′ = − .

Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualar '( )f x a zero, ou seja, ( ) 0f x′ = , isto é, 23 12 9 0x x− + = fatorando vem 3( 3)( 1) 0x x− − = .

A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será zero se, e somente 1x = e 3x = .

Logo, 1x = e 3x = são pontos críticos de f .

Vamos determinar agora os extremos relativos de f .

Para 1x = , temos (1) 6 1 12 6 0f ′′ = × − = − < , logo 1x = é um ponto de máximo relativo da função f .

Para 3x = , temos (3) 6 3 12 6 0f ′′ = × − = > , logo 3x = é um ponto de mínimo relativo da função f .

Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f e 3x = é um ponto de mínimo relativo da função f .

Veja a figura abaixo:

35

Figura 4.3

Exemplos práticos

Exemplo 4.36. A função custo mensal de fabricação de um produto

é dada por 3

2( ) 2 10 13

xC x x x= − + + e a função de demanda mensal ( )p

do mesmo produto é dada por ( ) 10p x x= − . Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Resolução: O lucro total é dado por ( ) Re ( ) ( )Lucro L ceita R Custo C= − e a

receita será Receita p x= × , assim ( ) 210 10R p x x x x x= × = − × = − . Logo, 3

2 210 2 10 13

xL R C x x x x

= − = − − − + + ÷

32 210 2 10 1

3

xx x x x= − − + − − ,

ou ainda,3

2( ) 13

xL x x= − + − .

Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x , temos

2'( ) 2L x x x= − + e ''( ) 2 1L x x= − + .

Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar '( )L x a zero, ou seja, '( ) 0L x = e vem 2 2 0x x− + = . Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, temos as raízes 0x = e 2x = . Logo, 0x = e 2x = são os pontos críticos de L .

Vamos determinar agora os extremos relativos de L .

Para 0x = , temos ''(0) 2 0 1 1 0L = − × + = > , logo, é um ponto de mínimo relativo de L .

36

Para 2x = , temos ''(2) 2 2 1 3 0L = − × + = − < , logo, é um ponto de máximo relativo de L .

Portanto, o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro é 2x = .

Exemplo 4.37. A empresa “Sempre Alerta” produz um determinado produto com um custo mensal dado pela função

3 21( ) 2 10 20

3C x x x x= − + + . Cada unidade deste produto é vendida por

R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal.

Resolução: Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal.

O lucro mensal é dado ( ) Re ( ) ( )Lucro L ceita R Custo C= − ,

assim

3 2131 2 10 20

3L R C x x x x = − = − − + + ÷

3 2131 2 10 20

3x x x x= − + − −

3 212 21 20

3x x x= − + + −

ou ainda, 3 21

( ) 2 21 203

L x x x x= − + + − .

Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x , temos

2'( ) 4 21L x x x= − + + e ''( ) 2 4L x x= − + .

Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar '( )L x a zero, ou seja, '( ) 0L x = e vem 2 4 21 0x x− + + = . Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, temos as raízes 3x = − e 7x = .

Logo, 3x = − e 7x = são os pontos críticos de L .

Vamos determinar agora os extremos relativos de L .

Para 3x = − , temos ''( 3) ( 2) ( 3) 4 10 0L − = − × − + = > , logo, é um ponto de mínimo relativo de L .

37

Para 7x = , temos ''(7) 2 7 4 10 0L = − × + = − < , logo, é um ponto de máximo relativo de L .

Portanto, a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é 7x = .

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos

32) Seja 3 2( ) 5 5f x x x x= + − − .a) Determine os pontos críticos de f .b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.

33) Seja 3 21 1( ) 6 8

3 2f x x x x= + − + , determine:

a) os pontos críticos, b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, c) os valores máximos e mínimos de f .

34) O custo total de produção de x aparelhos de certa TV Plasma

por dia é 21$ 35 25

4R x x + + ÷

e o preço unitário que elas podem

ser vendidas é 1

$ 502

R x − ÷ cada. Qual deve ser a produção

diária para que o lucro seja máximo?

35) A produção de bicicletas da empresa “Roda Viva” é de x por mês, ao custo dado por ( ) 100 3C x x= + . Se a equação de

demanda por 253

xp = − , obtenha o número de unidades que

devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro mensal.

36) A equação de demanda de um produto é 30 5lnp x= − . Determinar:

a) a função receita ( )R x ; b) o valor de x que maximiza a receita.

Respostas

1) a) 0. b) 1. c) 1

18. d)

7

3. e) 1− .

38

2) ( )0 0

1

1 1

y

x x x x

∆ =∆ + ∆ + + + .

3) 0 0,5 1C

x xx

∆ = + ×∆ +∆

.

4) '( ) 0f x = .5) 2'( ) 4f x x x= − + .

6)7

34

'( )3

f x x−

= − .

7)1 4

3 52 1

'( )3 5

f x x x− −

= + .

8)1 1

'( ) 1 ln2

f x xx

= + ÷ .

9)2

3

3

1

xy

x′ =

+.

10) 3 4 2(́ ) 5 (2 4 1) (6 4)h x x x x= × + + × + .

11)( )

( )2

63

5 6 4'( )

2 4 1

xh x

x x

− × +=

+ +.

12)( )

1

2 2

5 1'( )

2 3 21

1

f xx

xx

= ×− × + ÷+

.

13)20

'( )(1 5 ) ln10

h xx

−=− × .

14) 5.

15)

1'( )

34

2

g yy

= +× ÷

.

16)1

7− .

17) ( ) 34

1'( )

4 1g y

y=

× − .

18) 1

!( ) ( 1)n n

n

nf x

x += − , n∀ ∈¥ .

19) 2''( ) 24 18 8f x x x= − + .

20)3 5

2 21 3''( )

2 4f x x x

− −= − + .

21) 0dy = .

22) 0,1df = .

23) 0,0699y∆ = − e 0,0700dy = − .

24) a) '( ) 80020

xC x = − ;

b) 750; c) 4.000.25) 2.020 e 8.520.26) 45CM = .27) '(250) 0R = .

28) a) 23

'( ) 70040

xR x = − ; b) 670.

29) 1.300.

30) a) 50

'( ) 2 5P x xx

= + − ;

b) 15,33.

31) a) 6

4. b)

2

π. c) 0.

d) 0. e) 1

3.f) 0.

g) +∞ . h) 3.

32) a) 5

1 e 3

− .

b) f é crescente no

intervalo 5

3x < − ;

f é decrescente no

intervalo 5

13

x− < < ;

f é crescente no intervalo 1x > .

33) a) 2 e 3− .b) f é crescente no

intervalo 3x < − ;f é decrescente no

intervalo 3 2x− < < ;f é crescente no

intervalo 2x > .c) em 3x = − , f tem

ponto de máximo e em 2x = , f tem ponto de mínimo.

34) 10 aparelhos de TV Plasma por dia.

35) 33 bicicletas.

39

36) a) ( ) 30 5 lnR x x x x= − ; b) 5x e= .

Resumo do capítulo

Neste capítulo você compreendeu taxa média, a definição de derivada de uma função bem como sua interpretação geométrica. Aprendeu como calcular a derivada de uma função aplicando regras de derivação, tais como, a regra da cadeia. Você aplicou derivada em algumas funções marginais, também estudou a regra de L’Hospital e finalmente, aplicou a derivada para determinar os pontos de máximos e de mínimos de uma função através do teste da derivada segunda.

Saiba mais

Para uma melhor compreensão dos conteúdos estudados neste capítulo, consulte:

MORETTIN, Pedro A., HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.

SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1988.

WHIPKEY, Kenneth L e WHIPKEY,Mary Nell. Cálculo e suas múltiplas aplicações. 3. ed. Campus, Rio de Janeiro: 1982.

Vamos estudar no capítulo seguinte outro conceito também muito importante do cálculo diferencial que é o da integral, onde você verá que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer.

40