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Resistência dos Materiais IUniversidade Federal de Pelotas

Centro de Engenharias

Universidade Federal de Pelotas


Capítulo 5Torção


Centro de EngenhariasResistência dos Materiais I



Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.

5.1 – Deformação por torção de um eixo circular





• Embora o torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecido, a distribuição das tensões não é.

• Ao contrário da tensão normal devido a cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser assumida uniforme.

dAdFT

• O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno, igual e oposto ao torque aplicado,





• A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras axiais separadas.

• As tiras deslizam umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo.





• A experiência mostra que o ângulo detorção da barra é proporcional ao torqueaplicado e ao comprimento da barra.

L

T

• Quando submetido à torção, cada seçãotransversal de um eixo circular permaneceplana e indeformada.

• Seções transversais para barras circularescheias ou vazadas permanecem planas eindeformadas, porque a barra circular éaxissimétrica.

• Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção.





• Destacando da barra um cilindro de raio .Como uma carga de torção é aplicada, um elemento no interior do cilindro deforma em um losango.

• Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planares, a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo entre as linhas BA e BA’.

ou (1)L

L

• Quando γ é pequeno, AA’ é igual a:

• Deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção e ao raio.

max max e r

L r





• Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade transversal,

maxG Gr

maxr

Da Lei de Hooke G , então

A tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial na seção.

• Lembre-se que a soma dos momentos dadistribuição de tensões internas é igual ao torque naseção da barra, 2max max pT dA dA I

r r

Ip: momento polar de inércia da seção.

• Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção no regime elástico,

max e (2)

p p

Tr T

I I

5.2 – Tensões no Regime Elástico





• Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo.

• Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces formadas por dois planos contendo o eixo da barra.





Convenção de sinais





Exemplo 1 -

O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determinea tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados naseção a–a do eixo.





Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,

4 7 4

pI 75mm 4,97 10 mm2

mmkN 250.10000.3250.4 ;0 TTM x

O momento polar de inércia para o eixo é

Visto que A se encontra em ρ = 75 mm,

3

A 7 4p

1.250 10 Nmm 75mmT1,89 MPa

I 4,97 10 mm

Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos

3

B 7p

1.250 10 15T0,377 MPa

I 4,97 10





Exercício de fixação

1)O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentosde torção mostrados. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos Ae B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos.Respostas: τA=7,42MPa e τB=6,79MPa





2)O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizadointerligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externode 0,75in e interno de 0,68in, enquanto o tubo maior tem diâmetro externode 1in e diâmetro interno de 0,86in. Se o tubo estiver firmemente preso àparede em C, determine a tensão de cisalhamentomáxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto oconjugado mostrado na figura for aplicado ao cabochave.Resposta: τAB=7,82 ksi

τBC=2,36 ksi





3)O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm. Determine a tensãode cisalhamento máxima absoluta no eixo. Considere T1=20Nm.Resposta: 5,38MPa





O eixo de seção circular BC é vazado comdiâmetros interno e externo de 90 mm e 120mm, respectivamente. Os eixos de seçãocircular AB e CD são cheios e têm diâmetro d.Para o carregamento mostrado na figura,determine: (a) as tensões de cisalhamentomáxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro dnecessário para os eixos AB e CD, se a tensãode cisalhamento admissível nesses eixos for de65 MPa.

Exemplo 2 -





Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de equilíbrio estático para encontrar cargas de torque.

CDAB

ABx

TT

TM

mkN6

mkN60

mkN20

mkN14mkN60

BC

BCx

T

TM





(a)Aplicar fórmulas de torção elástica para encontrar tensões mínima e máxima na barra BC.

444 4

2 1

6 4

0.060 0.0452 2

13.92 10 m

pI r r

2max 2 6 4

20 kN m 0.060m86.2MPa

13.92 10 mBC

p

T r

I

1min 1 6 4

min

20 kN m 0.045m

13.92 10 m

64655 Pa=64.7MPa

BC

p

T r

I

k

max

min

86.2MPa

64.7MPa

(b)Dada a tensão de cisalhamento admissível e torque aplicado, inverte-se a fórmula de torção elástica e encontra-se o diâmetro necessário.

max 4 32 2

3

6kN m 65

38.9 10 m

p

Tr TrMPa

I r r

r

2 77.8mmd r





Das equações (1), (2) e da Lei de Hooke temos o ângulo de torção:

p

TL

I G

G : módulo de elasticidade ao cisalhamentoL: comprimento do eixoϕ: ângulo de torção (rad)

(1)L

p

Tρ τ= (2)

I





Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento, o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento. i i

i pi i

T L

I G






Exercício de fixação4)O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual G=77GPa, determine o ângulo de torção na extremidade A.

Resposta:

2,31A





5)O eixo de aço A-36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. G=75GPa

Resposta: 5,74B





Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.

Para um eixo rotativo com torque, a potência é:

(Watts) onde a velocidade angular do eixo é

(rpm, rad/s)

isto que

Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:

P T

1 ciclo 2 rad

adm

pI T

r

Transmissão de potência

adm

p

Tr

I





Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor Mao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver umatensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetroexigido para o eixo com precisão de mm.

Exemplo 3-





O torque no eixo é

1min 2 rad175 18,33 /

60 1rot

3750 18,33 204,6 Nm

rpm rad sseg

P T T T

Assim,

4

adm

1/3 1/3

2adm

2

2 2 204,6 1.00010,92 mm

100 /

pI r T

r r

T Nmmr

N mm

Visto que 2r = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.





6) O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm.Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τadm = 28MPa, determine,com aproximação de múltiplos de 5mm, o menor diâmetro do eixo quepode ser usado.Resposta: d=15mm

Exercício de fixação-





7) O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado emmancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C, quetransmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50rev/s. Se asengrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW, respectivamente, determine atensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior dasregiões AB e BC. O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E.Respostas: τAB=1,04MPa

τBC=3,11MPa






8) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamentoadmissível τadm=12ksi. Se o diâmetro do eixo for 1,5in, determine o torquemáximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fossefeito um furo de 1in de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuiçãoda tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.Respostas: T=7,95kip in e T’=6,38kip in


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