Capítulo I – Incertezas em medidas: noções...

Técnicas Laboratoriais de Física – Cap. I Ano Lectivo 2008/2009

Departamento de Física da FCTUC 6

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Capítulo I – Incertezas em medidas: noções básicas

• Incerteza experimental

• Erros de observação: erros sistemáticos e acidentais.

Precisão e rigor

• Algarismos significativos e arredondamentos

• Discrepância entre duas medidas da mesma grandeza

• Incerteza em medidas directas: leituras escalares e digitais

• Representação gráfica

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Incerteza experimental

• A ciência experimental mostra-nos que nenhuma medida, por mais cuidada que seja a sua preparação e execução, estácompletamente livre de imprecisõese incertezas.

• As imprecisões e incertezasprovêm:

- de limitações da aparelhagem[grau de precisão (nºdígitos de um mostrador), desvios do zero, etc.];

- do próprio método experimental, que põe em relevo certos aspectos e menoriza outros;

- do experimentador[da estimativa que faz (avaliar uma posição numa escala), dos seus reflexos (ligar ou desligar um cronómetro), etc].

• Logo, nunca é possível conhecer o verdadeiro valor de uma grandeza (chamemos-lhe x0).



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- Sempre que possíveldevemos realizar várias medidasda mesma grandeza, nas mesmas condições experimentais.

- Se os valores medidos não se afastarem muito uns dos outros, é natural pensarmos que estamos perto do valor verdadeiro (x0)e escolhermos um valor (medido ou calculado a partir dos valores medidos) como o melhor valor para representar a grandeza física emcausa. Chamemos-lhe xbest.

Implicações do facto de existirem imprecisões e incertezas:

- Normalmente, os valores vão diferiruns dos outros(discrepância ou dispersão de valores).

- Se os valores estiverem muito dispersos, isso dá-nos uma ideiado grau de confiança (neste caso, pequeno) que teremos aoadoptar esse valor.

• Acontecimentos astronómicos• Custo, complexidade ou duração da experiência• Obtenção sempre do mesmo resultado

Situações de apenas uma medição de uma grandeza

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1) Adoptar um valor como a melhor estimativado verdadeiro valor:

A partir dos vários valores medidos, devemos:

2) dar uma indicação sobre o grau de confiança com que adoptamosesse valor.

xbest

Erro ou incerteza (a que chamaremosδδδδx)

Esse grau de confiança é traduzido pelo

que vamos associar a esse xbest.

Resumindo:

3) O resultado final da medida deve ser então apresentado como:

xbest ± δδδδx



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Incerteza experimental (cont.)

%100x

x

bestr ×δ=ε

- Erro absolutoestimado: δδδδx

-Erro relativo: ; - Erro percentual: best

r x

xδ=ε

• O erro ou incerteza corresponde a um intervalo de valores dentro do qualesperamos estar o verdadeiro valor da grandeza, x0:

Exemplo: xbest= 36.5 mm e δx ≤ 0.1 mm

Escrevemos: xbest± δx = 36.5 ± 0.1 mm ou 36.5(1) mm

δδδδx – é o limite superior do erro

∈ - Intervalo de imprecisãox0 [xbest– δx, xbest+ δx]

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Erros de Observação: sistemáticos e acidentais

• Erros sistemáticos: associados aos instrumentos e técnicas experimentais

– Influenciam todas as medições da mesma quantidade e no mesmo sentido, por excesso ou por defeito.

– Podem ser corrigidos se a causa for descoberta e eliminada. Porém, são muitas vezes difíceis de avaliar, exigem conhecimento da técnica e dos aparelhos utilizados e muito cuidado da parte do experimentador.

Exemplos: - má calibração do aparelho; - simplificação incorrecta do modelo matemático (desprezar forças de atrito em experiênciasmecânicas, por exemplo).



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• Erros acidentais– associados a flutuações aleatórias provenientes quer da aparelhagem quer do experimentador.

- Resultam de factores variáveis e ocasionais.

- Variam em grandeza e em sentido de modo aleatório.

- Podem ser minimizados se repetirmos a medida váriasvezes

Exemplos: - variações de temperatura ou pressãoatmosférica (correntes de ar);

- variações da tensão de alimentação dos aparelhos;

- vibrações mecânicas induzidas por camiões que passam na rua, por exemplo;

- limitações da visão humana (leitura de escalas); - rapidez de reflexos do experimentador (ligar ou parar cronómetros).

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Precisão e Rigor (Exactidão)

• Precisão– traduz quão bem determinado foi o resultado, sem o relacionar com o valor verdadeiro da grandeza. A precisão é boaquando os erros acidentaissão pequenos comparados com o valor medido.

δx << xbest

• Rigor – mede quão perto o resultado está do valor verdadeiro. O rigor é grande se os erros sistemáticossão pequenos.



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Erros Acidentais e Sistemáticos

Distribuição aleatória à volta do valor verdadeiro

Distinção entre Precisão e Rigor (Exactidão)

Fraca PrecisãoMau Rigor

Boa PrecisãoBaixo Rigor

Fraca PrecisãoBom Rigor

Boa PrecisãoBom Rigor

Distribuição aleatória à volta de um valor que não é o verdadeiro

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Incerteza na medida traduzida através dos Algarismos significativos

A incerteza (erro) associada a uma medida define quantos algarismos devem ser representados.

No caso do medidor de pH representado, o valor deve ser indicado como pH=7.00, e não pH=7

Neste caso, os zeros à direita da vírgula têm significado para o valor da grandeza a medir → são algarismos significativos

pH=7.00 → 3 algarismos significativos

Algarismos significativos são algarismos com signif icado na medida efectuada



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O número que representa o resultado da medida deve conter os algarismos necessários para a contabilização do err o.

3.00 ± 0.05 cm ou 3.00(5) cm

Em geral, num aparelho analógico o erro é considerado igual a metade da menor divisão da escala, neste caso, 1 mm.

Medida analógica

0.35 ± 0.01 g ou 0.35(1) g

Medida digital

Em geral, num aparelho digital o erro éconsiderado igual ao valor que corresponde a 1 (uma unidade) no dígito menos significativo acessível.

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Regras para a contagem do nº de ALGARISMOS SIGNIFICA TIVOS

1ª) O dígito mais à esquerda que não seja zero é o dígito mais significativo.

2ª) Se não houver vírgula (ponto) decimal, o dígito mais à direita que não seja zeroé o dígito menos significativo.

3ª) Se houver vírgula (ponto) decimal, o dígito mais à direita é o dígito menos significativo, mesmo que seja um zero

4ª) Todos os dígitos situados entre o menos e o mais significativo (inclusivé) são dígitos significativos

Exemplo: 1234; 123400; 123.4; 1001; 10.10; 0.0001010 (4 dígitos significativos)3 dígitos significativos: 320 3.20 x 102

Regra geral– Os erros ou incertezas são escritas só com umalgarismo significativo. Apenas usaremos dois algarismos significativos quando o algarismo mais significatico do erro for o número 1.

Exemplo: 10,5 ± 0,3 mm; 19,28 ± 0,12 s



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Produtos, divisões

O resultado terá o mesmo número de algarismos significativos do que o

número interveniente com menos algarismos significativos:

4.573 x 0.6 = 2.74 = 3

4.573 : 0.60 = 7.62 = 7.6

6.73 = 300.76 = 3.0x102

Adições e subtracções

O resultado terá o mesmo número de casas decimais significativas da parcela que tiver o menor número delas:

4.573+0.6 = 5.173 = 5.2

4.573-0.60 = 3.973 = 3.97

Operações com algarismos significativos

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Regras para ARREDONDAMENTOS

Se o algarismo final é maior do que 5, o arredondamento é feito por incremento do algarismo seguinte.

Se o algarismo final é menor do que 5, o arredondamento é feito deixando igual o algarismo seguinte.

Se o algarismo final é exactamente 5, o algarismo seguinte só éincrementado se for um nº ímpar:

15.5 é arredondado para 1616.5 é arredondado para 16

Raiz quadrada, exponenciais, logaritmos, funções tr igonométricas, etc

O resultado tem o mesmo nº de algarismos significativos do valor de partida.

log 2.774 = 0.4431; e3.004= 20.17



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ATENÇÂO !

Em cálculos, os valores intermédios devem sempre ma nter mais um ou mesmo dois algarismos do que o número de algarismos significat ivos para que os arredondamentos não se propaguem nos cá lculos.

Ex: 4.50 × 2.6/4.5 = 1.170/4.50 = 2.60 = 2.6e não 4.50 × 2.6/4.5 = 1.2/4.50 = 2.67 = 2.7

Em equações, as constantes matemáticas são consider adas exactas e devem ser sempre utilizadas com mais um, ou mesmo d ois, algarismos significativos que o número com menor número de alg arismos significativos

Ex: y = 2x x = 1.576 => y = => y = => y = => y = 3.1523.1523.1523.152

r = 5.0 => ππππ r2 = 3.1416 ××××5.02 = 78.54 = 78

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Discrepância

• Discrepância = diferença entre os 2 melhores valore s = 10 Ω

• Discrepância significativa quando é > do que a combinação das incertezasdas duas medidas: caso a). Pelo menos uma das medidas está incorrecta.

• Discrepância não-significativa quando as margens de erro se sobrepõem:caso b). Não há razão para duvidarmos dos resultados, embora sejam bastante mais imprecisos do que no caso a).

•Duas medidas da mesma resistência.

•Melhor valor, xbest , érepresentado pelo ponto.

•Intervalo de valores prováveis é representado pelas barras de erro verticais .A: R = 15 ± 1 Ω (εr = 7%)B: R = 25 ± 2 Ω (εr = 8%)C: R = 16 ± 8 Ω (εr = 50%)D: R = 26 ± 9 Ω (εr = 35%)



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Incerteza em medidas directas

• Quase todas as medições directas envolvem a leitura de uma escala(régua, termómetro, voltímetro, osciloscópio, etc.) ou de um mostrador digital (relógio digital, termómetro digital, multímetro, etc.).

• Quando a fonte de incerteza é a leitura de uma escala, é apenas necessário “ser sensato” e tomar como incerteza o menor valor que defina um intervalo de incerteza que “dê confiança” à medida realizada. (1/2 da menor divisão; a menor divisão se ela for muito pequena; ¼ da menor divisão se conseguirmos dividi-la visualmente em 4 partes, etc.)

• Há, contudo, outras fontes de incerteza mais difíceis do que a simples leitura de escalas. É que, por vezes é difícil definir o ponto de leitura. Este tipo de problema é conhecido como problema de definição.

Exemplo: dificuldade em se obteruma imagem nítida no écran.

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Muito importante - Não se pode considerar só as escalas na avaliação dos erros associados a uma medida. Há, frequentemente, outras fontes de incerteza que, se não forem consideradas, vão originar incertezas subestimados das quantidades medidas.

Também não devemos sobrestimar os erros, pois corremos o risco de tornar as medidas inúteis. (Lembremos a medida no Artur, no caso da coroa falsa!)

• Pelo menos aparentemente, é mais fácil utilizar um medidor digital do queum medidor analógico convencional. A menos que esteja defeituoso, o medidor digital deve indicar apenas dígitos significativos.

• Contudo, nem sempre é assim e convém ler o manual com as características técnicas do aparelho. Por exemplo, um voltímetro digital que indique um valor de 82 µV, pode ter associado uma incerteza que vaidesde 0.5 µV até 1 µV ou ainda mais.

• Sem manual, uma decisão razoável será aceitar que a incerteza é de ± 1unidade no último dígito.



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• Outro cuidado a ter quando realizamos leituras digitais é não deixarmos que a utilização de aparelhos digitais nos dê uma falsa ideia de precisão.

Por exemplo, um cronómetro digital pode fornecer medidas de tempo com grande precisão (imaginemos que até aos décimas de segundo). Contudo, a medida pode vir afectada de uma grande imprecisão,por exemplo, associada ao nosso reflexo de ligar e desligar ocronómetro.

Sempre que uma medida possa ser repetida, tal deve feito várias vezes.

A dispersão de valores encontrada é geralmente um bo m indicador das incertezas associadas e a média dos valores encontr ados é certamente mais fiável do que qualquer uma das medidas individ uais.

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Representação gráfica

Muitas leis e relações físicas traduzemproporcionalidade entre certas quantidades

⇒ relações lineares entre elas.

A representação gráfica é, portanto,útil para estabelecer se tal dependênciaexiste entre duas grandezas.

?

Desprezando as incertezas na quantidade m representada no eixoX, o gráfico b) mostra que existe uma relação linear entre as grandezas x e m, enquanto c) mostra claramente que não.



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Representação com incertezas em x e em y.

Quando a relação entre y e x é

parabólica y ∝ x2, é difícil verificar graficamente essa dependência através da representação y em função de x, y(x).

Contudo, é fácil, com o mesmo nº de medidas,verificar a linearidade entre y e x2 se representarmosY em função de x2, y(x2).

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y = mx +b

Função linear y(x): y varia linearmente com x; a relação entre x e y é uma linha recta

b – ordenada na origem

m – declive =y2-y1

x2-x1

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-20 -10 0 10 20 30

y

xb

m

(x1, y1)

(x2, y2)..m, b - constantes

f(x) = y = mx + b

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas



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bxaey =

bxalnyln +=

Função exponencial y(x): y varia exponencialmente com x; a relação entre x e y é uma curva exponencial

f(x) = y = aebxe = 2.71828… (Nº de Euler)

É a base do logaritmo neperiano: ln

-10 -5 0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

30

a = 1; b = 0.14

a = 2; b = 0.15

a = 1; b = 0.15

y = aebx

y

x

ln ab

-10 -5 0 5 10 15 20

-2

-1

0

1

2

3z = ln a + bx

z

x

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Função hiperbólica y(x): y varia com o inverso de x

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x

y

k = 1 k = 4

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4y

1/x

y =kx

=x

ky1



35

-10 -5 0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

30

a = 1; b = 0.14

a = 2; b = 0.15

a = 1; b = 0.15

y = aebx

y

x

-1 0,86071-2 0,74082-3 0,63763-4 0,54881-5 0,47237-6 0,40657-7 0,34994-8 0,30119-9 0,25924-10 0,223130 11 1,161832 1,349863 1,568314 1,822125 2,1176 2,45967 2,857658 3,320129 3,8574310 4,4816911 5,2069812 6,0496513 7,0286914 8,1661715 9,4877416 11,0231817 12,807118 14,8797319 17,2877820 20,08554

x y

Escala linearem x e em y

-10 -5 0 5 10 15 20

0,1

1

10 a = 1; b = 0.15

y

x

a

b

Escala logarítmica em y

e linear em x

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Função potência de x: y varia com x elevado à potência b

-10 -5 0 5 10 15 20-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

k = 1; b = 2 k = 5; b = 2 k = 1; b = 4y

x

bkxy = (b par)

2xy =A Função quadrática éconhecida por PARÁBOLA

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

y

x

k = 1; b = 3

b impar



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bkxy = xlogbklogylog +=

z = log k + b.r2xy =(k = 1; b = 2)

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

z = log y

r = log x

b

0,1 1 1010

100

1000

10000

y

x

Escala linearem x e em y

Escala logarítmica em x e em y

bkxy =

2xy =

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