CAPÍTULO XIII – ANÁLISE DE PILARES BIAPOIADOS

Análise de Pilares Biapoiados

XIII - 1

13. Análise de Pilares Biapoiados

13.1. Geração de exemplos de pilares para análise

Para finalizar este trabalho serão gerados exemplos de pilares biapoiados para

comparação dos métodos de cálculo utilizando “integração numérica com

desacoplamento das solicitações de flexão e rigidez secante” e “integração numérica

considerando a flexão oblíqua composta sem desacoplamento obtendo as

curvaturas das relações momento-curvatura para cada seção”.

O objetivo é comprovar a possibilidade de se analisar os efeitos de segunda ordem

em pilares solicitados à flexão oblíqua composta como se se tratasse de duas

flexões normais compostas independentes, ou seja, considerando os efeitos das

duas flexões desacoplados e utilizando para cálculo das curvaturas a rigidez secante

da flexão normal composta . Depois de encontrados os efeitos de 1ª e de 2ª ordem

em cada direção independentemente, considerar a ação conjunta de NSd, MSxd e

MSyd (flexão oblíqua composta) para a verificação da segurança da peça no estado

limite último, por exemplo, através de ábacos νd - µxd - µyd.

A finalidade de se fazer assim é que para a flexão normal composta já existem

ábacos de iteração que fornecem para determinadas distribuições de armadura em

seções retangulares, as rigidezes em função da força normal solicitante e da taxa

mecânica de armadura. Para flexão oblíqua não. Ainda, para o cálculo dos efeitos de

2ª ordem com a utilização de computadores o tempo de processamento na flexão

normal composta é muito menor. Se esse desacoplamento pode ser feito se ganha

em praticidade.

Os milhares de exemplos rodados, no programa de computador desenvolvido ao

longo deste trabalho, permitem uma análise e conclusão segura de que se pode

proceder ao desacoplamento com uso da rigidez secante com segurança e sem

prejudicar demasiadamente a economia.

Foram gerados exemplos de pilares biapoiados com a sistemática indicada abaixo.

Os pilares biapoiados de seção retangular têm dimensões da seção transversal hx e

hy com hx ≥ hy.

À dimensão hy foi atribuído o valor 19 cm.

À dimensão hx atribuiu-se valores que variam de um mínimo a um máximo sendo


XIII - 2

hx,mín = 25 cm

hx,máx = 5.hy

e ∆hx = (hx,máx - hx,mín) / 3 (13.1)

O comprimento de flambagem (Le) e o próprio comprimento (L) do pilar são

calculados em função do índice de esbeltez (λ), que é fornecido como dado, por:

46,3

. ye

hL

λ= (13.2)

L = Le (13.3)

Foram analisados pilares com o índice de esbeltez assumindo os valores 50, 90 e

115.

A distribuição da armadura dentro da seção transversal foi considerada composta de

4 barras associadas aos vértices, nx barras distribuídas nas faces de comprimento hx

e ny barras distribuídas nas faces de comprimento hy. A quantidade mínima

associada a um lado é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento

máximo de centro a centro de barras de 40 cm. A quantidade máxima associada a

um lado é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento mínimo

entre faces de barras de 2,5 cm. Além das quantidades mínima e máxima o

programa considera uma quantidade média entre a mínima e a máxima.

As forças normais consideradas são funções da força normal resistente do E.L.U. do

pilar em compressão centrada, dada por:

NRd = σc.Ac + σs,2%o.As (13.4)

onde

σc = 0,85.fcd (13.5)

quando não se considera a fluência do concreto e

+

−−=2

2).1(11..85,0

c

ccdc f

εϕε

σ para εc < (1+ϕ).εc2

(13.6)

σc = 0,85.fcd para εc ≥ (1+ϕ).εc2 (13.7)

quando se considera a fluência (ver item 3.4.4).

As forças normais consideradas para pilares com índice de esbeltez 50 e 90 são:

NSd,min = 0,4.NRd

NSd,méd = 0,6.NRd

NSd,máx = 0,8.NRd (13.8)


XIII - 3

Para pilares com índice de esbeltez igual 115 foram consideradas

NSd,min = 0,1.NRd

NSd,máx = 0,4.NRd (13.9)

Quando o índice de esbeltez é maior que 90, considera-se o fator de fluência ϕeq =

1,5, com o diagrama tensão deformação do concreto deslocado do fator (1+ ϕeq)

conforme explicado no capítulo 3 item 3.4.4.

A inclinação do eixo de solicitação θ, é considerada variando de θmín = 15° à θmáx =

75° com incrementos ∆θ = 15°.

Para cada força normal solicitante, NSd, e inclinação, θ, considerados, são calculados

os momentos resistente do E.L.U. (MRxd e MRyd).

Dado um nível de solicitação (NS) são calculados os momentos de 1ª ordem a

serem considerados na base do pilar por:

MBxd = NS.MRxd

MByd = NS.MRyd (13.10)

As cargas no topo do pilar são a força normal NSd e os momentos aplicados

MTxd e MTyd

Dadas as relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, são calculados os momentos solicitantes de

1ª ordem no topo do pilar:

MTxd = (MT/MB)x.MBxd

MTyd = (MT/MB)y.MByd (13.11)

A figura 13.1 ilustra essas solicitações

Resumindo, fez-se:

λ = 50, 90 e 115

hx = 25 a hx,máx com ∆hx = (25 + hx,máx) / 3

nx = nx,mín a nx,máx com ∆nx = (nx,mín + nx,máx)/2

ny = ny,mín a ny,máx com ∆nx = (ny,mín + ny,máx)/2

c = 2,5 e 3,5 (cobrimento da armadura)

φ = 1,0 e 1,6 cm (bitola da armadura)

NSd = 0,4.NRd a 0,8.NRd com ∆NSd = 0,2.NRd se λ ≤ 90

NSd = 0,1.NRd a 0,4.NRd com ∆NSd = 0,3.NRd se λ > 90

θ = 15° a 75° com ∆θ = 15°

Nível de solicitação: [NS]= 0,2 a 0,8 com ∆[NS] = 0,3 p/ λ=50

Nível de solicitação: [NS]= 0,1 a 0,4 com ∆[NS] = 0,3 p/ λ≥90


XIII - 4

MSBxd = [NS].MRxd

MSByd = [NS].MRyd

MSTxd = -0,5.MSBxd a +0,5.MSBxd com ∆MSTxd = 0,5. MSBxd

MSTyd = -0,5.MSByd a +0,5.MSByd com ∆MSTyd = 0,5. MSByd

.....

Novo MSTyd

Novo MSTxd

Novo Nível de solicitação [NS]

Novo θ

Novo NSd

Novo φ

Noco c

Novo ny

Novo nx

Novo hx

Novo λ (13.12)

Um pilar biapoiado é mostrado na figura 13.1, onde estão representados os

diagramas de momentos fletores solicitantes de 1ª ordem.

Figura 13.1 – Pilar biapoiado. MBxd e MByd são os momentos aplicados na base. MTxd e MTyd são momentos aplicados no topo.

Os momentos solicitantes de 1ª ordem em uma seção qualquer de ordenada zi são

dados por:

X

Y

MBxd MByd

MTyd MTxd

L

Nd

MBxd MByd

MTxd MTyd

zi X

Y

X

Y

L

zi

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11

a) Esquema do carregamento b) Diagramas de momentos fletores c) Seções consideradas


XIII - 5

iTxdBxd

BxdiSxd zL

MMMM .,

−−= (13.13)

iTydByd

BydiSyd zL

MMMM .,

−−= (13.14)

A inclinação θ dada é valida somente para a seção da base do pilar. Ao longo da

altura ela varia com as diferentes relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, já que as duas

relações muitas vezes têm valores diferentes.

Dada a força normal Nd, para cada par de momentos solicitantes MSxd,i e MSyd,i são

calculadas as curvaturas, 1/rx e 1/ry, correspondentes.

No processo com rigidez secante essas curvaturas são calculadas por:

xx

iSxd

x EIM

r sec,

,

)(1

= (13.15)

yy

iSyd

y EI

M

r sec,

,

)(1

= (13.16)

No segundo processo, as curvaturas são determinadas para cada seção através das

relações momento-curvatura como foi exposto no item 8.2. Esse segundo processo,

mais preciso que o primeiro, requer uma quantidade de trabalho muito maior.

Embora esse trabalho de cálculo seja feito pelo computador, o tempo de

processamento é muito maior.

13.2. Argumentação para a análise dos resultados

A análise dos resultados obtidos do processamento é semelhante a que foi feita no

capítulo 12 para pilares em balanço. A diferença está apenas na seção a ser

analisada. O comprimento do pilar é dividido em 10 segmentos caracterizando 11

seções, numeradas de 1 a 11 a contar da seção da base, conforme a figura 13.1.

São calculados os deslocamentos e momentos fletores solicitantes para todas as

seções, mas os pontos P nos diagramas (MSd/Mud)d-(MSd/Mud)a são obtidos da seção

5, localizada a 0,4L da base do pilar, por ser onde normalmente ocorre o máximo

deslocamento. Da forma como são gerados os dados de solicitações sobre o pilar,

entre a seção da base e do topo é sempre a seção da base a mais solicitada, ou

seja, sempre MBx > MTx e MBy > MTy.

13.3. Resultados obtidos do processamento


XIII - 6

Foram resolvidos 67.443 pilares pelos dois processos descritos no item 13.1. Na

tabela 13.1 estão indicadas as quantidades de resultados encontrados em cada

região do gráfico da figura 12.2.

Tabela 13.1: Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.2.

λ = 50 λ = 90 λ = 115 Totais

Região A1 ------- ------- ------- -------

Região A2 23.130 17.672 19.656 60.458 (89,64%)

Região B ------- ------- ------- -------

Região C ------- 300 2.006 2.306 (3,42%)

Região D ------- 3.121 1.558 4.679 (6,94%)

Totais 23.130 21.093 23.220 67.443

Observa-se o expressivo número de casos na região A2, onde se tem resultados a

favor da segurança.

13.4. Ilustração de algumas situações envolvidas na análise

São mostrados abaixo alguns exemplos de situações envolvidas na análise feita.

Destaca-se que, como foi mostrado para pilares em balanço, o “Nível de Solicitação”

se refere à relação MBd/MRd para a seção da base do pilar, onde MBd é o momento

solicitante de primeira ordem e MRd é o momento resistente do E.L.U. da seção para

determinada força normal e determinada inclinação do eixo de solicitação. A

inclinação θ, do eixo de solicitação, relaciona a proporção entre as flexões nas

direções x e y.

Exemplo 1:

Determinação dos efeitos de segunda ordem de um pilar biapoiado com a seqüência

utilizada no processamento dos milhares de pilares que forneceu os resultados

analisados para se chegar à conclusão deste trabalho.

Dados considerados neste exemplo

Seção transversal retangular:

hy = 19 cm


XIII - 7

hx = 48 cm

?y = 50 ? Le= 274,57 cm ? L = 274,57 cm

Armadura:

20 F 10 mm

As = 15,7 cm2 (ρ=1,72%)

nx = 6 e ny =2

c = 2,5 cm

Solicitações:

NSd = 0,6.Nud

Nível de solicitação NS = 0,4

(MT/MB)x = 0,5

(MT/MB)y = 0,5

? = 30 graus

Materiais:

Concreto: C20

fck = 20 MPa; ?c = 1,4; f = 0 (fluência)

Aço: CA 50 A

fyk = 500 MPa; ?s = 1,15

s s,2%o = 420 MPa = 42 kN/cm2

Solução:

NRd = 0,85.fcd.hx.hy + As.s s,2%o

NRd = 0,85*(2,0/1,4)*48*19 + 15,70*42

NRd = 1.767 kN

NSd = 0,6*1.767 = 1.060 kN

X

YX

hx=48

hy=19

MSBxd=0,5.Muxd

MSTxd=0,5.MSBxd

MSByd=0,5.Muyd

MSTyd=0,5.MSByd

Diagramas de momentos de 1ª ordem


XIII - 8

Do programa se obteve para momentos resistente do E.L.U., considerando a flexão

oblíqua composta, com θ = 30° (ver figura 13.2):

MRxd = 23,23 kN.m

MRyd = 40,23 kN.m

Os momentos solicitantes na base do pilar são:

MBxd = NS.MRxd = 0,5*23,23 = 11,62 kN.m

MByd = NS.MRyd = 0,5*40,23 = 20,12 kN.m

No topo do pilar :

MTxd = (MT/MB)x.MSBxd = 0,4*11,62 = 4,65 kN.m

MTyd = (MT/MB)y.MSByd = 0,4*20,12 = 8,05 kN.m

Diagrama "Nd - Mxd - Myd"

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

Figura 13.2 – Exemplo 1. Diagrama Nd-Mxd-My d para Nd = 1.060 kN.

Obtenção dos momentos MRxd e MRy d para θ = 30°.

Os momentos de 1ª ordem em uma seção genérica i, de ordenada zi (ver figura

13.1), são dados por:

iTxdBxd

BxdiSxd zL

MMMM .,

−−=

MR xd = 23,23

MR yd = 40,23

θ=30°


XIII - 9

iTydByd

BydiSyd zL

MMMM .,

−−=

iiSxd zM .7457,2

65,462,1162,11,

−−=

iiSxd zM .7457,2

05,812,2012,20,

−−=

MSxd,I = 11,62 – 2,539.zi

MSyd,I = 20,12 – 4,396.zi

a) Processo com desacoplamento

Momento resistente do E.L.U. para flexão normal composta na direção x, com NSd =

1.060 kN, do diagrama da figura 13.2:

θ = 90° → MRxd = 109,08 kN.m

Momento resistente do E.L.U. para flexão normal composta na direção y, com NSd =

1.060 kN, do diagrama da figura 13.2:

θ = 0° → MRyd = 42,39 kN.m

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção x:

kNNf

Sd 64,9631,11060

3==γ

cmkNmkNMf

Rxd .916.9.16,991,108,109

3===γ

Considerando a tensão máxima no concreto (ordenada do patamar de escoamento

no diagrama σc - εc) igual a 1,1.fcd em lugar de 0,85.fcd, obtém-se:

1/rx = 0,040.973%o

3

3sec, 10040973,0

9916)/1(

.)(−

===xr

M

tgEIx

f

Rxx

xx

γβ ver figura 13.3

(EI)sec,xx = 24.201,30 kN.m2

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção y:


XIII - 10

kNNf

Sd 64,9631,11060

3==γ

cmkNmkNM

f

Ryd .854.3.54,381,139,42

3===γ

Considerando a tensão máxima no concreto (ordenada do patamar de escoamento

no diagrama σc - εc) igual a 1,1.fcd em lugar de 0,85.fcd, obtém-se:

1/ry = 0,104.608%o

33

sec, 10104608,03854

)/1(.)( −===

xr

M

tgEIy

f

Ryd

yy

γβ ver figura 13.4

(EI)sec,yy = 3.684,23 kN.m2

"Mxd - 1/rx" - Nd = 1060 kN

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200

1/rx (%o)

Mxd

(kN

.m)

GamaF3=1,0

GamaF3=1,1

Reta MRd/GamaF3

Rigidez secante

Figura 13.3 – Exemplo 1. Diagrama momento-curvatura para a direção x.

Obtenção da rigidez secante.

Essas rigidezes são utilizadas para determinação das curvaturas no processo com

desacoplamento das flexões. As curvaturas são obtidas dos momentos fletores

solicitantes em cada seção por:

xx

iSxd

x EIM

r sec,

,

)(1

=

yy

iSyd

y EI

M

r sec,

,

)(1

=

MR xd/γf3=99,16

β 1/rx=0,040973%o

MR xd


XIII - 11

"Myd - 1/ry" - Nd = 1.060 kN

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000

1/ry (%o)

Myd

(kN

.m)

GamaF3=1.0

GamaF3=1.1

Reta MRd/GamaF3

Rigidez Secante

Figura 13.4 – Exemplo 1. Diagrama momento-curvatura para a direção y.

Obtenção da rigidez secante.

Na tabela 13.2 estão os momentos de 1ª ordem e as curvaturas, rotações e

deslocamentos da 1ª iteração. As 4 últimas colunas mostram as rotações e

deslocamentos corrigidos.

É de se destacar que nas tabelas 13.2 e 13.3 as rigidezes secantes (EI)sec,xx e

(EI)sec,yy têm sempre o mesmo valor.

Tabela 13.2: Exemplo 1. Momentos de 1ª ordem e curvaturas, rotações e deslocamentos da 1ª iteração.

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm) (rad) (rad) (cm) (cm)Iteração: 1

11 422,40 731,49 2,417E+08 3,684E+07 1,747E-06 1,985E-05 0,000935 0,010618 0,185 2,101 0,000416 0,004725 0,000 0,00010 464,65 804,64 2,417E+08 3,684E+07 1,922E-06 2,184E-05 0,000869 0,009874 0,153 1,736 0,000350 0,003982 -0,014 -0,1559 506,89 877,79 2,417E+08 3,684E+07 2,097E-06 2,383E-05 0,000797 0,009060 0,123 1,398 0,000279 0,003168 -0,025 -0,2838 549,13 950,94 2,417E+08 3,684E+07 2,272E-06 2,581E-05 0,000720 0,008176 0,096 1,091 0,000201 0,002283 -0,033 -0,3807 591,37 1024,09 2,417E+08 3,684E+07 2,446E-06 2,780E-05 0,000635 0,007220 0,072 0,816 0,000117 0,001327 -0,039 -0,4446 633,61 1097,24 2,417E+08 3,684E+07 2,621E-06 2,978E-05 0,000545 0,006194 0,051 0,577 0,000026 0,000301 -0,042 -0,4735 675,85 1170,39 2,417E+08 3,684E+07 2,796E-06 3,177E-05 0,000449 0,005096 0,033 0,376 -0,000070 -0,000796 -0,041 -0,4644 718,09 1243,54 2,417E+08 3,684E+07 2,971E-06 3,375E-05 0,000346 0,003929 0,019 0,215 -0,000173 -0,001964 -0,037 -0,4153 760,33 1316,69 2,417E+08 3,684E+07 3,145E-06 3,574E-05 0,000237 0,002690 0,009 0,097 -0,000282 -0,003203 -0,028 -0,3232 802,57 1389,84 2,417E+08 3,684E+07 3,320E-06 3,772E-05 0,000121 0,001380 0,002 0,025 -0,000397 -0,004512 -0,016 -0,1851 844,81 1462,99 2,417E+08 3,684E+07 3,495E-06 3,971E-05 0,000000 0,000000 0,000 0,000 -0,000519 -0,005893 0,000 0,000

Tabela 13.3: Exemplo 1. Momentos, curvaturas, rotações e deslocamentos das iterações seguintes.



MR yd/γf3=38,54

β

1/rx=0,104608%o

MR yd


XIII - 12







Linha Elástica - 1a iteração

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1,0

-0,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

ay (cm)

Seç

ões

Deslocam. iniciais Deslocam. corrigidos

Linha Elástica

1

2

34

5

67

8

9

10

11

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ay (cm)

Seç

ões

Deslocam. iniciais

Deslocam. corrigidos

a) Deslocamentos da primeira iteração

b) Deslocamentos totais

Figura 13.5 – Exemplo 1. Linha elástica do pilar. Deslocamentos iniciais e corrigidos.


XIII - 13

Os deslocamentos iniciais são obtidos considerando para a seção da base do pilar,

rotação ϕ1 e deslocamento a1 iguais a zero para as direções x e y, como se se

tratasse de engastamento perfeito. Ao longo da altura do pilar os momentos de 1ª

ordem são os do pilar biapoiado. As curvaturas são encontradas em função dos

momentos de 1ª ordem do pilar biapoiado. As rotações são obtidas da integração

das curvaturas, partindo-se da base considerando ϕ1=0. Os deslocamentos são

obtidos da integração das rotações, partindo-se da base do pilar e considerando

a1=0. Obtém-se assim a linha elástica com os deslocamentos iniciais representada

na figura 13.5.a - deslocam. iniciais.

Essas rotações e deslocamentos precisam ser corrigidos de modo a se re-

estabelecer as condições de contorno originais do pilar biapoiado.

Para o topo do pilar, deve-se ter deslocamento nulo (aT = 0). A correção a ser

aplicada nos deslocamentos é então dada por (seção do topo (T) = seção 11)

iT

icorrigidoi zLa

aa ., −=

As rotações são corrigidas pela rotação de toda a linha elástica do pilar de um

ângulo dado por

La

tgarc T.=∆ϕ

As rotações corrigidas são obtidas de:

La

tgarc Tiinicialcorrigida ., −= ϕϕ

A seção com maior deslocamentos para este exemplo é a seção 6. Os momentos

finais,1ª ordem mais 2ª ordem (da última das tabelas 13.3), são

MSxd = 1,1 x 675,93= 743,52 kN.cm

MSyd = 1,1 x 1.777,31 = 1.955,04 kN.cm

cmkNM Sd .092.204,955.152,743 22 =+=

°== 82,2004,955.1

52,743.tgarcθ

Para esse valor de θ e NSd = 1060 kN, os momentos resistente do E.L.U. são


XIII - 14

MRxd = 1.568 kN.cm

MRyd = 4.120 kN.cm

cmkNM Rd .408.4120.4568.1 22 =+=

Portanto

475,0408.4092.2

==Rd

Sd

MM

(com desacoplamento)

b) Processo sem desacoplamento

Para o processo de integração das curvaturas considerando em cada seção a ação

simultânea de NSd, MSxd e MSyd (flexão oblíqua composta), as curvaturas são obtidas

do gráfico da figura 13.6 (ver item 8.2).

0

10

20

30

40

50

60

0 25 50 75 100 125 150

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

E.L.U.Kcurv=0.9

Kcurv=0.8Kcurv=0.7Kcurv=0.6

Kcurv=0.5Kcurv=0.4

Kcurv=0.3Kcurv=0.2

Kcurv=0.1Alfa=0Alfa=10

Alfa=20Alfa=30

Alfa=40Alfa=50

Alfa=60Alfa=70

Alfa=80Alfa=90

Figura 13.6 – Exemplo 1. Diagrama “Nd – My d – Mxd – a – Kcurv”, para

Nd = NSd/γf 3 = 963,64 kN.

A cada par de momentos solicitantes corresponde um fator Kcurv obtido do

diagrama da figura 13.6.

D

θ

C

Kcurv

MSyd

MSxd

Curvas que definem o fator Kcurv


XIII - 15

Cada par de momentos solicitantes (MSxd; MSyd) define uma direção do eixo de

solicitação )(.Syd

SxdM

Mtgarc=θ . Para esse θ encontra-se o ponto D do diagrama da

figura 13.6. As coordenadas desse ponto são os momentos resistentes do estado

limite último divididos por γf3 = 1,1, ou seja,

≡

33

;f

Ryd

f

RxdMM

Dγγ

. A esses momentos

correspondem as curvaturas ( )θxELUr ,

1 e ( )θyELUr ,

1 . As curvaturas para o par de

momentos solicitantes são obtidas de

( )θ

θxELUi

iSxd

ix rKcurv

M

r,

,

, 1.)(

1=

( )θ

θyELUi

iSyd

iy rKcurv

M

r,

,

, 1.)(

1=

Na tabela 13.4 estão os resultados obtidos considerando a flexão OBLÍQUA

composta. É de se destacar que as rigidezes (EI)xθ e (EI)yθ são variáveis e

determinadas para cada par de valores (MSxd, MSyd).

Tabela 13.4: Exemplo 1. Processo b – rigidez pontual. Momentos divididos por γf 3 = 1,1. Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)x θ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm) (rad) (rad) (cm) (cm)Iteração: 1


Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm) (rad) (rad) (cm) (cm)Iteração: 2





XIII - 16





Na figura 13.7 são mostradas as linhas elásticas para a 1ª iteração e para os

deslocamentos totais.

Linha Elástica

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ay (cm)

Seç

ões

Deslocam. iniciais


Linha Elástica

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ay (cm)

Seç

ões

Deslocam. Iniciais


a) Deslocamentos da 1ª iteração b) Deslocamentos totais

Figura 13.7 – Exemplo 1. Linha elástica do pilar considerada a flexão oblíqua composta. Deslocamentos iniciais e corrigidos.

Na figura 13.8 é mostrado o diagrama momento-curvatura para a direção y

considerando diversos valores do momento na direção x, além da reta que

representa a rigidez secante.


XIII - 17

As curvas correspondentes a Mxd>0 possuem um trecho abaixo da reta que define a

rigidez secante e outro acima, conforme é esquematizado na figura 12.12 para

pilares em balanço. Como é demonstrado nos exemplos seguintes somente o trecho

acima da reta da rigidez secante pode ser utilizado, já que, para os pontos do trecho

abaixo da reta os momentos totais levam o pilar a não ter segurança. O que justifica

terem resultado menores os deslocamentos e conseqüentemente os momentos

fletores com o processo com acoplamento das flexões que considera as curvaturas

obtidas das curvas momento-curvatura.

A seção com maior deslocamentos é a seção 6. Os momentos finais (1ª ordem mais

2ª ordem) são

MSxd = 1,1 x 671,90 = 739,09 kN.cm

MSyd = 1,1 x 1.684,95 = 1.853,45 kN.cm

cmkNM Sd .995.145,853.109,739 22 =+=

°== 74,2145,853.1

09,739.tgarcθ

Momento-Curvatura - Nd=1.060kN

0

10

20

30

40

50

60

70

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

1/ry (1000/cm)

MS

yd (k

N.m

)

Mx=0,0

Mx=14,0

Mx=28,0

Mx=42,0

Mx=56,0

Mx=70,0

Mx=84,0MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 13.8 – Exemplo 1. Diagrama momento curvatura para a direção y com

Nd = 1.060kN. MRy d = 42,39 kN.m. MRxd = 109,05 kN.m.

MR yd/γf3=38,54


XIII - 18

Para esse valor de θ e NSd = 1060 kN, os momentos resistente do E.L.U. são

MRxd = 1.642 kN.cm

MRyd = 4.113 kN.cm cmkNM Rd .429.4113.4642.1 22 =+=

Portanto

450,0429.4995.1

==

aRd

Sd

MM

(sem desacoplamento)

c) Comparação entre os dois processos

Na figura 13.9 o ponto P tem as coordenadas:

[ ]475,0;450,0; =

≡

dRd

Sd

aRd

Sd

MM

MM

P

que corresponde à região A2.

Figura 13.9 – Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do

ponto P para o exemplo 1.

Os resultados obtidos estão destacados abaixo. A seção mais solicitada é a seção 6.

O processo com desacoplamento fornece resultados pouco maiores, a favor da

segurança.

Processo com desacoplamento

Processo sem desacoplamento

ax (cm) 0,044 0,040 ay (cm) 0,712 0,614

Mxd,total (kN.m) 6,76*1,1=7,44 6,72*1,1 = 7,39 Myd,total (kN.m) 17,77*1,1=19,55 16,85*1,1 = 18,54

1,0 1,05

1,0

aRd

SdM

M

A1

A2

C D

B1 B2

0

Reta s

0,475

0,450

P

dRd

SdM

M


XIII - 19

Exemplo 2:

Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de

esbeltez baixo .

Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)

Aço: CA-50; γc = 1,15

Seção retangular: hx = 25 cm e hy = 19 cm

Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; As = 3,14 cm2; ρ = 0,66%.

Pilar: λ = 50 → Le = 274,57 cm

L = Le = 274,57 cm

Força normal solicitante: NRd = 0,85x(2,0/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 283,47 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 425,20 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 566,93 kN

A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ =

15 graus.

Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;

Ou seja para a seção da base: MBd,mín = 0,2.MRd

MBd,méd = 0,5.MRd

MBd,máx = 0,8.MRd

Sendo MRd o momento último correspondente à força normal solicitante e à

inclinação θ considerados.

Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:

MTd = -0,5.MBd

MBd

MTd = 0

MBd

MTd = +0,5.MBd

MBd

5,0−=

mínBd

TdM

M 0=

médBd

TdM

M 5,0+=

máxBd

TdM

M

MBd

MTd Nd

L


XIII - 20

A figura 13.10 mostra os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; obtidos para as

diversas solicitações.

Para a força norma solicitante Nd = 283,47 kN o momento resistente no estado limite último

para a flexão normal composta na direção y é:

MRyd = 21,17kN.m

A rigidez secante é obtida determinando-se a curvatura para os esforços solicitantes:

Nd = NSd/γf3 = 283,47/1,1 = 257,70 kN

Md = MSyd/γf3 = 21,17/1,1 = 19,25 kN.m

Seção 25x19 - 4 fi 10 mm

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d

Figura 13.10 – Exemplo 2. Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P.

Número de pontos = 270.

A curvatura, considerando ainda σc = 1,1.fcd em lugar de σc = 0,85.fcd. resulta 1/ry = 0,174.651%o

Nível de solicitação = 0,4 135 pontos


A2

A1


XIII - 21

A rigidez secante, para a seção deste exemplo, é (da figura 13.11):

2413sec, .20,110210.

10174651,0.1925

)( mkNcmx

cmkNEI yy == −

−−

A figura 13.11 mostra o diagrama momento-curvatura com diversas curvas, cada

uma delas correspondendo a um valor para Mxd. Essas curvas foram obtidas com

Nd = NSd/γf3 = 283,466/1,1 = 257,70 kN

σc = 1,1.fcd em lugar de σc = 0,85.fcd.

e α = 0

Cada curva intercepta a reta da rigidez secante em um ponto. A curvatura que

corresponde à intersecção da curva para Mxd = 21 kN.m com a reta da rigidez

secante é

1/ry = 0,1052%o cm-1 = 0,01052 m-1

O momento na direção y correspondente vale

Myd = (EI)sec,yy.(1/ry)

Myd = 1102,20 x 0,01052 = 11,60 kN.m (ver figura 13.11)

Momento-Curvatura - Nd=283,466 kN

0

5

10

15

20

25

30

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0

Mx=3,5

Mx=7,0

Mx=10,5Mx=14,0

Mx=17,5

Mx=21,0

MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 13.11 – Exemplo 2. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muy d = 21,27 kN.m.

Esse momento deve ser corrigido pelo fator γf3 = 1,1

MSyd = 11,60 x 1,1 = 12,76 kN.m

Para esse par de momentos (MSxd = 21 kN.m; MSyd = 12,76 kN.m) se tem

MRyd /Gamaf3=19,25

Mxd/γf3 = 21,00/1,1=19,09 kN.m Myd/γf3 = 11,60 kN.m

11,60

0,1052 0,1746


XIII - 22

θ = arc.tg (21,00/12,76) = 58,72°.

Para NSd=283,47 kN

e θ = 58,72°

resultam MRxd = 18,68 kN.m

e MRyd = 11,33 kN.m.

Para essa situação se tem um nível de solicitação

124,133,1176,12

===Ryd

Syd

M

MNS

Tendo em vista o gráfico da figura 13.10, conclui-se que para esse nível de solicita-

ção os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; certamente estarão na região D.

Raciocínio idêntico se pode fazer para os outros pontos de intersecção das curvas

da figura 13.11 com a reta que define a rigidez secante. A tabela 13.5 resume esse

cálculo. Desse modo, os trechos úteis das curvas da figura 13.11 são os que estão

acima da reta que define a rigidez secante. Curvas superiores implicam em maiores

rigidezes. Portanto, a rigidez secante é sempre inferior às rigidezes que se obtém

considerando as curvas do diagrama momento-curvatura. E onde isso não acontece

os dois processos indicarão falta de segurança do pilar. Assim, fica entendido por

que os deslocamentos, e conseqüentemente os momentos fletores, obtidos com o

processo da rigidez secante são maiores que os obtidos com as curvas momento-

curvatura.

Tabela 13.5 – Exemplo 2. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 13.11.

Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75

Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33

NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124

A figura 13.10 mostra que utilizar a rigidez secante da flexão normal composta para

o cálculo dos efeitos de 2ª ordem fica a favor da segurança e a figura 13.11 e a

tabela 13.5 mostram o porque.

A análise deste exemplo e tendo em vista ainda os exemplos mostrados a seguir e

os milhares de pilares processados, confirmam o objetivo deste trabalho.


XIII - 23

Exemplo 3:

Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice

de esbeltez baixo.


Aço: CA-50; γc = 1,15

Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm

Armadura: 16 φ 10 mm; nx = 6; ny = 0; As = 12,56 cm2

c= 2,5 cm; ρ = 1,368%.

Pilar: λ = 50 → Le = 274,57 cm

L = Le = 274,57 cm

Força normal solicitante: NRd = 0,85x(2,0/1,4)x48,33x19 + 12,56x42 = 1.642,56 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 657,02 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 985,54 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 1.314,05 kN

A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.

Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,4;

Ou seja para a seção da base foi feito: MBd,mín = 0,1.MRd

MBd,máx = 0,4.MRd




MTd = -0,5.MBd

MBd

MTd = 0

MBd

MTd = +0,5.MBd

MBd

5,0−=

mínBd

TdM

M 0=

médBd

TdM

M 5,0+=

máxBd

TdM

M

MBd

MTd Nd

L


XIII - 24

As figuras 13.12 a 13.15 mostram os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; obtidos

para as diversas solicitações.

Seção 48,333x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

(MSd/Mud )a

(MS

d/M

ud) d

Figura 13.12 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização

dos pontos P. Número de pontos = 270

Teta = 15 graus

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud

)d

Figura 13.13 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P, com θ = 15 graus. Número de pontos =54.

Nível de solicitação = 0,1

Nível de solicitação = 0,4


XIII - 25

Teta = 45 graus

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud

)d


do ponto P com θ = 45 graus. Número de pontos =54.

Teta = 75 graus

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud

)d


do ponto P com θ = 75 graus. Número de pontos =54.


XIII - 26

A figura 13.16 mostra o diagrama momento-curvatura para a força normal Nd =

985,54 e vários valores do momento Mxd.

Momento-Curvatura - N d=985,54kN

0

10

20

30

40

50

60

70

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0

Mx=14,0

Mx=28,0

Mx=42,0

Mx=56,0

Mx=70,0

Mx=84,0

MRd/GamaF3Rig Sec


= 985,54 e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem MRy d = 41,46 kN.m.

Na figura 13.12 se pode observar que quando se aumenta o nível de solicitação

(NS=MSd/MRd) os pontos P se deslocam em direção à região D dos gráficos

(MSd/MRd)d-(MSd/MRd)a.

A tabela 13.6 mostra os valores do nível de solicitação correspondente aos pontos

de intersecção das curvas para cada valor de Mxd com a reta da rigidez secante.

Tabela 13.6 – Exemplo 3. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

das curvas com a reta da rigidez secante da figura 13.16.

Mx (kN.m)= 0,00 14,00 28,00 42,00 56,00 70,00 84,001/ry = 9,943E-02 9,740E-02 9,110E-02 8,012E-02 6,544E-02 4,403E-02 0,000E+00My = 40,69 39,86 37,28 32,78 26,78 18,02 0,00

Teta = 0,00 19,34 36,92 52,04 64,47 75,60 -90,00MRxd = 0,00 14,16 28,04 42,20 56,97 73,64 -94,63MRyd = 41,69 40,35 37,31 32,92 27,21 18,91 0,00

NS = 0,981 0,988 0,999 0,995 0,983 0,951 0,888

Os pontos das curvas momento-curvatura abaixo da reta da rigidez secante

correspondem a níveis de solicitação acima de 0,8. Para esses níveis de solicitação


XIII - 27

se obtém pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; nas região C ou D. Portanto, de

novo se conclui que utilizar a rigidez secante da flexão normal composta para

obtenção dos efeitos de 2ª ordem sempre fica a favor da segurança.

Exemplo 4:

Seção com relação hx/hy = 5, quantidade alta de armadura e índice de esbeltez

baixo.


Aço: CA-50; γc = 1,15



c= 3,5 cm; ρ = 5,35%.

Pilar: λ = 50 → Le = 274,57 cm

L = 274,57 cm

Força normal solicitante: NRd = 0,85x(2,0/1,4)x95x19 + 92,46x42 = 6.075,11 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 2.431 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 3.646 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 4.861 kN

A inclinação θ foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.


Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,1.MRd

MSd,máx = 0,4.MRd




5,0−=

mínBd

Td

MM

0=

médBd

Td

MM


XIII - 28

5,0+=

máxBd

Td

MM

A figura 13.17 a 13.20 mostram os pontos

≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM

MP ; obtidos

para as diversas solicitações.

Nas figuras 13.18, 13.19 e 13.20 são mostrados os pontos P para força normal

solicitante igual a 0,4NRd, 0,6NRd e 0,8NRd respectivamente.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud )a

(MS

d/M

ud) d

Figura 13.17 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos

pontos P. Número de pontos = 270.

A2

A1

MTd = -0,5.MBd

MBd

MTd = 0

MBd

MTd = +0,5.MBd

MBd

5,0−=

mínBd

TdM

M 0=

médBd

TdM

M 5,0+=

máxBd

TdM

M

MBd

MTd Nd

L


XIII - 29

Nd = 0,4.Nud = 2.431 kN

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d

Figura 13.18 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,4.NRd.

Nd = 0,6.Nud = 3.646 kN

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d


A1

A2




Nivel de solicitação = 0,4

A2

A1


XIII - 30

Nd = 0,8.Nud = 4.861 kN

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d


Para a força normal solicitante NSd = 0,6.NRd = 3646 kN para a flexão normal

composta na direção x se tem para momento fletor último MRxd = 694 kN.m. A figura

13.21 apresenta o diagrama momento-curvatura para valores de MSxd compatíveis

com esse limite e a tabela 13.7 mostra os valores dos níveis de solicitação (NS)

correspondentes aos pontos de intersecção das curvas para os diversos Mxd

considerados com a reta que define a rigidez secante.

Momento-Curvatura - Nd=3646 kN

02040

6080

100120140

160180200

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0

Mx=75,0

Mx=150,0

Mx=225,0Mx=300,0

Mx=375,0

Mx=450,0

MRd/GamaF3

Rig Sec


e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem MRy d = 135,46 kN.m.




XIII - 31

Tabela 13.7 – Exemplo 4.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.19. Mx (kN.m)= 0,00 75,00 150,00 225,00 300,00 375,00 450,00

1/ry = 1,320E-01 1,317E-01 1,278E-01 1,212E-01 1,117E-01 9,912E-02 8,206E-02My = 134,42 134,16 130,17 123,46 113,76 100,94 83,57

Teta = 0,00 29,24 49,08 61,29 69,28 74,99 79,50MRxd = 0,00 74,97 146,42 214,91 283,66 355,46 432,80MRyd = 135,42 133,94 126,92 117,69 107,28 95,31 80,25

NS = 1,000 1,001 1,025 1,047 1,058 1,055 1,040

Todos os níveis de solicitação da tabela 13.7 resultaram acima de 1,0. As figuras

13.17 a 13.20 mostram que para níveis de solicitação acima desse valor os pontos P

caem na região D, onde, como já foi mostrado, é indiferente o uso do processo com

desacoplamento ou do processo com acoplamento. Portanto, o fato das curvas

correspondentes a Mxd = 75 a 450 kN.m possuírem um trecho abaixo da reta da

rigidez secante não contradiz a tese aqui defendida. Ou seja, este exemplo também

confirma a tese de que o desacoplamento das flexões, no cálculo dos efeitos de 2ª

ordem com a rigidez secante é possível e a favor da segurança.

Exemplo 5:

Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de

esbeltez médio.


Aço: CA-50; γc = 1,15


Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; ρ = 0,66%.

Pilar: λ = 90 → Le = 494,22 cm

L = 494,22cm

Força normal solicitante: NRd = 0,85x(2/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 283,47 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 425,20 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 566,93 kN

A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ =

15 graus.


XIII - 32


Ou seja para a seção da base foi feito: MBd,mín = 0,1.MRd

MBd,máx = 0,4.MRd

Sendo Mud o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal

solicitante e à inclinação θ considerados.



≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM


diversas solicitações.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mu d)a

(MS

d/M

ud) d

Figura 13.22 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P.

A2

A1

MTd = -0,5.MBd

MBd

MTd = 0

MBd

MTd = +0,5.MBd

MBd

5,0−=

mínBd

TdM

M 0=

médBd

TdM

M 5,0+=

máxBd

TdM

M

MBd

MTd Nd

L


XIII - 33

As figuras 12.23 e 13.24 mostram os pontos P para nível de solicitação 0,1 e 0,4

respectivamente.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d

Figura 13.23 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P

para Nível de solicitação NS = 0,1.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d


para Nível de solicitação NS = 0,4.

A1

A2

A1

A2


XIII - 34

A figura 13.25 mostra o diagrama momento-curvatura para a direção y (maior

esbeltez) para a força normal Nd = 3.646 kN e diversos valores do momento na

direção ortogonal.

Momento-Curvatura - Nd=3646 kN

0

5

10

15

20

25

30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1/ry (1000/cm)

MS

yd (

kN.m

)

Mx=0,0

Mx=3,5

Mx=7,0

Mx=10,5

Mx=14,0

Mx=17,5

Mx=21,0

MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 13.25 – Exemplo 5. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muyd = 21,17 kN.m.

A tabela 13.8 mostra os valores dos níveis de solicitação (NS = MBd /Mud)

correspondentes aos pontos de interseção das curvas do diagrama momento-

curvatura com a reta da rigidez secante (fig. 13.25).

Observa-se que, neste caso, os níveis de solicitação para Mxd > 0 resultaram todos

maiores que a unidade. Nível de solicitação maior que a unidade significa aplicar um

momento na base do pilar maior que o momento resistente do E.L.U. da seção.

Logo, a parte útil das curvas do diagrama momento-curvatura são os trechos que

estão acima da reta da rigidez secante.

Com isso, as curvaturas obtidas com a rigidez secante sempre resultarão maiores

que as obtidas com as curvas do diagrama momento-curvatura. Os deslocamentos

finais e momentos totais (1ª ordem + 2ª ordem) também sempre resultarão maiores

que os obtidos com as curvas dos diagramas momento -curvatura.

Tabela 13.8 – Exemplo 5.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 13.25.

Mx (kN.m)= 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75

Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33

NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124


XIII - 35

Exemplo 6:

Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice

de esbeltez alto .


Aço: CA-50; γc = 1,15

Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm


c= 2,5 cm; ρ = 1,368%.

Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm

L = 631,50 cm

A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste

trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a

tensão no concreto para deformação de 2%o é

])0,2)5,11(

0,21(1[)4,1/5,2(85,0 2

xxxc +

−−=σ

σc = 0,971 kN/cm2

Força normal resistente do E.L.U.:

NRd = hx.hy.σc + As.σs2%o

NRd = 48,33x19x0,971+ 12,56x42

NRd = 1.419,16 kN

Força normal solicitante:

NSd,mín = 0,1.NRd = 141,92 kN

NSd,máx = 0,3.NRd = 425,75 kN


Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,4.

Ou seja, para a seção da base foi feito:

MBd,mín = 0,1.MRd

MBd,máx = 0,4.MRd

Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal




XIII - 36

Para esbeltez λ = 115, as ações sobre o pilar têm que ser menores que as

consideradas nos exemplos anteriores, já que, com aquelas ações os pilares aqui se

mostram sempre instáveis, com os pontos P caindo na região D da figura 13.26.

Para se obter pontos nas regiões A1, A2, B ou C foram consideradas ações

relativamente menores que nos exemplos anteriores.


≡

dRd

Sd

aRd

SdM

MM


diversas solicitações. Todos os pontos estão acima da reta que separa as regiões

A1 e A2

Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud)

d

Figura 13.26 – Exemplo 6. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos

pontos P.

A1

A2

C1

B

D

MTd = -0,5.MBd

MBd

MTd = 0

MBd

MTd = +0,5.MBd

MBd

5,0−=

mínBd

TdM

M 0=

médBd

TdM

M 5,0+=

máxBd

TdM

M

MBd

MTd Nd

L


XIII - 37

A figura 13.27 mostra os pontos P obtidos para o nível de solicitação NS = 0,1.

A figura 13.28 mostra os pontos P obtidos para o nível de solicitação NS = 0,4.

Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mu d)a

(MS

d/M

ud) d


para nível de solicitação NS = 0,1. Número de pontos = 135.

Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd /Mud)a

(MS

d/M

ud) d


para nível de solicitação NS = 0,4. Número de pontos = 135.

A1

A1

B

C D

A1

A2

C

B

D


XIII - 38

A figura 13.29 mostra os pontos P obtidos para força normal Nd = 0,4.NRd e níveis de

solicitação NS = 0,1 e 0,4.



Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud )a

(MS

d/M

ud) d


para Nd = 0,4.NRd = 141,92 kN. Número de pontos = 90.

Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d


para Nd = 0,6.NRd = 248,29 kN. Número de pontos = 90.

A1

A2

B

C D

A1

A2

C

B

D

NS = 0,1 45 pontos

NS = 0,4 45 pontos

NS=0,1 45 pontos

NS=0,4 45 pontos


XIII - 39



Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud) d


para Nd = 0,8.Nud = 372,44 kN. Número de pontos = 90.

A figura 13.32 mostra o diagrama momento-curvatura para a direção y, para a força

normal solicitante Nd = 0,6.NRd = 248,29 kN e momentos na direção x iguais a Mxd =

0 a 84 kN.m com ∆Mxd = 14 kN.m.

Na tabela 13.9 estão mostrados os níveis de solicitação correspondentes aos pontos

de intersecção das curvas da figura 13.32 com a reta da rigidez secante. Mais uma

vez fica evidente que os pilares só poderão estar solicitados por momentos que

correspondam a pontos das curvas da figura 13.32 entre a origem (Mxd = 0; Myd=0)

e os pontos de cruzamento com a reta da rigidez secante. Além desse ponto com

certeza não, já que, para níveis de solicitação além daqueles da tabela 13.9 o pilar

se mostraria instável (pontos P nas regiões D). Para este exemplo, os momentos

totais correspondentes aos pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez

secante são maiores que os momentos resistente do E.L.U. da seção para a força

normal considerada (NS = MBd / MRd >1,0).

A1

B

A2

C

D

NS = 0,1 45 pontos

NS = 0,4 45 pontos


XIII - 40

Momento-Curvatura - Nd=248,29kN

0

10

20

30

40

50

60

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

1/ry (1000/cm)

MS

yd (k

N.m

)

Mx=0,0

Mx=14,0

Mx=28,0

Mx=42,0

Mx=56,0Mx=70,0

Mx=84,0

MRd/GamaF3

Rig Sec


e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem MRy d = 52,08 kN.m.



1/ry = 2,685E-01 2,541E-01 2,403E-01 2,147E-01 1,832E-01 1,393E-01 7,608E-02My = 51,95 49,17 46,50 41,53 35,45 26,95 14,72

Teta = 0,00 15,90 31,07 45,34 57,69 68,97 80,07MRxd = 0,00 13,82 26,01 37,91 49,91 63,78 82,42MRyd = 51,95 48,53 43,17 37,47 31,57 24,52 14,42

NS = 1,000 1,013 1,077 1,108 1,122 1,098 1,019

Exemplo 7:

Seção com relação hx/hy = 5, com uma quantidade alta de armadura e índice de

esbeltez alto.


Aço: CA-50; γc = 1,15



c= 3,5 cm; ρ = 5,35%.


XIII - 41

Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm

L = 631,50 cm

A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste

trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a

tensão no concreto para deformação de 2%o é

])0,2)5,11(

0,21(1[)4,1/0,2(85,0 2

xxxc +

−−=σ

σc = 0,777 kN/cm2

Força normal resistente do E.L.U.:

NRd = 95x19x0,777+ 92,46x42

NRd = 5.287 kN

Força normal solicitante: NSd,mín = 0,1.NRd = 528,7 kN

NSd,méd = 0,2.NRd = 1.057,4 kN

NSd,máx = 0,3.NRd = 1.586,2 kN


Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,4.

Ou seja para a seção da base:

MBd,mín = 0,1.MRd

MBd,máx = 0,4.MRd

Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal



A figura 13.33 mostra os pontos P obtidos para as diversas solicitações.

MTd = -0,5.MBd

MBd

MTd = 0

MBd

MTd = +0,5.MBd

MBd

5,0−=

mínBd

TdM

M 0=

médBd

TdM

M 5,0+=

máxBd

TdM

M

MBd

MTd Nd

L


XIII - 42

As figuras 13.34, 13.35 e 13.36 mostram os pontos P para força normal igual a

0,1.NRd, 0,2.NRd e 0,3.NRd respectivamente.

As figuras 13.37 e 13.38 mostram os pontos P para níveis de solicitação iguais a 0,1

e 0,4 respectivamente.

A figura 13.39 mostra o diagrama momento-curvatura da direção y, para a seção

deste exemplo, com momentos Mxd assumindo diversos valores. Nota-se que as

curvas quase coincidem .


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud )a

(MSd

/Mu

d)d

Figura 13.33 – Exemplo 7. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P.

Número de pontos =270.

Seção 95x19 - 46 fi 16 mm - Nd = 528,73 kN

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MSd

/Mud

)d


para Nd = 0,1.NRd = 528,73 kN. Número de pontos =90.


XIII - 43

Seção 95x19 - 46 fi 16 mm - Nd = 1.057,4 kN

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MSd

/Mu

d)d


para Nd = 0,2.NRd = 1057,4 kN. Número de pontos =90.

Seção 95x19 - 46 fi 16 mm - Nd = 1.586,2 kN

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MSd

/Mud

)d


para Nd = 0,3.NRd = 1.586,2 kN. Número de pontos =90.

Seção 95x19 - 46 fi 16 mm - NS = 0,1

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MS

d/M

ud)

d


para NS = 0,1. Número de pontos =135.


XIII - 44

Seção 95x19 - 46 fi 16 mm - NS = 0,4

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(MSd/Mud)a

(MSd

/Mu

d)d


para NS = 0,4. Número de pontos =135.

Momento-Curvatura - Nd=1586,2kN

0

50

100

150

200

250

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

1/ry (1000/cm)

MS

yd (k

N.m

)

Mx=0,0

Mx=100,0

Mx=200,0

Mx=300,0

Mx=400,0Mx=500,0

Mx=600,0

MRd/GamaF3

Rig Sec

Figura 13.39 – Exemplo 7. Diagrama momento curvatura da direção y para

Nd = 1586,2 e diversos momentos Mxd.

Na tabela 13.10 estão mostrados os níveis de solicitação correspondentes aos

pontos de intersecção das curvas da figura 13.39 com a reta da rigidez secante.

Mais uma vez fica evidente que os pilares só poderão estar solicitados por

momentos que correspondam a pontos das curvas da figura 13.39 entre a origem

(Mxd = 0; Myd=0) e os pontos de cruzamento com a reta da rigidez secante. Além


XIII - 45

desses pontos com certeza não, já que, para níveis de solicitação além daqueles da

tabela 13.10 o pilar se mostraria instável (pontos P na região D). Neste caso ainda, o

momento solicitante total seria maior que o momento último, já que os níveis de

solicitação encontrados resultaram todos maiores que 1,0 (NS = MBd/MRd ≥ 1,0)



1/ry = 2,649E-01 2,634E-01 2,561E-01 2,378E-01 2,148E-01 1,860E-01 1,460E-01My = 193,25 192,16 186,86 173,49 156,71 135,75 106,51

Teta = 0,00 27,50 46,97 60,00 68,65 74,86 79,96R 0,00 92,65 173,90 254,25 335,50 422,54 528,48

MRyd = 193,25 177,95 162,34 146,81 131,14 114,34 93,61NS = 1,000 1,080 1,151 1,180 1,193 1,184 1,135

CAPÍTULO XIII – ANÁLISE DE PILARES BIAPOIADOS

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