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Capítulo 1 Dinâmica de um sistema de partículas 1.1 Colisões elásticas de duas partículas em duas dimensões O objetivo é aplicar os teoremas de conservação para o estudo das colisões elásticas de duas partículas. Denominam-se colisões elásticas àquelas nas quais a energia e momento são conservados. Quando duas partículas interagem o movimento de uma partícula relativa a outra é governado pela natureza da força de interação entre as partículas. Esta interação pode ser de origem eletromagnética, gravitacional ou nuclear forte e/ou fraca, por exemplo um meteoro pode ter sua trajetória alterada (espalhamento) devido a interação gravitacional, quando da passagem nas proximidades da terra, também uma partícula α pode ser espalhada por um núcleo atômico. Sabe-se que se força de interação entre duas partículas é co- nhecida, o problema de dois corpos é totalmente solúvel. Entretanto mesmo não se conhecendo a natureza da interação ( força de interação) entre as partículas muito pode-se aprender acerca do movimento relativo entre elas utilizando-se leis de conservação. Assim se o estado inicial do sistema (po- sições e velocidades iniciais) for conhecido, as leis de conservação permitem que se tenha informações sobre o estado final (posições e velocidades) do sistema. O objetivo desta seção é o de calcular as velocidades e energia cinéticas finais das partículas envolvidas no processo de colisão em termos dos parâ- metros conhecidos (medidos no laboratório): velocidades iniciais, massas das partículas e ângulos de espalhamento. Devido ao grande número de parâmetros necessários para descrever este 1

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Capítulo 1

Dinâmica de um sistema departículas

1.1 Colisões elásticas de duas partículas emduas dimensões

O objetivo é aplicar os teoremas de conservação para o estudo das colisõeselásticas de duas partículas. Denominam-se colisões elásticas àquelas nasquais a energia e momento são conservados.

Quando duas partículas interagem o movimento de uma partícula relativaa outra é governado pela natureza da força de interação entre as partículas.Esta interação pode ser de origem eletromagnética, gravitacional ou nuclearforte e/ou fraca, por exemplo um meteoro pode ter sua trajetória alterada(espalhamento) devido a interação gravitacional, quando da passagem nasproximidades da terra, também uma partícula α pode ser espalhada por umnúcleo atômico. Sabe-se que se força de interação entre duas partículas é co-nhecida, o problema de dois corpos é totalmente solúvel. Entretanto mesmonão se conhecendo a natureza da interação ( força de interação) entre aspartículas muito pode-se aprender acerca do movimento relativo entre elasutilizando-se leis de conservação. Assim se o estado inicial do sistema (po-sições e velocidades iniciais) for conhecido, as leis de conservação permitemque se tenha informações sobre o estado final (posições e velocidades) dosistema.

O objetivo desta seção é o de calcular as velocidades e energia cinéticasfinais das partículas envolvidas no processo de colisão em termos dos parâ-metros conhecidos (medidos no laboratório): velocidades iniciais, massas daspartículas e ângulos de espalhamento.

Devido ao grande número de parâmetros necessários para descrever este

1

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2 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura 1.1.1: Referenciais de Laboratório (SLAB) e Centro de Massa (SCM)

problema, define-se a notaçãom1 massa da partícula incidente = projétil,m2 massa da partícula alvo

Para as velocidades envolvidas utiliza-se u representando as velocidadesiniciais e v as velocidades finais, sendo que analogamente para a partícula2(alvo) ui velocidades iniciais das partículas 1 e 2 no SLAB,

vi velocidades finais das partículas 1 e 2 no SLAB.u′

i velocidades iniciais das partículas 1 e 2 no SCM,v′i velocidades finais das partículas 1 e 2 no SCM.

Os outros parâmetros sãoV velocidade do CM, comn relação SLAB,ψ angulo de espalhamento de m1 no SLAB,ζ angulo de espalhamento de m2 no SLAB,θ angulo de espalhamento de m1 no SCM.

Da geometria da Fig. (1.1.1) encontra-se que

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1.1. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES3

SLAB SCM

Antes da Colisão

Figura 1.1.2: Antes da colisão t = ti no SLAB e SCM respectivamente

r1 = r′1 + V t,

r2 = r′2 + V t.

(1.1.1)

Dado que estes são vetores dependentes do tempo, somente a velocidade doSCM , V é constante, as derivadas dos vetores no instante inicial ti antes dacolisão fornece

u1 = u′1 + V ,

0 = u′2 + V ,

(1.1.2)

devido que a partícula m2 está em repouso no SLAB, sendo portanto o seuvetor constante. A derivadas dos vetores Eq. (1.1.1) em um tempo posteriort = tf fornece

v1 = v′1 + V ,

v2 = v′2 + V .

(1.1.3)

1.1.1 Descrição qualitativa do espalhamento nos refe-renciais de LAB e CM.

A Fig. (1.1.2) ilustra a geometria da colisão elástica antes da colisão nossistemas de referência do laboratório (SLAB) onde a velocidade inicial doalvo (m2) u2 = 0 e sistema de referência do centro de massa (SCM); enquantoque a Fig. (1.1.3) corresponde à representação após a colisão.

O estado final das partículas espalhadas tanto no sistema de laborató-rio quanto do centro de massa, estão sumarizados de forma apropriada nosdiagramas da Fig. (1.1.4). Nesta representação estão esquematizados os es-tados finais do projétil (m1) devido a colisão elástica com o alvo para o casoem que V < v′

1 quando existe somente uma possível trajetória de espalha-mento e V > v′

1 quando há duas possíveis trajetórias de espalhamento sendocaracterizadas pelos ângulos θf ∈ [0, π/2] e θb ∈ [π/2, π].

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4 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

SLAB SCM

Depois da Colisão

Figura 1.1.3: Depois da colisão t = tf no SLAB e SCM respectivamente

Figura 1.1.4: Colisão elástica de duas partículas. Estados finais do projétil(m1) devido a colisão elástica com o alvo para as duas possibilidades devalores entre a velocidade do CM e velocidade final do projétil no SCM.

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1.1. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES5

Este diagrama tem o seguinte significado: a velocidade V do CM adiciona-se a velocidade final v′

1 de m1. Dependendo do angulo θ em que o espalha-mento acontece, todos os possíveis vetores v′

1 estão com origem em V eextremidade na circunferência de raio v′

1. A velocidade v1 e o angulo de es-palhamento ψ no laboratório são obtidos conectando-se a origem de V coma extremidade de v′

1.Da figura Fig. (1.1.4) obtêm-se que para V < v

′1 existe uma relação

unívoca entre os parâmetros V e v′, ou seja para cada um dos valores de Ve v′

1 têm-se somente um valor do angulo θ. Note no entanto que para V > v′1

têm-se duas possibilidades de espalhamento para os mesmos valores de V ev′

1, as quais são v1b, θb e v1f , θf correspondendo ao espalhamento frontal epara a volta. Esta situação ocorre devido ao fato que para V > v′

1 têm-se dois possíveis valores do ângulo θf e θb para um único ângulo ψ para oespalhamento no laboratório. Note claramente que isto acontece porque v′

1intercepta a circunferência de raios v′

1 em dois pontos. Neste caso não existeuma relação unívoca entre os parâmetros. Quado determina-se os vetores V ev′

1 não há ambiguidade porque fica definido um único θ, porém no laboratóriomede-se ψ, a direção de v1 que juntamente com V conduz aos dois possíveisvalores de θ.

A discussão anterior é qualitativa, para que se determine os valores dosparâmetros de interesse no espalhamento, velocidades e energias finais, é ne-cessário utilizar as equação ou leis de conservação, isto será feito na próximaseção.

1.1.2 Descrição do movimento no CMA definição de coordenadas do centro de massa fornece

R =∑ni=1 miri∑ni=1 mi

, (1.1.4)

que diferenciadas com relação ao tempo ti antes da colisão, teremos

V = m1

Mu1 + m2

Mu2,

onde M = m1 + m2 e u2=0 já que a partícula alvo está em repouso. Segueportanto que a velocidade do centro de massa no referencial do laboratório é

V = m1

Mu1 . (1.1.5)

Conhecida a velocidade no CM utiliza-se as equações Eq. (1.1.2,1.1.3) parase encontrar as velocidades iniciais e finais do projétil e alvo no SCM:

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6 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

u′1 = u1 − V = u1 −

m1

Mu1 = m2

Mu1

u′2 = u2 − V = 0− m1

Mu1 = −m1

Mu1

ou seja temosu′

1 = m2

Mu1,

u′2 = −m1

Mu1

(1.1.6)

que podem ser utilizadas para calcularmos o momento no CM

P ′i = m1u

′1 +m2u

′2

= m1m2

Mu1 −m2

m1

Mu1

= 0,

ou seja o momento inicial do sistema no CM é nulo

P ′i = 0 . (1.1.7)

O teorema de conservação do momento fornece, para o CM, que

P ′f = m1v

′1 +m2v

′2 = 0,

de onde segue quev′

1 = −m2

m1v′

2 . (1.1.8)

Essa equação indica diretamente que no CM o espalhamento se dá em umadimensão após a colisão com as partículas movendo-se em direções opostas.

Como a colisão é elástica, a interação de contato e a análise do problema(espalhamento) é feita antes do espalhamento e após o espalhamento, a con-servação da energia se aplica e neste caso reduzindo-se à conservação daenergia cinética

T ′i = T ′

f , (1.1.9)

fornecendo neste caso

12m1u

′21 + 1

2m2u′22 = 1

2m1v′21 + 1

2m2v′22 =⇒

m1u′21 +m2u

′22 = m1v

′21 +m2v

′22 .

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1.1. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES7

Substituindo as Eq. (1.1.6,1.1.8) encontra-se que

m1

(m2

Mu1

)2+m2

(−m1

Mu1

)2= m1

(−m2

m1v′

2

)2+m2v

′22 =⇒

m1m2

M2 (m2 +m1)u21 = m2

(m1 +m2

m1

)v′2

2 =⇒m1m2

Mu2

1 = m2

m1Mv′2

2 =⇒

v′22 = m2

1M2u

21,

ou resumidamentev′

2 = m1

Mu1 = V = u′

2, (1.1.10)

e segue diretamente utilizando a Eq.(1.1.8) que

v′1 = m2

Mu1 = u′

1, (1.1.11)

indicando que as velocidades finais são iguais as iniciais quando o espalha-mento é analisado do CM.

1.1.3 Descrição do espalhamento no SLABPara se descrever o movimento no SLAB é necessário conhecer além da re-lação dos módulos nos dois sistemas, também as direções. Por isto torna-senecessário encontrar equações que relacionem os ângulos nos referenciais deCM e LAB.

1.1.3.1 O ângulo de espalhamento do projétil

Para encontramos a relação entre o ângulo de espalhamento do projétil e oângulo de espalhamento no CM utilizamos o diagrama da figura Fig. (1.1.5)

A representação esquemática na figura Fi. (1.1.5) foi feita considerando-se V < v′

1. De fato é necessário considerar-se também as duas possibilidadedo espalhamento com V > v′

1, como esquematizado na Fig. (1.1.4). Estaspossibilidades não serão abordadas neste momento apesar que os resultadosfinais corresponderão à situação agora considerada. Segue da geometria daFig. (1.1.5) que

tanψ = v′1senθ

v′1 cos θ + V

= senθcos θ + V

v′1

. (1.1.12)

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8 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura 1.1.5: Relação entre ψ e θ

Utilizando as Eqs. (1.1.5,1.1.6) obtêm-se que

V

v′1

= m1

Mu1M

m2u1 = m1

m2. (1.1.13)

Substituindo a Eq. (1.1.13) na Eq. (1.1.12) obtêm-se a relação procurada

tanψ = senθcos θ + m1

m2

. (1.1.14)

Desta equação destacamos dois importantes casos particulares:Primeiro m1 � m2. Neste caso segue diretamente da Eq. (1.1.14) que

tanψ = tan θ =⇒ ψ ∼ θ.

Segundo m1 = m2. Neste caso segue diretamente da Eq. (1.1.14) que

tanψ = senθcos θ + 1 .

Dado que

sen (θ) = sen(θ

2

)cos

2

)+ sen

2

)cos

2

)= 2sen

2

)cos

2

),

cos (θ) = cos(θ

2

)cos

2

)− sen

2

)sen

2

)= cos2

2

)− sen2

2

)

= 2 cos2(θ

2

)− 1.

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1.1. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES9

segue que

tanψ = tan(θ

2

)=⇒ ψ = θ

2 .

Resumindo e colecionando os resultados anteriores, têm-se queψ ∼ θ, m1 � m2,

ψ = θ2 , m1 = m2.

(1.1.15)

Quando a massa do projétil é muito maior que a massa do alvo, o ângulode espalhamento do projétil no LAB é aproximadamente igual ao ângulo deespalhamento do projétil no CM, como resulta da análise da primeira dasEqs. (1.1.15).

Já a segunda dessas Eqs. indica que se a massa do projétil for igual amassa do alvo, o ângulo de espalhamento no laboratório é metade do angulode espalhamento do projétil no CM. Dado que o valor máximo do ângulo deespalhamento no CM é de θ = π, a segunda das Eqs. (1.1.15) indica quepara m1 = m2 não há no LAB espalhamento com ângulos maiores que π/2.

1.1.4 Ângulo de espalhamento do alvo

A expressão para a velocidade final v2 do alvo no SLAB também depende doângulo de espalhamento θ do SCM. Analogamente ao procedimento utilizadona obtenção da Eq. (1.1.14) ,procede-se na obtenção da relação entre o ânguloζ e θ. Para isto considera-se a representação esquemática, Fig. (1.1.6), coma geometria do espalhamento do alvo.

Desta representação encontra-se que

v2senζ = v′2senθ,

v2 cos ζ = V − v′2 cos θ.

Estas equações fornecem

tan ζ = senθVv′

2− cos θ

.

Dado que pela Eq. (1.1.10) V/v′2 = 1,teremos

tan ζ = senθ1− cos θ .

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10 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura 1.1.6: Geometria do espalhamento do alvo

Devido que

1− cos θ = 1−[2 cos2

2

)− 1

]

= 2− 2 cos2(θ

2

)

= 2sen2(θ

2

),

sen (θ) = 2sen(θ

2

)cos

2

),

obtêm-se que

tan ζ = cot(θ

2

).

Sendo que

cot(θ

2

)=

cos(θ2

)sen

(θ2

) = −sen

(θ2 −

π2

)cos

(θ2 −

π2

) =sen

(π2 −

θ2

)cos

(π2 −

θ2

) = tan(π

2 −θ

2

).

Obtêm-se desta forma a equação

tan ζ = tan(π

2 −θ

2

), (1.1.16)

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1.1. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES11

Figura 1.1.7: Espalhamento de duas partículas com massas iguais, com oalvo inicialmente em repouso

da onde segue a relação entre os ângulos

ζ = π

2 −θ

2 ⇐⇒ 2ζ = π − θ . (1.1.17)

Neste caso a relação entre os ângulos independe das massas, com isto a análisefeita anteriormente não se aplica a este caso. Entretanto para partículas demassa iguais m1 = m2 obteve-se que ψ = θ/2 e para este caso tem-se que

2ζ = π − θ = π − 2ψ =⇒

ψ + ζ = π

2 ,m1 = m2. (1.1.18)

A Eq. (1.1.18) indica que no espalhamento de partículas com as mesmasmassas os ângulos entre os vetores velocidades finais serão retos se o alvoestiver inicialmente em repouso, como ilustrado nas Fig. (1.1.7).

1.1.5 Cinemática das colisões elásticasDevido a não considerarmos a força existente no momento da colisão (intera-ção entre as partículas) podemos fazer somente uma descrição da cinemáticado movimento utilizando a conservação do momento e energia. A energiaenvolvida neste processo é somente a cinética, a qual depende do quadradoda velocidade inicial e final já que é necessário o conhecimento da energiaantes e após a colisão. A energia cinética inicial do sistema no SLAB é

Ti

= T1 + T2 = 12m1u

21 + 0 =⇒

Ti = 12m1u

21. (1.1.19)

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12 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

A energia cinética inicial no SCM , com a substituição da Eq. (1.1.6), é

T ′i = 1

2m1u′21 + 1

2m2u′22

= m1m2

2M2 (m1 +m2)u21

= m2

M

12m1u

21 = m2

MT0.

Resumindo encontra-se que

T ′i = m2

MT0. (1.1.20)

Esta equação indica que a energia cinética no SCM é menor, (uma fração)da energia cinética no SLAB, já que

m2

M= m2

m1 +m2< 1.

As expressões obtidas anteriormente fornecem a energia cinética do sis-tema (duas partículas) inicial nos SLAB e SCM, que pelo teorema de con-servação da energia, também será a energia do sistema após a colisão. En-tretanto o que se mostra necessário calcular após a colisão, são as energiacinéticas finais de cada constituinte individual, por isso o próximo passo seráo cálculo das energias cinéticas das partículas m1 e m2 finais no SLAB emfunção da energia inicial do sistema no SLAB.

A energia cinética calculada no SLAB depende da velocidade do CM e davelocidade no SCM. Esta combinação será quadrática e por isto aparecerá oângulo entre os vetores velocidade do CM e velocidades das partículas m1 em2 no SCM, ou seja as Eqs. (1.1.3) fornecem que

v21 = (V + v′

1)2 = V 2 + v′2

1 + 2V · v′1 (1.1.21)

= V 2 + v′21 + 2V · v′

1 cos θ,v2

2 = (V + v′2)

2 = V 2 + v′22 + 2V · v′

2 (1.1.22)= V 2 + v′2

1 + 2V · v′2 cos (π − θ)

= V 2 + v′21 − 2V · v′

2 cos (θ) .

Expressando as velocidades do CM e final da partícula m1 no SALB, via Eqs.(1.1.5,1.1.10,1.1.11), têm-se que

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1.1. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES13

v21 =

(m1

Mu1

)2+(m2

Mu1

)2+ 2m1

Mu1m2

Mu1 cos θ

= m1m2

M2

(m1

m2+ m2

m1+ 2 cos θ

)u2

1

= m1m2

M2

(m2

1 +m22

m1m2+ 2 cos θ

)u2

1.

Já a velocidade final de m2 no SLAB será

v22 =

(m1

Mu1

)2+(m1

Mu1

)2− 2

(m1

Mu1

)2cos θ

= 2(m1

Mu1

)2(1− cos θ)u2

1

que resumidamente são

v21 = m1m2

M2

(m2

1 +m22

m1m2+ 2 cos θ

)u2

1 , (1.1.23)

v22 = 2

(m1

M

)2(1− cos θ)u2

1 . (1.1.24)

Utilizando estas equações obtêm-se imediatamente as expressões para asenergias cinéticas finais das partículas projétil e alvo no SLAB:

T1 = m1m2

M2

(m2

1 +m22

m1m2+ 2 cos θ

)T0 , (1.1.25)

T2 =(2m1m2

M2

)(1− cos θ)T0 . (1.1.26)

As Eq. (1.1.25,1.1.26) fornecem as energias cinéticas finais no referencial delaboratório das partículasm1 em2 em função de suas massas, energia cinéticainicial T0 e ângulo de espalhamento θ medido no centro de massa. Os dadosexperimentais são medidos no referencial do laboratório, por isso é necessárioexpressar estas equações em função dos ângulos ψ e ζ. Isto é mais facilmenteexecutado através dos cálculos dos quadrados das velocidade no CM, quea inversão das Eq. (1.1.14) e Eq. (1.1.16) para posterior substituição nasEq.(1.1.25) e Eq. (1.1.26) .

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14 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.1.5.1 As Energias cinéticas finais das partículas em função doângulo de laboratório

Para expressarmos as energia cinéticas finais das partículas m1 e m2 emfunção dos ângulos do SLAB é mais simples usarmos as relações entre asvelocidades finais no SCM e SLAB

v1 = v′1 + V,

v2 = v′2 +V ,

e isolar

v′1 = v1 − V,

v′2 = v2 − V ,

cujos quadrados são

v′21 = v2

1 + V 2 − 2v1V cosψ, (1.1.27)v′2

2 = v22 + V 2 − 2v2V cos ζ. (1.1.28)

Utilizando a Eq. (1.1.27) calcula-se a velocidade final do projétil (partículam1) em função do angulo ψ. Para isto utiliza-se as Eqs. (1.1.5,1.1.11) parareescrever a Eq. (1.1.27) como(

m2

Mu1

)2= v2

1 +(m1

Mu1

)2− 2v1

(m1

Mu1

)cosψ.

Esta é uma equação de segundo grau na incógnita v1 :

v21 − 2

(m1

Mu1

)cosψv1 + m2

1 −m22

M2 u21 = 0,

cujas soluções são

v1 =(m1

Mu1

)cosψ ± 1

2

√4(m1

Mu1

)2cos2 ψ − 4m

21 −m2

2M2 u2

1

= m1

Mu1 cosψ ± m1

Mu1

√√√√cos2 ψ −(

1− m22

m21

).

A velocidade final do alvo (partícula m2) em função do angulo ζ. Para istoutiliza-se as Eqs. (1.1.5,1.1.10) para reescrever a Eq. (1.1.28) como

�����

(m1

Mu1

)2 = v2

2 +��

���(m1

Mu1

)2 − 2v2

(m1

Mu1

)cos ζ,

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1.2. RESUMO E CONSIDERAÇÕES 15

que também é uma equação de segundo grau para v2 :

v22 − 2v2

(m1

Mu1

)cos ζ = 0,

cujas soluções são

v2 =

0,2(m1Mu1)

cos ζ.

Colecionando os resultados para os cálculos das velocidades

v1 = m1

Mu1

cosψ ±√(

m2

m1

)2− sen2ψ

, (1.1.29)

v2 =(2m1

Mcos ζ

)u1 . (1.1.30)

As correspondentes energias cinéticas T1 e T2em função dos ângulos de espa-lhamento medido no laboratório será

T1 =(m1

M

)2cosψ ±

√(m2

m1

)2− sen2ψ

2

T0,

T2 = 4m1m2

M2 cos2 ζT0

T1

T0=(m1

M

)2cosψ ±

√(m2

m1

)2− sen2ψ

2

, (1.1.31)

T2

T0= 4m1m2

M2 cos2 ζ . (1.1.32)

1.2 Resumo e consideraçõesApresenta-se uma compilação dos resultados anteriores e suas consequênciaspara valores particulares de alguns parâmetros.

1.2.1 Grandezas referidas ao SCMCoordenadas, velocidade e velocidades relativas:

R = m1r1 +m2r2

M,

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16 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura 1.2.1: Resumo da geometria, ângulos e energia cinética

V = m1

Mu1,

u′1 = m2

Mu1,

u′2 = −m1

Mu1

Utilizando as equações anteriores, destacamos os seguintes casos particu-lares

m1 � m2 Neste caso o o CM está muito próximo de m2, a velocidadede m1, u′

1, deve ser muito maior do que a velocidade dem2, com relação ao CM, para que no momento da colisãoos três pontos geométricos estejam no mesmo local.

m1 = m2 Neste caso as relações entre as velocidades serão u′1 =

12u1, u = −1

2u1, ou seja mesmo módulo e sentidos opos-tos.

m1 � m2 Neste caso o CM está muito próximo dem1 e sua velocidaderelativa ao CM é muito pequena; já a velocidade de m2 égrande porque está se afastando do CM.

1.2.1.1 Grandezas referidas ao SLAB

Resumo da geometria, ângulos e energia cinética

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1.2. RESUMO E CONSIDERAÇÕES 17

tanψ = senθcos θ + m1

m2

,

2ζ = π − θ,

T1

T0=(m1

M

)2cosψ ±

√√√√m22

m21− sen2ψ

2

T2

T0= 4m1m2

M2 cos2 ζ.

m1 � m2 Neste caso m1/m2 � 1, teremos para os ângulos que

tanψ ∼ tan θ =⇒ ψ ∼ θ; 2ζ = π − θ =⇒ 2ζ + ψ = π

T1

T0∼(m1

m2

)2 [cosψ ± m2

m1

]2∼(m1

m2

)2 (m2

m1

)2= 1,

como esperado já que devido a sua grande massa a partícula m2será pouco espalhada e adquirirá uma pequena energia cinética,enquanto que a energia cinética dem1 permanecerá praticamenteinalterada, mantendo praticamente o seu valor inicial. A energiacinética de m2 será

T2

T0= 4m1m2

M2 cos2 ζ ∼ 4m1

m2cos2 ζ � 1,

como já observado.

m1 = m2 Neste caso os ângulos e velocidade serão

tanψ = senθcos θ + 1 = tan

2

)=⇒ ψ = θ

2;

2ζ = π − θ =⇒ ζ + ψ = π

2 ,

T1

T0= 1

4

[cosψ ±

√1− sen2ψ

]2=

44 cos2 ψ +,0 −.

Entretanto a energia cinética não é nula, por isto somente a pri-meira raiz é aceitável. Para T2 termos

T2

T0= cos2 ζ = cos2

2 − ψ)=sen2ψ.

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18 CAPÍTULO 1. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Este resultado indica que para ψ = 0, π a energia cinética da partículam1 é igual a energia cinética inicial, T1 = T0 enquanto que a energiacinética da partícula m2 é nula, ou seja ela permanece em repouso. Jápara ψ = π/2, após a colisão m1 torna-se estacionária e m2 adquirea energia cinética máxima. Note que neste caso m1 para e m2é espa-lhada em um ângulo reto com a linha de visada (ou prolongamento datrajetória inicial) de m1.