Captulo4 Anlisesestruturais 120922081600 Phpapp02

7/17/2019 Captulo4 Anlisesestruturais 120922081600 Phpapp02

http://slidepdf.com/reader/full/captulo4-anlisesestruturais-120922081600-phpapp02 1/44

Escola Engenharia Universidade Presbiteriana MackenzieCoordenadoria de Engenharia Civil

Método dos Elementos Finitos: Teoria e práticaaplicadas a problemas multidisciplinares

Copyright 2007 © Direitos reservadosCreated by Pappalardo Jr., Alfonso

Capítulo 4 Análises Estruturais

4

NÁLISES

ESTRUTURAIS

ANÁLISES

ESTRUTURAIS

Capítulo 4 Análises estruturais

Método dos Elementos Finitos aplicadoà Engenharia Civil: Teoria e Prática







4.1 GENERALIDADES

As análises estruturais são utilizadas para determinar o campodos deslocamentos (translação e rotação) e, a partir dosmesmos, as tensões, as deformações, as reações de apoio eoutras grandezas, decorrentes da aplicação de forças externasativas.

1/43Capítulo 4 Análises estruturais








4.2 TIPOS DE ANÁLISES

Análise modal

Análise harmônica

Análise transiente

Análise espectral Análise de flambagem

Análise de fadiga

Análise estática

Análise dinâmica

Análise linear

Análises não-lineares(física, geométrica, de contato...)









4.3 ANÁLISES ESTÁTICAS

As análises estruturais estáticas são apropriadas para resolverproblemas em que as forças de inércia e os amortecimentospodem ser desprezados não afetando significativamente aresposta estrutural.

4.3.1 Elástica linear

Os carregamentos são aplicados lentamente (quase perma-nentes) produzindo pequenos deslocamentos (linearidadegeométrica) e preservando a proporcionalidade entre tensão edeformação (linearidade física);









A energia potencial total para problemas estruturais econservativos é definida por

4.3.1 Elástica linear (cont...)

, U (4.1)

onde U é a energia de deformação (trabalho esforços internos) e é a energia potencial (trabalho das forças externas). Paramateriais que apresentam comportamento elástico-linear, pode-se escrever:

,d2

1 T

V V U (4.2)









onde


zxyzxyzyxT

(4.3)

zxyzxyzyxT

são, respectivamente, o tensor das deformações e o tensor dastensões e suas componentes para o caso da elasticidadetridimensional.

x

z

y xy

zx yz

x

z

y xy

zx yzEsquema 4.1 Componentes do tensor

das tensões e das deformações










Esquema 4.2 Diagrama tensão-deformação:energia de deformação específica (J/m3)

(MPa)

(%)

energia de deformaçãoem regime elástico-linear









As Equações Constitutivas relacionam tensão e deformação,que na forma genérica, pode-se escrever:


onde D é a matriz constitutiva, que depende do tipo deformulação utilizada. A seguir, serão apresentadas as matrizesconstitutivas para diversas formulações estruturais.

,D (4.4)








Capítulo 4 Análises Estruturais 2/8315/325

4.3.1.1 Elementos unidimensionais

X

Y

viga 2-D

treliça 2-D

X Y

Z

viga 3-D

treliça 3-D

E D x

T

xT

Matriz 4.1 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicosusadas para os elementos finitos estruturais 1D: treliças e vigas (2D e 3D)

E módulo de elasticidade(longitudinal)









4.3.1.2 Elementos bidimensionais

2/)1(00

01

01

1 2

E D

xyyxT

xyyxT

X

Y

EPT

4.3.1.2.1 Estado Plano de Tensão

Poissondeecoeficiente

yxzsendo )(

E

Matriz 4.2 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicosusadas para os elementos finitos estruturais 2D: chapas



9/43







4.3.1.2.2 Estado Plano de Deformação

4/8317/325

2/)21(00

01

01

)21)(1(

E D

xyyxT

xyyxT

X

Y

EPD

)( yxzsendo

Matriz 4.3 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicosusadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos confinados



10/43







4.3.1.2.3 Estado Axissimétrico de Tensão

5/8318/325

2)21(000

01

01

01

)21)(1(

E D

xyyxT

xyyxT

r u sendo

Matriz 4.4 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicosusadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos de revolução

X

Y

axissimétrico



11/43







Matriz 4.5 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicosusadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca fina e placa delgada

4.3.1.3 Elementos tridimensionais

4.3.1.3.1 Casca fina e placa delgada

X Y

Zcasca fina

placa fina

2/)1(00

01

01

1 2

E D

xyyxT

xyyxT

)yx(2)y(

)x(

2xye

22y

22

xsendo

w z w z

w z



12/43







Matriz 4.6 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicosusadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca espessa e placa espessa

4.3.1.3.2 Casca espessa e placa espessa

X Y

Zcasca espessa

placa espessa

zxyzxyyxT

2)21(0000

02)21(000

002)21(00

0001

0001

)21)(1(

E D

zxyzxyyxT



13/43







Matriz 4.7 Relações constitutivas para materiais elástico-linearesisotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: sólido

4.3.1.3.3 Sólido

2)21(00000

02)21(0000002)21(000

0001

0001

0001

)21)(1(

E D

X Y

Z

sólido

zxyzxyzyxT

zxyzxyzyxT



14/43







4.3.1 Linear (cont...)

Por outro lado, a energia potencial das cargas externas é dadapela expressão nodal:

.eTU F (4.5)

As Equações de Compatibilidade que relacionamdeformações e deslocamentos são dadas por:

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

uw

w v

v u

w

v

u

(4.6)










e podem ser escritas no formato matricial como:

z)y,(x,

z)y,(x,

z)y,(x,

x0z

yz0

0xyz00

0y0

00x

zx

yz

xy

z

y

x

w

v

u

(4.8)

ou na forma compacta por:

(4.7)

.z)y,x,(u L










Considerando que os deslocamentos – em qualquer ponto nointerior de um elemento finito – podem ser aproximados a partirdas funções de interpolação (anexo A) e dos deslocamentosnodais, ou seja:

,z)y,(x,~z)y,(x, eTU N u u (4.9)

sendo

,

300200100030020010

003002001

T

N N N

N N N

N N N

N (4.10)









onde N i são as funções de interpolação e u.i, v .i, w .i representamas componentes dos deslocamentos nodais para o elemento e.Introduzindo-se 4.9 em 4.8, tem-se:


(4.11),eeTU B U N L

onde L é a matriz dos operadores diferenciais de primeiraordem. Observa-se na expressão (4.12) que o estado dedeformação do elemento pode ser obtido a partir dos seusdeslocamentos nodais. A partir (4.7) e (4.10) tem-se:










x

N

z

N y

N

z

N x

N

y

N z N

y

N x

N

x

N

z

N y

N

z

N x

N

y

N z N

y

N x

N

x

N

z

N y

N

z

N x

N

y

N z N

y

N x

N

303

330

033

300

030

003

202

220

022

200

020

002

101

110

011

100

010

001

B (4.12)










X

Y

u1, ,v w1 1

3

2

1

Z

u2, ,v w2 2

u3, ,v w3 3

2

2

1

1

1

e

v

uw

v

u

U (4.13)

u (x,y,z).

Esquema 4.3 Deslocamentos nodais parao elemento triangular de três nós










Pode-se observar, mediante a análise das expressões 4.4, 4.11e 4.12 que a escolha adequada das funções de interpolação afeta, significativamente, o estado de tensão e deformação doelemento finito. Por exemplo, para o caso do elemento triangularde três nós, a função de interpolação é linear, conforme visto no

Anexo A. A partir da expressão 4.11, que relaciona asdeformações com os deslocamentos nodais, observa-se que oestado de tensão e de deformação é constante no interior doelemento finito (CST constant strain triangle).










Combinando-se a expressão 4.1 com 4.2 e 4.5, chega-se a:

,d2

1 TTU F V V (4.14)

e se introduzindo a equação 4.4 e a aproximação 4.11 em 4.14,leva a:

.d)(2

1 TTTU F U B D ΒU V V (4.15)










Minimizando-se o funcional da energia potencial total emrelação aos deslocamentos nodais, chega-se a:

0d)( T

F U B D Β

U V V

(4.16)

que é a condição estacionária em que se garante a condição deequilíbrio entre esforços internos e externos. Daí decorre que:

,dTe V V

B D B K (4.17)

é a matriz de rigidez do elemento finito.









Após montagem das matrizes globais, apresentadas no Anexo.D, chega-se ao sistema de equações lineares dado por:


,F U K (4.18)

análogo ao sistema da equação 3.24, sendo neste caso K é amatriz de rigidez da estrutura, U é o vetor deslocamento e F é ovetor carregamento.

O sistema 4.18 é resolvido por métodos diretos (Gauss,Cholesky), métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel) oumétodos de otimização (Gradientes Conjugados).










Os carregamentos indicados a seguir podem ser representadospelo vetor carregamento F . As expressões a seguir convertemos carregamentos especificados por forças nodais equivalentesformando o vetor carregamento F . Para maiores detalhes dasdeduções destas expressões consulte WEAVER (1984).

L

z

y

x T

L

T e

L p p

p

N L pN ddF

Carregamento de borda uniformemente distribuído: p (N/m)

1

23

L px (N/m)



é








Carregamento devido a variação da temperatura: DT (oC)

Carregamento devido a gravidade (volume): b (N/m3)

V

z

y

x T

V

T e V

b

b

b

N V ddb N F

D

D V

z

y

x T

V

T e

V T V T dd D B α D B F

23

by (N/m )3

1

d A

23

1

DT



Mét d d El t Fi it li d







4.3.2 Não linearidade física

É requerida no caso em que as tensões não são proporcionaisàs deformações. Vários tipos de não-linearidades físicas podemser incluídas:

plasticidade, elasticidade não-linear, hiperelasti-

cidade: caracterizadas pela relação não-linear entretensão-deformação;

viscoelasticidade, viscoplasticidade e fluência: ondetambém são incluidos os efeitos da deformação depende

do tempo, da temperatura, da forma de aplicação docarregamento, do nível de tensão, entre outros.



é á









(cont...)

O carregamento deve ser aplicado incrementalmente. Em cadaincremento de carga são realizadas as iterações de equilíbrio doMétodo de newton-Raphson, conforme esquema 4.4.

Equação 4.17 escrita na forma incremental é dada por:

onde K T é a matriz de rigidez tangente (que relacionaincrementos de deslocamentos com incrementos de carga), u

é o vetor incremento de deslocamento, F * é o carregamentoaplicado, F NR é o vetor carregamento restaurador e DF é o vetorcarregamento desbalanceado.

,)( Δ Δ)( iii1iiTNR u F F u u K F (4.19)



Mét d d El t Fi it T i áti









(cont...)

A cada iteração de equilíbrio, a matriz de rigidez tangente K T e ovetor carregamento desbalanceado F NR são atualizados.

O critério de convergência pode ser definido em função doincremento do carregamento D.F ou, do incremento de

deslocamento D.u , de maneira similar a fórmula 3.29. Paraproblemas com fortes não-linearidades envolvidas sugere-seque se diminua o incremento de carga (LOADSTEP) de modoque se contorne as dificuldades de convergência do problema.O esquema 4.4 apresenta a interpretação geometrica doalgoritmo.



E l E h i U i id d P bit i M k i Mét d d El t Fi it T i áti

Método dos Elementos Finitos aplicado








(cont...)

F*

u*

u(m)

u 1 u2

F(N)

K (uT 0 )

F =K(u )uNR

1 0 1

K (u1T )

u 0

coeficien te

angular

Du 2

D F =F* FN R

11

Esquema 4.4 Método de newton-Raphson



E l E h i U i id d P bit i M k i Mét d d El t Fi it T i áti








4.3.3 Não linearidade geométrica

(a) grandes deformações: não existem restrições quanto amagnitudes das deformações e rotações que podemocorrer. A formulação leva em conta este efeito ajustando--se a forma dos elementos para refletir a mudança dageometria;

(b) grandes deslocamentos: neste caso as deformações sãopequenas, porém as rotações são grandes que leva a

mudança da orientação espacial do elemento. Segundo estaformulação os carregamentos não são conservativos;

Ocorre quando os deslocamentos afetam significativamente arigidez da estrutura. A seguir, citam-se alguns tipos de não-linearidades geométricas:



E l E h i U i id d P bit i M k i Método dos Elementos Finitos: Teoria e prática








4.3.3 Não linearidade geométrica (cont...)

(c) rigidez geométrica (stress s t i f fening ): leva em conta oaumento ou a diminuição da rigidez estrutural devido aoestado de tensão. Este estado de tensão é utilizado paracalcular a matriz de rigidez geométrica S , que seráadicionada ou subtraída à matriz de rigidez K da estrutura,

de acordo com a equação governante:

.)( F U S K (4.20)

Fisicamente, este efeito representa o acoplamento entre os

deslocamentos transversais e aqueles contidos no plano doelemento estrutural. Para a solução da equação acima, utiliza-seo Método de newton-Raphson, conforme apresentado no casoda não-linearidade física.



Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos Elementos Finitos: Teoria e prática








4.3.4 Não linearidade de contato

Empregada na determinação das forças de contato, levando-se em conta o atrito nas interfaces descontínuas. Constitui-seuma análise não-linear pela mudança brusca de rigidez emfunção das partes que se contatam.

Em uma análise estrutural não-linear, pode-se levar em conta,simultaneamente, as não-linearidades física e geométrica.











4.4 ANÁLISES DINÂMICAS

As análises estruturais dinâmicas são apropriadas para resolverproblemas em que as forças de inércia e os amortecimentos nãopodem ser negligenciados afetando significativamente aresposta estrutural.

Todas as cargas são de origem dinâmica, seja espacial outemporal, mas em muitos casos os efeitos dinâmicos podem serdesprezados realizando-se uma análise pseudo-estática. Emgeral, se a freqüência de excitação for menor que 1/3 da menorfreqüência natural da estrutura, a análise estática pode serutilizada como uma boa aproximação do problema dinâmico.











4.4.1 Modal

Utilizada na determinação das freqüências naturais e modosde vibração de uma estrutura. Pode-se avaliar a ocorrência dofenômeno da ressonância, com base na comparação entre asfreqüências naturais e a freqüência de excitação docarregamento (pessoas, máquinas, equipamentos, veículos em

movimento).Pode-se considerar o amortecimento estrutural, assim como, oefeito do pré-tensionamento. Todas as análises dinâmicassempre são antecedidas pela análise modal, para identificaçãodas freqüências naturais da estrutura que levarão à amplificação

dos deslocamentos.











4.4.1 Modal (cont...)

Em uma análise modal leva-se em conta vibrações livresamortecidas ou não-amortecidas, descritas pela Equação doMovimento:

,0 u K u C u M (4.21)

,)( 20 u M C K i (4.22)

que recai num problema de autovalores e autovetores. Assim, aequação 4.20 reduz-se na forma:

onde representa as freqüências naturais (autovalores) e representa os modos de vibração natural (autovetores). Paraa maioria das análises modais o amortecimento pode serdesprezado.

u











4.4.1 Modal (cont...)

A equação 4.22 pode ser resolvida por diversos métodosencontrados na literatura (Lanczos, Subespaços). Os métodoscitados são muito eficientes para extração dos autovalores,sendo o primeiro mais preciso.

Quando se tiver limitação quanto ao armazenamento dasmatrizes plenas, pode-se optar por métodos reduzidos (Guyan),que caracterizam a resposta dinâmica da estrutura com umnúmero menor de graus de liberdade (conhecidos por master

degree of freedom), que além de viabilizarem a soluçãoreduzem significativamente o tempo de processamento.











4.4.2 Harmônica

Determina a resposta de uma estrutura de comporta- mentoelástico-linear submetida a um carregamento harmonicamente

variável no domínio do tempo (bases de equipamentos,geradores) operando numa certa freqüência de excitação. Todasas cargas aplicadas na estrutura atuam numa mesma

freqüência, mas não necessariamente em fase. As não-linearidades e os efeitos transientes não podem ser incluídos.

Para uma freqüência de excitação muito próxima de uma dasfreqüências naturais da estrutura, observa-se a amplificação dosdeslocamentos. Por este motivo, sempre uma análise modal

deve preceder uma análise harmônica, para identificação dasfreqüências naturais da estrutura.











4.4.2 Harmônica (cont...)

,)(t F u K u C u M (4.23)

A equação governante de uma análise harmônica é um casoparticular da equação geral do movimento

onde F (t ) é a função carregamento que varia harmonicamentecom uma amplitude conhecida. Assim, para uma dadafreqüência e um certo ângulo de fase f , tem-se:

.)(sen)(cos)( 0 f f t i t F t F (4.24)


pà Engenharia Civil: Teoria e Prática






paplicadas a problemas multidisciplinares



4.4.2 Harmônica (cont...)

Os deslocamentos incógnitos variam harmonicamente namesma freqüência , mas não necessariamente em fase com afunção carregamento. Os deslocamentos são especificados,para uma certa freqüência, em termos de amplitude e ângulo defase, ou seja, parte real e imaginária. A análise harmônica fará

uma varredura num passo constante, dentro de um intervalo defreqüências de excitação, capturando os deslocamentos nodais.

Os métodos disponíveis para análise harmônica disponíveis noprograma ANSYS são: pleno, reduzido e superposição modal,sendo o primeiro mais geral e preciso.







gCoordenadoria de Engenharia Civil

paplicadas a problemas multidisciplinares

Copyright 2007 © Direitos reservadosCreated by Pappalardo Jr., Alfonso Capítulo 4 Análises Estruturais

4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM

Empregada na determinação das cargas críticas deflambagem e dos modos de flambagem associados, quelevam a estrutura a perda de equilíbrio. A solução de umaanálise de flambagem, assim como a análise modal, recai numproblema de autovalores e autovetores:

,)( 0 u S K (4.25)

onde é o fator de carga (autovalor), é o modo de flambagem(autovetor), K é a matriz de rigidez da estrutura e S é a matriz

de rigidez geométrica.

u







gCoordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemas multidisciplinares

Copyright 2007 © Direitos reservadosCreated by Pappalardo Jr., Alfonso Capítulo 4 Análises Estruturais

4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...)

As cargas críticas são obtidas multiplicando-se a carga aplicadapelo fator de carga (autovalor), conforme esquema 4.5. Diversosmodos de flambagem podem ser capturados (torcional, flexional,lateral, local e localizado). Tais análises permitem acompreensão do fenômeno da flambagem, a verificação da

segurança à flambagem e a eficiência de um reforço estrutural.Pode-se incluir os efeitos da protensão ( prestress) e do pesopróprio (vide esquema 4.6).


à Engenharia Civil: Teoria e Prática





gCoordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemas multidisciplinares

4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...)

Esquema 4.5 Fatores de carga para identificaçãoda carga crítica de flambagem

P1=1kN

processamento...=150

cr

P = .P =150 kN

1

1 1

P =10kN2

processamento...=15

cr

P = .P =150 kN

2

2 2

P =60kN3

processamento...=2,5

cr

P = .P =150 kN

3

3 3

à Engenharia Civil: Teoria e Prática

Captulo4 Anlisesestruturais 120922081600 Phpapp02

Documents

Transcript of Captulo4 Anlisesestruturais 120922081600 Phpapp02