Cartografia Geral

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOIS Cartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno

Nota do Autor

Nilton Ricetti Xavier de Nazareno


1

SUMRIO

1.1 - Introduo .............................................................................................................................. 41.2 - Definies .............................................................................................................................. 4

2 - Generalidades sobre Cartas. ....................................................................................................... 42.1 - Caractersticas das Cartas ...................................................................................................... 62.2 - Classificao .......................................................................................................................... 62.2.1 -Quanto finalidade (ABNT*) ............................................................................................. 62.2.2 -Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do Exrcito (DSG) ................... 7

3 - Superfcies de referncia usadas em cartografia. ....................................................................... 83.1.1 -Superfcie de referncia geoidal .......................................................................................... 83.1.2 -Superfcie de referncia esfrica ......................................................................................... 83.1.3 -Superfcie de referncia elipsoidal ...................................................................................... 93.1.4 -O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e elipsoidal. ................................... 10

4 - Geometria do Elipside. ........................................................................................................... 114.1 - Raios de curvatura do elipside de revoluo. ..................................................................... 124.2 - Comprimento de um arco de meridiano (S) ......................................................................... 134.3 - rea de um setor elipsidico (A) ......................................................................................... 144.4 - rea de um quadriltero elipsidico (T) .............................................................................. 144.5 - Aproximao esfrica. ......................................................................................................... 15

5 - Sistemas de Referncia ............................................................................................................ 165.1 - Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas .......................................................... 165.2 - Latitudes Geocntrica e Reduzida. ...................................................................................... 175.3 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. ..................................................... 185.4 - Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas. ............................................ 195.5 - Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas ............................................. 19


2

6 - Datum. ...................................................................................................................................... 206.1 - Mudana de Datum. ............................................................................................................. 226.1.1 -Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas Tridimensionais ............... 236.1.2 -Transformao de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas ............... 23

7 - Projees Cartogrficas ........................................................................................................... 257.1 - Introduo ............................................................................................................................ 257.2 - Superfcies de projeo ........................................................................................................ 267.3 - Introduo ao conceito de distoro .................................................................................... 277.3.1 -Escala principal. ................................................................................................................ 287.3.2 -Escalas particulares ........................................................................................................... 297.3.3 -Fator de deformao ao longo dos meridianos (h). ........................................................... 317.3.4 -Fator de deformao ao longo dos paralelos (k). .............................................................. 327.3.5 -Fator de deformao ao longo de qualquer arco que passe por A. .................................... 327.3.6 -Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot ..................................................................... 337.3.7 -Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b) ................................................................ 347.3.8 -Fator de deformao de rea (p). ....................................................................................... 347.3.9 -Fator de deformao angular mximo (Z). ....................................................................... 357.3.10 - Propriedades especiais das projees ........................................................................ 36

8 - Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores. ................................................ 38

9 - Construo prtica das Projees Cartogrficas. ..................................................................... 499.1 - Projees Azimutais ............................................................................................................. 509.2 - Projees cnicas ................................................................................................................. 649.3 - Projees cilndricas ............................................................................................................ 77

10 - Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) ............................................... 83

11 - A Projeo Universal Transversa de Mercator (UTM) .......................................................... 8411.1 - As projees TM ................................................................................................................ 8411.2 - Transformao de coordenadas Geogrficas para TM ...................................................... 8511.3 - Transformao de coordenadas TM para Geogrficas ...................................................... 8711.4 - Modificao das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM .............................................. 8911.5 - O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator) ...................................................... 90


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12 - Utilizao de Cartas Topogrficas ......................................................................................... 9212.1 - Articulao das folhas ........................................................................................................ 9212.2 - Extrao de informaes quantitativas das cartas topogrficas. ........................................ 9512.2.1 - Extrao de informaes lineares .............................................................................. 9612.2.2 - Extrao de reas ....................................................................................................... 9612.2.3 - Extrao de coordenadas ........................................................................................... 96

Referncias Bibliogrficas ............................................................................................................ 98

ANEXOS ....................................................................................................................................... 99


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CARTOGRAFIA

1.1 -Introduo

1.2 - Definies

Cartografia :

Arte de levantamento, construo e edio de cartas de qualquer natureza, e a cincia na qual

repousa.

ou

Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geogrficos, dos mtodos para sua

produo e reproduo, e de seu uso.

Nestas definies aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta e Mapa.

A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a palavra mapa vem de mappaque significa pano. Observa-se ento que a diferena vem da origem do material com que eram produzidos.

No Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em funo ou da escala ou da fidedignidade das informaes. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando a escala maior do que 1/5.000.000 e de mapa quando a escala menor que este valor. Com respeito confiabilidade das informaes costuma-se chamar de carta os produtos elaborados com rigor geomtrico e de mapa aqueles que funcionam apenas como ilustrao.

De qualquer forma esta diferena no tem muita importncia.

2 - Generalidades sobre Cartas.

Carta :

Representao visual, codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial, da superfcie da

Terra ou de outro objeto.

A finalidade bsica de uma carta transmitir informaes especficas a respeito da rea cartografada para o usurio.

INFORMAO MAPA USURIO


5

Estas informaes podem ser qualitativas e/ou quantitativas.

natureza Qualitativas: forma feies distribuio

posies geogrficas altitudes Quantitativas: distncias direes reas, volumes

As feies representadas podem ser :

da superfcie terrestre

naturais

visveis : mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas

invisveis : climas, correntes, campos (magntico, gravitacional, etc.)

artificiais cidades, estradas, ferrovias, canais, plantaes, aeroportos, barragens, portos

de outros objetos

esfera celeste : estrelas e planetas

Lua : crateras, mares...

corpos celestes Sol : manchas solares ...

Planetas : montanhas, formao de nuvens

rgos do corpo humano prdios histricos ...


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2.1 - Caractersticas das Cartas

x Permitem a coleta das informaes em gabinete; x Apresentam informaes no visveis no terreno: toponmia, fronteiras indefinidas; x Codificam informaes atravs de smbolos; x Exigem uma atualizao permanente certas feies variam em funo do tempo; x Representam um modo de armazenamento de informaes conveniente ao

manuseio;

x So necessrias visualizao e compreenso de fenmenos espaciais e de sua distribuio e relacionamento;

x Constituem um dos elementos bsicos do planejamento das atividades scio-econmicas das comunidades humanas.

2.2 - Classificao

2.2.1 - Quanto finalidade (ABNT*)

Geogrficas : TopogrficasPlanimtricas

Cadastrais, plantas

Aeronuticas

Navegao

Nuticas

Especiais : geolgicas, geomorfolgicas, meteorolgicas, de solos, de vegetao, de uso da terra, geofsicas, globos.


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2.2.2 - Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do Exrcito (DSG)

quanto a preciso topogrficas - satisfazem as normas tcnicas em vigor; - obtidas por mtodos de levantamentos regulares.

preliminares - obtidas por mtodos de levantamento menos precisos que os regulares

quanto ao carter informativo

gerais : - com informaes genricas, de uso particularizado.

especiais: - com informaes especficas, destinadas em particular a uma nica classe de usurios.

temticas: - com uma ou mais assuntos especficos, servindo apenas para situar o tema.

Outrosdocumentos cartogrficos

Cartas de compilao

- obtidas pela reduo de folhas em escalas maiores; - obtidas pela reunio e consolidao de diversos

documentos cartogrficos.

mosaicos

no-controlados : fotos montadas sem apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Semi-controlados :fotos montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Controlados : fotos retificadas montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Fotocartas : mosaico (controlado ou no) com quadriculado, moldura, nomenclatura

foto-ndice : reduo fotogrfica da montagem das faixas de um bloco aerofotogrfico

folha-modelo: Representam o aspecto de uma folha (nomenclatura, Quadriculado, legendas, etc)


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3 - Superfcies de referncia usadas em cartografia.

Para se mapear a superfcie da Terra, antes necessrio conhecer a sua forma e dimenses. Sabe-se que a Terra um corpo esfrico irregular e que no possui uma descrio geomtrica. Ento necessria a utilizao de modelos adequados para sua descrio de acordo com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos.

3.1.1 - Superfcie de referncia geoidal

O geide definido como uma superfcie equipotencial (potencial gravitacional constante) materializada pelo nvel mdio dos mares. A fora da gravidade que gera essa superfcie equipotencial resultante de uma interao entre massas. Sabe-se que existe uma relao direta entre a massa e a densidade de um corpo, e que existe uma grande variao na constituio densimtrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste modo, essa superfcie equipontecial no apresenta uma forma regular. H ainda que se considerar, a questo dos corpos celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando variaes constantes nesta superfcie.

Alguns autores definem como sendo a forma do geide a que corresponde a forma da Terra real. Contudo, como essa superfcie no tem uma definio geomtrica, este postulado no tem muito sentido, quando o objetivo esta na busca de um modelo para o mapeamento. No obstante, esta superfcie extremamente importante no estabelecimento das altitudes.

3.1.2 - Superfcie de referncia esfrica

Se a rea a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfcie total da Terra, adota-se o modelo esfrico para a superfcie da Terra.

Esta modelo implica em:

Levantamento : Geodsia Clculos: Trigonometria esfrica Uso: mapas de formato pequeno mostrando grandes

pores da superfcie terrestre Escala : escalas pequenas no maiores que 1:5.000.000 Mapas: Utilizao de projees cartogrficas

Monte Evereste

Fossa das Marianas

nvel mdiodos mares

Terra esfrica Modelo reduzido

|9 Km

| Km

6 cm

0,2 mm

6.378

km


9

3.1.3 - Superfcie de referncia elipsoidal

Se a rea a ser levantada e mapeada no for pequena e nem muito extensa, o modelo que melhor representa a superfcie da Terra o elipside de revoluo, que possui uma formulao matemtica razoavelmente simples. Neste modelamento leva-se em conta o achatamento dos plos.

O elipside de revoluo definido pelos seus semi-eixo maior (a) e menor (b) ou pelo semi-eixo maior e o achatamento (f).

Por exemplo : a = 6.378 km

b = 6.356 km

f = 1/298,25

onde : a

baf

Este modelo implica em:

Levantamento : Geodsia Clculos: Geodsicos Medidas: Reduzidas ao elipside de revoluo Uso: cartas topogrficas (mapeamento sistemtico),

nuticas, aeronuticas. Escala : mdias (1:1.000.000 a 1:5.000) Mapas: Utilizao de projees cartogrficas

Independentemente do modelo adotado, tanto o esfrico como o elipsidico possuem vrias propostas para os seus parmetros definidores (raio e semi-eixos maior e menor).

aa

b


10

3.1.4 - O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e elipsoidal.

Embora se utilizem modelos geomtricos para descrever a superfcie fsica da Terra na tarefa de mapeamento, as medies so executadas na superfcie topogrfica, ou simplesmente fsica. importante ento, definir-se alguns elementos deste relacionamento.

Na figura aparecem as superfcies fsica (SF), elipsoidal (SE) e geoidal (SG). A separao entre as superfcies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulao do geide e representado pela letra N.

Imaginemos um ponto P na superfcie fsica sendo projetado segundo a direo da vertical (linha de prumo) e da direo da normal (reta ortogonal a superfcie do elipside). As

duas projees geram os pontos P e P. Ao segmento 'PP corresponde a altitude ortomtrica

(H), e ao segmento "PP corresponde a altitude geomtrica ou elipsoidal (h). O ngulo formado entre a vertical e a normal definido como desvio da vertical (i). Este ngulo da ordem do segundo e, deste modo, possvel se fazer uma relao entre as superfcies sem incorrer em erro significativo.

NHh

S.F.

S.E.

S.G.

vn

Hh

iP

P

PN


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4 - Geometria do Elipside.

O elipside de revoluo a forma geomtrica obtida pela rotao de uma semi-elpse ao redor de seu eixo menor. Por ser uma das formas geomtricas utilizadas nas operaes de mapeamento, o estudo da sua geometria extremamente importante.

Um elipside fica perfeitamente definido pelos seus semi-eixos maior (a) e menor (b).Entretanto em geodsia comum se estabelecer a definio pelo semi-eixo maior (a) associado ao achatamento (f). A relao matemtica que estabelece o vnculo entre estas grandezas esta explicitada na seguinte equao.

a

baf

Um outro elemento importante no estudo do elipside a excentricidade, que pode ser dividida em primeira e segunda. Estes valores so calculados pelas seguintes equaes:

2

222

a

bae

ou 22 2 ffe (primeira excentricidade) ; e

2

222'

b

bae

(segunda excentricidade).

Analogamente excentricidade pode se estabelecer o segundo achatamento que definido pela seguinte equao:

b

baf

'

Existem outras relaes que devem ser conhecidas.

Na figura ao lado, observa-se um ponto P na superfcie do elipside. Por este ponto passa a reta normal (ortogonal ao plano tangente em P) que cruza o eixo de rotao no ponto O. Esta mesma reta gera o ponto Qquando cruza o plano do equador, formando um ngulo

I (latitude) com este. Ao segmento OP d-se o nome de grande normal e referencia-se pela letra N; e ao segmento QP d-se o nome de pequena normal e representa-se pelo smbolo N.

PPN

PS

Equador

Normal

N

N'

o

Q


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O clculo destas quantidades feito pelas seguintes equaes:

I221 senea

N e 21' eNN

4.1 - Raios de curvatura do elipside de revoluo.

Ao contrrio da esfera que possui apenas um raio de curvatura, o elipside de revoluo por possuir semi-eixos maior e menor, tem a sua curvatura variando entre os valores mximo (a)e mnimo (b). Portanto necessrio que se conhea a formulao matemtica que permita o clculo destes raios de curvatura para qualquer ponto da superfcie elipsidica.

Existem infinitos planos que contm a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o elipside de revoluo, gera o que se denomina seo normal. A cada uma destas sees, corresponde um raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois so de especial interesse, o raio de curvatura da seo 1 vertical e o raio da seo meridiana. Ao primeiro corresponde o raio mximo e ao segundo o raio mnimo.

Numericamente o raio da seo 1 vertical equivalente ao valor da grande normal e utiliza a mesma formulao para o seu clculo. No entanto o raio de curvatura da seo meridiana calculado pela equao:

3222

1

)1(

Iseneea

M

A juno destes dois valores nos permite calcular o raio mdio de curvatura.

MNR 0

e atravs do teorema de Euler, o raio de curvatura de uma seo normal qualquer

N

sen

MR

DD 22cos1

onde : D azimute da seo meridiana


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No elipside de revoluo os paralelos so circunferncias e o raio calculado pela equao:

IcosNr

Alm destes valores, pode-se necessitar conhecer o comprimento de um arco de meridiano, a rea de um setor elptico ou a de um quadriltero elptico. Pela constante variao da curvatura, a determinao das frmulas no trivial, e exige a adoo de desenvolvimento em srie.

4.2 - Comprimento de um arco de meridiano (S)

]10sen10sen

101

8sen8sen81

6sen6sen61

4sen4sen41

2sen2sen21

)([)1(

121212

1212122

IIIIII

IIIIII

FED

CBAeaS

onde :

65536

43659

16384

11025

256

175

64

45

4

31 108642 eeeeeA

65536

72765

2048

2205

512

525

16

15

4

3 108642 eeeeeB

16384

10395

4096

2205

256

105

64

15 10864 eeeeC

131072

31185

2048

315

512

35 1086 eeeD

65536

3465

16384

315 108 eeE

131072

693 10 eF

P

I

PN

PS

Equador

Normal

o

N

r

I


14

4.3 - rea de um setor elipsidico (A)

> @''' mmm CBAA IIIIIISII 5cos5sen'3cos3sen'cossen'b4 221 onde :

212 III ' e

212 III m

256

63

28

35

16

5

8

3

2

31' 108642 eeeeeA

256

45

192

35

16

3

16

3

6

1' 108642 eeeeeB

512

45

64

5

16

1

80

3' 10864 eeeeC

4.4 - rea de um quadriltero elipsidico (T)

'''' mmm CBAbT IIIIIIO 5cos5sen'3cos3sen'cossen'2 2 onde :

212 OOO '

PN

PS

Equador

IIA

PN

PS

Equador

II

T O O


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4.5 - Aproximao esfrica.

Em alguns problemas o clculo atravs de uma aproximao esfrica suficiente, e nesta situao, existem trs formas clssicas de aproximao.

a) Mdia aritmtica dos trs eixos

)3

1(3

2 fa

baR

b) Raio da esfera de mesma rea superficial que o elipside

302467

36017

61

642 eeeaRA

c) Raio da esfera com mesmo volume que o elipside.

129655

725

61

642 eeeaRV


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5 - Sistemas de Referncia

A posio de um ponto na superfcie da Terra determinada a partir de um sistema de coordenadas ou de referncia. Estes sistemas esto associados a uma superfcie de referncia que se aproxima do formato da Terra. o caso, por exemplo, do elipside de revoluo.

Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esfricas e o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No primeiro tipo se enquadram s coordenadas geogrficas ou geodsicas.

5.1 - Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas

O sistema de coordenadas geogrficas divide o mundo nos hemisfrios norte e sul, que utiliza o equador como plano de diviso, e em oriente e ocidente que adota o meridiano de Greenwich como fronteira. Neste sistema um ponto na superfcie terrestre fica determinado pela sua latitude e longitude.

Latitude (M) define-se latitude de um lugar como sendo o ngulo formado entre a vertical do lugar e o plano do equador, ou a distncia angular contada sobre o meridiano deste, desde o equador at ele. A latitude varia de 0 a r 90 sendo considerada negativa no hemisfrio sul.

Longitude (L) define-se longitude de um lugar como sendo o ngulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distncia angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) at o meridiano deste. A longitude varia de 0 a r180 sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfrio ocidental).

Meridiano de

GreenwichM

L

P

Equador

Meridiano de PParalelo de P

PN

PS

Vertical


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Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para a Terra o elipside de revoluo. Este sistema de coordenadas conhecido como Sistema de Coordenadas Geodsicas

Latitude (I) define-se latitude geodsica de um lugar como sendo o ngulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. A latitude varia de 0 a r 90 sendo considerada negativa no hemisfrio sul.

Longitude (O) define-se longitude de um lugar como sendo o ngulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distncia angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) at o meridiano deste. A longitude varia de 0 a r180 sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfrio ocidental).

Neste sistema pode-se associar a altitude geomtrica ou elipsoidal (distncia sobre a normal desde o elipside at o ponto na superfcie topogrfica). Nesta situao o ponto fica assim referenciado (IO, h).

5.2 - Latitudes Geocntrica e Reduzida.

Nos problemas prticos de Geodsia somente o conhecimento da latitude geodsica no suficiente, comum se necessitar determinar as latitudes geocntricas e a reduzida.

Define-se latitude geocntrica \ de um ponto P na superfcie do elipside ao ngulo que o raio vetor OP deste ponto, forma com a sua projeo no plano do equador. A relao entre a latitude geodsica e a geocntrica estabelecida pela seguinte frmula:

I\ tgetg )1( 2

P

I

PN

PS

Equador

Normal

o

\c


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No caso da latitude reduzida, necessrio observar a ilustrao antes de se poder definir. Na figura, aparece um dos crculos principais da elipse que contm P, o circulo cujo raio igual ao semi-eixo maior (a). Ento, a partir de P se constri uma reta paralela ao eixo de rotao. Esta reta cruza a circunferncia em P. Define-se como latitude reduzida, ao ngulo formado pelo raio

vetor 'OP e sua projeo no plano do equador.

A relao entre a latitude geodsica e a reduzida estabelecida pela seguinte frmula:

Itgetgu )1( 2

5.3 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais.

Este sistema de coordenadas caracterizado por um conjunto de trs eixos (X, Y e Z), ortogonais entre si. A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso, denominado de geocntrico. As caractersticas deste sistema so as seguintes:

o eixo X definido pela interseco do plano meridiano de Greenwich com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior.

o eixo Y definido pela interseco do plano meridiano de longitude 90 Leste com o plano equatorial.

o eixo Z paralelo ao eixo de rotao da Terra e orientado positivamente na direo do Plo Norte.

Este sistema denominado dextrgiro.

P

I

PN

PS

Equador

o

uc

P

Meridiano de Greenwich

Equador

O = 90 EPN Z

XY

PS


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5.4 -Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas.

No sistema de coordenadas geogrficas o modelo que utilizado para representar a Terra o modelo esfrico. Assim, a transformao de coordenadas dada pelas seguintes equaes:

222 zyxR ;

22 yx

zarctg M ;

x

yarctgL

onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real;

M - Latitude geogrfica; L - Longitude geogrfica.

A latitude um ngulo que varia de 0 a r 90 e o sinal da equao indica se o ponto est no hemisfrio norte ou sul. Entretanto, a longitude um ngulo que tem uma variabilidade maior (0 a r 180) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal.

x y longitude hemisfrio

+ + LLeste

+ - 180 + L - - L

Oeste - + -(180 + L)

5.5 -Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas

A transformao das coordenadas geogrficas em cartesianas conseguida pela aplicao das seguintes equaes:

MMM

sen

;sencos

;coscos

Rz

LRy

LRx


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6 - Datum.

Datum o conjunto de parmetros que definem o sistema cartogrfico de um Pas.

(Nazareno).

Por parmetros, se subentende a figura geomtrica adotada para representar a Terra, as

especificaes relativas ao ponto origem, a orientao do sistema de coordenadas, e a posio da

superfcie elipsoidal em relao fsica e a geoidal, entre outros parmetros.

At meados da dcada de 70, o Brasil adotava o Datum de Crrego Alegre. Este Datum

utiliza como superfcie de referncia, o Elipside de Hayford (1924) que teve a sua origem

(centro) deslocada do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajusta-lo superfcie

topogrfica. Este procedimento tornou o sistema topocntrico. Por questes de simplificao

adotou-se ondulao nula (N=0 distncia medida sobre a vertical do local entre o elipside e o

geide). A seguir so listados os parmetros definidores deste sistema.

Ponto origem: Vrtice Crrego AlegreCoordenadas: I = -19 50 14,91

O = -48 57 41,98 h = 683,81m

Superfcie de referncia: Elipside internacional de Hayford 1924.

Parmetros: a = 6.378.388,000 m

b = 6.356.911,946 m

f = 1/297

Ondulao Geoidal: N = 0


21

Posteriormente, por um breve perodo o Brasil conviveu com o Datum Astro-geodsico

de Chu, que mudou o ponto origem do vrtice de Crrego Alegre para o vrtice de Chu. Este

Datum foi um ensaio para a adoo do Datum SAD-69.

O Datum SAD-69 (South American Data) um sistema regional, que teve a sua

recomendao indicada em 1969 na XI Reunio pan-americana de Consulta sobre Cartografia.

Nem todos os pases do continente seguiram a recomendao e oficialmente somente em 1979, o

Brasil o adotou.

Os dados que caracterizam este Datum esto discriminados a seguir.

Ponto origem: Vrtice Chu Coordenadas: I -19 45 41,6527

O -48 06 04,0639 H = 763,28 m altitude ortomtrica

Superfcie de referncia: Elipside internacional de Referncia 1967.

Parmetros: a = 6.378.160,000 m

b = 6.356.774,719 m

f = 1/298,25

Ondulao Geoidal: N = 0 determinada

Azimute geodsico: Az = 2713004,05 (Chu-Uberaba)

Esta concepo de Datum, referenciando o sistema a um ponto origem, considerada

uma soluo clssica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GPS, a idia passou a ser a

adoo de uma rede de pontos de coordenadas conhecidas que do suporte ao mapeamento.

Sob esse novo enfoque desde 25/02/2005, atravs da resoluo IBGE n 1/2005 o

presidente daquela instituio, resolveu alterar a caracterizao do referencial geodsico

brasileiro, que passou a ser o SIRGAS 2000 (Sistema de Referncia Geocntrico para as

Amricas).


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A figura geomtrica adotada o elipside de revoluo geocntrico denominado

Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parmetros so os seguintes:

a = 6.378.137,0000000000 m

b = 6.356.752,3141403558 m

f = 1/298,257222101

Este sistema est materializado por 22 estaes geodsicas distribudas no territrio

nacional, cujos valores esto na tabela a seguir:

Estao

Coordenadas Geodsicas Coordenadas Cartesianas

I OAltitude

elipsoidal (m)

X (m) Y (m) Z(m)

BRAZ 13 15 20,0103 S 43 25 18,2468 W 419,401 4.115.014,085 -4.550.641,549 -1.741.444,019BOMJ 15 56 50,9112 S 47 52 40,3283 W 1.106,020 4.510.195,835 -4.268.322,325 -1.453.035,300CAC1 22 41 14,5337 S 44 59 08,8606 W 615,983 4.164.559,941 -4.162.495,407 -2.445.051,218CANA 25 01 12,8597 S 47 55 29,8847 W 3,688 3.875.253,589 -4.292.587,088 -2.681.107,718CORU 19 00 01,0131 S 57 37 46,6130 W 156,591 3.229.969,943 -5.095.437,766 -2.063.429,898CRAT 07 14 16,8673 S 39 24 56,1798 W 436,051 4.888.826,036 -4.017.957,454 -798.309,017CUIB 15 33 18,9468 S 56 04 11,5196 W 237,444 3.430.711,406 -5.099.641,565 -1.699.432,931FOR1 03 43 34,3800 S 38 28 28,6040 W 48,419 4.982.893,151 -3.959.968,539 -411.742,293FORT 03 52 38,8046 S 38 25 32,2051 W 19,451 4.985.386,605 -3.954.998,594 -428.426,440IMBI 28 14 11,8080 S 48 39 21,8825 W 11,850 3.714.672,427 -4.221.791,488 -2.999.637,883IMPZ 05 29 30,3584 S 47 29 50,0445 W 105,008 4.289.656,441 -4.680.884,944 -606.347,331MANA 03 06 58,1415 S 60 03 21,7105 W 40,160 3.179.009,359 -5.518.662,100 -344.401,823MCAE 22 22 10,3989 S 41 47 04,2080 W 0,056 4.400.142,600 -3.932.040,418 -2.412.305,322PARA 25 26 54,1269 S 49 13 51,4373 W 925,765 3.763.751,652 -4.365.113,803 -2.724.404,694POAL 30 04 26,5528 S 51 07 11,1532 W 76,745 3.467.519,402 -4.300.378,535 -3.177.517,730PSAN 00 03 26,4338 S 51 10 50,3285 W -15,506 3.998.232,011 -4.969.359,526 -6.340,615RECF 08 03 03,4697 S 34 57 05,4591 W 20,180 5.176588,653 -3.618.162,163 -887.363,920RIOD 22 49 04,2399 S 43 18 22,5958 W 8,630 4.280.294,879 -4.034.431,225 -2.458.141,380SALV 13 00 31,2116 S 38 30 44,4928 W 35,756 4.863.495,731 -3.870.312,351 -1.426.347,813UEPP 22 07 11,6571 S 51 24 30,7223 W 430,950 3.687.624,315 -4.620.818,606 -2.386.880,343VICO 20 45 41,4020 S 42 52 11,9622 W 665,955 4.373.283,313 -4.059.639,049 -2.246.959,728SMAR 29 43 08,1260 S 53 42 59,7353 W 113,107 3.280.748,410 -4.468.909,741 -3.143.408,684

6.1 - Mudana de Datum.

Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligao ntima com o Datum adotado, a utilizao de um parmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistncia de dados. Deve-se ento, tomar o cuidado de verificar em qual Datum est referenciado o mapeamento e fazer as adequaes necessrias compatibilizao.

Com a difuso da utilizao da tecnologia GPS (Global Positioning System), este cuidado deve ser redobrado, uma vez que o sistema utiliza os parmetros do sistema WGS-84.


23

O IBGE atravs da Resoluo n 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critrios oficiais para transformaes de sistemas geodsicos (mudana de Datum). A Resoluo n 1/2005 complementa no que concerne mudana para o SIRGAS 2000.

A resoluo recomenda que se utilize a transformao das coordenadas geodsicas em tridimensionais, aplique-se nestas os fatores de transformao e posteriormente se retorne ao sistema geodsico. At essa Resoluo aplicavam-se as frmulas simplificadas de Molodeski.

6.1.1 - Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas Tridimensionais

;sen)1(;sencos)(

;coscos)(

112111

11111

11111

IOIOI

heNZ

hNY

hNX

onde : I1 = Latitude geodsica do ponto

O1 = Longitude geodsica do ponto

N1 = raio de curvatura da seo 1 vertical (grande normal)

h1 = altitude geomtrica ou elipsoidal

Transformao de sistema

Considerando que o Datum de Crrego Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 so paralelos entre si, transformao neste caso, envolve apenas translao de eixos.

X2 = X1 + 'X12Y2 = Y1 + 'Y12Z2 = Z1 + 'Z12

onde: 'X, 'Y e 'Z so parmetros de transformao, definidos na resoluo e esto listados na tabela abaixo.

6.1.2 - Transformao de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas

22

22

22

2

2

22

32

22

22

22

32

222

2

cos

cos

sen'

NYX

h

X

Yarctg

uaeYX

ubeZarctg

I

O

I

onde:

utg

tguu

21sen ; utgu 21

1cos ; 2

2

22

22

2

b

a

YX

Ztgu


24

Os parmetros de transformao encontram-se na tabela a seguir

Crr. Alegre

-SAD 69

SAD 69 -

Crr. Alegre

SAD 69 -

SIRGAS 2000

SIRGAS 2000

SAD 69

SAD 69

WGS 84

WGS 84

SAD 69

'X = -138,70 m 138,70 m - 67,35 m 67,35 m 66,87 m r 0,43m - 66,87 m r 0,43m

'Y = 164,40 m - 164,40 m 3,88 m - 3,88 m - 4,37 m r 0,44m 4,37 m r 0,44m

'Z = 34,40 m -34,40 m -38,22 m 38,22 m 38,52 m r 0,40m - 38,52 m r 0,40m obs: Dados obtidos do Boletim de Servio N 1602 (suplemento) e nas resoluo N 23/89 e N 1/2005 IBGE.

Os parmetros que definem o elipside utilizado pelo sistema WGS 84 so os seguintes:

a = 6.378.137,000 m

WGS 84 b = 6.356.752,314 m

f = 1/298,257223563


25

7 - Projees Cartogrficas

7.1 -Introduo

Define-se projeo cartogrfica como sendo qualquer arranjo sistemtico de meridianos e paralelos descrevendo a superfcie curva da esfera ou elipside em um plano. Em outras palavras a representao da superfcie fsica da Terra no plano do mapa.

Essa relao entre a superfcie fsica e a do mapa se d atravs de funes matemticas de tal modo que cada projeo possui equaes nicas.

x = f1IO U = f3IO ou

y = f2IO T = f4IO

Estas equaes tanto servem para definir a projeo como para constru-la.

TERRA MAPA


26

7.2 - Superfcies de projeo

A Terra um corpo plstico que sofre deformaes percebidas pela mar terrestre. Sua forma aproximadamente esfrica, mas no tem uma forma geomtrica definida. Por essa razo, so utilizados modelos para represent-la (esfrico e elipsidico). A partir desse modelamento que se estabelecem as relaes matemticas, contudo, a correspondncia entre os pontos da superfcie e do mapa no exata. Em primeiro lugar existe um fator de escala que deve ser considerado e em segundo lugar impossvel transformar uma superfcie curva em uma plana sem provocar deformaes (estiramentos, descontinuidades). O que se procura fazer eleger alguma rea da superfcie e ento minimizar os efeitos da distoro nesta regio.

dentro dessa lgica que foram imaginadas trs superfcies de projeo para tentar contornar o problema: a superfcie plana, a cnica e a cilndrica. Estas trs superfcies tambm servem como um dos parmetros classificatrios das projees, ou seja:

Projees azimutais plana

Projees cnicas superfcie cnica

Projees Cilndricas cilndrica

Qualquer uma destas superfcies pode estar na posio normal, transversa ou oblqua, dependendo da necessidade.

NORMAL TRANSVERSO OBLQO

A

Z

I

M

U

T

A

L

C

N

I

C

A

C

I

L

N

D

R

I

C

A


27

7.3 - Introduo ao conceito de distoro

A representao de um trecho ou totalidade da superfcie fsica da Terra remete a idia de escala. O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado para poder ser representado no papel. Contudo, este valor deve ser entendido como sendo um valor mdio porque diferentes pontos do mapa sofrem diferentes deformaes. Este fato causado pela transformao da superfcie curva da Terra para a superfcie plana do mapa e variam seu valor em funo da projeo cartogrfica que se est utilizando.

Em cartografia pode-se pensar em representar a superfcie da Terra de duas maneiras:

a) Cortando a superfcie do globo ao longo de certos paralelos e meridianos. Este procedimento minimiza as distores, contudo apresenta o inconveniente de se representar o mesmo paralelo e meridiano duas vezes, alm de haver descontinuidade no mapa.

b) Estirando a superfcie em alguma direo. Por exemplo, se estirarmos na direo dos meridianos observa-se que a deformao vai aumentando na medida em que se aproxima do limite do mapa; a distncia entre dois paralelos cresce a partir do centro; a separao entre dois meridianos quaisquer permanece praticamente constante; no h descontinuidade (Projeo Policnica Hassler 1820 Eqidistante segundo os paralelos).

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.


28

Em qualquer um dos casos tm-se vantagens e desvantagens e, dependendo da finalidade, aplica-se uma soluo ou outra.

Em termos prticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da rea a ser mapeado, caso, por exemplo, da projeo UTM que est contida em fusos de 6. Este valor foi adotado porque alm desse limite a deformao passa a ter um valor significativo. Entende-se, neste caso, por significativo aquele valor que pode ser mensurado com um escalmetro num mapa, ou seja, qualquer deformao maior que o erro grfico (0,2 mm).

7.3.1 - Escala principal.

Escala definida como a razo entre um comprimento no mapa e o seu valor real no terreno. Normalmente utiliza-se a relao:

1

E

d

D onde : d - distncia no mapa;

D - distncia real.

Todavia pode-se usar outra formulao mais adequada para cartografia. Essa nova equao tem relao direta com o conceito de esfera modelo ou globo gerador. Define-se esfera modelo como o modelo reduzido da Terra Real. Essa entidade matemtica tem raio unitrio.

Ento a partir dessa conceituao pode-se definir escala principal de um mapa como a relao entre o raio da esfera modelo com o da Terra real.

TR

R

E 1 onde : R - raio da esfera modelo;

D - raio da Terra real.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.


29

7.3.2 - Escalas particulares

Observando-se ainda o segundo mapa, pode-se intuir que dependendo da direo tomada tm-se valores diferentes para a deformao. Este fato real implica no conceito de escalas particulares que definido como sendo uma taxa de variao da escala principal ao longo de uma direo infinitamente curta. Esta taxa de variao varia conforme a direo escolhida.

Vamos supor um quadriltero infinitesimal, construdo a partir do ponto A de coordenadas Ie O, ABCD sobre a superfcie de referencia esfrica (esfera modelo). Esse quadriltero ao ser transposto para a superfcie de projeo sofre distores fazendo com que os pontos B, C, e D sejam deslocados, gerando o quadriltero ABCD. Esta situao pode ser visualizada na figura abaixo.

A

B

C

D

P

Q

R

S

D

T

dx

dy

y

x

Superfcie de Projeo

ds

A

B C

D

ds

I

I Id

O O + dO

Superfcie de Referncia

Quadrilteroinfinitesimal

A

RI dI

O dO

rp

Estes deslocamentos tm significado geomtrico e podem ser representados simbolicamente por uma notao de derivadas parciais, que esto explicitados na tabela a seguir.

Deslocamento Significado Smbolo

APIncremento na direo de Y ocasionado por uma variao infinitesimal da latitude (dI) MM d

y

ww

PBIncremento na direo de X ocasionado por uma variao infinitesimal da latitude (dI) MM d

x

ww

ASIncremento na direo de X ocasionado por uma variao infinitesimal da longitude (dO) OO d

x

ww

SDIncremento na direo de Y ocasionado por uma variao infinitesimal da longitude (dO) OO d

y

ww


30

Escala uma relao entre o comprimento real e o representado, assim as escalas particulares podem ser calculadas como sendo as relaes entre os comprimentos dos segmentos na esfera e os seus correspondentes no plano de projeo. Esta variao pode ser entendida como um fator de deformao que varia ao longo de toda superfcie de projeo. Ento pode-se determinar o fator de deformao ao longo dos paralelos, ao longo dos meridianos, em uma direo qualquer, segundo um azimute e assim por diante. Para tanto, antes vamos estabelecer algumas relaes existentes do quadriltero ABCD.

dx = AS + DR mas DR = PB ento dx = OO dx

ww

+ MM dx

ww

analogamente

dy = AP + BQ mas BQ = SD ento dy = MM dy

ww

+ OO dy

ww

AB2 = AP2 + PB2 AB2 = 22

MM dy

ww

+ 22

MM dx

ww

= 222

MMM dyx

ww

ww

AD2 = AS2 + SD2 AD2 = 22

OO dx

ww

+ 22

OO dy

ww

= 222

OOO dyx

ww

ww

AC2 = dx2 + dy2 AC2 =22

www

w

www

w MMOOMMOO dy

dy

dx

dx

Desenvolvendo chega-se a:

AC2 = 222

MMM dyx

ww

ww

+ 2 OMOMOM ddyyxx

www

w

www

w + 2

22

OOO dyx

ww

ww


31

Fazendo

E =

ww

ww 22

MMyx

F =

www

w

www

wOMOMyyxx

G =

ww

ww 22

OOyx

e lembrando que, AC = ds, vem:

AB = MdE ; AD = OdG ; ds = 22 2 OOMM GddFdEd

Os valores E, F e G so denominados quantidades fundamentais de Gauss.

Definidas estas relaes, pode-se ento partir para o clculo das escalas particulares.

7.3.3 - Fator de deformao ao longo dos meridianos (h).

O fator de deformao ao longo dos meridianos representado pela letra h. definido pela relao:

h = AB

BA '';

AB j foi deduzido e AB o comprimento de um arco de meridiano de raio R e amplitude dMou seja:

AB = R.dMconsiderando que a esfera tem raio unitrio AB dMFinalmente

h = MM

d

dE h E


32

7.3.4 - Fator de deformao ao longo dos paralelos (k).

O fator de deformao ao longo dos paralelos representado pela letra k. definido pela relao:

k = AD

DA '';

AD j foi deduzido e AD o comprimento de um arco de paralelo de raio rp e amplitude dOou seja:

AD = R.cosMdOconsiderando uma esfera de raio unitrio AD= cosMdOFinalmente

k = OMOd

dG

cos k MsecG

7.3.5 - Fator de deformao ao longo de qualquer arco que passe por A.

Este fator de deformao representado pela letra Psendo definido pela relao:

P = ds

ds' ;

Considerando que o quadriltero infinitesimal, pode-se calcular ds pelo teorema de Pitgoras.

ds2 = R2 dM2 + R2 cos2MdO2 considerando R = 1 ds = 222 cos OMM dd

Finalmente

P = 222

22

cos

2

OMMOOMM

dd

GddFdEd

A equao a seguir calcula a escala em funo do ngulo azimutal D

DDDMDPD2

222

cos2

coscos sen

Gsen

FE


33

7.3.6 - Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot

Uma circunferncia na superfcie da esfera, infinitamente pequena, quando transformada para o plano da projeo, ao sofrer deformao assume a forma elptica. Esta elipse recebe o nome de elipse das distores ou Indicatriz da Tissot.

Teorema de Tissot:

Sobre qualquer ponto de uma projeo existem duas direes perpendiculares entre si, que ao

serem transformadas, embora existindo deformao angular, permanecem perpendiculares entre si.

As direes I e II so conhecidas como direes principais e sobre elas que ocorrem as deformaes mxima e mnima (a e b).

Na esfera os paralelos se cruzam segundo um ngulo de 90, porm esse valor alterado pela distoro. Pode-se demonstrar que:

MT cos'cos khF

onde T o ngulo reto na superfcie da esfera modelo aps ser deformado.

Oa Oa

IaIaE E

D Dds ds

C C

y y

x x

II II

I I

A A

na projeona esfera

a

Tb

Mer

idia

no

Paralelo

kh


34

7.3.7 - Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)

As seguintes relaes podem ser deduzidas a partir do conceito de elipse das distores.

h2 = a2.cos2E+b2.sen2Ek2 = a2.sen2E+b2.cos2E

associando as duas equaes:

h2 + k = a2.cos2E+b2.sen2E + a2.sen2E+b2.cos2E colocando a e b em evidncia, vem:h2 + k = a2 (cos2E+ sen2E) + b2(sen2E + cos2E) mas sen2E + cos2E = 1, ento:

h2 + k2 = a2 + b2

Esta expresso representa o 1 Teorema de Apolnio, que mostra que a soma ao quadrado de dois dimetros conjugados na elipse uma constante. O 2 Teorema de Apolnio mostra que a rea formada por dois semi-dimetros conjugados na elipse igual rea do retngulo formado pelos semi-eixos da elipse, ou seja:

h.k.senT= a.b

As duas equaes anteriores permitem avaliar a evoluo das distores mxima e mnima para qualquer projeo a partir dos valores conhecidos h, k e T. Multiplicando as segunda equao por 2 e somando e subtraindo da primeira equao resulta:

h2 + k2 r 2.h.k.senT = a2 + b2 r 2.a.bfinalmente

(ar b)2 = h2 + k2 r 2.h.k.senT

A resoluo deste sistema de equaes permite determinar os valeres dos fatores de deformao mximo e mnimo.

7.3.8 - Fator de deformao de rea (p).

Considerando que o quadriltero ABCD muito pequeno, pode-se definir que o fator de deformao da rea AB.AD.senT. Ento:

p = h.k.senT ou p = a.b


35

7.3.9 - Fator de deformao angular mximo (Z). A equao que permite o clculo do fator de deformao angular mximo a seguinte:

ba

ba

2sen

Z

Dependendo da funo de projeo que se utilize, tm-se valores diferentes para as deformaes, que so do tipo linear, angular e de rea.

Em resumo, as escalas particulares ou fatores de deformao assumem valores mximos e mnimos e podem ocorrer:

ao longo dos meridianos = h

ao longo dos paralelos = k

ao longo das direes principais (mxima) = a

ao longo das direes principais (mnima) = b

de rea = p

Angular mxima = Z

No obstante, existem certos pontos ou linhas onde essas deformaes no ocorrem e so conhecidos como pontos ou linhas de distoro zero (pdz ou ldz ). A figura a seguir exemplifica a situao.

ldz pdz

ldz ldz


36

7.3.10 - Propriedades especiais das projees

Apesar da escala principal s ser preservada ao logo de certos pontos ou linhas (pdz ou

ldz) e as escalas particulares variarem tanto em posio como em direo num mapa, possvel

criar certas combinaes especiais de escalas particulares que podem ser mantidas em toda a

extenso de um sistema de projeo, com exceo aos pontos singulares. Pontos singulares so

aqueles onde o Teorema de Tissot no se aplica. Por exemplo, em algumas projees os plos

aparecem como sendo linhas ao invs de pontos.

Estas propriedades classificam as projees em conformes, equivalentes, eqidistantes e

afilticas. A tabela abaixo resume as caractersticas de cada uma das propriedades :

PropriedadeEscala

particularEfeito Aplicao

Conformidade a =b

no h deformao angular; a forma dos objetos mantida.

Mapas onde a medida de ngulos importante. Ex.: Cartas Topogrficas, Cartas de Navegao e Cartas Militares.

Equivalncia a.b = 1

os ngulos so deformados, porm no h deformao de rea.

Mapas onde a medida das reas importante. Ex.: Mapas de uso da terra, vegetao, populacionais.

Eqidistncia

h = 1 no h deformao segundo os meridianos.

Mapas onde a conformidade ou a equivalncia no sejam primordiais. Atlas, mapas de planejamento estratgico. k = 1

no h deformao segundo os paralelos.

Afilticas no apresentam nenhuma propriedade

As projees eqidistantes apresentam uma caracterstica importante, elas deformam

menos os ngulos que as equivalentes e menos as reas que as conformes, sendo ento til

quando as outras duas propriedades no so necessrias.


37

A figura a seguir mostra as deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de

Sansom-Flamsteed. Esta projeo classificada como equivalente pertence s pseudo-cilndricas.

Observa-se que ao longo do equador e do meridiano de Grrenwich as Indicatrizes de Tissot so

circunferncias de mesmo tamanho, o que indica que estas linhas so linhas de distoro zero.

Fora delas observa-se um estiramento na medida em que se aproxima do Polo Norte.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992


38

8 - Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores.

Todas as projees cartogrficas, indistintamente, provocam deformaes nas feies

cartografadas no processo de transferncia da superfcie fsica para a de projeo. Deste modo,

ao se adotar uma ou outra formulao, deve-se levar em considerao qual as caractersticas que

queremos preservar, ou seja, que propriedade nos interessa.

As projees so classificadas quanto s propriedades em conformes, eqidistantes,

equivalentes e afilticas. Dependendo da formulao (lei da projeo) mesmo a propriedade

sendo igual, no se tem o mesmo resultado. necessrio se fazer um estudo sob a luz da teoria

das distores antes de se optar por esta ou aquela projeo.

Como exemplo vamos fazer este estudo utilizando a projeo cilndrica conforme de

Mercator. Ronan (1983) apud Maling(1993) em sua obra The Cambribge Ilustrated History of

the Worlds Science, afirma que esta projeo foi utilizada por Chien Lo-Chih num primitivo

mapa de estrelas (Tunhuang 940). Na Europa, a sua utilizao datada de 1.511 por Etzlaud e

1.569 por Mercator. A navegao passou a adota-la a partir de 1.599.

A formulao desta projeo (lei de projeo) a seguinte:

x = O

y =

24ln

MStg

a) Clculo das derivadas parciais

;0 wwMx

;1 wwOx

;0 wwOy

;

24cos

242

121

242cos

1

24(

24cos

21

242sec

24

1

ww

MSMSMSMS

MSMS

MSM sensentgy

;)cos(1121 224 MMM SMS ww

sensen

y );sec(MM wwy


39

b) Clculo das quantidades fundamentais de Gauss

;101)()(;00)sec(10

);(2sec2)sec(20)()(

2222

22

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

OO

OMOM

MMM

MM

yx

yyxx

yx

G

F

E

c) Clculo das escalas particulares

c.1) Fator de deformao ao longo dos meridianos

Eh h = sec(M)

c.2) Fator de deformao ao longo dos paralelos

)sec(M Gk k = sec(M)

c.3) Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)

0)(

0

)()'cos( MMT senkhsenkh

F => T = 90

khbakhkhkhkhkhba ?r r r r 222222 2)'sen(2 T

c.4) Fator de deformao de rea

p = a.b p=sec2(M)

c.5) Deformao angular mxima.

00sencomo;2

sen ? ZZZ b a

ba

ba


40

d) Tabela de deformaes

M h k a b p Z

0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00

15 1,04 1,04 1,04 1,04 1,07 0,00

30 1,15 1,15 1,15 1,15 1,33 0,00

45 1,41 1,41 1,41 1,41 2,00 0,00

60 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,00

75 3,86 3,86 3,86 3,86 14,93 0,00

90 f f f f f 0,00

Observa-se que as deformaes crescem na direo dos Plos, tendendo para o infinito.

Isso acontece porque esta projeo no definida para latitude de 90.

A deformao angular mxima igual a Zero, o que era de se esperar, uma vez que a

projeo conforme e os ngulos, neste caso, so preservados.

Nota-se ainda, que uma rea localizada na latitude de 75, sofre uma ampliao da ordem

de 14,93 vezes.

Se por projeto for estabelecida uma tolerncia de 4% em termos de deformao linear, s

a regio compreendida entre os meridianos de 15 N e 15 S ter a sua rea mapeada por esta

projeo.


41

Na tabelas seguintes, so apresentados os fatores de deformao de algumas projees azimutais.

Projeo Azimutal Estereogrfica - conforme

M h k a b p Z

0 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,0

15 1,59 1,59 1,59 1,59 2,52 0,0

30 1,33 1,33 1,33 1,33 1,78 0,0

45 1,17 1,17 1,17 1,17 1,37 0,0

60 1,07 1,07 1,07 1,07 1,15 0,0

75 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 0,0

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

Projeo Azimutal Postel - Equidistante nos meridianos.

M h k a b p Z

0 1,00 1,57 1,57 1,00 1,57 25,6

15 1,00 1,36 1,36 1,00 1,36 17,5

30 1,00 1,21 1,21 1,00 1,21 10,9

45 1,00 1,11 1,11 1,00 1,11 6,0

60 1,00 1,05 1,05 1,00 1,05 2,8

75 1,00 1,01 1,01 1,00 1,01 0,6

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0


42

Projeo Azimutal de Lambert - Equivalente.

M h k a b p Z

0 0,71 1,41 1,41 0,71 1,00 38,6

15 0,79 1,26 1,26 0,79 1,00 26,5

30 0,87 1,15 1,15 0,87 1,00 15,9

45 0,92 1,08 1,08 0,92 1,00 9,2

60 0,97 1,04 1,04 0,97 1,00 4,0

75 0,99 1,01 1,01 0,99 1,00 1,1

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

Projeo Azimutal Gnomnica - afiltica.

M h k a b p Z

0 f f f f f f15 14,93 3,86 14,93 3,86 57,68 72,2

30 4,00 2,00 4,00 2,00 8,00 38,9

45 2,00 1,41 2,00 1,41 2,83 19,9

60 1,33 1,15 1,33 1,15 1,54 8,3

75 1,07 1,04 1,07 1,04 1,11 1,6

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

A partir destas tabela possvel se fazer o estudo de que projeo mais adequada para o

projeto cartogrfico que se pretende. Este tipo de anlise deve ser aplicado sempre que se

pretende utilizar uma projeo diferente das tradicionais.


43

Para efeito de ilustrao, criou-se na Projeo Cilndrica de Carre, cuja tabela de deforma

encontra-se abaixo, uma feio humana (rosto) para obteno das coordenadas geogrficas dos seus

traos definidores. A partir destas, gerou-se em diversas projees o reticulado e o rosto, para

demonstrar as diferenas que os contornos de uma rea cartografada, podem sofrer.

Projeo Cilndrica de Plate Carre Eqidistante ao longo dos meridianos

M h k a b p Z0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

15 1,00 1,04 1,04 1,00 1,04 -2,2

30 1,00 1,15 1,15 1,00 1,15 -8,0

45 1,00 1,41 1,41 1,00 1,41 -19,6

60 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 -38,9

75 1,00 3,86 3,86 1,00 3,86 -72,1

90 1,00 f f 1,00 f f


44


45


46


47


48


49

9 - Construo prtica das Projees Cartogrficas.

A construo de um mapa passa necessariamente por algumas etapas como:

x a escolha da superfcie de referncia (modelo geomtrico/datum); x a escolha da superfcie de projeo (plana, cnica ou cilndrica); x o aspecto da superfcie de projeo (normal, obliqua ou transversa); x a propriedade especial (conforme, equidistante nos paralelos, equidistante nos

meridianos, equivalente ou afiltica);

x a escala de sada da representao.

As definies quanto as superfcie de referncia e de projeo, ao aspecto e a propriedade

especial, normalmente j esto meio que resolvidas. Via de regra, adota-se o padro mais usual.

Por exemplo, o mapeamento sistemtico brasileiro utiliza o sistema UTM (Universal Transverso

de Mercator) como padro, ento, na maioria dos projetos que envolvem cartografia, esta

soluo a adotada. Basta lembrar a lei de georreferenciamento de imveis rurais que

normatizou essa soluo na definio territorial das propriedades.

comum tambm que, em mapas estaduais do estremo sul do Pas, se opte pelas

projees policnicas. Alguns mapeamentos geolgicos adotam as cnicas equivalentes como

opo, e algumas cidades adotam o LTM (Local Transverso de Mercator), variao da UTM,

como opo para seus mapeamentos cadastrais. Observa-se ento que, sobre estes aspectos,

quase tudo j est definido no havendo muito espao para variaes.

Com respeito ao Datum, embora o Brasil tenha optado pelo SAD 69 desde meados da

dcada de 70 e que em fevereiro de 2005 o tenha substitudo oficialmente pelo SIRGAS 2000,

comum ainda se verem projetos adotando o Crrego Alegre. Esta deciso equivocada est

calcada nas cartas do mapeamento sistemtico que foram confeccionadas no final da dcada de

60 e incio da 70, quando o Datum vigente ainda era o Crrego Alegre. Isto denota uma falta de

conhecimento tcnico em mapeamento pelas pessoas que tomam as decises. Ainda se tem uma

viso de que mapa simplesmente um desenho e no um documento que se construdo

corretamente poder poupar muito das etapas de levantamento de dados para o planejamento.


50

Finalmente, quanto escala de sada, embora os sistemas automatizados tenham

ferramentas que facilitam a sada na escala adequada, interessante que se conhea o processo

na elaborao dos mapas. Ento este material didtico se prope a mostrar de que forma isso

feito.

Para efeito de organizao ser mostrado a seguir o processo de construo das projees

conforme elas pertenam classe das azimutais, cnicas e cilndricas. Todas as construes

apresentadas adotaro o aspecto normal e ser adotada a esfera como modelo geomtrico para a

Terra. Esse modelo recebe o nome de esfera modelo ou globo gerador e tem o raio unitrio.

9.1 -Projees Azimutais

As projees classificadas como azimutais so aquelas que adotam o plano tangente ou

secante como superfcie de projeo. Essa superfcie pode assumir os aspectos normal,

transverso ou oblquo, conforme o plano tangencie o modelo de referncia (modelo geomtrico

da Terra) em um dos plos, sobre o equador ou em um local diferente destes. Por esta

caracterstica as azimutais s representam no mximo um hemisfrio por superfcie.

As frmulas gerais para as projees azimutais, no caso normal e tangente, so as seguintes.

Equaes polares

r = f(I)=F(F;Equaes cartesianas

x = r.cosTT = O y r.senT

onde : r - raio do paralelo no plano de projeo I - latitude F - colatitude ( F = 90 - I ) O - longitude. T - ngulo correspondente a longitude no plano de projeo.

As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so definidas por:

IF ww w

w rrh e IF cossenrr

k

A figura 2 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projees azimutais.


51

Analisando a figura observa-se que o ponto P, na superfcie da esfera modelo, projetado

no plano de projeo em P. A posio de P depende fundamentalmente das suas coordenadas e

da projeo cartogrfica utilizada. Assim, um mesmo ponto projetado em posies diferentes

no plano de projeo simplesmente com a variao da projeo cartogrfica.

A projeo cartogrfica uma funo matemtica conhecida como Lei da Projeo.

Esta Lei, no caso de coordenadas polares, constituda por uma funo que depende da

colatitude do ponto P, e que calcula a distncia entre o ponto de tangncia e P, representada pela

letra r, e pelo ngulo T que corresponde longitude O de P.

Estas coordenadas polares, para serem transformadas em cartesianas, tem sua origem no

ponto de tangncia e o eixo das abscissas coincidente com o meridiano de Greenwich,

conforme figura 1.

Tr

X

Y

xP

yPMeridiano deGreenwich

90 Wo

180 o

90 Eo

P

PN

Figura 1 - Eixos cartesianos nas projees azimutais.


52

O

IF

R

P

P`

PN r

PS

Lei de projeo :

r = f( ) = F ( )I FT O

rcosIk

h - mrmI

mrmF

rsenFSuperfcie de projeo

T

P`

r

(Esfera modelo - R=1)

Superfcie de referncia

Superfcie de projeo

Figura 2 Aspectos geomtricos envolvidos numa projeo azimutal.


53

Algumas projees permitem sua demonstrao porque sua Lei constituda por

equaes geomtricas. A seguir sero demonstradas algumas destas.

9.1.1 - Projeo Azimutal Gnomnica.

A projeo Gnomnica atribuda a Tales de Mileto que viveu entre 624 a 546 a.C.

Esta projeo adota o centro da esfera (c) como ponto de vista da projeo (PV). Desta forma o ponto P projetado a partir de PV em P. A distncia entre P e o plo denominada pela letra r (figura 3).

Observa-se tambm que o plo, PV e P formam um triangulo retngulo.

Aplicando-se uma relao trigonomtrica simples, obtm-se:

)(. FtgRr

como a esfera tem raio unitrio, vem:

OTF

)(tgr

Esta equao no definida para pontos cuja colatitude igual 90, de forma que o equador no representado.

9.1.2 - Projeo Azimutal Estereogrfica.

A projeo Estereogrfica atribuda a Hiparco de Nicia que viveu entre 160 a 125 a.C.

Esta projeo adota o ponto antpoda ao ponto de tangncia do plano de projeo com a esfera, como ponto de vista (PV). Desta forma o ponto P projetado a partir de PV em P. A distncia entre P e o plo denominada pela letra r (figura 4).

Observa-se tambm que o plo, PV e P formam um triangulo retngulo.

R=1P

P

IF

rplo

plano deprojeo

esfera modelo

c=PV

Figura 3 - Projeo Gnomnica.

R=1P

P

IF

rplo

plano deprojeo

esfera modelo

PV

Dc

Figura 4 - Projeo Estereogrfica.


54


)(2 Dtg Rrmas, do tringulo formado entre PV, c e P, tm-se

2902

901802180)90(.2

FDIDIDID

?

o

oooo

Considerando-se ainda, que a esfera tem raio unitrio, vem:

OTF

)2(2 tgr

9.1.3 - Projeo Azimutal Ortogrfica.

A projeo Ortogrfica atribuda a Apolnio de Perga que viveu entre 262 a 190 a.C.

Esta projeo adota o ponto antpoda que deslocado para o infinito como ponto de vista (PV). Desta forma o ponto P projetado, paralelamente ao eixo de rotao, a partir de PV em P. A distncia entre P e o plo denominada pela letra r (figura 5).

Observa-se tambm que c, q e P formam um triangulo retngulo.


)cos()( IF senRrConsiderando-se que a esfera tem raio unitrio, vem:

OT

IF

cos)(senr

Conforme informado anteriormente estas trs projees tem sua Lei definida por equaes

geomtricas cuja demonstrao simples, todavia, a classe das azimutais no se limita somente a

estas trs, existindo outras proposies (anexo 1).

R=1P

P

IF

rplo

plano deprojeo

esfera modelo

PV

qc

Figura 5 - Projeo Ortogrfica.

P

I

F

PV

D

c

D


55

9.1.4 - Construo das projees azimutais.

Definida a lei de projeo que balizara os clculos, pode-se pensar em duas situaes distintas:

a. dado o formato do papel onde se deseja gerar a projeo, calcular a escala;

b. dada a escala da projeo definir quais as dimenses do papel que a comporta.

Tanto para o caso a como para o b necessrio se fazer algumas consideraes. A

primeira que a rea ocupada por uma projeo azimutal constituda por um crculo cujo raio

determinado pela colatitude limite (figura 1). Esta colatitude limite definida pelo limite da

projeo, ou seja, at que distncia angular, a partir do ponto de tangncia do plano com a esfera,

se pretende representar. A segunda, que as projees azimutais representam um nico

hemisfrio.

Ento, imaginando um papel com dimenses hipotticas dx e dy (figura 6).

O crculo para ser representado

na integra deve ter seu raio mximo

(rMx) menor que a menor dimenso do

papel. No caso da ilustrao a menor

dimenso ocorre em dx.

O raio mximo tem sua dimenso

definida por dois fatores. O primeiro

est atrelado a Lei da projeo e o

segundo ao raio da esfera modelo (R).

Nas dedues apresentadas

anteriormente o raio da esfera modelo

era considerado unitrio, mas

facilmente percebido que o valor de r

diretamente dependente de R, ou

seja, se for dobrado o valor de R

automaticamente se dobra o de r.

Ento, para se ocupar a menor dimenso do papel deve-se variar o raio da esfera modelo (R).

Chamando de d a menor dimenso do papel, tem-se:

r Mx

dy

dx

Limite da projeo

Figura 6 - Dimenses teis de uma folha de papel


56

Calculado o raio da esfera modelo ideal pode-se agora calcular em que escala ser

representada esta projeo. Sabe-se que escala a proporo existente entre o real e o representado. Ento, a escala a proporo entre o raio da esfera modelo (R) e o raio da Terra real (RT), ou seja: Esta proporo ser um nmero menor do que 1. Em cartografia costuma-se indicar a escala como uma frao, assim:

A escala calculada normalmente no ser um nmero inteiro, deste modo, deve-se

arredond-la para uma escala menor. Quando isso feito, a proporo modificada e precisa-se calcular novamente o raio da esfera modelo.

Definida a escala e o raio da esfera modelo passa-se a construir uma tabela onde sero

calculados os raios dos paralelos. Os meridianos so constitudos por linhas radiais onde o ngulo T=O. Ao conjunto de paralelos e meridianos representados na superfcie de projeo d-se o nome de reticulado ou canev da projeo.

No caso de ser fornecida a escala da projeo a ordem dos clculos diferente. Inicialmente calcula-se o raio da esfera modelo e depois a dimenso mnima.


57

Com os exemplos seguintes, o procedimento de clculo do canev ficar mais claro.

Exemplo 1 Gere o canev da projeo Azimutal Gnomnica, aspecto normal, em uma folha padro A4, intervalando os paralelos e meridianos de 15 em 15. Para o clculo adote RT = 6.380 km.

Para iniciar o clculo da projeo precisa-se:

a Lei da projeo;

b espao til no papel;

c clculo do raio da esfera modelo;

d clculo da escala;

e gerao da tabela com os raios dos paralelos.

A lei de projeo da Azimutal Gnomnica determinada pelas equaes

OTF

)(tgr

Esta equao no definida para F = 90. Considerando que foi pedido que o intervalo fosse de 15 em 15, ento a colatitude mxima a ser adotada ser: FMx =75.

Com respeito ao papel, para se calcular a rea til, deve-se descontar das dimenses do formato A4 as

margens, os espaos definidos para cabealho, escala e textos adicionais. Na figura 7, estes espaos esto

delimitados. importante frisar que excetuando as margens, os outros espaos podem ser livremente estipulados

pelo autor do mapa.

dx = 158 mm

7 mm

r Mx

Ttulo

Escala

text

o

text

o

10

mm

30 mm

40 mm

25

mm

10

mm

7 m

m

7 mm

dy =

213

mm

Figura 7 - Definio da rea til.


58

Para o clculo do raio da esfera modelo de uma projeo azimutal utiliza-se a seguinte frmula:

d = 158 mm e rMx = tg(FMx) = tg(75) rMx =3,73

ento Tendo-se o Raio da esfera modelo cujo valor faz com que a projeo azimutal Gnomnica ocupe a rea til

total, necessrio agora se calcular a escala desta projeo, assim:

O denominador calculado no , normalmente, um nmero inteiro, ento arredondando para um nmero

maior, vem Recalculando o raio da esfera

Finalmente passa-se a fase de clculo dos raios dos paralelos.

M F r = R. tg ( F ) (R = 2 ,1 cm)0 90 -

15 75 7 ,8 cm

23 27 ' 66 33 ' 4 ,8 cm

30 60 3 ,6 cm

45 45 2,1 cm

60 30 1 ,2 cm

66 33 ' 23 27 ' 0 ,9 cm

75 15 0 ,6 cm

90 0 0,0 cm

Os valores 2327 e 6633 correspondem ao Trpico de Cncer e ao Crculo rtico ou ao Trpico de Capricrnio e ao Crculo Antrtico conforme os dados fizerem referncia ao hemisfrio Norte ou ao hemisfrio Sul respectivamente. A figura 8 mostra o canev da projeo Gnomnica.


59

Projeo Azimutal GnomnicaAspecto Normal

Atribuida a Tales de Mileto (624 - 546 a.C.)

Escala 1:302.000.000

0o15 E

o

30Eo

45Eo

60Eo

75

Eo

90

Eo10

5E

o

120

Eo

135

Eo

150Eo

165Eo

1 8 0

o165Wo

150Wo

135Wo

120W o

105

W o

90

W o75

W o

6 0Wo

45Wo

30 Wo

15 Wo

Mer

idia

no

de G

ree

nwic

h

PN

30o

45o

60o

T

R

P

IC

OD E C

N

CE

R

CR

CU

LO

P O L A R

R

TI

CO

3.020 6.040 9.060 12.080 15.100 km3.020 0

15o

Figura 8 Canev da Projeo Azimutal Gnomnica em um papel formato A4 (210 mm x 297 mmm)


60

Exemplo 2 Gere o canev da projeo Azimutal Estereogrfica, aspecto normal, em uma folha padro A4, intervalando os paralelos e meridianos de 15 em 15. Para o clculo adote RT = 6.380 km.

Os clculos so similares ao exemplo anterior, mudando-se somente a Lei da Projeo, ou seja:

OTF

)2(2 tgr

Esta equao definida para F = 90 que ser o limite da projeo. Como o formato do papel o mesmo que do exerccio anterior e se for adotado as mesmas dimenses, vem:

d = 158 mm e

ento

Tendo-se o Raio da esfera modelo calcula-se a escala desta projeo:

arredondando o denominador para um nmero maior inteiro, vem


61

Recalculando o raio da esfera

Finalmente passa-se a fase de clculo dos raios dos paralelos.

M F r = 2 .R. tg ( F ) ( R = 3 ,9 c m)0 90 7,8 cm

15 75 6 ,0 cm

23 27 ' 66 33 ' 5 ,1 cm

30 60 4 ,5 cm

45 45 3,2 cm

60 30 2 ,1 cm

66 33 ' 23 27 ' 1 ,6 cm

75 15 1 ,0 cm

90 0 0,0 cm

A figura 9 mostra o aspecto do canev da projeo estereogrfica.


62

Projeo Azimutal EstereogrficaAspecto Normal

Atribuida a Hiparco de Nicia (160 - 125 a.C.)

Escala 1:162.000.000

0o15 E

o

30Eo

45Eo

60Eo

75

Eo

90

Eo10

5E

o

120

Eo

135

Eo

150Eo

165Eo

1 8 0

o165Wo

150Wo

135Wo

120W o

105

W o

90

W o75

W o

6 0Wo

45Wo

30 Wo

15 Wo

Mer

idia

no

de G

ree

nwic

h

PN

30o

45o

75o

TR

P

I CO D E C

N

CE

R

CR

C

UL O

P O L A R R

T

I CO

1.620 3.240 4.860 6.480 8.100 km1.620 0

60o

15o

Figura 9 Canev da Projeo Azimutal Estereogrfica em um papel formato A4 (210 mm x 297 mmm)


63

Observa-se nos dois exemplos que o procedimento de gerao do canev simples.

A partir do canev a construo do mapa exige que sejam conhecidas as coordenadas

geogrficas (MO) das diversas feies que compe a regio representada como, limites dos continentes, dos pases, cidades ou locais importantes, cursos dgua, entre outros. Neste caso

melhor empregar as frmulas que utilizam o sistema cartesiano. Assim:

x = r.cosTy = r.senT

No caso da projeo Gnomnica as frmulas cartesianas so:

x = R.tg F.cosOy = R.tg F.senO

e as da Estereogrfica so:

x = 2.R.tg(F/2).cosOy = 2.R.tg(F/2).senO

Basta ir substituindo paulatinamente as coordenadas nas equaes e ir obtendo as coordenadas cartesianas.


64

9.2 -Projees cnicas

As projees classificadas como cnicas so aquelas que adotam o cone reto tangente

ou secante como superfcie de projeo. Essa superfcie pode assumir os aspectos normal,

transverso ou oblquo, conforme o eixo do cone seja paralelo, transverso ou oblquo em relao

ao eixo de rotao do modelo de referncia (modelo geomtrico da Terra). Similarmente as

azimutais, elas s representam um nico hemisfrio por superfcie.

As frmulas gerais para as projees cnicas, no caso normal e tangente, so as seguintes.

Equaes polares

r = f(I)=F(F;Equaes cartesianas

x = r.senTT = KO y C - r.cosT

onde : r - raio do paralelo no plano de projeo

I - latitude F - colatitude ( F = 90 - I ) O - longitude. T - ngulo correspondente a longitude no plano de projeo. K - fator de reduo ou constante do cone C - raio do paralelo-padro no plano de projeo

As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so definidas por:

IF ww w

w rrh e IK

FK

cossen

rrk

A figura 10 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projees cnicas.


65

P`

PN

V

T

Lei de projeo :

r = f( ) = F ( )I FT KOK constante do cone

KrcosIk h -

crcI

T

P`

C

V

Superfcie de projeo

P

R

IF

I

O

Superfcie de projeo

(Esfera modelo - R=1)

Superfcie de referncia

PS

r

(Cone - tangente)

Paralelo padro (L.d.z.)

C

Paralelo-padro (L.d.z.)

r

Figura 10 Aspectos geomtricos envolvidos nas projees cnicas.


66

Dependendo do paralelo padro que se adote a altura do cone e a dimenso da base variam.

Observa-se na figura 10 que o raio do paralelo (r) considerado desde o vrtice do cone

at o ponto P, e que o ngulo O ao ser transformado em T, ao contrrio das projees azimutais, sobre uma reduo. Essa reduo, tambm denominado de constante do cone e designada pela

letra grega K, uma funo matemtica que depende da latitude do paralelo padro (Io) ou da colatitude do paralelo padro (Fo).

Alm do paralelo padro, nas projees cnicas, existe a figura do Meridiano Central

(MC) que pode ser coincidente com o Meridiano de Greenwich. Quando o meridiano central

em outro local, substitui-se a longitude por uma diferena dada por:

onde : O - longitude do ponto;

OMC - longitude do meridiano central.

A figura 11 mostra esses elementos em relao s coordenadas cartesianas.

T

r

X

Y

xP

yPMeridiano de Greenwich

18 0E

o

180

Eo

P

Figura 11 - Eixos cartesianos nas projees cnicas.

PN

C

paralelo-padro

0oC = F( ) = f ( )I Fo o


67

9.2.1 - Construo das projees cnicas.

As projees cnicas ocupam a rea til do papel em funo da Lei da projeo e do

paralelo padro escolhido de duas formas distintas. Essas situaes sero definidas por caso a

quando o TMx > 90 e caso b quando o TMx < 90. Em ambos os casos o espao requerido na direo dos eixos das abscissas diferente do eixo das ordenadas. Assim necessrio se calcular

um raio ideal na direo de x (RX) e um raio ideal na direo de y (RY). Assumindo como dx o

espao til na direo de x e dy o espao na direo de y pode-se formular as equaes para os

dois casos.

Caso a - TMx > 90

TMx

rM

x

X

Y


180Wo

180

Eo

Figura 12 - Projees cnicas - caso .a

0o

2.rMx

rMx

r sen( -90 )Mx. Mx T o

Analisando a figura 12 pode-se extrair:

E


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Caso b - TMx < 90

TMxr Mx

X

Y


180Wo 180

Eo

Figura 13 - Projees cnicas - caso .b

0o

rMx

2.r sen( )Mx. Mx T

Analisando a figura 13 pode-se extrair:

e Calculados os raios ideais nas direes dos eixos cartesianos, tanto para o caso a como

para o caso b, adota-se o menor deles como raio da esfera modelo. A seguir procede-se como

nas projees azimutais, ou seja, calcula-se a escala, arredonda-se o denominador para um valor

inteiro maior e torna-se a calcular o raio da esfera modelo utilizando-se as seguintes frmulas:

e


69

No caso de ser fornecida a escala da projeo a ordem dos clculos diferente. Inicialmente calcula-se o raio da esfera modelo e depois as dimenses mnimas.

Caso a

Cartografia Geral

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