Cartografia

Projeções Cartográficas

Prof. João Fernando Custodio da Silva

Departamento de Cartografia

www2.fct.unesp.br/docentes/carto/JoaoFernando

Introdução Queremos representar o

mundo - de proporções quilométricas - em traços desenhados em proporções milimétricas;

Para isto, construímos cartas e mapas.

A construção de uma carta exige o estabelecimento de um método;

Este método deve obedecer à regra “a cada ponto da superfície da Terra corresponde um ponto da carta e vice-versa”.

O Processo Cartográfico

Objeto: Terra

Modelo do objeto

Esfera (plani&alti)

Elipsoide (plani&alti)

Geoide (altitudes)

Superfície de Projeção

Cone

Cilindro

Plano

Superfície de representação

Globo (esfera)

Mapa, carta (plano)

Sistemas de projeções

Diversos métodos podem ser empregados para se obter essa correspondência de pontos, constituindo os chamados "sistemas de projeções“ (SP).

SP é um conjunto de princípios e leis que garantem a unicidade da correspondência “objeto (Terra) e imagem (mapa/carta)”.

A teoria das projeções compreende o estudo dos diferentes sistemas que se fundamentam em princípios e leis matemáticas (Cartografia Matemática).

A natureza das distorções ou

deformações cartográficas A correspondência entre a

superfície da Terra e o mapa não pode ser exata(*) (perfeita) por dois motivos básicos: Uma transformação de escala

deve ocorrer: a correspondência 1/1 é fisicamente impossível e durante o processo de redução das dimensões ocorre perda de informação (generalização);

A superfície curva da Terra não se ajusta a um plano sem a introdução de alguma espécie de deformação ou distorção (esticar ou rasgar a superfície curva).

(*) exato x acurado x preciso!

Problema fundamental

O problema fundamental das projeções

cartográficas é a representação (do todo ou de

parte) da superfície (irregular) da Terra em

um plano.

A solução para este problema é a adoção de

formas geométricas regulares para

representar, em proporções menores, a

verdadeira forma da Terra.

Figuras de referência

Duas figuras geométricas regulares são adotadas, de acordo com a aplicação desejada:

um elipsóide de revolução

uma esfera

As superfícies destas formas (figuras) são as referências para os elementos da superfície terrestre a representar.

Não há solução perfeita. E daí? Para se obter a coincidência da casca de uma tangerina (curva) com

a superfície plana de uma mesa, as duas superfícies têm de ser distorcidas.

Optando-se por conservar plana a mesa e adaptando-se a casca (curva), é necessário partir, esticar e ajustar os pedaços da casca, dispondo-os na mesa (plano).

Observa-se que a figura formada sobre a mesa (imagem) representará o objeto (tangerina) com imperfeição, pois os movimentos necessários ao melhor ajuste causam torções e alongamentos, de modo que a forma e as dimensões ficam alteradas desproporcionalmente.

É uma simplificação grosseira do problema das projeções cartográficas, mas expressa claramente a impossibilidade de uma solução perfeita (projeção livre de deformações).

A solução (imperfeita) é desenvolver e usar um método que cause as menores deformações possíveis.

Aproximação, simplificação,

praticidade

Evita-se o problema da representação imperfeita, mediante a construção de representações tridimensionais do elipsóide ou da esfera, como é o caso do globo (escolar);

Entretanto, por conveniência e praticidade, o mapa construído sobre uma superfície plana resiste, pois inegavelmente o mapa plano é mais fácil de ser produzido e manuseado (mãos e máquinas).

O mapa ideal

O ideal seria construir uma carta que representasse

perfeita e rigorosamente a superfície da Terra.

Tal carta teria as seguintes propriedades:

Manutenção da verdadeira forma das áreas a serem

representadas (conformidade);

Inalterabilidade das áreas (equivalência);

Constância das relações entre as distâncias dos pontos

representados e as distâncias dos seus correspondentes

(eqüidistância).

O mapa possível As propriedades do mapa ideal seriam facilmente

conseguidas se a superfície da Terra fosse plana ou desenvolvível (no plano, sem deformações).

A solução será, portanto, construir uma carta que, sem possuir todas as condições ideais, possua aquelas que satisfaçam a determinado objetivo.

Assim, é necessário, ao se fixar o sistema de projeção escolhido, considerar a finalidade da carta que se quer construir (manter forma, área ou distância).

Deve-se aceitar que, rigorosamente, a escala não é uniforme em todas as direções.

A metodologia viável

Geralmente, a representação cartográfica é feita

sobre uma superfície plana – o plano de

representação (PR) no qual se desenha o mapa.

O problema básico consiste em relacionar pontos

da superfície física terrestre (SFT) ao plano de

representação (PR).

Superfícies envolvidas

A realidade é a → SFT , q é a verdadeira

forma da Terra, que é →

Irregular (modelagem

matemática)

Superfície de referência

Geóide (altitudes)

Elipsóide (lat long geodes)

Esfera (lat long geográfica)

Irregular (NMM)

Regular (a, f)

Regular (raio)

Superfície de projeção

Plano

Cone

Cilindro

Figuras geométricas

regulares (2D e 3D)

Superfície de representação Plano 2D

Etapas gerais da representação:

SFT, MRT e PR Compreende as seguintes etapas:

Adoção de um modelo matemático de referência para a Terra (MRT): a esfera ou elipsóide de revolução (esferóide achatado nos pólos);

Projetar todos os elementos da superfície terrestre (SFT) sobre o modelo escolhido (MRT);

Relacionar os pontos do modelo de referência (MRT) com o plano de representação (PR), escolhendo-se um sistema de coordenadas (origem, escala, posição e orientação);

Planimetria e Altimetria Os elementos cartografáveis podem ser

tangíveis (físicos, materiais: águas, vias, edificações, cercas etc);

e convencionais (divisas político-administrativas, p. ex.; são intangíveis e invisíveis);

todos são detalhes planimétricos.

Alturas e altitudes do terreno são qualidades intrínsecas às formas do terreno. São mensuradas unidimensionalmente e representadas por

toda a extensão do mapa (por curvas de nível, por cores hipsométricas etc – capítulos seguintes neste curso).

Altimetria (H e h) e

ondulação geoidal (N) A altitude de um ponto qualquer na

SFT pode ser expressada de duas maneiras:

Ortométrica (H) – é a distância contada desde o ponto, ao longo da vertical do lugar, até a superfície do geóide, que é a superfície de referência para contagem das altitudes;

Geométrica (h) – é a distância contada desde o ponto, ao longo da perpendicular, até a superfície do elipsóide;

H = h – N (aproximada).

Ondulação geoidal no Brasil

N = h – H

-35m < N < -10m

-10m < N < +10m

+10m < N < +35m

Erro médio de N

Foram utilizadas 804

RRNN;

Erro médio padrão de

+/- 0,32m para as

áreas mais desenvol-

vidas do país.

Recapitulando... Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a

posição de pontos sobre uma superfície (elipsóide, esfera ou um plano).

É com base em determinados sistemas de coordenadas que descrevemos geometricamente a superfície terrestre nos levantamentos (destinados à execução de medições para a determinação da forma e dimensões da Terra).

Para o elipsóide ou esfera, usualmente empregamos um sistema de coordenadas cartesiano (OXYZ) e curvilíneo (paralelos e meridianos).

No plano, em geral, se usa um sistema de coordenadas cartesianas X e Y.

Para complementar a localização (coords lat long) de um ponto na SFT necessitamos ainda de uma terceira coordenada: a altitude.

Projeção cartográfica

É um método de se efetuar o relacionamento

matemático entre um ponto na SFT e o seu

correspondente no PR (mapa).

O método deve definir claramente o

relacionamento matemático, de tal modo que,

geralmente, o próprio método identifica a

projeção.

Classificação das PC

As projeções cartográficas são classificadas de

acordo com os tipos e as características:

( a ) Quanto ao modelo matemático;

( b ) Quanto à situação do PV;

( c ) Quanto à superfície de projeção;

( d ) Quanto à situação da superfície de projeção;

( e ) Quanto às propriedades.

(a) Quanto ao modelo matemático

Geométrica

Analítica

Convencional

Quanto ao modelo matemático:

Geométrica Geométrica

Perspectiva (exemplos adiante)

Gnomônica: PV no centro

Estereográfica: PV no MR (antípoda)

Ortográfica: PV no infinito

Pseudoperspectiva (ex.: cilíndrica equatorial estereográfica)

É uma projeção perspectiva na qual se recorre a algum artifício,

de maneira a se obter determinada propriedade.

Quanto ao modelo matemático:

Analítica

Analítica

Simples ou regulares

cilíndrica equatorial conforme – Mercator

equidistante azimutal

Modificadas ou irregulares (equivalente de

Bonne)

Quanto ao modelo matemático:

Convencional

Convencional (Mollweide)

São as que se baseiam em princípios arbitrários,

puramente convencionais, em função dos quais se

estabelecem suas expressões matemáticas.

Projeções perspectivas:

quanto à situação do PV ( b )

estereográfica

Pseudo-perspectiva

Cilíndrica equatorial

estereográfica – PV

percorre o Equador

situando-se no

antimeridiano do ponto

a projetar.

Projeções analíticas

São aquelas que não

têm sentido

geométrico, em

conseqüência das leis

matemáticas

introduzidas, visando-

se conseguir

determinadas

propriedades.

Projeções convencionais

São as que se baseiam

em princípios

arbitrários, puramente

convencionais, em

função dos quais se

estabelecem suas

expressões

matemáticas.

Projeção de Mollweide.

Superfícies desenvolvíveis:

cone e cilindro

( c ) Quanto à superfície de projeção

Planas ou azimutais

(zenitais):

vértice do cone

pertence ao plano;

Desenvolvível:

Cônicas: serve de base

para as demais;

Cilíndricas: vértice do

cone está no infinito.

( d ) Quanto à situação da superfície de projeção

PV ou eixo;

Contato.

( d ) Quanto à situação da superfície de projeção

(PV ou eixo)

Planas (azimutais)

Polar

Equatorial ou meridiana

Horizontal ou oblíqua

Por desenvolvimento (cônicas e cilíndricas)

Normal ou equatorial

Transversal ou meridiana

Horizontal ou oblíqua

Planas, cônicas e cilíndricas Planas

Polar

Equatorial

Oblíqua

Cônicas

Normal

Transversa

Oblíqua

Cilíndrica

Equatorial

Transversa

Oblíqua

( d ) Quanto ao tipo de contato entre as superfícies de

projeção e de referência

Tangentes Secantes

( e ) Quanto às propriedades

Equidistantes (conservam as distâncias)

Meridianas (meridianos), transversais (paralelos), azimutais (ortodrômicas: círculos máximos)

Equivalentes (conservam as áreas)

Conformes (conservam as formas, os ângulos)

Afiláticas (não conservam nenhuma das propriedades anteriores)

Esfera-modelo

“e.m.” é uma esfera desenhada na escala da

projeção e que serve como construção auxiliar

para a obtenção das projeções geométricas;

Considera-se portanto a Terra esférica;

O raio da “e.m.” é o raio da Terra dividido

pelo módulo da escala (r = R/E);

É uma abordagem mais simples para iniciar

os estudos das projeções cartográficas.

Coeficiente de deformação (CD)

É a razão entre uma determinada grandeza na

projeção e a sua homóloga na “e.m.”;

CD = ab / a’b’ ; E = AB / a’b’

ab: dimensão na carta;

a’b’ = dimensão na “e.m.” = AB / E;

AB: dimensão na SFT;

ab = a’b’ CD = (AB CD) / E

Resumo

Um ponto na SFT e um ponto no PR.

Sistema de projeção (SP).

Natureza da deformação.

Representação e figuras de referência.

Mapa ideal e mapa possível (aproximado).

SFT => MRT => SP => PR (planim. e altimetria).

Projeções cartográficas e classificações.

Esfera-modelo (e.m.).

Coeficiente de deformação (CD).

Conclusão

A Cartografia evoluiu mesmo com a limitação intrínseca de oferecer uma representação apenas aproximada da superfície terrestre.

Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico criou condições para que o grau de aproximação tenha chegado a um nível de aceitação para as necessidades humanas.

Por isso, o seu valor foi reconhecido no passado e atualmente é uma ferramenta científica e tecnológica prática e indispensável para a tomada de decisão em um grande variedade de áreas de interesse da sociedade humana.

Até a próxima aula

Continuação do estudo das projeções

cartográficas e o Sistema UTM

Prof. João Fernando