Casos notáveis [ matemática ]
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Transcript of Casos notáveis [ matemática ]
Multiplicação de Monómios
22 3xy xy 22 3 xy xy22 3 x x y y
22 3 x x y y2 36 x y
2 36 x y
O Quadrado de um Monómio
22 34a b 2 3 2 34 4a b a b 2 2 3 34 4 a a b b
2 2 3 34 4 a a b b 4 616 a b
4 616a b
OU
22 34a b 2 22 2 34 a b 4 616 a b
4 616a b
5 3 4 x x
Multiplicação de um Monómio
por um Polinómio
5 3 5 4 x x x
215 20 x x
Geometricamente:
5x
3x
4
Área do rectângulo 5 3 4 x x
5 3 x x 215 20 x x5 4 x
3x
4
5x5x
Multiplicação de Polinómios
2 2 3a a 2 2 3 2 2 3a a a a 22 6 2 6a a a 22 8 6a a
Geometricamente:
2a
2 2 3a a Área do rectângulo
a
2
3
2a a
22 6 2 6a a a 22 8 6a a
222a2a
aa
33
2 3a 2 a 2 3
Casos Notáveis da Multiplicação
pode ser visto como o produto de 2 polinómios, então:
25x
25x 55 xx
25552 xxx
25102 xx
Temos 2 termos semelhantes que podemos simplificar
Já vimos que
Este quadrado de um binómio pode ser visto como a área de um quadrado de lado 5x
25 xAquadrado
Decompondo a figura a área é igual à soma das áreas de cada uma das figuras
2510
2555 2
2
xx
xxxA
25x
2x
x5 25
x5
Praticando
23x 223 yx
33 xx
9332 xxx
962 xx
yxyx 2323
22 4669 yxyxyx 22 4129 yxyx
Tenta descobrir uma lei que te permita escrever directamente o quadrado de um binómio!
a
b
a b
A B
D C
1) Observa a figura
1.1) Qual é a medida do comprimento do lado do quadrado [ABCD]?
A medida do lado é a + b
a
b
a b
A B
D C
1.2) E qual é a sua área?
A área é (a+b)(a+b)=(a+b)²
1.3) Recorta a figura pelo tracejado. Qual é a área de cada uma das figuras obtidas?
As figuras obtidas são dois quadrados de áreas a² e b² e dois rectângulos de área ab.
aba² b²ab
aba² b²ab
aba² b²ab
aba² b²ab
1.4) Estes quatro quadriláteros obtidos têm origem no quadrado original. Portanto a área do quadrado original é igual à soma das áreas destes quatro quadriláteros, ou seja,
2 2 2a b a ab ab b
ou ainda,
2 2 22a b a ab b
Esta fórmula é conhecida porFórmula do Quadrado do Binómio
Esta fórmula é um Caso Notável da Multiplicação
1.5) Vejamos o que acontece algebricamente. Sabemos que
2a b a b a b
Então, aplicando a propriedade distributiva, duas vezes, obtemos
2 2 2 2 22a b a b a b a ab ba b a ab b
2 2 22a b a ab b
Resulta daqui que:
Esta fórmula é conhecida porFórmula do Quadrado do Binómio
2)( ba ))(( baba 22 bbaaba
22 2 baba
2)( ba 22 2 baba
Repara que:
Quadrado de um binómio:a é o 1.º termo do binómiob é o 2.º termo do binómio
Quadrado do 1.º termo
Dobro do produto do 1.º termo pelo 2.º termo
Quadrado do 2.º termo
2.1)
Exemplos
2.2)
2.3)
2.4)
22x 2x 2 2x 22
23 1y 23y 2 3 1y 21
25x 2x 2 5x 2
5
22 3y 2
2y 2 2 3y 23
2x 4x 4
29y 6y 1
2x 10x 25
24y 912y
3.1) 2 2
2
22 11 1
2 1
x x x
x x
Exercícios
3.2) 2 2
2
22 2 2 4 4
4 16 16
2 4 x x
x
x
x
3.3) 22
2
22 9 9
1
9
8 81
y yy
y y
3.4) 2 2
2
2
2
5 53 2 3
2 25
32
30 259
2 425
9 154
y y
y y
y
y
y
2 2
2
22 11 1
2 1
x x x
x x
2 2
2
22 11 1
2 1
x x x
x x
55 xx 25552 xxx
252 xsimétricos
22 5x
O termo 25 pode ser escrito como um quadrado
55522 xxx
x
5 e 5 xx
Queremos mostrar que:
Pode ser visto como a área de um quadrado de lado
Pode ser visto como a área de um quadrado de lado 5
Pode ser visto como a área de um rectângulo de lados
55522 xxx
- =2x25
Vamos tentar manipular a figura para chegar ao resultado que queremos
5
x 5x
5xRecortando pelo tracejado
Deslocando o rectângulo
55 xx
))(( baba 22 bbaaba 22 ba
))(( baba 22 ba
Repara que:
Quadrado do 1.º termo
Quadrado do 2.º termo
1º 2º 1º 2º
O produto de dois binómios que só diferem no sinal de um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos.
)5)(5( xx
O sinal -, da diferença, fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente.
Exemplo:
22 5 x
Praticando
22 52 x254 2 x
22 63 x
5252 xx 6363 xx
369 2 x
4343 xx
22 43 x
169 2 x
6
3
26
3
2xx
22
63
2
x 36
9
4 2 x