Catarina Mendes - Biomecanica Da Coluna Lombar

103
Biomecânica da Coluna Lombar Catarina Spratley Vieira Mendes Dissertação do MIEM Orientadora: Luísa Maria Pimenta Abreu Costa Sousa Co-Orientadores: Renato Manuel Natal Jorge Marco Paulo Lages Parente Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Julho de 2013

description

Dissertação sobre a mecânica da coluna vertebral

Transcript of Catarina Mendes - Biomecanica Da Coluna Lombar

Biomecânica da Coluna Lombar

Catarina Spratley Vieira Mendes

Dissertação do MIEM

Orientadora: Luísa Maria Pimenta Abreu Costa Sousa

Co-Orientadores: Renato Manuel Natal Jorge

Marco Paulo Lages Parente

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Julho de 2013

Biomecânica da Coluna Lombar

ii

Biomecânica da Coluna Lombar

iii

Resumo

O conhecimento da cinemática da coluna lombar é uma ferramenta bastante importante

para várias aplicações clínicas, como para o desenvolvimento de novos implantes.

A presente dissertação tem como principal objetivo estudar o comportamento mecânico

da unidade funcional L4-L5 com patologia – espondilolistese – sujeito a diferentes tipos de

carga e respetivas condições de fronteira. Para o efeito criam-se dois modelos tridimensionais

em elementos finitos da unidade funcional L4-L5, um saudável e um patológico, e comparam-

se as diferentes respostas às cargas de cada um dos modelos.

Para a construção do modelo saudável utiliza-se uma geometria obtida através de uma

tomografia computorizada e convertida em ficheiros. stl que podem ser trabalhados em

softwares de pré-processamento e software de simulação, Abaqus.

Amacia-se a vertebra, excluindo algumas imperfeições existentes. Desenha-se a

geometria total da unidade funcional L4-L5, constituida pelas vertebras L4 e L5, disco

intervertebral (núcleo pulposo, anel e fibras), placas cartilagionosas, ligamentos e juntas

intervertebrais. No Abaqus/Cae cria-se uma malha de elementos finitos para cada

componente da unidade funcional e atribuem-se as respetivas propriedades mecânicas e

condições de fronteira.

Com o objetivo de simular os diversos movimentos da coluna são definidas solicitações,

forças e momentos adequados: compressão, flexão, extensão, flexão lateral e torção. Para tal

o modelo é simulado usando o Abaqus/Explicit.

Com a finalidade de se comparar o comportamento mecânico das duas unidades

funcionais, calculam-se os deslocamentos máximos e as tensões máximas verifcadas no disco

intervertebral.

Neste estudo, verifica-se que o disco intervertebral da unidade funcional L4-L5 não

saudável está mais sujeito à tensão e, como tal, produz uma deformação maior, quando

comparado com o disco da unidade saudável.

Pode-se então concluir que a unidade funcional com patologia tem uma maior

probabilidade de lesões do disco, podendo assim ocorrer a formação de hérnias discais.

Palavras-Chave:

Biomecânica, Método dos Elementos Finitos, Coluna Lombar, Vértebras L4-L5, Disco

Intervertebral, Espondilolistese

Biomecânica da Coluna Lombar

iv

Biomecânica da Coluna Lombar

v

Biomechanics of Lumbar Spine

Abstract

The knowledge of the kinematics of lumbar spine is a very important tool for many clinical

applications and for the development of new implants.

The present dissertation has the main objetive to study the mechanical behavior of a

functional spine unit L4-L5 with pathology – spondylolisthesis – under different loads and their

boundary conditions. For this effect, two tridimensional finite element models of the

functional unit L4-L5 are created, one healthy and one pathological, and then compares the

different responses to the loads conditions.

To build the healthy model, a geometry obtained from a CT scan is used and converted

into .stl files that can be worked in the pre-processing softwares and in simulation software

Abaqus.

The vertebrae is smoothed, eliminating some imperfections. The total geometry of the

spinal unit L4-L5 – L4 and L5 vertebrae, intervertebral disc (nucleus pulpous, annulus fibrosus

and fibres), endplates, ligaments and facet joint are drawn. In Abaqus/Cae a mesh is created

for each component of the unit spine and is assigned the mechanical properties and boundary

conditions.

With the goal to simulate the movements of the spine under defined solicitations, forces

and moments, such as: compression, flexion, extension, lateral bending and torsion. For this is

used Abaqus/Explicit.

In order to compare the mechanical behaviou of the two units, is calculated the maximum

displacement and tensions in the intervertebral disc.

In this study, is confirmed that the intervertebral disc of the spinal unit L4-L5 non healthy

is more subject to tension and then, a bigger displacement is produced, when compared to a

disc in a healthy unit.

We can conclude that the functional spinal unit with pathology has more probability for

injuries of the disc, thus causing the formation of disc herniation.

Keywords:

Biomechanics, Finite Elements Method, Lumbar Spine, Vertebrae L4-L5, Intervertebral

Disc, Spondylolisthesis

Biomecânica da Coluna Lombar

vi

Biomecânica da Coluna Lombar

vii

Agradecimentos

Ao terminar esta tese desejo agradecer a todas as pessoas e entidades que contribuíram

direta ou indiretamente para o meu estudo.

Agradeço à minha orientadora, a Professora Doutora Luísa Sousa, por toda a

disponibilidade, compreensão e cuidado ao longo de todo o trabalho.

Ao Professor Doutor Renato Natal, meu co-orientador, por toda a disponibilidade, ajuda e

compreensão dos conceitos ao longo da simulação e resultados obtidos.

Um agradecimento especial ao meu co-orientador Engenheiro Doutor Marco Parente por

toda a ajuda, recetividade e paciência no ensino dos softwares de cálculo numérico, e também

à sua boa disposição e disponibilidade.

Agradeço ao Dr. Maia Gonçalves, médico ortopedista, por nos receber e explicar as várias

patologias existentes na coluna lombar, assim como os diversos termos e comportamentos

clínicos de uma coluna vertebral.

À Engenheira Teresa Duarte por todas as “palmadinhas nas costas”, apoio e carinho

mostrados durante este último ano letivo.

Aos meus amigos por toda a paciência que tiveram para me aturar nos meus momentos

mais stressantes e “resmungões” e por me ajudarem a descontrair sempre que foi necessário.

À minha família, em especial à minha Mãe, pelo seu silencioso apoio, mas que sei que

existe sempre, e ao Zé pela leitura atenta da tese.

Biomecânica da Coluna Lombar

viii

Biomecânica da Coluna Lombar

ix

Simbologia

Módulo de proporcionalidade entre tensão e extensão

Módulo de elasticidade

Tensor de deformação

Invariante do argumento

Número inteiro positivo que controla o número de termos da série

Primeiro tensor de Piola-Kirchhoff

Tensões principais de Piola-Kirchhoff

Tensor ortogonal qualquer

Segundo tensor de Piola-Kirchhoff

Tensor diagonal

Multiplicador de Lagrange

Constantes adimensionais

Dissipação interna

Extensão

Alongamentos principais

Módulos de corte

Coeficiente de Poisson

Tensão

Tensões princiapis de Cauchy

Tensor de tensões

Função de energia livre de Helmholt (ou energia de deformação ou energia

armazenada

( )

Gradiente de

( ) Energia de deformação

Biomecânica da Coluna Lombar

x

Biomecânica da Coluna Lombar

xi

Índice

Capítulo 1: Introdução ............................................................................................... 1

1.1 Prefácio e Objetivos ................................................................................................... 1

1.2 Breve Introdução à Coluna Vertebral .......................................................................... 3

1.3 Enquadramento do Projeto no Dia-a-Dia .................................................................... 4

1.3.1 A Engenharia e a Medicina – A Biomecânica ............................................................... 4

1.4 Estrutura da Dissertação ............................................................................................ 6

Capítulo 2: Modelos Hiperelásticos .................................................................... 7

2.1 Comportamento Linear-Elástico ................................................................................. 8

2.2 Materiais Hiperelásticos – O Que é a Hiperelasticidade? ............................................. 9

2.3 Formas Equivalentes de Energia de Deformação ....................................................... 11

2.4 Formas Reduzidas das Equações Constitutivas .......................................................... 12

2.5 Trabalho Realizado por Materiais Hiperelásticos....................................................... 13

2.6 Materiais Isotrópicos Hiperelásticos ......................................................................... 13

2.7 Materiais Hiperelásticos Incompressíveis ................................................................. 14

2.8 Hiperelasticidade Isotrópica Incompressível ............................................................. 15

2.9 Formas da Função Energia de Deformação ............................................................... 15

2.9.1 Modelo de Ogden para Materiais Incompressíveis .................................................... 16

2.9.2 Modelos de Mooney-Rivlin e neo-Hookean para Materiais Incompressíveis .............. 17

Capítulo 3: A Coluna Vertebral ............................................................................ 19

3.1 A Perspetiva Biomecânica ........................................................................................ 19

Biomecânica da Coluna Lombar

xii

3.2 A Perspetiva Anatómica da Coluna Vertebral: Componentes e Suas Funções ............. 20

3.2.1 As Vértebras ............................................................................................................ 21

3.2.2 As Juntas Intervertebrais.......................................................................................... 23

3.2.3 Os Músculos ............................................................................................................ 23

3.2.4 Os Ligamentos ......................................................................................................... 23

3.2.5 Os Discos Intervertebrais ......................................................................................... 24

3.2.6 O Orifício Vertebral .................................................................................................. 27

3.3 Os Movimentos da Coluna Vertebral ........................................................................ 28

3.4 A Biomecânica da Coluna Lombar ............................................................................. 29

3.5 Degeneração e Envelhecimento dos Discos – Patologias ........................................... 31

Capítulo 4: O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos ...................... 35

4.1 As Vértebras L4 e L5 ................................................................................................. 36

4.2 O Disco Intervertebral e as Placas Terminais ............................................................. 38

4.3 Os Ligamentos ......................................................................................................... 39

4.4 As Juntas Intervertebrais.......................................................................................... 40

4.5 Propriedades Mecânicas dos Vários Constituintes da Coluna Vertebral ..................... 43

4.6 Condições de Fronteira ............................................................................................ 44

4.7 Condições de Carga .................................................................................................. 45

4.8 Construção da Unidade Funcional com Espondilolistese ............................................ 46

Capítulo 5: Resultados e Análise ......................................................................... 49

5.1 Validação do Modelo Tridimensional de Elementos Finitos ....................................... 49

5.2 Comportamento Mecânico da Unidade Funcional da Coluna L4-L5 para Diferentes

Tipos de Carga Aplicados .......................................................................................... 54

5.2.1 – Compressão ............................................................................................................. 54

Biomecânica da Coluna Lombar

xiii

5.2.2 – Extensão/Flexão ....................................................................................................... 57

5.2.3 – Flexão Lateral ........................................................................................................... 62

5.2.4 – Torção ...................................................................................................................... 65

5.3 Análise Mecânica de Resultados ............................................................................... 68

5.4 Análise Clínica de Resultados ................................................................................... 69

Capítulo 6: Conclusões e Trabalhos Futuros ................................................. 71

Capítulo 7: Referências Bibliográficas .............................................................. 73

ANEXOS .......................................................................................................................... 79

Biomecânica da Coluna Lombar

xiv

Biomecânica da Coluna Lombar

xv

Índice de Figuras

Capítulo 1: Introdução

Figura 1. 1: Planos anatómicos principais do corpo humano ....................................................................... 3

Capítulo 2: Modelos Hiperelásticos

Figura 2. 1: Ensaio uniaxial ........................................................................................................................... 8

Figura 2. 2: Curva tensão nominal vs. deformação nominal - Ensaio Uniaxial ........................................... 17

Figura 2. 3: Curva tensão nominal vs. deformação nominal - Ensaio Biaxial ............................................. 18

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

Figura 3. 1: Anatomia da unidade funcional ............................................................................................... 20

Figura 3. 2: A coluna vertebral e os principais componentes que a constituem ........................................ 21

Figura 3. 3: Elementos vertebrais ............................................................................................................... 22

Figura 3. 4: Juntas intervertebrais .............................................................................................................. 23

Figura 3. 5: Principais ligamentos da coluna vertebral ............................................................................... 24

Figura 3. 6: Representação esquemática do disco intervertebral .............................................................. 25

Figura 3. 7: Cartoon exemplificador do trabalho do núcleo ....................................................................... 26

Figura 3. 8: Disco intervertebral ................................................................................................................. 26

Figura 3. 9: Composição do cisco ............................................................................................................... 26

Figura 3. 10: Orifício vertebral .................................................................................................................... 27

Figura 3. 11: Esquema simplificado dos vários tipos movimentos e esforços na coluna vertebral ........... 28

Figura 3. 12: Movimento de compressão aplicado no disco intervertebral ............................................... 30

Figura 3. 13: Movimento de tração aplicado no disco intervertebral ........................................................ 30

Figura 3. 14: Movimento de corte aplicado no disco intervertebral .......................................................... 30

Figura 3. 15: Movimento de flexão aplicado no disco intervertebral ........................................................ 31

Figura 3. 16: Movimento de torção aplicado no disco intervertebral ........................................................ 31

Figura 3. 17: Escoliose lombar em "C" ........................................................................................................ 32

Figura 3. 18: Espondilolise .......................................................................................................................... 32

Figura 3. 19: Estenose espinal .................................................................................................................... 32

Figura 3. 20: Hérnia discal .......................................................................................................................... 33

Figura 3. 21: Espondilolistese ..................................................................................................................... 33

Capítulo 4: O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

Figura 4. 1: Vértebra L4 antes do amaciamento ........................................................................................ 36

Figura 4. 2: Vértebra L4 depois do amaciamento ...................................................................................... 36

Figura 4. 3: Vértebra L5 antes do amaciamento ........................................................................................ 37

Figura 4. 4: Vértebra L5 depois do amaciamento ...................................................................................... 37

Figura 4. 5: Malha das vértebras L4-L5 ....................................................................................................... 37

Figura 4. 6: Malha do disco intervertebral L4-L5 ........................................................................................ 38

Figura 4. 7: Malha das placas cartilaginosas ............................................................................................... 38

Figura 4. 8: Camadas 1-2 e 7-8 das fibras de colagénio ............................................................................. 39

Figura 4. 9: Representação dos ligamentos - Vista de frente e vista lateral .............................................. 40

Figura 4. 10: Malha das juntas intervertebrais ........................................................................................... 40

Figura 4. 11: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista lateral no plano YZ ........................ 41

Figura 4. 12: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista de cima no plano XY ...................... 41

Figura 4. 13: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista de frente no plano XZ.................... 42

Figura 4. 14: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista de trás no plano ZX ....................... 42

Figura 4. 15: Malha do modelo patológico - ABAQUS – vista lateral no plano YZ ...................................... 46

Biomecânica da Coluna Lombar

xvi

Capítulo 5: Resultados e Análise

Figura 5. 1: Força axial de compressão vs. deslocamento axial ................................................................. 52

Figura 5. 2: Força axial de compressão vs. "barriga" do disco.................................................................... 52

Figura 5. 3: Imagem em corte das placas - 2º Caso - 6º Caso ..................................................................... 53

Figura 5. 4: Nó onde é medido a protuberância do disco intervertebral ................................................... 54

Figura 5. 5: Nó onde é medido deslocamento axial máximo ..................................................................... 54

Figura 5. 6: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável - Modelo de carga:

Compressão ....................................................................................................................................... 55

Figura 5. 7: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica - Modelo de carga:

Compressão ....................................................................................................................................... 55

Figura 5. 8: Força vs. Deslocamento - Compressão .................................................................................... 56

Figura 5. 9: Força v. "Barriga" do Disco - Compressão ............................................................................... 56

Figura 5. 10: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e patológico, respetivamente -

Modelo de carga: Compressão .......................................................................................................... 57

Figura 5. 11: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável - Modelo de carga:

Extensão ............................................................................................................................................ 58

Figura 5. 12: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica - Modelo de carga:

Extensão ............................................................................................................................................ 58

Figura 5. 13: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável - Modelo de carga:

Flexão ................................................................................................................................................. 59

Figura 5. 14: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica - Modelo de carga:

Flexão ................................................................................................................................................. 59

Figura 5. 15: Ângulo de Rotação vs. Momento - Extensão/Flexão ............................................................. 60

Figura 5. 16: Momento vs. "Barriga" do Disco - Extensão/Flexão .............................................................. 60

Figura 5. 17: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e patológico, respetivamente -

Modelo de carga: Extensão ............................................................................................................... 61

Figura 5. 18: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e patológico, respetivamente -

Modelo de carga: Flexão.................................................................................................................... 61

Figura 5. 19: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável – Modelo de carga:

Flexão Lateral ..................................................................................................................................... 62

Figura 5. 20: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica – Modelo de

carga: Flexão Lateral .......................................................................................................................... 63

Figura 5. 21: Ângulo de rotação vs. momento - Flexão Lateral .................................................................. 63

Figura 5. 22: Momento vs. "Barriga" do disco - Flexão Lateral .................................................................. 64

Figura 5. 23: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável – Modelo de carga: Flexão

Lateral ................................................................................................................................................ 64

Figura 5. 24: Distribuição de tensão mínima principal no disco patológico – Modelo de carga: Flexão

Lateral ................................................................................................................................................ 65

Figura 5. 25: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável – Modelo de carga:

Torção ................................................................................................................................................ 66

Figura 5. 26: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional patológico – Modelo de

carga: Torção ..................................................................................................................................... 66

Figura 5. 27: Momento vs. "Barriga" do disco - Torção .............................................................................. 67

Figura 5. 28: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável – Modelo de carga: Torção ...... 67

Figura 5. 29: Distribuição de tensão mínima principal no disco patológico – Modelo de carga: Torção ... 68

Biomecânica da Coluna Lombar

xvii

Índice de Tabelas

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

Tabela 4. 1: Propriedades Mecânicas das Vértebras .................................................................................. 43

Tabela 4. 2: Propriedades Mecânicas das Juntas Intervertebrais .............................................................. 43

Tabela 4. 3: Propriedades Mecânicas dos Ligamentos ............................................................................... 43

Tabela 4. 4: Propriedades Mecânicas do Disco Intervertebral ................................................................... 44

Tabela 4. 5: Forças e Momentos Utilizados no Modelo de Elementos Finitos ........................................... 45

Capítulo 5: Resultados e Análise

Tabela 5. 1: Propriedades Modelo Elástico – 1º Caso ................................................................................ 50

Tabela 5. 2: Propriedades do Disco - 2º Caso ............................................................................................. 50

Tabela 5. 3: Propriedades do Disco - 3º Caso ............................................................................................. 51

Tabela 5. 4: Propriedades do Disco - 4º Caso ............................................................................................. 51

Tabela 5. 5: Propriedades do Disco - 5º Caso ............................................................................................. 51

Tabela 5. 6: Propriedades do Disco - 6º Caso ............................................................................................. 51

Biomecânica da Coluna Lombar

xviii

Biomecânica da Coluna Lombar

1

Capítulo 1 Introdução

1.1 Prefácio e Objetivos

Esta dissertação de mestrado foi realizada no âmbito do curso de Mestrado Integrado em

Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, do ramo Projeto

Construção Mecânica e tem por objetivo o estudo das alterações mecânicas da coluna

vertebral com patologia.

A dor lombar é uma das patologias mais comum e representa um dos mais altos custos

para o bem-estar do ser humano. Esta dor pode afetar o paciente durante anos ficando

incapacitado de realizar certas tarefas, e muitas vezes sem uma explicação de causa. Alguns

autores como Deyo and Weinstain (2001) explicam que a lombalgia idiopática pode surgir

devido à degeneração mecânica de algum componente da estrutura da coluna (discos,

ligamentos, juntas intervertebrais) (Moramarco et al. 2010).

Na maior parte dos casos, a cirurgia é a única solução eficaz para resolver o problema.

Apesar de já existir a tomografia computorizada (TC) e a ressonância magnética, que permitem

ao médico de observar o estado atual da degeneração estrutural do paciente, não é possível

prever o comportamento da coluna. Por esta razão, o tratamento ortopédico é essencialmente

escolhido baseado na experiencia do cirurgião, que procura a melhor situação para cada

paciente (Moramarco et al. 2010).

O uso de modelos matemáticos e simulações computacionais é uma importante

ferramenta de apoio e decisão clínica. Estes permitem analisar o comportamento do

movimento do segmento lombar do paciente, tornando assim possível encontrar as melhores

soluções para a situação em causa.

Capítulo 1: Introdução

2

Nos últimos anos, vários modelos em elementos finitos da coluna lombar foram criados,

muitos deles com o objetivo específico de criar uma prótese vertebral para um certo problema

particular, mas não foram projetados para simular o comportamento do segmento lombar de

uma coluna saudável.

O objetivo do presente estudo é a análise numérica, pelo método dos elementos finitos,

dos movimentos fisiológicos da unidade funcional L4-L5 da coluna lombar humana em

pacientes saudáveis e em pacientes com coluna patológica – espondilolistese.

Para tal é preciso criar um modelo em elementos finitos da unidade funcional L4-L5 da

coluna lombar saudável que seja capaz de prever as rotações relativas entre este par de

vértebras sob uma carga específica, e também poder simular a não-linearidade dos

movimentos. Após a criação do modelo numérico tridimensional da unidade funcional L4-L5

saudável simula-se a mesma unidade mas em condições patológicas de espondilolistese.

Para este projeto definiram-se algumas etapas a desenvolver sequencialmente:

A primeira etapa consistiu numa pesquisa bibliográfica da anatomia das vértebras L4 e L5,

do disco intervertebral e dos respetivos ligamentos da unidade funcional, bem como as

características da espondilolistese.

Conhecida a estrutura da unidade funcional L4-L5 tentou-se perceber a melhor maneira

de simular pelo método dos elementos finitos o modelo saudável, usando o software

Abaqus/Cae, conhecendo as propriedades mecânicas de cada componente e respetivas

condições de carregamento.

Assim, criado o modelo tridimensional, este foi validado usando dados experimentais

recolhidos na bibliografia.

Validado o modelo, passou-se para a simulação do modelo com patologia.

Por fim, compararam-se os dois modelos relativamente ao deslocamento axial, a

protuberância do disco intervertebral e a distribuição de tensão ao longo da unidade funcional.

Assim, definiram-se os seguintes objetivos genéricos para este trabalho:

- Efetuar uma pesquisa bibliográfica da anatomia da coluna lombar;

- Executar uma pesquisa científica referente à simulação do modelo tridimensional da

unidade funcional e respetivas propriedades mecânicas;

- Desenvolver o modelo saudável e com patologia das vértebras L4 e L5 em elementos

finitos;

- Validar a simulação das vértebras saudáveis;

- Comparar os vários resultados obtidos para o modelo saudável e para o modelo com

espondilolistese.

Biomecânica da Coluna Lombar

3

1.2 Breve Introdução à Coluna Vertebral

Qualquer movimento do corpo, como o ato de sentar, levantar ou correr, envolve o

sistema esquelético. Este confere forma ao corpo humano e protege os vários tecidos moles e

os órgãos internos. O esqueleto humano é constituído por tecidos vivos dinâmicos com a

capacidade de crescerem e de se adaptarem por si próprios, em caso de lesão.

O sistema esquelético pode ser dividido em 3 planos anatómicos principais subdivididos

em duas direções cada um: coronal ou frontal (posterior e anterior) – laranja -, transversal

(superior e inferior) – verde - e sagital (esquerdo e direito) – azul - (Rodrigues 2012).

Na figura 1.1 pode-se verificar os 3 planos anatómicos principais e os eixos coordenados x,

y e z adotados no modelo tridimensional de elementos finitos.

Figura 1. 1: Planos anatómicos principais do corpo humano (Rodrigues 2012)

A unidade funcional da coluna é composta por duas vértebras adjacentes, que se

articulam entre si através das superfícies articulares, o disco intervertebral e todos os

ligamentos adjacentes entre si, excluindo os tecidos de ligação, tais como os músculos.

A dor lombar é uma patologia comum na população. A zona lombar é a parte mais

vulnerável da coluna uma vez que ambas as cargas de compressão e da mobilidade da coluna

vertebral são máximas nesta área. Apesar do grande número de fatores associados ao

desenvolvimento das lombalgias, o disco intervertebral tem sido apontado como uma das

principais estruturas envolvidas na etiologia das dores lombares (Dezan 2005).

Capítulo 1: Introdução

4

O disco intervertebral é constituído em duas partes: o núcleo pulposo e o anel fibroso. O

anel é constituído por uma rede organizada de fibras de colagénio embebida num gel de

proteoglicanos e água, de modo que o fluído amorfo do núcleo pulposo seja limitado pelas

fibras do anel fibroso (Schröder 2008).

Na maioria das pessoas, a dor lombar tem causas mecânicas. As patologias da coluna

podem ser classificadas em dois tipos distintos: as que afetam toda a coluna vertebral, e,

geralmente estão associadas com uma curvatura anormal da mesma, e as que afetam os

discos intervertebrais (Dezan 2005).

Infelizmente, nem todas as lesões no esqueleto humano, sejam elas provocadas por um

acidente, patologia ou envelhecimento, podem ser reparadas pelo próprio organismo, sendo

assim necessária intervenção cirúrgica especializada.

1.3 Enquadramento do Projeto no Dia a Dia

1.3.1 A Engenharia e a Medicina – A Biomecânica

A Biomecânica, palavra surgida durante os anos 1970, relaciona a Engenharia Mecânica

com sistemas biológicos e médicos. Etimologicamente a palavra Biomecânica deriva do prefixo

“bio”, de biológico, referente a seres vivos, e mecânica. Ou seja, a biomecânica é a aplicação

dos princípios da mecânica aos seres vivos (Barbosa 2008).

A Biomecânica estuda a estrutura e funcionamento de sistemas biológicos, os seres

humanos, animais, plantas, órgãos e células por meio dos métodos da mecânica. A

Biomecânica interna preocupa-se com a determinação das forças internas e as consequências

resultantes dessas forças, o estudo de biomateriais, do sistema esquelético, nervoso e

muscular. Já a biomecânica externa representa os parâmetros de determinação qualitativa ou

quantitativa referentes às mudanças de lugar e de posição do corpo, ou seja, refere-se às

características do movimento, a cinética e a cinemática, e estuda as forças que atuam sobre os

corpos (Knudson 2007, Hatze 1974).

A Biomecânica está relacionada e integrada na Engenharia. Para o seu estudo são

necessários conhecimentos em 3 áreas: Anatomia, Fisiologia e Mecânica. A Anatomia é a

ciência que estuda as formas e as estruturas dos seres vivos. A Fisiologia estuda o

funcionamento de todas as partes do organismo vivo. E a Mecânica é a ciência que descreve as

condições de repouso ou de movimento de corpos sob a ação de forças. Distinguem-se vários

ramos na Mecânica: a Estática, que estuda os estados de movimento constante, e a Dinâmica,

que estuda os sistemas em movimento através da cinética e da cinemática. A cinética estuda

as forças associadas ao movimento do corpo enquanto a cinemática estuda o movimento de

um corpo em relação ao tempo, a sua trajetória, velocidade e aceleração (Barbosa 2008).

Algumas aplicações da mecânica newtoniana e/ou ciências dos materiais podem ajudar

em aproximações corretas para a mecânica de muitos sistemas biológicos. Com a mecânica

aplicada, mais propriamente a análise estrutural, cinemática e dinâmica, a análise de

Biomecânica da Coluna Lombar

5

mecanismos e de sistemas contínuos, podem-se desenvolver estudos mais exatos no âmbito

da biomecânica (Barbosa 2008).

Os sistemas biológicos são normalmente mais complexos do que os sistemas que o

homem constrói. Para o seu estudo existem os métodos numéricos, por exemplo o Método

dos Elementos Finitos, usados em quase todos os estudos biomecânicos. Este método de

investigação é um processo iterativo de hipóteses e verificação, com várias etapas de

modelação, simulação computacional e medições experimentais (Knudson 2007, Hatze 1974).

Campos de Estudo da Biomecânica:

- Dinâmica de corpos macios;

- Cinesiologia (cinética + fisiologia);

- Locomoção Animal e Análise da Marcha

- Biomecânica ortopédica e músculo-esquelética;

- Biomecânica cardiovascular;

- Implante (medicina) e Próteses;

- Lesões Desportivas, Degeneração;

O estudo da biomecânica vai desde o funcionamento interno de uma célula até ao

movimento e desenvolvimento dos membros, tendo em conta as propriedades mecânicas dos

tecidos moles e dos ossos. À medida que se desenvolve o conhecimento do comportamento

fisiológico dos tecidos vivos, os investigadores têm podido avançar cada vez mais no campo da

engenharia biológica, assim como têm desenvolvido tratamentos para uma grande variedade

de patologias.

A Biomecânica é também aplicada no estudo do sistema músculo-esquelético do ser

humano. Esta pesquisa utiliza ensaios para estudar as forças exercidas no solo pelos

movimentos do ser humano. A Biomecânica é ainda utilizada na indústria ortopédica para

projetar implantes ortopédicos para articulações humanas, próteses dentárias, e muitas outras

finalidades médicas.

A Engenharia Mecânica compreende uma vasta área cujas aplicações mais comuns e

conhecidas são geralmente relacionadas com a área industrial e a conceção e análise de

estruturas. Os ossos do corpo humano comportam-se como estruturas sujeitas a vários tipos

de esforços. O pé humano é uma estrutura complexa com mais de 20 ossos destinada a

suportar o peso do corpo; é também uma das regiões do corpo que mais alterações

anatómicas sofrem, devido à deformação do arco longitudinal medial durante a fase de apoio

(Cavanagh and Rodgers 1987). O arco longitudinal medial (ALM) realiza funções essenciais na

biomecânica do pé, como ação de suporte e absorção de impactos durante a marcha (Morioka

et al. 2005). Sendo assim, é muito vantajoso aplicar o conhecimento da engenharia ao

esqueleto humano, a fim de prever e prevenir patologias, envelhecimento e acidentes.

Capítulo 1: Introdução

6

1.4 Estrutura da Dissertação

Perante os objetivos propostos e os meios necessários para os atingir, este trabalho

divide-se em duas partes.

Na 1ª parte – Pesquisa Bibliográfica – abordam-se os seguintes temas:

- “Estado da Arte” da Mecânica dos Sólidos Não-Linear, com destaque aos modelos

hiperelásticos;

- “Estado da Arte” da anatomia e fisiologia da coluna vertebral e de algumas patologias.

O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica sobre a mecânica dos sólidos não-linear

e das propriedades dos modelos hiperelásticos.

De acordo com o que foi exposto acima, esta pesquisa teve como principal objetivo

prático aprofundar os conhecimentos da medicina e da mecânica da coluna vertebral, que são

apresentadas no capítulo 3.

Na 2ª parte – Simulação dos Modelos – referem-se os temas seguintes:

- Construção do modelo numérico da unidade funcional L4-L5 saudável;

- Construção do modelo numérico da unidade funcional L4-L5 com espondilolistese;

- Validação do modelo numérico da unidade funcional L4-L5 saudável;

- Simulação, análise e discussão dos resultados;

- Principais conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

No capítulo 4 apresentam-se as várias etapas para a construção e simulação do modelo

saudável: as vértebras L4 e L5, o disco intervertebral e as placas cartilaginosas, os ligamentos e

as juntas intervertebrais. Referem-se também as propriedades mecânicas escolhidas, as

condições de carregamento e as condições de fronteira. Por fim a construção do modelo com

patologia é apresentada.

No capítulo 5 valida-se o modelo tridimensional da unidade funcional saudável, referindo-

se os casos de carga aplicados e apresentam-se os vários resultados; neste capítulo ainda se

compara o comportamento da unidade funcional saudável com a unidade funcional com

espondilolistese.

Por fim, no capítulo 6 e último, são explicitadas as observações feitas no decorrer do

trabalho e retiradas as respetivas conclusões deste.

Biomecânica da Coluna Lombar

7

Capítulo 2 Modelos Hiperelásticos

Este capítulo teve por base os trabalhos de Lúcia Dinis (Dinis 2005b, Dinis 2005a),

(Holzapfel 2000, Zienkiewicz and Taylor 2000), (Lourenço 1999), (Ribeiro et al. 2012), (Hoss

2009) e (Vieira, Leal, and Silveira 2010).

Em muitas aplicações práticas, a consideração de um comportamento linear elástico para

o material impede a obtenção de uma avaliação precisa da solução, devido à presença de

efeitos não lineares e à própria geometria.

O comportamento não-linear de sólidos assume duas formas: a não-linearidade do

material e não-linearidade da geometria. A forma mais simples de um comportamento não-

linear verifica-se quando a tensão não é proporcionalmente linear à deformação. Ou então

quando situações de carga e descarga não respondem de igual forma (Zienkiewicz and Taylor

2000).

Quando a deformação atinge um estado em que o sólido deformado e não deformado é

substancialmente diferente, ocorre um estado de deformação finita. Neste caso, já não é

possível obter uma curva de tensão-deslocamento linear (Zienkiewicz and Taylor 2000).

A deformação de um sólido ocorre em consequência da aplicação de forças de superfície

e de volume ao sólido em questão. Estas forças são transmitidas ao sólido sendo essa

transmissão regida pelas leis de Newton de conservação do momento linear e angular, as quais

conduzem às chamadas equações de equilíbrio estático de forças e momentos (Zienkiewicz

and Taylor 2000).

Para efeitos de quantificação do modo como ocorre a transmissão de forças no interior de

um sólido, é necessário introduzir a noção de tensão, é fundamental para a Mecânica dos

Capítulo 2: A Mecânica dos Sólidos Não-Linear

8

Sólidos, representando a grandeza por excelência a ser considerada na quantificação das

forças de transmissão no interior de um sólido (Dinis 2005a).

As tensões são grandezas quantificadoras dos esforços transmitidas de ponto para ponto

num sólido sujeito a ações exteriores e são utilizadas no estabelecimento do estado de tensão

num ponto de um sólido no espaço tridimensional.

As grandezas quantificadores da ação e da deformação, tensões e deformações,

respetivamente, relacionam-se através de leis, as chamadas leis constitutivas. O modo como

estas grandezas se relacionam entre si depende do material. Em geral, pode agrupar-se o

comportamento dos materiais em modelos constitutivos que incluem um ou mais

comportamentos: Elasticidade, Plasticidade, Viscoelasticidade, Viscoplasticidade e outros

(Dinis 2005a).

Os comportamentos elásticos distinguem-se dos comportamentos ditos não elásticos e,

por vezes, referidos como comportamentos não lineares, pelo facto dos comportamentos

elásticos estarem associados à retoma da forma inicial no processo de descarga. Quando um

material tem comportamento não-linear, após a descarga o material não retorna ao estado

inicial (Zienkiewicz and Taylor 2000, Dinis 2005a).

O comportamento elástico pode ser linear e não linear; os materiais cujo comportamento

é linear elástico durante o processo de carregamento são tidos como mais fiáveis em termos

estruturais.

Robert Hooke (1678) é referido como o precursor da Teoria da Elasticidade estabelecida

com base na existência de linearidade na relação entre as tensões e deformações, mas foi

apenas em em 1807 que Thomas Young e estabeleceu o famoso módulo de proporcionalidade

entre tensões e deformações, conhecido como módulo de Young (Dinis 2005a).

2.1 Comportamento Linear-Elástico

Na Teoria da Elasticidade Linear, a relação entre tensões e deformações para cargas não

muito elevadas é em geral linear para a maioria dos materiais, sendo as deformações durante

o processo de carregamento também consideradas lineares (Zienkiewicz and Taylor 2000).

Os ensaios mais simples que se podem efetuar são em modelos uniaxiais, a partir dos

quais se estabelece uma relação entre tensões de deformações, como se apresenta na figura

2.1.

Figura 2. 1: Ensaio uniaxial (Dinis 2005a)

Biomecânica da Coluna Lombar

9

Atendendo à curva representada na figura 2.1, a relação entre a grandeza tensão σ e

deformação ε é linear:

Esta relação pode ser generalizada para sólidos tridimensionais. No caso de se admitir a

existência de uma função energia de deformação a partir da qual se pode calcular a

tensão, σ, por diferenciação da energia da deformação em relação à deformação, ou seja:

Integrando do estado inicial até ao estado final , obtém-se:

Nestas condições, a mudança de estado de tensão entre e é só função da energia de

deformação dos dois estados e não função do percurso entre eles. Um material assim definido

é dito hiperelástico.

No caso do problema uniaxial, sendo o módulo de proporcionalidade entre e , a

energia de deformação é obtida através das relação entre as equações 2.1 e 2.2:

O conceito de energia de deformação é facilmente generalizável para sólidos

tridimensionais.

2.2 Materiais Hiperelásticos – O Que é a Hiperelasticidade?

O desenvolvimento da biomecânica tornou atual a necessidade do estudo do

comportamento mecânico de materiais biológicos. Alguns materiais biológicos, como os

tecidos moles, têm um comportamento não linear hiperelástico, daí a importância do

conhecimento dos seus modelos constitutivos.

Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é um modelo material (ou modelo

constitutivo) em que a relação tensão vs. deformação é reversível (seja esta relação linear ou

não), em que o estado de tensão em cada momento depende apenas do estado de

deformação naquele momento (e eventualmente da temperatura), mas não da historia da

deformação. No entanto, um modelo material elástico não garante que o trabalho feito pelo

campo de tensões durante um certo intervalo de tempo seja independente do percurso.

2.2

2.4

2.3

2.1

Capítulo 2: A Mecânica dos Sólidos Não-Linear

10

Se a lei constitutiva , sendo o tensor das deformações, puder ser expressa na

forma

, isto é, se a função de energia de deformação existir, então podemos provar

(com base na segunda lei da termodinâmica) que o trabalho feito pelo campo de tensões

durante um certo intervalo de tempo é independente do percurso.

Os materiais hiperelásticos também são chamados super-elásticos, perfeitamente

elásticos ou Green-elásticos. São modelos materiais elásticos para grandes deformações.

Formalmente, um material hiperelastico postula a existência de uma função de energia

livre de Helmholtz (ou energia de deformaçao ou energia armazenada) tal que:

ou

A energia livre de Helmholtz é definida por unidade de volume na configuração de

referência, e não por unidade de massa. É uma grandeza que mede a parcela de energia

interna de um sistema passível de ser utilizada na forma de trabalho: à temperatura constante

a variação da energia livre de Helmholtz encontra-se diretamente associada ao trabalho total

realizado pelo sistema sobre sua vizinhança.

Dada a segunda lei da termodinâmica, o conceito deriva da verificação que nem toda a

energia interna de um sistema é passível de produzir trabalho visto que uma parcela desta

energia se encontra diretamente associada à entropia do sistema.

Se , isto é, a energia livre de Helmholtz é apenas função de (ou outro

tensor de deformação, para além da posição do ponto material), então também é chamada

energia de deformação ou energia armazenada:

Material heterogéneo:

Material homogéneo:

Por definição de , usando a equação 2.5, e usando a relação do tensor das tensões de

Cauchy , obtemos:

(

)

ou (

)

As equações 2.5 e 2.6 são designadas equações constitutivas ou equações de estado. Elas

estabelecem um modelo base para uma aproximação ao comportamento de um material.

Como é observável, as equações constitutivas derivam de uma função de energia, o que

implica que um material hiperelástico tendo uma estrutura conservadora. Uma equação

constitutiva determina o estado de tensão em qualquer ponto de um corpo contínuo no

tempo e é necessariamente diferente para diferentes tipos de corpos contínuos. O modelo

resultante chama-se modelo material ou modelo constitutivo.

O objetivo das teorias constitutivas é desenvolver um modelo matemático que represente

o comportamento real da matéria. Estas teorias embora importantes, são um tema difícil da

mecânica não linear.

2.5

2.6

Biomecânica da Coluna Lombar

11

A derivada da função em ordem a determina o gradiente de Este é um tensor de

segunda ordem conhecido como o primeiro tensor de tensões de Piola-Kirchoff . A derivação

requer que todas as componentes de sejam diferenciáveis segundo todas as

componentes de .

Um material perfeitamente elástico não produz entropia local, ou seja, a dissipação

interna é zero.

Derivando a equação constitutiva 2.6 diretamente através da desigualdade de Clausius-

Plank (1ª e 2ª Lei da Termodinâmica), obtém-se:

(

)

Para cada ponto de um corpo continuo, durante o processo.

Como e podem ser tensores de deformação escolhidos arbitrariamente, a expressão

dentro de parêntesis deve ser zero. Portanto, e como consequência da segunda lei da

termodinâmica, um material hiperelástico tem entropia local nula.

Limitações para a função :

- – Condição de normalização, onde

- – a função deformação-energia aumenta com a deformação e restringe a

gama de funções admissíveis

A função deformação-energia alcança o seu mínimo quando no equilíbrio

termodinâmico. Relacionando as condições 2.8 e 2.9 assegura-se que a tensão na configuração

de referência seja zero. Diz-se que a configuração de referência é livre de tensão.

Para o comportamento de deslocamento finito a função energia deve satisfazer as

condições de crescimento. Isto implica que tende para se se aproximar de

ou :

Fisicamente, isto significa que é preciso uma quantidade infinita de energia de

deformação para expandir um corpo contínuo.

2.3 Formas Equivalentes de Energia de Deformação

A energia de deformação de um material deformado não é afetada por uma

subsequente rotação e/ou translação do material deformado.

Pode-se demonstrar a partir da objetividade da energia de deformação que:

- para qualquer tensor ortogonal

- Para , conclui-se que por decomposição polar.

2.7

2.8

2.9

2.10

Capítulo 2: A Mecânica dos Sólidos Não-Linear

12

Sendo o tensor um tensor diagonal em que os valores próprios são as extensões ou

alongamentos principais:

[

]

Conclui-se então que os materiais hiperelásticos dependem apenas do alongamento de .

2.4 Formas Reduzidas das Equações Constitutivas

Considere-se a derivada da função deformação-energia em função do

tempo. Usando a regra da diferenciação em cadeia, obtém-se:

[(

) ] [(

) ] (

)

Esta equação deve ser válida para um tensor arbitrário. Como é um tensor de

segunda ordem simétrico, o gradiente de é simétrico. Então deduz-se que:

(

) (

)

Para se obter formas reduzidas das equações constitutivas pode-se usar:

- Tensões de Cauchy

(

) (

)

- Primeiras Tensões de Piola-Kirchhoff

- Segundas Tensões de Piola-Kirchhoff

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

Biomecânica da Coluna Lombar

13

2.5 Trabalho Realizado por Materiais Hiperelásticos

O trabalho realizado por um material hiperelástico durante um intervalo de tempo

, de acordo com a lei constitutiva 2.5 é:

O trabalho realizado pelo campo de tensões num material hiperelástico depende apenas

das configurações inicial e final, sendo independente da trajetória.

Para processos dinâmicos fechados, ,e como tal o trabalho feito é sempre nulo.

2.6 Materiais Isotrópicos Hiperelásticos

No caso de um material isotrópico, o tensor de elasticidade é invariante no que respeita

a mudança de eixos coordenados. A resposta (tensão vs. deformação) de um material

isotrópico é a mesma em todas as direções.

No caso da função tensorial, a energia de deformação depende somente dos invariantes

do tensor das deformações, e a Lei Constitutiva resultante é um tensor das Constantes

Elásticas que é invariante.

Em hiperelasticidade pode ser demonstrado que um material é isotrópico quando

para qualquer tensor ortogonal A expressão anterior pode ser expressa

como:

Se uma função tensorial é um invariante perante uma rotação (isotropia, de acordo

com a expressão anterior), então pode ser expressa em termos dos invariantes do seu

argumento, :

A representação em termos de invariantes foi demonstrada por Rivlin em 1948.

Para se obterem as equações constitutivas de um material hiperelástico isotrópico em

termos de invariantes, aplica-se a diferenciação em cadeia de em função

do tensor :

[(

)

]

2.17

2.18

2.19

Capítulo 2: A Mecânica dos Sólidos Não-Linear

14

E, tendo em conta a relação entre o segundo torsor das tensões de Piola-Kirchhoff e o

tensor das tensões de Cauchy ( e que , obtem-se:

[

(

)

]

[(

)

]

Se é invariante, então a equação constitutiva pode ser expressa em termos dos

alongamentos relativos principais, :

2.7 Materiais Hiperelásticos Incompressíveis

Os materiais incompressíveis são considerados quando podem ser consideravelmente

deformados sem apreciáveis alterações de volume.

Tem como condição de incompressibilidade:

Para se obter as equações constitutivas para um material hiperelástico incompressível

postula-se a seguinte função de energia armazenada:

Onde é um multiplicador de Lagrange que se pode identificar com a pressão

hidrostática. Pode ser determinado a partir das equações de equilíbrio e das condições de

fronteira.

Por definição de material hiperelástico, o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff vem:

O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser obtido como:

E o tensor de Cauchy vem:

(

)

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

Biomecânica da Coluna Lombar

15

2.8 Hiperelasticidade Isotrópica Incompressível

Uma função de energia de deformação apropriada é dada por:

O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff é representado por:

(

)

E o tensor das tensões de Cauchy:

Em termos de alongamentos relativos principais,

As tensões principais de Cauchy podem ser obtidas como:

E as tensões principais de Piola-Kirchhoff:

e (

)

2.9 Formas da Função Energia de Deformação

O ponto principal numa simulação de um material hiperelástico está na seleção de uma

relação constitutiva apropriada. A resposta de materiais hiperelásticos é derivada da função de

energia de deformação . Existem vários modelos hiperelásticos, propostos por diferentes

autores.

Mooney (1940) propôs um modelo com dependência linear do primeiro e do segundo

invariante de deformação e O modelo Neo-Hookeano consiste na primeira parcela do

modelo de Mooney, função apenas de . A partir do desempenho das expressões para

energia de deformação para diferentes elastómeros, Rivlin e Saunders (1951) propuseram um

novo modelo constitutivo em termos de e , formalmente conhecido como modelo de

Mooney-Rivlin.

2.28

2.29

2.30

2.31

2.32

2.33

Capítulo 2: A Mecânica dos Sólidos Não-Linear

16

Ogden (1972) introduziu um novo conceito, propondo uma expressão para a energia de

deformação baseada diretamente nos alongamentos principais , sendo um dos modelos com

maior potencial na caracterização de materiais hiperelásticos.

De seguida faz-se uma descrição sucinta dos modelos de energia de deformação para os

modelos hiperelásticos utilizados neste trabalho. A partir da equação do tensor de Cauchy e da

calibração adequada dos principais ensaios experimentais de tração (uniaxial e biaxial),

determinam-se as equações constitutivas dos modelos hiperelásticos.

2.9.1 Modelo de Ogden para Materiais Incompressíveis

Os únicos materiais submetidos a tensões finitas em relação com um estado de equilíbrio

são os biomateriais, tais como tecidos biológicos moles e polímeros sólidos, por exemplo a

borracha.

Ogden (1972, 1982) desenvolveu um estudo sofisticado para a simulação de materiais

incompressíveis. O modelo de Ogden é utilizado para descrever o comportamento não linear

de materiais complexos, tais como borracha, polímeros e tecidos biológicos.

A energia de deformação de uma função em termos dos alongamentos relativos principais

é computacionalmente simples e desempenha um papel crucial na teoria da elasticidade.

Descreve as mudanças dos principais alongamentos para a configuração atual e tem a forma:

(

)

Com as condições:

∑ com

Onde:

- é um número inteiro positivo que controla o numero de termos da série;

- são os módulos de corte;

- são as contantes adimensionais

Quando existe uma excelente correlação com os dados experimentais.

Este modelo é baseado diretamente nas deformações principais, ao invés dos invariantes de deformação, para deformações elevadas. É bastante geral, e permite a obtenção de outros por simplificação.

2.34

2.35

Biomecânica da Coluna Lombar

17

2.9.2 Modelos de Mooney-Rivlin e neo-Hookean para Materiais Incompressíveis

Os próximos modelos que se apresentam são casos particulares do modelo de Ogden.

O modelo de Mooney-Rivlin é um dos mais conhecidos e utilizados, principalmente na

simulação de borrachas e derivados. Foi um dos primeiros modelos hiperelásticos e tem uma

boa convergência para um intervalo relativamente grande de deformações.

O modelo de Mooney-Rivlin é igual ao modelo de Ogden e resulta de 2.34 definindo

, e :

Com e . Usando a expressão 2.35, o módulo de corte tem o

valor de .

O modelo Neo-Hookean é um caso particular de Mooney-Rivlin atribuindo e

:

Com e o módulo de corte .

Esta função energia de deformação envolve um único parâmetro, o que proporciona ao

modelo constitutivo simplicidade.

Tendo em conta as propriedades usadas no trabalho, no software ABAQUS/CAE

obtiveram-se as curvas Tensão x Deformação nominais para ensaios uniaxiais e biaxiais dos

três modelos atrás referidos nas figuras 2.2 e 2.3.

Figura 2. 2: Curva tensão nominal vs. deformação nominal - Ensaio Uniaxial

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

No

min

al S

tre

ss

Nominal Strain

Stress-Strain Uniaxial

Mooney-Rivlin

Ogden

Neo-Hooke

2.36

2.37

Capítulo 2: A Mecânica dos Sólidos Não-Linear

18

Figura 2. 3: Curva tensão nominal vs. deformação nominal - Ensaio Biaxial

Como se observa nas figuras anteriores, no ensaio uniaxial, à tração os modelos

comportam-se todos da mesma forma. À compressão, o modelo de Mooney-Rivlin e de Ogden

tem o mesmo comportamento e o modelo de neo-Hooke deforma-se muito mais facilmente.

No ensaio biaxial verifica-se o mesmo à tração. À compressão, o modelo de Mooney-Rivlin

e de Neo-Hooke têm comportamentos bastante parecidos.

-10

-8

-6

-4

-2

0

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

No

min

al S

tre

ss

Nominal Strain

Stress-Strain Biaxial

Mooney-Rivlin

Ogden

Neo-Hooke

Biomecânica da Coluna Lombar

19

Capítulo 3 A Coluna Vertebral

Para se poder simular um elemento das vertebras L4, L5 e respetivo disco, pelo método

dos elementos finitos, é preciso conhecer a coluna vertebral do ponto de vista médico e

mecânico, saber como esta é constituída e as respetivas propriedades mecânicas de cada

componente.

Do ponto de vista da medicina, a coluna vertebral é um organismo vivo em constante

evolução e mudança, podendo essas mudanças serem causadas por lesões, patologias ou

envelhecimento.

Do ponto de vista da engenharia, a coluna é vista como uma estrutura mecânica à qual

são aplicados vários tipos de forças devido aos seus vários movimentos.

3.1 A Perspetiva Biomecânica

A função principal da coluna é proteger a espinal-medula e proporcionar suporte ao

corpo. As suas principais funções mecânicas consistem em permitir o bipedismo e o equilíbrio,

a articulação e flexibilidade do corpo e distribuir as forças que sobre ela atuam (Rodrigues

2012, Moramarco et al. 2010).

A unidade funcional da coluna é composta por duas vértebras adjacentes, que se

articulam entre si através das superfícies articulares, o disco intervertebral e todos os

ligamentos adjacentes entre si, excluindo os tecidos de ligação, tais como os músculos – figura

3.1.

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

20

Figura 3. 1: Anatomia da unidade funcional (Dr Ivan Rocha 2012)

Cada unidade funcional da coluna funciona como um conjunto único, mas a sua

flexibilidade é muito limitada (Schröder 2008). Os movimentos cinemáticos da coluna vertebral

são:

- Extensão/Flexão

- Flexão Lateral

- Rotação axial.

Do ponto de vista mecânico, a coluna vertebral funciona como uma viga, sendo as

vertebras os elementos rígidos ligados por elementos flexíveis (disco e ligamentos). Os

ligamentos adicionam estrutura à coluna e estão permanentemente sob tensão, o que é

contrariado pela capacidade de dilatação e resiliência do disco, estando este também sob

compressão permanente.

3.2 A Perspetiva Anatómica da Coluna Vertebral: Componentes e Suas Funções

A coluna vertebral é um conjunto de vários ossos e outros elementos biológicos que

funcionam como um todo. As suas várias articulações, músculos, vertebras, ligamentos e

nervos, permitem-lhe cumprir todas as funções para as quais foi concebida. Tem um

comprimento de aproximadamente 2/5 da altura total do corpo humano (Kurutz and

Oroszváry 2012).

No ser humano, a coluna vertebral tem várias funções: serve de elemento de

sustentamento estático e dinâmico, protege a espinal-medula das variadas agressões a que é

sujeita no dia a dia, e permite o bipedismo. As várias regiões da coluna têm funções e

estruturas diferentes. Por exemplo, a cervical permite o máximo movimento e flexibilidade do

pescoço, enquanto a zona torácica, de amplitude de movimentos mais limitada, suporta o

tórax e a região costal que protege órgãos vitais (Moramarco et al. 2010).

Biomecânica da Coluna Lombar

21

A coluna vertebral é constituída por 30 vértebras móveis (7 cervicais, 12 torácicas e 5

lombares), mais cinco vertebras separadas imediatamente abaixo das lombares que se fundem

para formar o sacro, mais quatro vertebras inferiores que formam o cóccix. As vertebras

tornam-se progressivamente maiores na direção descendente até ao sacro, tornando-se a

partir daí sucessivamente menores (Rodrigues 2012).

A constituição da coluna vertebral humana encontra-se na figura 3.2.

Figura 3. 2: A coluna vertebral e os principais componentes que a constituem (Rodrigues 2012)

As curvaturas da coluna vertebral devem-se à forma das vertebras e dos discos

intervertebrais e existem para que possua uma capacidade de absorção de choques elevada e

uma rigidez adequada ao nível das zonas articulares, mantendo uma enorme flexibilidade nas

mesmas.

No ser humano, a coluna conta com dois tipos de curvatura: ântero-posterior (cifose e

lordose) e lateral (escoliose) (Ciudad 2011).

A coluna de um adulto possui duas cifoses e duas lordoses (lordoses cervical e lombar) e

duas cifoses (cifoses dorsal e sagrada). Estas quatro curvaturas são normais, fisiológicas, e

surgem a partir dos primeiros meses de vida. A escoliose, uma curvatura lateral normalmente

associada a uma rotação dos corpos vertebrais, é sempre patológica.

3.2.1 As Vértebras

Denominam-se vértebras cada um dos ossos que formam a coluna vertebral. Constituem

a parte rígida da coluna vertebral. São quase cilíndricas, com uma largura de 40-50mm, e

profundidade sagital de 30-35mm. Têm uma altura de 25-30mm (Kurutz and Oroszváry 2012).

As vértebras são formadas por um bloco de osso anterior chamado corpo vertebral e por

um anel ósseo posterior chamado arco vertebral.

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

22

A vertebra é constituída por osso trabecular (aspeto poroso) contido numa camada de

osso cortical (aspeto compacto, sólido e resistente). Todas as vertebras são constituídas pelo

mesmo número de elementos básicos, com a exceção das primeiras vertebras cervicais

(Ciudad 2011).

Os elementos comuns são os seguintes:

- Corpo Vertebral: é a maior porção de uma vértebra. Visto de cima, o corpo vertebral tem

um aspeto oval, é constituído por osso cortical resistente e por osso esponjoso.

- Arco Vertebral:

- Pedículos: duas apófises curtas, constituídas por osso cortical resistente, que

sobressaem da parte posterior do corpo vertebral.

- Laminas: duas placas de osso que se estendem em ambos os lados dos pedículos.

- Apófises: existem três tipos de apófises: 4 apófises articulares, 1 espinhosa e 2

transversas. As apófises servem como pontos de fixação de ligamentos e tendões.

- Foramen intervertebral (Buraco de Conjugação): os pedículos têm um pequeno entalhe

na sua superfície superior e um recesso na sua superfície inferior. Quando as vértebras estão

sobrepostas, as reentrâncias formam uma área chamada buraco de conjugação. Esta área é de

vital importância, uma vez que é através dele que as raízes dos nervos saem da medula espinal

para o resto do corpo. O foramen cria uma passagem de proteção para os nervos que trocam

sinais entre a medula espinal e o resto do corpo.

Figura 3. 3: Elementos vertebrais (Ciudad 2011) – adaptada

Especificamente, as cinco vértebras lombares têm uma estrutura muito robusta, devido

ao peso que têm de suportar. Permitem um grau significativo de flexão e extensão, flexão

lateral e também uma pequena amplitude de rotação. É o segmento de maior mobilidade na

coluna.

Biomecânica da Coluna Lombar

23

3.2.2 As Articulações

As vertebras na coluna contêm três pontos de junção entre elas. Uma das junções é entre

os corpos vertebrais, onde se encontra o disco intervertebral. As outras duas são formadas

pelas articulações das apófises superiores de uma vertebra com as inferiores da vertebra

imediatamente acima (Rodrigues 2012, Ciudad 2011).

Figura 3. 4: Juntas intervertebrais (Rodrigues 2012)

3.2.3 Os Músculos

O sistema muscular da coluna é vasto e complexo e conta com numerosos músculos em

torno desta, cujas funções principais são suportar, permitir o movimento e dar estabilidade à

coluna. Cada músculo está associado a um movimento específico (Kurutz and Oroszváry 2012).

3.2.4 Os Ligamentos

Os ligamentos são constituídos por fibras de colagénio (para resistir a esforços de tração)

e de elastina (proporcionam elasticidade). Conectam dois ou mais ossos e servem para

estabilizar as articulações e permitir o movimento fisiológico adequado entre as vértebras.

Podem ser comparados a cabos, resistem às forças de tração, mas encurvam quando

submetidos a compressão.

Em conjunto com os tendões e os músculos, os ligamentos proporcionam um reforço

natural que protege a coluna de lesões. Os ligamentos mantêm estáveis as articulações nos

estados de repouso e movimento, prevenindo as lesões provocadas por hiperextensão e

hiperflexão da coluna. Protegem também a coluna vertebral em situações traumáticas, como

por exemplo quando cargas elevadas são aplicadas num curto espaço de tempo. (Rodrigues

2012; Kurutz and Oroszváry 2012).

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

24

Existem 7 ligamentos a destacar – figura 3.5.

- Longitudinal Anterior ALL – percorre toda a coluna, cobrindo as superfícies anteriores

das vértebras e dos discos;

- Longitudinal Posterior PLL - percorre toda a coluna, cobrindo as superfícies posteriores

das vértebras e dos discos;

- Intertransversais ITL – ligam as apófises transversais e estão ligados aos músculos na

zona lombar;

- Interespinhosos ISL – são delgados e ligam as apófises interespinhosas entre si.

- Supraespinhoso SSL – ligam a ponta de cada apófise espinhosa com a seguinte;

- Ligamento Amarelo LF – é o ligamento mais elástico e resistente, e liga as superfícies

superiores e inferiores internas das lâminas adjacentes;

- Cápsulas Articulares CL – orientadas perpendicularmente ao plano das articulações,

ligam as juntas intervertebrais.

Figura 3. 5: Principais ligamentos da coluna vertebral (Rodrigues 2012)

3.2.5 Os Discos Intervertebrais

Os discos intervertebrais têm uma estrutura viscoelástica deformável que tem como

principais funções dar flexibilidade à coluna, permitir o movimento, transmitir cargas

mecânicas entre os corpos vertebrais e funcionar como amortecedor.

Biomecânica da Coluna Lombar

25

Cada disco separa as vertebras adjacentes localizando-se entre os corpos vertebrais. É

quase cilíndrico, com uma largura de 40-50 mm e profundidade sagital de 35-40 mm. Tem uma

altura que vai aumentando à medida que se vai descendo pela coluna, até alcançar 7-14 mm

(Kurutz and Oroszváry 2012), (Kurutz 2010).

É constituído por tecido cartilaginoso e consiste em três regiões diferentes: o núcleo

pulposo, o anel fibroso e as placas terminais superior e inferior.

- Núcleo Pulposo: é uma massa viscosa, tipo gel, de material mucoide, composta por

quase 90% de água, incompressível e que exerce pressão em todas as direções. É capaz de

suportar cerca de 75% da carga, distribuindo esforços na direção horizontal do anel. Sendo de

natureza liquida, o seu volume não pode ser alterado. Tem como funções absorver forças e

funciona como eixo vertical de movimento entre duas vertebras (Kurutz and Oroszváry 2012),

(Kurutz 2010).

- Anel Fibroso: é a parte envolvente do núcleo, contém cerca de 70% de água e é

constituído por fibras de colagénio, que se encontram entre 10 a 20 folhas de lamelas. Estão

densamente compactadas, conferindo uma rigidez elevada. Tem como funções estabilizar os

corpos adjacentes e permitir o movimento entre os corpos vertebrais; atua também como

ligamento acessório, retém o núcleo pulposo na sua posição e funciona como amortecedor de

forças (Rodrigues 2012), (Kurutz and Oroszváry 2012), (Kurutz 2010).

Figura 3. 6: Representação esquemática do disco intervertebral (Ngwa and Agyingi 2012) - adpatada

Na figura 3.6, como se pode verificar, dentro de cada lamela, as fibras distribuem-se

paralelamente umas às outras e fazem um ângulo de 30º entre estas e a horizontal, ângulo

que vai alternando, na direção oposta, de lamela para lamela.

Apesar do anel ser o elemento que resiste aos vários esforços, sem o núcleo este acabaria

por curvar e ser lentamente esmagado. Ou seja, o núcleo e o anel, em conjunto, permitem que

as articulações da coluna suportem os vários esforços que lhe são impostos, exteriormente,

quando o núcleo exerce pressão interna sobre o anel.

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

26

A seguinte figura 3.7 ilustra o trabalho do núcleo relativamente ao anel.

Figura 3. 7: Cartoon exemplificador do trabalho do núcleo (ITTC Wordpress 2010) - adaptada

As placas terminais, ou plataformas, do

disco separam o núcleo e o anel das vertebras e

cobrem a sua superfície. Têm uma espessura

entre 0,6 e 1mm (Kurutz 2010).

Fi

O disco é formado fundamentalmente por

uma matriz de fibras de colagénio e elastina,

embebidas num gel de proteoglicanos, água e

células dispersas por toda a matriz.

A água é o componente principal do disco,

ocupando um volume entre 65 e 90%,

dependendo da idade, da região do disco e da

carga aplicada ao mesmo. A água é importante

para a operação mecânica do disco para

proporcionar o meio de transporte de

substâncias dissolvidas na matriz (Schröder

2008, Ciudad 2011). Figura 3. 9: Composição do cisco (Ciudad 2011)

Figura 3. 8: Disco intervertebral (Rodrigues 2012)

Biomecânica da Coluna Lombar

27

O disco transmite a carga ao longo da coluna vertebral e permite a sua curvatura e torção.

As cargas sobre o disco derivam do peso corporal e da atividade muscular e modificam-se com

a postura.

Durante a carga, o disco deforma-se e perde altura. A placa terminal e o anel suportam

um aumento de tensão. O grau de deformação do disco depende da velocidade de carga. O

disco pode experimentar uma deformação considerável. Se a carga for removida em poucos

segundos, o disco retorna rapidamente ao seu estado anterior, mas se se a carga se mantiver,

o disco continua a perder altura, e por sua vez permeabilidade de forma não linear (Schröder

2008, Ciudad 2011).

Este "achatamento" é devido à deformação permanente da estrutura do disco e também

à perda de fluido, porque o disco, devido à sua porosidade e permeabilidade, perde fluído

como resultado de um aumento da pressão. Durante as atividades diárias, o disco é sujeito a

tensões que provocam uma perda de entre 10 a 25% da água, o que pode conduzir a uma

perda de altura de um a dois centímetros no final do dia. A sua forma é recuperada através de

descanso em decúbito (Schröder 2008, Ciudad 2011).

À medida que a composição do disco se altera, seja devido ao envelhecimento ou

degeneração, a resposta a cargas mecânicas também se altera. Com a perda de proteoglicanos

e, por arrasto, do teor de água, o núcleo deixa de responder de forma tão eficaz. Esta mudança

leva a tensões não uniformes, através da placa terminal, às fibras do anel. A taxa de

"esmagamento" aumenta também em discos degenerados, o que por sua vez faz perder altura

mais rapidamente do que em discos saudáveis submetidos à mesma carga (Schröder 2008,

Ciudad 2011).

3.2.6 O Orifício Vertebral

Atrás do corpo vertebral, e

delimitado pelo arco vertebral, encontra-

se um espaço vazio chamado orifício

vertebral (foramen vertebral). É nesse

espaço que se encontra a espinal-medula

e os vários nervos que dela saem.

As vertebras são nomeadas por uma letra (ou duas, na zona do cóccix) que representa a

zona da coluna referida e por um número que representa a posição da vértebra em questão,

sendo a ordem deste número crescente de cima para baixo. O disco também é especificado

usando esta terminologia. Por exemplo, se se pretender especificar o disco que se encontra

entre a vertebra L4 e L5, pode dizer-se disco L4-L5 (Rodrigues 2012, Ciudad 2011).

Figura 3. 10: Orifício vertebral (Rodrigues 2012)

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

28

3.3 Os Movimentos da Coluna Vertebral

Uma das funções da coluna vertebral é permitir a liberdade de movimentos. Apresenta

seis tipos de movimento: movimentos de deslizamento e movimentos de rotação, em cada um

dos eixos.

Os movimentos fisiológicos são a flexão e extensão no plano sagital, a flexão lateral no

plano frontal e a rotação em torno do eixo longitudinal da coluna vertebral. Estes movimentos

estão relacionados com os esforços: ao movimento de translação correspondem forças de

compressão, corte ou momentos; ao movimento de rotação correspondem momentos de

flexão ou torção.

A mobilidade da coluna depende de vários fatores. Em primeiro lugar, depende do estado

dos discos intervertebrais, da sua geometria, rigidez, hidratação, degeneração e do próprio

envelhecimento. A região lombar da coluna vertebral tem uma maior mobilidade do que a

coluna vertebral torácica. A amplitude de movimento é influenciada também pelo estado dos

ligamentos, articulações e dos elementos ósseos posteriores. As propriedades viscoelásticas

dos discos e ligamentos também têm um efeito importante sobre a mobilidade (Rodrigues

2012), (Kurutz and Oroszváry 2012).

A figura 3.11 mostra os diferentes tipos de movimento das vertebras.

Figura 3. 11: Esquema simplificado dos vários tipos movimentos e esforços na coluna vertebral (Rodrigues 2012)

Biomecânica da Coluna Lombar

29

3.4 A Biomecânica da Coluna Lombar

A unidade funcional da coluna tem seis forças e seis movimentos que dependem

fortemente das propriedades mecânicas, de rigidez/flexibilidade e da capacidade de suportar

carga. Tudo isto depende da idade e do estado de degeneração dos seus componentes (Kurutz

and Oroszváry 2012), (Kurutz 2010).

Os corpos vertebrais lombares resistem à maior parte das forças de compressão que

atuam ao longo do eixo longitudinal da coluna vertebral. O estado do osso esponjoso é o

principal fator para a vertebra resistir às forças de compressão, além de que o osso esponjoso

atua como amortecedor na coluna vertebral. A capacidade de carga das vértebras depende da

geometria, massa, densidade mineral óssea e da arquitetura do osso da vértebra, que

dependem da idade e do seu grau de degeneração. Os elementos posteriores das vértebras

desempenham também um papel importante na capacidade de suporte de carga e mobilidade

dos segmentos. As articulações intervertebrais funcionam como estruturas de contacto,

limitando os movimentos da coluna vertebral, estabilizando a resposta da coluna lombar à

compressão e prevenindo a flexão e translação excessivas entre as vertebras adjacentes,

protegendo assim o disco e a espinal-medula (Rodrigues 2012), (Kurutz and Oroszváry 2012),

(Kurutz 2010).

Os ligamentos apenas trabalham sob tração. A ação principal dos ligamentos da coluna

vertebral é o de proteger a coluna vertebral impedindo a flexão lombar excessiva. O ligamento

mais elástico, o ligamento amarelo, permite manter ereta a coluna vertebral. Os ligamentos

inter e supraespinhosos protegem contra flexão excessiva. Os ligamentos capsulares

restringem a flexão e torção axial das juntas intervertebrais.

Os discos intervertebrais transferem a força de compressão entre as duas vértebras

adjacentes, e, ao mesmo tempo, permitem a mobilidade e flexibilidade intervertebral. A

disposição das fibras de colagénio no anel fibroso permite absorver as tensões geradas pela

compressão hidrostática do núcleo pulposo devido a cargas axiais. Os discos desempenham

também um papel importante restringindo a rotação axial da coluna vertebral. A rigidez à

compressão é maior nas regiões exterior e posterior do que nas regiões interior e anterior, ou

seja, a parte interna do anel é a parte mais fraca.

O disco possui três propriedades: viscoelasticidade, histerese e armazenamento de

energia. A viscoelasticidade permite que o disco, quando sujeito a uma carga, se deforme

linearmente com o tempo e após remoção dessa carga volte à sua forma inicial. A histerese faz

com que o disco perca energia quando sujeito a cargas repetitivas. As fibras de colagénio têm

um comportamento elástico: ao esticarem-se como molas, conseguem armazenar energia.

Quando a carga é retirada, a retração das fibras faz com que a energia das mesmas seja

transmitida ao núcleo, permitindo que este restaure a sua forma original (Rodrigues 2012).

Como referido no ponto 3.3, a coluna possui diversos movimentos, nas figuras 3.12 a 3.16

apresentam-se os 5 tipos de esforços aplicados ao disco (Rodrigues 2012).

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

30

Compressão:

O disco diminui de altura provocando

uma expansão radial, à qual as fibras

resistem. O núcleo transmite a carga da

placa superior para a placa inferior, tende

a deformar-se, mas é impedido pelas

placas. O núcleo expande-se e as paredes

do anel retêm essa expansão, ficando o

anel impedido de se curvar e mantendo a

sua postura vertical.

Exemplo: uma pessoa a saltar, corrida

em piso duro.

Tração:

Um corpo vertebral move-se em sentido contrário

relativamente a outra superfície vertebral. As fibras do anel

resistem à extensão. O núcleo pulposo não resiste à tração, e

por isso o disco intervertebral resiste mais à compressão do

que à tração.

Exemplo: suspensão do corpo pelos braços

Corte:

Não é um movimento muito comum, e quando ocorre

grande deslocamento num curto espaço de tempo pode

provocar o descolar da placa do disco do corpo vertebral.

Existe deslizamento entre as superfícies planas das

vertebras adjacentes. No anel, algumas fibras ficam sob

tensão e outras encurvam.

Exemplo: normalmente patológico - espondilolistese

Figura 3. 12: Movimento de compressão aplicado no disco intervertebral (ITTC Wordpress)

Figura 3. 13: Movimento de tração aplicado no disco intervertebral

(Rodrigues 2012)

Figura 3. 14: Movimento de corte aplicado no disco intervertebral

(Rodrigues 2012)

Biomecânica da Coluna Lombar

31

Flexão/Extensão:

Este movimento resulta de um momento aplicado ao disco. Na

flexão, a extremidade anterior do corpo comprime o disco

encurvando as fibras nessa zona; na zona oposta as fibras são

esticadas. Também existe flexão lateral direita/esquerda.

Exemplo: levantamento de pesos/espreguiçar.

Exemplo extremo: choque frontal em acidente

Torção:

Metade das fibras são esticadas e a outra metade encurva.

Exemplo: rotação do tronco sentado, virar-se para apanhar

qualquer objeto

3.5 Degeneração e Envelhecimento dos Discos – Patologias

A dor lombar é uma patologia comum na população. A zona lombar é a parte mais

vulnerável da coluna uma vez que ambas as cargas de compressão e da mobilidade da coluna

vertebral são máximas nesta área. Consequentemente, os discos lombares são geralmente

postos em perigo por degenerações que influenciam a capacidade de carga dos segmentos

vertebrais (Kurutz and Oroszváry 2012).

As dores nas costas podem ser classificadas em seis grupos: mecânico, infeciosas

(tuberculose), inflamatórias (espondilite), metabólicos (osteoporose), neoplásicas (cancro) e

visceral (Ciudad 2011).

Na maioria das pessoas, a dor lombar tem causas mecânicas. As patologias da coluna

podem ser classificadas em dois tipos distintos: as que afetam toda a coluna vertebral, e,

geralmente estão associados a uma curvatura anormal da mesma, e as que afetam os discos

intervertebrais.

Figura 3. 15: Movimento de flexão aplicado no disco

intervertebral (Rodrigues 2012)

Figura 3. 16: Movimento de torção aplicado no disco intervertebral (Rodrigues 2012)

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

32

Seguem-se as patologias mais comuns que ocorrem na coluna vertebral (Ciudad 2011).

Escoliose:

É uma curvatura lateral da coluna vertebral em que

ambos os discos intervertebrais e os corpos vertebrais

estão curvados. Está geralmente associada a torção ou

rotação da coluna. A escoliose pode ter origem num

defeito congénito da coluna ou surgir devido a doenças

neuromusculares. Na maioria dos casos, a causa é

desconhecida.

Espondilolise:

Quebra da lâmina da vértebra de modo que a junção

da faceta é separada do resto. As vertebras

normalmente mais afetadas são a L5 e L4.

Estenose Espinal:

Diminuição do canal espinal que provoca

uma compressão mecânica da raiz da medula

ou do nervo espinhal, deficiente

fornecimento de sangue, o que pode dar

origem à perda de reflexos, a dor, ou a perda

de sensibilidade. Por vezes não apresenta

sintomas. O estreitamento do canal pode,

por sua vez, ser causado por vários fatores,

incluindo a saliência do disco intervertebral e

a sua entrada no espaço de canal ou a

formação de osso novo nas superfícies

articulares (hipertrofia).

Figura 3. 17: Escoliose lombar em "C" (Barros 2012)

Figura 3. 18: Espondilolise (Clinica Deckers 2012)

Figura 3. 19: Estenose espinal (Ciudad 2011)

Biomecânica da Coluna Lombar

33

Rutura do Disco:

A rutura do anel posterior é bastante

comum em jovens ou adultos de meia-

idade fisicamente ativos. Quando o núcleo

do disco intervertebral migra do seu local,

no centro do disco para a periferia, ocorre

a hérnia discal. Quando essa migração leva

o núcleo a penetrar no canal modular, ou

a diminuição dos buracos de conjugação,

levando à compressão das raízes nervosas.

E, por fim:

Espondilolistese:

É o deslizamento de uma vértebra sobre a

vértebra adjacente inferior, no sentido anterior,

provocando desalinhamento da coluna. Este

escorregamento para frente de uma vértebra

em relação a outra subjacente pode ocasionar

dor ou irritação de raiz nervosa. Obviamente, o

disco intervertebral situado entre duas

vértebras é esticado e sujeito a cargas

anormais. A matriz desse disco sofre alterações

degenerativas na sua composição como a perda

de água e proteoglicanos (Ciudad 2011), (Maia

2012), (ABC MED 2012), (Clinica Deckers 2012),

(Vieira 2010).

Segundo a sua etiologia, a espondilolistese pode ser:

- Displásica: malformação congênita que afeta a porção superior do sacro ou do arco da quinta vértebra lombar (L5).

- Ístmica: quando afeta o istmo vertebral.

- Degenerativa: quando ocasionada pelo processo degenerativo próprio do envelhecimento.

- Traumática: ocasionada por um traumatismo que atinja a coluna vertebral.

Figura 3. 20: Hérnia discal (Ciudad 2011)

Figura 3. 21: Espondilolistese (Clinica Deckers 2012)

Capítulo 3: A Coluna Vertebral

34

Segundo Meyerding, de acordo com o deslizamento, a espondilolistese pode ser

classificada em 4 graus:

- Grau I: de zero a 25%

- Grau II: de 25% a 50%

- Grau III: de 50% a 75%

- Grau IV: de 75% a 100%

A espondilolistese é a patologia que vai ser estudada no modelo de elementos finitos nos

capítulos 4 e 5, comparando o estado de tensão e deslocamento de um disco saudável com um

disco com patologia.

Doença Degenerativa do Disco: Com esta patologia, o disco torna-se mais rígido, sofre

uma perda crescente de elasticidade e distribuição de carga. Reduz a capacidade do núcleo de

se expandir, o disco desidrata-se tendo como consequência o aumento da concentração de

colagénio. Esta desidratação faz com que se formem fendas no disco (Ciudad 2011), (Kurutz

and Oroszváry 2012), (Kurutz 2010).

Envelhecimento do Disco: ao longo do crescimento, o disco está sujeito a alterações

fisiológicas. A partir dos 20-30 anos, o disco começa a perder água, torna-se mais rígido, e a

diferença ente o núcleo pulposo e o anel não é tão clara. As placas terminais calcificam-se,

reduzindo a permeabilidade e aumentando a pressão interna do núcleo (Ciudad 2011), (Kurutz

and Oroszváry 2012), (Kurutz 2010).

Degeneração Discal: é definida como a resposta anormal das células que pertencem ao

disco, devido a uma falha estrutural progressiva. Todos os processos descritos acima para o

disco envelhecido são mais evidentes na degeneração, e muitas vezes resultam numa resposta

patológica dos efeitos do envelhecimento. Esta, pode ser classificada em graus, com base na

gravidade da mesma, sendo o grau 0 considerado saudável e grau 4 equivalente ao disco

totalmente degenerado.

A diferença mais significativa entre o fenómeno de envelhecimento e degeneração é o

comportamento de placas terminais, que, no caso de um disco degenerado, se podem destruir

entrando o osso e o disco em contacto (Ciudad 2011), (Kurutz and Oroszváry 2012), (Kurutz

2010).

Com o envelhecimento a permeabilidade das placas diminui, calcificando-se. No caso da

degeneração, a diminuição da permeabilidade é mais drástica, os discos deformam-se de

forma mais acentuada, diminuindo a porosidade e, por conseguinte, aumenta a sua rigidez e a

diminuição da altura do disco. Além disso o núcleo sendo reduzido, é submetido a uma

descompressão e a sua capacidade de suporte de carga diminui, o que resulta numa carga

maior que o anel tem de suportar, aumentando a pressão no anel (Ciudad 2011), (Kurutz and

Oroszváry 2012), (Kurutz 2010).

A degeneração pode ser causada por vários fatores: sobrecarga mecânica, tabagismo,

fatores genéticos, etc.

Biomecânica da Coluna Lombar

35

Capítulo 4 O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

Foi criado um modelo tridimensional, não linear, de elementos finitos da unidade

funcional das vértebras L4 e L5. Este estudo teve por base as referências bibliográficas

(Coombs et al. 2011, Ciudad 2011, Cheung, Zhang, and Chow 2003, Eberlein, Holzapfel†, and

Schulze-Bauer‡ 2001, Grauer et al. 2006, Guan et al. 2006, Joshi 2004, Kuo et al. 2010, Little et

al. 2007, Markolf and Morris 1974, Markolf. 1972, Moramarco et al. 2010, Panjabi 2003,

Panjabi et al. 1994, Rodrigues 2012, Schmidt et al. 2007, Schröder 2008, Weisse et al. 2012,

Xiao et al. 2011, Xiao et al. 2010, Kakol et al. 2003, Vena, Franzoso, Gastaldi §, et al. 2005,

Wang et al. 2013)

O modelo de elementos finitos é formado por duas vértebras, a L4 e a L5, e por um disco

intervertebral entre ambas as vértebras. O disco é constituído pelo núcleo pulposo, o anel

fibroso e as fibras que constituem o anel. Adicionaram-se também os respetivos ligamentos,

que se situam de acordo com a sua natureza.

A geometria das vértebras L4 e L5 usada no modelo de elementos finitos derivou de uma

tomografia computorizada (TC) de uma coluna saudável.

Definida a geometria de L4 e L5, desenhou-se o disco – anel, fibras e núcleo – e os

respetivos ligamentos que fazem parte da unidade funcional.

Por fim, obteve-se a malha de elementos finitos de cada constituinte e adicionaram-se as

respetivas propriedades.

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

36

Após a simulação da unidade funcional L4-L5 saudável, não patológica, e se obterem as

propriedades mecânicas para cada componente, passou-se para a modelação da unidade

funcional com patologia, espondilolistese.

Nas secções seguintes apresentam-se, mais detalhadamente, as várias etapas que foram

necessárias para a simulação do modelo tridimensional.

4.1 As Vértebras L4 e L5

Para a reconstrução do modelo em elementos finitos foi necessário obter a geometria das

vértebras L4 e L5. Para tal, utilizou-se uma geometria encontrada na base de dados eletrónica

para quem tem interesse na investigação em Biomecânica (Viceconti 2005).

Esta geometria foi obtida através de uma tomografia computorizada e convertida em

ficheiros .stl que podem ser trabalhados em softwares de pré-processamento para elementos

finitos.

A vértebra L4 tem aproximadamente 50 mm de largura, profundidade sagital de 34,35

mm e uma altura de 28,5 mm.

A vértebra L5 tem aproximadamente 63 mm de largura, profundidade sagital de 36,5 mm

e uma altura de 27 mm.

A tomografia computorizada (TC) é um exame complementar de diagnóstico imagiológico

que consiste numa imagem que representa uma secção do corpo. É obtida através do

processamento por computador da informação recolhida após a exposição do corpo a uma

sucessão de raios X. A TC baseia-se nos mesmos princípios que a radiografia convencional, em

que os tecidos com diferentes composições absorvem os raios-X de forma diferente. Assim,

uma TC indica a quantidade de radiação absorvida por cada parte do corpo e traduz essas

variações numa escala de cinzentos, produzindo uma imagem (Conci 2010).

Os ficheiros .stl foram importados para um software de aplicação de engenharia, com o

objetivo de amaciar a geometria da vértebra para se obter uma malha de elementos finitos

adequada. As figuras 4.1 a 4.4 ilustram esta modificação, tanto na vértebra L4, como na

vértebra L5. As marcas a vermelho representam as zonas onde a vértebra vai ser afinada.

Figura 4. 1: Vértebra L4 antes do amaciamento Figura 4. 2: Vértebra L4 depois do amaciamento

Biomecânica da Coluna Lombar

37

Após um melhoramento da geometria de ambas as vértebras, estas foram exportadas em

ficheiros .stp e importados para o software Abaqus/Cae como sólidos tridimensionais

deformáveis, para criar peças sólidas separadas para os corpos vertebrais L4 e L5.

Para cada vértebra foi então criada nos Abaqus/Cae uma malha de elementos

tetraédricos de 4 nós, C3D4 – figura 4.5. Foram consideradas como corpos rígidos, uma vez

que a sua deformação é de ordem bastante inferior à deformação do disco. Por fim, o modelo

foi exportado para ficheiros .inp, que podem ser usados tanto no Abaqus/Cae e/ou mudar

diretamente a sua programação.

Figura 4. 5: Malha das vértebras L4-L5

A vértebra L4 possui 6087 nós e 27022 elementos, e a vértebra L5 tem 5647 nós e 24974

elementos.

Figura 4. 3: Vértebra L5 antes do amaciamento Figura 4. 4: Vértebra L5 depois do amaciamento

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

38

4.2 O Disco Intervertebral e as Placas Terminais

Devido à sua baixa densidade, os discos intervertebrais não são visíveis numa tomografia

computorizada normal. Como tal, o disco intervertebral teve de ser desenhado.

A geometria do disco foi criada no usando a superfície inferior da vértebra L4 e a

superfície superior da L5. Foi definido um plano um pouco acima da superfície inferior da

vértebra L4, desenhada uma elipse que cobrisse a superfície inferior da vértebra L4 e por fim

extrudiu-se essa elipse até à superfície superior da vértebra L5. Obteve-se assim a geometria

do disco.

O núcleo e o anel foram obtidos tendo em conta a sua relação volumétrica 3:7,

respetivamente. Ou seja, considerou-se o volume total do disco e desenhou-se um círculo,

com centro na elipse do disco, com raio correspondente a 30% do volume total do disco. A

área da secção do disco é de 1613,09 mm2, da qual 476,45 mm2 corresponde ao núcleo e

1136,64 mm2 ao anel, ficando assim a relação volumétrica verificada; o volume do núcleo é

igual a 4112 mm3 e o anel igual 9745 mm3, sendo o volume total do disco igual a 13921 mm3.

Para se conseguir uma malha refinada, no centro do núcleo foi desenhado um quadrado com o intuito de dividir o disco em quatro quadrantes, separando o anel do núcleo. Após estas divisões, a geometria foi exportada em ficheiros .stp e importada para o Abaqus/Cae para assim fazer a malha de elementos finitos – figura 4.6.

Para a malha foram usados elementos híbridos hexaédricos tridimensionais de 8 nós, C3D8H.

Para definição da malha das placas cartilaginosas, considerou-se a primeira e a última camada de elementos, respetivamente – figura 4.7. Com o objetivo de diminuir a espessura da placa, moveram-se os nós.

Assim, o núcleo possui 4207 nós e 3456 elementos, o anel tem 4704 nós e 3744 elementos e as placas 4900 nós e 2400 elementos.

Figura 4. 6: Malha do disco intervertebral L4-L5

Figura 4. 7: Malha das placas cartilaginosas

Biomecânica da Coluna Lombar

39

Como citado anteriormente, o anel é uma substância viscosa reforçada por fibras de

colagénio. Assim, para cada camada anelar de elementos (13 no total), foram desenhadas as

fibras e modeladas como elementos de barra, os quais só trabalham à tração, T3D2. Estas

fibras, no Abaqus/Cae, são assim embebidas na matriz da substância viscosa de cada camada

anelar respetiva.

Cada barra é composta por 4 elementos, ou seja, por 5 nós, ficando assim com um total

de 3118 nós e 2500 elementos.

Segue-se a representação de algumas fibras na figura 4.8.

Figura 4. 8: Camadas 1-2 e 7-8 das fibras de colagénio

Por fim o modelo foi exportado em ficheiros .inp para mais tarde ser trabalho no Abaqus/Explicit.

4.3 Os Ligamentos

A metodologia para a modelação dos sete ligamentos foi semelhante à utilizada para a

definição similar das fibras de colagénio, como elementos de barra de 2 nós que só trabalham

à tração, T3D2.

A figura 4.9 ilustra a representação dos sete ligamentos.

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

40

Figura 4. 9: Representação dos ligamentos - Vista de frente e vista lateral

A definição da quantidade de elementos necessários e respetiva área de secção teve por

base o trabalho de (Moramarco et al. 2010).

4.4 As Articulações

Para responder à necessidade de entrar em consideração com as articulações, foram

criadas duas camadas de elementos, uma camada em cada apófise inferior da vértebra L4 e

uma camada na apófise superior da vertebral L5.

De modo a evitar a sobreposição de nós resultante da criação das camadas de elementos referida no parágrafo anterior, foi criado um ficheiro no Abaqus/Cae no qual se deslocou a vértebra L4 20 mm em relação ao eixo positivo z, e depois voltou à sua posição atual. Assim, conseguiu-se a nova posição dos nós, obtendo a modelação do contacto das juntas

intervertebrais – figura 4.10.

Estas camadas foram modeladas com elementos híbridos hexaédricos tridimensionais de

6 nós, C3D6H.

Após se obter a malha para todos os componentes da unidade funcional L4-L5, o modelo

foi “montado” e criado um ficheiro. inp para a simulação a desenvolver no Abaqus/Explicit.

As figuras 4.11 a 4.14 seguintes ilustram o modelo numérico no Abaqus/Cae, nos vários

planos.

Figura 4. 10: Malha das juntas intervertebrais

Biomecânica da Coluna Lombar

41

Figura 4. 11: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista lateral no plano YZ

Figura 4. 12: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista de cima no plano XY

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

42

Figura 4. 13: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista de frente no plano XZ

Figura 4. 14: Malha do modelo completo saudável - ABAQUS – vista de trás no plano ZX

Biomecânica da Coluna Lombar

43

4.5 Propriedades Mecânicas dos Vários Constituintes da Coluna Vertebral

Após a criação da unidade funcional L4-L5 em elementos finitos, é necessário conhecer as

propriedades mecânicas dos vários componentes utilizados na mesma, ligamentos vértebras e

disco intervertebral.

A escolha destas propriedades passou por um processo iterativo para a validação do

modelo, tendo em conta as diferentes bibliografias de um conjunto de artigos consultados (ver

anexos I-III).

Todos os componentes têm comportamento elástico, exceto o núcleo e a substância

viscosa do anel, que foram considerados como materiais hiperelásticos.

Resumem-se os valores das propriedades mecânicas escolhidas, através das tabelas 4.1-

4.4.

Tabela 4. 1: Propriedades Mecânicas das Vértebras

Módulo de Elasticidade E [MPa]

Coeficiente de Poisson ν

Ref.

Corpo Vertebral 12000 0,3 (Rodrigues 2012)

Como referido na secção 4.1, consideraram-se as vértebras como corpos rígidos; sendo

assim não se diferenciaram as propriedades do osso cortical do trabecular, nem dos elementos

posteriores, admitindo então que toda a vértebra é constituída por osso cortical, e tendo

então os vários constituintes as mesmas propriedades.

Tabela 4. 2: Propriedades Mecânicas das Juntas Intervertebrais

Módulo de Elasticidade E [MPa]

Coeficiente de Poisson ν

Ref.

Juntas Intervertebrais 5,5 0,4 (Rodrigues 2012)

Tabela 4. 3: Propriedades Mecânicas dos Ligamentos

Módulo de Elasticidade E [MPa]

Coeficiente de Poisson ν

Área da Secção [mm2]

Quantidade de Elementos

Ligamento Anterior ALL 20 0,3 53 5

Ligamento Posterior PLL 20 0,3 16 5

Intertransversal ITL 60 0,3 1,8 4

Interespinhoso ISL 10 0,3 26 6

Supraespinhoso SSL 10 0,3 23 3

Amarelo LF 20 0,3 67 3

Capsulas Articulares CL 8 0,3 43,8 6

Ref. (Rodrigues 2012) (Moramarco et al. 2010)

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

44

Tabela 4. 4: Propriedades Mecânicas do Disco Intervertebral

Módulo de Elasticidade E [MPa]

Coeficiente de Poisson ν

Área da Secção [mm2]

Ref.

Camada de Fibras 1-2 550 0,3 0,23 (Rodrigues

2012, Cheung,

Zhang, and Chow 2003)

Camada de Fibras 3-4 495 0,3 0,23

Camada de Fibras 5-6 440 0,3 0,19

Camada de Fibras 7-8 420 0,3 0,19

Camada de Fibras 9-10 385 0,3 0,09

Camada de Fibras 11-12-13 360 0,3 0,09

Núcleo Hiperelástico - Neo-Hooke:

C10=0,16 MPa D=0,024 MPa-1

(Weisse et al. 2012) Placas Cartilaginosas

Anel (substância viscosa)

Hiperelástico – Ogden, ordem = 3: μ1=0,45536 α1=0,4411 d1=8,76456E-03

μ2=0,00146 α2=16,0769 d2=0 μ3=-1,28931E-04 α3=-9.34948 d3=0

O módulo de elasticidade e a área da secção das fibras diminui desde a camada exterior

até à camada interior (Rodrigues 2012, Cheung, Zhang, and Chow 2003),tornando-se assim

mais finas e mais flexíveis, à medida que nos aproximamos do núcleo. Assim, atribuíram-se as

mesmas propriedades a cada par de camadas anelares, com exceção das últimas 3 camadas,

que têm propriedades mecânicas iguais entre si.

As propriedades consideradas para as placas cartilaginosas foram iguais às propriedades

atribuídas à substância viscosa do anel.

A validação do modelo e das suas propriedades é apresentada no capítulo 5.

4.6 Condições de Fronteira

Para a definição das condições fronteira teve-se por base a literatura (Moramarco et al.

2010, Weisse et al. 2012, Kuo et al. 2010).

As cargas vão ser aplicadas na superfície superior da vértebra L4. Como tal, a vértebra L5

tem de estar fixa.

Para fixar a vértebra L5, criou-se uma superfície que abrangesse todos os nós da parte

inferior de L5, ficando assim esses nós impossibilitados de se moverem em todos os graus de

liberdade.

Para que as placas cartilaginosas e as vértebras fossem solidárias umas com as outras, os

nós em contacto das vértebras e das placas foram como que “amarrados”; por exemplo para a

vértebra L4, no Abaqus/Cae, considerou-se uma superfície que compreendesse os nós da parte

inferior da vértebra L4 e outra superfície que incluísse os nós da face superior da placa e criou-

se um contacto “Tie” (função tie do programa abaqus) que impõe restrições entre pares de

Biomecânica da Coluna Lombar

45

superfícies, havendo uma superfície mestre e uma superfície “escravo”, solidária com a

mestre.

O mesmo foi criado para a superfície superior da vértebra L5 e a parte inferior da placa.

Nas superfícies de contacto entre o disco e as placas, os nós são os mesmos, e como tal

estes dois componentes já são solidários um com o outro.

Para as juntas intervertebrais, foi criada um par de contacto superfície-superfície.

Por fim, para se poderem aplicar as cargas, na superfície da vértebra L4 foi considerado

um ponto de referência no centro da mesma e todos os nós no topo da vértebra L4 foram

acoplados e ligados a esse ponto de referência. Esta opção de acoplamento de nós é utilizada

para impor uma restrição de acoplamento cinemático ou distribuir uma carga entre um nó de

referência e um grupo de nós localizados sobre uma superfície (Guan et al. 2006, Weisse et al.

2012).

4.7 Condições de Carga

A escolha das condições de carga passou também, como a escolha das propriedades, por

uma seleção de valores entre vários artigos disponíveis na bibliografia sobre as forças e

momentos na coluna vertebral, em especial na zona lombar e na zona L4-L5.

Os vários valores encontrados nas diferentes referências bibliográficas encontram-se no

anexo IV.

Na tabela 4.5 resumem-se os valores de força e momentos usados no estudo e a

comparação do comportamento mecânico ente o modelo saudável e com patologia.

Tabela 4. 5: Forças e Momentos Utilizados no Modelo de Elementos Finitos

Tipo de Esforço Força [N] Momento [N.m]

Compressão 500 -

Flexão/Extensão - ± 20

Flexão Lateral - -7,5

Torção - 11,45

É difícil quantificar as translações e rotações que as forças e momentos provocam, pois as

mesmas variam de vértebra para vértebra e dependem da posição anatómica em que se

encontram, e também da diversidade e especificidade do corpo humano, resultante de fatores

genéticos e ambientais que fazem a anatomia de cada um variável e única.

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

46

4.8 Construção da Unidade Funcional com Espondilolistese

Obtida a simulação numérica para a unidade funcional L4-L5 saudável, procedeu-se à

criação do modelo da unidade funcional com patologia – espondilolistese.

A modelação da patologia resume-se basicamente à obtenção da nova posição dos nós,

correspondente à aplicação de um certo deslocamento póstero-anterior à vertebra L4, no

modelo da unidade funcional saudável.

Inicialmente aplicou-se um deslocamento de 100% à vértebra L4 no plano sagital

(34,35mm) para se conseguir simular a patologia em grau IV e assim se poderem comparar os

vários graus de espondilolistese com a coluna saudável. Isto não foi possível, só se

conseguindo obter um deslocamento à volta de 12% do comprimento sagital da vértebra L4.

Para tal, “enfraqueceram-se” as vértebras, diminuindo o valor do módulo de young que as

caracteriza, com o objetivo de aumentar o deslocamento em condições patológicas. Porém, ao

diminuir o módulo de elasticidade, teve-se o cuidado de, ao deslocar L4, evitar a deformação

das vértebras; utilizando um módulo de young conseguia-se um deslocamento

quase de 72,5% - 25 mm - mas as apófises de L5 deformavam-se, o que não era desejado.

Verificou-se então que só era possível estudar e comparar a unidade funcional com grau I de

espondilolistese, aplicando um deslocamento máximo de 6,81 mm, 19,83%, e as vértebras

com , sem se deformarem.

Sendo assim, para a modelação da espondilolistese, aplicou-se um deslocamento de 6,81

mm segundo o eixo dos , obtendo-se assim uma nova localização dos nós da vértebra L4, do

disco e dos ligamentos. Nos ficheiros. inp a localização dos nós respeitante a cada componente

da unidade L4-L5 foi alterada, ficando modelada a unidade funcional L4-L5 com grau I de

espondilolistese.

A figura 4.15 seguinte ilustra o modelo numérico com patologia no Abaqus/Cae, na vista

lateral do plano YZ.

Figura 4. 15: Malha do modelo patológico - ABAQUS – vista lateral no plano YZ

Biomecânica da Coluna Lombar

47

Para se estudar e comparar os dois modelos, foram aplicadas as mesmas condições de

carregamento, tanto para a unidade funcional saudável como para a unidade funcional com

patologia anteriormente descritas.

Capítulo 4: Simulação – O Modelo Numérico 3D de Elementos Finitos

48

Biomecânica da Coluna Lombar

49

Capítulo 5 Resultados e Análise

Esta dissertação tem por objetivo o estudo das alterações mecânicas da coluna vertebral

com patologia. Antes de utilizarmos o modelo numérico de elementos finitos criado para

comparar a coluna saudável com a coluna patológica, nomeadamente o comportamento

mecânico da unidade funcional L4-L5 da coluna lombar com e sem patologia, é necessário

validar o modelo desenvolvido. Este será o objetivo da secção 5.1 deste capítulo.

Validado o modelo, na secção 5.2 apresentamos o estudo efetuado no sentido de

caracterizar o comportamento mecânico da unidade funcional L4-L5 saudável e apresentando

uma patologia, a espondilolistese.

5.1 Validação do Modelo Tridimensional de Elementos Finitos

Analisando os diferentes artigos, verificou-se que muitas simulações eram efetuadas

usando resultados experimentais para a validação do modelo. Tanto na bibliografia de

(Moramarco et al. 2010), como no artigo (Xiao et al. 2010), o comportamento experimental

das vértebras foi comparado com o modelo de elementos finitos para o mesmo tipo de

carregamento.

Para a validação do modelo da unidade funcional L4-L5 saudável, foram então testados

vários tipos de materiais para o disco intervertebral, para assim encontrar uma curva que

melhor se aproximasse dos resultados experimentais encontrados na literatura de (Markolf

and Morris 1974, Markolf. 1972, Brown, Hansen, and Yorra 1957).

Capítulo 5: Resultados e Análise

50

Resumindo, o método de validação passou por um processo iterativo relativamente à

escolha das propriedades mecânicas, obtendo-se as curvas de deslocamento axial (Markolf

and Morris 1974) e as curvas da “barriga” do disco intervertebral (Brown, Hansen, and Yorra

1957), quando a unidade funcional é sujeita a uma carga de compressão de 4000 N aplicada no

nó de referência definido. Considera-se em todos os modelos que o comportamento do corpo

vertebral é elástico. Analisou-se o comportamento da unidade funcional L4-L5 para cada tipo

de material e escolheu-se aquele cujos resultados se aproximam melhor dos valores

experimentais.

Inicialmente considerou-se o modelo linear elástico, tendo o disco um comportamento

linear, usando as seguintes propriedades – 1º caso (tabela 5.1) – verde.

Tabela 5. 1: Propriedades Modelo Elástico – 1º Caso

Componentes E [MPa] ν Ref.

Corpo Vertebral 12000 0,3 (Rodrigues 2012)

Juntas intervertebrais 5,5 0,4 (Rodrigues 2012)

Núcleo 1 0,49 (Rodrigues 2012)

Anel 4,2 0,45 (Rodrigues 2012)

Fibras Exterior/Interior 550/440/420/385/360 0,3 (Rodrigues 2012)

Placas Cartilaginosas 24 0,4 (Kurutz 2010)

Liga

me

nto

s

Anterior Longitudinal 20 0,3 (Rodrigues 2012)

Posterior Longitudinal 20 0,3 (Rodrigues 2012)

Intertransversal 60 0,3 (Rodrigues 2012)

Interespinhoso 10 0,3 (Rodrigues 2012)

Supraespinhoso 10 0,3 (Rodrigues 2012)

Amarelo 20 0,3 (Rodrigues 2012)

Capsular 8 0,3 (Rodrigues 2012)

Como o disco apresenta comportamento não linear-elástico, o modelo elástico não foi

validado e procuraram-se outras propriedades para o disco intervertebral.

Assim, fizeram-se vários testes para os vários valores e tipos de materiais, representados

nas tabelas 5.2 a 5.6.

2º Caso – roxo:

Tabela 5. 2: Propriedades do Disco - 2º Caso

Componentes Material Ref.

Núcleo Neo-Hooke: C10=0,12 MPa D=0,03 MPa-1

(Weisse et al. 2012)

Anel

Ogden ordem =3: μ1=0,45536, α1=0,4411, d1=8,76456E-03 μ2=0,00146, α2=16,0769, d2=0 μ3=-1,28931E-04, α3=-9.34948, d3=0

(Weisse et al. 2012)

Placas Cartilaginosas E = 24 MPa ν = 0,4 (Rodrigues 2012)

Biomecânica da Coluna Lombar

51

3º Caso – laranja:

Tabela 5. 3: Propriedades do Disco - 3º Caso

Componentes Material Ref.

Núcleo Neo-Hooke: C10=0,16 MPa D=0,024 MPa-1

(Moramarco et al.2010)

Anel

Ogden ordem =3: μ1=0,45536, α1=0,4411, d1=8,76456E-03 μ2=0,00146, α2=16,0769, d2=0 μ3=-1,28931E-04, α3=-9.34948, d3=0

(Weisse et al. 2012)

Placas Cartilaginosas E = 24 MPa ν = 0,4 (Rodrigues 2012)

4º Caso – rosa:

Tabela 5. 4: Propriedades do Disco - 4º Caso

Componentes Material Ref.

Núcleo Mooney-Rivlin: C10=0,12 C01=0,09 D1=0,01 (Xiao et al. 2010)

Anel Mooney-Rivlin: C10=0,56 C01=0,14 D1=0,01

(Xiao et al. 2010)

Placas Cartilaginosas E = 24 MPa ν = 0,4 (Rodrigues 2012)

5º Caso – azul:

Tabela 5. 5: Propriedades do Disco - 5º Caso

Componentes Material Ref.

Núcleo Mooney-Rivlin: C10=0,12 C01=0,09 D1=0,01

(Xiao et al. 2010)

Anel

Ogden ordem =3: μ1=0,45536, α1=0,4411, d1=8,76456E-03 μ2=0,00146, α2=16,0769, d2=0 μ3=-1,28931E-04, α3=-9.34948, d3=0

(Weisse et al. 2012)

Placas Cartilaginosas E = 24 MPa ν = 0,4 (Rodrigues 2012)

6º Caso – amarelo:

Tabela 5. 6: Propriedades do Disco - 6º Caso

Componentes Material Ref.

Núcleo Neo-Hooke: C10=0,12 MPa D=0,03 MPa-1

(Weisse et al. 2012)

Anel Placas Cartilaginosas

Ogden ordem =3: μ1=0,45536, α1=0,4411, d1=8,76456E-03 μ2=0,00146, α2=16,0769, d2=0 μ3=-1,28931E-04, α3=-9.34948, d3=0

(Weisse et al. 2012)

Capítulo 5: Resultados e Análise

52

Compararam-se também os valores para a unidade funcional com e sem ligamentos e

também com e sem fibras, concluindo-se que a diferença não é significativa, pois tanto as

fibras como os ligamentos só trabalham à tração.

Com os resultados obtidos foram construídos os gráficos das figuras 5.1 e 5.2.

Figura 5. 1: Força axial de compressão vs. deslocamento axial

Figura 5. 2: Força axial de compressão vs. "barriga" do disco

Para a elaboração do gráfico da figura 5.1 considerou-se um nó na superfície superior de

L4 na zona anterior. Este nó pode-se observar na figura 5.4, representado a vermelho.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 0,5 1 1,5 2

Forç

a A

xial

de

Co

mp

ress

ão [

N]

Deslocamento Axial [mm]

Força vs. Deslocamento (Markolf and Morris 1974)

(Brown et. al 1957)

(Markolf 1972)

1º Caso

2º Caso

3º Caso

4º Caso

5º Caso

6º Caso

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 0,5 1 1,5 2

Forç

a A

xial

de

Co

mp

ress

ão [

N]

Protuberância ou "Barriga" do Disco [mm]

Força vs. "Barriga" do Disco

(Brown et. Al 1957)

1º Caso

2º Caso

3º Caso

4º Caso

5º Caso

6º Caso

Biomecânica da Coluna Lombar

53

Analisando as diferentes curvas do gráfico 5.1, conclui-se de imediato que o 1º caso –

verde – é excluído, devido ao seu comportamento linear.

Observa-se também que todas as restantes curvas têm o mesmo comportamento que as

curvas experimentais de referência, embora umas mais próximas do que outras.

Verifica-se que considerando as propriedades material Neo-Hooke do núcleo – 2º e 3º

caso – roxo e laranja – a diferença é mínima, e como tal negligenciável.

Supondo o disco composto por material Mooney-Rivlin – 4º caso – rosa –, isto não traz

nenhuma vantagem, visto que tanto a curva de deslocamento axial, como a curva da “barriga”

se afastam das curvas experimentais obtidas na literatura.

Atribuindo ao anel o material Ogden (lei de comportamento) obtêm-se melhores

resultados; optou-se por comparar o núcleo composto por Neo-Hooke – 2º caso – roxo – com

o núcleo composto por Mooney-Rivlin – 5º caso – azul, concluindo-se que o 2º caso se

aproxima mais das curvas da bibliografia, e por isso o núcleo ficou com as propriedades do 2º

caso – tabela 5.2.

Por fim, experimentou-se aplicar as mesmas propriedades do anel às placas

cartilaginosas, com o objetivo de comparar o comportamento da unidade funcional L4-L5

considerando as placas hiperelásticas – 6º caso – amarelo ou compostas por material elástico

– 2º caso.

Figura 5. 3: Imagem em corte das placas - 2º Caso - 6º Caso

Como se verifica na figura 5.3, quando as placas são constituídas por material elástico –

imagem da esquerda – estas não correspondem ao comportamento esperado, o que já não

acontece quando são compostas por material hiperelástico – 6º caso – imagem da direita.

Quando o material do anel e das placas é o mesmo, estas são solidárias com o disco, obtendo-

se o comportamento desejado.

Analisando as curvas de deslocamento axial e da “barriga” do disco (considerando para o

efeito um nó a meio do disco na zona anterior – figura 5.5), verifica-se que é no 6º caso,

quando as placas e o anel têm as mesmas propriedades, que a curva do modelo numérico se

melhor aproxima das curvas experimentais obtidas na bibliografia.

Capítulo 5: Resultados e Análise

54

Concluindo, as propriedades da tabela 5.6 – 6º caso – são as propriedades adequadas ao

modelo, ficando assim validado o modelo tridimensional de elementos finitos da unidade

funcional L4-L5.

5.2 Comportamento Mecânico da Unidade Funcional da Coluna L4-L5 para Diferentes Tipos de Carga Aplicados

Validado o modelo tridimensional da unidade funcional L4-L5 é possível simular e estudar

alguns casos de carga, comparando os valores para uma unidade funcional saudável e uma

com espondilolistese.

No capítulo 4, na secção 4.7, foram enunciados os casos de carga aplicados para cada

exemplo:

5.2.1 - Compressão

5.2.2 - Extensão/Flexão

5.2.3 - Flexão Lateral

5.2.4 - Torção

5.2.1 – Compressão

Para o caso de compressão, foi aplicada uma carga de -500 N ao nó de referência e, como

os nós estão acoplados uns nos outros, esta força foi distribuída ao longo da superfície

superior da vertebra L4.

As figuras 5.6 e 5.7 ilustram o campo de deslocamentos axial em Z da unidade funcional

saudável e da unidade funcional com patologia, respetivamente, obtido pelo programa Abaqus

(Abaqus/Cae), quando sujeita a uma compressão.

Figura 5. 4: Nó onde é medido a protuberância do disco intervertebral

Figura 5. 5: Nó onde é medido deslocamento axial máximo

Biomecânica da Coluna Lombar

55

Figura 5. 6: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável - Modelo de carga: Compressão

Figura 5. 7: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica - Modelo de carga: Compressão

Observando as figuras 5.6 e 5.7 obtidas, verificamos que a vértebra L4 do modelo

patológico se desloca mais axialmente e no eixo ântero-posterior.

No gráfico da figura 5.8 apresenta-se o deslocamento vertical da vértebra L4 para o

modelo saudável – azul – e com espondilolistese – vermelho.

Capítulo 5: Resultados e Análise

56

Figura 5. 8: Força vs. Deslocamento - Compressão

Como seria de esperar, e observando o gráfico anterior, o modelo saudável tem um

deslocamento axial menor do que o modelo com espondilolistese. Ou seja, quando um

paciente apresenta uma espondilolistese, o disco está mais fragilizado, e propenso a um maior

deslocamento axial das vértebras superiores.

No gráfico da figura 5.9 está representada a “barriga” do disco, para os dois modelos.

Figura 5. 9: Força v. "Barriga" do Disco - Compressão

Observando o gráfico, verifica-se que o disco saudável tem uma deformação radial

anterior maior do que o disco com patologia. Isto deve-se ao facto de o disco com

espondilolistese já se encontrar deformado inicialmente, ao contrário do disco saudável.

0

100

200

300

400

500

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Forç

a d

e C

om

pre

são

[N

]

Deslocamento axial de L4 [mm]

Força vs. Deslocamento

Saudável

Patologia

0

100

200

300

400

500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Forç

a d

e C

om

pre

ssão

[N

]

Protuberância ou "Barriga" do Disco [mm]

Força vs. "Barriga" do Disco

Saudável

Patologia

Biomecânica da Coluna Lombar

57

Relativamente às tensões nos discos, mostra a distribuição de tensão mínima principal no

disco saudável e no disco com patologia, respetivamente.

Figura 5. 10: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e patológico, respetivamente - Modelo de carga: Compressão

Como se pode observar, a distribuição de tensão na zona do anel é idêntica nos dois

modelos. Quando nos aproximamos do núcleo, a distribuição de tensão já não é a mesma. No

disco saudável, a zona posterior está mais sujeita a compressão – azul escuro –, sendo a

tensão máxima principal de -0,6234 MPa, enquanto no disco com patologia a zona anterior

possuí uma tensão máxima principal de -0,7105 MPa.

Os valores de tensão do disco saudável na zona anterior, onde o disco com

espondilolistese está mais crítico, apresentam um valor de aproximadamente -0,4647 MPa.

Ao contrário, no disco com patologia, obtém-se um valor aproximadamente de -0,6507

MPa na zona posterior, onde o disco saudável é mais critico.

Comparando estes valores máximos, repara-se que o disco não saudável apresenta

tensões mais elevadas. A diferença da tensão mínima na zona posterior não é muito grande,

concluindo-se que a zona anterior do disco está mais sujeita a tensão.

5.2.2 – Extensão/Flexão

Para o caso de extensão e flexão, foi aplicado um momento de -20 Nm e de +20 Nm,

respetivamente, distribuído na superfície superior da vertebra L4.

As figuras 5.11 e 5.12 ilustram o campo de deslocamento axial da unidade funcional

saudável e da unidade funcional com patologia, obtida nos Abaqus/Cae, respetivamente,

quando sujeito a extensão.

Capítulo 5: Resultados e Análise

58

Figura 5. 11: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável - Modelo de carga: Extensão

Figura 5. 12: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica - Modelo de carga: Extensão

Observando as duas imagens, verifica-se que a distribuição é bastante parecida, sendo as

apófises o que sofre um deslocamento maior.

As figuras 5.13 e 5.14 ilustram o campo de deslocamentos da unidade funcional, quando

sujeita a flexão.

Biomecânica da Coluna Lombar

59

Figura 5. 13: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável - Modelo de carga: Flexão

Figura 5. 14: Campo de deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica - Modelo de carga: Flexão

Mais uma vez, repara-se que as apófises são a parte da vertebra onde se observam

maiores deslocamentos. De igual forma que no caso de compressão, o modelo saudável tem

um deslocamento axial menor do que o modelo com espondilolistese.

Assim, foi construído o gráfico da figura 5.15, rotação vs. momento, tanto para a

extensão, como para a flexão.

Capítulo 5: Resultados e Análise

60

Figura 5. 15: Ângulo de Rotação vs. Momento - Extensão/Flexão

Como seria de esperar, o modelo saudável tem um ângulo de rotação menor do que o

modelo com espondilolistese.

No gráfico da figura 5.16 compara-se a curvatura da parede do anel para os dois modelos.

Para o caso da flexão, a “barriga” foi medida como se ilustra na figura 5.5, e no caso da

extensão considerou-se um nó a meio do disco na zona posterior.

Figura 5. 16: Momento vs. "Barriga" do Disco - Extensão/Flexão

Analisando o gráfico, verifica-se que à flexão, o disco do modelo saudável deforma-se

mais na zona anterior do que o disco com patologia. Quando a unidade funcional é sujeita à

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5

Ân

gulo

de

Ro

taçã

o [

grau

sᵒ]

Momento [Nm]

Ângulo de rotação vs. Momento

Saudável

Patologia

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Mo

me

nto

[N

m]

Curvatura da Parede do Anel [mm]

Momento vs. "Barriga" do Disco

Saudável

Patologia

Extensão Flexão

Extensão

Flexão

Biomecânica da Coluna Lombar

61

extensão, o contrário torna-se válido, tendo o disco com patologia uma deformação posterior

muito maior do que o disco saudável, como se pode confirmar visualizando as figuras 5.13 e

5.14.

A figura 5.17 mostra a distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e no

disco com patologia, respetivamente, para a extensão.

Figura 5. 17: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e patológico, respetivamente - Modelo de carga: Extensão

A distribuição de tensão é similar nos dois modelos, mas o valor da tensão mínima

principal na zona posterior do disco saudável é de -1,049 MPa enquanto no disco com

patologia é de -2,471 MPa, mais do que o dobro. Ou seja, mais uma vez se conclui que o disco

com patologia é menos resistente.

A figura 5.18 apresenta a distribuição de tensão mínima principal, para a solicitação à

flexão.

Figura 5. 18: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável e patológico, respetivamente - Modelo de carga: Flexão

Capítulo 5: Resultados e Análise

62

Na zona sujeita à compressão, o valor da tensão mínima principal no disco saudável é de -

0,5607 MPa e no disco com patologia é de -1,238 MPa. Repete-se o mesmo que acontece

quando o disco é sujeito à extensão, o valor da tensão é novamente mais que o dobro quando

há patologia.

Comparando a distribuição de tensão quando a unidade funcional está sujeita à extensão

com a unidade funcional sujeita à flexão, pode dizer-se que os resultados obtidos são

coerentes com o esperado, visto que para o primeiro caso, extensão, a zona anterior está à

sujeita à tração – vermelho – e a zona posterior à compressão – azul. O contrário acontece

quando existe flexão: a zona anterior está sujeita à compressão e a posterior à tração.

Conclui-se então, novamente, que o disco com patologia apresenta tensões mais

elevadas, é menos resistente e tem uma maior tendência a deformar-se, principalmente

quando sujeito a flexão.

5.2.3 – Flexão Lateral

Para o caso de flexão lateral, foi apenas considerada a flexão lateral direita, assumindo

que a flexão lateral esquerda se comporta da mesma maneira; para o efeito aplicou-se um

momento de -7,5 Nm que foi distribuído na superfície superior da vertebra L4.

As figuras 5.19 e 5.20 ilustram o campo de deslocamento axial em da unidade funcional

saudável e da unidade funcional com patologia, obtida nos Abaqus/Cae.

Figura 5. 19: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável – Modelo de carga: Flexão Lateral

Biomecânica da Coluna Lombar

63

Figura 5. 20: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional patológica – Modelo de carga: Flexão Lateral

A distribuição dos deslocamentos é similar tanto na unidade funcional saudável como na

unidade funcional com patologia. Esta circunstância é comprovada com a representação do

gráfico da figura 5.21 que relaciona o momento aplicado com o ângulo de rotação da vértebra

L4, no lado direito.

Figura 5. 21: Ângulo de rotação vs. momento - Flexão Lateral

0

0,25

0,5

0,75

0 2,5 5 7,5

Ân

gulo

de

Ro

taçã

o [

grau

sᵒ]

Momento [Nm]

Ângulo de rotação vs. Momento

Saudável

Patologia

Capítulo 5: Resultados e Análise

64

Como se pode confirmar no gráfico da figura 5.21, o ângulo de rotação do modelo

saudável e o ângulo de rotação do modelo com espondilolistese são praticamente iguais para

este caso de carga.

Foi também comparada a curvatura da parede do anel construindo o gráfico da figura

5.22, que relacciona o momento aplicado com a curvatura da parede do anel. Para o efeito foi

considerado um nó a meio do disco no lado direito.

Figura 5. 22: Momento vs. "Barriga" do disco - Flexão Lateral

Analisando o gráfico, verifica-se que a diferença entre a “barriga” apresentada pelo disco

saudável e a “barriga” do disco não saudável é muito pequena, correspondendo a uma

diferença máxima de 0,028 mm.

Relativamente à tensão nos discos, figuras 5.23 e 5.24, obtém-se a seguinte distribuição

de tensão mínima principal no disco saudável e no disco com patologia, respetivamente, para

a flexão lateral.

Figura 5. 23: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável – Modelo de carga: Flexão Lateral

0

2,5

5

7,5

0 0,15 0,3 0,45 0,6

Mo

me

nto

[N

m]

Curvatura da Parede do Anel [mm]

Momento vs. "Barriga" do Disco

Saudável

Patologia

Biomecânica da Coluna Lombar

65

Figura 5. 24: Distribuição de tensão mínima principal no disco patológico – Modelo de carga: Flexão Lateral

Observando as figuras anteriores repara-se que a distribuição de tensão corresponde ao

esperado, compressão no lado direito – azul – e tração no lado esquerdo – vermelho. À

compressão, o valor da tensão mínima principal é de -0,689 MPa para o disco saudável e de -

0,8162 MPa para o disco com espondilolistese. Mais uma vez, se conclui que o disco com

patologia está mais sujeito à tensão, apesar de para este caso a diferença ser pequena.

Para o caso da flexão lateral conclui-se que, embora o disco com espondilolistese esteja

mais sujeito à tensão, a diferença no deslocamento axial da vértebra L4 e também da

curvatura do disco no modelo saudável e no modelo com patologia é mínima. Isto deve-se ao

facto da espondilolistese corresponder a um deslizamento póstero-anterior da vértebra

superior e por isso o deslocamento lateral ser irrelevante.

5.2.4 – Torção

Por fim, para o caso da torção, foi aplicado um momento de +11,45 Nm em torno do eixo

para simular uma rotação da vértebra L4 em relação à vértebra L5, que está fixa.

As figuras 5.25 e 5.26 ilustram a distribuição do deslocamento axial em da unidade

funcional saudável e da unidade funcional com patologia, respetivamente.

Capítulo 5: Resultados e Análise

66

Figura 5. 25: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional saudável – Modelo de carga: Torção

Figura 5. 26: Distribuição do deslocamento axial em Z da unidade funcional patológico – Modelo de carga: Torção

Analisando as imagens anteriores podemos concluir que a vértebra L4 tem uma rotação

em torno do eixo , no caso do modelo com patologia maior do que no caso do modelo

saudável.

Para a solicitação de torção, foi apenas estudada a curvatura da parede do anel

construindo o gráfico da figura 5.27 e considerando o nó da figura 5.5.

Biomecânica da Coluna Lombar

67

Figura 5. 27: Momento vs. "Barriga" do disco - Torção

Observando o gráfico da figura 5.27 verifica-se que o disco com espondilolistese sofre

uma curvatura da parede do anel maior do que o disco saudável.

Relativamente à tensão nos discos, as figuras 5.28 e 5.29 mostram a distribuição da

tensão mínima principal, no disco saudável e no disco com patologia, respetivamente, para a

torção.

Figura 5. 28: Distribuição de tensão mínima principal no disco saudável – Modelo de carga: Torção

0

2,5

5

7,5

10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Mo

me

nto

[N

m]

Curvatura da Parede do Anel [mm]

Momento vs. "Barriga" do Disco

Saudável

Patologia

Capítulo 5: Resultados e Análise

68

Figura 5. 29: Distribuição de tensão mínima principal no disco patológico – Modelo de carga: Torção

Observando as figuras anteriores, verifica-se que no modelo saudável a distribuição de

tensão é bastante homogénea, havendo no lado esquerdo, perto do núcleo, uma região mais

sujeita à compressão. No entanto, a distribuição de tensão no modelo com patologia não é

homogénea, estando o lado direito sujeito à tração e o lado esquerdo á compressão.

Tanto no modelo saudável como no não saudável, a zona mais crítica à compressão é a

mesma. Comparando o valor máximo à compressão, no modelo sem patologia igual a -0,2396

MPa e no modelo com espondilolistese igual a -0,4766, constata-se, mais uma vez que o disco

não saudável é mais sensível.

5.3 Análise Mecânica de Resultados

Após simulados os vários casos de carga da unidade funcional L4-L5, podemos então

analisar os diversos resultados obtidos.

No caso da compressão, a vértebra tem um deslocamento axial maior no caso da unidade

funcional com patologia. Já na curvatura da parede no anel, esta é maior no modelo

tridimensional saudável.

No caso da flexão, podem tirar-se as mesmas conclusões que foram tiradas no caso da

compressão. A vértebra L4 tem uma rotação maior no modelo com patologia, mas o disco faz

uma “barriga menor” no modelo não saudável.

Isto deve-se ao facto do disco com espondilolistese já ter experimentado um

deslocamento prévio, tendo uma tendência a deformar-se mais, possuindo um deslocamento

axial maior. A parte anterior é sempre a mais crítica, pois é a que está sujeita a mais cargas.

No caso da extensão, temos uma rotação maior no modelo com patologia, assim como

uma maior curvatura da parede do anel.

Biomecânica da Coluna Lombar

69

Quando existe flexão lateral, não existem grandes diferenças na rotação da vertebra L4

nem da protuberância do disco, pois como a espondilolistese é um deslocamento postero-

anterior, o deslizamento lateral não faz grande diferença, sendo assim irrelevante.

Por fim, existindo uma torção, verifica-se que o ângulo da vertebra superior é maior no

caso não saudável, sendo a “barriga” do disco maior também no caso com patologia.

Em qualquer um dos casos e modelos, constata-se que as zonas mais críticas estão

sempre à compressão.

Verifica-se assim que, para diferentes tipos de carga, o comportamento relativo da

unidade funcional com e sem patologia é diferente.

5.4 Análise Clínica de Resultados

Os resultados mecânicos vão de encontro ao que empiricamente se imagina, resultando

assim na precocidade da degenerescência discal em doentes com espondilolistese, ou com o

potencial para criar ruturas anelares com formação de hérnia discal.

Havendo uma maior deformação do disco e grandes deslocamentos dos segmentos

contíguos, existe uma maior possibilidade de lesão neurológica, havendo um aumento de

deformação na zona lombar.

Pode-se concluir que a unidade funcional com patologia tem uma maior probabilidade

para contrair lesões do disco como a ocorrência de protusão e outros tipos de hérnias.

O quadro da espondilolistese é muito dependente dos fatores fisionómicos de cada ser

humano. Dois indivíduos sujeitos as mesmas condições patológicas vão apresentar sintomas e

evoluções diferentes e únicas para cada um, podendo haver fatores agravantes/moderantes

em cada um dos casos.

O traço comum para todos os casos de espondilolistese baseia-se na relação direta entre

pressão e sintomas. Com o agravamento do quadro e com o aumento da pressão exercida

sobre os discos e a unidade funcional, a sintomatologia vai igualmente aumentando. Com um

pequeno desvio, observa-se somente pequenos sintomas parestéticos e possivelmente da

função motora, mas com o evoluir e progressão da patologia os grandes níveis de degeneração

podem se fazer sentir por quadros mais alarmantes podendo inclusive manifestar-se por

incapacidade de locomoção, perda da coordenação motora, distúrbios do sistema urinário e

gastrointestinal sendo para tais casos a única solução a intervenção cirúrgica e reposição da

coluna para condições fisiológicas.

Capítulo 5: Resultados e Análise

70

Biomecânica da Coluna Lombar

71

Capítulo 6 Conclusões e Trabalhos Futuros

O uso de modelos computacionais da coluna vertebral está em constante crescimento no

estudo da biomecânica e das várias patologias existentes na coluna humana.

O objetivo principal deste trabalho foi o estudo biomecânico do comportamento de uma

coluna lombar patológica. Assim, construiu-se um modelo tridimensional pelo método dos

elementos finitos da unidade funcional L4-L5 saudável e comparou-se com um modelo de L4-

L5 com patologia, a espondilolistese, sujeito a vários tipos de carregamento, consoante os

movimentos da coluna.

Um modelo em elementos finitos elimina os custos e riscos do tecido biológico (cadáver),

bem como é capaz de fornecer dados sobre algumas medidas que são impossiveis de adquirir

num cadáver, tais como a pressão no disco. Pela validação do modelo mostra-se que o

método dos elementos finitos é uma técnica bastante útil no estudo da cinemática e

comportamento da coluna, particularmente das unidades funcionais. Estes modelos devem ser

validados de acordo com a biomecânica do movimento da coluna vertebral.

Construído o modelo e considerando as respetivas propriedades mecânicas, conclui-se

que o modelo tridimensional final possui um comportamento não-linear, uma vez o disco ser

de material hiperelástico.

Quando os modelos são sujeitos à compressão ou flexão, verifica-se que a unidade

funcional L4-L5 patológica tem um deslocamento axial maior do disco e, por conseguinte, está

sujeito a uma tensão maior.

No caso da flexão lateral não existe grande diferença na rotação de L4 visto que a

espondilolistese é um deslocamento postero-anterior, na qual o deslizamento lateral é

insignificante.

Capítulo 6: Conclusões

72

Existindo uma torção na coluna, verifica-se que o ângulo da vertebra superior é maior no

caso não saudável, sendo a “barriga” do disco maior também no caso com patologia.

Nos dois modelos estudados, verifica-se que o disco está mais sujeito à compressão.

Em conclusão, com uma maior deformação do disco e grandes deslocamentos dos

segmentos contíguos, existe uma maior possibilidade de lesão neurológica, havendo um

aumento de deformação na zona lombar. Pode-se concluir que a unidade funcional com

patologia tem uma maior probabilidade para lesões do disco, como a ocorrência de protusão e

formação de hérnias.

O presente modelo pode ser considerado uma ferramenta útil para estudar a unidade

funcional L4-L5 sujeita a vários tipos de carregamentos; pode ser considerado como um

primeiro passo para criação de um modelo da coluna lombar total L1-L5, incluindo mais

segmentos vertebrais e melhorando a malha de elementos finitos. Será importante também

adicionar músculos e estudar a evolução de diferentes patologias e a conceção de implantes

tais como, por exemplo, a substituição total do disco, sistemas com parafuso, espaçadores

interespinhosos, entre outros.

Este estudo permite concluir sobre as alterações dos discos intervertebrais que ocorrem

em consequência de patologias da coluna. Uma análise interessante seria o estudo da

espondilolistese com rutura das lâminas transversas. A adição de segmentos vertebrais

poderia também permitir o estudo da patologia escoliótica, assim como a determinação dos

esforços induzidos após a cirurgia.

Um outro estudo interessante, para trabalho futuro, seria a utilização da ferramenta

desenvolvida no estudo do comportamento pré e pós cirurgico de uma qualquer unidade

funcional da coluna.

O estudo das patologias da coluna vertebral permite tirar conclusões sobre a estabilidade

da coluna e sobre a distribuição de forças pelo corpo.

Biomecânica da Coluna Lombar

73

Capítulo 7 Referências Bibliográficas

A

ABAQUS - Theory Manual Version 6.8. 2008

ABC MED. 2012. “Espondilolistese: o que é isso?”. Acedido a 10 Abril 2013

http://www.abc.med.br/p/321500/espondilolistese+o+que+e+isso.htm

Alcântara, Idalina, Sérgio Silva, António Completo, Fernando Fonseca, José Veloso,

António Ramos, Carlos Relvas, and José Simões. 2011. Avaliação do comportamento

biomecânico da vértebra nativa e protésica, Engenharia Mecânica, Universidade de Aveiro.

B

Barbosa, Tiago. 2008. Introdução à Biomecânica. Instituto Politecnico de Bragança.

Barros, Renata. 2013. “Espondilólise e Espondilolistese”. Acedido a 10 Abril 2013

http://fisioterapiarenatabs.blogspot.pt/2013/01/pilates-no-tratamento-das-

escolioses.htmlBarbosa, Tiago. 2008. Introdução à Biomecânica, Instituto Politécnico de

Bragança.

Brown, Thornton, Robert J. Hansen, and Alvin J. Yorra. 1957. "Some Mechanical Tests on

the Lumbosacral Spine with Particular Reference to the Intervertebral Discs." Bone Joint Surg

A.m no. 39-A(5):1135-1164.

Capítulo 7: Referências Bibliográficas

74

C

Cavanagh, P. R., and M. M. Rodgers. 1987. "The arch index: an useful measure from

footprints." J Biomech. no. 20:547-51.

Cheung, Jason Tak-Man, Ming Zhang, and Daniel Hung-Kay Chow. 2003. "Biomechanical

responses of the intervertebral joints to static and vibrational loading: a finite element study."

Clinical Biomechanics. no. 18 (9):790-799.

Ciudad, Elisa Roldán. 2011. “Estudio por Elementos Finitos de la Mecanica Lumbar

Humana. Análisis de la Degeneracion Discal”. MS, Ingeniería Biomédica, Universidad de

Zaragoza, Instituto Universitario de investigación Ingeniería de Aragon.

Clinica Deckers. 2012. “O que são espondilolise e espondilolistese”. Acedido a 10 Abril

2013

http://www.clinicadeckers.com.br/html/orientacoes/ortopedia/039_espondilolise.html

Conci, Aura. 2010. Raio X e Tomografia Computorizada.

http://www2.ic.uff.br/~aconci/RaioXeTomografiaComputadorizada.pdf

Coombs, Dana, Milind Rao, Michael Bushelow, James Deacy, Peter Laz, and Paul

Rullkoetter. 2011. “Simulation of Lumbar Spine Biomechanics Using Abaqus.” In SIMULIA

Customer Conference. University of Denver.

D

Dezan, Valério Henrique. 2005. “Análise do Comportamento Mecânico dos Discos

Interveterbrais em Diferentes Faixas Etárias”. MS, Engenharia Mecânica, Universidade Federal

do Paraná.

Dinis, Lucia. 2005a. Apontamentos da Diciplina Mecânica dos Sólidos Não-Linear. FEUP,

Porto.

Dinis, Lúcia. 2005b. Slides de Hiperelasticidade da disciplina Mecânica dos Sólidos Não-

Linear. FEUP, Porto.

Dr Ivan Rocha. 2012. “Lombalgia (Dor Lombar)”. Acedido a 15 Abril 2013.

http://www.drivanrocha.com.br/website/index.php?option=com_content&view=article&

id=37&Itemid=79

E

Eberlein, Robert, Gerhard A. Holzapfel, and Christian A. J. Schulze-Bauer. 2001. "An

Anisotropic Model for Annulus Tissue and Enhanced Finite Element Analyses of Intact Lumbar

Disc Bodies." Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. no. 4 (3):209-

229.

F

Biomecânica da Coluna Lombar

75

G

Grauer, J. N., A. Biyani, A. Faizan, A. Kiapour, K. Sairyo, A. Ivanov, N. A. Ebraheim, TCh

Patel, and V. K. Goel. 2006. "Biomechanics of two-level Charite artificial disc placement in

comparison to fusion plus single-level disc placement combination." Spine J. no. 6 (6):659-66.

Guan, Y., N. Yoganandan, J. Zhang, F. A. Pintar, J. F. Cusick, C. E. Wolfla, and D. J. Maiman.

2006. "Validation of a clinical finite element model of the human lumbosacral spine." Med Biol

Eng Comput. no. 44 (8):633-41.

H

Hatze, Herbert. 1974. "The meaning of the term biomechanics." Journal of Biomechanics

no. 7: 189–190.

Holzapfel, G.A. 2000. Nonlinear Solid Mechanics. Edited by Wiley. New York.

Hoss, Leonardo. 2009. “Modelos Constitutivos Hiperelásticos para Elastômeros

Incompressíveis: Ajuste, Comparação de Desempenho e Proposta de um Novo Modelo”. PhD,

Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sol.

I

ITTC Wordpress. 2010. “Notes on Anatomy and Physiology: The Intervertebral Discs”.

Acedido a 5 Abril 2013

http://ittcs.wordpress.com/2010/06/01/anatomy-and-physiology-the-intervertebral-

discs/

J

Joshi, Abhijeet Bhaskar. 2004. “Mechanical Behavior of the Human Lumbar Intervertebral

Disc with Polymeric”. PhD, Drexel University.

K

Kakol, W., T. Lodygowski, M. B. Ogurkowska, and M. Wierszycki. 2003. Numerical

modeling of spinal motion segment. In 2003 ABAQUS User's Conference. Poland.

Knudson, Duane. 2007. Fundamentals of Biomechanics. Second Edition ed, Springer.

Kuo, C. S., H. T. Hu, R. M. Lin, K. Y. Huang, P. C. Lin, Z. C. Zhong, and M. L. Hseih. 2010.

"Biomechanical analysis of the lumbar spine on facet joint force and intradiscal pressure--a

finite element study." BMC Musculoskelet Disord. no. 11:151.

Kurutz, Marta. 2010. “Finite Element Modelling of Human Lumbar Spine, Finite Element

Analysis”. InTech. Available from:

http://www.intechopen.com/books/finite-element-analysis/finite-element-modelling-of-

human-lumbar-spine-

Capítulo 7: Referências Bibliográficas

76

Kurutz, Marta and László Oroszváry. 2012. “Finite Element Modeling and Simulation of

Healthy and Degenerated Human Lumbar Spine, Finite Element Analysis”. InTech. Available

from:

http://www.intechopen.com/books/finite-element-analysis-from-biomedical-

applications-to-industrial-developments/finite-element-modeling-and-simulation-of-healthy-

and-degenerated-human-lumbar-spine

L

Little, J. P., C. J. Adam, J. H. Evans, G. J. Pettet, and M. J. Pearcy. 2007. "Nonlinear finite

element analysis of anular lesions in the L4/5 intervertebral disc." J Biomech no. 40 (12):2744-

51.

Lourenço, Paulo B. 1999. Métodos Computacionais na Mecânica dos Sólidos Não-Linear.

Univerdidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil

M

Maia, João 2012, “Espondilólise e Espondilolistese”. Acedido a 10 Abril 2013

http://fisioterapiajoaomaia.blogspot.pt/2012/12/espondilolise-e-espondilolistese.html

Markolf, K.L., and J. Morris. 1974. "The structural components of the vertebral disc. A

study of their contribution to the ability of the disc to with stand compressive force." Journal

of Bone and Joint Surgery. no. 56, 675–687.

Markolf., Keith L. 1972. "Deformation of the Thoracolumbar Intervertebral Joints in

Response to External Loads." Journal of Bone and Joint Surgery. no. 54-A no.3.

Mooney, M.1940. “A theory of large elastic deformation”. Journal of Applied Physics. vol.

11, pp. 582 - 592.

Moramarco, V., A. Perez del Palomar, C. Pappalettere, and M. Doblare. 2010. "An accurate

validation of a computational model of a human lumbosacral segment." J Biomech no. 43

(2):334-42.

Moramarco, Vincenzo; Macchia, Claudia; Pappalettere, Carmine; and Pérez del Palomar,

Amaya. 2011. “Influence of End-Plates on Biomechanical Response of the Human Lumbosacral

Segment”. InTech. Available from:

http://www.intechopen.com/books/ct-scanning-techniques-and-applications/influence-

of-end-plates-on-biomechanical-response-of-the-human-lumbosacral-segment

Morioka, E. H., A. N. Onodera, I. C. N. Sacco, M. R. Sá, and A. C. Amadio. 2005. “Avaliação

do arco longitudinal medial através da impressão plantar em crianças de 3 a 10 anos”. In Anais:

XI Congresso Brasileiro de Biomecânica.

Biomecânica da Coluna Lombar

77

N

Ngwa, Matthias, and Ephraim Agyingi. 2012. "A model of fluid injection into the spinal

disc." Applied Mathematical Modelling. no. 36 (6):2550-2566.

O

Ogden, R., 1984. Non-Linear Elastic Deformations. Edited by: Dover Publications.

P

Panjabi, M.M., T.R. Oxland, I. Yamamoto, and J.J. Crisco. 1994. "Mechanical behavior of

the human lumbar and lumbo sacral spine as shown by three-dimensional load–displacement

curves." American Journal of Bone and Joint Surgery. no. 76, 413-424.

Panjabi, Manohar M. 2003. "Clinical spinal instability and low back pain." Journal of

Electromyography and Kinesiology. no. 13 (4):371-379.

Q

R

Ribeiro, João, Hernâni Lopes, Bebiana Mendonça, and Pedro Martins. 2012.

"Determinação do Campo de Deslocamentos de Tecidos Biológicos Hiperelásticos." Revista

Iberoamericana de Ingeniería Mecánica no. 16, N.º 1:37-49.

Rodrigues, António Miguel Cardia Melro. 2012. “Análise e projecto de estruturas para

substituição do disco intervertebral, Engenharia Mecânica”. MS, Universidade Nova de Lisboa,

Faculdade de Ciências e Tecnologias.

S

Schmidt, H., F. Heuer, J. Drumm, Z. Klezl, L. Claes, and H. J. Wilke. 2007. "Application of a

calibration method provides more realistic results for a finite element model of a lumbar spinal

segment." Clin Biomech (Bristol, Avon). no. 22 (4):377-84.

Schröder, Yvonne. 2008. Putting pressure on the spine: An osmoviscoelastic FE model of

the intervertebral disc, Technische Universiteit Eindhoven.

T

U

Capítulo 7: Referências Bibliográficas

78

V

Vena, Pasquale, Giampaolo Franzoso, Dario Gastaldi, Roberto Contro, and Villiam Dallolio.

2005. "A finite element model of the L4–L5 spinal motion segment: biomechanical

compatibility of an interspinous device." Computer Methods in Biomechanics and Biomedical

Engineering. no. 8 (1):7-16.

Viceconti, M., Olsen, S., & Burton, K. 2005. Extracting clinically relevant data from finite

element simulations. Clinical Biomechanics - BioMedTown. Available from:

https://www.biomedtown.org/biomed_town/vphop/reception/knowledgement/MarcoVi

ceconti

Vieira, A. L., V. Leal, and M. E. Silveira. 2010. “Avaliação de Modelos Hiperelásticos na

Simulação Numérica de um Suporte de Motor Automotivo”. MS, Universidade Federal de São

João Del-Rei.

Vieira, Tiago. 2010. “Espondilolistese”. Youtube vídeo, 0:27, Acedido a 10 Abril 2013.

http://www.youtube.com/watch?v=UxZtA0g0h-I

W

Wang, W., H. Zhang, K. Sadeghipour, and G. Baran. 2013. "Effect of posterolateral disc

replacement on kinematics and stress distribution in the lumbar spine: a finite element study."

Med Eng Phys. no. 35 (3):357-64.

Weisse, B., A. K. Aiyangar, Ch Affolter, R. Gander, G. P. Terrasi, and H. Ploeg. 2012.

"Determination of the translational and rotational stiffnesses of an L4-L5 functional spinal unit

using a specimen-specific finite element model." J Mech Behav Biomed Mater. no. 13:45-61.

X

Xiao, Zhitao, Liya Wang, He Gong, Dong Zhu, and Xizheng Zhang. 2011. "A non-linear finite

element model of human L4-L5 lumbar spinal segment with three-dimensional solid element

ligaments." Theoretical and Applied Mechanics Letters, no. 1 (6):064001.

Xiao, Zhitao, Liya Wang, Le Gong, Go Jiazi, and Xizheng Zhang. 2010. Establishment and

Verification of a Non-Linear Finite Element Model of Human L4-L5 Lumbar Segment. In 3rd

International Conference on Biomedical Engineering and Informatics.

Y

Z

Zienkiewicz, O. C., and R. L. Taylor. 2000. The Finite Element Method. Edited by

Butterworth-Heinemann. Vol. 2: Solid Mechanics.

ANEXOS

79

ANEXOS

Anexo I – Tabelas de Propriedades das Vértebras: Osso Cortical

Anexo II – Tabelas de Propriedades dos Ligamentos

Anexo III – Tabelas de Propriedades dos Componentes Disco Intervertebral

Anexo IV – Tabelas de Valores das Forças e Momentos Aplicados na Coluna Lombar

Anexo I – Tabela do Módulo de Elasticidade das Vértebras: Osso Cortical

Anexo I – Tabela do Coeficiente de Poisson das Vértebras: Osso Cortical

(Rodrigues 2012)

(Kurutz 2010)

(Guan et al. 2006)

(Grauer et al. 2006)

(Cheung, Zhang, and Chow 2003)

(Kuo et al. 2010)

(Moramarco et al. 2010)

(Weisse et al. 2012)

(Xiao et

al. 2010)

(Eberlein, Holzapfel†, and Schulze-Bauer‡

2001) Ref.

E [Mpa] E E E E E E - - - Exx Eyy Ezz Gxy Gxz Gyz

Corpo Vertebral 12000 12000 12000 12000 12000 12000 depende CT depende

CT depende

CT 11300 11300 22000 3800 5400 5400

(Rodrigues

2012) (Kurutz 2010)

(Guan et al. 2006)

(Grauer et al. 2006)

(Cheung, Zhang, and Chow 2003)

(Kuo et al. 2010)

(Moramarco et al. 2010)

(Weisse et al. 2012)

(Xiao et

al. 2010)

(Eberlein, Holzapfel†, and

Schulze-Bauer‡ 2001) Ref.

ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν νxy νzy νyz

Corpo Vertebral 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 - 0,3 - 0,484 0,203 0,203

Anexo II – Tabela do Módulo Elasticidade dos Ligamentos

(Rodrigues 2012)

(Kurutz 2010)

(Grauer et al. 2006) (Cheung,

Zhang, and Chow 2003)

(Kuo et al. 2010)

(Moramarco et al. 2010)

(Xiao et

al. 2010)

(Vena, Franzoso,

Gastaldi, et al. 2005) Ref.

E [Mpa] E E E E E E1 E2 E E

ALL 20 20 7,8 (<12%), 20,0 (>12%) 20 7,8-20 7,8 20 7,8 8

PLL 20 20 10,0 (<11%), 20,0 (>11%) 70 10-50 1 2 10 10

ITL 60 58,7 10,0 (<18%), 58,7 (>18%) 28 10-59 10 59 10 40

ISL 10 11,6 10 (<14%), 11,6 (>14%) 20 10-11,6 - - 10 12

SSL 10 15 8,0 (<20%), 15,0 (>20%) 28 8-15 3 5 8 12

LF 20 19,5 15,0 (<6,2%), 19,5 (>6,2%) 50 15-19,5 1,5 1,9 15 20

CL 8 32,9 7,5 (<25%), 32,9 (>25%) 50 - - - 8 -

Anexo II – Tabela do Coeficiente de Poisson dos Ligamentos

Ref. (Grauer et al. 2006)

(Cheung, Zhang, and Chow 2003)

(Vena, Franzoso, Gastaldi, et al. 2005)

ν ν ν ν

Todos 0,3 0,3 0,45

Anexo II – Tabela da Área da Secção dos Ligamentos

Anexo III – Tabelas do Módulo Elasticidade dos Componentes do Disco Intervertebral – Modelo Elástico

(Rodrigues 2012) (Kurutz 2010) (Guan et al. 2006)

(Grauer et al. 2006)

(Cheung, Zhang, and Chow 2003)

(Kuo et al. 2010) Ref.

E [Mpa] E E E E E E

Núcleo 1 1 1 1,00 1 1

Anel 4,2 4,2 Hiperelástico 4,20 4,2 4,2

Fibras Exterior/Interior 550/440/420/385/360 360/420/485/550 - 175 500 550/360

Placas Cartilaginosas - 24 25 - 25 -

(Kurutz 2010) (Cheung, Zhang, and Chow 2003)

(Kuo et al. 2010) (Moramarco et al.

2010) (Xiao et al.

2010) (Vena, Franzoso,

Gastaldi, et al. 2005) Ref.

Área de Secção [mm2] [mm2] [mm2] [mm2] [mm2] [mm2] [mm2]

ALL 63,7 40 53 32,4 75,8 65

PLL 20 20 16 5,2 51,8 20

ITL 3,6 10 1,8 1,8 2 1,8

ISL 40 40 26 35,1 36,3 40

SSL 30 30 23 25,2 75,7 30

LF 40 40 67 84,2 78,7 40

CL 60 30 - 43,8 102 -

Anexo III – Tabelas do Coeficiente de Poisson dos Componentes Disco Intervertebral – Modelo Elástico

(Rodrigues 2012) (Kurutz 2010) (Guan et al. 2006) (Grauer et al. 2006)

(Cheung, Zhang, and Chow 2003)

(Kuo et al. 2010) Ref.

ν ν ν ν ν ν ν

Núcleo 0,49 0,499 0,499 0,50 0,1 0,4999

Anel 0,45 0,45 Hiperelástico 0,45 0,1 0,45

Fibras Exterior/Interior 0,3 0,3 - - 0,1 0,3

Placas Cartilaginosas - 0,4 0,3 - - -

Anexo III – Tabelas do Coeficiente de Poisson dos Componentes Disco Intervertebral – Modelo Hiperelástico

(Moramarco et al. 2010) (Weisse et al. 2012) (Xiao et al. 2010)

Núcleo Neo-Hooke:

C10=0,16 MPa D=0,024 MPa-1

Neo-Hooke: C10=0,12 MPa

D=0,003 MPa-1

Mooney-Rivlin: C10=0,56 C01=0,14

D1=1

Anel

Material Hiperelástico Reforçado:

C10=0,1 Mpa C20=2,5 Mpa K1=1,8 Mpa

K2=11 D=0,306 MPa-1

Ogden ordem =3: μ1=0,45536 α1=0,4411

d1=8,76456E-03 μ2=0,00146 α2=16,0769,

d2=0 μ3=-1,28931E-04

α3=-9.34948 d3=0

Mooney-Rivlin: C10=0,12 C01=0,09

D1=1

Anexo IV – Tabelas de Valores das Forças e Momentos Aplicados na Coluna Lombar

Zona da Coluna

Tipo de Esforço Valores das Forças [N] Valores dos

Momentos [N.m] Ref.

zona lombar

Compressão/Tração 500 -

(Rodrigues 2012)

Torção - 11,45

Flexão/Extensão - ± 0 a 20

Flexão Lateral - 7,5

Deslizamento (corte) 400 -

zona lombar Flexão/Extensão - ± 10

(Ciudad 2011)

zona lombar Flexão/Extensão 100 (pré-carga) ± 10 (Moramarco

et al. 2010) Flexão Lateral 100 (pré-carga) 10

zona lombar Flexão/Extensão 100 (pré-carga) 10 in tech 11

L4-L5

Flexão/Extensão 400 a 1000 (pré-carga) ± 10 (Weisse et al. 2012)

Flexão Lateral 400 a 1000 (pré-carga) 10

Rotação Axial 400 a 1000 (pré-carga) 10

L3-S1 Flexão/Extensão 400 (pré-carga) 10,6 (Grauer et al. 2006)

L4-S1 Flexão/Extensão - ± 4 (Guan et al.

2006) Flexão Lateral - 4

L4-L5 Compressão 1000 - (Cheung,

Zhang, and Chow 2003)

L1-L5 Compressão 300, 460, 600 -

Kuo et al. 2010 Flexão

300, 460, 600 (pré-carga)

5, 10, 15, 20

L4-L5

Compressão 1000 - (Kakol et al.

2003)

Flexão Sagital - 1,8

Torção - 10

L4-L5

Compressão 4000 - (Vena et al.

2005) Flexão/Extensão 1000 (pré-carga) ± 60

Flexão Lateral 1000 (pré-carga) 40

L3-S1 Flexão 400 (pré-carga) 6 (Wang et al.

2013)

L4-L5 Compressão 500 - (Alcântara et al. 2011)

L4-L6 Flexão - 2,5; 5; 7,5; 10 (Schmidt et

al. 2007)