Categorias, álgebra homológica, categorias derivadas

slides de aula

Sasha Anan′in

ICMC, USP, São Carlos

02/09/2015 – 07/10/2015

2. O lema de Yoneda, funtores representáveis,

funtores adjuntos, categorias aditivas, categorias abelianas e outras bagatelas

2.1. Funtores de Yoneda. Qualquer morfismo c f−→ c ′ numa categoria

arbitrária C define uma transformação natural C(f ,−) : C(c ′,−)→ C(c ,−), onde, para x ∈ C, a função C(f , x) : C(c ′, x)→ C(c , x) é definida pela regra

C(f , x) : (c ′ g−→ x) 7→ (c g◦f−→ x).

Portanto, obtemos um funtor contravariante Y : C → Cat(C,Set), chamado funtor de Yoneda. O funtor de Yoneda representa a categoria C na categoria dos funtores Cat(C,Set) = SetC . A dualidade produz o funtor covariante Y ′ : C → Cat(Cop,Set), definido pelas seguintes regras:

Y ′ : C 3 c 7→ C(−, c) ∈ Cat(Cop,Set)

para objetos e S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 2 / 1

Y ′ : (c f−→ c ′) 7→

( C(−, f ) : C(−, c)→ C(−, c ′)

) para morfismos, onde, para todo x ∈ C, definimos

C(x , f ) : C(x , c)→ C(x , c ′), C(x , f ) : (x g−→ c) 7→ (x f ◦g−→ c ′).

O funtor Y ′ também é dito funtor de Yoneda.

2.2. Composições de funtores com transformações naturais. Seja t : F → F ′ uma transformação natural entre funtores F ,F ′ : C → C′ e seja G : C′ → C′′ um funtor. Então a regra (G ◦ t)c := Gtc , com c ∈ C, define uma transformação natural G ◦ t : G ◦ F → G ◦ F ′. Seja s : G → G ′ uma transformação natural entre funtores G ,G ′ : C′ → C′′ e seja F : C → C′ um funtor. Então a regra (s ◦ F )c := sFc , com c ∈ C, define uma transformação natural s ◦ F : G ◦ F → G ′ ◦ F . Assim, nas circunstâncias descritas acima, temos as composições de funtor e transformação natural.

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2.3. Lema (de Yoneda). Seja C uma categoria, seja F : C → Set um funtor e seja c ∈ C. Então a função

yC,F ,c : Cat(C,Set) ( C(c ,−),F

) → Fc ,

yC,F ,c : ( C(c,−) t−→ F

) 7→ tc1c ∈ Fc

é uma bijeção. A função yC,−,− é natural.

Fc -tc F ′c Ff ? F

′f ? Fc ′ -

tc ′ F ′c ′

Demonstração. Sejam F t−→ F ′ uma transformação natu-

ral entre funtores F ,F ′ : C → Set e f : c → c ′ um morfismo da categoria C. Pelo diagrama comutativo à direita, obte- mos o morfismo γ := F ′f ◦ tc = tc ′ ◦ Ff : Fc → F ′c ′ induzido por t e f . É fácil ver que este γ atende as propriedades funtoriais, ou seja, obtemos um funtor Cat(C,Set)× C → Set, que leva o par (F , c) para Fc e o morfismo (t, f ) : (F , c)→ (F ′, c ′) para γ. Realmente, temos γ = F ′f ◦ tc e γ′ = F ′′f ′ ◦ t ′c ′ para (t ′, f ′) : (F ′, c ′)→ (F ′′, c ′′). Sendo t ′ uma transformação natural, γ′ ◦ γ = F ′′f ′ ◦ t ′c ′ ◦ F ′f ◦ tc = F ′′f ′ ◦ F ′′f ◦ t ′c ◦ tc = F ′′(f ′ ◦ f ) ◦ (t ′ ◦ t)c .

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Cat(C,Set) ( C(c ,−),F

) -yC,F ,c Fc

Γ ?

γ ?

Cat(C,Set) ( C(c ′,−),F ′

) -

yC,F ′,c ′ F ′c ′

Para verificar que yC,−,− é uma transformação natural entre fun- tores deste tipo, basta verificar a comutatividade do diagrama à

esquerda, onde Γ, induzido por t e f , é dado pela regra Γ : ( C(c ,−) α−→ F

) 7→ t ◦ α ◦ C(f ,−). Seja C(c ,−) α−→ F

C(c , c) -αc Fc C(c , f )

? Ff ?

C(c , c ′) -αc ′ Fc ′

uma transformação natural. Então o diagrama à di- reita é comutativo e C(c , f ) : 1c 7→ f . Portanto, Ff (αc1c) = αc ′f e γ◦yC,F ,c : α 7→ (tc ′ ◦Ff )(αc1c) = tc ′ ( Ff (αc1c)

) = tc ′(αc ′f ). Por outro lado, yC,F ′,c ′ ◦ Γ : α 7→

( t ◦ α ◦

C(f ,−) ) c ′

1c ′ = ( tc ′ ◦ αc ′ ◦ C(f , c ′)

) 1c ′ = tc ′

( αc ′(1c ′ ◦ f )

) = tc ′(αc ′f ).

C(c , c ′) -αc ′ Fc ′

C(c , g) ?

Fg ?

C(c , c ′′) -αc ′′ Fc ′′

Se αc1c é conhecido, então, pela comutatividade do diagrama acima, segue que, para qualquer morfismo f : c → c ′ em C, é necessário definir αc ′f = Ff (αc1c). Em outras palavras, o valor de αc1c define univoca-

mente toda função αc ′ , com c ′ ∈ C, e, portanto, define univocamente a

transformação α. Assim, yC,F ,c é injetivo. Seja s ∈ Fc . Precisamos criar uma transformação natural α : C(c ,−)→ F que, por yC,F ,c , vai para s.

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Para qualquer f ∈ C(c, c ′), façamos αc ′f = Ff (s) ∈ Fc ′. Como αc1c = s, é suficiente verificar que α é uma transformação natural, isto é, que para qualquer g ∈ C(c ′, c ′′) é válida a igualdade αc ′′ ◦ C(c, g) = Fg ◦ αc ′ . Aplicando as partes da igualdade a um morfismo arbitrário f : c → c ′, temos (Fg ◦ αc ′)(f ) = Fg

( Ff (s)

) e ( αc ′′ ◦ C(c , g)

) (f ) = αc ′′(g ◦ f ) =

= F (g ◦ f )(s) = (Fg ◦ Ff )(s) = Fg ( Ff (s)

) �

2.4. Definição. Um funtor F : C → Set isomorfo a um funtor do tipo C(c ,−), c ∈ C, é dito representável. Um funtor F : Cop → Set isomorfo a um funtor do tipo C(−, c) também é dito representável. Dizemos que c representa F . Pelo Lema 2.3 e pelo Critério 1.8, o funtor de Yoneda Y induz uma anti-equivalência entre a categoria C e a categoria (completa) de todos os funtores representáveis (covariantes). O Lema 2.3 tem o seu dual (cuja prova pode ser lida num espelho), seguindo dáı que o funtor de Yoneda Y ′ também induz a equivalência entre C e a categoria dos funtores representáveis (contravariantes).

Assim, sendo conhecidas, todas as setas de c (outra variante: para c) definem um objeto c ∈ C univocamente a menos de isomorfismo.

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Portanto, podemos estudar objetos usando somente “interrelações” (= setas) entre si. Uma outra “consequência” do lema de Yoneda: caso um funtor não-representável faça muito bem o papel de objeto, podeŕıamos estender a categoria original adicionando um objeto novo, ou seja, supondo que o funtor é representável. Funtores representáveis são relacionados com construções universais. Já vimos no Exemplo 1.15.6 que um objeto que representa o funtor C(∗, c)× C(∗, c ′) é simplesmente o produto c × c ′. Mais geralmente, podemos definir uma construção universal numa categoria arbitrária, usando a construção análoga à feita em Set (os “melhores funtores do mundo” traduzem uma para outra) e requerendo que o funtor correspondente seja representável. Por exemplo, o limite pode ser definido como o objeto que representa um funtor apropriado. Seja I uma categoria (de ı́ndices) e seja C uma categoria arbitrária. Definamos o funtor diagonal ∆ : C → Cat(I, C). Para c ∈ C, o funtor ∆c é constante: ∆c i = c e ∆c f = 1c para todos i ∈ I e f ∈ Mor I. Para um morfismo c f−→ c ′ em C, a transformação natural ∆fi : ∆c i → ∆c ′ i é simplesmente f para todo i ∈ I.

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Seja F : I → C um funtor. O limite lim ←− i∈I

Fi representa o funtor contravari-

ante c 7→ Cat(I, C)(∆c ,F ). Em outras palavras, temos um isomorfismo natural C

( −, lim ←− i∈I

Fi ) ' Cat(I, C)(∆−,F ). A seta lim←−

i∈I Fi → Fi para i ∈ I é

induzida pela transformação natural Cat(I, C)(∆−,F )→ C(−,Fi) dada por (∆c

t−→ F ) 7→ (c = ∆c i ti−→ Fi).

Os “melhores funtores do mundo” também traduzem estruturas definidas em Set para outra categoria C. Já sabemos como definir uma estrutura de grupo para um objeto G ∈ C na categoria C. Podemos definir um grupo de outro modo: seja C uma categoria com produtos finitos, isto é, existe o produto para qualquer coleção finita de objetos de C. Um objeto G ∈ C é um grupo em C se e só se toda componente C(c ,G ) do funtor C(−,G ) for um grupo (no sentido ordinário) em Set e, para todo morfismo h : c → c ′ em C, a função C(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) for um homomorfismo de grupos. Em outras palavras, o funtor C(−,G ) : Cop → Set passa pela categoria de grupos, ou seja, podemos decompor C(−,G ) : Cop → Grp R−→ Set, onde E é o funtor “esquecimento”, que “esquece” a estrutura de grupos em Set.

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Verifiquemos a equivalência das definições. Seja G ∈ C um grupo como na primeira definição. Então temos três setas µ : G × G → G , i : G → G e e : f → G , onde f é um objeto final em C. Estas setas satisfazem as propriedades de associatividade, do inverso e da unidade, como nos diagramas acima. O morfismo µ : G × G → G induz uma transformação natural

µ• : C(∗,G )× C(∗,G ) ' C(∗,G × G )→ C(∗,G )

q