Categorias, algebra homol ogica, categorias...

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Categorias, ´ algebra homol´ ogica, categorias derivadas slides de aula Sasha Anan 0 in ICMC, USP, S˜ ao Carlos 02/09/2015 – 07/10/2015
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  • Categorias,álgebra homológica,categorias derivadas

    slides de aula

    Sasha Anan′in

    ICMC, USP, São Carlos

    02/09/2015 – 07/10/2015

  • 2. O lema de Yoneda,funtores representáveis,

    funtores adjuntos, categorias aditivas,categorias abelianas e outras bagatelas

    2.1. Funtores de Yoneda. Qualquer morfismo cf−→ c ′ numa categoria

    arbitrária C define uma transformação naturalC(f ,−) : C(c ′,−)→ C(c ,−), onde, para x ∈ C, a funçãoC(f , x) : C(c ′, x)→ C(c , x) é definida pela regra

    C(f , x) : (c ′ g−→ x) 7→ (c g◦f−→ x).

    Portanto, obtemos um funtor contravariante Y : C → Cat(C,Set),chamado funtor de Yoneda. O funtor de Yoneda representa a categoria Cna categoria dos funtores Cat(C,Set) = SetC . A dualidade produz ofuntor covariante Y ′ : C → Cat(Cop,Set), definido pelas seguintes regras:

    Y ′ : C 3 c 7→ C(−, c) ∈ Cat(Cop,Set)

    para objetos eS. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 2 / 1

  • Y ′ : (cf−→ c ′) 7→

    (C(−, f ) : C(−, c)→ C(−, c ′)

    )para morfismos, onde, para todo x ∈ C, definimos

    C(x , f ) : C(x , c)→ C(x , c ′), C(x , f ) : (x g−→ c) 7→ (x f ◦g−→ c ′).

    O funtor Y ′ também é dito funtor de Yoneda.

    2.2. Composições de funtores com transformações naturais. Sejat : F → F ′ uma transformação natural entre funtores F ,F ′ : C → C′ e sejaG : C′ → C′′ um funtor. Então a regra (G ◦ t)c := Gtc , com c ∈ C, defineuma transformação natural G ◦ t : G ◦ F → G ◦ F ′.Seja s : G → G ′ uma transformação natural entre funtoresG ,G ′ : C′ → C′′ e seja F : C → C′ um funtor. Então a regra(s ◦ F )c := sFc , com c ∈ C, define uma transformação naturals ◦ F : G ◦ F → G ′ ◦ F . Assim, nas circunstâncias descritas acima, temosas composições de funtor e transformação natural.

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  • 2.3. Lema (de Yoneda). Seja C uma categoria, seja F : C → Set umfuntor e seja c ∈ C. Então a função

    yC,F ,c : Cat(C,Set)(C(c ,−),F

    )→ Fc ,

    yC,F ,c :(C(c,−) t−→ F

    )7→ tc1c ∈ Fc

    é uma bijeção. A função yC,−,− é natural.

    Fc -tc F ′cFf ? F

    ′f ?Fc ′ -

    tc ′ F ′c ′

    Demonstração. Sejam Ft−→ F ′ uma transformação natu-

    ral entre funtores F ,F ′ : C → Set e f : c → c ′ um morfismoda categoria C. Pelo diagrama comutativo à direita, obte-mos o morfismo γ := F ′f ◦ tc = tc ′ ◦ Ff : Fc → F ′c ′ induzido por t e f .É fácil ver que este γ atende as propriedades funtoriais, ou seja, obtemosum funtor Cat(C,Set)× C → Set, que leva o par (F , c) para Fc e omorfismo (t, f ) : (F , c)→ (F ′, c ′) para γ. Realmente, temos γ = F ′f ◦ tce γ′ = F ′′f ′ ◦ t ′c ′ para (t ′, f ′) : (F ′, c ′)→ (F ′′, c ′′). Sendo t ′ umatransformação natural,γ′ ◦ γ = F ′′f ′ ◦ t ′c ′ ◦ F ′f ◦ tc = F ′′f ′ ◦ F ′′f ◦ t ′c ◦ tc = F ′′(f ′ ◦ f ) ◦ (t ′ ◦ t)c .

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  • Cat(C,Set)(C(c ,−),F

    )-yC,F ,c Fc

    Γ?

    γ?

    Cat(C,Set)(C(c ′,−),F ′

    )-

    yC,F ′,c ′F ′c ′

    Para verificar que yC,−,− é umatransformação natural entre fun-tores deste tipo, basta verificar acomutatividade do diagrama à

    esquerda, onde Γ, induzido por t e f , é dado pela regraΓ :(C(c ,−) α−→ F

    )7→ t ◦ α ◦ C(f ,−). Seja C(c ,−) α−→ F

    C(c , c) -αc FcC(c , f )

    ?Ff?

    C(c , c ′) -αc ′ Fc ′

    uma transformação natural. Então o diagrama à di-reita é comutativo e C(c , f ) : 1c 7→ f . Portanto,Ff (αc1c) = αc ′f e γ◦yC,F ,c : α 7→ (tc ′ ◦Ff )(αc1c) =tc ′(Ff (αc1c)

    )= tc ′(αc ′f ). Por outro lado, yC,F ′,c ′ ◦ Γ : α 7→

    (t ◦ α ◦

    C(f ,−))c ′

    1c ′ =(tc ′ ◦ αc ′ ◦ C(f , c ′)

    )1c ′ = tc ′

    (αc ′(1c ′ ◦ f )

    )= tc ′(αc ′f ).

    C(c , c ′) -αc ′ Fc ′

    C(c , g)?

    Fg?

    C(c , c ′′) -αc ′′ Fc ′′

    Se αc1c é conhecido, então, pela comutatividade dodiagrama acima, segue que, para qualquer morfismof : c → c ′ em C, é necessário definir αc ′f = Ff (αc1c).Em outras palavras, o valor de αc1c define univoca-

    mente toda função αc ′ , com c′ ∈ C, e, portanto, define univocamente a

    transformação α. Assim, yC,F ,c é injetivo. Seja s ∈ Fc . Precisamos criaruma transformação natural α : C(c ,−)→ F que, por yC,F ,c , vai para s.

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  • Para qualquer f ∈ C(c, c ′), façamos αc ′f = Ff (s) ∈ Fc ′. Como αc1c = s,é suficiente verificar que α é uma transformação natural, isto é, que paraqualquer g ∈ C(c ′, c ′′) é válida a igualdade αc ′′ ◦ C(c, g) = Fg ◦ αc ′ .Aplicando as partes da igualdade a um morfismo arbitrário f : c → c ′,temos (Fg ◦ αc ′)(f ) = Fg

    (Ff (s)

    )e(αc ′′ ◦ C(c , g)

    )(f ) = αc ′′(g ◦ f ) =

    = F (g ◦ f )(s) = (Fg ◦ Ff )(s) = Fg(Ff (s)

    )�

    2.4. Definição. Um funtor F : C → Set isomorfo a um funtor do tipoC(c ,−), c ∈ C, é dito representável. Um funtor F : Cop → Set isomorfoa um funtor do tipo C(−, c) também é dito representável. Dizemos que crepresenta F . Pelo Lema 2.3 e pelo Critério 1.8, o funtor de Yoneda Yinduz uma anti-equivalência entre a categoria C e a categoria (completa)de todos os funtores representáveis (covariantes). O Lema 2.3 tem o seudual (cuja prova pode ser lida num espelho), seguindo dáı que o funtor deYoneda Y ′ também induz a equivalência entre C e a categoria dos funtoresrepresentáveis (contravariantes).

    Assim, sendo conhecidas, todas as setas de c (outra variante: para c)definem um objeto c ∈ C univocamente a menos de isomorfismo.

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  • Portanto, podemos estudar objetos usando somente “interrelações” (=setas) entre si. Uma outra “consequência” do lema de Yoneda: caso umfuntor não-representável faça muito bem o papel de objeto,podeŕıamos estender a categoria original adicionando um objetonovo, ou seja, supondo que o funtor é representável.Funtores representáveis são relacionados com construções universais.Já vimos no Exemplo 1.15.6 que um objeto que representa o funtorC(∗, c)× C(∗, c ′) é simplesmente o produto c × c ′. Mais geralmente,podemos definir uma construção universal numa categoria arbitrária,usando a construção análoga à feita em Set (os “melhores funtores domundo” traduzem uma para outra) e requerendo que o funtorcorrespondente seja representável.Por exemplo, o limite pode ser definido como o objeto que representa umfuntor apropriado. Seja I uma categoria (de ı́ndices) e seja C umacategoria arbitrária. Definamos o funtor diagonal ∆ : C → Cat(I, C).Para c ∈ C, o funtor ∆c é constante: ∆c i = c e ∆c f = 1c para todosi ∈ I e f ∈ Mor I. Para um morfismo c f−→ c ′ em C, a transformaçãonatural ∆fi : ∆c i → ∆c ′ i é simplesmente f para todo i ∈ I.

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  • Seja F : I → C um funtor. O limite lim←−i∈I

    Fi representa o funtor contravari-

    ante c 7→ Cat(I, C)(∆c ,F ). Em outras palavras, temos um isomorfismonatural C

    (−, lim←−i∈I

    Fi)' Cat(I, C)(∆−,F ). A seta lim←−

    i∈IFi → Fi para i ∈ I é

    induzida pela transformação natural Cat(I, C)(∆−,F )→ C(−,Fi) dadapor (∆c

    t−→ F ) 7→ (c = ∆c iti−→ Fi).

    Os “melhores funtores do mundo” também traduzem estruturas definidasem Set para outra categoria C. Já sabemos como definir uma estrutura degrupo para um objeto G ∈ C na categoria C.Podemos definir um grupo de outro modo: seja C uma categoria comprodutos finitos, isto é, existe o produto para qualquer coleção finita deobjetos de C. Um objeto G ∈ C é um grupo em C se e só se todacomponente C(c ,G ) do funtor C(−,G ) for um grupo (no sentidoordinário) em Set e, para todo morfismo h : c → c ′ em C, a funçãoC(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) for um homomorfismo de grupos. Em outraspalavras, o funtor C(−,G ) : Cop → Set passa pela categoria de grupos, ouseja, podemos decompor C(−,G ) : Cop → Grp R−→ Set, onde E é o funtor“esquecimento”, que “esquece” a estrutura de grupos em Set.

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  • Verifiquemos a equivalência das definições.Seja G ∈ C um grupo como na primeira definição. Então temos três setasµ : G × G → G , i : G → G e e : f → G , onde f é um objeto final em C.Estas setas satisfazem as propriedades de associatividade, do inverso e daunidade, como nos diagramas acima. O morfismo µ : G × G → G induzuma transformação natural

    µ• : C(∗,G )× C(∗,G ) ' C(∗,G × G )→ C(∗,G )

    que define a operação em C(c ,G ) (de fato, pela composição com µ) paratodo c ∈ C. Sendo µ• uma transformação natural, a funçãoC(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) é um homomorfismo para qualquer morfismoh : c → c ′ em C. Apliquemos o funtor C(c ,−) ao diagrama deassociatividade. Observemos que a transformação

    C(∗,G )× C(∗,G )× C(∗,G ) ' C(∗, (G × G )× G

    )'

    ' C(∗,G × (G × G )

    )' C(∗,G )× C(∗,G )× C(∗,G )

    induzida por t é idêntica. Utilizando nossos isomorfismos naturais, é fácilverificar que o diagrama no próximo slide é comutativo, isto é, a operaçãoem C(c ,G ) é associativa.

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  • C(c ,G )× C(c,G )× C(c ,G ) -1C(c,G) × µc C(c ,G )× C(c ,G )

    µc × 1C(c,G)?

    µc?

    C(c,G )× C(c ,G ) -µc C(c,G )O morfismo e : f → G induz a função C(c , e) : C(c, f )→ C(c ,G ) que levao único morfismo de C(c, f ) em uc ∈ C(c ,G ). Aplicando o funtor C(c ,−)ao diagrama da unidade, é fácil observar que uc é a unidade em C(c ,G ).Analogamente, verificamos que a função C(c , i) : C(c,G )→ C(c ,G ) indicao inverso em C(c,G ).

    C(c ,G × G ) -µc C(c ,G )C(h,G × G )6 C(h,G )6

    C(c ′,G × G ) -µc ′ C(c ′,G )

    Reciprocamente, se o funtor C(−,G )pas- sa pela categoria Grp, então, paratodo morfismo h : c → c ′ em C, a funçãoC(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) é um ho-momorfismo de grupos. Em outras palavras, o diagrama à direita écomutativo, onde µc denota a função µc : C(c ,G × G )→ C(c ,G )induzida pela operação em C(c ,G ). Assim obtemos uma transformaçãonatural µ• : C(−,G × G )→ C(−,G ) que, pelo lema de Yoneda, é induzidapor uma seta µ : G × G → G .

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  • Já sabemos que a associatividade da operação µc se expressa na forma dacomutatividade do diagrama obtido pela aplicação do funtor C(c,−) aodiagrama de associatividade na primeira definição de grupo. Sendo acomutatividade válida para qualquer c ∈ C, obtemos um análogo diagramacomutativo de transformações naturais. Pelo lema de Yoneda, dáı segueque µ é associativo. Na categoria com produtos finitos C existe um objeto

    C(c , f ) -ec C(c ,G )C(h, f )6 C(h,G )6

    C(c ′, f ) -ec ′ C(c ′,G )

    final f ∈ C, produto de zero objetos. Para todoc ∈ C, consideremos a função ec : C(c , f ) →C(c ,G ) que leva o único morfismo de C(c , f ) naunidade uc do grupo C(c ,G ). Para todo mor-fismo h : c → c ′, o diagrama é comutativo, pois o homomorfismo C(h,G )leva a unidade uc ′ de C(c ′,G ) na unidade uc de C(c ,G ). Assim obtemosuma transformação natural e• : C(−, f )→ C(−,G ) que, pelo lema deYoneda, é induzida por uma única seta e : f → G . É fácil verificar que odiagrama da unidade é comutativo. De forma análoga, obtemos umatransformação natural i• : C(−,G )→ C(−,G ), definida em cadacomponente pela indicação do inverso. Ela é induzida por um únicomorfismo i : G → G que satisfaz a comutatividade do diagrama do inverso.

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  • Para o conceito dual, se G é um cogrupo na categoria C, então G é umgrupo na categoria Cop. Assim, o funtor Cop(−,G ) : C → Grp induz umfuntor C(G ,−) : C → Grp, ou seja, para todo c ∈ C, temos C(G , c) umgrupo em Set. A esfera Sn com a comultiplicação Sn → Sn ∨ Sn é umcogrupo na categoria Homot∗. Portanto, se X ∈ Homot∗ é um espaçotopológico com um ponto ∗ distinguido, πn(X , ∗) := Homot∗(Sn,X ) é umgrupo em Set. Este grupo é dito n-ésimo grupo homotópico de X . Emparticular, para n = 1, obtemos π1(X , ∗) := Homot∗(S1,X ), o grupofundamental.

    Seja L : S → C um funtor. Suponhamos que, para todo c ∈ C, o funtorcontravariante C(L−, c) : S → Set seja representável. Então existe umRc ∈ S tal que C(L−, c) ' S(−,Rc). Todo morfismo h : c → c ′ induzuma transformação natural C(L−, h) : C(L−, c)→ C(L−, c ′), que ésimplesmente a composição C(−, h) ◦ L de um funtor com uma transforma-ção natural definida anteriormente. Portanto, obtemos uma transformaçãonatural S(−,Rc)→ S(−,Rc ′). Pelo lema de Yoneda, ela é induzida porum morfismo Rf : Rc → Rc ′. Em outras palavras, obtemos um funtorR : C → S e, finalmente, um isomorfismo natural C(L−,−) ' S(−,R−).

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  • 2.5. Definição. Funtores L : S → C e R : C → S são ditos adjuntos (L éadjunto a R à esquerda e R é adjunto a L à direita) se temos umisomorfismo natural C(L−,−) ' S(−,R−). Da consideração acima, segueque o funtor adjunto à direita a um funtor L é único a menos deisomorfismo. Pela dualidade, o mesmo é válido para o funtor adjunto àesquerda.

    2.6. Exemplos.1. Consideremos uma categoria algébrica A cujos objetos têm por base umconjunto (tais como módulos, grupos, álgebras, espaços lineares, etc.).Ao olhar tais objetos apenas como conjuntos, estamos aplicando um funtorR que “esquece” a estrutura embutida nos objetos. Este funtor tem umadjunto L que gera livremente por um conjunto de geradores o objeto daestrutura em questão (módulo livre, grupo livre, anel de polinômios, etc.).Caso A = Link , o funtor L : Set→ Link associa a B ∈ Set o espaçok-linear kB com base B.Caso A = Grp, obtemos grupo livre LB com geradores livres B ∈ Set.Caso A = CAlgA com A ∈ CRng (a categoria de A-álgebrascomutativas), temos a álgebra de polinômios LB := A[B] com coeficientesem A, cujas variáveis são elementos de B.

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  • 2. Podemos “esquecer” apenas uma parte da estrutura.Para o funtor de esquecimento R : Ab→ Grp, o adjunto à esquerda é aabelianização de um grupo, LG := G/[G ,G ].Para o funtor R : R Mod→ Ab, onde R ∈ Rng é um anel associativo,o adjunto à esquerda tem a forma R ⊗Z −.Para o funtor R : R ModR′ → R Mod (os objetos da categoria R ModR′são (R,R ′)-bimódulos, onde R,R ′ ∈ Rng), o adjunto à esquerda tem aforma −⊗Z R ′.Para o funtor R : AlgA →Mon, onde Mon denota a categoria demonoides e A ∈ CRng, o adjunto à esquerda tem a forma LM := A[M].A construção A[G ], chamada A-álgebra do grupo G , se usa comfrequência para G ∈ Grp.Para o funtor R : AlgA →ModA, A ∈ CRng, o adjunto à esquerda é aA-álgebra tensorial LM := TAM :=

    ⊕i∈N

    M⊗i , onde

    M⊗i := M ⊗A · · · ⊗A M︸ ︷︷ ︸i

    e M⊗0 := A. A multiplicação em TAM é induzida

    pelo produto tensorial de elementos.

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  • Denotemos por Domm a categoria de doḿınios comutativos cujosmorfismos são homomorfismos injetores e por R : Fld ↪→ Domm,a subcategoria completa de corpos comutativos. O funtor adjunto a R àesquerda produz o corpo de frações de um dominio, LD := KD.Denotemos por Met a categoria de espaços métricos; os morfismos sãofunções que preservam a métrica. Seja R : CompMet ↪→Met asubcategoria completa de espaços métricos completos. Então o funtoradjunto a R à esquerda elabora o completamento de um espaço métrico,LM := M̂.3. Sejam I uma categoria (de ı́ndices), C uma categoria completa eF : I → C um funtor. O isomorfismo de funtoresC(−, lim←−i∈I

    Fi)' Cat(I, C)(∆−,F ) é natural em F . Isto significa que o

    funtor lim←−i∈I

    é adjunto à direita ao funtor diagonal ∆ : C → Cat(I, C).

    2.7. Lema. Seja F : I → C um funtor que possui o limite lim←−i∈I

    Fi e sejam

    L : S → C e R : C → S funtores adjuntos. Então R lim←−i∈I

    Fi = lim←−i∈I

    RFi. Em

    palavras: qualquer funtor que possui adjunto à esquerda preserva limites.S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 15 / 1

  • Demonstração. Denotemos l := lim←−i∈I

    Fi e sejam αi : l → Fi , i ∈ I,

    as correspondentes setas em C. Consideremos um objeto((βi )i∈I , s

    )da

    categoria S → RF , onde βi : s → RFi , i ∈ I, são setas em S.O isomorfismo natural ϕ : C(L−,−)→ S(−,R−) providencia as setasγi : Ls → Fi , i ∈ I, isto é, γi = ϕ−1βi . Para toda seta f : i → j em I,temos (RFf )βi = βj . Pela naturalidade de ϕ

    −1, obtemos (Ff )γi = γj . Emoutras palavras,

    ((γi )i∈I , Ls

    )é um objeto da categoria C → F . Pela

    definição de limite, ganhamos uma única seta g : Ls → l tal que αig = γi .Aplicando ϕ a g , obtemos a seta h := ϕg : s → Rl que satisfaz(Rαi )h = βi para todo i ∈ I pela naturalidade de ϕ. A unicidade de tal hse obtém por aplicar novamente o isomorfismo natural ϕ �

    2.8. Lema. Sejam L : S → C e R : C → S funtores.Se L e R são adjuntos através de um isomorfismo naturalϕ : C(L−,−)→ S(−,R−), então temos as transformações naturais(chamadas unidade e counidade)

    (2.8.1) η : 1S → RL, ε : LR → 1Cdefinidas pelas regras ηs = ϕs,Ls1Ls e εc = ϕ

    −1Rc,c1Rc para c ∈ C e s ∈ S.

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  • As composições

    (2.8.2) Rη◦R−→ RLR R◦ε−→ R L L◦η−→ LRL ε◦L−→ L

    são iguais a 1R e 1L, respectivamente.Reciprocamente, sejam dadas transformações naturais (2.8.1) tais que ascomposições (2.8.2) são iguais a 1R e 1L, respectivamente. Então ϕs,cdefinido pela regra ϕs,c f = (Rf )ηs para f : Ls → c é um isomorfismonatural ϕ : C(L−,−)→ S(−,R−).

    1Ls ∈ C(Ls, Ls) -ϕs,Ls S(s,RLs) 3 ηs

    C(Ls, Lg)? ?

    S(s,RLg)Lg ∈ C(Ls, Ls ′) -ϕs,Ls′ S(s,RLs ′) 3 ∗C(Lg , Ls ′)6 6S(g ,RLs ′)

    1Ls′ ∈ C(Ls ′, Ls ′) -ϕs′,Ls′ S(s ′,RLs ′) 3 ηs′

    Demonstração. Sejam f :c →c ′ e g : s → s ′ morfismos emC e S, respectivamente. Pelacomutatividade do diagrama àdireita, o elemento marcado por∗ é igual a (RLg)ηs = ηs′g ,implicando que η é natural.

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  • εc ∈ C(LRc , c) -ϕRc,c S(Rc ,Rc) 3 1Rc

    C(LRc , f )? ?

    S(Rc ,Rf )∗∗ ∈ C(LRc , c ′) -ϕRc,c ′ S(Rc ,Rc ′) 3 RfC(LRf , c ′)6 6S(Rf ,Rc ′)

    εc ′ ∈ C(LRc ′, c ′) -ϕRc ′,c ′S(Rc ′,Rc ′) 3 1Rc ′

    Pela comutatividade do diagra-ma à direita, as ϕRc,c ′-imagensdos elementos f εc e εc ′(LRf ),marcados por ∗∗, são iguais.Sendo ϕRc,c ′ injetivo, conclu-ı́mos que ε é natural.Para morfismos f : Ls → c e g : s → Rc em C e S, respectivamente,temos os diagramas comutativos

    1Ls ∈ C(Ls, Ls) -ϕs,Ls S(s,RLs) 3 ηs

    C(Ls, f )? ?S(s,Rf )f ∈ C(Ls, c) -ϕs,c S(s,Rc) 3 (Rf )ηs

    εc(Lg) ∈ C(Ls, c) -ϕs,c S(s,Rc) 3 g

    C(Lg , c)6 6S(g ,Rc)εc ∈ C(LRc , c) -

    ϕRc,cS(Rc ,Rc) 3 1Rcisto é,

    (2.8.3) ϕs,c f = (Rf )ηs , ϕs,c(εc(Lg)

    )= g .

    Da primeira igualdade com s := Rc e f := εc , obtemos 1Rc = ϕRc,cεc =(Rεc)ηRc = (R ◦ ε)c(η ◦ R)c , portanto, 1R = (R ◦ ε) ◦ (η ◦ R). Aplicandoa segunda igualdade de (2.8.3) a c := Ls e g := ηs , obtemosϕs,Ls

    (εLs(Lηs)

    )= ηs = ϕs,Ls1Ls . Como ϕs,Ls é injetivo, então

    1Ls = εLs(Lηs) = (ε ◦ L)s(L ◦ η)s e, portanto, 1L = (ε ◦ L) ◦ (L ◦ η).S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 18 / 1

  • C(Ls, c) -ϕs,c S(s,Rc)C(Lb, a)? ?S(b,Ra)C(Ls ′, c ′) -

    ϕs′,c ′ S(s ′,Rc ′)

    Reciprocamente, sejam dadas transforma-ções naturais (2.8.1) tais que as composi-ções (2.8.2) são iguais a 1R e 1L, respecti-vamente. Primeiramente verifiquemos que

    ϕ introduzida no Lema 2.8 é uma transformação natural. Sejam a : c → c ′e b : s ′ → s morfismos em C e S, respectivamente. Então o diagrama àdireita é comutativo, pois, para f : Ls → c , são válidas as igualdades

    S(b,Ra)(ϕs,c f ) = S(b,Ra)((Rf )ηs) = (Ra)(Rf )ηsb,

    ϕs′,c ′(C(Lb, a)f

    )= ϕs′,c ′

    (af (Lb)

    )= R

    (af (Lb)

    )ηs′ = (Ra)(Rf )(RLb)ηs′

    e η é uma transformação natural: ηsb = (RLb)ηs′ .Para qualquer morfismo g : s → Rc em S, façamos ψs,cg := εc(Lg). Agora

    ψs,c(ϕs,c f ) = ψs,c((Rf )ηs

    )= εc

    (L((Rf )ηs

    ))= εc(LRf )(Lηs) =

    = f εLs(Lηs) = f (ε ◦ L)s(L ◦ η)s = f 1Ls = f ,

    pois ε é natural e a segunda composição em (2.8.2) é igual a 1L.

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 19 / 1

  • De forma semelhante,

    ϕs,c(ψs,cg) = ϕs,c(εc(Lg)

    )=(

    R(εc(Lg)

    ))ηs = (Rεc)(RLg)ηs =

    = (Rεc)ηRcg = (R ◦ ε)c(η ◦ R)cg = 1Rcg = g ,pois η é natural e a primeira composição em (2.8.2) é igual a 1R �

    2.9. Definição. Um morfismo i é dito monomorfismo (ou mono) seig1 = ig2 implica g1 = g2. Um morfismo p é dito epimorfismo (ou epi) sef1p = f2p implica f1 = f2.

    É claro que a composição de dois monomorfimos (epimorfismos) é ummonomorfismo (epimorfismo). Se fg é mono (epi), então g é mono(f é epi). Em particular, se fg é um isomorfismo, então f é epi e g é mono.

    2.10. Definição. Uma categoria C cujos C(c , c ′) são munidos de estruturade grupo abeliano de modo que a composição de morfismos seja biaditivaé dita Ab-categoria. É óbvio que a categoria dual Cop a umaAb-categoria C é uma Ab-categoria. Seja F : C → C′ um funtor entreAb-categorias. O funtor F é dito aditivo se preserva a adição demorfismos, isto é, se F : C(c1, c2)→ C′(Fc1,Fc2) é um homomorfismo degrupos abelianos para todos c1, c2 ∈ C.

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  • Do mesmo jeito que uma categoria de um objeto só é um monoide, umaAb-categoria de apenas um objeto é simplesmente um anel (associativo,não-comutativo e com unidade). Portanto, podemos tratar deAb-categorias como sendo “anéis” com vários objetos. Desta maneira,os funtores aditivos são simplesmente os “homomorfismos” de “anéis”.Os funtores “melhores do mundo” relacionados com uma Ab-categoria Csão obviamente aditivos, e, portanto, podemos considerar os funtoresC(c ,−) e C(−, c) como funtores aditivos dos tipos C(c ,−) : C → Ab eC(−, c) : Cop → Ab. Assim, se C possui produtos finitos, todo objeto de Cé um grupo (e é cogrupo) abeliano em C. (Além disso, o bifuntor C(−,−)é biaditivo.)Em qualquer Ab-categoria, um monomorfismo é simplesmente umnão-divisor de zero à esquerda e um epimorfismo é simplesmente umnão-divisor de zero à direita.Seja 0 ∈ C um objeto numa Ab-categoria C tal que C(0, 0) = 0. Então 0 éfinal e inicial. Realmente, h0 = h0 + h0 implica h0 = 0. Pelas mesmasrazões, 0h = 0. Agora 10 = 0 e C(c , 0) = C(0, 0)C(c , 0) = {0}, isto é, 0 éfinal. De forma análoga, 0 é inicial. Obviamente, o morfismo 0 : c → c ′ ésimplesmente a composição c → 0→ c ′.

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  • Vamos supor que tal 0 ∈ C, chamado de objeto nulo, exista.Sejam a, b ∈ C dois objetos. Suponhamos que existam o coprodutoa

    j1−→ a t b j2←− b e o produto a π1←− a× b π2−→ b. Então os diagramas

    a���1j1 a t b

    PPPPq1a?

    p1

    a

    PPPi j2

    ����) 0

    b a���)

    p1 a t b

    PPPPiπ1

    ?i

    a× b

    PPPqp2

    ���1π2

    b a���1j1 a t b

    PPPPq0?p2

    b

    PPPi j2

    ����) 1b

    b

    laterais produzem os morfismos ap1←− a t b p2−→ b satisfazendo as

    igualdades p1j1 = 1a, p1j2 = 0, p2j1 = 0, p2j2 = 1b. Portanto, obtemos odiagrama comutativo central com π1i = p1 e π2i = p2.

    2.11. Definição. Se o i indicado é um isomorfismo, então dizemos que osobjetos a, b ∈ C possuem biproduto. Neste caso, podemos supor quei = 1. Dáı temos p1 = π1, p2 = π2 e

    (2.11.1) π1j1 = 1a, π1j2 = 0, π2j1 = 0, π2j2 = 1b, j1π1 + j2π2 = 1a×b.

    A última igualdade é válida pelas propriedades do produto a× b, poisπ1(j1π1 + j2π2) = π1 = π11a×b e π2(j1π1 + j2π2) = π2 = π21a×b. É fácilverificar que os morfismos j1, j2, π1 e π2 satisfazendo as igualdades(2.11.1) definem o biproduto.

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  • Usando o delta de Kronecker, podemos reescrever as igualdades (2.11.1)como

    (2.11.2) παjβ = δαβ,∑

    α jαπα = 1.

    De forma semelhante, podemos definir o biproduto de qualquer coleçãofinita de objetos. Seja dada uma coleção finita de objetos {a1, . . . , an}.Suponhamos que existam coproduto e produto destes objetos, edenotemos por jα e πα os respectivos morfismos de/para aα. Então asigualdades (2.11.2) (com um isomorfismo no lugar de 1) implicam oisomorfismo a1 t · · · t an ' a1 × · · · × an. Ainda mais, as igualdades(2.11.2) implicam que os morfismos jα’s e πα’s definem coproduto eproduto. Vamos denotar o biproduto por ⊕ e chamar os j’s e π’s deinjeções e projeções, respectivamente. Assim, conclúımos que qualquerfuntor aditivo entre Ab-categorias preserva biprodutos. É fácil verificar queo biproduto é, num certo sentido, associativo e comutativo.

    2.12. Observação. Sejam a = a1 ⊕ · · · ⊕ al e a′ = a′1 ⊕ · · · ⊕ a′m bipro-dutos numa Ab-categoria C munidos de projeções e injeções πα, π′β, jα,j ′β, respectivamente. Então o grupo abeliano C(a, a′) é a soma direta dosgrupos abelianos C(aα, a′β) e pode ser apresentado na forma de uma matriz

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  • (2.12.1) C(a, a′) =

    C(a1, a′1) . . . C(al , a′1)

    .... . .

    ...C(a1, a′m) . . . C(al , a′m)

    onde o morfismo h ∈ C(a, a′) tem as componentes hβα = π′βhjα namatriz Mh. Se a

    ′′ = a′′1 ⊕ · · · ⊕ a′′n é um terceiro biproduto, então podemoscalcular a composição h′h de h ∈ C(a, a′) e h′ ∈ C(a′, a′′) usando amultiplicação “usual” das matrizes correspondentes: Mh′h = Mh′Mh �

    2.13. Definição. Uma Ab-categoria C é dita aditiva se possui um objetonulo e biprodutos.

    2.14. Definição. Seja h : a→ b um morfismo numa Ab-categoria C.n -k a -h b6g

    x���f

    a -h b -k′

    [email protected]@Rf ′

    y?g ′

    Dizemos que um morfismo k : n→ a é núcleode h se hk = 0 e se, para todo morfismof : x → a tal que hf = 0, existe um único

    morfismo g : x → n que faz o diagrama à esquerda comutativo. Em outraspalavras, o núcleo é o equalizador de h e 0.

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  • Dizemos que um morfismo k ′ : b → c é conúcleo de h se k ′h = 0 e se,para todo morfismo f ′ : b → y tal que f ′h = 0, existe um único morfismog ′ : c → y que faz o diagrama à direita é comutativo. (Assim, o conúcleode h é o coequalizador de h e 0.)

    a -h

    b

    ?f f ′

    ?a′ -

    h′b′

    Ker h -ker h

    a -h

    b

    k(f , f ′)? ?

    f f ′?

    Ker h′ -ker h′

    a′ -h′

    b′

    Denotamos por Ker hker h−→ a h−→ b e

    ah−→ b co h−→ Co h os núcleo e conúcleo

    de h. É fácil ver que ker h é mono eque co h é epi.

    Suponhamos que o núcleo de qualquer morfismo de C sempre exista.Neste caso, se o diagrama à esquerda é comutativo, então existe um únicomorfismo k(f , f ′) tal que o diagrama à direita é comutativo. Em outraspalavras, Ker é um funtor Ker : C2 → C e ker é uma transformaçãonatural ker : Ker→ c∗, onde c∗ : C2 → C é o funtor “começo” de setadefinido no Exemplo 1.9.3. O fato análogo é válido para o conúcleo.

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  • (Ker h)c -ker hc C(c , a)

    (Ker h)f 6 C(f , a)6(Ker h)d -

    ker hd C(d , a)

    Seja C uma Ab-categoria e seja h : a → bum morfismo em C. Consideremos o funtorcontravariante Ker h− : C → Ab definindo(Ker h)c := Ker C(c , h) para c ∈ C e determi-nando (Ker h)f no diagrama comutativo à direita para f : c → d .No diagrama, a transformação natural ker h• é de fato a inclusão(Ker h)c ↪→ C(c , a). Seja n ∈ C um núcleo de h. Então é fácil ver que ofuntor Ker h− é representado em C por n. Reciprocamente, suponhamosque Ker h− é representável e seja n ∈ C um objeto que o representa.Então ker h• induz uma transformação natural C(−, n)→ C(−, a) que,pelo lema de Yoneda, é induzida por um único morfismo k : n→ a,k ∈ (Ker h)n. Usando o isomorfismo Ker h− ' C(−, n), podemos verificarque n é o núcleo de h. Assim, podemos definir, de maneira equivalente,o núcleo de h pela representatividade do funtor Ker h−. (Pode afirmar edemonstrar algo dual para conúcleos?)

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  • Ker h -ker h a -h b -co h Co h

    ?co(ker h)

    Co(ker h)����3f

    -g Ker(co h)

    6ker(co h)

    Suponhamos que numa Ab-categoria C os núcleos e conúcleos sempreexistam. Seja h : a→ b um morfismo de C. Como h ker h = 0, entãoexiste um (único) morfismo f : Co(ker h)→ b tal que f co(ker h) = h.Sendo (co h)h = 0, conclúımos dáı que (co h)f co(ker h) = 0. Sabemosque co(ker h) é epi, logo, (co h)f = 0. Agora podemos encontrar um(único) morfismo g : Co(ker h)→ Ker(co h) tal que

    (ker(co h)

    )g = f .

    Finalmente, encontramos g tal que h =(ker(co h)

    )g co(ker h). Este g é

    único, pois ker(co f ) é mono e co(ker f ) é epi. (Você pode descobrir todaessa argumentação só olhando para o diagrama, sem ler o texto. A mesmareceita serve na maioria dos casos a seguir.)

    2.15. Definição. Uma categoria aditiva C é dita abeliana se todomorfismo h de C possui núcleo e conúcleo e o morfismog : Co(ker h)→ Ker(co h) constrúıdo acima é um isomorfismo.

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  • Grosso modo, podemos falar que uma categoria aditiva é abeliana seCo(ker h) = Ker(co h) para todo morfismo h. Neste caso, todomorfismo h está decomposto em um epimorfismo e ummonomorfismo, h = me.

    Ker h -ker h a���7co(ker h)

    x

    SSSw

    ey

    SSSwker(co h)

    b -co h Co h

    ���7m

    Ker h -ker h a���7co(ker h)

    x

    SSSw

    ey?

    f

    SSSwker(co h)

    b -co h Co h

    ���7m

    Vamos mostrar que esta decomposição é única a menos de umisomorfismo. Consideremos o diagrama comutativo à esquerda com e epi,m mono e com h =

    (ker(co h)

    )co(ker h). Sendo h ker h = 0, conclúımos

    que me ker h = 0. Dáı, e ker h = 0, pois m é mono. Logo, existe ummorfismo f : x → y tal que e = f co(ker h). Agora(ker(co h)

    )co(ker h) = h = me = mf co(ker h) com co(ker h) epi.

    Portanto, ker(co h) = mf e o diagrama à direita é comutativo. Istoimplica que f é epi e mono. Resta aplicar o item 3 da

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  • 2.16. Proposição. Seja C uma categoria abeliana e seja h : a→ b ummorfismo em C. Então são válidas as seguintes afirmações.1. h é mono se e só se Ker h = 0.2. h é epi se e só se Co h = 0.3. h é um isomorfismo se e só se h é mono e epi.4. h é epi se e só se h = co(ker h).5. h é mono se e só se h = ker(co h).

    a���7e

    x

    SSSw

    e ′

    y?

    i

    SSSwm

    b

    ���7m′

    6. h possui uma única decomposição h = me com e epi em mono (a menos de um isomorfismo, isto é, se h = m′e ′

    com e ′ epi e m′ mono, então existe um isomorfismo i talque e ′ = ie e m = im′; vide o diagrama à direita).

    7. Para quaisquer duas setas ah−→ c f←− b existe o pullback (dado pela

    fórmula a×c b := Ker(hπa − f πb)).

    Ker h′ -ker h′

    a×c b -h′

    b

    i?

    f ′?

    f?

    Ker h -ker h

    a -h

    c

    O pullback induz o isomorfismo i entre núcleosno diagrama comutativo à esquerda. Além disso,se h é epi, então h′ é epi.

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  • Co h′ �co h′

    a tc b�h′

    b

    j 6 f ′ 6 f 6

    Co h �co h

    a�h

    c

    8. Para quaisquer duas setas ah←− c f−→ b

    existe o pushout (dado pela fórmula a tc b :=Co(jah−jbf )). O pushout induz o isomorfismo jentre conúcleos no diagrama comutativo à dire-ita. Além disso, se h é mono, então h′ é mono.

    Demonstração. 1 e 2 são triviais.

    a -h

    b

    co(ker h)?

    ker(co h)6

    Co(ker h) -g

    Ker(co h)

    3. Temos o diagrama comutativo à di-reita com um isomorfismo g . Por 1,Ker h = 0 e ker h = 0. Portanto,

    00−→ a 1a−→ a é o diagrama de co(ker h).

    Assim, podemos supor que Co(ker h) = a e que co(ker h) = 1a. De maneirasemelhante, Ker(co h) = b e ker(co h) = 1b. Agora, g = h.4. Se h = co(ker h), então h é epi. Seja h epi. Sendo h =

    (ker(co h)

    )co(ker h)

    com h epi, conclúımos que ker(co g) é epi. Mas, ker(co g) é mono. Por 3,ker(co g) é um isomorfismo.5 é dual a 4.6 agora segue de 3.

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  • d -h′′

    bf ′′

    ?f?

    a -h

    c

    7. Provemos que o núcleo indicado representa o pullback. No dia-grama comutativo à direita, existe um (único) morfismo g : d →a × b tal que f ′′ = πag e h′′ = πbg . A comutatividade dodiagrama à direita é equivalente ao fato que rg = 0, onde r :=hπa − f πba × b → c . Sendo universal, o núcleo k : Ker r → a × b induzum único morfismo ϑ : d → Ker r tal que kϑ = g . Como as igualdadesf ′′ = πag e h

    ′′ = πbg definem g de maneira única, então ϑ é definidounivocamente pelas igualdades f ′′ = πakϑ e h

    ′′ = πbkϑ, isto é, pelasigualdades f ′′ = f ′ϑ e h′′ = h′ϑ, onde f ′ := πak e h

    ′ := πbk . Em outraspalavras, Ker r é o pullback a×c b.

    Ker h′ -ker h′

    a×c b -h′

    b

    f ′?

    f?

    Ker h -ker h

    a -h

    c

    d -0

    bf ′′

    ?f?

    a -h

    c

    Suponhamos agora que no diagramaà esquerda hf ′′ = 0. Então obtemoso diagrama comutativo à direita queinduz um único morfismo g : d → a×c b tal

    que f ′g = f ′′ e h′g = 0. Logo, existe um único morfismo j : d → Ker h′tal que g = (ker h′)j . Assim, temos um único j satisfazendo a igualdadef ′(ker h′)j = f ′′. Isto significa que f ′ ker h′ : Ker h′ → a é o núcleo deh : a→ c .

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  • Suponhamos que h seja epi. Temos rja =(hπa − f πb)ja = h. Logo, r é

    epi. Por 4, r = co k na sequência a×c bk−→ a× b r−→ c . Temos

    h′ = πbk . Se 0 = gh′ para algum g : b → d , então 0 = gπbk . Sendo

    r = co k , existe um (único) morfismo ϑ : c → d tal que gπb = ϑr .Consequentemente, 0 = gπbja = ϑrja = ϑ(hπa − f πb)ja = ϑh. Dáı, ϑ = 0,gπb = 0 e g = 0, pois h e πb são epis.8 é dual a 7 �

    2.17. Definição. Denotamos Co(ker h)(' Ker(co h)

    )por Im h, a ima-

    gem de h, Im h := Co(ker h). Pela Proposição 2.16.6, todo morfismoh : a→ b se decompõe, univocamente, na composição do epimorfismoπ : a→ Im h e do monomorfismo i : Im h→ b, f = iπ.

    Lidando com uma categoria abeliana, usualmente fixamos os seguintesfuntores e as correspondentes transformações naturais: ⊕ni=1, πi , ji , Ker,ker, Co, co, Im, etc. Claramente, podemos fazer isto de modo queKer(−h) = Ker h, ker(−h) = ker h, Co(−h) = Co h, co(−h) = co h e,portanto, Im(−h) = Im h para todo morfismo h.

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  • 2.18. Definição. Dizemos que a sequência ah−→ b f−→ c é semiexata

    em b se fh = 0. Neste caso, h = iπ, onde π : a→ Im h é epi ei : Im h→ b é mono. Logo, fiπ = 0, o que implica fi = 0.Consequentemente, obtemos j : Im h→ Ker f tal que i = (ker f )j . Assim,

    Im h -j

    Ker f

    π6 ker f?

    a -h

    b

    toda sequência ah−→ b f−→ c semiexata em b gera

    uma decomposição de h com j mono (vide o diagrama àdireita). Se j é um isomorfismo, então a sequência é ditaexata em b. Uma sequência · · · → a→ b → c → . . . édita (semi)exata se ela é (semi) exata em cada um de seus termos. Obvia-

    mente, 0 → a h−→ b (respectivamente, b h−→ a → 0) é exata em a se esó se h é mono (respectivamente, epi). Agora é facil ver que o fato de a

    sequência 0 → a h−→ b f−→ c ser exata é equivalente a h = ker f . Paraprovar o fato dual que a sequência a

    h−→ b f−→ c → 0 é exata se e só sef = co h, podemos utilizar a seguinte observação.

    2.19. Observação. A sequência ah−→ b f−→ c é exata em b se e só se

    existe uma decomposição de f , em epi e mono, dada por

    bco h−→ Co h m−→ c.

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 33 / 1

  • Im h -j

    Ker f

    π6 ker f?

    a -h b -f c

    co h?

    ZZZ~

    p 6l

    Co h -β

    α� Im f

    Demonstração. Suponhamos que a sequênciaseja exata. Utilizando a decomposição da Defini-ção 2.17 para f e o diagrama da Definição 2.18para h, obtemos o diagrama comutativo à direita,onde j é iso, π e p são epis e l é mono. Comolph = 0 e l é mono, temos ph = 0. Logo, existeum único α : Co h→ Im f tal que α(co h) = p.Por outro lado, 0 = (co h)h = (co h)(ker f )jπ. Sendo π e j epis, (co h)(ker f )= 0. Pela Definição 2.17, Im f ' Co(ker f ). Dáı obtemos um únicoβ : Im f → Co h tal que βp = co h. Agora, utilizando o fato que p e co hsão epis, é fácil ver que α e β são inversos um do outro e, assim, estabelecemum isomorfismo Im f ' Co h. Resta definir m := lα.Reciprocamente, se f é decomposto como b

    co h−→ Co h m−→ c com m mono,então a sequência a

    h−→ b f−→ c é exata em b, pois, sendo m mono,Ker f = Ker

    (m(co h)

    )“coincide” com Ker(co h) = Im h �

    O fato obtido é dual à Definição 2.18 que, na verdade, diz que a sequên-

    cia ah−→ b f−→ c é exata em b se e só se h se decompõe como

    ae−→ Ker f ker f−→ b com e epi.

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 34 / 1

  • y ×x ′ y ′��p

    y

    [email protected]@@R

    f

    @@@R

    ϑ′

    @@Rp′

    y ′

    ?ϑ′′

    x ′′

    ���

    f ′′

    ���

    ϑ′1

    x ′

    ?f ′

    a

    2.20. Definição. Seja a ∈ C. Dizemos que f : x → ae f ′ : x ′ → a são equivalentes, f ≡ f ′, se existemepimorfismos ϑ : y → x e ϑ′ : y → x ′ tais que f ϑ =f ′ϑ′. Mostremos que f ≡ f ′ e f ′ ≡ f ′′ implicam f ≡ f ′′.Realmente, temos o diagrama comutativo à direita comϑ, ϑ′, ϑ′1 e ϑ

    ′′ epis. Pela Proposição 2.16.7, p e p′ sãoepis. Agora f ϑp = f ′′ϑ′′p′ com ϑp e ϑ′′p′ epis. Assim,obtemos uma relação de equivalência. Uma classe deequivalência se chama de membro de a, x ∈m a. Podemos falar sobre aimagem de um membro: Seja x ∈m a, f : x → a, um membro e sejah : a → b um morfismo. Então hf : x → b define a imagem hx ∈m b.É fácil ver que x ≡ x ′ implica hx ≡ hx ′. Também faz sentido dizer −x ∈m aou x ≡ 0.

    Os membros substituem elementos na caça em diagramas:

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  • 2.21. Proposição (as regras elementares para caça em diagramas).

    1. Um morfismo h : a→ b é nulo se e só se hx ≡ 0 para todo x ∈m a.2. Um morfismo h : a→ b é mono se e só se hx ≡ 0 implica x ≡ 0 paratodo x ∈m a (ou, equivalentemente, hx ≡ hx ′ implica x ≡ x ′ para todosx , x ′ ∈m a).3. Um morfismo h : a→ b é epi se e só se, para todo y ∈m b, existe umx ∈m a tal que hx ≡ y.4. Uma sequência a

    h−→ b f−→ c é exata em b se e só se fh = 0 e, paraqualquer y ∈m b com fy ≡ 0, existe um x ∈m a tal que hx ≡ y.5 (subtração). Sejam dados um morfismo h : a→ b e dois membrosx , y ∈m a tais que hx ≡ hy. Então existe z ∈m a (podemos denotarz ≡ x − y) tal que hz ≡ 0 e, para qualquer morfismo f : a→ c, temosfx ≡ 0 =⇒ fz ≡ −fy e fy ≡ 0 =⇒ fz ≡ fx.

    Demonstração. 1. Como 1a : a→ a induz a ∈m a, então ha ≡ 0 implicah = 0.2. Se h é mono e hx ≡ hx ′ para f : x → a e f ′ : x ′ → a, entãohf ϑ = hf ′ϑ′ para epimorfismos ϑ e ϑ′ apropriados. Isto implica f ϑ = f ′ϑ′

    e assim x ≡ x ′.S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 36 / 1

  • Reciprocamente, seja hf = 0 para algum f : x → a. Então x ≡ 0 e existeum epimorfismo ϑ : z → x tal que f ϑ = 0. Logo, f = 0. Assim conclúımosque h é mono.

    a×b y-h′

    yf ′

    ?f?

    a -h

    b

    z

    x

    ?f

    SSSwϑ′

    b

    ?1b

    a -h b

    3. Suponhamos que h seja epi. Seja y ∈m b,f : y → b. No diagrama à esquerda, h′ é epi pelaProposição 1.16.7. Assim obtemos um membro x =a×b y ∈m a tal que hx ≡ y . Reciprocamente,

    aplicando a propriedade de h ao membro y := b ∈m b, obtemoso diagrama comutativo à direita com ϑ e ϑ′ epis. Sendo h divisor à esquerdado epimorfismo ϑ′, conclúımos que h é epi.4. Suponhamos que a sequência seja exata em b. Seja y ∈m b, g : y → b,com fy ≡ 0.

    AAAAAU

    g����π′

    y

    ?t

    a×Im h y

    ?���πIm [email protected]@Rker f

    a -h

    b -f

    c

    Então, para um epimorfismo ϑ : z → y , temosfgϑ = 0. Logo, fg = 0 e g = (ker f )t para algumt : y → Ker f = Im h. No diagrama à esquerda,h = (ker f )π com π epi. Pela Proposição 1.16.7,π′ é epi e hx ≡ y , onde x := a×Im h y ∈m a.

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  • z�

    �ϑ′ QQQs

    ϑ

    [email protected]@R

    g

    Im h -j Ker f6π ?ker fa -

    hb -

    fc

    Reciprocamente, aplicando a propriedade ao membroy := Ker f ∈m b, obtemos o diagrama à direita comϑ e ϑ′ epis. Isto é, (ker f )jπgϑ′ = (ker f )ϑ, ou seja,jπgϑ′ = ϑ, implicando que j é epi.

    z��ϑ x

    -u [email protected]

    hb

    @Rϑ′ y -v a��h

    5. Temos o diagrama comutativo à direita abaixo comϑ e ϑ′ epis. Agora, z ∈m a desejado é uϑ− vϑ′ : z → a �A Proposição 2.21 possibilita aplicar os argumentos usuaisna caça em diagramas. A “receita” é provar primeiramenteum fato com uso de elementos como na categoria Ab etrocar depois “elementos” por “membros”. O único lugar em que isto nãofunciona é na construção de morfismos. Um exemplo disto é o seguintelema.

    2.22. Lema (da serpente). Dado um diagrama comutativo

    0 - a1 -i

    a2 -p

    a3 - 0

    h1?h2?

    h3?0 - b1 -

    jb2 -

    πb3 - 0

    com linhas exatas, então existe um morfismo δ : Ker h3 → Co h1 tal que aS. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 38 / 1

  • sequência

    (2.22.1)

    0→ Ker h1i ′−→ Ker h2

    p′−→ Ker h3δ−→ Co h1

    j ′−→ Co h2π′−→ Co h3 → 0

    é exata, onde os morfismos i ′, p′, j ′ e π′ são induzidos:

    0-Ker h1 -i ′

    Ker h2 -p′

    Ker h3 -δ

    ker h1?

    ker h2?

    ker h3?

    0 - a1 -i

    a2 -p

    a3 - 0

    h1?h2?

    h3?0 - b1 -

    jb2 -

    πb3 - 0

    co h1?

    co h2?

    co h3?-δ Co h1 -

    j ′Co h2 -

    π′Co h3- 0

    Demonstração. Para definir δ consideremos o diagrama

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  • 0 - a1 -ker q

    a2 ×a3 Ker h3 -q

    Ker h3-0

    1a1?k?

    ker h3?

    0 - a1 -i

    a2 -p

    a3 - 0

    h1?h2?

    h3?0 - b1 -

    jb2 -

    πb3 - 0

    co h1?

    c?

    1b3?0-Co h1 -

    gCo h1 tb1 b2 -

    co gb3 - 0

    Sendo p epi e sendo j mono, pela Proposição 2.16.7 (e 2.16.8), q é epi,g é mono, as linhas no diagrama são exatas e o diagrama é comutativo.Consideremos o morfismo δ0 := ch2k. Temos δ0(ker q) = 0 eq = co(ker q). Logo, existe um morfismo u : Ker h3 → Co h1 tb1 b2 talque uq = δ0. Sendo 0 = (co g)δ0 = (co g)uq com q epi, conclúımos que(co g)u = 0. De g = ker(co g) segue que existe um morfismoδ : Ker h3 → Co h1 tal que gδ = u.

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  • Agora descrevemos δ usando membros. Seja x ∈m Ker h3, f : x → Ker h3.Pela Proposição 2.21.3, existe x2 ∈m a2, f2 : x2 → a2, tal quepx2 ≡ (ker h3)x . Como 0 ≡ h3(ker h3)x ≡ h3px2 ≡ πh2x2 e a sequência0→ b1 → b2 → b3 → 0 é exata em b2, então, pela Proposição 2.21.4,existe y1 ∈m b1 tal que jy1 ≡ h2x2. Façamos y ≡ (co h1)y1 e mostremosque y ≡ δx . (Pela Proposição 2.21.1, isto define δ univocamente.) PelaProposição 2.21.2, é suficiente demonstrar que gy ≡ gδx , pois g é mono.Em outras palavras, precisamos verificar que g(co h1)y1 ≡ ux , isto é, quech2x2 ≡ ux . Se encontramos z ∈m a2×a3 Ker h3 tal que qz ≡ x e kz ≡ x2,

    (2.22.2)

    x

    ?ker h3

    (ker h3)xx2 -p

    ?h2h2x2y1 -

    j

    ?co h1(co h1)y1

    z���ϑ

    x -f Ker [email protected]@Rker h3

    [email protected]@Rϑ′ x2 -

    f2 a2���p

    então ch2x2 ≡ ch2kz ≡ δ0z ≡ uqz ≡ ux e tudo está feito. Para algunsepimorfismos ϑ e ϑ′ temos o diagrama comutativo à direita.

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  • Portanto, existe um morfismo ε : z → a2 ×a3 Ker h3 tal que qε = f ϑ ekε = f2ϑ

    ′. Em outras palavras, z ∈m a2 ×a3 Ker h3, qz ≡ x e kz ≡ x2.A exatidão da sequência (2.22.1) pode ser obtida pela caça no diagramado lema usando a Proposição 2.21 e a “definição” (2.22.2) do morfismo δ.Deixamos tal demonstração a cargo do leitor �

    2.23. Observação. A Ker-Coker-sequência é funtorial. Isto significa oseguinte. Suponhamos que (h1, h2, h3) e (h

    ′1, h′2, h′3) participem nos

    diagramas comutativos D e D ′ com linhas exatas, como aquele doLema 2.2.2, e seja D → D ′ um morfismo entre os diagramas dado pormorfismos f1, f2, f3, g1, g2, g3 (isto significa que a parte correspondente dodiagrama no próximo slide é comutativa). Então o diagrama

    0 - Ker h1 - Ker h2 - Ker h3 -δ

    Co h1 - Co h2 - Co h3 - 0

    f ′1 ?f ′2 ?

    f ′3 ?g ′1?

    g ′2?g ′3?

    0 - Ker h′1- Ker h′2

    - Ker h′3-δ′

    Co h′1- Co h′2

    - Co h′3- 0

    é comutativo, onde todos os morfismos, além de δ e δ′, são induzidos.

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  • Demonstração. Já que todos os morfismos, além de δ e δ′, são induzidos,resta mostrar a comutatividade do quadrado central (pois os outros quad-rados são comutativos pelo fato que Ker e Co são funtores). Isto se fazpela caça no diagrama abaixo utilizando a “definição” (2.22.2) de δ e δ′

    Co h1-δ �

    �3g ′1

    Co h′1-δ′

    ?

    ?0 b1 b2 b3 0- - - -

    ��3g1

    ���3g2

    ���3g3

    0 - b′1 - b′2

    - b′3- 0?

    h1

    ?

    h2

    ?

    h3

    0 - a1 - a2 - a3- 0���3f1

    ���3f2

    ���3f3

    ?h′1

    ?h′2

    ?h′3

    0 - a′1 - a′2

    - a′3- 0

    ?

    Ker h3 -δ��3f′3

    ?

    Ker h′3 -δ′

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  • Outros exemplos de aplicação de caça em diagramas são os “4-lema” e“5-lema”.

    2.24. Lema (4-lema). Seja dado um diagrama comutativo à esquerdacom a primeira linha semiexata em a2 e exata em a3 e com a segundalinha exata em b2. Se h2 e h4 são monos e h1 é epi, então h3 é mono.

    a1 -f1 a2 -

    f2 a3 -f3 a4

    h1?h2?

    h3?h4?

    b1 -g1 b2 -

    g2 b3 -g3 b4

    a2 -f2 a3 -

    f3 a4 -f4 a5

    h2?h3?

    h4?h5?

    b2 -g2 b3 -

    g3 b4 -g4 b5

    Seja dado um diagrama comutativo à direita com a primeira linha exataem a4 e com a segunda linha exata em b3 e semiexata em b4. Se h2 e h4são epis e h5 é mono, então h3 é epi �

    a1 -f1 a2 -

    f2 a3 -f3 a4 -

    f4 a5h1?

    h2?h3?

    h4?h5?

    b1 -g1 b2 -

    g2 b3 -g3 b4 -

    g4 b52.25. Corolário (5-lema). Seja dado um diagrama comutativo acima coma primeira linha semiexata em a2 e exata em a3 e a4, com a segunda linhaexata em b2 e b3 e semiexata em b4. Se h1 é epi, h5 é mono, h2 e h4 sãoisomorfismos, então h3 é um isomorfismo �

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  • Exerćıcios

    1. Prove todas as afirmações cujas demonstrações foram omitidas nasnotas de aulas.2. Prove a seguinte versão do lema de Yoneda.Denotamos por Cat(∗,Set)× ∗ a categoria seguinte:• Um objeto de Cat(∗,Set)× ∗ tem a forma (C,F , c), onde C é umacategoria arbitrária (isto é, C = ∗), F : C → Set é um funtor e c ∈ C.• Um morfismo em Cat(∗,Set)× ∗ entre (C,F , c) e (C′,F ′, c ′) tem aforma (G , t, f ), onde G : C → C′ é um funtor, t : F → F ′ ◦ G é umatransformação natural entre funtores do tipo C → Set e f : Gc → c ′ é ummorfismo em C′.• A composição entre (G , t, f ) : (C,F , c)→ (C′,F ′, c ′) e(G ′, t ′, f ′) : (C′,F ′, c ′)→ (C′′,F ′′, c ′′) é definida pela regra(G ′, t ′, f ′) ◦ (G , t, f ) :=

    (G ′ ◦ G , (t ′ ◦ G ) ◦ t, f ′ ◦ G ′f

    ).

    O funtor −2−3 : Cat(∗,Set)× ∗ → Set é definido como−2 −3 (C,F , c) := Fc para um objeto (C,F , c) e−2 −3 (G , t, f ) := (F ′f ) ◦ tc : Fc → F ′c ′ para um morfismo(G , t, f ) : (C,F , c)→ (C′,F ′, c ′).

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  • O funtorT := Cat(−1,Set)

    (−1 (−3,−4),−2 −4

    ): Cat(∗,Set)× ∗ → Set, onde

    −1 ∈ Cat, −2 ∈ Cat(−1,Set), −3,−4 ∈ −1, é definido de maneiraseguinte. Para um objeto (C,F , c), façamosT (C,F , c) := Cat(C,Set)

    (C(c ,−),F

    ). Para um morfismo

    (G , t, f ) : (C,F , c)→ (C′,F ′, c ′), façamosT (G , t, f ) :

    (C(c ,−) α−→ F

    )7→(C′(c ′,−) α

    ′−→ F ′

    ), onde

    α′x ′ : (c′ g−→ x ′) 7→

    ((F ′g) ◦ (F ′f ) ◦ tc ◦ αc

    )1c .

    A transformação natural y : Cat(−1,Set)(−1 (−3,−4),−2 −4

    )→ −2−3

    de fato mencionada no lema de Yoneda se aplica para os funtores do tipoCat(∗,Set)× ∗ → Set.

    3. Se ainda está vivo/viva, imagine que, talvez, a naturalidade do exerćıcioanterior pode ser estendida para funtores do tipo Cat(∗, †)× ∗ → †, onde† denota uma categoria arbitrária S que possui produtos finitos (e objetofinal), usando o conceito de categoria S no lugar de Set : para“c, c ′ ∈ C”, temos “C(c , c ′) ∈ S” . . . Assim, como resultado, obtemossomente uma forma: só Cat faz sentido . . .

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  • 4. Responda à pergunta da nota de rodapé 7 na página 17 das notas deaula.

    5. Encontre uma demonstração envolvendo uso de membros para aprimeira parte do Lema 2.24. Tente adotá-la para a segunda parte.

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