Categorias,álgebra homológica,categorias derivadas

slides de aula

Sasha Anan′in

ICMC, USP, São Carlos

14/10/2015 – 11/11/2015

3. Cohomologias

3.1. Exemplo introdutório: homologias singulares. Seja k ∈ N e sejame0, . . . , ek ∈ Rn linearmente independentes. Um k-simplexo (padrão) ∆ké o envelope convexo dos e0, . . . , ek , isto é, o menor subconjunto con-vexo de Rn que contém os e0, . . . , ek . O simplexo ∆k pode ser descritousando coordenadas baricêntricas ∆k = {

∑ki=0 xiei |

∑ki=0 xi = 1,

x0, . . . , xk > 0}. Sejam 0 6 i 6 k com k > 1. Denotemos por∂ ik : ∆k−1 → ∆k a função da i-ésima face dada pela fórmula∂ ik : (x0, . . . , xk−1) 7→ (x0, . . . , xi−1, 0, xi , . . . , xk−1) em termos de coorde-nadas baricêntricas. É óbvio que ∂jk+1∂

ik = ∂

ik+1∂

j−1k se k > 1 e

0 6 i < j 6 k + 1.Seja X um espaço topológico. Um k-simplexo singular em X é umafunção cont́ınua σ : ∆k → X . Denotamos por SkX :=

{∑σ cσσ | σ ∈

Esp(∆k ,X ), cσ ∈ Z}

o grupo abeliano livremente gerado por todos osk-simplexos singulares em X . Se f : X → X ′ é uma seta em Esp, podemosdefinir (Sk f )(

∑σ cσσ) :=

∑σ cσf σ, obtendo assim um funtor Esp

Sk→ Ab.Em seguida, frequentemente escrevemos f no lugar de Sk f . Os elementosde SkX são ditos k-cadeias. Por definição, Sk := 0 para k < 0.

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 2 / 1

A regra ∂kσ :=∑k

i=0(−1)iσ∂ik define a transformação natural∂k : Sk → Sk−1, chamada operador de bordo (por definição, ∂k := 0 sek 6 0). Verifiquemos que ∂k∂k+1 = 0. Seja σ : ∆k+1 → X um(k + 1)-simplexo singular, então

∂k∂k+1σ = ∂k

k+1∑j=0

(−1)jσ∂jk+1 =∑

06i6k06j6k+1

(−1)i+jσ∂jk+1∂ik =

=∑

06i

Temos também uma transformação natural deg : S0 → ∆Z, chamada graue dada por σ 7→ 1, onde ∆Z : Esp→ Ab denota o funtor constante:∆ZX := Z e ∆Zf := 1Z.

3.1.1. Lema. Seja c ∈ X um ponto num conjunto convexo X ⊂ Rn.Então existem homomorfismos ck : SkX → Sk+1X , k ∈ Z, tais que∂ck + ck−1∂ = 1SkX para todo 0 6= k ∈ Z e ∂c0 = 1S0X − degX ·c. Emparticular, Im ∂k+1 = Ker ∂k para todo 0 6= k ∈ Z.

Demonstração. Seja σ : ∆k → X um simplexo singular. Definamosck · σ : ∆k+1 → X pela fórmula

(ck · σ)(x0, . . . , xk+1) :={

x0c + (1− x0)σ( x11−x0 , . . . ,xk+11−x0 ) se x0 6= 1

c se x0 = 1

É fácil ver que (ck · σ)∂ i+1k+1 = ck−1 · (σ∂ik) se k > 0 e 0 6 i 6 k , que

(ck · σ)∂0k+1 = σ se k > 0 e que (c0 · σ)∂11 = c , onde c denota o simplexosingular ∆0 → X com a imagem c . Dáı segue a primeira afirmação.A segunda é um fato geral: se ∂kx = 0, entãox = ∂ckx + ck−1∂x = ∂ckx �

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 4 / 1

3.1.2. Lema. Sejam fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, transformações natu-rais tais que deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ para todo k ∈ Z. Então existemtransformações naturais sk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais quefk = ∂sk + sk−1∂ para todo k ∈ Z.Demonstração. Para i < 0, definamos si := 0. Por indução sobre k,já constrúımos transformações naturais si : Si → Si+1(∆1 ×−) tais quefi = ∂si + si−1∂ para todo i < k.Para o simplexo singular 1∆k ∈ Sk∆k , temos

∂(fk1∆k − sk−1∂1∆k ) = fk−1∂1∆k − (∂sk−1)∂1∆k =

= fk−1∂1∆k − (fk−1 − sk−2∂)∂1∆k = 0devido a ∂2 = 0 e pela hipótese de indução. Claro que ∆1 ×∆k é convexoem Rn.Consideremos o caso k = 0. De deg f0 = 0 e ∂c0 = 1S0∆0 − deg ·c paraqualquer c ∈ ∆1 ×∆0 ' ∆1 (vide o Lema 3.1.1), obtemos

f01∆0−s−1∂1∆0 = f01∆0 = f0∂c01∆0 +deg(f01∆0)c = f0∂c01∆0 = ∂f1c01∆0e definamos b0 := f1c01∆0 ∈ S1(∆1×∆0). Temos f01∆0 = ∂b0 + s−1∂1∆0 .

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 5 / 1

Caso k 6= 0, pelo Lema 3.1.1, existe bk ∈ Sk+1(∆1 ×∆k) tal que∂bk = fk1∆k − sk−1∂1∆k , ou seja, fk1∆k = ∂bk + sk−1∂1∆k novamente.Definamos sk : SkX → Sk+1(∆1 × X ) pela fórmula skσ := (1∆1 × σ)bk ,onde σ : ∆k → X é um k-simplexo singular em X . Então, para quaisquerseta f : X → X ′ em Esp e k-simplexo singular σ : ∆k → X em X , temos(1∆1 × f )skσ = (1∆1 × f )(1∆1 × σ)bk = (1∆1 × f σ)bk = sk(f σ),mostrando assim a naturalidade de sk .Finalmente, pela naturalidade de fk e de sk−1, obtemos fkσ = (1∆1 × σ)fke (1∆1 × σ)sk−1 = sk−1σ para qualquer função cont́ınua σ : ∆k → X (queé nada mais do que um k-simplexo singular em X ). Agora,

fkσ = fkσ1∆k = (1∆1 × σ)fk1∆k = (1∆1 × σ)(∂bk + sk−1∂1∆k ) =

= ∂(1∆1×σ)bk+(1∆1×σ)sk−1∂1∆k = ∂skσ+sk−1σ∂1∆k = ∂skσ+sk−1∂σ,

pois (1∆1 × σ)∂ = ∂(1∆1 × σ) e σ∂ = ∂σ (usamos aqui o fato que ∂ éuma transformação natural) �

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 6 / 1

Introduzimos a categoria Esp(2) de pares “espaço topológico e seu subes-paço”. Os objetos de Esp(2) são pares (X ,S), onde X ∈ Esp é um espaçotopológico e S

i↪→ X é um subespaço em X . Uma seta (X ,S) f−→ (X ′,S ′)

em Esp(2) é simplesmente uma seta Xf−→ X ′ em Esp tal que fS ⊂ S ′.

Seja (X ,S) ∈ Esp(2). Então temos SkSi↪→ SkX e definimos

Sk(X ,S) := SkX/SkS . Sendo ∂ uma transformação natural, obtemos umhomomorfismo induzido ∂k : Sk(X , S)→ Sk−1(X ,S). É fácil ver quetal ∂k (que é mais geral do que o anterior: tome S = ∅) é umatransformação natural entre funtores do tipo Esp(2) → Ab.Definamos Hk(X , S ; Z) := Ker ∂k/ Im ∂k+1. É imediato queHk : Esp

(2) → Ab é um funtor, chamado k-homologia singular de par.3.1.3. Proposição. Sejam (X ,S), (X ′, S ′) ∈ Esp(2) e sejah : ∆1 × (X ,S)→ (X ′,S ′) uma homotopia em Esp(2) (isto é, uma setah : ∆1 ×X → X ′ em Esp tal que h(∆1 × S) ⊂ S ′). Então Hk h0 = Hk h1,onde ht : (X , S)→ (X ′,S ′) é dado por htx := h(t, x).Demonstração. Seja t ∈ ∆1. A função cont́ınua g t : X → ∆1 × X ,definida pela regra g t : x 7→ (t, x), é uma transformação natural em X talque hg t = ht . Temos transformações naturais induzidas

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 7 / 1

g tk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que ∂g tk = g tk−1∂. Já que deg g t0 inde-pende de t, definindo fk := g

1k − g 0k , obtemos transformações naturais

fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, satisfazendo deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ paratodo k ∈ Z. Pelo Lema 3.1.2, existem transformações naturaissk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que fk = ∂sk + sk−1∂ para todok ∈ Z.De g tS ⊂ ∆1 × S segue g tk(SkS) ⊂ Sk(∆1 × S) ⊂ Sk(∆1 × X ) para oshomomorfismos g tk : SkX → Sk(∆1 × X ), k ∈ Z. Pela naturalidade dossk ’s aplicada ao morfismo S

i↪→ X , conclúımos que

sk(SkS) ⊂ Sk+1(∆1 × S) ⊂ Sk+1(∆1 × X ) para os homomorfismossk : SkX → Sk+1(∆1 × X ), k ∈ Z. Portanto, temos homomorfismosinduzidos g tk : Sk(X ,S)→ Sk(∆1 × X ,∆1 × S), fk = g 1k − g 0k esk : Sk(X ,S)→ Sk+1(∆1 × X ,∆1 × S) e permanece válidofk = ∂sk + sk−1∂, isto é, g

1k − g 0k = ∂sk + sk−1∂, k ∈ Z.

O morfismo h : (∆1 × X ,∆1 × S)→ (X ′, S ′) induz os homomorfismoshk : Sk(∆1 × X ,∆1 × S)→ Sk(X ′, S ′), k ∈ Z. De hg t = ht seguehkg

tk = h

tk . Logo, h

1k − h0k = hk∂sk + hksk−1∂ = ∂hk+1sk + hksk−1∂. Seja

z ∈ Ker ∂k . Então (h1k − h0k)z = ∂hk+1skz ∈ Im ∂k+1. Isto implicaHk h

0 = Hk h1�

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 8 / 1

3.2. Complexos, cobordos, cociclos e cohomologias. Seja C umacategoria abeliana. Denotamos por Kom∗ C, onde ∗ ∈ {∅,+,−, b},a categoria cujos objetos são os ∗-complexos, isto é, sequênciassemiexatas em C

C • : . . . -d i−1C• C i -

d iC• C i+1 -d i+1C• . . .

com a condição:

∅ nada.+ existe um i0 tal que C

i = 0 para todo i < i0.− existe um i1 tal que C i = 0 para todo i > i1.b existem i0 e i1 tais que C

i = 0 se i < i0 ou i > i1.

Os morfismos d iC•’s chamam-se operadores de bordo do complexo.Um morfismo h• : C •→ D• entre complexos é uma coleção de setashi : C i → D i compat́ıveis com os d•• ’s, isto é, hi+1d iC•= d iD•hi paratodo i . Podemos escrever as últimas igualdades sem ı́ndices: hd = dh(os ı́ndices se sabem). A composição de morfismos é óbvia. A categoriaKom∗ C é uma Ab-categoria se definirmos (h•+ f •)i := hi + f i . Ela possuibiprodutos (C •⊕D•)i := C i ⊕D i com projeções e injeções óbvias. Ela temobjeto nulo 0i := 0. Possui núcleos e conúcleos:

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 9 / 1

por exemplo, (Ker h•)i := Ker hi com o morfismo ker h• : Ker h•→ C • feitode morfismos ker hi e com d iKer h• induzido por d

iC• e d

iD•. Obviamente, h

•

é mono (epi, iso) se e só se cada um hi é mono (epi, iso). É fácil verificaragora que Kom∗ C é uma categoria abeliana.

Bi C • -j iC•

Zi C •

πiC•6

ker d iC•?

C i−1 -d i−1C• C i

Seja C • um complexo. Denotemos Bi C • := Im di−1C• e

Zi C • := Ker d iC•. Temos a decomposição de di−1C• no

diagrama à direita com j iC• mono (vide a Definição 2.18).Façamos Hi C • := Co j iC•. Em outras palavras, a sequência

0→ Bi C •j iC•−→ Zi C •

co j iC•−→ Hi C •→ 0

é exata.Seja h• : C •→ D• um morfismo entre complexos. Então temos o diagramacomutativo

C i−2 -d i−2C• C i−1 -

πiC•Bi C • -

j iC•Zi C • -

ker d iC•C i -d iC• C i+1

hi−2

?hi−1

?hi

?hi+1

?D i−2 -

d i−2D• D i−1 -πiD•

Bi D• -j iD•

Zi D• -ker d iD•D i -

d iD• D i+1

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 10 / 1

C i−1 -πiC•

Bi C • -miC• C i -

co d i−1C• Co d i−1C•- 0

hi−1

?g?

hi

?D i−1 -

πiD•Bi D• -

miD• D i -co d i−1D• Co d i−1D•

- 0

Zi C • -ker d iC•C i -

d iC• C i+1

Zi h•

?hi

?hi+1

?

Zi D• -ker d iD•D i -

d iD• D i+1

As setas hi e hi+1 induzem o morfismo Zi h• :

Zi C •→ Z iD• que faz o diagrama à direitacomutativo. As setas hi−1 e hi induzem omorfismo g : Co d i−1C• → Co d

i−1D• que faz o

diagrama acima comutativo, ondemiC•= ker(co d

i−1C• ) : B

i C •= Im d i−1C• = Ker(co di−1C• )→ C

i e

miD• = ker(co di−1D• ) : B

i D•= Im d i−1D• = Ker(co di−1D• )→ D

i são os mono-

morfismos participando nas decomposições dos morfismos d i−1C• e di−1D• (vide

a Definição 2.17). Assim, as setas hi e g induzem o morfismo

Bi C • -miC• C i -

co d i−1C• Co d i−1C•- 0

Bi h•

?hi

?g?

Bi D• -miD• D i -

co d i−1D• Co d i−1D•- 0

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 11 / 1

Bi h• : Bi C •→ Bi D• que faz o diagrama acima comutativo.

C i−1 -πiC•

Bi C • -miC• C i

hi−1

?Bi h•

?hi

?D i−1 -

πiD•Bi D• -

miD• D i

Consequentemente, no diagrama à direita te-mos miD•(B

i h•)πiC•= himiC•π

iC•= m

iD•π

iD•h

i−1.Sendo miD• mono, conclúımos que π

iD•h

i−1 =(Bi h•)πiC•, isto é, o primeiro quadrado nestediagrama também é comutativo. Resumindo,obtemos o diagrama comutativo

(3.2.1)

C i−2 -d i−2C• C i−1 -

πiC•Bi C • -

j iC•Zi C • -

ker d iC•C i -d iC• C i+1

hi−2

?hi−1

?Bi h•

?Zi h•

?hi

?hi+1

?D i−2 -

d i−2D• D i−1 -πiD•

Bi D• -j iD•

Zi D• -ker d iD•D i -

d iD• D i+1

O quadrado central é comutativo, pois ker d iD•(Zih•)j iC•π

iC•=

= hi (ker d iC•)jiC•π

iC•= (ker d

iD•)j

iD•π

iD•h

i−1 = (ker d iD•)jiD•(B

ih•)πiC• com

(3.2.2)

0 - Bi C • -j iC•

Zi C • -co j iC•

Hi C • - 0

Bi h•

?Zi h•

?Hi h•

?0 - Bi D• -

j iD•Zi D• -

co j iD•Hi D• - 0

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 12 / 1

πiC• epi e ker diD• mono. Finalmente, obtemos o diagrama comutativo

acima e vemos que Bi , Zi e Hi são funtores. Chamaremos Hi de i-coho-mologia de complexo.

3.2.3. Lema. Os funtores Bi , Zi e Hi são aditivos.

Demonstração. Sejam dados dois morfismos entre complexosh•, f • : C •→ D•. O morfismo h•+ f • determina, para todo i , o diagrama

C i−1 -πiC•

Bi C • -j iC•

Zi C • -ker d iC• C i

hi−1 + f i−1

?Bi (h•+ f •)

?Zi (h•+ f •)

?hi + f i

?D i−1 -

πiD•Bi D• -

j iD•Zi D• -

ker d iD• D i

comutativo, onde Zi (h•+ f •) é o único morfismo que faz comutativo oquadrado à direita. Como (hi + f i ) ker d iC•= h

i ker d iC•+ fi ker d iC•=

(ker d iD•)Zih•+ (ker d iD•)Z

i f •= ker d iD•(Zih•+ Zi f •), pela unicidade, temos

Zi (h•+ f •) = Zi h•+ Zi f •. Dáı, Zi é aditivo. Analogamente,πiD•(h

i−1 + f i−1) = πiD•hi−1 + πiD•f

i−1 = (Bih•)πiC•+ (Bi f •)πiC•=

(Bih•+ Bi f •)πiC•. Logo, pela unicidade de Bi (h•+ f •), conclúımos que

Bi (h•+ f •) = Bi h•+ Bi f •. Dáı, Bi é aditivo. Da unicidade do morfismoinduzidoS. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 13 / 1

entre conúcleos segue a aditividade de Hi(vide (3.2.2)

)�

3.2.4. Lema. Seja C •∈ Kom∗ C. Então, para todo i , existem dois únicosmorfismos αiC• e β

iC• que fazem o diagrama

0 0 06 ? ?

0 - Bi C • -j iC•

Zi C • -co j iC•

Hi C • - 0

πiC•6

ker d iC•?

αiC•?

C i−1 -d i−1C• C i -

co d i−1C• Co d i−1C•- 0

d iC•?

βiC•?

C i+1 -1C i+1 C i+1

comutativo. Neste diagrama, as linhas e colunas são exatas. Além disso,o diagrama é funtorial (isto é, todos os morfismos no diagrama sãotransformações naturais).

Demonstração. Sendo d iC•di−1C• = 0, obtemos d

iC•= β

iC•(co d

i−1C• ) para

um único βiC•. De 0 = (co di−1C• )(d

i−1C• ) = (co d

i−1C• )(ker d

iC•) j

iC•π

iC• e de

πiC• ser epi, conclúımos que (co di−1C• )(ker d

iC•)j

iC•= 0.

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 14 / 1

Logo, existe um único αiC• que faz o diagrama do lema comutativo.Por caça em diagrama, é fácil provar queαiC• é mono e que α

iC•= kerβ

iC•.

C i−1 -d i−1C• C i -

co d i−1C• Co d i−1C•-

βiC• C i+1

hi−1

?hi

?hi

?hi+1

?D i−1 -

d i−1D• D i -co d i−1D• Co d i−1D•

-βiD• D i+1

ZiC • -co j iC• HiC •

?

αiC•

Co d i−1C•?

ker d iC•

C i -co d i−1C•

����Z

i h•

����hi

����

Hi h•

����hi

ZiD• -co j iD• HiD•

?

αiD•

Co d i−1D•?

ker d iD•

D i -co d i−1D•

Para provar que o diagrama do lema é funtorial, tomemos um morfismoh• : C •→ D• entre complexos. Então o diagrama acima à esquerda écomutativo, onde o quadrado à direita é comutativo, pois co d i−1C• é epi.Utilizando as comutatividades obtidas anteriormente, constatamos queresta provar a comutatividade da face direita no diagrama acima à direita.As comutatividades das faces de cima, de baixo, frontal, do fundo e daesquerda são já conhecidas (vide a primeira parte do lema). A comutativi-dade da face direita segue da comutatividade das outras faces e de co j iC•ser epi �

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 15 / 1

3.3. Sequência longa exata. Seja E : 0→ C •1ε•−→ C •2

p•−→ C •3 → 0 umasequência exata de complexos. Pelo Lema 2.22 (da serpente), obtemos odiagrama comutativo (3.3.1) abaixo à esquerda com linhas exatas. Usandoa definição (2.22.2) de δi−1, vemos que βi

C•1

δi−1 = 0 e δi−1j i−1C•3

= 0 (pois

πi−1C•3

e pi−2 são epis). Sendo, pelo Lema 3.2.4, αiC•1

= kerβiC•1

, obtemos

δi−1 = αiC•1

∆i−1 para algum ∆i−1 : Zi−1 C•3 → Hi C

•1. Sendo α

iC•1

mono,

conclúımos que ∆i−1j i−1C•3

= 0. Assim, obtemos δi−1E : Hi−1 C •3 → Hi C

•1 tal

que ∆i−1 = δi−1E (co ji−1C•3

) (vide o diagrama (3.3.1) abaixo à direita; note

que δi−1E é o único morfismo que faz este diagrama comutativo).

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 16 / 1

(3.3.1)

C i−22-p

i−2C i−23

- 0

πi−1C•2 ?

πi−1C•3 ?

Bi−1 C•2

-Bi−1 p•

Bi−1 C•3

j i−1C•2 ?

j i−1C•3 ?

0 - Zi−1 C•1

-Zi−1 ε•

Zi−1 C•2

-Zi−1 p•

Zi−1 C•3

-δi−1

ker d i−1C•1 ?

ker d i−1C•2 ?

ker d i−1C•3 ?

0 - C i−11-ε

i−1C i−12

-pi−1

C i−13- 0

d i−1C•1 ?

d i−1C•2 ?

d i−1C•3 ?

0 - C i1-ε

iC i2

-pi

C i3- 0

co d i−1C•1 ?

co d i−1C•2 ?

co d i−1C•3 ?

-δi−1

Co d i−1C•1

-εi

Co d i−1C•2

-pi

Co d i−1C•3

- 0

βiC•1 ?

βiC•2 ?

0 - C i+11-ε

i+1C i+12

Bi−1 C•3

6j i−1C•3

Zi−1 C•3

6co j i−1

C•3

Hi−1 C•3-

δi−1E Hi C•1

?αiC•1

Co d i−1C•1

?βiC•1

C i+11

����

∆i−1

-δi−1

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 17 / 1

Mostremos que a sequência

. . . -δi−2E Hi−1 C

•1

-Hi−1 ε•

Hi−1 C•2

-Hi−1 p•

Hi−1 C•3-δi−1E Hi C

•1

-Hi ε•

. . .é exata. Para isto, consideremos o diagrama comutativo

0 0 0 0 06 6 6 ? ?

Hi−1 C•1

-Hi−1 ε•

Hi−1 C•2

-Hi−1 p•

Hi−1 C•3

-δi−1E Hi C

•1

-Hi ε•

Hi C•2

co j i−1C•1

6co j i−1

C•2

6co j i−1

C•3

6αiC•1 ?

αiC•2 ?

Zi−1 C•1

-Zi−1 ε•

Zi−1 C•2

-Zi−1 p•

Zi−1 C•3-δi−1

Co d i−1C•1

-εiCo d i−1

C•2

j i−1C•2

6j i−1C•3

6

Bi−1 C•2

-Bi−1 p•

Bi−1 C•3- 0

onde a sequência na segunda linha é exata pela exatidão de Ker-Coker-sequência (2.22.1) e as colunas são exatas. Observemos que a terceiralinha é exata. Com efeito,(Bi−1 p•)π

i−1C•2

= πi−1C•3

pi−2 (vide o segundo quad-

rado comutativo em (3.2.1)). Sendo Bi−1 p• divisor à esquerda de umepimorfismo, ele é epi. Por caça usual em diagrama, podemos provar quea primeira linha do diagrama é exata nos termos Hi−1 C

•2, H

i−1 C •3 e Hi C •1.

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 18 / 1

Seja C uma categoria abeliana. Consideremos a categoria Esc C, cujosobjetos são sequências curtas exatas de complexosE : 0→ C •1 → C

•2 → C

•3 → 0, com C

•1,C

•2,C

•3 ∈ Kom

∗ C, e cujosmorfismos são dados por diagramas comutativos do tipo

E : 0 - C •1-ε•

C •2-p•

C •3- 0

h?

h•1?

h•2?

h•3?

E ′ : 0 - C ′1• -ε′•

C ′2• -p

′•C ′3• - 0

Obviamente, temos três funtoresFk : Esc C → Kom∗ C, k = 1, 2, 3, onde,para E : 0→ C •1 → C

•2 → C

•3 → 0,

definimos FkE = C•k .

Hi C•3-δiE

Hi+1 C•1

Hi h•3?

Hi+1 h•1

?

Hi C ′3• -δ

iE ′

Hi+1 C ′1•

Zi C•3

-co j i

C•3 Hi C

•3

?Hi h

•3

Hi C ′3•

?

Zi h•3

Zi C ′3• -

co j iC ′3•

����δi

����δ′i

����δiE

����δiE ′

Co d iC•1

�αi+1C•1 Hi+1 C

•1

?

Hi+1 h•1

Hi+1 C ′1•

?

hi1

Co d iC ′1•�

αi+1C ′1•

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 19 / 1

Vamos mostrar que o δi• obtido acima define uma transformação natural

δi• : Hi F3 → Hi+1 F1. Isto é, para todo morfismo h : E → E ′ em Esc C,

como acima, o quadrado acima à esquerda é comutativo. De fato, este

quadrado é a face direita do cubo acima à direita, onde hi1 é induzido por

h•1 e as comutatividades das faces de cima, de baixo, de frente e do fundojá são conhecidas. Pela Observação 2.23, temos a comutatividade da faceesquerda. Sendo co j i

C•3

epi e sendo αi+1C ′1• mono, pela comutatividade destas

cinco faces obtemos a comutatividade da face direita.

3.4. Homotopias. No exemplo introdutório 3.1, vimos como umahomotopia de funções cont́ınuas entre espaços topológicos se transformoupara uma homotopia entre os complexos S• de simplexos singulares.

-d iC•

C i+1

��

��

hi+1�

���

hi

C i

?fi − g i

D iD i−1 -d i−1D•

3.4.1. Definição. Seja C uma categoriaabeliana e sejam C •,D•∈ Kom∗ C complexos.Dizemos que morfismos f •, g • : C • → D•são homotópicos se existe uma coleção demorfismos hi : C i → D i−1 em C, chamadahomotopia (os morfismos hi ’s não precisamcomutar com d), tais que f i − g i = d i−1D• h

i + hi+1d iC• para todo i .S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 20 / 1

Podemos escrever as últimas igualdades sem ı́ndices: f − g = dh + hd(os ı́ndices se sabem).Denotamos f •∼ g • se f • e g • forem homotópicos. É fácil ver que “serhomotópico” é uma relação de equivalência e que os morfismoshomotópicos a zero formam em Kom∗ C(C •,D•) um subgrupo. Aindamais, estes subgrupos formam um “ideal”, isto é, a composição commorfismo homotopicamente nulo é homotopicamente nula.

3.4.2. Lema. Se f •, g • : C •→ D• são homotópicos, então Hi f •= Hi g •para todo i .

Demonstração. Pela aditividade de Hi podemos supor que g = 0. Temoso diagrama abaixo à esquerda (que não é necessariamente comutativo).Pela hipótese, f i = hi+1d iC•+ d

i−1D• h

i . Logo,

f i (ker d iC•) = hi+1d iC•(ker d

iC•) + d

i−1D• h

i (ker d iC•) = di−1D• h

i (ker d iC•) =(ker d iD•)j

iD•π

iD•h

i (ker d iC•). Sendo Zi f • o único morfismo que faz a

comutatividade f i (ker d iC•) = (ker diD•)(Z

i f •), conclúımos que

Zi f •= j iD•πiD•h

i (ker d iC•). Obtemos o diagrama comutativo abaixo àdireita, onde ϕ = πiD•h

i (ker d iC•). Agora,(Hi f •)(co j iC•) = (co j

iD•)j

iD•ϕ = 0. Sendo co j

iC• epi, H

i f •= 0 �S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 21 / 1

Bi C •

6πiC•

C i−1

?f i−1

D i−1

?πiD•

Bi D•

-j iC•

-di−1C•

-di−1D•

-jiD•

���

hi

Zi C •

?ker d iC•

C i

?f i

D i

6ker d iD•

Zi D•

-diC•

-diD•

���

hi+1C i+1

?f i+1

D i+1

0 -Bi C • -j iC•

Zi C • -co j iC•

Hi C • - 0

Bi f •

?

ϕ ��� ?

Zi f •

?Hi f •

0 -Bi D• -j iD•

Zi D• -co j iD•

Hi D• - 0

Fazendo um “quociente” pelo “ideal” daDefinicão 3.4.1, obtemos a categoria K∗ Ccujos objetos são os de Kom∗ C e cujosmorfismos são classes homotópicas demorfismos de Kom∗ C, isto é,

K∗ C(C •,D•) := Kom∗ C(C •,D•)/ ∼. Claramente, obtemos o funtor“canônico de quociente” π : Kom∗ C → K∗ C. (Note que K∗ C é umaAb-categoria, mas, em geral, não é uma categoria abeliana.)Denotamos por Kom∗0 C a subcategoria completa de Kom∗ C formada portodos os complexos cujos operadores de bordo são nulos. Assim, paraqualquer C •∈ Kom∗ C, obtemos B•C •,Z•C •,H•C •∈ Kom∗0 C e podemosconsiderar B•, Z• e H• como funtores, B•,Z•,H• : Kom∗ C → Kom∗0 C.

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 22 / 1

Kom∗ C -π K∗ C

?H• ��

h

Kom∗0 C -I Kom∗ C

3.5. Teorema. Seja C uma categoria abeliana. Entãoos funtores B•,Z•,H• : Kom∗ C → Kom∗0 C são adi-tivos e formam a sequência exata 0→B•→Z•→H•→0.O funtor H• passa por K∗ C, isto é, o diagrama àdireita é comutativo, onde h é um funtor aditivo e I é a inclusão.Seja E ∈ Esc C uma sequência curta exata de complexos,E : 0→ C •1

ε•−→ C •2p•−→ C •3 → 0. Então a sequência

. . . -δi−2E Hi−1 C

•1

-Hi−1 ε•

Hi−1 C•2

-Hi−1 p•

Hi−1 C•3-

δi−1E Hi C•1

-Hi ε•

. . .

é exata, onde, para todo i , δi• é uma transformação natural. Isto significaque, para qualquer morfismo h : E → E ′ em Esc C,

E : 0 - C •1-ε•

C •2-p•

C •3- 0

h?

h•1?

h•2?

h•3?

E ′ : 0 - C ′1• -ε′•

C ′2• -p

′•C ′3• - 0

o diagrama

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 23 / 1

. . . -δi−2E Hi−1 C

•1

-Hi−1 ε•

Hi−1 C•2

-Hi−1 p•

Hi−1 C•3

-δi−1E Hi C

•1

-Hi ε•

. . .

Hi−1 h•1?

Hi−1 h•2?

Hi−1 h•3?

Hi h•1?

. . . -δi−2E ′ Hi−1 C ′1

• -Hi−1 ε′•

Hi−1 C ′2• -H

i−1 p′•

Hi−1 C ′3• -δ

i−1E ′ Hi C ′1

• -Hi ε′•

. . .

é comutativo �

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 24 / 1

Exerćıcios

S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 25 / 1