Categorias, álgebra homológica, categorias derivadas

slides de aula

Sasha Anan′in

ICMC, USP, São Carlos

14/10/2015 – 11/11/2015

3. Cohomologias

3.1. Exemplo introdutório: homologias singulares. Seja k ∈ N e sejam e0, . . . , ek ∈ Rn linearmente independentes. Um k-simplexo (padrão) ∆k é o envelope convexo dos e0, . . . , ek , isto é, o menor subconjunto con- vexo de Rn que contém os e0, . . . , ek . O simplexo ∆k pode ser descrito usando coordenadas baricêntricas ∆k = {

∑k i=0 xiei |

∑k i=0 xi = 1,

x0, . . . , xk > 0}. Sejam 0 6 i 6 k com k > 1. Denotemos por ∂ ik : ∆k−1 → ∆k a função da i-ésima face dada pela fórmula ∂ ik : (x0, . . . , xk−1) 7→ (x0, . . . , xi−1, 0, xi , . . . , xk−1) em termos de coorde- nadas baricêntricas. É óbvio que ∂jk+1∂

i k = ∂

i k+1∂

j−1 k se k > 1 e

0 6 i < j 6 k + 1. Seja X um espaço topológico. Um k-simplexo singular em X é uma função cont́ınua σ : ∆k → X . Denotamos por SkX :=

{∑ σ cσσ | σ ∈

Esp(∆k ,X ), cσ ∈ Z }

o grupo abeliano livremente gerado por todos os k-simplexos singulares em X . Se f : X → X ′ é uma seta em Esp, podemos definir (Sk f )(

∑ σ cσσ) :=

∑ σ cσf σ, obtendo assim um funtor Esp

Sk→ Ab. Em seguida, frequentemente escrevemos f no lugar de Sk f . Os elementos de SkX são ditos k-cadeias. Por definição, Sk := 0 para k < 0.

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A regra ∂kσ := ∑k

i=0(−1)iσ∂ik define a transformação natural ∂k : Sk → Sk−1, chamada operador de bordo (por definição, ∂k := 0 se k 6 0). Verifiquemos que ∂k∂k+1 = 0. Seja σ : ∆k+1 → X um (k + 1)-simplexo singular, então

∂k∂k+1σ = ∂k

k+1∑ j=0

(−1)jσ∂jk+1 = ∑

06i6k 06j6k+1

(−1)i+jσ∂jk+1∂ i k =

= ∑

06i

Temos também uma transformação natural deg : S0 → ∆Z, chamada grau e dada por σ 7→ 1, onde ∆Z : Esp→ Ab denota o funtor constante: ∆ZX := Z e ∆Zf := 1Z.

3.1.1. Lema. Seja c ∈ X um ponto num conjunto convexo X ⊂ Rn. Então existem homomorfismos ck : SkX → Sk+1X , k ∈ Z, tais que ∂ck + ck−1∂ = 1SkX para todo 0 6= k ∈ Z e ∂c0 = 1S0X − degX ·c. Em particular, Im ∂k+1 = Ker ∂k para todo 0 6= k ∈ Z.

Demonstração. Seja σ : ∆k → X um simplexo singular. Definamos ck · σ : ∆k+1 → X pela fórmula

(ck · σ)(x0, . . . , xk+1) := {

x0c + (1− x0)σ( x11−x0 , . . . , xk+1 1−x0 ) se x0 6= 1

c se x0 = 1

É fácil ver que (ck · σ)∂ i+1k+1 = ck−1 · (σ∂ i k) se k > 0 e 0 6 i 6 k , que

(ck · σ)∂0k+1 = σ se k > 0 e que (c0 · σ)∂11 = c , onde c denota o simplexo singular ∆0 → X com a imagem c . Dáı segue a primeira afirmação. A segunda é um fato geral: se ∂kx = 0, então x = ∂ckx + ck−1∂x = ∂ckx �

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3.1.2. Lema. Sejam fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, transformações natu- rais tais que deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ para todo k ∈ Z. Então existem transformações naturais sk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que fk = ∂sk + sk−1∂ para todo k ∈ Z. Demonstração. Para i < 0, definamos si := 0. Por indução sobre k, já constrúımos transformações naturais si : Si → Si+1(∆1 ×−) tais que fi = ∂si + si−1∂ para todo i < k. Para o simplexo singular 1∆k ∈ Sk∆k , temos

∂(fk1∆k − sk−1∂1∆k ) = fk−1∂1∆k − (∂sk−1)∂1∆k =

= fk−1∂1∆k − (fk−1 − sk−2∂)∂1∆k = 0 devido a ∂2 = 0 e pela hipótese de indução. Claro que ∆1 ×∆k é convexo em Rn. Consideremos o caso k = 0. De deg f0 = 0 e ∂c0 = 1S0∆0 − deg ·c para qualquer c ∈ ∆1 ×∆0 ' ∆1 (vide o Lema 3.1.1), obtemos

f01∆0−s−1∂1∆0 = f01∆0 = f0∂c01∆0 +deg(f01∆0)c = f0∂c01∆0 = ∂f1c01∆0 e definamos b0 := f1c01∆0 ∈ S1(∆1×∆0). Temos f01∆0 = ∂b0 + s−1∂1∆0 .

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Caso k 6= 0, pelo Lema 3.1.1, existe bk ∈ Sk+1(∆1 ×∆k) tal que ∂bk = fk1∆k − sk−1∂1∆k , ou seja, fk1∆k = ∂bk + sk−1∂1∆k novamente. Definamos sk : SkX → Sk+1(∆1 × X ) pela fórmula skσ := (1∆1 × σ)bk , onde σ : ∆k → X é um k-simplexo singular em X . Então, para quaisquer seta f : X → X ′ em Esp e k-simplexo singular σ : ∆k → X em X , temos (1∆1 × f )skσ = (1∆1 × f )(1∆1 × σ)bk = (1∆1 × f σ)bk = sk(f σ), mostrando assim a naturalidade de sk . Finalmente, pela naturalidade de fk e de sk−1, obtemos fkσ = (1∆1 × σ)fk e (1∆1 × σ)sk−1 = sk−1σ para qualquer função cont́ınua σ : ∆k → X (que é nada mais do que um k-simplexo singular em X ). Agora,

fkσ = fkσ1∆k = (1∆1 × σ)fk1∆k = (1∆1 × σ)(∂bk + sk−1∂1∆k ) =

= ∂(1∆1×σ)bk+(1∆1×σ)sk−1∂1∆k = ∂skσ+sk−1σ∂1∆k = ∂skσ+sk−1∂σ,

pois (1∆1 × σ)∂ = ∂(1∆1 × σ) e σ∂ = ∂σ (usamos aqui o fato que ∂ é uma transformação natural) �

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Introduzimos a categoria Esp(2) de pares “espaço topológico e seu subes- paço”. Os objetos de Esp(2) são pares (X ,S), onde X ∈ Esp é um espaço topológico e S

i ↪→ X é um subespaço em X . Uma seta (X ,S) f−→ (X ′,S ′)

em Esp(2) é simplesmente uma seta X f−→ X ′ em Esp tal que fS ⊂ S ′.

Seja (X ,S) ∈ Esp(2). Então temos SkS i ↪→ SkX e definimos

Sk(X ,S) := SkX/SkS . Sendo ∂ uma transformação natural, obtemos um homomorfismo induzido ∂k : Sk(X , S)→ Sk−1(X ,S). É fácil ver que tal ∂k (que é mais geral do que o anterior: tome S = ∅) é uma transformação natural entre funtores do tipo Esp(2) → Ab. Definamos Hk(X , S ; Z) := Ker ∂k/ Im ∂k+1. É imediato que Hk : Esp

(2) → Ab é um funtor, chamado k-homologia singular de par. 3.1.3. Proposição. Sejam (X ,S), (X ′, S ′) ∈ Esp(2) e seja h : ∆1 × (X ,S)→ (X ′,S ′) uma homotopia em Esp(2) (isto é, uma seta h : ∆1 ×X → X ′ em Esp tal que h(∆1 × S) ⊂ S ′). Então Hk h0 = Hk h1, onde ht : (X , S)→ (X ′,S ′) é dado por htx := h(t, x). Demonstração. Seja t ∈ ∆1. A função cont́ınua g t : X → ∆1 × X , definida pela regra g t : x 7→ (t, x), é uma transformação natural em X tal que hg t = ht . Temos transformações naturais induzidas

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g tk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que ∂g tk = g tk−1∂. Já que deg g t0 inde- pende de t, definindo fk := g

1 k − g 0k , obtemos transformações naturais

fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, satisfazendo deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ para todo k ∈ Z. Pelo Lema 3.1.2, existem transformações naturais sk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que fk = ∂sk + sk−1∂ para todo k ∈ Z. De g tS ⊂ ∆1 × S segue g tk(SkS) ⊂ Sk(∆1 × S) ⊂ Sk(∆1 × X ) para os homomorfismos g tk : SkX → Sk(∆1 × X ), k ∈ Z. Pela naturalidade dos sk ’s aplicada ao morfismo S

i ↪→ X , conclúımos que

sk(SkS) ⊂ Sk+1(∆1 × S) ⊂ Sk+1(∆1 × X ) para os homomorfismos sk : SkX → Sk+1(∆1 × X ), k ∈ Z. Portanto, temos homomorfismos induzidos g tk : Sk(X ,S)→ Sk(∆1 × X ,∆1 × S), fk = g 1k − g 0k e sk : Sk(X ,S)→ Sk+1(∆1 × X ,∆1 × S) e permanece válido fk = ∂sk + sk−1∂, isto é, g

1 k − g 0k = ∂sk + sk−1∂, k ∈ Z.

O morfismo h : (∆1 × X ,∆1 × S)→ (X ′, S ′) induz os homomorfismos hk : Sk(∆1 × X ,∆1 × S)→ Sk(X ′, S ′), k ∈ Z. De hg t = ht segue hkg

t k = h

t k . Logo, h

1 k − h0k = hk∂sk + hksk−1∂ = ∂hk+1sk + hksk−1∂. Seja

z ∈ Ker ∂k . Então (h1k − h0k)z = ∂hk+1skz ∈ Im ∂k+1. Isto implica Hk h

0 = Hk h 1 �

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3.2. Complexos, cobordos, cociclos e cohomologias. Seja C uma categoria abeliana. Denotamos por Kom∗ C, onde ∗ ∈ {∅,+,−, b}, a categoria cujos objetos são os ∗-complexos, isto é, sequências semiexatas em C

C • : . . . - d i−1C• C i -

d iC• C i+1 - d i+1C• . . .

com a condição:

∅ nada. + existe um i0 tal que C

i = 0 para todo i < i0. − existe um i1 tal que C i = 0 para todo i > i1. b existem i0 e i1 tais que C

i = 0 se i < i0 ou i > i1.

Os morfismos d iC•’s chamam-se operadores de bordo do complexo. Um morfismo h• : C •→ D• entre complexos é uma coleção de setas hi : C i → D i compat́ıveis com os d•• ’s, isto é, hi+1d iC•= d iD•hi para todo i . Podemos escrever as últimas igualdades sem ı́ndices: hd = dh (os ı́ndices se sabem). A composição de morfismos é óbvia. A categoria Kom∗ C é uma Ab-categoria se definirmos (h•+ f •)i := hi + f i . Ela possui biprodutos (C •⊕D•)i := C i ⊕D i com projeções e injeções óbvias. Ela tem objeto nulo 0i := 0. Possui núcleos e conúcleos:

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