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Categorias, ´ algebra homol´ ogica, categorias derivadas slides de aula Sasha Anan 0 in ICMC, USP, S˜ ao Carlos 14/10/2015 – 11/11/2015

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  • Categorias,álgebra homológica,categorias derivadas

    slides de aula

    Sasha Anan′in

    ICMC, USP, São Carlos

    14/10/2015 – 11/11/2015

  • 3. Cohomologias

    3.1. Exemplo introdutório: homologias singulares. Seja k ∈ N e sejame0, . . . , ek ∈ Rn linearmente independentes. Um k-simplexo (padrão) ∆ké o envelope convexo dos e0, . . . , ek , isto é, o menor subconjunto con-vexo de Rn que contém os e0, . . . , ek . O simplexo ∆k pode ser descritousando coordenadas baricêntricas ∆k = {

    ∑ki=0 xiei |

    ∑ki=0 xi = 1,

    x0, . . . , xk > 0}. Sejam 0 6 i 6 k com k > 1. Denotemos por∂ ik : ∆k−1 → ∆k a função da i-ésima face dada pela fórmula∂ ik : (x0, . . . , xk−1) 7→ (x0, . . . , xi−1, 0, xi , . . . , xk−1) em termos de coorde-nadas baricêntricas. É óbvio que ∂jk+1∂

    ik = ∂

    ik+1∂

    j−1k se k > 1 e

    0 6 i < j 6 k + 1.Seja X um espaço topológico. Um k-simplexo singular em X é umafunção cont́ınua σ : ∆k → X . Denotamos por SkX :=

    {∑σ cσσ | σ ∈

    Esp(∆k ,X ), cσ ∈ Z}

    o grupo abeliano livremente gerado por todos osk-simplexos singulares em X . Se f : X → X ′ é uma seta em Esp, podemosdefinir (Sk f )(

    ∑σ cσσ) :=

    ∑σ cσf σ, obtendo assim um funtor Esp

    Sk→ Ab.Em seguida, frequentemente escrevemos f no lugar de Sk f . Os elementosde SkX são ditos k-cadeias. Por definição, Sk := 0 para k < 0.

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  • A regra ∂kσ :=∑k

    i=0(−1)iσ∂ik define a transformação natural∂k : Sk → Sk−1, chamada operador de bordo (por definição, ∂k := 0 sek 6 0). Verifiquemos que ∂k∂k+1 = 0. Seja σ : ∆k+1 → X um(k + 1)-simplexo singular, então

    ∂k∂k+1σ = ∂k

    k+1∑j=0

    (−1)jσ∂jk+1 =∑

    06i6k06j6k+1

    (−1)i+jσ∂jk+1∂ik =

    =∑

    06i

  • Temos também uma transformação natural deg : S0 → ∆Z, chamada graue dada por σ 7→ 1, onde ∆Z : Esp→ Ab denota o funtor constante:∆ZX := Z e ∆Zf := 1Z.

    3.1.1. Lema. Seja c ∈ X um ponto num conjunto convexo X ⊂ Rn.Então existem homomorfismos ck : SkX → Sk+1X , k ∈ Z, tais que∂ck + ck−1∂ = 1SkX para todo 0 6= k ∈ Z e ∂c0 = 1S0X − degX ·c. Emparticular, Im ∂k+1 = Ker ∂k para todo 0 6= k ∈ Z.

    Demonstração. Seja σ : ∆k → X um simplexo singular. Definamosck · σ : ∆k+1 → X pela fórmula

    (ck · σ)(x0, . . . , xk+1) :={

    x0c + (1− x0)σ( x11−x0 , . . . ,xk+11−x0 ) se x0 6= 1

    c se x0 = 1

    É fácil ver que (ck · σ)∂ i+1k+1 = ck−1 · (σ∂ik) se k > 0 e 0 6 i 6 k , que

    (ck · σ)∂0k+1 = σ se k > 0 e que (c0 · σ)∂11 = c , onde c denota o simplexosingular ∆0 → X com a imagem c . Dáı segue a primeira afirmação.A segunda é um fato geral: se ∂kx = 0, entãox = ∂ckx + ck−1∂x = ∂ckx �

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  • 3.1.2. Lema. Sejam fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, transformações natu-rais tais que deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ para todo k ∈ Z. Então existemtransformações naturais sk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais quefk = ∂sk + sk−1∂ para todo k ∈ Z.Demonstração. Para i < 0, definamos si := 0. Por indução sobre k,já constrúımos transformações naturais si : Si → Si+1(∆1 ×−) tais quefi = ∂si + si−1∂ para todo i < k.Para o simplexo singular 1∆k ∈ Sk∆k , temos

    ∂(fk1∆k − sk−1∂1∆k ) = fk−1∂1∆k − (∂sk−1)∂1∆k =

    = fk−1∂1∆k − (fk−1 − sk−2∂)∂1∆k = 0devido a ∂2 = 0 e pela hipótese de indução. Claro que ∆1 ×∆k é convexoem Rn.Consideremos o caso k = 0. De deg f0 = 0 e ∂c0 = 1S0∆0 − deg ·c paraqualquer c ∈ ∆1 ×∆0 ' ∆1 (vide o Lema 3.1.1), obtemos

    f01∆0−s−1∂1∆0 = f01∆0 = f0∂c01∆0 +deg(f01∆0)c = f0∂c01∆0 = ∂f1c01∆0e definamos b0 := f1c01∆0 ∈ S1(∆1×∆0). Temos f01∆0 = ∂b0 + s−1∂1∆0 .

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  • Caso k 6= 0, pelo Lema 3.1.1, existe bk ∈ Sk+1(∆1 ×∆k) tal que∂bk = fk1∆k − sk−1∂1∆k , ou seja, fk1∆k = ∂bk + sk−1∂1∆k novamente.Definamos sk : SkX → Sk+1(∆1 × X ) pela fórmula skσ := (1∆1 × σ)bk ,onde σ : ∆k → X é um k-simplexo singular em X . Então, para quaisquerseta f : X → X ′ em Esp e k-simplexo singular σ : ∆k → X em X , temos(1∆1 × f )skσ = (1∆1 × f )(1∆1 × σ)bk = (1∆1 × f σ)bk = sk(f σ),mostrando assim a naturalidade de sk .Finalmente, pela naturalidade de fk e de sk−1, obtemos fkσ = (1∆1 × σ)fke (1∆1 × σ)sk−1 = sk−1σ para qualquer função cont́ınua σ : ∆k → X (queé nada mais do que um k-simplexo singular em X ). Agora,

    fkσ = fkσ1∆k = (1∆1 × σ)fk1∆k = (1∆1 × σ)(∂bk + sk−1∂1∆k ) =

    = ∂(1∆1×σ)bk+(1∆1×σ)sk−1∂1∆k = ∂skσ+sk−1σ∂1∆k = ∂skσ+sk−1∂σ,

    pois (1∆1 × σ)∂ = ∂(1∆1 × σ) e σ∂ = ∂σ (usamos aqui o fato que ∂ éuma transformação natural) �

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  • Introduzimos a categoria Esp(2) de pares “espaço topológico e seu subes-paço”. Os objetos de Esp(2) são pares (X ,S), onde X ∈ Esp é um espaçotopológico e S

    i↪→ X é um subespaço em X . Uma seta (X ,S) f−→ (X ′,S ′)

    em Esp(2) é simplesmente uma seta Xf−→ X ′ em Esp tal que fS ⊂ S ′.

    Seja (X ,S) ∈ Esp(2). Então temos SkSi↪→ SkX e definimos

    Sk(X ,S) := SkX/SkS . Sendo ∂ uma transformação natural, obtemos umhomomorfismo induzido ∂k : Sk(X , S)→ Sk−1(X ,S). É fácil ver quetal ∂k (que é mais geral do que o anterior: tome S = ∅) é umatransformação natural entre funtores do tipo Esp(2) → Ab.Definamos Hk(X , S ; Z) := Ker ∂k/ Im ∂k+1. É imediato queHk : Esp

    (2) → Ab é um funtor, chamado k-homologia singular de par.3.1.3. Proposição. Sejam (X ,S), (X ′, S ′) ∈ Esp(2) e sejah : ∆1 × (X ,S)→ (X ′,S ′) uma homotopia em Esp(2) (isto é, uma setah : ∆1 ×X → X ′ em Esp tal que h(∆1 × S) ⊂ S ′). Então Hk h0 = Hk h1,onde ht : (X , S)→ (X ′,S ′) é dado por htx := h(t, x).Demonstração. Seja t ∈ ∆1. A função cont́ınua g t : X → ∆1 × X ,definida pela regra g t : x 7→ (t, x), é uma transformação natural em X talque hg t = ht . Temos transformações naturais induzidas

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  • g tk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que ∂g tk = g tk−1∂. Já que deg g t0 inde-pende de t, definindo fk := g

    1k − g 0k , obtemos transformações naturais

    fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, satisfazendo deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ paratodo k ∈ Z. Pelo Lema 3.1.2, existem transformações naturaissk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que fk = ∂sk + sk−1∂ para todok ∈ Z.De g tS ⊂ ∆1 × S segue g tk(SkS) ⊂ Sk(∆1 × S) ⊂ Sk(∆1 × X ) para oshomomorfismos g tk : SkX → Sk(∆1 × X ), k ∈ Z. Pela naturalidade dossk ’s aplicada ao morfismo S

    i↪→ X , conclúımos que

    sk(SkS) ⊂ Sk+1(∆1 × S) ⊂ Sk+1(∆1 × X ) para os homomorfismossk : SkX → Sk+1(∆1 × X ), k ∈ Z. Portanto, temos homomorfismosinduzidos g tk : Sk(X ,S)→ Sk(∆1 × X ,∆1 × S), fk = g 1k − g 0k esk : Sk(X ,S)→ Sk+1(∆1 × X ,∆1 × S) e permanece válidofk = ∂sk + sk−1∂, isto é, g

    1k − g 0k = ∂sk + sk−1∂, k ∈ Z.

    O morfismo h : (∆1 × X ,∆1 × S)→ (X ′, S ′) induz os homomorfismoshk : Sk(∆1 × X ,∆1 × S)→ Sk(X ′, S ′), k ∈ Z. De hg t = ht seguehkg

    tk = h

    tk . Logo, h

    1k − h0k = hk∂sk + hksk−1∂ = ∂hk+1sk + hksk−1∂. Seja

    z ∈ Ker ∂k . Então (h1k − h0k)z = ∂hk+1skz ∈ Im ∂k+1. Isto implicaHk h

    0 = Hk h1�

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  • 3.2. Complexos, cobordos, cociclos e cohomologias. Seja C umacategoria abeliana. Denotamos por Kom∗ C, onde ∗ ∈ {∅,+,−, b},a categoria cujos objetos são os ∗-complexos, isto é, sequênciassemiexatas em C

    C • : . . . -d i−1C• C i -

    d iC• C i+1 -d i+1C• . . .

    com a condição:

    ∅ nada.+ existe um i0 tal que C

    i = 0 para todo i < i0.− existe um i1 tal que C i = 0 para todo i > i1.b existem i0 e i1 tais que C

    i = 0 se i < i0 ou i > i1.

    Os morfismos d iC•’s chamam-se operadores de bordo do complexo.Um morfismo h• : C •→ D• entre complexos é uma coleção de setashi : C i → D i compat́ıveis com os d•• ’s, isto é, hi+1d iC•= d iD•hi paratodo i . Podemos escrever as últimas igualdades sem ı́ndices: hd = dh(os ı́ndices se sabem). A composição de morfismos é óbvia. A categoriaKom∗ C é uma Ab-categoria se definirmos (h•+ f •)i := hi + f i . Ela possuibiprodutos (C •⊕D•)i := C i ⊕D i com projeções e injeções óbvias. Ela temobjeto nulo 0i := 0. Possui núcleos e conúcleos:

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  • por exemplo, (Ker h•)i := Ker hi com o morfismo ker h• : Ker h•→ C • feitode morfismos ker hi e com d iKer h• induzido por d

    iC• e d

    iD•. Obviamente, h

    é mono (epi, iso) se e só se cada um hi é mono (epi, iso). É fácil verificaragora que Kom∗ C é uma categoria abeliana.

    Bi C • -j iC•

    Zi C •

    πiC•6

    ker d iC•?

    C i−1 -d i−1C• C i

    Seja C • um complexo. Denotemos Bi C • := Im di−1C• e

    Zi C • := Ker d iC•. Temos a decomposição de di−1C• no

    diagrama à direita com j iC• mono (vide a Definição 2.18).Façamos Hi C • := Co j iC•. Em outras palavras, a sequência

    0→ Bi C •j iC•−→ Zi C •

    co j iC•−→ Hi C •→ 0

    é exata.Seja h• : C •→ D• um morfismo entre complexos. Então temos o diagramacomutativo

    C i−2 -d i−2C• C i−1 -

    πiC•Bi C • -

    j iC•Zi C • -

    ker d iC•C i -d iC• C i+1

    hi−2

    ?hi−1

    ?hi

    ?hi+1

    ?D i−2 -

    d i−2D• D i−1 -πiD•

    Bi D• -j iD•

    Zi D• -ker d iD•D i -

    d iD• D i+1

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  • C i−1 -πiC•

    Bi C • -miC• C i -

    co d i−1C• Co d i−1C•- 0

    hi−1

    ?g?

    hi

    ?D i−1 -

    πiD•Bi D• -

    miD• D i -co d i−1D• Co d i−1D•

    - 0

    Zi C • -ker d iC•C i -

    d iC• C i+1

    Zi h•

    ?hi

    ?hi+1

    ?

    Zi D• -ker d iD•D i -

    d iD• D i+1

    As setas hi e hi+1 induzem o morfismo Zi h• :

    Zi C •→ Z iD• que faz o diagrama à direitacomutativo. As setas hi−1 e hi induzem omorfismo g : Co d i−1C• → Co d

    i−1D• que faz o

    diagrama acima comutativo, ondemiC•= ker(co d

    i−1C• ) : B

    i C •= Im d i−1C• = Ker(co di−1C• )→ C

    i e

    miD• = ker(co di−1D• ) : B

    i D•= Im d i−1D• = Ker(co di−1D• )→ D

    i são os mono-

    morfismos participando nas decomposições dos morfismos d i−1C• e di−1D• (vide

    a Definição 2.17). Assim, as setas hi e g induzem o morfismo

    Bi C • -miC• C i -

    co d i−1C• Co d i−1C•- 0

    Bi h•

    ?hi

    ?g?

    Bi D• -miD• D i -

    co d i−1D• Co d i−1D•- 0

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  • Bi h• : Bi C •→ Bi D• que faz o diagrama acima comutativo.

    C i−1 -πiC•

    Bi C • -miC• C i

    hi−1

    ?Bi h•

    ?hi

    ?D i−1 -

    πiD•Bi D• -

    miD• D i

    Consequentemente, no diagrama à direita te-mos miD•(B

    i h•)πiC•= himiC•π

    iC•= m

    iD•π

    iD•h

    i−1.Sendo miD• mono, conclúımos que π

    iD•h

    i−1 =(Bi h•)πiC•, isto é, o primeiro quadrado nestediagrama também é comutativo. Resumindo,obtemos o diagrama comutativo

    (3.2.1)

    C i−2 -d i−2C• C i−1 -

    πiC•Bi C • -

    j iC•Zi C • -

    ker d iC•C i -d iC• C i+1

    hi−2

    ?hi−1

    ?Bi h•

    ?Zi h•

    ?hi

    ?hi+1

    ?D i−2 -

    d i−2D• D i−1 -πiD•

    Bi D• -j iD•

    Zi D• -ker d iD•D i -

    d iD• D i+1

    O quadrado central é comutativo, pois ker d iD•(Zih•)j iC•π

    iC•=

    = hi (ker d iC•)jiC•π

    iC•= (ker d

    iD•)j

    iD•π

    iD•h

    i−1 = (ker d iD•)jiD•(B

    ih•)πiC• com

    (3.2.2)

    0 - Bi C • -j iC•

    Zi C • -co j iC•

    Hi C • - 0

    Bi h•

    ?Zi h•

    ?Hi h•

    ?0 - Bi D• -

    j iD•Zi D• -

    co j iD•Hi D• - 0

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  • πiC• epi e ker diD• mono. Finalmente, obtemos o diagrama comutativo

    acima e vemos que Bi , Zi e Hi são funtores. Chamaremos Hi de i-coho-mologia de complexo.

    3.2.3. Lema. Os funtores Bi , Zi e Hi são aditivos.

    Demonstração. Sejam dados dois morfismos entre complexosh•, f • : C •→ D•. O morfismo h•+ f • determina, para todo i , o diagrama

    C i−1 -πiC•

    Bi C • -j iC•

    Zi C • -ker d iC• C i

    hi−1 + f i−1

    ?Bi (h•+ f •)

    ?Zi (h•+ f •)

    ?hi + f i

    ?D i−1 -

    πiD•Bi D• -

    j iD•Zi D• -

    ker d iD• D i

    comutativo, onde Zi (h•+ f •) é o único morfismo que faz comutativo oquadrado à direita. Como (hi + f i ) ker d iC•= h

    i ker d iC•+ fi ker d iC•=

    (ker d iD•)Zih•+ (ker d iD•)Z

    i f •= ker d iD•(Zih•+ Zi f •), pela unicidade, temos

    Zi (h•+ f •) = Zi h•+ Zi f •. Dáı, Zi é aditivo. Analogamente,πiD•(h

    i−1 + f i−1) = πiD•hi−1 + πiD•f

    i−1 = (Bih•)πiC•+ (Bi f •)πiC•=

    (Bih•+ Bi f •)πiC•. Logo, pela unicidade de Bi (h•+ f •), conclúımos que

    Bi (h•+ f •) = Bi h•+ Bi f •. Dáı, Bi é aditivo. Da unicidade do morfismoinduzidoS. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 13 / 1

  • entre conúcleos segue a aditividade de Hi(vide (3.2.2)

    )�

    3.2.4. Lema. Seja C •∈ Kom∗ C. Então, para todo i , existem dois únicosmorfismos αiC• e β

    iC• que fazem o diagrama

    0 0 06 ? ?

    0 - Bi C • -j iC•

    Zi C • -co j iC•

    Hi C • - 0

    πiC•6

    ker d iC•?

    αiC•?

    C i−1 -d i−1C• C i -

    co d i−1C• Co d i−1C•- 0

    d iC•?

    βiC•?

    C i+1 -1C i+1 C i+1

    comutativo. Neste diagrama, as linhas e colunas são exatas. Além disso,o diagrama é funtorial (isto é, todos os morfismos no diagrama sãotransformações naturais).

    Demonstração. Sendo d iC•di−1C• = 0, obtemos d

    iC•= β

    iC•(co d

    i−1C• ) para

    um único βiC•. De 0 = (co di−1C• )(d

    i−1C• ) = (co d

    i−1C• )(ker d

    iC•) j

    iC•π

    iC• e de

    πiC• ser epi, conclúımos que (co di−1C• )(ker d

    iC•)j

    iC•= 0.

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  • Logo, existe um único αiC• que faz o diagrama do lema comutativo.Por caça em diagrama, é fácil provar queαiC• é mono e que α

    iC•= kerβ

    iC•.

    C i−1 -d i−1C• C i -

    co d i−1C• Co d i−1C•-

    βiC• C i+1

    hi−1

    ?hi

    ?hi

    ?hi+1

    ?D i−1 -

    d i−1D• D i -co d i−1D• Co d i−1D•

    -βiD• D i+1

    ZiC • -co j iC• HiC •

    ?

    αiC•

    Co d i−1C•?

    ker d iC•

    C i -co d i−1C•

    ����Z

    i h•

    ����hi

    ����

    Hi h•

    ����hi

    ZiD• -co j iD• HiD•

    ?

    αiD•

    Co d i−1D•?

    ker d iD•

    D i -co d i−1D•

    Para provar que o diagrama do lema é funtorial, tomemos um morfismoh• : C •→ D• entre complexos. Então o diagrama acima à esquerda écomutativo, onde o quadrado à direita é comutativo, pois co d i−1C• é epi.Utilizando as comutatividades obtidas anteriormente, constatamos queresta provar a comutatividade da face direita no diagrama acima à direita.As comutatividades das faces de cima, de baixo, frontal, do fundo e daesquerda são já conhecidas (vide a primeira parte do lema). A comutativi-dade da face direita segue da comutatividade das outras faces e de co j iC•ser epi �

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  • 3.3. Sequência longa exata. Seja E : 0→ C •1ε•−→ C •2

    p•−→ C •3 → 0 umasequência exata de complexos. Pelo Lema 2.22 (da serpente), obtemos odiagrama comutativo (3.3.1) abaixo à esquerda com linhas exatas. Usandoa definição (2.22.2) de δi−1, vemos que βi

    C•1

    δi−1 = 0 e δi−1j i−1C•3

    = 0 (pois

    πi−1C•3

    e pi−2 são epis). Sendo, pelo Lema 3.2.4, αiC•1

    = kerβiC•1

    , obtemos

    δi−1 = αiC•1

    ∆i−1 para algum ∆i−1 : Zi−1 C•3 → Hi C

    •1. Sendo α

    iC•1

    mono,

    conclúımos que ∆i−1j i−1C•3

    = 0. Assim, obtemos δi−1E : Hi−1 C •3 → Hi C

    •1 tal

    que ∆i−1 = δi−1E (co ji−1C•3

    ) (vide o diagrama (3.3.1) abaixo à direita; note

    que δi−1E é o único morfismo que faz este diagrama comutativo).

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  • (3.3.1)

    C i−22-p

    i−2C i−23

    - 0

    πi−1C•2 ?

    πi−1C•3 ?

    Bi−1 C•2

    -Bi−1 p•

    Bi−1 C•3

    j i−1C•2 ?

    j i−1C•3 ?

    0 - Zi−1 C•1

    -Zi−1 ε•

    Zi−1 C•2

    -Zi−1 p•

    Zi−1 C•3

    -δi−1

    ker d i−1C•1 ?

    ker d i−1C•2 ?

    ker d i−1C•3 ?

    0 - C i−11-ε

    i−1C i−12

    -pi−1

    C i−13- 0

    d i−1C•1 ?

    d i−1C•2 ?

    d i−1C•3 ?

    0 - C i1-ε

    iC i2

    -pi

    C i3- 0

    co d i−1C•1 ?

    co d i−1C•2 ?

    co d i−1C•3 ?

    -δi−1

    Co d i−1C•1

    -εi

    Co d i−1C•2

    -pi

    Co d i−1C•3

    - 0

    βiC•1 ?

    βiC•2 ?

    0 - C i+11-ε

    i+1C i+12

    Bi−1 C•3

    6j i−1C•3

    Zi−1 C•3

    6co j i−1

    C•3

    Hi−1 C•3-

    δi−1E Hi C•1

    ?αiC•1

    Co d i−1C•1

    ?βiC•1

    C i+11

    ����

    ∆i−1

    -δi−1

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 17 / 1

  • Mostremos que a sequência

    . . . -δi−2E Hi−1 C

    •1

    -Hi−1 ε•

    Hi−1 C•2

    -Hi−1 p•

    Hi−1 C•3-δi−1E Hi C

    •1

    -Hi ε•

    . . .é exata. Para isto, consideremos o diagrama comutativo

    0 0 0 0 06 6 6 ? ?

    Hi−1 C•1

    -Hi−1 ε•

    Hi−1 C•2

    -Hi−1 p•

    Hi−1 C•3

    -δi−1E Hi C

    •1

    -Hi ε•

    Hi C•2

    co j i−1C•1

    6co j i−1

    C•2

    6co j i−1

    C•3

    6αiC•1 ?

    αiC•2 ?

    Zi−1 C•1

    -Zi−1 ε•

    Zi−1 C•2

    -Zi−1 p•

    Zi−1 C•3-δi−1

    Co d i−1C•1

    -εiCo d i−1

    C•2

    j i−1C•2

    6j i−1C•3

    6

    Bi−1 C•2

    -Bi−1 p•

    Bi−1 C•3- 0

    onde a sequência na segunda linha é exata pela exatidão de Ker-Coker-sequência (2.22.1) e as colunas são exatas. Observemos que a terceiralinha é exata. Com efeito,(Bi−1 p•)π

    i−1C•2

    = πi−1C•3

    pi−2 (vide o segundo quad-

    rado comutativo em (3.2.1)). Sendo Bi−1 p• divisor à esquerda de umepimorfismo, ele é epi. Por caça usual em diagrama, podemos provar quea primeira linha do diagrama é exata nos termos Hi−1 C

    •2, H

    i−1 C •3 e Hi C •1.

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 18 / 1

  • Seja C uma categoria abeliana. Consideremos a categoria Esc C, cujosobjetos são sequências curtas exatas de complexosE : 0→ C •1 → C

    •2 → C

    •3 → 0, com C

    •1,C

    •2,C

    •3 ∈ Kom

    ∗ C, e cujosmorfismos são dados por diagramas comutativos do tipo

    E : 0 - C •1-ε•

    C •2-p•

    C •3- 0

    h?

    h•1?

    h•2?

    h•3?

    E ′ : 0 - C ′1• -ε′•

    C ′2• -p

    ′•C ′3• - 0

    Obviamente, temos três funtoresFk : Esc C → Kom∗ C, k = 1, 2, 3, onde,para E : 0→ C •1 → C

    •2 → C

    •3 → 0,

    definimos FkE = C•k .

    Hi C•3-δiE

    Hi+1 C•1

    Hi h•3?

    Hi+1 h•1

    ?

    Hi C ′3• -δ

    iE ′

    Hi+1 C ′1•

    Zi C•3

    -co j i

    C•3 Hi C

    •3

    ?Hi h

    •3

    Hi C ′3•

    ?

    Zi h•3

    Zi C ′3• -

    co j iC ′3•

    ����δi

    ����δ′i

    ����δiE

    ����δiE ′

    Co d iC•1

    �αi+1C•1 Hi+1 C

    •1

    ?

    Hi+1 h•1

    Hi+1 C ′1•

    ?

    hi1

    Co d iC ′1•�

    αi+1C ′1•

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 19 / 1

  • Vamos mostrar que o δi• obtido acima define uma transformação natural

    δi• : Hi F3 → Hi+1 F1. Isto é, para todo morfismo h : E → E ′ em Esc C,

    como acima, o quadrado acima à esquerda é comutativo. De fato, este

    quadrado é a face direita do cubo acima à direita, onde hi1 é induzido por

    h•1 e as comutatividades das faces de cima, de baixo, de frente e do fundojá são conhecidas. Pela Observação 2.23, temos a comutatividade da faceesquerda. Sendo co j i

    C•3

    epi e sendo αi+1C ′1• mono, pela comutatividade destas

    cinco faces obtemos a comutatividade da face direita.

    3.4. Homotopias. No exemplo introdutório 3.1, vimos como umahomotopia de funções cont́ınuas entre espaços topológicos se transformoupara uma homotopia entre os complexos S• de simplexos singulares.

    -d iC•

    C i+1

    ��

    ��

    hi+1�

    ���

    hi

    C i

    ?fi − g i

    D iD i−1 -d i−1D•

    3.4.1. Definição. Seja C uma categoriaabeliana e sejam C •,D•∈ Kom∗ C complexos.Dizemos que morfismos f •, g • : C • → D•são homotópicos se existe uma coleção demorfismos hi : C i → D i−1 em C, chamadahomotopia (os morfismos hi ’s não precisamcomutar com d), tais que f i − g i = d i−1D• h

    i + hi+1d iC• para todo i .S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 20 / 1

  • Podemos escrever as últimas igualdades sem ı́ndices: f − g = dh + hd(os ı́ndices se sabem).Denotamos f •∼ g • se f • e g • forem homotópicos. É fácil ver que “serhomotópico” é uma relação de equivalência e que os morfismoshomotópicos a zero formam em Kom∗ C(C •,D•) um subgrupo. Aindamais, estes subgrupos formam um “ideal”, isto é, a composição commorfismo homotopicamente nulo é homotopicamente nula.

    3.4.2. Lema. Se f •, g • : C •→ D• são homotópicos, então Hi f •= Hi g •para todo i .

    Demonstração. Pela aditividade de Hi podemos supor que g = 0. Temoso diagrama abaixo à esquerda (que não é necessariamente comutativo).Pela hipótese, f i = hi+1d iC•+ d

    i−1D• h

    i . Logo,

    f i (ker d iC•) = hi+1d iC•(ker d

    iC•) + d

    i−1D• h

    i (ker d iC•) = di−1D• h

    i (ker d iC•) =(ker d iD•)j

    iD•π

    iD•h

    i (ker d iC•). Sendo Zi f • o único morfismo que faz a

    comutatividade f i (ker d iC•) = (ker diD•)(Z

    i f •), conclúımos que

    Zi f •= j iD•πiD•h

    i (ker d iC•). Obtemos o diagrama comutativo abaixo àdireita, onde ϕ = πiD•h

    i (ker d iC•). Agora,(Hi f •)(co j iC•) = (co j

    iD•)j

    iD•ϕ = 0. Sendo co j

    iC• epi, H

    i f •= 0 �S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 21 / 1

  • Bi C •

    6πiC•

    C i−1

    ?f i−1

    D i−1

    ?πiD•

    Bi D•

    -j iC•

    -di−1C•

    -di−1D•

    -jiD•

    ���

    hi

    Zi C •

    ?ker d iC•

    C i

    ?f i

    D i

    6ker d iD•

    Zi D•

    -diC•

    -diD•

    ���

    hi+1C i+1

    ?f i+1

    D i+1

    0 -Bi C • -j iC•

    Zi C • -co j iC•

    Hi C • - 0

    Bi f •

    ?

    ϕ ��� ?

    Zi f •

    ?Hi f •

    0 -Bi D• -j iD•

    Zi D• -co j iD•

    Hi D• - 0

    Fazendo um “quociente” pelo “ideal” daDefinicão 3.4.1, obtemos a categoria K∗ Ccujos objetos são os de Kom∗ C e cujosmorfismos são classes homotópicas demorfismos de Kom∗ C, isto é,

    K∗ C(C •,D•) := Kom∗ C(C •,D•)/ ∼. Claramente, obtemos o funtor“canônico de quociente” π : Kom∗ C → K∗ C. (Note que K∗ C é umaAb-categoria, mas, em geral, não é uma categoria abeliana.)Denotamos por Kom∗0 C a subcategoria completa de Kom∗ C formada portodos os complexos cujos operadores de bordo são nulos. Assim, paraqualquer C •∈ Kom∗ C, obtemos B•C •,Z•C •,H•C •∈ Kom∗0 C e podemosconsiderar B•, Z• e H• como funtores, B•,Z•,H• : Kom∗ C → Kom∗0 C.

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 22 / 1

  • Kom∗ C -π K∗ C

    ?H• ��

    h

    Kom∗0 C -I Kom∗ C

    3.5. Teorema. Seja C uma categoria abeliana. Entãoos funtores B•,Z•,H• : Kom∗ C → Kom∗0 C são adi-tivos e formam a sequência exata 0→B•→Z•→H•→0.O funtor H• passa por K∗ C, isto é, o diagrama àdireita é comutativo, onde h é um funtor aditivo e I é a inclusão.Seja E ∈ Esc C uma sequência curta exata de complexos,E : 0→ C •1

    ε•−→ C •2p•−→ C •3 → 0. Então a sequência

    . . . -δi−2E Hi−1 C

    •1

    -Hi−1 ε•

    Hi−1 C•2

    -Hi−1 p•

    Hi−1 C•3-

    δi−1E Hi C•1

    -Hi ε•

    . . .

    é exata, onde, para todo i , δi• é uma transformação natural. Isto significaque, para qualquer morfismo h : E → E ′ em Esc C,

    E : 0 - C •1-ε•

    C •2-p•

    C •3- 0

    h?

    h•1?

    h•2?

    h•3?

    E ′ : 0 - C ′1• -ε′•

    C ′2• -p

    ′•C ′3• - 0

    o diagrama

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 23 / 1

  • . . . -δi−2E Hi−1 C

    •1

    -Hi−1 ε•

    Hi−1 C•2

    -Hi−1 p•

    Hi−1 C•3

    -δi−1E Hi C

    •1

    -Hi ε•

    . . .

    Hi−1 h•1?

    Hi−1 h•2?

    Hi−1 h•3?

    Hi h•1?

    . . . -δi−2E ′ Hi−1 C ′1

    • -Hi−1 ε′•

    Hi−1 C ′2• -H

    i−1 p′•

    Hi−1 C ′3• -δ

    i−1E ′ Hi C ′1

    • -Hi ε′•

    . . .

    é comutativo �

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 24 / 1

  • Exerćıcios

    S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 25 / 1