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A ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DOS NÚMEROS REAIS NO PRIMEIRO ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL: SISTEMA DE ENSINO DAVYDOVIANO.

Priscila de Mattos – FFCLRP/USP ([email protected])Elaine Sampaio rau!o – FFCLRP/USP ([email protected])

RESUMO" presente te#to $ resultado de estudos do %rupo de Estudos e Pes&uisa de Ensino eprendi'aem da Matemtica na *n+,ncia (%EPEM*) e- &ue se tornaram ob!eto de

pes&uisa desse trabalo. entre as a01es de estudo- +undamentados na 2eoria 3ist4rico5Cultural- est o delineamento da proposta de ensino de a67do6 para a matemticaescolar- com +oco no conceito dos 89meros Reais- relacionando5o : orani'a0;o doEnsino de Matemtica no primeiro ano do Ensino Fundamental. "b!eti6amoscaracteri'ar a proposta de Ensino dos 89meros Reais por a67do6 pelo mo6imentoconceitual da Reta 8um$rica nos anos iniciais- de modo a compreender- nessa

proposi0;o- os princ<pios do processo de ensino5aprendi'aem da matemtica no primeiro ano escolar. presentamos um apro+undamento te4rico5metodol4ico acercado desen6ol6imento conceitual dos 89meros Reais (Reta 8um$rica) e suas di+erentessini+ica01es= aritm$tica- al$brica e eom$trica. Contrapomos tal proposi0;o :

brasileira- cu!o ensino costumeiramente presente nas prticas escolares re+lete : l4ica+ormal. " ensino dos 89meros Reais est pautado na&uele em &ue o predom<nio doconecimento cotidiano e o desen6ol6imento do pensamento emp<rico- de maneira aserear a matemtica- en&uanto ci>ncia. estacamos ainda- a import,ncia doconecimento te4rico- com 6istas a promo0;o do pensamento te4rico- loo das

m9ltiplas determina01es do conecimento cient<+ico. Com o ob!eti6o de conte#tuali'ar o mo6imento l4ico5ist4rico do desen6ol6imento dos Reais na Matemtica e naEduca0;o Matemtica e6idenciamos nessa proposi0;o os princ<pios do processo deensino5aprendi'aem da matemtica- os ne#os conceituais e a ess>ncia dos 89merosReais- considerando na apropria0;o dos conceitos- o mo6imento de assimila0;o-abstra0;o e enerali'a0;o.

Palavras-cav!: "rani'a0;o do Ensino dos 89meros Reais? a67do6? Pensamentote4rico.

I"#r$%&'($

l4ica dial$tica- uma das bases do materialismo ist4rico dial$tico- permite

olar o mo6imento do Ensino de Matemtica 6oltado : busca dos conceitos e de tal

modo &ue os conte9dos possam ser relacionados : realidade ob!eti6a. esta maneira-

pretende5se ao lono deste cap<tulo- ao considerar a ess>ncia dos Con!untos 8um$ricos-

especi+icamente- os 89meros Reais- compreender as m9ltiplas determina01es presentes

nesses conceitos.

poss<6el orani'a0;o de ensino- a&ui apresentada e +undamentada nos

pressupostos te4rico5metodol4icos- tem como escopo promo6er a apropria0;o do

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conecimento te4rico acerca da a&uisi0;o dos conceitos istoricamente elaborados pela

umanidade- no caso- 6oltados ao campo dos 89meros Reais.

Caracteri'ar uma proposta de ensino dos 89meros Reais (da6do6iana) 6oltada

ao mo6imento conceitual da Reta 8um$rica nos anos iniciais tem como +inalidade

social de+ender propostas peda4icas &ue promo6am o desen6ol6imento do

pensamento te4rico na educa0;o escolar- moti6o social &ue orienta o %rupo de Estudos

e Pes&uisa de Ensino e prendi'aem da Matemtica na *n+,ncia (%EPEM*).

"s pressupostos da 2eoria 3ist4rico5Cultural contribuem para a compreens;o

do processo de desen6ol6imento umano &ue apresenta o pressuposto de &ue o ser

umano n;o nasce umani'ado. Para &ue tal umani'a0;o aconte0a- +a'5se necessrio

&ue esse se aproprie da cultura produ'ida em decorr>ncia do desen6ol6imento ist4rico

umano. 8o processo de apropria0;o da cultura- o ser umano reprodu' em sua mente

os tra0os enu<nos da ati6idade de produ0;o e- conse&uentemente- do desen6ol6imento

cultural ao &ual est inserido. 2orna5se su!eito ist4rico ao mesmo tempo em &ue $

produto- +a'5se produtor de cultura ao estar submetido :s leis do desen6ol6imento s4cio5

ist4rico.

ssumir como ob!eto de estudo o ensino dos 89meros Reais nos anos iniciais

de escolari'a0;o com 6istas : promo0;o do desen6ol6imento do pensamento te4rico-

impAs alumas &uest1es iniciais. Como +oi a constru0;o ist4rica dos 89meros ReaisB

Como o Con!unto dos 89meros Reais tem sido ensinadoB busca por responder tais

&uest1es lan0ou o desa+io de estudar o mo6imento l4ico5ist4rico do ensino dos

89meros Reais.

" cuidado na compreens;o do processo de desen6ol6imento do pensamento

te4rico- apropria0;o dos conceitos na ti6idade de Estudo- retomando as sini+ica01es e

a >nese do conceito de Con!untos 8um$ricos- est no delinear da +orma pela &ual o

conceito de n9mero $ introdu'ido nos anos iniciais- tanto na proposta &ue 6iora norasil- &uanto na de a67do6 e a rela0;o com as suas sini+ica01es aritm$ticas-

al$bricas e eom$tricas.

O a)ar!c*+!"#$ %$ N,+!r$ R!al: $ )!rc&rs$ l*c$- *s#r*c$

Cada ci6ili'a0;o +oi constitu<da de acordo com sua +orma de orani'a0;o

s4cio5ist4rico5cultural. Por$m- em &uase todas- ou6e o aparecimento de classes e

+un01es sociais atribu<das a cada su!eito &ue a ela pertencesse. Loo- os membros da

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classe dominante- de posse dos bens culturais produ'idos istoricamente de +orma

coleti6a- trans+ormaram o conecimento em instrumento de poder e domina0;o e- at$

mesmo- aliena0;o.

o numeral ob!eto at$ o ob!eto numeral +oi um rande percurso.

manipula0;o da nature'a +oi a criadora dos ne#os conceituais &ue en6ol6em o

mo6imento do conceito de n9mero +rente as tr>s sini+ica01es matemticas= aritm$tica-

al$brica e eom$trica. o recriar as +ormas na nature'a- o omem se imp1e a

necessidade- e a nature'a le permite a plasticidade para a sua modi+ica0;o.

" omem &ue modi+ica a nature'a coloca5se em modi+ica0;o tanto no processo

de trans+orma0;o dela pr4pria- &uanto ao se relacionar com sua no6a cria0;o e ou

apropria0;o. pedra (numeral5ob!eto)- relacionada a um animal ou ob!etos a serem

discreti'ados- culmina na correspond>ncia um5a5um ou um56rios- cu!o conceito $ a

contaem. pedra- no mo6imento de correspond>ncia e ne#os pr$5simb4licos- parte da

rela0;o numeral5ob!eto para a rela0;o ob!eto5numeral- ou se!a- o numeral em suas

di6ersas bases e escritas- at$ sistemati'a0;o no sistema de numera0;o decimal indo5

arbico.

Lima e P$rides (D) elucidam o rel4io como cria0;o umana &ue recria o

ciclo natural. L- est;o os ne#os da continuidade e repeti0;o- al$m da

incomensurabilidade da circun+er>ncia do rel4io moderno. 2ais ne#os s;o de rande

import,ncia para entender a constitui0;o dos 89meros Reais.

Cara0a de+ine o 89mero Real como sendo o=

(...) elemento de separa0;o das duas classes dum corte &ual&uer- nocon!unto dos racionais? se e#iste um n9mero racional a separar as duasclasses- o n9mero real coincide com esse n9mero racional? se n;oe#iste tal n9mero- o n9mero real di'5se irracional . (CR-DG- p.HI- ri+o do autor)

8o decorrer da ist4ria- o reconecimento e import,ncia da constru0;o do

conecimento- &ue contemplou do estudo das rande'as incomensur6eis dos a#iomas

de edeJind- para resultar na compreens;o e sistemati'a0;o dos 89meros Reais e da

Reta 8um$rica. e posse desse processo ist4rico- prop1e5se &ue a a&uisi0;o dos

conceitos te4ricos no ensino dos 89meros Reais tamb$m se!a processual- n;o de

maneira id>ntica- mas de +orma a arantir a 6i6>ncia da constru0;o l4ico5ist4rica

desse conecimento. esse modo- rea+irma5se a import,ncia do estudo dos 89meros

Reais e da Reta 8um$rica desde o in<cio do ensino +undamental.

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Seundo E6es=

"s matemticos +oram considera6elmente al$m do estabelecimento dosistema dos n9meros reais como o +undamento da anlise. Pode5setamb$m +a'er com &ue a eometria euclidiana se baseie no sistema

dos n9meros reais atra6$s de sua interpreta0;o anal<tica e +oidemonstrado pelos matemticos &ue a maior parte dos ramos daeometria $ consistente se a eometria euclidiana $ consistente.demais- como o sistema dos n9meros reais- ou aluma parte dele- pode ser6ir para interpretar tantos ramos da lebra desse sistema. e+ato- pode5se a+irmar o!e &ue- essencialmente- a consist>ncia de todaa matemtica e#istente depende da consist>ncia do sistema dosn9meros reais. 8isso reside a tremenda import,ncia do sistema dosn9meros reais para os +undamentos da matemtica (DGG- p.KGG).

Concomitantemente- a constru0;o l4ico5ist4rica acerca do conceito de

n9mero re6ela ne#os conceituais en6oltos : rela0;o essencial- rande'a. correspond>ncia um5a5um e um5a56rios $ a utili'a0;o de uma &ualidade para

representar certa &uantidade- e constitui5se em um mo6imento entre &uantidade- &ue $ a

&ualidade de e#trema rele6,ncia e contribui0;o acerca do pensamento te4rico num$rico=

6ariar a &ualidade escolida com o n9mero5ob!eto do arupamento- repetir o processo

metal do senso de rande'a para- posteriormente- o senso num$rico- +i#ar5se como

numeral5escrito.

o re+letir acerca da compara0;o de rande'as de mesma nature'a-mani+estam5se ne#os conceituais= o discreto e o cont<nuo. o criar a unidade de medida

e instrumentos &ue carream ne#os conceituais- o omem conseuiu discreti'ar o

cont<nuo- assim como tornar cont<nuo o discreto.

Padroni'ar a medida em mo6imento de multiplicidade e di6isibilidade

propiciou : +ra0;o surir como subunidade da medida padr;o (tamb$m do n9mero).

Loo- necessita5se saber &uantas 6e'es uma medida cabe dentro de uma maior ou-

in6ersamente- saber em &uantas partes a medida maior pode ser di6idida em unidades

menores. ssim- aparecem as rela01es de sucessor- par/<mpar- incomensurabilidade-

continuidade e- por +im- in+inito- in+initesimal (limite)- densidade- enumerabilidade e

n;o5enumerabilidade.

Por +im- a possibilidade 6er os Con!untos dos 89meros Reais n;o somente

como a uni;o do Con!unto dos 89meros Racionais e do Con!unto dos 89meros

*rracionais. Portanto- ir al$m da concep0;o de ensino acerca da 2eoria dos Con!untos $

sair da constru0;o dos 89meros Reais a partir dos 8aturais e- assim- seuir a l4ica

+ormal. Contudo- o pressuposto n;o sini+ica &ue o abandono : +ormali'a0;o da

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escrita- mas &ue $ alterado o +oco do abordado na 2eoria dos Con!untos &ue priori'a as

rela01es de pertin>ncia- interse0;o e uni;o.

A $ra"*/a'($ %$ !"s*"$ %$s N,+!r$s R!a*s %! ac$r%$ c$+ a )r$)$s*'($ %!

Dav0%$v

Pautando5se na perspecti6a ist4rico5cultural- de+ende5se &ue a Matemtica

n;o de6e ser tratada como uma disciplina a ser conte#tuali'ada- com o intuito de torn5

la arad6el e recepti6a. " ensino n;o pode ser reducionista ao ponto de &ue os alunos

s4 possam ter contato com conte9dos &ue +a'em parte da sua rotina- os ditos

relacionados ao seu cotidiano. N na escola &ue o aluno tem contato com o no6o e $

+un0;o da escola $ dar esse respaldo :s lacunas pr$5e#istentes. " ensino sini+icati6o

relaciona5se- diretamente- com o processo ist4rico de sini+ica0;o social dedeterminado conceito- no sentido de &ue o sini+icati6amente social possa ser

pessoalmente sini+icati6o (RU*8S2E*8- GIHO).

N necessrio atentar ainda a uma posi0;o &ue camine na contram;o : 2eoria

dos Con!untos- e e6idenciar as di+eren0as conceituais e da l4ica +ormal +rente : l4ica

adotada como l4ico5ist4rico5conceitual.

uscando caracteri'ar uma proposta de ensino dos 89meros Reais pelo

mo6imento conceitual da Reta 8um$rica nos anos iniciais- reali'ou5se um le6antamentosobre as orienta01es didticas e metodol4icas de asili asilie6ic a67do6 (GIO5

GIIQ)- com 6istas a e6idenciar- nessa proposta- os princ<pios do processo ensino5

aprendi'aem da matemtica 5 apropria0;o dos conceitos- assimila0;o- abstra0;o e

enerali'a0;o.

ElJonin e a67do6- principalmente- em suas in6estia01es acerca do ensino-

notaram &ue a ati6idade de estudo esta6a praticamente ausente nas escolas russas.

isando mudan0a no curr<culo e na orani'a0;o do ensino- desen6ol6eram o &ue secama de sistema didtico ElJonin5 a67do6 (R"S- DGD).

Para &ue a educa0;o escolar desen6ol6a em seus estudantes o pensamento

te4rico- $ necessrio- como Mar# propuna- a Re6olu0;o e a concep0;o de no6o

omem- uma mudan0a da orani'a0;o curricular das concep01es acerca dos conte9dos e

m$todos de ensino5aprendi'aem. N papel da escola trans+ormar em princ<pio a cria0;o

das condi01es e premissas para a mudan0a do tipo eral e dos ritmos do

desen6ol6imento ps<&uico das crian0as (R"S- DGD- p. D).

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o nos debru0armos sobre o estudo do conte9do eral dos conceitos para

depois reconec>5lo em suas mani+esta01es particulares obser6amos &ue cada conceito

tem sua especi+icidade- &ue $ e#pressa da particularidade de um modo eral de uma

determinada mat$ria ou disciplina escolar (R"S- DGD- p.D). 8as proposi01es

brasileira- acerca do Ensino de Matemtica- analisa5se &ue o predom<nio do pensamento

emp<rico est +ortemente presente como prtica peda4ica desde os primeiros anos

escolares- inclusi6e a respeito do conceito e sistema conceitual acerca dos n9meros. E-

re+or0ando &ue a67do6- em seus estudos- menciona6a &ue um dos conceitos

+undamentais- isto $- essenciais- da matemtica escolar $ o conceito de 89mero Real.

" desen6ol6imento dos conceitos cient<+icos- seundo iotsJ (GIIO)- sure

de uma situa0;o mediada intencional. Portanto- os conceitos cotidianos e cient<+icos se

di+erem &uanto ao primeiro por desen6ol6er5se de bai#o para cima- ou se!a- da

e#peri>ncia cotidiana 5 concreta/particular 5 para a enerali'a0;o. " seundo desen6ol6e

os conceitos de cima para bai#o- ao partir das enerali'a01es para o particular

(*%"2ST- GIIO).

Em s<ntese- um conceito se sobrep1e aos outros e incorpora o mais

particular- por isso a ra';o de introdu'ir nos anos iniciais da escola- com a >nese- a

ess>ncia do 89mero Real e a sua representa0;o eom$trica a Reta 8um$rica (R"S-

DGD- p.DH). Propor a orani'a0;o do ensino com in<cio na >nese do 89mero Real

contrap1e5se : orani'a0;o &ue suere iniciar no campo dos 89meros 8aturais.

"s Reais se re6elam como a abstra0;o a partir do n9mero- $ o conceito enu<no

&ue tem como representa0;o a Reta 8um$rica- ordenada em lina &ue se baseia na

unidade dial$tica entre o l4ico e o ist4rico. o dei#ar de estar na abstra0;o de n9mero

a partir do ob!eto- arupamentos s;o reali'ados a partir das rela01es estabelecidas entre

as rande'as dos Con!untos 8atural e Racional. o iniciar o ensino a partir dos

8aturais- temos &ue esse se restrine :s opera01es como- por e#emplo- n;o comooperar com o oposto e o in6erso. Portanto- n;o podemos restrinir os anos iniciais da

educa0;o escolar ao desen6ol6imento do n9mero natural por meio da contaem de

ob!etos.

Para a67do6- o conte9do da ati6idade de estudo $ o conceito te4rico (R"S-

DGD- p.Q)- e por sua 6e' o conte9do $ a base do ensino &ue promo6e o

desen6ol6imento (V"- GIQQ). " conecimento cient<+ico5te4rico $ &ue de6e ser

apropriado pelo estudante- por isso a import,ncia do pro+essor &ue medeia a ati6idade- para &ue a!a rela0;o eral5principal 5 e suas mani+esta01es por meio de rela01es

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particulares- ambas percebidas e relacionadas- promo6em a enerali'a0;o te4rica do &ue

est proposto para estudo." conceito essencial de rande'a $ o predominante e- assim- esse $ o &ue

permitir a concep0;o de &ue uma inter5rela0;o da aritm$tica com a eometria. Essa

concep0;o nos permite +alar sobre os racionais e- loo- sobre os reais. Para Cara0a

(DG- p.O)- um semento de reta $ uma rande'a eom$trica- portanto- ao

compararmos dois sementos- estamos reali'ando uma opera0;o do campo eom$trico

e- ao mesmo tempo- aritm$tico. o e#pressamos tal compara0;o de +orma num$rica- ou

mesmo al$brica- utili'amos uma unidade de medida n;o e#pressa por n9meros- mas

por letras- ob!etos- entre outros como +orma de abstra0;o dos n9meros concretos.

o comparar rande'as de mesma esp$cie- $ poss<6el representar tal reistro na

Reta 8um$rica- ou se!a- tratar de unidades de medida re+erente : rande'a comprimentoe da medida intermediria. p4s saber &uantas 6e'es uma unidade de medida adotada

cabe no todo – multiplicidade 5 passa5se para a introdu0;o das opera01es de adi0;o-

subtra0;o e o surimento do ('ero)- representados na Reta 8um$rica. import,ncia

do surimento do ('ero) como resultado de sucessi6as subtra01es le6a a uma no6a

&ualidade do alarismo- di+erente da tratada nas propostas de ensino &ue o colocam com

sendo a aus>ncia de elementos de um con!unto- ou mesmo como sendo o nada.

apropria0;o n;o pode ser 6ista dentro de um conte#to &ue +ramenta amatemtica e n;o a 6> como inserida no processo de desen6ol6imento da umanidade.

o conceb>5la como imut6el- isto $- como uma ci>ncia acabada- retira5se da

matemtica sua istoricidade e mo6imento l4ico dos conceitos- o &ue impossibilita a

compreens;o do sini+icado social dos conceitos e a atribui0;o dos sentidos.

1$"cl&s($

introdu0;o do conceito de n9meros- em espec<+ico dos 89meros Reais-

precisa considerar as sini+ica01es aritm$ticas- al$bricas e eom$tricas (R"S- DGD).

o le6ar em considera0;o &ue tais sini+ica01es mant>m uma rela0;o de

interdepend>ncia- o conceito de n9mero se apresenta em sua plenitude.Em seus encaminamentos sobre a orani'a0;o do ensino do conceito de

n9mero- a67do6 (GIQD) 6eri+icou- como dito anteriormente- &ue o +oco esta6a nas

ati6idades &ue promo6iam apenas desen6ol6imento do pensamento emp<rico. " &ue

se ensina6a sobre os n9meros at$ ent;o eram analoias e rela01es diretas entre&uantidade de ob!etos utili'ados para re+erenciar o n9mero- como atualmente utili'a5se

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de 6arais de carta'es com imaens &ue correspondem a uma &uantidade e essa $

relacionada ao n9mero. tare+a de ensino &ue parte do campo dos reais possibilita &ue a crian0a se

aproprie dos conceitos cient<+icos- pois cabe : escola ensinar o &ue a crian0a ainda n;o

domina. prendi'aem e desen6ol6imento precisam acontecer dialeticamente- na

perspecti6a de+endida por iotsJ (DH) de &ue o bom ensino $ a&uele &ue se

adianta ao desen6ol6imento- ra';o pela &ual o desen6ol6imento- mais do &ue premissa-

$ resultado do processo de ensino e aprendi'aem. 8as tare+as elabora0;o de uma concep0;o de 89mero Real a partir do

conceito de rande'a- pois os Reais e Racionais s;o um caso particular de um ob!eto

mais amplo- o conceito de rande'a. crian0a- ao se apropriar das ideias de rande'a-

compreende as mani+esta01es particulares da mesma. a67do6 (GIQD) relata &ue acrian0a $ capa'- sim- de aprender propriedades +undamentais das rande'as antes de

compreender as caracter<sticas num$ricas dos ob!etos. compara0;o entre o conecimento emp<rico e o conecimento te4rico nos

re6ela a trans+orma0;o do tipo de pensamento mediante a orani'a0;o do ensino- e nos

deparamos com o &ue se apro#ima : compreens;o da escola a respeito do processo de

apropria0;o dos conecimentos cient<+icos &ue est 6inculado somente :

e#perimenta0;o- e n;o somente : sistemati'a0;o dos conceitos acerca dos +enAmenos.

R!2!r3"c*as

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