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CC54Z - Hidrologia Introdução a hidrologia estatística Prof. Fernando Andrade Curitiba, 2014 Universidade Tecnológica Federal do Paraná

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CC54Z - Hidrologia

Introdução a hidrologia estatística

Prof. Fernando Andrade

Curitiba, 2014

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

• Revisar estatística básica aplicada a

hidrologia

• Estudar a curva de Permanência

• Examinar o risco de ocorrência de eventos

hidrológicos

• Estudar as distribuições estatísticas da

chuva anual e de eventos extremos

(vazões máximas e mínimas)

Objetivos da aula

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Hidrologia estatística

• Variáveis hidrológicas: chuva, vazão, etc.

• Variáveis hidrológicas podem ser consideradas variáveis aleatórias: apresentam variações sazonais que podem ser irregulares, ocorrendo valores extremos e diferentes sequências de valores ao longo do tempo

• Técnicas estatísticas podem ser aplicadas para estudar o comportamento das variáveis hidrológicas

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Estatística básica: média

• A vazão ou precipitação média é a média aritmética de toda a série temporal de vazões ou precipitações registradas

• É importante na avaliação da disponibilidade hídrica total de uma bacia

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n

x

x

n

i

i 1

Estatística básica: média

• As vazões médias mensais são muito utilizadas para análise de vazões em rios (média de cada mês para a série de dados)

• Exemplo: muito importante na determinação da sazonalidade de um rio (dado da média mensal é mais relevante do que valores diários)

• Em alguns casos é utilizada a vazão média mensal específica: vazão média mensal dividida pela área de drenagem da bacia

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Estatística básica: média

• Exemplo: vazões médias mensais para o rio Cuiabá, medidas em Cuiabá, entre 1967 e 1999

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Estatística básica: desvio

padrão e variância

• O desvio padrão é uma medida de dispersão dos valores de uma amostra em torno da média

• A variância é definida como o quadrado do desvio padrão (s2)

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1

1

2

n

xx

s

n

i

i

Estatística básica: PDF

• Se a função densidade de probabilidade

f(x) for conhecida, a média, o desvio

padrão e a variância são facilmente

obtidos

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𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞

−∞

𝑠2 = 𝑥 − 𝑥 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞

−∞

• Valor que caracteriza o quanto uma amostra

de dados é assimétrica com relação à média

• Uma amostra é simétrica com relação à

média se o histograma dos dados revela o

mesmo comportamento de ambos os lados

da média

Estatística básica:

coeficiente de assimetria

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𝐺 = 𝑥𝑖 − 𝑥 3𝑛

𝑖=1

𝑛𝑠3

Estatística básica:

coeficiente de assimetria

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Estatística básica:

mediana e quantis

• Mediana é o valor que é superado em 50% dos pontos da amostra

• Quartis separam a amostra em quatro partes

• Primeiro quartil: é superado em 25% dos pontos da amostra

• Terceiro quartil: é superado em 75% dos pontos da amostra

• Quantis separam a amostra em partes arbitrárias. Por exemplo, quantil 90% é o valor superado em 90% das vezes

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Exemplo 1

• Calcule a média, o desvio padrão e o

coeficiente de assimetria destes dados

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A média é de 1645,1 mm por ano e o desvio padrão é de 241,9 mm por ano

Curva de permanência e risco de ocorrência

Curva de Permanência

• Uma das análises estatísticas mais simples e mais importantes na hidrologia

• Auxilia na análise dos dados de vazão com relação a perguntas como:

• O rio tem uma vazão aproximadamente constante ou extremamente variável?

• Qual é a porcentagem do tempo em que o rio apresenta vazões em determinada faixa?

• Qual é a porcentagem do tempo em que um rio tem vazão suficiente para atender determinada demanda?

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Curva de Permanência

• Definição: a curva de permanência

expressa a relação entre a vazão e a

frequência com que esta vazão é

superada ou igualada

• Pode ser elaborada a partir de dados

diários ou dados mensais de vazão

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Curva de Permanência:

exemplo

16

Curva de Permanência:

exemplo

• A curva de permanência das vazões diárias do rio Taquari é obtida listando-se em ordem decrescente as vazões observadas no hidrograma

• Para cada vazão associa-se o número de ordem (vezes que ela foi excedida)

• Divide-se o número de ordem pelo número total de dados medidos, multiplica-se por 100 para obter a frequência em porcentagem

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Curva de Permanência:

exemplo

18

Curva de Permanência:

exemplo

• A vazão de 1000 m³/s é igualada ou superada em menos de 10% do tempo

• Na maior parte do tempo as vazões do rio Taquari são bastante inferiores a 500 m³/s

• Picos de 7000 m³/s são atingidos em períodos de cheia 19

Curva de Permanência:

exemplo • A curva de permanência pode ser apresentada com eixo

vertical logarítmico, de forma a destacar as vazões mais baixas

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Curva de Permanência:

pontos especiais

• A vazão que é superada em 50% do tempo (mediana das vazões) é a chamada Q50

• As vazões Q90 e a Q10 são utilizadas como referência para legislação na área de meio ambiente e de recursos hídricos

• A vazão que é superada em 95% do tempo é chamada de Q95, e é utilizada para definir a energia assegurada de uma usina hidrelétrica

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Aplicações da Curva de

Permanência

• A curva de permanência também é útil

para diferenciar o comportamento de rios e

para avaliar o efeito de modificações como

desmatamento, reflorestamento,

construção de reservatórios, extração de

água para uso consuntivo, etc.

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Exemplo 2

• Os dados de vazão do rio Descoberto em

Santo Antônio do Descoberto (GO) foram

organizados na forma de uma curva de

permanência, como mostra a figura a

seguir. Um empreendedor solicita outorga

de 2,5 m3/s num ponto próximo no mesmo

rio. Considerando que a legislação permite

outorgar apenas 20% da Q90 a cada

solicitante, responda: é possível atender a

solicitação? 23

Exemplo 2

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Risco de ocorrência

• O risco de ocorrência pode ser calculado com base no tempo de retorno TR

• Onde R é o risco de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um período n chamado de horizonte de planejamento

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𝑅 = 1 − 1 −1

𝑇𝑅 𝑛

Exemplo 3

• Determine o risco que a canalização do rio

Belém tem de falhar pelo menos uma vez

durante sua vida útil, que é estimada em

50 anos. A obra foi projetada para um

tempo de retorno de 500 anos

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𝑅 = 1 − 1 −1

𝑇𝑅 𝑛

𝑅 = 1 − 1 −1

500

50

= 0,095 = 9,5%

Probabilidades de eventos hidrológicos

Distribuição de

probabilidades

• Existem duas formas de atribuir probabilidades e tempos de retorno aos eventos hidrológicos

• Probabilidades empíricas: podem ser estimadas a partir da observação das variáveis (aleatórias) hidrológicas

• Métodos analíticos: supõe-se que os dados hidrológicos sejam aleatórios e que sigam uma determinada distribuição de probabilidade analítica, como a distribuição normal, por exemplo

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Distribuição normal

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Distribuição normal:

chuva anual média

Eventos extremos

• Distribuição empírica: selecionando apenas as vazões máximas ou as vazões mínimas de cada ano em um dado local, é obtida a série de vazões deste local que permitem realizar análises estatísticas relacionando vazão com probabilidade

• Também é possível análises mediante uso de distribuições estatísticas analíticas: normal, log-normal, log-pearson III, Gumbel

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Vazões máximas:

distribuição empírica

• Seleciona-se de cada ano apenas o valor da maior vazão

• Organizando as vazões máximas em ordem decrescente, podemos atribuir uma probabilidade de exceder, utilizando a fórmula de Weibull

• onde N é o tamanho da amostra (número de anos) e m é a ordem da vazão (para a maior vazão m=1 e para a menor vazão m=N)

32

𝑃 =𝑚

𝑁 + 1

Vazões máximas:

distribuição empírica

33

Vazões máximas:

distribuição empírica

34

𝑃 =𝑚

𝑁 + 1

Distribuição estatística

• O problema da estimativa empírica é que

não é possível extrapolar a estimativa para

tempos de retorno maiores do que a série

de dados

• Como estimar vazões com tempo de

retorno alto, usando séries de

relativamente poucos anos?

• Supor que os dados correspondem a uma

distribuição de frequência conhecida

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Distribuição estatística

• A distribuição Normal não é adequada

para descrever as estatísticas de eventos

de máxima vazão

• As distribuições log-normal e log-pearson

III podem ser usadas em diversos casos

• Vamos estudar a distribuição de Gumbel

pelo fato de ser simples e não necessitar

tabelas de probabilidades

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Distribuição Normal

• Vazões máximas segundo uma distribuição normal podem ser estimadas por

• Onde onde x é a vazão máxima para uma dada probabilidade, x é a média das vazões máximas anuais, s é o desvio padrão das vazões máximas anuais e K é obtido de tabelas de distribuição normal (igual ao valor de z)

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𝑥 = 𝑥 + 𝐾𝑠

Distribuição Normal

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Distribuição de Gumbel

• A probabilidade de que uma vazão venha a ser igualada ou excedida em um ano qualquer

• onde x é a vazão máxima anual, 𝑥 é a média das vazões máximas anuais, e s é o desvio padrão das vazões máximas anuais

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𝑃 = 1 − 𝑒−𝑒−𝑏

𝑏 =1

0,7797𝑠 𝑥 − 𝑥 + 0,45𝑠

𝑥 = 𝑥 − 𝑠 0,45 + 0,7797𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑇𝑅

𝑇𝑅 − 1

Eventos extremos:

vazões mínimas

• A análise de vazões mínimas é

semelhante à análise de vazões máximas,

exceto pelo fato que no caso das vazões

mínimas o interesse é pela probabilidade

de ocorrência de vazões iguais ou

menores do que um determinado limite

• No emprego da probabilidade empírica, os

valores de vazão devem ser organizados

em ordem crescente 40

Eventos extremos:

vazões mínimas

• Muitas vezes as análises estatísticas de vazões mínimas anuais são realizadas sobre as vazões mínimas de 7 dias, 15 dias ou de 30 dias de duração

• Ou seja, encontra-se a vazão mínima média de períodos de 7, 15 ou 30 dias (médias móveis)

• A vazão mínima anual de referência é a Q7,10, ou 7Q10, que é a média anual móvel da vazão mínima a cada 7 dias com tempo de retorno de 10 anos

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Exemplo 4

• A tabela abaixo apresenta as vazões

mínimas anuais observadas no rio Piquiri,

no município de Iporã (PR). Determine a

vazão mínima de 5 anos de tempo de

retorno pelo método empírico. A

distribuição normal se ajusta bem aos

dados observados?

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Exemplo 4 Solução

Dados

𝑃 =𝑚

𝑁 + 1

x= 163 m3/s

s= 65,2 m3/s

Exemplo 4

x (m3/s)

𝑥 = 𝑥 + 𝐾𝑠 Distribuição normal

x= 163 m3/s

s= 65,2 m3/s

Exemplo 4

Referências bibliográficas

[1] VILLELLA, S. M., MATTOS, A.. Hidrologia aplicada. São Paulo. Editora McGraw Hill do Brasil, 1975

[2] TUCCI, C. E. M.. Hidrologia: ciência e aplicação. Porto Alegre. Editora da Universidade, 4 ed. 2009

[3] PINTO, N. et al.. Hidrologia básica. São Paulo. Editora Edgard Blucher, 1976