CD 031 Desenho Geométrico I - degraf.ufpr.br · Aplicações computacionais de conceitos...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes

Apostila elaborada por: Profª. Dra. Deise Maria Bertholdi Costa e Profª M.Sc. Elen Andrea Janzen Complementada por: Prof M.Sc. Anderson Roges T. Góes

CD 031

Desenho Geométrico I

Turma B 2011

CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B

Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes

I

SUMÁRIO

1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I.............................................................. 3

1.1 OBJETIVOS ................................................................................................................................................ 3 1.2 PROGRAMA ............................................................................................................................................... 3 1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 4 1.4 MATERIAL DIDÁTICO................................................................................................................................. 5 1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS .......................................................................................................................... 5 1.6 OBSERVAÇÃO ............................................................................................................................................ 5 1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................................. 6

2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO .......................................................................................... 7

3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA............................................................................................................. 8

3.1 GEOMETRIA............................................................................................................................................... 8 3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS .............................................................................................................................. 8 3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA EUCLIDIANA ......................... 8 3.4 ÂNGULOS .................................................................................................................................................. 9 3.5 A RETA NO PLANO....................................................................................................................................14 3.6 TRIÂNGULOS ............................................................................................................................................21 3.7 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS ................................................................................................................30 3.8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS .................................................................................................................32

4 LUGARES GEOMÉTRICOS.........................................................................................................................39

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA...........................................................................................................................40

6 LG 2 - MEDIATRIZ .......................................................................................................................................45

7 LG 3 - PARALELAS.......................................................................................................................................49

8 LG 4 - BISSETRIZ..........................................................................................................................................51

9 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................................................55

9.1 ÂNGULO CENTRAL ....................................................................................................................................55 9.2 ÂNGULO INSCRITO....................................................................................................................................56 9.3 ÂNGULO DE SEGMENTO ............................................................................................................................58

10 LG 5 – ARCO CAPAZ....................................................................................................................................61

11 DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS ............................................................66

11.1 QUARTA PROPORCIONAL ..........................................................................................................................70 11.2 TERCEIRA PROPORCIONAL ........................................................................................................................70 11.3 DIVISÃO HARMÔNICA ...............................................................................................................................73

12 LG 6 CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIO .................................................................................................76

13 MÉDIA GEOMÉTRICA (OU MÉDIA PROPORCIONAL) .........................................................................79

14 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS .......................................................................................84

15 SEGMENTO ÁUREO (DIVISÃO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO) .....................................................87

15.1 ENCONTRAR O SEGMENTO ÁUREO AP CONHECENDO O SEGMENTO AB ........................................................87 15.2 DADO O SEGMENTO AB OBTER AQ, DO QUAL AB É ÁUREO ........................................................................89

16 POTÊNCIA DE PONTO ................................................................................................................................93

17 TRIÂNGULOS................................................................................................................................................97



II

17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO ......................................................................................................97 17.2 CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ...............................................................................................................100

18 HOMOTETIA...............................................................................................................................................124

19 QUADRILÁTEROS......................................................................................................................................125

19.1. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS ...................................................................................................................125 19.2. CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS .........................................................................................................128

20 TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA ...........................................................................................................144

20.1 PROPRIEDADES DE TANGÊNCIA ...............................................................................................................144 20.2 PROPRIEDADES DE CONCORDÂNCIA ........................................................................................................144 20.3 EIXO RADICAL, CENTRO RADICAL E FEIXE DE CIRCUNFERÊNCIAS ............................................................153

21 APLICAÇÕES DE CONCORDÂNCIA: ARCOS, OVAIS E ESPIRAIS....................................................163

21.1 ARCOS ...................................................................................................................................................163 21.2 OVAIS ....................................................................................................................................................164 21.3 ESPIRAIS ................................................................................................................................................165

22 DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS .......................................................................167

22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS.............................................................167 22.2 PROCESSOS EXATOS ...............................................................................................................................168 22.3 PROCESSOS APROXIMADOS .....................................................................................................................174 22.4 PROCESSOS GERAIS.................................................................................................................................181

23 POLÍGONOS ESTRELADOS......................................................................................................................184

24 RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA..................................................................................................188

24.1 PROCESSO DE ARQUIMEDES ....................................................................................................................188 24.2 PROCESSO DE KOCHANSKY OU DA TANGENTE DE 30°...............................................................................190 24.3 RETIFICAÇÃO DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA .........................................................................................191

25 EQUIVALÊNCIA E DIVISÃO DE ÁREAS.................................................................................................199

25.1 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS .......................................................................................199 25.2 EQUIVALÊNCIA.......................................................................................................................................199 25.3 PROBLEMAS DE QUADRATURA.................................................................................................................201 25.4 PROBLEMAS GERAIS DE EQUIVALÊNCIA ...................................................................................................204



3

1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I

O Desenho Geométrico tem por finalidade representar de forma precisa as

figuras planas e resolver, com régua e compasso, os problemas da Geometria Plana.

1.1 OBJETIVOS

� Desenvolver o raciocínio lógico;

� Desenvolver a habilidade de representar figuras bidimensionais com o

auxílio de régua e compasso;

� Resolver problemas da Geometria Plana;

� Desenvolver a capacidade de:

o Visualização mental e representação gráfica, de formas reais ou

imaginadas;

o Interpretação e de representações de formas;

o Comunicar através de representações geométricas;

o Formular e de resolver problemas relacionados à Geometria Plana;

o Criativa;

� Conhecer vocabulário específico do Desenho Geométrico;

� Utilizar corretamente os materiais e instrumentos de desenho;

1.2 PROGRAMA

� Postulados do desenho geométrico.

� Congruência e semelhança de triângulos.

� Lugares Geométricos.

� Relações métricas nos segmentos.

� Teorema de Thales.

� Teorema de Pitágoras.

� Média Geométrica.



4

� Segmento Áureo.

� Relações métricas na circunferência.

� Construção de triângulos e de quadriláteros.

� Pontos notáveis de um triângulo.

� Retificação e desretificação de circunferência e de arcos de circunferência.

� Divisão da circunferência por métodos exatos e aproximados.

� Polígonos estrelados.

� Ampliação e redução de figuras.

� Homotetia.

� Equivalência de Áreas.

� Divisão de Áreas.

� Tangência e Concordância.

� Aplicações computacionais de conceitos geométricos através da Geometria

Dinâmica.

1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO

A qualidade do desempenho do aluno será avaliada com base no

desenvolvimento das seguintes atividades:

� Participação em sala de aula, evolução do aluno durante o período letivo e

pasta com todos os exercícios resolviddos (A01);

� 02 avaliações escritas (no mínimo) em sala de aula (A02, A03);

� Trabalhos extraclasse (A04).

Datas de avaliações escritas em sala de aula e entrega de trabalhos serão

definidas com os alunos dentro do calendário vigente.

Valor de A01, A02, A03 e A04 entre 00(zero) e 100 (cem).

Nota semestral: 0,10*A1+0,30*A2+0,40*A3+0,20*A4



5

1.4 MATERIAL DIDÁTICO

� Lapiseira 0,3 com grafite H ou lápis H;

� Lapiseira 0,5 com grafite 2B ou lápis 2B;

� Borracha;

� Compasso (sugestão: Tridente modelo 9000);

� Régua em acrílico 30 cm (sugestão Desetec 7130);

� Papel sulfite tamanho A4;

� Lixa de unha (para lixar grafite do compasso);

� Uma folha de acetato tamanho A4 (ou maior);

� Pasta com plásticos para organizar o material impresso e trabalhos; e

� Notas de aulas (material de apoio).

1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS

Atendimento extraclasse será realizado no Gabinete de Desenho (3º andar do

Prédio da Administração – Centro Politécnico) nas quartas-feira e sextas-feira das 18hs

às 19hs.

Outros Horários devem ser agendados diretamente com o professor através

dos seguintes contatos:

� Gabinete: 3361-3462;

� E-mail: [email protected];

� MSN: [email protected].

1.6 OBSERVAÇÃO

O aluno deverá tomar conhecimento da resolução nº37/97 do Conselho de

Ensino e Pesquisa da Universidade Federal do Paraná.



6

1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: SBM, 1985.

BRAGA, T. Desenho linear Métrico. São Paulo. Editora Ícone.

CARVALHO, Benjamin A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar –

Geometria Plana. São Paulo: Atual, v. 9.

GIONGO, Affonso Rocha. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo: Nobel.

GONÇALVES JR, Oscar. Matemática por Assunto – Geometria Plana e Espacial. São

Paulo: Scipione, v.9.

JANUÁRIO, Antônio Jaime. Desenho Geométrico. Florianópolis: Editora da UFSC.

MARMO, Carlos. Curso de Desenho. São Paulo: Scipione.

PUTNOKI, José Carlos. “JOTA”. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São

Paulo: Scipione, v. 1, 2 e 3.

REZENDE, E. Q. F. QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções

geométricas Campinas: UNICAMP, 2000.



7

2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

Assim como no estudo da Geometria se aceitam, sem definir e sem demonstrar

certas proposições primitivas (ou postulados, ou axiomas), no estudo do Desenho é

necessário aceitar certos postulados que tornam a matéria objetiva.

1º Postulado: Os únicos instrumentos permitidos no Desenho Geométrico, além do

lápis, papel, borracha e prancheta, são: a régua não graduada e o

compasso.

A graduação da régua ou "escala" só pode ser usada para colocar no

papel os dados de um problema ou eventualmente para medir a

resposta, a fim de conferí-la.

2º Postulado: É proibido em Desenho Geométrico fazer contas com as medidas dos

dados; todavia, considerações algébricas são permitidas na dedução (ou

justificativa) de um problema, desde que a resposta seja depois obtida

graficamente obedecendo aos outros postulados.

3º Postulado: Em Desenho Geométrico é proibido obter respostas "à mão livre", bem

como "por tentativas".

Admite-se, no entanto, o traçado de uma cônica à mão livre ou com o

uso de curvas francesas, desde que a resposta de um problema não seja

obtida através desse traçado.



8

3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA

3.1 GEOMETRIA

A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da Geometria.

O filósofo grego Eudemo de Rodes, séc. IV a.C., um dos primeiros historiadores das

ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de

inundações anuais do rio Nilo. O termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron

(medida).

Atualmente, define-se a Geometria como sendo a disciplina matemática que

tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas.

3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS

Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia

simplesmente num conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se

Euclides, séc. III a.C., sistematizaram os conhecimentos existentes sobre o tema e

estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas (ou postulados ou

proposições primitivas) dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais

resultados (proposições ou teoremas).

A discussão dos princípios da Geometria Euclidiana levou à construção, no

séc. XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e

desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez

mais abstratos. (Enciclopédia Barsa)

3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA

EUCLIDIANA

Adotaremos, sem definição, as noções de ponto, reta e plano.

Notação:

O ponto é representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C,..., P,

Q, R, S,...); a reta é representada por letras minúscula (a, b, c, ... , r, s, t, u,...); e o plano é

representado por letras gregas ( ,,,, δγβα ...).



9

Axiomas:

A1. Num plano existem infinitos pontos.

A2. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

A3. Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.

A4. Por um ponto fora de uma reta passa somente uma reta paralela à ela.

Definições:

D1. Chama-se ponto médio de um segmento de reta AB o ponto desse

segmento que o divide em dois segmentos congruentes.

D2. Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que tem sua origem no vértice

desse ângulo e divide-o em dois ângulos adjacentes e congruentes.

Teoremas:

T1. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de

ângulos que são ou suplementares ou congruentes.

T2. Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual

a 180º.

3.4 ÂNGULOS

Definição: Chamamos de ângulo a figura formada por duas semi-retas com a

mesma origem.

Elementos: lados, vértice, espaço angular.

Notação: AÔB, ∠AOB, Ô, ∠O, α . β ...

Definições: Dois ângulos são:

a) consecutivos: quando possuem o mesmo vértice e têm um lado comum;

b) adjacentes: quando são também consecutivos e não têm pontos internos

comuns;

Duas regiões angulares



10

O | A

C _

| B

D _

c) complementares: quando a soma de suas medidas é 90º;

d) suplementares: quando a soma de suas medidas é 180º;

e) congruentes: quando possuem medidas iguais.

A semi-reta com origem no vértice de um ângulo e que divide-o em dois outros

ângulos congruentes é chamada de Bissetriz. (A bissetriz é um lugar geométrico, e será

estudado com mais detalhe nos próximos tópicos, neste momento faremos apenas a

construção).

Determine a bissetriz do ângulo α

α

β=30° α=60°

α e β são complementares

60°

30°

O complento de 60° é 30°



11

Ângulos Fundamentais

Construir com régua e compasso os ângulos de 60º, 30º, 90º e 45º.



12

Transportar o ângulo de medida α dado, sabendo-se que O será o seu vértice e

a semi-reta OA dada um de seus lados.

α

O A

Exercício

1) Repoduzir a figura em escla 2:1 utilizando régua e compasso.



13



14

3.5 A RETA NO PLANO

Quanto à posição relativa entre duas retas no plano, elas podem ser: paralelas

(caso especial: coincidentes), concorrentes ou secantes (caso especial: perpendiculares).

Como medir a distância entre duas retas paralelas?

Construir, utilizando régua e compasso, reta paralela a reta r, tal que a

distância entre elas seja 30mm

r

Quantidade de soluções obtidas: Procedimento:



15

Definições:

1) Duas retas são perpendiculares quando formam entre si ângulos de 90º.

2) Mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB passando pelo

ponto médio desse segmento. (A Mediatriz é um lugar geométrico, e será estudado com

mais detalhe nos próximos tópicos, neste momento faremos apenas a construção).

Construir a mediatriz do semegmento AB.

A B

Construir a reta perpendicular à reta r e que contenha o ponto P,

utilizando régua e compasso.

P

r

P r



16

Quando duas retas (não necessariamente paralelas) são cortadas por uma

transversal formam-se oito ângulos.

Chamam-se ângulos:

� correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8.

� opostos pelo vértice: 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7, 6 e 8.

� internos - entre as retas n1 e n2: 3, 4, 5, 6.

� externos - fora das retas n1 e n2: 1, 2, 7, 8.

� colaterais - aqueles que estão de um mesmo lado da transversal:

o colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5.

o colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7.

� alternos - aqueles que estão em semi-planos opostos em relação a

transversal:

o alternos internos: 4 e 6, 3 e 5.

o alternos externos: 1 e 7, 2 e 8.

Definição: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são

as semi-retas opostas dos lados do outro.

Propriedades:

1) Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

2) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de

ângulos que são ou suplementares ou congruentes.

n1

n2

t

1 2 4 3

5 6 8 7

1 2 4 3

5 6 8 7

n1

n2

t



17

Exercícios

1) Traçar a mediatriz de cada segmento.

2) Dada uma reta r e um ponto A, traçar a perpendicular à r que contém o ponto A.

3) Dada uma reta r e um ponto A, traçar a paralela à r que contém o ponto A.

A

B

C D

E F G

H

A

r

A r

A r

r

A

r

A



18

4) Dividir o segmento AB=65 em 4 partes iguais.

5) Construir um retângulo dados os lados: AB= 50 (fixo) BC=30





19

6) Dados AÔB e BÔC adjacentes, com AÔC = 120o, calcule a medida do ângulo formado

pelas bissetrizes de AÔB e BÔC.

7) Construir a bissetriz dos ângulos formados pelas retas dadas.

8) Na escada abaixo esta faltando um degrau. Construa-o.

Há, no mínimo, três procedimentos para tal construção. Descreva-os.

r

s

s

r



20

9) Dados os pontos A e B e duas retas concorrentes r e s, que não os contêm. Determinar

um ponto equidistante dos pontos A e B e equidistante das retas r e s.

B

A s

r


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