CEF - MATEMÁTICA - 2 - 2012

CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012

APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 1

JUROS SIMPLES

Consideremos os seguintes fatos:

• Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 000,00 de juros.

• O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão em 10 presta-ções, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de juros.

No 1.° fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em di-nheiro que se recebe por emprestar uma quantia por de-terminado tempo.

No 2.° fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinhei-ro que se paga quando se compra uma mercadoria a pra-zo.

Assim:

Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compen-sação em dinheiro.

Quando pedimos emprestada certa quantia por de-terminado tempo, pagamos uma compensação em dinheiro.

Quando compramos uma mercadoria a prazo, pa-gamos uma compensação em dinheiro.

Pelas considerações feitas na introdução, podemos di-zer que :

Juro é uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga.

Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomi-na-se capital.

O porcentual denomina-se taxa e representa o juro re-cebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano.

O período de depósito ou de empréstimo denomina-se tempo.

A compensação em dinheiro denomina-se juro.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES

Vejamos alguns exemplos:

1.° exemplo: Calcular os juros produzidos por um capi-tal de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, duran-te 5 anos.

De acordo com os dados do problema, temos:

25% em 1ano 125% (25 . 5) em 5 anos

125% = 100

125= 1,25

Nessas condições, devemos resolver o seguinte pro-blema:

Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai:

x = 125% de 720 000 =

1,25 . 720 000 = 900 000.

Resposta: Os juros produzidos são de R$ 900.000,00

2.° exemplo: Apliquei um capital de R$ lo 000,00 a uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse capital me renderá de juros?

1,8% em 1 mês 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses

10,8% = 100

8,10 = 0,108

Dai:

x = 0,108 . 10 000 = 1080

Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00.

3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada?

De acordo com os dados do problema:

1,2% em 1 mês 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses

7,2% = 100

2,7 = 0,072

Nessas condições, devemos resolver o seguinte pro-blema:

3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x.

Dai:

3600 = 0,072 . x 0,072x = 3 600

x = 072,0

3600

x = 50 000

Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00.

4.° exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du-rante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao mês?

De acordo com os dados do problema:




x% em 1 mês (6x)% em 6 meses

Devemos, então, resolver o seguinte problema:

4 800 representam quantos % de 80 000?

Dai:

4 800 = 6x . 80 000 480 000 x = 4 800

x = 000 480

800 4 x =

800 4

48 x = 0,01

0,01 = 100

1 = 1 %

Resposta: A taxa foi de 1% ao mês.

Resolva os problemas:

- Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros?

- Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de ju-ros. Qual foi a quantia aplicada?

- Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final des-se tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)?

- Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho.

- A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 meses, rendeu juros de R$ 31 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação

- Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou com-pra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobra-ra juros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais.

- Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobra-dos?

Respostas

R$ 4 400,00

R$ 70 000,00

R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00

R$ 5 220,00

1,1%

R$ 1 075,00 e R$ 215,00

R$ 109 600,00

2,5%

JUROS COMPOSTOS

1. Introdução

O dinheiro e o tempo são dois fatores que se encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negócios. Quando são gerados excedentes de fundos, as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar juros que aumentem o capital original disponível; em outras ocasiões, pelo contrário, tem-se a necessidade de recursos financeiros durante um período de tempo e deve-se pagar juros pelo seu uso.

Em período de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como já se viu, os juros simples. Já em períodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos.

2. Conceitos Básicos

No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o qual calculam-se os juros, permanece sem variação alguma durante todo o tempo que dura a operação. No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vão sendo gerados, vão sendo acrescentados ao capital inicial, em períodos determinados e, que por sua vez, irão gerar um novo juro adicional para o período seguinte.

Diz-se, então, que os juros capitalizam-se e que se está na presença de uma operação de juros compostos.

Nestas operações, o capital não é constante através do tempo; pois aumenta ao final de cada período pela adição dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada.

Esta diferença pode ser observada através do seguinte exemplo:

Exemplo 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 30.0 % a.a. por um período de 3 anos a juros simples e compostos. Qual será o total de juros ao final dos 3 anos sob cada um dos rearmes de juros?

Pelo regime de juros simples:

J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00

Pelo regime de juros compostos:

J C ion

1 1 =

00,197.1$13,100,000.1$3

RRJ

Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou com os cálculos, temos:

Ano Juros simples Juros Compostos

1 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00

2 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.300,00(0,3) = R$ 390,00




3 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3) = R$ 507,00

R$ 900,00 R$1.197,00

Vamos dar outro exemplo de juros compostos:

Suponhamos que você coloque na poupança R$ 100,00 e os juros são de 10% ao mês.

Decorrido o primeiro mês você terá em sua poupança: 100,00 + 10,00 = 110,00

No segundo mês você terá:110,00 + 11,00 =111,00

No terceiro mês você terá: 111,00 + 11,10 = 111,10

E assim por diante.

Para se fazer o cálculo é fácil: basta calcular os juros de cada mês e adicionar ao montante do mês anterior.

JUROS COMPOSTOS

Conceito

Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são somados ao capital cons-tituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte.

Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades mone-tárias colocado a 20% a.a. durante 4 anos.

No fim do primeiro ano o juro é igual a 200, que é capi-talizado, isto é, é somado ao capital 1000 para, assim, o novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final deste, o juro será de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital a produzir juro no terceiro ano é de 1.440 (1.200 + 240). O juro será 288. No quarto ano o juro será de 20% sobre o capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de 2.073,60 unida-des de capital.

O gráfico abaixo mostra os juros calculados no fim de cada período e os respectivos montantes.

Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-se que os primeiros crescem em progressão geo-métrica, enquanto os juros simples são constantes em todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o capital inicial.

No problema citado, os juros simples são iguais a 200 unidades monetárias em todos os anos. Assim, o montante do capital de 1.000, a juros simples de 20% a.a., cresce numa progressão aritmética de razão 200, enquanto o montante a juros compostos cresce em progressão geomé-trica de razão 1,2. O quadro abaixo apresenta a evolução dos montantes a juros simples e compostos.

Anos 0 1 2 3 4

Montante a

Juros simples

1000 1200 1400 1600 1800

Montante a

Juros compostos

1000 1200 1440 1780 2073,6

Representando graficamente, temos:

Pode-se verificar, pelo gráfico acima, que, para n 1, os juros compostos e os juros simples são iguais; para n < 1, os juros simples são maiores que os juros compostos e, para n > 1, os juros compostos sempre excedem os juros simples.

CÁLCULO DO MONTANTE (CN)

No problema anterior, calculou-se o montante do capital de 1.000, em 4 anos, a 20% a.a., resolvendo quatro pro-blemas de juros simples, ou seja, calculando os juros em cada ano a partir do montante constituído no ano anterior. Pode-se, entretanto, deduzir uma fórmula para o cálculo do montante em função do capital inicial, da taxa do juro e do tempo de aplicação.

Os juros foram calculados, em cada ano, aplicando-se a fórmula j = Ci (n = 1) e os resultados obtidos estio resu-midos no quadro abaixo:

Capital Juros Montante

1° ano 1000 200 1200

2° ano 1200 240 1440

3° ano 1440 288 1728

4° ano 1780 345,6 2073,6

Representando literalmente os valores do quadro aci-ma, temos:

Capital Juros Montante

n =1 C j1 C1

n =2 C1 J2 C2

n =3 C2 j3 C3

n =4 C3 j4 C4

Seja CN, o montante do capital C, à taxa i, no fim de n




períodos. Resolvendo literalmente o problema anterior, temos:

• para n =1 C1 = C+ j1

como j1 = Ci

C1 =C + Ci = C(1+i)

• para n =2 C2 = Ci + j2

C2 = C1 +C1i = C1 (1+i) = C (1+i) (1+i) =C (1 +i)2

• para n = 3 C3 = C2+j3

C3 = C2 + C2i = C2 (1+i) = C (1 +i)2 (1+ i) = C(1 +j)

3

• para n=4 C4 = C3+j4

C4 = C3 +C3 i = C3 (1 +i) = C(1+i)3 (1 +i) = C (1+j)

4

Analogamente:

C5 =C (1 + i)5

C6 = C (1+i)6

Finalmente, para n qualquer,

Cn = C ( 1+i)n

Obs.: Nessa fórmula, como em todas as demais da ma-temática financeira, a taxa unitária i e o número de perío-dos n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, se i é taxa anual, n deverá expressar número de anos; se lã taxa semestral. n será número de semestres etc.

EXEMPLOS

1. Calcular o montante do capital de 10.000 unidades monetárias, a 10% a.a., em 3 anos.

C = C(1+i)N

C = 10.000

C = 0,1 (10%a.a.)

n = 3(anos)

C3 = 10.000(1+0,1)3

C3 = 10.000 x 1,13

C3 = 10.000 x 1,331

C3= 13.310

2. Determinar o montante de 3.000 unidades monetárias, a 2% ao mês, no fim de 2 anos.

Cn = C (1 +i)n

C = 3.000

i = 0,02 (2% ao mês)

n = 24 (meses)

C24 = 3.000(1 +0,02)24

= 3.000x 1,0224

O valor de 1,0224

é fornecido por tábua financeira (Tá-bua 1) e é igual a 1,608437.

C24 = 3.000 x 1,608437

C24 = 4.825,31

TÁBUAS FINANCEIRAS

Na aplicação da fórmula do montante deve-se calcular

o valor da potência (1 + j)n. Por isso, foi colocada no fim

deste livro (apêndice) a Tábua financeira 1, que fornece os valores da expressão (1 + i)

n para vários valores de i e n.

Para localizar, na Tábua 1, determinado valor, procura-se na primeira linha a taxa centesimal correspondente a / e, na primeira coluna, o valor de n. É na intersecção da linha dos períodos com a coluna da taxa que ele se encon-tra. Convém recordar aqui que se estiver tomando uma taxa anual, n estará representando o número de anos; se a taxa for trimestral, n será o número de trimestres etc.

EXEMPLOS:

1. Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um ano e 6 meses, então:

(1 +i)n =(1 + 0,02)

18

1,428246

2. Para taxa trimestral de 5% em 2 anos, temos:

(1 +i)n =(1 + 0,05)

8

1,477455

CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS

Na constituição do montante, os juros podem ser calcu-lados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente, se-mestralmente, trimestralmente ou mensalmente.

Geralmente, com referência ao período de capitaliza-ção, a taxa de juros é anual.

EXEMPLOS

1. Juros de 18% á.a. capitalizados semestralmente.

2. Juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente.

3. Juros de 12% a.a.‘capitalizados mensalmente.

Nesses casos, ao calcular o valor da expressão (1 + i)n

emprega-se a taxa proporcional, ou seja: no exemplo 1, a taxa semestral proporcional a 18% a.a. é de 9%; no exem-plo 2 a taxa proporcional é de 5% ao trimestre; e, no e-xemplo 3, a taxa a ser utilizada é de 1% ao mês. Entretan-to, às vezes, usa-se a taxa equivalente, conforme se verá mais à frente.




EXEMPLOS

1. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., no fim de 2 anos, com juros de 24% a.a. capitalizados tri-mestralmente?

Cn = C (1 +i)n

i = 0,06 (6% ao trimestre)

n = 8 (trimestres)

C8 = 500 (1 +0,06)8

(1 + 0,06)8

1,593848

C8 = 500 x 1,593848

C8 = 796.92 u.m.

2. O capital de 120 u.m. foi colocado a juros de 20% a.a capitalizados semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses?

Cn = C (1 +i)n

i = 0,1 (10% ao semestre)

n = 5 (semestres)

C5 = 120 (1 +0,1)5

(1 + 0,1)5

1,610510

C5 = 120 x 1,610510

C5 = 193,26 u.m.

Em meses:

Cn = C (1 +i)n

i = 0,02 (2% ao mês)

n = 20 (meses)

C20 = 3.000 (1 +0,02)20

(1 + 0,02)20

1,485947

C20 = 3.000 x 1,485947

C20 = 4.457,84 u.m.

CÁLCULO DO VALOR DE (1 + i)n NÃO TABELADO

Quando o valor da expressão (1 + i)n não for fornecido

diretamente pela tábua financeira, isto 6, a tábua não tiver a taxa do problema ou n for um número que não conste na

tábua, pode-se achar o valor dessa expressão com auxílio de logaritmos ou fazendo interpolação dos valores tabela-dos. Obviamente, se se dispuser de uma calculadora que faça potenciação, o cálculo será bem simplificado.

Cálculo de (1 +i)n com emprego de logaritmos

Fazendo:

x = (1 +i)n

Log x = log (1 +i)n

Log x = n log(1 +i)

x = antilog [n log (1+i)]

EXEMPLOS

1. Se a taxa é de 5,5% ao trimestre e o prazo de aplicação é de 2 anos, entro:

(1 +i)n =(1 + 0,055)

8

Por hipótese, a tabela não fornece a taxa de 5,5%, po-de-se calcular o valor de (1 + 0,055)

8 com auxílio de lo-

garitmos. Assim:

x = (1 + 0,055)8

log x = log(1 + 0,055)8

log x = 8log 1,055

log x = 8 x 0,0232525

log x = 0,18602

x = antilog 0,18602

x = 1,534687

Portanto, (1 + 0,055)8 = 1,534687 (veja Tábua 1)

2. Admita-se que um capital é colocado por 2 anos e 2 meses a juros de 20% a.a. capitalizados semestralmen-te. Neste problema, a taxa é de 10% ao semestre e n é igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Então:

3

13

0,1)(10,1) (1 n

i) (1 3

1 4

3

13

0,1)(1x

3

13

0,1)log(1 xlog

log1,13

13 xlog

0,4139273

13 xlog




log x = 0,1793683

x = antilog 0,1793683

x = 1,511361

portanto 511361,1 3

1 4

0,1) (1

INTERPOLAÇÃO DE VALORES TABELADOS

Nos dois exemplos anteriores, os valores da expressão (1 + 1)” podem também ser calculados fazendo-se interpo-lação linear dos valores aproximados, fornecidos pela tá-bua financeira.

Para o cálculo do valor de (1 + 0,055)8, procuram-se na

tábua as taxas mais próximas de 5,5%, que são 5% e 6%. Na linha correspondente a 8 períodos, os valores da fun-ção (1 + i)

n, para estas taxas, são 1,477455 e 1,593848,

respectivamente. Estabelecendo uma regra de três calcula-se o valor da função para a taxa de 5,5%.

5% 6%

8 1,477455 1,593848

Para um acréscimo da taxa de 1% (6% — 5%), a fun-ção tem um acréscimo de 0,116393 (1,593848 — 1,477455); então, um acréscimo de 0,5% (5,5% — 5%) corresponde a um acréscimo de x no valor da função. Por-tanto:

1% 0,116393

0,5% x

x

0,116393

0,5

1

x = 0,5 x 0,116393

x = 0,058196

Somando-se esse valor ao da função correspondente à taxa de 5% e 8 períodos, tem-se o valor da expressão (1 + 0,055)

8. Dessa forma:

(1+0,055)8 = 1,535651(1,477455+0,058196)

Entretanto, deve-se observar que os valores de (1 + i)n

obtidos por interpolação linear da taxa serão sempre um pouco maiores que os valores reais, pois estes crescem na forma exponencial e, pela interpolação linear considera-se um segmento de reta entre dois pontos da exponencial.

Podemos observar melhor a superestimação de (1+ i)n,

pela interpolação linear, através da representação gráfica abaixo.

Neste exemplo, verifica-se que o valor calculado para (1 + 0,055)

8 com auxílio de logaritmos, 1,534687 (valor

real), é menor que 1,535651, calculado por interpolação linear. Assim, sempre que o cálculo exigir precisão deve-se evitar a interpolação linear.

No segundo exemplo, onde 3

14n e a taxa é de 10%,

interpolando os valores tabelados, temos:

Acréscimo no n Acréscimo da função

1

0,149510(1,610510 – 1,461000)

3

1

x

x = 3

1 x 0,149510

x = 0,049836

Portanto: 3

14

0,1)(1 = 1,510836

Comparando este valor com aquele obtido com auxílio de logaritmos (1,511361) verifica-se que a interpolação linear subestima o valor real de (1 +i)

n Isto ocorre pois,

como foi visto anteriormente, em 3

1 de período os juros

simples (interpolação linear) são maiores que os juros compostos (exponencial). Este tipo de interpolação não será empregado, pois, nesses casos, o cálculo do mon-tante é feito através do sistema de capitalização mista.

CAPITALIZAÇÃO MISTA

Como vimos, quando n < 1 os juros simples são maio-res que os compostos, por isso, sendo n um número misto, na prática, calcula-se o montante a juros compostos na parte inteira de n e, em seguida, calculam-se os juros sim-ples desse montante na parte fracionária de n. Esse siste-ma de cálculo denomina-se capitalização mista.

EXEMPLO

Determinar o montante de 900 unidades monetárias, a 24% a.a. capitalizados semestralmente, em 2 anos e 2 meses.

Ci = C(1+i)n

i = 0,12(12% ao mestre)




3

14n (semestre)

Pela capitalização mista, calcula-se o montante a juros compostos em 4 penodose, em seguida, calcula-se os juros simples desse montante em 2 meses.

C4= 900 (1+ 0,12)4

(1+ 0,12)4

1,573519

C4= 900 . 1,573519

C4= 1.416,17

Aplicando agora a fórmula do montante a juros simples, Cn = C(l + i n), onde:

C= 1.416,17

i = 0,02(2% ao mês)

n = 2 (meses)

C2 = 1.416,17(1+0,02x2)

C2 = 1.472,81

Portanto, o montante pela capitalização mista é de 1.472,81 unidades monetárias. Esse mesmo resultado é obtido se resolvermos o problema fazendo a interpolação linear para o cálculo do valor de (1 + i)

n. Vejamos:

Cn = C(1+i)n

C = 900

i = 0,12(12% ao mestre)

3

14n (semestre)

C3

14

= 900(1+0,12) 3

14

n 12%

4 1,573519

5 1,762341

1

0,188822(1,762341 – 1,573519)

3

1

x

x = 3

1 x 0,188822

x = 0,062941

C3

14

= 1.472,81

SISTEMA PRICE

Quando um capital é colocado a juros compostos capi-talizados mensalmente a uma taxa anual, convencionou-se chamar esse sistema de capitalização de Price, e as tabu-as financeiras, que fornecem taxas anuais de juros e o número de períodos de capitalização em meses, de tabelas Price.

No apêndice, apresenta-se uma amostragem das tabe-las Price (Tábuas VI a X).

EXEMPLO

1. Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo-netárias, por 2 anos, a 12% a.a. capitalizados mensal-mente.

i = (1 + ik)k – 1

ik = 0,005

k = 12

i = (1 + 0,005)12

– 1

(1 + 0,005)12

1,061678

i = 1,061678 – 1

i = 0,06167 ou 6,167% a.a.

JUROS COMPOSTOS CONTÍNUOS

Os juros compostos são denominados contínuos quan-do o número de capitalizações tende para infinito.

Considere-se o seguinte problema: calcular o montante de 1.000 unidades monetárias, por 3 anos, a 10% a.a. capitalizados:

a) anualmente

b) semestralmente

c) trimestralmente, e

d) mensalmente

1.348,181,3481811000360,00833)1000(13d)C

1.344,891,3448891000120,025)1000(13c)C

1.340,101,340095100060,5)1000(13b)C

1,3311,331000100030,1)1000(13a)C

Verifica-se, através desse problema, que, à medida que aumenta o número de capitalizações. o montante também




aumenta. Quando n tende para infinito, os juros compostos são contínuos.

CÁLCULO DO MONTANTE

O problema de juros compostos contínuos consiste em calcular o limite para o qual tende o montante quando o número de capitalizações tende para infinito.

Pode-se verificar, no exemplo anterior, que o montante não cresce proporcionalmente ao número de capitaliza-ções. Dessa forma, a curva correspondente aos montantes de um certo capital, a uma determinada taxa, em função do número de capitalizações, num tempo constante, tem con-cavidade para baixo, conforme o gráfico seguinte:

Cn é o limite para o qual tende o montante quando n

tende para infinito

Seja k o número de capitalizações em 1 ano, e n o número de anos.

Teremos a fórmula geral do montante:

Cn = C (1+i)n

Substituindo i por k

1:

kn

kCnC )

11(

Dividindo 2 termos da fração por i:

kn

i

kCCn )

11(

Seja k’ =i

k;portanto, k = k’i

ink

k

iCCn

')'

1(

Calculando o limite quando k’ ,

nik

kn ')

'

11(

k'C lim

k'C lim

ni

kn k

'

)'

11(

k' lim

k'C lim

k'C lim '

Sendo Cn e C constantes;

nn C ' k

C lim

C ' k

C lim

A expressão lim(1+i

k)k’

é um dos limites fundamentais

da álgebra e é igual a e = 2,718. Portanto:

K’

Cn=C ein

Obs: O valor da expressão ein

terá de ser calculado

com calculadora eletrônica ou com o auxílio de logaritmos.

EXEMPLO

Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo-netárias, em 3 anos, com juros de 10% a.a. capitalizados continuamente.

Cn = C .e in

C = 1000

e = 2,718

i = 0,1

n = 3

C3 = 1000 x 2,7180,1 x 3

C3 = 1000 x 2,7180,3

Fazendo x = 2,7180,3

e calculando com auxílio de loga-ritmos,

logx = log2,7180,3

logx = 0,3log2,718

logx = 0,3 x 0,432495

logx = 0,13027485

x = antilog 0,13027485

x = 1,34981

C3 = 1,34981

C3 = 1000 x 1,34981

C3 = 1,349,81

Taxa instantânea

A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamen-te é denominada taxa instantânea.

Taxa anual equivalente à taxa instantânea




Seja i a taxa anual e ii a taxa instantânea equivalente. Então, um capital C, em n anos, produzirá o mesmo mon-tante à taxa i e à taxa ii. Os montantes são:

Cn = C (1 + i)n (capitalização anual)

Cn = C . eiin

(capitalização contínua)

C(1+i)n = C x e

ii

1+ i = eii

Dessa igualdade, pode-se deduzir i em função de ii e em função de i. No primeiro caso, temos:

1 iiei

Para deduzir a expressão do valor de ii em função de i aplicam-se logaritmos à igualdade.

)1log(4342495,0

1

)1log(log

1

log)1log(

log)1log(

1

ii

ie

i

eii

ei

ei

i

i

i

i

i

i

i

ii = 2,3028 log (1+i)

EXEMPLO

1. Qual a taxa anual equivalente á taxa instantânea de 10%?

a.a 10,51% ou 0,10551i

11,10551i

1,1051x

0,04342495logx

0,43424950,1logx

80,1log2,71logx

0,12,718x

10,1

2,718i

0,1ii

2,718e

1ieii

2. Qual a taxa de instantânea equivalente a 10% a.a?

%53,90953,0

0413927,03028,2

)1,01log(3028,2

1,0

)1log(3028,2

oui

i

i

i

ii

i

i

i

i

PROBLEMAS RESOVIDOS

1. Calcular os juros do capital de 1000 unidades monetárias, colocado por 4 anos, a 20% a.a. capitalizados semestralmente.

J = Cn - C

Cn = C (1+i)n

J = C (1+i)n – C

J = C[(1+i)n – 1]

i = 0,1 (10% ao semestre)

n = 8 (semestre)

J = 1.000 [(1 + 0,1)8 – 1]

(1 + 0,1)8

2,143588 (Tábua I)

J = 1.000 [2,143588– 1]

J = 1.000 x 1,143588

J = 1.143,59

2. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., a 10% a.a. capitalizados mensalmente, em 2 anos?

Cn = C (1 + i)n

i = 0,00833... (0,833... % ao mês)

n = 24 (meses)

C24 = 500 (1 + 0,00833...)24

(1 + 0,00833...)

24

1,220390 (Tábua VI)

C24 = 500 x 1,220390

C24 = 610,20

3. Um empréstimo de 2000 unidades monetárias deverá ser resgatado no fim de 3 anos com juros de 15% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate?

1212

nn

0,0375)2000(1C

s)(trimestre 12n

trimestre) ao (3,75% 0,0375i

i)C(1C




Interpolados os valores da Tábua I, correspondente a

(1+i)n para3,5% e 4%, temos:

n

3,5%

4%

12 1,511069 1,601032

0,5%

0,089963

0,25%

x

5,0

x0,0899630,25 x

Portanto:

(1+0,0375)12

= 1,511069+0,044982 = 1,556051

C12 = 2000 x 1,556051

C12 = 3.122,10

4. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês.

Taxa nominal = 2% x 12 = 24% a.a.

Taxa efetiva:

i =(1 +ík)k -1

ik = 0,02

k = 12

i = (1+0,02)12

-1

i = 1,268242-1

i = 0,268242 ou 26,824%a.a.

5. Com relação ao ano-base de 1964,o índice de preços no ano de 1966 foi de 149, passando para 212 em 1968. Considerando os Índices referidos ao mês de dezembro, calcular a taxa mensal média de inflação nesse período de 24 meses.

Log(1+i) = log Pn- log P

n

Pn = 212

P =149

n = 24

log(1+i) = log212 – log149

24

log(1+i) = 2,32633586 – 2,17318627

24

6. O capital de 1.000 unidades monetárias produziu o montante de 1.70P unidades monetárias em 1 ano e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros?

Cn = C (1+i)n

Cn = 1700

C = 1000

n = 7(trimestralmente)

1700 = 1000 (1+i)7

(1+i)7 = 1700

1000

(1+i)7 =1,7

Implementando:

n 7% 8%

7 1,605781 1,713824

O valor de (1 + i)7 = 1,7 está na tábua entre as taxas de

7% e 8%.

0,108043 1%

0,094219 x

x = 0,094219

0,108043

x = 0,87%

x = 7,87% ao trimestre

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

Def.: Dois capitais são ditos diferidos se têm venci-mentos em datas diferentes.

Def.: Dois ou mais capitais são ditos equivalentes se, em certa época, seus valores atuais forem iguais.

Problemas de equivalência de capitais diferidos têm uma importância muito grande pois permitem a substituição de títulos que vencem em datas diferentes.

Mas, para resolver problemas assim, devemos:

1º) Estabelecer uma data de comparação. No caso de juros simples, esta deve ser a data em que a dívida foi contraída (data zero).

2º) Calcular o Valor Atual de todos os títulos envolvi-dos no problema na data de comparação.




3º) Comparar os valores calculados. Se o resultado for uma igualdade, esses capitais diferidos são equivalentes podendo, portanto, ser trocados.

PROBLEMAS PROPOSTOS

01. Calcular o montante de 1.000 u.m. no fim de 3 anos, a 16% a.a. capitalizados semestralmente.

02. Qual o juro de 2.000 u.m. no fim de 2 anos e meio, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente? .

03. O capital de 1.500 u.m. foi colocado a 12% a.a. durante 4 anos. Qual o tante?

04. O capital de 1.000 u.m. produziu o montante de 1.695,881 u.m. em 3 anos. Qual a taxa trimestral do juro?

05. Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 18% a.a. capitalizados trimestralmente?

06. Determinar o montante de 1.200 u.m. no fim de 4 anos, a 12% a.a. capitalizados mensalmente.

07. Qual a taxa anual de juros que, capitalizados semestralmente, faz com que o capital de 2.500 u.m. produza 2.000 u.m. de juros em 3 anos e 6 meses?

08 Durante quanto tempo 2.500 u.m. produzem 1.484,621 u.m. de juros, a 24% a.a. capitalizados trimestralmente?

09 O capital de 4.000 u.m. é colocado a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e o de 7.000 u.m. é colocado a 10% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de quanto tempo os montantes serão iguais?

10 Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizados trimestral-mente e o restante, a 20% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de 2 anos e 6 ‗meses retirou o montante de 2.061,877 u.m. Qual foi o capital aplicado?

11 Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestral-mente. Qual a taxa efetiva?

12. Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a.a.?

13. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente?

14. Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a.a.?

15. O capital de 1.000 u.m. foi aplicado durante 1 ano e 3 meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao mês os juros seriam maiores em 69,58 7 u.m. Qual a taxa de aplicação?

Respostas:

01- 1.586,874 u.m.

02- 1.257,79 u.m.

03- 2.360,279 u.m.

09- 5 anos, 8 meses e 23 dias.

10- 1.323,07 u.m.

11- 26,24%a.a.

04- 4,5% ao trimestre.

05- 3 anos, 11 meses e 6 dias.

06- 1.934,671 u.m.

07- 17,52% a.a.

08- 2 anos.

12- 5,11% ao trimestre.

13- 19,56% a.a.

14- 1,532% ao mês.

15- 5% ao trimestre.

EXERCÍCIO RESOVIDOS – MATEMÁTICA

01. Quanto é 13% de 200?

Solução:

Taxa = 13% = 100

13,0

Principal = 200

Porcentagem = taxa principal

Porcentagem = 0,13 200 = 26

Resposta: 13% de 200 é 26.

02. Calcular 250% de 32.

Solução:

Taxa = 250% =100

250 = 2,5

Principal = 32


Porcentagem = 2,5 32 = 80

Resposta: 250% de 32 é 80.

03. Obter 3,5% de $4 500,00.

Solução:

Taxa = 3,5% = 100

5,3 = 0,035

Principal 4 500


Porcentagem = 0,035 4 500 = 157,5

Resposta: 3,5% de $4 500,00 é $ 157,50.

04. Qual é o principal que à taxa de 20% resulta uma porcentagem de 36?

Solução




Taxa = 100

20 = 0,2

Porcentagem = 36


36 = 0,2 principal

Principal =2,0

36 = 180

Resposta: O principal é 180.

05. Qual é a taxa que, aplicada num capital de $720 000,00, resulta uma porcentagem de $21 600,00?

Solução

Principal = 720 000

Porcentagem = 21 600


21 600 = taxa 720 000

Taxa =720000

21600 21600 = 0,3 =

100

3 = 3%

Resposta: A taxa é de 3%.

06. Por quanto devo vender um carro que comprei por $ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?

Solução

Preço de venda = (1 + 0,05) • 40000

Preço de venda = 1,05 • 40000

Preço de venda = 42 000

Resposta: Devo vender por $ 42 000,00.

07. A quanto devo vender um objeto que comprei por $ 1900,00 para lucrar 5% sobre a venda?

Solução:

Preço de venda: )05,01(

1900

Preço de venda = 95,0

1900

Resposta: O preço de venda será de $ 2000,00.

08. Uma fatura de $ 5000,00 sofrerá descontos suces-sivos de 5% e mais 8%. Por quanto será liquidada?

Solução:

Valor líquido = 5000 • (1 - 0,05) • (1 - 0,08)

Valor líquido 5 000 • 0,95 • 0,92

Valor líquido 5 000 • 0,8740

Valor Líquido 4 370

Resposta: A fatura será liquidada por $ 4370,00.

09. Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o pre-ço de venda, ou seja, $200,00. Qual foi o preço de custo?

Solução:

Se foram ganhos 5% sobre a venda, podemos dizer que o custo corresponde a 95%, pois:

95% + 5% = 100%

custo lucro venda

Numa regra de três, teremos:

5%

200

95%

x

Então:x =5

20095 =3 800

Resposta: O objeto foi comprado por $3 800,00.

10. Certo comerciante vendeu mercadorias compradas por $1800,00 com o lucro de 10% sobre a venda. Quanto ganhou?

Solução:

Já que o lucro foi de 10% sobre a venda, o preço de custo corresponde a 90%. pois 90% + 10% = 100%.

Numa regra de três, teremos:

90%

1 800

10%

x

x = 90

1800 10= 200

Resposta: O comerciante ganhou $ 200,00 na transa-ção.

11. Qual é o juro simples que um capital de $ 30000,00 produz, quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (lê-se ―ao mês‖)?

Solução:

J = C • i • n J = 30000 • 0,035 • 5

J = 5 • 250

Resposta: O juro é de $ 5250,00.




12. Qual é o juro simples que um capital de $ 2500,00 rende quando aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%?

Solução:

J = C • i • n • J = 2500 • 0,02 • 12

J = 600

Resposta: O juro é de $ 600,00.

13. Um capital de $ 10000,00, investido a juros simples de 63% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data do investimento. Qual foi o ju-ro?

Solução:

Na resolução desse problema é importante tomar cui-dado com as unidades de tempo. Assim:

3 meses e 10 dias = 100 dias

J = C • i • n • J = 10000 • 0,63 •360

100

Observe que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o número de dias por 360, que é o ano comercial.

J = 10000 • 0,63 • 360

J = 1750

Resposta: O juro é de $1750,00.

O mesmo efeito seria obtido se fizéssemos:

J = 10000 • 0,63 • 12

3

13

Veja que, nesse caso, utilizamos o tempo em meses,

pois 3 meses e 10 dias = 3

13 meses.

14. Qual é a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de $ 5000,00 para que este em quatro meses e meio, renda $ 720,00?

Solução:

J = C • i • n 720 = 5000 • i • 4,5

5,4•5000

720 = i

Resposta: A taxa deverá ser de 3,2% ao mês.

15. Que capital inicial, em cinqüenta dias, a uma taxa simples de 0,5% a.d. (lê-se ―ao dia‖) rende $ 2000,00?

Solução

J = C • i • n 2000 = C • 0,005 • 50

C50•005,0

2000

C = 8000

Resposta: O capital inicial é de $ 8 000,00.

16. Qual taxa mensal de juros simples deve incidir num capital para que ele duplique de valor em um ano?

Solução:

Neste caso, o juro é igual ao próprio capital.

J = C • i • n C = C • i • 12

...0833,012

1ii

12•C

C

A taxa, portanto, será de 8,33% ao mês.

Esta mesma taxa, se calculada anualmente, se tornaria, evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portan-to:

8,33% a.m. 100% a.a.

17. Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 29800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses?

Solução:

Como o capital aplicado é de $ 29 800,00 precisamos saber os juros.

J = C • i • n 29800 • 0,12 • 6

J = 21 456

Como os juros são de $ 21456,00, o montante é de:

$29 800,00 + $21 456,00 = $51 256,00

Poderíamos também resolver esse problema, usando a fórmula:

M = C • (1+ i • n)

Assim, temos:

M = 29 800 (1 + 0,12 • 6)

M = 29800 • 1,72

Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse problema, o montante será de $ 51 256,00.

18. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% a.a. e retirei, depois de 4 anos, $ 928000,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples?

Solução:




Temos neste problema:

M = 928000, i = 1,2 e n = 4

Como J = C • i • n, então:

J = C • 1,2 • 4

J = 4,8C

Mas, como M = C + J, então:

928 000 C + 4,8C

928 000 = 5,8C

8,5

928000C

C = 160 000

O capital investido foi, portanto, de $ 160 000,00.

Para achar os juros, basta subtrair o montante do capi-tal:

M = C + J J = M - C

J = 928000 - 160000

J = 768 000

Poderíamos também resolver o problema usando as

fórmulas M = C (1 + i • n) ou 4•2,11

MC

Nessas fórmulas, substituindo as letras pelos valores, temos:

160000C

8,5

928000C

4•2,11

928000C

Resposta: De qualquer maneira, os juros serão de $768

000,00, pois M = C + J J = M - C = 928 000 - 160 000.

19. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimen-to?

Solução

N = 750, n = 2 meses e 10 dias = 70dias

i = 0,05

D = N • 1 • n D = 750 • 50,8770•30

05,0

Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50.

20. Um título no valor de $ 1200, 00, pago 5 meses an-tes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a taxa mensal usada?

Solução:

N = 1200 n = 5 meses

L = 900

Vamos resolver este problema de dois modos.

Primeiro modo: usando o cálculo de desconto

D = N • j • n

D = N - L = 1200 - 900 = 300

300 = 1200 • 5.

i = 05,05•1200

300

A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês.

Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido

L = N (1 - in)

900 000 = 1200000 • (1 – i • 5)

5%a.m. ou 05,06000

300i

1200

300i5

1200

9001i5i51

1200

900

Resposta: A taxa mensal foi de 5%.

21. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4400,00, cal-culado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o va-lor nominal da promissória?

Solução

D = 4400 i = 0,06

Consultando a tabela 1, obtemos a informação:




Resposta: O valor nominal da promissória era de $40000,00.

JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO

Por definição, juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial, ou principal, sendo diretamente pro-porcional a esse capital e ao tempo em que este é aplica-do. Pelo regime de capitalização simples o fator de propor-cionalidade é a taxa de juros por período, i.

JURO SIMPLES ORDINÁRIO

Como o período financeiro mais comum é o ano, e pelo costume vigente, as operações com prazos superiores a um ano são, na maior parte das vezes, avaliadas pelo regime de capitalização composta, resulta que a fórmula do juro simples:

J = C . i . n (1)

Onde C = capital inicial ou principal;

i = taxa de juros do período e

n = prazo de aplicação (é a mais utilizada para períodos n menores do que um ano)

Nessa hipótese, deve-se observar duas normas financeiras comuns:

O ANO CIVIL - considera-se o ano civil como base de cálculo, isto é, o ano com 365 dias ou 366 dias, conforme seja bissexto ou não. Desse modo, um dia eqüivale, conforme o caso, à fração 1/365 ou 1/366 do ano.

O ANO COMERCIAL - considera-se o ano comercial como base de cálculo, isto é, o ano de 360 dias, subdividido em 12 meses de 30 dias cada. Assim, um dia equivale à fração 1/360 do ano e um mês equivale à fração 1/ 12 do ano.

JURO SIMPLES EXATO

Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, deve-se contar o tempo em seu número exato de dias.

Exemplo: O juro de um capital aplicado de 17.3.19XI a 25.6.19XI, é calculado sobre 100 dias, número exato de dias decorridos entre as duas datas.

Sendo n o número exato de dias durante os quais um ca-pital C é colocado a juros simples, à taxa i, obtém-se o juro calculando n/365, na fórmula (1) : J = C . i . n/365 ou J = C . i . n/366.

O juro assim calculado, é chamado de juro simples exato.

JURO SIMPLES COMERCIAL

Adotando-se a convenção do ano comercial, deve-se computar o prazo de acordo com a mesma convenção, isto e, considerando-se cada mês como tendo 30 dias. Assim, por exemplo, de 17.3.Xl a 25.6.Xl deve-se contar 98 dias, da

seguinte maneira:

De 17.3 a 17.6 ...... 90 dias (3 meses)

De 17.6 a 25.6 ...... 8 dias

98 dias

Representando por n o número de dias de corridos entre as duas datas e, calculando pelo processo acima temos que, um capital C aplicado à taxa i durante esse prazo, é obtido calculando n/360 na fórmula (1), resultando em J = C . i . n/360 (2)

Denominaremos o juro, assim calculado, de juro simples ordinário ou usual.

Como há tabelas que fornecem diretamente o número e-xato de dias decorridos entre duas datas, na prática bancária, onde as operações, raramente, são realiza das a prazo supe-rior a 120 dias, usa-se, freqüentemente, a fórmula (2), toman-do-se, contudo, para n, o número exato de dias.

Fórmulas Derivadas

Considerando a fórmula básica (1) para o cálculo do juro em regime simples de capitalização, podemos, por simples transformação algébrica, encontrar o quarto termo ou valor da fórmula, desde que sejam dados os outros três, assim:

a) Para calcular o capital inicial: C = J / i . n

b) Para calcular a taxa de juros: i = J/C . n

c) Para calcular o prazo: n = J/C . i

OBSERVAÇÕES:

Supõe-se que o juro e o principal são devidos apenas no fim do prazo de aplicação, a não ser que haja mudança de convenção.

O prazo de aplicação (n) deve estar expresso na mesma unidade de tempo, na fórmula, a que se refere a taxa (i) con-siderada.

Exemplo 1 - Caso uma aplicação seja por 2 anos mas, a taxa de juros seja expressa em semestre, devemos converter o prazo para semestres.

2. Taxa Percentual e Taxa Unitária

FORMA PERCENTUAL - Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. A fórmula (1) tomaria, então, as seguintes formas:

J = C . i/100.n ou

J = C/100 . i . n ou

J = C . i . n/100 ou

o que é o mesmo que:

J = C . i . n/100 (3)

a partir da qual chega-se à expressão do montante ou va-




lor futuro, como soma do capital e juros:

M = C + C . i . n/100

Exemplo 1 - Calcular o juro que rende um capital de $10.000 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% a.a.

Resolução: Utilizando a fórmula (3), temos:

Jx x

10 000 10 1

100000

.$1.

b) FORMA UNITÀRIA

Agora a taxa refere-se à unidade do capital, isto é, calcula-se o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo a uma dada taxa.

Exemplo 2 - Se tivermos uma taxa de 0,24% a.a., então a aplicação de $1,00 por ano, gera um juro de $0,24.

Exemplo 3 - No exemplo 1, com a taxa na forma unitária (0,10% a.a.).

Resolução: J = 10.000 x 0,10 x 1 =

J = $1.000,00

Pode-se observar que para transformar a forma percentual em unitária, basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 100. E, o inverso, transformar a forma unitária em percen-tual, basta apenas multiplicar a forma unitária por 100.

OBSERVAÇÃO:

A fim de diferenciar, simbolicamente, a taxa de juro per-centual da taxa de juro decimal ou unitária, podemos conven-cionar que:

A notação r signifique a taxa de juros efetiva em cada pe-ríodo de capitalização, dada em porcentagem, e sempre men-cionando a unidade de tempo considerada. Exemplo: r = 15% ao ano.

A notação i signifique a taxa de juros efetiva em cada perí-odo, dada em fração decimal. Exemplo:

i = r/100 = 0,15 a.a.

A taxa i será usada no desenvolvimento de todas as fórmulas, enquanto, r será usada na fixação os juros.

3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Por definição, a taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere, ou seja, é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal, normalmente, é dada em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser diários, mensais, trimestrais, ou semestrais.

Exemplo 1 - São exemplos de taxas nominais:

a) 6% a.a. capitalizados trimestralmente;

b) 30% a.a. capitalizados mensalmente;

c) 18% a.a. capitalizados semestralmente.

No mercado financeiro, encontramos a taxa nominal sen-do muito utilizada como referência, mas não sendo usada nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva. Esta, por estar embutida na taxa nominal, é a taxa que realmente interessa, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização.

Exemplo 2 - Aproveitando os mesmos dados do Exemplo 1 vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais:

6% a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de:

6% a.a./4 trimestres =1,5% a.t.

30% a.a., capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de:

30% a.a./12 meses = 2,5 a.m.

18% a.a., capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 18% a.a./2 semestres = 9% a.s.

Uma vez encontradas as taxas efetivas, devemos aban-donar as taxas nominais e efetuar todos os cálculos com as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1,5% a.t., 2,5% a.m. e 9% a.s.

Devemos ter em mente que a obtenção da taxa efetiva contida na taxa nominal é feita no regime de juros simples, e que, neste regime, as taxas nominais serão sempre taxas efetivas. Ainda, por convenção, a taxa efetiva, que é aquela a ser considerada na aplicação de fórmulas, correspondente a uma dada taxa nominal é a taxa que, relativa ao período de capitalização mencionado, lhe seja proporcional.

Concluíndo, podemos definir taxa efetiva ou real como sendo aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitaliza-ção. Considerando o exemplo 2 , dizemos 1,5% a,t., simples-mente, ao invés de dizermos, 1,5% a.t., capitalizados trimes-traImente .

4. Taxas Proporcionais

Pelo regime de juros simples, duas ou mais taxas de juros são consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado, ao final daquele período. Donde se conclui que, o conceito de taxas proporcionais, está estritamente vinculado ao regime de juros simples.

Exemplo 1- Calcular o montante acumulado (VF), no final de três anos, considerando um capital inicial (VP) de $1.000,00, pelo regime de juros simples, para cada uma das seguintes taxas de juros: a) 36% ano ano; b) 18% ao semestre; c) 9% ao trimestre; d) 3% ao mês; e, e ) 0,1% ao dia.

Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n)

a) VP= $1.000,00; ia = 0,36; n= 3 anos; VF = ?

VF= 1.000 (1 + 0,36 x 3) = 1.000(1 + 1,08) =




VF= 1.000 (2,08) = 2.080

b) VP= $1.000; is= 0,18; n= 6 semestres; VF=

VF= 1.000(1 + 0,18 x 6) = 1.000(1 + 1,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

c) VP= $1.000,00; it= 0,09; n= 12 trimestres; VF = ?

VF= 1.000(1 + 0,09 x 12) = 1.000(1+1,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

d) VP= $1.000,00; im= 0,03; n= 36 meses; VF=?

VF= 1.000(1 + 0,03 x 36) = 1.000(1+1,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

e) VP= $1.000,00;id= 0,001; n= 1.080 dias

VF= 1.000(1 + 0,001 x 1.080) =

VF= 1.000(1 + 1,08) - 1.000(2,08) = 2.080

Podemos concluir que, as taxas 36% a.a.;18%a.s.; 9% a.t.; 3% a.m.; e, 0,1% a.d., são proporcionais, porque aplica-das sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total, resultaram em um mesmo montante acumulado.

Se considerarmos o ano comercial, ou seja, o ano com 360 dias, as fórmulas, a seguir, conduzem ao cálculo dessas taxas proporcionais:

i i i i ia s t m d 2 4 12 360

5. Taxas Equivalentes

Pelo regime de juros simples, duas taxas são considera-das equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, ambas gerarem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo.

Exemplo 1 - Seja um capital inicial de $20.000,00 que pode ser aplicado, alternativamente, à taxa de 3% a.m. ou de 36% a.a.

Considerando um prazo de aplicação de 3 anos, certificar se as taxas são equivalentes.

Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n), temos:

a) VP= $ 20 .000; ia = 0,36 ao ano; n= 3 anos;

VF = ?

VF= 20.000(1 + 0,36 x 3) = 20.000(2,08) =

VF= 41.600

b) VP= $20.000,00; im= 0,03 ao mês; n= 36 meses; VF = ?

VF= 20.000(1 + 0,03 x 36) = 20.000(2,08) =

VF= 41.600

Através desse exemplo, certificamos que, o montante acumulado (VF) é igual nas duas hipóteses e, dessa maneira, constatamos que a taxa de 3% a.m. é equivalente à taxa de 36% a.a.

Podemos, então, concluir que, pelo regime de juros sim-ples, as taxas proporcionais de juros são igualmente equiva-lentes, e que tanto faz, falarmos que duas taxas de juros são proporcionais ou são equivalentes.

6. Prazo, Taxa e Capital Médios

Quando os prazos de diversos capitais não são os mes-mos e as taxas de juros diferem entre si, recorremos ao expe-diente de calcular a média para cada caso. Vamos utilizar exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de expor os conceitos:

PRAZO MÉDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS CAPITAIS

CASO 1 - TAXAS IGUAIS

Pode-se determinar o prazo médio de vencimento de di-versos capitais empregados a tempos diferentes. O critério é considerar os capitais como pesos. A fórmula será, pois, cha-mando n1, n2, n3 :. os tempos dados, supostas as taxas iguais:

Prazo médio (PMe) = C n C n C n

C C C

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

Exemplo: O Sr. Elesbão deve a um terceiro, os seguintes capitais a 10% a.a.; $2.000 a 45dias; $5.000 a 60 dias e $1.000 a 30 dias. Quando poderá pagar tudo de uma só vez, de modo que desta unificação de vencimentos não advenha prejuízo nem para o devedor nem para o credor?

Resolução:

Aplicando a fórmula acima, temos:

PMe

x x x

2 000 45 5 000 60 1000 30

2 000 5 000 1000

. . .

. . .

PMe 420 000

8 00052 5

.

., dias

Ao fim deste prazo, a contar da data da operação, pode ser feito o pagamento integral dos capitais devidos, disso não resultando, prejuízo algum, nem para o devedor nem para o credor.




CASO 2 - TAXAS DIFERENTES

Quando isto acontece, o critério a adotar-se é o mesmo do caso dos, tempos diferentes para a taxa média, escrevendo-se

PMeC i n C i n C i n

C i C i C i

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

. . .

. . .

funcionando agora, como pesos, os produtos dos capitais pelas respectivas taxas.

Exemplo: Calcular o prazo médio de vencimento, para pagamento de uma só vez dos seguintes capitais: $ 20.000 por 6 meses a 6% a.a. e $ 50.000 por 4 meses a 12% a.a.

Resolução: utilizando a fórmula acima, temos:

PMe

20 000 66

1250 000 12

4

12

20 000 6 50 000 12

. .

. .

PMe 260 000

720 0000 36

.

., do ano ou 4 meses e 9

dias.

OBSERVAÇÃO:

Quando os capitais forem iguais, deve-se tomar, como pesos, as taxas dadas, vindo pois:

PMei n i n i n

i i i

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS

CASO 1 - TAXA ÚNICA

Quando vários capitais são empregados em tempos dife-rentes e todos a uma só taxa, o total dos juros produzidos é dado, a partir da fórmula: J = C . i . n, pela soma;

Juros Totais = C1in1 + C2in2 + C3in3 + ... na qual i é a taxa única, C1 , C2, C3 . . . os capitais dados e n1, n2, n3 ... os tempos correspondentes.

Exemplo: A Sra. Pancrácia da Silva deve os seguintes ca-pitais, a 12% a.a.; $1.500 em 30 d; $5.000 em 90 d; $2.400 em 60 d. Calcular o total dos juros devidos.

Resolução:

Exprimindo-se os tempos em frações do ano comercial, tem-se, de acordo com a fórmula acima:

JT = 0,12[(1.500x30/360)+(5.000x90/360)+ (2.400x60/360)]

JT = $ 213,00

c) TAXA MÉDIA

É a operação que tem por objetivo determinar uma taxa de

juros capaz de substituir várias outras relativas a capitais empregados. É uma aplicação da média ponderada.

CASO 1 - TEMPOS IGUAIS

Para a dedução da fórmula, consideremos os capitais C1, C2, C3, ...colocados respectivamente, às taxas i1, i2, i3, ...anuais e todos pelo mesmo prazo. Tomando-se os capitas como pesos, pode-se escrever:

Taxa Média = TMeC i C i C i

C C C

11 2 2 3 3

1 2 3

...

...

Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: $1.500 a 10% a.a.; e, $5.000 a 12% a.a. Calcular a taxa mé-dia de juros anuais.

Resolução:

Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais, obtém-se:

TMe

x x

1500 010 5 000 012

1500 5 0000115

. , . ,

. .,

ou seja, na base percentual, 11,5%

OBSERVAÇÃO: Se os capitais fossem iguais, a solução do problema recairia sobre o princípio da média aritmética simples, bastando que se calculasse a média das taxas.

CASO 2 - TEMPOS DIFERENTES

O método a ser adotado é o da média ponderada, porém, funcionando como pesos, os produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Temos assim:

TMeC i n C i n C i n

C n C n C n

11 1 2 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

Exemplo: Sinfrônio e sua noiva contraíram as seguintes dívidas para poderem realizar o casamento deles: $ 2.000 a 12% a.a. por 2 meses;

$ 5.000 a 8% a.a. por 3 meses; e,

$10.000 a 10% a.a. por 1 mês.

Calcular a taxa média anual.

Resolução:

Utilizando a fórmula anterior, temos:

Tme

x x x x x x

x x x

2 000 0122

125 000 0 08

3

1210 000 01

1

12

2 0002

125 000

3

1210 000

1

12

. , . , . ,

. . .

TMe 223 33

2 416 660 092

,

. ,, ou 9,2 a.a.

7. Equivalência de Capitais




A necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras, é muito frequente. Às vezes, precisamos substituir um título por outro ou um título por vários. Podemos, também, ter vários títulos que precisamos substituir por um único. Tais situações dizem respeito, geralmente, à equivalência de valores distintos relacionadas com datas distintas.

Dois capitais são equivalentes numa certa época, se, nes-sa época seus valores presentes são iguais. O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando existe a substituição de um título por outro(s), com data(s) diferente ( s ) .

Seja VN o valor nominal de um título para n dias. O pro-blema consiste em encontrar um valor VN' de um outro título, equivalente ao primeiro, com vencimento para n' dias.

DVN n

Obs.: VN = VF = valor do Resgate do

Título

Seja VP o valor presente do 1.º título e VP' o do 2.º; temos:

VP VFVF n

e VP VF

VF n' '

' '

Como VP = VP', vem:

VFVF n

VFVF n

'

' '

nΔVFn'ΔVF'nVFΔVF

nΔ

nΔVFVF'n'ΔVF'

Exemplo 1 - Um Comerciante deseja trocar um título de $10.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento de 5 meses. Considerando a taxa de juros contratada de 3% a.m. para esta transação, calcular o valor nominal do novo titulo.

Resolução:

VF = 10.000; n = 90 dias; n'= 150 dias;

36 000

361000

..

Utilizando a fórmula anterior, temos:

VF'

. .

.$10. ,

10 000 1000 90

1000 150705 80

O valor nominal do 2.º título ($10.705,80) é equivalente ao valor nominal do 1.º ($10.000).

8. Montante

O montante composto é o resultado que se obtém ao incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. Se se dispõe de um capital C e aplica-se em um banco e

deseja-se saber o montante M do qual se disporá ao final de um período n, basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. Assim:

M = C + J, porém J = C . i . t, quando t = 1,

J = C . i, assim M = C + C . i que fatorando:

M = C (1 + i)

Como pode-se ver, o montante de um capital ao final de um período se obtém multiplicando este pelo fator ( 1 + i ) . Desta maneira, ao final do segundo período, temos:

M = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C ( 1 + i )2

Ao final do terceiro período, temos:

M = C ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C ( 1 + i )

3

e assim sucessivamente. Esta sucessão de montantes forma uma progressão geométrica cujo n-ésimo termo é igual a:

M = C ( 1 + i ) n

Esta equação é conhecida como a fórmula do montante pelo regime de juros compostos.

Exemplo 1 - Um investidor aplica a prazo fixo, em um banco, a quantia de $500.000,00 à taxa de 48,0% a.a. capitalizável mensalmente. Qual será o montante acumulado em 2 anos?

Resolução: M = C ( 1 + i ) n

Como já observamos, o período de cálculo deve ser o mesmo para i e para n. Assim, para calcular a taxa de juros mensal, divide-se a taxa anual entre a frequência de conversão:

i = taxa de juros anual

frequencia de conversao =

18

12 = 0,04 ou i = 4,0 % a.m.

Para determinar n, multiplica-se o lapso em anos pela frequência de conversão:

n = 2 (12) = 24 assim M = 500.000 ( 1 + 0,04 )24

ou M = 500.000 ( FVFPU )

Fator de Valor Futuro de Pagamento Único (FVFPU )

FVFPU = (1 + 0,04)24

Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem quatro alternativas :

Utilizar papel e lápis e realizar a operação 24 vezes.

Resolver a equação utilizando logaritmos.

Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de finanças.

Empregar calculadoras financeiras. Este é o meio mais prático.

FVFPU = (1, 04)24

= 2,5633




M = 500.000 ( 2,5633 ) = 1.281.650

Em dois anos, a aplicação de $500.000 transformar-se-á em um montante de $1.281.650,00 pela geração de um juro composto de $781.650,00.

Exemplo 2 - Um indivíduo obtém um empréstimo bancário de $1.500.000 a ser pago dentro de um ano e com juros de 52,0% conversível trimestralmente. Qual é o montante que deverá ser liquidado?

Resolução:

Primeiramente, determina-se a taxa de juros por período de conversão: 1 = .54/2 = .13

n = 12 / 3 = 4

M = C ( 1 + i )n = 1.500.000 ( 1,13 )

4 =

M = 1.500.000 ( 1,6305 ) = 2.445.750

A quantia a ser liquidada será de 52.445.750

8. Valor Atual, Valor Presente ou Principal

O valor atual, presente ou principal de um pagamento simples, ou único, é o valor de um mon tante a ser pago ou recebido daqui a n anos, descontado a uma taxa que determine o seu valor hoje, no momento zero.

Para calcula-lo, vamos utilizar a fórmula do montante ou valor futuro:

M = C ( 1 + i ) n

Como C indica o capital no momento zero, temos:

=

ni + 1 M = n

i + 1

M = C

FVAPU) ( M = n

i + 1

1 M

FVAPU = Fator de Valor Atual de Pagamento Único

Generalizando, podemos dizer que conhecendo 3 das 4 variáveis envolvidas: M, C, n, i, podemos calcular a quarta.

Exemplo 1 – Quanto se deve depositar em um banco se desejar obter um montante de $ 5.000.00 dentro de 3 anos a uma taxa de juros de 20,0% a.a., capitalizável semestralmente?

Resolução:

Pela fórmula: M = C ( 1 + i ) n

, temos: M = 5.000.000; i = 10.0% a.s.; n = 6 semestres

Calculando o FVAPU = 1/(1,10)6 = 1 / 1,7716

C = 5.000.000 / (1,10)6 =

5.000.000 / 1,7716 = C = 2.822.307,52

Deve-se depositar $2.822,307,52

Exemplo 2 - José Elesbão deseja adquirir uma casa pelo valor de $15.000.000,00. O vendedor pediu-lhe 50,0% de entrada e 50,0% em um ano e meio, quando do término da construção da casa e entrega do imóvel. Quanto Elesbão deve depositar num banco hoje para poder garantir a liquidação de sua dívida, se a taxa de juros vigente é de 7,0% a.m.?

Resolução:

José Elesbão paga neste momento $7.500.000,00 (50.0% na operação e, deve pagar outro tanto daqui a 18 meses).

Para calcular a quantidade de dinheiro que deve depositar hoje, vamos a fórmula do valor atual :

M = C ( 1 + i ) n

=

18 1,07

1 7.500.000

372.218.979, = 3,3799

1 7.500.000

A fim de garantir o pagamento de sua dívida, Elesbão deve depositar $2.218.979,37 já para ter os $7.500.000,00 restantes daqui a um ano e meio.

Como se pode ver nestes exemplos, C é o valor presente, atual ou principal de M. Isto é, pode-se considerar que o capital C e o montante M são dois valores equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um período determinado n.

Exemplo 3 - A Cia de Modas Messeder, planeja realizar um investimento de $2.000.000,00 para produzir um artigo de moda do qual espera uma receita total de $5.000.000 dentro de dois anos. Considerando uma inflação média anual de 50,0%, e que os juros real i, seja igual a 5.0% a.a., convém à C.M.M, investir?

Resolução:

Comparam-se os $2.000.000,00 que se devem investir no momento zero com $5.000.000,00 que se espera receber em 2 anos. Para fazer essa comparação, é necessário que ambas as quantidades de dinheiro sejam equivalentes.

Em primeiro lugar, devemos calcular a taxa nominal de juros: i = taxa nominal; r = taxa real de juros; d = taxa de inflação.

i = ( 1 + r ) ( i + d ) - 1

i = ( 1,05 ) ( 1,50 ) - 1 = 0,575 ou 57,5% a.a.

C = M

1

1,575 = 5.000.000

1

2,4806 =

2

C = 2.015.641,38

Conforme apuramos, $2.015.641,38 é maior que $2.000.000,00. Portanto, a C.M.M, deve investir, por que




além de descontar a inflação de 50,0% a.a., a empresa será remunerada à taxa de 5,0% a.a., que é a taxa de mercado e, ainda vão sobrar $ 15.641,38

Exemplo 4 - Uma companhia de mineração descobriu uma jazida de manganês e deve decidir sobre a conveniência ou não de sua exploração. A fim de poder beneficiar o mineral, é necessário realizar uma inversão de $350.000.000,00 Seus analistas financeiros estimam que a jazida tem minério suficiente para 3 anos de exploração e, de acordo com os preços vigentes do metal, as entradas de caixa seriam os seguintes:

Ano 1 = $100.000.000,00;

Ano 2 = $200.000.000,00;

Ano 3 = $300.000.000,00;

Estimando que a taxa de inflação, em média, seja de 30.0% a.a. e que a taxa de juros real desejada pela empresa seja de 10,0% a.a., deve a companhia aprovar o projeto?

Resolução:

C = $350.000.000,00

Entradas de Caixa = Ecx1 = $100.000.000,00

= Ecx2 = $200.000.000,00

= Ecx3 = $300.000.000,00

d = 30,0% a. a. ; r =10,0% a.a.; i = ?

i = (1 + d) (1 + r) - 1 = (1,3) (1,1) - 1 =

i = 1,43 - 1 = 0,43 = 43,0% a.a.

Valor Presente das Entradas de Caixa = VPECx

VPECx =

ECx

1 + i =

200.000.000

1,43 = 97.804.294,*2

2n 2

VPECx =

ECx

1 + i

= 100.000.000

1,43

= 69.930.070,*11

n 1

VPECx

n3 3 =

ECx

1 + i

= 300.000.000

1,43

= 102.591.916 *2

* (centavos arredondados)

VPECx = somatório das ECx descontadas =

VPECx1 + VPECx2 + VPECx3

VPECx = 69.930.070 + 97.804.294, + 102.591.916, =

VPECx = 270.326.280,

Observamos que, o total do valor presente das entradas de caixa ($270.326.280) é menor que o

investimento inicial necessário para sua exploração ($350.000.000,). Portanto, a companhia não deve explorar a jazida, a menos que o preço do metal se eleve e com ele, elevem-se as entradas de caixa.

9. Desconto Racional Composto

É o desconto obtido pela diferença entre o VALOR NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento, calculando o valor presente à taxa de desconto. Sendo :

N = valor nominal ou montante do compromisso em sua data de vencimento.

n = número de períodos compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento.

i = taxa de juros utilizada na operação.

Dr= desconto racional composto

Vr= valor descontado racional composto na data de desconto, calculado à taxa de desconto.

A fórmula utilizada, é:

Vr n

= N 1

1 + i

Podemos reparar que, essa fórmula do valor descontado, é a mesma do valor presente calculado no regime de juros compostos, onde:

Vr = C e N = M

O desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor descontado:

D = N - V N -

N

1 + i

= N 1 - 1

1 + i r r

n n

Exemplo 2 - Um título no valor de $100.000,00 foi saldado seis meses antes do vencimento. O possuidor do título obteve uma taxa de desconto de 2,0% a.m. Calcular o desconto racional e a quantia recebida.

Resolução:

N = 100.000; i = 2,0% a.m.; n = 6 meses

Utilizando a fórmula, temos:

Dr n

N 1-1

1+ i = 100.000 1 -

1

1,02 6

Dr = 100.000 0,1121 = 11.210




E a quantia recebida:

Vr = N – Dr = 100.000 - 11.210 = 88.790

Observe que, se aplicarmos o valor descontado (Vr) por 6 meses à taxa de juros compostos de 2,0% a.m., obteremos:

N = C6; Vr = C0 C6 = C0 ( 1 + i )6 =

N = 88.790 (1,02)6 = 88.790 ( 1,1262 ) 100.000

E os juros devidos são dados por:

J C6 0 = C = 100.000 - 88.790 = 11.210 J = D6 6 r

Fica evidenciado que o desconto racional composto é igual ao juro devido no período de antecipação, desde que seja calculado à taxa de desconto.

Exemplo 3 - Um título de valor nominal de $ 30.000,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 5,0% a.m. Calcule o desconto racional concedido.

Resolução:

Para simplificar a notação, passaremos a indicar:

1

1 + i n

por ( 1 + i )-n

, assim a fórmula fica:

Dr = N [ 1 - (1 + i)-n

] N = 30.000; 1 = 5.0% a.m.; n = 4 meses; Dr =?

Dr = 30.000 [1- (1,05)4 ] =30.000 ( 1-0,8227 )

Dr = 30.000 (0,1773) 5.319

Exemplo 4 - A Financeira Desconta Tudo informou, ao descontar uma Nota Promissória no valor de $10.000,00 que, sua taxa de desconto racional era de 36,0% a.a.. Se o desconto fosse realizado 3 meses antes do vencimento, qual se ria o valor do resgate (valor líquido) a ser recebido pelo possuidor do título?

Resolução:

N = 10.000; i = 36.0% a.a.; n = 3 meses; Vr = ?

Vr = N (1+ 1)-n

= 10.000 [ ( 1,36 )1 / 12

] -3

=

Vr = 10.000 [ 1,0259 ]-3

= 10.000 [ 0,9262 ] =

Vr = $ 9.261,58

Exemplo 4 - O Sr. Leôncio Armando, numa operação de desconto recebeu $ 10.000,00 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de $ 1.401,75, calcule a taxa de juros anual utilizada na operação.

Resolução:

Vr = 10.000; Dr = 1.401,75; n = 6 meses; i = ?

Vendo Vr = N - Dr deduzimos que, N = Vr + Dr

N = 10.000 + 1.401,75 = 11.401,75

Utilizando a fórmula, vem:

Vr = N ( i + 1 )-n

ou N = Vr ( i + 1 )n

Substituindo os termos, temos:

10.000 = 11.401,75 (1+i)-6 / 12

(considerando-se i anual)

1 + i = 11.401,75

10.000,00 = i + 1 = 1,140175

6 12 1 2

1,30 = i + 1 = 2

1,140175 = 221

i + 1

i = 0,30 ou 30,0 % a. a.

Exemplo 5 - O Sr. Cristiano José descontou um título no valor nominal de $6.500,00 e o desconto concedido foi de $835,63. Considerando que a taxa de juros de mercado era de 3,5%a.m. Calcular o prazo de antecipação.

Resolução:

N = 6.500; Dr= 835,63;

i = 3,5% a,m.; n = ?

Utilizando a fórmula: Dr = N [ 1 - (1 + i)-n

] , temos:

835,63 = 6.500 [ 1 - (1,035) ] -n

835 63

6 500

,

. = 1 - 1,035 0,128558 = 1 - 1,035

n n

= 0,871442 n

1,035 0,1285581

n1,035

0,871442

1 = n

1,035

1

1,147524 = 1,035 n

As opções para encontrar n são três:

1) utilizar uma máquina calculadora de boa qualidade;

2) procurar em tabelas financeiras para i = 3,5%; e

3) empregar logaritmos.




Vamos utilizar a opção prática de demonstrar os cálculos, que é através de logaritmos:

log 1,147524 = n log 1,035

procurando na tabela de logaritmos, encontramos:

0 0597620 01494

,,

= n 0,1494 n = 0,059762

= 4 meses

Exemplo 6 - Caso a antecipação seja de 8 meses, o valor de um compromisso é de 5 vezes o desconto racional. Qual é o seu valor nominal, sabendo-se que o valor líquido (valor de resgate) é de $1.740,00?

Resolução:

Vr = 1.740; n = 8; N = 5Dr

Sendo N = 5 Dr , temos: N / Dr = 5 e

Dr / N = 1/ 5 = 0,20

Utilizando a fórmula Dr = N [ 1 - ( i + 1 )-n

], vem:

D Nrn

= 1 - 1 + i 1 + i

0 20 18

,

18 8

- 0,20 = 1 + i = 0,80 = 1 + i

1 0 808 8

, = 1 + i = 1,25 = 1 + i

i 0,028286 ou i 2,83 a.m.

substituindo a taxa encontrada na fórmula:

N = Vr ( 1 + i )n, vem: N = 1.740 (1,028286)

8

N = 1.740 ( 1,25 ) N = $ 2,175

CAPITAIS EQUIVALENTES

Como já foi visto neste trabalho, o dinheiro tem um valor diferente no tempo; não é a mesma coisa ter $1.000,00 neste momento e dentro de um ano depois, dependendo da taxa de inflação vigente, este verá reduzido seu valor em maior ou menor grau.

Conceitualmente, dois ou mais valores nominais, referentes a datas de vencimentos determinadas, se dizem equivalentes quando seus valores, descontados para uma mesma data, à mesma taxa em condições idênticas, produzirem valores iguais. Isto pode ser demonstrado de forma simbólica, assim:

Os capitais C1, C2, C3..., Cn‘ , com vencimentos nas datas t1, t2, t3,...,tn‘, respectivamente, considerados a partir da data de referência t0, são ditos equivalentes se os seus respectivos valores presentes na data focal t0, considerada

a taxa de juros i, forem iguais; ou seja, esses capitais serão equivalentes se:

C

1 + i

= C

1 + i

=C

1 + i

= . . . = C

1 + i

1 2 3 nt t t n1 2 3

em que 1 é a taxa periódica de juros (mensal, trimestral, anual) e t é prazo (em meses, trimestres, anos) .

Exemplo 1 - Dados dois capitais $ 33.335,22 vencível de hoje a 6 meses e $ 39.702,75 vencível daqui a 9 meses, verificar se são equivalentes, na data de hoje, à taxa de juros de 6.0% a.m.

Resolução:

Esses dois capitais serão equivalentes se:

33 335 22

6

. ,

1 + i

39 702 75

9

. ,

1 + i

Efetuando os cálculos, temos:

33 335 22

168948

. ,

, = 23.500

39 702 75

168948

. ,

. = 23.500

Portanto, esses dois capitais são equivalentes.

Depois de haver demonstrado que, dois ou mais capi-tais são equivalentes em determinada data focal, para determinada taxa, esses mesmos capitais, serão equiva-lentes em qualquer data tomada como focal, à mesma taxa de juros ou de desconto racional composto. Porém, se considerarmos qualquer outra taxa, a equivalência não se verificará.

Exemplo 2 - A fim de comprovar o que foi afirmado acima vamos desenvolver, com os dados acima, os cálculos do valor dos dois capitais no final de 12 meses, a partir de hoje.

Resolução:

Para determinar o valor do capital de $ 33.335,22, no final de 12 meses, basta capitalizá-lo por mais 6 meses, a uma taxa de 6% a.m. E para o capital de $ 39.702,75, capitaliza-lo por mais 3 meses, à mesma taxa.

Aplicando a fórmula do valor futuro:

M = C ( 1 + i )n, temos:

33.335,22 (1,06)6 =33.335,22 (1,41852) = 47.286,68

39.702,75 (1,06)3 = 39.702,75 (1,19102) =47.386,61

23.500,00 (1,06)12

= 23.500,00 (2,01220) = 47.286,62

Nos cálculos acima, incluímos o capital inicial de $23.500,00, para ratificarmos o que foi dito sobre equivalência de capital.




Exemplo 3 - O Sr. João das Bottas trocou um título com o valor nominal de $10.200,00, com vencimento para 5 meses, por outro de $ 8.992,92, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 6,5 % a.m., houve vantagem?

Resolução:

A nossa tarefa é comparar esses dois capitais para verificar se são equivalentes ou não. A equivalência será feita através da taxa de juros.

Como os capitais encontram-se em momentos diferentes de tempo, devemos compara-los numa mesma data focal.

A fim de reforçar as características que conduzem à equivalência, vamos considerar três datas focais: zero, três e cinco.

a) Data focal zero:

V

C

1 + i

= 8.992,92

1,065

= 10.200

1,20795 = $ 7.444,793

33 3

V =

C

1 + i

= 10.200

1,065

= 10.200

1.37009 = $ 7.444,795

52 5

Como V3 = V5 = $ 7.444,79, constatamos que não houve vantagem alguma na troca dos títulos.

a) Data focal três:

V =

C

1 + i =

10.200

1,065 =

10.200

1.13423 = $ 8.992,92'

35

2 2

Constatamos que V3‘ = C3 = $ 8.992,92

b) Data focal cinco:

V52 2

' = C 1 + i = 8.992,92 1,065 =3

V5 ' = 8.992,92 1,1423 = $ 10.200,00

Exemplo 4 - A Casa Kreira Ltda lançou uma campanha promocional vendendo tudo a prazo, em três vezes sem acréscimo. Sendo o preço a vista dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada. Considerando que a taxa da loja é de 11,5% a.m., calcule o desconto sobre o preço a vista de uma mercadoria que é de $600,00.

Primeiramente, vamos calcular o valor das parcelas: $600,00 / 3 = $200,00

A seguir, devemos esboçar o diagrama do tempo e dinheiro:

A terceira etapa é encontrar X = preço a vista da




mercadoria, ou seja, o valor presente das parcelas, ou ainda, o preço com desconto:

X = 200 +

200

1,115 +

200

1,115 2

X = 200 + 179,37 + 160,87

24323,1

200 +

1,115

200 + 200 = X

X = $ 540,24

DESCONTOS

WalterSpinelli

1. Introdução

Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado titulo, que é o comprovante dessa operação.

De posse do titulo, que é usado para formalizar uma dí-vida que não será paga imediatamente, mas dentro de um prazo estipulado, o credor poderá negociar o pagamento antecipado da dívida através de um banco. Vamos tratar, neste capítulo, desse tipo de operação bancária.

2. Títulos

Há três tipos de títulos bastante usados: nota promissória, duplicata e letra de câmbio.

Nota promissória — Pode ser usada entre pessoas físicas, ou ainda entre pessoas físicas e instituições financeiras. Trata-se de um título de crédito, que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: valor nominal ou quantia a ser paga (que é a dívida inicial, normalmente acrescida de juros), data de vencimento do título (em que a dívida deve ser paga), nome e assinatura do devedor, nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga.

Duplicata — E usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Na duplicata deve constar o aceite do cliente, o valor nominal, a data de vencimento, o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita tendo por base da nota fiscal.

Letra de câmbio — É um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma letra de câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), data de vencimento do título e quem deve pagar.

O credor Marcelo dos Santos de posse da nota promissória, conforme o modelo apresentado na página 96, deseja resgatar a dívida em 01/01/88.

Você deve ter notado que, na verdade, Marcelo dos

Santos quer receber a dívida 2 meses antes da data proposta na promissória. Do mesmo modo que no valor nominal da nota incluem-se os juros pela postergação do pagamento, podemos aceitar o fato de que o adiantamento do mesmo também deverá vir acompanhado de juros, mas agora no sentido contrário, ou seja, descontados do valor nominal.

Supondo uma taxa de 1,4% a.m. para o desconto, em dois meses de adiantamento, teremos sobre os $ 100 000,00 o seguinte cálculo:

Desconto = 100 000 . 0,014 . 2

Desconto = 2 800

Marcelo dos Santos deverá receber, então:

$100 000,00 — $ 2 800,00 = $ 97 200,00

Chamemos, então, de desconto de título ao abatimento dado sobre o valor nominal, pela antecipação do pagamento.

O desconto bancário é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor

nominal.

O desconto bancário é também conhecido como comercial ou por fora.

As fórmulas que utilizaremos para calcular o desconto bancário são bem semelhantes às de juros simples.

Chamando:

D = desconto

N = valor nominal

L = valor líquido recebido após o desconto

I = taxa

n = período de tempo, teremos:

D = N .i . n

L = N — D ou L = N — N . i . n, então:

L = N . (1—in)

1. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?

Solução:

N=750, n=2 meses e 10 dias=70 dias i = 0,05

D=N.i.n= D=750. 30

05,0.70=87,50

Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50.




2. Um título no valor de $ 1.200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a ta-xa mensal usada?

Solução:

N = 1200 n = 5 meses L = 900

Vamos resolver este problema de dois modos.

Primeiro modo: usando o cálculo de desconto

D = N i n

D = N — L = 1 200 — 900 = 300

300 = 1.200 • 5. i

i = 51200

300

= 0,05

A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês.

Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido

L = N (1 — in)

900.000 = 1.200.000 . (1 — i . 5)

200.1

900= 1 – 5i =1 —

200.1

900

5i =200.1

300

i =000.6

300=0,05 ou 5% a.m.

Resposta: A taxa mensal foi de 5%.

3. Resgatei, em 16 de abril, uma nota pro-missória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4 400,00, calcula-do com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória?

Solução

D = 4400 i = 0,06

Consultando a tabela 1, obtemos a informação:

161 — 106 = 55 = n

D = N . i . n

4.400 = N 30

06,055 N=

550,06

304.400

N = 40 000

Resposta: O valor nominal da promissória era de $40 000,00.

DESCONTO RACIONAL

O desconto racional é também conhecido como desconto por dentro. Trata-se, nesse caso, de usar uma taxa sobre um valor não conhecido, situação semelhante à analisada em lucros sobre a venda.

O desconto racional é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido.

O desconto racional, Dr, calculado sobre o líquido, é dado por:

Dr = L . i . n

Mas, também, é fato que:

L + Dr = N

Podemos, pois, calcular o líquido fazendo:

L + L . i . n = N

L (1 + i . n) = N

in1

NL

No caso de querermos o desconto diretamente,

substituiremos L por in1

N

na expressão Dr = L . i . n.

Ficaremos com:

Dr = L . i . n = in1

N

. i . n

in1

niNDr

1 Exercícios Resolvidos

1. Calcular o desconto por dentro de um tí-tulo de $ 6 864,00, à taxa de 12% ao mês, 1 mês e 6 dias antes do vencimento.

Solução:

N = 6864 i = 0,12

n = 1 mês e 6 dias = 36 dias

L = in1

N

=

3630

12,01

6864

L= 144,01

6864

= 6000

O desconto foi, portanto, de:

$6864,00 —$ 6000,00 = $ 864,00




O mesmo problema pode ser resolvido aplicando diretamente a fórmula do desconto:

in1

niNDr

=

3630

12,01

3630

12,06864

Dr = $ 864,00

Resposta: O desconto foi de $ 864,00.

2. Um título com valor nominal de $ 2.000.000,00, à taxa de 9% ao mês, vai ser descontado 8 meses antes do vencimento. Calcular a diferença entre os descontos bancário e racional.

Solução

Desconto bancário

D = N . i . n

D = 2.000.000 . 0,09 . 8

D = 1.440.000

Desconto racional

in1

niNDr

80,091

80,09 2.000.000Dr

Dr = 837.209,30

Diferença: D — Dr = 602.790,70

Por esse problema, percebe-se que o desconto bancário não é apropriado para prazos muito longos.

Resposta: A diferença é de $ 602 790,70.

3. Calcular a taxa a ser aplicada, por dentro, numa duplicata de $ 1 800,00, para que ela, dois meses e meio antes do vencimento, se reduza a $ 1 000,00.

Solução

N = 1.800.000 L=1000 n = 2,5 m

L = in1

N

1.000 =

2,5i1

1800

1000(1+ 2,5i) = 1800 1+2,5i = 1000

1800

1 +2,5i = 1,8 2,5i= 1,8 —1 i=5,2

8,0

i = 0,32

Resposta: A taxa deve ser, portanto, de 32% a.m.

1. Determinar o desconto bancário sofrido por uma promissória de $ 1 000,00, à taxa de 8% a.m., 3 meses antes do seu vencimento.

2. A que taxa anual, uma duplicata de $ 3 000,00, em 6 meses, dá $ 600,00 de desconto por fora?

3. Em que prazo um título de $ 2 500,00, descontado por

fora, à taxa de 6% a.m., dá $ 600,00 de desconto?

4. Encontrar o valor nominal de um título que, descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses e meio antes do seu vencimento, teve um desconto de $ 28000,00.

5. Um título, com vencimento em 15 de agosto, foi descontado por fora em 13 de junho precedente, a uma taxa de 6% a.m. Se o valor nominal do título era de $ 3 600,00, qual ficou sendo o seu valor atual?

6. Um título, no valor de $ 1 800,00, ficou reduzido a $1 200,00 quando descontado por fora 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa mensal do desconto?

7. A que taxa anual uma nota promissória de $ 420,00, em um mês e meio, dá $ 5,25 de desconto por fora?

8. Determinar o desconto por fora sofrido por uma letra de $ 2 400,00, à taxa de 4,5% a.m., 6 meses antes de seu vencimento.

9. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada por fora, 3 meses e 10 dias antes de seu vencimento, à taxa de 10% a.m., produziu o desconto de $ 400,00.

10. Uma letra de câmbio pagável em 19 de agosto, descontada por fora à taxa de 12% a.m. no dia 3 de maio precedente, produziu $ 20 726,00 de líquido. Qual é o valor nominal dessa letra?

11. Determinar o desconto por dentro sofrido por uma letra de 1 1 000,00, descontada à taxa de 3% a.m., 6 meses antes de seu vencimento.

12. Uma letra de $ 900,00, descontada por dentro, 20 dias antes de seu vencimento, sofreu um desconto de $ 100,00. Qual foi a taxa mensal usada na operação?

13. Determinar o líquido produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes do seu vencimento, à taxa de 9% a.m., produziu $ 140,00 de desconto.

14. Uma pessoa vai a um banco e desconta por fora uma nota promissória 85 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.m. Sabendo-se que o líquido para a pessoa foi de $ 1 992,00, qual era o valor da promissória?

15. Determinar a diferença entre os descontos por fora e por dentro de uma nota promissória de $ 2 000,00 quando descontada 1 mês e 10 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 9%.

16. Calcular o desconto por dentro de uma letra com vencimento para daqui a 8 anos, no valor nominal de $ 1 000,00, se descontada hoje à taxa anual de 20%. O valor encontrado é razoável? Repita o cálculo, verificando o desconto por fora.

17. Duas letras, uma de $ 15 000,00, pagável em 6 meses, e outra de $ 14 700,00, pagável em 30 dias, foram apresentadas a desconto por fora, recebendo o portador da primeira $ 313,75 a mais do que o portador da segunda. Qual foi a taxa anual usada nas operações?




PRAZO MÉDIO

Um banco deseja resgatar 3 títulos de $ 10 000,00 cada, de um mesmo devedor, todos à mesma taxa de 6% a.m., com vencimentos para 30, 60 e 90 dias.

Caso seja do interesse do banco e do devedor, esses 3 títulos poderão ser substituídos por um único que não cause ônus a nenhuma das partes.

Esse título único terá de, num determinado prazo, à mesma taxa, oferecer o mesmo desconto que a soma dos descontos produzidos pelos 3 títulos.

Esse prazo é chamado de prazo médio.

Vamos ver como se faz para encontrar esse prazo.

Em primeiro lugar, faremos o cálculo dos descontos em separado:

Tempo Desconto

30 dias = 1 mês 10000 . 0,06 . 1

60 dias = 2 meses 10000 . 0,06 . 2

90 dias = 3 meses 10000 . 0,06 . 3

(Lembre-se de que D = N . i . n para o desconto bancário.)

Portanto, o desconto total é de:

D = 10000 • 0,06 • 1 + 10000 • 0,06 • 2 + 10000 • 0,06 • 3

D = 10000 • 0.06(1 + 2 + 3)

Vamos, agora, encontrar o tempo T, que produziria, no total dos 3 títulos, à mesma taxa, o mesmo desconto.

D = 30 000 • 0,06 • T

Comparando-se os descontos, vem:

10000 • 0,06(1 + 2 + 3)= 30000 • 0,06 • T

T0,0630000

3) 2 0,06(1 10000

T3

3 2 1

ou T = 2 meses

Deste modo, um título único de $ 30 000,00 produzirá em 2 meses, à mesma taxa de 6%, o mesmo desconto que a soma dos descontos dos 3 títulos.

O prazo médio T = 2 meses, como se pode perce-ber, foi obtido através da média aritmética dos prazos dos 3 títulos. Generalizando. te-remos:

Quando os valores nominais forem iguais, e as taxas também, o prazo médio será a média aritmética dos

prazos.

Um segundo problema seria o de determinar o prazo médio no caso de termos taxas iguais, mas valores nominais diferentes.

Vamos fazer o cálculo desse prazo para três títu-los, nas seguintes condições:

Título Nominal ($) Taxa Vencimento (dias)

1 1000,00 10% a.m. 40

2 2000,00 10% a.m. 50

3 3000,00 10% a.m. 60

Vamos, primeiramente, fazer o cálculo dos descontos individuais:

Título Desconto

1 4030

1,01000

2 5030

1,02000

3 6030

1,03000

Lembre-se de que D = N h n.

O desconto será, portanto:

60 30

0,1300050

30

0,1 2000 40

30

0,1 1000 D

60)000 3 50000 240(100030

0,1D

Agora vamos calcular o desconto produzido num título único, à mesma taxa, num prazo T, no valor que é a soma dos valores nominais de cada um dos 3 outros títulos.

T 30

0,13000)2000000 (1D

Comparando os dois cálculos dos descontos, vem:

T 30

0,13000)2000000 (1 000 240(1000

30

0,1

60)000 3 50

300020001000

60000 3 50000 2400001T

= 53 dias

(aproximadamente)

O prazo médio seria, nessa situação, 53 dias. Perceba que ele foi obtido calculando a média ponderada dos três prazos e utilizando os respectivos valores nominais como pesos. Generalizando, temos:

Quando os valores nominais forem diferentes e as taxas iguais, o prazo médio será a média ponderada dos prazos, com os respectivos valores nominais como pesos.




EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Tenho três letras iguais de $ 480,00, a prazos de 20, 25 e 35 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto é de 1,2% a.m., qual é o prazo médio de vencimento das três letras?

Solução

Como temos o mesmo valor nominal e a mesma taxa para as três letras, podemos considerar o prazo médio como média aritmética dos 3 prazos. Assim:

3

80

3

352520T

ou aproximadamente 27 dias.

Vamos verificar a validade dessa resposta, lembrando-se de que D = N • i • n e i = 0,012.

Tempo (dias) Desconto ($)

20 3,84 30

1152 0,012

30

20 480

25 4,80 30

1440 0,012

30

25 480

35 6,72 30

2016 0,012

30

35 480

Então: desconto total = 3,84 + 4,80 + 6,72 =15,36 ou $ 15,36. Considerando N = 3 • $ 480,00 = $ 1440,00, vamos calcular D, usando o prazo médio calculado.

T 30

0,012 1440 D

Nesta expressão, 3

80T (prazo médio calculado).

Dessa forma, temos:

36,1590

40,1382

3

80

30

0,012 1440 D

ou $ 15,36. Portanto, o prazo médio está correto.

Resposta: O prazo médio é de 27 dias.

2. Uma pessoa tinha três títulos a receber: um de $ 250,00 com prazo de 20 dias, outro de $ 350,00 com prazo de 40 dias e outro de $ 400,00 com prazo de 25 dias. A taxa era de 8% a.m., para todos os títulos. Qual seria, então, o tempo em que a soma desses valores nominais, à mesma taxa, daria os mesmos descontos?

Solução

Como agora, à mesma taxa, há uma variação dos valores nominais e dos prazos, sabemos que o prazo médio deverá ser feito com uso da média ponderada.

Assim:

400350250

254004035020250T

291000

10000140005000

O prazo médio é de 29 dias.

Vamos fazer a verificação, lembrando-nos de que i = 0,08.

Tempo (dias) Desconto ($)

20 30

400 0,08

30

20250

40 30

1120 0,08

30

20350

25 30

800 0,08

30

25400

Então, desconto total = 30

2320

30

800

30

1120

30

400

ou, aproximadamente, $ 77,33.

Considerando N = 250 + 350 + 400 = 1.000 ou N = $ 1.000,00, vamos calcular o desconto com prazo médio calculado anteriormente.

T30

0,081000D

Nessa expressão, T = 29 (que é o prazo médio).

30

2320 29

30

0,08000 1 D ou $ 77,33,

aproximadamente.

Portanto, está correto o prazo médio.

Resposta: O prazo médio é de 29 dias.

TAXA MÉDIA

O problema agora é substituir vários títulos, com taxas diferentes, por um único que, quando descontado, não cause ao credor ou ao devedor nenhum ônus.

Vamos estudar três desses casos. Em todos eles, desejaremos sempre encontrar uma taxa média.

Primeiro caso: Valores nominais e prazos iguais

Titulo Taxa (a.m.)

Valor Nominal($)

Prazos Desconto

($)

1 2% 1000 4 1000 • 0,02•4

2 3% 1000 4 1000 • 0,03•4




O desconto total será:

D = 1000 • 0,02 • 4 + 1000 • 0,03 • 4

D = 1000 • 4 • (0,02 + 0,03)

Calculando agora o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, temos:

D = 2 000 • i • 4

Comparando os dois descontos, obtemos:

2 000 • i • 4 = 1000 • 4 • (0,02 + 0,03)

42000

0,03)(0,0241000i

0,025 2

0,03 0,02i

A taxa média será, portanto, a média aritmética das taxas dos dois títulos.

Quando os valores nominais e os prazos forem iguais, a taxa média será a média aritmética das taxas.

Segundo caso: Valores nominais diferentes e prazos iguais

Título Taxa (a.m.)

Valor Nominal($)

Prazo (meses)

Desconto ($)

1 2% 1000 4 1000•0,02•4

2 3% 2000 4 2000•0,03•4


D = 1000 • 0,02 • 4 + 2000 • 0,03 • 4

Agora, calcularemos o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, a uma taxa média i.

D = (1 000 + 2000) • i • 4

Comparando os dois descontos:

(1 000 + 2000) • i • 4 =

1000 • 0,02 • 4 + 2000 • 0,03 • 4

4000) 2 (1000

40,03)2000 0,02(1000 i

000 2 1000

0,032000 0,021000 i

= 0,0266

A taxa média i = 0,0267, ou 2,67% a.m., aproximadamente, foi obtida calculando-se a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos. Generalizando:

Quando os valores nominais forem diferentes mas os prazos iguais, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos.

Terceiro caso: Valores nominais diferentes e prazos diferentes

Titulo Taxa(a.m.) Valor Nominal ($) Prazo (m) Desconto ($)

1 3% 1200 2 1200•2•0,03

2 5% 1500 4 1500•4•0,05


D = 1200 •2 • 0,03 + 1500 • 4 • 0,05

Calculando o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, e com uma só taxa i, obtemos:

D = 1200 • 2 • i + 1 500 • 4 • i = (1200 • 2 + 1500 • 4)i

Comparando os dois descontos:

1200 • 2 • 0,03 + 1500 • 4 • 0,05 = (1200 • 2 + 1500 • 4) i

Então:8400

372

4150021200

0,05 4 1500 0,03 2 1200i

i 0,0442

A taxa média i é aproximadamente 0,0442 ou 4,42% a.m. Este valor foi obtido calculando-se a média ponderada das taxas e utilizando-se o produto dos valores nominais pelos respectivos prazos como pesos.

Generalizando:

Quando os valores nominais e os prazos forem diferentes, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se como pesos, os respectivos dos valores nominais pelos prazos.

Observação importante: Taxas e prazos médios poderão ser calculados não só em descontos, mas também em juros.

1. Dois capitais iguais de $ 800,00 foram colocados a render juros durante três meses, à taxa de 10% a.m. e 12% a.m. Qual é a taxa média de juros?

Solução

Como temos capitais iguais, colocados a render juros no mesmo prazo, a taxa média poderá ser calculada pela média aritmética das taxas.

Assim:

2

0,120,10i

- 0,11 ou 11% a.m.

Vamos fazer a verificação:




Capital ($) Taxa (a.m.) Prazo (m) Juros ($)

800 10% 3 800• 0,1• 3 = 240

800 12% 3 800• 0,12•3 = 288

Juro total = 240 + 288 = 528 ou $ 528,00

Calculando o juro com a taxa média obtida, temos:

J = 2 • 800 • 3 • 0,11= 528 ou $ 528,00

Portanto, a taxa média está correta.

Resposta: A taxa média é de 11% a.m.

2. Três capitais iguais a $ 1200,00 são colocados a render juros; o primeiro a 4% a.m., durante 2 meses; o segundo a 6% a.m., durante 3 meses e o terceiro, a 8% a.m., durante 4 meses. Calcular a taxa média de juros.

Solução

Como temos o mesmo capital, com prazos variáveis, a taxa média deverá ser calculada pela média ponderada das taxas, usando os prazos como pesos.

Assim:

0,064 9

0,58

432

40,08.30,0620,04 i

Então, a taxa média é, aproximadamente, 0,064 ou 6,4% a.m.

Vamos fazer a verificação:

Capital ($) Taxa (a.m.)

Prazo (m)

Juros(S)

1200 4% 2 1200 • 0,04 • 2 = 96

1200 6% 3 1200 • 0,06 • 3 = 216

1200 8% 4 1200 • 0,08 • 4 = 384

Juro total 96 + 216 + 384 = 696 ou $696,00

Calculando o juro com a taxa média obtida, temos:

J = 1200 • i • 2 + 1200 • i • 3 + 1200 • i • 4=

= 1200 • i • (2 + 3 + 4) = 1 200 • i • 9

Como i =9

0,58,temos então:

J = 1200 • 9

0,58 • 9 = 696 ou $ 696,00, o que confirma

o valor da taxa média.

Resposta: A taxa média é de, aproximadamente, 6,4% a.m.

3. Tenho três títulos a resgatar: o primeiro, de $ 6 000,00, tem prazo de vencimento de 3 meses à taxa de 10%

a.m.; o segundo, de $ 5 000,00, tem prazo de 4 meses à taxa de 15% a.m., e o terceiro, de $ 8 000,00, tem prazo de 3 meses a 12% a.m. Qual a taxa média para os descontos?

Solução

Como temos, agora, valores nominais diferentes e prazos diferentes, vamos calcular a taxa média, utilizando a média ponderada das taxas, com pesos de-terminados pelos produtos dos valores nominais pelos respectivos prazos.

Assim:

380004500036000

0,12380000,15450000,136000i

0,123962000

7680

240002000018000

288030001800

ou 12,39%a.m.

Resposta: A taxa média dos descontos é de 12,39% a.m.

Deixaremos a verificação como exercício para você resolver.

18. Devo $ 60 000,00. Tenho de pagar a metade desse valor à vista, a terça parte em 6 meses e o restante, em 1 ano. Em que prazo poderei liquidar a dívida toda?

19. Qual o prazo médio de três letras de $ 200,00 cada uma, emitidas a 60 dias 120 dias e 180 dias de prazo, à taxa de 5% a.m.?

20. Tenho cinco letras de $ 500,00 cada uma, para pagar em prazos de 60, 80, 25, 60 e 50 dias, à taxa comum de 10% a.m. O credor propôs trocar as cinco letras por um único título de $ 2 500,00 num prazo de 45 dias. O prazo proposto é conveniente, comparado com o prazo médio das 5 letras que tenho?

21. Determine o prazo médio das letras: $ 200,00 a 30 dias, $ 120,00 a 45 dias e $ 400,00 a 60 dias, numa taxa comum de 5% a.m.

22. Qual a data de vencimento de uma letra destinada a substituir, em 6 de junho, duas letras: uma de $ 1 000,00, com vencimento em 3 de agosto, e outra, de 1 600,00, com vencimento em 15 de julho do mesmo ano, à taxa de 15% a.m.?

23. Uma letra de $ 50 000,00 vence em 30 dias, e outra, de $ 75 000,00, vence em prazo desconhecido. Sabendo-se que o prazo médio delas é de 32 dias, qual é o prazo da segunda letra?

24. Determinar a taxa média de três letras de $ 1 000,00 cada, à taxa de 5% a.a., 6% a.a. e 7% a.a., todas com um prazo de 3 meses.

25. Qual a taxa média de duas letras: uma de $ 2 000,00 à taxa de 5% a.m. e outra de $ 2 500,00 à taxa de 4% a.m. em 20 dias?

26. Qual a taxa média das seguintes letras: uma de $ 400,00 em 50 dias, a 6% a.m., outra de $ 200,00 em 30




dias, a 3% a.m., e finalmente uma de $ 300,00 em 45 dias, à taxa de 5% a.m.?

27. Qual a taxa média de quatro letras de $ 1 200,00 cada uma, à taxa de 3% a.m., 4% a.m., 5% a.m. e 6% a.m., todas durante 25 dias?

28. Determinar a taxa média das seguintes letras: $ 500,00 a 12% a.m., $ 600,00 a 8% a.m. e $ 2 000,00 a 6% a.m., todas no prazo de 40 dias.

29. Emprestei uma quantia á taxa de 12% a.a. Depois de 10 meses, baixei a taxa para 8% a.a., e depois de 6 meses recebi $ 12 500,00 de capital e juros. Usando a taxa média, qual foi o capital emprestado?

30. Tenho três letras de $ 6 000,00, $ 8 000,00 e $ 5 000,00, emitidas em prazos de 40 dias, 15 dias e 20 dias, respectivamente. A primeira e a segunda letras estão a 8% e a 10% a.m., respectivamente, e a taxa média é de 10% a.m. Qual a taxa da terceira letra?

Respostas dos exercícios propostos

1. $ 240,00

2. i = 0,4 ou 40%

3. 4 meses

4. $200.000,00

5. $ 3146,40

6. 11,11 %a.m.

7. 10% a.a.

8. $ 648,00

9. $ 1200,00

10. $ 36 489,44

11. $ 152,54

12. 18,75% a.m

13. $ 777,78

14. $ 2400,00

15. $ 25,66

16. Dr = $ 615,38

D = $ 1600,00

Não é razoável.

17. 5%a.a.

18. 4 meses e meio

19. 120 dias

20. Não convém aceitar a proposta.

21. 49 dias

22. 51 dias. A data é 27 de julho.

23. 33 dias

24. 6%a.a.

25. 4,4% a.m.

26. 5,2% a.m.

27. 4,5% a.m.

28. 7,35% a.m.

29. $ 10 964,91

30. 0,148 ou 14,8%

DESCONTO COMPOSTO

1. INTRODUÇÃO

Ao fazermos o estudo de descontos simples, diferenci-amos o desconto bancário do racional. No primeiro, as taxas incidiam sobre o valor nominal, enquanto, no segun-do, o cálculo do desconto era feito com taxas incidindo sobre o valor líquido.

O desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor nominal.

2. VALOR ATUAL

Suponha um título, cujo valor nominal N é de $ 10 000,00, resgatável depois de 6 meses, à taxa mensal de juros compostos de 10% a.m. Qual é o capital que aplicado a essa taxa, durante o mesmo período, resultaria N?

O cálculo que devemos fazer é o do montante para juros compostos.

Como M = C (1 +i)n, então N = C (1 +i)

n. Mas como N =

10000, i = 10% ou 0,1 e n = 6 meses, então:

10 000 = C(1 + 0,1)6 C =

60,1)(1

10000

C = 771561,1

100005644,74

O capital é de $ 5 644,74, que é chamado de valor atual do título.

Valor atual (Va) de um título de valor nominal N, resgatável após um período n à taxa i de juros compostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N.

Podemos escrever isso usando as fórmulas:




N = Va(1+ i )n

n ai) (1

N V

Nessas fórmulas:

Va: valor atual

N: valor nominal

n: período

i: taxa a juros compostos

Podemos escrever também:

Va = N • vn

Nessa fórmula, v =i1

1

Obs.: O símbolo v representa um valor tabelado. (Consulte a tabela 6 no final do livro.)

3. DESCONTO COMPOSTO

Qual será o desconto que um título de 1 8 000,00, à taxa de 8% a.m., sofre ao ser descontado dois meses antes do seu vencimento?

Sabemos que N = 8 000. Vamos fazer então o cálculo do valor atual para o resgate:

0,08)(1

1 8000 vN V n

a

8000 • 0,8573388 6858,72

Como o valor do título era de $ 8000,00 e o valor atual é de $ 6868,72, então o desconto é de $ 1141,28.

Para calcular o desconto composto (Dc), basta apenas determinar a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Assim:

Dc = N - Va

Nessa fórmula, N é o valor nominal do título e Va é o valor atual.

É útil escrever a fórmula de desconto composto de outra maneira. Veja:

Dc = N - Va

Mas como Va = N • vn, então Dc = N - N • v

n = N • (1 -

vn). Temos então:

Dc = N • (1 - vn)

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1. Calcule o valor atual de um título de $ 12000,00 à taxa de 9% a.m. disponível em 8 meses.

Solução

Como Va = N • vn e N = 12000, n = 8 e i = 9% ou 0,09,

podemos escrever:

12 000

8a0,09)(1

12000 V

= 12000 • 0,5018663 6022,40

Resposta: O valor atual é de $ 6022,40.

2. Calcule os três tipos de descontos possí-veis, para um título de $ 9 000,00, à taxa de 5% a.m., res-gatado 5 meses antes do vencimento.

Solução

Vamos ver primeiro os descontos feitos a juros simples.

a. Desconto bancário:

Sabemos que D = N • i • n. Como N = 9 000, i = 0,05 e n = 5, temos:

D = 9 000 • 0,05 • 5 = 2 250

O desconto bancário é de $ 2 250,00.

b. Desconto racional:

Sabemos que Dr = L • i • n. Nessa fórmula, L é o valor líquido do título (Nominal — Desconto).

in1

niNDr

= 1800

25,1

2250

50,051

50,059000

O desconto racional é de $ 1 800,00.

Agora faremos o cálculo do desconto composto:

Dc = N • (1 - vn) e

5n

0,05)(1

1v

= 0,7835262

Dc = 9 000 • (1 — 0,7835262) = 9 000 • 0,2164738

Dc 1 948,26

O desconto composto é de, aproximadamente, $ 1 948,26.

Resposta: O desconto bancário foi de $ 2 250,00, o desconto racional, de $ 1 800,00 e o desconto composto, de $ 1 948,26.

Obs.: Você deve ter notado que o desconto bancário é o maior que existe, enquanto o racional é o menor, e o desconto composto está entre os dois, desde que seja usada a mesma taxa.

3. Uma duplicata, no valor de $ 120.000,00, com vencimento em 4 anos, por quanto será paga hoje, se sofrer um desconto composto de 84% a.a.?




Solução

Sabendo que n a

i) (1

N V

e que N = 120.000, n = 4 e

i = 0,84 temos:

8a0,84) (1

120000 V

Usando logaritmos, vem:

Log Va log 4(1,84)

120000 = log 120000 - log(1,84)

4 =

log 120000 – 4 log 1,84 = 5,079181 - 4 • 0,2648178

log Va= 5,079181 - 1,0592713 - 4,0199097

Va 10469,00

Resposta: A duplicata será paga por $ 10469,00.

4. Que taxa de desconto composto sofreu um título de $ 20 000,00 que, pago 5 meses antes do pra-zo, se reduziu a $ 14 950,00?

Solução

O valor nominal, o atual e o período nós conhecemos. Devemos apenas calcular a taxa.

Sabendo que n a

i) (1

N V

e que Va = 14950, N =

20000 e n = 5, temos:

1,34 1,337814950

2000i) (1

i) (1

20000 14950 5

5

Usando logaritmo, vem:

log (1 +i)5

= log 1,34

5 log(1 +i) = log 1,34 log(1 +i) = 5

0,127105= 0,02541

Como log (1 + i) 0,02542, então 1 + i 1,06 i 0,0599

Resposta: A taxa é de, aproximadamente, 5,99% a.m.

Obs.: (1 + i)5

= 1,3378 tem i 5,99%, o que pode ser achado lendo a tabela 5 e fazendo uma aproximação.

Resolver um problema por meio de logaritmos ou da tabela é uma escolha que deve ser definida a partir dos valores obtidos. Para isso, você deve ver qual das tabelas (tabela 4, de logaritmos, ou tabela 5, de (1 + j)fl) dá a melhor aproximação. No caso de ser necessária uma melhor aproximação, use o artifício da interpolação.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Devo pagar uma duplicata de $ 150000,00 com vencimento em 3 anos Quanto pagarei hoje, com um desconto composto de 90% a.a.?

2. A que taxa foi descontada, a juros compostos, uma dívida de $ 70 000,00 que, paga 4 meses antes do vencimento, reduziu seu valor para $ 50 000,00?

3. Qual foi o desconto composto obtido ao saldar uma dívida de $ 80 000,00 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 12% a.m.?

4. Calcular o valor atual de uma duplicata de $ 250 000,00 com prazo de 6 meses de vencimento, à taxa de 10% a.m.

5. Calcular o valor atual de um título de $ 125 000,00 a 8% a.m. pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento.

6. Uma letra paga 3 meses antes do vencimento, se reduziu à metade. Que taxa de desconto composto foi aplicada?

7. Uma letra paga 4 meses antes do vencimento, com um desconto composto de 9% a.m., se reduziu a $ 75600,00. Qual era o valor da letra?

8. Um título disponível ao fim de 8 meses foi descontado a juros compostos de 11%a.m. e se reduziu a $ 12700,00. Qual o valor do título?

9. Qual o desconto composto obtido no resgate de um título de $ 85000,00, 5 meses antes do vencimento, a 8% a.m.?

10. Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de $ 35000,00, sabendo que descontado a juros compostos de 7% a.m. seu valor se reduziu a $ 14000,00?

11. Devia pagar um título em 23 de junho, mas resolvi fazê-lo em 16 de abril. Seu valor nominal era de $ 70 000,00 e obtive um desconto composto de 8% a.m. Quanto tive que desembolsar?

12. De posse de algumas letras no valor de $ 80 000,00 com vencimento em 7 meses, quero resgatá-las hoje. Para efetuar tal operação, tive três ofertas:

a. desconto bancário com taxa de 10%;

b. desconto racional com taxa de 13%;

c. desconto composto com taxa de 11 ,5%.

Qual será a operação mais vantajosa?

13. Complete a tabela com os valores neces-sários:

Valor nominal ($)

Taxa

(%a.m.)

Período

(meses)

Desconto composto

($)

12000,00 12 3 ........

16000,00 10 2 ........

15000,00 8 ....... 12000,00

10 4 15000,00




20000,00 ....... 5 16000,00

14. Um titulo de $ 25 000,00, descontado 5 meses antes do prazo a 7% a.m., deu o mesmo desconto que outro, descontado 4 meses antes do prazo de vencimento a 9% a.m. Qual o valor do segundo título?

Respostas:

1. $ 21 869,07

2. i = 8,77%

3. $16 204,08

4. Va = $ 141 118,48

5. Va = $ 104 453,08

6. i = 26% a.m.

7. N = $ 106 779,66

8. N = $ 29 267,63

9. $ 27200,00

10. n 13 meses e 16 dias.

11. $ 58 945,64

12. a) $ 56000,00

b) $ 38115,18

c) $ 42640,00

d) Logo, o desconto bancário oferece mais vantagem.

13.

Valor

nominal ($)

Taxa

(%a.m.)

Período

(meses)

Desconto composto

($)

3458,63

2776,85

20 meses

e 27 dias

47318.61

37,97

14. $ 24 573,11

TAXAS

TAXAS DE JUROS

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consu-mo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a

quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.

O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, diminue a quantidade de dinhei-ro disponível no mercado para empréstimos. Assim, a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmotivando-o a consumir imediatamente e atraen-te para quem tem o dinheiro, estimulando-o a poupar.

Na época de inflação alta, quando a caderneta de pou-pança pagava até 30% ao mês, alguns tinham a falsa im-pressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros pa-gos pelo banco. O que não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos.

A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além de ítens como o risco e o tempo de empréstimo, a expecta-tiva de inflação para período.

Esta taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação dos juros (capitali-zações), é chamada de taxa nominal. Ex.: 15% ao ano, cujos juros são pagos mensalmente. Nestes casos preci-samos calcular a taxa efetiva, que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclui, acumu-lada pelo prazo de transação.

A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação se-rá calculada excluindo-se o percentual de inflação que a taxa efetiva embute.

Taxa Efetiva. É a taxa de juros em que a unidade refe-rencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É a taxa utilizada nas calculado-ras financeiras, como a HP-12C. Uma taxa de 10 % ao ano, capitalizados anualmente, é uma taxa efetiva.

Taxas proporcionais. São taxas de juros dadas em u-nidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal (capital) durante um mesmo prazo, produ-zem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

Taxas equivalentes. São taxas de juros dadas em uni-dades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

Taxa nominal. É a taxa de juros em que a unidade re-ferencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários.

A taxa nominal, mesmo sendo bastante usada no mer-cado, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. No entanto, toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita. Por e-xemplo: uma taxa nominal de 12% ao ano capitalizados




mensalmente corresponde a uma taxa efetiva de 12% : 12 = 1% ao mës.

A taxa aparente (chamada de nominal nas transações financeiras e comercial) é aquela que vigora nas operações correntes.

A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários.

As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:

onde i = taxa aparente

i r = taxa real

I = taxa da inflação

( 1 + i ) = ( 1 + i t ) × ( 1 + I )

A Taxa Interna de Retorno (IRR) de um fluxo de caixa é um objeto matemático que fornece a taxa real de juros em uma operação financeira, conhecidos os lançamentos nos seus devidos momentos de realização.

TAXA DO JURO E TAXA DO DESCONTO

Se, por exemplo, o capital de 100 unidades monetárias for emprestado a uma taxa de 2% ao mês, por 5 meses, o montante será de 110, se, entretanto, o credor do título recebido pelo em préstimo o descontar imediatamente, à mesma taxa, o valor atual do título será igual a 99 unidades monetárias, conforme os cálculos abaixo.

C n = C ( 1 + i . n )

C5 = 100 ( 1 + 0,02 x 5 ) = 110

A5 = N ( 1 - i . n )

A5 = 110 ( 1 - 0,02 x 5 ) = 99

Através desse exemplo, verifica-se que o capital em-prestado e o valor atual do título recebido como garantia não são iguais, pois uma pessoa está emprestando 100 e recebendo em troca um título que vale 99. Isso ocorre porque as taxas do juro e do desconto são iguais, mas calculadas sobre valores diferentes - o juro é calculado sobre o capital inicial (100) e o desconto, sobre o valor nominal do título (110).

Obviamente, o desconto é maior do que o juro quando emprega a mesma taxa para esse tipo de operação. Para que haja igualdade entre o capital emprestado e o valor atual do título é necessário que a taxa do juro seja maior que a taxa do desconto. Pode-se então estabelecer uma relação de correspondência entre a taxa do juro e a taxa do desconto comercial que satisfaça essa condição.

TAXAS PROPORCIONAIS

Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem, elas são proporcionais.

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a

períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo.

Por exemplo, a taxa de 1,39% ao mês é equivalente à taxa de 18% ao ano, pois um capital colocado a 1,39% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colo-cado a 18% ao ano.

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim de um ano são maio-res do que a taxa oferecida.

Por exemplo, se um capital de 100 for colocado a 20% a.a. capitalizado semestralmente por um ano, temos:

100 110 121

10% 10%

0 1 2 sem

J = 10 J = 11

Assim, os juros realmente pagos no ano são de 21%. A taxa de 20% a.a. é denominada nominal e a de 21% é a taxa efetiva dos juros.

TAXA INSTANTÂNEA

A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea.

TAXA DE DESCONTO REAL E BANCÁRIO

Comparando os fatores de atualização de um capital:

( 1 + i )n e ( 1 – i )

n

com os descontos real e bancário, verifica-se que, para um determinado valor de i e de n, a expressão (i + 1)

n

é maior que ( i - 1 )n, e, portanto, o desconto real é menor

que o bancário. Para que os descontos real e bancário de um título para n períodos sejam iguais é necessário que as taxas sejam diferentes (taxa do desconto real maior que a taxa do desconto bancário) .

TAXA DE ATRATIVIDADE

A taxa de atratividade de um investimento é a taxa mí-nima de juros por que convém o investidor optar em deter-minado projeto de investimento.

Corresponde, na prática, à taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital, como a caderneta de pou-pança. Open market, depósitos a prazo fixo etc. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicação de capital, ele não será atrativo ao investidor.

MÉTODO DA TAXA DE RETORNO

A taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros




que anula a diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise de investimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno.

Uma alternativa de investimento é considerada, vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a taxa mínima de atratividade.

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS

Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma divida.

Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósi-tos constituem os termos (T) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e 1 a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, entretanto, seu obje-tivo for amortizar uma divida, o valor dessa divida será o valor atual (ou valor presente da renda).

As rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas cer-tas são aquelas em que o número de termos, os vencimen-to dos termos e seus respectivos valores podem ser previ-amente fixados. Quando pelo menos um desses elementos não puder ser determinado com antecedência, a renda é chamada aleatória.

A grande maioria das rendas são certas; é o caso do conjunto das prestações para pagar uma mercadoria com-prada a prazo, onde o valor das prestações, os seus res-pectivos vencimentos e número são previamente conheci-dos. O exemplo mais típico de renda aleatória ê o conjunto dos pagamentos de prêmios de um seguro de vida, pois o número de pagamentos não pode ser fixado antecipada-mente.

RENDAS ANTECIPADAS (an )

Uma renda é antecipada se, tendo a renda n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n-1 períodos. Isto e, os depósitos ou os pagamentos se realizam no principio de cada período.

an = u - 1

iu

n

n - 1

RENDAS POSTECIPADAS OU IMEDIATAS (an )

Uma renda denomina-se postecipada ou imediata quando os depósitos ou os pagamentos se efetuam no fim de cada período e, portanto, o vencimento do último termo, tende a renda n termos, ocorre no fim de n períodos.

an = u - 1

iu

n

n

Para tal cálculo usamos a tabela V

RENDAS DIFERIDAS (mlan )

A renda é dita diferida de m períodos se o vencimento

do primeiro pagamento se dá no fim de n + 1 período e, tendo a renda n períodos, o vencimento do último se dará no fim de m + n períodos. Isto quer dizer que os depósitos ou os pagamentos começarão a se efetuar depois de de-corridos m períodos.

CAPITALIZAÇÃO (Sn )

m an = a - am +n m

O montante de uma renda unitária e temporária é a soma dos montantes de cada termo, constituído durante o tempo decorrido do seu vencimento ao vencimento do último termo.

Sn = u - 1

i

n

Tal valor é encontrado na Tabela III.

AMORTIZAÇÃO (a)

Para o valor atual de uma renda periódica e temporária de termos constantes e iguais a a, teríamos:

1) antecipada: 2) postecipada: 3) diferida:

a

u 1

iu

n

n - 1

a

u - 1

iu

n

n

a

u - 1

iu

n

m + n

CÁLCULO DO MONTANTE

Se Sn e o montante de n termos unitários, o montante de rendas constantes e temporárias será, sendo a o termo: a . Sn ou, representando por M o montante:

M = a u - 1

i

n

CÁLCULO DO TERMO, DO NÚMERO DE TERMOS E DA TAXA

Para o cálculo de cada um desses elementos, no pro-blema de rendas, precisamos considerar se ela é anteci-pada, postecipada ou diferida. Resolveremos problemas considerando cada caso.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Após essa breve pincelada teórica sobre rendas, passamos a resolver problemas. Em cada um deles daremos a fórmula a ser usada.

Podemos resolver tais problemas usando Tábuas Financeiras ou logaritmos. Usaremos os dois sistemas, aplicando sempre o que for mais conveniente.

EXERCÍCIO 1

Depositando anualmente R$ 2.000,00 em um banco; a juros compostos de 5% a.a., que capital teremos no fim de




8 anos?

Solução:

Pela tábua III:

M = a u - 1

i

n

1058, - 1

0,05 = 9,549.108.9

M = 2000 x 9,549,108.9

M = R$ 19.098,20

Por logaritmos, teremos:

log 1,058 = 8 x log 1,05 = 8 x 0,0021 . 2 = 0,169.6

1,058 = 1,478

M = 2000 x 2,05

0,05 =

8 1

= 2.000 x 9,560

M = 19. 129,00

EXERCÍCIO 2

Calcular o valor atual de uma renda anual imediata de 20 termos iguais a R$ 2.000,00, a 8% a.a.

Solução

Usamos a tabua V:

v = a u - 1

iu

n

n

108

0 08

20,

,

- 1

x 1,08 = 9,818.147.4

20

v = 2000 x 9.818.147.4

v = R$ 19.636,00

EXERCÍCIO 3

Qual a prestação anual que se deve pagar para, a 8% a.a., saldar a divida de R$ 19.636,30, em 20 anos?

Solução: Pela tábua V temos:

v = a u - 1

iu

n

n

a 8%, em 20 anos, a tábua V nos fornece 9,818.147.

Portanto:

19.636,30 = a . 9,818.147.4

a = 19.636,30

9.818.147.4 = R$ 2.000,00

aproximadamente

EXERCICIO 4

Calcular o valor atual de uma renda anual de 18 (os i-guais a R$ 800,00, diferida de 7 termos, a 5%.

Solução: Pela tábua V teremos:

m an = a - am +n m

7/a18 = a25 – a7 = 14,093.944.6 - 5.786.373.4

7/a18 = 8.307.571.2

V = 800 x 8,307.571.2

V = R$ 6.646,00

VALOR ATUAL DAS RENDAS IMEDIATAS

Sendo T o termo de uma renda imediata e A n| i seu

valor atual , temos:

A n|i = T . an |i

EXERCICIO 5

Calcular o valor atual de uma renda mensal de 1000 unidades monetárias, de 12 termos, a 1% ao mês.

Solução:

A n|i = T . an |i

T = 1.000

A 12 | 0,01 = 1.000 x 11,255077

A 12 | 0,01 = 11.255,77 u.m.




EXERCÍCIO 6

Que divida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de 5.000 u.m, com juros de 20% a.a.?

Solução: A n | i = T . a n | i

T = 5.000

A20 | 0,1 = 5.000 x 8.513.563

A20 | 0,1 = 42.567.815 u.m.

MONTANTE DE RENDAS IMEDIATAS

T = termo de uma renda imediata:

Sn | i = seu montante

Sn | i = T . sn | i

EXERCICIO 7

Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada se mestre, a importância de 1.000 u,m., a 20% a.a. Quanto terá no fim de 4 anos?

Solução:

Sn | i = T . sn | i

T = 1.000

S8 | 0,1 = 1.000 x 11,435888 = 11.435.888 u.m.

EXERCÍCIO 8

Realizando depósitos trimestrais imediatos de 500 u.m., obteve-se no fim de 3 anos, o montante de 7.732,01 u.m. Qual a taxa do juro?

Solução:

Sn | i = T . sn | i

s = S

Tn | in | i

S12 | 1 = 7.732.016

T = 500

s12 | 1 7.732.016

500

s12 | 1 = 15.464032

Na tábua III, o valor 15.464032, para 12 períodos cor-responde à taxa de 4,5%, portanto a taxa de aplicação é de 4,5% ao trimestre.

EXERCÍCIO 9

Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar, com 12 pagamentos, um financiamento de 10.000 u.m. com juros de 5% ao trimestre?

Solução:

A = T . a n|i n |i

T = A

a

n | i

n | i

A12 | 0,05 10 000.

a12 | 0,05 11 | 0,05 1 + a

1 + 8.306414 = 9,306.414 (T.V)

T 10.000

9,306414

T = 1.074,528 u.m.

MONTANTE DAS RENDAS ANTECIPADAS

S = T . sn | i n | i

Sendo T = o termo de uma renda antecipada e

S n | i seu montante.

EXERCÍCIO 10

Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos mensais de 1.000 unidades monetárias, à taxa de 1% o mês.




solução: S = T . sn | i n | i

T = 1.000

S18 1 | 0,01 18 | 0,01 s =

20,810895 – 1 = 19,810895

S18 | 0,01 1.000 x 19,810895

S18 | 0,01 19.810.895 u.m.

VALOR ATUAL DAS RENDAS DIFERIDAS

m A T m an | i n | i

T = termo de uma renda diferida e m/An | i o seu valor atual.

EXERCÍCIO 11

Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos tri-mestrais de 200 u.m, com 9 meses de carência, à taxa de 5% ao trimestre.

Solução :


T = 200

3 10a | 0,05 13 | 0,05 3 | 0,05 a - a

= 9,393573 - 2,723248 = 6,670325

3 A = = 200 x 6,67032510 | 0,05

= 1.334,065 u.m.

EXERCÍCIO 12

Calcular o valor de uma renda anual antecipada de termos iguais a R$ 30,00 a 6% a.a.

Solução:

v = u 1

iu

n

n - 1

u 1

iu = a

n

n - 1 n

an 1 + an - 1

Pela tábua V:

an = 1 + a14 = 1 + 9,294.983.9 =

= 10,294.983.9

v = 30 x 10,294.983.9

v = R$ 308,85

EXERCÍCIO 13

Qual a anuidade capaz de, a 6% a.a., e 15 prestações anuais, saldar a divida de R$ 30.884,95, sendo a primeira prestação paga no ato do empréstimo?

Solução:

v = u 1

iu

n

n -1

Pela tábua v:

u 1

iu = 1 + 9,294.483.9 =

n

n - 1

= 10,294.483.9

30.884,95 = a . 10,294.483.9

a = 30.884,95

10,294.483.9

a = R$ 3.000,00 aproximadamente

EXERCÍCIO 14

Qual o capital constituído com depósitos semestrais de R$ 25,00, a 6% a.a. capitalizados semestralmente, durante 20 anos?

Solução: Aplicando a tábua III:

M = 25 x 1,03 - 1

0,03

40

A taxa semestral proporcional a 6% a.a., em 20 anos será 3% em 40 semestres.

M = 2.500 x 47,575.42 = 11,463.88

= R$ 13.637,62

Por não constar em nossas tábuas o tempo de 40 anos lançamos mão de dois números: 47,575.42, correspondente a 30 anos, e 11,463.88, correspondente a 10 anos. E calculamos em 5 decimais, apenas.

EXERCÍCIO 15




Para resgatar uma divida de 26.930,98 u.m. serão ne-cessários 8 pagamentos trimestrais de 4.000 u.m. Qual a taxa de juros?

Solução : A n | i = T . a n | i

aA

n |n |

i i

T

A8 | i = 26.930,98

T = 4.000

a8 | i 26.930,98

4.000

a 8 | i = 6,732745

Na Tábua V, o valor 6,732745, para 8 períodos, corresponde à taxa de 4% a.a. Portanto, a taxa do problema e de 4% ao trimestre.

EXERCICIO 16

Um empréstimo de 100.000 u.m. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao trimestre.

Solução:


T = m A

m a

n | i

n | i

8 /A12 | 0,045 = 100.000

8/a12 | 0,045 = a20 | 0,045 = a8 | 0,045 =

= 13,007936 - 6,595886 = 6,412050

T = 100.000

6,412.050

T = 15.595.636 u.m.

EXERCÍCIO 17

Que divida se amortizaria, pagando-se no principio de cada ano a prestação de R$ 3.000,00, durante 15 anos a 6% a.a.?

Solução:

Vamos resolver este exercício por logaritmos.

v = a u 1

iu

n

n - 1

log 1,0614

= 14 . log 1,06 =

14 . 0,025.3 = ú,35Í

1,0614

= 2,260

1,0615

= 2,395.6

v = 3.000 x 1,06

x 1,06

15

14

1

0 06,

v = 3.000 x x 2,26

1395 6

0 06

, .

,

v = R$ 30.876,00

EXERCÍCIO 18

Que divida poderia ser amortizada com 20 prestações iguais a R$ 2.000,00 à taxa de 8% a.a.?

Solução: Vamos usar novamente logaritmos:

v = a u 1

iu

n

n - 1

log 1,0820

= 20 . log 1,08 =

20 . 0,033.4 = 0,668.

1,0820

= 4,656

v = 2.000 1,08 - 1

0,08 x 1,08

20

20 v = 2000 .

v = 2.000 x 9,815.3

v = R$ 19.631,00

EXERCÍCIO 19

Calcular o valor do montante da aplicação de R$ 150,00 por 10 meses, a uma taxa mensal de 1%.

Solução:

C = 150, n = 10, i = 1%

M = C . S n | i

M = 150 . S10 | 10

Pela tabela:

S10 | = 10,46222125

Portanto:




M = 150 . 10,4622125 .

M = R$ 1.569,33

EXERCICIO 20

Calcular o valor das prestações mensais que, aplicado por 1 ano, à taxa de 2% a.m., dá um total capitalizado de R$ 50.000,00.

Solução:

M = 50.000, n = 12, i = 2%

M = C . Sn | i C = M

Sn | i

C = 50.000

S12 | 2

Procurando na tabela encontramos o número 13,4120897

C = 50.000

13,4120987

Resposta: As parcelas mensais deverão ser iguais a R$ 3.727,98.

EXERCÍCIO 21

Na porta de um banco lê-se a propaganda de um investimento que diz:

"Deposite mensalmente R$ 100,00 e, em 24 meses, retire R$ 3.442,65".

Qual é a taxa mensal de juro composto do investimento?

Solução:

M = 3.442,65 C = 100 n = 24

M = C . Sn | i

3.442,65 = 100 . S24 | i

3.442,65

100 = S24 | i

3.442,65 = S24 | i

Recorrendo à tabela Sn | i, para n = 24, encontraremos -

em i = 3% o valor 34,4264702, que, nesse caso, é o próxi-mo.

Resposta: A taxa é de, aproximadamente, 3% ao mês.

EXERCÍCIO 22

Calcular o montante produzido por 12 prestações de R$ 1.000,00 colocados mensalmente a juros de 3% a.m. sen-do a primeira parcela antecipada.

Solução:

C = 1.000 n = 12 1 = 3%

M = C antecipado . ( 1 + i ) . S n | i

M =1.000 . (1+ 0,03) . S12 | 3

M =1.000 . 1,03 . 14,1920296

M = 14 617,79

Resposta: R$ 14.617,79

EXERCÍCIO 23

Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financia-mento feito a base de 6% a.m., que divida estarei amorti-zando?

Solução:

C = 300 i = 6% n = 20

M = C . a n | i = 300 . a 20 | 6

Procurando a20 |6 na tabela, encontramos o valor 11,469921. Portanto:

M = 300 . 11,469921 = 3.440,97

Resposta: a quantia total amortizada é de R$ 3.440,97

EXERCÍCIO 24

Em quantas prestações de R$ 796,80 quitarei uma divi-da de R$ 10.000,00, se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.?

Solução:

M = 10.000 C = 796,80 i = 4%

Como M = C . a n | i temos

10.000 = 796,80 . a n | 4

10.000

796,80 = a a 12,550201n | 4 n | 4

Procurando i = 4 na tabela de an | i encontraremos em n = 18 o fator 12,659270, que aceitaremos como o mais




próximo. Portanto, devera ser 18 o número de prestações mensais iguais.

Resposta: A divida será quitada em 18 prestações.

EXERCÍCIO 25

Calcular o valor atual de uma divida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa no período de 2%.

Solução:

C = 800 i = 2 n = 8

O valor atual é o total da divida (M).

M = C . a n | i

M = 800 . a 8 | 2

M = 800 . 7,3254814

M = 5.860,38

Resposta: O valor atual e de R$ 5.860,38.

EXERCICIO 26

Qual é o valor atual de uma renda antecipada de 9 às 19uais a R$ 1.200,00 com taxa, no período, de 2,6%.

Solução:

C = 1200 i = 2,6 n = 9

O valor atual é o total da divida (M)

M = (1 + i ) . C . a n | i

M = (1 + 0,026) . 1200 . a9 | 2,6

M = 1,026 . 1200 . 7,7334088

= 9 767,61

Resposta: O valor atual é de R$ 9.767,61.

EXERCÍCIO 27

Uma amortização constante de 20 parcelas mensais de R$ 860,00 tem carência de 6 meses e taxa mensal de 2%. Qual o valor do financiamento na ocasião do contrato?

Solução:

C = 860 i = 2% carência = 6 n = 20

M = C . (a26 | 2 - a6 | 2)

Consultando a tabela, temos:

M = 860 . (20,12103576 - 5,60143089)

M = 860 . 14,519604

M = 12 486,86

Resposta: 0 financiamento é de, aproximadamente, R$ 12.486,86.

EXERCICIO 28

Calcular o valor atual de uma renda mensal de 12 termos iguais a R$ 2.000,00 com carência de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de juros.

Solução: C = 2000

i = 5

n = 12

carência = 4

M = C . (a16 | 5 – a4 | 5)

M = 2000 . (10,8377696 - 3,5459505)

M = 2000 . 7,291819

M = 14.583,65

Resposta: o valor atual é de R$ 14.583,64.

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO

1. INTRODUÇÃO

Os empréstimos de grandes quantias por parte das financeiras para compra de imóveis vêm, em geral, acompanhados de prazos dilatados para o pagamento. São os empréstimos a longo prazo.

No caso deste tipo de empréstimo é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida. São os chamados sistemas de amortização. Trataremos aqui dos sistemas em que a taxa de juros é constante e calculada sempre sobre o saldo devedor.

O que difere um sistema de amortização do outro é, basicamente, a maneira como são obtidas as parcelas. Elas podem ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo compostas sempre por duas partes: juros e amortização propriamente dita.

2. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO

Nesse sistema, as prestações são sempre fixas. O que varia é a sua composição, ou seja, variam a parte correspondente aos juros e a parte correspondente à amortização da dívida inicial. Normalmente, os juros vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo, ao inverso da amortização, que vai aumentando,




Vejamos, por exemplo, como poderiam ser algumas parcelas de um financiamento desse tipo ;

Parcela Juros Amortização Prestação

10.ª

11.ª

12.ª

792,00

548,00

284,60

3 049,40

3 293,30

3 556,80

3 841,40

3 841,40

3 841,40

O gráfico apresentado a seguir esclarece melhor esta situação:

Observe que a prestação fixa é obtida adicionando-se juros e amortização, que variam na ordem inversa. Ou seja, os juros vão diminuindo e a amortização vai aumentando.

Este sistema pode ser também acompanhado de prazo de carência. Nesse caso, os juros podem ser pagos durante o prazo de carência ou capitalizados no saldo devedor.

2.1. Sistema Francês sem Prazo de Carência

Consideremos, como exemplo, um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago, sem carência, em 8 parcelas à base de 5% a.m. de juros.

A parcela constante nesse caso pode ser obtida através da fórmula:

Ma

Cn i

1

10001

1547 228 5

a

C C ,

Que parte corresponde aos juros? Que parte amortiza a dívida?

Incidindo a taxa de 5% sobre o saldo devedor inicial, teremos: Juros = 0,05 X 10.000 = 500

A parte referente aos juros na primeira prestação será de $ 500,00. Como a prestação total é de $ 1547,22 o valor

que amortiza a dívida é:

Amortização = 1 547,22 - 500,00

Amortização = 1 047,22

O saldo devedor passa agora a ser :

Saldo = 10.000,00 - 1 047,22

Saldo = 8 952,78

Ao final do primeiro período, teremos então o seguinte:

Período Saldo Devedor

Amortização Juros Prestação

1 8.952,78 1.047,22 500,00 1.547,22

O processo se repete agora para o segundo período :

Juros = 0,05 . 8 952,78 = 447,64

Amortização = 1 547,22 - 447,64 = 1 099,58

Saldo devedor = 8 952,78 - 1 099,58 = 7 853,20

Teremos, então, ao final do segundo período a seguinte situação:

Período Saldo

Devedor


2 7.853,20 1.099,58 477,64 1.547,22

Repetindo o processo até a quitação total da dívida, obteremos um plano completo, apresentado na tabela que

segue:



0 10.000,00 - - -

1 8.952,78 1.047,22 500,00 1.547,22

2 7.853,20 1.099,58 447,64 1.547,22

3 6.698,64 1.154,56 392,66 1.547,22

4 5.486,35 1.212,29 334,93 1.547,22

5 4.213,45 1.272,90 274,32 1.547,22

6 2.876,90 1.336,55 210,67 1.547,22

7 1.473,53 1.403,37 143,85 1.547,22

8 - 1.473,53 73,66 1.547,22

TOTAL 10.000,00 2.377,73 12.377,76

Podemos observar pela linha total, salvo aproximação, que :

Amortização + Juros = Total das prestações




2.2. Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros

Neste caso, é dado ao credor um prazo durante o qual ele pagará apenas os juros da dívida, sem, no entanto, amortizá-la durante essa carência.

Tomemos o exemplo de um financiamento de $ 10.000,00 a 5% a.m. durante 8 meses, com carência de 3 meses. Os juros sobre o saldo devedor inicial serão de : Juros = 10.000,00 . 0,05 = 500

Este valor será pago nos três primeiros períodos. Desse modo, ficaremos com o seguinte esquema:



0 10.000,00 - - -

1 10.000,00 - 500,00 500,00

2 10.000,00 - 500,00 500,00

A partir do mês seguinte, inicia-se a amortização. A prestação fixa será dada agora por :

C Man i

1

ca

C

10 0001

1547 228 5

. . ,

Os juros e as amortizações serão, daqui para a frente, calculados do mesmo modo que o já mostrado no caso sem carência. O plano completo será, então, o seguinte:

Períod

o

Saldo

Devedor

Amortizaçã

o

Juros Prestação

0 10.000,00 - - -

1 10.000,00 - 500,00 500,00

2 10.000,00 - 500,00 500,00

3 8.952,78 1.047,22 500,00 1.547,22

4 7.853,20 1.099,58 447,64 1.547,22

5 6.698,64 1.154,56 392,66 1.547,22

6 5.486,35 1.212,29 334,93 1.547,22

7 4.213,45 1.272,90 274,32 1.547,22

8 2.876,90 1.336,55 210,67 1.547,22

9 1.473,53 1.403,37 143,85 1.547,22

10 - 1.473,53 73,66 1547,22

TOTAL 10.000,00 3.377,73 13.377,76

2.3. Sistema Francês com Carência e Capitalização de Juros

Neste caso, durante o período de carência, o devedor não paga os juros da dívida, que são capitalizados no saldo devedor.

Vamos considerar o mesmo exemplo do financiamento de $ 10.000,00, em 8 parcelas mensais, carência de 3 meses, taxa mensal de juros de 5% e capitalização dos juros no saldo devedor.

Os três primeiros períodos podem ser observados no quadro abaixo:

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 10.000,00 - - -

1 10.500,00 - - -

2 11.025,00 - - -

Perceba que ao saldo devedor foram sendo acrescentados os juros não pagos.

A partir do período seguinte começam a ser cobradas as parcelas referentes à amortização e aos juros. Da soma dessas parcelas resultará a prestação que, agora, deverá ser calculada a partir do saldo devedor atual ($ 11 025,00).

C Ma

Ca

Cn i

111025

11705 81

8 5

. . ,

Os juros de 5% no primeiro período serão calculados sobre $11 025,00.

Juros = 11.025 . 0,05 = 551,25

Amortização = Prestação - Juros

Amortização = 1 705,81 - 551,25 = 1.154,56

Saldo devedor = Saldo devedor anterior - Amortização

Saldo devedor = 11.025,00 – 1.154,56 = 9.870,44

O esquema, agora, fica assim:

Período Saldo Devedor Amortização

Juros Prestação

0 10.000,00 - - -

1 10.500,00 - - -

2 11.025,00 - - -

3 9.870,44 1.154,56 551,25 1.705,81

Para o próximo período, os juros de 5% serão calculados sobre o saldo devedor de $ 9.870,44.

Juros = 9 870,44 . 0,05 = 493,52




Amortização = 1 705,81 - 493,52 = 1 212,29

Saldo devedor = 9 870,44 - 1 212,29 = 8 658,15

O plano completo de amortização nesse caso ficará:


0 10.000,00 - - -

1 10.500,00 - - -

2 11.025,00 - - -

3 9.870,44 1.154,56 551,25 1.705,81

4 8.658,15 1.212,29 493,52 1.705,81

5 7.385,25 1.272,90 432,91 1.705,81

6 6.048,70 1.336,55 369,26 1.705,81

7 4.645,33 1.403,37 302,44 1.705,81

8 3.171,79 1.473,54 232,27 1.705,81

9 1.624,57 1.547,22 158,59 1.705,81

- TOTAL 11.025,00 2.621,47 13.646,48

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBURGUÊS

Nesse caso, as prestações são variáveis, a amortização é fixa e os juros, em geral, vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo.

O gráfico apresentado a seguir, esclarece melhor esta situação:

Observe que a amortização é fixa e que os juros decrescem juntamente com a prestação.

SAC - Sem Prazo de Carência

Vamos supor um financiamento de $ 2.000,00 à taxa de 3% a.m., com um prazo de 8 meses.

A parcela fixa da amortização é obtida dividindo o valor financiado ($ 2.000,00) pelo número de prestações. No financiamento que tomamos como exemplo, o número de prestações é 8.

2 000

8250

.

A parcela de juros vai variar em função do saldo devedor, tomado no período anterior.

Vamos fazer os cálculos referentes à primeira parcela:

Saldo devedor = 2 000

Juros = 2 000 . 0,03 = 60

Amortização = 250

Prestação = 250 + 60 = 310

Então, no final do período, teremos:



1 1.750,00 250,00 60,00 310,00

Agora, vamos fazer os cálculos referentes à segunda parcela:

Saldo devedor = 1 750

Juros = 1 750 . 0,03 = 52,50

Amortização = 250

Prestação = 250 + 52,50 = 302,50

Então, no final do período teremos:


2 1.500,00 250,00 52,50 302,50

Repetindo esse processo até a quitação total da dívida, teremos o seguinte plano:



0 2.000,00 - - -

1 1.750,00 250,00 60,00 310,00

2 1.500,00 250,00 52,50 302,50

3 1.250,00 250,00 45,00 295,00

4 1.000,00 250,00 37,50 287,50

5 750,00 250,00 30,00 280,00

6 500,00 250,00 22,50 272,50

7 250,00 250,00 15,00 265,00

8 - 250,00 7,50 257,50




TOTAL 2.000,00 270,00 2.270,00

Obs.: Os juros e as prestações são funções de 1.º grau: J = 0,03 . (2 000 - 250 . n)

Nessa expressão, n é o período e J os juros.

P = J + 250 = 0,03 . (2 000 - 250 . n) + 250

Nessa expressão, P é a prestação do período.

SAC com Prazo de Carência e Pagamento de Juros

Neste caso, durante o período de carência é feito apenas o pagamento dos juros, não havendo nenhuma amortização.

Vejamos um exemplo :

Consideremos um financiamento de $ 2 000,00, à taxa de 8% a.m., com um período de carência de 3 meses. O plano de amortização fica como mostra a tabela:



0 2.000,00 - - -

1 2.000,00 - 60,00 60,00

2 2.000,00 - 60,00 60,00

3 1.750,00 250,00 60,00 310,00

4 1.500,00 250,00 52,50 302,50

5 1.250,00 250,00 45,00 295,00

6 1.000,00 250,00 37,50 287,50

7 750,00 250,00 30,00 280,00

8 500,00 250,00 22,55 272,50

9 250,00 250,00 15,00 265,00

10 - 250,00 7,50 257,50

TOTAL 2.000,00 390,00 2.390,00

SAC com Prazo de Carência e Juros Capitalizados no Saldo

Neste caso, durante a carência, o devedor não paga absolutamente nada. Os juros desse período vão servir para aumentar o saldo devedor.

Vejamos um exemplo :

Para o financiamento de $ 2.000,00, a 3% a.m., durante 8 meses e com período de carência de 3 meses, podemos começar calculando o saldo capitalizado. Assim, depois de um período, temos:

Saldo1 = 2 000 . 1,03 = 2 060

Depois de dois períodos, temos:

Saldo2 = 2 060 . 1,03 = 2 121,80

Para calcular a parcela fixa de amortização é necessário dividir 2.121,80 por 8.

212180

8265 23

. ,,

Daqui para a frente, o processo é o mesmo. A tabela com todo o plano fica assim:



0 2.000,00 - - -

1 2.060,00 - - -

2 2.121,80 - - -

3 1.856,57 265,23 63,65 328,88

4 1.591,34 265,23 55,70 320,93

5 1.326,11 265,23 47,74 312,97

6 1.060,88 265,23 39,78 305,01

7 795,65 265,23 31,83 297,06

8 530,42 265,23 23,87 289,10

9 265,19 265,23 15,91 281,14

10 - 265,19 7,96 273,15

Total 2.121,80 286,44 2.408,24

Obs.: Comparando as tabelas dos planos de carência com pagamento ou não dos juros no período, você pode ver que usando o segundo sistema, paga-se mais. Isso ocorre porque o que deveria ser juros passa a ser principal.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

Este é um sistema mais moderno, que não apresenta nenhuma dificuldade teórica aos que já foram estudados, uma vez que ele é simplesmente a média aritmética entre o Sistema Francês de Amortização e o SAC. O gráfico ao lado compara a evolução das prestações nesses três sistemas.




Suponha dois planos de financiamento de $ 10.000,00 em 5 meses, à taxa de 5% a.m., primeiro pelo SAC e depois pelo Sistema Francês.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Período Saldo

Devedor


0 10.000,00 - - -

1 8.000,00 2.000,00 500,00 2.500,00

2 6.000,00 2.000,00 400,00 2.400,00

3 4.000,00 2.000,00 300,00 2.300,00

4 2.000,00 2.000,00 200,00 2.200,00

5 - 2.000,00 100,00 2.100,00

TOTAL 10.000,00 1.500,00 11.500,00

SISTEMA FRANCÊS

Perío

do

Saldo

Devedor


0 10.000,00 - - -

1 8.190,25 1.809,75 500,00 2.309,75

2 6.290,01 1.900,24 409,51 2.309,75

3 4.294,76 1.995,25 314,50 2.309,75

4 2.199,75 2.095,01 214,74 2.309,75

5 - 2.199,75 109,99 2.309,75

10.000,00 1.548,74 11.548,75

O mesmo plano calculado com base no SAM ficaria assim:

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM)



0 10.000,00 - -

1 8.095,20 1.904,80 500,00 2.404,88

2 6.145,08 1.950,12 404,76 2.354,88

3 4.147,45 1.997,63 307,25 2.304,88

4 2.099,94 2.047,51 207,37 2.254,88

5 - 2.099,94 105,00 2.204,88

10.000,00 1.524,38 11.524,40

Perceba tanto pelas prestações, como pelos juros ou pelo saldo devedor, que, em cada período, os valores no SAM são, com exceção da aproximação, a média aritmética entre o valor do SAC e o do Sistema Francês.

CÁLCULO FINANCEIRO

CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FI-NANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO

A Inflação e correção monetária

A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à disposição da sociedade; quando ocorre o fenômeno inverso, tem-se a deflação. Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutrali-zar as distorções causadas pela inflação na economia, foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetá-ria. Através desse princípio, os valores monetários (preços de bens e serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos etc.) poderiam ser reajus-tados com base na inflação ocorrida no período anterior, medida por um índice de preços calculado por uma entida-de credenciada, normalmente pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).

O que é um indexador

lndexador, tal como usado pelo mercado financeiro, po-de ser entendido como qualquer valor ou índice utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetá-ria, depreciado em função da elevação sistemática dos ní-veis gerais de preços.

Construção de um indexador e sua utilização

Para facilitar a compreensão do leitor, vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN, criado em feve-reiro de 1989 e extinto em fevereiro de 1991. Esse indexa-dor foi construído com base na variação mensal dos preços ao consumidor, calculado pelo IBGE. Para os cinco primei-ros meses, de fevereiro até junho, essas variações foram, respectivamente, de 3,60%, 6,09%, 7,31%, 9,94% e 24,83%. Seu valor inicial, na data de 01-02-89, foi fixado em NCzS 1,00 (um cruzado novo). Para a obtenção do valor do mês seguinte, adicionou-se a variação de 3,60% do mês de fevereiro, obtendo-se NCzS 1,0360; o valor do BTN de abril foi obtido adicionando-se 6,09% ao valor do mês anterior e assim sucessivamente. Com esse procedi-mento, obtém-se os seguintes valores para os cinco primei-ros meses de nosso exemplo, válidos para o primeiro dia de cada mês:

Mês Variação

mensal (%)

BTN

Fevereiro/89

Março

Abril

3,60

6,09

7,31

1 ,0000

1 ,0360

1 ,0991




Maio

Junho

9,94

24,83

1 ,1794

1 ,2966

O quadro mostra que o valor do BTN se constituía, na verdade, num índice de preços, como também se constitu-íam, no passado, a ORTN, a OTN e o fator acumulado da TR; atualmente, temos como exemplos a UFIR, a UPF (Unidade Padrão de Financiamento) e as Unidades Fiscais dos estados e municípios.

A utilização de um índice de preços, isto é, de um inde-xador, é uma prática generalizada no Brasil. A partir de seus valores, obtém-se facilmente a variação dos preços ocorrida entre duas datas quaisquer, ou o valor atualizado de um empréstimo, de uma aplicação financeira ou de um bem ou serviço. Para a obtenção da variação, basta dividir o índice referente à data atual pelo índice correspondente à data anterior (a partir da qual se pretende determinar a variação), e subtrair 1. Assim, no caso de nosso exemplo, a variação de 10 de março a 10 de junho é calculada como segue:

variação = 0360,1

2966,1 - 1 = 0,2515444 ou 25,15444 %

Essa variação corresponde às variações acumuladas dos meses de março, abril e maio.

Para se corrigir monetariamente um valor, ou seja, in-corporar ao preço inicial a variação correspondente à infla-ção do período, basta dividir esse valor pelo índice corres-pondente à data do inicio do período (a partir da qual se pretende corrigir) e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. No caso do exemplo anterior, um valor inicial de $ 100.000,00 seria corrigido como segue:

Valor corrigido = 0360,1

00,000.100 x 1,2966 = 125.154,44

A partir deste exemplo, podemos apresentar uma fór-mula genérica para atualização monetária de valores e que será utilizada ao longo de todo este capítulo. Para tanto, vamos chamar de principal o preço inicial de uma merca-doria ou serviço, ou o valor inicial de um empréstimo ou de uma aplicação financeira, e de indexador qualquer índice utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. A fórmula é a seguinte:

vo

c I x I

PP

em que Pc é o principal corrigido, P o principal inicial, lo o indexador correspondente à data inicial (data do contrato) e lv o indexador da data do vencimento, pagamento ou resgate.

Nos casos em que somente a variação do indexador é conhecida, a atualização se fará como segue: Pc= P x (1 + v1) x ( 1 + v2) x ( 1 + v3) x ..... x (1 + vn) em que v representa a variação (diária, mensal ou anual) do indexador e os índices 1, 2, 3, ....., n, o número de ordem do período unitário (dia, mês ou ano).

lndexador utilizado neste capítulo

A parte final do breve histórico apresentado sobre a in-dexação no Brasil dá ao leitor uma idéia das dificuldades

que enfrentamos para escrever este capitulo. Nos exercí-cios com rendas e encargos pós-fixados apresentados na primeira tiragem da quarta edição,, utilizamos a URV como principal indexador por entender que a TR, até então a mais utilizada para atualizar os valores das aplicações e dos empréstimos, fosse extinta pelo governo logo após a criação do REAL. Entretanto, isso não ocorreu! E embora o governo esteja propondo-se a desindexar a economia a partir do inicio deste ano de 1995 (época em que estamos revisando a quinta edição deste livro), não é provável que o faça tão cedo. Assim, não nos resta outra alternativa a não ser adotar essa taxa referencial como indexador, em que pese a todas as restrições que fazemos a ela. A TR é uma taxa mensal calculada e divulgada diariamente pelo Banco Central, sendo utilizada para corrigir valores monetários desde o dia a que se refere (dia em que é calculada) até igual dia do mês seguinte. Assim, a TR de 2,61% referente ao dia 19 de janeiro de 1995 corrige um empréstimo no valor de S 1.000,00, obtido nesse dia, para S 1.026, 1º no dia 19 de fevereiro.

APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXA

Vamos considerar como aplicações financeiras de ren-da fixa todas aquelas realizadas em títulos e valores mobi-liários, inclusive cadernetas de poupança e fundos de in-vestimentos. Denomina-se renda fixa por garantir ao apli-cador determinado rendimento, fixado no dia da aplicação, isto é, o investidor seguramente receberá no vencimento um valor maior que o desembolsado, o que pode não acon-tecer com as aplicações em renda variável. As aplicações com renda fixa podem ser pré e pós-fixadas. É prefixada quando o valor de resgate é conhecido no dia da aplicação e pós quando esse valor somente é determinado no dia (ou alguns dias antes) do vencimento. As aplicações com ren-da pósfixada pagam juros calculados sobre o principal corrigido, ou seja, sobre o valor da aplicação adicionado da correção monetária do período. Os exemplos seguintes facilitarão o entendimento do leitor.

Aplicações com renda prefixada

Vamos tratar de aplicações nos seguintes títulos e valores mobiliários:

a) Certificados de Depósitos Bancários (CDB). São tí-tulos emitidos pelos bancos comerciais, de investi-mentos ou desenvolvimento, e pelas caixas eco-nômicas; é o instrumento mais utilizado para a cap-tação de recursos normalmente destinados ao fi-nanciamento de capital fixo e de giro das empre-sas. O prazo mínimo de emissão tem variado muito nos últimos anos, sendo atualmente de 30 dias. O prazo máximo não é fixado.

b) Recibos de Depósitos Bancários (RDB). São reci-bos de depósito a prazo fixo, emitidos pelas mes-mas instituições financeiras, com a mesma finali-dade e com os mesmos prazos.

c) Letras de Câmbio (LC): são títulos emitidos pelas chamadas "Financeiras", as Sociedades de Crédi-to, Financiamento e Investimento, para captação de recursos destinados ao financiamento de bens e serviços, para pessoas físicas ou jurídicas, opera-ção conhecida no mercado por "crédito direto ao consumidor". Os prazos de emissão são idênticos aos do CDB e RDB. Com a intensificação do pro-cesso de transformação de Financeiras em bancos múltiplos, o volume de emissão de Letras de Câm-bio tem se reduzido muito nos últimos anos. A ten-




dência natural é sua extinção a médio prazo.

d) Bônus do Banco Central (BBC). São títulos de cur-to prazo emitidos pelo Banco Central do Brasil para a captação de recursos destinados ao atendimento das necessidades de caixa do Tesouro Nacional; pane substancial das emissões é adquirida pelas instituições financeiras para lastreamento das ope-rações de open market e para compor as carteiras dos fundos de investimentos em renda fixa, variá-vel e de commodities. São sempre emitidos numa quarta-feira e com vencimento também numa quar-ta, portanto, com prazos múltiplos de 7; atualmente são mais comuns os de 28, 35 e 42 dias.

e) Letras do Tesouro Nacional (LTN). São títulos idên-ticos ao anterior. A única diferença é que são emi-tidos pelo Tesouro Nacional.

Todas as aplicações financeiras estão sujeitas à inci-dência do Imposto de Renda na fonte. Até 31 de dezembro de 1994, o Imposto de Renda, descontado na fonte, incidia apenas sobre o chamado rendimento real (também cha-mado de ganho de capital), correspondente ao rendimento que excedesse ao valor da correção monetária calculada com base na UFJR (Unidade Fiscal de Referência), ou seja, sobre o valor que ultrapassasse ao principal corrigido por esse indexador. A partir de 1° de janeiro de 1995, o Imposto de Renda pago na fonte passou a ser cobrado a razão de 10% sobre o rendimento bruto, ou seja, sobre o rendimento total obtido, independentemente do prazo da aplicação.

A fim de facilitar o entendimento dos exemplos apresentados a seguir, vamos estabelecer as seguintes convenções:

P = principal ou valor aplicado: valor desembolsado pelo aplicador;

Pc = principal corrigido: valor da aplicação adicionado da correção monetária;

VR =valor de resgate: valor de resgate da aplicação ou do título antes do desconto do Imposto de Renda;

VRL = valor de resgate líquido: valor de resgate menos o Imposto de Renda;

RB = rendimento total ou bruto: dado pela diferença entre o valor de resgate e o valor aplicado;

RL = rendimento líquido: é o valor do rendimento bruto menos o valor do Imposto de Renda;

n = prazo (normalmente em número de dias);

i = taxa utilizada pelo mercado para explicitar o rendimento bruto a ser pago, seja ele pré ou pós-fixado; normalmente é informada para um período de 30 dias (taxa mensal) ou de 360 dias (taxa anu-al) ;

TEB = taxa efetiva bruta: dada pela divisão do ren-dimento bruto pelo valor da aplicação (ou pela divi-são do valor de resgate pelo valor da aplicação, menos 1);

TEL = taxa efetiva líquida: dada pela divisão do rendimento líquido pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo valor da a-plicação, menos 1);

TRB = taxa real bruta: dada pela divisão do rendi-mento real pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate pelo principal corrigido, menos 1);

TRL = taxa real líquida: dada pela divisão do rendi-mento real líquido pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo principal corrigido, menos 1);

a = alíquota do Imposto de Renda,

Exemplos com CDB, RDB ou LC

(O exemplo para um tipo de aplicação é válido para todos, já que os três têm as mesmas características)

A) Um investidor aplica S 36.000,00 num Certificado de Depósito Bancário (CDB), com 30 dias de prazo. Sabendo-se que o Banco emitente paga uma taxa de 39% ao ano, determinar o valor de resgate, o valor do lmposto de Renda e o valor de resgate líquido dessa aplicação.

Solução:

a) Cálculo do valor de resgate

VR = 360n

a )i 1 ( P

em que ia é a taxa anual e n o prazo em dias.

VR = 36.000,00 x (1 + 39%)30/360

VR = 36.000,00 x (1,39)30/360

= 37.001,59

b) Cálculo do valor do Imposto de Renda

IR = a x RB

RB = 37.001,59 - 36.000,00 = 1.001,59

IR =10% x 1.001,59 = 100,16

c) Cálculo do valor de resgate líquido

VRL = VR - IR = 37.001,59 - 100,16 =

36.901,43

Exemplo com BBC e LTN

Na negociação desses dois títulos, os agentes do mercado partem de um valor de resgate hipotético de $ 1.000,00. E, considerando o prazo e a taxa de juros, determinam seu valor de compra ou venda, denominado de PU (preço unitário). Embora o mercado brasileiro, no caso




dessas operações, esteja atualmente trabalhando com o prazo representado por número de dias úteis, vamos considerar sempre dias corridos. Essa decisão deve-se ao fato de a utilização de dias corridos ser uma norma universal, e porque considero esse critério o mais correto.

B. Em um leilão efetuado pelo Banco Central, um Ban-co adquire BBCS com prazos de 28 e 35 dias, ambas co-tadas a uma taxa de juros de 37% ao ano. Calcular, para os dois prazos mencionados, o preço pago pelo Banco para cada $ 1.000,00 de resgate.

Solução:

a) para o prazo de 28 dias

A partir da fórmula do montante para juros compostos, tem-se que:

360n

a i 1

VRP

81,975

00,000.1P

36028

,371

O valor presente P = $ 975,81 constitui-se no chamado PU (preço unitário). Assim, no caso deste exemplo, o PU nada mais é do que o valor atual do título para cada $ 1.000,00 de resgate, A "unidade", que neste caso é igual a $ 1.000,00, poderia ser de $ 1,00, $ 10,00, $ 100,00 ou qualquer outro valor.

b) para o prazo de 35 dias

86,969

00,000.1P

36035

,371

Aplicações com renda pós-fixada

Neste subitem temos uma grande variedade de aplica-ções. Vamos tratar somente das mais importantes: cader-netas de poupança, CDBS, RDBS, Letras de Câmbio, Notas do Tesouro Nacional (NTN), Debêntures e os fundos de investimentos. A tributação é idêntica à das aplicações em renda prefixada mostrada no subitem anterior, ou seja, Imposto de Renda de 10% sobre o rendimento total.

Vamos tratar inicialmente das aplicações em CDB, RDB e LC, cujas características já foram mencionadas no subi-tem anterior; as diferenças dessas aplicações em relação àquelas com rendimentos prefixados é que nestes casos o prazo mínimo de emissão dos títulos é atualmente de 120 dias e os rendimentos são calculados com base no princi-pal corrigido pelo indexador adotado. E como já mencio-namos no início deste capítulo, vamos adotar a TR (Taxa Referencial de Juros) como principal indexador.

Exemplo com CDB, RDB e LC

C. Calcular o valor de resgate líquido já descontado o Imposto de Renda) de uma aplicação em CDB com renda pós-fixada no valor de $ 5.000,00, pelo prazo de 120 dias, sabendo-se que o Banco paga juros de 16% ao ano. A aplicação foi feita no dia 5 de janeiro para resgate no dia 5 de maio do mesmo ano. Admitir que as TR referentes aos dias 5 dos meses de janeiro, fevereiro, março e abril

tenham sido de 2,21%, 1,96%, 2,13% e 2,37% respectivamente.

Solução:

a) Cálculo do valor de resgate

VR = 360n

ac )i 1 ( P

Pc= 5.000,00 x 1,0221 x 1,0196 x 1,0213 x 1,0237

= 5.447,78

VR = 5.447,78 x 360120

16,1 = 5.724,08

b) Cálculo do Imposto de Renda

IR = 10% x RB = 0,10 x RB

RB = VR - P= 5.724,08 - 5.000,00 = 724,08

IR = 0,10 x 724,08 = 72,41

c) Cálculo do valor de resgate líquido

VRL = VR - IR = 5.724,08 - 72,41 = 5.651,67

Operações com Cadernetas de Poupança

As cadernetas de poupança constituem a forma mais popular de aplicação de recursos no Brasil. Tradicional-mente, elas vêm rendendo correção monetária calculada com base num indexador, mais juros de 0,5% ao mês (e-quivalente a 6,168% ao ano) incidente sobre o valor do depósito acrescido da correção monetária; caso haja algum saque durante o mês, contado desde o dia do depósito até o dia anterior ao do crédito, valerá o menor saldo do mês para efeito de cálculo do rendimento. Nas aplicações feitas por pessoas físicas, o rendimento é creditado mensalmente no dia do chamado "aniversário" ou data-base, isto é, no dia do mês do crédito correspondente ao mesmo dia do mês em que foi aberta. Assim, se uma caderneta é aberta no dia 3 de janeiro, os rendimentos serão creditados no dia 3 dos meses subseqüentes. Entretanto, há exceções: se a conta for aberta nos dias 29, 30 ou 31, considerar-se-á aberta no dia 1° do mês seguinte.

No caso das aplicações feitas por pessoas jurídicas, os rendimentos são creditados trimestralmente, calculados à razão de 1,5% sobre o valor do depósito corrigido pelo indexador utilizado. Em caso de movimentação da conta durante o trimestre, os rendimentos serão calculados com base no menor saldo existente nesse trimestre. De acordo com a legislação atual, incide Imposto de Renda de 10% sobre o total dos rendimentos. Esse fato praticamente inviabiliza a caderneta de poupança para pessoas jurídi-cas.

Considera-se mês, no caso das cadernetas de poupança, o período compreendido entre o dia do depósito e o dia do "aniversário" no mês seguinte.

No momento em que estamos revisando este capítulo,




o indexador oficial utilizado para corrigir os depósitos de poupança continua sendo a TR. E é esse que vamos utili-zar. A correção monetária calculada com base nesse inde-xador é chamada também de atualização monetária.

D. O Sr. W. Vilan abriu uma caderneta de poupança no dia 13-09-94 com um depósito de $ 4.500,00. Sabendo-se que a TR desse dia foi de 2,57%, calcular os valores da correção monetária e dos juros creditados em 13- l 0-94. Como se sabe, a taxa de juros é de 0,5% ao mês.

Solução:

Valor da correção monetária

CM = 2,57% x 4.500,00 = 11 5,65

Valor dos juros

Juros = 0,5% x (4.500,00 + lis,65) = 23,08

Saldo da conta em 13-10-94

Saldo = 4.500,00 + 115,65 + 23,08 = 4.638,73

O saldo dessa conta poderia também ser obtido como segue:

Saldo = 4.500,00 x 1,0257 x 1,005 = 4.638,73

Caso o Sr. Vilan tivesse sacado $ 1.500,00 em qual-quer dia entre o dia do depósito e o dia útil anterior à data do crédito, os valores da correção monetária e dos juros seriam calculados com base no saldo de $ 3.000,00.

Operações com Notas do Tesouro Nacional (NTN)

A NTN é um título emitido pelo Tesouro Nacional com características idênticas às do CDB pós-fixado. Atualmente tem prazo mínimo de emissão de 120 dias; até dezembro de 1994 esse prazo mínimo era de 90 dias. Existem três tipos: a NTN com correção cambial, a NTN corrigida com base na variação do IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado) e a NTN corrigida com base na TR. No caso das duas primeiras, o Tesouro Nacional paga 6% ao ano sobre o principal corrigido, e no caso da última, o rendimento total acima da TR é dado via deságio.

As NTNS são colocadas no mercado através de leilões periódicos (pelo menos um por mês) efetuados pelo Banco Central. Como regra geral, são emitidas com data do pri-meiro dia de cada mês, e vencimento também no primeiro dia do mês de resgate. Caso uma das datas (de emissão ou de resgate) ocorra em um dia não útil, a liquidação ocorrerá no dia útil subseqüente. No caso das NTNS cam-biais, a correção é calculada tomando-se como base a cotação do dólar no dia imediatamente anterior ao dia da emissão e do resgate (ou do pagamento dos juros).

Os juros de 6% ao ano são pagos semestralmente, ou no vencimento do título, caso seu prazo seja de até seis meses. Para proporcionar uma rentabilidade superior a 6% ao ano, o Banco Central normalmente coloca esses títulos no mercado com deságio. Para efeito de negociação, o preço unitário do título - o chamado PU - é calculado com base num valor de emissão hipotético de S 1.000,00 e apresentado com seis casas decimais. Os exemplos a

seguir facilitarão o entendimento. Embora o governo não tenha colocado no mercado nenhum título corrigido pelo IGPM após a implantação do REAL, vamos apresentar exemplos envolvendo os três tipos.

Através de um leilão realizado pelo Banco Central, uma instituição financeira adquire NTNS cambiais emitidas em 01-11-93 e com vencimento em 01-02-94 (prazo de três meses). Sabendo-se que esse título paga juros de 6% ao ano, que foi adquirido com uma rentabilidade efetiva de 18% ao ano e que as cotações do dólar comercial de ven-da no dia anterior ao dia da emissão e ao dia do resgate foram respectivamente de CR$ 174,000 e CR$ 458,660, calcular:

a) o PU, ou seja, o preço pago para cada CR$ 1.000,00 de emissão;

b) o valor de resgate (incluindo os juros).

Solução:

a) Cálculo do PU

VR = 1.000,00 x (1,06) 41

= 1.014,673846

em que o número 4, do expoente 1/4, representa o número de trimestres contidos em 1 ano.

213807,973

18,,1

673846,014.1PU

36592

em que 0,18 é taxa efetiva ao ano e 92 o número de dias decorridos entre o dia da compra e do resgate.

b) Cálculo do valor de resgate (incluindo os juros)

112.635,9770 174,000

458,660 x 1.000,00 Pc

Taxa trimestral de juros =

(1,06) 41

- 1 = 0,01467385 ou 1 ,467385%

Juros

= 0,01467385 x 2.635,977011 = 38,679931

Valor de resgate

= 2.635,977011 + 38,679931 = 2.674,656942

O valor de resgate também pode ser determinado atualizando-se monetariamente o valor de resgate obtido inicialmente, como segue:

422.674,6569 174,000

458,660 x461.014,6738 VR

Operações com Fundos de Investimentos em Renda Fixa

Este Fundo de Investimentos tem uma carência de 28 dias para saques sem perda de rendimentos, contados desde o dia da aplicação ou desde o último dia em que se




completou o ciclo de 28 dias. Trata-se de um fundo admi-nistrado por uma instituição financeira em que os recursos captados junto aos clientes são aplicados em títulos de renda fixa, pré ou pós-fixados. O investidor adquire cotas do fundo, cuja rentabilidade reflete a rentabilidade média dos títulos que compõem a carteira. Sobre o rendimento total obtido na aplicação, o investidor paga Imposto de Renda, correspon dente a 10%, calculado de forma idênti-ca aos cálculos já mostrados para os títulos de renda fixa.

Exemplo

E. Um investidor aplica $ 6.000,00 num Fundo de Renda Fixa no dia 11-0l -95 e resgata $ 3.700,00 no dia 08-02-95, 28 dias depois. Sabendo-se que o valor da cota era de $ 3,498039 no dia da aplicação e de $ 3,602403 no dia do resgate, calcular:

a) o número de cotas adquiridas;

b) o número de cotas resgatadas;

c) a valorização da cota no período;

d) o valor do Imposto de Renda pago e o valor líquido creditado na conta do aplicador;

e) o saldo em número de cotas e em S.

Solução:

a) Número de cotas adquiridas

n° de cotas = 1.715,248 498039,3

00,000.6 cotas

b) Número de cotas resgatadas

nº de cotas = 1.027,092 602403,3

00,700.3 cotas

c) Valorização da cota no período

Valorização = 0298,01498039,3

602403,3 ou 2,984%

d) Valor do Imposto de Renda e valor líquido creditado

Valor de aplicação das cotas resgatadas

Valor = 1.027,092 x 3,498039 = 3.592,81

Valor do Imposto de Renda

Corresponde a10% sobre o rendimento obtido no perí-odo, ou seja, sobre o valor de resgate menos o valor de aplicação das cotas resgatadas, calculado como segue:

IR = 10% x (3.700,00 - 3.592,81) = 10,72

Valor líquido creditado na conta do aplicador

Valor líquido = 3.700,00 - 10,72 = 3.689,28

Saldo em número de cotas e em S

Saldo em n° de cotas

= 1.715,248 - 1.027,092 = 688,156

Saldo em $

= 688,156 x 3,602403 = 2.479,02

Operações com Fundos de Aplicações Financeiras (FAF)

As aplicações neste Fundo, também conhecido por "fundão", representam uma das únicas formas de aplicação de recursos no curto prazo. Funciona de maneira seme-lhante ao Fundo de Renda Fixa visto no item anterior. Os recursos captados pela instituição financeira que adminis-tra o Fundo são aplicados de forma bem diversificada, sendo uma parte superior a 20% obrigatoriamente deposi-tado no Banco Central, uma fatia ainda maior aplicada títulos públicos federais, 10% em Títulos de Desenvolvi-mento Econômico (TDE) e 3% no Fundo de Desenvolvi-mento Social (FDS); apenas cerca de 42% dos recursos captados podem ser livremente utilizados pela instituição financeira para aplicação em outros títulos de renda fixa, públicos ou privados.

O rendimento proporcionado por este Fundo também paga 10% de Imposto de Renda na fonte.

Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 no FAF e resgatou tudo no dia seguinte. Sabendo-se que o valor da cota subiu 0,116%, calcular o valor líquido resgatado.

Solução:

Valor do rendimento =

0,116% x 50.000,00 = 58,00

Valor do IR =

10% x 58,00 = 5,80

Valor líquido resgatado =

50.000,00 + 58,00 - 5,80 =

Valor líquido resgatado = 50.052,20

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

Engenharia econômica é o estudo dos métodos e técni-cas usados para a análise econômico-financeira de inves-timentos. Esses métodos e técnicas devem ser baseados cientificamente e encontram na matemática financeira as suas justificativas. A necessidade de analisar investimentos propõe os problemas, a engenharia econômica apresenta as técnicas de solução e a matemática financeira justifica essas técnicas.

A análise de investimentos compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos para escolha do melhor, mas também a análise de um único inves-timento com a finalidade de se julgar de seu interesse ou não.

Na análise de investimentos só serão levados em conta




os fatores quantificáveis, isto é, que puderem ser expres-sos em unidades de capital. Se fatores não quantificáveis vão influir na tomada de decisão, essa análise n não pode-rá ser feita com um estudo matemático. Assim, na escolha entre dois equipamentos para aquisição de um deles, por exemplo, não teria sentido uma análise matemática que envolvesse preços, capacidade de produção, custos ope-racionais, durabilidade etc., se a pretensão é adquirir o mais estético ou o de menor porte.

Também não tem sentido analisar investimentos que não apresentam viabilidade de escolha por falta de recur-sos financeiros ou de quaisquer outras condições.

Quando apenas um investimento é analisado para que se estude a sua rentabilidade, costuma-se fazer uma com-paração entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal, isto é, aquela que o investidor estabelece como sendo a taxa mínima de renda para que o investimento seja considerado atraente do ponto de vista financeiro. Essa taxa ideal se chama taxa mínima de atratividade ou apenas taxa de atratividade do investidor.É comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado, isto é, a taxa à qual qual-quer capital pode ser aplicado sem dificuldade.

MÉTODOS EXATOS DE ANALISE DE INVESTIMEN-TOS

Existem muitos métodos para análise de investimentos, mas apenas os chamados métodos exatos são dignos de credibilidade, pois apenas estes se baseiam nos princípios de equivalência de capitais. São eles: o método do valor presente líquido, o método do valor periódico uniforme e o método da taxa interna de cetorno.

Esses três métodos são equivalentes e, se forem apli-cados com propriedade, conduzirão ao mesmo resultado. Dependendo do tipo de análise que se quer fazer, pode acontecer de um dos métodos ser mais apropriado do que os outros ou simplesmente mais cômodo por envolver menos cálculos. Algumas observações que serão feitas e a prática indicarão como fazer essa escolha.

Método do valor presente líquido

O método do valor presente líquido, ou, simplesmente, método do valor presente, consiste em calcular o valor presente líquido NPV do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento que está sendo anali-sado, usando a taxa de atratividade do investidor.

Se o valor encontrado NPV for zero, significa que a taxa i de renda do investimento coincide exatamente com a taxa ia de atratividade que foi utilizada.

Se o valor encontrado NPV for positivo, esse valor re-presenta o quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa ia isto é, significa que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa de atrati-vidade. Neste caso, o investimento analisado interessa ao investidor.

Se o valor encontrado NPV for negativo, esse valor re-presenta o quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada, isto é, significa que a taxa de ren-da que o investimento porporciona é menor que a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado não interessa ao investidor.

Resumindo:

NPV = 0 i = ia

NPV > 0 i > ia

NPV < 0 i < ia

Quando vários investimentos estão sendo analisados, pode ocorrer que todos eles sejam interessantes ou que todos eles sejam desinteressantes ou que alguns sejam interessantes e outros não. Em qualquer dos casos, o investimento mais interessante é aquele que apresenta o maior NPV.

É claro que, se o problema é comparar custos de em-préstimos, serviços ou equipamentos, a melhor alternativa é aquela que apresenta o menor NPV, isto é, a que tem a menor taxa de custo.

Exemplo 1:

Numa época em que a taxa de mercado é 6,2% a.m., qual é o melhor retorno para uma aplicação de R$ 500.000,00: receber R$ 700.000,00 no fim de seis meses, receber duas parcelas trimestrais de R$ 330.000,00, rece-ber três parcelas bimestrais de R$ 210.000,00 ou receber seis parcelas mensais de R$ 100.000,00?

Solução:

1.ª alternativa:

NPV = 700.000 (1 +O,062)6 - 500.000 = - 12.077,39

2.ª alternativa:

NPV = 330.000 19777,0

1,19777 - 1 2

- 500.000 = 5.532,57

3.ª alternativa:

NPV = 210.000 0,127844

1,127844 - 1 -3

- 500.000 = -

2.337,08

4.ª alternativa:




NPV = 100.000 0,062

1,062 - 1 -6

- 500.000 = - 11.342,41

Resposta: A melhor alternativa é a segunda. (E a única em que a taxa de rendimento é maior que a taxa de atrati-vidade.)

E preciso algum cuidado no uso desse método do valor presente, pois, quando as alternativas têm vidas diferentes, não se podem tirar conclusões sem antes analisar se es-sas alternativas podem ou não ser renovadas nas mesmas condições. Se isso for possível, os investimentos devem, então, ser repetidos, tomando-se, como vida de todos, um múltiplo comum do número de períodos das vidas de cada um. Veja-se o exemplo a seguir.

Exemplo 2:

Uma empresa está estudando a compra de um equi-pamento e para isso está analisando dois tipos. O tipo A tem vida útil de dois anos, custa R$ 150.000,00 e dá um lucro mensal de ‗R$ 12.000,00. O tipo 6 tem vida útil de três anos, um custo de R$ 180.000,00 e dá um lucro de R$ 14.000,00. Ambos têm valor residual nulo. Qual o equipa-mento que deve ser adquirido se a taxa de atratividade é de 5% a.m.?

Solução:

Esses investimentos podem ser repetidos, pois se su-pre que, terminada a vida útil do equipamento, a empresa poderá adquirir um novo. Toma-se o menor múltiplo co-mum entre 2 e 3:6. Considera-se o equipamento A repetido três vezes e o equipamento B repetido duas vezes. Consi-derando a repetição, tem-se os diagramas:

NPVA = 232.485,46 - 210.931,50 = 21.913,96

NPVB = 271.653,04 - 211.078,33 = 60.574,71

Resposta: A segunda alternativa é melhor.

O método do valor presente pode ser aplicado à análise de investimentos cujos capitais iniciais são diferentes. O método é válido nesse caso, porque, se a diferença desses valores for considerada como um investimento adicional ou investimento incremental, e for aplicada à taxa de atrativi-dade, seu valor presente líquido, calculado com essa mesma taxa, será nulo. Portanto, se esse investimento incremental for acrescentado ao investimento de menor capital inicial, em nada afetará o NPV desse investimento.

Exemplo 3:

Considerar, no exemplo 2, um investimento incremental de R$ 30.000,00, para ser acrescentado à alternativa A, como se fosse um capital aplicado à taxa de atratividade de 5% a.m. e verificar se o valor presente líquido é o mes-mo.

Solução:

Acrescentando esse investimento incremental à alterna-tiva A, tem-se o seguinte diagrama:

NPV = 232.845,46 + 42.186,30 - 253.117,80 = 21.913,96

Resposta: Sim, é o mesmo.

Método do valor periódico uniforme

O método do valor periódico uniforme consiste em cal-cular o termo VPU da renda imediata que seja equivalente ao fluxo de caixa do investimento analisado, usando a taxa




de atratividade do investidor. Esse termo representa o custo periódico ou a receita periódica desse investimento e, quando são comparados vários investimentos, deve-se optar por aquele que apresenta o menor custo periódico ou a maior receita periódica.

Esse custo periódico ou receita periódica calculados podem eventualmente ser o custo anual ou a receita anual. Daí o motivo de ser esse método conhecido também pelos nomes de método do valor anual uniforme ou método do custo anual uniforme, nomes que não se aplicam bem ao caso geral.

Exemplo 4:

Uma indústria de brinquedos costuma comprar certa peça de uma firma que a fornece. Vê, agora, possibilidade de adquirir uma máquina com a qual essa peça poderá ser fabricada na própria indústria. Deve, então, estudar as vantagens e desvantagens da aquisição e os dados para esse estudo são os seguintes: se continuar usando os serviços da firma que já os prestava, terá um gasto de R$ 5.800,00 por mês. Se adquirir a máquina, terá custo inicial de R$ 55.000,00 e gastos operacionais anuais de R$ 18.000,00. A vida útil da máquina é de três anos, no final da qual terá um valor residual de R$ 8.000,00. Qual deve ser a opção da indústria se a taxa de mercado está em torno de 7% a.m.?

Solução:

Alternativa A (comprar a peça):

Alternativa B (fabricar a peça):

Resposta: É melhor comprar a máquina e fabricar a pe-ça (o custo será menor).

O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para comparar investimentos de vidas diferentes que po-dem ser repetidos, uma vez que a comparação não é feita pelo valor total, mas pelo valor periódico que, com repeti-ção ou sem repetição, é o mesmo. Mas se os investimen-tos não podem ser repetidos, para a alternativa que apre-senta a vida mais curta, deve-se considerar, no período incremental, os recursos aplicados à taxa de atratividade.

O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para analisar investimentos com capitais iniciais diferentes, pois, da mesma forma que ocorreu com o método do valor presente líquido, se for considerado um investimento in-cremental aplicado à taxa de atratividade, o valor periódico uniforme desse investimento será nulo.

Os exemplos a seguir esclarecem essas afirmações:

Exemplo 5:

Os diagramas a seguir representam dois investimentos, A e 6, para escolha de um investidor. Analisar qual é a melhor opção com a taxa de atratividade de 10% a.m., supondo que os investimentos possam ser repetidos.

Solução:

Alternativa A:

Alternativa B:

Resposta: A melhor opção é a alternativa A.

Exemplo 6:

Mostrar que, se o investimento A do exemplo 5 for re-petido para ter a mesma vida de quatro anos do investi-mento 8, o diagrama ficará alterado, mas o VPU será o mesmo.

Solução:




VPU = 80.000 - 57.619,04 = 22.380,95

Exemplo 7:

Considerar os mesmos investimentos do exemplo 5 e analisar qual o melhor com a mesma taxa de atratividade de 1 0% a.m. supondo, agora, que os investimentos não possam ser repetidos.

Solução:

Nesse caso, deve-se calcular o valor presente líquido NPV do investimento A e ―distribuí-lo‖ uniformemente pelos quatro anos (dois anos do investimento A e dois anos do investimento incremental) com a taxa de atratividade de 10% a.m. O investimento 6 não sofre alteração.

Resposta: A melhor opção é a alternativa B.

Exemplo 8:

Considerar, ainda, os mesmos investimentos do exem-plo 5, acrescentar em A um investimento incrementa

de R$

50.000,00 aplicado à taxa de atratividade de 10% a.m., fazer o novo diagrama do investimento total e mostrar que o valor periódico uniforme não se altera.

Solução:

Método da taxa interna de retomo

O método da taxa interna de retorno consiste em calcu-lar a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento que está sendo analisado. Essa taxa

é chamada taxa interna de retorno do investimento e é indicada por IRR.

Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno é maior que ou igual à taxa de atratividade do investidor ia.

Se vários investimentos são comparados, o melhor é o que tem a maior taxa interna de retorno. Se são emprésti-mos que estão sendo analisados, o melhor é o que tem a menor taxa interna de retorno.

Exemplo 9:

Um investidor aplicou um capital de R$ 650.000,00 e recebeu rendimentos parcelados conforme o diagrama a seguir:

Qual a taxa interna de retorno desse investimento?

Solução:

A taxa i que anula o valor presente liquido desse fluxo de caixa é a taxa que torna verdadeira a igualdade:

160.000(1 + i)-3

+ 160.000 (1 + i)-4

+ 200.000(1 + i)

- 6 +

490 000(1 + i)-9

= 650.000 e que não pode ser calculada algebricamente. Deve, então, ser calculada por ensaio e erro. Tenta-se uma taxa, se possível, com valor provável. A partir dela, fazem-se aproximações sucessivas até que se chegue a valores próximos. Finalmente, calcula-se a taxa por proporção, com o auxílio de uma regra de três:

O valor presente líquido positivo significa que a taxa do investimento é maior que 5% a.m. Tenta-se, então, uma taxa maior.




A taxa de 6% a.m. ainda é baixa. Tenta-se 7% a.m. e obtém-se NPV = 2.466,86.

O valor encontrado para NPV já está bem baixo em re-lação aos dados do problema; deve-se tentar taxas mais próximas, pois, quanto mais próximas as taxas, melhor será o resultado em sua aproximação. Tenta-se 7,1% e obtém-se NPV = - 1.330,12,0 que mostra que 7,1% já ul-trapassa a taxa interna de retorno i. Relacionando os valo-res obtidos, calcula-se da seguinte forma:

Resposta: A taxa interna de retorno do investimento é 7,065% a.m.

Quando se comparam, pelo método da taxa interna de retorno, dois investimentos com capitais iniciais diferentes, é necessário que se considere, para o investimento que tem o capital inicial menor, um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade. A taxa interna de retorno do investimento total (original mais incremental) terá um valor intermediário entre a taxa de atratividade e a taxa interna de retorno do investimento original.

Exemplo 10.

Um investidor tem duas alternativas para uma aplicação de capital durante um ano. A primeira requer um capital inicial de R$ 100.000,00 e tem retornos mensais de R$ 18.000,00 e a segunda requer um capital inicial de R$ 150.000,00 e tem retornos trimestrais de R$ 85.000,00. Qual a melhor aplicação numa época em que a taxa de mercado é 8% a.m.?

Solução:

Sem considerar o investimento incremental, tem-se:

A análise feita sem levar em consideração o investi-mento incremental faria com que o investidor optasse pela primeira alternativa. No entanto, deve-se observar que, ao optar pela primeira alternativa, o investidor deixa de aplicar os R$ 50.000,00, diferença entre os dois investimentos, que serão aplicados à taxa de mercado de 8% a.m., com o seguinte retorno final:

A seguir apresenta-se o investimento total (inicial mais incremental) representado em diagrama e o cálculo da sua taxa interna de retorno:




Resposta: O melhor investimento é o segundo, com ta-xa interna de retorno igual a 12,71% a.m.

O método da taxa interna de retorno deve ser usado com restrições quando o fluxo de caixa tem mais de uma inversão de sinal de entradas e saídas. Esses fluxos de caixa podem não ter solução para taxa interna de retorno ou ter múltiplas soluções. O exemplo seguinte mostra um fluxo de caixa que tem duas taxas internas de retorno:

Exemplo 11:

Mostre que o fluxo de caixa, representado a seguir, se anula para as taxas de 10% a.a. e 1.000% a.a.

Solução:

A título de orientação sobre a escolha de que método usar em cada caso, são reproduzidas, no quadro a seguir, as restrições que cada método oferece, para que se esco-lha, sempre que possível, o método que não oferece restri-ções ao caso que se quer analisar:

Solução:

CASOS

MÉTO-

DOS

NPV VPU lRR

vidas

diferen-tes

repetí-veis

REPE-TIR

- -

não

repetir

-

CONSIDE-

RAR PERÍO-DO INCRE-

MENTAL

-

capitais iniciais

diferentes

-

-

CONSIDE-RAR INVES-

TIMENTOIN-CREMENTAL

fluxo com mais de

uma mudança de sinal

-

-

PODE NÃO

TER OU TER MAIS DE

UMA SOLU-

ÇÃO

USO DA CALCULADORA

As calculadoras HP-12C, EL-533 e BA-54 têm teclas próprias para calcular o valor presente líquido (net present value) NPV e a taxa interna de retorno (interneI rate of return) IRR. São as seguintes:

Em qualquer das calculadoras, devem ser introduzidos o fluxo de caixa do investimento que se quer analisar e a

taxa de atratividade do investidor; após isso, as teclas NPV

e IRA fornecem, respectivamente, o valor presente líquido

e a taxa interna de retorno do investimento.

A introdução do fluxo de caixa nas calculadoras se faz da seguinte forma:

HP—12C: A taxa de atratividade é introduzida atra-

vés da tecla i ; o valor que está no foco

zero é introduzido através da tecla CFo e

os demais valores são introduzidos, pela

ordem, através da tecla CFj . Quando n

valores sucessivos são iguais, basta in-

troduzir o primeiro deles na tecla CFj e,

em seguida, digitar n N j

EL -633: A taxa de atratividade é introduzida atra-

vés da tecla i e os valores são intro-

duzidos, pela ordem, através da tecla

CFi. Quando n valores suces-

sivos são iguais, basta digitar n N i e, em

seguida, introduzir o primeiro deles atra-

vés da tecla CFi .

BA-54: A taxa de atratividade é introduzida atra-

vés da tecla i ; o valor que está no foco

zero é introduzido através da tecla PV e

os m demais valores são introduzidos, pela ordem, nas memórias, através das

teclas STO 1, STO 2, ..., STO m. Quan-

do n valores sucessivos são iguais, basta introduzir o primeiro deles e, em seguida,

digitar Frq n e introduzir na mesma me-

mória em que foi introduzido o valor cor-respondente a essa freqüência.

Em todas essas calculadoras, quando os valores que compõem o fluxo de caixa são sardas, eles devem ser introduzidos com o sinal negativo e, para os períodos sem valor, devem ser introduzidos zeros. A taxa de atratividade só precisa ser introduzida quando se quer calcular NPV, não sendo necessária sua introdução para o cálculo de IRR.

Todas essas calculadoras têm limites para o número de entradas de valores diferentes e também para a freqüência de valores iguais. Esses limites são os seguintes para cada uma delas:

HP-12C; 20 valores diferentes com freqüência até 99.

EL -533: 20 valores diferentes com freqüência até 99.




BA-54: 10 valores diferentes com freqüência até 999.

Exemplo 12:

Calcular o NPV com taxa de 15% a.m. e a taxa interna de retorno do investimento cujo fluxo de caixa tem o se-guinte diagrama:

Solução:

Resposta: O valor presente líquido é 5.479,11 e a taxa interna de retorno é 17,72% a. m.

Exemplo 13:

Calcular as duas taxas internas de retorno do investi-mento do exemplo 11.

Solução:

As taxas internas de retorno desse investimento podem ser calculadas com o auxílio da HP -12C. Quando se pro-cede normalmente, introduzindo o fluxo de caixa nessa calculadora e solicitando a taxa interna de retorno, aparece no visor uma mensagem de erro. Introduz-se, então, uma taxa provável, que se supre próxima da resposta e, em

seguida, digita-se RCL g R/S. Repetindo-se esse proce-

dimento, é possível obter cada resposta:

Resposta: As taxas são 10% a.a. e 1.000% a.a.

EXERCÍCIOS

01. Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e deve escolher entre duas marcas com as seguintes características e previsões:

Equipamen-

to A

Equipamen-

to B

Custo inicial 28.000.000 23.000.000

Valor venal após cinco anos de uso 12.000.000 3.000.000

Custo operacional anual 4.000.000 3.000.000

Receita adicional anual 12.000.000 10.000.000

Determine a melhor alternativa com taxa de atrati-vidade de 20% a.a.

Pelo método do valor presente líquido.

Pelo método do valor anual uniforme.

Pelo método da taxa interna de retorno (neste ca-so, deve ser considerado, na segunda alternativa, um investimento incremental de 5.000.000 colo-cado a 20% a.a.).

02. No início de 1985, uma pessoa fez um depósito de R$ 150.000,00 numa Caderneta de Poupança que pagou 0,5% a.m. de juros e atualizações monetá-rias mensais que atingiram no ano a taxa acumu-lada de 228%. Teria feito melhor negócio se apli-casse seu capital e resgatasse mensalmente R$ 23.100,00 durante um ano?

03. Qual a melhor forma de receber o retorno de um investimento de R$ 10 milhões, aplicado por um ano: um pagamento final de R$ 13.000.000,00, dois pagamentos semestrais de R$ 6.200.000,00 cada um ou doze pagamentos mensais de R$ 950.000,00 cada um? Justifique.

04. Uma empresa paga R$ 600.000,00 por mês para uma companhia transportadora fazer as entregas de seus produtos. Está, agora, estudando a com-pra de um caminhão por R$ 15.000.000,00, calcu-lando que daqui a cinco anos ele poderá ser ven-dido por R$ 2.000.000,00 e que seu dispêndio a-nual será de R$ 3.600.000,00.

a) Usando a taxa de 15% a.a., estude, pelo método




do valor presente, se será vantajoso a compra do caminhão ou se será melhor continuar usando os serviços da transportadora.

b) Calcule, com a mesma taxa de 15% a.a., os cus-tos anuais de transporte em cada caso.

05. Fui comprar um aparelho de televisão cujo preço a vista é R$ 98.960,00. A loja exibe uma propagan-da oferecendo esse aparelho com uma entrada de R$ 10.000,00 e 12 pagamentos mensais de R$ 9.160,00. Numa época em que as taxas giram em torno de 2% a.m., é mais vantajoso comprar essa IV a vista ou a prazo?

06. Uma pessoa tinha um capital de R$ 11.000.000,00 e o empregou na compra de um apartamento que ficou dois meses fechado, dando despesas de R$ 21.300,00 por mês. A partir do início do terceiro mês conseguiu alugá-lo por R$ 80.000,00 pagos no início de cada mês. Um ano após a compra, vendeu-o para o inquilino por R$ 30.000.000,00, quantia livre de despesas. Teria feito melhor ne-gócio se aplicasse seu capital durante esse ano a 8,8% a.m.? Justifique.

07. Calcule, com a taxa de 3% a.m., o custo mensal de um equipamento que foi adquirido por R$ 100.000,00, teve um custo operacional mensal de R$ 3.500,00 e foi avaliado em R$ 80.000,00 após um ano de uso.

08. Um capitalista investiu R$ 2.800.000,00 na insta-lação de uma pequena loja. Suas despesas men-sais, durante um ano foram de R$ 180.000,00 de aluguel e R$ 120.000,00 para uma pessoa tomar conta do negócio. No final desse ano, passou o ponto para um comerciante interessado, tendo re-cebido R$ 3.000.000,00 pela transferência. Duran-te esse ano, sua receita líquida mensal foi de R$ 400.000,00 nos seis primeiros meses e R$ 600.000,00 nos seis últimos meses. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital a 7% a.m., que era a taxa de mercado na época?

09. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 30.000,00 e três pagamentos de R$ 20.000,00 cada um, realizados no fim de três, quatro e circo meses, respectivamente. Calcule o custo anual dessa máquina à taxa de 20% a.a., sabendo que no fim de três anos ela poderá ser vendida por R$ 40.000,00.

10. Uma firma adquiriu um novo equipamento por R$ 45.000.000, prevendo que seu valor residual após dois anos de uso será R$ 30.000.000. O uso des-se equipamento vai aumentar de R$ 6.500.000 a receita mensal da firma e de R$ 1.500.000 o custo mensal. Represente essa situação com um dia-grama de fluxo de caixa e calcule o valor mensal uniforme (lucro líquido mensal) com a taxa de 2% a.m., considerando ainda um imposto de renda de 25% calculado sobre lucro menos depreciação. Para efeito de IR, tanto o lucro quanto a deprecia-ção são também calculados linearmente, isto é, La = 12 (65.000.000 - 1.500.000) e Da =

2

30.000.000 - 45.000.000

Uma empresa fabrica e vende determinada peça

que pode ser produzida pela máquina A ou pela máquina B que estão sendo analisadas para com-pra por essa empresa. Foram obtidos os seguin-tes dados:

Máquina A Máquina B

Custo inicial 80.000 120.000

Valor residual após cinco anos 20.000 35.000

Gasto anual de manutenção 6.000 8.000

Gasto anual de energia 1.000 800

Número de operadores 2 1

Preço/hora da mão-de-obra de cada operador

10 25

Tempo de execução da peça 60 mm. 40 mm.

Sabe-se, ainda, que cada peça tem um custo de 30 de matéria-prima e pode ser vendida a 70; as máquinas trabalharão 2.200 horas por ano, a taxa de atratividade do empresário é 30% a.a. e o Im-posto de Renda (calculado sobre lucro menos de-preciação) é de 30%, pago anualmente. Supondo que, no caso da compra da máquina A, o empre-sário investe os 40 mil restantes à taxa de 30% a.a., determine o melhor investimento por qual-quer método.

11. Uma pessoa está estudando a compra de um ter-reno para explorar um estacionamento de carros. Prevê uma renda mensal de R$ 1.200.000 e des-pesas anuais de R$ 2.500.000. Terá ainda uma despesa inicial de R$ 1.500.000 que serão gastos com equipamentos de valor residual nulo após três anos. Quanto o investidor estará disposto a pagar pelo terreno se sua taxa de atratividade é de 5% a.m. e se o terreno poderá ser vendido por R$ 50.000.000 no fim de três anos?

12. Um motorista tem uma renda liquida mensal de R$ 250.000,00 com seu táxi e sabe que poderá vendê-lo daqui a um ano por R$ 1 .500.000,00. Poderá também vendê-lo já e aplicar o capital a-purado a 8,9% a.m. durante um ano, com renda mensal. Um seu amigo deseja comprar o carro e tem capital suficiente empregado a 160% a.a. Qual o preço que poderá ser atrativo a ambos?

13. Uma estrada foi construída por R$ 8,6 milhões o km e requer um custo anual de manutenção de R$ 1,5 milhões por km. Para construir essa estrada, o Governo emitiu bônus que produzirão juros de 5% ao trimestre e a taxa de pedágio foi fixada em R$ 12 por km. Qual o número mínimo de veículos que deverão utilizar-se dessa estrada mensalmente para que o investimento se auto financie em um ano?




14. Um equipamento foi adquirido por uma indústria com três pagamentos semestrais antecipados de R$ 3.000.000,00. No fim de dois anos foi vendido por R$ 2.000.000,00. Durante esse tempo, o lucro da indústria teve um aumento mensal de R$ 450.000,00.

a) A taxa interna de retorno desse investimento é maior ou menor que 5% a.m.?

b) Determine a taxa interna de retorno.

15. Usando a taxa de 10% a.a., calcule o valor de x para que o valor presente líquido do fluxo abaixo seja nulo:

16. Calcule o valor de x no diagrama abaixo, para que a taxa interna de retorno seja de 10% a.a.:

17. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, calcu-le:

a) O valor presente liquido, usando a taxa de 5% a.m.

b) O valor mensal, com essa mesma taxa de 5% a.m.

c) Se a taxa que anula o valor presente líquido é maior ou menor que 5% a.m.

18. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo:

a) Calcule seu valor presente líquido usando a taxa de 5,5% a.m.

b) Sabendo que o valor presente líquido com a taxa de 6% a.m. é de - 1.126,59, calcule a taxa que o anula (taxa interna de retorno).

19. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, deter-mine:

a) Seu valor presente líquido com taxa de 8% a.s.

b) Sua taxa interna de retorno.

RESPOSTAS

1. a) Equipamento A, pois NPVA = 747.427,98 eNPVB - 860.082,30.

b) Equipamento A, pois VPUA = 249.924,75 e VPUB - 287.594,06.

c) Equipamento A, pois iA = 21,05% a.a. e = 18,83% a.a.

2. Teria, pois a taxa da CP foi de 10,96% a.m. e a outra foi de 11% a.m.

3. Em dois pagamentos (as taxas mensais são 2,21%, 2,45% e 2,08%, respectivamente).

4. a) É melhor continuar usando os serviços da transportadora, pois NPVT = 25.752.974,63 e NPVC = 26.073.404,88.

b) VPUT = 7.682.512,85 e VPUC = 7.778.102,18

5. É melhor comprar a vista, pois a taxa da loja é maior que 2% a.m. (i = 3,42% a.m.) (ou: as pres-tações seriam de R$ 8.412,02).

6. Não, pois NPV = 342.213,82 com i = 8,8% a.m., o que indica taxa maior que 8,8% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 9,08% a.m.).

7. R$ 7.909,24

8. Sim, pois NPV = - 38.466,16, negativo, o que indi-ca taxa menor que 7% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 6,85% a.m.).

9. R$ 30.058,82

10. VPU = 2.628.338,84

11. A segunda alternativa é melhor. Pelo método do valor presente líquido, NPVA - 2.764,11 e NPV6 = 18.122,02. Pelo método do valor periódico unifor-me, VPUA —1.134,89 e VPU8 7.440,57. Pelo mé-




todo da taxa interna de retorno, iA = 29,1% a.a. e iB 37,2% a.a.

12. R$ 24.390.185,92

13. Ë o preço P, tal que 2.338.443,55 < P < 2.433.131,40.

14. 75.787 carros

15. a) Menor que 5% a.m., pois NPV = - 79.633,82 < 0

b) 4,82% a.m.

16. x = 376,61

17. x = 214,36

18. a) - 26.408,32

b) - 3.420

c) Menor

19. a) 785,37

b) 5,70% a.m.

20. a) - 22.112,19

b) 7,38% a.s.

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVA DE INVESTIMENTO

Toda e qualquer instituição tem como propósito crescer, ampliar seu raio de ação ou conquistar novos espaços. Para tanto necessita de investimentos, realizar ações que possibilite o crescimento. Mas como investir no mundo de incertezas e flutuações? São perguntas que necessitam de respostas precisas, pois nenhum centavo investido pode ser perdido, é a lógica da sociedade capitalista e do mundo empresarial.

Mas o que se entende por investimento? Muitos consi-deram as aplicações financeiras como tal, outros não, consideram, as aplicações financeiras como apenas uma forma de poupança. Para os objetivos deste nosso estudo adotaremos como investimento, toda e qualquer ação da empresa que eleve sua capacidade produtiva. Desde a aquisição de novos equipamentos até um treinamento de pessoal, consideramos como alternativas de investimento.

TIPOS DE INVESTIMENTO.

-Compra de novos equipamentos.

-Substituição de um equipamento por outro.

-Campanha publicitária.

-Informatização do controle de produção.

-Compra de patente sobre processo de produção.

-Construção de uma nova fabrica.

-Lançamento de novos produtos.

-Ampliação de unidade de produção.

-Implantação de programa de qualidade.

-Treinamento de pessoal.

Cada decisão de investimento deve ser acompanhada por um projeto especifico, definindo todos os passos para implantação. O primeiro passo e mais importante, pois tem a finalidade de quantificar as necessidades de recursos, é a elaboração do fluxo de caixa, a determinação das entra-das e saídas de recursos do projeto. Esta etapa é decisiva, pois uma projeção errada da entrada ou saída dos recur-sos, altera definitivamente a analise do projeto.

MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA.

Na projeção do fluxo de caixa, deve-se considerar ape-nas as entradas e saídas de recursos relacionados especi-ficamente com o projeto em observação, não podendo de forma alguma computar valores relacionados com outros projetos, isto alteraria positivamente ou negativamente as entradas ou saídas.

As entradas e saídas não devem corresponder especi-ficamente com os valores contábeis, muitos destes valores são apenas registros e não entrada ou saída de recursos.

O resultado por período deve ser considerado após o calculo do Imposto de Renda, pois o mesmo representa uma saída de recursos.

Não se deve considerar as despesas financeiras, como pagamento de juros. Tais despesas são opcionais e não estão diretamente relacionadas como o projeto, a opção de financiamento é uma decisão pessoal e não uma necessi-dade do projeto.

TIPOS DE FLUXO DE CAIXA.

1- Despesas de investimento. Compreende os gastos que serão incorporados ao ativo fixo da empre-sa.(maquinas, equipamentos e etc.).

2- Despesas operacionais. Custos necessários ao funcio-namento normal do que esteja previsto no projeto em cada período.

3- Receitas Operacionais. Decorrentes das vendas de produtos ou serviços, da execução do projeto.

4- Receitas eventuais. Possível liquidação do investimen-to, ou seja, valor residual.

EXEMPLO DE PROJETO.

Uma empresa do ramo de calçados, resolve lançar um novo produto no mercado. Caso isto ocorra o novo produto terá vida útil de 5 anos, após o que será retirado de produ-ção.

EFEITOS ORIGINADOS PELO LANÇAMENTO DO NOVO PRODUTO.

DESPESAS




Elevação nos custos dos produtos vendidos pela empresa, incluindo depreciação de R$ 20.000,00

R$ 150.000,00

Despesas administrativas, incluindo atribuição de R$ 15.000,00 de ou-tros produtos vendidos pela empre-sa e demais departamentos já exis-tentes.

R$ 30.000,00

Compra de maquinas e equipamen-tos

R$ 200.000,00

Investimento adicional em contas a receber

R$ 25.000,00

Redução da margem de contribui-ção dos outros produtos.

R$ 5.000,00

RECEITAS

Primeiro ano R$ 190.000,00

Segundo ano R$ 230.000,00

Terceiro ano R$ 350.000,00

Quarto ano R$ 270.000,00

Quinto ano R$ 220.000,00

OBS. Supõe-se que ao final do quinto ano, quando termi-nara a vida útil do produto, restara uma receita residual de R$ 85.000,00.

MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA.

Primeiro passo.

Identificação das despesas e receitas do projeto.

DESPESAS.

Despesas de investimento.

Compra de equipamentos R$ 200.000,00

Investimento em contas a rece-ber

R$ 25.000,00

Despesas operacionais.

Custos dos produtos vendi-dos

R$ 150.000,00

Despesas administrativas. R$ 15.000,00

Redução da margem. R$ 5.000,00

RECEITAS

Primeiro ano R$ 190.000,00

Segundo ano R$ 230.000,00

Terceiro ano R$ 350.000,00

Quarto ano R$ 270.000,00

Quinto ano R$ 220.000,00

Valor Residual R$ 85.000,00

FLUXO DE CAIXA

ANO1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5

Receita de vendas

190.000 230.000 350.000 270.000 220.000

Custos dos produtos vendidos

150.000 150.000 150.000 150.000 150.000

Despesas administrativas

15.000 15.000 15.000 15.000 15.000

Redução da

margem

5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

Lucro Liquido

Antes do I.R.

20.000 60.000 180.000 100.000 50.000

Imposto de Renda

7.000 21.000 63.000 35.000 17.500

Lucro liquido depois do Imposto de

renda

13.000 39.000 117.000 65.000 32.500

Depreciação 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

Entrada Liqui-da

33.000 59.000 137.000 85.000 52.500

METODOS DE ANALISE

1) PAY-BACK. Período de recuperação do Investimento.

2) T.M.R. Taxa Média de Retorno.

3) Valor Presente Liquido.

4) Taxa Interna de Retorno.

5) Índice de Rentabilidade.

Métodos de Fluxo de Caixa Descontado. 3, 4 e 5.

Métodos de Fluxo de Caixa Não Descontado. 1 e 2.

PAYBACK - Período de recuperação do investimento.

É talvez o método mais simples e fácil de avaliação, é definido como sendo o numero de meses ou anos em que o investimento inicial é recuperado. Em termos técnicos, é o espaço de tempo em que o fluxo de caixa acumulado




torna-se positivo. Embora seja um método pratico e fácil, tem como deficiência, não levar em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo, sendo desta forma um método de fluxo não descontado.

Período Fluxo de Caixa no Período

Fluxos Acumu-lados

0 -225.000,00 -225.000,00

1 +33.000,00 -192.000,00

2 +59.000,00 -133.000,00

3 +137.000,00 +4.000,00

4 +85.000,00 +89.000,00

5 +137.500,00 +226.500,00

Podemos observar que a recuperação do investimento inicial, se dá no terceiro ano, mas em mês deste ano? O período exato pode ser calculado da seguinte forma:

Período = Fluxo acumulado anterior ao período que ocorre a recuperação x 12 / Fluxo de caixa do período que ocorre a recuperação.

Período = 133.000,00 x 12 / 137.000,00 = 11,64.

Desta forma a recuperação se dá no 11o mês do terceiro

ano e o Payback em dois anos e onze meses.

Payback = 2.11

2- A TAXA MÉDIA DE RETORNO - T.M.R.

Este método também não leva em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo, fornece a recuperação média do capital investido.

Etapas da T.M.R.

Determinação do fluxo liquido médio, dividindo-se o fluxo liquido total pelo numero de períodos;

Dividir o fluxo liquido médio pelo investimento inicial.

Fluxo liquido total

451.500,00

Períodos 5

Fluxo Liquido médio

90.300,00

Investimento Inicial

225.000,00

T.M.R 0,4013 ( 40.13%)

3- O VALOR PRESENTE LIQUIDO - VPL

V.P.L. = V.P.E – V.P.S.

V.P.E. = Valor Presente das Entradas

V.P.S. = Valor Presente das Saídas.

V.P. = V.F./ (1 + i )

V.P.E. = VP1 + VP2 + VP 3 + VP4 + VP5

n

VP1 = VF1/(1+ i)

VP1 = 33.000 / 1.10 = 30.000

Seguindo este modelo teremos:

Vp2 = 48.760,33

VP3 = 102.930,12

VP4 = 58.060,10

VP5 = 85.350,71

VPE = 325.123.28

VPS = 225.000,00

VPL = 100.123.28

A TAXA INTERNA DE RETORNO.

É a taxa que igual a o VPE ao VPS, tornando o VPL igual a zero.

Por tentativa já que, a uma taxa de 10%, encontramos um VPL = 100.123.28, utilizando taxas maiores chegaremos a 23.07%, como sendo a taxa em que o VPE = VPS.

Esta taxa deverá ser confrontada ao custo de capital da empresa, o projeto deverá ser aceito, enquanto a TIR su-perar o custo de capital.

ÍNDICE DE RENTABILIDADE. Serve como comparação entre o VPE e o VPS.

I.R.= V.P.E / V.P.S.

SANVICENTE, Antonio Zoratto

TAXA INTERNA DE RETORNO

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente)




com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos, significa a taxa de retorno de um projeto.

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver umaTMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja "tentativa e erro", ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo.

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:

Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo.

Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.

Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.

A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.

Método

Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso

de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior à taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, às vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento.

Exemplo

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%

Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.

Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração freqüente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesquisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins.

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada.




RETORNO SOBRE INVESTIMENTO

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em finanças, retorno sobre investimento (em inglês, return on investment ou ROI), também chamado taxa de retorno (em inglês, rate of return ou ROR),taxa de lucro ou simplesmente retorno, é a relação entre o dinheiro ganho ou perdido através de um investimento, e o montante de dinheiro investido.

Existem três formulações possíveis de taxa de retorno, são elas:

retorno efectivo;

retorno exigido e;

retorno previsto.

O retorno efectivo serve como medida de avaliação do desempenho de um investimento, aferido a posteriori. O retorno previsto serve como medida ex ante do desempenho de um investimento; é a sua taxa implícita ou interna de retorno, aquela que iguala o valor do investimento do seu preço ou custo.

A taxa de retorno exigida é a que permite determinar o valor de um investimento. De facto, o valor de um investimento é o equivalente actual dos seus cash-flowsfuturos, sendo estes convertidos em equivalente actual (ou actualizados) justamente à taxa de retorno exigida. Assenta na ideia de que qualquer investimento deve proporcionar uma taxa de retorno igual a uma taxa sem risco acrescida de um prémio de risco função do grau de incerteza que afecta os cash-flows futuros do investimento.

A taxa de retorno prevista é função do preço (ou custo) do investimento e do fluxo de cash-flows futuros atribuíveis ao investimento. Sendo incertos estes cash-flows, resulta que a taxa de retorno prevista é também incerta, apresentando-se mesmo como uma variável aleatória. Aqui reside o seu risco, que terá que ser medido, para ser tido em conta na estimação dos prémios de risco a incluir nas taxas de retorno exigidas.

O montante de dinheiro ganho ou perdido pode ser referido como juros, lucros ou prejuízos, ganhos ou perdas ou ainda rendimento líquido ou perdas líquidas. O dinheiro investido pode ser referido como ativo, capital, principal ou custo básico do investimento. O ROI é geralmente expresso como percentagem

A concretização das estratégias organizacionais de uma empresa está dependente da gestão adequada de projectos, programas e portfólios. Nesse sentido, a responsabilidade financeira aumenta permanentemente e a sua mensuração é obrigatória. Embora hoje, o uso desta ferramenta de análise seja generalizado a todo o tipo de investimentos, o cálculo do ROI não é contudo uma ―moda‖ recente. Já em 1920 a Harvard Business Review referia o ROI como a medida de análise essencial para conhecer o valor do resultado de investimento de capital. O seu conhecimento antecipado tem um impacto importante não só no seio da organização que gere o processo de investimento, como também junto de potenciais investidores. Para além da ―venda‖ interna e externa do projecto, é fundamental para o seu acompanhamento

dando de uma forma clara o impacto no negócio face às metas pré-definidas.

Metodologias de cálculo

O cálculo do ROI possui diversas metodologias, algumas simples, outras nem tanto. Cada metodologia varia em função da finalidade ou do enfoque que se deseja dar ao resultado. A seguir estão algumas das mais conhecidas e facilmente encontradas em livros de Contabilidade, Economia e Finanças.

ROI=(Lucro Líquido÷Vendas)×(Vendas÷Total de ativos)

representa a relação entre a lucratividade e o giro dos estoques.

ROI=Lucro líquido÷Total de ativos

Representa o retorno que o ativo total empregado oferece. Utilizado geralmente para determinar o retorno que uma empresa dá.

ROI=Lucro líquido÷Investimentos

representa o retorno que determinado investimento oferece. Geralmente é utilizado para determinar o retorno de investimentos isolados. Invertendo-se a relação (ROI=Investimento÷Lucro Líquido), obtém-se o tempo necessário para se reaver o capital investido.

Há também a Rentabilidade do Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Investimento Total

Taxa=[(Lucro Líquido do Exercício)/(Vendas Líquidas)]*[(Vendas Líquidas)/ATM]*100=[(Lucro Líquido do Exercício)/ATM]*100

ATM=Ativo Total Médio=(Ativo Inicial+Ativo Final)/2

Chamada ―Taxa de Retorno‖

Em matéria exibida pela Rede Globo nos programas ―Jornal hoje‖ e no ―Jornal Nacional‖, os consumidores fo-ram alertados da prática ilegal de uma cobrança conhecida por poucos, a chamada ―Taxa de Retorno‖.

Essa taxa nada mais é do que uma ―comissão‖ que as instituições financeiras cobram e repassam às revendas, normalmente de veículos, que conseguem fechar o contra-to de financiamento com o cliente.

Tal prática consiste na ocultação da cobrança da co-missão que é diluída nas parcelas do financiamento e o consumidor sequer toma conhecimento de sua existência e acaba sendo lesado ao beneficiar, sem saber, a revenda que acaba ―abocanhando‖ esse percentual.

Vários são os entendimentos de que o pagamento da Taxa de Retorno pelo consumidor configura prática abusi-va, já que os contratos não deixam claro, nem poderiam, a inclusão da cobrança nas prestações dos financiamentos.

O Código de Defesa do Consumidor dispõe em seu ar-tigo 6º que são diretos básicos do consumidor:

I - ( ... )




II - ( ... )

III – a informação adequada e clara sobre os diferentes produtos e serviços, com especificação correta de quanti-dade, características, composição, qualidade e preço, bem como sobre os riscos que apresentam.; (Negritei).

Como visto acima a informação de preço esta plena-mente amparada pelo Código de Defesa do Consumidor, valendo salientar que por ―preço‖ a de se entender pela composição discriminada de todos os valores que perfa-zem o importe da parcela a ser paga.

O Decreto nº 5.903, de 20 de setembro de 2006, que regulamentou a Lei nº 10.962 de 11/10/04, assim preceitu-a: Art. 3o O preço de produto ou serviço deverá ser informado discriminando-se o total à vista.

Parágrafo único. No caso de outorga de crédito, como nas hipóteses de financiamento ou parcelamento, deverão ser também discriminados:

I - o valor total a ser pago com financiamento;

II - o número, periodicidade e valor das prestações;

III - os juros; e

IV - os eventuais acréscimos e encargos que incidirem sobre o valor do financiamento ou parcelamento.

Seguindo o preceito estabelecido na legislação acima citada, o consumidor deve, antes de firmar um contrato de financiamento, pesquisar de forma inequívoca, item a item, a composição do que perfaz o preço da parcela.

Nos dias atuais, com a crise financeira mundial que vem assolando diversos setores da economia, vale lem-brar que a concorrência esta cada vez mais estimulada, oferecendo ao consumidor melhores opções de preços, inclusive de financiamentos, cabendo a ele pesquisar as melhores taxas (uma a uma) antes de fechar um negócio.

Consumidor, fique atento as cláusulas do contrato e demais condições, principalmente com relação à composi-ção do valor total do financiamento para que futuramente não haja necessidade de exigir seus direitos na justiça.

Leia abaixo a matéria exibida pela Rede Globo no Jor-nal Nacional de 24/04/09:

Uma reportagem de muita utilidade para quem pretende comprar um carro. Preste atenção, porque o mesmíssimo carro, comprado com o mesmo prazo de financiamento, exatamente com a mesma financeira, pode ter preços diferentes, dependendo do vendedor que o atender. Quem explica são os repórteres Guacira Merlin e Giovani Grizotti.

Sem conseguir pagar as prestações do automóvel, Jo-ana entrou na Justiça para rediscutir a dívida. Só então descobriu as taxas embutidas no valor do financiamento. ―Tem que ser tudo esclarecido antes de pagar. Porque daí é certo que eu aceitei‖.

Nem sempre o cliente tem essa escolha. Com uma câ-mera escondida, visitamos num único dia dez revendas. Pedimos um financiamento de R$ 15 mil para a compra de um carro 2006 em 36 vezes.

Numa, o vendedor informou o valor de cada pagamen-to. Em outra loja, o valor, com a mesma financeira, caiu R$ 49.

A diferença seria por causa da taxa de retorno, uma espécie de comissão que muitos bancos e financeiras oferecem às revendas como prêmio para quem fechar contratos.

Mas o advogado Peri Fernandes Corrêa, especializado em finanças, explica que, sem saber, é o comprador quem paga o bônus. ―Não há nada errado em um banco comis-sionar revenda para angariar financiamento para eles. O problema é que o banco repassa o custo deste comissio-namento para o consumidor‖.

Um vendedor explica que a taxa de retorno é calculada pelos próprios funcionários, e fica para a loja. ―A financeira dá uma possibilidade da loja ganhar uma comissão sobre o financiamento. Eu posso usar até 0,3%, 0,4% de retorno para mim‖.

Sem a cobrança do ágio, a parcela seria de R$ 593. Ele calculou também a prestação com a maior taxa de retorno: R$ 672.

O comprador, que tivesse financiado R$ 15 mil, pagaria R$ 21.348 mil sem a taxa de retorno. Já com a cobrança da comissão, o total subiria para R$ 24.192.

No final do contrato, o cliente pagaria R$ 2.844 a mais para a revenda. Muita gente só se dá conta desse abuso bem tempos depois, quando fica difícil manter em dia a prestação.

Por isso, o Procon recomenda que o consumidor pes-quise e exija que as revendas expliquem o que se está sendo cobrado em cada mensalidade.

―Qualquer taxa de retorno para a empresa que vende o carro é uma lesão ao consumidor, porque é um benefício que o consumidor está pagando que não é próprio, é para a revenda‖, explicou Adriana Burguer, coordenadora do Procon (RS).

Fonte: Jornal Nacional – Edição de 24/04/09

Autor : Bueno e Costanze Advogados

TABELAS

TABELA 1 — CONTAGEM DOS DIAS

Dia do

Mês Jan. Fev Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

Dias do

Mês

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2




3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 275 307 337 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28

29 29 — 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29

30 30 — 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31 — 90 — 151 — 212 243 — 304 — 365 31

TABELA 2— DIVISORES FIXOS

(Valores da expressão i

360Δ ano comercial e taxa anual.)

Taxa (%) Taxa(%) Taxa (%)

5 7200 40 900 75 480

10 3600 45 800 80 450

15 2400 50 720 85 423,53

20 1800 55 654,55 90 400

25 1440 60 600 95 378,95

30 1 200 65 553,85 100 360

35 1 028,57 70 514,29 105 342,86

TABELA 3 — JUROS SIMPLES

Período diário

Taxa mensal

6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13%

1 0,0020 0,0023 0,0027 0,0030 0,0033 0,0037 0,0040 0,0043

2 0,0040 0,0047 0,0053 0,0060 0,0067 0.0073 0.0080 0,0087

3 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100 0.0110 0,0120 0,0130

4 0,0080 0,0093 0,0107 0,0120 0,0133 0,0147 0,0160 0,0173

5 0,0100 0,0117 0,0133 0,0150 0,0167 0,0183 0,0200 0,0217

6 0,0120 0,0140 0,0159 0,0180 0,0200 0.0220 0,0240 0,0260

7 0,0140 0,0163 0,0187 0.0210 0.0233 0,0257 0,0280 0,0303

8 0,0160 0.0187 0,0213 0,0240 0,0267 0,0293 0,0320 0,0347

9 0,0180 0.0210 0,0239 0,0270 0,0300 0,0330 0,0360 0.0390

10 0,0200 0,0233 0,0266 0,0300 0,0333 0,0367 0,0400 0.0433

11 0,0220 0,0257 0,0293 0.0330 0,0367 0,0403 0,0440 0,0477

12 0,0240 0,0280 0,0319 0,0360 0,0400 0.0440 0,0480 0.0520

13 0,0260 0,0303 0,0347 0,0390 0.0433 0,0477 0,0520 0.0563

14 0,0280 0,0327 0,0373 0,0420 0,0467 0,0513 0,0560 0,0607

15 0,0300 0,0350 0.0399 0,0450 0,0500 0,0550 0.0600 0,0650

16 0,0320 0,0373 0,0427 0,0480 0,0533 0.0587 0,0640 0.0693




17 0,0340 0,0397 0,0453 0.0510 0,0567 0,0623 0.0680 0,0737

18 0,0360 0,0420 0,0478 0,0540 0,0600 0,0660 0.0720 0,0780

19 0,0380 0,0443 0.0507 0,0570 0,0633 0,0697 0,0760 0,0823

20 0,0400 0,0467 0,0532 0,0600 0,0667 0,0733 0.0800 0,0867

21 0,0420 0.0490 0,0561 0,0630 0,0700 0,0770 0,0840 0,0910

22 0,0440 0,0513 0,0586 0,0660 0,0733 0.0807 0,0880 0,0953

23 0.0460 0.0537 0,0613 0,0690 0,0767 0,0843 0,0920 0,0997

24 0,0480 0,0560 0,0640 0,0720 0,0800 0,0880 0,0960 0.1040

25 0,0500 0.0583 0,0666 0,0750 0,0833 0.0917 0,1000 0,1083

26 0,0520 0,0607 0,0694 0,0780 0,0867 0,0953 0,1040 0,1127

27 0,0540 0.0630 0,0720 0,0810 Q,0900 0,0990 0,1080 0,1170

28 0,0560 0,0653 0,0747 0.0840 0.0933 0,1027 0,1120 0,1213

29 0,0580 0,0677 0,0773 0,0870 0,0967 0.1063 0,1160 0,1257

30 0,0600 0,0700 0,0800 0,0900 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300

TABELA — JUROS COMPOSTOS

Valores de (1 + i )n

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

1 1,0100000 1,0200000 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0700000 1,0800000

2 1,0201000 1,0404000 1,0609000 1,0816000 1.1025000 1,1236000 1,1449000 1,1664000

3 1,0303010 1,0612080 1,0927270 1,1248640 1.1576250 1.1910160 1.2250430 1,2597120

4 1,0406040 1,0824322 1,1255088 1,1698586 1,2155063 1,2624770 1.3107960 1,3604890

5 1,0510101 1,1040808 1,1592741 1,2166529 1,2762816 1,3382256 1,4025517 1,4693281

6 1,0615202 1,1261624 1.1940523 1,2653190 1,3400956 1,4185191 1,5007304 1,5868743

7 1,0721354 1,1486857 1,2298739 1,3159318 1.4071004 1,5036303 1,6057815 1,7138243

8 1,0828567 1,1716594 1,2667701 1.3685691 1,4774554 1,5938481 1,7181862 1,8509302

9 1,0936853 1,1950926 1,3047732 1,4233118 1,5513282 1,6894790 1.8384592 1,9990046

10 1,1046221 1,2189944 1,3439164 1.4802443 1,6288946 1,7908477 1,9671514 2,1589250

11 1,1156684 1,2433743 1,3842339 1,5394541 1.7103394 1,8982986 2,1048520 2,3316390

12 1,1268250 1,2682418 1,4257609 1,6010322 1,7958563 2,0121965 2,2521916 2,5181701

13 1,1380933 1,2936066 1,4685337 1,6650735 1,8856491 2,1329283 2,4098450 2,7196237

14 1,1494742 1,3194788 1,5125897 1,7316765 1,9799316 2.2609040 2,5785342 2,9371936

15 1,1609690 1,3458683 1.5579674 1,8009435 2.0789282 2.3965582 2,7590315 3,1721691

16 1,1725786 1,3727857 1,6047064 1,8729813 2,1828746 2,5403517 2.9521638 3,4259426

17 1,1843044 1,4002414 1,6528476 1,9479005 2,2920183 2,6927728 3,1588152 3,7000181

18 1,1961475 1,4282463 1,7024331 2,0258165 2,4066192 2,8543392 3.3799323 3.9960195

19 1,2081090 1,4568112 1.7535061 2.1068492 2.5269502 3,0255995 3,6165275 4.3157011

20 1,2201900 1,4859474 1,8061112 2,1911231 2,6532977 3.2071355 3,8696845 4.6609571

21 1,2323919 1,5156663 1.8602946 2,2787681 2,7859626 3,3995636 4,1405624 5,0338337

22 1,2447159 1,5459797 1,9161034 2.3699188 2,9252607 3,6035374 4,4304017 5,4365404

23 1,2571630 1,5768993 1,9735865 2,4647155 3,0715238 3,8197497 4,7405299 5,8714637

24 1,2697347 1,6084373 2,0327941 2,5633042 3,2250999 4,0489346 5.0723670 6,3411807

25 1,2824320 1,6406060 2,0937779 2,6658363 3,3863549 4,2918707 5,4274326 6,8484752

26 1,2952563 1,6734181 2,1565913 2,7724698 3,5556727 4,5493830 5,8073529 7,3963532

27 1,3082089 1,7068865 2.2212890 2,8833686 3.7334563 4,8223459 6,2138676 7,9880615

28 1,3212910 1,7410242 2,2879277 2,9987033 3,9201291 5,1116867 6,6488384 8,6271064




29 1,3345039 1,7758447 2,3565655 3,1186515 4,1161356 5,4183879 7,1142571 9,317274

30 1,3478489 1,8113616 2,4272625 3,2433975 4,3219424 5,7434912 7,6122550 10,06265

TABELA AMORTIZAÇÃO

Valores de

1i)(1

i)i(1n

n

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,0100000 1,0200000 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0700000 1,0800000 1,0900000 1,1000000

2 0,5075124 0,5150495 0,5226108 0,5301961 0,5378049 0,5454369 0,5530918 0,5607692 0,5684689 0,5761905

3 0,3400221 0,3467547 0,3535304 0,3603485 0,3672086 0,3741098 0,3810517 0,3880335 0,3950548 0,4021148

4 0,2562811 0,2626238 0,2690271 0,2754901 0,2820118 0,2885915 0.2952281 0,3019208 0,3086687 0,3154708

5 0,2060398 0,2121584 0,2183546 0,2246271 0,2309748 0,2373964 0,2438907 0,2504565 0.2570925 0.2637975:

6 0,1725484 0,1785258 .0,1845975 0,1907619 0,1970175 0,2033626 0,2097958 0,2163154 0,2229198 0,2296074

7 0,1486283 0,1545120 0,1605064 0,1666096 0,1728198 0,1791350 0,1855532 0,1920724 0,1986905 0,2054055

8 0,1306903 0,1366098 0,1424564 0,1485278 0,1547218 0,1610359 0,1674678 0,1740148 0.1906744 0,1874440

9 0,1167404 0,1225154 0,1284339 0,1344930 0,1406901 0,1470222 0,1534865 0,1600797 0,1667988 0,1736405.

10 0,1055821 0,1113265 0,1172305 0,1232909 0,1295046 0,1358680 0.1423775 0,1490295 0,1558201 0,1627454

11 0,0964541 0,1021779 0,1141490 0.1203889 0,1267929 0,1333569 0,1400763 0,1469467 0,1539631 0,1080775

12 0,0888488 0,0945596 0,1004621 0,1065522 0,1128254 0.1192770 0,1259020 0,1326950 0.1396507 0,1467633

13 0,0824148 0,0882404 0,0940295 0,1001437 0,1064558 0,1129601 0,1196509 0,1265218 0,1335666 0,1407785

14 0,0769012 0,0826020 0,0885263 0,0946690 0,1010240 0,1075849 0,1143449 0.1212969 0,1284332 0,1357462

15 0,0721238 0,0778255 0,0837666 0.0899411 0,0963423 0,1029628 0,1097946 0,1168295 0,1240589 0,1314738

16 0,0679446 0,0736601 0,0796109 0.0858200 0.0922699 0,0989521 0,1058577 0,1129769 0,1202999 0,1278166

17 0,0642581 0,0699698 0,0759525 0,0821985 0,0886991 0.0954448 0,1024252 0,1096294 0,1170463 0,1246641

18 0,0609821 0,0667021 0,0727087 0,0789933 0.0855462 0,0923565 0,0994126 0,1067021 0,1142123 0,1219302

19 0,0580518 0,0637818 0,0698139 0,0761386 0,0827450 0,0896209 0,9967530 0,1041276 0.1117304 0,1195469

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29 0,0398950 0,0457784 0,0521147 0,0588799 0.0660455 0,0735796 0,0814487 0,0896185 0.0980557 0,1067281

30 0,0387481 0,0446493 0,0510193 0,0578301 0,0650514 0,0726489 0.0805854 0,0888274 0,0973364 0,1060793

TÁBUA DE LOGARITMOS

N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa

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1 00000 51 70757 101 00432 151 17898 201 30320 251 39967 301 47857 351 54531 401 60314 451 65418

2 30103 52 71600 102 00860 152 18184 202 30535 252 40140 302 48001 352 54654 402 60423 452 65514

3 47712 53 72428 103 01284 153 18469 203 30750 253 40312 303 48144 353 54777 403 60531 453 65610

4 60206 54 73239 104 01703 154 18752 204 30963 254 40483 304 48287 354 54900 404 60638 454 65706

5 69897 55 74036 105 02119 155 19033 205 31175 255 40654 305 48430 355 55023 405 60746 455 65801

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7 84510 57 75587 107 02938 157 19590 207 31597 257 40993 307 48714 357 55267 407 60959 457 65992

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10 00000 00 77515 110 04170 100 20412 210 32382 260 41407 310 49130 300 86530 410 61278 400 86276

11 04139 61 78533 111 04532 161 20683 211 32428 261 41664 311 49275 361 55751 411 61384 461 66370

12 07918 62 79239 112 04922 162 20952 212 32634 262 41830 312 49415 362 55871 412 61490 462 66464

13 11394 63 79934 113 05308 163 21219 213 32838 263 41996 313 49554 363 55991 413 61595 463 66558

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22 34242 72 85733 122 08636 172 23553 222 34635 272 43457 322 50786 372 57054 422 62531 472 67394

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38 57978 88 94448 138 13988 188 27416 238 37658 288 45939 338 52892 388 58883 438 64147 488 68842

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43 63347 93 96848 143 15534 193 28556 243 38561 293 46687 343 53529 393 59439 443 64640 493 69285

44 64345 94 97313 144 15836 194 28780 244 38739 294 46835 344 53656 394 59550 444 64738 494 69373

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N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa

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519 71517 569 75511 619 79169 669 82543 719 85673 769 88593 819 91328 869 93902 919 96332 969 98632

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527 72181 577 76118 627 79727 677 83059 727 86153 777 89042 827 91751 877 94300 927 96708 977 98989

528 72263 578 76193 628 79796 678 83123 728 86213 778 89098 828 91803 878 94349 928 96755 978 99034

529 72346 579 76268 629 79865 679 83187 729 86273 779 89154 829 91855 879 94399 929 96802 979 99078

530 72420 590 35343 530 79934 890 53251 730 86332 790 90209 830 91908 880 94448 930 96848 990 99123

531 72509 581 76418 631 80003 681 83315 731 86392 781 89265 831 91960 881 94498 931 96895 981 99167

532 72591 582 76492 632 80072 682 83378 732 86451 782 89321 832 92012 882 94547 932 96942 982 99211

533 72673 583 76567 633 80140 683 83442 733 86510 783 89376 833 92065 883 94596 933 96988 983 99255

534 72754 584 76641 634 80209 684 83506 734 86570 784 89432 834 92117 884 94645 934 97035 984 99300

535 72835 585 76716 635 80277 685 83569 735 86629 785 89487 835 92169 885 94694 935 97081 985 99344

536 72916 586 76790 636 80346 686 83632 736 86688 786 89542 836 92221 886 94743 936 97128 986 99388

537 72997 587 76864 637 80414 687 83696 737 86747 787 89597 837 92273 887 94792 937 97174 987 99432

538 73078 888 76938 638 90482 688 83759 738 86806 788 89653 838 92324 888 94841 938 97220 988 99476

539 73159 589 77012 639 90550 689 83822 739 86864 789 89708 839 92378 889 94890 939 97267 889 99520

540 73339 590 77096 640 80018 690 85398 740 58023 790 90703 840 92428 909 94939 940 97313 990 99564

541 73320 591 77159 641 80686 691 83948 741 86982 791 89818 841 92480 891 94988 941 97359 991 99607

542 73400 592 77232 642 80754 692 84011 742 87040 792 89873 842 95531 892 95036 942 97405 992 99651

543 73480 593 77305 643 80821 693 84073 743 87099 793 89927 843 92583 893 95085 943 97451 993 99595

544 73560 594 77379 644 90889 694 84136 744 87157 794 89982 844 92634 894 95134 944 97497 994 99739

545 73640 595 77452 645 80956 695 84198 745 87216 795 90037 845 92686 895 95182 945 97543 995 99782

546 73719 596 77525 646 81023 696 84261 746 87274 796 90091 846 92737 896 95231 946 97589 996 99826

547 73799 597 77597 647 81090 697 84323 747 87332 797 90146 847 92788 897 95279 947 97635 997 99870

548 73878 598 77870 648 81158 698 84386 748 87390 798 90200 848 92840 898 95328 948 97681 998 99913

549 73957 599 77743 649 81224 699 84448 749 87448 799 90255 849 92891 899 95376 949 97727 999 99957

550 74938 600 77015 650 81291 700 34510 750 07506 000 80309 850 92942 900 98424 950 97772 1000 00000

TABELA 6— VALORES ATUAIS (DESCONTO COMPOSTO)




Valores de nn

vi)(1

1

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

1 0,9900990 0,9803922 0,9708738 0,9615385 0,9523810 0,9433962 0,9345794 0,9259259

2 0,9802961 0,9611688 0,9425959 0.9245562 0,9070295 0,8899964 0.8734387 0.8573388

3 0,9705902 0,9423223 0.9151417 0,8889964 0,8638376 0,8396193 0,8162979 0,7938322

4 0,9609803 0,9238454 0,888487 1 0,8548042 0,8227025 0,7920937 0,7628952 0,7350299

5 0,9514657 0,9057308 0.8626088 0,8219271 0,7835262 0,7472582 0,7129862 0,6805832

6 0,9420452 0,8879714 0,8374843 0,7903145 0,7462154 0,7049605 0,6663422 0.6301696

7 0,9327181 0,8705602 0,8130915 0,7599178 0,7106813 0,6650571 0,6227497 0,5834904

8 0,9234832 0,8531904 0.7894092 0,7306902 0,6768391 0,6274124 0,5820091 0,5402689

9 0,9143398 0,8367553 0,7664167 0,7025867 0,6446089 0,5918985 0,5439337 0,5002490

10 0,9052870 0,8203483 0,7440939 0,6755642 0,6139133 0,5583948 0,5083493 0,4631935

11 0,8963237 0,8042630 0,7224213 0,6495809 0,5846793 0,5267875 0,4750928 0,4288829

12 0,8874492 0,7884932 0,7013799 0,6245971 0,5568374 0,4969694 0,4440120 0,3971138

13 0,8786626 0,7730325 0.6809513 0,6005741 0,5303214 0,4688390 0,4149645 0,3676979

14 0,8699630 0,7578750 0,6611178 0,5774751 0,5050680 0,4423010 0,3878172 0,3404610

15 0,8613495 0,7430147 0,6418620 0,5552645 0,4810171 0,4172651 0.3624460 0,3152417

16 0,8528213 0,7284458 0,6231669 0,5339082 0,4581115 0,3936463 0.3387346 0,2918905

17 0,8443775 0,7141626 0.6050165 0,5133733 0.4362967 0.3713644 0,3165644 0,2702690

18 0,8360173 0,7001594 0.5873946 04936281 0,4155207 0,3503438 0,2958639 0,2502490

19 0,8277399 0,6864308 0,5702860 0,4746424 0,3957340 0,3305130 0,2765083 0,2317121

20 0,8195445 0,6729713 0,5536758 0,4563870 0,3768895 0,3118047 0,2584190 0.2145482

21 0,8114302 0,6597758 0.5375493 0,4388336 0,3589424 0,2941554 0,2415131 0,1986558

22 0,8033962 0,6468390 0.5218925 0,4219554 0,3418499 0.2775051 0,2257132 0,1839405

23 0,7954418 0,6341559 0.5066918 0,4057263 0,3255713 0.2617973 0,2109469 0.1703153

24 0,7875661 0,6217215 0,4919337 0,3901215 0,3100679 0.2469786 0,1971466 0,1576993

25 0,7797684 0,6095309 0,4776056 0,3751168 0,2953028 0.2329986 0,1842492 0,1460179

26 0,7720480 0,5975793 0,4636947 0,3606892 0,2812407 0,2198100 0,1721955 0,1352018

27 0,7644039 0,5858620 0,4501891 0,3468166 0,2678483 0,2073680 0,1609304 0.1251868

28 0,7568356 0,5743746 0,4370768 0,3334775 0,2550936 0,1956301 0.1504022 0.1159137

29 0,7493421 0,5631123 0,4243464 0,3206514 0,2429463 0,1845567 0,1405628 0,1073275

30 0,7419229 0,5520709 0,41 19868 0,3088187 0,2313775 0.1741 101 0,1313641 0.0993773

TABELA 7 — CAPITALIZAÇÃO

Valores de

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1.0000000 1,0000000 1.0000000

2 2,0100000 2,0200000 2,0300000 2,0400000 2,0500000 2,0600000 2,0700000 2,0800000

3 3,0301000 3,0604000 3,0909000 3,1216000 3,1525000 3,1836000 3,2149000 3,2464000

4 4,0604010 4,1216080 4.1836270 4,2464640 4,3101250 4.3746160 4,4399430 4,5061120

5 5,1010050 5,2040402 5,3091358 5,4163226 5,5256313 5,6370930 5,7507390 5.8666010

6 6,1520151 6,3081210 6,4684099 6,6329755 6,8019128 6.9753185 7,1532907 7,3359290

7 7,2135352 7,4342834 7,6624622 7,8982945 8,1420085 8,3938377 8,6540211 8,9228034

8 8,2856706 8,5829691 8,8923361 9,2142263 9,5491089 9,8974679 10,2598026 10.6366276

9 9,3685273 9,7546284 10,1591061 10,5827953 11,0265643 11,4913160 11,9779888 12,4875578

10 10,4622125 10,9497210 11,4638793 12,0061071 12,5778925 13,1807949 13,8164480 14.4865625

11 11,5668347 12,1687154 12,8077957 13,4863514 14,2067872 14,9716426 15,7835993 16.6454875

12 12,6825030 13,4120897 14,1920296 15,0258055 15,9171265 16,8699412 17,8884513 18,9771265

13 13,8093280 14,6803315 15,6177905 16,6268377 17,7129829 18,8821377 20,1406429 21,4952966

14 14,9474213 15,9739382 17,0863242 18,2919112 19,5986320 21,0150659 22,5504879 24.2149203

15 16,0968955 17,2934169 18,5989139 20.0235876 21,5785636 23,2759699 25,1290220 27,1521139

16 17,2578645 18,6392853 20,1568813 21,8245311 23,6574918 25,6725281 27,8880536 30,3242830

17 18,4304431 20,0120710 21,7615877 23,6975124 25,8403664 28.2128798 30,8402173 33,7502257

18 19,6147476 21,4123124 23,4144354 25,6454129 28.1323847 30,9056526 33,9990325 37,4502437

19 20,8108950 22,8405587 25,1168684 27,6712294 30,5390039 33,7599917 37,3789648 41,4462632

20 2Z0190040 24,2973698 26,8703745 29,7780786 33,0659541 36,7855912 40,9954923 45,7619643




21 232391940 257833172 28,6764857 31,9692017 35,7192518 39,9927267 44,8651768 50.4229214

22 244715860 27:2989835 30,5367803 34,2479698 38.5052144 43.3922903 49,0057392 55.4567552

23 25>163018 28,8449632 32,4528837 36,6178886 41,4304751 46,9958277 53,4361409 60,8932956

24 26,9734649 30,4218625 34,4264702 39,0826041 44,5019989 50,8155774 58,1766708 66,7647592

25 28,2431995 32,0302997 36,4592643 41,6459083 47,7270988 54,8645120 63.2490377 73,1059400

26 29,5256315 33,6709057 38,5530423 44,3117446 51,1134538 59,1563827 68,6764704 79,9544152

27 30,8208878 35.3443238 40,7096335 47,0842144 54,6691265 63,7057657 74,4838232 87,3507684

28 32,1290967 37,0512103 42.9309225 49,9675830 58,4025828 68.5281116 80,6976909 95,3388298

29 33,4503877 38,7922345 45,2188502 52,9662863 62,3227119 73,6397983 87,3465293 103,9659362

30 34,7848915 40,5680793 47,5754157 56,0849378 66.4388475 79.0581862 94,4607863 113,2832111

TABELA 8 — VALORES ATUAIS (RENDAS CERTAS) Valores de

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

1 0,9900990 0,9803921 0,9708738 0,9615385 0,9523810 0,9433962 0,9345794 0.9259259

2 1,9703951 1,9415609 1,9134697 1,8860947 1,8594104 1,8333927 1,8080182 1,7832648

3 2,9409852 2,8838833 2.8286114 2,7750910 2,7232480 2,6730120 2,6243160 2,5770970

4 3.9019656 3,8077287 3,7170984 3,6298952 3,5459505 3,4651056 3,3872113 3,3121268

5 4,8534312 4,7134595 4,5797072 4,4518223 4,3294767 4,2123638 4,1001974 3,9927100

6 5,7954765 5,6011431 5,4171914 5,2421369 5,0756921 4,9173243 4,7665397 4,6228797

7 6,7281945 6,4719911 6,2302830 6,0020550 5;7863734 5,5823814 5,3892894 5,2063701

8 7,6516778 7,3254814 7,0196922 6,7327449 6,4632128 6,2097938 5,9712985 5,7466389

9 8,5660176 8,1622367 7.7861090 7,4353316 7,1078217 6.8016923 6,5152323 6,2468879

10 9,4713045 8,9825850 8,5302028 8,1108958 7,7217349 7,3600871 7,0235815 6,7100814

11 10,3676283 9,7868481 9,2526241 8,7604767 8,3064142 7,8868746 7,4986743 7,1389643

12 11,2550775 10,5753412 9,9540040 9,3850738 8,8632516 8,3838439 7,9426863 7,5360780

13 12,1337401 11,3483738 10,6349553 9,9856475 9,3935730 8,8526830 8,3576507 7,9037759

14 13,0037030 12,1062488 11,2960731 10,5631229 9,8986409 9,2949839 9,0138423 8,2442370

15 13,8650525 12,8492635 11,9379351 11,1183874 10,3796580 9,7122490 9,1079140 8,5594787

16 14,7178738 13,5777093 12,5611020 11,6522956 10,8377696 10,1058953 9,4466486 8.8513692

17 15,5622513 14,2918719 13,1661185 12,1656689 11,2740663 10,4772597 9,7632230 9,1216381

18 16,3982686 14,9920313 53,7535131 12,6592970 11,6895869 10,8276035 10,0590869 9,3718871

19 17,2260085 15,6784620 14,3237991 13,1339394 12,0853209 11,1581165 10,3355952 9,6035992

20 18.0455530 16,3514333 14,8774749 13,5903263 12,4622103 11,4699212 10,5940143 9,8181474

21 18,8569831 17,0112092 15,4150241 14,0291600 12,8211527 11,7640766 10,8355273 10,0168031

22 19,6603793 17,6580482 15,9369166 14,4511153 13,1630026 12,0415817 11,0612405 10,2007437

23 20,4558211 18,2922041 16,4436084 14,8568417 13,4885739 12,3033790 11,2721874 10,3710590

24 21,2433873 18,9139256 16,9355421 15,2469631 13,7986418 12,5503575 11,4693340 10,5287583

25 22,0231557 19,5234565 17,4131477 15,6220799 14,0939446 12,7833562 11,6535832 10,6747762

26 22,7952037 20,1210358 17,8768424 15,9827692 14,3751853 13,0031662 11,8257787 10,8099780

27 23,5596076 20,7068978 18,3270315 16,3295858 14,6430336 13,2105341 11,9867090 10,9351648

28 24,3164431 21,2812724 18,7641082 16,66~0632 14,8981273 13,4061643 12,1371113 11,0510785

29 25,0657853 21,8443847 19,1884546 16,9837146 15,1410736 13,5907210 12,2776471 11,1584060

30 25,8077082 22,3964556 19,6004414 17,2920333 15,3724510 13,7648312 12,4090412 11,2577833j

TABELA 9— AMORT IZAÇÃO

Valores de

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,0100000 1,0200000 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0700000 1,0800000 1.0900000 1,1000000

2 0,5075124 0,5150495 0,5226108 0,5301961 0,5378049 0,5454369 0,5530918 0,5607692 0,5684689 0,5761905

3 0,3400221 0,3467547 0.3535304 0,3603485 0,3672086 0,3741098 0.3810517 0,3880335 0,3950548 0,4021148

4 0,2562811 0,2626238 0.2690271 0.2754901 0,2820118 0,2885915 0,2952281 0,3019208 0.3086687 0,3154708

5 0,2060398 0,2121584 0,2183546 0,2246271 0,2309748 0,2373964 0,2438907 0.2504565 0.2570925 0,2637975

6 0,1725484 0,1785258 0,1845975 0,1907619 0.1970175 0,2033626 0,2097958 0.2163154 0.2229198 0,2296074

7 0,1486283 0,1545120 0,1605064 0,1666096 0,1728198 0.1791350 0,1855532 0,1920724 0,1986905 0,2054055

8 0,1306903 0,1365098 0,1424564 0,1485278 0,1547218 0,1610359 0,1674678 0,1740148 0.1906744 0,1874440

9 0,1167404 0,1225154 0,1284339 0,1344930 0.1406901 0,1470222 0,1534865 0,1600797 0.1667988 0.1736405




10 0,1055821 0,1113265 0,1172305 0,1232909 0,1295046 0.1358680 0,1423775 0,1490295 0,1558201 0,1627454

11 0,0964541 0,1021779 0,1080775 0,1141490 0,1203889 0.1267929 0,1333569 0,1400763 0.1469467 0,1539631

12 0,0888488 0,0945596 0,1004621 0,1065522 0,1128254 0.1192770 0,1259020 0.1326950 0,1396507 0,1467633

13 0,0824148 0,0882404 0.0940295 0,1001437 0,1064558 0,1129601 0,1196509 0,1265218 0,1335666 0,1407785

14 0,0769012 0,0826020 0,0885263 0.0946690 0.1010240 0,1075849 0,1143449 0,1212969 0,1284332 0,1357462

15 0,0721238 0,0778255 0,0837666 0.0899411 0,0963423 0,1029628 0,1097946 0,1168295 0,1240589 0,1314738

16 0,0679446 0,0736501 0.0796109 0,0858200 0.0922699 0.0989521 0,1058577 0,1129769 0,1202999 0,1278166

17 0,0642581 0,0699698 0,0759525 0,0821985 0,0886991 0,0954448 0,1024252 0,1096294 0,1170463 0,1246641

18 0,0609821 0,0667021 0,0727087 0,0789933 0,0855462 0,0923565 0,0994126 0,1067021 0,1142123 0,1219302

19 0,0580518 0,0637818 0.0698139 0,0761386 0.0827450 0,0896209 0,9967530 0,1041276 0,1117304 0,1195469

20 0,0554153 0,0611567 0,0672157 0,0735818 0,0802426 0,0871846 0,0943929 0,1018522 0,1095465 0,1174596

21 0,0530308 0,0587848 0,0648718 0,0712801 0,0779961 0,0850046 0,0922890 0,0998323 0,1076166 0,1156244

22 0,0508637 0,0566314 0,0627474 0,0691988 0,0759705 0,0830456 0,0904058 0,0980321 0,1059050 0.1140051

23 0,0488858 0,0546681 0,0608139 0,0673091 0,0741368 0.0812785 0,0887139 0,0964222 0,1043819 0,1125718

24 0,0470735 0,0528711 0,0590474 0,0655868 0,0724709 0,0796790 0,0871890 0,0949780 0,1030226 0,1112998

25 0,0454068 0,0512204 0,0574279 0,0640120 0.0709525 0,0782267 0,0858105 0,0936788 0,1018063 0,1101681

26 0,0438689 0,0496992 0,0559383 0.0625674 0,0695643 0,0769044 0,0845610 0,0925071 0,1007154 0,1091590

27 0.0424455 0,0482931 0,0545642 0,0612385 0,0682919 0.0756972 0,0834257 0,0914481 0,0997349 0,1082576

28 0,0411244 0,0469897 0,0532932 0,0600130 0,0671225 0.0745926 0,0823919 0,0904889 0,0988521 0,1074510

29 0,0398950 0,0457784 0,0521147 0,0588799 0,0660455 0,0735796 0,0814487 0.0896185 0,0980557 0,1067281

30 0,0387481 0,0446493 0,0510193 0,0578301 0.0650514 0,0726489 0,0805864 0,0888274 0,0973364 0,1060793

QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA I 1. Qual a quantia que aplicada a 4,7% ao mês produz os

mesmos juros simples que R$52.000,00 à taxa de 2,35% também ao mês, durante o mesmo prazo?

Resposta: C = R$26.000,00 , para " n " = 1. 2. O preço de um bem em janeiro era R$500,00. Calcu-

lar seu preço ao final de junho, sabendo-se que as correções monetárias mensais nesse período foram, respectivamente: 1,07% , 0,99% , 1,30% , 1,22% e 0,88% .

Resposta: S = R$527,90 3. Se desejo ter poupado R$10.000,00 em um ano, qual

a quantia inicial que preciso depositar, sabendo que a rentabilidade é de 0,5% ao mês?

Resposta: C = R$9.419,05 4. Se o custo de oportunidade é de 14,47% a.a., qual a

quantia mínima que você pode aceitar hoje para abrir mão de receber R$12.000,00 daqui a 3 anos?

Resposta: C = R$8.000,30 5. A inflação em um determinado país atingiu, em janei-

ro, 25,83% no mês. Se essa taxa se repetir em todos os meses do ano, de quanto será a inflação acumula-da no período?

Resposta: i = 1.475,47% ao ano 6. O preço atual de um bem é R$50.700,00. Deflacionar

esse preço, sabendo-se que ele sofreu as seguintes correções monetárias: 1,5% , 2,2% , 1,8% e 1,6% .

Resposta: C = R$47.255,19 7. Uma empresa constatou através de seus registros

que vem obtendo, em média, uma lucratividade sobre o Patrimônio Líquido de 6,0% ao ano. Deseja-se sa-ber em quantos anos conseguirá recuperar, integral-mente, seu investimento próprio, caso seja mantida essa rentabilidade.

Resposta: n = 11,9 anos 8. Uma indústria orçou em termos anuais uma despesa

de R$120.000,00 para aquisição de combustível. Su-pondo um consumo constante e um aumento de 4,0% ao mês no litro do produto, calcular os valores men-sais a serem alocados nessa rubrica.

Resposta: R1 = R$ 7.986,26 9. Uma pessoa deseja constituir uma poupança em 3

anos. Para isso, faz depósitos mensais antecipados de R$200,00 no 1o ano, R$300,00 no 2o ano e R$400,00 no 3o ano. Calcular o montante, sabendo-se que os juros são de 0,5% ao mês.

Resposta: S = R$11.643,97 10. O capital de R$6.000,00 foi aplicado à taxa de 12,0%

ao semestre, pelo prazo de 3 anos. O montante cons-tituído ao fim de cada semestre sofreu as seguintes correções monetárias: 0,8% , 0,9% , 0,8% , 1,0% , 0,9% e 1,0%. Qual o valor resgatado?

Resposta: S = 12.496,99 11. Comprei um imóvel por R$80.000,00. Paguei 30,0% à

vista e financiei o restante em 180 prestações men-sais e consecutivas à taxa de 10,5% a.a. Quanto pa-garei a cada mês?

Resposta: R = R$602,68 12. Determine a taxa efetiva anual correspondente à taxa

nominal de 32,38% ao ano, capitalizada semestral-mente.

Resposta: i = 35,00% a.a. 13. Apliquei hoje R$2.000,00 a 3,5% ao mês. No fim de

10 meses qual será a quantia resgatada? Resposta: S = R$2.821,20 14. Quatro promissórias de R$3.200,00 têm de ser pagas

em 30, 60, 90 e 120 dias. O banco propõe um único pagamento hoje a uma taxa de desconto de 7,0% ao mês. Calcular o valor necessário para quitar as pro-missórias.

Resposta: C = R$10.839,07 15. Calcule a taxa mensal equivalente a 36,10% ao ano. Resposta: i = 2,60% a.m. Calcular as seguintes incógnitas: 16. C = R$750,00 ; i = 10,0% am ; n = 13 meses; S=?

R$2.589,20 17. S = R$1.800,00 ; i = 15,0% am ; n = 9 meses; C=?

R$511,67 18. C = R$9.500,00 ; i = 7,8% am ; n = 7 meses ; R=?

R$1.812,23 19. R = R$1.500,00 ; i = 6,0 % am ; n = 6 meses ; S= ?

R$10.462,98 20. C = R$1.800,00 ; i = 4,0% am ; S = R$5.838,12 ; n=?

30 meses 21. R = R$3.000,00 ; i = 12,0% am ; n = 8 meses ; C=?

R$14.902,92 22. Se pretendo poupar R$20.000,00 em um ano, qual o

valor mensal que preciso depositar, sabendo que a rentabilidade é de 0,7% ao mês?

Resposta: R = R$1.603,47 23. Uma empresa contraiu um empréstimo de

R$25.000,00 para pagar em 5 anos. Sabendo que o




juro cobrado é de 17,00% ao ano, com capitalização mensal, qual a prestação a ser paga?

Resposta: R = R$605,34 24. Daqui a 15 meses pretendo comprar um veículo de

R$18.000,00. Atualmente já possuo R$7.500,00. Man-tendo este recurso e os depósitos mensais que pre-tendo fazer aplicados à taxa constante de 0,9% ao mês, quanto preciso depositar mensalmente?

Resposta: R = R$589,45 25. Com uma prestação fixa de R$350,00, qual a quantia

que posso financiar por 6 meses, consideranto uma taxa de juros de 3,5% ao mês?

Resposta: C = R$1.864,99 26. Uma televisão custa R$1.200,00 . Para adquirí-la em

12 parcelas de R$100,00, à taxa de 4,0% ao mês, quanto precisarei dar de entrada?

Resposta: C = R$261,49 27. Calcular o prazo necessário para triplicar, em termos

reais, um valor depositado em caderneta de poupança (juros de 0,5% ao mês).

Resposta: n = 220,3 meses 28. Se um banco trabalha com uma taxa de juros do che-

que especial de 9,80% ao mês, qual a sua taxa bruta real, cobrada do cliente, se a inflação anual é de 8,5%?

Resposta: i = 9,06% ao mês 29. Supondo que sua empresa empresta dinheiro, e sa-

bendo que o Conselho de Política Monetária - CO-POM fixou a Taxa Básica de Juros do Banco Central em 49% ao ano e que deseja um juro real de 2% ao mês nas suas operações financeiras, qual a taxa mensal de juros a ser praticada?

Resposta: i = 5,45% ao mês 30. Qual o SPREAD de um banco que empresta dinheiro

à taxa de 4,5% ao mês, considerando que seu custo de captação é de 45% ao ano?

Resposta: i = 1,31% ao mês 31. Uma empresa tem como taxa de atratividade, em

termos reais, 45% ao ano. Entretanto, é necessário para determinado negócio que seja estabelecida uma taxa pré-fixada. O gerente financeiro consulta dois bancos a respeito das taxas praticadas:

Banco A Banco B => Pré-fixada: 70% ao ano 65% ao ano => Pós-fixada: 3,8% a.m. + TR 3,5% a.m. + TR Supondo que a variação da TR corresponda a inflação

e que seria razoável trabalhar com a média da previ-são da TR pelos dois bancos, qual seria a taxa de a-tratividade pré-fixada pela empresa?

Resposta: 57,94% ao ano 32. O reajuste dos juros pelo Banco Central elevou o

custo de captação do dinheiro para a sua empresa, que empresta dinheiro, para 4,47% ao mês. Sabendo que seus acionistas exigem rentabilidade anual de 15%, qual a taxa de juros mensal que sua empresa deve praticar, desprezando-se os demais custos?

Resposta: i = 5,69% ao mês 33. Qual a taxa mensal mínima para aplicar em CDB que

seria melhor do que a taxa da poupança, consideran-do TR de 13% ao ano? (2 pontos)

Resposta: i = 1,53% a.m. 34. Qual o SPREAD mensal de um banco que empresta

dinheiro em Hot Money à taxa de 2,50% ao mês e capta em CDB a 17,82% ao ano?

Resposta: i = 1,11% a.m. 35. Qual o valor à vista de um imóvel anunciado sob as

seguintes condições de pagamento: 30% de entrada; 180 prestações mensais de R$780,00 e 10 balões semestrais de R$5.000,00? Considere juros mensais de 1,2%.

Resposta: C = R$131.219,71

36. Considerando que a TR dos meses de janeiro a junho foi de 0,25%, 0,42%, 0,33%, 0,41%, 0,29% e 0,50%. Qual a taxa da Poupança acumulada no semestre?

Resposta: i = 5,33% a.s. 37. Qual a taxa de desconto que uma loja deve oferecer

nas suas vendas à vista, para que seja indiferente vender à vista ou a prazo, sabendo que o seu custo de oportunidade é de 4,5% ao mês e suas vendas a prazo acontecem na modalidade "1 + 4 vezes" ?

Resposta: i = 8,25% 38. Qual a melhor opção de compra, considerando taxa

de atratividade de 3% ao mês? a. à vista, com 10% de desconto; b. a prazo, com uma entrada de 30%, mais duas parce-

las iguais; ou c. sem entrada, em dois pagamentos iguais. Resposta: à vista, pois vpl de a = 90 ; b = 96,97 ; c =

95,67 38. Qual a taxa mensal de juros, líquida, de uma loja que

financia seus produtos ao consumidor à taxa de 80% ao ano, e desconta seus cheques pós-datados à taxa de 4,5% ao mês?

Resposta: i = 0,50% a.m. 39. Qual a taxa de desconto a ser concedida na venda à

vista de um produto que pode ser comprado a prazo com R$150,00 de entrada, mais 4 parcelas mensais de R$150,00. Considere que a loja tem um custo de oportunidade de 5% ao mês.

Resposta: i = 9,08% EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA II 1. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $

4.000, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de $ 10.000 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais $ 600 que o primeiro. A taxa é de:

a) 8,0% a.a. b) 7,5% a.a. c) 7,1% a.a. d) 6,9% a.a. e) 6,2% a.a. 2. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para

que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento com juros simples, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em:

a) 20% b) 60% c) 40% d) 50% e) 70% 3. Calcular o juro em $ e o montante em $ de uma apli-

cação de $ 1.000.000 durante 3 meses, à taxa de ju-ros simples de 10% a.m.

a) 300.000 e 1.330.000 b) 300.000 e 1.300.000 c) 900,000 e 1.900.000 d) 1.300.000 e 330.000 e) NDA 4. Calcular os juros simples que um capital de $ 10.000

rende em um ano e meio, se aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros em $ serão de:

a) 700 b) 1.000 c) 1.600 d) 600




e) 900 5. Duas pessoas fizeram aplicações em dinheiro na

mesma data. Uma aplicou $ 192.000 à taxa de juros simples de 25% ao ano e a outra aplicou $ 240.000 à taxa de juros simples de 15% ao ano. Após quanto tempo os montantes das aplicações serão iguais?

a) 48 meses b) 44 meses c) 38 meses d) 24 meses e) 18 meses 6. Um produto é vendido por $ 600.000 à vista ou com

uma entrada de 22% e mais um pagamento de $ 542.880 após 30 dias. Qual a taxa de juros simples mensal envolvida na operação?

a) 5% b) 12% c) 15% d) 16% e) 20% 7. Em quanto tempo triplicará um capital aplicado à taxa

de juros simples de 5% a.a. ? a) 10 anos b) 20 anos b) 40 anos c) 60 anos d) 80 anos 8. Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro

a 25 % a.a. durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a. du-rante 2 anos e 4 meses. Juntos, renderam juros de $ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital é o do-bro do primeiro, e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital será de:

a) 30.210 b) 10.070 c) 20.140 d) 15.105 e) 05.035 9. Um capital no valor de $ 50 aplicado a juros simples a

uma taxa de 3,6% a.a., atinge, em 20 dias, um mon-tante de:

a) 51,00 b) 51,20 c) 52,00 d) 53,60 e) 68,00 10. Se em 5 meses o capital de $ 250.000 rende $ 200

.000 de juros simples à taxa de 16% a.m., qual o tem-po necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% a.a.?

a) 6 meses b) 7 meses c) 8 meses d) 9 meses e) 10 meses 11. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas e,

na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de vender este estoque por $ 3.000 a saca.

Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro em $, na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitali-zação simples.

a) 1.050.000 b) 1.240.000 c) 1.300.000 d) 2.400,000 e) 3.000.000 12. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal

de $ 700.000, que vence daqui a 4 meses, conside-rando o desconto racional simples a uma taxa de 36% a.a.?

a) 700.000 b) 625.000 c) 600.000 d) 525.000 e) 500.000 13. O Sr. Haddad obteve um empréstimo de $

1.090.000.000 à taxa de juros simples de 12% a.a. Al-gum tempo depois encontrou um amigo que poderia lhe emprestar $ 150.000.000 à taxa de juro simples de 11% a.a. Sendo assim, liquidou o empréstimo anterior e contraiu a nova dívida. Dezoito meses após ter con-traído o primeiro empréstimo, saldou o segundo e ob-servou que pagou, em juros, um total de $ 22.500.000. Sendo assim, qual foi o prazo do primeiro empréstimo ?

a) 3 meses b) 6 meses c) 9 meses d) 12 meses e) 18 meses 14. A aplicação de um capital é feita à taxa anual simples

de 60%, segundo dois processos para o cálculo de ta-xa de juros diários e o volume de juros. Pode-se afir-mar que, nesses dois processos utilizados (o primeiro usando juros comerciais e o segundo usando juros exatos):

a) taxa de juros exata diária é de 11,1% b) a relação entre os juros totais obtidos pelos dois pro-

cessos para um mesmo prazo de aplicação é: juros exatos / juros ordinários = 73 / 72

c) a taxa de juros diária exata é de 0,11% d) para um mesmo prazo total de aplicação, os juros

ordinários são aproximadamente 1,4% superiores aos juros exatos.

15. Qual o capital que acrescido dos seus juros simples

durante 3 meses resulta em $ 1.300, e que acrescido aos seus juros simples durante 5 meses resulta em 1.500 ?

a) 300 b) 500 c) 800 d) 1.000 e) 1.200 16. Um determinado capital produz um montante em 3

meses de $ 1.360 e um montante em 5 meses de $ 1.600. Qual a taxa simples aplicada sobre este capital ?




a) 10% a.m. b) 12% a.m. c) 14% a.m. d) 20% a.m. e) 30% a.m. 17. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de $ 20.000

para ser devolvido em 2 anos. Sabendo-se que a fi-nanciadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a. com capitalização trimestral, o montante a ser pago no vencimento será de:

a) 30.572 b) 31.876 c) 37.018 d) 32.125 e) 32.572 18. José aplicou $ 500.000 a juros compostos durante um

ano, à taxa de 10% a.a. Paulo aplicou $ 450.000 a ju-ros compostos durante um ano, à taxa de 18% a.a. Pode-se afirmar que:

a) José obteve 19.000 de rendimento a mais do que

Paulo; b) Paulo obteve 19.000 de rendimento a mais do que

José; c) José obteve 31.000 de rendimento a mais do que

Paulo; d) Paulo obteve 31.000 de rendimento a mais do que

José; e) Ambos obtiveram os mesmos rendimentos. 19. Com referência à taxa de juros compostos de 10%

a.a., pode-se dizer que o pagamento de $ 100.000 fei-to daqui a um ano é equivalente financeiramente ao pagamento de:

a) 89.000 na data atual b) 150.000 daqui a dois anos c) 146.410 daqui a cinco anos d) 82.640 na data atual e) NDA 20. Um investidor aplicou $ 2.000.000 no dia 06-jan-xx, a

uma taxa composta de 22,5% a.m. Esse capital terá um montante de $ 2.195.000:

a) 5 dias após sua aplicação b) após 130 dias de aplicação c) em 15-mai-xx d) em 19-jan-xx e) 52 dias após a aplicação 21. Um investidor depositou um quarto do seu capital à

taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a., capitalizados semestralmente. Ao final de três anos retirou um mon-tante de $ 331.192,29. Nessas condições, o capital empregado foi de aproximadamente:

a) 146.798 b) 202.612 c) 146.925 d) 146.985 e) 147.895 22. Uma nota promissória com valor de $ 1.000.000 e

vencimento daqui a três anos deve ser resgatada ho-je. A uma taxa de Juros compostos de 10% a.a. o va-lor do resgate é $:

a) 748.563 b) 729.000 c) 750.000 d) 751.314,80 e) 700.000 23. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal $

600.000, que vence daqui a 2 meses, considerando o desconto comercial simples a uma taxa de 24% a.a.?

a) 600.000 b) 576.000 c) 524.000 d) 500.000 e) NDA 24. Utilizando-se desconto racional, o valor que deverei

pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29.500, e eu deseje ganhar 36% a.a., será de:

a) 24.000 b) 25.000 c) 27.500 d) 18.880 e) 24.190 25. O valor atual racional de um título é igual à metade de

seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sa-bendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em 5 meses.

a) 200% a.a. b) 20% a.m. c) 25% a.m. d) 28% a.m. e) 220% a.a. 26. O valor do desconto real ou racional composto de

uma nota promissória, que vence em três anos, é de $ 11.388,19. Admitindo-se que a taxa nominal de des-conto utilizada na operação seja 24% a.a., com capi-talização trimestral, o valor nominal do titulo será de:

a) 22.420 b) 22.500 c) 22.630 d) 22.907 e) NDA 27. O desconto racional composto de um título de $

50.000 foi de $ 12.698,22. Sendo 5% a taxa de juros mensal cobrada, o prazo de antecipação foi de:

a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses 28. Um título foi descontado 4 meses antes de seu ven-

cimento à taxa composta de 26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18.266,67, qual seria seu valor nominal ?

a) 18.000 b) 20.000 c) 22.000 d) 24.000 e) NDA




29. Uma financeira deseja obter, uma taxa de juros efetiva de 40% a.a. em uma operação de 3 meses. Nessas condições, a empresa deve cobrar a taxa de juros a-nual de desconto comercial simples de:

a) 38,06% a.a. b) 37,05% a,a. c) 38,50% a.a. d) 36,36% a.a. e) NDA 30. Qual o valor pago pelo resgate de um título no valor

de $ 13.600 dois meses antes do vencimento, saben-do-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.m.?

a) 903,76 b) 12.796,24 c) 6.938,88 d) 12.546,36 e) NDA 31. Qual o valor nominal de um título, sabendo-se que o

desconto racional composto é de $ 126.982,20, e que a taxa de desconto cobrada é 5% a.m., com uma an-tecipação de 6 meses ?

a) 428.000 b) 500.000 c) 550.000 d) 600.000 e) NDA 32. O preço de um produto à vista é $ 106.617,33. Sa-

bendo-se que foi vendido em prestações mensais e iguais de $ 15.000, com a primeira prestação ven-cendo um mês após a compra, qual o número de prestações, se a taxa de juros compostas utilizada foi de 5% a.m.?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 33. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês,

rendendo uma taxa de 1% ao dia, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 di-as úteis, no fim do mês o montante será igual ao capi-tal inicial aplicado mais $:

a) 20,32 b) 19,61 c) 19,20 d) 18,17 e) 18,00 34. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de

caixa com um desembolso de $ 20.000 no inicio do primeiro ano, um desembolso de $ 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e conse-cutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, in-clusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.

a) 24.940,86 b) 11.363,22 c) 05.830,21 d) 04.940,84 e) 01.340,86

35. Um equipamento é vendido em 6 prestações mensais iguais de $ 6.000.000, vencendo a primeira um mês após a compra. Se o vendedor opera com uma taxa de juros de 3% a.m., qual o preço à vista do equipa-mento?

a) 32.503.146 b) 35.203.146 c) 35.503.146 d) 36.000.000 e) 36.503.146 36. Um equipamento é vendido por $ 1.000.000 a vista ou

em 8 prestações mensais e iguais a $ 161.036 cada, vencendo a primeira prestação um mês após a com-pra. Qual a taxa efetiva de juros compostos nesse fi-nanciamento?

a) 3% b) 4% c) 5% d) 6% e) 7% 37. Qual o montante final de uma série de 10 pagamentos

mensais iguais a $ 100.000 cada um, à taxa de juros compostos de 8% a.m.?

a) 1.331.000 b) 1.448.656 c) 1.645.683 d) 1.753.607 e) 1.800.000 38. Qual será o montante final de uma aplicação de 5

pagamentos mensais de $ 1.000.000, sendo a taxa composta de 3% a.m., após o último pagamento?

a) 5.309.140 b) 5.340.410 c) 5.468.410 d) 5.680.410 e) 6.000.000 39. Uma peça é vendida em quatro prestações iguais de $

150.000 sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros composto é de 3% a.m., qual o preço à vista dessa peça ?

a) 424.291,65 b) 574.291,65 c) 600.000,00 d) 598.671,65 e) 599.761,65 40. Um imóvel é vendido em quatro parcelas iguais a $

150.000.000, sendo que a primeira parcela vence um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7% a.m., qual o valor à vista do imó-vel ?

a) 508.081.500 b) 615.029.550 c) 714.980.850 d) 800.000.000 e) 900.000.000 42. O preço à vista de um equipamento é $ 250.000. Uma

pessoa o comprou com uma entrada de $ 50.000 e o saldo financiado em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 48.779,14. Nessas condições, a ta-xa anual efetiva cobrada nesse financiamento foi de:




a) 125,2% a.a. b) 151,8% a.a. c) 084,3% a.a. d) 101,2% a.a. e) 096,1% a.a. 42. Um capital de $ 900.000, disponível em 40 dias, é

equivalente a um outro capital, disponível em 100 di-as, à taxa de 60% ao ano de desconto simples co-mercial. Qual o valor do outro capital?

a) 1.008.000 b) 1.010.000 c) 1.240.000 d) 1.320.000 43. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equiva-

lente a $ 800.000, disponível em 60 dias à taxa de 50% a.a. de desconto simples comercial?

a) 780.000 b) 845.200 c) 825.000 d) 860.500 44. Qual o valor do capital disponível em 120 dias, equi-

valente a $ 600.000, disponível em 75 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional?

a) 680.200 b) 651.428 c) 705.800 d) 701.000 45. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias, equiva-

lente a $ 840.000, vencível em 30 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional?

a) 866.250 b) 905.400 c) 868.400 d) 890.500 46. Um título de $ 1.000.000 com vencimento para 120

dias, deve ser substituído por outro título, com venci-mento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 85% ao ano, qual será o valor do novo titulo?

a) 890.700 b) 945.200 c) 780.204 d) 910.503 47. Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma

conta de $ 900.000. Porém, ele somente poderá efe-tuar o pagamento ao final de 120 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 100% ao ano, qual será o valor do novo pagamento?

a) 1.025.000 b) 1.125.000 c) 1.240.000 d) 1.105.000 48. Qual o valor do pagamento, ao final de 90 dias, capaz

de substituir os seguintes pagamentos: $ 1.820.000 ao final de 60 dias, e $ 230.000 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado

é 180% ao ano?

a) 403.836 b) 520.546 c) 390.500 d) 391.720 49. Qual o valor do título, vencível em 30 dias, capaz de

substituir os seguintes pagamentos: $ 400.000 em 60 dias, $ 600.000 em 75 dias, e $ 500.000 em 80 dias, se a taxa de desconto simples bancária é de 50% ao

ano? a) 1.520.400 b) 1.407.246 c) 1.380.560 d) 1.480.200 50. Um comerciante deveria efetuar os seguintes paga-

mentos: $ 400.000 em 60 dias, $ 670.000 em 90 dias e $ 300.000 em 120 dias. O comerciante pretende saldar seus débitos por meio

de dois pagamentos iguais, o primeiro à vista e o se-gundo em 150 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples racional vigente é 60% ao ano?

a) 764.580 b) 802.580 c) 746.234 d) 664.580 51. A série de pagamentos: $ 300.000 em 30 dias, $ 600.000 em 90 dias e $ 200.000 em 150 dias, deverá ser substituída por uma outra com dois paga-

mentos iguais: o primeiro à vista e o segundo em 120 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples comercial vigente é 90% ao ano?

a) 510.294 b) 580.325 c) 560.115 d) 602.400 52. O capital de $ 700.000, vencível em 40 dias, é equiva-

lente ao capital de $ 800.000 à taxa de 75% ao ano, com desconto simples comercial. Quando o capital de $ 800.000 estará disponível?

a) em 64 dias b) em 95 dias c) em 82 dias d) em 78 dias 53. Os capitais de $ 500.000 e de $ 700.000, com venci-

mentos respectivos em 90 e 360 dias, são equivalen-tes. Qual a taxa de desconto simples racional vigen-te?

a) 70,50% a.a. b) 72,45% a.a. c) 80,72% a.a. d) 61,54% a.a. 54. O valor comercial de um título de $ 800.000 é hoje de

$ 720.000. Daqui a 30 dias o valor atual comercial do




mesmo título será de $ 760.000. Qual a taxa de des-conto simples comercial?

a) 40% a.a. b) 52% a.a. c) 35% a.a. d) 60% a.a.

55. Um título de $ 900.000 foi descontado 45 dias antes

de seu vencimento. Se o título tivesse sido desconta-do 9 dias antes, o valor do desconto teria sido $ 250 maior. Calcular a taxa de desconto comercial simples aplicada.

a) 75,0% a.a. b) 84,6% a.a. c) 89,5% a.a. d) 90,0% a.a. 56. Um título descontado por dentro à taxa simples de

90% a.a. sofreu $ 90.000 de desconto. Se o desconto tivesse sido comercial seu valor seria $ 103.500. Qual o valor nominal do titulo?

a) 820.000 b) 710.000 c) 690.000 d) 580.400 57. Calcular a taxa de desconto comercial simples abatida

de um titulo cujo valor atual é igual a quatro quintos do seu valor nominal. A antecipação do seu vencimento foi de 5 meses.

a) 8,0% a.m. b) 4,0% a.m. c) 7,5% a.m. d) 3,5% a.m. 58. Uma empresa devedora de dois títulos de $ 30.000,

vencíveis em 3 e 4 meses, deseja resgatar a divida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento, empregando a taxa sim-ples comercial de 1,5% ao mês.

a) 72.328,50 b) 65.482.73 c) 61.459,50 d) 94.600,00 59. Quanto sofrerá de desconto um título de $ 700.000, 3

meses antes de seu vencimento, se for descontado a 5% ao mês de desconto racional composto?

a) 95.311 b) 101.400 c) 88.542 d) 90.243 60. Uma nota promissória foi quitada 6 meses antes de

seu vencimento à taxa de 4,5% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória $ 670.000, qual o valor $ do desconto concedido?

a) 180.215 b) 172.326 c) 155.510 d) 150.520 61. Em um título de valor nominal $ 6.500, o desconto

racional composto sofrido foi de $ 835,63. Se a taxa

de juros de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação?

a) 8 meses b) 4 meses c) 5 meses d) 6 meses 62. Determinar o valor do título, vencivel em 30 dias,

capaz de substituir $ 400.000 vencivel em 60 dias, $ 300.000 vencivel em 90 dias e $ 1.000.000 vencivel em 180 dias, à taxa de juros compostos de 6% ao mês. a) 1.391.756 b) 1.245.500 c) 1.400.050 d) 1.300,000 63. Um capital no valor de $ 50, aplicado a juros simples a

uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:

a) 51 b) 51,2 c) 52 d) 53,6 e) 68 64. A uma taxa de 25% por período, uma quantia de $

100 no fim do período (t), mais uma quantia de $ 200 no fim do período (t+2), são equivalentes, no fim do período (t+1), a uma quantia de:

a) 406,2 b) 352,5 c) 325,0 d) 300,0 e) 285,0 65. Um "comercial paper" com valor de face de US$

1.000.000 e vencimento daqui a três anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros composto de 10 % ao ano e considerando o desconto racional, obte-nha o valor de resgate, em US$:

a) 751.314,80 b) 750.000,00 c) 748.573,00 d) 729.000,00 e) 700.000,00 66. Uma aplicação é realizada no primeiro dia de um mês,

rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitaliza-ção diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:

a) 20,324% b) 19,615% c) 19,196% d) 18,174% e) 18,000% 67. O pagamento de um empréstimo no valor de $ 1.000

será efetuado por Intermédio de uma anuidade com-posta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do emprésti-mo. O valor da referida prestação será:




a) 1.000 / 6 b) 1.000 / 2,31306 c) 1.000 / 3,784482 d) 1.000 / 8,753738 e) 1.000 / 2,31306 68. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um

montante de $ 12.000 ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito no fim do primeiro mês?

a) 12,000 / 15,025805 b) 12.000 / (12 x 1,48) c) 12.000 / 9.385074 d) 12.000 / (12 x 1,601032) e) 12.000 / 12 69. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de

caixa com um desembolso de $ 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de $ 20.000 no fim do primeiro ano, e dez entradas liquidas anuais e conse-cutivas de $ 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor a-tual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.

a) 24.940,86 b) 11.363,22 c) 05.830,21 d) 04.940,86 e) 01.340,86 70. O prazo de aplicação para que um capital, aplicado à

taxa simples de 18% a.m., quadruplique o seu valor, é:

a) 2 anos e 7 meses b) 1 ano, 7 meses e 25 dias c) 1 ano, 4 meses e 25 dias d) 1 ano e 6 meses e) NDA 71. Um capital foi aplicado a 75% a.a., juros simples, e,

após 5 meses, acrescido de seus rendimentos, foi re-aplicado a 81% a.a., juros simples. Ao final do nono mês de aplicação, o valor do capital acumulado era de $ 1.000.125. Qual o valor do capital aplicado?

a) 540.142,50 b) 385.200,00 c) 610.194,30 d) 600.000,00 e) NDA 72. Dois capitais, um de $ 400.000 e outro de $ 250.000,

estiveram aplicados durante 3 anos. Calcular a taxa mensal a que esteve aplicado o segundo capital, sa-bendo-se que o primeiro o foi à taxa de 45,6% a.a., e rendeu $ 259.200 a mais que o segundo.

a) 38,4% a.m. b) 18,5% a.m. c) 03,2% a.m. d) 28,8% a.m. e) NDA 73. Dois capitais estão entre si assim como 5 está para 7.

Se o menor for aplicado a uma taxa 40% superior à do maior, esses capitais produzirão juros simples iguais, quando o prazo de aplicação do maior for:

a) 15% superior ao do menor

b) 25% superior ao do menor c) 30% superior ao do menor d) 05% superior ao do menor e) igual ao do menor 74. Qual é o capital que, acrescido dos seus juros simples

produzidos em 270 dias, à taxa de 4,5% a.a., se eleva para $ 450.715 ?

a) 436.000 b) 410.000 c) 458.400 d) 340.280 e) NDA 75. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a

quantia de $ 250.000 para que acumulasse em um ano, 4 meses e 18 dias, um montante de $ 474.100 ?

a) 25,2% b) 18,5% c) 15,6% d) 05,4% e) NDA 76. A uma taxa simples de 30% ao período, uma quantia

de $ 50 no fim do período (t), e uma quantia de $ 160,55 no fim do período (t+3), são equivalentes, no fim do período (t+2), a uma quantia de:

a) 190,5 b) 196,6 c) 240,6 d) 250,4 e) NDA 77. Um investidor aplicou três oitavos do seu dinheiro a

2% a.m., juros simples, e o restante a 9% ao trimestre, nas mesmas condições. Calcular o seu capital, sa-bendo-se que após um ano recebeu $ 151.200 de ju-ros.

a) 480.000 b) 360.000 c) 410.600 d) 520.800 e) NDA 78. Utilizando-se desconto simples racional, o valor que

deverei pagar por um titulo com vencimento daqui a 84 dias, se o seu valor nominal for de $ 124.500, e eu desejar ganhar 54% ao ano, será de $:

a) 132.184,50 b) 110.568,38 c) 142.615,70 d) 122.415,80 e) NDA 79. Um título, cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do

vencimento, foi negociado à taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atu-al racional simples recebido foi de $ 192.195?

a) 185.000 b) 202.400 c) 210.000 d) 252.500 e) NDA 80. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio

que, descontada "por fora" 3 meses e 10 dias antes




de seu vencimento, à taxa simples de 10% a.m. pro-duziu o desconto de $ 4.000.

a) 24.600 b) 18.500 c) 20.080 d) 12.000 e) NDA 81. Um título de $ 600.000 foi resgatado antes do seu

vencimento por $ 500.000. Calcular o tempo de ante-cipação do resgate, sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 42% ao ano.

a) 8 meses e 10 dias b) 4 meses e 26 dias c) 5 meses e 15 dias d) 7 meses e 05 dias e) NDA 82. O desconto comercial de um título, com vencimento

em 06-set-xx, excede o desconto racional em $ 9.000, caso esse título seja resgatado em 18-jul-xx. Saben-do-se que a taxa de desconto é de 30% a.m., pode-se afirmar que o valor de face desse título é de:

a) 45.000 b) 48.600 c) 54.000 d) 65.000 e) NDA 83. Calcular a taxa de desconto comercial simples de um

título cujo valor atual é igual a sete oitavos de seu va-lor nominal, sabendo-se que a antecipação foi de 2 meses e meio.

a) 5,0% a.m. b) 7,5% a.m. c) 4,5% a.m. d) 6,5% a.m. e) NDA 84. O valor atual de uma nota promissória é de $ 180,000

tendo sido adotada a taxa de 20% a.a.. Se o desconto racional for de $ 7.500 então o prazo de antecipação será de:

a) 40 dias b) 50 dias c) 75 dias d) 80 dias e) NDA 85. O montante produzido por um capital de $ 420.000 à

taxa de juros compostos de 8% ao trimestre, durante 2 anos e meio, é de $:

a) 850.400,00 b) 906.748,00 c) 945.020,00 d) 810.168,50 e) 895.420,00 86. Calcular o montante de uma aplicação de $ 540.000 a

juros compostos, aplicados à taxa de 4,5% ao mês, durante 3 anos e 8 meses.

a) 2.850.200,00 b) 3.055.128,50 c) 3.542.748,82 d) 3.745.506,34

e) 2.956.432,50 87. O montante gerado por um capital de $ 160.400, ao

fim de 5 anos, com juros compostos de 40% a.a. capi-talizados trimestralmente, é de:

a) 1.079.090,84 b) 1.250.352,40 c) 1.512.028,32 d) 1.321.652,50 e) 1.411.715,78 88. Durante quanto tempo $ 250.000 produzem $

148.462,10 de juros compostos a 24% a.a. capitali-zados trimestralmente?

a) 18 meses b) 20 meses c) 24 meses d) 26 meses e) 30 meses 89. O capital de $ 340.000 foi aplicado a 5% a.m., juros

compostos. Após 7 meses de aplicação a taxa de ju-ros foi elevada para 8% a.m., juros compostos. Nes-tas condições, o valor do montante final, após 17 me-ses de aplicação, será de $:

a) 1.320.460,08 b) 1.032.860,25 c) 1.125.600,18 d) 0.998.945,70 e) 1.245.712,70 90. O prazo para que uma aplicação de $ 140.000 à taxa

composta de 32% a.a., produza um montante de $ 561.044,99 é de:

a) 3 anos b) 4 anos e meio c) 3 anos e 5 meses d) 5 anos e) 50 meses 91. Coloquei $ 780.000 aplicados a juros compostos de

8% a.m. e recebi $ 1.559.223,12. Logo o meu dinheiro ficou aplicado durante:

a) 3 anos b) 4 anos e meio c) 3 anos e 5 meses d) 5 anos 92. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês,

rendendo uma taxa composta de 3% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 19 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais $:

a) 64,19 b) 72,19 c) 75,35 d) 76,35 e) 68,58 93. Considerando-se a convenção linear, o montante

gerado por um capital de $ 90.000 a 20% a.a. capitali-zado semestralmente em 2 anos e 2 meses, despre-zando-se os centavos, será de $:

a) 136.177 b) 148.500




c) 162.340 d) 175.100 e) 158.345 94. A diferença entre os montantes calculados pela con-

venção linear e exponencial, a partir da aplicação de $ 600.000 por 126 dias à taxa de 4% a.m. é, aproxima-damente, de $: (Dado: 1,04 x 45 = 19,007875

a) 42,35 b) 55,82 c) 70,19 d) 69,25 e) 81,40 95. Uma letra de câmbio no valor nominal de $ 131.769

foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi o valor do resgate, se a taxa de juros compostos de mercado foi de 10% a.m.? (Considerar desconto racional)

a) 99.000 b) 78.600 c) 98.150 d) 92.730 e) 95.300 96. Para um título no valor nominal de $ 65.000, o des-

conto racional sofrido foi de $ 8.356,30. Se a taxa de juros compostos de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação?

a) 60 dias b) 45 dias c) 120 dias d) 70 dias e) 80 dias 197. Um equipamento está a venda por $ 2.000.000 de

entrada e $ 3.000.000 após 7 meses. Um comprador propõe pagar $ 5.000.000 como segunda parcela, o que somente será feito após 10 meses. Nestas condi-ções, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de ju-ros compostos de mercado for de 4,5% a.m. ?

a) 850.425,80 b) 984.830,39 c) 902.100,00 d) 1.125.020,00 e) 915.632,70 98. Cláudio contraiu uma divida, comprometendo-se a

saldá-la em dois pagamentos: o 1º de $ 25.000 e o 2º, 6 meses após o 1º, de $ 85.000. Não dispondo de di-nheiro no vencimento da primeira parcela, Cláudio propôs o adiamento de sua divida, nas seguintes con-dições: faria um pagamento de $ 60.000 daí a 2 me-ses e o saldo em 10 meses. Considerando-se uma ta-xa de juros compostos de 4 % a.a., qual o valor do saldo em $ ?

a) 53.078 b) 62.420 c) 58.030 d) 49.340 e) 50.385 99. O preço à vista de equipamento é de $ 500.000. O

vendedor facilita a transação, propondo o seguinte esquema: $ 100.000 como entrada, mais duas parce-las semestrais de $ 200.000 a 3% a.m. Quando será o último pagamento?

a) 5 meses após a parcela 1 b) 6 meses após a parcela 2 c) 1 ano após a entrada d) 8 meses após a parcela 2 e) 18 meses após a parcela 1 100. Qual é o preço à vista de um equipamento cujas 1+11

prestações mensais, iguais e sucessivas, à taxa de ju-ros compostos de 10% ao mês, são de $ 110.000 ?

a) 785.540,15 b) 824.456,71 c) 800.100,20 d) 810.415,35 e) 850.513,80 101. Uma loja vende uma mercadoria por $ 640.000 à vista

ou financia em 8 meses, a juros compostos de 6% a.m. Se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês, o valor da prestação mensal será de:

a) 105.600,00 b) 098.546,35 c) 120.238,20 d) 103.063,00 e) 110.418,30 102. Em quantas prestações trimestrais de $ 185.500 po-

derei quitar uma dívida de $ 1.641.928,95, se o finan-ciamento foi feito à base de 8 % ao trimestre ?

a) 16 b) 20 c) 15 d) 18 e) 22 103. Uma empresa comprou um equipamento cujo preço à

vista era de $ 1.389.970,05, pagando-o em 12 presta-ções mensais de $ 175.000. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

a) 3,5% b) 5,5% c) 7,0% d) 8,0% e) 9,0% 104. Uma amortização constante de 15 parcelas mensais

de $ 110.000 tem carência de 4 meses e taxa mensal de 4,5%. Qual é o valor do financiamento, na ocasião do contrato?

a) 1.105.000,02 b) 1.350.315,75 c) 920.618,35 d) 890.500,00 e) 990.634,48 105. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Com-

pre tudo e pague em 12 meses. Leve hoje e só come-ce a pagar daqui a 3 meses. Se a taxa de financia-mento é de 5% a.m., qual é o valor da prestação de um blusão de couro cujo preço à vista é de $ 1.148?

a) 150,77 b) 130,25 c) 142,80 d) 125,47 e) 148,33




106. Um terreno foi vendido por $ 2.500.000 de entrada

mais 24 prestações mensais de $ 285.000. Qual é o preço à vista aproximado do terreno, se nestas opera-ções for usual utilizar-se a Tabela Price com 26,6% a.a.? (26,6% / 12)% a.m.

a) 8.550.000 b) 6.920.400 c) 7.760.471 d) 7.500.000 e) 7.345.680 107. Qual será o capital acumulado de 8 parcelas mensais

de $ 250.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 10% a.m.? (aproximadamente)

a) 2.280.850 b) 2.858.972 c) 2.480.750 d) 2.900.000 e) 2.790.500 108. Um Banco oferece a seus clientes uma poupança

programada com prazo de 2 anos, à taxa de 10% a.m. Quanto deverá ser a quota mensal de um depositante para que ele acumule, ao final do período, um mon-tante de $ 2.141.655,10 ?

a) 45.500 b) 40.500 c) 48.000 d) 35.500 e) 50.300 109. Qual o montante, no final do 15º mês, resultante da

aplicação de 12 depósitos mensais, iguais e consecu-tivos de $ 150.000, à taxa de juros compostos de 5% a.m., sabendo-se que aplicação é feita na data de as-sinatura do contrato? (aproximado)

a) 2.902.105 b) 2.945.200 c) 2.750.400 d) 2.890.650 e) 2.985.800

GABARITO

01. B 11. A 21. B 31. E

02. C 12. B 22. D 32. E

03. A 13. B 23. E 33. B

04. E 14. D 24. B 34. D

05. A 15. D 25. B 35. A

06. D 16. B 26. E 36. C

07. C 17. C 27. E 37. B

08. A 18. A 28. E 38. C

09. B 19. E 29. C 39. B

10. A 20. D 30. B 40. A

41. D 51. A 61. B 71. D

42. A 52. B 62. A 72. C

43. C 53. D 63. B 73. E

44. B 54. D 64. E 74. A

45. A 55. D 65. D 75. D

46. D 56. C 66. B 76. E

47. B 57. B 67. C 77. A

48. A 58. C 68. A 78. B

49. B 59. A 69. E 79. C

50. D 60. C 70. C 80. D

81. E 91. A 101. D

82. C 92. C 102. A

83. A 93. A 103. C

84. C 94. B 104. D

85. B 95. A 105. C

86. D 96. C 106. C

87. A 97. B 107. B

88. C 98. A 108. D

89. B 99. B 109. C

90. D 100. B

CEF - MATEMÁTICA - 2 - 2012

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