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Matemtica

Sumrio

Professor Jorge Duarte................................................................................................... 03 Funes Exponenciais...................................................................................................... 03 Funes Logartmicas....................................................................................................... 05 Noes de Probabilidade................................................................................................... 08 Noes de Estatstica..........................................................................................................15 Professor Jos Moreira................................................................................................... 19 Porcentagem ..................................................................................................................... 19 Juros Simples .................................................................................................................... 24 Capitalizao Simples Juros Compostos .............................................................................................................. 30 Capitalizao Composta Taxas de Juros ................................................................................................................... 33 Nominal, efetiva, eqivalentes, proporcionais, real e aparente Descontos ......................................................................................................................... 46 Rendas Uniformes e Variveis .......................................................................................... 61 Taxas de Retorno ............................................................................................................... 70 Clculo Financeiro ............................................................................................................ 72 Custo Real, Efetivo de Operaes de Financiamento, Emprstimo e Investimento Planos ou Sistemas de Amortizao de Emprstimos e Financiamentos ..................... 75 Resumo de Rendas .......................................................................................................... 91 Tabelas Finaceiras ............................................................................................................. 98

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Matemtica

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Professor Jorge Duarte

FUNES EXPONENCIAISEXEMPLOSa.

EXERCCIOS1. O valor positivo de em(A) (B)

b.

(C) (D) (E)

c.

2. O conjunto soluo da equao d.(A) (B) ,

e.

(C) (D) (E)

f.

3. Se g.(A) (B) (C)

, ento o valor de

h.(D) (E)Tcnico Bancrio 1

4. dada a funo

, onde

e e

6. A figura

so constantes. Sabendo-se que , obtemos para (A) (B) (C) (D) (E) o valor:

mostra um esboo do grfico da funo com , , : (A) e . e . (B) (C) (D) (E) (E) tem mais de duas solues e

,

. Ento, o valor de

5. A equao(A) no ter soluo.

, com

real,

(B) tem uma nica soluo entre (C) tem uma nica soluo entre

(D) tem duas solues, sendo uma positiva e outra negativa

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FUNES LOGARTMICASEXEMPLOSa. j.

b.

EXERCCIOS1. Calculando o valor da expresso, encontramos

c.

2. O valor de na expresso d.

e.

3. Seescrever

e como

, ento podemos

f. 4. Seescrever e como , ento podemos

g.

5. Se h.

e

, ento

vale

i.

6. Se

, ento

vale:

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5

7. Secom

e , vale

,

ento

14. O conjunto soluo da equao

8. Resolvendoencontramos

a

equao

,

15. Os bilogos dizem que h uma alometria entreduas variveis, e , quando possvel e , de maneira determinar duas constantes, que

. Nos casos de alometria, pode ser e por meio de dados

9. Resolvendoencontramos

a

equao

,

conveniente determinar

experimentais. Consideremos uma experincia hipottica na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir.

10. Resolvendo a equaoencontramos

Supondo que haja uma relao de alometria entre e e considerando

determine o valor de .

X 11. Resolvendoa equao , seu conjunto soluo 2 20

y16 40

12. A

soma

das

razes

da

equao

13. Resolvendo a equaoconjunto soluo

,

seu

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16. Estima-se

que

de

terra

sejam

18. Um automvel vale hojeque o seu valor

. Estima-se

necessrios para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, tambm, que h bilhes de de terra arvel no mundo e que,

daqui a x anos seja dado . Sabendo-se

pela funo exponencial

que o valor estimado para daqui 3 anos , calcule o valor estimado para daqui 6 anos.

portanto, uma populao mxima de 30 bilhes de pessoal pode ser sustentada, se no forem exploradas outras fontes de alimento. A

populao mundial, no incio de 1987, foi estimada em 5 bilhes de habitantes.

Considerando que a populao continua a crescer a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximaes de ; e

19. Suponha que o total de sapatos produzidos poruma pequena indstria dado pela funo (1+t), onde t o nmero de ano e o nmero de sapatos produzidos,

, determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a mxima populao que poderia ser sustentada.

contados a partir de incio de atividade de indstria. Calcule:

a. O nmero de sapatos produzidos no primeiro 17. Suponha que o nvel sonorologartmica e a intensidade ano de atividade da indstria. de um som estejam relacionados pela equao , em que

medido em decibis e , em watts por metro quadrado. Sejam a intensidade

correspondente ao nvel sonoro de 80 decibis de um cruzamento e duas avenidas

b. O tempo necessrio, e suficiente, para que aproduo total seja o triplo da produo do primeiro ano.

movimentadas e

a intensidade correspondente

ao nvel sonoro de 60 decibis do interior de um automvel com ar-condicionado. A razo igual a: (A) (B) (C) (D) (E)Tcnico Bancrio 7

NOES DE PROBABILIDADESe num fenmeno aleatrio, o nmero de elementos e o nmero de do espao amostral elementos tal que: do evento A , ento a probabilidade de ocorrer o evento A nmero Exemplo 2: em um lanamento de dois dados, um preto e outro branco, qual a probabilidade de que os dois nmeros obtidos sejam iguais?

Uma outra forma de definir a probabilidade de ocorrer :

Exemplo 3: dentre as seis permutaes dos nmeros 1, 2, e 3, uma escolhida ao acaso. Considerando o nmero de trs algarismos assim escolhido, determine a probabilidade de ele:

a. ser par;

Exemplo 1: retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual a probabilidade de que a carta retirada seja um rei?

b. ser mltiplo de trs;

c. ser mltiplo de cinco.

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EXERCCIOS

7. Um nmero inteiro escolhido ao acaso dentroos nmeros (1, 2, 3, ..., 60). Calcule a probabilidade de o nmero ser divisvel por 2 ou por 5.

1. Trs moedas so lanadas simultaneamente;descreva o espao

8. Numa urna existem 10 bolas coloridas. As 2. Dois dados so lanados simultaneamente eobservadas as faces voltadas para cima, d: a. o espao amostral do experimento: brancas esto numeradas de 1 a 6 e as vermelhas de 7 a 10. Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu nmero ser par?

b. o evento A; a soma maior que 8. 9. Num nico lance de um par de dados honestos,a probabilidade de sarem as somas 7 ou 11 :

3. Lanando-se

um dado, honesto, qual a probabilidade de se obter um nmero menor que 4?

10. Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com 4. Uma carta retirada ao acesso de um baralhode 52 cartas. Determine a probabilidade de ser; a. uma dama; nmeros distintos de 1 a 10, duas fichas so distribudas ao jogador, que ganhar um prmio se tiver recebido fichas com dois nmeros consecutivos. A probabilidade de ganhar o prmio neste jogo de

b. uma dama ou rei.

5. Uma moeda no viciada lanada trs vezesseguidas. Qual a probabilidade de: a. obter 3 coroas?

(A) (B) (C) (D) (E)

14% 16% 20% 25% 33%

b. obter exatamente 2 caras?

c. obter pelo menos 2 caras?

6. Numa urna existem 1 000 bolas, numeradas de1 a 1 000. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade: a. de observar um nmero mltiplo de 7?

b. do nmero obtido no ser mltiplo de 7?

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11. Considere dois dados, cada um deles com seisfaces, numeradas de 1 a 6. Se os dados so lanados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos nmeros sorteados seja 5 (A) (B) (C) (D) (E)

(C) 20% e 22% (D) 23% e 25% (E) 26% e 28%

15. Uma caixa contm bolas azuis, brancas eamarelas, indistinguveis a no ser pela cor. na caixa existem 20 bolas brancas e 18 bolas azuis. Retirando-se ao acaso uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser amarela 1/3. Ento, o nmero de bolas amarelas (A) (B) (C) (D) (E) 18 19 20 21 22

12. Numa maternidade, aguarda-se o nascimentode trs bebs. Se a probabilidade de que cada beb seja menino igual a probabilidade de que cada beb seja menina, a probabilidade de que os trs bebs sejam do mesmo sexo (A) (B) (C) (D) (E) 1/2 1/3 1/4 1/6 1/8

16. Na figura abaixo est representado umoctaedro regular.

13. Uma parteira prev, com 50% de chance decerto, o sexo de cada criana que vai nascer. Num conjunto de trs crianas, a probabilidade de ela acertar pelo menos duas previses de(A) (B) (C) (D) (E) 12,5% 25% 37,5% 50% 66,6%

Escolhendo-se ao acaso dois vrtices de um octaedro regular, a probabilidade de que esses vrtices sejam extremos de um das diagonais do octaedro (A) (B) (C) (D) (E) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

14. A figura abaixo representa uma paredequadrada na qual esto pintados discos de raio r. Se uma bola lanada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de ela tocar fora dos discos est entre

(A) 14% e 16% (B) 17% e 19% 10 Tcnico Bancrio

17. Considere o tabuleiro de 16 casas, com 8casas brancas e 8 casas pretas, representado na figura abaixo.

20. Um colgio tem 400 alunos. Destes: 100 estudam matemtica. 80 estudam Fsica 100 estudam Qumica 20 estudam Matemtica, Fsica e Qumica 30 estudam Matemtica e Fsica 30 estudam Fsica e Qumica 50 estudam somente Qumica

Trs peas sero dispostas ao acaso sobre o tabuleiro, cada uma delas dentro de uma casa, ocupando, assim, trs casas distintas. A probabilidade de que as trs peas venham a ocupar trs casas de mesma cor (A) 1/10 (B) 1/5 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 1/2

A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar Matemtica e Qumica (A) 1/10 (B) 1/8 (C) 2/5 (D) 5/3 (E) 0

21. Jogando-se dois dados, a probabilidade deobtermos a soma dos pontos menor ou igual a 7 (A)(B)

18. Dois dados perfeitos numerados de 1 a 6 sojogados simultaneamente. Multiplicam-se os nmeros sorteados. A probabilidade de que o produto seja par (A) 25% (B) 33% (C) 50% (D) 66% (E) 75%(C) (D) (E)

22. Trs moedas, no-viciadas, so lanadas 19. De um total de 100 alunos que se destinam aoscursos de Matemtica, Fsica e Qumica, sabese que: 1) 30 destinam-se Matemtica e, destes, 20 so do sexo masculino; 2) o total de alunos do sexo masculino 50, dos quais 10 destinam se Qumica; 3) existem 10 moas que se destinam ao curso de Qumica. Nestas condies, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e sabendo-se que do sexo feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de matemtica vale: (A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 1 simultaneamente. A probabilidade de se obter duas caras e uma coroa (A)(B) (C) (D) (E)

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23. Os 240 cartes de um conjunto so numeradosconsecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso um carto desse conjunto, a probabilidade de se obter um carto numerado com um mltiplo de 13 (A)(B) (C) (D)

(E)

27. Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, vo atravessarum rio em 3 barcos. Distribuindo-se ao acaso as pessoas, de modo que fiquem duas em cada barco, a probabilidade de A atravessar junto com B, C junto com D e E junto com F (A)(B) (C)

(E) (D)

24. Joo lana um dado sem que Antnio veja.Joo diz que o nmero mostrado pelo dado par. A probabilidade agora de Antnio acertar (A)(B) (C) (D) (E) (E)

28. A probabilidade de se ter duas vezes o nmero5, em duas jogadas de um dado, (A)(B) (C) (D) (E)

25. Num jogo com um dado, o jogador X ganha setirar, no seu lance, um nmero de pontos maior ou igual ao lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar (A)(B)

29.

A probabilidade de um inteiro, n, 1 n 999 , ser um mltiplo de 9. (A)(B)

(C) (C) (D) (D) (E) (E)

26. Qual a probabilidade de se obter um nmerodivisvel por 5, na escolha ao acaso de uma das permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5? (A) 5(B) (C) 1 (D) 4 12 Tcnico Bancrio

30. Um urna contm apenas 10 bolas. Essas bolasso de diversas cores, e somente 4 so brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposio da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que no so brancas (A)(B) (C) (D) (E)

(E)

33. Um nmero escolhido ao acaso entre os 20inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o nmero escolhido ser primo ou quadrado perfeito (A)(B) (C) (D) (E)

34. Num grupo de 60 pessoas, 10 so torcedores 31. No lanamento simultneo de dois dados, aprobabilidade de se conseguir dois nmeros iguais (A) 1/6 (B) 0 (C) 30% (D) 1/2 (E) 2 do Inter, 5 so torcedoras do Grmio e as demais so torcedores do Juventude. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do Inter ou do Grmio, de (A) 0,40 (B) 0,25 (C) 0,50 (D) 0,30 (E) 0,35

32. Sete

lmpadas de non so dispostas formando um oito, como no mostrador de uma calculadora (fig. I), e podem ser acesas independentemente umas das outras. Estando todas as sete apagadas, acendem-se quatro delas ao mesmo tempo, ao acaso. A probabilidade de ser formado o algarismo 4, como aparece na (fig. II),

35. Uma urna contm 8 bolas, sendo que 6 delasso marcadas com nmeros pares distintos e as restantes com nmeros mpares distintos. Retirando-se, simultaneamente, 3 bolas de urna, a probabilidade de que sejam sorteadas 2 com nmeros pares e 1 com nmero mpar (A)(B) (C) (D) (E)

(A) (B) (C) (D) Tcnico Bancrio 13

36. Um dado honesto tem suas 6 faces numeradasde 1 a 6. Joga-se esse dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um nmero par no primeiro lanamento e um nmero maior ou igual a cinco no segundo lanamento (A)(B) (C) (D) (E)

37. Uma urna contm 10 bolas pretas e 8 bolasvermelhas. Retiramos 3 bolas, sem reposio. Qual a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha? (A)(B) (C) (D) (E)

38. Trs pessoas A, B e C vo participar de umconcurso num programa de televiso. O apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio entre C e o Vencedor do primeiro sorteio, para decidir quem iniciar o concurso. Se em cada sorteio as duas pessoas tm a mesma chance de ganhar, qual a probabilidade de A iniciar o concurso? (A) 12,5% (B) 25% (C) 50% (D) 75% (E) 90%

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NOES DE ESTATSTICA

ESTATSTICA BSICAA cincia encarregada de coletar, organizar e interpretar dados chamada de estatstica. Seu objetivo obter compreenso sobre os dados coletados. Muitas vezes utiliza-se de tcnicas probabilsticas, a fim de prever um determinado acontecimento.

c. Mdia Harmnica (Mh)

MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL

Exemplo: o grfico abaixo mostra o desempenho de um aluno nas disciplinas exatas. Determine sua mdia harmnica.

a. Mdia Aritmtica (Ma)

Exemplo: calcular a mdia aritmtica entre os nmeros 5, 7, 4 e 8.

d. Mdia Geomtrica (Mg)

b. Mdia Ponderada (Mp)

Exemplo: determine a mdia geomtrica entre 6,8 e 36.

Exemplo: nas quatro avaliaes da disciplina de matemtica um aluno obteve as seguintes notas: 3,9, 4 e 6. Sabendo que seus pesos so 1,2,2 e 3 respectivamente, qual foi a mdia final deste aluno?

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e. Mediana (Md)A mediana o valor central dos dados estatsticos dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se o nmero de dadas do rol for par, temos que a mediana a mdia aritmtica dos dois valores centrais. Exemplo: A mediana dos dados 1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17 _______.

b. Desvio Padro (Dp)

Exemplo: qual o desvio padro dos valores 2, 5 e 10?

EXERCCIOSf. Moda (Mo)A moda de um conjunto de nmeros o valor que ocorre com maior freqncia. A moda pode no existir e tambm no ser nica. Exemplos: o conjunto de nmeros: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9 tm Mo=6 O conjunto de nmeros: 7, 6, 6, 8, 8, 9 tm Mo=6 e Mo=8. , portanto, dito bimodal. Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10. Como todos os dados tm a mesma frequncias, dizemos que no existe moda.

1. Um sistema de radar programado pararegistrar automaticamente a velocidade de todos os veculos trafegando por uma avenida, onde passam em mdia 300 veculos por hora, sendo 55 km/h a mxima velocidade permitida. Um levantamento estatstico dos registros do radar permitiu a elaborao da distribuio percentual de veculos de acordo com sua velocidade aproximada.

MEDIDAS DE DISPERSOa. Varincia (Var)A velocidade mdia dos veculos que trafegam nessa avenida de: (A) 35 km/h (B) 44 km/h Exemplo: determine a varincia dos valores 2, 5, 7 e 6. (C) 55 km/h (D) 76 km/h (E) 85 km/h

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2. Dado o conjunto A={10, 5, 11, 8, 15, 4, 16, 5,20, 6},a mdia , moda, mediana e varincia valem , respectivamente. (A) (B) (C) (D) (E) 9; 5; 10; 50 10; 5; 9; 66,8 10; 5; 8; 66,8 10; 5; 10; 66,8 10; 5; 9; 668

3. O nmero de carros vendidos ao longo de umano por um vendedor foi: {2,10, 2, 7, 9, 10, 14, 10, 9, 12, 4, 7}. Assim moda, mediana, mdia, varincia e o desvio padro valem, respectivamente. (A) (B) (C) (D) (E) 10; 9; 8; 9; 3 7; 9; 9; 9; 3 10; 9; 8; 13; 10; 7; 8; 10; 3 10; 9; 8; 16; 4

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GABARITOS

FUNES EXPONENCIAIS

NOES DE PROBABILIDADE

NOES DE ESTATSTICA

1. 2. 3. 4. 5. 6.FUNES

A B A D B B

LOGARTMICAS

1. 1/2 2. 4 3. 2a+b 4. -a/2b 5. 4a+2b 6. 2 - k 7. a + b 8. 84 9. 7 10. 10 11. {1} 12. -3 13. 1 14. {106; 10-1} 15. 16. 17. D 18. 19. 19 20.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. C 11. E 12. C 13. D 14. C 15. B 16. A 17. B 18. E 19. A 20. A 21. C 22. D 23. B 24. D 25. C 26. B 27. C 28. B 29. E 30. C 31. A 32. A 33. E 34. E 35. A 36. E 37. A 38. B

1. B 2. B 3. C

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Professor Jos Moreira PORCENTAGEM a razo entre um determinado nmero e 100. EXEMPLO 1 25% significa 25 em cada 100. Na forma fracionria : 25/100 que simplificando d 1/4 e 1/4 na forma decimal 0,25. Assim, saiba que:

EXEMPLO 4 Qual o percentual do bolo que corresponde a x ? Bolo 1 1/4 1/31/8

Bolo 2 35% x 21% 20%

x 1/6

Problemas a serem resolvidos mentalmente So aqueles que envolvem 10%, 25%, 50%, etc... Determine: A) Os 10% de 850 47 12,5 (tira um zero ou corre a virgula e casa para a esquerda). B) Os 50% de 500 2 (metade). C) Os 25% de 200 (quarta parte) D) Os 5% de 540 (calculamos os 10% e dividimos por 2) E) Os 75% de 240 (calculamos a 1/4 parte e multiplicamos por 3)

PERCENTAGEM FRACIONARIA DECIMAL 50% 50/100 = 1/2 0,5 25% 75% 20% 10% EXEMPLO 2 A) Passe para a forma decimal e fracionria: 1) 30% 2) 80% 3) 45% 4) 5% 25/100 = 1/4 75/100 = 3/4 20/100 = 1/5 10/100 = 1/10 0,25 0,75 0,2 0,1

PORCENTAGEM QUALQUERFazemos uma regra de trs direta ou passamos da forma fracionria para a forma decimal e da para a porcentagem e vice-versa. EXEMPLO 1 De 70 tiros dados por um caador , 42 atingiram o alvo. Qual a porcentagem do acerto? SOLUO: 42 = 0,6 = 60% 70 ou ______ 100% 70 42 ______ x

B) Passe para a forma percentual e fracionria: 1) 0,4 2) 0,65 3) 0,125 EXEMPLO 3 Em uma mistura, colocamos 4 partes de areia e 1 parte de cimento. Podemos dizer que a proporo de cimento da mistura de: Uma parte sobre um total de cinco partes da mistura ou seja, 1/5. E na forma PERCENTUAL, a percentagem de cimento na mistura 1/5 = 20/100 ou 20%. Podemos tambm afirmar que a porcentagem da areia ......................................... .Tcnico Bancrio

4) 0,02 5) 0,015 6) 0,75

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Matemtica EXEMPLO 2 Determinar 7% de 250. 250 ______100% x = 7 x 250 = 17,5 ______ 7% x 100 Exemplo 1 Um crculo A tem rea 1,25 vezes maior que um crculo B. Podemos dizer que o crculo A 25% maior que o crculo B. CUIDADO: o crculo B no 25% menor que o crculo A ! Veja: A proporo CRCULO A = 125 = 1,25 CRCULO B 100 Crculo A 1,25 vezes B, o acrscimo de 25% sobre B ou 25% maior que B. Mas CRCULO B = 100 = 0,8 CRCULO A 125 O crculo B 0,8 vezes o crculo A. Portanto o tamanho do crculo B o tamanho do crculo A descontado de 20%. B 20% menor do que A. Exemplo 2Um preo P sofre um desconto de 22%. Podemos dizer que o novo preo : a) 78P b) 122P c) P - 22 d) 0,22P e) 0,78P

REGRA DO BALCONISTA(Todo o bom vendedor SABE!) aquela que com uma nica conta chega diretamente ao novo nmero. ACRSCIMO (Direto) 100 + it 100 it = percentagem de acrscimo ou desconto

20% sobre X 100% sobre P 5% sobre X 100 + 20 = 1,2 100 + 100 = 2 100 + 5 = 1,05 100 100 100 1,2 X 2P 1,05 X

Nmero que multiplica X maior que 1 = Acrscimo sobre X

DESCONTO (Direto) 100 - it 10% sobre X 100 100 - 10 = 0,9 100

Exemplo 3Se um nmero x multiplicado por 1,3 e um nmero y multiplicado por 0,6 podemos afirmar que:

Multiplicar por 0,9 equivale a um desconto de 10% 40% sobre N 100 - 40 = 0,6 100 0,6 N 92% sobre K 100 - 92 = 0,08 100 0,08 K

x sofreu um acrscimo de 30% y sofreu um desconto de 40% Confira pela Regra do Balconista. Ateno Acrscimo de 100% o valor fica 2 vezes maior. Acrscimo de 200% o valor fica 3 vezes maior. Acrscimo de 300% o valor fica 4 vezes maior.

Nmero que multiplica X menor que 1 = Desconto sobre X

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PORCENTAGEM01. Identifique a porcentagem de acrscimo ou desconto sobre x: a) 1,12.x = b) 0,74.x = c) 1,08.x = d) 0,08.x = e) 1,005.x = f) 0,85.x = g) 1,4.x = h) 0,6.x = 13. Um operrio A reboca 12m2 e seu servio 1/4 maior do que seu colega B. Quanto reboca B? a) 16 m2 b) 15 m2 c) 8 m2 2 d) 9 m e) 9,6 m2 14. Um operrio A constri 12 m2 de muro e seu colega B constri 1/4 a menos do que A. Quanto constri B? a) 3/4 m2 b) 9 m2 c) 8 m2 d) 9,6 m2 15. Se o salrio de Pedro 3/4 do salrio de Joo, podemos afirmar que: a) O salrio de Joo 25% maior que o de Pedro. b) O salrio de Joo 75% maior que o de Pedro. c) O salrio de Pedro 75% maior que o de Joo. d) O salrio de Joo 33 1 3 % maior que o de Pedro. e) O salrio de Joo 1/4 maior que o de Pedro. 16. Se a razo entre o valor bruto e lquido de certo salrio de 6/5. O valor descontado representa que frao do salrio lquido? a) 1/5 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/6 e) 5/6 17. A razo entre o salrio lquido e bruto do Dr. Carlos 5/8. O valor descontado representa que frao do salrio lquido? a) 3/8 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 1/3 18. Trs operrios tem seus salrios relacionados da seguinte forma: A ganha 20% a mais que B e C ganha 30% a mais do que A. Se juntos ganham $ 13.912, o salrio de A, B e C respectivamente: a) $3760 , $4512 , $5865,60 b) $4512 , $3760 , $5865,60 c) $3700 , $4440 , $5772 d) $4440 , $3700 , $5772 e) $3600 , $3000 , $4680 19. Quatro operrios tem seus salrios relacionados da seguinte forma: Carlos ganha 12% a mais que Joo. Antnio ganha 20% a mais que Carlos e Paulo ganha 10% a menos que Carlos. Se juntos ganham $ 22.360, qual o salrio de cada um? 20. Ao afirmarmos que um produto A 25% mais caro que um produto B, podemos afirmar: a) B 25% mais barato que A. b) B 1/4 mais barato que A. c) A 1/5 mais caro que B. d) B 20% mais barato que A. e) A 20% mais caro que B.21

02. 20% elevado ao quadrado igual a:a) 40% c) 4% b) 400% d) 0,4%

03. Um quadrado de lado , tem rea A. Se aumentarmos de 20% o comprimento do lado , sua rea passar a ser: a) 20A b) 1,2A c) 400A d) 4A e) 1,44A

l

l

04. Um quadrado de lado tem rea A. Se aumentarmos 10% o comprimento de cada lado, a nova rea aumentar: a) 40% b) 20% c) 21% d) 10% e) 100% 05.Qual o nmero que diminudo de seus 40% vale 720? 06. Qual a quantia que aumentada de 20% produz 480? 07. Aproveitando uma promoo que concedia 27% de desconto para o pagamento vista de um produto, paguei $ 5986. Qual o preo original? 08.Sobre uma fatura de $ 5800, se concede o abatimento de $ 145. Qual a porcentagem do abatimento? 09.Uma fatura sofreu um abatimento de 5% e produziu o lquido de $ 25.555. De quanto era a fatura? 10. Em uma firma 25% so contratados e os 180 funcionrios restantes so efetivos. Qual o total de funcionrios da firma? 11. Misturam-se 30 litros de lcool com 20 litros de gasolina. Qual a porcentagem de gasolina na mistura? 12. De um total de 60 questes, Carlos acertou 42. Qual a porcentagem de erro?

l

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Matemtica21. Uma mercadoria majorada em 40%. Um cliente, alegando ter vindo no dia anterior, beneficiado com um desconto de 30% sobre o novo preo. Ento, em relao ao preo do dia anterior, o comerciante ainda obteve: a) lucro de 10% b) prejuzo de 30% c) lucro de 40% d) lucro de 8% e) prejuzo de 2% 22. A razo entre o valor previsto e o valor arrecadado em um evento 1,25. Podemos afirmar que: a) A arrecadao ultrapassou a previso e 25%. b) A arrecadao ultrapassou a previso e 2,5%. c) A arrecadao foi 25% inferior a previso. d) A arrecadao foi 20% a menos que o previsto. e) A arrecadao foi 0,25% menor que a previso. 23. A razo entre despesa e receita de um evento 0,8. Podemos afirmar que: a) Houve lucro de 25% em relao despesa. b) Houve prejuzo de 20% em relao receita. c) Houve lucro de 20% em relao a despesa. d) Houve prejuzo de 25% em relao a receita. e) Houve lucro de 80%. 24. O salrio de Joo 40% do salrio de Margarida. Podemos afirmar que: a) O salrio de Margarida 60% maior que o de Joo. b) O salrio de Margarida 2/3 maior que o de Joo. c) O salrio de Margarida 150% maior que o de Joo. d) O salrio do Joo 2/3 do salrio de Margarida. e) O salrio de Margarida 3/2 do salrio de Joo. 25. A quanto correspondem 2 acrscimos sucessivos de 10% e 20%? 26. A quanto correspondem 2 descontos sucessivos de 20% e 30%? 27. Cristina comprou um produto e obteve desconto de 30%, pagando $ 588. Qual era o preo original? 28. Teresa compra um produto ganhando um desconto de 20% e mais 5% sobre o preo j descontado. Se pagou $ 1216, qual o preo original? 29. Em abril, um produto custa X. Em maio sofre um acrscimo de 25%. No entanto, no Dia das Mes, sofre uma promoo especial com desconto de 10%. Se uma pessoa paga no Dia das Mes, $ 23.625, podemos afirmar que o preo em abril era de : a) $ 19.490 d) $ 20.000 b) $ 20.790 e) $ 21.000 c) $ 17.180 30. Um preo majorado de $ 1200 para $ 1416. Qual a porcentagem de acrscimo? 31. Uma mercadoria tem seu preo P, aumentado em 60%. Para que a mercadoria volte a custar P, deve-se descontar do novo preo: a) 30% b) 37,5% c) 40% d) 60% e) 62,5% 32. O disco abaixo est dividido em cinco setores circulares. Os nmeros no interior dos setores indicam a medida da rea em cm2 de cada um deles. 2 3 1 Em relao rea total do disco, as reas do maior e do menor setor circular correspon-dem, respectivamente a: a) 60% e 10% b) 37,5% e 6,25% c) 62,5% e 3,75% d) 60% e 6% e) 66% e 10% 6 4

GABARITO01. A) Acrscimo de 12% B) Desconto de 26% C) Acrscimo de 8% D) Desconto de 92% E) Acrscimo de 0,5% C 400 240 B D

03. E 04. C 05. 1200 07. $ 8200 08. 2,5% 09. $ 26900 11. 40% 12. 30% 13. E 15. D 16. A 17. D 19. Joo = $ 5000 Carlos = $ 5600 Antonio = $ 6720 Paulo = $ 5040 20. D 21. E 22. D 23. A 24. C 25. 32% 26. 44% 27. $ 840 28. $ 1600 29. E ( $ 21000) 30. 18% 31. B 32. BTcnico Bancrio

02. 06. 10. 14. 18.

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LUCRO E PREJUZOPV > PC Lucro (Exemplo 20%) 1. LUCRO SOBRE O PREO DE CUSTO PC = 100% PV = 120% 2. LUCRO SOBRE O PREO DE VENDA PV = 100% PC = 80%

Problemas de Lucro, Prejuzo e Impostos01. Uma mercadoria foi vendida por $432 com lucro de 20% sobre o preo de custo. Qual o preo de custo? 02. Uma mercadoria foi vendida com lucro de 30% sobre o preo de venda. Se foi comprada por $56, qual o PV? 03. Uma mercadoria foi vendido por $480 com o prejuzo de 25% sobre o PC. Qual o preo de custo? 04. Um produto foi vendo com prejuzo de 12% sobre o preo de venda. Se o PC $1344, qual o PV? 05. Um comerciante compra uma mercadoria por X. Se ele a vende com um lucro de 25% sobre o PC, podemos afirmar que o preo de venda : a) 25X d) 1,25X b) 125X e) 2,5X c) 0,25X 06. O preo de venda de uma mercadoria PV. Porm na promoo, h um desconto de 15%. O comprador pagar: a) 15PV d) 85PV b) 1,15PV e) 0,85PV c) 0,15PV 07. Uma mercadoria foi vendida por $ 83.776 com um lucro de 12% sobre o preo de custo. Qual o PC? 08. Uma mercadoria foi vendida com o prejuzo de 9% sobre o PV. Se o preo de custo $4905, qual o PV? 09. Um produto foi vendido com lucro de 40% sobre o PV. Se foi comprado por $840, qual o preo de venda? 10. Um produto foi vendido por $ 68.875 com prejuzo de 5% sobre o PC. Qual o PC?

PV < PC Prejuzo (Exemplo 15%) 1. PREJUZO SOBRE O PREO DE CUSTO PC = 100% PV = 85% 2. PREJUZO SOBRE O PREO DE VENDA PV = 100% PC = 115%

EXEMPLOS BSICOS1A. Uma mercadoria foi vendida por $ 52, com lucro de 30%, sobre o PC. Qual o preo do custo? 1B. Uma mercadoria foi vendida com lucro de 20% sobre o PV. Se foi comprada por $ 40, qual o PV? 2A. Uma mercadoria foi vendida por $ 54, com prejuzo de 10% sobre o PC. Qual o PC? 2B. Uma mercadoria foi vendida com prejuzo de 20% sobre o PV. Se o PC $ 60, qual o PV?

GABARITO01. $ 360 02. $ 80 03. $ 640

04. $ 1200 07. $ 74800 10. $ 72500Tcnico Bancrio

05. D 08. $ 4500

06. E 09. $ 1400

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JUROS SIMPLESOs Juros Simples se caracterizam por render sempre em cima do Capital Inicial. Conceitos M=C+J J = C.i.t 100 M C= C.i.t 100

ACRSCIMO de it% de acordo com o "BALCONISTA"

As unidades do it devem estar padronizadas

PROBLEMAS PROPOSTOS EM AULA01. Determine os juros e o montante de um capital de $ 2000 aplicado a uma taxa simples de 5% a.ms, durante 6 meses. CAPITAL JUROS MONTANTE t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6

Comentrios

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{

M=C.( )

C J

100% it %

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Matemtica02. Determine os juros e o montante de um capital de $ 120.000, aplicado a uma taxa simples de 13/ % a.ano. durante 5/ ano. 3 8

03. Determine os juros e o montante de um capital de $ 72.000 aplicado a uma taxa simples de 5% a.ano durante 100 dias.

04. Determine o capital que aplicado a uma taxa simples de 6% a.ms, durante 9 meses, atinge o montante de $ 12705.

05. Um capital de $ 60.000 aplicado em um Banco A, durante 4 meses a juros simples de 5% a.ms. Aps esse tempo, pega-se o MONTANTE e aplica-se em um Banco B a juros simples de 6% a.ms durante 5 meses. Determine: A) Montante B) Qual deveria ser a taxa paga pelo Banco A para que o capital atingisse o mesmo montante final, aplicado os 9 meses a juros simples no Banco A?

GabaritoM = 93600 e i = 6,22%a.m Tcnico Bancrio 25

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PROBLEMAS DE JUROS01. Determine os juros e o montante de um capital de $8000 aplicado sob forma de juros simples a um taxa de 6% ao ms, durante 4 meses: 02. Determine o capital que aplicado a 4,5% a.a. rende em 6 meses $5400 de juros. 03. Qual a taxa de aplicao a juros simples de um capital de $12000 que em 5 meses rendeu $2100 de juros? 04. Achar o tempo que permaneceu aplicado um capital de $15000, sabendo que rendeu $3000 de juros a uma taxa de 6% ao ms. (A) 3 meses e 10 dias (B) 3 meses e 3 dias (C) 20 meses (D) 2 meses (E) 3,2 meses 05. Qual o capital que aplicado a 5% a.a. durante 6 meses, produz o montante de $6970? 06. Qual o capital que aplicado a taxa de 7% ao ms produz o montante de $5070 em 8 meses de juros simples? 07. Determine o capital que aplicado a taxa de 7% a.a. produz o montante de $3070 aps 4 meses: 08. Determine o montante produzido por um capital de $5000 aplicado a 8% a.a. durante 3 meses. 09. Qual o capital que aplicado a 10% a.a. durante 2 anos produz o montante de $3096? 10. Qual a taxa de aplicao de um de um capital de $36000 que rende $1620, em 18 meses? 11. O capital que investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevar a $1296 no fim de 8 meses, de: (A) $ 1100 (B) $1000 (C) $1392 (D) $1200 (E) $1399,68 12. Quanto se deve aplicar a 12% ao ms para que obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por $400 000 emprestados a 15% ao ms, durante o mesmo perodo? (A) $420 000 (B) $450 000 (C) $480 000 (D) $520 000 (E) $500 000 13. Um capital C foi aplicado a 5% a.a. durante 4 anos. Qual a taxa que deve ter um capital de 2C para render os mesmos juros simples em 6 anos e 3 meses?26

14. Dispomos de um capital de %500000 aplicados a uma taxa de 20% ao ms sob a forma de juros simples. Imaginemos 3 situaes independentes: (A) Aps n meses o titular da conta retirou a quantia de (n x $120000) e observou que o saldo que ficou atingiu a 80% do capital inicial. Podemos afirmar que o valor de n : (B) Aps k meses o titular retirou (k x $80000) e verificou que o saldo deixado atingiu a 120% do capital inicial. Qual o valor de k? (C) Aps m meses o titular retirou (m x $40000) e verificou que o saldo que ficou atingiu 220% do capital inicial. Calcule m? 15. Em quanto tempo um capital aplicado a taxa de 1,25% ao ms rende 3/8 de si mesmo? 16. H 4 anos atrs, um capital de $200000 foi aplicado a taxa de 20%a.a. Se aplicarmos hoje um capital de $240000 taxa de 25% a.a. aps quantos anos, a contar de agora, os dois capitais tero produzido juros iguais? E aps quantos anos os dois montantes sero iguais? 17. Um capital aplicado a juros simples. Esse capital, com juros correspondentes a 3 meses elevase ao montante de $ 24.780. O mesmo capital com juros correspondentes a 7 meses eleva-se a $ 29.820. Determine o capital e a taxa anual. 18. Um capital de $50000 aplicado a uma taxa de 10% ao ms durante 3 meses. Ento, retira-se tudo e reaplica-se o montante em outro banco a uma taxa de 12% ao ms durante 4 meses. Qual o montante no final da operao? De quanto deveria ser a taxa para que o capital atingisse o mesmo montante rendendo juros simples durante os 7 meses no mesmo banco? 19. Um certo capital foi aplicado a juros simples. Depois de 10 meses, o extrato de conta revela um montante X. 6 meses depois de observar o extrato pela primeira vez, tira-se novo extrato e verifica-se que o montante aumentou 10% em relao ao primeiro extrato. Se o segundo extrato, aps 16 meses do depsito inicial, revela um montante de $66000, determine: (A) o montante X: (B) o capital inicial: (C) a taxa de aplicao:

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Matemtica20. Um certo capital aplicado a uma taxa de 5% ao ms durante 6 meses, rendendo juros simples. Ento, retira-se tudo e aplica-se todo o montante em outro banco a uma taxa de 6% ao ms durante 6 meses. Se, no final desses 12 meses o montante obtido foi de $76908, determine o capital inicial. 21. Um certo capital aplicado a uma taxa de juros simples de 8% a.a. durante 3 anos. Depois disso pega-se o capital e os juros e aplica-se tudo em outro banco durante 2 anos a uma taxa simples de 12,5% a.a. Se no final dos 5 anos o montante ascende a $31000, determine: (A) o capital inicial: (B) qual teria sido a taxa de juros simples para que esse mesmo capital rendesse a mesma coisa nesses 5 anos estando sempre no mesmo banco? 22. Um capital aplicado durante 6 meses a uma taxa de 10% a.m. e a partir da recebe 20% ao ms durante 2 meses, sobre o mesmo capital inicial. A taxa mdia mensal de aplicao durante os 8 meses de: (A) 15% (B) 12,5% (C) 10% (D) 15,5% (E) 16% 23. (TTN/85) Um capital de Cr$ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu CR$ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? (A) 3 meses e 3 dias (B) 3 meses e 8 dias (C) 2 meses e 28 dias (D) 3 meses e 10 dias (E) 27 dias 24. (TTN/92) Quanto de deve aplicar a 12% ao ms, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$ 400.000,00 emprestados a 15% ao ms, durante o mesmo perodo? (A) Cr$ 420.000,00 (B) Cr$ 450.000,00 (C) Cr$ 480.000,00 (D) Cr$ 520.000,00 (E) Cr$ 500.000,00 25. (TTN/92) Trs capitais so colocados a juros simples: o primeiro a 25%a.a., durante 4 anos; o segundo a 24%a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20%a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de Cr$ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital o dobro do primeiro e que o terceiro o triplo do segundo, o valor do terceiro capital de: (A) Cr$ 30.210,00 (B) Cr$ 10.070,00 (C) Cr$ 15.105,00 (D) Cr$ 20.140,00 (E) Cr$ 5.035,00Tcnico Bancrio

26. (TTN/94) Mrio aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, taxa de 20% ao ano, sob mesmo regime de capitalizao. Admitindose que os juros das 3 aplicaes somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicao era de R$? (A) 11.200,00 (B) 13.200,00 (C) 13.500,00 (D) 12.700,00 (E) 12.400,00 27. (AFTN/85) Joo colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condies, pelo perodo de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicaes, os montantes eram de Cr$ 147.000 e Cr$ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de: (A) Cr$ 50.000 (B) Cr$ 60.000 (C) Cr$ 70.000 (D) Cr$ 80.000 (E) Cr$ 200.000 28. Um capital de $200.000 aplicado durante certo tempo a juros simples de 4% a.ms. Aps esse tempo o capital passa a ser remunerado a uma taxa simples de 5% a.ms, durante 5 meses. No fim desse tempo o montante atinge $298.000. Quanto tempo o capital esteve aplicado? A) 10 meses B) 9 meses e 24 dias C)11 meses D) 6 meses E)4 meses e 24 dias

Gabarito01. J = 1.920 M = 9.920 02. $240.000 03.3,5% ao ms 04. A 05. $6.800 06. $3.250 07. $ 3.000 08. $5.100 09. $2.580 10. 0,25% ao ms 11. D 12. E 13. 1,6% a.a. 14. A) n=5 meses B) k=5 meses C) m=10 meses 15. 30 meses 16. Juros iguais em 8 anos; Montantes= em 6 anos 17. C = 21.000 i = 6% a.ms 18. M = 96.200 i = 13,2% a.m. 19. A) M X = 60.000 B) C = 50.000 C) i = 2% a.ms 20. $43.500 21. A) C = 20.000 22. B 23. D 26. E 27. B

B) i = 11%a.a. 24. E 25. A 28. C27

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SRIE DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES1 Uma pessoa tem que pagar 10 parcelas no valor de $1.000 cada uma e que vencem todos os dias cinco dos prximos 10 meses.Todavia, ela combina com o credor um pagamento nico equivalente, no dia 5 do dcimo ms e assim quitar a dvida.Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% a.ms. A) 11800 B)12006 C)12200 D) 12800 E)13486 SOLUO1 Parcela

A 1 parcela atrasou 9 meses. Sobre ela incidir 36% de juros (9meses de 4% a juros simples). Seu valor ser 1000 . 1,36 A 2 parcela atrasou 8 meses. Seu valor ser 1000 . 1,32 A 3 parcela pagar 7 meses de juros a 4% a.ms. 1000 . 1,28 E assim sucessivamente. A 10 parcela ser paga na data combinada. Portanto no ter incidncia de juros. Seu valor ser de 1000 Assim, pagando na data 10 temos: 1000 + 1000 . 1,04 (10 parcela) (9 parcela) 1000 . 1,20 + (5 parcela) 1000 . 1,24 (4 parcela) + 1000 . 1,08 + (8 parcela) 1000 . 1,28 (3 parcela) + 1000 . 1,12 + (7 parcela) 1000 . 1,32 + (2 parcela) 1000 . 1,16 + (6 parcela) 1000 . 1,36 (1 parcela)

+

Ora, estamos diante de uma PA 1000 + 1000 . 1,04 + a1 a2 1000 . 1,20 a6 + 1000 . 1,24 a7 +

1000 . 1,08 a3 1000 . 1,28 a8

+

1000 . 1,12 + a4 1000 . 1,32 a9 +

1000 . 1,16 a5

+ TOTAL PAGO NA DATA SN

+

1000 . 1,36 = a 10

A frmula da SOMA DOS TERMOS da PA : SN = ( a1 + an 2

).N

SN = (

1000 + 1360 ) . 10 2

SN = 11800

28

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MatemticaMas podemos resolver fazendo o ACRSCIMO MDIO ACRSCIMO MDIO = ACRSCIMO MXIMO 2 4% . 9 2

ACRSCIMO MDIO =

ACRSCIMO MDIO = 18% Assim a soma das 10 parcelas de $ 1000 ter um acrscimo mdio de 18% 10.000 . 1.18 = $ 11.800

PROBLEMAS PROPOSTOS02. Uma pessoa faz 9 depsitos mensais de $4000. O banco paga juros simples de 5% a.ms. O valor acumulado imediatamente aps o 9 depsito de:

03. Quanto devemos depositar mensalmente para que imediatamente aps 6 depsitos mensais e iguais em um aplicao que paga juros simples de 3%a.ms, se obtenha um montante de $ 64.500

Gabarito01. 11.800Tcnico Bancrio

02. 43.200

03. 10.00029

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JUROS COMPOSTOSSo ACRSCIMOS SUCESSIVOS. Os rendimentos ou JUROS so calculados sobre o MONTANTE obtido no final de cada PERODO. CONCEITOS PRAZO DE APLICAO o tempo total que o CAPITAL fica aplicado.

PERODO DE CAPITALIZAO o tempo no qual o CAPITAL fica aplicado como se fosse JUROS SIMPLES. Ao finalizar esse PERODO, o montante obtido serve como REFERNCIA para o clculo dos juros no prximo perodo. Sendo essa REFERNCIA constante durante todo o perodo considerado, podemos dizer que em CADA PERODO o capital rende JUROS SIMPLES. Os juros compostos se caracterizam justamente pela TROCA DESSE REFERNCIAL a cada NOVO PERODO. Portanto, os JUROS COMPOSTOS so uma SUCESSO de JUROS SIMPLES. Quando o PERODO de CAPITALIZAO tende a ZERO, a CAPITALIZAO chamada INSTANTNEA e o MONTANTE calculado pela expresso

M = C . e itRESUMO

e = nmero de Euler = 2,7182...

M = C . ( )NAcrscimo (na forma do BALCONISTA) ocorrido em 1 PERODO DE CAPITALIZAO como se fosse JUROS SIMPLES. N= PRAZO DE APLICAO PERODO DE CAPITALIZAO Ambos na mesma Unidade

Exemplo: Seja um capital de $ 100.000, aplicado a uma TAXA NOMINAL de 60% a.ano. pelo prazo de 1 ano.CAPITALIZAO MENSAL CAPITALIZAO BIMESTRAL

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MatemticaCAPITALIZAO TRIMESTRAL CAPITALIZAO QUADRIMESTRAL CAPITALIZAO SEMESTRAL

TAXA NOMINAL a taxa que usada como REFERNCIA. Ela aceita PROPORCIONALIDADE.

TAXA EFETIVANo momento em que muda o referencial para clculo de juros, a taxa passa a ser EFETIVA, pois significa que ocorreu uma CAPITALIZAO (acrscimos sucessivos).

CONCLUSESPARA UMA MESMA TAXA NOMINAL e MESMO PRAZO DE APLICAO correto afirmar:1 Quanto maior o nmero de capitalizaes, maior a taxa efetiva. 2 Quanto maior a FREQUNCIA das capitalizaes, maior a taxa efetiva. 3 Quanto maior o PERODO das CAPITALIZAES MENOR a taxa efetiva. 4 Quanto maior a PERIODICIDADE das CAPITALIZAES, maior a taxa efetiva.

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PROBLEMAS DE JUROS COMPOSTOS01. Um capital de $200.000 aplicado a uma taxa de 2% ao ms da seguinte forma: (A) capitalizao mensal durante 3 meses (B) capitalizao bimestral durante 8 meses (C) capitalizao quadrimestral durante 1 ano (D) capitalizao semestral durante 3 anos Determine o MONTANTE no final de cada aplicao e os respectivos JUROS: 06. Qual o tempo que esteve aplicado um capital de $12.000 aplicado a 50% a. m., com capitalizao bimestral sabendo-se que atinge o montante de $96.000?

07. Qual o nmero de anos necessrios para que um capital colocado a juros compostos taxa de 50% a.a. atinja 225% de seu valor inicial?

02. Um capital de $60.000 aplicado a uma taxa de 20% a. m. das seguintes formas: (A) capitalizao mensal durante 2 meses (B) capitalizao trimestral durante 1 semestre Determine o montante no final de cada aplicao:

08. Qual o tempo necessrio para que um capital colocado a juros compostos de 100% a.a. sofra um acrscimo de 700%? (Capitalizao anual)

03. Qual o capital que aplicado a uma taxa de 40% a.a. durante 18 meses, com capitalizao semestral, atinge o montante de $51.840?

09. Um capital de $2.000 aplicado a uma taxa de 50% a. m. durante certo tempo e atinge o montante de $162.000. Sabendo-se que a capitalizao quadrimestral, determine o tempo da aplicao.

04. Quanto tempo permaneceu aplicado um capital de $25.000 a taxa de 2% a.m. com capitalizao quadrimestral para ter atingido o montante de $29.160? Obs.: Como no h tabela financeira, faa teste das opes.

10. Qual a taxa de aplicao de um capital de $3.000 que aplicado durante 18 meses com capitalizao semestral, atinge o montante de $81.000?

05. Qual a taxa de aplicao de um capital de $50.000 que foi aplicado durante 8 meses com capitalizao quadrimestral e atingiu o montante de $72.000?

Gabarito01. MONTANTE A) $212.241,60 B) $233.971,71 C) $251.942,40 D) $394.764,54 02. 03. 04. 05. A) $86.400 B) 153.600 C = $30.000 8 meses 5% ao ms 06. 07. 08. 09. 10. 6 meses 2 anos 3 anos 16 meses 400% a.a. (nominal) 800% a.a. (efetiva)Tcnico Bancrio

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TAXA EFETIVA)N = TAXA EFETIVANa forma de ACRSCIMO do BALCONISTA

(

A taxa EFETIVA aquela que resulta de CAPITALIZAES SUCESSIVAS NO ACEITA PROPORCIONALIDADE CRESCE EXPONENCIALMENTE Exemplo Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 44% a.semestre com capitalizao TRIMESTRAL SOLUO Portanto Em um semestre h 2 capitalizaes trimestrais. (x)2 = 1,44 x = 1,44 x = 1,2 Interpretao 20% ao trimestre

Ora, a taxa encontrada no parnteses (sem estar exponencializado) uma taxa nominal. Isto significa que aceita PROPORCIONALIDADE. Assim, 20% ao trimestre 40% ao semestre (nominal) 80% ao ano (nominal) OBS: A taxa EFETIVA ANUAL seria (1,44)2 ou (1,2)4

4 capitalizaes trimestrais 2 capitalizaes efetivas semestrais (1,2)4 = 2,0736 ou (1,44)2 = 2,0736

INTERPRETAO TRADUO: 207,36% do CAPITAL 2,0736 C CONCLUSO: TAXA EFETIVA 107,36% em 1 ano O DINHEIRO CRESCEU 107,36% em 1 ano!

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PROBLEMAS PROPOSTOS01. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 46,41%a.ano, com capitalizao TRIMESTRAL

02. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 10,25% ao quadrimestre com capitalizao bimestral. Calcule tambm a taxa EFETIVA anual.

03. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 60%a.a. com CAPITALIZAO 12 MENSAL. Considere 1,6 = 1,04

04. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 200% em 9 meses, com capitalizao mensal. 1 Considere 3 /9 = 1,13

Gabarito01. 40%a.a(nominal) 03. 48% a.a nominal34

02. 04.

taxa nominal anual = 30%a.a taxa efetiva anual = 34%a.a 156% a.a nominal taxa efetiva anual = 333,45%a.aTcnico Bancrio

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TAXAS EQUIVALENTESSo aquelas que POR CAMINHOS DIFERENTES produzem CRESCIMENTOS EFETIVOS IGUAIS, em PRAZOS IGUAIS, para qualquer capital.

C1 C2 Lembre que:

M1 M2

M = C . ( )NE que ( )N = TAXA EFETIVA Ento M = TAXA EFETIVA C

( )N = M C

Na forma de ACRSCIMO do Balconista. Portanto as taxas so equivalentes se, para PRAZOS IGUAIS, temos: (X1)N1 = (X2)N2 ou M1 = M2 C C2 1

{

Exemplo Considere 2 capitais aplicados a prazos iguais. 10.000 CAPITAL p acrscimos sucessivos 16.000 MONTANTE

25.000 CAPITAL q acrscimos sucessivos

40.000 MONTANTE

Concluso:

OBS: evidente que, capitais iguais, aplicados no mesmo prazo, que chegarem ao MESMO MONTANTE, tem MESMO CRESCIMENTO EFETIVO.Tcnico Bancrio 35

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EQUIVALNCIA ENTRE TAXAS NOMINAISS sero equivalentes quando (X1)N1 = (X2)N2 para mesmos prazos de aplicao.

Uma taxa nominal de 42% a.ano com capitalizao semestral, em 1 ano de aplicao, EQUIVALENTE a uma taxa nominal anual de 40%a.ano com capitalizao trimestral NO MESMO PRAZO. SOLUO (1,21)2 1,4641 EFETIVO = (1,1)4 1,4641 EFETIVO

As taxas EFETIVAS so iguais no prazo dado.

Determine a taxa nominal MENSAL que para aplicaes pelo prazo de 9 meses e capitalizao mensal EQUIVALENTE a uma taxa nominal de 52% a.semestre com capitalizao trimestral em 9 meses. 9 Dados: Considere (1,26)3 = 2 e 2 = 1,08

EQUIVALNCIA ENTRE TAXAS EFETIVASQuando falamos de TAXAS EFETIVAS no necessrio deixar explcito o PRAZO DE APLICAO. O importante que se diga simplesmente que no MESMO PRAZO, qualquer que ele seja. No entanto, basta comparar ambas as taxas no prazo indicado pela TAXA que tenha o MAIOR PERODO DE CAPITALIZAO. Exemplo Uma taxa efetiva de 4%a.ms EQUIVALENTE a uma taxa efetiva de 60%a.ano SOLUO (1,04)12 1,6 prazo de 1 ano.

Mas elas tambm so equivalentes em outros PRAZOS. Tomemos, por exemplo, o prazo de 1 SEMESTRE.

{

PROBLEMA PROPOSTO

Gabarito: 8%a.ms. Crescimento efetivo em 9 meses: 100%

{

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MatemticaUma taxa efetiva de 4%a.ms, rende em 6 meses (1,04)6 = 1,2653 Aproximadamente 26,5% ao semestre efetivo

J uma taxa EFETIVA de 60%a.ano, cresce em 1 semestre o seguinte: Em 1 ano h 2 semestres 2 (x) = 1,6 x = 1,6 x 1,2649 CONCLUSO: Aproximadamente 26.5% ao semestre

PROBLEMAS PROPOSTOS01. Determine a taxa mensal EQUIVALENTE a 12%a.ano

02. Determine a taxa efetiva mensal equivalente a 0,194% ao dia.

03. Qual a taxa diria equivalente a 3%a.ms? Considere (1,03)

1/ 30

= 1,000986

OBS: considerar tambm ms com 22 dias teis. Nesse caso , 1,03 elevado na 1/22 1,001344

04. Qual a taxa diria equivalente a 12%a.ano. Considere (1,12)

1/360

= 1,0003

CONSIDERAR TAMBM ANO COM 252 DIAS TEIS. CONSIDERAR 1,12 elevado na 1/252 = 1,0004498

05. A taxa de 18%a.ano equivale em 120 dias a: SOLUO (360

1,18 )120360

[(1,18)1/360 ]120 (1,18)120 1,05672

(1,18)120/360 ou Interpretao:

5,67% em 120 dias 06. Determine a taxa para 576 dias equivalente a 5%a.ms.

Gabarito01. 0,948%a.ms 04. 0,03%a.diaTcnico Bancrio

02. 5,99%a.ms 05. 5,67% em 120 dias

03. 0,0986%a.dia 06. 155,17%37

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TAXA REAL E APARENTEAumento Nominal 100 + X = GANHO REAL 100 + Y Na forma do BALCONISTA. Aumento da inflao ou ACRSCIMO NOMINAL AUMENTO DA INFLAO Exemplo Considere a questo do (Banco Central/94 superior). Um investimento rendeu 68% em um ms no qual a inflao foi de 40%. O ganho real neste ms foi de: A) 20% B) 22% C) 24% D) 26% E) 28% X = GANHO REAL Y Todas as informaes devem estar como ACRSCIMO do BALCONISTA.

PROBLEMAS PROPOSTOS01. (CEB-Contador-Superior-IDR-94) Se uma aplicao rendeu 38% em um ms, e nesse perodo, a inflao foi de 20%, a taxa real de juros foi de: A) 14% B) 15% C) 16% D) 17% E) 18%

02. Um capital foi aplicado a 5%a.ms, a juros compostos, durante 3 meses. Nesse perodo a inflao foi de 2%a.ms. A) 12% B) 9,08% C) 8,44% D) 11.5% E) 10%

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Matemtica03. (TCU) Uma financeira pretende ganhar 12%a.ano de juros reais em cada financiamento. Supondo que a inflao anual seja de 2300%, a financeira, a ttulo de taxa de juros nominal anual, dever cobrar: A) 2358% B) 2858% C) 2888% D) 2588% E) 2688%

04. (CESPE/UnB-TCDF/FCE/95) - A renda nacional de um pas cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo perodo, a taxa de inflao foi de 100%. O crescimento da renda real foi ento de: a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110%

05. (AFTN) Um capital de $100.000 foi depositado por um prazo de 4 trimestres a taxa de juros de 10% ao trimestre, com correo monetria trimestral igual a inflao. Admitamos que as a taxas de inflao trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A disponibilidade do depositante ao final do terceiro trimestre de aproximadamente: A) $ 123065 B) $ 153065 C) $ 202050 D) $ 212045 E) $ 202045

Gabarito01. B 02. B 03. D 04. A 05. ETcnico Bancrio 39

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PERDA SALARIALO aumento nominal de um salrio foi de 20% enquanto, no mesmo perodo, a inflao foi de 50%. Qual a perda salarial?

INFLAO x DESVALORIZAO DA MOEDAConsideremos uma inflao de 25% em t meses

Qual a DESVALORIZAO da moeda?

PRINCIPAIS CASOS

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Testes01. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A aplicao de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. ir gerar, aps 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 b) R$ 10.368,00 c) R$ 10.378,00 d) R$ 10.388,00 02. (Metro-Tcnico em Contabilidade -2G -IDR-94) - Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 a taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital ire gerar aps 3 meses? a) R$ 26.420,00 b) R$ 26.520,00 c) R$ 26.620,00 d) R$ 26.720,00 03. (Metro-Assistente Administrativo- 2G- IDR94) - Um capital de US$ 2.000,00, aplicado a taxa racional composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de quantos dlares? Dado: (1,05)12= 1,79586. a) US$ 3.291,72 b) US$ 3.391,72 c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 04. (ESAF) - A aplicao de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo perodo de trs meses, a uma taxa de 10% ao ms, resulta, no final do terceiro ms, num montante acumulado: a) de Cz$ 3.000,00; b) de Cz$ 13.000,00; c) inferior a Cz$ 13.000,00; d) superior a Cz$ 13.000,00; e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples. 05. (ESAF) - Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final e: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial. 06. (TCDF-Analista de Finanas e Controle Externo-Superior-IDR/94) - Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 a taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital ire gerar aps 4 meses? a) CR$ 140.410,00 b) CR$ 142.410,00 c) CR$ 144.410,00 d) CR$ 146.410,00 07. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A caderneta de poupana remunera seus aplicadores a taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual e o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses? a) R$ 801,00 b) R$ 802,00 c) R$ 803,00 d) R$ 804,00 08. (TCDF-Analista de Finanas e Controle Externo-Superior-IDR/94) - No Brasil, as cadernetas de poupana pagam, alem da correo monetria, juros compostos a taxa nominal de 6% a.a., com capitalizao mensal. A taxa efetiva bimestral e ento de: a) 1,00025% a.b. b) 1,0025 % a.b. c) 1,025% a.b. d) 1,25 % a.b. 09. (Banco Central/94-Superior) - A taxa de 30% ao trimestre, com capitalizao mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% b) 21 % c) 22% d) 23% e) 24%

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Matemtica10. (ESAF) - Se, para um mesmo capital, aplicado durante qualquer perodo de tempo maior do que zero e a uma certa taxa, chamarmos: M 1 -Montante calculado no regime de juros simples; M2 - Montante calculado no regime de juros compostos pela conveno exponencial; M3 -Montante calculado no regime de juros compostos pela conveno linear. Teremos: a) M3 > M1 para qualquer t > 0; b) M3 = M1 para qualquer 0 < t < 1; c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que no seja inteiro; d) M3 < M2 quando t inteiro; e)M2 > M1 para qualquer t > 0. 14. (AFC-TCU/92) - Um certo tipo de aplicao duplica o valor da aplicao a cada dois meses. Essa aplicao render 700% de juros em: a) 5 meses e meio; b) 6 meses; c) 3 meses e meio; d) 5 meses; e) 3 meses.

15. (AFTN/96) - A taxa de 40% ao bimestre, com capitalizao mensal, equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60,0% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4%

16. (AFTN/96) - Uma empresa aplica $ 300 a taxa de juros compostos de 4% ao ms por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operao : a) 4,60% b) 4,40% c) 5,00% d) 5,20% e) 4,80%

11. (AFTN/85) - Uma pessoa aplicou Cr$ 10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a conveno linear, o montante da aplicao ao final do prazo era de: Obs.: (1,15)3 = 1,5209 a) Cr$ 16.590 d) Cr$ 16.705 b) Cr$ 16.602 e) Cr$ .16.730 c) Cr$ 16.698 12. (AFTN/91) - Uma aplicao e realizada no dia primeiro de um ms, rendendo uma taxa de 1 % ao dia til, com capitalizao diria. Considerando que o referido ms possui 18 dias teis, no fim do ms o montante ser o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,6147% c) 19,196% d) 18,174% e) 18%

17. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Para que se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a. a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de: a) R$ 171,43 b) R$ 172,86 c) R$ 190,00 d) R$ 200,00 e) R$ 220,00

18. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Determinada quantia e investida a taxa de juros compostos de 20% a.a., capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se esperar: a) log5 trimestres; log 1,05 log2 trimestres; log 1,05 log 5 trimestres; log 1,2 log trimestres; log 1,2 log20 trimestres. log 1,2

13. (AFC-ESAF/93) - Um ttulo de valor inicial CR$ 1.000,00 vencvel em um ano com capitalizao mensal a uma taxa de juros de 10% ao ms, devera ser resgatado um ms antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples a mesma taxa de 10% ao ms? a) CR$ 313,84 b) CR$ 285,31 c) CR$ 281,26 d) CR$ 259,37 e) CR$ 251,8142

b)

c)

d)

e)

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Matemtica19. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) - Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a seguir. (1) Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados at o perodo anterior. (2) Duas taxas referentes a perodos distintos de capitalizao so equivalentes, quando produzem o mesmo montante no final de determinado perodo de tempo, pela aplicao de um mesmo capital inicial. (3) Quanto maior o numero de capitalizaes, maior e a taxa efetiva. (4) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada. (5) A taxa efetiva de 21 % ao ano corresponde a taxa nominal anual de 20%, capitalizadas semestralmente. 21. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) - Acerca de uma aplicao realizada na mesma data e referente a dois capitais (C1 e C2) de valores iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente, a taxa nominal de 42% ao ano, para o capital C1, e taxa efetiva de 21% ao ano, para o capital C2, julgue os itens abaixo. (1) A taxa nominal, pare a aplicao do capital C2, igual a 20% ao ano. (2) A taxa de capitalizao semestral do capital C1 e igual a 20%. (3) A taxa de capitalizao semestral do capital C1 e exatamente o dobro da taxa de capitalizao semestral do capital C2. (4) O montante do capital C1 21% maior que o montante do capital C2, no prazo estabelecido para a aplicao. (5) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, a mesma taxa estabelecida, o montante de C2 (ao final do 2 ano de aplicao) ser igual ao montante de C1 (ao final do 1 ano de aplicao).

20. (TCU-AFCE/92) - Deseja-se comprar um bem que custa X cruzeiros, mas dispe-se apenas de 1/3 desse valor. A quantia disponvel , ento, aplicada em um Fundo de Aplicaes Financeiras, a taxa mensal de 26 % , enquanto que o bem sofre mensalmente um reajuste de 20%. Considere as aproximaes: log 3 = 0,48; log 105 = 2,021 ; log 0,54 = -0,27. Assinale a opo correta. a) Ao final do primeiro ano de aplicao, o bem poder ser adquirido com o montante obtido. b) O numero n de meses necessrios pare o investimento alcanar o valor do bem dado pela formula: X/3 + n 0,26 X/3 = X + n 0,2X. c) O nmero mnimo de meses de aplicao necessrios a aquisio do bem ser 23. d) Decorridos 10 meses, o montante da aplicao ser 40% do valor do bem naquele momento. e) O bem jamais poder ser adquirido com o montante obtido.

Gabarito01. b 09. b 17. d 02. c 10. b 18. b 03. d 04. d 11. e 12. b 19. cceec 20. c 05. d 06. d 13. a 14. b 21. ceecc 07. b 15. d 08. b 16. e43

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CONVENO LINEAR e CONVENO EXPONENCIALConsideremos a seguinte situao: Um capital aplicado a juros compostos de 30%a.a, capitalizado anualmente.No entanto, o PRAZO DE APLICAO foi 6 meses. Como remunerar o capital? CONVENO LINEAR

CONVENO EXPONENCIAL

PROBLEMAS01. Complete o quadro abaixo, considerando taxa de 30%a.ms. Capitalizao mensal dos juros compostos e capital de $ 100.000 PRAZO (t) JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Conv. LINEAR JUROS CONPOSTOS Conv. EXPONENCIAL

20 dias 0< t < 1 30 dias t = 1 perodo de capitalizao 130 dias t > 1 perodo de capitalizao

02. Uma aplicao financeira foi feita pelo prazo de 225 dias. O dinheiro foi aplicado a juros compostos de 40% a.ano e capitalizao trimestral. Determine o montante obtido a partir de um capital de $100.000 sob a conveno LINEAR. A) 125.000 B) 126.905,87 C) 127.050 D) 124.750 E) 120.000

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Matemtica03. Na questo anterior, qual seria a alternativa correta se for usada a conveno EXPONENCIAL A) 125.000 B) 126.905,87 C) 127.050 D) 124.750 E) 120.000

04. Um capital C = 10.000 aplicado a juros compostos de 6% a.ms, com capitalizao bimestral. O prazo de aplicao foi 100 dias. Determine o montante pela conveno LINEAR e pela conveno EXPONENCIAL.

Gabarito02. C 03. B 04. LINEAR M= 12.096,00 EXPONENCIAL M= 12.078,97

REPRESENTAO GRFICA

JURO COMPOSTO LINEAR

0< t 1 O prazo de aplicao MAIOR que 1 perodo de CAPITALIZAO

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DESCONTO SIMPLESSuponhamos que voc tenha um cheque pr-datado de $1.200 e que s pode ser cobrado em 30 dias. Necessitando dinheiro hoje e considerando a inflao de 20% ao ms, voc pode raciocinar de duas maneiras diferentes: 1 RACIOCNIO Deduz os 20% de inflao sobre o Valor Nominal do cheque, obtendo assim seu Valor Atual: (1.200 x 0,8) = $960 Este raciocnio chamado DESCONTO POR FORA, comercial ou bancrio. Nele o desconto foi de $240. 2 RACIOCNIO Voc sabe que um amigo seu tem dinheiro rendendo na poupana a 20% ao ms. Pede a ele que lhe empreste aquele valor X, que dentro de 30 dias, aps ganhar 20% de acrscimo se torne $1.200,00 e assim ningum perde nada. CLCULO: X . 1,2 = 1200 X = 1000 NESTE CASO TEMOS: Valor nominal: 1200 Valor atual: 1000 Desconto por dentro = $200 Este raciocnio constitui o DESCONTO POR DENTRO ou RACIONAL. Os dois raciocnios so aceitos. A Banca Examinadora tem a obrigao de informar o tipo de desconto, pois concurso significa interpretao de texto e raciocnio lgico. Ningum obrigado a supor uma informao que no est no texto. Na prtica, no entanto, usa-se em 99% dos casos o desconto comercial simples que o que d maior lucro instituio financeira RESUMO DESCONTO POR DENTRO OU RACIONAL VA 100% Neste caso, damos um acrscimo de it% sobre o VA para chegar no valor nominal. VA . ( 100 + it ) = VN 100 ou Usando Regra de Trs VA 100% dd it% DESCONTO POR FORA, COMERCIAL OU BANCRIO VN 100% Neste caso, damos um desconto de it% sobre o VN para chegar no valor atual. VN . ( 100 - it ) = VA 100 ou Usando Regra de Trs VN 100% df it%

VA 100% VN 100% VN ( 100 + it)% VA (100 - it)% Observe que nos casos acima, fundamental achar o it com i e t nas mesmas unidades de tempo. Basicamente s existem estes dois raciocnios para desconto simples. O fato de incluirmos impostos, comisses, ou taxas em cada um deles no significa que existem "OUTROS TIPOS DE DESCONTOS" alm do desconto "por dentro" ou desconto "por fora".46 Tcnico Bancrio

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ESQUEMA DO DESCONTO COMERCIAL SIMPLESNo exemplo dado: VN 100 % O df 20% do VN df = 0,2 . VN O VAf 80% do VN VAf = 0,8 . VN

TAXA EFETIVA DE JUROS IMPLCITA NO DESCONTO COMERCIAL SIMPLESExemplo: Um ttulo de valor nominal $ 6000 descontado pelo critrio comercial simples 60 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto de 10% a.ms.

ANLISE DA SITUAO APRESENTADA1 PASSO Achar o it, ou seja, o PERCENTUAL de desconto praticado na operao para os 2 meses de antecipao. i = 10% a.m. it = 20% t = 60 dias = 2 meses 2 PASSO 100% VN VA = 80% do VN df = 20% do VN

VA = $4800

df = $ 1200

3 PASSO Analisando a operao como um INVESTIMENTO, percebemos que o agente financeiro INVESTIU $ 4800 para RECEBER $ 6000 em 60 dias. Ento, o CAPITAL INVESTIDO cresceu efetivamente VN $6000 LUCRO DE 25% em 60 dias! VA $4800 = 1,25 Dizemos ento que a TAXA IMPLICITA EFETIVA DE JUROS na operao foi de 25% no PRAZO DA OPERAO. Ou que a TAXA DE JUROS EQUIVALENTE taxa de DESCONTO COMERCIAL SIMPLES de 25% em 60 dias. No entanto, a TAXA MENSAL DE JUROS IMPLCITA na operao pode ser calculada a JUROS SIMPLES ou a JUROS COMPOSTOS.

TAXA MENSAL DE JUROS SIMPLES proporcionalTcnico Bancrio

Portanto fica 12,5% a.m.47

Matemtica TAXA MENSAL DE JUROS COMPOSTOSConsiderando os juros compostos capitalizados mensalmente, a taxa mensal composta que PRODUZ uma taxa EFETIVA de 25% em 2 meses : (X2) = 1,25 X = V 1,25 X 1,119

Isto significa uma TAXA MENSAL COMPOSTA de 11,9% a.m.

DIFERENA ENTRE OS DESCONTOS COMERCIAL SIMPLES E RACIONAL SIMPLESNo exemplo anterior, o Valor Nominal do ttulo $ 6000. Na tica do DESCONTO COMERCIAL (POR FORA), o valor atual VAf = 6000 . 0,8 VAf = 4800

Mas na tica do DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO), o valor atual VAd = 6000 1,2 VAd = 5000

Assim, o DESCONTO POR FORA, de $ 1200 e o DESCONTO POR DENTRO de $1000 EXISTE UMA DIFERENA DE $ 200 dif = df dd dif = 1200 1000 dif = 200

Essa DIFERENA tambm pode ser encontrada fazendo dif = VADENTRO VAFORA dif = 5000 4800 dif = $ 200

CUIDADO! DIFERENA = DESCONTO POR FORA DESCONTO POR DENTRO dif = df dd OU

DIFERENA = VALOR ATUAL POR DENTRO VALOR ATUAL POR FORA dif = VAd VAf

48

Tcnico Bancrio

MatemticaNo entanto, considere que o problema que estamos analisando tivesse o seguinte enunciado:

PROBLEMA 1A diferena entre os descontos simples, de um ttulo $ 200. Determine o valor NOMINAL do ttulo sabendo que a taxa de desconto 10%a.m. e o prazo 2 meses antes do vencimento. 1 MTODO dif = VAd VAf 200 = VN VN . 0,8 1,2

Vamos multiplicar todos os membros da equao por 1,2 200 . 1,2 = 1VN VN . 0,8 . 1,2 240 = 1VN 0,96VN 240 = 0,04 . VN 240 = VN 0,04 VN = 6000

2 MTODO Partimos do seguinte: df dd = VN VAdentro = it % 100% Relao 1 Note que sempre o denominador corresponde ao referencial 100%.

Usando a propriedade das Propores temos: df dd VN Vad dif dd = it 100 dif = dd . i . t 100 Relao 2

Assim, no problema: dd . 10 .2 200 = 100

Ora, se a diferena entre os descontos $200, conclumos que o desconto POR FORA df = 1000 + 200 df = 1200

Usando REGRA DE TRS

Tcnico Bancrio

{

{

{dd dd = 1000 VN df VN 1200 100 % it % 100 % 20 % VAf = 6000 1200 Logo VN = $ 6000 VAd = 6000 100049

Matemtica3 MTODO Partimos da relao: df VN 100 + it = = dd VAd 100 df VN = dd VAd fica: df VN = dd VN dd

Relao 3

Substituindo VAd por VN dd

df . (VN dd) = VN . dd df . VN VN.dd = df . dd VN . (df dd) = df .dd df dd = df .dd VN dif = df . dd VN Relao 4

Ento o problema fica: 1000 x 1200 200 = VN

VN =

1.200.000 200

VN = $ 6000

PROBLEMA 2O desconto racional simples de um ttulo de valor VN, 1000. Determine o desconto COMERCIAL SIMPLES, sabendo que o ttulo foi descontado 2 meses antes do vencimento a taxa de 10%a.m. Determine VN. Vamos partir da relao 3 df VN 100 + it = = dd VAd 100 df 100 + it = dd 100 df 100 + 20 = dd 100 df = 1200 Logo, vamos destacar a seguinte Relao df = dd . ( )acrscimo de it% de acordo com o BALCONISTA.

df = 1,2 dd

df 1,2 1000 = VN = 6000

e, por Regra de Trs

Relao 5

PROBLEMA 3A diferena entre os descontos por fora e por dentro (critrio simples) de um ttulo de valor nominal VN 80. Se o valor atual POR DENTRO 2000, determine o desconto POR DENTRO, o desconto POR FORA, o VN, a taxa de desconto TOTAL da operao, e a TAXA IMPLCITA EFETIVA de juros no prazo da operao. Usaremos a Relao 1 df dd df dd = VN VA dentro VN VAd dd50 Tcnico Bancrio

MatemticaQue tambm pode ser escrita df dd df dd = = VN VAd dd dd dif = VAd dd Ento no problema proposto: dd 80 = 2000 dd dd2 = 80 x 2000 Ento df = 480 dd2 = 160.000 dd = 400 Relao 6 ou (dd)2 = VAd . dif

VN = VAd + dd VN = 2000 + 400 VN = 2400

TAXA DE DESCONTOdf it = VN 100 480 2400 20% no prazo considerado

TAXA EFETIVA IMPLCITA DE JUROS NO PRAZO CONSIDERADOVNV Af

=

24001920

= 1,25

25%

PRAZOS DE APLICAO NO CORRESPONDEM A UM NMERO INTEIRO DE PERODOS DE CAPITALIZAO RESUMO DAS PRINCIPAIS RELAESdif = df dd ou dif = VAd VAf

df dd it % = = VN Vad 100%

ou

df VN (100 + it)% = = dd VAd 100%

Sempre o denominador corresponde ao referencial 100%.

CONCLUSESdif = dd . i . t 100 df = dd.( ) acrscimo de it% de acordo com o BALCONISTA. dd = VAdTcnico Bancrio

dif =

dd . df VN

dif dd

ou

dd2 = VAd . dif51

Matemtica

PROBLEMAS DE DESCONTO01. Qual o desconto comercial de um ttulo apresentado 2 meses antes do vencimento cujo valor $200.000 e cuja taxa foi de 15% ao ms? 09. Quanto tempo antes do vencimento foi descontada por dentro uma letra de $180.000 que se reduziu para $120.000 a uma taxa de 12,5% ao ms?

02. O desconto bancrio sofrido por um ttulo de $75.000. Se a taxa de 5% ao ms e o ttulo apresentado 90 dias antes do vencimento, determine o valor nominal e o valor atual.

10. Qual a taxa praticada no desconto por dentro de um ttulo de $990.000 que se reduziu para $900.000 em um prazo de 1 ano e 3 meses?

03. Qual a taxa de desconto comercial simples de uma promissria paga 5 meses antes do vencimento sabendo-se que se reduziu de $320.000 para $192.000?

11. Uma letra de $50.000 foi descontada em 6 meses e produziu o lquido de $47.500. Qual a taxa anual de desconto?

04. Quanto tempo antes do vencimento foi paga uma letra de $600.000, descontada por fora a 6% a.a., se o desconto foi de $27.000?

12. A que taxa foi descontado um ttulo de $80.000 que se reduziu para $60.000, apresentado 1 2/3 anos antes do vencimento? (A) 15% a.a. (B) 75% a. m. (C) 3,75% a. m. (D) 6,25% a. m. (E) 90% a.a.

05. Uma promissria paga 8 meses antes do vencimento, taxa de 36%a.a., se reduziu a $95.000. Qual o valor nominal considerando o desconto comercial simples?

13. Calcule o valor atual de uma letra que sofre desconto racional 2 meses e 20 dias antes do vencimento, sabendo-se que seu valor nominal $20.400 e que a taxa de desconto de 9% a.a.

06. Qual o desconto por dentro de um ttulo de $296.000 a 24% ao ms em 2 meses? (A) $2.040 (B) $20.000 (C) $19.600 (D) $24.000 (E) $19.992

07. Um ttulo apresentado 7 meses antes do vencimento, foi descontado por dentro taxa de 8% ao ms e se reduziu para $400.000. Determine o desconto e o valor nominal.

14. Certo ttulo foi descontado por fora 108 dias antes do vencimento, taxa de 9,5% a.a. e produziu o lquido de $310.880. Qual o desconto? 08. Uma letra sofre um desconto de $50.000, por dentro. Sendo a taxa de 60% a.a. e o prazo 120 dias, determine o valor nominal e o valor atual. (A) $9.120 (B) $320.000 (C) $8.860,08 (D) $3.200 (E) $10.880

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Tcnico Bancrio

Matemtica15. A diferena entre os descontos por dentro e por fora de uma letra, calculados em 6 meses, taxa de 5% a.a. de $45. Calcular o valor nominal: (A) $13,50 (B) $58,50 (C) $1.800 (D) $1.845 (E) $73.800 22. Um ttulo de valor nominal $12.000 sofre um desconto taxa de 6% a.a., 120 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? (A) $240 (B) $260 (C) $300 (D) $853 (E) $864

16. A diferena entre os descontos por fora e por dentro de um ttulo de $36.000. Sabendo-se que a taxa mensal de 18% e que o prazo de 50 dias, determine respectivamente o valor nominal, valor atual racional e o valor atual bancrio.

23. O valor atual de um ttulo descontado sob o critrio racional simples 1/4 do seu valor nominal. Determine a taxa de desconto, sabendo que a negociao ocorreu 30 meses antes do vencimento. (A) 300% a.a (B) 10% a.m (C) 400%a.a (D)300%a.m (E) 13%a.m,

17. Um ttulo de $903.000 apresentado para desconto 100 dias antes do vencimento. Determine o valor atual do ponto de vista do desconto por fora, do desconto por dentro. Qual a diferena entre os descontos? i = 12% a.a.

18. A diferena entre os descontos bancrio e racional de um ttulo $880. Se o desconto racional $14.400 e a taxa 20% a.a., determine quanto tempo antes do vencimento foi apresentado e qual o valor nominal.

24. Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por dentro de $500, a 50 dias de seu vencimento, taxa de 3% ao ms? (A) $9.500 (B) $9.550 (C) $10.000 (D) $10.050 (E) $ 10.500

19. Uma duplicata de $ 2.400.000 descontada 200 dias antes do seu vencimento, sofreu um desconto por fora de $30.000. Qual a taxa anual da operao?

25. Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um ttulo com vencimento daqui a 6 meses se o seu valor nominal for de $29.500 e eu desejo ganhar 36% a.a. de: (A) $24.000 (B) $25.000 (C) $27.500 (D) $18.800 (E) $24.190

20. Um ttulo foi descontado por dentro taxa de 6% a.a., no prazo de 120 dias, ficando reduzido a $220.500. Qual era o valor nominal?

21. Um ttulo de valor nominal X descontado por dentro a uma taxa de 10% ao ms, 60 dias antes do vencimento e produziu o mesmo valor atual de outro ttulo de valor nominal X+50 que foi descontado por fora a 10% ao ms, 60 dias antes do vencimento. Determine o valor nominal e o valor atual.

26. Um ttulo de $8.000 sofreu um desconto racional de $ 2.000, 8 meses antes do vencimento. Qual a taxa anual empregada? (A) 28% (B) 37,5% (C) 45% (D) 50% (E) 52,5%53

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Matemtica27. Determinar o valor atual de certa nota promissria que descontada por fora a taxa de 8,5% a.a., 144 dias antes do vencimento, sofreu $6.120 de desconto. 33. Um banco recebeu 3 duplicatas para desconto. A primeira representa 1/3 da segunda a e terceira representa 3/4 da primeira. A taxa de todas 6% a.a. A primeira tem prazo de 2 meses, a segunda 3 meses e a terceira 4 meses. Se o desconto total foi $1.400, determine o valor nominal de cada duplicata.

28. Qual o desconto por dentro de um ttulo, taxa de 16% a.a., em 7 meses e meio, considerando que o valor nominal do ttulo $5.148.

34. Qual o valor da diferena entre os descontos por dentro e por fora de uma nota promissria de $1120 se ela for descontada 40 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 9% ao ms? 29. Uma duplicata de $128.000 descontada 198 dias antes do vencimento sofreu $38.016 de desconto por fora. Qual a taxa anual usada na operao? 35. A diferena entre os descontos comercial e racional incidentes sobre um mesmo ttulo de $3,00. Sabendo que ambos foram calculados taxa de 15% ao ano e 4 meses antes do vencimento, qual o valor nominal do ttulo?

30. Um banco recebeu para desconto, taxa de 9% a.a., duas duplicatas cujos valores nominais somavam juntos $400.000. Sabendo-se que o deconto de ambas atingiu a $11.200 e que o prazo da primeira era 4 meses e o da segunda 100 dias, determine o valor nominal de cada duplicata. Calcule tambm o valor atual de ambas.

36. Um ttulo descontado por dentro produziu o lquido de $2000 e descontado por fora, produziu o lquido de $1920. Qual o valor nominal do ttulo?

31. Um banco recebeu 3 duplicatas para desconto. A primeira representa 1/5 do total e a segunda representa 2/3 da terceira. A taxa da primeira era de 3% ao ms e seu prazo de 80 dias. A taxa da segunda era de 5% ao ms e seu prazo de 105 dias. A taxa da terceira era de 18% a.a. e seu prazo de 50 dias. Sabendo-se que o desconto total de %50.400, qual o valor nominal de cada duplicata?

37. Qual o desconto por fora de um ttulo de valor nominal VN que gera um desconto por dentro de $300 se operado a 4% ao ms, 2 meses antes do vencimento? Determine VN:

32. Um banco recebeu para desconto duas duplicatas. Seus valores nominais importavam conjuntamente $80.000. A taxa de ambas era 2,4% ao ms e o desconto das duas atingiu a $2.800. Determine o valor nominal de cada duplicata sabendo-se que a primeira foi descontada 40 dias antes e a segunda 50 dias antes do vencimento.

38. (AFTN/85) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84% ao ano e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de Cr$ 10.164. Se na operao fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido em Cr$ 1.764. Nessas condies, o valor nominal da duplicata de: (A) Cr$ 45.000 (B) Cr$ 46.700 (C) Cr$ 47.300 (D) Cr$ 48.400 (E) Cr$ 50.000

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Matemtica39. (TTN/94) O valor atual racional de um ttulo igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse ttulo foi antecipado de 5 meses. (A) 200% ao ano (B) 20% ao ano (C) 25% ao ms (D) 28% ao ms (E) 220% ao ano 43. (AFTN/96) Voc possui uma duplicata cujo valor de face $150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual voc normalmente opera alm da taxa normal de desconto mensal (simples por for(A) tambm far uma reteno de 15% do valor de face da duplicata a titulo de saldo mdio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto at a data do vencimento da duplicata. Caso voc desconte a duplicata no banco voc receber lquidos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima a taxa praticada por este banco : (A) 5,0% (B) 5,2% (C) 4,6% (D) 4,8% (E) 5,4%

40. (TTN/89) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um ttulo com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de NCz$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, de: (A) NCz$ 24.000,00 (B) NCz$ 25.000,00 (C) NCz$ 27.500,00 (D) NCz$ 18.880,00 (E) NCz$ 24.190,00

41. (TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano, vencvel em 180 dias, com desconto comercial (por for(A). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo-se as mesmas condies. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 635,50, o valor nominal do ttulo era de R$: (A) 6.510,00 (B) 6.430,00 (C) 6.590,00 (D) 5.970,00 (E) 6.240,00

44. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) No desconto simples bancrio de 4 ttulos mesma taxa de desconto, cada um no valor de R$ 2.000,00, com vencimentos mensais e sucessivos, a partir de 30 dias, obteve-se um valor lquido de R$ 7.000,00. Com relao a situao descrita, julgue os itens que se seguem: (1) A taxa de desconto simples do ttulo que vence em 120 dias correspondente taxa de juros simples de 6,25% ao ms. (2) A taxa de desconto simples para cada ttulo igual a 5% ao ms. (3) O desconto obtido para o ttulo que vence em 90 dias o triplo do desconto obtido para o ttulo que vence em 30 dias. (4) As taxas mensais de juros simples dos valores atuais dos ttulos so diferentes. (5) No desconto simples bancrio, a taxa de desconto incide sobre o valor atual ou lquido.

42. (TTN/94) Jos descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros de 15 %a.a. O primeiro ttulo vencia em 270n dias e o segundo em 160 dias, sendo que o ltimo ttulo era de valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de R$ 382,50, o ttulo que produziu maior desconto tinha valor nominal, em R$, de: (A) 1.850,00 (B) 1.750,00 (C) 1.800,00 (D) 1.700,00 (E) 1.900,00Tcnico Bancrio

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Gabarito01. 02. df = 60.000 NV = 500.000 VA = 425.000 03. i = 8% a.ms 18. 17. VA(fora) = 872.900 VA(d) = 873.870,97 diferena = 970,97 110 dias 32 31. 120.000 192.000 288.000 50.000 e 30.000 33. 20.000 60.000 15.000 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 14,40 $1260 VN = 2400 it = 20% df = 324 D B B A C A C-C-C-C-E VN = 4050

04. 9 meses 05. 06. 07. VN = 125.000 dd = 96.000 dd = 224.000 VN = 624.000 08. VN = 300.000 VA = 250.000 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 4 meses i = 8% a.a. 10% a.a. 15% a.a. B A E VN = 520.000 VAd = 400.000 VAf = 364.000

19. i = 2,25% a.a. 20. VN = 224.910 21. VA = $1.000 x = $1.200 x + 50 = $1.250 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. A B C B D $173.880 $468 54% a./a. VN = 240.000 e 160.000 VA = 232.800 e 156.000

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ESQUEMA COMPARATIVO ENTRE DESCONTOS SIMPLES E COMPOSTOSConsidere um ttulo de valor nominal VN apresentado 6 meses antes do vencimento a uma taxa de 5%a.ms. O VALOR ATUAL VA poder ser encontrado por 4 critrios: DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

VA = VN . 0,7

VA = VN . (0,95)6

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

VA =

VN 1,3

VN VA = (1,05)6

O Desconto Comercial Simples o mais usado no Desconto de Ttulos (Factoring). O Desconto Comercial Composto usado mais em DEPRECIAO do valor de BENS. J o Desconto Racional Composto usado em EMPRSTIMOS E FINANCIAMENTOS. Finalmente, O Desconto Racional Simples usado em negociaes entre amigos, mas cai bastante em Concursos Pblicos.

PROBLEMA PROPOSTODetermine o VA de um ttulo de $ 145.200, apresentado 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 10%a.ms, sob os 4 critrios de desconto. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

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EQUIVALNCIA ENTRE TAXA DE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL COMPOSTOS

Taxas de desconto equivalentes so aquelas que produzem decontos iguais quando aplicados a um mesmo ttulo por igual tempo de antecipao. Consideramos o mesmo perodo de capitalizao para uma taxa iR de desconto racional e uma outra iC do desconto comercial, podemos afirmar que a relao de equivalncia entre iR e iC nos dar:

DC = DR VN DC = VN DR VAC = VAR VN . (1 iC)n = VN (1 + iR)n

(1 iC )n . (1 + iR)n = VN = 1 VNn

(1 iC )n . (1 + iR)n =

n

1

Ento: (1 iC ) . (1 + iR) = 1

Exemplo: Determine a taxa anual de desconto racional composto equivalente taxa de desconto comercial composto de 37,5% ao ano.

Gabarito: 60 % ao ano.58 Tcnico Bancrio

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EQUIVALNCIA DE CAPITAIS SOB TICA DE JUROS E DESCONTOS SIMPLES

O ttulo VN1 deve ser pago em t = 3 e o ttulo VN2 deve ser pago em t = 6. Digamos que esses dois ttulos queiram ser substitudos por 3 ttulos de valor nominal x para serem pagos em t = 2, t = 5 e t = 7. Como proceder? A idia geral, vlida em qualquer dos 4 critrios apresentados anteriormente que: O SOMATRIO dos valores atuais (na data zero) dos ttulos que saem deve ser igual ao SOMATRIO dos valores atuais (na data zero) dos ttulos que entram. No caso VA1 + VA2 Na data zero Ttulos que saem = VA3 + VA4 + VA5 Na data zero Ttulos que entram

O valor atual pode ser encontrado por qualquer um dos 4 critrios. Por isso deve ficar claro qual o critrio adotado.

a data escolhida como REFERNCIA para comparao de capitais. No critrio de juros ou descontos simples, a DATA FOCAL dever ser, OBRIGATRIAMENTE A DATA ZERO.

J sob critrio do desconto racional composto, qualquer data pode ser escolhida de comparao de capitais e no haver distores.

{DATA FOCAL

{

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Matemtica PROBLEMAS01. Desejamos substituir um ttulo vencvel em 3 meses por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que o VN do ttulo 32375 e a taxa de 2,5%ao ms, de desconto comercial simples, determine o novo valor do ttulo:

04. (TTN) Um negociante tem duas dvidas a pagar, uma de Cr$ 3000,00, com 45 dias de prazo e outra de Cr$ 8400,00, pagvel em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dvidas por uma nica, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial de 12% ao ano e usando a data zero, o valor nominal dessa dvida ser de:(A) Cr$ 11.287,00 (B) Cr$ 8.232,00 (C) Cr$ 9.332,00 (D) Cr$ 11.300,00 (E) Cr$ 8.445,00

02. Deseja-se substituir 2 ttulos um de $ 50.000 para 90 dias e outro de $ 120.000 para 60 dias, por trs outros, com mesmo valor nominal, vencveis, respectivamente em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial simples de 3% ao ms:

03. (AFTN) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, h 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao ms. A instituio financeira no cobra custas nem taxas para fazer estas alteraes. A taxa de juros no sofrer alteraes. Condies pactuadas inicialmente: Paga-mento duas prestaes mensais e sucessivas de $11.024, a serem pagas em 60 e 90 dias. Condies desejadas: Pagamento em trs prestaes iguais; sendo a primeira ao final do 10 ms; a 2 ao final do 30 ms; a terceira ao final do 70 ms. Caso sejam aprovadas as alteraes, o valor que mais se aproxima do valor unitrio de cada uma das novas prestaes, : (A) $8.200,00 (B) $9.333,33 (C) $10.752,31 (D) $11.200,00 (E) $ 12.933,60

05. (AFTN) Joo deve a um banco $ 190.000 que vencem daqui a 30 dias. Por no dispor de numerrio suficiente, prope a prorrogao da dvida por mais 90 dias. Admitindo-se para o clculo do valor atual a DATA FOCAL ZRO (t =0) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo ttulo ser de: (A) $ 235.000 (B) $ 238.000 (C) $ 240.000 (D) $ 243.000 (E) $ 245.000

Gabarito01. 34.22502. 56.134,75 03. D 04. D 05. A 60 Tcnico Bancrio

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RENDAS UNIFORMES E VARIVEISEQUIVALNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS

1. Uma mercadoria de $10.000 ser paga na data 6.Qual o valor na data 6, a juros compostos de 10% a.ano com capitalizao semestral?

x

12000

2. Uma compra seria paga na data 7 com um cheque de $12.000. Desejando antecipar o pagamento para data 3, devemos substituir o cheque de $12.000 por outro de valor igual a ___________ . Considere juros compostos de 3% a.ms

3.Um produto custa vista Po, e vendido em 3 cheques conforme mostra o FLUXO DE CAIXA acima. Desejando trocar para pagamento nico na DATA UM, o valor x do cheque ser: Determine tambm o valor vista Po. Considere juros compostos de 20%a.ms.

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4. Deseja-se substituir os dois cheques do grfico por um pagamento nico na data 3. Calcule o valor de x para i = 10% a.ms.

5. No exemplo anterior, qual o valor atual na data zero? (Que pode ser preo vista, valor principal do emprstimo, etc...)

6. Determine o valor atual do ttulo acima nas datas ZERO e SEIS para uma taxa de 5% ao perodo(meses, bimestre,etc...)

7. Uma mquina de preo vista Po pode ser paga 2 anos aps a compra em parcela nica de $ 11.236. Considerando juros compostos de 6% a.ano, determine o PREO VISTA.

8. Um trator vendido vista ou em 3 parcelas anuais de $36.000 cada uma, sendo a primeira no ato da compra. Se a taxa de juros compostos 20% a.ano, qual o PREO VISTA? 0 1 2 3 anos

Gabarito01. 10.000 . (1,05)6 02. 1200/(1,3)4 03. x = 3000 Po = 2500 06. VA na data ZERO = 10.000 VA na data SEIS = 11.025.(1,05)4 62 04. x = 26620 07. Po = 10.000 05. Po = 20.000 08. Po = 91.000 Tcnico Bancrio

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SRIE DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOSPROBLEMA PROPOSTO

7 i =10% a.ms

7

7

7

7

7

7

A) Qual o valor nico das 5 parcelas na data 7 de julho? B) Qual o valor atual de toda a srie de capitais na data 7 de fevereiro? C) Qual o valor da srie na data 7 de janeiro? SOLUO

GabaritoA = 6105,10 B = 3790,79 C = 3446,17 63 Tcnico Bancrio

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CLASSIFICAO DAS RENDASA sucesso dos depsitos feitos para se constituir um capital (CAPITALIZAO) ou de pagamento feitos para se resgatar uma DVIDA (amortizao) chamada de RENDAS CERTAS. Pode ocorrer, tambm, o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja AMORTIZAO, que o caso dos ALUGUIS. Esses exemplos caracterizam a existncia das RENDAS ou ANUIDADES que podem ser divididas em dois grupos:A) RENDAS CERTAS ou DETERMINSTICAS: so aquelas que no dependem de fatores externos e so pr-determinadas. So estudadas pela MATEMTICA FINANCEIRA. B) RENDAS ALEATRIAS ou PROBABILSTICAS: so aquelas em que os pagamentos e/ou recebimentos so imprecisos ou o seu incio e/ou final so aleatrios.

Exemplo: seguros de vida - o valor dos pagamentos CERTO mas a durao INCERTA. Estes tipos de renda so estudados pela MATEMTICA ATUARIAL.

IMEDIATAS CONSTANTES TEMPORRIAS PERIDICAS CERTAS RENDAS VARIVEIS PERPTUAS DIFERIDAS

ANTECIPADA POSTECIPADA ANTECIPADA POSTECIPADA

NO-PERIDICAS ALEATRIAS

EXEMPLOSIMEDIATAS ANTECIPADAS IMEDIATA POSTECIPADA

1 pagto. no incio do 1 perodo

1 pagto. no final do 1 perodo

DIFERIDA ANTECIPADA

DIFERIDA POSTECIPADA

Ex.: carncia de 3 meses64

Ex.: carncia de 3 mesesTcnico Bancrio

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ObservaoCertos professores criaram o vcio de subentender rendas diferidas como sendo diferidas postecipadas. Tenha cuidado! Na verdade as diferidas podem ser antecipadas ou postecipadas. No estabelecer o tipo significa sonegar informaes do aluno.

CAPITALIZAOPodemos entender que a sucesso dos depsitos ou pagamentos feitos de forma peridica e constante formar um MONTANTE que pode ser utilizado como POUPANA ou como ACMULO DE CAPITAL para liquidar uma DVIDA que por sua vez tambm cresce nesse perodo. A dvida ser saldada quando o PRINCIPAL ACRESCIDO DOS JUROS for equivalente ao montante acumulado pelos sucessivos depsitos ou pagamentos.

EXEMPLOConsideremos um capital X, aplicado mensalmente a juros compostos, sempre no mesmo dia do ms, seja este qual for.10 JAN 1 depsito 2 depsito 3 depsito 4 depsito 5 depsito 6 depsito X 10 FEV X . (1 + i) X 10 MAR X . (1 + i)2 X . (1 + i) X 10 ABR X . (1 + i)3 X . (1 + i)2 X . (1 + i) X 10 MAI X . (1 + i)4 X . (1 + i)3 X . (1 + i)2 X . (1 + i) X 10 JUN X . (1 + i)5 X . (1 + i)4 X . (1 + i)3 X . (1 + i)2 X . (1 + i) X MONTANT