CENTRO DE CIÊNCIAS E T DEPARTAMENTO DE E - ufscar.br · Um estudo, ou investigação de uma...

UUNNIIVVEERRSS IIDDAADDEE FFEEDDEERRAALL DDEE SSÃÃOO CCAARRLLOOSS CC EENN TTRROO DD EE CC II ÊÊNNCC II AA SS EE XXAA TT AASS EE DD EE TT EE CCNNOO LLOOGG II AA

DD EE PP AARR TT AAMMEENN TTOO DD EE EE SS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA

IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO AAOO PPLLAANNEEJJAAMMEENNTTOO EE AANNÁÁLLIISSEE EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA DDEE

EEXXPPEERRIIMMEENNTTOOSS -- CC

CCAAPPÍÍ TTUULLOO 22

AANNÁÁ LL II SS EE DD EE SS CCRR II TT II VV AA EE EE XXPP LL OORRAA TTÓÓRR II AA DD EE DD AADDOOSS

EE LL AA BBOORR AA DDOO PPOORR :: PP RROO FF .. PP EE DD RROO FF EE RR RR EE II RR AA FF II LL HH OO

11 ºº SS EEMMEE SS TT RR EE DD EE 22000099

Capítulo 2 – Análise Descritiva e Exploratória de Dados

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos C – 1o Semestre de 2009 12

22 .. AANNÁÁ LL II SS EE DD EE SS CCRR II TT II VV AA EE EE XX PP LL OORRAA TTÓÓRR II AA DD EE

DD AADDOOSS :: Um estudo, ou investigação de uma determinada hipótese, deve do ponto de

vista estatístico, contemplar as etapas de planejamento, coleta, organização, análise

descritiva e exploratória dos dados, inferência estatística e a tomada de decisões

(conclusões).

O papel da estatística pode ser considerado como a de uma “mineração de

dados”. Os dados devem ser cuidadosamente coletados (observados), devidamente

conhecidos e utilizados para analisar e interpretar a sua variabilidade de forma a

possibilitar uma correta resposta à hipótese em estudo.



22 .. 11 .. CCOONNCC EE II TTOOSS BBÁÁ SS II CCOOSS EEMM EE SS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA ::

•••• INFORMAÇÃO NUMÉRICA: Um conjunto de dados estatísticos consiste de uma ou mais medidas, escores

ou valores observados (coletados) de certo número de indivíduos, objetos, ensaios,

experimentos, etc.

•••• ASPECTO BÁSICO DA INFORMAÇÃO: A análise estatística de um conjunto de dados só faz sentido quando existir

“variabilidade” nos valores observados, ou seja, os valores devem apresentar

diferenças nas diferentes unidades de observação utilizadas. A não existência de

variabilidade entre os valores observados torna desnecessária a utilização de

qualquer método estatístico.

•••• POPULAÇÃO: Conjunto de indivíduos ou objetos os quais o pesquisador tem interesse, que

apresentam relevância para a investigação de hipótese em estudo. Podemos ainda

dizer que a população é formada por todos os valores possíveis de serem observados

numa dada situação. No caso de estudos experimentais, o alvo é sempre uma dada

população. A resposta para a hipótese de interesse é dada por uma conclusão a

respeito da população em estudo.

Nesse sentido é fundamental, m qualquer situação, definir claramente qual a

população que se tem interesse. Muitas vezes, por incrível que pareça, isso não está

suficientemente claro para os responsáveis pelo estudo (experimento).

Conseqüentemente, corre-se o risco de estender conclusões a situações mais amplas

do que aquelas realmente possíveis a partir do estudo realizado.

Uma população pode ser classificada em duas diferentes situações:

�� População Finita: Todos os elementos da população são

conhecidos e possíveis de serem identificados;

�� População Infinita: Não é possível uma enumeração de todos

os elementos da população;

Uma população pode ser investigada a partir da observação de seus

elementos através de duas diferentes formas: Censo ou Amostra.



•••• CENSO: Denominamos de censo aquelas situações onde a investigação é realizada a

partir da observação de todos os elementos de uma população. Esse tipo de

observação somente é possível em populações finitas.

•••• AMOSTRA: Na grande maioria das vezes (quase sempre!) não é possível observar todos

os elementos de uma população, porém é possível observar-se uma parte desta

população. O conjunto de elementos efetivamente observado é denominado

amostra. Podemos então dizer que uma amostra é todo e qualquer subconjunto

necessariamente finito da população.

Para que a amostra seja uma representação realista, não tendenciosa, da

população, é necessário que seus elementos sejam escolhidos de forma

rigorosamente aleatória. Esta condição é fundamental na prática, porque as

“inferências estatísticas” sempre supõem que as amostras são representativas da

população. Por isso ao realizar um experimento, devemos sempre tomar o cuidado

para coletar os dados de modo que a hipótese de aleatoriedade, seja se não,

rigorosamente, pelo menos aproximadamente obedecida.

Amostra Aleatória:

Amostra de N valores ou indivíduos (unidades experimentais) obtidos de tal

forma que todos os possíveis elementos da população tenham a mesma “chance” de

participar na amostra.

OBTENÇÃO DE UMA AMOSTRA EM PESQUISAS CIENTÍFICAS:

Nas pesquisas científicas as amostras, em geral são obtidas de duas diferentes

formas: Estudos observacionais e experimentos planejados.

Nos estudos observacionais os dados são obtidos à medida que se tornam

disponíveis. Por exemplo, suponha que um pesquisador esteja avaliando o

desempenho de um processo de fabricação de componentes plásticos através da

injeção em molde. Pode-se observar o processo, selecionar componentes à medida

que são fabricados e medir importantes características de interesse, tais como a

espessura da parede, o encolhimento ou a resistência da peça. O pesquisador pode



medir também e registrar as variáveis de processo potencialmente importantes, tais

como a temperatura do molde, o conteúdo de umidade da matéria-prima e o tempo

do ciclo. Freqüentemente, em um estudo observador, o pesquisador está interessado

em usar os dados para construir um modelo do sistema ou processo. Esses modelos

são freqüentemente chamados de modelos empíricos. Uma outra maneira e que os

dados observados são obtidos através da análise de dados históricos do sistema ou

processo. Por exemplo, na fabricação de semicondutores, e razoavelmente comum

manter registros extensos de cada batelada ou lote de pastilhas que foi produzido.

Esses registros incluiriam dados de teste de características físicas e elétricas das

pastilhas, assim como as condições de processamento sob as quais cada batelada de

pastilhas foi produzida. Se aparecerem questões relativas a uma mudança em uma

importante característica elétrica, a história do processo pode ser estudada em um

esforço para determinar o ponto no tempo onde a mudança ocorreu e para ganhar

algum discernimento em relação as variáveis do processo que devem ser

responsáveis pela mudança. Freqüentemente, esses estudos envolvem um conjunto

muito grande de dados e requerem um firme domínio dos princípios estatísticos, se o

pesquisador quiser alcançar o sucesso.

Nos experimentos planejados, o engenheiro (ou pesquisador) faz

variações propositais nas variáveis controláveis de alguns sistemas ou processos,

observa os dados de saída do sistema resultante e, então, faz uma inferência ou

decisão sobre as variáveis que são responsáveis pelas mudanças observadas no

desempenho de saída. O planejamento de experimentos tem um papel muito

importante no projeto e desenvolvimento de engenharia e na melhoria dos processos

de fabricação. Geralmente, quando produtos e processos são planejados e

desenvolvidos com experimentos planejados, eles têm melhor desempenho, mais

alta confiabilidade e menores custos globais. Experimentos planejados também

desempenham um papel crucial na redução do tempo de condução de um projeto de

engenharia e do desenvolvimento de atividades.



•••• INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: Embora seja observada “apenas” uma amostra, o objetivo de qualquer estudo

é estabelecer conclusões com respeito à população de interesse. A metodologia

utilizada para se fazer a passagem dos resultados obtidos na amostra para

conclusões populacionais é chamada “inferência estatística”.

A inferência estatística pode ser definida em duas etapas:

� Estimação: Obter informação sobre uma característica populacional;

� Teste de Hipóteses: Utilização da informação amostral para responder as

hipóteses de interesse no estudo.

•••• ANÁLISE ESTATÍSTICA: O processo de organização, processamento, sumarização e retirada de

conclusões sobre um determinado conjunto de dados (amostra) é chamado de

análise estatística. As hipóteses (questões de interesse) daqueles que realizam o

estudo indicam o tipo de dado que precisa der obtido e conseqüentemente a

inferência a ser realizada.

O quadro abaixo resume uma análise estatística de dados.



Figura 2.1. Análise Estatística.

22 .. 22 .. OORRGGAANN II ZZ AA ÇÇ ÃÃOO ,, SSUUMMAARR II ZZ AA ÇÇ ÃÃOO EE RR EE PPRR EE SS EENNTT AA ÇÇ ÃÃOO DD EE DD AADDOOSS ::

A organização, sumarização e apresentação dos dados observados são

essenciais para um bom julgamento estatístico, dado que permitem que sejam

identificadas características importantes da amostra e ainda mais, indicar modelos

que podem ser mais adequados para verificação da hipótese em estudo.



22 .. 22 .. 11 .. TT II PPOOSS DD EE VV AARR II ÁÁ VV EE II SS ::

As informações obtidas em uma amostra são denominadas, usualmente, de

“variáveis” em estudo. Em cada estudo pode-se observar uma ou mais variáveis em

função das necessidades e objetivos a serem investigados. Assim, por exemplo,

pode-se observar uma única medida num dado experimento, como é possível

observar uma série de características de interesse na aplicação de um questionário.

As variáveis observadas em uma amostra podem ser classificadas em dois

tipos: Variáveis Categóricas (Qualitativas) ou Variáveis Contínuas

(Quantitativas).

Variáveis Categóricas: Denominamos variáveis categóricas aquelas medidas

(características) observadas na amostra que apenas identificam a unidade de

observação. Em outras palavras, uma variável categórica identifica um atributo,

classe, qualidade,..., da unidade de observação.

Exemplo: Sexo, Grau de escolaridade, tipo de solo, fornecedor, etc.

As variáveis qualitativas podem ainda ser classificadas como qualitativas

nominais e qualitativas ordinais. As nominais apenas identificam um atributo à

unidade experimental sem qualquer outra propriedade (sexo, por exemplo),

enquanto que as ordinais identificam um atributo que estabelece uma estrutura de

ordem nas unidades de observação (grau de escolaridade, por exemplo).

Variáveis Quantitativas: Denominamos de variáveis quantitativas aquelas medidas

(características) observadas na amostra que estabelecem uma informação resultante

de uma contagem ou de uma mensuração feita na unidade experimental.

As variáveis quantitativas podem também ser classificadas em dois grupos:

Quantitativas discretas ou quantitativas contínuas. As quantitativas discretas podem

assumir um conjunto finito ou enumerável de valores (número de acidentes em uma

determinada região da cidade, por exemplo), por outro lado, as quantitativas

contínuas podem assumir valores num intervalo de números reais.



Observação:

Uma variável quantitativa pode ser categorizada, porém a recíproca não é possível. É

importante, porém considerar a PERDA DE INFORMAÇÃO que ocorre nesses casos.

Figura 2.2. Classificação das Variáveis.

Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para organizar e

resumir a informação, embora em muitos casos se verifique as técnicas usadas em

um caso podem ser adaptadas para outros.

22 .. 22 .. 22 .. AA PPRR EE SS EENNTT AA ÇÇ ÃÃOO DDOOSS DD AADDOOSS ::

A apresentação de informações contidas num conjunto de dados pode ser

feita de várias formas. Para cada tipo de variável existe formas mais adequadas e

corretas de apresentá-las. O objetivo de uma apresentação dos dados é organizar os

valores observados de forma a obter o máximo de informação. Os procedimentos

usuais de apresentação de dados são tabelas e gráficos.

Consideremos o seguinte experimento: Uma indústria química formula um

experimento para verificar se um novo método de fabricação de um produto químico

é superior a um método tradicional de fabricação. Um experimento foi realizado



obtendo-se dados de produção industrial dos métodos A (Tradicional) e B (Novo

Método), cujos resultados estão apresentados na Tabela 2.1:

TABELA 2.1. Dados de Produção Industrial.

Lote Método Produção Lote Método Produção

1 A 89.7 11 B 84.7

2 A 81.4 12 B 86.1

3 A 84.5 13 B 83.2

4 A 84.8 15 B 91.9

5 A 87.3 15 B 86.3

6 A 79.7 16 B 79.3

7 A 85.1 17 B 82.6

8 A 81.7 18 B 89.1

9 A 83.7 19 B 83.7

10 A 84.5 20 B 88.5

O problema apresenta duas variáveis: Método de Produção e Produção

Observada. A variável método de produção é categórica nominal e a variável

produção é quantitativa contínua.

A apresentação usual dos dados observados é feita através de uma tabela

denominada distribuição de freqüências. Nesta forma são apresentados os

valores observados, a freqüência com que cada valor foi observado, o percentual que

este número de freqüência representa em relação ao total de observação, bem como

os respectivos valores acumulados.

Para tabela acima as distribuições de freqüências são dadas por:

TABELA 2.2. Distribuição de Freqüência da Variável Método de Produção Industrial.

Método

Método Freqüência Absoluta

Freqüência Percentual

Freqüência Acumulada

Percentual Acumulada

A 10 50.00 10 50.00

B 10 50.00 20 100.00



TABELA 2.3. Distribuição de Freqüência da Variável Produção Industrial

Produção

Produção Freqüência Absoluta




79.3 1 5.00 1 5.00

79.7 1 5.00 2 10.00

81.4 1 5.00 3 15.00

81.7 1 5.00 4 20.00

82.6 1 5.00 5 25.00

83.2 1 5.00 6 30.00

83.7 2 10.00 8 40.00

84.5 2 10.00 10 50.00

84.7 1 5.00 11 55.00

84.8 1 5.00 12 60.00

85.1 1 5.00 13 65.00

86.1 1 5.00 14 70.00

86.3 1 5.00 15 75.00

87.3 1 5.00 16 80.00

88.5 1 5.00 17 85.00

89.1 1 5.00 18 90.00

89.7 1 5.00 19 95.00

91.9 1 5.00 20 100.00

Notação:

fi = freqüência do i-ésimo valor

pi = freqüência percentual do i-ésimo valor ⇒ pi = fi / n

n = tamanho da amostra (número de unidades observadas)



Fi = freqüência acumulada até o i-ésimo valor, ou seja, número de observações até o

i-ésimo valor ⇒ ∑=

=i

a

ai fF1

Pi = freqüência percentual acumulada até o i-ésimo valor, ou seja, percentual de

observações até o i-ésimo valor ⇒ ∑=

=i

a

ai pP1

Observação:

Nos casos de variáveis qualitativas nominais a freqüência acumulada e

percentual acumulada não tem sentido de interpretação.

Problema:

No caso das variáveis quantitativas, como no exemplo acima, podemos ter

que a variável assume um grande número de valores todos (ou a grande maioria)

com baixas freqüências, logo a distribuição de freqüências se torna grande sem uma

maior contribuição para a interpretação dos dados.

Nessas situações, recomenda-se a categorização da variável através do

estabelecimento de intervalos de acordo com os objetivos do estudo. No exemplo:

TABELA 2.4. Distribuição de Freqüência da Variável Produção Industrial Categorizada.

Produção Categorizada

Produção Categorizada

Freqüência Absoluta




Menor que 80 2 10.00 2 10.00

[80,85) 10 50.00 12 60.00

[85,90) 7 35.00 19 95.00

90 ou mais 1 5.00 20 100.00

Sugestão Usual:

Os intervalos gerados pela categorização devem ter o mesmo comprimento

e/ou aproximadamente mesmas freqüências.



Uma segunda forma de apresentação dos dados é através de uma

representação gráfica dos mesmos. Usualmente representa-se graficamente a

distribuição de freqüências. O tipo de gráfico a ser utilizado está associado ao tipo de

variável em estudo.

Variáveis qualitativas podem ser representadas por:

•••• Gráfico em Barras

•••• Gráfico de Setores (Gráfico de “Pizza”)

•••• Gráfico em Retângulo

Variáveis quantitativas podem ser representadas por:

•••• Diagrama de Pontos

•••• Histogramas

•••• Polígono de Freqüências

•••• Ramos e Folhas



RR EE PPRR EE SS EENNTT AA ÇÇÃÃOO GGRRÁÁ FF II CC AA –– DDAADDOOSS CC AA TT EEGGÓÓRR II CCOOSS

58.06

41.94

0

20

40

60

80

100

Masculino Feminino

Sexo

Sexo

Sexo

Masculin

o

58%

Feminino

42%

Masculino Feminino

Sexo

58.06 41.94

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Masculino Feminino

32.26

58.06

9.68

0 20 40 60 80 100

Bom

Algum

Nenhum

Computador

Bom

32%

Algum

58%

Nenhum

10%

Bom Algum Nenhum

32.26

58.06

9.68

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Dominio de Computador

Bom Algun Nenhum



RR EE PPRR EE SS EENNTT AA ÇÇ ÃÃOO GGRRÁÁ FF II CC AA –– DD AADDOOSS QQUUAANNTT II TT AA TT II VVOOSS Ramo e Folhas 5 5 22222 10 5 55689 14 6 0014 (8) 6 55555789 9 7 124 6 7 57 4 8 01 2 8 5 1 9 0

Diagrama de Pontos . . : : : :. .. :. . : .. . . . .. . . . . . -----+---------+---------+---------+---------+---------+-Peso 56.0 63.0 70.0 77.0 84.0 91.0

Peso dos AlunosPeso dos AlunosPeso dos AlunosPeso dos Alunos

PESO

No of obs

16.1%

6.5%

3.2% 3.2%3.2%

6.5%

3.2% 3.2%

16.1%

3.2%3.2%3.2% 3.2%3.2% 3.2%3.2% 3.2% 3.2%3.2% 3.2% 3.2%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

<= 53

(53;54]

(54;55]

(55;56]

(56;57]

(57;58]

(58;59]

(59;60]

(60;61]

(61;62]

(62;63]

(63;64]

(64;65]

(65;66]

(66;67]

(67;68]

(68;69]

(69;70]

(70;71]

(71;72]

(72;73]

(73;74]

(74;75]

(75;76]

(76;77]

(77;78]

(78;79]

(79;80]

(80;81]

(81;82]

(82;83]

(83;84]

(84;85]

(85;86]

(86;87]

(87;88]

(88;89]

> 89

Peso dos AlunosPeso dos AlunosPeso dos AlunosPeso dos Alunos

PESON

No of obs

29.0%

32.3%

12.9% 12.9%

6.5% 6.5%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 1 2 3 4 5 6 7

Peso dos Alunos Peso dos Alunos Peso dos Alunos Peso dos Alunos

PESON

No of obs

29.0%

61.3%

74.2%

87.1%

93.5%

100.0%

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

0 1 2 3 4 5 6 7



22 .. 22 .. 33 .. SSUUMMAARR II ZZ AA ÇÇ ÃÃOO DDOOSS DD AADDOOSS ::

A distribuição de freqüências além de apresentar os dados observados,

também pode ser considerada uma sumarização de dados. Porém, na maioria dos

casos, é desejado obter valores que possam representar cada uma das variáveis em

estudo. Esses valores devem ser medidas que, sob algum ponto de vista sejam

representativos dos dados observados. As medidas usualmente utilizadas se referem

a locação e dispersão dos dados.

22 .. 22 .. 33 .. 11 .. MM EE DD II DD AA SS DD EE LL OO CC AA ÇÇ ÃÃ OO OO UU TT EE NN DD ÊÊ NN CC II AA CC EE NN TT RR AA LL ::

Medidas relacionadas à “posição” dos dados, ou ainda a valores em torno dos

quais os valores observados tendem a se agrupar. As principais medidas de posição

são:

•••• Moda

•••• Mediana

•••• Quartis, Decis, Percentis.

•••• Média

•••• MODA:

Definição: Valor (Classe, intervalo..) que ocorre com maior freqüência.

Vantagem: Pode ser obtida para qualquer tipo de variável, porém, é mais

apropriada para dados qualitativos nominais.

Observações:

1) Podemos encontrar variáveis em um conjunto de dados com mais de uma

moda (bimodal, tri-modal.);

2) Podemos ter variáveis em um conjunto de dados onde a moda não existe.



•••• MEDIANA: Definição: Valor que ocupa a posição central num conjunto de dados ordenados,

ou seja, valor para o qual 50% dos valores observados são inferiores e 50% dos

valores observados são superiores a ele.

Condição: Para obtenção da mediana a variável em estudo deve ser pelo menos

qualitativa ordinal.

Cálculo da Mediana:

1) Dados devem ser ordenados

2) Se o número de observações é:

2.1) Ímpar: Mediana é o valor que está no centro da série, ou seja o valor que

ocupa a posição (n+1)/2.

2.2) Par: Mediana é qualquer valor entre aqueles dois valores que estão no

centro da série, ou seja, qualquer valor entre aqueles que ocupam as posições

n/2 e (n/2)+1. Valor usual: Média dos valores que ocupam a posição (n/2) e

(n/2)+1.

•••• QUARTIS, DECIS, PERCENTIS: Definição: A mediana divide o conjunto de dados em duas partes. Quartis decis

e percentis seguem o mesmo princípio, porém dividem os dados observados em

4, 10 e 100 partes respectivamente.

Desta forma temos que:

� percentil (50) = mediana ou segundo quartil (Md)

� percentil (25) = primeiro quartil (Q1)

� percentil (75) = terceiro quartil (Q3)

� percentil (10) = primeiro decil

Observação: Mediana, Quartis, Decis, Percentiis também são chamados de

separatrizes.

•••• MÉDIA ARITIMÉTICA:



Definição: A média aritmética simples de um conjunto de dados observados é o

quociente da divisão por n da soma dos valores destas observações.

Seja x1, x2, x3, .....xn os valores de uma variável observada na amostra. A

média x (lê-se “x barra”) é dada por:

Onde xi é o símbolo que indica a observação de ordem i = 1,2,....n

Condição: Possível de obtenção apenas para dados quantitativos.

Propriedades: A média aritmética possui propriedades interessantes que podem ser

úteis em determinadas situações:

1) Se x1=x2=x3=......=xn= a então

“a média de uma constante é a própria constante”;

2) Se a todo valor observado é adicionado uma constante “a”, então:

“se adicionamos uma mesma constante a toda observação, a média também

fica adicionada deste valor”.

3) Se a todo valor observado é multiplicado por uma constante “a”, então:

n

x

n

xxxxx

n

i

i

n

∑==

++++= 1321 ...

an

a

x

n

i ===∑=1

axn

ax

n

y

yaxy

n

i

i

n

i

i

ii +=+

===⇒+=∑∑== 11



“se multiplicamos toda observação por uma mesma constante, a média

também fica multiplicada deste valor”.

4) A soma dos desvios em torno da média é zero:

Observação: Outros tipos de médias são conhecidos tais como: média ponderada,

média harmônica, média geométrica, média aparada. Cada uma destas médias tem

sua utilizada e aplicações específicas e podem ser encontradas na grande maioria de

textos de Estatística Básica.

22 .. 22 .. 33 .. 22 .. CC OOMM PP AA RR AA NN DD OO MM EE DD II DD AA SS DD EE LL OO CC AA ÇÇ ÃÃ OO OO UU TT EE NN DD ÊÊ NN CC II AA CC EE NN TT RR AA LL ::

Uma comparação da média, mediana e moda, nas situações onde é possível

calcular todos estes valores, podem nos revelar uma informação sobre o

comportamento dos dados, denominada “assimetria”.

Definição: Uma variável é dita ter comportamento (ou distribuição) assimétrica

quando os seus valores estão mais concentrados em um dos seus extremos (valores

altos ou baixos). As possíveis situações de assimetria e simetria são derivadas do

comportamento dos valores da média, mediana e moda e podem ser representadas

da seguinte forma:

xan

ax

n

y

yaxy

n

i

i

n

i

i

ii ====⇒=∑∑== 11

( ) 01

=−∑=

n

i

i xx



Figura 2.3. Assimetria de Uma Variável

22 .. 22 .. 33 .. 33 .. MM EE DD II DD AA SS DD EE DD II SS PP EE RR SS ÃÃ OO ::

Na análise de uma variável de interesse em qualquer estudo, quase nunca é

suficiente para descrever de modo satisfatório, observar apenas uma única medida

de posição. Podemos facilmente encontrar variáveis que apresentam o mesmo valor

para uma medida de locação (média, por exemplo), porém com dados apresentando

comportamentos completamente diferentes. Esses diferentes comportamentos são

conseqüência de dados com diferentes graus de dispersão.

Objetivo: Verificar o quanto os valores observados estão “dispersos”, ou ainda o

quanto “variam” os dados.

Apresentamos a seguir algumas medidas de dispersão.

•••• AMPLITUDE: Definição: Diferença entre o maior e o menor valor observado na amostra.

Notação:

Seja X(n) = maior valor observado para a variável na amostra;

Seja X(1) = menor valor observado para a variável na amostra;

Amplitude = A = X(n) – X(1)

Observações:

1) Medida sujeita a influencia da presença de valores extremos.



2) O aumento do número de observações na amostra não produz qualquer

mudança no valor dado pela amplitude.

•••• DIFERENÇA DE QUARTIS: Definição: Valor dado pela diferença entre os valores que delfinem os 50%

dos valores centrais observados.

Notação:

Seja Q(1) = 1º quartil dos dados observados (25% das observações na

amostra);

Seja Q(3) = 3º quartil dos dados observados (75% das observações na

amostra);

Logo Q(3) – Q1) contém 50% das observações e, consequentemente

Diferença de Quartis = DQ = Q(3) – Q(1)

•••• VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO: Definição: A VARIÂNCIA é uma medida de variabilidade dos dados em torno

da média, ou seja, ela quantifica a variabilidade ou o espalhamento ao redor da

média.

É natural procurar uma medida de dispersão que dependa dos desvios de

cada observação em relação à média (xi – x ), e é razoável considerar a soma de

todos estes desvios. Quanto maior forem os desvios, maior será a variabilidade

presente nos dados. Entretanto, pela definição de média, ∑(xi – x ) = 0 para

qualquer conjunto de dados.

Uma alternativa, para se obter uma medida de dispersão, é elevar os desvios

de cada observação em relação à média ao quadrado, isto é,

di= (xi - x )2

Assim,

∑∑∑∑ (xi – x )2

É a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. Desta forma somamos

somente valores positivos. Torna-se necessário considerar o nº de observações,



pois quanto maior o nº de observações maior será o valor deste somatório. Assim,

a variância amostral é definida por:

1

)(2

2

1

−

−∑==n

xxin

iS

Por que (n-1)?

Quando dividimos por n-1 temos que S2 é um estimador não viciado, importante

propriedade da inferência estatística:

Se a amostra é grande, os valores obtidos dividindo por n ou n-1 são praticamente

iguais.

Propriedades da Variância

1) A variância de uma constante é zero, isto é, xi = a, para todo i= 1, 2,..,n

então S2 = 0

2) Se multiplicarmos cada valor da variável por uma constante a, a variância será

a variância da variável original multiplicada por a2.

y = a X, então Var(y) = Var (a x)= a2 Var(x).

3) Se somarmos ou subtrairmos de cada valor da variável uma constante a, a

variância não se altera.

Seja y = X + a, então Var(y) = Var (x + a)= Var(x).

4) Se dividirmos cada valor da variável por uma constante a, a variância será a

variância da variável original dividida por a2.

Seja xa

y1

= então Var(y) = Var ( xa

1)=

2

1

aVar(x).

Note que a unidade de medida de S2 é a unidade de medida das

observações elevada ao quadrado. Então, para obter uma medida de

variabilidade com a mesma unidade de medida das observações extraí-se a raiz

quadrada. Esta medida é denominada DESVIO PADRÃO e definida por:



1

)( 2

1

−

−∑==n

xxin

iS

Observações:

1) S mede a dispersão em torno da média e só deve ser calculado quando a

média é tomada como medida de locação.

2) S ≥ 0. Logo, quanto maior a dispersão em torno da média, maior o valor do

desvio padrão, ou maior valor de S.

Além das medidas de dispersão aqui apresentadas, algumas outras são

encontradas na literatura, como por exemplo, as medidas de simetria e de

achatamento (também ditas de curtose). Para as aplicações que serão feitas ao

longo desse curso, as medidas aqui apresentadas são suficientes, outras medidas

podem ser encontradas em livros de Estatística Básica.

22 .. 22 .. 33 .. 44 .. MM EE DD II DD AA SS DD EE DD II SS PP EE RR SS ÃÃ OO RR EE LL AA TT II VV AA ::

Em muitos casos, em particular em situações que desejamos comparar a

dispersão de variáveis com diferentes unidades de medida, é conveniente expressar

a dispersão em termos relativos, ou seja, expressar a variabilidade dos dados tirando

a influência da ordem de grandeza da variável.

•••• COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: Definição: O desvio padrão descreve o desvio padrão relativo à média. É

expresso em termos de valores percentuais.

Notação:

O coeficiente de variação, que é definido por:

100*x

SCV =



O coeficiente de variação (CV) é adimensional, isto é, um número puro e

usualmente expresso em porcentagem. Sua utilidade é fornecer uma medida para a

homogeneidade do conjunto de dados. Quanto menor o CV mais homogêneo é o

conjunto de dados.

Pelo fato do CV ser adimensional, é possível comparar a variabilidade de dois

conjuntos de dados muitos distintos. O CV é muito útil na comparação de duas

variáveis ou dois grupos que a princípio não são comparáveis (por exemplo, com

ordens de grandeza das variáveis muito diferentes).

Um valor de CV maior que 50% indica um alto grau de dispersão e

conseqüentemente uma baixa representatividade da média. Um valor de CV menor

ou igual a 25% geralmente indicará que o conjunto de dados é razoavelmente

homogêneo. Entretanto, esse padrão varia de acordo com a aplicação. Uma possível

classificação é a seguinte:

CV:

� Baixo - (inferior a 0,10);

� Médio - (de 0,10 a 0,25);

� Alto - (0,25 a 0,35);

� Muito Alto - (≥≥≥≥0,35).

22 .. 22 .. 33 .. 55 .. UUMM AA RR EE PP RR EE SS EE NN TT AA ÇÇ ÃÃ OO GG RR ÁÁ FF II CC AA CC OO NN JJ UU NN TT AA DD EE MM EE DD II DD AA SS

DD EE LL OO CC AA ÇÇ ÃÃ OO EE DD EE DD II SS PP EE RR SS ÃÃ OO ::

Como apresentado anteriormente, uma análise de dados deve, minimamente

considerar conjuntamente uma medida de locação e uma medida de dispersão.

Nesse sentido é importante também estabelecer uma representação gráfica conjunta

de medidas de locação e dispersão através da qual seja possível verificar o

comportamento da variável em ambos os aspectos.

•••• ESQUEMA DE CINCO NÚMEROS: Proposta: Identificar 5 valores dentre o conjunto de n observados que possa

dar condições de se ter uma idéia geral do comportamento geral das observações.



Condição: Possível para variáveis quantitativas;

Valores Propostos (Tukey):

� Mediana

� Valor Maximo (X(n)) e Valor Mínimo (X(1))

� 1º e 3º Quartis

Observação:

Alguns outros autores e softwares propõem o uso de média e desvio padrão

no lugar de mediana e quartis. Tukey justifica o uso de mediana e quartis dado eu as

mesmas são medidas de locação e dispersão que não são influenciadas pela

presença de valores extremos no conjunto de dados e que, portanto permitem uma

mais fácil identificação de presença dos mesmos dentre os valores observados.

•••• DESENHO ESQUEMATICO – BOX PLOT: Proposta: Representação gráfica do esquema de 5 números.

O Box-plot é obtido seguindo-se os passos:

1. Numa reta são marcados o 1º quartil (Q1), a mediana (Q2 ) e o 3º quartil (Q3).

2. Acima dessa reta constrói-se um retângulo com limites iguais às posições do

1º e 3º quartis, cortado por um segmento de reta na posição relativa à

mediana.

3. A partir dos limites do retângulo, traçam-se linhas até:

a. Encontrar um extremo (valor máximo ou mínimo) ou

b. Um valor correspondente a 1,5 DQ, se o extremo correspondente

estiver a mais de 1,5 DQ do quartil respectivo.

Os pontos que estão a mais de 1,5 DQ do quartil correspondente até 3DQ são

chamados pontos externos (* ) e os que estão a mais de 3DQ, pontos soltos (o).



Figura 2.4. Construído o Box - Plot

“Máximo”

Q3

Mediana

Q1

“Mínimo”

25%

50%

75%

ConstruçãoLS=Q3+1,5(Q3-Q1)

LI=Q1-1,5(Q3-Q1)

“Máximo” é o maior valor menor que LS;

“Mínimo” é o menor valor maior que LI.

Figura 2.5. Forma Final do Box - Blot

O Box – Plot é um procedimento que permite iidentificar em um conjunto de

dados:

� Simetria

� Dispersão

� Valores Discrepantes

_Q3

_Q1

_md

linha

auxiliar

⇓⇓⇓⇓

_Q3

_Q1

_md

_Q1-1,5d

_Q3+1,5d

****

**

****

**

_Q3

_Q1

_md

_Q1-1,5d

_Q3+1,5d

altura_Q3

_Q1

d

Q1 = 1º quartil Q1 = 1º quartil mdmd = mediana Q3 = 3º quartil d = diferença = mediana Q3 = 3º quartil d = diferença interquartilinterquartil

BoxBox--PlotPlot



IMPORTANTE:

O Box–Plot, além das aplicações apresentadas, é um procedimento

extremamente importante na comparação de diferentes grupos (tratamentos) que

são observados e, por exemplo, dentre os quais, deseja-se identificar aquele com

melhor desempenho.

Exemplo:

Comparando o total de pontos obtidos pelos alunos ingressos no

processo seletivo 2005 nos diferentes cursos da UFSCar.



22 .. 33 .. RR EE FF EE RR ÊÊNNCC II AA SS BB II BB LL II OOGGRRÁÁ FF II CC AA SS ::

Barros Neto, B., Scarminio, I. S., Bruns, R. E. (2001) – Como Fazer

Experimentos: Pesquisa e desenvolvimento na ciência e na indústria.

Editora da Unicamp, Campinas, SP.

Montgomery, D. C., Runger, G. C. (2003) – Estatística APlicada e

Probabilidade para Engenheiros, LTC Editora, 2a Edição, Rio Janeiro, RJ.

Triola, M. F. (2005) – Introdução a Estatística, LTC Editora, 9ª Edição, Rio

Janeiro.

Anderson, T.W., Sclove, S. L. (1974) – Introductory Statistical Analysis,

Houghton Miflin, Boston.

Vieira, S. (1999) – Princípios de Estatística, Pioneira, São Paulo, SP.

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