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Capítulo 6 - Centro de Gravidade de Superfícies Planas 6.1 – Introdução

O Centro de Gravidade (CG) de um sólido é um ponto localizado no próprio sólido, ou fora dele, pelo qual passa a resultante das forças de gravidade que atuam em cada elemento de sua massa. É como se toda a massa de um corpo se concentrasse naquele ponto.

Ainda, o CG pode ser entendido como um ponto em relação ao qual é nulo o somatório dos momentos dos pesos das partículas que constituem o sólido (ou sistema).

O gráfico abaixo mostra as coordenadas do Centro de Gravidade (CG) de um corpo qualquer.

A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas Xg e Yg, que serão obtidas

através da relação entre o respectivo Momento Estático de superfície e a área total desta. Por definição,

��

=

A

AG

dA

xdA

X ��

=

A

AG

dA

ydA

Y ��Onde Ix e Iy são os Momentos Estáticos em relação aos eixos x e y,

respectivamente, e representados pelas equações integrais abaixo. �

=A

x ydAI �=A

y xdAI � �� Por questão de simplicidade, as geometrias dos corpos consideradas neste capítulo

serão bem simples. Neste caso, seus centros de gravidades coincidem com seus baricentros. As figuras, cujos CG são conhecidos, estão representadas no tópico 6.4.

Um modo mais simples de calcular o centro de gravidade de um sistema é: 1- Divide-se o sistema em elementos cujas geometrias coincidam com as citadas em

6.4. Ou seja, um sistema (ou um corpo) pode ser divido em elementos que podem ser representados por uma combinação de triângulos, retângulos, círculos, semicírculos, etc.

� ��

�

�

Capitulo 6 – Centro de Gravidade de Superfícies Planas

Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo 81

2- Escolhe-se um sistema de referências para descrever as coordenadas daqueles elementos. É importante lembrar que os pesos daqueles elementos são conhecidos.

3- Multiplicam-se seus pesos por suas respectivas coordenadas (x,y) em relação ao referencial gráfico escolhido anteriormente;

4- Somam-se os resultados obtidos da multiplicação anterior; 5- Somam-se os pesos dos elementos que compõem o sistema (ou corpo); 6- Divide o valor obtido no passo 3 pelo valor obtido no passo 4 e obtém-se a

coordenada do Centro de Gravidade do sistema em questão.

A equação abaixo representa, matematicamente o procedimento escrito acima:

��

=

==n

ii

n

iii

G

P

xPX

1

1 ��

=

==n

ii

n

iii

G

P

yPY

1

1 (6.3)

Entretanto, alguns corpos ou sistemas têm seus pesos proporcionais aos seus

comprimentos ou às suas áreas. Um tubo, por exemplo, terá seu peso proporcional ao seu comprimento, enquanto uma chapa terá seu peso proporcional à sua superfície. Assim, a equação anterior pode ser reescrita em função das geometrias dos elementos que compõem o sistema (ou corpo).

Para elementos poligonais (linhas), a equação 6.3 é escrita em função dos comprimentos das linhas que compõem o sistema, ou seja,

n21

nn2211

1

1

...

x...xx �� ++++++

== ��

=

=n

ii

n

iii

G

l

xlX (6.4a)

n21

nn2211

1

1

...

y...yy �� ++++++

== ��

=

=n

ii

n

iii

G

l

ylY (6.4b)

Onde li é o comprimento de cada elemento que compõe o sistema. Para um sistema representado por elementos de superfície, a equação 6.3 é escrita da seguinte forma:

n21

nn2211

1

1

...

x...xx

AAA

AAA

A

xAX

n

ii

n

iii

G ++++++

== ��

=

= (6.5a)

Mecânica Básica Aplicada


n21

nn2211

1

1

...

y...yy

AAA

AAA

A

yAY

n

ii

n

iii

G ++++++

== ��

=

= (6.5b)

Onde Ai é a área de cada elemento que compõe o sistema. Exemplo 1: Calcule o Centro de gravidade da superfície abaixo que possui 30cm de base inferior e 20cm de base superior de altura de 12cm:

Escolhendo um sistema de coordenadas em que o eixo das abscissas passa pela base

da peça e o eixo das ordenadas passa pelo ponto médio da base, e dividindo a figura em dois triângulos e um retângulo, obtém-se: A tabela abaixo mostra as peças nas quais foi dividido o corpo acima com as suas coordenadas.

Peça A i xi yi Pixi Piyi 1 30 -11,67 4 -350,1 120 2 240 0 6 0 1440 3 30 11,67 4 350,1 120 Σ 300 0 1680

Logo,

0300

0

1

1 === ��

=

=n

ii

n

iii

G

A

xAX 60.5

300

1680

1

1 === ��

=

=n

ii

n

iii

G

A

yAY

Assim, o Centro de Gravidade é CG(0cm, 5.6cm).

5 20 5

12cm

x

y

1

2

3



6.2 - Aplicação

• Ponto de equilíbrio de uma barra • Balança de alavanca com tara corrediça • Balanceamento de roda de carro • Balanceamento de elementos rotativos de máquinas • Amarração de cargas de içamento • Fixação de peças em jigs (suporte)

6.3 - Propriedades do CG

• Quando um sistema admite um plano/eixo diametral, o CG se encontra naquele plano/eixo diametral

• Quando um sistema admite um plano/eixo/ponto de simetria, o CG se encontra naquele plano/eixo/ponto

• Quando um sistema admite dois eixos de simetria coplanares, o CG encontra-se no cruzamento daqueles eixos

• Quando um sistema é composto por dois sub-sistemas dos quais são conhecidos os CG´s, então o CG dos sistema encontra0se na reta que une os CG´s dos dois subsistemas

6.5 - CG´s de linhas 6.5 - CG´s de superfícies planas simples

� � �! 0X G =

"2rYG =#

/2 h $

b/2

b

2/XG b=

2/YG h=

�!%

& 2

bX G =

2

hYG = �!

%

& 3

bX G =

3

hYG =



Exercício 1 – Calcular o centro de gravidade das poligonais abaixo: a)

b)

3 4

2

6

8

x

y

')(* (

+ ( * ( ,-,.(

�!0X G =

3/4rYG =

rX G =

rYG = �!0

�! �!314r

YG =

324rX G =



c)

d)

e)

10 10 10

12

x

y

x

Raio=10cm

y

y

x

6 10

14



Exercício 2 – Calcular o centro de gravidade das superfícies abaixo:

a)

b) c)

354

4

6

7

8:9

; 9

; 96

7

8:9

x

10cm 10cm

y



d) e)

30

60 25

20

40

24 25

25

< 9 < 9 = 9

3)>3)>

3 9< 9

3 >24

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