CFD Aula 1

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

Universidade Federal do ABC

Aula 1 Conceituação das equações

diferenciais parciais



Porquê?

vvvvv

vvv

v

gpqTkEt

E

gpt

t

:

0

Equações de Navier-Stokes para um fluido compressível e viscoso

Conservação da massa

Conservação do momento linear (2ª Lei de Newton)

Conservação da energia (1ª Lei da Termodinâmica)


Navier & Stokes

Claude-Louis Navier

• Engenheiro e Matemático. • Membro da Academia de

Ciências da França. • Criador da teoria da

elasticidade. • Um dos principais teóricos da

mecânica dos fluidos. • Seu nome está gravado na

galeria de heróis da Torre Eiffel.

Sir George Stokes

• Físico e Matemático.

• Professor de matemática em Cambridge.

• Um dos principais teóricos da mecânica dos fluidos.

• Também publicou trabalhos sobre a luz, polarização e fenômenos químicos.

• Há uma cratera na Lua com seu nome.

(1785-1836) (1819-1903)

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Claude-Louis_Navier.jpg

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Ggstokes.jpg


Classificação de EDPs

Linear • A variável dependente e suas derivadas mantém relações

lineares. Não há produtos entre a variável dependente e suas derivadas.

• Soluções independentes podem ser somadas para gerar uma outra solução.

Exemplo:

Onda unidimensional

x

ua

t

u


Classificação de EDPs

Não-linear • Há produtos entre a variável dependente e suas

derivadas.

• Soluções independentes não podem ser somadas para gerar uma outra solução.

Exemplo:

Equação de Burgers para fluidos invíscidos

x

uu

t

u


EDPs de segunda ordem

Dada uma função f(x,y), a forma mais completa de uma EDP de segunda ordem é

02

22

2

2

GF

yE

xD

yC

yxB

xA f

fffff

Isolando os termos de segunda ordem, temos

GF

yE

xD

yC

yxB

xA f

fffff2

22

2

2

Hy

Cyx

Bx

A

2

22

2

2 fff



Assim, abstraimos os termos de ordem 1, e podemos buscar relações entre A, B, C e as derivadas segundas.

Primeiramente, definimos

dyy

dxyx

d

dyyx

dxx

d

y

x

2

22

2

2

2

fff

fff



A busca de uma solução para cada um dos termos nos leva a:

(regra de Cramer)

dydx

dydx

CBA

dyd

ddx

CHA

yx

y

x

0

0

0

0

2 f

f

f

dydx

dydx

CBA

ddx

ddydx

HBA

y

y

x

0

0

0

2

2 f

f

f

dydx

dydx

CBA

dydxd

dyd

CBH

x

y

x

0

0

0

2

2 f

f

f



Para garantir que

devemos resolver

0

0

0

dydx

dydx

CBA

022 CdxBdxdyAdy

Dividindo por dx2 0

2

C

dx

dyB

dx

dyA

As soluções desta equação são as “curvas características” do espaço físico (a,b):

A

ACBB

dx

dy

2

42

,

ba



O sistema de EDPs é, portanto, classificado segundo o valor de (B2 - 4AC):

(B2 - 4AC) < 0 elíptico

(B2 - 4AC) = 0 parabólico

(B2 - 4AC) > 0 hiperbólico

02

22

2

2

GF

yE

xD

yC

yxB

xA f

fffff


Equações elípticas

• (B2 - 4AC) < 0 em todos os pontos do espaço.

• Uma EDP elíptica não tem curvas características reais.

• Uma perturbação se propaga instantaneamente em todas as direções.

Exemplos:

• Equação de Laplace

• Equação de Poisson

02

2

2

2

yx

ff

),(2

2

2

2

yxfyx

ff

Espaço de

soluções

Condições de

contorno


Equações parabólicas

• (B2 - 4AC) = 0 em todos os pontos do espaço.

• O domínio de soluções é um espaço aberto.

• Apenas uma solução (uma curva característica).

Exemplos:

• Condução de calor em uma dimensão

• Difusão viscosa

2

2

x

T

t

T

a

2

2

y

u

t

u

Espaço de

soluções

Condições de

contorno

Condições de

contorno

Condições Iniciais


Equações hiperbólicas

• (B2 - 4AC) > 0 em todos os pontos do espaço.

• Uma EDP hiperbólica tem duas curvas características reais.

• Tradicionalmente resolvida pelo método das características.

Exemplo:

• Equação de onda de segunda ordem

2

22

2

2

xa

t

ff

Espaço de

soluções

Espaço de

soluções

Condições de

contorno

Condições de

contorno




Exemplo 1

Classificar a EDP

0)1(2

2

2

22

yxM

ff

Potencial de velocidade em

duas dimensões

Solução:

10)1( 2 CBMA

02

22

2

2

GF

yE

xD

yC

yxB

xA f

fffff

)1(44 22 MACB


Interpretação física

Um corpo se movendo em um fluido.

M < 1 M = 1 M > 1

elíptica parabólica hiperbólica

)1(44 22 MACB

subsônico transsônico supersônico


EDPs típicas em CFD

Equação de Laplace

Equação de Poisson

Condução de calor

Difusão viscosa

Equação de onda

Equação de Burgers

02

2

2

2

yx

ff

),(2

2

2

2

yxfyx

ff

2

2

2

2

y

T

x

T

t

Ta

2

2

y

u

t

u

2

22

2

2

x

ua

t

u

x

uu

t

u


SISTEMA DE EDPS DE PRIMEIRA ORDEM


Classificação de um sistema de EDPs de primeira ordem

Considere o sistema

0

0

24321

14321

y

vb

y

ub

x

vb

x

ub

t

v

y

va

y

ua

x

va

x

ua

t

u

Chamando

2

1

43

43

21

21][][

bb

aaB

bb

aaA

v

u

Teremos

0][][

yB

xA

t

É bem mais simples, mas as

variáveis são matrizes e vetores


Interpretando

• Se [A] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é hiperbólico em t e x.

• Se [A] tiver autovalores complexos, o sistema é elíptico em t e x.

• Se [B] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é hiperbólico em t e y.

• Se [B] tiver autovalores complexos, o sistema é elíptico em t e y.

0][][

yB

xA

t


Sistema em regime

Chamando

O sinal de H=R2-4PQ determinará a natureza do sistema:

0][][

yB

xA

t

23

23

41

41

bb

aa

bb

aaRBQAP

H<0 elíptico H=0 parabólico H>0 hiperbólico


Exemplo 2

Classifique o sistema de EDPs

0

0

y

u

x

v

y

v

x

u

Solução:

Reescrevemos o sistema na forma onde

0

yB

xA

qq

01

10

10

01BA

v

uq


Exemplo 2

Reconhecendo que o sistema está e regime (d/dt=0)

Calcula-se

H=R2-4PQ H=-4

011

10

00

1111

RQP

O sistema é elíptico.


Exemplo 2b

Mesmo problema, com outra solução...

0

0

y

u

x

v

y

v

x

u

Solução:

Definimos yx nBnAT ][][][

yx nnT

01

10

10

01][

xy

yx

y

y

x

x

nn

nn

n

n

n

nT

0

0

0

0][


Exemplo 2b

O determinante de [T] vale

Desejamos que [T]=0, então

22

yx nnT

xy

yx

nn

nnT ][

022 yx nn 01

2

x

y

n

n

O que significa que é imaginário.

x

y

n

n



Exemplo 3

Classifique o sistema de EDPs

0

0

0

y

p

y

vv

x

vu

x

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

Solução:

Reescrevemos o sistema na forma onde

0

yB

xA

qq

10

00

010

00

10

001

v

vB

u

uA

p

v

u

q


Calculamos

Exemplo 3

yx nBnAT ][][][

yy

y

y

x

xx

x

nvn

vn

n

un

nun

n

T

0

00

00

00

0

00

][

vvnun

nvnun

nn

T

yx

xyx

yx

0

0

0

][

Assim, 22

yxyx

yxyyyxxx

nnvnunT

vnunnnvnunnnT


Exemplo 3

Queremos que 022 yxyx nnvnunT

Dividindo por 3

xn

012

2

u

n

nv

n

n

x

y

x

y

De onde obtemos duas condições:

v

u

n

n

x

y 1

x

y

n

n

O sistema é elíptico. O sistema é hiperbólico.

O sistema é misto hiperbólico/elíptico.


SISTEMA DE EDPS DE SEGUNDA ORDEM


Sistemas de segunda ordem

Em muitas ocasiões as equações de Navier-Stokes podem resultar em EDPs de segunda ordem:

• Termos viscosos da equação do momento

• Termo de condução de calor da equação de energia

O método mais fácil de classificação consiste em reduzir a ordem das equações e trabalhar como se fossem EDPs de primeira ordem.


Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem

Um fluido incompressível bidimensional em regime:

2

2

2

2

2

2

2

2

Re

1

Re

1

0

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u



Chamando

Temos que

Temos ainda que

y

uc

y

vb

x

va

by

v

x

u

y

a

yx

v

x

v

y

x

b

yx

v

y

v

x

2

2

0

y

a

x

b

0

y

b

x

c

Da mesma maneira:



O novo sistema de EDPs fica:

vbuay

p

y

b

x

a

vcubx

p

y

c

x

b

y

a

x

c

y

a

x

b

y

v

x

u

cy

u

Re

1

Re

1

0

0

0

Tem mais equações, mas é de

primeira ordem



Este sistema pode ser escrito na forma vetorial como

onde

Cy

QB

x

QA

vbua

vcub

c

CB0

0

0

1

0

0

0

0

0

0Re

1

0

0

0

0

Re1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0Re

1

0

1

0

0

Re1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

A

p

c

b

a

v

u

Q



Com este sistema, teremos



Agora podemos calcular | T |:

0Re

1 2222 yxy nnnT

022 yx nn

01

2

x

y

n

n

1x

y

n

n



Exemplo 4

As equações que governam o movimento de um escoamento inviscido e unidimensional são conhecidas como equações de Euler. Assumindo-se que o fluido é um gas perfeito, o sistema de EDPs é

Classifique este sistema de EDPs.

0

01

0

2

x

ua

x

pu

t

p

x

p

x

uu

t

u

x

u

xu

t


Exemplo 4

O sistema pode ser reescrito como

onde

ua

u

u

A

p

uQ

20

10

0

0

x

QA

t

Q


Exemplo 4

Os autovalores deste sistema são obtidos de (veja a aula 1b)

0

0

10

0

2

ua

u

u

0

0)(1

22

2

auu

auuu

13

2

1

u

au

u

O sistema é hiperbólico.


CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO


Condições iniciais e de contorno

As condições inidiais e/ou de contorno permitem que as soluções de EDPs se transformem em soluções únicas, contrapondo-se a funções genéricas.

Uma condição inicial é aquela na qual a variável dependente tem um determinado valor em algum estado inicial.

Uma condição de contorno é aquela na qual a variável dependente ou sua derivada devem satisfazer em algum ponto do domínio da EDP.


Seja X(x) uma função no intervalo a x b.

As quatro condições de contorno possíveis são:

Condições de contorno Em inglês: boundary

conditions

Dirichlet

Neumann

Mista

Robin (periódica)

0)(

0)(

bX

aX

0/)(

0/)(

xbX

xaX

0)(

0/)(

bX

xaX

0/)(

0)(

xbX

aX

xbXxaX

bXaX

/)(/)(

)()(


Exercícios

• Problemas 1.13 do Hoffmann “Computational Fluid Dynamics Vol.I”

CFD Aula 1

Education

Transcript of CFD Aula 1