CFD Aula 1B

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

Universidade Federal do ABC

Aula 1b Problemas de Valores Característicos I



1. UM CASO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE


• Desejamos estudar o efeito da vibração externa em uma armação de aço.

• A força externa é aplicada apenas na peça 1 e vale F1 sin wt

• As peças horizontais são muito rígidas com relação às verticais, que têm rigidez k1=k2=1330 kN/m

Vibração em uma estrutura de aço

M2=4500 kg

M1=6000 kg

4 m

4 m

y1

y2

k2

k1

k2

k1

F1


• Usaremos a notação


M2=4500 kg

M1=6000 kg

4 m

4 m

k2

k1

k2

k1

ydt

ydy

dt

dy

2

2

Equações do movimento: Para a peça superior Para a peça inferior

)( 12222 yykyM

tFyykykyM wsin)( 11221111


• No caso especial em que F1=0

• (será obtida a função

complementar)


M2=4500 kg

M1=6000 kg

4 m

4 m

k2

k1

k2

k1

Supondo que as duas peças horizontais estejam sincronizadas, podemos estabelecer que

e

Com a1 e a2 os valores máximos das amplitudes de oscilação.

0)( 12222 yykyM

)(11 tfay

0)( 1221111 yykykyM

)(22 tfay


• Assim, teremos


0)()()('' 12222 tfaaktfaM

0)()]([)('' 1221111 tfaakaktfaM

Qualquer das duas equações produz o resultado f''(t)/f(t)= constante. Portanto faz sentido escolher a mesma constante para cada equação e dado que estamos esperando um comportamento periódico, decidiremos que a constante seja -w2. Assim , uma possível solução para f(t) é:

)sin(cossin)( www tCtBtAtf


Agora, escolhemos a origem dos tempos de tal forma que =0. Como a1 e a2 são constantes multiplicativas, podemos também decidir que C=1. Dessa forma, chegamos a

e

Voltando ao sistema de equações, teremos


ttf wsin)( ttf ww sin)('' 2

0sin)()sin( 122

2

22 taaktaM www

0sin)]([)sin( 12211

2

11 taakaktaM www

Ou, simplesmente

0)( 12222

2 aakaMw

0)]([ 1221111

2 aakakaMw


Temos duas equações e três incógnitas (w2, a1 e a2).

Podemos reduzir o número de incógnitas se nos contentarmos com a2/a1

em vez de a1 e a2. Assim, dividindo as duas equações por a1:


02

1

222

2 ka

akMw

0)(1

22211

2 a

akkkMw

22

2

2

2

211

2

1

2 )(

kM

k

k

kkM

a

a

w

w

Podemos então obter as relações


Fazendo o produto Chega-se à equação característica do sistema:


22

2

2

2

211

2 )(

kM

k

k

kkM

w

w

As raízes desta equação são as raízes características do sistema e darão origem às frequências naturais às quais o sistema vibrará.

0)( 2121212

2

21

4 kkkMkkMMM ww


Retomando as equações originais e fatorando em termos de a1 e a2:


02

1

22

2

2

2211

2

a

a

kMk

kkkM

w

w

Assim, o sistema pode ser reinterpretado como

0)( 222

2

12 akMak w

0)])( 221211

2 akakkMw


Fazendo as contas:

k1=k2=1330 kN/m

M1=6000 kg

M2=4500 kg


Cujas raízes são

0)( 2121212

2

21

4 kkkMkkMMM ww

01330133013306000)13301330(450045006000 24 ww

0176895,199270,0 24 ww

rad/s2,25

rad/s15,10

635

103

2

1

2

2

2

1

w

w

w

w


O primeiro modo de vibração corresponde à menor frequência w1. Como

Modos de vibração

22

2

2

1

2

kM

k

a

a

w54,1

1013304500103

1013303

3

1

2

a

a

Nesse modo, a peça superior move-se em sincronia com a peça inferior, mas a amplitude do movimento é cerca de 1,5 maior.

O segundo modo de vibração corresponde a w2 e está associado à razão a2/a1=-0,87. Neste modo as peças se movem em sentidos opostos, e a peça inferior tem um movimento maior (em amplitude) que a superior.


Primeiro modo Segundo modo

Modos de vibração

a1

a2

54,11

2 a

a87,0

1

2 a

a


Se agora considerarmos uma força periódica F1 sin Wt aplicada à peça inferior, as equações que governam o movimento poderão ser reduzidas.

Deve-se considerar a função tempo como sendo sin Wt .

Obter-se-á a parte integral particular. O que foi obtido anteriormente foi a função complementar para a vibração livre.

As equações a serem resolvidas são:

Vibração fixada

0)( 12222

2 W aakaM

11221111

2 )( FaakakaM W


Isolando a1 e a2 chega-se a

Vibração fixada

0)( 12222

2 W aakaM

11221111

2 )( FaakakaM W

2

222

2

211

2

22

2

11

))((

)(

kkMkkM

kMFa

WW

W

2

222

2

211

2

212

))(( kkMkkM

kFa

WW

Nota: se W=w1 ou W=w2, o denominador se anula: ressonância!


Expressões originais:

Em forma de matriz:

Fazendo

Formulação matricial

)( 12222 yykyM

tFyykykyM wsin)( 11221111

2

1

M

MM

2

1

y

y

y

22

221 )(

kk

kkkA

2

1

y

yy

W

0

sin1

1

tFF

W

0

sin)( 1

2

1

22

221

2

1

21

tF

y

y

kk

kkk

y

yMM

1FAyyM T


Pode ser mais útil começarmos por

Fazendo teremos

E podemos reescrever as equações:

Outra formulação matricial

0)( 12222

2 aakaMw

0)( 1221111

2 aakakaMw

kkk

MMM

21

21

k

M 2w

221 aaa

1212 aaa


“matriciando”:

ou

Para encontrar a solução, resolve-se

Outra formulação matricial

2

1

2

1

11

12

a

a

a

a

aBa

221 aaa

1212 aaa

0

0

11

12

2

1

a

a

0)( aIB

0 IB


Considere-se o determinante

No caso de obtém-se

As soluções podem ser obtidas resolvendo

Resolvendo o sistema matricial

22

2

2

2211

2

kMk

kkkM

w

w

kkk

MMM

21

21

11

122 2

2

2

w

wk

kMk

kkM

011

12


Os valores para os quais as equações Ba=a têm solução não trivial (a=0) são os valores característicos da matriz B.

Para cada valor característico existe uma solução a não nula, chamado de vetor característico associado.

No caso em estudo, os valores característicos são obtidos resolvendo-se

As soluções são:

Valores característicos de B

011

12

382,02

531

618,2

2

532

01)1)(2(

Qual delas é a solução?

e


Como

E chegamos a

Na verdade, temos apenas uma equação e não duas equações independentes.

Se houvesse mais de uma solução, a matriz B seria um caso degenerado.

Obtendo as amplitudes

0

0

11

12

2

1

a

a

0)( aIB

0)1(

0)2(

21

21

aa

aa

382,02

53

1

2

a

a


2. UM CASO COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE


O rotor de motor a jato

Whitney Incorporated


Modelo


• Queremos estudar a oscilação radial ao longo do eixo.

• A rigidez do eixo entre cada ponto notável é dada por C (iguais para todos os grupos).

• Os momentos de inércia de cada grupo de pás são denotados por J (iguais para todos os grupos).

• Os deslocamentos angulares de cada grupo de pás são denotados por qi.

Modelo

qi


• As equações do movimento são:

Modelo

)(

)()(

)(

323

32212

211

qqq

qqqqq

qqq

CJ

CCJ

CJ


Chega-se a

Formulação matricial

)(

)()(

)(

323

32212

211

qqq

qqqqq

qqq

CJ

CCJ

CJ

ii qwq 2

C

J 2w

332

2321

121

2

qqq

qqqq

qqq

Como espera-se um movimento de oscilação, pode-se adotar

Introduzindo , tal que

3

2

1

3

2

1

110

121

011

q

q

q

q

q

q

θAθ


Estas equações tem uma solução não trivial se |A-I|=0. Logo

Formulação matricial alternativa

0

0

0

110

121

011

3

2

1

q

q

q

0 θIA

3

2

1

3

2

1

110

121

011

q

q

q

q

q

q

0)1(]1)1)(2)[(1(

0)3()1(

ou Os valores

característicos de A

são 0, 1 e 3


Encontre os valores característicos de

Exemplo

511

131

224

D

1. Escreve-se a equação característica |D-I|=0:

0

511

131

224

2. Resolve-se a equação em :

0)6)(2)(4(

0)]3(1[21)5(1[2]1)5)(3)[(4(

3. Os valores característicos são 2, 4 e 6.


• Voltando ao problema original:

• As equações não são linearmente independentes! • Teremos que nos contentar em obter apenas

relações entre q1, q2 e q3.

Vetores característicos

Os valores

característicos

são 0, 1 e 3 332

2321

121

2

qqq

qqqq

qqq


Para = 0:

Existe um número infinito de vetores.

O vetor mais simples é


0

02

0

32

321

21

qq

qqq

qq

321 qqq

)1,1,1(θ


332

2321

121

2

qqq

qqqq

qqq

Para = 1:

Novamente, existe um número infinito de vetores.

O vetor mais simples é


0

0

0

2

321

2

q

qqq

q

31

2 0

qq

q

)1,0,1( θ


332

2321

121

3

32

3

qqq

qqqq

qqq

Para = 3:

Novamente, existe um número infinito de vetores.

Os vetores mais simples são ou


02

0

02

32

321

21

qq

qqq

qq

31

12 2

qq

qq

)1,2,1( θ

6

1,

6

2,

6

1θ


Matriz original:


110

121

011

AValores

característicos de

A: = 0, 1 e 3

= 0 )1,1,1(θ

= 1 )1,0,1( θ

)1,2,1( θ

6

1,

6

2,

6

1θ = 3 ou


Vetores característicos: Interpretação

= 0

)1,1,1(θ

= 1

)1,0,1( θ )1,2,1( θ

6

1,

6

2,

6

1θ

= 3

ou


O movimento oscilatório livre será uma combinação linear deste modos normais:


= 0

)1,1,1(θ

= 1

)1,0,1( θ )1,2,1( θ

6

1,

6

2,

6

1θ

= 3

ou

tHtG

tFtE

tBtA

ii

ii

iii

33

22

11

sincos

sincos

sincos

ww

ww

wwq


Lembrando que

Chega-se a


3,1,0 321 JCJC /3,/,0 321 www

tHtG

tFtE

tBtA

ii

ii

iii

33

22

11

sincos

sincos

sincos

ww

ww

wwq

tJ

CHt

J

CGt

J

CFt

J

CEtBA iiiiiii

3sin

3cossincos q

Ai Bi Ei Fi Gi Hi dependem das posições e velocidades iniciais.


Para a matriz

os valores característicos são 2, 4 e 6.

Exemplo

511

131

224

D

A equação característica

deve ser resolvida para cada . 0

511

131

224

3

2

1

x

x

x


Trem Linear

Se escolhermos as coordenadas x1, x2 e x3 – os deslocamentos das massas de suas posições de equilíbrio – então a equação que rege o movimento pode ser escrita Ax=x, onde =Mw2/k.

Os parâmetros do sistema são as massas as constantes elásticas das molas.

Comparação de sistemas


Rede Elétrica

Para esta rede elétrica podemos escrever AI=I,

onde d2Ii /dt2 = -w2Ii.

Os parâmetros do sistema são as indutâncias e as capacitâncias.

Comparação de sistemas

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