EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

Universidade Federal do ABC

Aula 4 Otimização e Discretização

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Forma adimensional das equações

Motivação: às vezes, as equações são normalizadas para:

• facilitar as mudanças de escala dos resultados obtidos para condições de fluxo reais

• evitar arredondamento devido a manipulações com números grandes / pequenos

• avaliar a importância relativa de termos nas equações do modelo

Variáveis e os números adimensionais:

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Simplificações do modelo

Objetivo: obter soluções analíticas / reduzir o custo computacional

Outras simplificações: Stokes flow, camada limite, eqs. Inviscidas, potenciais, etc...

Derivação de um modelo simplificado:

1. determinar o tipo de fluxo a ser simulado 2. separar efeitos importantes e sem importância 3. deixar características irrelevantes fora de consideração 4. omitir termos redundantes nas equações do modelo 5. prescrever condições iniciais / limite adequadas

Eqs. Navier-Stokes p/

escoamento compressível

Eqs. Navier-Stokes p/

escoamento incompressível

Eqs. Euler p/ escoamento

compressível

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Escoamentos incompressíveis viscosos

Seja

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Problemas de convecção natural

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Escoamentos incompressíveis viscosos

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Escoamentos incompressíveis invíscidos

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Equações de Euler compressíveis

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Classificação das equações diferenciais parciais

EDPs podem ser classificadas como hiperbólicas, parabólicas e elípticas Cada classe de PDEs modela um tipo diferente de processos físicos

• O número de condições iniciais e/ou limite depende do tipo de EDP

• Métodos de solução diferentes são necessários para EDPs de tipo diferente

Hiperbólicas As informações se propagam em certas direções em velocidades finitas

A solução é uma superposição de várias ondas simples

Parabólicas As informações viaja a jusante / frente no tempo

A solução pode ser construída usando um método de passos / tempo

Elipticas As informações se propagam em todas as direções a uma velocidade infinita

Descreve fenômenos de equilíbrio (problemas elipticos nunca são instáveis)

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Classificação das equações diferenciais parciais

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Classificação das EDPs de segunda ordem

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Forma quase-linear

Solução de onda plana

Onde n=s é a normal à superfície característica s(x,t)=const

Sistemas Hiperbólicos: Existem D normais reais n(k), k = 1,. . . , D

e as soluções dos sistemas associados são linearmente independentes

Sistemas Parabólicos: Existem menos de D soluções reais n(k) e

Sistemas Elipticos: Não existem normais reais n(k) não existem soluções com

características de ondas.

Classificação de sistemas de EDPs de primeira ordem

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EDP de segunda ordem como um sistema de EDPs de primeira ordem

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EDP de segunda ordem como um sistema de EDPs de primeira ordem

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Interpretação geométrica de uma EDP de segunda ordem

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Objetivo: para aproximar a EDP por um conjunto de equações algébricas

EDP estacionária (elíptica)

Condição de contorno de Dirichlet

condição limite de Neumann

condições de fronteira de Robin

Problema dos valores limite: BVP = EDP + condições de contorno

Introdução: problemas simplificados 1D e 2D

1. –Du = f equação de Poisson

2. ·(uv) = ·(du) convecção-difusão

Técnicas de Discretização do Espaço

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Malhas computacionais

Os graus de liberdade para a solução aproximada são definidos em uma malha computacional que representa a uma subdivisão do domínio em células e/ou elementos.

estruturada em blocos estruturada não estruturada

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Malhas Estruturadas (regulares)

• As famílias de linhas de grade não se cruzam .

• Topologicamente equivalente a grade cartesiana de modo que cada ponto de grade (ou VC) é exclusivamente definida por dois índices em 2D índices ou três em 3D.

• Pode ser do tipo H (não periódica), O (periódica) ou C (periódica com cúspide).

• Limitada aos domínios simples.

• Refinamento da malha local afeta outras regiões.

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Malhas bloco-estruturadas

• Subdivisão de vários níveis do domínio com redes estruturadas dentro de blocos.

• Podem ter não-correspondência.

• Tratamento especial é necessária nas interfaces dos blocos.

• Maior flexibilidade.

• Refinamento local pode ser realizada blockwise.

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Malhas não-estruturadas

• Adequadas para domínios arbitrários e passíveis de refinamento de malha adaptativa.

• Consistem em triângulos ou quadriláteros em 2D, tetraedros ou hexahedra em 3D.

• As estruturas complexas de dados, padrão de dispersão irregular, difícil de executar.

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Técnicas de discretização

Diferenças finitas / forma diferencial • Derivadas de aproximação nodal • simples e eficazes, fáceis de gerar • limitada a malhas estruturadas

Volumes finitos / forma integral • aproximação de integrais • conservativa por construção • adequado para malhas arbitrárias

Elementos finitos / forma fraca • formulação ponderada residual • notavelmente flexível e geral • adequado para malhas arbitrárias