CFD Aula 5

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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional Universidade Federal do ABC Aula 5 O Método dos Volumes Finitos EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

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CFD Aula 5 do professor Annibal Hetem da UFABC

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Universidade Federal do ABC

Aula 5 O Método dos Volumes Finitos

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Método dos volumes finitos (MVF)

Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas.

Problemas de Condições de Contorno

Problemas de Minimização

⊕ o funcional contém derivadas de ordem inferior ⊕ soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis ⊕ condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados ⊖ às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais

Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)

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Teoria 1: minimização de problemas 1D

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Condição necessária em um dos extremos

arbitrária

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Lemma de Du Bois Reymond

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Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização

Euler-Lagrange

condição de contorno essencial

condição de fronteira natural

Equação de Poisson: a solução

minimiza o functional

em (0, 1)

cond. contorno Dirichlet

cond. contorno Neumann

Exemplo: eq. Poisson 1D

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Exemplo: eq. Poisson 2D

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Exemplo: eq. Poisson 2D

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O Método de Rayleigh-Ritz

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Exemplo: eq. Poisson 1D

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Exemplo: má escolha das funções de base Considere a base polinomial

•A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é

bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros

de arredondamento.

• Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.

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Fundamento do Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem

sistemática para a geração de trechos de funções

polinomiais de base com propriedades favoráveis.

O domínio computacional W é subdividido em um

número de subdomínios K, chamados de

elementos:

A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um

conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum.

O subespaço de elementos finitos Vh é composto por trechos de funções polinomiais,

tipicamente da forma

Qualquer função v Vh é unicamente determinada por um número finito de graus

de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós).

Cada função de base ji representa exatamente um grau de liberdade e tem uma

estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.

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Aproximação via elementos finitos

Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde

K é um subconjunto fechado de W

P é o espaço polinomial para as funções de forma

S é o conjunto de graus de liberdade locais

Funções de base possuem a propriedade

Solução aproximada: os valores nodais u1,. . . , uN pode ser calculada pelo método de Ritz

desde que exista um problema de minimização equivalente.

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Exemplo: eq. Poisson 1D

Encontrar os valores nodais u1,. . . , uN que minimizam o funcional

Funções base locais para

Solução aproximada para x ei

contínua e linear por partes

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Exemplo: eq. Poisson 1D

O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde

Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma

regra de quadratura)

Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme

Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!

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Existência de um problema de minimização

As condições suficientes para que uma EDP eliptica

seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são:

• O operador L deve ser linear.

• O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico)

para todos os u,v admissíveis.

• O operador L deve ser definido positivo

Neste caso, a única solução u minimiza o funcional

ao longo do conjunto de funções admissíveis.

Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar

origem a outros termos do funcional a ser minimizado.

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Exemplo: eq. Poisson 1D

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Método dos Mínimos Quadrados

corresponde a uma derivada do EDP inicial.

• requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional.

• faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem

Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são

simétricos

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Formulação via resíduos ponderados

Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste.

Seja a solução de

O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero.

Funções de teste

Formulação fraca: encontrar u V0 tal que

onde é uma forma bilinear e

Integração por partes:

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Discretização de elementos finitos

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Exemplo: eq. Poisson 1D

Problema de valor de contorno Formulação fraca

Integração por partes Solução aproximada

Problema contínuo

Problema discreto (método de Galerkin)

Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde

Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização

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Exemplo: eq. Poisson 2D

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Exemplo: eq. Poisson 2D