Professora: Elisandra Br de Figueiredo

GRUPOS CCLICOS

Potncias e Mltiplos

DEFINIO 1 Seja G um grupo multiplicativo. Dado a 2 G dene-se a potncia m-simade a; para todo inteiro m;

se m 0; por recorrncia da seguinte forma: a0 = e (elemento neutro de G)

am = am1 a; se m 1 se m < 0; por: am = (am)1; sendo (am)1 o inverso de am

De modo geral, para um grupo (G; ) o anlogo a potncia m-sima de a 2 G; paratodo inteiro m; dada por

se m 0; por recorrncia tem-se: a0 = e (elemento neutro de G)

am = am1 a; se m 1 se m < 0; por: am = (am)0; sendo (am)0 o simtrico de am

Em particular num grupo aditivo o anlogo a potncia o mltiplo:

DEFINIO 2 Seja G um grupo aditivo. Se a 2 G e m 2 Z; o mltiplo m-simo de a oelemento de G denotado por m a e denido por se m 0; por recorrncia da seguinte forma: 0 a = e (elemento neutro de G) m a = (m 1) a+ a; se m 1 se m < 0; por: m a = (m a) sendo (m a) o oposto de m aPROPOSIO 1 Seja G um grupo multiplicativo. Se m e n so nmeros inteiros e a 2 G;ento:

(i) am an = am+n

(ii) am an = an am

(iii) am = (am)1

(iv) (am)n = amn

Analogamente,

PROPOSIO 2 Seja G um grupo aditivo. Se m e n so nmeros inteiros e a 2 G; ento:(i) ma+ na = (m+ n)a

(ii) ma+ na = na+ma

(iii) (m)a = (ma)(iv) n(ma) = (mn)a

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Conjunto gerado por um elemento

Seja G um grupo e a 2 G: Denotaremos por [a] o subconjunto de G formado pelaspotncias de inteiras de a; ou seja,

[a] = fam= m 2 Zg:

Note que [a] 6= ;; pois e = a0 2 [a]; para todo a 2 G; sendo e o elemento neutro de G: estesubconjunto dito um conjunto gerado por a:

PROPOSIO 3 Seja G um grupo e a 2 G:(i) O subconjunto [a] um subgrupo de G:

(ii) Se H subgrupo de G e a 2 H; ento [a] H:

OBSERVAO 1 O item (ii) da proposio anterior garante que [a] o menor subgrupo de Gque contm a:

DEFINIO 3 Um grupo G ser chamado grupo cclico se, para algum a 2 G; tivermosG = [a]; ou seja, G = fam= m 2 Zg: O elemento a chamado gerador do grupo G:No caso de G ser um grupo aditivo temos que G cclico quando G = fma= m 2 Zg =f ; (2)a; (1)a; e = 0 a; a; 2a; g = [a]:

OBSERVAO 2 O fato de m ser varivel em Z no signica que [a] seja innito e alm dissoum grupo cclico pode ter mais de um gerador.

EXEMPLO 1 No grupo (C; ) determine [i]:

EXEMPLO 2 No grupo (Q; ) determine1

2

:

2

EXEMPLO 3 No grupo (S3; ) determine [a]; sendo a =

1 2 31 3 2

:

EXEMPLO 4 O grupo multiplicativo G = f1; 1g um grupo cclico? Em caso armativo,determine um gerador.

EXEMPLO 5 O grupo (Z;+) um grupo cclico? Em caso armativo, determine um gerador.

EXEMPLO 6 O grupo (Z6;+) um grupo cclico? Em caso armativo, determine um gerador.

EXEMPLO 7 O grupo (Z5; ) um grupo cclico? Em caso armativo, determine um gerador.

PROPOSIO 4 Todo subgrupo de um grupo cclico tambm cclico.

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EXEMPLO 8 Determine todos os subgrupos de (Z;+):

Grupos cclicos innitos

PROPOSIO 5 Seja G = [a] um grupo cclico cujo elemento neutro indicaremos por e: Sea tal que

am = e , m = 0;ento a aplicao f : Z! G; dada por f(m) = am; um isomorsmo do grupo aditivo Z nogrupo G:

DEFINIO 4 Dado um elemento a de um grupo G com elemento neutro e; se

am = e , m = 0;dizemos que o elemento a tem perodo zero ou ordem zero e que o grupo [a] um grupocclico innito.

EXEMPLO 9 O elemento 3 tem perodo zero no grupo multiplicativo dos reais.

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EXEMPLO 10 O elemento 2 tem perodo zero no grupo aditivo dos inteiros.

Grupos cclicos nitos

Seja a um elemento num grupo G tal que

9m 2 Z; m 6= 0; de modo que am = e;

sendo e o elemento neutro de G: Ento,

am = (am)1 = e1 = e:

Logo, podemos assumir que existe um nmero inteiro r > 0; tal que ar = e:

DEFINIO 5 O menor nmero inteiro h > 0 tal que ah = e chama-se perodo ou ordemdo elemento a: Notao o(a) = h:

EXEMPLO 11 Determine a ordem dos seguintes elementos:

(a) i 2 (C; );

(b) 1 2 (C; );

(c) 5 2 (Z7; );

(d) a =

1 2 32 3 1

2 (S3; ):

PROPOSIO 6 Seja a um elemento de um grupo G: Se a ordem de a h > 0; ento [a] um grupo nito de ordem h dado por [a] = fe; a; a2; ; ah1g:

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DEFINIO 6 Seja G = [a] um grupo cclico. Dizemos que G um grupo cclico nito se operodo do elemento a for um nmero natural h > 0: Desta forma, G = fe; a; a2; ; ah1g:

PROPOSIO 7 Seja a um elemento de um grupo G com perodo h > 0: Ento,

am = e , hjm:

PROPOSIO 8 Seja G um grupo cclico nito de ordem h: Ento, G isomorfo ao grupoaditivo Zh:

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Grupos gerados por subconjuntos

Generalizao da noo de grupo cclico.

Seja G um grupo multiplicativo. Dado um conjunto no vazio L G; considere oseguinte subconjunto de G; denotado por [L] :

[L] = fa11 a22 att = t 1; a1; ; at 2 L; 1; ; t 2 Zg:

Verique que [L] subgrupo de G: Alm disso, o menor subgrupo de G que contm L:

DEFINIO 7 O grupo [L] obtido acima chamado subgrupo gerado por L: Quandoexiste um subconjunto nito e no vazio L de modo que [L] = G; dizemos que o grupo G um grupo de tipo nito.

EXEMPLO 12 Prove que

f1 =

1 2 32 3 1

; g1 =

1 2 31 3 2

= S3; isto L = ff1; g1g tal que [L] = S3:

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