Ciclo Férias
1
Simulado – Ciclo Férias 1) Considere que os vértices de um n-ágono A 1 , A 2 , ..., A n devem ser coloridos utilizando- se k cores. Determine de quantos modos isso pode ser feito sabendo que vértices adjacentes náo possuem a mesma cor: 2) Seja f: [0, 1] R contínua tal que f(0) = f(1). Prove que existe x [0, 1] tal que f(x) = f(x + 1/2) 3) A e B são matrizes de coeficientes inteiros 2x2. Sabe-se que A, A+B, A+2B, A+3B e A+4B têm inversas com coeficientes inteiros. Prove que A+5B tem inversa com coeficientes inteiros. 4) Determine todos os reais x e y tais que 20 2 + 10 2 + 4 + 12 − 10 + 5 = 0 5) A mediana de Euler de um quadrilátero é, por definição, o segmento que liga os pontos médios das diagonais desse quadrilátero. Considere, no espaço, dois quadriláteros planares ABCD e A’B’C’D’ (convexos), tais que as retas AA’, BB’, CC’ e DD’ são paralel as e AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c e DD’ = d. Determine a distância entre os pontos médios das medianas de Euler de ABCD e A’B’C’D’. 6) Uma reta variável r, de coeficiente angular 2, intersecta as retas de equações y – x = 0 e y + x = 0 nos pontos P e Q, respectivamente. Pede-se determinar o lugar geométrico de um ponto M pertencente a r tal que o produto dos comprimentos dos segmentos PM e QM é constante e igual a 5/3. 7) Prove a seguinte desigualdade: 1 15 < 1 2 ∙ 3 4 ∙ 5 6 … 99 100 < 1 10 . 8) Determine todos os pares (; ) agudos tais que 2 + 2 = ( + ) 9) Considere quatro retas coplanares r, s, t, w concorrentes num ponto P. Uma reta corta essas 4 retas em pontos distintos A, B, C, D, que formam uma quádrupla harmônica. Prove que qualquer outra reta que corte r, s, t, w determina uma quádrupla harmônica. 10) Determine n agudo tal que n sen sen sen sen tan 188 ... 12 8 4
-
Upload
samuel-marinho -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
description
matematica
Transcript of Ciclo Férias
-
Simulado Ciclo Frias
1) Considere que os vrtices de um n-gono A1, A2, ..., An devem ser coloridos utilizando-
se k cores. Determine de quantos modos isso pode ser feito sabendo que vrtices adjacentes no
possuem a mesma cor:
2) Seja f: [0, 1] R contnua tal que f(0) = f(1). Prove que existe x [0, 1] tal que f(x) =
f(x + 1/2)
3) A e B so matrizes de coeficientes inteiros 2x2. Sabe-se que A, A+B, A+2B, A+3B e
A+4B tm inversas com coeficientes inteiros. Prove que A+5B tem inversa com coeficientes
inteiros.
4) Determine todos os reais x e y tais que 202 + 102 + 4 + 12 10 + 5 = 0
5) A mediana de Euler de um quadriltero , por definio, o segmento que liga os pontos
mdios das diagonais desse quadriltero. Considere, no espao, dois quadrilteros planares
ABCD e ABCD (convexos), tais que as retas AA, BB, CC e DD so paralelas e
AA = a, BB = b, CC = c e DD = d. Determine a distncia entre os pontos mdios das medianas de
Euler de ABCD e ABCD.
6) Uma reta varivel r, de coeficiente angular 2, intersecta as retas de equaes y x = 0 e y + x = 0
nos pontos P e Q, respectivamente. Pede-se determinar o lugar geomtrico de um ponto M pertencente
a r tal que o produto dos comprimentos dos segmentos PM e QM constante e igual a 5/3.
7) Prove a seguinte desigualdade: 1
15
