Ciênciascurso de pós-graduação

Cartográficas

João Fernando C. da SilvaProfessor Adjunto

FotogrametriaDepartamento de Cartografia

FCT/UNESP

EMENTA - Fotogrametria Analítica - 6 Créditos = 90 h/a

(a) Transformações geométricas bi e tridimensionais;(b) Referenciais usados em fotogrametria; Sensores: câmara aérea, HRV-SPOT, radar,

câmara digital, outros;(c) Modelos fotogramétricos: equações de colinearidade e de coplanaridade, transformação

linear direta, modelos baseados em feições;(d) Processos fotogramétricos: resseção espacial, formação de modelos, fototriangulação e

restituição;(e) Calibração de câmaras métricas e não-métricas;(f) Integração de dados fotogramétricos com GPS, INS e outros sensores auxiliares;(g) Instrumentos fotogramétricos.

PROGRAMA

Introdução

Etapas do Processo Fotogramétrico: considerando que a Fotogrametria explora imagens com o propósito de medir e representar um determinado objeto, define-se Processo Fotogramétrico como sendo o ordenamento lógico das etapas necessárias para cumprir os fins da Fotogrametria, desde a aquisição de dados (informações) até a representação do objeto. Via de regra, as etapas ordenadas são: planejamento, aquisição das imagens, processamento, análise e representação.

Fotogrametria Terrestre e a Curta Distância: conceito; equipamento básico; caso normal e outros; aplicações. Fotogrametria Analítica é bem adaptada a distintas situações de curta distância.

Mapeamento Aerofotogramétrico

Considerando que o mapeamento aerofotogramétrico é a aplicação mais importante da Fotogrametria, no contexto das ciências cartográficas, definimo-lo como o conjunto de operações fotogramétricas que acarretam no mapeamento de uma porção da superfície terrestre, caracterizado por um fluxo básico e ordenado de operações, a saber: vôo (recobrimento aerofotogramétrico), apoio geodésico, (aero)triangulação e restituição ou ortofoto (digital). Mapeamento é o resultado do processamento, da análise e da representação de dados e informações obtidos por meio de (algum tipo de) levantamento. Levantamento é uma coleção ou conjunto de observações organizadas resultante da aplicação de um método de coleta de dados.

FotogrametriaConceito de Fotogrametria (Geral) e Fotogrametria Analítica (Particular)

ClassificaçõesPrincipais métodos, instrumentos e operaçõesCampos de aplicaçãoTemas de pesquisa da fotogrametria moderna:

Fotogrametria Digital (automação)Fotogrametria Apoiada pelo GPS (orientação do sensor/Integração GPS-Fotogrametria)Fotogrametria Apoiando SIG (Integração SIG-Fotogrametria)

Aquisição de imagens fotográficasSensores: câmaras fotogramétricas (aéreas e terrestres), HRV-SPOT, sistemas de radar, câmera digital, dispositivo digitalizador de mesa (scanner), outros.

Redução de observações (transformação de coordenadas)Comparadores. Definição de sistemas referenciais úteis à Fotogrametria.

Obtenção de fotocoordenadas. Transformação de coordenadas. Estudo dos erros na Fotogrametria: aleatórios, sistemáticos e grosseiros.

Processamento e análise de dados Métodos analógicos, analíticos e digitais; Orientação analítica: interior, relativa e absoluta; Resseção espacial; Interseção espacial; Triangulação: modelos independentes e feixes perspectivos Técnicas de análise:

pré-análise (planejamento, projeto); análise estatística (controle de qualidade, produto)

Calibração de câmaras.

Representação das informações fotogramétricas Informação Fotogramétrica (IF): informação espacial obtida fotogrametricamente; Representação da IF: restituição planimétrica e altimétrica (contínua/curvas de nível e

discreta/MNT); Ortofotografia.

Fotogrametria Orbital: sistemas orbitais de mapeamento.

DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS

Ao final da disciplina, espera-se que o(a) estudante seja capaz de: conhecer os principais métodos e técnicas em Fotogrametria Analítica; compreender os principais métodos fotogramétricos emergentes e; continuar motivado para os estudos e pesquisas necessários ao contínuo aprimoramento

dos métodos e técnicas fotogramétricos.

METODOLOGIA DE ENSINO

O conteúdo programado será desenvolvido de três maneiras: Aulas com exposição dos assunto organizadas e ministradas pelo docente responsável; Trabalhos práticos preparados pelo professor responsável com o propósito de conduzir o

estudo do(a) estudante pelos aspectos práticos da solução de um problema fotogramétrico, no contexto da Foto Analítica;

Seminários sobre tópicos específicos do conteúdo da disciplina, a serem apresentados pelo(a) estudante, com o intuito de que o(a) mesmo(a) organize e apresente o material estudado e defenda suas próprias conclusões perante seus colegas.

CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO

MP = média aritmética simples de duas provas; peso 3.MS = média aritmética simples dos seminários; peso 1.MT = média aritmética simples dos trabalhos práticos; peso 1.MF = média final = ( 3MP + MS + MT) / 5

As notas das provas, seminários e trabalhos práticos estarão na escala de 0 a 10. A conversão do sistema decimal para o sistema literal (A, B, C e D) será feita da seguinte maneira:

D C B A0,0 a 5,9 6,0 a 7,4 7,5 a 8,9 9,0 a 10,0

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Livros:

AMER. SOC. PHOTOGRAM. Manual of Photogrammetry. 4 ed. Falls Church-VA: Amer. Soc. Photogram., 1980. 1056p.

ANDRADE, J.B. Fotogrametria. Curitiba: SBEE. 1998. 242p.ATKINSON, K.B. Close Range Photogrammetry and Machine Vision. Caithness: Whittles, 1996.GHOSH, S. K. Analytical Photogrammetry. 2.ed. New York: Pergamon, 1988. 308p.KRAUS, K. Photogrammetry: fundamentals and standard processes. Bonn: Dümmler, 1993.

V.1, 391p.LILLESAND, T. M. & KIEFER, R. W. Remote Sensing and Image Interpretation. 2.ed. New York:

John Wiley, 1987.LUGNANI, J. B. Introdução à Fototriangulação. Curitiba: Imprensa Universitária, 1987. 134p.MASRY, S.E. Basics of Instrumental and Analytical Photogrammetry. MERCHANT, D.C. Analytical Photogrammetry (I e II). MOFFITT, F.H. & MIKHAIL, E.M. Photogrammetry. 3 ed. New York: Harper&Row, 1980. 618p.NOVO, E. M. L. M. Sensoriamento Remoto: princípios e aplicações. São Paulo: Edgard

Blücher, 1989.WOLF, P.R. Elements of Photogrammetry. 2 ed. Singapore: McGraw-Hill, 1983. 628p.

Revistas (Periódicos):

Photogrammetric Engineering and Remote Sensing (ASPRS, Bethesda, USA)The Photogrammetric Record (TPS, London, UK)Journal of ISPRS (Elsevier, Amsterdam, The Netherlands)Anais de reuniões científicas: ISPRS, ASPRS, ACSM, FIG, SBC, etc.

DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA

Apresentação do plano de trabalho. Introdução à Fotogrametria Analítica. Fotogrametria Terrestre (Curta Distância) versus Aerofotogrametria. Mapeamento Fotogramétrico.

Aquisição de imagens: sensores em geral e câmaras fotogramétricas. Transformações de coordenadas; Fotocoordenadas. Teoria das orientações: Interior, Relativa e Absoluta. Resseção espacial (RE) e interseção fotogramétrica (IF). Fototriangulação: aerotriangulação por feixes de raios; aerotriangulação por modelos

independentes; detecção de erros grosseiros; análise dos resultados. Restituição apoiada por tecnologia CAD: planimétrica e altimétrica (notícia). Mapeamento aerofotogramétrico: plano de vôo, apoio de campo, aerotriangulação,

restituição (CAD), ortofoto, MDT/MNT. Fotogrametria orbital. Seminários: apresentação dos temas selecionados pelos(as) alunos(as).

Duração do curso: 90 h/a (horas de atividade) ao longo de 4 meses.

PLANO DA APOSTILA

Prefácio

Parte I Histórico Conceito/definição de Fotogrametria (geral) e Fotogrametria Analítica (particular) Aerofotogrametria (Mapeamento Aerofotogramétrico) e Fotogrametria Terrestre/Curta

Distância (Levantamento Fotogramétrico)

Parte II Aquisição de Imagens (Sensores: câmara aérea) Plano de Vôo Instrumentos Fotogramétricos Analíticos (Restituidor Analítico, comparador, outros)

Parte III Sistemas Referenciais (espaço-imagem e espaço-objeto) Transformação de Coordenadas (referenciais planos/2D e espaciais/3D) Métodos de Determinação de Coordenadas de Pontos-Objeto Coordenadas de Pontos-Imagem: Fotocoordenadas Equações de colinearidade (modelo matemático fundamental da Fotogrametria Analítica) Erros Sistemáticos (nas Fotocoordenadas)

Parte IV Modelo Fotogramétrico Analítico e Orientação (interior, relativa e absoluta) Resseção Fotogramétrica: orientação (indireta) absoluta de uma foto Orientação Direta do Sensor (GPS/IMU) Triangulação (modelos independentes e feixes de raios): a) extensão do controle, b)

densificação e c) orientação do sensor Calibração de instrumentos analíticos: calibração de câmaras (auto-calibração, calibração

em-serviço)

Parte V Fluxograma do Mapeamento Aerofotogramétrico Fluxograma de um Projeto de Fotogrametria Terrestre/Curta Distância Conjunto Básico (Mínimo) de Equipamentos para Executar um Projeto de Fotogrametria

Analítica Outras Aplicações

Referências Bibliográficas

ApêndiceAjustamento de Observações e Estimativa de ParâmetrosMatriz de rotação

GlossárioÍndice Onomástico

PARTE IBreve Histórico1839 - Louis Daguerre “inventa” a fotografia (na verdade, aperfeiçoa a técnica que já vinha sendo pesquisada e desenvolvida por muitos pesquisadores, ele inclusive);1840 - Arago demonstra o uso de fotografias em levantamento topográfico;1849 - Aimé Laussedat realiza o primeiro experimento de levantamento fotogramétrico para mapeamento topográfico utilizando balões para obter fotos aéreas. Devido às dificuldades impostas pelo “estágio tecnológico” da época, optou pela Fotogrametria Terrestre, isto é, tomando fotos com a câmera fixa em tripés. Seus experimentos renderam-lhe o título de “Pai da Fotogrametria”;1902 – Finsterwalder apresenta a solução matemática (analítica) do problema da resseção fotogramétrica e desenha a primeira versão do que viria a ser o atual comparador;1913 - Primeiras fotos aéreas tomadas de aviões;...Iniciou-se na Europa, particularmente a França deu as primeiras grandes contribuições. O método é quase sesquicentenário! Até quando vai existir?

1957 – Helava apresenta o conceito de um restituidor analítico (Canadá);1959 – Hobrough resolve eletronicamente o problema da correspondência entre pontos homólogos por correlação eletrônica;1963 – NRC/Canadá apresenta o primeiro protótipo do restituidor analítico tal qual proposto por Helava.1976 – Vários modelos de restituidores analíticos são apresentados no congresso internacional de Fotogrametria em Helsinki, Finlândia.

Motivação

O esquema abaixo pretende evidenciar que as Ciências Cartográficas ( ... quais são ?...) fundamentam-se em três pilares: o do campo onde há contato mais próximo com o objeto, o das imagens e o da representação. A base de conhecimentos que sustentam os pilares é formada pela Matemática, a Física, a Informática e a Computação. O objeto das Ciências Cartográficas é a Terra. Sobre a superfície terrestre ou nas suas imediações realizam-se as operações de levantamentos geodésicos e topográficos (antigamente os astronômicos, mas estes estão em desuso). Diversos tipos de sensores obtém imagens da superfície terrestre que são processadas e analisadas com o propósito de extrair os elementos que serão representados (cartografados). Particularmente, a Fotogrametria processa fotografias aéreas, terrestres ou de curta distância. No caso da Fotogrametria Terrestre e Fotogrametria a Curta Distância geralmente o objeto de estudo é outro que não a superfície terrestre. Adiante no texto há mais sobre isto.

Ciências CartográficasLevantamentos de Campo:

Astronomia de Posição, Geodésia, Topografia.

Processamento de Imagens: Fotogrametria,

Senso. Remoto, Foto-interpretação.

Representação: Desenho Cartográfico, Cartografia

propriamente dita.

Matemática, Física, Informática e Computação.

Conceito/definição de FotogrametriaFotogrametria Analítica (particular)

Conceito de Fotogrametria: É a arte, ciência ou técnica de obter informação confiável acerca de objetos físicos distantes a partir de observações feitas em fotogramas.

arte: nem tanto, mas o bom gosto nunca faz falta!ciência: método científico - hipótese, experimentação, verificação;técnica: um modo de fazer;

informação: métrica (posição, dimensões e forma) e pictórica (identificação e interpretação);confiável: um certo nível de confiança (relativa, nunca absoluta!), alguma incerteza, probabilidade;

objetos físicos: visíveis (na superfície terrestre ou imediações);distantes: não há contato físico entre sensor e objeto;

observações: efetuadas com instrumental apropriado conduzem às medidas;

fotogramas: fotografias (energia, espectro visível, registro da luz) métricas, ie, tomadas com rigor técnico.

Classificações da Fotogrametria

De acordo com a posição ou afastamento do sensor (câmera) c.r.a. superficie terrestre:

|| orbital ( 250 km ? )|:: ( ... ):- 10000 m: aérea de grande altitude|| aérea|- 300m: aérea de pequena altitude| /> curta-distância|_________________________________/> terrestre_____________________________

C.r.a. os métodos de processamento:

Analógica = por analogia da imagem com o objeto - requer formação do modelo estereoscópico (IRA); > operador > IRA.Analítica = basicamente, câmera + comparador + software + modelos matemáticos; < operador, < instrumentos, > computador.Digital = imagens digitais + processamento digital + software + modelos matemáticos << operador, >> computador, >> automação.

Aerofotogrametria (Mapeamento Aerofotogramétrico) e Fotogrametria Terrestre/Curta Distância (Levantamento Fotogramétrico)

Etapas do Processo Fotogramétrico: considerando que a Fotogrametria explora imagens com o propósito de medir e representar um determinado objeto, define-se Processo Fotogramétrico como sendo o ordenamento lógico das etapas necessárias para cumprir os fins da Fotogrametria, desde a aquisição de dados (informações) até a representação do objeto. Via de regra, as etapas ordenadas são: planejamento, aquisição das imagens, processamento, análise e representação.

Fotogrametria Terrestre e a Curta Distância: conceito; equipamento básico; caso normal e outros; aplicações. Fotogrametria Analítica é bem adaptada a distintas situações de curta distância.

Mapeamento Aerofotogramétrico

Considerando que o mapeamento aerofotogramétrico é a aplicação mais importante da Fotogrametria, no contexto das ciências cartográficas, definimo-lo como o conjunto de operações fotogramétricas que acarretam no mapeamento de uma porção da superfície terrestre, caracterizado por um fluxo básico e ordenado de operações, a saber: vôo (recobrimento aerofotogramétrico), apoio geodésico, (aero)triangulação e restituição ou ortofoto (digital). Mapeamento é o resultado do processamento, da análise e da representação de dados e informações obtidos por meio de (algum tipo de) levantamento. Levantamento é uma coleção ou conjunto de observações organizadas resultante da aplicação de um método de coleta de dados.

Instrumentos e equipamentos modernos para realizar Fotogrametria

Instrumentos Restituidores Analógicos: robustos, associação óptica+mecânica, atualmente conectados a sistemas CAD por meio de "codificadores gira/rotatórios" (rotary encoders) colocados nos eixos mecânicos (x, y, z); as coordenadas xyz dependem da formação e orientação de modelos estereoscópicos; baixíssimo nível de automação => alto grau de dependência de hábeis operadores; traçado realizado em mesa de desenho acoplada como periférico; ordem de precisão ~ 10 a 20m Em (Em: escala do modelo) em planimetria e 0,1 a 0,05/1000 Hv (1/10000 a 1/20000 da altura de vôo) em altimetria.

Instrumentos Restituidores Analíticos: mantida a associação óptica+mecânica (sistema óptico de observação das fotos/imagens + mecânica de precisão ao nível do micrômetro + microeletrônica); é possível observação monoscópica das fotos/imagens e estereoscópica do modelo; modelo tridimensional {xyz} de construção analítica/matemática/computacional; nível médio de automação (algumas tarefas ou rotinas) => ainda depende de operadores; traçado realizado em mesa de desenho acoplada como periférico (opcional) ou em arquivo (disco rígido/meio magnético); ordem de precisão ~ 3 a 5m Ef (Ef: escala da foto) em planimetria e 1/20000 Hv ou melhor em altimetria.

Comparadores (mono e estéreo): instrumentos que destinam-se apenas à observação-medição-leitura de coordenadas fotográficas (fotocoordenadas); daí em diante o processo depende de programas computacionais; é uma parte (avulsa) integrante dos restituidores analíticos; nível de precisão de observação: ~ 3m Ef.

Estação de Trabalho Fotogramétrica Digital (hardware + software): sistema óptico+mecânico inexistente; trata-se de um sistema computacional dedicado à fotogrametria; enquanto nos instrumentos anteriores é necessário que as fotos sejam

reproduzidas em diapositivos, na estação digital a foto é uma "imagem digital" constituída de pixels (linha, coluna, densidade/cinza); alto nível de automação => pequena dependência de operadores (supervisão do processo); resultados dos aplicativos fotogramétricos salvos em arquivos (disco rígido).

Campos de aplicação

a) cerca de 90% - mapeamento topográfico (mundialmente);b) apoio a obras de engenharia (urbana e rural): rodovias, ferrovias, hidrovias, pontes,

portos, barragens, dutos, grandes estruturas.c) planejamento urbano e regional, cadastro urbano e rural;d) agricultura, silvicultura, florestas; meio-ambiente;e) arquitetura e urbanismo;f) biomedicina;g) indústria (robótica, automação);h) arqueologia.

O item (a) é típico da Fotogrametria. Os itens (b) e (c) têm recebido importante contribuição da Fotogrametria. Os itens (c) e (d) recebem grande contribuição da Foto-Interpretação. Os itens (e) a (h) tiveram aumento da participação da Fotogrametria Terrestre e a Curta Distância, sobretudo na última década.

Pesquisa na Fotogrametria Moderna

Fotogrametria Digital (Digital Photogrammetry, Softcopy Photogrammetry):- calibração da câmera digital- extração automática de pontos e feições- MNT, MET- ortofoto digital (muito adiantado, já considerado em fase de produção)- automação da orientação do sensor e da aerotriangulação - automação da restituição (reconstrução de superfícies)- etc

"Fotogrametria Apoiada pelo GPS/INS" ou "Integração Fotogrametria-GPS-INS" (GPS/INS Photogrammetry): a determinação da orientação do sensor no instante da tomada da foto é um problema que interessa aos fotogrametristas há muitos anos.Problemas de natureza metodológica e tecnológica:- rastreamento dos satélites pelo método cinemático diferencial;- tempo real ou pós-processamento;- vetor antena-sensor (offset da antena);- perda do sinal GPS (problema contornado com a presença de INS);- fusão de dados inerciais (INS) e GPS;- etc

Fotogrametria Apoiando SIG (Photogrammetry for GIS):- obtenção de imagens georreferenciadas;- nível de manipulação para armazenamento e recuperação;- cor ou p&b?- MNT, MET, ortofoto;- fonte/base para SIG3D;- visualização- etc.

PARTE IIAQUISIÇÃO DE IMAGENS FOTOGRÁFICAS

Imagens

Analógicas Digitais( filme ) ( matriz de números )

Câmaras Fotográficas Digitalizador de Mesa Fotodetetores(scanner)

(fotogra) métricas não-métricas (amador) lineares matriciais

Câmaras Digitais

Sensores:

Ativos - emitem a radiação e a recebem de volta (antena); radar.Passivos - recebem a radiação emitida ou refletida pelo objeto; câm. fotográf.

Ópticos - câmara fotogr.: imagem formada no plano focal pelo sistema óptico e registrada em filme;Eletro-óptico (Opto-eletrônico) - S.Opt., registro eletrônico; SPOT, câm. dig.Eletrônico - não existe S. Opt. Ativo (radar), passivo (Landsat MSS/TM).

Sistemas Sensores Imageadores: fornecem uma imagem.De quadro - imagem total instantânea (câm. fotogr.)Varredura - imagem total é construída por faixas adjacentes

Sensores de interesse para a Fotogrametria:SPOT (Sisteme Probatoire d’Observation de la Terre)Câmara fotográfica (fotogramétrica)

SPOT é um sistema orbital (francês) lançado em 1986, passivo, eletro-óptico, que produz imagens por varredura. Possui dois sensores de alta resolução (HRV) e dois modos de operação: pancromático e multiespectral.Modo multiespectral: resolução espacial = 20 m; 3 faixas do E. E.: 0,50-0,59m, 0,61-0,68m, 0,79-0,89m.Pancromático (visível): resolução espacial = 10 m.Órbita polar, síncrona com o Sol, 98,7° com Equador, altitude de 832 km. Resolução temporal = 26 dias (repetibilidade).

Sensor HRVespelho plano é comandado de uma estação terrena, de modo que inclina-se até 27° para fora da órbita, permitindo a observação ou tomada de uma imagem de uma cena terrestre para fins de estereoscopia e maior resolução temporal. Logicamente, demandará um tempo (dias) entre a passagem zenital e a passagem adjacente.6000 fotodetetores em arranjo linear.

Câmara FotogramétricaA) ConvencionalB) A + FMCC) B + GPS

D) C + INSE) Câmaras aerofotogramétricas digitais ainda não são operacionais (transferência)

Componentes principais da câmara aerofotogramétrica: lentes (objetiva) + filme + importantes acessórios

P.A. : f > 300 mmnormal: f = 200 mmG.A. : f = 152 mmS.G.A. : f = 89 mm

Filme p&b (pancromático), colorido, infravermelho (p&b, falsa-cor).

Poder Resolutivo (PR) do sistema em linhas/mm (pl/mm, l/mm)R-1 = RL-1 + RE-1 + RA-1 + RI-1

Função de Transferência de Modulação (FTM) = Mi / Mo, sendo que Mi Mo:Mi = (I’max - I’min) / (I’max + I’min)Mo = (Imax - Imin) / (Imax + Imin)FTMT = FTML • FTME • FTMA • FTMIT: total; L: lente (objetiva); E: emulsão (filme); A: atmosfera; I: ângulo de incidência com o eixo óptico.

Câmara Digital - produz uma imagem digital(izada) do objeto. Objeto é contínuo, imagem é discreta (amostragem: teoria da amostragem - teorema de Shanon). Tamanho do pixel que equivale à resolução original da imagem:teórico: D (mm) = 1/(2R); Ex.: R = 50 pl/mm => D (mm) = 1/100 = 0,01mmprático: D (mm) = 1/(2,8R); Ex.: R = 50 pl/mm => D (mm) = 1/140 = 0,007mm

Câmara de vídeo:analógica (fita)digital - placa digitalizadora (frame grabber); mais recente IEEE1394 (firewall) imagens gravadas em fita especial e "lida" no computador por interface digital (Miro DV300).

Câmara fotogramétrica: foco fixo, marcas fiduciárias, pequenas distorções no S.Opt. (sistema de lentes, objetiva). Orientação Interior é estável.Calibração: determinação dos parâmetros da OI (descrevem o feixe perspectivo no cone interno da câmara).Métodos de calibração:- de laboratório (goniômetro e multicolimadores)- analíticos (requer conceito de resseção ou triangulação).

ConclusãoHá diferentes métodos para obter imagens. Na Fotogrametria Analítica vamos dar maior atenção à câmara fotogramétrica. Muitos dos modelos matemáticos a serem vistos na disciplina servirão de base também à Fotogrametria Digital e a outras disciplinas. Analiticamente, é possível dar distintos tratamentos às coordenadas da imagem.

Plano de Vôo

Instrumentos Fotogramétricos Analíticos (Restituidor Analítico, comparador, outros)

Comparadores são instrumentos fotogramétricos dotados de um sistema óptico de ampliação e observação de imagens de um diapositivo colocado no porta-placas. Uma marca de referência (MR) é deslocada sobre o diapositivo por meio de manivelas giradas pelo operador-observador. As posições da MR são comparadas a escalas micrométricas colocadas ao longo dos eixos ortogonais x e y. Desta comparação saem as coordenadas da posição da MR referidas ao sistema referencial do instrumento.

PARTE IIIEm Fotogrametria Analítica, há quatro fases principais no processo da informação: (a) aquisição das imagens (fotografias), (b) redução ou extração de coordenadas, (c) processamento e análise dos dados e resultados e (d) aplicação ou produto. Na fase de aquisição, o elemento fundamental é o sensor, particularmente a câmara fotogramétrica, seus constituintes (objetiva e emulsão fotográfica), e sua interação com o meio, em geral, a atmosfera (troposfera), no caso particular de imagens aéreas. Na fase de redução, objetiva-se a extração de coordenadas fotográficas e o seu refinamento, isto é a eliminação de erros ou efeitos sistemáticos. O processamento é a fase em que a informação é tratada ou processada computacionalmente com vistas a aplicação ou produto fotogramétrico. A aplicação é o estágio final do processo fotogramétrico, no qual o produto é finalizado e colocado à disposição do demandante ou usuário.

A imagem formada pela objetiva de uma câmara fotográfica fica registrada na emulsão fotográfica ou em meio digital (aquisição de imagens). Em seguida, a fotografia ou imagem digital é observada com o propósito de identificar e marcar pontos de interesse, cujas coordenadas fotográficas serão determinadas, ou por um comparador, quando fotografia convencional (filme), ou por um software de processamento de imagens (redução ou extração de fotocoordenadas). As coordenadas fotográficas ou fotocoordenadas serão processadas sob um modelo matemático fundamental (em geral, equações de colinearidade), associado a um modelo de ajustamento, pois a superabundância é recomendada, e a um modelo estocástico, que associa probabilidade às variáveis das equações (processamento). As aplicações em vista são a Orientação Interior, Orientação Relativa, Orientação Absoluta, Modelo Digital de Terreno, Calibração de Câmaras, Fototriangulação, Restituição Analítica Discreta, entre outras.

Em Foto Analítica, é intenso o trabalho com coordenadas de pontos, estejam estes no espaço-imagem ou no espaço-objeto. Serão vistos dois métodos de obtenção de coordenadas-imagem, um puramente analítico e outro com imagens digitais. Será necessário então o domínio do conceito de transformação de coordenadas e mudança de espaço.

As coordenadas são referidas a determinados Sistemas Referenciais (SR). Um dado ponto no terreno (objeto) é orientado em relação a um SR do objeto e sua imagem na foto o é em relação a um SR da imagem (foto). Operações de levantamento topográfico ou geodésico determinam pontos no espaço-objeto ou terreno, enquanto que na foto os pontos são determinados por métodos específicos da Fotogrametria Analítica. Estes métodos produzem as fotocoordenadas e estas são afetadas pelos (d)efeitos do sistema (atmosfera, objetiva da câmara e emulsão), que devem então ser corrigidos.

O estágio tecnológico avançado dos equipamentos fotogramétricos requer investimento financeiro considerável. Entretanto, no plano didático, é possível desenvolver projetos de Fotogrametria Analítica contando apenas com uma câmara fotográfica digital (de amador) e um computador.

Boas fontes para o estudo do conteúdo apresentado são:Andrade, FotogrametriaAndrade&Olivas, Calibração de Câmeras Aerofotogramétricas.Ghosh, Analytical Photogrammetry.Lugnani, Introdução à Fototriangulação.Merchant, Analytical Photogrammetry.

Sistemas Referenciais Usados em Fotogrametria Analítica

Sistema Referencial (SR) é o conjunto de informações que permitem orientar um ponto no espaço. Por espaço, entende-se o ambiente em que ocorre o evento. Orientar um ponto ou corpo no espaço é descrever sua posição (movimentos translacionais) e sua atitude (movimentos rotacionais). Os componentes universais de um SR são a origem, a orientação e a grandeza (dimensão, escala). Em Fotogrametria Analítica, distinguem-se dois grupos de sistemas referenciais: o do espaço-imagem e o do espaço-objeto. Recomenda-se o estudo do apêndice B do livro Introdução à fototriangulação, de J. B. Lugnani, que apresenta os sistemas de coordenadas mais usuais da Fotogrametria. O apêndice A dá a teoria básica de transformação de espaços.

Por espaço-imagem entenda-se o espaço tridimensional compreendido desde o centro perspectivo interno (posterior, emergente) da objetiva do sensor até o plano focal da imagem. O espaço-objeto compreende todo o objeto e o espaço entre o mesmo e a centro perspectivo externo (anterior, incidente). Ambos os centros perspectivos são vértices dos cones formados pelos raios luminosos que incidem na objetiva pelo ponto nodal anterior (espaço-objeto) e emergem pelo ponto nodal posterior (espaço-imagem).

- Sistema Referencial do Comparador (ou de Máquina)

Comparador é um instrumento fotogramétrico dotado de um sistema óptico de ampliação e observação de um diapositivo (o positivo transparente) colocado no porta-placas. Uma marca de referência (MR) é deslocada sobre o diapositivo por meio de manivelas giradas pelo observador. As posições da MR são comparadas a escalas micrométricas situadas ao longo dos eixos ortogonais x e y. Desta comparação surgem as coordenadas da posição da MR em relação ao sistema referencial do instrumento.

mono x estéreo leitura, observação,

medida = 1 um manivelas movimentam

as placas em relação aos eixos mecânicos ou os eixos em relação às placas, tendo a marca de referência como elementos comuns aos dois

Figura 1 - Sistema referencial do comparador

- Sistema Referencial da Fotografia ou da Imagem

Observar que os SR fiduciais são bidimensionais ou planos e que o fotogramétrico é tridimensional.

-- Fiducial

Nas câmaras em que as marcas fiduciais (MF) ocupam as posições intermediárias dos lados do quadro focal, o eixo x da fotografia é representado pelo segmento de reta que une as duas MF opostas que mais se aproximam da direção da linha de vôo. O eixo y, por sua vez, é representado pelo segmento de reta que une as duas MF opostas na direção transversal à linha de vôo. A interseção destes segmentos de reta definem o centro fiducial (CF) formando um ângulo aproximadamente reto; portanto, rigorosamente admite-se não haver ortogonalidade entre os eixos por causa de minúsculas imperfeições no processo de construir e montar a câmara (sensor). Dependendo do nível de precisão a ser atingido em um projeto fotogramétrico, o ângulo no CF pode ser considerado reto.

Figura 2 - Sistema fiducial de coordenadas (MF no ponto médio dos lados)

Na hipótese de o ângulo central não ser ortogonal, portanto devendo-se considerar um pequeno desvio angular () da condição de ortogonalidade, o eixo y é definido como sendo perpendicular ao eixo x no CF. A ortogonalidade é definida matematicamente fazendo-se com que o eixo y (matemático, analítico) forme um ângulo reto com o eixo x (físico, materializado). O SR fiducial pode ser tratado analiticamente fazendo-se com que o ângulo central seja 90°; é um ângulo infinitesimal chamado de parâmetro de não ortogonalidade.

Nas câmaras em que as MF ocupam as posições nos cantos do quadro focal, deve-se orientar a fotografia em relação à situação da linha de vôo. Daí define-se o CF por meio da interseção dos segmentos de reta que unem as fiduciais opostas. O eixo x é a bissetriz do ângulo formado pelas MF 2 e 3 com origem no CF e o eixo y é perpendicular ao eixo x no CF.

Figura 3 - Sistema fiducial de coordenadas (MF no canto do quadro focal)

-- Fotogramétrico

Definido conforme as figuras B1 e B2 das páginas 118 e 119 do livro Introdução à Fototriangulação, de J. B. Lugnani, . A figura 2.1 do Boletim Geodésia n° 26 da UFPR (Calibração de Câmeras Aerofotogramétricas, de J. B. de Andrade & M. A. A. Olivas)

Figura 4 - Sistema fotogramétrico de coordenadas

- Sistema Referencial do Objeto

Conforme a seção B.1.2 (Sistema de Coordenadas do Espaço Objeto) do livro Introdução à Fototriangulação, de J. B. Lugnani.

-- Cartesiano Geodésico (seção B.1.2.3, Lugnani)

Figura 5 - Sistema Cartesiano Geodésico

-- Cartesiano Local (seção B.1.2.4, Lugnani)

Figura 6 - Sistema Cartesiano Local

Transformação de Coordenadas (referenciais planos/2D e espaciais/3D)Quanto à relatividade do movimento (objeto em relação ao SR e vice-versa)

rotação ativa ou passiva – corpo rígido ou deformável recomenda-se ler: Gonçalves, Z. M. Curso de Geometria Analítica (com tratamento vetorial). Rio de Janeiro:

Ed. Científica. 1969. (o cap. 10 aborda a mudança dos eixos; item 3.1.2); Allan, A. L. Maths for Map Makers. Caithness (Scotland): Whittles. 1997. (cap. 7,

matrizes); Masry, S. E. Basics on Instrumental and Analytical Photogrammetry.

Quanto ao Espaço Envolvido- 2D/bidimensional ou plano- 3D/tridimensional ou espacial, propriamente dito,- 4D/tetradimensional ou espacial e temporal

Seja A uma matriz de rotação ativa a ser aplicada sobre um objeto móvel em um SR fixo:(1) p2 = Ap1p1 e p2 são vetores com as coordenadas (posições) do objeto antes e depois do movimento de rotação, respectivamente.

Seja B uma matriz de rotação passiva a ser aplicada sobre um SR móvel e um objeto fixo:(2) p' = Bponde p e p' são vetores com as coordenadas (posições) do objeto antes ("velhas") e depois ("novas") da rotação, respectivamente.

(3) p'1 = Bp1 e (4) p'2 = Bp2

(1) -> (4): (5) p'2 = BAp1

p1 : ponto no "velho" sistema antes do giro no corpop'2: ponto no "novo" sistema, depois do giro no corpo

de (3): (6) p1 = Btp'1

(6) -> (5): p'2 = BABtp'1

p'1 e p'2 são os vetores de coordenadas dos pontos no "novo" sistema, "antes" e "depois" do giro no corpo.

Quanto ao Grau de Movimento ou Deformação do Corpo – Ortogonal (3 ou 6 parâmetros)*– Isogonal (4 ou 7 parâmetros)*– Afim (6 ou 12 parâmetros)*– Projetiva (8 ou 15 parâmetros)** o número de parâmetros varia de acordo com a dimensão do espaço envolvido (plano/2D ou espaço/3D)

Métodos de Determinação de Coordenadas de Pontos-Objeto

Coordenadas Fotográficas ou FotocoordenadasSão coordenadas planas (x,y) referidas a um sistema fotográfico de coordenadas. Podem ser fiduciais ou fotogramétricas. Quando referidas ao SR fotogramétrico, um ponto no diapositivo ou negativo terá sempre um terno de coordenadas {x y -f} ou {x y f}, respectivamente.

A produção de um par de coordenadas fotogramétricas ou fotocoordenadas dá-se na seqüência: coordenadas de comparador (máquina) para fiducial (analógico ou analítico) e deste para o fotogramétrico. Adicionando-se a coordenada z (+/- f), chega-se ao terno de coordenadas. A obtenção de fotocoordenadas é feita com o método do comparador (para diapositivos) e por transformação de coordenadas linha-coluna (pixel), quando tratar-se de imagem digital.

- Método do comparador

Figura 7 - Sistema fotogramétrico de coordenadas

CoordenadasFiduciais calibradas Observadas (medidas)

Marcas Fiduciaispontos-imagem

x y x´ y´

1 x1 y1 x´1 y´12 x2 y2 x´2 y´23 x3 y3 x´3 y´34 x4 y4 x´4 y´4

11 ? ? x´11 y´´1112 ? ? x´12 y´12

TIP (não-linear)

x´ = ( x cos + y sen ) + x (1)y´ = ( -x sen + y cos ) + y

Se = 1 e = 0 => TOP, 3 parâmetros incógnitos (, x, y).Se 1 e = 0 => TIP, 4 parâmetros incógnitos (, , x, y).Se x y e 0 => TAP, 6 parâmetros incógnitos (aij).

TIP (Helmert, quase-isogonal, linear): a = cos b = - sen (2)

x´ = a x + b y + x (3)

y´ = -b x + a y + y

para ser rigorosamente isogonal, a condição a2 + b2 = 2, não-linear, deve ser observada (obedecida), e daí recai-se na TIP não-linear (1).

TAP (Transf. Afim Plana, linear)x´ = a11x + a12y + a13 (4)y´ = a21x + a22y + a23

TPP (Transf. Projetiva Plana, não-linear)x´ = (a1x+a2y+a3) / (a7x+a8y+1) (5)y´= (a4x+a5y+a6) / (a7x+a8y+1)

Situações de transformação para uma foto com 4 marcas fiduciais:Transformação n° equações n° parâmetros g. l.

TOP 8 3 5TIP 8 4 4TAP 8 6 2TPP 8 8 0

Usando a TIP linear:

(6)

x´ = X a XTx´ = XTX a a = (XTX)-1.(XTx´) (7)

Aplicando-se a transformação inversa para transformar as coordenadas do ponto observado no sistema do comparador para o sistema fiducial (fotográfico):

linear x = (1/D) [ a (x´- x) - b (y´- y)] (8)y = (1/D) [ b (x´- x) + a (y´- y)]D = determinante da matriz de rotação

não-linear x = (1/) [ cos (x´ - x) - sen (y´- y)] (9)y = (1/) [ sen (x´ - x) + sen (y´ - y)]

- Coordenadas fotográficas de imagem digital

NL = n° da linha NC = n° da colunaNTL = n° total de linhas NTC = n° total de colunasTL = tamanho da linha (mm) TC = tamanho da coluna (mm)

x´= NL TL (mm) (10)y´= NC TC (mm)

x” = x´ - [(NTL-1)/2] TL = [NL-(NTL-1)/2] TL (11)y” = y´ - [(NTC-1)/2] TC = [NC-(NTC-1)/2] TC

x”’ = y” (coordenadas fotográficas) (12)y”’ = -x”

Exercício de verificação: calcular as coordenadas fotográficas do pixel (200, 500). Dados: NTL=480, NTC=640, TL=20m,TC=30m.Transformações deduzidas para um n° par de linhas e colunas. Verificar para um n° ímpar.

- Sistema de coordenadas fotogramétricas (3D)

f, xo, yo : calibração básica (lab. ou analítica)x = xf - xoy= yf - yoz = -f

Figura 7 - Sistema fotogramétrico e fiducial de coordenadas

Transformação Não Linear DiretaJoão Fernando C. da Silva

Departamento de Cartografia

O objetivo é resolver o problema sem necessidade de entrar com os valores aproximados para as transformações. Reparametrizando as equações (agrupamento de parâmetros), deve-se chegar à solução.

transformação projetiva (2D p/ 2D)

x = ( a11 X + a12 Y + a13 ) / ( a31 X + a32 Y + 1 )y = ( a21 X + a22 Y + a23 ) / ( a31 X + a32 Y + 1 ) [ 1 ]

reescrevendo as equações [ 1 ]

x ( a31 X + a32 Y + 1 ) – ( a11 X + a12 Y + a13 ) = 0y ( a31 X + a32 Y + 1 ) – ( a21 X + a22 Y + a13 ) = 0 [ 2 ]

reescrevendo [ 2 ] colocando X Y Z em evidência

x = (a11 – x a31 ) X + (a12 – x a32) Y + a13y = (a21 – y a31 ) X + (a22 – y a32) Y + a23 [ 3 ]

agrupando e renomeando os coeficientes

b11 = a11 – x a31 ; b12 = a12 – x a32 ; b13 = a13b21 = a21 – y a31 ; b22 = a22 – y a32 ; b23 = a23 [ 4 ]

reescrevendo [ 3 ] com auxílio das [ 4 ]

x = b11 X + b12 Y + b13y = b21 X + b22 Y + b23 [ 5 ]

[ x ] = [ X Y 1 0 0 0 ] [ b11 b12 b13 b21 b22 b23 ] T

[ y ] = [ 0 0 0 X Y 1 ] [ 6 ]

Para a solução da transformação projetiva ( oito parâmetros ) são necessárias oito equações no mínimo. Em Fotogrametria, quatro pontos de apoio observados em uma fotografia geram oito equações com redundância zero. Tomando-se por base as eqs. [ 6 ], constroe-se um sistema linear de 8 eqs a 6 incógnitas com 2 graus de liberdade. O vetor de observações [ x y ]T tem dimensão 8. A matriz (B) dos coeficientes b’s tem dimensões 8 x 6 e o vetor dos coeficientes incógnitos ou parâmetros [ b11 ... b23 ]T tem dimensão 6. Usando a notação matricial, chega-se à seguinte expressão:

[ x ] = B [ b ] [ 7 ]

Cuja solução é:

BT [ x ] = BTB [ b ] [ 8 ]

[ b ] = ( BTB )-1.(BT [ x ]) [ 9 ]

Os seis coeficientes b’s ajustados pela [ 9 ] são introduzidos nas [ 4 ] para resolver os oito a’s. Os coeficientes b13 e b23 são as soluções para a13 e a23, respectivamente. Um novo sistema de equações é obtido:

b11 = a11 – x a31 (1)b12 = a12 – x a32 (2)b21 = a21 – y a31 (3)b22 = a22 – y a32 (4) [ 10 ]

de [10.1]: a31 = (a11-b11)/xde [10.3]: a31 = (a21-b21)/y [ 11 ]

igualando ambas, obtém-se: (a11-b11)y – (a21-b21)x = 0similarmente, obtêm-se: (a12-b12)y – (a22-b22)x = 0 [ 12 ]

ISTO É VÁLIDO? HÁ COMBINAÇÃO LINEAR? ? ? Há combinação linear no sistema de 6 eqs a 6 incóg., considerando-se as [10] e [12] ?

--- x ---

relação projetiva (3D p/ 2D)

x = ( a11 X + a12 Y + a13 Z + a14 ) / ( a31 X + a32 Y + a33 Z + 1 )y = ( a21 X + a22 Y + a23 Z + a24 ) / ( a31 X + a32 Y + a33 Z + 1 ) [ 13 ]

reescrevendo as equações [ 13 ]

x ( a31 X + a32 Y + a33 Z + 1 ) – ( a11 X + a12 Y + a13 Z + a14 ) = 0y ( a31 X + a32 Y + a33 Z + 1 ) – ( a21 X + a22 Y + a23 Z + a24 ) = 0 [ 14 ]

reescrevendo [ 14 ] colocando X Y Z em evidência

x = (a11 – x a31 ) X + (a12 – x a32) Y + (a13 – x a33) Z + a14y = (a21 – y a31 ) X + (a22 – y a32) Y + (a23 – y a33) Z + a24 [ 15 ]

agrupando e renomeando os coeficientes

b11 = a11 – x a31 ; b12 = a12 – x a32 ; b13 = a13 – x a33 ; b14 = a14b21 = a21 – y a31 ; b22 = a22 – y a32 ; b23 = a23 – y a33 ; b24 = a24 [ 16 ]

reescrevendo [ 15 ] com auxílio das [ 16 ]

x = b11 X + b12 Y + b13 Z + b14y = b21 X + b22 Y + b23 Z + b24 [ 17 ]

reescrevendo [ 17 ] na forma matricial

[ x ] = [ X Y Z 1 0 0 0 0 ] [ b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 ] T

[ y ] = [ 0 0 0 0 X Y Z 1 ] [ 18 ]

Para a solução da TLD ( onze parâmetros ) são necessárias onze equações no mínimo. Em Fotogrametria, seis pontos de apoio geram doze equações com apenas um grau de liberdade. Tomando-se por base as eqs. [ 17 ], constroe-se um sistema linear de 12 eqs a 8 incógnitas com 4 graus de liberdade. O vetor de observações [ x y ]T tem dimensão 12. A matriz (B) dos coeficientes b’s tem dimensões 12 x 8 e o vetor dos coeficientes incógnitos ou parâmetros [ b11 ... b24 ]T tem dimensão 8. Usando a notação matricial, como anteriormente, chega-se à seguinte expressão:

[ b ] = ( BTB )-1.(BT [ x ]) [ 19 ]

Os oito coeficientes b’s ajustados pela [ 19 ] são introduzidos nas [ 16 ] para resolver os onze a’s. Os coeficientes b14 e b24 são as soluções para a14 e a24, respectivamente. Um novo sistema de equações é obtido:

b11 = a11 – x a31 (1)b12 = a12 – x a32 (2)b13 = a13 – x a33 (3)b21 = a21 – y a31 (4)b22 = a22 – y a32 (5)b23 = a23 – y a33 (6) [ 20 ]

de [20.1]: a31 = (a11-b11)/xde [20.4]: a31 = (a21-b21)/y [ 21 ]

igualando ambas, obtém-se: (a11-b11)y – (a21-b21)x = 0similarmente, obtêm-se: (a12-b12)y – (a22-b22)x = 0 (a13-b13)y – (a23-b23)x = 0 [ 22 ]

Há combinação linear no sistema de 9 eqs a 9 incóg., considerando-se as [20] e [22] ?

Transformação Não Linear Diretaretomando as [ 3 ]

x = (a11 – x a31 ) X + (a12 – x a32) Y + (a13 – x a33) Z + a14y = (a21 – y a31 ) X + (a22 – y a32) Y + (a23 – y a33) Z + a24 [ 23 ]

e considerando todos os pontos de terreno, as coordenadas X Y Z são variáveis e portanto o modelo matemático é não linear porque os coeficientes interagem com as coordenadas.

agrupando e renomeando os coeficientes

b11 = a11 – x a31 ; b12 = a12 – x a32 ; b13 = a13 – x a33 ; b14 = a14b21 = a21 – y a31 ; b22 = a22 – y a32 ; b23 = a23 – y a33 ; b24 = a24 [ 24 ]

reescrevendo [ 3 ] com auxílio das [ 4 ]

x = b11 X + b12 Y + b13 Z + b14y = b21 X + b22 Y + b23 Z + b24 [ 5 ]

reescrevendo [ 5 ] na forma matricial

[ x ] = [ X Y Z 1 0 0 0 0 ] [ b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 ] T

[ y ] = [ 0 0 0 0 X Y Z 1 ] [ 6 ]

Para a solução da TLD ( onze parâmetros ) são necessárias onze equações no mínimo. Em Fotogrametria, seis pontos de apoio geram doze equações com apenas um grau de liberdade. Tomando-se por base as eqs. [ 6 ], constroe-se um sistema linear de 12 eqs a 8 incógnitas com 4 graus de liberdade. O vetor de observações [ x y ]T tem dimensão 12. A matriz (B) dos coeficientes b’s tem dimensões 12 x 8 e o vetor dos coeficientes incógnitos ou parâmetros [ b11 ... b24 ]T tem dimensão 8. Usando a notação matricial, chega-se à seguinte expressão:

[ x ] = B [ b ] [ 7 ]

Cuja solução é:

BT [ x ] = BTB [ b ] [ 8 ]

[ b ] = ( BTB )-1.(BT [ x ]) [ 9 ]

Os oito coeficientes b’s ajustados pela [ 9 ] são introduzidos nas [ 4 ] para resolver os onze a’s. Os coeficientes b14 e b24 são as soluções para a14 e a24, respectivamente. Um novo sistema de equações é obtido:

b11 = a11 – x a31 (1)b12 = a12 – x a32 (2)b13 = a13 – x a33 (3)b21 = a21 – y a31 (4)b22 = a22 – y a32 (5)b23 = a23 – y a33 (6) [ 10 ]

de [10.1]: a31 = (a11-b11)/xde [10.4]: a31 = (a21-b21)/y [ 11 ]

igualando ambas, obtém-se: (a11-b11)y – (a21-b21)x = 0similarmente, obtêm-se: (a12-b12)y – (a22-b22)x = 0 (a13-b13)y – (a23-b23)x = 0 [ 12 ]

Há combinação linear no sistema de 9 eqs a 9 incóg., considerando-se as [10] e [12] ?

VERIFICAR O TRABALHO DO LEONARDO.

Equações de colinearidade (modelo matemático fundamental da Fotogrametria Analítica)Estas equações constituem o modelo matemático fundamental da Fotogrametria Analítica. Elas impõem a condição de que três pontos (objeto, imagem e centro perspectivo) devem pertencer a uma reta. Em outras palavras, descrevem matematicamente o relacionamento entre as coordenadas do ponto-objeto (X Y Z), do centro perspectivo (Xc Yc Zc) e do ponto-imagem (x y -f), levando em consideração a matriz de rotação ( ), sob a condição de pertenceram a uma mesma reta. No plural porque formam sempre um par de equações, uma para a fotocoordenada x e outra para y.

(13)

ERROS SISTEMÁTICOS (nas fotocoordenadas)Em todo processo de observação e medição, admite-se a presença de erros. A Teoria dos Erros os classifica em aleatórios, sistemáticos e grosseiros.

Os erros aleatórios (acidentais ou randômicos) são uma propriedade intrínseca das observações em que se verifica a não repetibilidade de um mesmo valor, concentrando-se a dispersão em torno de um valor central, à medida que se repetem as observações. Modernamente, diz-se que as observações têm uma propriedade chamada de “flutuação probabilística”. Propriamente, não há “erro” quando um observador ou instrumento faz duas ou mais observações (leituras, medidas, avaliações, etc) da mesma grandeza física e casualmente encontra dois ou mais valores distintos, sob as mesmas condições experimentais. Devem ser minimizados (Método dos Mínimos Quadrados).

Os erros grosseiros são considerados como absurdos comportamentais do observador ou do instrumento; dito de outra maneira, são observações que não devem pertencer à amostra. Devem ser eliminados. Elimina-se um erro grosseiro, eliminando-se ou repetindo-se a observação. Na prática, a dificuldade é identificar a observação que contém o erro grosseiro ou que não pertença a amostra.

Os erros sistemáticos são imperfeições próprias dos sistemas ou de seus componentes, que causam efeitos nas fotocoordenadas, deslocando-as da posição ideal. De outro modo, são também considerados imperfeições do modelo matemático, porque o modelo matemático não descreve correta ou completamente o fenômeno físico. Se os (d)efeitos forem conhecidos a priori, devem ser corrigidos ou compensados. Se desconhecidos, devem ser calculados ou modelados em um procedimento de calibração.

Os erros sistemáticos considerados na Fotogrametria Analítica são a curvatura da Terra, a deformação do filme, o deslocamento do ponto principal, a distorção óptica e a refração fotogramétrica.

3.6.1 - O problema da curvatura da Terra é superado quando se utiliza um SR cartesiano geodésico ou local, que é o mais indicado para a Fotogrametria Analítica. Entretanto, em algumas situações práticas, é comum usar-se um sistema geodésico não-cartesiano, ainda que tridimensional, e aí sim é necessário fazer-se a correção do aparente desvio causado pela curvatura da Terra (Ghosh, Analytical Photogrammetry, p. 127).

3.6.2 - A deformação do filme já não representa um grande problema, pois o material-base da emulsão fotográfica hoje em dia apresenta baixo coeficiente de dilatação. Ainda assim, se o projeto requerer alto grau de precisão métrica, lança-se mão de modelos matemáticos polinomiais, de transformação projetiva ou afim. O ideal para isto seria a obtenção e imagens com "réseau" (uma rede de marcas fiduciais por todo o plano da fotografia), entretanto o mais comum é o emprego de câmaras aéreas com quatro marcas fiduciais, limitando a modelagem da deformação do filme à transformação afim (estudar em Ghosh e em Merchant).

3.6.3 - O deslocamento do ponto principal é causado pela não coincidência do traço do eixo ótico (do sistema de lentes da câmara) com o centro fiducial no plano da fotografia. O traço do eixo ótico no plano da fotografia define o ponto principal e este idealmente deveria coincidir com o centro fiducial, dado pela interseção dos segmentos de reta que unem as marcas fiduciais opostas (ver Ghosh, ver Merchant e também Andrade & Olivas).

3.6.4 - A distorção ótica ocorre sempre que o raio luminoso atravessa o sistema de lentes. Há dois tipos de distorção: a radial simétrica e a descentrada. A distorção radial simétrica é causada por imperfeições no polimento das superfícies das lentes acarretando um desvio na

trajetória do raio na direção radial (positivo para fora e negativo para dentro). É simétrica por hipótese em torno do ponto principal (circunferências concêntricas no ponto principal). A distorção descentrada é causada pelas imperfeições na centragem das lentes que formam a objetiva, acarretando a distorção radial assimétrica e a distorção tangencial (ver Ghosh, ver Merchant e também Andrade & Olivas).

3.6.5 - A refração fotogramétrica é causada pela refração atmosférica, que modifica a trajetória do raio luminoso, desde o ponto-objeto até o centro perspectivo anterior, por causa da diminuição do índice de refração. É mensurável mediante o ângulo formado pelo arco da trajetória real do raio luminoso e a tangente ao arco no centro perspectivo. Tem efeito similar ao da distorção radial. Ver Ghosh, ver Merchant e Andrade (Refração Fotogramétrica, Boletim Geodésia n° 24).

PARTE IV

O CONCEITO DE ORIENTAÇÃOA Orientação das Fotografias e a Formação do Modelo Fotogramétrico Analítico

- INTRODUÇÃO: O problema da orientação da câmara e, por extensão, da fotografia.

Em sentido cartográfico, o conceito de orientação implica na busca de um alinhamento de uma imagem (o mapa ou uma foto, por exemplo) com o correspondente objeto representado. O alinhamento compreende operações físicas ou matemáticas que situam a imagem paralelamente ao objeto e em uma dada posição tal que haja correspondência geométrica entre as entidades simbólicas (da imagem) e as reais (do objeto).

Particularmente, na Fotogrametria, a orientação da câmara compreende a orientação interior e a exterior. A Orientação Interior (OI) refere-se à reprodução do feixe de raios que forma a imagem fotográfica no interior da câmara. Este espaço compreendido desde o centro perspectivo (CP), inclusive, até o plano da imagem ou do negativo, é chamado de espaço imagem. Basicamente, são necessários três parâmetros: a distância focal "f" e o par de coordenadas do ponto principal em relação ao sistema fiducial (x0, y0). A OI pode ser complementada com a adição dos parâmetros das distorções das lentes (radial simétrica e descentrada).

A Orientação Exterior (OE) refere-se à situação externa do feixe de raios, isto é, todo o espaço objeto, que compreende o CP, o meio e o objeto propriamente dito. A OE subdivide-se em Orientação Relativa (OR) e Orientação Absoluta (OA). OR refere-se à orientação de uma foto em relação à outra com a qual forma um par estereoscópico. OA refere-se à orientação (a) de uma foto em relação ao objeto (resseção espacial) ou (b) à orientação de um modelo tridimensional (analítico) ou estereoscópico (analógico) em relação ao espaço objeto.

Um par de fotos tem 12 graus de liberdade: 6 de uma foto e 6 da outra (os seis graus de liberdade são as três translações do CP e as três rotações possíveis para cada foto). A princípio, esses 12 movimentos são incógnitos. Portanto, para ser possível a construção de um modelo estereoscópico (superfície formada pela projeção estereoscópica) ou tridimensional (superfície descrita analiticamente por meio de coordenadas), é preciso resolver (encontrar valores para) as incógnitas. Isto pode ser feito simultaneamente ou em partes.

Se feito em partes, à moda clássica ou tradicional, primeiro faz-se a OI (de ambas as fotos separadamente), depois a OR (uma foto em relação à outra, formando o modelo estereoscópico) e finalmente a OA (que orienta o modelo estereoscópico em relação ao objeto, em geral, o terreno). A OR resolve 5 dos 12 parâmetros (incógnitas) e a OA resolve os 7 restantes.

Basicamente, há dois métodos de orientação. O método analógico e o analítico. O analógico baseia-se no uso de instrumentos restituidores estereoscópicos analógicos (IREA), assim chamados porque são instrumentos fotogramétricos construídos para restituir por analogia, ou seja, o modelo estereoscópico (ME) neles formado é, por hipótese, análogo, semelhante, similar ao objeto (terreno), garantindo assim uma reprodução o mais fiel possível do terreno ou objeto. O método analógico dispensa o cálculo e todo o processamento é óptico ou mecânico ou óptico-mecânico no instrumento restituidor.

(Atualmente, empresas européias como Kern e Wild, antigas fabricantes de restituidores, fundiram-se formando a Leica; esta, por sua vez, associou-se à Helava, americana, sob o

nome LH Systems, dedicando-se à tecnologia fotogramétrica digital, de modo que os restituidores analógicos não são mais fabricados).

O método analítico baseia-se em transformações ou em relações geométricas entre os espaços imagem e objeto, cujos modelos matemáticos associam coordenadas dos espaços imagem e objeto, parâmetros e constantes. Os valores dos parâmetros da OR e da OA são obtidos por meio da solução de sistemas de equações normais, advindas dos métodos de ajustamento de observações. O método analítico é um dos esteios da Fotogrametria Digital, atualmente em franco desenvolvimento.

OI --- A OI analógica é feita pela introdução da distância focal "f" no projetor do IREA e fazendo-se coincidir as marcas fiduciais do diapositivo com as marcas fiduciais do porta-placas do IREA. No método analítico, a OI é realizada por meio de transformações geométricas planas das coordenadas do sistema do comparador para o sistema fiducial e deste para o sistema fotogramétrico (o,f,x0,y0).

OR --- A OR analógica, realizada no restituidor (IREA), pode ser dependente (rotações e translações de um projetor, mantendo-se o outro fixo) ou independente (apenas rotações de ambos os projetores, esquerdo e direito, mantendo-se seus centros de projeção fixos). A OR analítica resolve (ajusta) os cinco parâmetros incógnitos com base na condição de colinearidade (o centro perspectivo, o ponto-imagem e o ponto-objeto pertencem a uma mesma reta no espaço) ou na condição de coplanaridade (o vetor da base e os vetores dos pontos-imagem pertencem a um mesmo plano).

OA --- A OA analógica conclui a orientação no restituidor, pondo o ME, obtido na OR, em escala e nivelando-o em relação ao objeto. Para dar escala ao ME, pelo menos dois pontos planimétricos conhecidos no objeto (terreno) e os mesmos dois pontos homólogos medidos no ME, portanto, observados no restituidor. Uma distância no ME (imagem) corresponde a uma dada distância no terreno (objeto), de acordo com o fator ou módulo da escala. Para nivelar o ME, são necessários pelo menos três pontos no terreno com coordenadas planimétricas e altimétricas conhecidas. Os correspondentes três pontos no ME devem ser observados, materializando um plano que deve ser paralelo ao plano formado pelos respectivos três pontos no terreno. A OA analítica do ME transforma as coordenadas do ME (oxyz) em coordenadas do espaço objeto (OXYZ), e vice-versa, por meio da transformação isogonal no espaço. Lembrando, a TIE relaciona os dois espaços por meio de sete parâmetros (escala, três rotações e três translações), concluindo portanto os 12 parâmetros incógnitos mencionados anteriormente. Usando-se os dois pontos planimétricos, para dar escala, e os três altimétricos, para nivelar o ME, chega-se a um sistema de sete equações (quatro equações dadas pelas coordenadas planimétricas e mais três equações dadas pelas coordenadas altimétricas) a sete incógnitas (1 escala, 3 rotações e 3 translações). Na prática, recomenda-se usar mais pontos do que o mínimo exigível para permitir o ajustamento de observações e a avaliação ou controle de qualidade da observações.

O problema da orientação da câmara ou da fotografia está bem resolvido do ponto de vista teórico. Entretanto, continua-se a busca de soluções práticas e tecnológicas para aperfeiçoar a orientação da câmara. Inicialmente, os pontos de apoio foram essenciais para possibilitar a orientação absoluta. Atualmente, combinando-se a tecnologia do GPS (Global Positioning System) com os sistemas de inércia (INS, Inertial Navigation System), é possível obter um fotografia aérea com os parâmetros da OE já determinados, eliminando-se assim, pelo menos teoricamente, a necessidade da aerotriangulação. Contudo, na prática, os elementos de OE de uma fotografia determinados diretamente (GPS + INS) participam como excelentes valores aproximados em uma fototriangulação.

- ORIENTAÇÃO DO SENSOR ( Teoria da Orientação Analítica do Sensor )Resseção Fotogramétrica: orientação (indireta) absoluta de uma foto

Qualquer processo fotogramétrico depende da orientação do sensor (OS). Em outras palavras, para fazer valer a definição de Fotogrametria (conhecer o objeto a partir de observações nos fotogramas), é fundamental conhecer a OS. A OS compreende a orientação interior (OI) e a exterior (OE). Quando mais de uma fotografia é envolvida em projeto fotogramétrico (o que na verdade é representa a quase totalidade dos casos), a OE subdivide-se em orientação relativa (OR) e absoluta (OA). Quando o projeto requer apenas uma fotografia, a OE coincide com a resseção fotogramétrica (RF).

Tabela esquematizando a seqüência de operações para a OS, dado um par de fotos:

OperaçãoCoordenadas SR1

Relação Matemática

Coordenadas SR2

Tipos de Pontos Usados na Relação Matemática

OI xc yc T2D(TIP ou TAP)

xf yf marcas fiduciais (m.f.)

xf yf translação + coordenada z

x' = xf - x0y' = yf - y0z' = -f

todos os pontos (m.f., Gruber, apoio e a determinar)

OR { x' y' -f }{ x" y" -f }

Equações de Colinearidadex = -f Nx / Dy = -f Ny / D

{ xm ym zm } do Modelo Tridimensional( M3D )

pontos de Gruber

OA { xm ym zm } TIE { X Y Z } SREO pontos de apoio

OE de uma foto ( ou do sensor no momento da tomada da foto )Resseção Fotogramétrica

Orientação Interior

Obter coordenadas das marcas fiduciais (MF) no SR do comparador (xc yc). Relacionar estas coordenadas (xc yc) com as coordenadas dos mesmos pontos no SR Fiducial (xf yf), por meio de um modelo matemático de transformação bi-dimensional (T2D), isogonal (4 parâmetros) ou afim geral (6 parâmetros).

Em seguida, as coordenadas dos pontos no SR Fiducial (xf, yf) devem ser transladadas e acrescidas de uma terceira coordenada z = +/- f (+ para negativo, - para diapositivo), transformando-se em coordenadas fotogramétricas { x y +-/f }.

Orientação Exterior/Resseção Fotogramétrica

As fotocoordenadas { x y +/- f } dos pontos na imagem (foto) são relacionadas às coordenadas dos pontos homólogos no SREO { X Y Z }, por meio das equações de colinearidade.

Seqüência de orientações de um par de fotos

1 - Ter à mão as coordenadas das MF calibradas. Marcar e medir os pontos no par de diapositivos (MF, Gruber, apoio e pontos a determinar). { xc yc } // { xf yf }

2 - Executar a OI da foto esquerda (1) e da foto direita (2).Modelo matemático: TIP ou TAP. { xf yf } { x y -f }

3 - Executar a OR da foto 2 em relação à foto 1.Modelo matemático: equações de colinearidade.

{ x' y' -f } e { x" y" -f } M3D = { xm ym zm }

4 - Executar a OA do M3D em relação ao SREO.Modelo matemático: TIE. { xm ym zm } { X Y Z }

DETERMINAÇÃO DA INTERSEÇÃO FOTOGRAMÉTRICA A PARTIR DA RELAÇÃO DA

ESCALA

A interseção fotogramétrica a partir da escala consiste em determinar a posição espacial

de qualquer ponto em uma área de sobreposição, considerando as fotocoordenadas de um ponto

imagem observada em um par de fotografias, uma vez que os parâmetros de orientação interior e

exterior sejam conhecidos para este par (SILVA, 2001).

Definindo-se XC' , Y C

' , ZC' , ω' , ϕ ' e k '

os parâmetros da orientação exterior da fotografia da

esquerda e X ' C'' , Y C

'' , ZC'' ,ω'' , ϕ '' e k ''

os parâmetros da orientação exterior da fotografia da direita.

Escrevendo X A , Y A e Z A as coordenadas a determinar do ponto A no espaço objeto. Deste modo,

o raio de luz que atravessa o centro perspectivo da fotografia da esquerda é expresso pelas

equações de colinearidade.

Portanto, a determinação do terno de coordenadas (X, Y, Z) no espaço objeto, utilizando

os parâmetros de orientação exterior da imagem esquerda, é obtido a partir da seguinte expressão:

[XYZ ]=λ ' RT' [( x '−x0' )

( y '− y0' )

−f c' ]+[Xc'

Yc '

Zc' ]Analogamente o mesmo terno de coordenadas pode ser calculado da seguinte forma

utilizando a imagem da direita.

[XYZ ]=λ '' RT ''[( x ''−x0'' )

( y ''− y0'' )

−f c'' ]+[Xc''

Yc''

Zc'' ]As matrizes de rotação RT'

e RT ''são obtidas substituindo as rotações das fotografias

esquerda e direita respectivamente na matriz abaixo:

R=[cos (ϕ )cos(κ ) cos (ω )sen (κ )+sen (ω )sen (ϕ )cos (κ ) sen (ω )sen (κ )−cos (ω )sen( ϕ )cos(κ )−cos (ϕ )sen (κ ) cos (ω )cos (κ )−sen (ω)sen (ϕ )sen (κ ) sen (ω )cos(κ )+cos(ω )sen (ϕ )sen (κ )sen (ϕ ) −sen(ω)cos (ϕ ) cos (ω )cos (ϕ ) ]

(14)

(15)

(16)

Efetuando o produto das matrizes de rotação com o vetor das observações presentes nas

equações (14) e (15), obtém-se:

u'=r11' ( x '−x0

' )+r21' ( y '− y0

' )+r31' (−f c

' )v'=r12

' ( x'−x0' )+r22

' ( y '− y0' )+r32

' (− f c' )

w '=r13' ( x '−x0

' )+r23' ( y '− y 0

' )+r 33' (− f c

' )

u''=r11'' ( x ''−x0

'' )+r21'' ( y ''− y0

'' )+r 31'' (−f c

'' )v ''=r12

'' ( x ''−x0'' )+r22

'' ( y ''− y0'' )+r32

'' (−f c'' )

w ''=r13'' ( x ''−x0

'' )+r23'' ( y ''− y0

'' )+r33'' (−f c

'' )

Onde:

λ ': é o fator de escala na imagem do ponto A na fotografia da esquerda;

λ ': é o fator de escala na imagem do ponto A na fotografia da direita;

x ' e y ': são as fotocoordenadas do ponto imagem na fotografia esquerda;

x '' e y '': são as fotocoordenadas do ponto imagem na fotografia direita;

x0' e y0

': são as coordenadas do ponto principal da imagem esquerda;

x0'' e y0

'': são as coordenadas do ponto principal da imagem direita;

rij'

: são as funções de ω' , ϕ' e κ'

: da matriz de rotação para a fotografia esquerda;

rij''

: são as funções de ω'' , ϕ'' e κ''

: da matriz de rotação para a fotografia direita;

As variáveis de interesse para esse caso são então: λ' e λ

''. Igualando (14) e (15),

obtém-se:

λ ' u'+Xc'= λ'' u''+Xc ''

λ ' v '+Yc'= λ'' v ''+Yc ''

λ ' w'+Zc '= λ'' w''+Zc ''

Reescrevendo as equações (19) em função dos componentes da base (coordenadas dos

CP's das câmaras nas duas posições) obtém-se:

(19)

(17)

(18)

Bx=Xc ''−Xc'=λ' u'− λ'' u''

By=Yc ''−Yc '=λ ' v '−λ '' v ''

Bf=Zc ''−Zc'=λ' w ''−λ '' w''

A partir destas equações tem-se um sistema linear de três equações a 2 incógnitas (2

fatores de escala), que pode ser resolvido utilizando o método paramétrico de ajustamento, escrito

na forma matricial por:

X=−( AT PA )−1AT PL

Portanto a matriz A é obtida por:

A=[ u' −u''

v ' −v ''

w ' −w '' ]O vetor L é obtido por:

L=[Bx

B y

B z]

O cálculo da escala é realizado por:

2 X1=( 2 A3T

3 A2 )−1( 2 A3

T3 L1 )

X=[ λ '

λ'']As coordenadas do ponto no espaço objeto são obtidas fazendo:

[X A

Y A

Z A]= λ' [ u'

v '

w ' ]+[X CP'

Y CP'

ZCP' ]

(20)

(21)

(23)

(24)

(25)

(26)

(22)

Ou ainda, utilizando λ'':

[X A

Y A

Z A]= λ''[ u''

v ''

w '']+[XCP''

Y CP''

ZCP'' ]

4.3 MÉTODO DE AGRUPAMENTO DE PARÂMETROS

A determinação da interseção utilizando este método é feita a partir de manipulações

algébricas no modelo de colinearidade, evitando a necessidade de implementação de métodos de

ajustamento mais completos, possibilitando a estimação das coordenadas tridimensionais de

pontos no terreno pelo método pseudo linear e sem interações (SILVA, 2001).

Manipulando as equações de colinearidade, pode-se escrever respectivamente:

x=−f c⋅r11 X+r12 Y+r13 Z−(r 11 XCP+r12Y CP+r13 ZCP )r31 X+r32Y +r33 Z−(r 31 XCP+r32 Y CP+r33 ZCP)

y=−f c⋅r21 X+r 22Y +r23 Z−(r21 XCP+r22Y CP+r23 ZCP )r31 X+r32Y +r33 Z−(r31 XCP+r32Y CP+r33 ZCP )

Onde, fazendo:

I=(r 11 XCP+r12Y CP+r13 ZCP ) ,J=(r21 XCP+r22Y CP+r23 ZCP ) eK= (r31 XCP+r32Y CP+r33 ZCP ) ,

obtemos:

(28)

(27)

(29)

x=−f c⋅r11 X+r12Y +r13 Z−Ir31 X+r32Y +r33 Z−K

y=−f c⋅r21 X+r 22Y +r23 Z−Jr31 X+r 32Y +r33 Z−K

Multiplicando ambos os lados da equação pelos seus denominadores, as equações

acima ficam:

x (r31 X+r32Y +r33 Z−K )=−f c (r11 X+r12Y +r13 Z−I )y (r31 X+r32Y +r33 Z−K )=−f c (r21 X+r22Y +r 23 Z−J )

De (20) e (21), tem-se:

x (r31 X+r32Y +r33 Z )+ f c (r11 X+r12Y +r13 Z )=xK+ f c I

y (r31 X+r32Y +r33 Z )+f c (r21 X+r22Y +r 23 Z )= yK+ f c J

Por fim, agrupando os termos semelhantes, resulta:

(xr 31+ f cr 11) X+(xr 32+ f c r12 )Y +( xr33+ f c r13 )Z=xK+f c I

( yr 31+ f c r21)X+( yr32+ f c r22)Y +( yr 33+ f c r23)Z= yK+f c J

Arbitrando no arranjo acima do modelo de colinearidade, (X ,Y e Z ) como as

incógnitas e, para a câmara da esquerda, (XC' ,Y C

' , ZC' , ω' , ϕ ' e k ' ) como constantes e

x ' K '+ f c' I ' e y ' K '+ f c

' J ' como pseudo-observações para a câmara da direita,

(XC'' ,Y C

'' , ZC'' , ω'' , ϕ '' e k '' )como constantes e x

'' K ''+ f c'' I '' e y '' K ''+f c

'' J '' como pseudo-observações,

pelo método paramétrico, obtemos um sistema linear de quatro equações a três incógnitas para

cada ponto objeto.

Escrevendo a matriz peso igual a matriz identidade P = I; e

(30)

(31)

(32)

(33)

A=[ x ' r31' + f c

' r11' x ' r32

' + f c' r 12

' x ' r33' + f c

' r13'

y' r31' + f c

' r 21' y ' r32

' + f c' r22

' y ' r33' + f c

' r23'

x ''r31'' + f c

'' r 11'' x '' r32

'' + f c'' r12

'' x '' r33'' + f c

'' r13''

y '' r31'' + f c

'' r21'' y ''r 32

'' + f c'' r22

'' y '' r33'' + f c

'' r 23'' ]

e o vetor L = -Lb:

Lb=[ x ' K '+f c' I '

y ' K '+f c' J '

x '' K ''+ f c'' I ''

y '' K ''+ f c'' J '']

O vetor dos parâmetros ajustados é calculado a partir de:

3 X1=−(3 A4T

4 A3)−1 (3 A4

T4 L1)

4.4 MÉTODO RIGOROSO DE AJUSTAMENTO DO MODELO DE COLINEARIDADE

A determinação da interseção fotogramétrica inicia-se na necessidade da linearização

das equações de colinearidade, utilizando a série de Taylor. A figura 24 ilustra a condição de uma

estação de exposição.

(34)

(35)

(36)

x' aa

y'ay'

z'

x'

X A - XL

Y A

ZA -

ZLZL

ZA

Y A - Y L

Y L

X L

X A

ZL

X

Z

Y

FIGURA 24 – GEOMETRIA DA CONDIÇÃO DE COLINEARIDADE TERRESTRE

A solução geral para interseção fotogramétrica é realizada aplicando-se um ajustamento

rigoroso, utilizando o método dos mínimos quadrados no modelo de colinearidade. O seguinte

par de equações de colinearidade é escrito para cada raio de luz da fotografia associada a ele,

conforme as equações abaixo:

Para o problema em questão considera-se n = 4 observações, (x' e y '

) para a fotografia

esquerda e (x'' e y ''

) para a fotografia direita, u = 3 incógnitas (X, Y, Z) do ponto no espaço

objeto.

As equações de observações que satisfazem o modelo matemático que caracteriza o

método paramétrico La=F (Xa ) :

(37)

CPCPCP

CPCPCP

YXrYYrXXrZZrYYrXXr

fx

333231

131211

CPCPCP

CPCPCP

YXrYYrXXrZZrYYrXXr

fy

333231

232221

F1=− fr11(X−XCP )+r12(Y −Y CP)+r13(Z−ZCP )r31(X−XCP)+r32(Y−Y CP )+r33(Z−ZCP)

F2=− fr21(X−XCP)+r22(Y−Y CP)+r23(Z−ZCP)r31(X−XCP)+r32(Y−Y CP )+r33(Z−ZCP)

Sabemos que a linearização por Taylor conduz à expressão:

AX+L=V L é determinador por:

L=L0−Lb=F (X0 )−Lb

onde:

Lb : vetor dos valores observados;

La : vetor dos valores observados ajustados;

V : vetor dos resíduos;

X 0 : vetor cujas componentes são os valores aproximados dos parâmetros.

A determinação de L0 é feita adotando valores aproximados para as observações.

L0=F (X0 )

A matriz A é obtida a partir das derivadas parciais das funções com relação aos

parâmetros:

A= ∂F∂ Xa

|X 0

Os coeficientes da matriz são portanto:

(39)

(40)

(41)

(42)

(38)

A=[− f c

' r 11' D x−r13

' N x

Dx2

−f c' r21

' Dx−r23' N x

Dx2

−f c' r 31

' Dx−r33' N x

Dx2

− f c' r12

' D x−r13' N y

Dx2

− f c' r22

' D x−r23' N y

Dx2

−f c' r32

' D x−r33' N y

Dx2

− f c'' r11

'' D y−r13'' N y

Dy2

− f c'' r 21

'' D y−r23'' N y

Dy 2

− f c'' r31

'' D y−r33'' N y

Dy2

− f c'' r12

'' D y−r13'' N y

Dy2

− f c'' r 22

'' D y−r23'' N y

Dy 2

− f c'' r32

'' D y−r33'' N y

Dy2

]Devido à dificuldade para a determinação dos valores de peso para as observações

(fotocoordenadas), utilizou-se um artifício que consiste em atribuir pesos para as observações,

baseado nas distâncias entre as fotocoordenadas e o ponto principal da imagem. Dessa maneira a

matriz dos pesos é montada da seguinte maneira:

P=[√( x '−x0)2+( y '− y0 )

2 0 0 0

0 √( x '−x0 )2+( y '− y0)

2 0 0

0 0 √( x ''−x0)2+( y ''− y0 )

2 0

0 0 0 √( x ''−x0 )2+( y ''− y0 )

2 ]Aplicando o método dos parâmetros, devemos escrever as observações em função dos

parâmetros. O vetor correção aos parâmetros é obtido resolvendo o sistema de equações normais

3 X1=−(3 A4T

4 P4 4 A3)−1 (3 A4

T4 P4 4 L1)

O vetor dos parâmetros ajustados é então calculado a partir de:

X a=X0+X

Variância da observação de peso unitário

O fator de variância é obtido por:

σ̂ 02=V T PV

n−u=V T PV

1=V T PV

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

A partir desse resultado é possível obter a matriz variância-covariância dos parâmetros

ajustados, no caso de um ponto objeto.

∑ Xa= σ̂02 N−1 (48)

Orientação Direta do Sensor (GPS/IMU)

Triangulação (modelos independentes e feixes de raios): a) extensão do controle, b) densificação e c) orientação do sensor

5. CALIBRAÇÃO OU CALIBRAGEMCalibração de instrumentos analíticos: calibração de câmaras (auto-calibração, calibração em-serviço)

Introdução

Todo instrumento ou aparelho de medir traz consigo o sistema de medidas. Periodicamente, é aconselhável, às vezes, necessário e até mesmo obrigatório verificar a validade e a eficácia do referido sistema.

Calibragem ou calibração de um sistema de medição é uma maneira refinada de medir com o propósito de atribuir números a propriedades específicas (elementos ou parâmetros) com controle estatístico.

Na Fotogrametria, há diversos instrumentos nos quais os projetos são conduzidos. Convém lembrarmo-nos da definição de Fotogrametria, "medir com registro da luz", ou mais apropriadamente, conhecer objetos (forma e dimensões) desde a medida e interpretação feitas na fotografia. Assim, vemos que o ato de medir e a presença de medidas em Fotogrametria são fundamentais para a consecução dos seus objetivos, qualquer que seja o instrumento ou sistema fotogramétrico utilizado.

Os instrumentos utilizados variam desde a câmara aerofotogramétrica até o computador, passando por instrumentos restituidores analógicos e analíticos e mono e estéreo-comparadores. Na câmara fotogramétrica, a determinação dos parâmetros da orientação interior são fundamentais para a calibração da câmara; nos restituidores analíticos e comparadores, os eixos e escalas de medição devem ser verificados com auxílio de placas de cristal (reseau).

Sistema de calibração

Entrada Processamento/ Saída(observação/medição) Análise Certificado de

Calibração

Dificuldades

Sensibilidade do instrumento de medir a fatores externos; Falta de um padrão atualizado; Não repetibilidade de leituras do instrumento

Equipamentos fotogramétricos a calibrar periodicamente

mono e estéreo-comparadores restituidores analógicos e analíticos câmaras fotogramétricas

CALIBRAÇÃO DE COMPARADORES

O que calibrar? (Ghosh, Analytical Photogrammetry, p. 44) erros periódicos (cíclicos) e de escala afinidade "retilinearidade" (torção) dos parafusos-guia retangularidade entre os eixos

Modelo matemático (modelo de erro)

xc = a1 + a2x + a3y + a4xy + a5x2 + a6y2 + a7x2y + a8xy2 + a9x3 + a10y3

yc = b1 + b2y + b3y + b4xy + b5x2 + b6y2 + b7x2y + b8xy2 + b9x3 + b10y3

xc,yc : coordenadas conhecidas (calibradas, fiduciais)x,y : coordenadas observadasa's e b's: coeficientes do polinômio

duas abordagens para resolver

a) resolver todos os parâmetros (coeficientes) e testar a significância estatística; eliminar os termos de significância nula e reajustar, testando novamente.

b) resolver para 6 parâmetros (TAP) e ir acrescentando parâmetros, sempre testando a significância estatística.

Procedimento

Medir as coordenadas (no sistema do comparador) de uma rede de pontos de referência ("reseau"); 10 pontos implicam solução única; mais do que 10 pontos => ajustamento MMQ (paramétrico).

CALIBRAÇÃO DE RESTITUIDORES ANALÓGICOS

Introduzir uma placa reseau no projetor do restituidor, de preferência com os movimentos angulares zerados;Arbitrar Z1 e medir Xi1,Yi1;Arbitrar Z2 e medir Xi2, Yi2;(dois planos diferentes são necessários para quebrar a correlação entre f e Z0).

[ (x-x0) (y-y0) (-f) ]t = Rt [ (X-X0) (Y-Y0) (Z-Z0) ]t

x = x0 - f Nx / Dy = y0 - f Ny / D

parâmetros a determinar:x0 y0 f (calibração da OI);X0 Y0 Z0 (coordenadas do centro perspectivo do instrumento restituidor no seu sistema de coordenadas); (ângulos residuais ou diferenciais de rotação (para completar o modelo);

Após Ajobs, avaliar a significância estatística.

CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS FOTOGRAMÉTRICAS

Métodos Analíticos

Os procedimentos anteriores para calibrar comparadores e instrumentos analógicos usaram placa de vidro. Para a calibração de câmaras são usadas as próprias fotografias do projeto. Estas registram as imagens de objetos afetadas dos erros sistemáticos presentes no sistema.

Erros sistemáticos

refração atmosférica distorção óptica do sistema de lentes deslocamento do ponto principal variação da distância focal calibrada deformação do filme

Em geral, a refração atmosférica e a deformação do filme são pré-corrigidos. Os parâmetros da distorção óptica e do deslocamento do ponto principal são introduzidos no modelo matemático (equações de colinearidade) e são ajustados em uma resseção dupla ou triangulação de faixa ou bloco.

Correção da refração atmosférica (Merchant, Analytical Photogrammetry, 1979)

Correção da deformação do filme (Merchant, Analytical Photogrammetry, 1979)

CALIBRAÇÃO ANALÍTICA em serviço (pontos de controle são fixos) auto-calibração (pontos de controle são ajustáveis ou injunções mínimas -- pontos de

controle ou OE)

OI - 8 parâmetros: f x0 y0 : calibração básica K1 K2 K3 : parâmetros da distorção radial simétrica (Brown) P1 P2 : parâmetros da distorção descentrada (Brown)

Modelo matemático estendido (expandido)x = x0 + dx1 + dx2 - f . Nx / Dy = y0 + dy1 + dy2 - f . Ny / D

há três grupos de parâmetros a determinar (total = 8 + 6m + 3n): 8 de OI 6m de OE (m = n° de fotos) 3n de coordenadas XYZ (n = n° de pontos-objeto)

Há correlação entre f e Zc. Dois métodos para eliminar a correlação:a) Tomar fotos de área cuja variação de relevo seja a 20% Hv;b) Tomar fotos convergentes (terrestre/curta-distância).

Uma possível correlação entre x0 e Xc e y0 e Yc pode ser evitada tomando-se fotos com = 90°.

Correlação física entre parâmetros dependência linear na matriz N = AtPA e det(N) = 0.

CALIBRAÇÃO EM LABORATÓRIO (Wolf, Elements of Photogrammetry, 2.ed. p. 74-9)

1. DFE (média entre as 4 distâncias radiais mais próximas do ponto principal)2. dr = r - r' = r - DFEtg DFE = r' / tg 3. Após analisar (visualmente) a curva, arbitrar uma posição (distância) r0, na qual a

distorção dr0 = 0 mm (geralmente: máxima distorção positiva - máxima distorção negativa = 0)

4. Calcular distância focal calibrada (DFC)5. Nova curva de distorção: dr' = r - DFC tg

Solução do exercício 4-21, P. Wolf, Elements of Photogrammetry, 2.ed., p.85:1) DFE = 20,081 mm / tg (7,5°) = 152,530 mm

2) (°) r (mm) r' = DFE . tg

(mm)dr = r - r' (mm)

7,5° 20,081 20,0810 0,000015,0 40,876 40,8703 0,005722,5 63,201 63,1800 0,021030,0 88,097 88,0632 0,033837,5 117,067 117,0404 0,026645,0° 153,482 152,5300 0,9520

3) 20,081 - DFC . tg (7,5°) = DFC . tg (45,0°) - 153,482

4) 20,081 + 153,482 = DFC . ( 1 + 0,1316525 )DFC = 173,563 / 1,1316525DFC = 153,3713 mm.

5) dr' = r - 153,3713 . tg

(°) r (mm) r' = DFC . tg (mm)

dr' (mm)

7,5 20,081 20,1917 -0,110715,0 41,876 41,0957 0,780322,5 63,201 63,5285 -0,327530,0 88,097 88,5490 -0,452037,5 117,067 117,6859 -0,618945,0 153,482 153,3713 0,1107

Outros elementos a calibrar em câmaras fotogramétricas: Resolução espacial (maior no centro, menor nas laterais e cantos) Planura do quadro focal Estabilidade das marcas fiduciais (afinidade e ortogonalidade)

Referências bibliográficasWolf, P.R. Elements of Photogrammetry. 2.ed.Merchant, D.C. Analytical Photogrammetry.Ghosh, S.K. Analytical Photogrammetry.Andrade & Olivas. Calibração de Câmaras Aerofotogramétricas.

Parte VFluxograma do Mapeamento Aerofotogramétrico

Fluxograma de um Projeto de Fotogrametria Terrestre/Curta Distância

Conjunto Básico (Mínimo) de Equipamentos para Executar um Projeto de Fotogrametria Analítica

Outras Aplicações

Referências Bibliográficas

Amer. Soc. Photogram. Manual of Photogrammetry. 4.ed.Amer. Soc. Photogram. & Rem. Sens. Digital Photogrammetry: An addendum to the Manual of Photogrammetry.Atkinson, K.B. Close Range Photogrammetry and Machine Vision.Ghosh, S.K. Analytical Photogrammetry. 2.ed.Kraus, K. Photogrammetry. v.1.Lugnani, J.B. Introdução à Fototriangulação.Masry, S.E. Basics of Instrumental and Analytical Photogrammetry.Merchant, D.C. Analytical Photogrammetry (I e II).Moffitt, F.H. & Mikhail, E.M. Photogrammetry. 3.ed.Novak, K. Photogrammetric Triangulation.Novak, K. Photogrammetric Surveying & Mapping.Olivas, M.A.A. Calibração de Câmaras Fotogramétricas.Wolf, P.R. Elements of Photogrammetry. 2.ed.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Livros:

AMER. SOC. PHOTOGRAM. Manual of Photogrammetry. 4 ed. Falls Church-VA: Amer. Soc. Photogram., 1980. 1056p.

ANDRADE, J.B. Fotogrametria. Curitiba: SBEE. 1998. 242p.ATKINSON, K.B. Close Range Photogrammetry and Machine Vision. Caithness: Whittles, 1996.GHOSH, S. K. Analytical Photogrammetry. 2.ed. New York: Pergamon, 1988. 308p.KRAUS, K. Photogrammetry: fundamentals and standard processes. Bonn: Dümmler, 1993.

V.1, 391p.LILLESAND, T. M. & KIEFER, R. W. Remote Sensing and Image Interpretation. 2.ed. New York:

John Wiley, 1987.LUGNANI, J. B. Introdução à Fototriangulação. Curitiba: Imprensa Universitária, 1987. 134p.MASRY, S.E. Basics of Instrumental and Analytical Photogrammetry. MERCHANT, D.C. Analytical Photogrammetry (I e II). MOFFITT, F.H. & MIKHAIL, E.M. Photogrammetry. 3 ed. New York: Harper&Row, 1980. 618p.NOVO, E. M. L. M. Sensoriamento Remoto: princípios e aplicações. São Paulo: Edgard

Blücher, 1989.WOLF, P.R. Elements of Photogrammetry. 2 ed. Singapore: McGraw-Hill, 1983. 628p.

Revistas (Periódicos):

Photogrammetric Engineering and Remote Sensing (ASPRS, Bethesda, USA)The Photogrammetric Record (TPS, London, UK)Journal of ISPRS (Elsevier, Amsterdam, The Netherlands)Anais de reuniões científicas: ISPRS, ASPRS, ACSM, FIG, SBC, etc.

Apêndice

Ajustamento de Observações e Estimativa de Parâmetros

MATRIZ DE ROTAÇÃOEspaços:- bi-dimensional: (x,y) // (X,Y)- tri-dimensional: (x,y,z) // (X,Y,Z)

Convenções dos sistemas referenciais:- dextrógiro e levógiro;- rotações anti-horárias são positivas e horárias são negativas.

Para transformar as coordenadas de um ponto p dadas no sistema S1 em coordenadas do mesmo ponto p no sistema S2, é preciso conhecer ou estabelecer o relacionamento entre os dois espaços S1 e S2. Há vários modelos matemáticos que descrevem o referido relacionamento (ortogonal, isogonal, afim e projetivo). O modelo isogonal ou de similaridade é útil em Foto Analítica pois estabelece o relacionamento entre o modelo estereoscópico (ME, imagem do terreno) e o terreno (objeto de mapeamento). O ME pode ser formado ou construído no instrumento restituidor analógico ou no analítico ou ainda no computador (modelo tridimensional virtual).

Então, supondo que o ME tenha sido corretamente construído, o relacionamento entre as coordenadas de um ponto no ME e o seu correspondente no terreno é dado pela expressão da Transformação Isogonal no Espaço (um fator de escala, três rotações entre os eixos dos sistemas referenciais da imagem e do objeto e três translações da origem do ME em relação ao sistema referencial do terreno):

[ X ] [ x ] [ Xo ][ Y ] = R [ y ] + [ Yo ][ Z ] [ z ] [ Zo ] Orientação Absoluta Analítica

R = R() R() R()primária secundária terciária

x = R() x , : rotação primária em torno do eixo ‘x’;x = R() x , : rotação secundária sobre o eixo ‘y’ girado de ;X = R() x , : rotação terciária sobre o eixo ‘z’ girado duas vezes ( e ).

R, R(),R(), R() são matrizes ortogonais (determinante = 1).

RT = R-1 => RR-1=R-1R=RTR=RRT= I

Matrizes de Rotação conforme a página 381 de Photogrammetry (K. Kraus, 1992)

cos (k) -sen () 0primária: R() = sen () cos () 0

0 0 1

cos () 0 sen ()

Secundária: R() = 0 1 0-sen () 0 cos ()

1 0 0terciária: R() = 0 cos () -sen ()

0 sen () cos ()

cos(fi)cos(k) -cos()sen() sen()rotação resultante:

R() = cos()sen()

+sen()sen()cos()

cos()cos()-sen()sen()sen()

-sen()cos()

sen()sen()-cos()sen()cos()

sen()cos()+cos

()sen()sen()

cos()cos()

Glossário

Índice Onomástico