Cilindros e prisma e geometria plana no enem

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QUESTÕES DE CILINDROS NO ENEM 1. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de

madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final,

amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? a) dπ b) 2 dπ c) 4 dπ d) 5 dπ e) 10 dπ 2. (Enem 2013) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12m3, cuja base tem um raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4m3. Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de a) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8. 3. (Enem 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.

Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é

cerca de (utilize 3 ) a) 20 mL. b) 24 mL. c) 100 mL. d) 120 mL. e) 600 mL.


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4. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 5. (Enem 2010) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo • 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3; • 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, a) 29,9 toneladas. b) 31,1 toneladas. c) 32,4 toneladas. d) 35,3 toneladas. e) 41,8 toneladas. 6. (Enem 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.


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Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

a)

b)

c)

d)

e) 7. (Enem 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de ð, então o preço dessa manilha é igual a a) R$ 230,40. b) R$ 124,00. c) R$ 104,16. d) R$ 54,56. e) R$ 49,60. 8. (Enem 2010) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques devera ser escolhido pelo dono do posto? (Considere 3 )


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a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1

.3

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4

.3

c) OI, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3

.4

d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2

.3

e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7

.12

9. (Enem 2008) A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de

altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo

consumo médio diário é de 500 litros de água.

Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas

abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,

a) a quantidade de água economizada foi de 34,5 m .

b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60cm. c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário

fosse de 450 litros.

d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 31m de água para o consumidor

fosse igual a R$ 2,50.

e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água

suficiente para abastecer todas as casas. 10. (Enem 2006) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com

cartões de papel retangulares de 20cm 10cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do

cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.


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Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do

tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será

a) o triplo. b) o dobro. c) igual. d) a metade. e) a terça parte. 11. (Enem 2001) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é

avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco.

Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.

A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para

comercialização.

Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de

a) 30%. b) 22%. c) 15%. d) 12%. e) 5%. 12. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as

perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e pistola pneumática

25%.

Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro circular de 10m de altura

e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem rendimento teórico de 220m por litro e que são

necessárias duas demãos. Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.

Dado: Use 3,14.π

13. (Upe 2015) A figura a seguir representa a vista de cima de uma cisterna cilíndrica. Os pontos A e B indicam os

locais de abastecimento, diametralmente opostos, e o ponto X mostra a posição de uma pessoa que se encontra a

6 m de A e a 8 m de B.


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Sabendo-se que a profundidade da cisterna é de 2 m, qual a sua capacidade máxima?

(Considere 3)π

a) 14.000 litros. b) 48.000 litros. c) 100.000 litros. d) 150.000 litros. e) 300.000 litros. 14. (Ufsm 2014) Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulação em grandes cidades e em rodovias é a construção de túneis. A realização dessas obras envolve muita ciência e tecnologia. Um túnel em formato semicircular, destinado ao transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a figura a seguir.

Qual é o volume, em 3m , no interior desse túnel? a) 4.800 .π

b) 7.200 .π

c) 14.400 .π

d) 28.800 .π

e) 57.600 .π

15. (Unifor 2014) Duas velas homogêneas e de comprimentos iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem um tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas. Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo tempo. Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Por quanto tempo ficaram acesas? a) 2 horas b) 2 horas e 30 min c) 3 horas d) 3 horas e 20 min e) 3 horas e 30 min 16. (Unifor 2014) Um posto de combustível inaugurado recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está completamente

cheio com 342 m de gasolina e 330 m de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, a altura da

camada de gasolina é:


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a) 6 m

b) 7 m

c) 8 m

d) 9 m

e) 10 m

17. (Uel 2014) No Paraná, a situação do saneamento público é preocupante, já que o índice de tratamento de esgoto é de apenas 53%, ou seja, quase metade das residências no Estado ainda joga esgoto em fossas. José possui, em sua residência, uma fossa sanitária de forma cilíndrica, com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros. Supondo que José queira aumentar em 40% o volume de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado percentualmente.

Dado: 1,4 1,183

a) 11,8% b) 14,0% c) 18,3% d) 60,0% e) 71,2% 18. (Uemg 2014) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 25,00.

Considerando-se 3,π o valor da embalagem que terá o menor custo será a) R$ 0,36. b) R$ 0,27. c) R$ 0,54. d) R$ 0,41. 19. (Ufsj 2013) Um galão cilíndrico, com 1m de altura e 1m de diâmetro da sua base, está cheio de um líquido até

sua borda. Abrindo-se completamente uma torneira localizada na sua base, a velocidade de escoamento do líquido é

de 15 litros minuto. Considerando a abertura total da torneira e que 31dm 1litro, o tempo estimado para o

esvaziamento do galão está entre a) 16 e 17 minutos. b) 52 e 53 minutos. c) 66 e 67 minutos. d) 21 e 22 minutos. 20. (Espm 2013) Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água no cilindro subiu 3 cm, podemos afirmar que o volume desse objeto é de, aproximadamente: a) 174 cm3 b) 146 cm3 c) 162 cm3 d) 183 cm3 e) 151 cm3


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Gabarito: Resposta da questão 1: [D]

O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do comprimento da base do cilindro, ou seja, 5 d.π Resposta da questão 2: [A]

Queremos calcular r, de modo que 212 r 1 4.π Portanto, considerando 3 como o valor aproximado de ,π

temos

2 2 812 3r 4 r

3

80 r

3

0 r 1,63,

ou seja, a medida do raio máximo da ilha de lazer, em metros, é um número que está mais próximo de 1,6.

Resposta da questão 3: [C] Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do copo. De acordo com o texto, temos: Volume de água = 5x Volume de água = x

Volume do copo = 2 2 3.2 .10 3.2 .10 120cm π

Então x + 5x = 120 36x 120 x 20cm

Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100 cm3 = 100 mL. Resposta da questão 4: [A] Volume do copinho = .22.4 = 16 cm3

Volume de 20 copinhos pela metade = 1

220. 16 cm2 = 160 cm3

Volume da leiteira = .42.20 = 320 cm3 Resposta da questão 5: [A]

Volume 3(m ) Massa (toneladas)

Espécie I 23 3 12 0,06 19,44 0,77 19,44 14,96

Espécie II 22 4 10 0,06 19,2 0,78 19,2 14,97

Resposta da questão 6: [E]


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A superfície do bebedouro 3 é constituída por dois semicírculos e por um retângulo. Resposta da questão 7: [D]

Volume do concreto é V. Logo: V = Volume do cilindro maior – volume do cilindro menor

V = .(1,2)2 .4 - .12.4 V = 1,76.3,1 V= 5,456m3 Logo, o preço da manilha será 5,456 . 10 = R$ 54,56 Resposta da questão 8: [D]

Resposta da questão 9:

[B]

O volume e a altura do cilindro são diretamente

proporcionais. Desse modo, uma economia de 10% da

capacidade corresponde a 10% da altura do reservatório,

isto é, 10% 600 60cm.

Resposta da questão 10: [B]

Sejam IV e IIV os volumes das velas de cada tipo.

Temos que

23

I

10 1000V 10 cm

e

23

II

5 500V 20 cm .

Se o custo é diretamente proporcional ao volume, então

C k V,

em que C é o custo, k é a constante de proporcionalidade e V é o volume.

Desse modo,

Área lateral (AL) Volume AL/V

Tanque I 2.2.6 = 24 .22.6 = 24 1

Tanque II 2.2.8 = 32 .22.8 = 32 1

Tanque III 2.3.8 = 48 .32..8 =72 2/3


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II

I IIII

II

1000C k

C2 C 2 C ,

500 CC k

ou seja, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será o dobro. Resposta da questão 11: [B]

2

2

2 .R.h

478,5%

.R .h

π

π

Portanto, as perdas são da ordem de 100% - 78,5% = 21,5%. Resposta: 22%. Resposta da questão 12: Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão aplicadas duas demãos, a

área que receberá a tinta é igual a 22 2 2 (2 10) 301,44 m .π

Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria de 301,44

15,07220

litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta utilizada, segue que o resultado pedido é

15,07220,096

0,75 litros.

Resposta da questão 13: [D]

Como AB é um diâmetro, tem-se que o triângulo ABX é retângulo. Além disso, sendo AX 6 m e BX 8 m,

podemos concluir que o triângulo ABX é semelhante ao triângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m.

Portanto, segue que AB 10 m e r 5 m, com r sendo o raio da cisterna.

A capacidade máxima da cisterna é dada por

2 35 2 3 25 2 150 m 150.000 litros.π

Resposta da questão 14: [B] O túnel é um semicilindro de raio 6m e altura 400m.

Volume do túnel: 2

36V 400 7200 m

2

ππ

Resposta da questão 15: [C]

O volume que resta na primeira vela após t horas é dado por 2 tr H 1 ,

4

π enquanto que o volume que resta na

segunda é 2 tR H 1 .

6

π


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Suponha que a altura da segunda vela após t horas seja 2h H. Logo, temos

2 2 t tR 2h R H 1 2h H 1 .

6 6

π π

Por outro lado, na primeira vela, após t horas, teríamos

2 2 t tr h r H 1 h H 1 .

4 4

π π

Em consequência, segue que

t t t t2 H 1 H 1 1

4 6 2 6

t 3.


Seja h a altura da camada de gasolina. Assim, como a altura de cada líquido é proporcional ao volume, temos

h 42h 7 m.

12 42 30


De acordo com o enunciado podemos escrever:

VII = 1,4VI

2 2

2

R 3 1,4 1 3

R 1,4

R 1,183

π π

Portanto, o raio terá um aumento de 18,3%. Resposta da questão 18: [A]

Área total do cilindro: 2 22 2 2 2 10 48 48 3 1334cm .π π π

Valor da embalagem em forma de cilindro: 25

144 R$0,36.10000


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Área total do paralelepípedo: 22 (4 5 4 6 5 6) 148cm .

Valor da embalagem em forma de paralelepípedo: 25

148 R$0,37.10000

O valor da embalagem que terá o menor custo será: R$0,36.


Volume do galão cilíndrico.

2 3V (0,5) 1 0,785 m 785L

1min ______ 15L

x ______ 785L

π

Logo, x = 52,333.... minutos. Logo, 52 minutos < 52,3333... minutos < 53 minutos. Resposta da questão 20: [E] Pelo Princípio de Arquimedes, o volume do objeto corresponde ao volume de um cilindro circular reto de raio da base

igual a 4cm e altura 3cm, ou seja,

2

3

4 3 3,14 48

151cm .

π


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 21/09/2015 às 06:28

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............ 135560 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 2 ............ 128035 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2013 .......................... Múltipla escolha 3 ............ 108706 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2011 .......................... Múltipla escolha 4 ............ 100292 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 5 ............ 100299 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 6 ............ 100278 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 7 ............ 100298 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 8 ............ 100302 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 9 ............ 86284 ....... Baixa ............. Matemática ... Enem/2008 .......................... Múltipla escolha 10 .......... 68349 ....... Média ............ Matemática ... Enem/2006 .......................... Múltipla escolha 11 .......... 40194 ....... Média ............ Matemática ... Enem/2001 .......................... Múltipla escolha 12 .......... 140055 ..... Média ............ Matemática ... Ufu/2015 .............................. Analítica 13 .......... 137803 ..... Média ............ Matemática ... Upe/2015 ............................. Múltipla escolha 14 .......... 134063 ..... Média ............ Matemática ... Ufsm/2014 ........................... Múltipla escolha 15 .......... 135245 ..... Média ............ Matemática ... Unifor/2014 .......................... Múltipla escolha 16 .......... 135216 ..... Baixa ............. Matemática ... Unifor/2014 .......................... Múltipla escolha 17 .......... 128533 ..... Média ............ Matemática ... Uel/2014 .............................. Múltipla escolha 18 .......... 131150 ..... Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha 19 .......... 125243 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2013 .............................. Múltipla escolha 20 .......... 125892 ..... Baixa ............. Matemática ... Espm/2013........................... Múltipla escolha


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QUESTÕES DE PRISMAS NO ENEM 1. (Enem 2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido

de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1

,8

preservando suas espessuras. A fim de

manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é

a) 1

8

b) 7

8

c) 8

7

d) 8

9

e) 9

8

2. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura +

comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm.

A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela

Anac é a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. e) 49. 3. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em

sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi disponibilizado aos interessados já com as

especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com

dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 1cm e 2cm.

O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000.


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4. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada metro de altura do

silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa

32m desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260. 5. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam

25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%

6. (Enem 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da

aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos

para encher metade da parte de baixo.


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Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 24. 7. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m2. b) entre 100m2 e 300m2. c) entre 300m2 e 500m2. d) entre 500m2 e 700m2. e) maior que 700m2. 8. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.


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b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 9. (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm. 10. (Enem 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm3. b) 64 cm3. c) 96 cm3. d) 1 216 cm3. e) 1 728 cm3. 11. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento. 12. (Enem 2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de

um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de

esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a

a) 4. b) 8. c) 16. d) 24. e) 32.


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13. (Enem 2006) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a

navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida de uma

embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água

durante o esvaziamento da câmara é de 34.200 m por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da

jusante, uma embarcação leva cerca de

a) 2 minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 21 minutos. 14. (Enem 2ª aplicação 2010) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.

Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:

a)

b)


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c)

d)

e) 15. (Enem cancelado 2009) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte. Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? a) 10 viagens. b) 11 viagens. c) 12 viagens. d) 24 viagens. e) 27 viagens. 16. (Enem PPL 2012) Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a partir da planificação em uma folha de papel, representada na figura a seguir.

Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M. As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras a) E-N, E-M e B-R. b) B-N, E-E e M-R. c) E-M, B-N e E-R. d) B-E, E-R e M-N. e) E-N, B-M e E-R. 17. (Enem PPL 2012) Em um terreno, deseja-se instalar uma piscina com formato de um bloco retangular de altura 1

m e base de dimensões 20m 10m. Nas faces laterais e no fundo desta piscina será aplicado um líquido para a

impermeabilização. Esse líquido deve ser aplicado na razão de 1 L para cada 1 m2 de área a ser impermeabilizada. O fornecedor A vende cada lata de impermeabilizante de 10 L por R$ 100,00, e o B vende cada lata de 15 L por R$ 145,00. Determine a quantidade de latas de impermeabilizante que deve ser comprada e o fornecedor a ser escolhido, de modo a se obter o menor custo. a) Fabricante A, 26 latas. b) Fabricante A, 46 latas. c) Fabricante B, 17 latas.

d) Fabricante B, 18 latas. e) Fabricante B, 31 latas.


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Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura da porta original. Logo, segue que o volume da

porta original é igual a x y z.

Aumentando-se em 1

8 a altura da porta e preservando a espessura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o

material,

1 19x 8z

y z x y z z ,8 9

com 1z sendo a largura da nova porta.

Portanto, a razão pedida é 1z 8.

z 9


De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além disso, a largura mede 90 2 24 42cm.

Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que

0 x 42 24 115 0 x 49.

Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49.


Seja V o volume real do armário.

O volume do armário, no projeto, é 33 2 1 6cm . Logo, temos

3

36 1V 6.000.000cm .

V 100

Resposta da questão 4: [A]

Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é igual a

36 520 220 m .

2

Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa 32 m , podemos concluir que o

resultado pedido é 220

1102

toneladas.


Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 324 Hcm . Agora, sabendo que as dimensões da nova

lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos

225 16

24 h 24 H h H h 64% H,4 25

isto é, a altura da lata atual deve ser reduzida em

100% 64% 36%.


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Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede 2 .

Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar 3

3(2 )4

2 unidades de volume, então ela levará

3 3

3

48 10

4

minutos para encher completamente o restante do depósito.

Resposta da questão 7: [E] Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.

Do triângulo ABC, obtemos

BC BCtgBAC tg15

114AB

BC 114 0,26

BC 29,64 m.

Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a

2 2 2BC (29,64) 878,53 m .


O nível da água subiria 2400

2cm,40 30

fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm de altura.

Resposta da questão 9: [B] Sendo a a aresta do cubo, temos: a3 = 4.18.3 a3 = 216 a = 6 Resposta da questão 10: [D]


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V = volume do cubo maior – volume do cubo menor V = 123 - 83 V = 1728 – 512 V = 1216 Resposta da questão 11: [B] Multiplicando as dimensões temos o valor de seu volume em m3. Resposta da questão 12: [B]

a 3 = 13.824 a = 24cm. Diâmetro da esfera = 12cm

No comprimento do cubo podemos colocar 2 esferas

Na largura do cubo podemos colocar 2 esferas

Na altura do cubo podemos colocar 2 esferas

Logo o número de esferas será 2.2.2 = 8


O volume de água a ser escoado da câmara é de 3200 17 20 68.000 m . Logo, como a vazão de escoamento é

34.200 m por minuto, segue que uma embarcação leva cerca de 68000

164200

minutos para descer do nível mais alto

até o nível da jusante. Resposta da questão 14: [E] Sabendo que a menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une, segue que a representação

exibida na alternativa (E) é a única que ilustra corretamente a menor distância entre A e B. Resposta da questão 15: [C] No comprimento conseguiremos colocar 5 caixas, na largura 2 caixas e na altura 2 caixas. Total de caixas 5.2.2 = 20 caixas.

Número mínimo de viagens: 20

240= 12



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Construindo o cubo temos:

Portanto, as faces paralelas desse cubo são E-M, B-N e E-R. Resposta da questão 17: [A]

Área a ser impermeabilizada: 2A 20 10 2 20 ,1 2 10 1 260m onde serão usados 260 L de impermeabilizante.

Valor gasto com o fornecedor A:

Número de ladas necessárias: 260 : 10 26 latas.

Valor das latas: 100 26 2600 reais.

Valor gasto com o fornecedor B:

Número de latas necessárias: 260 :15 17,3333..., ou seja, serão necessárias 18 latas.

Valor das 19 latas: 145 18 2610 reais.


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 26/04/2015 às 18:21

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............ 135522 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 2 ............ 135573 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 3 ............ 135588 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 4 ............ 135547 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 5 ............ 135574 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 6 ............ 135593 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha 7 ............ 128021 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2013 .......................... Múltipla escolha 8 ............ 122031 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2012 .......................... Múltipla escolha 9 ............ 100280 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 10 .......... 100318 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 11 .......... 100287 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha 12 .......... 90622 ....... Média ............ Matemática ... Enem/2009 .......................... Múltipla escolha 13 .......... 68350 ....... Baixa ............. Matemática ... Enem/2006 .......................... Múltipla escolha 14 .......... 106523 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem 2ª aplicação/2010 ...... Múltipla escolha 15 .......... 91828 ....... Média ............ Matemática ... Enem cancelado/2009 ......... Múltipla escolha 16 .......... 127140 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 .................. Múltipla escolha 17 .......... 127150 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 .................. Múltipla escolha

G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4 T O D A S A S Q U E S T Õ E S R E S O L V I D A S ! P á g i n a | 1

PREPARAENEM _ Prof. Cristiano Siqueira

1. (Enem 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é a) 3. b) 5. c) 6. d) 8. e) 10. Resposta: [A] Sejam a e b as quantidades de palitos em cada um dos outros dois lados do triângulo. Tem-se que {a, b} {{1,10}, {2,9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}}. Mas, pela condição de existência de um triângulo,

só pode ser {a, b} {{3, 8}, {4, 7}, {5, 6}} e, portanto, a resposta é 3.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. (Enem 2014) Diariamente, uma residência consome 20.160Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6cm 8cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? a) Retirar 16 células. b) Retirar 40 células. c) Acrescentar 5 células. d) Acrescentar 20 células. e) Acrescentar 40 células. Resposta: [A] Aplicando o Teorema de Pitágoras, concluímos facilmente que a diagonal de uma célula solar mede 10cm. Em consequência, as 100 células produzem 100 10 24 24.000 Wh. Assim,



estão sendo produzidos, diariamente, 24000 20160 3.840 Wh além do consumo. Portanto,

o proprietário deverá retirar 3840

16240

células.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. (Enem PPL 2014) Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB,

respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.

Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?

a) 1

16

b) 3

16

c) 1

8

d) 3

8

e) 3

4

Resposta: [B]

Os quatro triângulos menores são equiláteros de lado 1

m.2

Portanto, segue que

2

21 1 3(DEF) 3 m .

4 2 16

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4. (Enem PPL 2014) Um construtor precisa revestir o piso de uma sala retangular. Para essa tarefa, ele dispõe de dois tipos de cerâmicas: I. cerâmica em forma de quadrado de lado 20 cm, que custa R$ 8,00 por unidade;

II. cerâmica em forma de triângulo retângulo isósceles de catetos com 20 cm, que custa

R$ 6,00 por unidade.

A sala tem largura de 5 m e comprimento de 6 m.



O construtor deseja gastar a menor quantia possível com a compra de cerâmica. Sejam x o número de peças de cerâmica de forma quadrada e y o número de peças de cerâmica de

forma triangular. Isso significa, então, encontrar valores para x e y tais que 0,04x 0,02y 30 e que tomem o

menor possível valor de a) 8x 6y.

b) 6x 8y.

c) 0,32x 0,12y.

d) 0,32x 0,02y.

e) 0,04x 0,12y.

Resposta: [A] O custo total das lajotas é dado por 8x 6y, que é o resultado pedido.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. (Enem 2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5m e 14m no quintal de

sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é a) 4. b) 8. c) 9. d) 12. e) 20. Resposta: [C] Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 3 m e as mudas correspondem aos

pontos vermelhos.



Portanto, segue que o resultado pedido é 9. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6. (Enem PPL 2014) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio.

Use 3 como aproximação para .π Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? a) 0,30 km

b) 0,75 km

c) 1,50 km

d) 2,25 km

e) 4,50 km

Resposta: [E] A distância percorrida pelo homem em sua caminhada diária é igual a 15 2 50 4500 m 4,5km.π

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

A imagem que representa a nova figura é:



a)

b)

c)

d)

e) Resposta: [E] Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P' tal que

PO P'O e P' pertence à reta PO, segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E].

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8. (Enem PPL 2013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados elementos gráficos geométricos elementares.



Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são a) retas e círculos. b) retas e circunferências. c) arcos de circunferências e retas. d) coroas circulares e segmentos de retas. e) arcos de circunferências e segmentos de retas. Resposta: [E] É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são arcos de circunferências e segmentos de retas. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m

b) 2 m

c) 2,4 m

d) 3 m

e) 2 6 m

Resposta: [C]



É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,

AF AC AF 4

6BF BD BF

AF BF 2 3

2AF

AF 2.

5AF BF

Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem

AF EF AF EF

6AB BD AF BF

EF 2

6 5

EF 2,4 m.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10. (Enem PPL 2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é

(Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.) a) 30. b) 34. c) 50. d) 61. e) 69. Resposta: [D] Considere a figura.



Do triângulo ACF, vem

AC 2,5cosACF cosACF

5CF

ACF 60 .

Logo, ECF 180 ACF 120 . Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e BGH, segue-se que a área pedida é dada por

2 2

2

1 1 1 5 3 12 AC CF senA CF CF 2 5 5

2 3 2 2 2 3

25 12 1,7 3 25

8 3

61m .

π π

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 11. (Enem PPL 2013) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada, há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no quadro:

Tipo do piso Forma Preço do piso (em reais)

I Quadrado de lado medindo 20 cm

15,00

II Retângulo medindo 30 cm por 20 cm

20,00

III Quadrado de lado medindo 25 cm

25,00

IV Retângulo medindo 16 cm por 25 cm

20,00

V Quadrado de lado medindo 40 cm

60,00

Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso a) I.



b) II. c) III. d) IV. e) V. Resposta: [B]

A área do espaço é igual a 2 24 6 24 m 240.000cm .

Cada quadrado do tipo I tem área igual a 2 220 400cm . Logo, o custo do piso I é 240000

15 R$ 9.000,00.400

Cada retângulo do tipo II tem área igual a 230 20 600cm . Assim, o custo do piso II é 240000

20 R$ 8.000,00.600

Cada quadrado do tipo III tem área igual a 2 225 625cm . Desse modo, o custo do piso III é 240000

25 R$ 9.600,00.625

Cada retângulo do tipo IV tem área igual a 216 25 400cm . Desse modo, o custo do piso IV é 240000

20 R$ 12.000,00.400

Cada quadrado do tipo V tem área igual a 2 240 1.600cm . Então, o custo do piso V é 240000

60 R$ 9.000,00.1600

Por conseguinte, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso II. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12. (Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:



a) N

9

b) N

6

c) N

3

d) 3N e) 9N Resposta: [A]

Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como 2S N y , 2S' X 9y e S ' S,

temos

2 2 NX 9y N y X .

9

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 13. (Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 20%. c) 36%. d) 64%. e) 96%. Resposta: [C] Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por

21 0,8 1 0,64 0,36 36%.



14. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para 3.

O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. Resposta: [C] Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o

ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro em C.

Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que



60 3OC 34cm.

3

Portanto,

R OC CD DE

34 30 10

74cm.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que 7

AC BD5

e que é a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão BD

para que uma bandeja tenha capacidade de portar

exatamente quatro copos de uma só vez? a) 2

b) 14

5

c) 4

d) 24

5

e) 28

5

Resposta: [D]

Considere a figura, em que BD x e AC y.



Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter

2472 (x y) 2 x.x x

55

Portanto, o resultado pedido é dado por

24x

245 .x 5BD

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 16. (Enem PPL 2012) Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.

Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos a) CMA e CMB. b) CAD e ADB. c) NAM e NDM. d) CND e DMB. e) CND e NDM. Resposta: [D]



Gabarito Oficial: [E] Gabarito Possível: [D]

Como MN é base média de ABC, segue-se que AM MB MD e AN CN ND. Portanto,

são exemplos de triângulos isósceles os triângulos CND e DMB. Observação: O gabarito oficial aponta a alternativa [E] como sendo a alternativa correta. Porém, com os dados fornecidos não é possível afirmar que o triângulo NDM é isósceles. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 17. (Enem PPL 2012) Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.

É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que

é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas. b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura

e reduzir à metade a largura do compartimento. c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no

compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura. d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para

apenas uma de 2 cm na largura do compartimento. e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no

compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura.



Resposta: [E] Para que a troca seja possível, deve-se ter 4a 2b 2 e 3b 5a 5. Logo, se 4a 32cm, ou

seja, a 8cm, então 3b 45cm e, portanto, a troca será possível.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 18. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. Resposta: [B] 3’= (3/60)° = 0,05° 124° 3’ 0” = 124,05° ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 19. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.

Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus



Resposta: [C] Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, 60 .θ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 20. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. Resposta: [C] Calculando as áreas dos ambientes, obtemos

2IS 8 5 40 m ,

2

IIS (14 8) 5 30 m ,

2

IIIS (14 8) (9 5) 24 m

e



2IV

(14 8) 4S 7 35 m .

2

Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 21. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy Resposta: [E] Como o retângulo de dimensões x y está contido nos retângulos de dimensões 5 y e 3 x,

segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x 5y xy.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 22. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.



Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 Resposta: [B] O custo pedido é dado por

2

1 1 1 13 14 2 4 21 4 30 4 50 30 50

2 2 4 4

R$ 35,00.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 23. (Enem PPL 2012) Vitor deseja revestir uma sala retangular de dimensões 3m 4m, usando

um tipo de peça de cerâmica. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de peças disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões: - Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado. - Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado. - Tipo III: retângulos, com dimensões 0,5m 0,6m.

- Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos medem 0,5 m. - Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado. Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomendou que Vítor escolhesse um tipo de piso que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou cortes nas cerâmicas. Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que fosse comprado? a) Tipo l. b) Tipo II. c) Tipo III. d) Tipo IV. e) Tipo V. Resposta: [C]



As figuras com as maiores áreas são o quadrado de lado 0,6m e o retângulo cujos lados medem 0,6m e 0,5m. A figura que melhor se adapta às condições do problema é o retângulo de lados 0,6m e 0,5m (figura III), pois 3m : 0,6m = 5 e 4m : 0,5m = 8. O quadrado de lado 6m possui maior área, porém 4 dividido por 0,6m não resulta em um número inteiro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 24. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estatua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

a) R L/ 2 b) R 2L/π

c) R L/ π d) R L/2

e) R L/ 2 2

Resposta: [A]

Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever: R2 + R2 = L2

22 L

R2

LR

2

Portanto:



L

R .2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 25. (Enem 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 01. b) 02. c) 3. d) 4. e) 5. Resposta: [C] Apenas os terrenos 3 e 4 possuem 180 m de comprimento. Calculando a área de cada um deles, temos:

23

24

A 60 30 1800 m

A 70 20 1400 m

Logo, o terreno com maior área que possui 180 m de perímetro é o terrenos de no 3.



26. (Enem 2011)

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de a) 45°. b) 60°. c) 90°. d) 120°. e) 180°. Resposta: [D] 360 : 3 = 120°

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 27. (Enem 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.



Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 Resposta: [A] Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das semicircunferências são menores. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 28. (Enem 2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde a) a mesma área do triângulo AMC. b) a mesma área do triângulo BNC. c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC.



Resposta: [E]

2

MNC

ABC

S 1

S 2

SABC = 4.SMNC

SABMN= SABC – SMNC = SABMN = 4.SMNC - SMNC

SABMN = 3. SCMN (TRIPLO) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 29. (Enem 2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros

dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros

dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. Resposta: [B] Valor da primeira encomenda = 8.0,25.0,50.20 + 8.2(0,25 + 0,50).15 + 10 = 20 + 180 + 10 = 210,00 Valor da segunda encomenda = 8.0,50.1.20 + 8.2(1 + 0,5). 15 + 10 = 80 + 360 + 10 = 450,0 Logo, o valor da segunda encomenda será maior que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 30. (Enem 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura.



O raio da perfuração da peça é igual a a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. Resposta: [B]

Seja r o raio da base do cilindro O triângulo é retângulo, pois 62 + 82 = 102

Logo, sua área será A = 6.8

242

Portanto: 242

.10

2

.8

2

.6

rrr

12r = 24 r = 2



31. (Enem 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.

Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressăo do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em funçăo de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y = R. b) y = 2R. c) y = πR. d) y = 2πR. e) y = 4πR. Resposta: [E] Deslocamento do rolo em relação ao solo: R.2 . Deslocamento do bloco em relação ao rolo: R.2 . Deslocamento do bloco em relação ao solo: R.4 . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 32. (Enem 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.



Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que

forma um ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em

alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um

avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a

direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por

um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela

cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em

a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. Resposta: [B] De acordo com o desenho a seguir, Belo Horizonte e Salvador.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

33. (Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2

metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e

alcançou uma altura de 0,8 metro.

A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da

rampa é

a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. Resposta: [D]

mxxx

6,52,3.2,2)2,3(8,02,2

8,0

2,3

2,3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 34. (Enem cancelado 2009) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.



Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até

o alto da cabeça da turista é igual a 2

3da medida do queixo da esfinge até o alto da sua

cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por

a) b d'

a c

b) b 2d

a 3c

c) b 3d'

a 2c

d) b 2d'

a 3c

e) b 2d'

a c

Resposta: [D]



Na figura o ∆BC ~ ∆ADE logo

c

d

a

b como d =

3

2.d ‘

Temos 2c

2d

a

b '

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 35. (Enem simulado 2009) Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em torno do campo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a trena para realizar a medição. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura. Uma região R tem área AR, dada em m2, de mesma medida do campo de futebol, descrito acima. A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é

a) RAVara m.

1500

b) RAVara m.

1590

c) R

1590Vara m.

A

d) RAVara m.

1500

e) RAVara m.

1590

Resposta: [B] Medida da vara em metros: v

AR = 53v.30v AR = 1590v2 v = 1590

RA

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

36. (Enem 2009) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma

brasileiro.

biomas

continentais

brasileiros

área

aproximada

(Km2)

Área / total

Brasil

Amazônia 4.196.943 49,29%

Cerrado 2.036.448 23,92%



Mata atlântica 1.110.182 13,04%

Caantiga 844.453 9,92%

Pampa 176.496 2,07%

Pantanal 150.355 1,76%

Área Total Brasil 8.514.877

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um

campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas

consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à

área aproximada do bioma Pantanal?

a) 1.400 b) 14.000 c) 140.000 d) 1.400.000 e) 14.000.000 Resposta: [E] Área de um campo de futebol (km2) 0,12km . 0,09 km = 0,0108km2 número de campos de

futebol para a área do Pantanal = 150.355 dividido por 0,0108 = 13.921759 aproximadamente

14 000 000 km2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

37. (Enem cancelado 2009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.

De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é a) 10%(a + b)2 b) 10%(a . b)2

c) a b − (a + b)

d) 2

a b ab a b

e) 2

a b ab a b



Resposta: [D]

a x

b

x

bx

x2ax

0,2 (a + x) . (b + x) = ax + bx + x2 Desenvolvendo, temos a equação: 0,8x2 + 0,8 (a + b)x - 0,2ab = 0 ( multiplicando por 5) 4x2 + 4 (a+b)x – ab = 0

abbabao

abbabax

abbabax

2

2

2

2

)()(2x log

2

)()(

8

)(4)(4

)abb)16((aΔ

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 38. (Enem cancelado 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura.

Área do setor circular: ASC = 2R

2

, α em radianos.

A área da região S, em unidades de área, é igual a



a) 2 22 R 3R

3 2

b) 22 3 3 R

12

c) 2 2R R

12 8

d) 2R

2

e) 2R

3

Resposta: [A]

A1 = osenRRR

120..2

1

360

120.. 2

S = 2.A1 = 2.

2

3.

2

1

3

. 22

RR

S = 2 22 R 3R

3 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 39. (Enem 2009) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de

preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC

2, Antônio

demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo

com o desenho, no qual AE = AB

5 é lado do quadrado.



Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela

condição se ele

a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. Resposta: [C]

105

2

x

AE e 2

xxAB

Área da residência = 10010

22xx

Área máxima permitida = 100

3

2100

6 2xx

x logo A(máxima) = 3.A(construída)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

40. (Enem 2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos

períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de

água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles,

tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O

cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa

a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a

ocorrência de enchentes.



Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois

da reforma na canaleta?

a) 90 m3/s. b) 750 m3/s. c) 1.050 m3/s. d) 1.512 m3/s. e) 2.009 m3/s. Resposta: [D]

Área da figura I = 25,62

2

5,2.2030m

e seja v a velocidade da água.

1050 = v.62,5 v = 16,8 m/s

Área da figura II = 290

2

2.4149m

Nova vazão = 90.16,8 = 1512m3/ s

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

41. (Enem cancelado 2009) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera digital é especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi, que corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os pontos serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo. Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o valor aproximado de megapixels que a foto terá? a) 1,00 megapixel. b) 2,52 megapixels. c) 2,70 megapixels. d) 3,15 megapixels. e) 4,32 megapixels.



Resposta: [E] 12.120 = 1800 pontos 20.120 = 2400 pontos No retângulo todo 1800.2400 = 4320000 = 4,32.106 pixels ou seja 4,32 megapixels ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 42. (Enem cancelado 2009) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico afiado para retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e a 3 cm, respectivamente.

A área da maior fatia possível é a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. Resposta: [E]

Área da secção transversal do cilindro: A 1 = .12 = cm2

Área da maior fatia: A2 = .32 - .12 = 8 cm2 Logo a área da maior fatia será 8 vezes a área da secção transversal do cilindro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 43. (Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.



Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que

representa uma "casinha", é igual a

a) 24cm .

b) 28cm .

c) 212cm .

d) 214cm .

e) 216cm . Resposta: [B] Considere a figura.

Seja RT . Temos que

TS 2 AB 2 2 4. Mas TS é a diagonal do quadrado RSUT. Logo,

TS 2 2 2. Como todas as sete peças foram utilizadas para fazer a casinha, segue que o quadrado RSUT e a casinha são equivalentes.

Portanto, o resultado pedido é 2 2 2(RSUT) (2 2) 8cm .



44. (Enem 2006)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o

comprimento total do corrimão é igual a

a) 1,8 m.

b) 1,9 m.

c) 2,0 m.

d) 2,1m.

e) 2,2 m.

Resposta: [D]

Considere a figura, em que BC x.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos

2 2 2x 90 120 x 22500 150cm 1,5 m.

Portanto, o comprimento total do corrimão é 1,5 2 0,3 2,1m.



45. (Enem 2005) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como

vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15km dessa

estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa

estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.

e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. Resposta: [C]

Considere a figura abaixo, em que P é o ponto onde deverá ser construída a estação.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APH, obtemos

2 2 2 2 2x 20 (40 x) x 400 1600 80x x

80x 2000

x 25km.

Por conseguinte, a nova estação deverá ser construída na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 46. (Enem 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.



Área do círculo: 2r

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa

empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem

do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que

a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. Resposta: [E]

Sejam I IIr , r e IIIr os raios das tampas.

Como os círculos são tangentes, segue que o raio de cada um dos três tipos de tampa é

dado por

2 1,

2 n n em que n é o número de círculos tangentes a um dos lados da

chapa. Desse modo, as sobras de cada chapa são respectivamente iguais a

22I

22

II

14 r 4 4 ,

1

14 4 r 4 4 4

2

e

22

III

14 16 r 4 16 4 .

4

Portanto, as três entidades recebem iguais quantidades de material. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 47. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. Resposta: [C]



.R 3,14.6.370

25800 800

π horas.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 48. (Enem 2002) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais

herdeiros.

Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os

quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:

a)

b)

c)

d)

e) Resposta: [E]

Com as informações da figura (E) só é possível estabelecer igualdade entre as áreas 1 e 2 e entre as áreas 3 e 4. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 49. (Enem 2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:



A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Nome Triângulo Quadrado Pentágono

Figura

Ângulo interno 60° 90° 108°

Nome Hexágono Octágono Eneágono

Figura

Ângulo interno 120° 135° 140°

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os

polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de

um

a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono. Resposta: [B]



Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do quadrado mede 90°. Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o quadrado. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 50. (Enem 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo,

em cm, deve ser:

a) 144. b) 180. c) 210. d) 225. e) 240. Resposta: [D]

Duplicando a figura dada, como na figura a seguir, podemos observar 5 degraus de 90 cm

cada.



Logo a soma dos comprimentos dos degraus da escada é 5.90

225cm2

.

Portanto, será necessária uma peça linear de no mínimo 225 cm.

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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra

Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da

rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto,

como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que

chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá

viagem sozinho.

Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e

representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir

indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):

51. (Enem 1999) Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário

que 1

y x2

ou que 1

x y2

.



De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem

juntos são de:

a) 0% b) 25% c) 50% d) 75% e) 100% Resposta: [D] Calculando a área da região assinalada na figura a seguir, temos:

2

1 132 2A 1 2. 75%

2 4

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 52. (Enem 1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura mede 60cm . No mesmo

momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m . Se, mais tarde, a sombra

do poste diminuiu 50cm , a sombra da pessoa passou a medir: a) 30cm. b) 45cm. c) 50cm. d) 80cm. e) 90cm.



Resposta: [B]

Cilindros e prisma e geometria plana no enem

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