Cinemática Relativística em Física de...

Cinemática Relativística em Física de Partículas

Cinemática Relativística

ProfessoresSandro Fonseca de SouzaDilson de Jesus Damião

1

Sumário! Motivações! Transformações de Lorentz! Sistemas de referência para processos de

colisão em FAE! Variáveis cinemáticas! Variáveis de Mandelstam! Seção de Choque ! Espaço de Fase para decaimento de dois

corpos2Cinemática Relativística

Bibliografia Sugerida! E. Byckling and K. Kajantie - Particle

Kinematics, March 1971, Finland.! R. Hagedorn - Relativistic Kinematics: A

guide to the Kinematic problems of High Energy Physics

! S. Novaes - Cinemática Relativística, UNESP-SP, Brasil

3Cinemática Relativística

Motivações! Introdução dos princípios básicos, aplicações

práticas e métodos conhecidos dos aspectos da FAE que são baseados puramente na cinemática.

! Cinemática pode ser definida como “a geometria do movimento”

! Cinemática relativística é uma aplicação da relatividade especial para reações com partículas elementares.


Motivações

! Do ponto de vista da puramente cinemático, partículas são completamente caracterizados por suas energias e momentum (ex. seus quadrimomentum p);

! As reações de partículas observáveis são por tanto os decaimentos ou colisões;

! Os números quânticos internos são irrelevantes para a cinemática das partículas elementares.


๏ Considerando um ponto A no espaço tempo onde:‣S pode ser descrito (x,y,z,t)‣e S’ (em movimento) pode ser

descrito (x’,y',z',t')(1) Considerando que o sistema S’

se move com uma velocidade constante v ao longo do eixo x

Transformações de Lorentz


x

0 = �(x� vt)y0 = y

t

0 = �(t� vx)z0 = z

A

SS v

S ) S0 S0 ) S

x = �(x0 + vt)

t = �(t0 + vt)

y = y0

z = z0

c = 1

� =1p

1� v2fator de Lorentz

S’

vx

= |v| = v

p|| = p

x

= pcos#

๏ Considerando o quadi-momemtum ‣ S pode ser descrito

‣ e S’ (em movimento) pode ser:



A

SS v

c = 1

� =1p


p ⌘ (E, p) = (E, px

, py

, pz

)

p0 ⌘ (E0, p0) = (E, p0x

, p0y

, p0z

)

‣ As transformações de Lorentz para o quadri-momentum são:

S’

p0

x

= �(px

� vE)

E0 = �(E � vpx

)p0

z = pz

p0y = py

vx

= |v| = v

S ) S0� =1p


y

x

z

p||

p?

p

p = (px

, p

y

, p

z

) = |p|(sen✓cos�, sen✓sen�, cos✓)

✓

�p? =

qp2

y + p2z

✓

Noções e Convenções

c = ~ = 1

x

⌫ = (x0, x

1, x

2, x

3) = (t, ~x) = (t, x, y, z)

E = �mp = ��m

pµ = (p0, p1, p2, p3) = (E, ~p) = (E, ~pT

, pz

) = (E, px

, py

, pz

)

a.b = a0b0 � ~a.~b

Unidades Naturais

Coordenadas Espaço-TempoVetor contravariante

Momentum e Energia Relativística

Vetor quadrimomentum

Momentum escalar de dois quadrivetores a e b

Relação entre energia e momentum E2 = p2 +m2

m = massa de repouso

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� =pE

� = (1� �2)�1/2 = E/mVelocidade da partícula:

p2 = pµpµ = E2 � |p2| = m2

Exercício 0 : Quando um píon decai um dois fótons, qual a energia do fóton?

Sistemas de coordenadas

Na descrição destas colisões, dois sistemas de referência são usualmente utilizados:

• Sistema de Centro de Massa (CM): é o sistema onde:

~pa + ~pb = 0

Consideremos a colisão de duas partículas de quadrimomentum

(Ea, ~pa) (Eb, ~pb)

• Sistema de Laboratório (LAB): é o sistema no qual são feitas as medidas.• Em experimentos de alvo fixo este sistema coincide com o

sistema do alvo, onde uma das partículas encontra-se em repouso (e.g. b):

• Nos experimentos de anéis de colisão, onde feixes de partículas idênticas colidem em direções opostas, este sistema coincide com o CM.

~pb = 0

9


10

A energia total da colisão como sendo:

ET =ps =

qm2

1 +m22 + 2Elab

1 m2

Exercício 1: Prove a equação acima.

Sistema de Laboratório (LAB)

Exercício 2: Considerando

ET ⇡ps ⇡

q2Elab

1 m2

Elab1 � m1,m2

Prove está aproximação;

Experimento de Rutherford (1908)


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Sistema de Centro de Massa (CM)


http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-kinematics.pdf

ET =p

s =q

m

21 + m

22 + 2E1E2(1� �1�2cos✓)

� =pE

ET =p

s = 2E1

p1 = �p2

m1 = m2




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Sistema de Centro de Massa (CM)



ET =p

s =q

m

21 + m

22 + 2E1E2(1� �1�2cos✓)

� =pE

ET =p

s = 2E1

p1 = �p2

m1 = m2


Exercício 5: Um feixe de prótons com momentum de 100 GeV

atinge um alvo fixo de hidrogênio.

(a) Qual é a energia de centro de massa para está interação?

(b) Qual seria a energia do feixe necessária para atingir a

mesma energia do LHC?

(c) Quais os colisores assimétricos usados atualmente e por

que não usar um colisor mais potente?



13

Comparando Colisores

14

Comparando Colisores

15

Exercício 5 a: Encontre

a energia de centro de

massa para o experimento de alvo fixo e um

colisor de partíc

ulas cujo o feixe de prótons tem

uma energia de 3,5 TeV.

Variáveis de Mandelstam


https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables

Em Física de Altas Energias seção de choque e razão de decaimentos são descritos por variáveis cinemáticas que são invariantes relativistísticos. Nos decaimentos de dois corpos existem de fato quatro invariantes disponíveis desde que a energia e momentum seja conservada de somente dois deles para definir a cinemática do evento.

http://www.physics.buffalo.edu/phy302/topic2/




s = (p1 + p2)2 = (p01 + p0

2)2 = �(p1 + p2)(p0

1 + p02)

t = (p1 + p01)

2 = (p2 + p02)

2 = �(p1 + p01)(p2 + p0

2)

u = (p1 + p02)

2 = (p2 + p01)

2 = �(p1 + p02)(p2 + p0

1)

As variáveis de Mandelstam são invariantes de Lorentz em decaimentos de tipo 2->2




s = (p1 + p2)2 = (p01 + p0

2)2 = �(p1 + p2)(p0

1 + p02)

t = (p1 + p01)

2 = (p2 + p02)

2 = �(p1 + p01)(p2 + p0

2)

u = (p1 + p02)

2 = (p2 + p01)

2 = �(p1 + p02)(p2 + p0

1)

As variáveis de Mandelstam são invariantes de Lorentz em decaimentos de tipo 2->2

Exercício 6 : Em espalhamento elástico do tipo: A+A =A+A, quais são as variáveis de Mandelstam?

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Rapidez



y

x

z'

#

yy0

x

x

0

z z0

SS0

v

p||

p?

p

p|| = p

x

= pcos#

p? =q

p2y + p2

z


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y

x

z'

#

yy0

x

x

0

z z0

SS0

v

p||

p?

p

p|| = p

x

= pcos#

p? =q

p2y + p2

z

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