1

Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Transformada de Laplace

Definição da Transformada de Laplace

Propriedades da Transformada de Laplace

2

Introdução à transformada de Laplace

Solução de Circuitos no Domínio do Tempo

Equações não-homogêneas apenas

Alguns tipos de excitação

Redes de ordem mais alta sistemas

De equações integro-diferenciais

Problemas de descontinuidade

Imposição de condições iniciais

3

R

( )ge t L

C

+

)(ti

)( 0tvC

Aplicação das Leis de Kirchhoff:

(Equação íntegro-diferencial)

Derivando:

(Equação diferencial não homogênea de

segunda ordem)

eg(t) → vários tipos de

excitação

Solução do circuito:

depende da energia

inicial armazenada →

vc(t0) e i(t0) –

condições iniciais

𝑅𝑖 𝑡 +1

𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡

𝑡

𝑡0

+ 𝑣𝑐 𝑡0 + 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑒𝑔(𝑡)

𝐿𝑑2𝑖(𝑡)

𝑑𝑡2 + 𝑅𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡+

𝑖(𝑡)

𝐶=

𝑑𝑒𝑔(𝑡)

𝑑𝑡

4

Solução de circuitos no domínio s

Transformada de Laplace

Derivadas Multiplicações

Integrais Divisões

Equações integro-diferenciais equações

Algébricas no campo complexo

Solução no Domínio da Frequência Complexa

Anti-transformadas solução da equação diferenciais

Inclui o problema do valor inicial (ou problemas de condições iniciais)

5

variável

t variável

s )(

)(

tv

ti

L{ }

Transformada

de Laplace

L-1 { }

Antitransformada

de Laplace

sistema

íntegro-

diferencial

sistema

linear

t - tempo (real)

s – frequência (complexa)

Solução de circuitos no domínio s

ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

6

Definição da transformada de Laplace

(Transformada de Laplace unilateral)

Sendo: f (t) = função no domínio do tempo,

com f (t) = 0 ( para t < 0 )

segundos

Adimensional

s = + j = frequência [1/s] [variável complexa]

Domínio do tempo Domínio da frequência complexa

7

Sobre a transformada de Laplace

∃ Transformada Bilateral:

Unilateral mais apropriada para circuitos

Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 integral

inclui, pois é tomada de t=0-

Unicidade !

Anti-transformação

ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)

𝐸𝑥. : 𝑒𝑒𝑡, 𝑒𝑡2

, 𝑡𝑡

Funções não transformáveis

𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

−∞

8

Transf. de Laplace da Função Degrau

u(t)

t

1

0

Função de Heaviside ou Função Degrau

𝐿 𝑢 𝑡 = 𝑈 𝑠 = 1𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

=1

𝑠

𝐻 𝑡 = 𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 01, 𝑡 ≥ 0

𝐿 𝑢 𝑡 = 1𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

= −1

𝑠𝑒−𝑠𝑡

0−

∞

= −1

𝑠0 +

1

𝑠1 =

1

𝑠

9

Transf. de Laplace da Função Exponencial

Função Exponencial

𝐿 𝑒−𝑎𝑡𝑢 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

= −1

𝑠 + 𝑎𝑒− 𝑠+𝑎 𝑡

0−

∞=

1

𝑠 + 𝑎

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

=1

𝑠 + 𝑎

10

Transf. de Laplace da Função Exponencial

Função Exponencial

As duas funções possuem a mesma transformada de

Laplace, porque a integral é calculada a partir de t=0-

11

Função Impulso

Função Impulso (ou Delta de Dirac)

d (t)

0

t

A função impulso existe somente em t = 0 e sua área é unitária.

𝛿 𝑡 = 0, para 𝑡 ≠ 0

𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝛿 𝑡 𝑑𝑡0+

0−

= 1

e

t

0

dt

tduna )(

12

Função Impulso

0

ua(t)

t

1

a1 a2 a3

1

1

a

a1

2

1

a

a2 a3

3

1

a

𝛿 𝑡 = lim𝑎→0

𝑑𝑢𝑎(𝑡)

𝑑𝑡

13

Propriedades da Função Impulso

𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝑓 0 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝑓 0 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝑓(0)

𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝑓 𝑡0 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝑓 𝑡0 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡∞

−∞

= 𝑓(𝑡0)

Estas são conhecidas como a propriedade de amostragem da função impulso em t = 0 e em t = t0

14

Transf. de Laplace da Função Impulso

Função Impulso unitário

d (t)

0

t

𝐿 𝛿 𝑡 = 𝛿 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

= 𝑒−𝑠.0 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞

0−

= 1.1 = 0

𝐿 𝛿 𝑡 = 𝛿 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0−

= 1

15

Transf. de Laplace da Função Seno

Função seno

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐿 sin 𝜔𝑡 = 𝐹(𝑠)

16

Transformada de Laplace de Funções

2 2

2 2

( )

1

1

-

( )

( )

1

cos

( )

at

f t

H t

e

sen t

F s

s

s a

s

st

s

t

d

𝑢(𝑡)

17

Operações com a transformada de Laplace

Indicam como operações matemáticas realizadas em

f(t) ou F(s) são convertidas para o outro domínio.

As operações de maior interesse são:

Multiplicação por uma constante

Adição e subtração

Diferenciação

Integração

Deslocamento no domínio do tempo

Deslocamento no domínio da frequência

Mudança de escala

Derivada da Transformada

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Linearidade da transformada de Laplace

Multiplicação por uma constante: multiplicar f(t) por uma constante K

corresponde a multiplicar F(s) pela mesma constante (princípio da

homogeneidade).

Adição / subtração: a adição / subtração no domínio do tempo

corresponde a adição / subtração no domínio da frequência (princípio da

aditividade).

Linearidade: combinação dos dois princípios.

L[f(t)]=F(s) L[K.f(t)]=K.F(s)

𝐿 𝑓1 𝑡 = 𝐹1(𝑠)

𝐿 𝑓2 𝑡 = 𝐹2(𝑠)

𝐿 𝑓3 𝑡 = 𝐹3(𝑠)

𝐿 𝑓1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 − 𝑓3 𝑡 = 𝐹1 𝑠 + 𝐹2 𝑠 − 𝐹3(𝑠)

𝐿 𝐾1𝑓1 𝑡 + 𝐾2𝑓2 𝑡 − 𝐾3𝑓3 𝑡 = 𝐾1𝐹1 𝑠 + 𝐾2𝐹2 𝑠 − 𝐾3𝐹3(𝑠)

19

Diferenciação no tempo

Teorema da Derivada

ℒ𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡= 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−)

Para ℒ𝑑2𝑓 𝑡

𝑑𝑡2 , seja 𝑔 𝑡 =𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡

ℒ 𝑔(𝑡) = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0− = 𝐺(𝑠)

aplicando o teorema da derivada:

20

Diferenciação no tempo

• 𝐺 𝑠 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0− ; 𝑔 𝑡 =𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡

• ℒ𝑑𝑔 𝑡

𝑑𝑡= ℒ

𝑑2𝑓 𝑡

𝑑𝑡2 = 𝑠𝐺 𝑠 − 𝑔 0−

= 𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0− −𝑑𝑓 0−

𝑑𝑡

Transformada de Laplace da derivada de ordem 2 de uma função f(t):

ℒ𝑑2𝑓 𝑡

𝑑𝑡2 = 𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0− −𝑑𝑓 0−

𝑑𝑡

21

Diferenciação no tempo

• Transformada de Laplace da derivada de ordem 𝑛 de

uma função f(t):

ℒ𝑑𝑛𝑓 𝑡

𝑑𝑡𝑛 = 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2 𝑑𝑓 0−

𝑑𝑡

− 𝑠𝑛−3 𝑑2𝑓 0−

𝑑𝑡2 − … − 𝑑𝑛−1𝑓 0−

𝑑𝑡𝑛−1

22

Diferenciação no tempo

Caso Particular:

para condições iniciais nulas (ou quiescentes) c.i.q.

Derivada da função f(t)

resulta em produto por s

da transformada F(s)

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹(𝑠)

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝑠2𝐹(𝑠)

⋮𝐿 𝑓 𝑛 𝑡 = 𝑠𝑛𝐹(𝑠)

23

Integração no tempo

Teorema da Integral

Caso Particular:

Para c.i.q.:

Integral da função f(t) resulta em

divisão por s da transformada F(s)

condições

iniciais

quiescentes (ou

nulas)

𝐿 𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡

0−

=𝐹 𝑠

𝑠+

𝑓 𝜏 𝑑𝜏0−

−∞

𝑠

𝐿 𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡

0−=

𝐹 𝑠

𝑠

24

Deslocamento no domínio do tempo

H(t – a)

t

1

0 a

Exemplos:

f(t)

Teorema do Deslocamento

No campo real

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 ⇒

𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎.𝑠𝐹(𝑠)

𝐿 𝐻 𝑡 =1

𝑠 𝐿 𝐻 𝑡 − 𝑎 =

𝑒−𝑎.𝑠

𝑠

25

Deslocamento no domínio da frequência

Exemplo:

ℒ 𝑒−𝑎𝑡cos (𝜔𝑡)

ℒ cos (𝜔𝑡) =𝑠

𝑠2 + 𝜔2

ℒ 𝑒−𝑎𝑡𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠 + 𝑎)

ℒ 𝑒−𝑎𝑡cos (𝜔𝑡) =𝑠 + 𝑎

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

𝐿 𝑒−𝑎.𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 + 𝑎)

26

Mudança de escala

ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 → ℒ 𝑓(𝑎𝑡) =

1

𝑎𝐹

𝑠

𝑎 𝑎 > 0

Exemplo:

𝐿 sin 𝑡 =1

𝑠2 + 1

𝐿 sin 𝜔𝑡 =1

𝜔

1

𝑠𝜔

2+ 1

=𝜔

𝑠2 + 𝜔2

27

Transformada de Funções Periódicas

Se f(t) é uma função periódica

Transformando cada termo, aplicando

a propriedade do deslocamento.

Obtemos:

𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 + 𝑓3 𝑡 + ⋯

= 𝑓1 𝑡 + 𝑓1 𝑡 − 𝑇 𝑢 𝑡 − 𝑇

+𝑓1 𝑡 − 2𝑇 𝑢 𝑡 − 2𝑇 + ⋯

= 𝐹1 𝑠 [1 + 𝑒−𝑇.𝑠 + 𝑒−2.𝑇.𝑠 + 𝑒−3.𝑇.𝑠 + ⋯ ]

𝐹 𝑠 = 𝐹1 𝑠 + 𝐹1 𝑠 𝑒−𝑇.𝑠 + 𝐹1 𝑠 𝑒−2.𝑇.𝑠 +

𝐹1 𝑠 𝑒−3.𝑇.𝑠 + ⋯

28

Transformada de Funções Periódicas

Porém,

se, 𝑥 < 1

Portanto,

= 𝐹1 𝑠 [1 + 𝑒−𝑇.𝑠 + 𝑒−2.𝑇.𝑠 + 𝑒−3.𝑇.𝑠 + ⋯ ]

1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ =1

1 − 𝑥

𝐹 𝑠 =𝐹1 𝑠

1 − 𝑒−𝑇.𝑠

29

Derivada da Transformada

Aplicação para a função degrau:

ℒ [ H (t) ] = 1 / s

ℒ [ t . H (t) ] = 1 / s2

ℒ [ t2 . H (t) ] = 2 / s3

.

.

.

ℒ [ tn . H (t) ] = n ! / sn+1

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠)

𝐿 𝑡. 𝑓 𝑡 = −𝑑𝐹(𝑠)

𝑑𝑠

30

Tabela de Propriedades da Transformada

Função do tempo Transformada

𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)

𝑐1𝑓1 𝑡 + 𝑐2𝑓2 𝑡 + ⋯ 𝑐1𝐹1 𝑠 + 𝑐2𝐹2 𝑠 + ⋯

𝑑𝑛𝑓(𝑡)

𝑑𝑡𝑛 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2𝑓′ 0− − ⋯

− 𝑓 𝑛−1 (0−)

𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡

−∞

𝐹 𝑠

𝑠+

1

𝑠 𝑓 𝜏 𝑑𝜏

0−

−∞

𝑡. 𝑓(𝑡) −

𝑑𝐹(𝑠)

𝑑𝑠

𝑒−𝑎.𝑡𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 + 𝑎)

𝑓(𝑡 − 𝑎) 𝑒−𝑎.𝑠𝐹(𝑠)

𝑓 𝑎. 𝑡 , 𝑎 > 0 1

𝑎𝐹(

𝑠

𝑎)

𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑇 , 𝑇 > 0, ∀ 𝑡 > 0 1

1 − 𝑒−𝑇.𝑠 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠.𝑡𝑑𝑡𝑇

0−

31

Aplicação da Transformada de Laplace

Resolução de equação diferencial:

Dado: v(0) = 1; v’(0) = -2

Aplicando-se a transformada ℒ em cada termo na equação diferencial:

Equação algébrica em s

𝑑2𝑣(𝑡)

𝑑𝑡2 + 6𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡+ 8𝑣 𝑡 = 2𝑢(𝑡)

𝑠2𝑉 𝑠 − 𝑠𝑣 0 − 𝑣′(0) + 6 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0 + 8𝑉 𝑠 =2

𝑠

Substituindo: chega-se a 𝑣 0 = 1; 𝑣′ 0 = −2;

𝑠2 + 6𝑠 + 8 𝑉 𝑠 = 𝑠 + 4 +2

𝑠=

𝑠2 + 4𝑠 + 2

𝑠

𝑉 𝑠 =

14𝑠

+

12

𝑠 + 2+

14

𝑠 + 4 𝑣 𝑡 =

1

41 + 2𝑒−2𝑡 + 𝑒−4𝑡 𝐻(𝑡)

ℒ−1

32

Transformada de Laplace de Funções

A partir das Leis de Kirchhoff:

Aplicando Laplace:

Equação algébrica em V(s)

eg(t)

10Ω

2F

v(t)

v(0-)=5V

i(t)

𝑅 𝐶𝑑𝑣 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑣 𝑡 = 𝑒𝑔(𝑡)

𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0− + 𝑉 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠)

𝑉 𝑠 =𝐸𝑔 𝑠 + 𝑅𝐶𝑣(0−)

(𝑠𝑅𝐶 + 1)=

1

𝑅𝐶

𝐸𝑔 𝑠 + 𝑅𝐶𝑣(𝑜−)

(𝑠 +1

𝑅𝐶)

eg(t)

10Ω

2F v(t)

v(0-)=5V

33

Transformada de Laplace de Funções

Para:

No domínio s:

Solução leva em conta a

condição inicial !

𝑒𝑔 𝑡 = 10𝐻 𝑡 [𝑉, 𝑠]

𝐸𝑔 𝑠 =10

𝑠

𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0− + 𝑉 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠) 10.2 𝑠𝑉 𝑠 − 5 + 𝑉 𝑠 =10

𝑠

𝑉 𝑠 =

10𝑠

+ 100

(20𝑠 + 1)=

5

𝑠

(𝑠 + 0,1)

(𝑠 + 0,05)=

10

𝑠−

5

(𝑠 + 0,05)

𝐿−1 ⇒ 𝑣 𝑡 = (10 − 5𝑒−0,05𝑡)H(t)

eg(t)

10Ω

2F v(t)

v(0-)=5V

34

Transformada de Laplace de Funções

Para

No domínio s:

Solução leva em conta a variação da

tensão inicial no capacitor, devido à

excitação impulsiva!

𝑒𝑔 𝑡 = 10𝛿 𝑡 [𝑉, 𝑠]

𝐸𝑔 𝑠 = 10

𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0− + 𝑉 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠)

𝑉 𝑠 =10 + 100

(20𝑠 + 1)=

5,5

(𝑠 + 0,05)

10.2 𝑠𝑉 𝑠 − 5 + 𝑉 𝑠 = 10

𝐿−1 ⇒ 𝑣 𝑡 = 5,5𝑒−0,05𝑡 𝐻(𝑡)

35

Próxima Aula

Leitura: Cap 15 – livro texto

1. Transformada inversa de Laplace.

36

Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.