CIRCUITOSMAGNETICAMENTE

ACOPLADOS

Prof. Edinaldo José da Silva Pereira

CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS

dt

tdiL

dt

tdiMLte

dt

tdiM

dt

tdiLte

22

12112

212

111

Para indutores lineares e invariantes no tempo M12 = M21 = M.

As auto-indutâncias são sempre positivas, enquanto que as indutâncias mútuas podem ser positivas ou negativas, dependendo do sentido do enrolamento das bobinas.

REGRA DOS PONTOS: quando ambas as correntes entram ou saem de um par de bobinas acopladas pelos terminais que tem o ponto, os sinais dos termos em M são iguais aos dos termos em L. Seuma das correntes entra e a outra sai, os sinais dos termos em M são opostos aos dos termos em L.

O efeito da mútua indutância é introduzir uma reatância mútua Xm ou uma impedância mútua Zm, onde Zm = jXm = jωM. 2212

2111

ILjMIjE

MIjILjE

CASO 1: DUAS INDUTÂNCIAS SÉRIE

Leq deve ser positivo, pois caso contrário um Leq negativo forneceria uma quantidade infinita de energia para uma fonte de corrente positivamente crescente.

eqLjMLLjI

EZ

MIjILjLjE

2

2

21

21

MLL 221

O sinal da mútua mudaria se apenas um dos pontos mudasse de posição.

CASO 2: INDUTÂNCIAS EM PARALELO

12211

12122122

12112211

20

0

LMLIjLMIj

IILjMIjIIMjILj

LMIjILjMIjIILjE

MjLjLjMjLj

MjLjLjMjLjLj

MjLjE

I

2

20

211

11

21

1

1

2

21

211

2

MLLj

MLLEI

MLL

MLL

I

ELeq 221

221

1

O sinal do denominador muda com a mudança de posição de um dos pontos da mútua.

Para Leq ≥ 0, então:

𝐿1𝐿2−𝑀2≥0

𝑀𝑚𝑎𝑥=√𝐿1𝐿2

já que o denominador foi anteriormente analisado. Esta última é mais restritiva que a primeira. Logo,

defini-se: 𝐾=𝑀

√𝐿1𝐿2Coeficiente de acoplamento

0≤𝐾 ≤1 Em transformadores com núcleo de ferro usados em sistemas de distribuição de potência, K ≈ 1.

REFLEXÃO DE IMPEDÂNCIAS

01222

1211

MIjZIILj

EMIjILj

ZLj

MLj

I

EZ

MZLjLj

ZLjEI

2

22

11

11

2221

211

IMP. REFLETIDA (Zf)

IMP. TOTAL SECUNDÁRIO

2

2

11

2

22

L

MLjZ

ZLj

MZ f

, quando Z 0.

≥0 𝑀 2≤ 𝐿1𝐿2

Se Z = R + jX, então Zf é:

22

22

22

22

2

22

22

22

22

2

22

Im

Re

XLR

XLMZX

XLR

RMZR

XLR

XLjRM

XLjR

MZ

ff

ff

f

Se X for indutiva (X > 0), reflete-se como uma contribuição capacitiva no primário, aumentando assim a corrente, pois cancelará parte da reatância positiva deste.

Resistência refletida

Exemplo: A chave k foi fechada em t = 0, quando o circuito se encontrava relaxado. Determine v(t) para t ≥ 0.

02338

12345

112

221

sIIsIs

sIIsI

0

1

3823

2345

2

1 sI

I

ss

ss

14,323,18

31

8

358

23

31358

23

3823

2345023

145

321

222

s

k

s

k

s

k

sss

s

sss

s

ss

sss

ss

I

07,0

03,0

1,0

3

2

1

k

k

k

Vtueetitv tt 14,323,12 07,003,01,055

Exemplo: Calcular E2 sabendo que K = 1/2.

00100

444

.16

2

121 MLLKM

112

221

484810

4886100

IjIjjjI

IjIjjjI

Vj

j

jj

jjj

j

EI 022 6,1163,22

16328

400

414

4804

1008

TRANSFORMADOR IDEAL

12

2211

12

1I

NI

IEIE

NEE

N – razão de transformação do transformador

21121

11

22

N

ZZI

N

ZE

ZN

INE

ZIE

Transferência da carga do enrolamento secundário para o primário

transferência do enrolamento primário para o secundário

A impedância é sempre modificada pelo quadrado da razão de transformação (N) e a maior impedância acontece no lado com maior número de espiras.

• Não dissipa energia• Não tem fluxo de dispersão (K = 1)• Indutância própria de cada enrolamento é

infinita

Impedância efetiva do primário

Exemplo: Qual o valor de E1 e E2?

Solução: Usando o equivalente do primário.

0010E

1,010

1020010E

AN

II

VNEE

A

N

ZR

EI

VE

11

1011

100

11

1010

11

100

1,01

10

11

1010

1,01

1,0

12

12

2

1

1

Exemplo: Um transformador ideal pode ser usado para representar a conexão de um amplificador estéreo, V1, com um auto-falante, RL. Determine a razão de espiras necessária para que haja máxima transferência de potência para o auto-falante. Solução:

1

2

2

1

2

1

2

1

N

N

I

I

N

N

V

V

6

1

6

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2

11

1

21

22

N

N

N

N

RRN

N

I

V

RN

NI

N

NV

RIV

sL

L

L

Condição para máxima transferência de potência

BOBINAS COM ACOPLAMENTO UNITÁRIO (L1 L2 = M2)

(I)

ZLj

MLj

I

EZ

2

22

11

1

ZLj

ZLjMjLjLjZ

2

12

21

como (L1 L2 = M2), então:

1211

2

2

1

11

1

LLZLjZLj

ZLjY

ZY

ZLj

ZLjZ

Portanto, Y é a combinação paralela de uma indutância jωL1 e uma impedância ZL1/L2.

Esta última pode ser vista como uma impedância que foi refletida por um transformador em paralelo com a impedância da bobina do primário.

1:NI1 I2

ZjωL1

Circuito com transformador ideal

ZL1/L2

I1

jωL1

Circuito equivalente primário

1

2L

LN

Para a obtenção do correto circuito circuito equivalente do primário é necessário, somente, que .

A impedância refletida através do transformador é2

12 L

LZ

N

Z

Para a situação (I), escreve-se:

2212

2111

ILjMIjE

MIjILjE

21

1

22

1

1211

221

1

2

ILMI

IMLI

L

M

MIIL

ILMI

E

E

Eq. geral

No caso de K = 1 ou

**1

22

1 L

LN

M

L

L

M

Considerando as equações (*) e (**), vem N

L

M

E

E

11

2

então para acoplamento unitário, a tensão de saída, E2, é N vezes a de entrada, E1, onde

O valor de N é idêntico àquele assumido pelo transformador ideal, concluindo-se que o comportamento das bobinas acopladas com K = 1 é similar ao do transformador ideal.

Em resumo, um par de bobinas acopladas com K = 1 é equivalente a um transformador ideal com razão de espiras igual a raiz quadrada da razão das indutâncias próprias do secundário pelo primário, e a uma indutância shunt no primário do transformador, de mesmo valor da indutância própria do primário.

Um transformador ideal não teria esta indutância. Por isso, pode-se dizer que um transformador ideal age como um par de bobinas com acoplamento unitário cujos valores destas indutâncias próprias são INFINITOS.

BOBINAS COM L1, L2 E M ARBITRÁRIOS

IILjMIjE

MIjILjE

2212

2111

jωM

jωL2jωL1

+E2

-

+E1

-

I1 I2Em geral, < 1

Diminuindo-se o valor de L1 e/ou L2, pode-se obter K = 1.

jωM

jωLb

jω(L1 – La) +E2

-

+E1

-

I1 I2

jω(L2 – Lb)

jωLa

K=1

Neste caso,

jωLb

jωLm+E2

-

+E1

-

I1 I2

jωLa

+EX

-

NI2

+NEX

-

1:N

22

22

11

LLLNLjLLNj

MNLNLjMj

LLLLjLLj

bmbm

mm

mama

MNLLN

ML

N

MLL

b

m

a

2

1

M

LN

L

M

L

MN

M

L

2

1

1

2

22

12

22122

211

2121

21111

log,)(,

ILjLjNNILjE

ILjLjNIINILjNEE

NILjILjLjE

oELjNIINILjILjmas

NILjILjILjEILjE

bmm

bmbx

mma

xmmm

mmaxa

(II)

Comparando (I) com (II),

L1, L2 e M são

conhecidos

Com quatro incógnitas e três equações, deve-se arbitrar uma das incógnitas, por exemplo, N. Assim,

Entretanto, como deseja-se indutâncias positivas, limita-se N. Neste caso,

Em geral, escolhe-se a média geométrica destes valores extremos para arbitrar N.

1. 2.

Exercício: Monte o circuito equivalente com transformador para as bobinas acopladas apresentadas.

Solução:

3H

50H2H

Neste caso,

HNML

HMNLL

HN

MLL

L

LN

m

b

a

53

355350

57

5

32

52

50

2

1

1

2

Como o K foi baixo, , então as indutâncias La e Lb foram altas.

EXERCÍCIOS

1. O circuito abaixo manteve a chave k fechada até t = 5 s, quando, tendo alcançado o regime, a mesma abriu. Determine v(t) para .

t = 5 s

1H

1H

1Ω

1Ω10A

2. O circuito abaixo estava em regime com a chave k conectada em a, quando em t = 0 a mesma conectou em b. Determine a corrente sobre R2 para .

V1

V2

a

b

t = 0

k

R1

R2 R3

L2L1

V1 = 10 VV2 = 20 VR1 = 1 Ω

R2 = R3 = 2 ΩL1 = L2 = 1 H

3. O circuito abaixo estava em regime com a chave k aberta. Em t = 0 a mesma fechou. Determine a tensão sobre R3 para .

V1

t = 0k

R1 R2

R3

L2L1

V1 = 100 VR1 = R2 = R3 = 10 Ω

L1 = L2 = 1 HR4

4. Determine a corrente sobre R2 para . Supor circuito inicialmente relaxado.

V1 = 10 VR1 = R2 = 1 Ω

R3 = 2 ΩL1 = 1 HL2 = 6 HM = 2 H

R2 R3

L2

V1 ..

R1

L1

5. Determine a corrente sobre R2 para . Supor circuito inicialmente relaxado.

e(t)

R1

L3

L2L1

R2

. e(t) = e-t u(t) VR1 = R2 = 1 Ω

L3 = 8 HL1 = 10 HL2 = 2 H

M12 = 1 HM13 = 2 HM23 = 3 H