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Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES CIRCUITOS RC E RL INTEGRADORES E DIFERENCIADORES. RESPOSTA ÀS FUNÇÕES SINGULARES. CAPITULO 06

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Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

CIRCUITOS RC E RL INTEGRADORES E DIFERENCIADORES. RESPOSTA ÀS FUNÇÕES SINGULARES.

CAPITULO 06

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I

Professor Silvio Lobo Rodrigues 2

6.1 INTRODUÇÃO Destina-se o presente capítulo ao estudo da resposta a uma excitação de entrada dos circuitos RC e RL. Abordaremos inicialmente os circuitos RC e RL atuando como filtros passa-baixa e passa-alta bem como as condições em que atuam como circuitos integradores e diferenciadores. O passo seguinte destina-se ao estudo da resposta às principais funções singulares, tais como o degrau unitário, o impulso unitário, a rampa e o dublê unitário. 7.2 CIRCUITO PASSA-ALTA

Um circuito é dito passa-alta quando as componentes de alta freqüência da função de excitação vs(t) ou is(t) são menos atenuados do que as de baixa freqüência. No caso extremo, CC(freqüência nula), o sinal é completamente suprimido e ausente na saída. Circuitos passa-alta são, pois, eliminadores de corrente contínua. Como primeiro exemplo, observemos o circuito da figura 6.1, no qual o capacitor C é um circuito aberto para baixas freqüências.

Figura 6.1 - Circuito passa-alta RC.

Façamos a análise matemática do circuito usando a lei de Kirchhoff de tensão:

(6.1) A constante de tempo do circuito é:

(6.2) Em termos da corrente i(t):

S c ov v v= += += += +

s

s o o

1v i dt RiC1 1v Ri dt Ri v dt v

RC

= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +

= ⋅ + = ⋅ += ⋅ + = ⋅ += ⋅ + = ⋅ += ⋅ + = ⋅ +γγγγ

∫∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

RC sγ =γ =γ =γ =

vs(t)

vC

vo(t) i(t)

C

+

+

-

-

R

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Derivando a igualdade: Utilizando a linearidade: Quando vs>>vo (6.3)

(6.4) Logo. Se a tensão de entrada vs >> vo teremos a saída vo(t) proporcional à derivada da entrada. Esta condição será satisfeita quando quase toda tensão de entrada estiver sobre o capacitor. A condição física necessária é que R e C tenham valores pequemos, tais que, a constante de tempo RC do circuito, seja muito menor que o período T da tensão de entrada. Em temos práticos, considera-se:

(6.5) Um circuito passa-alta sendo utilizado nestas condições é um circuito diferencial.

Um outro exemplo de circuito passa-alta pode ser observado na digura 6.2.

Figura 6.2 – Circuito RL passa-alta.

A constante de tempo é:

(6.6)

T 10 ou T 10RC ≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥

s R ov v v= += += += +

LR

γ =γ =γ =γ =

(((( ))))

s oo

s oo

dv dv1 vdt dt

dv dvv tdt dt

= += += += +γγγγ

= γ −= γ −= γ −= γ −

(((( )))) (((( ))))s o so

d v v vv t

dt−−−−

= γ= γ= γ= γ

(((( )))) so

dvv tdt

≅= γ≅= γ≅= γ≅= γ

vs(t) L

R

-

+

vo(t)

i(t)

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Como: Então:

Derivando:

Usando a linearidade: Quando vs >> vo:

(6.7) Logo, se a tensão de entrada vs>>vo, teremos a saída vo(t) proporcional à derivada da entrada. Esta consição será satisfeita quando quase toda tensão de entrada estiver sobre o resistor. A condição física necessária é que L/R seja pequeno, isto é, a constante de tempo do circuito

seja muito menor que o período da tensão de entrada. Em termos práticos considera-se:

(6.8) Um circuito RL passa-alta usado nestas condições é um circuito diferenciador.

(((( )))) o1i t v dtL

==== ∫∫∫∫

s o o o oR 1v v dt v v dt vL

= + = += + = += + = += + = +γγγγ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

(((( )))) s oo

dv dvv tdt dt

= γ −= γ −= γ −= γ −

LT 10 ou T 10R

≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥≥ γ ≥

(((( ))))s ov R i t v= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +

(((( )))) (((( ))))s oo

d v vv t

dt−−−−

= γ= γ= γ= γ

(((( )))) so

dvv tdt

= γ= γ= γ= γ

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6.3 CIRCUITOS PASSA-BAIXA Um circuito é dito passa-baixa quando as componentes de baixa freqüência da função de

excitação vs(t) ou is(t) são menos atenuadas do que as alta freqüência. Como primeiro exemplo observemos o circuito da figura 7.3,

Figura 6.3 – Circuito RL passa-baixa.

Pela lei de Kirchhoff de correntes:

(6.9) Porém: Logo:

Para is >> io:

(6.10)

(6.11)

Nestas condições a saída é proporcional à integral da entrada do circuito.

s R o

os o

i i ivi iR

= += += += +

= += += += +

oo

div Ldt

====

oo o

oo s

diLi iR dt

di Li i =dt R

= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +

− = γ γ− = γ γ− = γ γ− = γ γ

(((( ))))

os

t

o s0

diidt

1i i t dt

≅ γ≅ γ≅ γ≅ γ

====γγγγ ∫∫∫∫

is(t) iR io vo

+

-

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Para que is >> io a maior parte da corrente tem que estar sobre o resistor. A condição física necessária é que a constante de tempo do circuito tenha um valor vem maior que o período do circuito.

Em termos práticos podemos considerar que a saída é proporcional à integral da entrada durante todo o período da onda de entrada quando:

(6.12)

Nestas condições o circuito age como integrador. O circuito é chamado passa-baixa porque o indutor oferece baixa reatância às correntes de

baixa freqüência e dificulta a passagem das correntes de alta freqüência. Outro exemplo de circuito passa-baixa pode ser observado na figura 6.4.

Figura 6.4 – Circuito RC passa-baixa. Quando vs >> vo : Então: Logo, a saída é proporcional à integral da entrada. Para que vs>>vo quase toda a tensão da fonte

deve estar aplicada no resistor.

L10T ou 10TR

γ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥

s R o

s o

os o

os o

v v vv Ri v

dvv RC v RCdx

dvv vdx

= += += += += += += += +

= + γ == + γ == + γ == + γ =

− = γ− = γ− = γ− = γ

o s1v v dt====γγγγ ∫∫∫∫

os

dvvdx

≅ γ≅ γ≅ γ≅ γ

vs(t) vo(t)

vR + -

-

+ R

C

x(t)

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Isto será possível se a constante de tempo do circuito for elevada em relação ao período da onda de entrada.

Em termos práticos:

(6.13) Nestas condições, o circuito age como integrador durante todo o período da onda de entrada. O circuito é chamado passa-baixa porque o capacitor oferece alta reatância às correntes de

baixa freqüência e dessa forma desenvolve sobre si quase toda a tensão da fonte. OBS: Para maiores informações sobre os itens 6.2 e 6.3, ver TÉCNICAS DE PULSOS de

Contantine H. Houpis, e Jerzy Lubelfeld, CAPÍTULO 1. EX1. Para o circuito abaixo C = 1µF, R = 1 MΩ e o período da forma de onda de entrada é T = 1s. Para esses valores , o circuito age como um passa-alta diferenciador satisfatório? Solução: A constante de tempo do circuito é

4 6 2cT RC 10 x10 10 segundos− −− −− −− −= = == = == = == = =

Assim,

c2c

T 1 100 ou T 100TT 10−−−−= = == = == = == = =

Portanto, a condição T >> Tc, para um circuito passa-alta satisfatório, foi conseguida.

10T ou RC 10Tγ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥γ ≥ ≥

C

R vi(t) vo

+

-

- + vc

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EX2. a) Para o circuito abaixo, C = 10µF, R = 1 MΩ e o período da forma de onda de entrada é T = 1s. O circuito age como um passa-alta diferenciador satisfatório?

b) Repita (a) para R = 1 0kΩ.

Solução: a) Constante de tempo do circuito é

6 5cT RC 10 x10 10 segundos−−−−= = == = == = == = =

ou,

cc

T 1 0,1 ou T 0,1TT 10

= = == = == = == = =

A condição T >> Tc, para a operação satisfatória não foi alcançada. b) Constante de tempo do circuito agora se torna

4 5cT RC 10 x10 0,1 segundos−−−−= = == = == = == = =

ou,

cc

T 1 10 ou T 10TT 0,1

= = == = == = == = =

A condição T ≥ 10 Tc foi satisfeita no limite para a operação como passa-alta.

C R ii(t)

io iR +

vo

-

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EX3. Para o circuito abaixo, L = 100mH, R = 1kΩ e o período da forma de onda da entrada é T = 0,5s. O circuito age como um passa-alta integrador satisfatório?

Solução: a) Constante de tempo do circuito é

2

4c 3

L 10T 10 segundosR 10

−−−−−−−−= = == = == = == = =

ou,

3c4

c

T 0,5 5x10 ou T 5000TT 10−−−−= = == = == = == = =

A condição T >> Tc, para a operação como passa-alta diferenciador é alcançada.

EX4. a) Para o circuito abaixo, C = 1µF, R = 10kΩ e o período da forma de onda de entrada é T = 1s. O circuito age como um passa-baixa diferenciador satisfatório?

c) Repita (a) para C = 10µF, R = 1MΩ.

Para ser diferenciador a maior parte da tensão deve estar no resistor e isto acontece quando T << Tc.

R L ii(t) vo

+

-

iL io

R

C vi(t) vo

vR + -

-

+

i(t)

1

i R o

i o

oi o

oi o

i o

oi

io

v = v + vv = R.i +v

dvv = R.C + vdt

dvv - v = dt

v vdvvdtdvvdt

Se

γ

γ

γ

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Solução: a) Constante de tempo do circuito é

4 6 2cT RC 10 x10 10 segundos− −− −− −− −= = == = == = == = =

ou,

2c2

c

T 1 100 ou T 10 TT 10

−−−−−−−−= = == = == = == = =

Como Tc ≥ 10 T, a condição para a operação satisfatória como passa-baixa não foi alcançada. b) Constante de tempo do circuito agora se torna

6 5cT RC 10 x10 10 segundos−−−−= = == = == = == = =

ou,

cc

T 1 0,1 ou T 10TT 10

= = == = == = == = =

Portanto, a condição Tc ≥ 10 T para a operação satisfatória como passa-baixa diferenciador foi alcançada. EX5. a) Para o circuito abaixo, L = 0,01H, R = 100Ω e o período da forma de onda da entrada é T = 1µs. O circuito age como um passa-baixa satisfatório? b) Qual é o maior valor que o período da forma de onda de entrada pode ter e ainda manter uma operação satisfatória como passa-baixa?

L R ii(t) vo

+

-

iR iL

1

0

1

i R o

oi o

oi o

oi o

i o

oi

o i

i = i + ivi = + i R

di Li = + iR dt

dii - i = dt

i idiidt

i i dt

Se

γ

γ

γ ∫

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Para ser integrador a maior parte da corrente deve estar sobre o resistor. Isto acontece se γ >> T. Solução: a) Constante de tempo do circuito é

2

4c

L 10T 10 segundosR 100

−−−−−−−−= = == = == = == = =

ou,

6

2c4

c

T 10 10 ou T 100TT 10

−−−−−−−−

−−−−= = == = == = == = =

A condição Tc = 10T para a operação como passa-baixa foi alcançada. b) O maior valor que o período da forma de onda de entrada pode ter para operação satisfatória é

4

5cmáx

T 10T 10 10 s10 10

−−−−−−−−= = = = µ= = = = µ= = = = µ= = = = µ

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6.4 O DEGRAU UNITÁRIO

A função degrau é por definição uma função que e nula para todos os valores de seu argumento

que sejam menores do que zero e que é 1(um) para todos os valores positivos do argumento.

Figura 6.5 – Degrau Unitário.

(6.14) Para t = 0 u(t) muda de 0 para 1 e seu valor não é definido. Porém, em t = 0-, u(0-) = 0 e em t

= 0+, u(0+) = 1. Um degrau retardado no tempo de to segundos é representado por:

(6.15)

Figura 6.6 – Degrau retardado no tempo. Um degrau adiantado no tempo de to segundos é representado por:

(6.16)

(((( )))) 0 t 0u t

1 t 0<<<<==== >>>>

(((( )))) o oo

o o

0 t t 0 t tu t t

1 t t 0 t t− < ⇒ <− < ⇒ <− < ⇒ <− < ⇒ <

− =− =− =− = − > ⇒ >− > ⇒ >− > ⇒ >− > ⇒ >

(((( )))) o oo

o o

0 t t 0 t tu t t

1 t t 0 t t+ < ⇒ < −+ < ⇒ < −+ < ⇒ < −+ < ⇒ < −

+ =+ =+ =+ = + > ⇒ > −+ > ⇒ > −+ > ⇒ > −+ > ⇒ > −

1 u(t)

t

1

t t0

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Figura 6.7 – Degrau adiantado no tempo. Um degrau com argumento negativo tem uma configuração invertida.

(6.17)

Figura 6.8 – Degrau invertido. Como exercício obtenha os gráficos para: A função degrau quando multiplicada com qualquer outra função tem uma função de

apagamento para t < 0. Como por exemplo:

Figura 6.9 – Exemplo de aplicação do degrau como função pagamento.

(((( )))) 0 -t 0 t 0u t

1 -t 0 t 0< ⇒ >< ⇒ >< ⇒ >< ⇒ >− =− =− =− = > ⇒ <> ⇒ <> ⇒ <> ⇒ <

(((( ))))(((( ))))

a) u 2 t

b) u 2 t

− −− −− −− −

−−−−

(((( )))) 2x t t==== (((( )))) (((( )))) (((( ))))f t u t x t= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

1

t -t0

1

t

x(t) f(t)

t t

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Outra aplicação importante da função degrau é a obtenção de outras formas de onda pela soma e subtração de degraus. Vejamos dois exemplos:

Figura 6.9 – Subtração de degraus.

Figura 6.10 – Soma e subtração de degraus.

(((( )))) (((( )))) (((( ))))f t u t u t 2= − −= − −= − −= − −

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x t 5u t 2u t 2 3u t 4 u t 5= − − − − + −= − − − − + −= − − − − + −= − − − − + −

t t t

1

-1

2 2

1

u(t) -u(t-2) f(t)

5

4

3

2

1

5 6 4 3 2 1 t

x(t)

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6.5 RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CKT RL

Vamos considerar agora um circuito série RL ao qual é aplicada uma tensão Vu(t).A corrente inicial no indutor é nula.

Figura 6.11 – Aplicação do degrau ao CKT RL série.

(6.18)

i(t) = 0 para t < 0 Para t > 0: A resposta em corrente terá duas componentes, uma natural, e outra forçada, uma vez que o

indutor não permite uma variação instantânea de corrente:

(6.19) A componente natural para um CKT RL já é nossa conhecida e podemos escrever:

(6.20) A componente forçada é fácil de ser obtida e podemos escrever até por simples inspeção uma

vez que após algum tempo a corrente sobre o indutor será um curto.

(6.21)

(((( )))) diVu t Ri Ldt

= += += += +

diV Ri Ldt

= += += += +

(((( )))) n fi t i i= += += += +

R tL

ni Ae−−−−

====

fViR

====

v

i(0) = 0

t = 0 R

L L

R

v.u(t) i(t)

i(t)

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A solução completa é: Aplicando a condição inicial i(0) = 0:

(6.22) Então:

(6.23)

Figura 6.12 – Resposta ao degrau de um circuito RL.

6.6 RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CKT RC Consideremos o CKT da figura 6.13.

Figura 6.13 – Circuito RC excitado por um degrau.

(((( ))))R tL Vi t Ae

R−−−−

= += += += +

V V0 A AR R

= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −

(((( )))) (((( ))))R tLVi t 1 e t

R−−−−

= − µ= − µ= − µ= − µ

i(t)

t

V0,632R

VR

γ 4γ

R C I.u(t)

iR iC

v(t)

+

- v(0)=0

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(6.24) Para t < 0 v(t) = 0. Para t > 0:

(6.25) A tensão v(t) será obtida pela soma de duas componentes: A solução natural é obtida por:

(6.26) A solução forçada é obtida por inspeção uma vez que após algum tempo toda a corrente estará

sobre o resistor.

(6.27) A solução completa: Aplicando a condição inicial v(0) = 0:

(6.28) Logo:

(6.29)

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))R cI t i i

v t dv tI t C

R dt

µ = +µ = +µ = +µ = +

µ = +µ = +µ = +µ = +

(((( )))) (((( ))))v t dv tI C

R dt= += += += +

(((( )))) n fv t v v= += += += +

tRC

nv Ae−−−−

====

fv R I= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

(((( ))))t

RCv t Ae R I−−−−

= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅

0 A R I A R I= + ⋅ ⇒ = − ⋅= + ⋅ ⇒ = − ⋅= + ⋅ ⇒ = − ⋅= + ⋅ ⇒ = − ⋅

(((( )))) (((( ))))t

RCv t RI 1 e t−−−−

= − µ= − µ= − µ= − µ

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Figura 6.14 – R

6.7 OUTRAS FUNÇÕES SINGULAR 6.7.1 Função Pulso P∆(t)

Figu Observe que a função pulso possu

da função no limite quando ∆ 0. Em termos da função degrau pod

(((( ))))0 t 01p t 0 t

0 t ∆∆∆∆

<<<<

< < ∆< < ∆< < ∆< < ∆ ∆∆∆∆> ∆> ∆> ∆> ∆

(((( )))) (((( )))) (((( ))))u t u tp t∆∆∆∆

− − ∆− − ∆− − ∆− − ∆====

∆∆∆∆

v(t)

t

0,632.RI

RI

γ 4γ

esposta ao degrau de um CKT RC.

ES

(6.30)

ra 6.15

i área un

emos aind

1/∆

p∆(t)

– Função Pu

itária qualqu

a definir a fu

t

18

lso.

er que seja ∆. Observe o comportamento

nção pulso como:

(6.31)

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6.7.2 Impulso Unitário δ(t) É também chamado de função delta-Dirac. Não é uma função no sentido matemático do termo. É definido como:

(6.32) A singularidade é tal que:

(6.33) Veja que a área sob a curva é unitária.

Figura 6.16 – Impulso Un Intuitivamente nós podemos pensar que a função im

∆ 0. Isto equivale a um pulso de amplitude infinita e duraçFisicamente podemos pensar que δ(t) representa a d

unitária localizada em t = 0. Da definição de δ(t) e u(t) conclui-se que:

Logo:

(((( )))) 0 t 0t

singular em t 0≠≠≠≠δ =δ =δ =δ = ====

(((( ))))t dt 1 0+ε+ε+ε+ε

−ε−ε−ε−εδ = δ >δ = δ >δ = δ >δ = δ >∫∫∫∫

(((( )))) (((( ))))du tt

dt= δ= δ= δ= δ

(((( )))) (((( )))) tu t t dt

−∞−∞−∞−∞= δ= δ= δ= δ∫∫∫∫

δ(t)

t

1

19

itário.

pulso é a função pulso no limite quando ão instantânea. ensidade de carga de uma carga puntal

(6.34)

(6.35)

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6.7.3 Rampa Unitária A rampa unitária é definida como:

(6.36)

Figura 6.17 – Rampa Unitár

Uma conclusão imediata pode ser retirada da equação de

Logo:

6.7.4 Dublê Unitário É uma função singular definida como:

A singularidade é tal que:

Ou ainda:

(((( )))) (((( ))))r t tu t====

(((( )))) (((( ))))dr tu t

dt====

(((( )))) (((( )))) tr t u t dt

−∞−∞−∞−∞==== ∫∫∫∫

(((( ))))' 0 t 0t

singular em t 0≠≠≠≠δ =δ =δ =δ = ====

(((( )))) (((( )))) t 't t dt−∞−∞−∞−∞

δ = δδ = δδ = δδ = δ∫∫∫∫

(((( )))) (((( ))))' d tt

dtδδδδ

δ =δ =δ =δ =

r(t)

t

1

1

20

ia.

definição:

(6.37)

(6.38)

(6.39)

(6.40)

(6.41)

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Figura 6.18 – D

6.8 RESPOSTA AO IMPULSO δ(t) Existem três métodos práticos para obten

DESOER). O mais poderoso, entretanto, consiste em s

derivação obter-se a resposta ao impulso. Já vimos que:

Denotando por h(t) a resposta ao impulso d

de tensão ou corrente, temos por extensão da propri

6.9 RESPOSTA AO IMPULSO PARA UM CKT

Consideremos o circuito RL da figura 6.19 a

Figura 6.19 – Impulso

(((( )))) (((( ))))du tt

dtδ =δ =δ =δ =

(((( )))) (((( ))))ds th t

dt====

vδ(t)

i(t

R

ublê Unitário

ção da respos

e obter primei

e tensão ou coredade para um

RL

o qual é aplica

aplicado a CK

(((( ))))' tδδδδ

)

L

t

21

.

ta ao impulso. (ver capítulo 4.6 –

ramente a resposta ao degrau e por

(6.42)

rente e por s(t) a resposta ao degrau CKT linear:

(6.43)

do um impulso de tensão Vδ(t).

T RL.

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A resposta ao degrau de amplitude V obtida para o mesmo CKT RL, foi: A resposta ao impulso Vδ(t) será, pois: A segunda parcela é identicamente nula uma vez que δ(t) só existe em t = 0 e neste instante

(1-e-(R/L)t) = 0. Então,

(6.44)

Figura 6.20 – Resposta ao impulso CKT RL. Para um impulso unitário V = 1:

(6.45)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))R tLVi t s t 1 e u t

R−−−−

= = −= = −= = −= = −

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))R Rt tL L

ds t V Vi t h t e u t 1 e tdt L R

− −− −− −− − = = = + − δ= = = + − δ= = = + − δ= = = + − δ

(((( )))) (((( )))) (((( ))))R tLVi t h t e u t

L−−−−

= == == == =

(((( )))) (((( ))))R tL1h t e u t

L−−−−

====

h(t)

t

V/L

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6.10 RESPOSTA AO IMPULSO PARA UM CKT RC

Consideremos o circuito RC da figura 6.21 ao qual é aplicado um impulso de corrente Iδ(t).

Figura 6.21 – Impulso aplicado a um CKT RC. A resposta ao degrau de amplitude I obtida para o mesmo CKT RC, foi: A resposta ao impulso Iδ(t) será, pois: O segundo membro é identicamente nulo. Teremos então:

(6.46) Para um impulso unitário I = 1:

(6.47)

Figura 6.22 – Resposta ao impulso CKT RC.

(((( )))) (((( )))) (((( ))))t

RCv t s t RI 1 e u t−−−−

= = −= = −= = −= = −

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))t t

RC RCds t Iv t h t e t RI 1 e t

dt C− −− −− −− −

= = = µ + − δ= = = µ + − δ= = = µ + − δ= = = µ + − δ

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))t

RCds t Iv t h t e u t

dt C−−−−

= = = ⋅= = = ⋅= = = ⋅= = = ⋅

(((( )))) (((( ))))t

RC1v t e u tC

−−−−= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

iδ(t)

R

C

v

+

-

I/C

t

h(t)

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Veja ainda capítulo 4 TEORIA BÁSICA DE CIRCUITOS – Charles Dosoer e Ernest Kuh, tabela 4.1, página 142 do livro em português.

6.11 RESPOSTA À RAMPA – CIRCUITOS RL E RC Para obtenção da resposta a uma rampa r(t) na entrada, escrevem-se as equações de malha ou

de nó para os circuitos RL e RC e resolve-se a equação diferencial, pelos métodos normais de solução. Veja exemplo a seguir.

Vamos determinar à resposta a rampa para o circuito RL da figura 6.23 considerando que a corrente inicial no indutor em t = 0 é 3A.

Figura 6.23 – Exemplo circuito RL. A equação de malha fornece:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

n f

20tn

f 1 2

1 2 1

1

2 1

1 2

f20t

di t3tu t 10i t 0,5

dti t i i

i AePara t 0

di t3t 10i t 0,5

dti K t K3t 10 K t K 0,5 K3 10K0 10K 0,5KK 0, 3 K 0,015i 0, 3t 0,015i t Ae 0,3t 0,015

−−−−

−−−−

= += += += +

= += += += +

====>>>>

= += += += +

= += += += +

= + + ⋅= + + ⋅= + + ⋅= + + ⋅ ===== += += += += = −= = −= = −= = −= −= −= −= −

= + −= + −= + −= + −

3.r(t)

10Ω

0,5H

i(t)

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Aplicando a condição inicial i(0) = 3A:

6.12 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1. Para o circuito abaixo determine a resposta i(t), i1(t), i2(t) e v(t) sendo i2(0) =0. Solução: Aplicando (1) em (2):

(((( ))))(((( ))))

20t

3 A 0,015A 3,015i t 3,015e 0,3t 0,015 para t 0

i t 3A para t 0

−−−−

= −= −= −= −===== + − ≥= + − ≥= + − ≥= + − ≥

= <= <= <= <

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

1 2

1

22

i t i t i t 1

v t 6i t 2

di tv t 4i t 10 3

dtv t 18 1, 2i t 4

= += += += +

====

= += += += +

= −= −= −= −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

2

2

v t 6 i t i t

v t 6i ti t 5

6

= −= −= −= −

++++====

i1(t)

i2(t)

i(t)

10H

1,2Ω

v(t)

18u(t)

+

-

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Substituindo (5) em (4): Levando a equação (6) na equação (3): Aplicando a condição inicial:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

2

2

2

2

v t 6i tv t 18 1, 2

6

v t 18 0, 2v t 1, 2i t

18 1, 2i tv t

1, 2v t 15 i t 6

++++= −= −= −= −

= − −= − −= − −= − −

−−−−====

= −= −= −= −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

22 2

22

22

2 2n 2f

1 t2

2n

2f

2f1 t2

2

di t15 i t 4i t 10

dtdi t

10 5i t 15dt

di t2 i t 3 7

dti t i i

i Aei K Aplicando na equação 7

dK2 K 3 K 3dt

i 3

i t 3 Ae

−−−−

−−−−

− = +− = +− = +− = +

+ =+ =+ =+ =

+ =+ =+ =+ =

= += += += +

===== ⇒= ⇒= ⇒= ⇒

+ = ⇒ =+ = ⇒ =+ = ⇒ =+ = ⇒ =

====

= += += += +

(((( )))) (((( ))))1t2

2

0 3 A A 3

i t 3 1 e u t−−−−

= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −

= −= −= −= −

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Para v(t) : t > 0 2. Para o circuito que segue determine iL(t), Ø(t), i(t) e v(t).

Solução:

(((( ))))1 1t t2 2 2

2di 10 3v t 4i 12 12 12e edt 2

− −− −− −− −××××= + = − += + = − += + = − += + = − +

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1t2

1t2

1

1 t2

1 2

1t2

2

v t 12 3e u t

v ti t 2 0,5e u t

6

i t i t i t 5 2,5e u t

i t 3 1 e u t

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅

= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅

= + = − ⋅= + = − ⋅= + = − ⋅= + = − ⋅

= − ⋅= − ⋅= − ⋅= − ⋅

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

L

L

LL

6u t i t i t 1

t 12i t 2

tv6u t 32 12

4 tdi 1 dv 4i 12 12 dt 12 12 dt

= += += += +

φ =φ =φ =φ =

φφφφ= += += += +

φφφφ φφφφ= + = + ⋅ ⋅= + = + ⋅ ⋅= + = + ⋅ ⋅= + = + ⋅ ⋅ (((( ))))(((( )))) (((( ))))

4

t dv 53 dt

φφφφ φφφφ= += += += +

12H 6u(t)

v(t)

+

-

i(t)

iL(t)

iL(0)=0

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Aplicando (5) em (3): Como: Então A = -24:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

1

n f

1 ts t 2n 1

f

1 t2

t t1 d6u t + +6 2 dt 12

d d72u t 3 t 6 para t 0 24 2 tdt dt

t

1Ae Ae s 2dkk 24 k 2 k 24dt

t Ae 24

−−−−

−−−−

φ φφ φφ φφ φφφφφ====

φ φφ φφ φφ φ= φ + > ⇒ = + φ= φ + > ⇒ = + φ= φ + > ⇒ = + φ= φ + > ⇒ = + φ

φ = φ + φφ = φ + φφ = φ + φφ = φ + φ

φ = = = −φ = = = −φ = = = −φ = = = −

φ = ⇒ = + ⇒ =φ = ⇒ = + ⇒ =φ = ⇒ = + ⇒ =φ = ⇒ = + ⇒ =

φ = +φ = +φ = +φ = +

(((( )))) (((( ))))Li t 0 0 0= ⇒ φ == ⇒ φ == ⇒ φ == ⇒ φ =

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1 t2

1t2

L

L

1 t2

1t2

t 24 1 e u t

ti t 2 1 e u t

12

i t 6u t i t

i t 4 2e u t

v 2i t 8 4e u t

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

φ = − ⋅φ = − ⋅φ = − ⋅φ = − ⋅

φφφφ

= = − ⋅= = − ⋅= = − ⋅= = − ⋅

= −= −= −= −

= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅

= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅= = + ⋅

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3. Represente graficamente a seguinte operação: Resposta:

1

1

t.u(t)

u(t-1,5)

1

1,5

1,5

1,5

2,5

45o

45o

t u(t)+u(t-1,5)

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))f t t.u t u t 1,5 t 3 u t 3 4u t 6= + − − − − − −= + − − − − − −= + − − − − − −= + − − − − − −

-3

3

3

3

(t-3).u(t-3)

-(t-3).u(t-3)

3

2

1

4

5

6

4

3

2

1

45o

45o

t.u(t)+ u(t-1,5)-(t-3).u(t-3)

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4. Determine e esboce a corrente i(t) para o circuito abaixo: Solução: Para a resposta natural; com as fontes em curto: A corrente forçada é obtida com as duas fontes em operação e o indutor em curto.

(((( )))) n fi t i i= += += += +

eq

eq

t2

n

R 2 // 6 1,5

L 2sR

i Ae−−−−

= == == == =

γ = =γ = =γ = =γ = =

====

(((( ))))

f

t2

100i 50A2

i t 50 Ae−−−−

= == == == =

= += += += +

2

4

1

3

5

6

4

3

2

1

f(t)

3H

50u(t)

50V

i(t)

45º

45º

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Para determinar a constante A devemos obter a corrente no indutor em t= 0-.

Então: Escrevendo uma única equação para todo t: 5. Para o CKT que segue determine vc(t) e v1(t). Solução: Da equação (3):

(((( ))))L50i 0 25A t 02

−−−− = = <= = <= = <= = <

(((( ))))t2

25 50 A A 25

i t 50 25e t 0−−−−

= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −

= − >= − >= − >= − >

(((( )))) (((( ))))t2i t 25 25 1 e u t A

−−−− = + −= + −= + −= + −

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

c c 1

5 cc

31 c

30u t v 20000i v 1dvi 10 2dt

v 10000 i 3u t 10 3

−−−−

−−−−

= + += + += + += + + ==== = − ×= − ×= − ×= − ×

(((( )))) (((( )))) (((( ))))5 c c1

dv dvv 10000 10 30u t 0,1 30u t 4dt dt

−−−−= × − = −= × − = −= × − = −= × − = −

30u(t)

20kΩ

10kΩ

10µF

3u(t)mA

v1

+

-

i1

ic

+

-

vc

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Aplicando (2) e (4) em (1):

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

c cc

cc

c n f

10t3

n

f

f10t3

c

c

c

10t5 5c 3c

dv dv30u t v 0,2 0,1 30u tdt dt

dv60u t 0, 3 v

dtv v v

v Aev k60 kv 60V

v t 60 Ae

v 0 00 60 A A 60v t 60 Ae volts

dvi t 10 10 200e u tdt

−−−−

−−−−

−−−−− −− −− −− −

= + + −= + + −= + + −= + + −

= += += += +

= += += += +

================

= += += += +

===== + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −= + ⇒ = −

= += += += +

= = ⋅= = ⋅= = ⋅= = ⋅

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

10t3

c

10t3

1 c

i t 2e u t mA

i t i 3u t 2e 3 u t mA

−−−−

−−−−

====

= − = −= − = −= − = −= − = −

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

10t3

c

10t3

1

v t 60 1 e u t volts

v t 10 2e 3 u t Volts

−−−−

−−−−

= −= −= −= −

= −= −= −= −

(((( )))) 520000 10000 10 0, 3 3 10−−−−γ = + = =γ = + = =γ = + = =γ = + = =

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6. Para o circuito abaixo determine a tensão de saída quando: a) is = u(t) b) is = δ(t) c) Trace os gráficos de v(t) para os resultados obtidos nos itens a) e b).

Solução:

a) resposta ao degrau b) resposta ao impulso

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

s

s L R

200t

200t

200t 200t

i u tV 1 di i i

L R L R dtdu t 2 0,01dt

t Ae 0,5

0,5 1 e u t

dv t 0,5 200e u t 0,5 1 e tdt

−−−−

−−−−

− −− −− −− −

====φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ= + = + = += + = + = += + = + = += + = + = +

φφφφ= φ += φ+= φ+= φ+

φ = +φ = +φ = +φ = +

φ = −φ = −φ = −φ = −

φφφφ= = × + − δ= = × + − δ= = × + − δ= = × + − δ

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

s

200t 200t

i t

ds th t v t

dtv t 100e t 20000e u t− −− −− −− −

= δ= δ= δ= δ

= == == == =

= δ −= δ −= δ −= δ −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))200ts t v t 100e u t−−−−= == == == =

is(t)

0,5H

100Ω

v(t)

+

-

(((( )))) n f ft 0,5 x 1 = 0,5wbφ = φ + φ φ =φ = φ + φ φ =φ = φ + φ φ =φ = φ + φ φ =(((( ))))0 0φ =φ =φ =φ =

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c)

7. A chave do circuito abaixo está em A por muito tempo. Em t = 0 ela é movida para B e, em

t = 1 segundo, é movida para C. Para que valor de t, v = 1V?

5

10

15

20

t(ms)

5

10

15

20

t(ms)

100

v(t)

v(t) 100

-20000

25kΩ

100kΩ

10µF

100kΩ

5V

A

B

C

v

+

-

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Solução: (divisor de tensão) Como ficou 1s na posição B. 8. Para o circuito abaixo determine vc(t) e ic(t) para todo t.

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) 5

3

3

ttRC

o

1

t2t100k //100k 10

2t

2t

t 0100 10v 0 5 4V125 10

0 t 1 posição B

v t V e 4e

v 1 4e 4 0,368 1,472Volts1 t posição C

v t V 1 e 1,472e

1 1,472e1 e

1,4721ln 2t

1,472t 0,1933

−−−−

−−−−

−−−− −−−−

−−−−

−−−− −−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

<<<<××××= × == × == × == × =××××

< << << << <

= == == == =

= = × == = × == = × == = × =<<<<

= == == == =

====

====

= −= −= −= − ====

t 1 0,1933 1,1933 segundos= + == + == + == + =

5µF

8k

10+15u(t)mA

ic

2 Ω

vc

+

0kΩ

-

i'

35

12kΩ

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Solução: (divisor de corrente) (divisor de corrente) t >>> 0 (com a fonte em aberto) 9. A chave no circuito abaixo esteve aberta por um longo tempo antes de fechar em t = 0. Para

o intervalo -0,5 < t < 0,5 seg. encontre e esboce o gráfico de i(t) e v(t):

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

4 6

3' 3 3

3

3 3c

c cn cf

33

f 3

3 3cf

eq

t20t10 5 10

cn20t

c

t 08000 10 10 80i 0 10 2 10 A8 20 12 10 40

v 0 20 10 2 10 40V

v t v v

25 10 8000 200i 10 5mA8 20 12 10 40

v 20 10 5 10 100VR 20k // 20k 10k

v Ae Aev t 100 AeC

−−−−

−−−−− − −− − −− − −− − −

− −− −− −− −

−−−−−−−−

−−−−

−−−− −−−−× ×× ×× ×× ×

−−−−

<<<<× ×× ×× ×× ×= = × = ×= = × = ×= = × = ×= = × = ×

+ ++ ++ ++ +

= ⋅ × × == ⋅ × × == ⋅ × × == ⋅ × × =

= += += += +

× ×× ×× ×× ×= = × == = × == = × == = × =

+ ++ ++ ++ +

= × × × == × × × == × × × == × × × == = Ω= = Ω= = Ω= = Ω

= == == == =

= += += += +

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

20tc

6 20tc

20tc

I 40 100 AA 60

v t 40 60 1 e u t

i t 1200 5 10 e u t

i t 6e u t mA

−−−−

− −− −− −− −

−−−−

⇒ = +⇒ = +⇒ = +⇒ = += −= −= −= −

= + −= + −= + −= + −

= × × ⋅= × × ⋅= × × ⋅= × × ⋅

====

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

20tc

20tc

v t 40 60 1 e u t

i t 6e u t mA

−−−−

−−−−

= + −= + −= + −= + −

====

15Ω

4H

1A

24V

t=0

v

+

-

i

i’

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Solução:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

L Ln Lf

eq

' '

'

'

'

'Lf

Lf5t

Ln5t

L

L L

i 0 1A

i t i iR 20

L 4 1 0, 25R 20 5

24 5i 15 1 i 0

24 15 20i 09 20i

9i 0,4520

i 1 ii 1 0,45 1,45Ai Aei t 1,45 Ae

i 0 1A i 0

1 1,45 AA 0,45

−−−−

−−−−

−−−−

+ −+ −+ −+ −

====

= += += += += Ω= Ω= Ω= Ω

γ = = = =γ = = = =γ = = = =γ = = = =

− + + + =− + + + =− + + + =− + + + =

− + + =− + + =− + + =− + + =− = −− = −− = −− = −

= == == == =

= += += += += + == + == + == + =

====

= += += += +

= == == == =

= += += += += −= −= −= −

(((( )))) (((( ))))5tLi t 1 0,45 1 e t 0−−−−= + − >= + − >= + − >= + − >

1,66

1,33

1

0,2 0,4 0,6 0,8 t

iL(t)

1,45

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10. Para o circuito abaixo determine i1(t) e iL(t) para todo t.

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

5t5t

L

5tL

L

5t 5t

5t 5t

d 1 0,45 1 ediv t 4 4 4 0,45 5edt dt

v t 9e Vv 15i v

v 15 1 0,45 1 e 9e

v 15 6,75 6,75e 9e

−−−−

−−−−

−−−−

− −− −− −− −

− −− −− −− −

+ −+ −+ −+ − = = = × ×= = = × ×= = = × ×= = = × ×

====

= += += += +

= + − += + − += + − += + − + = + − += + − += + − += + − +

(((( )))) 5tv t 21,75 2, 25e t 0−−−−= + >= + >= + >= + >

25

20

15

0,2 0,4 0,6 -0,6 t

v(t)

-0,2 -0,4

30Ω

60Ω

0,2H

60u(t)V

2u(t)A

i1

iL

24

vR

vL

+

-

-

+

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Solução: Condições iniciais: iL(0-) = iL(0+) = 0

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

L n f

f

eq

100tn

100t

100tL

1 L

100t1

100tR

1

1001

i t i i60i 2 4A30

R 60 // 30 20

L 0, 2 0,01R 20

i Ae

i t 4 AePela condição inicial 0 4 A A -4

i t 4 1 e u t

60u t 30i v

60u t 30i 0, 2 400e u t

v t60 80ei30 30

8i 2 e3

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

= += += += +

= + == + == + == + =

= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω

γ = = =γ = = =γ = = =γ = = =

====

= += += += += + ⇒ == + ⇒ == + ⇒ == + ⇒ =

= −= −= −= −

= += += += +

= + ×= + ×= + ×= + ×

−−−−= == == == =

= −= −= −= − (((( )))) (((( ))))t 100t2 8 1 e u t3 3

−−−−= − + −= − + −= − + −= − + −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

100tL

100t1

i t 4 1 e u t

2 8i 1 e u t3 3

−−−−

−−−−

= −= −= −= −

= − + −= − + −= − + −= − + −