Circulo e cincunferencia

Aulão de GeometriaCirculo e Circunferência

Prof. Pedro Valentim

Circunferência

Definição: Infinitos ponto equidistantes de um único ponto chamado de centro

Mas, o que é CIRCUNFERÊNCIA?

.O

. . .

..

..

..

...

.

..

.

. .

.

.

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Raio

Definição: Segmento de reta que une o centro a qualquer dos pontos da circunferência

..

Nota: como existem infinitos pontos na circunferência é possível obter

também infinitos RAIOS

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Corda

Definição: Segmento de reta que une qualquer ponto da circunferência a outro e não passa pelo centro

..

Quando passa pelo centro a CORDA passa a ser chamada de Diâmetro que é a maior corda de uma circunferência

.

.

Corda

Diâmetro

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Diâmetro

Definição: é a maior das cordas e é o dobro do raio

..

Nota: como existem infinitos RAIOS na circunferência é possível obter

também infinitos DIÂMENTROS

.

Diâmetro

Observe também que o diâmetro é o dobro do

raio

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Flecha

Definição: Segmento de reta que une o ponto médio da corda com um dos pontos da circunferência formando um ângulo de 90º

..

.

Ponto médio da corda

.

.

Ponto qualquer da circunferência

FlechaÂngulo de 90º

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Círculo

Definição: é a região plana limitada por uma circunferência

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Circunferência e ângulo central

Definição: o ângulo central em uma circunferência é todo ângulo que tem como vértice o centro dessa circunferência

.

Ângulo CentralCentro e vértice

do ângulo central

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Círculo e setor circular

Definição: é qualquer parte do circulo determinada por um ângulo central

ângulo central

..

.Setor circular

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Ângulo central

Definição: A soma de todos os ângulos centrais de uma circunferência mede 360º

.

d

cb

aa + b + c + d = 360º

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Gráfico de SetoresDefinição: é um gráfico cujo a representação é uma circunferência

DIAS LIVROS GRAUS

SEGUNDA 25 25:5.9 = 45º

TERÇA 20 20:5.9=36º

QUARTA 35 35:5.9=63º

QUINTA 25 25:5.9=45

SEXTA 45 45:5.9=81º

SABADO 50 50:5.9=90º

TOTAL 200 360

200 LIVROS – 360º100 – 180º50 – 90º25 – 45º5 - 9º

Fator de Proporcionalidade

25

20

35

25

45

50

90º

81º63º

36º

45º

45º

:2:2:2

:2 ambos os membros

Divisão da circunferência de partes iguaisVamos dividir a circunferência em 5 partes iguais

Primeiro divide-se 360: 5 = 72º

72º

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Construção de polígonos RegularesVamos construir um PETÁNGONO

Primeiro divide-se 360: 5 = 72º

CADA PONTO DA DIVISÃO É UM VERTICE DO POLIGONO REGULAR

.

. .

.

.

.72º P

rof. P

ed

ro

Vale

nti

m

Posições relativas de uma reta e de uma circunferência

Reta TANGENTE

. .Raioc

t

A reta t é tangente a circunferência quando tem apenas um ponto em comum com a

circunferência

odd = raio

d = distancia entre o centro e um ponto na reta

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m


Reta Secante

.

.Raio

A

A reta t é secante a circunferência quando tem dois pontos em comum com a circunferência

o dd < raio .B

.

t

c

Raio Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m


Reta Externa

. Raio

A reta t é externa a circunferência quando não há ponto em comum com a circunferência

odd > raio

..c p

t

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Circunferência Inscrita e Circunscrita

Circunferência inscrita no quadrado Circunferência circunscrita no quadrado

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Posições relativas entre um ponto e uma circunferência

.o

.p

O ponto p pertence à circunferência

dd = raio

Raio

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m


.o

.p

O ponto p é interno à circunferência

dd < raio

.

Rai

o

e

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m


.o

. p

O ponto p é externo à circunferência

d

d > raio .eRaio

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Posições relativas entre duas circunferência

.o1

Circunferências tangentes Externas d = r1 + r2

. .o2

A

d

r2r1

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m


.o1

Circunferências tangentes Internas d = r1 - r2

. .o2

A

dr2

r1

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m


.

Circunferências Secantes r1 - r2 < d < r1 + r2

.

. .

A

B

o1 o2

r1 r2

d

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.

Circunferências Concêntricas d = 0

.

e

o1

o2r1

r2

d


. d

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.

Circunferências Externas d > r1 + r2

.e

o1

r1

d


o2

r2 ..f

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.

Circunferências Internas d < r1 – r2

.o1 o2

r1 r2

d


..

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Definição: é o ângulo cujo o vértice pertence a circunferência

.o

Ângulo Inscrito

.Centro

O ponto p pertence a

circunferência

p Ângulo Inscrito

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Definição: se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito

.o

Relação entre Ângulo Central e Ângulo Inscrito

.

Vamos considerar a situação em que um dos lados do ângulo inscrito determina um diâmetro da circunferência

a

Ângulo Inscrito

c.

b.

Ângulo Central

yx

Assim:

CÔB é um ângulo central de arco BC e medida xCÂB é um ângulo inscrito também de arco BC e medida yAC é um diâmetro da circunferência O ∆AOB é isósceles, pois OA ≌ OB (raios), ABO também mede y Como CÔB é um ângulo externo do ∆ AOB, sua medida x é igual a somada das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (x +y)

Logo, x = y + y ou x = 2y c.q.d.

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.o


.a

Ângulo Inscrito

c.

b.

Ângulo Central

30º 60º

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.o


.a

c.

b.

x 120º

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Qual o valor de x?

.o


.a

c.

b.

x 120º

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.o

Ângulo de Segmento

.b .

c.

Um ângulo com o vértice na circunferência, um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinado uma corda

a

Os matemáticos já provaram que um ângulo de segmento e um ângulo

inscrito tem medidas iguais quando os arco

correspondente é o mesmo Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

.o

Ângulo de Segmento

.b .

c.

a

. d

x

2x

x

Ângulo Inscrito

Ângulo Central

Ângulo de Segmento

Pro

f. P

ed

ro

Vale

nti

m

Até a próxima!!

Prof. Pedro [email protected]

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