Circunferencias

Circunferência

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Circunferência, Circunferência, ááreas e resolureas e resoluçção de triângulos quaisquerão de triângulos quaisquer

Slides

Resolução de triângulos quaisquer:lei dos senos e lei dos cossenos

Internet

Esquadros de madeira – www.ser.com.br

Áreas: medidas de superfície

Trigonometria

Resolução de triângulos quaisquer:resolução de triângulos retângulos

CircunferênciaCircunferência

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PosiPosi çções relativas entre retas e circunferênciasões relativas entre retas e circunferências

RETAS TANGENTES:-Tem um único ponto em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é igual ao raio

dc,t = raio

RETAS SECANTES:-Tem dois pontos em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é menor que o raio

dc,t < raio

RETAS EXTERNAS:- Não tem nenhum ponto em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é maior que o raio

dc,t > raio

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CircunferênciaCircunferênciaPosiPosi çções relativas entre duas circunferênciasões relativas entre duas circunferências

Pontos comuns Posição relativa Distância entre os centros em função dos raios

Figura

2 Secantes r1 – r2 < d < r1 + r2

1Tangentes

internas d = r1 – r2

1Tangentes externas d = r1 + r2

0Internas

concêntricas d = 0

0Internas não concêntricas d < r1 – r2

0 Externas d > r1 + r2

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CircunferênciaCircunferênciaÂngulos em uma circunferênciaÂngulos em uma circunferência

Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.

Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas.

Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.

Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.

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RelaRelaçções mões m éétricas na circunferênciatricas na circunferência

Cruzamento de duas cordas:

Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto:

⋅ = ⋅PA PB PC PD

Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:

( )⋅ = 2PA PB PT

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PolPol íígonos regulares inscritos na circunferênciagonos regulares inscritos na circunferênciaPolígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.

=3

ra

2=4

r 2a

2=6

r 3a

2=3 r 3l =4 r 2l =6 rl

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ÁÁreas: medidas de superfreas: medidas de superf ííciecie

ÁÁrea do quadrado, do retângulo e do paralelogramorea do quadrado, do retângulo e do paralelogramo

Quadrado Retângulo Paralelogramo

⋅A = b h ⋅A = b h2A = l

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ÁÁrea do triângulorea do triângulo

Área do triângulo

Área do triângulo sendo conhecido os três lados

Área do triângulo equilátero

Área do triângulo com o auxílio da trigonometria

⋅= = ⋅ ⋅b h 1A b h

2 2( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

+ +=

A p p a p b p c

a b cp

2

= ⋅ ⋅ ⋅1A a b sen α

2⋅=

2 3A

4l

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ÁÁrea do traprea do trap éézio e do losangozio e do losango

Trapézio Losango

( )+ ⋅B b hA =

2

⋅D dA =

2

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ÁÁrea de polrea de pol íígonos regularesgonos regulares

(l) lado do polígono(a) apótema(n) número de lados do polígono(p) semiperímetro

= ⋅A p a.⋅= n

p2l

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ÁÁrea do crea do c íírculo e do setor circularrculo e do setor circular

Círculo Setor circular

= ⋅ 2A π r α⋅ ⋅ ⋅

graussetor2

A= =

π r 360º 2 π rl

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ResoluResolu çção de triângulos quaisquerão de triângulos quaisquer

ResoluResolu çção de triângulos retângulosão de triângulos retângulos

= +

= =

= =

= =

2 2 2a b c

cateto oposto bsenα

hipotenusa acateto adjacente c

cosαhipotenusa a

cateto oposto btgα

cateto adjacente c

a = hipotenusab = cateto oposto ao ângulo αc = cateto adjacente ao ângulo α

30º 45º 60º

sen

cos

tg

12

12

22

22

32

32

33 31

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Seno e cosseno de ângulos obtusosSeno e cosseno de ângulos obtusos

É necessário saber que:sen 90º = 1 e cos 90º = 0

Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos:

sen x = sen (180º - x)

Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos:

cos x = - cos (180º - x)

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Lei dos senos e cossenosLei dos senos e cossenos

Lei dos senos:

Lei dos cossenos:

ˆ ˆ ˆ= = = ⋅a b c

2 Rsen A sen B sen C

ˆ

ˆ

ˆ

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2 b c cosA

b a c 2 a c cosB

c a b 2 a b cosC

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