CálculoNoções de limites e introdução à derivadas

Física para Ciências Biológicas

Aula 03 – 31/08/2020

Limite de funções• Propriedade inerente a todas as funções - dependendo do ponto

• Objetivo: observar como a função se comporta pontualmente

Exemplo:

𝑓 𝑥 =2𝑥2 − 6𝑥

𝑥 − 3, 𝑥 ≠ 3

Olhemos para os valores de 𝑥 ao redor e muito próximos de 𝑥 = 3

𝒙 𝒇(𝒙)

2,99 5,98

2,999 5,998

2,9999 5,9998

2,99999 5,99998

𝒙 𝒇(𝒙)

3,01 6,02

3,001 6,002

3,0001 6,0002

3,00001 6,00002

𝒙 < 𝟑 𝒙 > 𝟑

Em ambos os casos, 𝑓(𝑥)está tendendo a 6

lim𝑥→3

𝑓(𝑥) = 6

𝑓 𝑥 =2𝑥2 − 6𝑥

𝑥 − 3→ 𝑓 𝑥 =

2𝑥 𝑥 − 3

(𝑥 − 3)= 2𝑥 → 𝑓 3 = 2 ∙ 3 = 6

Forma convencional: Redução de função

3 6

6

𝑓 𝑥 = 2𝑥

𝑥

𝑦

Pela direita

Pela esquerda

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑥 → 3 pela esquerda

lim𝑥→3−

𝑓(𝑥)

𝑥 → 3 pela direita

lim𝑥→3+

𝑓(𝑥)

A função 𝑓(𝑥) não é definida em 𝑥 = 3 e, ainda assim, possui limite quando 𝑥 → 3

Importante: o que nos interessa é o conjunto devalores que 𝑓 pode assumir na vizinhança de 𝑎,não o valor particular de 𝑓(𝑥 = 𝑎)

Exemplo:

𝑓 𝑥 = ቊ2𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 14, 𝑥 = 1

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 𝑓(1)

𝑓(𝑥)

2𝑥 + 1

𝑥1

1

2

3

4

Há casos em que mesmo que a função 𝑓(𝑥) sejadefinida em um ponto 𝑎, não necessariamenteexiste um limite quando 𝑥 → 𝑎

Exemplo

𝑓 𝑥 = ቊ2𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 12𝑥 − 1, 𝑥 < 1

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

(2𝑥 − 1) = 1

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

(2𝑥 + 1) = 3

Limites laterais DIFERENTES

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) não existe

𝑓(𝑥)

𝑥1

1

2

3

−1

Exemplo

A população, em milhares, de uma colônia de bactérias 𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 após

a introdução de uma toxina é dada pela função:

𝑓 𝑡 = ቊ𝑡2 + 7, 𝑡 < 5−8𝑡 + 72, 𝑡 ≥ 5

a) Construa um esboço do gráfico de 𝑓(𝑡);

b) Calcule o tempo que a colônia leva para se extinguir;

c) Informe o lim𝑡→5

𝑓(𝑡).

a)𝑓 𝑡 = ቊ

𝑡2 + 7, 𝑡 < 5−8𝑡 + 72, 𝑡 ≥ 5

𝑓 𝑡 (𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑟𝑒𝑠)

𝑡 (𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)

b) A colônia será extinguida quando 𝑓 𝑡 = 0

c) lim𝑡→5

𝑓(𝑡)

Pela esquerda: lim𝑡→5−

𝑓(𝑡) = lim𝑡→5

𝑡2 + 7 = 25 + 7 = 32

Pela direita: lim𝑡→5+

𝑓(𝑡) = lim𝑡→5

−8𝑡 + 72 = −40 + 72 = 32

Portanto, 𝑓(𝑡) possui limite quando 𝑡 → 5

lim𝑡→5

𝑓(𝑡) = 32

𝑡 ≥ 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 → lim𝑡→9

−8𝑡 + 72 = 8 ∙ 9 + 72 = 0 → 𝑡 = 9 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Outro caso possível é de a função 𝑓(𝑥) não ser definida no ponto 𝑎 e

tampouco ter lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Exemplo:

𝑓 𝑥 = ቊ𝑥, 𝑥 < 24, 𝑥 > 2

Esquerda: lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 2

Direita: lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4

𝑓(𝑥)

𝑥2

2

4

6

−2

Propriedades operatórias Sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) tal que seus limites valham

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝑀

1. lim𝑥→𝑎

[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿 ±𝑀

2. lim𝑥→𝑎

[𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 𝐿 ∙ 𝑀

3. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, desde que 𝑀 ≠ 0

4. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛= 𝐿𝑛, para 𝑛 = 1, 2, 3 … → 𝑛 𝜖 ℕ∗

5. lim𝑥→𝑎

𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) =𝑛𝐿, 𝑛 𝜖 ℕ∗ 𝑒 𝑓 𝑥 ≥ 0 (Se 𝐿 < 0, 𝑛 é impar)

6. lim𝑥→𝑎

[ln 𝑓 𝑥 ] = ln lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ln 𝐿 , Se 𝐿 > 0

Exemplos

1. lim𝑥→3

(𝑥2 + 2𝑥) = lim𝑥→3 𝑥² + lim𝑥→3 2𝑥 = 9 + 8 = 17

2. lim𝑥→

𝜋

4

[2sen 𝑥 cos 𝑥 ] = 2 lim𝑥→𝜋

4𝑠𝑒𝑛(𝑥) lim𝑥→

𝜋

4cos(𝑥) =

= 2𝑠𝑒𝑛𝜋

4𝑐𝑜𝑠

𝜋

4= 1

3. lim𝑥→0

2𝑥+1

2𝑥−1=

lim𝑥→0

(2𝑥+1)

lim𝑥→0

(2𝑥−1)= −1

lim𝑥→2

𝑥 − 2

𝑥2 − 4= lim

𝑥→2

(𝑥 − 2)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)=

lim𝑥→2

𝑥 + 1

𝑥 − 2=lim𝑥→2

𝑥 + 1

lim𝑥→2

𝑥 − 2=3

0

𝑦

𝑥

Este limite NÃO existe

lim𝑥→2

1

𝑥 + 2=1

4

→ ∄

4.

5.

Continuidade de Limites

Definição:Seja f uma função definida em um intervalo 𝐼 eseja 𝑎 𝜖 𝐼. Dizemos que a função é contínua noponto 𝑎 se 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Condições para que f seja contínua:

1. 𝑓 é definida para 𝑥 = 𝑎

2. Existe lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

3. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

ExemploNuma floresta tropical da África a temperatura 𝑇 (°𝐶) varia conforme o

mês do ano (𝑚), segundo a função

𝑇 𝑚 = ቐ𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑚 ≤ 33𝑚 − 3, 3 < 𝑚 ≤ 54𝑚 − 10, 5 < 𝑚 ≤ 12

a) Esboce o gráfico da função 𝑇

b) A função é descontínua em m = 3? E em m = 5? E em m = 7?

𝑇 𝑚 = ቐ𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑚 ≤ 33𝑚 − 3, 3 < 𝑚 ≤ 54𝑚 − 10, 5 < 𝑚 ≤ 12

𝑻(°𝑪)

𝑚ê𝑠 (𝑚)

m = 3

1. 𝑇 3 = 3 + 1 = 4

2. lim𝑚→3

𝑇(𝑚)

lim𝑚→3−

𝑇(𝑚) = 4

lim𝑚→3+

𝑇(𝑚) = 6

Condições para que 𝒇 seja contínua:1. 𝑓 é definida para 𝑥 = 𝑎2. Existe lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

3. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑇 𝑚 = ቐ𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑚 ≤ 33𝑚 − 3, 3 < 𝑚 ≤ 54𝑚 − 10, 5 < 𝑚 ≤ 12

m = 5

1. 𝑇 5 = 15 − 3 = 12

2. lim𝑚→5

𝑇(𝑚)

lim𝑚→5−

𝑇(𝑚) = 12

lim𝑚→5+

𝑇(𝑚) = 10

m = 7

1. 𝑇 7 = 28 − 10 = 18

2. lim𝑚→7

𝑇(𝑚)

lim𝑚→7−

𝑇(𝑚) = 18

lim𝑚→7+

𝑇(𝑚) = 18

3. lim𝑚→7

𝑇(𝑚) = 𝑇 7 = 18