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CÁLCULO A UMA VARIÁVEL

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Profª Cristiane Guedes 1

Ementa do Curso

Profª Cristiane Guedes

2

Funções Reais

Limites

Continuidade

Derivada – Taxas Relacionadas - Funções Crescentes e

Decrescentes – Máximos e Mínimos – Construção de

Gráficos – Convexidade -

Integrais – Integrais Definidas – Técnicas de

Integração – Áreas e Volumes.

Bibliografia


3

STEWART, James. Cálculo. Vol 1.

ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte.

LEITHOLD. O Cálculo.

MUNEM, FOULIS. Cálculo.

FLEMING, GONÇALVES. Cálculo A.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol 1.

SIMMONS, George. Cálculo Com Geometria Analitica 1

Função real de uma variável real


4

1.1) O conjunto dos números reais

Existe uma correspondência biunívoca entre

os pontos da reta e o conjunto .

Reta numérica : - origem

- unidade de medida

- sentido de leitura

Intervalos Reais

a b

}/{),( bxaxba

Intervalo aberto

a b

}/{],( bxaxba Intervalo semi aberto

a b }/{],[ bxaxba

b }/{],( bxxb

),( Profª Cristiane Guedes 5

f(x) = c, c R

O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

1) Função Constante


6

2) Função do 1º grau (Função Afim)


7

Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b,

com a ≠ 0 , é dita função do 1° grau.

Casos Especiais

Função linear: b = 0, Ex: f(x) = 3x

Representa grandezas diretamente proporcionais.

Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x

Reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes.

a - Coeficiente angular;

declividade da reta; taxa

de variação da função;

está relacionado ao

ângulo de medida α

(determinado pelo gráfico

da função) e a horizontal

(o eixo x).

b - Coeficiente linear;

ordenada do ponto

em que o gráfico

da função corta o

eixo y.

a > 0

a < 0


P2

a = tg

P1P

Cálculo do coeficiente angular (inclinação da reta):

P1 P2


).().( 0000

0

0 xxmyyxxmyyxx

yym rrr

Onde mr é o coeficiente angular da reta r e (x0 , y0)

são as coordenadas de um ponto dado,

pertencente à reta r.

).( 00 xxmyy r

baxy

b – coeficiente linear (onde a reta intercepta o eixo y) Profª Cristiane Guedes 10

Raiz ou zero de uma função → é o valor de x que

anula a função. É a abscissa do ponto onde a reta

intercepta o eixo x.

Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.

-5 5

-5

5

x

y

-5 5

-5

5

x

ya > 0 a < 0


Estudo do sinal – Inequação do 1º grau:


-b/a

+ + + + + + +

- - - - - - - - -

f(x) = a x +b

-b/a

+ + + + + + + +

- - - - - - - - -


3) Gráfico de uma função definida

por mais de uma sentença


15

1, 1( )

2, 1

x se xf x

se x

X Y

1 2

2 3

( ) 1, 1f x x se x

4) Função do 2º grau


16

Chama-se FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R

dada por uma lei da forma:

com a, b e c números reais e

Domínio

Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y,

que representam imagens das abscissas x, por meio da função.

cbxaxxf 2

D f( ) = R

a

acbbxcbxaxxf

2

400)(

22

Zeros da função → Resolver a equação do 2º

grau:

Soma das raízes -

Produto das raízes -

a

bS

a

cP


∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0

a > 0

a < 0

∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes

∆ < 0 → não tem raiz real

∆ = 0 → duas raízes reais e iguais

a → concavidade da parábola


TERMO INDEPENDENTE - c

c

y

x

y = ax2 + bx + c

Exemplo :

4

y

x

y = x2 - 2x + 4

Ponto em que a parábola toca no eixo y


Vértice da parábola:

a

bxV

2

ayV

4

Se a > 0 → ponto máximo

Se a < 0 → ponto mínimo


Estudo do sinal da função:

∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0

a > 0

a < 0

X1 X2

+ +

+ + X1=X2

+ +

+

X1 X2

+ - -

- - - -

- X1=X2

-


Função Exponencial


22

10,)( acomaxf x

nmnm

nmnm

nmnm

aa

aaa

aaa

.)(

:

.

Propriedades da potenciação:

n mnm

mm

aa

aa

/

/1


Gráfico da Função Exponencial

Características:

• Está todo acima do eixo x Im(f) = (0, ∞ )

• Corta o eixo y no ponto de ordenada 1 (0, 1)

xaxf )(

Função Descrescente Função Crescente


x

y

y = ax

a > 1

y = ax

0 < a 1

Ex:

y = 2 x

Ex:

y = (1/2 )x

Função Logarítmica


25

xab logLogaritmando Logaritmo

Base do logaritmo

Condição de Existência:

0a 01 b


abxa x

b log

Consequências da definição:

01log b

1log bb

nbn

b log

caca bb loglog

abab

log


Propriedades Operatórias:

00,logloglog beababa ccc

00,logloglog

beaba

b

accc

0,loglog aana b

n

b


Mudança de Base

b

aa

c

cb

log

loglog

bab

aa cc

c

cb loglog

log

loglog


Função Logarítmica:

RRf

*: xxf blog

*

RDomínio

Rf Im

Imagem R

*

RfD


Representação Gráfica

xxf 2log

1 x

y

1

2

1

2

1

0

Base > 1


xxg2

1log

1

2

x

y

1

1

0

Representação Gráfica

0 < Base < 1


x

y

1

y = loga x

a > 1

y = loga x

0 < a 1

y = log2 x

y = log1/2 x


x

y = loga x

y = ax

y = x

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

a > 1

Crescente

Função Inversa:

Os gráficos são simétricos em relação à

bissetriz do 1º e 3º quadrantes


x

y

y = loga x

y = ax

y = x

1

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

0 < a 1

Decrescente

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