Cálculo Diferencial e Integral 1 Examen Departamental 2
1
Cálculo Diferencial e Integral 1 Examen Departamental 2 9 de Octubre de 2020 DURACIÓN 2 HORAS Nombre ________________________________________________________________ CU______________ Al hacer el examen te estás comprometiendo a no usar libros, apuntes, calculadora o cualquier otro tipo de ayuda externa. JUSTIFICA CLARAMENTE TU RESPUESTA. 1. (2 ptos) Determina los valores de a para los que la función f : ℝ → ℝ definida a continuación sea continua, luego determina si para algún valor de a es diferenciable . = 1 − ! < 1 ( + ) ! − 1 ≥ 1 2. (1.5 ptos) Dada la función = !! !!!"# ! (!) calcula 2 ! − 3 !! para = ! ! . 3. (1.5 ptos) Obtener ′(3) si ∘ ! 2 = 7, ! 2 = 5, 2 = 3 y 3 = 4 . 4. (1.5 ptos) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva = sen(sen ) en el punto , = −, 0 . 5. a) (0.5 ptos) Enuncia con precisión el teorema del Valor Intermedio o de Bolzano. b) (1.5 ptos) Sean y : [-1,1] ⟶ ℝ dos funciones continuas tales que para toda en [-1,1] se tiene 0 ≤ − . Demuestre que las gráficas de las funciones y se intersectan en algún punto con abscisa en [-1,1] . 6. (1.5 ptos) Dada : ℝ ⟶ ℝ diferenciable en el punto ! , calcula lim !→! ! ! ! !! !! ! ! !! ! .
Transcript of Cálculo Diferencial e Integral 1 Examen Departamental 2
CálculoDiferencialeIntegral1ExamenDepartamental2
9deOctubrede2020DURACIÓN2HORAS
Nombre________________________________________________________________CU______________Alhacerelexamenteestáscomprometiendoanousarlibros,apuntes,calculadoraocualquierotrotipodeayudaexterna.JUSTIFICACLARAMENTETURESPUESTA.1.(2ptos)Determinalosvaloresdeaparalosquelafunciónf:ℝ → ℝdefinidaacontinuaciónseacontinua,luegodeterminasiparaalgúnvalordeaesdiferenciable.
𝑓 𝑥 = 1− 𝑥! 𝑠𝑖 𝑥 < 1(𝑥 + 𝑎)! − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
2.(1.5ptos)Dadalafunción𝑓 𝑥 = !!
!!!"#!(!)calcula2𝑓! 𝑥 − 3𝑥𝑓!! 𝑥 para
𝑥 = !!
.3.(1.5ptos)Obtener𝑔′(3)si 𝑔 ∘ 𝑓
!2 = 7, 𝑓! 2 = 5, 𝑓 2 = 3 y𝑔 3 = 4 .
4.(1.5ptos)Determinalaecuacióndelarectatangentealacurva𝑦 = sen(sen 𝑥 )enelpunto 𝑥,𝑦 = −𝜋, 0 . 5.a)(0.5ptos)EnunciaconprecisiónelteoremadelValorIntermedioodeBolzano.b)(1.5ptos)Sean𝑓y𝑔:[-1,1]⟶ ℝdosfuncionescontinuastalesqueparatoda𝑥 en[-1,1]setiene0 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 . Demuestrequelasgráficasdelasfunciones𝑓 y𝑔seintersectanenalgúnpuntoconabscisaen[-1,1].6.(1.5ptos)Dada𝑓: ℝ⟶ ℝdiferenciableenelpunto𝑥!,calcula
lim!→!! !!!! !! !!!!
!.
