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Gabriela Faria Barcelos Gibim Cálculo Diferencial e Integral

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Gabriela Faria Barcelos Gibim

Cálculo Diferencial e Integral

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Gibim, Gabriela Faria Barcelos

ISBN 978-85-8482-217-1

1. Cálculo. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo diferencial. I. Título.

CDD 517

Gibim. – Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2015. 232 p.

G446c Cálculo diferencial e integral / Gabriela Faria Barcelos

2015Editora e Distribuidora Educacional S. A.

Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João PizaCEP: 86041 ‑100 — Londrina — PR

e‑mail: [email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/

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Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra DannaCoordenação de Produção: André Augusto de Andrade Ramos

Coordenação de Disponibilização: Daniel Roggeri RosaEditoração e Diagramação: eGTB Editora

Unidade 1 | Funções

Seção 1.1 - Função afim

Seção 1.2 - Função quadrática

Seção 1.3 - Função exponencial e Logarítmica

Seção 1.4 - Funções trigonométricas

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Sumário

Unidade 3 | Regras de Derivação

Seção 3.1 - Derivada do produto e quociente

Seção 3.2 - Regra da cadeia

Seção 3.3 - Derivada exponencial e logarítmica

Seção 3.4 - Derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas

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Unidade 2 | Limites e Derivadas

Seção 2.1 - É hora de limites!

Seção 2.2 - Limites finitos e no infinito

Seção 2.3 - Derivada - introdução

Seção 2.4 - Regras de derivação - Parte 1

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69

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Unidade 4 | Otimização da Derivada

Seção 4.1 - Derivada implícita e taxa relacionada

Seção 4.2 - Máximos e mínimos

Seção 4.3 - Concavidade e pontos de inflexão

Seção 4.4 - Otimização

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Palavras do autor

Olá Aluno, bem-vindo!

Nesta unidade curricular, você será apresentado aos principais tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, tais como: Funções, Limite e Derivada.

O seu material é composto pelo livro didático, que apresenta os principais temas que deverão ser estudados; além deste, você também pode contar com a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos de orientação, mediação, explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas. Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro didático contempla 4 (quatro) unidades de ensino. São elas:

Funções: apresenta o estudo das diferentes funções, seus conceitos, suas propriedades em relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suas aplicações.

Limites e Derivada: conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de derivada e algumas regras de derivação.

Regras de Derivação: produto, quociente, regra da cadeia, derivada exponencial, logarítmica e trigonométrica.

Aplicação de Derivada: derivada implícita, taxa relacionada, máximo e mínimo e otimização.

Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos que o possibilite dedicar-se aos processos de leitura, participação e realização das atividades propostas. É de extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento de aprendizagem, quanto em sua aplicação. Desde já desejo a você bons estudos!

Unidade 1

FUNÇÕES

Por que estudar funções?

O estudo das funções permite a você, aluno, adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências. Esta linguagem se faz necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construir modelos descritivos de fenômenos e permitir várias conexões dentro e fora da própria Matemática.

Deste modo, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo das diferentes funções, apresentaremos os seus conceitos, suas propriedades em relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suas aplicações.

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos específicos do tema em questão, Funções, a seguir é apresentada uma situação hipotética que visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática. Vamos lá!

Convite ao estudo

Competência a ser desenvolvida Objetivos

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

Identificar e representar as funções de várias maneiras (tabelas, gráficos, fórmulas e descrição verbal).

Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

Funções

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João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo das funções. E que a importância do estudo de funções não é restrita apenas aos interesses da matemática, e que estas fazem parte do nosso cotidiano e estão presentes na realização das coisas mais elementares que fazemos. Portanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor; das mais simples às mais complexas, como uma corrida de táxi, lançamento de um projétil, juros compostos, decaimento radioativo, vibração do som, etc.

Funções

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Seção 1.1

Função afim

Olá! Sejam bem-vindos!

A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre função! Veremos nesta seção conhecimentos sobre função e função afim, conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral que normalmente é trabalhado no Ensino Fundamental e Médio na disciplina de Matemática. Você se recorda?

A leitura deste caderno irá ampliar sua compreensão sobre o conceito de função e função afim; suas diversas representações por meio de tabelas, gráficos, fórmulas, descrição verbal; assim como sua aplicação em resolução de problemas. Para dar início ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.

Dica

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das

Diálogo aberto

Funções

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primeiras situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Precisamos enviar um de nossos técnicos para fazer uma vistoria em um prédio que fica a 8 km da empresa. Sabe-se que em nossa cidade operam duas empresas de táxi, a empresa Andetaxi e a Voudetaxi. A Andetaxi cobra R$ 6,00 pela bandeira inicial e R$ 3,00 por quilômetro rodado. Já a empresa Voudetaxi cobra apenas R$ 4,00 por quilômetro rodado. As duas empresas possuem táxis disponíveis para levar o técnico; assim, qual táxi João deve chamar de modo a economizar na corrida? Em qual situação a Andetaxi é mais econômica?; e a Voudetaxi é mais econômica?; as duas se equivalem?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função afim, na forma algébrica, e calcular os valores das corridas. Pode-se representar a função graficamente para melhor compará-las.

Reflita

Funções

Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre função afim é importante termos o conhecimento sobre função. Você sabe o que é uma função?

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. As funções são definidas por certas relações. Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos as funções: afim, quadrática, exponencial, logarítmica, trigonométricas, dentre outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.

Não pode faltar!

Funções

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Assimile

Definindo uma função: Função é uma relação. Utilizando dois conjuntos A e B, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto. Na matemática, dizemos que função é uma relação de dois conjuntos, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é um elemento do domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um elemento da imagem.

Podemos citar como exemplo a relação entre o custo e o consumo em m3 de água. Isso porque a conta de água está relacionada a quanto iremos gastar de m3 de água. Essa relação é uma função!

Assim tem-se:

Dados dois conjuntos A e B (conjuntos formados de números reais, isto é, A e B estão contidos em ), não vazios, uma relação de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x, y) .

Que condições deve satisfazer uma relação de A em B para ser função?

1. É necessário que todo elemento participe de pelo menos um par (x, y) , isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha.

2. É necessário que cada elemento de participe de apenas um único par (x, y) , isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha.

Reflita

Fonte: Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.1 - Representação de função

Funções

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Uma relação não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições:

1) Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, ou

2) Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.

Fonte: Disponível em: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.2 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação não é função (ou aplicação)

Domínio, contradomínio e Imagem?

Seja f uma função de A em B.

Fonte: Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.3 - Representação de função

Nesta correspondência, o conjunto A é o domínio da função f, enquanto o conjunto B é denominado contradomínio da função f.

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Usamos a notação ⨏: A → B (onde lemos: f é uma função de A para B) para indicar que estamos fazendo a correspondência de A, designado domínio, com o conjunto B, contradomínio. Escrevemos y = ⨏(x) para indicar que a função f associa o elemento x de seu domínio ao elemento y de seu contradomínio.

Se um elemento x A, for relacionado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x pela função ⨏. Logo, o conjunto de todos os elementos de B, que são imagens de algum elemento de A, é designado conjunto imagem da função f é denotado por Im(⨏). Sendo, portanto, um subconjunto do contradomínio B.

O elemento x é chamado de variável independente, pois ele é livre para assumir qualquer valor do domínio, e nomeia-se y de variável dependente.

Exemplificando

Veja o exemplo da Figura 1.3, nesta temos como domínio da função f D(f)= {-3,-2,-1,0}, contradomínio CD(f)= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; e como conjunto imagem a Im(⨏)= {0,1,4,9}

Um pouco mais sobre o Domínio

Se temos:

• F: R → R/ f(x)= -2x. Aqui não existem restrições para qualquer valor de x pertencente ao domínio de f. Portanto, D(f)= R

• F: R → R/ f(x)= . Sabemos que o denominador deve ser diferente de zero, pelo fato da existência da operação de divisão. Observamos que x+4 0, logo

—4. Portanto, D(f)= R—4.

Gráficos- Como representar a função graficamente?

Quando trabalhamos com funções, a construção e a compreensão de gráficos são de extrema importância. Isto porque, por meio dos gráficos podemos definir de que tipo é a função mesmo sem saber a sua lei de formação.

Funções

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Cada função tem a sua representação gráfica, independentemente do tipo de função é fundamental conhecermos algumas definições, como: plano cartesiano, par ordenado, eixo das abscissas, eixo da ordenada. Saiba mais em <http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.php>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Saiba mais

O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares entre si, uma reta horizontal Ox no plano geométrico, denominada de eixo das abscissas e uma reta vertical Oy, chamada de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:

Fonte: Disponível em: <http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/geometria.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.4 | Representações do plano cartesiano

Funções Polinomiais

Seja uma função definida por , em que os coeficientes , ,...

são números reais e n um número inteiro

não negativo. A função é denominada de função polinomial de grau n, a qual, dependendo do grau n, receberá nomes de funções polinomiais.

Começamos o nosso estudo de funções polinomiais com grau . Uma aplicação recebe o nome de função constante quando cada elemento x é

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associado ao mesmo valor c, ou seja, . O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c). Em outras palavras, a imagem é o conjunto . A Fig. 1.4 apresenta o gráfico da função .

Alguns exemplos de funções constantes são: ; ; ;

Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.5 | Representações da função constante

Função linear

Podemos definir a função linear como uma aplicação : → quando a cada elemento associa o elemento onde é um número real dado. Isto é, a função dada por: ,

O conjunto imagem da função afim : → definida por , são os reais. Uma função é um exemplo de uma função linear.

Função Afim

Analogamente podemos definir a função linear afim como uma aplicação : → quando a cada elemento associa o elemento onde é um número real dado. Isto é, a função é dada por:

O conjunto imagem da função afim : → definida por são os reais.

O gráfico de uma função linear afim é uma reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto . O coeficiente b é denominado de coeficiente linear da reta.

O número a é definido por coeficiente angular da reta ou declividade da reta representada no plano cartesiano.

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A raiz da função afim é o número , também chamado de zero da função. Esta raiz é a abcissa do ponto de coordenadas ; onde a reta corta o eixo x.

Exemplificando

Analisar a função f(x) = – x + 2.

- A função é decrescente, pois a < 0;

- Coeficiente angular é a = -1;

- Coeficiente linear é b = 2;

- Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0 => -x = - 2.(-1) => x = 2.

-A raiz 2 é a abscissa do ponto de coordenadas (2,0), a reta corta o eixo

f(x) < 0 {x ∈ R | x > 2}

f(x) = 0 {x ∈ R | x = 2}

f(x) > 0 {x ∈ R | x < 2}

Caso Particular: A função é constante, pois a = 0, com isso, não há inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear é b = 4;

- Não temos Zero da função:

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Fonte: Disponível em: <http://professorwaltertadeu.mat.br/Cp2Aprof2014AfimQuadraticaAULA6.doc>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.6 | Função crescente e decrescente

Sendo f (x) = -3x +1, esboce seu gráfico, determine suas raízes e classifique a função em crescente ou decrescente.

Faça você mesmo

A Matemática está hoje em praticamente todas as áreas do conhecimento humano e um dos temas que podemos destacar é o estudo das funções apresentado ao longo deste tema. Aqui, você aprendeu a definição de uma função afim, bem como os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Além disso, você também aprendeu como obter o gráfico de uma função e os respectivos conceitos de coeficiente angular e linear de uma reta. Por fim, agora você é capaz de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente.

Após o estudo de função e função afim, vamos resolver a primeira situação-problema apresentada ao João?

Vamos relembrar! A empresa Andetaxi cobra a cada quilômetro R$ 3,00. Daí temos que para x quilômetros a expressão será 3x. Como há também o valor fixo da bandeirada que é de R$ 6,00, a função para esta empresa é y = 3x + 6, onde y é o preço e x o número de quilômetros rodados. Já a empresa Voudetaxi não cobra a bandeirada, então a função desta empresa é y = 4x.

Desse modo, temos a resolução:

Sem medo de errar!

Funções

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• O valor mais econômico será:

Empresa Andetaxi = quando a quilometragem for maior que 6 km

Empresa Voudetaxi = quando a quilometragem for menor que 6 km

• Os dois planos serão equivalentes quando a quilometragem percorrida for igual a 6 km. O ponto de interseção entre as retas é o (6,24), pois de 3x + 6 = 4x temos x= 6. Isso quer dizer que as duas empresas cobram o mesmo valor quando a viagem for de 6 km. Então I= (6, 24) é o ponto de interseção entre as duas funções.

Andetaxi: y= 3x + 6; ou seja, y= 3. (8) + 6, logo y= 30. Pela empresa Andetaxi a corrida custaria R$ 30,00.

Voudetaxi: y= 4x; ou seja, y= 4. (8), logo y= 32. Pela empresa Voudetaxi a corrida custaria R$ 32,00.

Portanto, a solução mais econômica para essa corrida é a empresa Andetaxi.

Construindo o gráfico da função afim para análise, podemos concluir que:

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Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.

Movimento das Tartarugas Marinhas

1. Competência de Fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações

3. Conteúdos relacionados Função Afim

4. Descrição da SP

Inúmeros são os modelos matemáticos criados para compreensão de situações diversas. O gráfico abaixo ilustra a representação de uma função matemática empregada por um determinado biólogo para análise do movimento de algumas tartarugas marinhas que aparecem em determinada região litorânea em certos períodos do ano para reprodução. Para fazer esta representação o biólogo considerou que estes animais movem-se no plano a partir de um certo ponto P (aos 150 metros distante da borda oceânica), para outro ponto Q (distante de P, em linha reta, 230 metros). Além disso, considerou s como a distância (em metros) e t como o tempo (em horas). Observando o modelo construído:

a) Qual a função matemática descreve este movimento? Como essa função é nomeada?b) Em que posição as tartarugas estarão após decorridas duas horas?c) De acordo com o gráfico, podemos afirmar que este biólogo iniciou sua análise quando as tartarugas emergiram do mar? Justifique sua resposta.d) Qual o tempo gasto para as tartarugas chegarem ao ponto Q?

5. Resolução da SP

Solução do problema: a) Temos (5, 400) e (0, 150) dois pontos do gráfico. Como temos

uma reta, sabemos que b=150 é o coeficiente linear. Sabemos ainda que y=ax+ b, substituindo y por s e x por t temos:

S=at+b , uma função denominada afim.

b) Quando t=2

c) De acordo com o gráfico representado, a análise deste biólogo não teve início quando as tartarugas emergiram do mar, mas sim, quando estes animais já distavam 150 metros da borda marítima.

d) Como o ponto Q dista 230 metros do ponto P. Q= 150+230→ Q=380

Disto, 380= 50t +150→ 50t=380-150→ t= t= + t= 4 horas e 36 minutos.

Avançando na prática

Funções

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1. Seja a função definida por . Qual é o elemento do domínio que tem 5 como imagem?

a) 6

b) 4

c) 1

d) 5

e) 7

2. Carolina tem uma grande fazenda em Minas Gerais. A fazenda dela pode ser dividida em dois grupos distintos. Seja A= {vaca, cavalo, galinha, gato} o grupo que contém os animais da fazenda e B = {ovo, leite, capim, milho, ração} o grupo dos derivados e alimentação dos animais. Associe os elementos do grupo A com seu respectivo no grupo B. Com base nessa análise, determine se tal relação pode ser definida como uma função:

3. Seja a função . Determine o coeficiente linear e angular, respectivamente:

a) 6 e 9

b) 3 e 7

c) 7 e 1

d) 1 e 3

e) 0 e 7

4. Determinado pesquisador mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Para esta análise marcou pontos em sistema de coordenadas cartesiano, e, desta forma, obteve a curva descrita abaixo:

Faça valer a pena!

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Considerando que essa relação entre tempo e altura foi mantida, podemos observar o gráfico representado e afirmar que a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a:

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 3 cm

d) 15 cm

e) 30 cm

5. Determinada empreiteira fornece um desconto de 3% sobre o valor de certa prestação de serviço. A função que representa o valor a ser pago é:

a) f(x)= x-3

b) f(x)= 0,97x

c) f(x)= 1,3x

d) f(x)= -3x

e) f(x)= 1,03x

6. Na fabricação de determinado artigo verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Determine:

a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida.

b) o gráfico dessa função.

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c) o custo de fabricação de 15 unidades.

7. Um instalador de linhas telefônicas recebe um salário-base de R$ 700 e R$ 6,00 a cada instalação. Considerando x a quantidade de linhas telefônicas instaladas, a função f que expressa o salário mensal desse instalador é:

a) f(x)= 700x + 6

b) f(x) = -6x + 700

c) f(x) =

d) f(x) = 6x + 700

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Seção 1.2

Função quadrática

Diálogo aberto

Na seção anterior deste livro tivemos contato com o universo das funções e função afim, observamos sua singular importância no mundo da matemática já nas definições introdutórias. A proposta desta seção é apresentar a você o estudo de outro tipo específico de função, a função quadrática.

Você pode encontrar o estudo desta função mais detalhadamente em livros de Matemática do ensino fundamental e médio. Pesquise também no site <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>. Acesso em: 21 jun. 2015.

Dica

O estudo da função quadrática é encontrado na história dos babilônicos há cerca de 4.000 anos. Outros povos também ofereceram uma contribuição para a formação da álgebra, de forma que a representação atual da equação de segundo grau é ax2+bx+c = 0, com a não nulo,

onde o valor de x é desenvolvido pela fórmula atribuída por muitos a

Bhaskara: .

Lembre-se

É importante saber reconhecer quais conceitos matemáticos resolvem os problemas do nosso cotidiano, ou seja, para resolver um determinado problema devemos saber qual é o modelo matemático adequado.

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Para tanto, realizaremos um estudo sobre funções quadráticas, pois elas apresentam diversas aplicações no cotidiano, como em situações relacionadas à Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; à Administração e Contabilidade, relacionando as funções custo, receita e lucro; e à Física e Engenharia, envolvendo movimento uniformemente variado, assim como nas diversas construções, medições e aplicações na resolução de diversos problemas relacionados à área. Assim, a leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre a função quadrática, abordando os termos que envolvem as características notáveis e suas propriedades.

A segunda situação-problema apresentada pela empresa para o estagiário foi a seguinte:

A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito e propriedades da função quadrática. Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função quadrática, na forma algébrica e calcular o valor do ∆ e da coordenada x do vértice da parábola. Pode-se representar a função graficamente para melhor compreender a situação-problema.

Reflita

Não pode faltar

A função quadrática, também nomeada função polinomial do 2º grau, é definida a partir de: f de R em R, dada na forma: f(x)=ax2+b+c com a, b e c pertencentes ao conjunto dos números reais, onde a ≠ 0. Vale salientar que o domínio desta função é o conjunto dos números reais e a representação de seu gráfico é a curva conhecida como parábola.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 e f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1.

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Atenção!

Seu gráfico é sempre uma parábola, onde sua concavidade é definida pelo valor de a, se temos a > 0, sua concavidade é voltada para cima, se a < 0, sua concavidade é voltada para baixo. Vamos estudar mais sobre esse assunto adiante.

Fonte: <www.brasilescola.com/imagem>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.7 | Gráfico de função do 2º grau

Cálculo das Raízes da função quadrática

Chamamos de raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau dado por: f (x) = ax2 + bx + c, a≠0, os números reais x que satisfazem f(x) = 0, ou seja, os valores da abscissa x que tornam y nulo. A descrição que nos permite obter as raízes é da forma:

, tal representação é denominada como fórmula de bhaskara.

Para cálculo das raízes representadas por x’ e x” temos: e

, Onde: ∆ = b2 – 4ac

Assim, denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega ∆ (delta).

O discriminante deve ser considerado para a análise gráfica da função. A Figura 1.2 nos informa como ∆ influencia os pontos (x’ e x”), de interseção entre a curva nomeada parábola e o eixo das abscissas, quando a>0.

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Fonte: <www.alunosonline.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.8 | Estudo das raízes

Assimile

Ao analisar a Figura 1.8, você pode concluir que:

I. No primeiro gráfico, onde ∆ < 0, a função não apresenta raízes reais. A parábola não toca em nenhum ponto do eixo das abscissas.

II. No gráfico onde temos ∆ = 0, a função apresenta raízes reais e iguais; logo: x’=x”. A parábola tangencia o eixo x.

III. Já no terceiro gráfico, em que ∆ > 0, a função contém raízes reais e diferentes, logo x’ ≠ x”. A parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.

Vértice da parábola

O vértice é representado pela letra V, é o ponto que pertence à interseção do eixo de simetria com a parábola; este ponto pode ainda ser observado como o ponto mínimo ou o ponto máximo. Isso depende da posição da concavidade da

parábola. Observe na Figura 1.9, podemos calcular o vértice da parábola através

das expressões: Xv = ou y

v =

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Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.9 | Vértice de uma função quadrática

Vale lembrar que o conjunto de pontos que descreve a parábola é simétrico em relação à reta que contém o vértice V (Xv, Yv), esta reta é o eixo de simetria.

Conjunto imagem da função quadrática.

O conjunto imagem da função definida por y = ax2 + bx + c com a≠0 é o conjunto composto pelos valores que y pode assumir.

I. Se o coeficiente , podemos

afirmar que y = f (x) assume valores maiores ou iguais à ordenada (Yv) do vértice, se o coeficiente “a” é maior que zero.

II. Se , afirmamos que y= f(x)

assume valor menor ou igual à ordenada (yv) do vértice.

Reflita

Construção da parábola!

O gráfico é construído a partir da definição de pares (x,y). Entretanto, podemos destacar:

I. As raízes, quando existem, podem ser facilmente obtidas utilizando a equação de bhaskara já indicada e podem ser observadas no gráfico, pois são os valores das abscissas dos pontos (x,0) em que a parábola intercepta o eixo 0x.

Funções

U1

28

II. O vértice V nos indica o máximo ou mínimo da parábola, sendo o ponto de interseção da parábola com o eixo de simetria; sua coordenada pode ser

identificada utilizando ( , ).

III. A concavidade pode ser observada no formato característico da parábola y = ax2 + bx + c pelo coeficiente a.

Vale salientar que:

O coeficiente c presente na função polinomial do 2º grau, dada por y = ax2 + bx + c, é o valor da interseção da parábola como eixo y.

Exemplificando

Como representar o gráfico da função quadrática dada por y = -x2+2x+3?

I. Definindo a concavidade da parábola.

Temos a = -1, como a < 0 a concavidade é para baixo.

II. ∆ pode ser obtido por ∆ = b2 – 4ac

∆ = (2)2 – 4(–1)(3)

∆ = 4 + 12 = 16

III. Cálculo das raízes.

IV. Assim, por meio de encontramos o vértice V.

Funções

U1

29

V. Esboçando a parábola.

Estudo de sinal

Considere uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c para determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo, devemos considerar o sinal ∆ = b2 - 4ac. Pode-se observar os seguintes casos:

1º.  ∆ > 0

Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  ≠  x

2). A

parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos da Figura 1.10:

Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.10 | Estudo de sinal

Funções

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30

2º.  ∆ = 0

Nessa situação a função terá duas raízes reais iguais (x1 = x

2). A parábola

tangencia o eixo das abscissas e o sinal da função y=f(x) é descrito.

Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.11 | Estudo de sinais

3º. ∆ < 0

Quando ∆ < 0 a função não admite raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x. O sinal que y=f(x) assume é único e pode ser observado na Figura 1.12.

Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.12 | Estudo de sinais

Funções

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31

Você pode observar a construção da parábola nos exemplos apresentados no site: <http://<www.matematicadidatica.com.br/FuncaoQuadratica.aspx>. E também encontrar diversas atividades envolvendo funções polinomiais do 2º grau em: <http://<www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap103.html>. Acesso em: 16 maio 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Sendo f(x) = - x2 + x + 6, esboce seu gráfico, determine suas raízes e coordenadas do vértice, classifique o y do vértice como valor máximo ou valor mínimo da função.

Sem medo de errar

Após o estudo de função quadrática, vamos resolver a segunda situação-problema apresentada ao João?

Vamos relembrar! A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

Solução:

Considerando x uma das dimensões do retângulo em que haverá a construção, podemos representar a área do galpão por:

x

30-x

x.(30 – x) ou –x2+ 30x

Funções

U1

32

Para determinarmos as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, no intuito de obter área máxima, basta calcular o valor do vértice x da

parábola, dado x = - .

Sendo f(x) = -x2+ 30x, 0 < x < 30, o valor máximo de f(x) é obtido para

x = - = - = 15

Portanto, as dimensões do retângulo serão 15 m e 15 m.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.

Trajetória da Bola

1. Competência de Fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Função Quadrática

4. Descrição da SP

Matemáticos buscaram descrever a trajetória de uma bola de futsal

atirada para cima por um determinado jogador, em um momento

do jogo observado. Para isso, levantaram os dados necessários e

tomaram como referência o sistema de coordenadas cartesiano.

Verificaram que a trajetória descrita poderia ser analisada por meio

da função h(t)= , onde t indica o tempo, dado em décimos

de segundo, e h(t) representa a altura em metros. Considerando

esses dados:

a) Represente o gráfico que descreve a trajetória da bola

analisada.

b) Qual deve ser a altura máxima atingida pela bola em

relação ao eixo horizontal?

c) Em quanto tempo a bola atinge a altura máxima?

d) A bola atinge o solo após quanto tempo do lançamento?

Funções

U1

33

5. Resolução da SP

Resposta:

a) h(t)= ,Raízes: Vértice:

b) A altura máxima é observada pela ordenada do vértice., Portanto, a altura máxima

atingida pela bola nesta trajetória é 15 metros.

c) A altura máxima é observada pela abscissa do vértice.. Aos 30 décimos de segundo, a

bola atinge a altura máxima.

d) A raiz indica que

Podemos fazer ainda y=0, em h(t)= 0=

, logo t’=0 e t”=60

Portanto, após decorridos 60 décimos de segundos, a bola atinge o solo.

Faça valer a pena

1. A balança comercial de um país é determinada pela diferença entre o valor monetário das exportações e importações. Tendo em vista este entendimento e os dados atualizados, suponha que alguns analistas financeiros representem a balança comercial de um país no ano de 2013 por meio da função V(t)= t2 -7t +6, onde t representa o tempo em mês, variando de janeiro t=1 a dezembro t=12. Sendo o intervalo [0,1] o período de janeiro, [1,2] o período de fevereiro e assim sucessivamente. Considerando esses dados, deseja-se saber:

a) Qual deve ser o gráfico desta função.

b) Em que período(s) do ano a balança comercial foi nula?

c) Podemos dizer que houve superávit comercial em outubro de 2013? (Dizemos que houve superávit comercial quando o valor da balança

Funções

U1

34

comercial de um país é positivo.)

d) Em algum período de 2013 houve déficit na balança comercial? (Dizemos que houve déficit quando a balança comercial é negativa.)

2. O número de pedidos na pizzaria Bela Dona, das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em Jundiaí, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de pedidos nesse período do dia foi de:

a) 0.

b) 15.

c) 9.

d) 18.

 

3. Determine os valores de m para que a função f(x) = -x2 -4x – (-m +1) assuma valores negativos para todo x real:

a) m < 3

b) m > 3

c) m < 2

d) m < -3

4. Dada a função y= - x2 +x+6, determine as raízes e as coordenadas do vértice.

5. Considerando a função y= - x2 + x + 6 podemos afirmar que os valores que representam o Yv (valor máximo ou valor mínimo da função) e a interseção da curva com o eixo y são:

a) ½ e (6,0)

b) 5/7 e (3, 2)

c) 25/4 e (0,6)

d) 4/25 e (0,6)

6. Uma empresa vai lançar no mercado um produto novo. O material usado para confecção desse produto fabricado pela empresa tem um custo de R$ 20,00. A empresa pretende colocar cada produto à venda por x reais e, assim, conseguir vender (80 - x) produtos por mês. Assim, para

Funções

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que mensalmente seja obtido um lucro máximo, qual deve ser o preço de venda do produto?

a) 60.

b) 70.

c) 100.

d) 50.

7. Para que a função y= (3m-9).x2 -7x +6 seja quadrática, o parâmetro m deve ser:

a) m = 3

b) m ≠ 3

c) m ≠ 4

d) m ≠ 1/3

e) m = 1/3

Funções

U1

36

Funções

U1

37

Seção 1.3

Função exponencial e logarítmica

Ei, aluno! Está pronto para mais uma seção de autoestudo?

Após estudarmos as funções afim e quadrática, agora chegou a hora de relembrarmos ou conhecermos a função exponencial e a função logarítmica. Anime-se!

As funções exponencial e logarítmica são funções muito importantes, pois explicam muitos acontecimentos naturais, sendo assim ferramentas imprescindíveis para físicos, matemáticos, químicos, biólogos e também para engenheiros.

Dica

A função exponencial y = ℮x aparece na descrição de vários fenômenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre outros. A função logarítmica permite cálculo de amplitude, nível de energia liberada por um abalo sísmico, temos como exemplo a Escala Richter. Veja mais em: <periodicos.uems.br/novo/index.php/enic/article/view/4780/2415>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Lembre-se

Diálogo aberto

Nesta seção você vai ficar sabendo de diversas aplicabilidades dessa fantástica ferramenta matemática. O estudo deste tema irá fazer com que você passe a

Funções

U1

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O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito e propriedades da função exponencial e logarítmica. Interpretar, analisar e resolver o problema fazendo uso das funções exponencial e logarítmica.

Relembre como resolver equações exponenciais e logarítmicas para melhor compreender as funções. <http://www.infoescola.com/matematica/equacao-exponencial/> e <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoLogaritmica.aspx>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Reflita

Não pode faltar!

Atenção!

A função g(x)= k.ax, onde k é uma constante, é do tipo exponencial.

Aqui devem ser asseguradas as propriedades para quaisquer expoentes k e x pertencentes aos reais:

1)

compreender o quanto as funções logarítmicas e as exponenciais são importantes para o desenvolvimento de outras áreas do conhecimento. Também irá aprender as condições de existência, as principais propriedades e resolver várias questões relacionadas a estes conhecimentos.

No processo seletivo, a empresa multinacional queria saber se João sabia resolver situações-problema de juros compostos. Por exemplo, foi perguntado ao João se ele saberia afirmar em quanto tempo um capital é duplicado quando aplicado a uma taxa de 2,2% ao mês em juros compostos.

Chama-se função exponencial a função f de R em apresentada pela forma característica, em que a é um número real positivo e diferente de um.

• Definição: é exponencial se a >0 e a≠1.

Funções

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2)

3) a 0 = 1

4) Duas são as possibilidades quando o valor do expoente k é menor que x (k<x):

a) teremos se a base a é maior que um (a>1)

Exemplo: Quem é maior, 22 ou 23? Temos então 22 < 23.

b) teremos > se o escalar base(a) assumir um valor entre zero e um ()

Exemplo: Quem é maior, ( )2 ou ( )3? Temos

Vale destacar que as condições de existência de f(x)= , como exponencial, determinadas por a>o e a≠1, são estritamente necessárias, uma vez que,

• Se a <0, o número real ax pode não ser real. Podemos observar isto, no caso , onde temos um valor para f(x) não definido no conjunto dos Reais.

Isso porque esse valor é a raiz de um número negativo. (-5)1/2 =

• Se temos a = 0 e expoente

• Se acontecer a=1, para todo x Є R, a função dada por será uma função constante e, portanto, não assume a forma definida de uma exponencial.

Representações gráficas

Podemos analisar, pela definição já apresentada de uma função exponencial, alguns apontamentos para funções cuja forma seja .

Se a base a é diferente de um e maior que zero a imagem desta função é sempre positiva

Para teremos as seguintes construções geométricas:

Funções

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Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.13 | Função Exponencial

Nos dois gráficos representados pela Figura 1.13, observamos dois tipos de comportamentos: uma função crescente e outra decrescente. Isto decorre por ser a>0 e a≠1. Permitindo duas situações distintas no intervalo real maior que zero e diferente de um: a>1 ou 0<a<1. Vamos analisar melhor esta situação? Veja abaixo!

Reflita

Função exponencial crescente e decrescente

As funções exponenciais também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se! Segundo a definição da função exponencial, definida por

, temos que e .

Se temos uma função exponencial crescente, ou função de crescimento exponencial, qualquer que seja o valor real de x. No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.

Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.14 | Função crescente

a > 1, f é crescente

Funções

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Se temos uma função exponencial decrescente, decaimento exponencial, em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.

Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/>. Acesso em: 16 mai. 2015.

Figura 1.15 | Função decrescente

a < 1, f é crescente

Assimile

Note também que, independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), além de nunca cruzar o eixo das abscissas.

Função exponencial com base ℮

O ℮ é um irracional transcendente (como o π). A representação do número 2,718281828459... pela letra ℮ surgiu, pela primeira vez, no século XVIII, com Euler. Esta designação conserva-se como homenagem a este matemático, embora o número seja chamado Número de Neper. Neper não se apercebeu da importância do número ℮. Só um século depois, com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer o papel relevante deste número Saiba mais em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/exponencialehtm.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Funções

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Exemplificando

A Fig. 1.16 apresenta um exemplo de função exponencial

Fonte: Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph--y%3De-to-0.5x--lin-lin.png>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.16 | Exemplo do gráfico da função exponencial

A função exponencial y = ℮x aparece na descrição de vários fenômenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre outros. Veja mais em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/exponencialehtm.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Função Logarítmica

Os logaritmos são extremamente úteis para resolver problemas que ocorrem em situações diversas, como na economia, previsão de enchentes, crescimento

Funções

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populacional, abalos sísmicos, entre várias outras. O seu uso é de fundamental importância para encontrar a solução de um problema. Então, é importante compreender a função logarítmica e entender suas propriedades, pois são elas que serão usadas na solução de diversas situações.

Toda função que obedece à lei de formação , definida por , satisfazendo as condições de existências (0<b≠1), chamamos de

função logarítmica. Na definição apresentada destacamos o domínio da função f que simbolicamente representamos por e a imagem que é dada por

.

Simbolicamente, temos:

Exemplo: Qual o valor de log2 16= 4, pois se log

2 16=x, então:

2x = 16 temos então 2x = 24, logo x=4, portanto log2 16= 4.

Propriedades

1º) Dizemos que uma função logarítmica, é crescente, quando obedece à seguinte condição b>1. Exemplo:

Considere x, y > 1 e x > y então . Assim 3 > 2 ⇒

2º) Dizemos que uma função logarítmica, é decrescente, quando obedece à seguinte condição 0<b<1. Exemplo:

Diferentemente do que foi mencionado na observação anterior, temos: 4 > 3 ⇒

Reflita

Gráficos

Função logarítmica crescente

Dada a função , com b>1 o gráfico é representado por:

Funções

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Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.17 | Função logarítmica crescente

Função logarítmica decrescente

Dada a função , com 0 < b < 1 o gráfico é representado por:

Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.18 | Função logarítmica decrescente

Assimile

Principais características do gráfico

A partir do gráfico é possível destacar:

1°) O gráfico está à direita do eixo das ordenadas, ou seja, o eixo y;

2°) O ponto (1,0) pertence ao gráfico da função.

Funções

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A outra base muito utilizada é e. O logaritmo em base e é chamado de logaritmo natural de x, denotado por ln x e definido como sendo a função inversa de ex, ou seja, o logaritmo natural de x, escrito ln x, é a potência de e necessária para obter x. Em outras palavras, lnx = c significa que ec = x. Veja que “e” é outra base para o logaritmo, que possui uma denominação especial, mas que possui exatamente as mesmas propriedades já apresentadas. A Figura 1.19 apresenta o gráfico da função exponencial ex e lnx.

Fonte: Extraído de Stewart (2011, p. 56).

Figura 1.19 | Gráfico da função exponencial ex e sua inversa lnx

Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o exemplo inicial desse tema.

Saiba mais sobre mudança de base e propriedade dos logaritmos em <http://www.infoescola.com/matematica/definicao-e-propriedades-dos-logaritmos/>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Sendo f (x) = 3x esboce seu gráfico e classifique a função em crescente ou decrescente.

Funções

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Sem medo de errar!

Vamos relembrar! Em quanto tempo um capital é duplicado quando submetido a uma aplicação de juros compostos com taxa de 2,2% ao mês?

A resposta correta é dois anos, sete meses e vinte e seis dias. Tente resolver esse problema usando a fórmula para cálculo de juros compostos.

Usando a fórmula para juros compostos M=C(1+i)t, tem-se:

M = 2C, o montante será duas vezes o capital (C).

i = 0,022, é a taxa de juros.

t = ?, é a incógnita e que se deseja descobrir – o tempo para que a aplicação duplique (esta será dada em meses, afinal a taxa de juros é ao mês).

M=C(1+i)t ⇒ 2C = C(1+0,022)t ⇒ 2C = C(1,022)t ⇒ 2 = 1,022t

Chegamos à seguinte situação: 2 = 1,022t.

Mas, e agora? t é um expoente e é possível perceber que esse expoente deve ser o valor adequado para tornar a base (1,022) igual a 2. Você aprendeu a calcular um número elevado a um expoente que varia (ou seja, altera seu valor) em funções exponenciais, não é? Esse cálculo é facilmente efetuado com o uso de uma calculadora científica usando a função de expoente. No entanto, para encontrar o valor que o expoente deve ter para que um determinado resultado ocorra, como no exemplo 2 = 1,022t, o cálculo deve ser feito por meio de logaritmos.

Nesse ponto é possível aplicar as propriedades de logaritmos e há duas formas de resolver:

1) Mudança de base - pela definição de logaritmos logax = y ⇔ ay = x, tem-se a=

1,022, x = 2 e y = t. Portanto,

t = 31 meses e 26 dias ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.

2 = 1,022t ⇒ log2 = log1,022t

2) Aplicar log nos dois lados da equação – sempre é possível resolver uma equação

Funções

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efetuando a mesma operação em ambos lados da igualdade, certo? Logo,

2 = 1,022t ⇒ log2 = log1,022t e pela propriedade (3), pode-se escrever

log2 = t log1,022 que chegará na mesma divisão da solução anterior, portanto t =

31,85 meses ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.

Crescimento de bactéria e Tempo médio árvore

1. Competência de Fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Função Exponencial e Logarítmica

4. Descrição da SP

1) Em uma pesquisa realizada constatou-se que a população P de

determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t)= 25.2t, onde

t está medido em horas. O tempo que essa população atinge 400

bactérias é de:

a) 3 horas

b) 4 horas

c) 6 horas

d) 8 horas

2) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina

à produção de madeira, evolui, desde o plantio, segundo o seguinte

modelo matemático: h(t)= 1,5 + log3 (t+1) com h(t) em metros e t em

anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu

3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento do

plantio até o do corte foi de:

a) 9 anos

b) 8 anos

c) 7 anos

d) 5 anos

Funções

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5. Resolução da SP

Resposta:

1) 25.2t =400

2t =

2t = 16

2t = 24

t= 4 horas, portanto letra b.

2) Resposta:3,5 = 1,5 + log

3(t+1)

log3

(t+1) = 3,5 -1,5log

3(t+1) =2

32 = t+1

t= 8 anos

Faça valer a pena!

1. O domínio da função y = log3 (x – ½) é:

a) D ={ x ЄR/ x > }

b) D ={ x ЄR/ x > 1 }

c) D ={ x ЄR/ x < }

d) D ={ x ЄR/ x > <1 }

e) D=R

2. Função logarítmica é toda função f(x) = loga x, ou seja, que associa a cada x o

logaritmo, na base b, de x. Com relação ao gráfico desta função podemos afirmar que:

a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,1).

b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes I e III.

c) Quando b > 1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x

2).

d) Quando 0< b < 1, a função logarítmica é decrescente (x1 < x

2). 

3. O professor Notlia, responsável pelo departamento de ideias criativas da faculdade “Aprendendo o que se vive”, solicitou aos seus alunos que criassem uma

Funções

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calculadora que resolvesse a seguinte equação: 2x = 3. Dessa forma, para que os alunos possam obter um valor aproximado de x, devem criar uma calculadora que possua em sua programação os valores das seguintes teclas:

a) log 3, log2 e log3.log2

b) log 3, log2 e log3:log2

c) 2.log 3, log2 e log3-log2

d) log 3, log2 e log3+log2

4. Em certo experimento, pesquisadores, ao investigar o desenvolvimento de uma cultura de bactérias, constataram que esta população cresce segundo a expressão

, em que N(t) representa o número de bactérias e t indica o tempo observado em horas. Considerando que foi verificada a existência de um nível crítico, que é quando a cultura atinge 98304 bactérias, qual será o tempo necessário para que o número de bactérias alcance esse nível?

a) 2 horas e 30 minutos

b) 3 horas

c) 4 horas e 20 minutos

d) 5 horas

e) 6 horas

5. Juliana tem duas lojas de roupa A e B, cada uma localizada em um shopping da cidade. O faturamento y de certo produto vendido na loja A pode ser descrito pela função y= 10.3x em que x representa a quantidade de meses desde a inauguração da loja. A loja B vende o dobro da loja A a cada mês. Sabendo que ambas as lojas inauguradas no final de setembro (x=0), em qual final de mês as duas lojas juntas venderam R$ 21.870 do produto?

a) junho

b) fevereiro

c) julho

d) março

Funções

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50

6. As funções matemáticas englobam um tema muito importante no nosso cotidiano,

uma vez que através delas podemos criar modelos matemáticos, que descrevem várias

situações. Sabendo que a população inicial de uma cidade é 19.000 habitantes e que sua

população estimada, para daqui a x anos, por f(x) = (20 - ). 1.000 habitantes.

Podemos afirmar, de acordo com esta função, que essa população durante o 3º ano, comparada à população inicial:

a) aumentará 19.875 habitantes

b) aumentará 750 habitantes

c) aumentará 875 habitantes

d) aumentará 500 habitantes

7. Uma das aplicações das funções exponenciais é o cálculo da pressão atmosférica. Supondo que de acordo com alguns pesquisadores a pressão atmosférica P seja dada pela função em que h represente a altitude nas proximidades da superfície de Marte. Escreva V caso a alternativa seja verdadeira e F se for falsa:

a) ( ) Esta função nos indica que quanto maior a altitude, maior será a pressão.

b) ( ) Esta função informa que quanto maior for a altitude h, menor será a pressão.

c) ( ) A pressão atmosférica será nula quando a altitude é zero.

d) ( ) Em determinada altitude podemos observar a pressão negativa.

Funções

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Seção 1.4

Funções trigonométricas

Nas seções anteriores estudamos o que é função e os diferentes tipos de função: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Agora iremos aprender sobre as funções trigonométricas, utilizadas em várias áreas do conhecimento, como: astronomia, geografia, engenharia, física, topografia, etc. Vamos lá? Vêm aí agora as funções trigonométricas!

Você lembra do significado da palavra trigonometria? A palavra vem do grego, formada por três radicais: tri (três), gonos (ângulo) e metron (medir). Assim, trigonometria significa a medição dos três ângulos. A Trigonometria é utilizada na resolução de problemas geométricos que relacionam ângulos e distâncias. Encontramos registros na história que datam de 1.500 anos a.C., onde os matemáticos utilizavam a razão entre a sombra projetada no solo de uma vara vertical e a comparavam com a sombra de uma pirâmide, relacionando o comprimento das sombras com as horas do dia. Além do Egito, outros povos contribuíram para o desenvolvimento da trigonometria: chineses e os babilônios. No Egito, os matemáticos utilizavam um instrumento conhecido como “mgrona” utilizado para medir ângulos, e era utilizado durante as construções de pirâmides. Nos dias de hoje os engenheiros utilizam um aparelho chamado Teodolito.

Lembre-se

Diálogo aberto

Para o estudo sobre Funções Trigonométricas é importante que você relembre ou, se necessário, faça uma pequena revisão sobre as razões trigonométricas do Triângulo Retângulo. Veja em <http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes2.php>. Aproveite!

Dica

Funções

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A leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre as funções trigonométricas, pois tratará de termos que envolvem as características notáveis e suas propriedades.

Também no processo seletivo, a empresa multinacional apresentou a seguinte situação-problema sobre o PIB (Produto Interno Bruto) para João:

(FVG-SP-adaptada) O PIB é um dos indicadores mais utilizados na macroeconomia com o objetivo de quantificar a atividade econômica de uma região. Considere que o PIB (Produto Interno Bruto) de um país, em bilhões de dólares, é dado pela equação: P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π ), onde,

x=0 corresponde ao ano de 1998

x=1 corresponde ao ano de 1999

x=2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante

Qual será o PIB do ano de 2018? E agora, como João pode resolver este problema?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito e propriedades da função trigonométrica. Interpretar, analisar e resolver o problema fazendo uso das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, assim como de suas equações.

Reflita

Não pode faltar!

Função trigonométrica

Vamos avançar em nossos estudos, agora iremos trabalhar com as Funções Trigonométricas. Mas você lembra a definição de função?

Assimile

Função é a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação. Existem diferentes tipos de funções: Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Logarítmica, Função Exponencial

Funções

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A função trigonométrica possui como característica as razões trigonométricas, como, por exemplo: f(x)= sen x, f(x)=cos x, f(x)= tg x. O domínio desta função são os números reais, ou seja, a função associa cada número real ao seno, ao cosseno ou à tangente, etc.

São denominadas Funções Trigonométricas as funções que envolvem as relações do triângulo retângulo em função de um determinado ângulo.

Para saber mais sobre essas relações, reveja trigonometria no triângulo retângulo no link <http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes.php>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Em nosso cotidiano encontramos diferentes fenômenos que se repetem após um determinado intervalo, como, por exemplo: dias da semana, meses, horas, fases da Lua, altura das marés, da radiação eletromagnética, dos pêndulos, das molas, etc.

As funções trigonométricas representam tais fenômenos, por serem funções periódicas, para isso imagine um ponto movendo-se por todo o ciclo trigonométrico. A projeção deste ponto sobre o eixo vertical “y” ou sobre o eixo horizontal irá compor o movimento periódico.

Para entender melhor, vamos estudar um pouco sobre o ciclo trigonométrico!

No ciclo trigonométrico, consideramos uma circunferência com o centro “0” com um raio unitário, ou seja, com a medida igual a 1, com dois eixos perpendiculares: um vertical e outro horizontal, cruzando no ponto (0,0), formando assim quatro quadrantes: Q1, Q2, Q3 e Q4.

e Função Trigonométrica, etc. São exemplos dessas funções:

f(x) = x + 1 f(x) = x² +2 f(x) = log x f(x) = 2x

Funções

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Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.20 | Ciclo trigonométrico

A medida utilizada no ciclo trigonométrico será através dos arcos ou ângulos. Seja um ciclo marcado com dois pontos: A e B, imagine que este ficou dividido em dois arcos AB e BA:

Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.21 | Ciclo trigonométrico

Se os arcos AB coincidem são chamados de arco nulo, de medida 0°, um arco

completo possui 360° graus e 1° grau é igual ou 60’ minutos. Já a medida em

radianos envolve a razão entre o comprimento e raio da circunferência, ou seja:

.

Funções

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Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.22 | Ciclo trigonométrico: Graus e Radianos

Exemplificando

Assim 2 corresponde a 360°. Agora vamos lembrar como é feita a conversão radianos para graus e graus para radianos. Vamos converter para graus, para isso vamos utilizar regra de 3;

sabendo que é igual a 180°, teremos:

........ 180

......... x

x = 180. (cancelar r.rad)

x = 180.

x = 120°

Então , correspondem a 120°

Vamos agora transformar 120° em , novamente utilizando regra de três a partir do pressuposto de que corresponde a 180°.

Reflita

Funções

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........ 180

X ......... 120°

180.x = 120.

x =

x=

Então 120° correspondem a .

No círculo trigonométrico é possível fazer a leitura das razões trigonométricas: seno, cosseno e da tangente, para um ângulo tendo como raio uma unidade, tem-se um ponto “P” , cujas coordenadas são (a,b), sendo “a” projetado no eixo das abscissas “x” e “b” projetado no eixo das ordenadas “y”, formando um triângulo retângulo, teremos:

Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.23 | Círculo trigonométrico

Para ampliar seus conhecimentos, pesquise mais sobre arcos côngruos e ciclo trigonométrico.

Veja o link <http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-uma-volta.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Funções

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Vamos agora estudar as funções seno, cosseno e tangente!

Função Seno

Observe o ciclo trigonométrico. Para fazer a leitura das razões do seno, teremos como base o eixo vertical, e lembrando que a hipotenusa vale uma unidade, portanto a razão do seno será o mesmo valor da ordenada “b”, ou seja, será o mesmo da medida do cateto oposto:

Sen =

Sendo assim, o eixo vertical, correspondente à ordenada é identificada como seno de e a representação gráfica da função seno, se repete no intervalo de 0 a e 2π rad ou de 0° a 360°:

A representação gráfica da função seno será uma curva denominada como senoide e possui as seguintes características:

• Domínio pertence ao conjunto dos números Reais;

• Periodicidade de 2π rad;

• Imagem será entre [1,-1];

• Valor máximo igual a “1” e mínimo igual a “-1”;

• A amplitude será igual a 1;

• Sinal positivo no 1º e 2º quadrantes;

• Sinal negativo no 3º e 4º quadrantes

Para construir o gráfico f(x)= sen x, atribuímos valores de x - assim determinamos os valores correspondentes às razões trigonométricas:

Fonte: O autor (2015).

Figura 1.24 | Função Seno

Ângulos f(x) = sen x (X, Y)

0 π ou 0° f(x) = sen 0 0

ou 90° f(x) = sen 90 1

π ou 180° f(x) = sen 180 0

ou 270° f(x) = sen 270 -1

ou 360° f(x) = sen 360 0

Funções

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Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.25 | Senoide

Função Cosseno

Denominamos f(x)=cos (x), de função cosseno, de modo a associar cada número real “x” o número real “OP”, sendo considerado como cosseno do ângulo

, o valor da medida do cateto adjacente, ou seja, ao número real “x” da abscissa do ponto correspondente à sua imagem no ciclo:

Cos =

A representação gráfica da função cosseno será uma curva denominada como Cossenoide e possui as seguintes características:

• Sinal positivo: quando x pertence ao 1º e 4º quadrantes;

• Sinal Negativo: quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes;

• Período de 2 rad;

• Domínio pertence aos números Reais;

• Imagem será entre [-1,1]

Para construir o gráfico f(x)= cosx, atribuímos valores de x - assim determinamos os valores correspondentes às razões trigonométricas:

Tabela 1.26 | Função Cosseno

Ângulos f(x) = sen x (X, Y)

0 π ou 0° f(x) = cos 0° 1

ou 90º f(x) = cos 90° 0

π ou 180° f(x) = cos 180° -1

Funções

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Fonte: O autor (2015).

ou 270° f(x) = cos 270° 0

ou 360° f(x) = cos 360 1

Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.27 - Cossenoide

Função tangente

É a função real de variável, tal que x pertence ao conjunto dos números Reais, tendo P sua imagem na circunferência trigonométrica e T o ponto em que a reta OP intercepta o eixo da tangente

tg =

Ângulo 0 3

Tangente 0 1 -1 0 1 -1 0

Figura 1.28 | Função Tangente

Fonte: O autor (2015).

A representação gráfica da função tangente f(x) tgx é denominada como tangentoide e possui as seguintes características:

• O sinal da função é positiva no 1º e 3º quadrantes;

• O sinal de função é negativa no 2º e 4º quadrantes;

• Tem o período em π.rad;

• Domínio será D = {x Є R/x ≠ + K. }

Funções

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Não existe a tangente para os ângulos de e ;

Fonte: Disponível em:< http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 21 mai. 2015.

Figura 1.29 | Tangentoide

Com esta seção, tivemos a oportunidade de aprofundar nossos estudos sobre Funções Trigonométricas e suas aplicações, rever assuntos que fundamentam e complementaram este tema, com as Razões Trigonométricas e Ciclo trigonométrico, bem como as transformações de unidades do grau para π rad e vice-versa. Para complementar este assunto assista aos vídeos, leia os artigos sugeridos e realize as atividades propostas. E desejo a você bons estudos!

Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o exemplo inicial desse tema.

Faça você mesmo

Sendo f (x) = 2cosx esboce seu gráfico e identifique o conjunto imagem e período.

O presente conteúdo desenvolveu o estudo das funções trigonométricas, abordando os termos que envolvem suas características notáveis. Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!

Funções

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Sem medo de errar!

Após o estudo das funções trigonométricas, vamos resolver a situação-problema do PIB apresentada ao João?

Vamos relembrar! A partir da equação apresentada, João deve descobrir qual será o PIB do ano de 2018.

Então, dada a equação P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π ), João deve calcular o PIB

do ano de 2018, assim x= 20, já que como mencionado no enunciado da situação-problema

x=0 corresponde ao ano de 1998

x=1 corresponde ao ano de 1999

x=2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante

Temos desse modo:

P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π )

P(x)= 800 + 50.20 + 40. sen (π )

P(x) = 800 + 1000 + 40. sen (π )

P(x) = 1800+ 40.1

P(x) = 1840 bilhões.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.

Altura da Maré

1. Competência de Fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Funções Trigonométricas (seno, cosseno, tangente).

Funções

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4. Descrição da SP

Em certo dia do ano, em uma cidade, a maré alta ocorreu à meia-noite.

A altura da água no porto dessa cidade é uma função periódica, pois

oscila regularmente entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura da

maré aumenta até atingir um valor máximo (maré alta) e vai diminuindo

até atingir um valor mínimo (maré baixa), para depois aumentar de

novo até a maré alta, e assim por diante. A altura y, em metros, da maré,

nesse dia, no porto da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela

fórmula: y=2+1,9. cos(π.t/6), sendo t o tempo decorrido, em horas,

após a meia noite. Considerando as informações acima, responda:

Qual a altura da maré no tempo de 3 horas?

a) 2 metros

b) 3 metros

c) 3,9 metros

d) 4 metros

5. Resolução da SP

Resposta:

Para t= 3 h

y= 2 + 1,9 . cos(π.t/6) = 2 + 1,9 . cos(π.3/6) =2 + 1,9 . cos(π/2)

y= 2 + 1,9 . cos(90°) = 2 + 1,9 . 0 = 2 m

Faça valer a pena!

1. Considerando a função trigonométrica f(x)= senx, assinale a alternativa correta:

a) O gráfico da função seno é chamado de senoide e tem como domínio o intervalo [-1,1].

b) A imagem da função seno é o conjunto dos números reais.

c) A função é não periódica.

d) Cada ponto do gráfico é da forma (senx, x).

e) Seno é uma função ímpar.

2. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm. Qual a distância que sua extremidade percorre no período de 20 minutos? Considere = 3,14.

a) 34,2 cm

b) 45,7 cm

c) 12,9 cm

d) 78,9 cm

Funções

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e) 25,12 cm

3. A profundidade da água de um porto pode ser modelada por uma função trigonométrica, devido às oscilações das marés oceânicas. A profundidade

da água em um porto da costa brasileira é dada pela fórmula D(t)= 2,7 cos(

t)+ 4,5 em que D é a profundidade da água em metros e t é medida em

horas após a primeira maré alta do dia. Um comandante deve decidir o horário de atracamento do seu navio nesse porto, optando por atracar 7 horas ou 11 horas após a primeira maré alta do dia. Em qual desses dois horários ele teria a maior profundidade da água?

4. A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função:

P(t)= 40 – 20 cos ( /12 t - /4) em que t é a hora do dia e P a quantidade de energia, MW. Qual a quantidade de energia, MW, consumida pela cidade ao meio-dia? Use = 1,4.

a) 54 MW

b) 60 MW

c) 26 MW

d) 34 MW

e) 87 MW

5. Seja a função real de variável definida por f(x) = 3+ 2senx. Assinale a alternativa correta:

a) A função é par.

b) A função é ímpar.

c) A função não é par nem ímpar.

d) A imagem da função é [0,5].

e) a imagem da função é [-1,-5].

Funções

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6. Considerando a função trigonométrica f(x)= tgx, assinale a alternativa correta:

a) O gráfico da função tangente é chamado de senoide.

b) Tem como domínio x ≠ π /2 + kπ.

c) A imagem da função é o intervalo [-1,1].

d) A função é não periódica .

e) Seno é uma função par.

7. Qual o domínio da função tangente y= tg (x - 30°)?

U1

65Funções

Referências

ANTON, Howard. Cálculo v. I, 8 ed. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2009. PLT 178.

STEWART, James. Cálculo v. 1, 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.

Referências Complementares:

ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4DgDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado.  Rio de Janeiro: LTC, 2012. <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações - tópicos avançados. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HUGHES-HALLET, Deborah; McCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew M. et al. Cálculo: A Uma e a Várias Variáveis. v. 1, 5. ed. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MALTA, Iaci, PESCO, Sinésio, LOPES, Hélio. Cálculo de uma variável. v. II, 3 ed. Rio de Janeiro: PUC-RIO, 2007. <http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

Unidade 2

LIMITES E DERIVADAS

O desenvolvimento do Cálculo no século XVII, por Newton e Leibniz, propiciou aos cientistas da época as primeiras noções sobre “taxa de variação instantânea”, tal como ocorre com a velocidade ou a aceleração. Esse conceito influenciou os métodos computacionais e os conhecimentos sobre Cálculo que se desenvolveram a partir do conceito de limites.

O estudo de limites e de derivada são muito importantes para a compreensão do Cálculo! Vamos então estudar, nesta seção, o conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de derivada e algumas regras de derivação. Para tanto, vamos ter em mente os conhecimentos sobre funções estudados na Unidade 1, você irá perceber que tudo está interligado. Aproveite!

A partir deste estudo, você irá:

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos específicos do tema em questão, Limites e Introdução à Derivada, vamos relembrar a situação hipotética apresentada na Unidade 1. Essa situação visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática.

Convite ao estudo

Competência a ser desenvolvida Objetivos

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

Conhecer e aplicar o conceito de limite na descrição de fenômenos e situações.

Conhecer o conceito de derivada e as regras de derivação para as funções poli-nomiais, exponenciais, logarítmicas. As regras do produto e do quociente assim como as derivadas de ordem superior.

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68 Limites e Derivadas

Vamos relembrar!

João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo de limites e derivadas. Por tanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor, das mais simples às mais complexas, como valor de despesas de uma família, número de indivíduos de uma população, cálculo de velocidade e aceleração, etc.

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69Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Seção 2.1

É hora de limites!

Diálogo aberto

A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre limites! Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre o conceito e propriedades dos limites, conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral. Vamos lá!

Você pode encontrar mais sobre o estudo de limite detalhadamente em livros de matemática. Pesquise também no site: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Dica

Em  matemática, o conceito de  limite é usado para descrever o comportamento de uma  função  à medida que o seu  argumento se aproxima de um determinado valor. Pesquise sobre o “Paradoxo de Zenão” no link: <http://www.brasilescola.com/filosofia/zenao.htm>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o serviço de TV a cabo. Em uma cidade, observa-se que a despesa de uma família com a TV a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV, e esta quantidade,

U2

70 Limites e Derivadas

em centenas de reais, é modelada por:

Analise a continuidade da despesa P=P(t). A despesa de uma família é sensivelmente diferente se o tempo que assiste à TV é ligeiramente inferior ou superior a 20 horas? E para 100 horas?

E agora, como João poderá resolver este problema?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Você deve conhecer o conceito de limite e suas propriedades.

Reflita

Não pode faltar

Limites

O conceito moderno de Limites foi desenvolvido na Europa a partir do século XVIII a XIX. Muito utilizado para resolução de problemas envolvendo Cálculo Diferencial, com aplicação em várias áreas de conhecimento, como Física, Engenharia, Astronomia e Biologia, entre outras.

Por muitos anos, o conceito de Limites foi relacionado à ideia de infinito envolvendo a representação numérica com grandes valores, ou o contrário, com valores muito pequenos. Vamos iniciar nossos estudos com uma noção intuitiva de limites!

Noção intuitiva de limites

Vamos considerar a divisão de uma área de um quadrado igual a 4 cm², para apresentar a noção intuitiva sobre Limites.

U2

71Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Figura 2.1 | Representação da noção intuitiva de limite

Se dividirmos a figura com 4 cm² e colorirmos a metade, obteremos a fração

, depois se colorirmos a metade da metade que sobrou, obteremos certo?

Se novamente pintarmos a metade da metade que sobrou, se continuarmos nesta sequência, a área colorida vai tendendo ao valor total de 4 cm². Ou seja, a resultante vai tendendo a 4, assim concluímos que o Limite desse desenvolvimento é representado quanto ao número de momentos que tendem ao infinito.

Vamos aplicar agora a noção intuitiva envolvendo uma função linear.

Seja a função f(x) = 2x + 1, vamos atribuir valores para x que se aproximem de 1 por valores menores que 1 (esquerda) e por valores maiores que 1 (direita).

Fonte: <http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites.php>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Figura 2.2 | Noção intuitiva de limite

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Fonte: O autor (2015).

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72 Limites e Derivadas

Assimile

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3,

ou seja, quando x tende para 1 (x→1), y tende para 3 (y →3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f enquanto x ->1,

x não precisa assumir o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos

que o limite de f quando x→1 é 3. Podem ocorrer alguns casos em que para x = 1 o valor de f(1) não seja 3.

Definição formal de Limites

Definimos como limite de uma função f quando x tende a c e é representado

pela notação f(x), como sendo o número L, tal que f(x) pode se tornar tão

próxima a L quanto quisermos sempre que existir suficientemente próximo de c,

com x≠ c. Se existir, escrevemos:

f(x) = L

Vamos investigar o comportamento da função definida por f(x)= x² - x + 2 para

valores próximos de 2:

Reflita

Fonte: Stewart (2013, p. 80).

Figura 2.3 | Tabela da função Y = f(x)= x² - x + 2

x f(x)= x² - x + 2 x f(x)= x² - x + 2

1,0 2,00000 3,0 8,000000

1,5 2,75000 2,5 5,750000

1,8 3,440000 2,2 4,640000

1,9 3,710000 2,1 4,310000

1,95 3,852500 2,05 4,152500

1,99 3,970100 2,01 4,030100

1,995 3,985025 2,005 4,015025

1,999 3,997001 2,001 4,003001

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73Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Observando a tabela e o gráfico, percebemos que quando x estiver próximo a 2 pela esquerda ou pela direita, os valores tendem a 4. É evidente que podemos tornar os valores de f tão próximos de 4 quanto queremos possibilitando que x fique próximo a 2, ou seja, o limite da função f(x) = x² - x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4.

Notação: = 4

Figura 2.4 | Gráfico da função Y = f(x)= x² - x + 2

Limites Laterais

Dizemos que o limite esquerdo de f quando x tende a a ou limite de f, quando x tende a a pela esquerda é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando-se x suficiente próximo de a e x menor que a. Notação:

Dizemos que o limite esquerdo de f (quando x tende a a ou limite de f(x), quando x tende a a pela direita é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando-se x suficiente próximo de a e x maior que a.

Notação:

O símbolo x→ a_ indica que estamos considerando somente valores x menores que a e da mesma forma, x→ a+ indica que estamos considerando valores maiores que a. Pela definição, teremos:

Fonte: Stewart (2013, p. 80).

U2

74 Limites e Derivadas

Exemplificando

Como determinar o limite de = L?

Vamos primeiro determinar o limite quando x tende a zero pela direita!

Para o módulo de um número positivo, teremos:

= = = = -1

Determinando o limite quando x tende a zero pela esquerda:

Para o módulo de um número negativo, teremos -x, será o oposto do número.

Notação

= =

Assim, se o limite pela direita é igual a -1 e pela esquerda é -3, talvez o limite L não se defina, observe a representação gráfica:

Figura 2.5 | Representação gráfica da função

Fonte: O autor (2015).

Percebe-se que no eixo vertical das ordenadas há uma lacuna entre os números -1 e -3 representando uma descontinuidade, na verdade o limite não se define.

U2

75Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Continuidade de uma função:

Uma função f é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

Concluímos que:

Uma função f, definida em um intervalo I com a Є I, é dita contínua em x=a, se:

= f(a)

Exemplos:

Figura 2.6 | Função contínua e descontínua

Fonte: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/continuidade/continuidade.htm>. Acesso em: 20 jun. 2015.

U2

76 Limites e Derivadas

Figura 2.7 | Função contínua e descontínua

Fonte: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/continuidade/continuidade.htm>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Propriedades dos Limites

Muitas das propriedades de limites são utilizadas com o objetivo de simplificar as resoluções de algumas funções:

Propriedades dos limites

Fonte: <http://www.petcivil.ufc.br/portal/wp-content/uploads/2012/02/Apostila-Pr%C3%A9-Engenharia-completo.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015.

U2

77Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Das cinco leis apresentadas acima, são derivadas as leis seguintes:

Fonte: <http://www.petcivil.ufc.br/portal/wp-content/uploads/2012/02/Apostila-Pr%C3%A9-Engenharia-completo.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015

Atenção!

Observações sobre as propriedades:

1. As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.

2. As propriedades a, b, c e d estabelecem que se existem os limites das parcelas, então existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Para saber mais sobre as propriedades de limites você pode acessar o link: <http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites2.php>. Acesso em: 20 jun. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre cada uma das propriedades. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

U2

78 Limites e Derivadas

Qual o e ?

Faça você mesmo

Sem Medo de Errar

Após o estudo de limite, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

Uma das despesas D(t) que compõem o orçamento é o serviço de TV a cabo, estudiosos observaram que ela pode ser calculada de acordo com o tempo t mensal, dado em horas. Dessa forma, representaram algebricamente como é possível

obter o valor da despesa com TV a cabo:

Tendo em vista os dados apresentados, você deve analisar a continuidade das despesas para D = D(t) e verificar se a despesa de uma família é diferente caso o tempo seja inferior ou superior a 20 horas. E também o valor das despesas para 100 horas.

Desse modo, temos a resolução:

Primeiramente, vamos determinar D no intervalo de 0 ≤ t < 20

Percebemos que a função é descontínua em t0=20. Note que a mudança de gasto

de uma família varia sensivelmente se o tempo que assiste à TV é ligeiramente inferior ou superior a 20 horas. Por outro lado, calculamos:

O segundo passo será determinar as despesas para t = 100

= 10

A função é contínua em t0 = 100. Note que não existem mudanças de gasto quando

U2

79Limites e Derivadas Limites e Derivadas

o tempo em que assiste à TV muda, ligeiramente inferior ou superior a 100 horas.

Figura 2.8 | A função é contínua

Fonte: O autor (2015).

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Trajetória da Bola

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-ção do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo de limites na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados

Limite e suas propriedades.

4. Descrição da SP

Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o

comportamento de uma função à medida que se aproxima

de certos valores. Ao determinar a imagem da função y = 4x

+ 1, à medida que x tende a 2, o limite será igual a:

a) L=0

b) L=7

c) L=8

d) L=9

e) L=10

U2

80 Limites e Derivadas

5. Resolução da SP

A alternativa correta é a letra “D”, L = 9, pois

y = 4x + 1

= 4.2 + 1 = 9

Fonte: O autor (2015).

A seguir, você tem a oportunidade de testar seus conhecimentos sobre os principais itens desta seção. Retome o conteúdo anterior e reveja o conceito estudado, especialmente aquele em que você teve maior dificuldade. Faça os exercícios a seguir e não desanime diante dos possíveis erros e dificuldades, pois assim ficará mais evidente quais os conteúdos e competências que você precisa rever.

Dica

Faça valer a pena

1. Muitas das propriedades de limites são utilizadas com o objetivo de simplificar as resoluções de algumas funções. Para determinar o limite da função: f(x) = x² - 5x + 3, um aluno do curso superior aplicou as propriedades da soma, subtração e da multiplicação e encontrou o seguinte resultado para o valor do limite quando x tende a 4:

a) L = 16.

b) L = -20.

c) L = 3.

d) L = -3.

e) L = -1.

2. Encontre o limite para a função a seguir quando x tende a 2:

3. Podemos afirmar que a função f (x) = :

a) É contínua em x=3.

U2

81Limites e Derivadas Limites e Derivadas

b) É descontínua em x=3.

c) A função f(x) não está definida para x=4.

d) A função f(x) é contínua para qualquer valor real.

e) Todas as alternativas são verdadeiras.

4. Qual deve ser o valor de m Є R de modo que a função f(x) seja contínua em x=4?

f(x) = x2-5x + 6, se x ≠ 4.

3m, se x=4

a) 2/3.

b) 3/2.

c) 3.

d) 2.

e) 1.

5. Marque a alternativa correta:

a) 7= 4

b) 6x2= 6

c) = 12

d) = 5

e) (5x3+ x) = 32

6. Dado o gráfico da função f(x) e as afirmações:

{

U2

82 Limites e Derivadas

Fonte: <http://uapi.ufpi.br/conteudo/disciplinas/matematica/uni03_funcao_3.html>. Acesso em: 20 jun. 2015.

a) = 2

b) = 4

c) Não existe

d) = 2

e) = 4

Quais são verdadeiras?

7. (UFU-MG) Sabendo-se que = , x ≠ m, então podemos afirmar que:

a) m é maior do que 4

b) m é menor do que -4

c) m Є [1,4]

d) m Є [-4,1]

e) não existe m, tal que =

U2

83Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Seção 2.2

Limites finitos e no infinito

A partir de agora iremos ampliar nossos estudos sobre limites! Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre alguns limites, como limites no infinito, limites infinitos, limites exponenciais, trigonométricos e limites de função composta.

Vamos lá! Bons estudos!

Você pode encontrar mais sobre o estudo de limite detalhadamente em livros de matemática. Pesquise também no site: <https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/limit-examples-w-brain-malfunction-on-first-prob-part-4.> Acesso em: 20 jun. 2015.

Dica

Limites são a principal base de construção para os cálculos. Muitas vezes, uma função pode ser indefinida em certo ponto, mas podemos pensar sobre o que a função "se aproxima" conforme chega cada vez mais perto deste ponto (este é o limite). Veja mais no site: <https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Diálogo aberto

U2

84 Limites e Derivadas

A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um certo produto para o mercado brasileiro. E determina-se que um empregado, após x dias de treinamento, monte m produtos por dia, onde:

m(x) =

Qual é o comportamento de m= m(x) para treinamentos longos?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conhecer e saber resolver limites para x tendendo ao infinito e limites infinitos.

Reflita

Limites infinitos e limites para x tendendo ao infinito

Agora você irá ampliar o conceito de limite, com o elemento infinito, que é representado pelo símbolo ∞. Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim infinito (+ ∞ ou - ∞), dizemos então que o limite é infinito.

O infinito é algo que não tem fim? Ou algo que nunca será atingido?

Sempre buscou-se a compreensão sobre o infinito. Na antiguidade, pensadores anteriores a Pitágoras (século V a.C.) já eram instigados por esse tema. Mas foi só no final do século XIX, na Alemanha, com Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), que a ideia de infinito foi realmente consolidada na matemática. Sua teoria era revolucionária e, por isso mesmo, acabou motivando embates entre os matemáticos da época. Veja mais em: <http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Reflita

Não pode faltar

U2

85Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Assimile

Definição:

• Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a, fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos), então escrevemos: ∞. E lê-se “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito”.

• Seja f uma função definida e algum intervalo (a, ∞). Então . E lê-se “o limite de f(x), quando x tende ao infinito, é

L”. Significa que os valores f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L, tornando os valores de x grandes.

Vamos ver algumas situações?

1. Determine o limite de , com x ≠ 0

Para determinar o limite quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, vamos organizar os dados em uma tabela:

Fonte: O autor (2015).

Figura 2.9 | Tabela da função Y =

x Y =

0 Não se define

0,1 Y = 10

0,01 Y = 100

0,001 Y= 1000

0,0001 Y = 10.000

x Y =

0 Não se define

-0,1 Y = -10

-0,01 Y = -100

-0,001 Y= -1000

-0,0001 Y = -10.000

U2

86 Limites e Derivadas

Figura 2.10 | Representação gráfica da função y =

Fonte: O autor (2015).

Podemos observar que:

• Quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce indefinidamente, superando qualquer valor arbitrário que fixemos, isto é, y tende a mais

infinito. = ∞.

• Quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y decresce indefinidamente, isto é, y tende a menos infinito. = – ∞.

• Não existe porque os limites laterais são diferentes.

• Quando x cresce indefinidamente, o gráfico quase toca o eixo x, isto é, y

tende a zero. = 0.

• Quando x decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo x, isto

é, y tende a zero. = 0.

2. Determine o limite de , quando x tende a zero.

Vamos analisar o comportamento de x e y por meio de uma tabela:

U2

87Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Figura 2.11 | Tabela e gráfico da função Y = 2

X Y = 2

0,1 100

-0,1 100

0,01 10.000

-0,01 10.000

Fonte: O autor (2015).

Ao analisamos o comportamento do x e do y através dos resultados apresentados na tabela e no gráfico, percebemos que:

• Quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero, ou seja, y tende a zero.

= 0 = 0

• Quando x se aproxima de zero, y cresce indefinidamente, isto é, y tende a

mais infinito. = +∞

3. Limite da função polinomial para x tendendo a mais ou menos infinito.

Considere a função polinomial f(x), de grau n, com an ≠ 0.

, colocando xn em evidência, cada um dos termos tende a zero, logo temos:

U2

88 Limites e Derivadas

Exemplificando

= ?

Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador. No nosso caso, a maior potência de x é x², então temos:

Cálculo de uma indeterminação do tipo

Quando o numerador e o denominador de uma fração tendem a zero, no cálculo de limites para determinado valor de x, devemos tentar simplificar a função antes de efetuarmos a substituição. Para simplificar a expressão você deve fatorar, racionalizar ou utilizar dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios. Dado o limite:

Observe que f(x)= não é definida para x=3, e o numerador e o

denominador da fração tendem a zero quando x se aproxima de 3.

Fatorando e simplificando, temos:

U2

89Limites e Derivadas Limites e Derivadas

= = x+3= 3+3=6.

Expressões indeterminadas

Vimos que é uma expressão de indeterminação matemática. Também são:

, ∞ − ∞, 0 × ∞, 1∞ , 00 e ∞0. Veja exemplos destes casos em: <http://chinelodepneu.xpg.uol.com.br/Materias/Calculo_1.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Outros limites:

Limites Trigonométricos

O limite fundamental trigonométrico aborda um limite cuja indeterminação é

do tipo envolvendo a função trigonométrica y = sen(x).

Figura 2.12 | Função trigonométrica y = sen(x)

Proposição:

A função f(x) = é par, isto é, f (− x) = f (x), ∀x ≠ 0, pois

f(-x) = = = = f(x)

Se x→0+ e x→0-, f(x) apresenta o mesmo valor numérico.

Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado.

U2

90 Limites e Derivadas

Tabela

xf(x) =

±0,1 0.9983341664683..

±0,01 0.9999833334167..

±0,001 0,9999998333333..

±0,0001 0,9999999983333..

±0,00001 0,9999999999833..

±10-10 0,9999999999999..

.

.

.

.

.

.

x → 0 f (x) → 1

Visualizando o gráfico da função f(x) = , podemos perceber também este resultado.

Fonte: <http://chinelodepneu.xpg.uol.com.br/Materias/Calculo_1.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Exemplificando

U2

91Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Limite Exponencial Fundamental

Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial f(x)= ex é muito importante. Seja o limite exponencial:

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional cujo valor aproximado é 2,7182818. Vamos analisar a tabela e o gráfico para visualizar melhor o resultado.

Figura 2.13 | Base dos logaritmos

x

100 2,7048..

1000 2,7169..

100.000 2,7182..

.

.

.

.

.

.

x → + ∞ f(x) → e

Fonte: <http://chinelodepneu.xpg.uol.com.br/Materias/Calculo_1.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Exemplificando

x=?

Consideramos x + 3 = t, com x→∞ e t→∞

U2

92 Limites e Derivadas

t-3 assim temos t/ 3

Logo: = e

Temos então que = e

Limites da Função Composta

Sabendo que e g é uma função contínua cujo domínio contém a, então:

= g ( = g(a)

Exemplificando

Qual o limite ?

A função f(x) = 4x é contínua em R, logo, para x = /2, temos: = sen ( ) = sen 4 /2= sen 2 = 0

Para saber mais sobre aplicação de limites, você pode acessar o link: <http://www.ime.uerj.br/~calculo/Ecomat/cap5.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015. Nesta página você encontrará exemplos de aplicação de limite. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Qual o (x2-x)?

Faça você mesmo

U2

93Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Após o estudo de limites infinitos e no infinito, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um certo produto para o mercado brasileiro. E determina-se que um empregado, após x dias de treinamento, monte m produtos por dia, onde:

m(x) =

Qual é o comportamento de m= m(x) para treinamentos longos?

Observe que m(x)= =

= 20

Logo, após um longo treinamento, um empregado pode montar 20 computadores por dia.

Figura 2.14 | Gráfico de treinamento

Sem Medo de Errar

Fonte: a autora

U2

94 Limites e Derivadas

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Preço do produto

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-ção do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo de limites na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Limites infinitos e no infinito.

4. Descrição da SP

O custo para produzir x unidades de um certo produto é dado por

C(x)= 0,25x + 3600 em reais. Determine o custo médio quando x cresce e interprete o resultado.

5. Resolução da SP

Primeiramente, CMe(x)= = 0,25 + ; então

CMe(x) = (0,25 + ) = 0,25.

Isto é, quando o bem em questão é produzido em grande escala, o custo médio tende a estabilizar-se em 0,25 reais.

Figura 2.15 | Gráfico escala de custo médio

Fonte: O autor (2015).

Avançando na prática

U2

95Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Faça valer a pena

1. Qual o limite da função log10x, em que x>0?

a) 3.

b) 4.

c) 10.

d) 100.

e) 1.

2. O valor do é:

a) 1/3.

b) 3.

c) ½.

d) 2.

e) ∞.

3. Num trecho de 5 km de uma estrada pretende-se plantar árvores afastadas de x metros uma da outra. Deverá ser plantada uma árvore no início e outra no fim da estrada. Escreva a função f que dá o número de árvores em função de x para esse trecho da estada. E determine quantas árvores poderão ser plantadas se x for um número muito grande:

a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 1.

e) 5.

4. O valor do é:

a) 2.

1000

U2

96 Limites e Derivadas

b) 3.

c) 6.

d) ∞.

e) 0.

5. A água de um reservatório com 100.000 litros evapora-se à taxa de 10% ao mês. O que acontecerá com a água ao longo do tempo? Qual o volume de água limite?

6. Qual deve ser o valor de m para que = 5?

a) 1.

b) 2.

c) 10.

d) 5.

e) 3.

7. Marque as alternativas corretas:

a) = +∞.

b) = +∞.

c) = -∞.

d) = +∞.

e) = 0.

3

U2

97Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Seção 2.3

Derivada - introdução

A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre Derivada!

O objeto de estudo de um curso de cálculo é o estudo de funções, sendo a derivada um dos instrumentos usados para estudar as propriedades e os detalhes do comportamento da função num ponto ou localmente, pois permite verificar se a função está crescendo ou decrescendo; se há um ponto de mínimo ou de máximo, mesmo que local; se a função muda de concavidade, entre outros.

A derivada pode ser vista como um limite construído a partir da função, uma vez que esse limite está associado à inclinação da reta tangente, mas também pode ser vista como o limite que dá a variação instantânea da função no ponto observado.

Lembre-se

As derivadas são muito usadas em engenharia, ciência, economia, medicina e ciência da computação para calcular a velocidade e a aceleração, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as consequências de erros cometidos durante as medições (THOMAS, 2012). Há muito a ser aprendido! Aproveite a leitura!

Dica

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi o seguinte

Diálogo aberto

U2

98 Limites e Derivadas

problema:

Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. Qual é a sua velocidade média durante os primeiros dois segundos de queda? Considerando que, experimentalmente, temos que y= 4,9 t2.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Você deve conhecer o conceito de limite, derivada e taxa de variação.

Reflita

Taxa de variação média

O comportamento das funções pode ser variável em todo o seu domínio, de forma que estudar as informações contidas num intervalo específico pode responder questões acerca do problema em questão a ser solucionado. Por exemplo, numa função que descreve a produção do produto A é possível determinar a quantidade produzida em determinado espaço de tempo. Essa questão é respondida facilmente ao considerar um intervalo (x

1, x

2) e os respectivos valores de produção de A (y

1, y

2).

Dessa forma, basta pegar o total da produção de A (y2) no instante x

2 e subtrair do

total da produção de A (y1) no instante x

1, correto? Sim, esse cálculo corresponde

à média da produção no intervalo (x1, x

2), mas e o que aconteceu com a produção

de A nesse intervalo de tempo? Será que o ritmo de produção foi constante? Houve alguma interrupção na produção? Houve aceleração na produção? Para responder a essas perguntas é importante o estudo de limites de funções, que por sua vez também nos mostram taxas de variação instantâneas.

Assimile

Mas, afinal, o que é especificamente uma taxa de variação? A taxa de variação é a razão que uma quantidade varia em relação à outra. Veja o exemplo simples da velocidade de um carro. Se for considerada a razão da distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto, o resultado é a velocidade média para realizar o percurso.

Não pode faltar

U2

99Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Veja o exemplo mostrado na Figura 2.11, ao percorrer 300 km em três horas, a velocidade média é de 100 km/h. Esse resultado mostra uma taxa de variação média da função do ponto P ao Q, que corresponde ao coeficiente angular da reta secante que passa nesses pontos.

Fonte: Adaptado de Thomas (2012, p. 155).

Figura 2.16 | Velocidade média

Secante: Uma reta secante intercepta uma curva em dois pontos ou mais.

Vocabulário

Considere então que a taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, em situações práticas, têm unidades de medidas como o quilômetro para a distância e hora para o tempo, como é o caso do exemplo visto anteriormente.

Agora relembre que, ao estudar a função da reta (funções de 1º grau), certamente você aprendeu que o seu coeficiente angular (m) mostra sua variação. Quando m assume valor negativo, temos a indicação de que a reta decresce seu valor em y conforme aumenta o valor em x; quando m é positivo ocorre o inverso, a reta cresce seu valor em y conforme aumenta o valor de x. Além disso, dá-se o nome de coeficiente angular porque o ângulo da reta com relação ao eixo x mostra a sua inclinação e a “velocidade” de crescimento ou decrescimento da função. Outra definição importante é que o coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Observe a Figura 2.12:

U2

100 Limites e Derivadas

Fonte: Adaptado de Thomas (2012, p. 155).

Figura 2.17 | Coeficiente angular da reta y = mx+b

Para lembrar:

• se m>0, a taxa de variação é positiva e a função é crescente.

• Se m<0, a taxa de variação é negativa e a função é decrescente.

Como já foi explicado, m representa a taxa de variação média! Afinal,

Mas esse conceito não é exclusivo das funções do 1º grau, pois pode ser calculado para qualquer função – veja a Figura 2.13. Se y representa a variável dependente e x a independente, então vale a relação (1) indicada a seguir.

(1)

U2

101Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Figura 2.18 | Reta secante à função y = f(x), com coeficiente angular m = ∆y/∆x

Fonte: Adaptado de Finney et al. (2002, p. 85).

Quando y é uma função linear de x, y = mx + b, a inclinação m é uma medida da taxa de variação de y em relação a x (Figura 2.14a). Para uma curva qualquer y =f(x), por exemplo a Figura 2.14b, a variação em y que resulta de um aumento de 1 unidade em x tende a ter magnitude maior nas regiões em que a curva cresce ou decresce mais rapidamente do que em regiões em que a curva cresce ou decresce mais lentamente.

Reflita

(a) Uma unidade de aumento em x produz sempre m unidades de variação em y. (b) Uma unidade de aumento em x produz diferentes magnitudes de valor de m para a variação em y.

Figura 2.19 | Magnitudes de valor

Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007, p. 172-173).

U2

102 Limites e Derivadas

Taxa de variação instantânea, limite e reta tangente

Taxas instantâneas e retas tangentes estão intimamente ligadas e aparecem em muitos outros contextos. A taxa de variação instantânea compreende um valor de variação num instante específico.

No processo de se definir a taxa de variação instantânea, foram consideradas taxas de variação médias em intervalos que foram diminuindo em torno de um ponto. Esse processo de tornar o tamanho do intervalo tão pequeno que se aproxime de zero, trata-se do cálculo do limite. Considere a função esboçada na Figura 2.15, que mostra a reta secante PQ.

Figura 2.20 | Diagrama para obter o coeficiente angular da função y = x2 no ponto P(2,4)

Fonte: Adaptado de Thomas (2012, p. 132).

Como encontrar a taxa de variação instantânea para y = x2, quando x=2? Observe que o ponto Q está em x+h (2+h), sendo h uma distância arbitrária (∆x). Se para calcular a taxa de variação instantânea é necessário diminuir o intervalo entre as variáveis independentes dos pontos analisados, nesse exemplo específico até o ponto x=2, então ∆x (ou h) deve ser decrementado até muito próximo de zero, certo? Sim, logo, pode-se dizer que à medida que ∆x →0 (leia-se “∆x tende a zero” ou “∆x se aproxima de zero”) a reta secante PQ “tende” para uma posição limite. Essa posição é representada pela reta tangente à curva no ponto P. Logo, se ∆x→0 então Q→P.

Ao analisar a Figura 2.15, observamos que o coeficiente angular da reta secante PQ é m = 4 + h, ou seja,

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103Limites e Derivadas Limites e Derivadas

A variação instantânea no ponto x = 2 não é dada pela inclinação da reta tangente nesse ponto? Ou seja, pelo coeficiente angular dessa reta tangente? Então, pelo processo de tomar o limite e fazendo a distância do intervalo de Q a P diminuir até zero, então ∆x tenderá a zero pela definição que já vimos. Dessa forma, conforme está indicado na Figura 2.15, o coeficiente angular da reta tangente em x = 2 será m = 4. Em termos matemáticos: m

sec = ∆x+4, Q→P então ∆x→0, logo m

tang = 4.

Então podemos escrever:

Esse cálculo pode ser efetuado ao verificar o valor da taxa de variação média em intervalos cada vez menores de forma a ∆x ser suficientemente próximo de 0. Esse processo (ou tipo de limite) foi identificado como o cálculo da taxa de variação instantânea ou, ainda, como a determinação do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente que passa no ponto limite, e essa é a definição da derivada num ponto.

Derivada num ponto

Percebe-se que a derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.

Se existir o limite, então f é diferenciável em a.

Uma expressão bastante usada para tratar de derivadas das funções é “cálculo diferencial”.

Verifique que se x = a + h, então h = x – a e h tende a 0 se e somente se x tende a a. Consequentemente, uma maneira equivalente de enunciar a definição da derivada é

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104 Limites e Derivadas

Exemplificando

Exemplo [extraído de Stewart (2010, p. 133)] – Encontrar a derivada da função f(x) = x2 – 8x + 9 em um número a.

Solução: usando a definição de derivada em que h → 0, deve-se aplicar a f(x) que se deseja derivar. É importante lembrar que é necessário subtrair a função f(x) quando estiver no ponto x=a+h da f(x) quando x=a. Logo, algebricamente a solução é a descrita a seguir:

Para saber mais sobre conceito de derivada, você pode acessar o link: <http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/DefDer.html>. Acesso em: 20 jun. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre o cálculo de derivada. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Faça você mesmo

Determine a equação da reta tangente à parábola y= x² - 8x + 9 no ponto (3,-6).

O presente conteúdo desenvolveu o estudo do conceito de derivada. Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!

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105Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Após o estudo de limites infinitos e no infinito, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. Qual é sua velocidade média durante os dois segundos de queda?

Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y metros nos primeiros t segundos, onde: y = 4,9 t2

A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida,

∆y, dividida pelo tempo decorrido, ∆t , neste percurso. Para os primeiros 2s temos:

t0= 0 e t

f = 2, logo y

0 = 0 e y

f = 4,9(2)2. Daí v = = = 9,8 m/s

Podemos saber a velocidade média da pedra ao longo do percurso desde t=2 até qualquer tempo posterior t=2+h, h>0.

=

Sem Medo de Errar

Fonte: O autor (2015).

Figura 2.21 | Velocidade média se aproxima do valor limite

A tabela nos diz que quando h→0 (h tende a 0), a velocidade média se aproxima do valor limite 19,6 m/s.

Assim, temos que:

= = = =

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106 Limites e Derivadas

19,6 + 4,9h

Fazendo h→0 descobrimos a velocidade instantânea em t = 2s, isto é, seu valor limite é 19,6 + 4,9(0) = 19,6 m/s.

Desse modo, quando h→0 temos que = 19,6 m/s

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Velocidade de um objeto

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-ção do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo de derivadas na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Conceito de derivada.

4. Descrição da SP

Um objeto é jogado do alto de um prédio de uma altura

de 1250 pés acima do nível da rua, e a sua modelagem foi

representada através da função em relação à posição s= f(t) =

1250 – 16t², onde f(t) é medido em pés acima do nível da rua e

t, em segundos depois de ser jogado. Determine:

a) A função velocidade do objeto.

b) O intervalo de tempo ao longo do qual vale a função

velocidade.

c) A velocidade do objeto ao atingir o nível da rua.

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107Limites e Derivadas Limites e Derivadas

5. Resolução da SP

a) Substituindo os valores dados na função: ,

teremos: =

= -16 ( )

-16 = - 32t pés/segundos

b) A função velocidade em (a) é válida a partir do instante (t=0),

em que o objeto é jogado, até o instante t1, em que atinge o

solo, quando: 1250 – 16t1² = 0

16t1² = 1250 assim, t

1= ≅

8,84s

Portanto, para o valor positivo de t1, concluímos que a função

velocidade é válida até o instante 8,84 s

c) Para determinar a velocidade do objeto quando atinge o

solo, substituímos o valor de t1

8,84 s na função velocidade

v(t)= -32t

V(8,84) = - 32. (8,84) ≅ -282,88 pés/s.

Faça valer a pena

1. Considere o gráfico a seguir e determine o valor da derivada no ponto A da curva em que y = 9 e x = 3:

Fonte: Adaptado de Murolo e Bonetto (2012, p. 160).

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108 Limites e Derivadas

2. A taxa de variação instantânea de uma função produção P(x) no instante três horas é 15 reais/hora. Qual a inclinação m da reta tangente em P(3) e qual é a derivada nesse ponto?

a) 15.

b) 3.

c) 5.

d) 2.

e) 0.

3. Considerando o gráfico a seguir, marque a alternativa que mostra a taxa de variação média da produção no intervalo de 20 a 30 horas:

a) 100 toneladas/horas.

b) 200 toneladas/horas.

c) 300 toneladas/horas.

d) 400 toneladas/horas.

e) 500 toneladas/horas.

4. Assinale a alternativa que corresponde às afirmativas corretas:

I. O coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos Q e P de uma função apresenta a sua taxa de variação média.

II. O coeficiente angular da reta tangente ao ponto P de uma função apresenta a sua taxa de variação instantânea.

III. Para definir a taxa de variação instantânea, são consideradas taxas de variação médias em intervalos que são diminuídos em torno de um ponto P. Esse processo de tornar o tamanho do intervalo tão pequeno que se aproxime de zero, trata-se do cálculo do limite.

a) I e II.

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109Limites e Derivadas Limites e Derivadas

b) II e III.

c) III e I.

d) I, II e III.

e) Apenas a I está correta.

5. A posição de um objeto em movimento é representada pela função: S = f(t) = , onde t é medido em segundos e s é representado em

metros. Determine a velocidade e a rapidez após t=2:

a) 1/9 m/s.

b) 9 m/s.

c) 1 m/s.

d) 1/4 m/s.

e) 7 m/s.

6. Considerando seu conhecimento anterior sobre o coeficiente angular de uma reta, para cada função a seguir, calcule o valor de m e explique o resultado encontrado:

Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007).

7. Determine a reta tangente à função f(x) = x² - 1 no ponto (1,0).

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110 Limites e Derivadas

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111Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Seção 2.4

Regras de derivação - Parte 1

Diálogo aberto

A partir de agora iremos continuar nossos estudos sobre derivada! Na seção anterior você estudou o significado e o cálculo da taxa de variação instantânea a partir de limite. Nesta seção, o valor da taxa de variação instantânea, já definido como derivada, será determinado de forma direta através de fórmulas.

Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difícil. Por isso, vamos conhecer alguns métodos que facilitam o cálculo da derivada. Você pode saber mais acessando: <http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php> e <http://www.ufrgs.br/lmqa/arquivos/uploads/LIMITES+e+DERIVADAS.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2015.

Dica

A derivada, em geral, assume valores diferentes em pontos diferentes. Outra característica importante que o estudo das derivadas mostra com relação à função é que “o valor absoluto da derivada nos dá, em valor absoluto, a taxa de variação; logo, se f’ é grande em módulo (positiva ou negativa), então o gráfico de f é bastante inclinado (subindo ou descendo), enquanto, se f’ é pequena, o gráfico de f é mais suave” (HUGHES-HALLETT et al., 2011, p. 69).

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

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112 Limites e Derivadas

Um importador do setor automotivo estima que quando consegue vender x unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita bruta representada pela expressão matemática: C = 0,5x² + 3x - 2 (milhares de reais). Determine a taxa de variação da receita quando o empresário conseguir vender três unidades dessas peças. Interprete o resultado obtido.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Você deve conhecer o conceito de derivada e regras de derivação.

Reflita

Não pode faltar

Caro aluno, no tema anterior você estudou que se o limite de função f(x) existe,

então a função tende a um valor L quando x tende a um valor c,

Esse cálculo pode ser efetuado ao verificar o valor da taxa de variação média em intervalos cada vez menores, de forma a x ser suficientemente próximo de c. Esse processo (ou tipo de limite) foi identificado como o cálculo da taxa de variação instantânea ou ainda como a determinação do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente que passa no ponto limite, e essa é a definição da derivada num ponto.

Assimile

Derivada num ponto

Como já foi visto, a derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.

Se existir o limite, então f é diferenciável em a.

Sabemos que existem regras determinadas que nos auxiliarão no cálculo das derivadas. Primeiramente, no entanto, é importante explorar a derivada como a inclinação da reta tangente e compreender que a derivada também pode ser vista

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113Limites e Derivadas Limites e Derivadas

como uma função.

Exemplificando

Encontrar uma equação da reta tangente à parábola y = x2 – 8x + 9 no ponto (3,-6)

(STEWART, 2010, p. 133).

Solução: lembre-se de que a equação da reta é dada por y=mx+b, sendo m a inclinação da reta e b o ponto em que essa reta corta o eixo y.

Considere o ponto (a, f(a)), ou seja, a coordenada (x, y) é representada por x=a e y = f(a).

Como foi visto, a inclinação da reta tangente num ponto da curva é a derivada da função nesse ponto, então m = f’(a). No exemplo 1 foi encontrada a derivada da função f(x) = x2 – 8x + 9 no ponto a como f’(a) = 2a – 8.

Logo, a inclinação da reta tangente no ponto (3, -6) é encontrada ao substituir o valor desse ponto na função derivada: f’(3) = 2.(3)-8 = -2. Dessa forma, m = f’(3) = -2 e a equação da reta pode ser escrita como y = -2x + b.

Mas como calcular o valor de b que é o ponto no eixo y pelo qual a reta tangente passa? Se a reta tangente passa no ponto (3, -6) então substitua esses pontos na equação encontrada.

y = -2x + b, logo: -6 = -2.(3) + b

b = -6 + 6 → b = 0

Portanto, a equação da reta tangente que passa no ponto (3, -6) da função f(x) = x2 – 8x + 9 é expressa por y = -2x.

Outra forma de encontrar a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) é calcular y – f(a) = f’(a)(x-a). Ou seja, o cálculo seria:

y – f(a) = f’(a)(x-a), assim temos y – (-6) = -2(x – 3)

y + 6 = -2x + 6, logo: y = -2x + 0 → y = -2x.

Reflita

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114 Limites e Derivadas

Diz-se que uma  função  f  é  derivável  (ou  diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta.  O declive dessa reta é a derivada da função f no ponto a.  Essa reta, tangente, nas proximidades de a, “se confunde com a curva”, podendo “de certa forma” substituí-la (Figura 2.22).

Fonte: Murolo e Bonetto (2012, p. 168).

Figura 2.22 | Ampliação da reta tangente ao ponto P

Derivada como função

Até agora estudamos a derivada de uma função em um ponto fixo. Considere agora o que acontece em uma série de pontos. A derivada, em geral, assume valores diferentes em pontos diferentes e é também uma função. Em primeiro lugar, lembre-se de que a derivada de uma função em um ponto mostra a taxa segundo a qual o valor da função está variando naquele ponto. Geometricamente, a derivada pode ser considerada a inclinação da curva ou o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto, conforme explicam Hughes-Hallett et al. (2011, p. 67).

Exemplificando

Estimar a derivada da função f(x), cujo gráfico aparece na Figura 2.17, para x = -2, -1, 0,1,2,3,4,5 (HUGHES-HALLETT et al., 2011, p. 67).

Derivada vista graficamente como o coeficiente angular da reta tangente.

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115Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Figura 2.23 | Coeficiente angular da tangente

Fonte: Adaptado de Hughes-Hallett et al. (2011, p. 68).

Solução: a partir do gráfico é possível estimar a derivada em qualquer ponto traçando a reta tangente naquele ponto e estimando o coeficiente angular da tangente (por meio do uso de papel quadriculado, como no exemplo da Figura 2.23). Por exemplo, a reta tangente em x = -1 tem coeficiente angular perto de 2, de modo que f'(-1) ≈ 2. Note que a inclinação em x = - 2 é positiva e bem grande; a inclinação em x= -1 é positiva, mas menor. Em x = 0 a inclinação é negativa e em x = 1 mais negativa ainda. Essa análise pode ser feita para todos os pontos. Logo, observe que para todo valor de x existe um valor correspondente para a derivada. Ou seja, a derivada é uma função de x.

A Figura 2.24 apresenta valores estimados para a derivada nos pontos indicados no enunciado. Trace as tangentes aos pontos no gráfico e verifique se os valores que você encontrou são semelhantes aos mostrados.

Figura 2.23 | Valores estimados para a derivada da função

Fonte: Adaptado de Hughes-Hallett et al. (2011, p. 68).

Há muitas notações usadas para representar a derivada de uma função y = f(x). Além de f'(x), as mais comuns são:

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116 Limites e Derivadas

Os operadores D e d/dx são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de diferenciação que é o processo de cálculo de uma derivada. dy/dx é lido como “a derivada de y em relação a x”, e df/dx ou (d/dx)f(x) como “a derivada de f em relação a x”.

As notações que indicam a derivada de uma função também podem indicar um ponto em que se deseja avaliar a derivada, como segue.

O símbolo de avaliação (|x=a

) significa calcular a expressão à esquerda em x = a.

Agora que você já conhece as notações para as derivadas de funções, aprenderá algumas regras de derivação. Essas regras permitem calcular a derivada de uma função rapidamente.

Regra 1 – derivada de uma função constante é zero.

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = 5.

Solução: observe que essa é uma função constante que passa no ponto 5 do eixo y e não corta o eixo x, mas é paralelo a ele. Logo, essa reta é paralela ao eixo x (coeficiente angular = m = 0). Isso significa que ao variar o valor em x não há alteração em y. Consequentemente, a derivada de uma função constante é zero.

Regra 2 – derivada de uma função potência, quando n for um número real qualquer.

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117Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = x5. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f em x = 2.

Solução:

Regra 3 – derivada de uma função multiplicada por constante.

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = 10x3. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 4.

Solução:

Regra 4 – derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis.

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = x2 – 8x + 9. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 3.

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118 Limites e Derivadas

Solução:

Para saber mais sobre conceito e regras de derivação, você pode acessar o link: <http://ltodi.est.ips.pt/am1/documentos/DERIVADAS/FolhasRegrasDeriv.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre cada uma das propriedades. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Faça você mesmo

Considere f(x) = 2x3+ 15x2 +12x e determine f´(1).

O presente conteúdo desenvolveu o estudo de derivada. Você aprendeu que a derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Também estudou que é possível encontrar a derivada de uma função usando regras de derivação que valem para a função em todos os pontos em que a função for derivável (ou diferenciável).

Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!

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119Limites e Derivadas Limites e Derivadas

Sem Medo de Errar

Após o estudo das regras de derivação, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

Um importador do setor automotivo estima que quando consegue vender x unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita bruta representada pela expressão matemática: C = 0,5x² + 3x - 2 (milhares de reais). Determine a taxa de variação da receita quando o empresário conseguir vender três unidades dessas peças. Interprete o resultado obtido.

Solução:

Ao realizar a derivação da função, foi encontrado:

C = 0,5x² + 3x - 2

C’(x) = x + 3

C’(3) = 3 + 3 = 6 mil/unidade

Quando a produção é de três unidades a receita da empresa aumenta a uma taxa de 6 mil reais por unidade produzida.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Velocidade do atleta

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo de limites na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Regras de derivação.

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120 Limites e Derivadas

4. Descrição da SP

Carlos, um atleta de natação, ao participar de uma competição,

salta de um trampolim; a sua posição inicial é de H = -16t² +

16t + 32.

a) Em que instante Carlos atinge a água?

b) Qual a velocidade de Carlos no momento do impacto?

5. Resolução da SP

Momento inicial quando t = 0 => H = -16t² + 16t + 32.

Derivando a função, teremos:h’(t) = 32t + 16E substituindo t = 2sh’(2) = - 32.2+ 16 => - 64 + 16 = - 48

Faça valer a pena

1. Considerando seu conhecimento anterior sobre taxa de variação média, considere que a função custo para beneficiar uma quantidade q de trigo é dada por C(q) = 3q2 + 500, sendo C dado em reais (R$) e q dado em toneladas (ton). Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo de 1 até 6 toneladas. E indique qual a inclinação da reta secante associada à taxa de variação média obtida:

2. A derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. É possível encontrar a derivada de uma função usando regras de derivação que valem para a função em todos os pontos em que a função for derivável (ou diferenciável). Assim, determine a taxa de variação instantânea para a função f(x)= 12x3+5x2+10x-15 quando x = 2:

a) 174.

b) 300.

c) 354.

d) 150.

e) 201.

3. A derivada da função y = x4+12x no ponto x=1 é:

a) 34.

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121Limites e Derivadas Limites e Derivadas

b) 45.

c) 16.

d) 14.

e) 40.

4. Calcule a derivada da função y = x3 + (4/3)x2 -5x + 1:

5. A derivada da função f(x) = 2x100+3x50+4x25+x é:

a) f'(x) =x99+x49+x24+1.

b) f'(x) = x100+x50+x25+x.

c) f'(x) =2x99+3x49+4x24+1.

d) f'(x) =200x99+150x49+100x24+x.

e) f'(x) =200x99+150x49+100x24+1.

6. Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F), e assinale a alternativa que corresponde à sequência correta:

I. A derivada de uma função constante é zero.

II. A derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.

III. Geometricamente, a derivada pode ser considerada a inclinação da curva ou o coeficiente angular da reta secante que passa pelo ponto.

Alternativas:

a) V, F, V

b) F, F, V

c) F, V, F

d) V, V, F

e) V, V, V

Limites e Derivadas

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122 Limites e Derivadas

7. Ao aplicar as regras de derivação das funções f(x)= , g(x)= e h(x) = , foram encontradas as seguintes derivadas:

a) f’(x) = , g’(x) = e h’(x)=-

b) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

c) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

d) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

e) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

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123Limites e Derivadas Limites e DerivadasLimites e Derivadas

Referências

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

Referências Complementares:

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. São Paulo: Bookman, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4DgDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado.  Rio de Janeiro: LTC, 2012. <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações tópicos avançados. Rio de Janeiro: LTC, 2010. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HUGHES-HALLETT, Deborah et al.  Cálculo: a uma e a várias variáveis. São Paulo: LTC, 2011. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: PUC-RIO, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

STEWART, J. Cálculo I. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

Unidade 3

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Com a introdução do estudo de derivadas na unidade anterior, você aprendeu que a derivada se refere à taxa de variação instantânea e à inclinação da reta tangente num ponto. Também viu que a definição de derivadas usa a noção de limite e pode ser calculada por esse meio, mas como foi visto, os cálculos de derivadas podem ser simplificados com o uso de fórmulas já estabelecidas. Portanto, é fundamental conhecer as funções e as regras de derivação existentes para aplicá-las corretamente. Afinal, as derivadas são muito usadas em áreas como engenharia, ciência, economia, medicina e ciência da computação para, por exemplo: calcular a velocidade e a aceleração, explicar o funcionamento de máquinas, estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque, prever as consequências de erros cometidos durante as medições, dentre outras situações. Ou seja, o conhecimento das regras de derivação é importante para facilitar a resolução de situações-problema em várias áreas. Aperfeiçoe-se! Bons estudos! A partir deste estudo, você irá:

Convite ao estudo

Competência a ser desenvolvida:Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

Objetivos:

• Conhecer as regras de derivação: produto, quociente, regra da cadeia, derivada exponencial e logarítmica e trigonométrica.

• Conhecer e aplicar as regras de derivação na descrição de fenômenos e situações-problema.

U3

126 Regras de Derivação

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos específicos do tema em questão, Regras de Derivação, vamos relembrar a situação hipotética apresentada nas UNIDADES 1 e 2. Esta situação visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática. Vamos relembrar!

João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste a fim de mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo, agora, de derivadas. Portanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor, das mais simples às mais complexas, como valor de despesas de uma família, número de indivíduos de uma população, cálculo de velocidade e aceleração, etc.

U3

127Regras de Derivação

Seção 3.1

Derivada do produto e quociente

Diálogo aberto

Ei, aluno! Vamos para mais uma seção de autoestudo?

No estudo que você vem desenvolvendo sobre derivadas já percebeu que é possível calcular a derivada de uma função tanto por meio de sua definição (o cálculo que envolve limites) quanto por uma forma mais simplificada, que é por meio do uso de fórmulas definidas.

Na unidade anterior foram apresentados o conceito e as regras de derivadas: de uma função constante, de uma função potência com expoente real, de uma função multiplicada por constante e quando há soma ou subtração de duas funções deriváveis. Se necessário, reveja as SEÇÕES 2.3 e 2.4. Veja também o link disponível em: <http://pt.numberempire.com/derivativecalculator.php>. Acesso em: 29 jul. 2015.

Dica

A utilização das regras de diferenciação irá facilitar ainda mais as resoluções das derivadas de diferentes polinômios. Você precisa ter atenção, pois aprendemos que a derivada da soma será a soma das derivadas e o mesmo no caso da subtração, mas isso não ocorre para o produto e quociente das derivadas. Vamos ver como é?

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi o seguinte:

Uma companhia telefônica quer estimar o número de novas linhas residenciais

U3

128 Regras de Derivação

que deverá instalar em um dado mês. No início de janeiro tinha 100.000 assinantes, cada um com 1,2 linhas, em média. A companhia estimou o crescimento das assinaturas a uma taxa mensal de 1000. Pesquisando os assinantes existentes, descobriu que cada um pretendia instalar uma média de 0,01 linha telefônica nova até o final daquele mês. Estime o número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito de derivada e regras de derivação.

Reflita

Não pode faltar

A derivada de um produto entre duas funções é o produto da primeira função pela (vezes) derivada da segunda, somando como o produto da segunda pela (vezes) derivada da primeira. A regra só será válida se as funções f e g forem diferenciáveis:

[f(x).g(x)]= f(x) [g(x)] + g(x) [f(x)]

Ou seja, considere que f(x) seja a primeira função e g(x) seja a segunda.

Assimile

Usando a notação linha, pode-se escrever a mesma regra de derivação do produto de duas funções como:

[f(x).g(x)]’ = f(x).g’(x) + g(x).f’(x).

É importante perceber que é possível utilizar muitas notações distintas para tratar de derivadas, sendo que significam a mesma coisa, como foi

Reflita

U3

129Regras de Derivação

comentado anteriormente. Verifique que é possível chegar a essa fórmula para calcular a derivada do produto de duas funções diferenciáveis partindo da definição da derivada.

Vamos relembrar! Uma função f(x) é diferenciável se existir o limite em x quando:

Ao aplicar essa definição na regra do produto, tem-se:

Exemplificando

Encontre as derivadas de y= (4x² -1). (7x³+x)

1º método

Exemplificando!

Encontre as derivadas de y= (4x² -1). (7x³+x)

Considerando como f = (4x² -1) e g=(7x³+x), vamos substituir na fórmula:

U3

130 Regras de Derivação

[f(x).g(x)]= f(x) [g(x0] + g(x) [f(x)]

[f(x).g(x)]= (4x² -1). [g(7x³+x)] + (7x³+x). [(4x² -1)]

[f(x).g(x)]= (4x2 -1). [g(7x3+x)] + (7x³+x). [(4x² -1)]

[f(x).g(x)]= [(4x² -1).(21x² + 1)] + [(7x³+x).(8x)]

[f(x).g(x)]= [84x4 + 4x² - 21x² -1]+ [56x4 + 8x²]

[f(x).g(x)]= 140x4 - 9x² - 1

Mas seria essa a única forma de resolver a derivada dessa função? O que você acha? Não. Afinal, antes de resolver a derivada é possível efetuar as multiplicações entre os fatores apresentados na função e então resolver a derivada.

Exemplificando

Existe outro método para realizar o produto entre as derivadas, que consiste primeiramente em multiplicar f(x) = (4x² -1) e g(x)=(7x³+x),

f(x) e g(x) = (4x²-1).(7x³+x) = 28x5 + 4x³ -7x³ - x = 28x5 -3x³ - x

Depois de realizada a derivada, teremos:

= (28x5 -3x³ - x) = 140x4 - 9x² - 1

Portanto, os dois métodos são válidos para a derivação de produtos.

Regra do quociente

Ao derivar a função na forma Q(x) = f(x)/g(x), queremos uma fórmula para Q’ em função de f’ e de g’, supondo que Q seja diferençável, poderemos usar a regra do produto para f(x) = Q(x)g(x).

A derivada de um quociente é o denominador pela (vezes) derivada do numerador menos o numerador pela (vezes) derivada do denominador sobre (divididos) quadrado do denominador.

[ ] =

U3

131Regras de Derivação

Ou seja, considere que f(x) seja o numerador da fração e g(x) seja o denominador (diferente de zero).

Usando a notação linha (f/g)', pode-se escrever a mesma regra de derivação do quociente de duas funções como:

Como foi apresentado para a regra do produto, observe como é possível chegar a esse resultado ao usar a definição de derivadas.

U3

132 Regras de Derivação

Exemplificando

Calcule a derivada da função y = x-1.

Solução: Observe que essa função pode ser resolvida de duas formas: uma considerando o expoente negativo e derivando pela regra da potência; e a segunda considerando a regra do quociente de duas funções, pois y = x-1 = 1/x, sendo 1 uma função (constante) e x outra. Vamos ver como ficam os resultados executando as duas regras.

Aplicando a regra da potência, tem-se:

Aplicando a regra do quociente, tem-se:

O resultado para ambas as regras é o mesmo: derivada de y = x-1 é y’ = -x-2 . Mas certamente você observou que é mais fácil resolver uma derivada com a regra da potência do que com a regra do quociente. Portanto, cada vez que precisar resolver a derivada de um quociente, não vá direto à regra do quociente, tente primeiro colocar a função de uma forma mais fácil para diferenciá-la.

U3

133Regras de Derivação

Exemplificando

Determine a derivada da função y =

Vamos considerar f(x) = x² + x – 2 e g(x) = x³ + 6, o próximo passo será substituir na fórmula:

[ ] =

[ ] =

[ ] =

[ ] =

Para saber mais sobre a regra do produto e quociente, você pode acessar o link: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/regras_derivacao/regras_derivacao.htm>. Acesso em: 29 jul. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre cada uma das propriedades. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Faça você mesmo

Calcule a derivada da função f(x)= .

O presente conteúdo desenvolveu a regra do produto e quociente de derivadas. Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!

U3

134 Regras de Derivação

Sem medo de errar

Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada a João? Vamos relembrar!

Uma companhia telefônica quer estimar o número de novas linhas residenciais que deverá instalar em um dado mês. No início de janeiro tinha 100.000 assinantes, cada um com 1,2 linhas, em média. A companhia estimou o crescimento das assinaturas a uma taxa mensal de 1.000. Pesquisando os assinantes existentes, descobriu que cada um pretendia instalar uma média de 0,01 linha telefônica nova até o final daquele mês. Estime o número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês.

Solução:

Seja s(t) o número de assinantes e n(t) o número de linhas telefônicas por assinante em um instante t, sendo que t é medido em meses e t = 0 corresponde ao início de janeiro. Então o número total de linhas (L(t)) é dado pelo número de assinantes multiplicado pelo número de linhas por assinante, ou seja, L(t) = s(t). n(t).

O problema pede para estimar o número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês, que consiste em calcular o L’(0). Lembre-se de que a derivada é uma taxa de variação num dado instante!

Dados do problema:

assinantes em janeiro ⇒ s(0) = 100.000

número de linhas por assinantes em janeiro ⇒ n(0) = 1,2

taxa de crescimento mensal de assinantes ⇒ s’(0) ≅ 1.000

taxa de crescimento de novas linhas por assinante ⇒ n’(0) = 0,01

Como a função L(t) = s(t).n(t) é o resultado do produto de duas funções, sabemos que a derivada de L(t) pode ser calculada pela regra do produto como:

L’(t) = s(t). n’(t) + s’(t). n(t).

Substituindo os dados na equação da derivada, tem-se:

L’(0) = s(0). n’(0) + s’(0). n(0)

L’(0) = 100000 x 0,01 + 1000 x 1,2

U3

135Regras de Derivação

L’(0) = 1000+1200

L’(0) = 2200 ∴ A companhia precisou instalar aproximadamente 2200 novas linhas telefônicas no mês de janeiro.

Veja que nesse exemplo não havia uma função definida, mas números estimados, e por isso foi possível resolver o problema. Além disso, perceba que os dois termos que aparecem na regra do produto vêm de fontes diferentes: os antigos e os novos assinantes. Portanto, L’ é o resultado do número de assinantes existentes vezes a taxa na qual eles ordenam novas linhas mais o número médio de linhas por assinante vezes a taxa de crescimento dos assinantes.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Equação da reta tangente

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagemAplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Regra do produto e do quociente.

4. Descrição da Situação-Problema

Encontre a equação da reta tangente e da reta

normal ao gráfico de    no ponto de abscissa 2.

U3

136 Regras de Derivação

5. Resolução da Situação-Problema

A equação da reta tangente à curva   no ponto de abscissa 2 é dada por:

Observemos, inicialmente, que f(2)=10.Para encontrar o coeficiente angular da reta no ponto de abscissa x=2, temos:

Derivando o quociente, obtemos:

e, portanto,

Assim, a equação da reta tangente procurada é:

Para encontrar a equação da reta normal à curva no ponto (2,10), lembramos que ela é perpendicular à reta tangente nesse ponto.  Logo, o coeficiente angular da normal é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente.Assim a reta normal tem equação:

Faça valer a pena

1. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função y = (1)/(5x – 3) no ponto x = 1.

a) y’= 5/4.

b) y’= -4/5.

c) y’= -1.

U3

137Regras de Derivação

d) y’= -4/5.

e) y’= -5/4.

2. Apresente o cálculo da derivada de f(x)= 3 e g(x)= + 2.

3. Apresente o cálculo da derivada de

4. Para simplificar ou facilitar o processo de derivação foram desenvolvidas regras de diferenciação ou de derivação de diferentes tipos de funções: polinomiais, racionais, algébricas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e inversas trigonométricas. Ao utilizar a regra de produto derivação da função y = (2x-3). (x²- 5x), foi encontrada a derivação:

a) 6x² - 26x + 15.

b) 12x²-26x+ 15.

c) 24x² - 26x.

d) 32x² - 26x.

e) 64x² - 26.

5. Quando queremos simplificar o processo de derivação de uma função na forma Q(x) = f(x)/g(x), podemos usar a regra do produto para f(x) = Q(x). g(x). Ao aplicar a fórmula do quociente da função y = , foi encontrada a seguinte derivada:

a) y’=

b) y’ =

c) y’=

d) y’=

e) y’ =

6. A derivada da função f(x) = tx é:

U3

138 Regras de Derivação

a) t.

b) x.

c) tx.

d) 0.

e) 1.

7. A derivada da função y = x‑1 pode ser resolvida de duas formas: uma considerando o expoente negativo e derivando pela regra da potência; e a segunda considerando a regra do quociente de duas funções, pois y = x‑1 = 1/x, sendo 1 uma função (constante) e x outra. Assim, a alternativa que contém a derivada da função y é:

a) y’= -x2.

b) y’= -x-2.

c) y’= 1.

d) y’= x-2.

e) y’= 0.

U3

139Regras de Derivação

Seção 3.2

Regra da cadeia

Diálogo aberto

A partir de agora iremos ampliar nossos estudos sobre as regras de derivação. Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre regra da cadeia, pois as regras de derivação discutidas na seção anterior não são suficientes para calcularmos as derivadas de todas as funções na prática.

Vimos que o estudo das derivadas, além de proporcionar uma visão sobre o comportamento da função num determinado instante, prevê o entendimento e a correta aplicação das regras de derivação. É por isso que o estudo do cálculo diferencial passa primeiro pelo estudo de funções. Afinal, as regras de derivação devem ser usadas levando-se em consideração o tipo de função a ser derivada, existindo, inclusive, regras específicas para determinadas funções.

Vamos lá! Bons estudos!

A regra da cadeia é uma das regras mais utilizadas em cálculo, especialmente quando se está trabalhando com funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, como será visto nas próximas seções. Portanto, aproveite e aprofunde seus estudos!

Dica

Nesta seção você aprenderá sobre a regra da cadeia que é usada para diferenciar funções compostas. Mas isso não significa que toda função composta só possa ser diferenciada pelo uso da regra da cadeia – e isso você verificará na seção a seguir.

Lembre-se

U3

140 Regras de Derivação

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Suponha que um engenheiro da empresa tenha um carro econômico que faça 20 km por litro de combustível. Sabe-se que a quilometragem que pode ser alcançada sem reabastecer é uma função do número de litros que há no tanque de combustível. Se cada litro de combustível custa 4 reais no posto favorito do engenheiro, qual a quilometragem obtida por real gasto em combustível? Considere que a quantidade de combustível disponível no tanque é uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conhecer e aplicar a regra da cadeia.

Reflita

Não pode faltar!

Regra da Cadeia

Como já dissemos, as regras de derivação estudadas na seção anterior não são suficientes para calcular as derivadas de todas as funções que surgem na prática.

Você, aluno, poderá certificar-se desse fato tentando calcular a seguinte derivada

da função . Imagine também que para derivar a função y= (x8+ 7)20, você tivesse que expandir essa potência binomial para obter um polinômio de grau 160. Esses e outros casos são resolvidos por meio da Regra da Cadeia.

Desse modo, o processo de derivação chamado Regra da Cadeia é aplicado quando há a necessidade de derivar uma função composta. Mas, afinal, você lembra o que é uma função composta?

Assimile

Como podemos derivar a função f(x)= ? Note que esta função é considerada como função composta, e para desenvolver a derivada precisaremos adotar alguns passos:

U3

141Regras de Derivação

y = f(u) = e que u = g(x) = (x² + 1), que sabemos como derivar.

Agora poderemos escrever de maneira simplificada: y = f(u) = f(g(x)).

Sabemos que quando derivamos estamos encontrando a taxa de variação de y em relação a x. Vamos considerar du/dx como a taxa de variação de u em relação a x, dy/du como a taxa de variação de y em relação a u.

Quando u variar duas vezes mais rápido que x e y variar três vezes mais rápido que u, então, pela lógica, percebemos que y irá variar seis vezes mais rápido que x.

Reflita

Definição de Função Composta

Dadas duas funções f e g, a função composta f∘g (também chamada de composição de f e g) é definida por (f∘g)(x) = f(g(x)).

O domínio de f∘g é o conjunto de todos os x no domínio de g tais que g(x) está no domínio de f. Em outras palavras, (f∘g)(x) está definida sempre que tanto g(x) quanto f(g(x)) estiverem definidas.

Em geral, f∘g ≠ g∘f. Lembre-se de que a notação f∘g significa que a função g (interna) é aplicada primeiro e depois a função externa (f) é aplicada. Verifique o exemplo a seguir.

Exemplificando

Considere f(x) = x2 e g(x) = x-3. Encontre as funções compostas f∘g e g∘f.

Solução:

Para f∘g então f(g(x)), logo, (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x-3)2 = (x-3)2.

Para g∘f então g(f(x)), logo, (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2-3.

Observe que no primeiro caso (f bola g) a função resultante é obtida por subtrair 3 de x para então elevar ao quadrado. No segundo, primeiro x é elevado ao quadrado para então ser subtraído 3.

U3

142 Regras de Derivação

Definição da Regra da Cadeia

A regra da cadeia é a regra de derivação mais utilizada. Usamos essa regra quando a função a ser derivada é resultante da composição de outras funções. Dessa forma, a função composta f(g(x)) com f sendo a função de fora e g a função de dentro. Ou ainda,

z = g(x) e y = f(z), logo y = f(g(x)).

Lembre-se: Quando falamos em derivadas, é imediato lembrar que estamos tratando da taxa de variação num ponto. Em funções compostas podemos verificar que uma pequena variação em x, ∆x, gera uma pequena variação em z, ∆z, pois z=g(x), certo? Continuando a análise na função composta, essa variação em z gera uma pequena variação em y, ∆y, mais uma vez porque temos y = f(z). Sendo ∆x≠0 e ∆y≠0, é possível escrever:

O que isso significa? Mostra a variação que ocorre em y com relação à variação ocorrida em x. Mas como estamos trabalhando com uma função composta, a variação que ocorre em x primeiro afetará a função z para então afetar a função y. Além disso, essa notação leva diretamente à regra da cadeia, afinal, como foi visto nas seções anteriores, a derivada é a inclinação da reta tangente num ponto, logo:

Temos então:

= .

= . , desde que os limites existam

= .

Isso é o mesmo que escrever:

= .

Quando a variação de z tende a zero, a variação de x também tende a zero, portanto a função g é contínua.

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é o produto das

U3

143Regras de Derivação

derivadas das funções de fora e de dentro, lembrando que a função de fora precisa ser calculada com a função de dentro.

A regra de cadeia poderá ser representada pela expressão matemática:

• [f(g(x))]’ = f’(z).g’(x) notação de linha.

• = . notação de Leibniz.

Atenção!

A regra da potência combinada com a Regra da Cadeia:

Se n for qualquer número real e u=g(x) for derivável, então:

Assim temos:

Exemplificando

Determine a derivada da função y = (x² + 2)100

Vamos considerar:

f(x) = (x² + 2)100 e a sua derivada f(u) = u100

g(x) = x² + 2 e a sua derivada g’(x) = 2x

Aplicando a Regra de Cadeia, teremos:

(f.g)’(x) = f’(g(x)).g’(x)

(f.g)’(x) = 100(x² +2)99. 2x

(f.g)’(x) = 200x (x² +2)99. 2x

U3

144 Regras de Derivação

Exemplificando

Determine a derivada da função y = e(2x² -1)

Vamos considerar:

f(x) = e(2x² -1) a sua derivada f(u) = eu

g(x) = 2x² - 1 e a sua derivada g’(x) = 4x

Aplicando a Regra de Cadeia, teremos:

(f.g)’(x) = f’(g(x)).g’(x)

(f.g)’(x) = e(2x² -1). 4x

(f.g)’(x) = 4xe(2x² -1)

Exemplificando

Considere o sistema de rodas dentadas indicado na Figura 3.1. Quando a engrenagem A dá x voltas completas, a B dá u voltas e a C dá y voltas. Comparando as circunferências ou contando os dentes, nota-se que y = u/2 (C dá meia volta a cada volta inteira de B) e u = 3x (B dá 3 voltas a cada volta inteira de A). Calcule a variação de y com relação a x, ou seja, quanto varia a engrenagem C com relação à engrenagem A.

Figura 3.1 | Diagrama de rodas dentadas

Fonte: Extraído de Weir (2009, p. 188).

Solução 1 - regra da cadeia:

U3

145Regras de Derivação

:

Solução 2 – cálculo da função:

Ao considerar que a derivada é uma taxa de variação, é possível observar que essa relação da derivada encontrada é razoável, pois se y = f(u) varia com a metade da rapidez de u, e u = g(x) varia três vezes mais rápido que x, espera-se que y varie 3/2 mais rápido que x.

Exemplificando

Encontre f'(u) se f(u) = .

Solução:

f'(u)= u-1/2 = e g'(x)= 2x

F'(x)= f'(g(x)). g'(x)

= . 2x

=

U3

146 Regras de Derivação

Lembre-se: É importante você simplificar a função a ser derivada toda vez que for possível, pois nem sempre apenas a regra da cadeia resolve a derivada - outras técnicas podem ser utilizadas, deixando o processo mais simples.

Para saber mais sobre Função Composta e Regra da Cadeia, você pode acessar os links abaixo:

Boa explicação sobre funções compostas, utiliza exemplos simples. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoComposta.aspx>. Acesso em: 12 jun. 2015.

Videoaula com boa explicação sobre a Regra da Cadeia. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=IQitdam5vi8&index=14&list=PL918074FE0AD0458B>. Acesso em: 12 jun. 2015.

Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Encontre f'(x) se f(x) = .

Faça você mesmo

Sem medo de errar

Após o estudo da Regra da Cadeia, vamos resolver a situação-problema apresentada a João? Vamos relembrar!

Suponha que um engenheiro da empresa tenha um carro econômico que faça 20 km por litro de combustível. Se cada litro de combustível custa 4 reais no posto favorito do engenheiro, qual a quilometragem obtida por real gasto em combustível? Considere que a quantidade de combustível disponível no tanque é uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento.

U3

147Regras de Derivação

Solução:

Sabe-se que a quilometragem que pode ser alcançada sem reabastecer é uma função do número de litros que há no tanque de combustível. Em símbolos, se y for o número de quilômetros que pode ser alcançado e u for o número de litros de combustível disponíveis, então y é uma função de u, ou y= f(u).

Considerando que a quantidade de combustível disponível no tanque é uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento, se x for o número de reais pagos no abastecimento, então u=g(x).

20 quilômetros por litro é a taxa de variação da quilometragem em relação ao

combustível gasto, logo: f'(u) = = 20 quilômetros por litro.

Como o combustível custa 4 reais por litro, cada real fornece ¼ de litro de

combustível, e g'(x) = = litro por real.

O número de quilômetros que pode ser percorrido também é uma função do número de reais que foram gastos com combustível. Assim, temos: y=f(u)= f(g(x)).

A quilometragem obtida por real gasto em combustível é .

Logo, temos que: = . substituindo, temos: . = =

5 km por real

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Epidemia

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagemAplicar o estudo da regra da cadeia na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Regra da Cadeia.

U3

148 Regras de Derivação

4. Descrição da Situação-Problema

Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica.

Os setores de saúde calculam que o número de

pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t

(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,

aproximadamente, dado por:

N(t)= 64(t2+1)2 - + .

Qual é a função que descreve a taxa de variação com que essa epidemia cresce em função dos dias?

5. Resolução da Situação-Problema

N’(t) = 64.2(t2+1).2t – .1+ . (t+1)-1/3.1

N’(t) = 256t(t2+1) – (t+1)2 +

Faça valer a pena

1. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função y = √10x + 6:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

2. Dadas as funções f(x) = x4 e g(x) = 2x - 1, marque a alternativa correta que apresenta y = f(g(x)) e y’, respectivamente:

U3

149Regras de Derivação

a) y = (2x -1)3 e y’= 4(2x-1)3.

b) y = (2x -1)4 e y’= 8(2x-1)3.

c) y = (2x -1)3 e y’= 8(2x-1)3.

d) y = (2x -1)4 e y’= 4(2x-1)3.

e) y = (2x -1)2 e y’= 2(2x-1)3.

3. Calcule, pela regra da cadeia, a derivada de y = (5x3-x4)7:

4. (WEIR, 2009, p. 192) Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à curva y = 1/(1-2x)3 é positivo:

5. O desenvolvimento da Regra de Cadeia foi considerado pelos matemáticos um método simples para realizar derivações de funções compostas, o que facilita ainda mais a análise e entendimento das taxas de variações. Ao aplicar a regra de cadeia na função composta f(x) = e3x foi encontrada derivada igual a:

a) 9e2x.

b) 3.e3x.

c) e3x.

d) e2x.

e) ex.

6. Complete a afirmativa com a alternativa correta:

A regra da cadeia afirma que a derivada composta de duas funções é a derivada da função de _____________calculada na função de _________________vezes a derivada da função de_________________.

a) de fora; de dentro; de dentro.

b) de dentro; de fora; de dentro.

c) de fora; de fora; de dentro.

d) de dentro; de dentro; de fora.

e) de fora; de fora; de fora.

U3

150 Regras de Derivação

7. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva x= y2-4y nos pontos onde a curva cruza o eixo y:

U3

151Regras de Derivação

Seção 3.3

Derivada exponencial e logarítmica

Diálogo aberto

Nesta seção você irá aprender a derivar as funções exponenciais e logarítmicas.

Vale lembrar que os logaritmos e exponenciais são extremamente úteis para resolver problemas que ocorrem em situações diversas, como na economia, previsão de enchentes, crescimento populacional, abalos sísmicos, entre várias outras. Portanto, o estudo dessas funções é muito importante e aparece em diversas análises que um engenheiro, por exemplo, precisa fazer. Agora observe que saber derivar as funções é fundamental em engenharia, afinal, em quantas situações um engenheiro não precisa encontrar a taxa de variação instantânea? Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos! Bons estudos!

Este livro apresenta um bom conteúdo sobre o assunto, sendo importante referência para o estudo e concretização do aprendizado. Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas!

Dica

Lembre-se de que os logaritmos são as funções inversas das funções exponenciais e é por isso que suas derivadas “chamam” umas às outras.

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Considere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que tomando amostras da população em certos intervalos, determina-

U3

152 Regras de Derivação

se que ela duplica a cada hora. Considere que a população inicial é de n0= 100

bactérias, qual é a taxa de crescimento depois de 4 horas?

Fonte: <http://revistagalileu.globo.com/Revista/Common/0,,EMI320284-17579,00-EM+DEFESA+DAS+BACTERIAS.html>. Acesso em: 29 jul. 2015.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conhecer e calcular derivada de funções exponenciais e logarítmicas.

Reflita

Não pode faltar

Derivada de Função Logarítmica

Segundo Anton et al. (2007), estabelece-se que f(x) = ln x é diferenciável para x > 0 (ou seja, possui derivada em todos os pontos de x > 0). Para calcular o limite resultante, considera-se o fato de que a função ln x é contínua em x > 0 (isto é, para cada valor de x existe um valor de y = ln x correspondente) e o limite a seguir:

Dessa forma, aplicando-se a definição de derivada a partir de limites, tem-se:

U3

153Regras de Derivação

Assimile

A derivada do logaritmo natural é dada por:

Desse resultado segue que a derivada do logaritmo é dada por:

Exemplificando

Calcule a derivada da função y=ln (x2+1).

Solução: Para resolver essa derivada será necessário usar a Regra da Cadeia estudada na seção anterior. Então vamos escrever a função y em termos de uma função composta:

Dessa construção podemos dizer que y = f(g(x)), sendo z=g(x) e y= f(z) e a derivada pela regra da cadeia é:

.

U3

154 Regras de Derivação

Derivada de função exponencial

A derivada da função f(x) = ax pode ser definida de algumas formas. Observe como fica ao escrever x como logaritmo.

No caso especial em que a base “a” é igual a “e” (a = e), e sabendo-se que ln e = 1, então a derivada de f(x) = ex é f’(x) = ex.1 = ex.

Outra forma de verificar a derivada de f(x) = ax é usar a definição de derivada usando limites. Tem-se, então:

U3

155Regras de Derivação

A função exponencial f(x)= ex tem a propriedade de ser sua própria derivada. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva y=ex é igual à coordenada y do ponto (STEWART, 2013).

Reflita

Derivada da função exponencial composta:

Se u(x) é uma função derivável, aplicando a regra da cadeia podemos generalizar as proposições:

i) y= au (a>0, a≠1) →y'=au. lna. u'

ii) y=eu → y'= eu. u'

iii) y= loga u → y'= log

a e

iv) y= lnu →y'=

v) y= uv →y'= v.uv-1.u'+uv.lnu.v', u>0.

Exemplificando

Calcule a derivada da função y=(1/2)√x.

Solução: Para resolver essa derivada será necessário usar a Regra da Cadeia, como ocorreu no Exemplo 1. Então, vamos separar as funções menores que compõem a função y.

U3

156 Regras de Derivação

Substituindo os valores na fórmula da Regra da Cadeia:

Faça você mesmo

Calcule f'(0), se f(x)= e-x.cos3x.

U3

157Regras de Derivação

Inversa: proposição em que os termos se apresentam de modo inverso (virado no sentido contrário).

Vocabulário

Página que apresenta a teoria e exercícios sobre as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp9.php>. Acesso em: 14 de out. 2014.

Pesquise mais

Sem medo de errar

Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada a João? Vamos relembrar!

Considere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que tomando amostras da população em certos intervalos, determina-se que ela duplica a cada hora. Considere que a população inicial é de n

0= 100

bactérias, qual é a taxa de crescimento depois de 4 horas?

Solução:

Se a população inicial for n0 e o tempo for medido em horas, então

f(1)= 2 f(0)= 2 n0

f(2)= 2 f(1)= 22n0

f(3)= 2 f(2) = 23n0

e em geral, a função da população é n= n0 2t.

Portanto, a taxa de crescimento da população de bactérias no tempo t é:

= (n02t) = n

02tln2

Considerando a população n0=100 bactérias, a taxa de crescimento depois de

4 horas será de:

t=4 = 100. 24 ln2 = 1600 ln2 ≈ 1.109

U3

158 Regras de Derivação

Assim, depois de 4 horas, a população de bactérias está crescendo a uma taxa de aproximadamente 1.109 bactérias por hora.

Atenção!

Você pode rever os conceitos de função exponencial e logarítmica apresentados no livro didático para lembrar algumas propriedades e regras. Veja também o link: <http://www.infoescola.com/matematica/definicao-e-propriedades-dos-logaritmos/>. Acesso em: 29 jul. 2015.

Podemos dizer que se  f(x)=aX, então sua derivada será  f′(x)=ax⋅ ln(a). Mas se fizermos  a=e, obtemos: f′(x)=ex⋅ ln(e)= ex .1= ex

Lembre-se

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Boato

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar conceitos das derivadas exponenciais e logarítmicas.

3. Conteúdos relacionados Derivadas exponenciais e logarítmicas.

4. Descrição da Situação-Problema

Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo

com a equação p(t)= 1+ , onde p(t) é a proporção

da população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são constantes positivas. Qual a taxa de espalhamento do boato?

U3

159Regras de Derivação

5. Resolução da Situação-Problema

p’(t)= 1+ utilizando a regra da cadeia teremos:

p’(t)=

Usamos esta regra quando a função a ser derivada é resultante da composição de outras funções. Assim temos:

Lembre-se

Faça você mesmo

Encontre uma equação da reta tangente à curva y=

no ponto (1, ½ e).

Faça valer a pena

1. Determine a derivada de

2. Calcule a derivada de f(x) = log3(x2-5).

3. Em que ponto da curva y=ex sua reta tangente é paralela à reta y=2x?

a) (ln2, 2).

b) (2, ln2).

c) (x, lnx).

d) (lnx, x).

U3

160 Regras de Derivação

e) (e, ln2).

4. Uma reta cujo coeficiente angular m passa pela origem é tangente à curva y=lnx. Qual é o valor de m?

a) 1/e.

b) e.

c) 1.

d) 0.

e) 1e.

5. Dada a função f(x) = loga

x = , marque a alternativa correta que apresenta a derivada f'(x):

a) u. ln a.

b) 1/x. ln a.

c) ln a.

d) a/ ln x.

e) x/ ln a.

6. Marque a alternativa correta:

a) 3x = 3. ln3.

b) e3x = e3x.

c) log3 x= .

d) x.log x = e. log (e.x).

e) x2.log5 x = log

5 (e.x2)x.

U3

161Regras de Derivação

7. Considerando f(x)= x4 – lnx o valor de f'(1) será:

a) 3.

b) 2.

c) 4.

d) 1.

e) ¼.

U3

162 Regras de Derivação

U3

163Regras de Derivação

Seção 3.4

Derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas

Diálogo aberto

As funções trigonométricas são usadas em modelos de fenômenos do mundo real. Em particular: as vibrações, ondas, movimentos elásticos e outras grandezas que variem de maneira periódica podem ser descritos utilizando-se as funções trigonométricas.

Assim, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo da derivada das funções trigonométricas e também das derivadas sucessivas. Apresentaremos os seus conceitos e aplicações. Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos! Bons estudos!

O livro didático da disciplina apresenta um bom conteúdo sobre o assunto, sendo importante referência para o estudo e concretização do aprendizado. Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas!

Dica

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para tanto, pendura um peso em uma mola que é puxado para baixo a 5 unidades da posição de repouso e liberado no instante t=0 para que a oscile para cima e para baixo. Sabe-se que a posição do peso em qualquer instante t posterior é:

s= 5 cos t

Para realização do projeto o engenheiro precisa saber quais são a velocidade e a aceleração do peso no instante t. E agora, como João poderá resolver esse problema? Ajude-o a encontrar a velocidade e a aceleração do peso no instante t.

U3

164 Regras de Derivação

Fonte: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/ensinomedio/elasticidade/experimento/>. Acesso em: 29 jul. 2015.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conhecer e calcular derivada de funções exponenciais e logarítmicas.

Reflita

Não pode faltar

Derivada das Funções Trigonométricas: sen x e cos x

Quando falamos sobre a função f definida para todo número real x por f(x)= sen x, entende-se que sen x significa o seno do ângulo cuja medida em radianos é x. Uma convenção similar é adotada para as outras funções trigonométricas cos, tg, cossec, sec e cotg.

Todas as funções trigonométricas são contínuas em todo número em seus domínios.

Para calcular a derivada da função sen x, com x medido em radianos, vamos precisar das definições dos limites a seguir.

Se y= sen x, então y’= cos x.

y’= lim∆x→0

Aplicando a fórmula trigonométrica

sen p- sen q= 2 sen .cos .

Então,

U3

165Regras de Derivação

y’=

y’=

y’=lim∆x→0 . lim∆x→0

=1.cos x

= cos x

Assimile

De forma análoga é possível chegar à derivada da função

y = cos x é y'= - sem x.

Desse modo, a derivada para a função y = sen x é y’ = cos x.

Derivada das demais Funções Trigonométricas

Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas. Todas essas fórmulas podem ser demonstradas através da utilização da definição de derivadas ou podem ser demonstradas por meio das regras do produto ou do quociente, aplicando as regras às relações:

tg x = ; cotg x = ; sec x = ; cossec x =

Exemplificando

Se y= tg x= , então y'=sec2x.

U3

166 Regras de Derivação

Usando a regra do quociente, obtemos:

y'=

=

= = = sec2x

De modo análogo, podemos encontrar:

Função Derivada

y= cotg x y’= - cosec2x

y= sec x y’= sec x. tg x

y= cosec x y’= - cossec x. cotg x

Usando a regra da cadeia, obtemos as formas gerais das derivadas.

Função Derivada

y= senx y= cos x. x’

y= cosx y= -sem x. x’

y= tgx y = sec2x. x’

y= cotgx y= -cossec2x. x’

y= cotgx y’= -cosec2x

y= secx y’= sec x. tg x. x’

y= cosecx Y’= -cossec x. cotg x. x’

Derivadas Sucessivas

A derivada é considerada como função, por isso é possível considerar a sua derivada. Para uma função f, a derivada da sua derivada é chamada “Derivada Segunda” e denotada por f”, que pode ser lida como “f duas linhas”. Para representar

a derivada segunda, poderemos utilizar a notação: , que representa o mesmo

que .( ).

U3

167Regras de Derivação

A derivada de uma função indica a ocorrência de variações em um certo intervalo e se este está apresentando um crescimento ou decrescimento:

• Quando f’ for maior que zero em um certo intervalo, então f será crescente neste intervalo.

• Quando f’ for menor que zero em um certo intervalo, então f será decrescente neste intervalo.

E para a derivada segunda dessa função, o crescimento ou decrescimento seguirá a mesma tendência da primeira derivada, ou seja:

• Quando f” for maior que zero em um certo intervalo, então f’ será crescente neste intervalo.

• Quando f” for menor que zero em um certo intervalo, então f’ será decrescente neste intervalo.

A derivada de uma função representa a taxa de variação, então a derivada segunda será a taxa da variação da variação. Quando a derivada segunda é positiva, a sua taxa de variação de f será crescente e quando a derivada segunda é negativa, a sua taxa de derivação será decrescente.

Reflita

Exemplificando

Se f(x)= 4x2 +7x +1, então

f'(x) = 8x + 7

f"(x)= 8

Se f" é uma função derivável, sua derivada, representada por f’’’(x), é chamada derivada terceira de f(x). A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por f(n)(x), é obtida derivando-se a derivada de ordem n-1 de f.

U3

168 Regras de Derivação

Exemplificando

Se f(x)= 2x5 +3 x2, então

f’(x) = 10x4 + 6x

f’’(x) = 40x3 + 6

f’’’(x)= 120x2

f(4) (x) = 240x

f(5) (x)= 240

Para ampliar seus estudos sobre derivadas, veja o material que apresenta o conceito e exercícios resolvidos sobre esse tema em: <http://wp.ufpel.edu.br/kiesow/files/2012/11/aulas-parte2.pdf>. Acesso em: 29 jun. 2015.

Pesquise mais

Derive y=

Faça você mesmo

Sem medo de errar

Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada a João? Vamos relembrar!

Um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para tanto, pendura um peso em uma mola que é puxado para baixo a 5 unidades da posição de repouso e liberado no instante t=0 para que a oscile para cima e para baixo. Sabe-se que a posição do peso em qualquer instante t posterior é:

s= 5 cos t

Para realização do projeto o engenheiro precisa saber quais são a velocidade e

U3

169Regras de Derivação

a aceleração do peso no instante t.

Solução:

Temos:

Posição s= 5cos t

Velocidade: v= = = - 5 sen t

Aceleração: a= = (- 5 sen t)= -5 cos t

Atenção!

• Com o passar do tempo, o peso se desloca para cima e para baixo entre s= -5 e s= 5 no eixo s. A amplitude do movimento é 5. O período do movimento é 2π, o período da função cosseno.

• A velocidade v= -5 sen t atinge sua maior magnitude, 5, quando cos

t=0. Assim, o módulo da velocidade do peso |v|= 5 |sen t|, é o máximo quando cos t=0, isto é, quando sen t=0. Isso ocorre quando s= 5 cos t, t= ±5, nas extremidades do intervalo do movimento (THOMAS, 2012).

• O valor da aceleração é sempre o oposto exato do valor da posição. Quando o peso está acima da posição de repouso, a gravidade o puxa para baixo, quando o peso está abaixo, a mola o puxa para cima.

• A aceleração, a= -5 cos t, é zero na posição de repouso, em que cos t=0 e a força da gravidade anula a força da mola. Quando o peso está em qualquer outro lugar, as duas forças são desiguais e a aceleração é diferente de zero. A aceleração é máxima em magnitude nos pontos mais distantes da posição de repouso, em que cos t= ± 1 (THOMAS, 2012).

Lembre-se

U3

170 Regras de Derivação

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas.

Velocidade e Aceleração

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar conceitos das derivadas trigonométricas e sucessivas.

3. Conteúdos relacionados

Derivada trigonométrica e sucessiva.

4. Descrição da SP

Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma

superfície lisa. Sua equação de movimento é x(t)= 8 sen t,

onde t está em segundos e x, em centímetros. Encontre a

velocidade e a aceleração do corpo na posição de equilíbrio

t= .

Fonte: <http://www.alunosonline.com.br/fisica/forca-elastica.html>. Acesso em: 29 jul. 2015.

5. Resolução da SPv’(2π/3)= 8 cos (2π/3) = -4

a’(2π/3)= - 8 sen (2π/3)= -4

Faça você mesmo

Encontre uma equação da reta tangente à curva y= 2x sen x no ponto

( , π).

U3

171Regras de Derivação

Faça valer a pena

1. Para a função y = sen (x2) marque a alternativa que mostra a derivada dessa função:

a) y’ = 2 sen x.

b) y’ = -2 cos (x).

c) y’ = 2x cos (x2).

d) y’ = x cos (x2).

e) y’ = 2x cos (x).

2. Para a função y = cos (x2+2x-1) – 3 sen (x) marque a alternativa que mostra a derivada dessa função:

a) y’ = (-2x-2).cos(x2+2x-1)-3 cos (x).

b) y’ = (-2x-2).sen(x2+2x-1)-3 cos (x).

c) y’ = (-2x-2).sen(x2+2x-1)-3 sen (x).

d) y’ = (2x+2).sen(x2+2x-1)-3 cos (x).

e) y’ = (2x+2).cos(x2+2x-1)-3 cos (x).

3. Mostre que a derivada de y = tg(x) é y’ = sec2(x). Dica: use a relação

tg(x)= .

O enunciado abaixo refere-se às questões 4 e 5:

Um problema que envolve taxas de variação de variáveis relacionadas é denominado de problema de taxas relacionadas, assim a taxa de variação de x em relação ao tempo é expressa por dx/dt. Uma função é usada para expressar o deslocamento de uma partícula em movimento retilíneo através da função: x(t) = 7,8 + 9,2t – 2,1t³.

4. A velocidade dessa partícula no instante t = 1s é:

a) 2,9 m/s.

U3

172 Regras de Derivação

b) 1,9 m/s.

c) 5 m/s.

d) 2 m/s.

e) 1 m/s.

5. A taxa de aceleração para t = 1s será:

a) 12,6 m/s2.

b) -12,6 m/s2.

c) 10 m/s2.

d) 2,6 m/s2.

e) -2,6 m/s2.

6. Se f(x)= 3x4- 2x3+ x2 - 4x +2, então f'(4) será igual a:

a) 0.

b) 72.

c) 1.

d) 72x-12.

e) 36x2 -12x + 2.

7. Suponha que uma massa presa na ponta de uma mola seja espichada 3 cm além de seu ponto de repouso e largada no instante t=0. Supondo que a função posição do topo da massa presa à mola seja s=- 3 cos t, onde s está em centímetros e t em segundos, encontre a função velocidade e discuta o movimento dessa massa (ANTON et al., 2007):

U3

173Regras de Derivação

Referências

ANTON, Howard. Cálculo. v. I, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2009. PLT 178.

Referências Complementares:

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Bookman, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4DgDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado.  São Paulo: LTC, 2012. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.  Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 10. ed. São Paulo: LTC, 2010. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HUGHES-HALLET, Deborah; MCCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew M. et al. Cálculo – A: uma e a várias variáveis. v 1, 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. v. II, 3. ed. Rio de Janeiro: PUC-RIO, 2007. Vol. II. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

STEWART, J. Cálculo I. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

Unidade 4

OTIMIZAÇÃO DA DERIVADA

Na unidade anterior você aprendeu algumas regras de derivação, como derivada do produto e quociente; regra da cadeia; derivada logarítmica e exponencial e derivadas trigonométricas.

Nesta unidade iremos ampliar nosso conhecimento sobre derivadas implícitas, taxas relacionadas, Máximos e Mínimos e otimização.

Vimos que a derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, vamos explorar mais algumas nesta unidade. Entre as numerosas aplicações das derivadas podemos citar problemas relacionados a: tempo, pressão, volume, área, temperatura, custo, consumo de gasolina, ou seja, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função. Vamos colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então?

Aperfeiçoe-se! Bons estudos! A partir deste estudo você irá:

Competência a ser desenvolvida:

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

Objetivos:

• Conhecer as regras de derivada implícita, taxa de variação, máximos e mínimos e otimização.

Convite ao estudo

U4

176 Otimização da derivada

• Conhecer e aplicar esses conhecimentos de derivada na descrição de fenômenos e situações-problema.

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos específicos do tema em questão, vamos relembrar a situação hipotética apresentada nas unidades 1, 2 e 3. Esta situação visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática. Vamos relembrar!

João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo - agora - de derivadas. Portanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor, das mais simples às mais complexas, como valor de despesas de uma família, número de indivíduos de uma população, cálculo de velocidade e aceleração, volume, área. etc.

U4

177Otimização da derivada

Seção 4.1

Derivada implícita e taxa relacionada

Olá, aluno! Vamos para mais uma seção de autoestudo sobre derivadas?

No tema anterior ampliamos nosso conhecimento sobre derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas. Nesta seção iremos aprender agora sobre derivadas implícitas e taxas relacionadas.

O estudo sobre as derivadas das funções é fundamental para a compreensão do comportamento das mesmas e está relacionado com muitas áreas do conhecimento. A aplicação das derivadas é extensa, possui complexidade que varia de acordo com o problema em estudo e pode ser muito útil na vida profissional de um engenheiro. Nesse tema a aplicação de derivadas será focada na aplicação de taxas relacionadas – quando uma grandeza varia em relação à variação de outra e na aplicação de derivadas implícitas. Vamos aprender o conceito de funções implícitas, aquelas que não apresentam a variável dependente da forma tradicional (y = f(x)), e mostrar como derivá-las além da sua conexão com problemas das taxas relacionadas.

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80 km/h. O policial deve ou não multar o motorista?

Diálogo aberto

U4

178 Otimização da derivada

Funções Implícitas

As funções implícitas são aquelas em que as variáveis x e y são apresentadas juntas, no mesmo lado da equação. Ou seja, quando a função é escrita como y = f(x) ela é explícita, pois fica claro que a variável y pode ser calculada em função do valor da variável x. Agora, quando a função é dita implícita, significa que a variável y não é apresentada explicitamente em função de x. Observe a função apresentada a seguir, que é uma função implícita de x.

x2+y2=4

Essa é a equação da circunferência de raio igual a 2. Dessa forma, para um mesmo valor de x é possível encontrar dois valores correspondentes para y, correto? Mas isso seria possível para uma função? Para evitar problemas de definição, considere isolar a variável y e veja que o resultado será uma raiz quadrada, ou seja:

Ou seja, a função positiva representa a metade de cima do eixo x do círculo e a parte negativa a metade que está abaixo do eixo x (Figura 4.1).

Não pode faltar!

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito e aplicação de derivada implícita e de taxa de variação.

Reflita

U4

179Otimização da derivada

Nem todas as funções definidas implicitamente são deriváveis em todos os pontos do seu domínio. Em um curso de Cálculo avançado se estudam condições que garantem quando uma função definida implicitamente é derivável. Aqui, procederemos como se as funções definidas implicitamente fossem deriváveis em quase todos os pontos de seu domínio. Admitindo que a função y = f(x), definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0, seja derivável, podemos calcular a derivada dy/dx sem ser necessário primeiro resolver a equação y= f(x).

E como é possível derivar uma função implícita?

Para derivar essa equação da circunferência com relação a x, devemos aplicar a derivada a todas as parcelas, lembrando que y2 é uma função com relação a x, logo, para resolver essa derivada será necessário usar a Regra da Cadeia.

Derivando a equação x2+y2=4 , teremos:

isolando , temos:

Fonte: Hughes-Halett; McCallum; Gleason (2011, p. 120).

Figura 4.1 | Representação gráfica de x2 + y2= 4

U4

180 Otimização da derivada

Assimile

A partir da Regra da Cadeia deveríamos derivar , a fórmula é

mais conhecida como , no entanto, pode ser reescrita

da seguinte forma Isto é, a derivada de uma

função em relação a x é a derivada dessa função em relação a outra

variável vezes a derivada dessa variável qualquer em relação a x.

Voltando à Figura 4.1, observe que ao calcular a derivada da equação do círculo, obtivemos a inclinação da curva em todos os pontos, exceto em (2, 0) e (-2, 0), locais da função em que a tangente é vertical. Em geral, esse processo de diferenciação implícita nos leva a uma derivada sempre que não houver uma indeterminação, como, por exemplo, um zero no denominador.

Mas, e se essa função fosse uma superfície circular, uma esfera, como determinar a taxa de variação no ponto x = 2? Pare um minuto e pense a esse respeito.

Reflita

Exemplificando

Encontre se x3 + y3 = 6xy (STEWART, 2011).

Vamos utilizar agora a notação de linha para resolver a derivada y´.

Derivando ambos os lados de se x3 + y3 = 6xy em relação a x, considerando y como uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo y3 e a Regra do Produto no termo 6xy, obtemos:

3x2 + 3y2y´= 6xy´+ 6y ou x2 + y2y´= 2xy´+ 2y

Isolando y´ temos:

U4

181Otimização da derivada

Taxas relacionadas

As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com relação a outra. Em um problema de taxas relacionadas a ideia é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra. O procedimento consiste em achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo (STEWART, 2011).

Para ficar clara essa definição, acompanhe os exemplos apresentados a seguir.

y2y´- 2xy´= 2y – x2

Exemplificando

Suponha que uma pedra seja lançada num lago. No momento em que ela cai na água é formada uma onda circular, cujo círculo aumenta no transcorrer do tempo. Então, sabendo que quando o raio do círculo tem 3 cm e que o raio aumenta a uma taxa de 1 cm por segundo, como saber a taxa de crescimento da área desse círculo conforme o tempo passa? Observe a Figura 4.2.

Quais são os dados desse problema? O Raio é conhecido (R=3 cm), a taxa de crescimento do raio em relação ao tempo (dR/dt = 1 cm/s) e a área do círculo que é dada por A=πR2. Qual é a informação procurada? É a taxa de variação da área do círculo em relação ao tempo, ou seja, dA/dt.

Temos que dR/dt = 1 cm/s e precisamos achar dA/dt. É essencial compreender que nessa situação A e R são variáveis dependentes,

Fonte: A autora (2015).

Figura 4.2 | Representação gráfica da onda circular em crescimento

U4

182 Otimização da derivada

tendo t como variável independente subjacente. Assim, é natural introduzir as taxas de variação de A e R, derivando a área do círculo com relação a t. Como A é dependente de t e R também é dependente de t, trata-se de uma função composta, certo? Logo, a regra de derivação a ser utilizada é a Regra da Cadeia, afinal se a função é composta y = f(g(t)), sendo z=g(t) e y = f(z) e a derivada pela regra da cadeia é

Então,

logo, substituindo os valores em

tem-se:

como Z= R então

que é a derivada. Logo, substituindo pelos dados:

Então, para o problema estudado quando o raio do círculo é 3 cm, a cada segundo que passa a área do círculo cresce 6π (ou 9,4) centímetros quadrados.

U4

183Otimização da derivada

Mas, e se o raio for 10 cm, qual a mudança?

Observando o crescimento da onda circular é intuitivo verificar que quanto menor o círculo (e o raio), menor a área; se o círculo for maior, a taxa de crescimento da área deverá ser maior. Será que é isso que ocorre? Para conferir, basta substituir o novo valor do raio e a taxa terá um valor de 31,4 cm2/s. Isso porque foi mantida a taxa de crescimento do raio em relação ao tempo. Agora, se o raio for maior e a taxa de crescimento do raio em relação ao tempo diminuir, o que é mais razoável de ocorrer, então a taxa de variação da área do círculo crescerá de forma mais lenta. Por exemplo, considere o mesmo raio de 5 cm a uma taxa de variação do raio em relação ao tempo de 0,5 cm/s. A taxa de variação da área será 31,4/2 = 15,7 cm2/s.

Reflita

Nesse tema estudamos sobre as derivadas de funções implícitas e percebemos que essas derivadas e funções estão relacionadas com as taxas relacionadas. Veja mais sobre o assunto em: <http://www.im.ufrj.br/~waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo_14.pdf>. Acesso em: 27 jul. 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta y sen 2x =

x cos 2y tangente à curva no ponto

U4

184 Otimização da derivada

Sem medo de errar

Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada ao João? Vamos relembrar!

Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80 km/h. O policial deve ou não multar o motorista?

As distâncias z do policial ao automóvel e y do automóvel em relação ao ponto da rodovia mais próximo da árvore variam com o tempo. O radar marca a velocidade do automóvel em relação ao policial, isto é, dz/ dt quando y = 16 m. Para saber se o motorista deve ou não ser multado, precisamos determinar dy/ dt, isto é, a velocidade desenvolvida pelo automóvel no trecho reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone). Pela geometria do problema, usando o teorema de Pitágoras, sabemos que as distâncias x, y e z estão relacionadas pela equação z2 = 122 + y2.

A partir desta equação, o processo de derivação implícita nos permite encontrar a relação entre a taxa de variação de z e a taxa de variação de y e então resolver o problema proposto. Este problema é um exemplo típico de uma das aplicações elementares do Cálculo: a solução de problemas de taxas relacionadas. Derivando implicitamente a equação z2 = 122 + y2 obtemos:

Quando y = 16 m = 0, 016 km, a leitura do radar nos diz que dz/dt = 70 km/h, e, usando outra vez o teorema de Pitágoras, podemos deduzir que, neste momento, z = 20 m = 0, 02 km. Usando estes dados, a relação acima nos permite concluir que, quando o automóvel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada é de >

assim temos:

U4

185Otimização da derivada

70.0,02/ 0, 016 = 87,5 - que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas.

Balão

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagemAplicar o estudo da derivada implícita e taxa de variação na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Derivada implícita e taxa de variação.

4. Descrição da SITUAÇÃO-PROBLEMA

[Adaptado de Simmons (1987, pág. 182) - Quando o ar é bombeado para dentro de um balão, tanto o volume quanto o raio do balão crescem, e suas taxas de crescimento estão relacionadas. Mas é muito mais fácil medir diretamente a taxa de crescimento do volume do que a do raio. Portanto, considere que um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de 8 cm3/s – ver Figura 4.3. Calcule com que velocidade o raio R do balão cresce quando R = 2 cm.

5. Resolução da SITUAÇÃO-PROBLEMA

Dados: taxa de variação do volume do balão em relação ao tempo dV/dt = 8 cm3/s.

O que é solicitado: taxa de variação do raio em relação ao tempo quando o raio assume os valores de 2 e 4 cm.

Para o volume do balão esférico temos V= (4/3) πR3, percebe-se que V e R são dependentes de t, indicando uma função composta. Logo, a regra de derivação a ser utilizada é a Regra da Cadeia, afinal, se a função é composta y = f(g(t)), sendo z=g(t) e y

= f(z) e a derivada pela regra da cadeia é

Fonte: Simmons (1987, p. 183).

Figura 4.3 - Representação gráfica do balão circular

(continua)

U4

186 Otimização da derivada

Então,

logo, substituindo os valores em

tem-se , como Z=R então

que é a derivada. O problema busca a variação

do raio em relação ao tempo , logo, substituindo

pelos dados:

O volume do balão cresce a uma taxa constante, o raio aumentará cada vez mais devagar na medida em que o volume for maior.

Faça você mesmo

Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3 m da parede?

1. Calcule a derivada em relação a x da função xy =1. Primeiro utilize seu conhecimento prévio de derivadas e isole a variável dependente y e efetue o cálculo. A seguir, use a derivação implícita para encontrar a derivada da função como ela se encontra:

2. Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F), e assinale a alternativa que corresponde à sequência correta:

Faça valer a pena!

U4

187Otimização da derivada

I – Para resolver um problema de taxas relacionadas, o procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo.

II – A Regra da Cadeia é a técnica de derivação usada quando uma função é composta y = f(g(t)), sendo z=g(t) e y = f(z) e fórmula é

III – As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com relação à outra, mas não se aplicam às derivadas.

Alternativas:

a) V, F, V

b) F, F, V

c) F, V, F

d) V, V, F

e) F, V, V

3. Um tanque cilíndrico de 2 m de raio recebe óleo a uma taxa de 3 m3/min. A que taxa o óleo sobe no tanque?

a) π

b) 3/4π

c) 4/3π

d) 3π/5

e) 5π/4

4. A equação da tangente ao círculo x2 + y2= 25 no ponto (3,4) é:

a) 3x + 4y = 25

b) 4x + 3y = 5

c) 4x + 3y = 25

d) -3x + 4y = -25

e) 3x – 4y = 25

U4

188 Otimização da derivada

5. Encontre y´ se sen (x + y) = y2cos x:

a) 0,543 rad/s

b) 0,128 rad/s

c) 0,434 rad/s

d) 1,234 rad/s

e) 0,234 rad/s

7. O carro A está se movimentando para o oeste a 90 km/h e o carro B está se movimentando para o norte a 100 km/h. Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxas os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da interseção?

a) 150 km/h

b) 180 km/h

c) 134 km/h

d) 175 km/h

e) 100 km/h

Fonte: Stewart (2008, p. 258).

Figura 4.4 | Esboço da figura que representa a situação-problema

6. Use seu conhecimento prévio a respeito de funções trigonométricas para resolver o problema proposto por Stewart (2011) que também considera a questão de taxas relacionadas. Suponha um homem andando ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 4 m/s. Um holofote localizado no chão a 20 m do caminho focaliza o homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 15 m do ponto do caminho mais próximo da luz?

U4

189Otimização da derivada

Seção 4.2

Máximos e mínimos

Nas seções anteriores aprendemos que a interpretação geométrica da derivada de uma função corresponde ao coeficiente angular (ou inclinação) da reta tangente à curva em um ponto.

Assim, é possível usar derivadas para esboçar o gráfico de uma função. Nesta seção iremos aprender que por meio da derivada é possível determinar os pontos em que uma reta tangente é horizontal (quando a derivada é zero) e os intervalos nos quais a função está crescendo ou decrescendo. Além de analisar e calcular pontos máximos e mínimos de uma função.

Aproveite e bons estudos!

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante a missão, do lançamento em t=0 até a ejeção do foguete auxiliar em t=126s, é dado por:

v(t)= 0,0003968 t3 – 0,02752 t2+ 7,196t – 0,9397

(em metros/segundo). Usando este modelo, João deverá estimar os valores máximos e mínimos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. E agora, como João (você) poderá resolver este problema?

Diálogo aberto

U4

190 Otimização da derivada

Monotonicidade de Funções

Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o comportamento de uma função em um intervalo, à medida que seu gráfico é percorrido da esquerda para a direita.

Por exemplo, a função cujo gráfico está na Figura 4.6 pode ser descrita como crescente no intervalo (-∞, 0], decrescente no intervalo [0, 2], novamente crescente no intervalo [2, 4] e constante no intervalo [4, +∞) (ANTON, 2007, p. 267).

Não pode faltar

Fonte: Disponível em: <http://portrazdamidiainternacional.blogspot.com.br/2015/05/imagens-capturadas-pelo-telescopio.html>. Acesso em: 26 ago. 2015.

Figura 4.5 | Telescópio espacial Hubble

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conhecer e calcular pontos críticos e pontos de máximos e mínimos.

Reflita

Fonte: Adaptado de Anton (2007, p. 267).

Figura 4.6 | Função com trechos crescente, decrescente e constante

U4

191Otimização da derivada

Assimile

Quando a função é crescente, decrescente e constante e sua representação matemática. Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos do intervalo:

(a) f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x

2) para x

1 < x

2.

(b) f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x

2) para x

1 < x

(c) f é constante no intervalo se f(x1) = f(x

2) para todos os pontos x

1 e x

2

Fonte: Anton (2007, p. 268).

Figura 4.7 | Função com trechos crescente, decrescente e constante

Verifique na Figura 4.7 as retas tangentes de inclinações positiva, negativa e nula. Essa consideração sugere que uma função diferenciável f é crescente em qualquer intervalo no qual cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação positiva, decrescente em qualquer intervalo em que cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação negativa e constante

Reflita

U4

192 Otimização da derivada

em qualquer intervalo no qual cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação zero.

A partir dessa importante consideração, verifica-se que para esboçar o gráfico de uma função é importante conhecer os intervalos em que ela é crescente, decrescente e constante (quando for o caso). O sinal da derivada fornece essa informação, logo, reescrevendo a inclinação da reta tangente (Figura 4.7 em termos de derivada tem-se: uma função f é crescente nos intervalos em que f' > 0, é decrescente nos intervalos em que f' < 0 e f é constante quando f'(x) = 0. Isto é geometricamente evidente se for lembrado que uma reta aponta para cima (e à direita) se seu coeficiente angular for positivo; para baixo (e à direita) se seu coeficiente angular for negativo, e, é horizontal, paralela ao eixo x, quando seu coeficiente angular é zero. Esse é um teorema importante.

Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b).

• Se f'(x)>0 para todo valor de x em (a,b), então f é crescente em [a,b].

• Se f'(x)<0 para todo valor de x em (a,b), então f é decrescente em [a,b].

• Se f'(x)=0 para todo valor de x em (a,b), então f é constante em [a,b].

A Figura 4.8 apresenta todos os elementos em conjunto: a indicação quando a função é crescente e a derivada de um ponto desse intervalo, a indicação de intervalo em que a função é decrescente e a tangente a um ponto desse intervalo, e os pontos em que a tangente é zero, ou seja, a função está num ponto mínimo ou de máximo valor local.

Fonte: Extraído de Simmons (1987, p. 147).

Figura 4.8 | Representação gráfica de várias derivadas de uma função

U4

193Otimização da derivada

Mas o que é um ponto de máximo e mínimo local?

Uma curva lisa só pode se transformar de crescente em decrescente passando por um pico no qual o coeficiente angular da reta tangente é zero. Nesses pontos existe um valor máximo ou mínimo (relativos) da função. Esses pontos podem ser localizados quando são determinados (inicialmente) os pontos críticos da função, que são as soluções da equação f'(x) = 0; isto é, quando a tangente é horizontal. Ao resolver a equação f'(x)=0 suas raízes são descobertas. Observe a Figura 4.8, cujos pontos críticos são x

1, x

2, x

3 e os correspondentes valores críticos são os valores da

função nesses pontos, isto é f(x1), f(x

2) e f(x

3).

Quando f'(x) não existir, então x também será um ponto crítico. Lembre-se de que a derivada de uma função contínua não existirá se num ponto a função não tem uma tangente, como é o caso apresentado na Figura 4.9 quando x = 0.

Um fato relevante é saber que um valor crítico não é necessariamente um ponto de máximo ou de mínimo local (observe f(x

3) na Figura 4.8). No ponto crítico

x3 o gráfico não passa por um pico nem por uma depressão, mas simplesmente se achata momentaneamente entre dois intervalos, em cada um dos quais a derivada é positiva. Lembre-se de que estão sendo analisados os valores máximo ou mínimo locais (ou relativos), ou seja, valores considerados máximo ou mínimo quando comparados somente com pontos vizinhos sobre essa curva. Na Figura 4.8 f(x

1) é um máximo (local), embora existam outros pontos com cota maior

sobre a curva, à direita. Quando é procurado o máximo absoluto de uma função, deve-se comparar esses máximos locais determinando qual (se existir) é maior que qualquer outro valor assumido pela função.

Teste da derivada primeira para máximo e mínimo locais

Se f’ tem sinais diferentes dos dois lados de um ponto crítico p, em que f'(p) = 0, então o gráfico de f muda de comportamento em p e parece com um dos gráficos apresentados na Figura 4.10.

Fonte: Extraído de Anton (2007).

Figura 4.9 | Função linear por partes que não possui derivada em x=0

-2 -1 1 2

3

2

1x

y

U4

194 Otimização da derivada

Fonte: Extraído de Hughes-Hallet (2011).

Figura 4.10 | Mudanças de comportamento em um ponto crítico p: máximo e mínimo local

Teste da derivada primeira para máximo e mínimo locais

Suponha que p é um ponto crítico de uma função contínua f.

• Se f' muda de negativa para positiva em p, então f tem um mínimo local em p.

• Se f' muda de positiva para negativa em p, então f tem um máximo local em p.

Em resumo, pode-se encontrar o máximo e mínimo local de uma função seguindo os passos descritos a seguir.

1. Ache f′(x).

2. Ache os números críticos de f(x), isto é, os valores de x para os quais f′(x)= 0, ou para os quais f′(x) não existe.

3. Aplique o teste da derivada primeira.

Exemplificando

Dada f(x) = x3− 6x2+ 9x+ 1 ache os pontos de máximo e mínimo locais de f, aplicando o teste da derivada primeira. Determine os valores de x nos quais ocorrem esses pontos locais, bem como os intervalos nos quais f é crescente e aqueles em que f é decrescente. Faça um esboço do gráfico.

Solução:

A derivada primeira é f′(x)= 3x2 − 12x + 9 e f′(x) existe para todos os valores de x por se tratar de um polinômio. Portanto, resolvendo-se a equação f′(x) = 0, ou seja, 3x2 − 12x + 9 = 3(x − 3). (x − 1) = 0. Segue que x = 3 ou x = 1 são números críticos de f. Para determinar se f possui extremos relativos nesses números, aplica-se o teste da primeira derivada, conforme é mostrado na Figura 4.11.

U4

195Otimização da derivada

Observe na tabela apresentada na Figura 4.11 que, conhecendo as raízes da função, então é analisado o que ocorre com um ponto em x menor que uma das raízes (ou maior ou, ainda, entre elas) – isso para a f(x) e f’ (x). Logo na primeira linha, quando x<1, toma-se um valor de x menor que 1, por exemplo 0, e verifica-se o valor de f(0) = 1 e f’ (0) = 9, cuja análise está mostrada no quadro. O mesmo é feito para os valores das raízes (x = 1 e x = 3) e para valores de x nos demais intervalos entre as raízes.

Figura 4.11 | Verificação do crescimento da função nos intervalos entre os pontos críticos

Fonte: Extraído de Espírito Santo (2006).

Observe que na coluna de f(x) só há a indicação numérica quando x = 1 e x = 3, você saberia dizer por quê? Quando conhecemos o valor da variável independente (x) é possível calcular a variável dependente (y ou f(x)). Nos demais casos são feitas análises dos intervalos e não de pontos específicos. Como foi mostrado incialmente, para esses estudos toma-se um (ou mais) valor do intervalo para verificar o comportamento da função, mas não é possível determinar o valor que a função assume no intervalo, pois para isso seria necessário mostrar todos os pontos que estão no intervalo, o que não é necessário.

Reflita

Exemplificando

Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos relativos da função f(x)= x3 - 7x + 6.

Solução:

f´(x)= 3x2 – 7x + 6, fazendo f´(x) =0, obtemos x =

U4

196 Otimização da derivada

Portanto, os pontos críticos de f são

É fácil verificar se

tem-se f´(x) >0, logo f é crescente nos intervalos

Para tem-se f´(x) <0 logo f é decrescente em

Assim, pela derivada primeira temos: concluímos que f tem

um máximo relativo em e um mínimo relativo em

Faça você mesmo

Calcule os valores máximos e mínimos da função f(x)= x - 2 sen x,

0 ≤ x ≤ 2 .

U4

197Otimização da derivada

Veja mais sobre pontos críticos, máximos e mínimos em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em:

29 jul. 2015.

Pesquise mais

Sem medo de errar

Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada ao João? Vamos relembrar!

O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante a missão, do lançamento em t=0 até a ejeção do foguete auxiliar em t=126s, é dado por:

v(t)= 0,0003968 t3 – 0,02752 t2+ 7,196t- 0,9397

(em metros/segundo). Usando este modelo, João deverá estimar os valores máximos e mínimos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. E agora, como João (você) poderá resolver este problema?

Solução:

São pedidos os valores extremos não da função de velocidade dada, mas da função de aceleração. Assim, precisamos primeiro derivar para encontrar a aceleração:

a(t)= v´(t)= (0,0003968t3- 0,02752t2 + 7,196t – 0,9397)

=0,0011904t2- 0,05504t + 7,196

No intervalo 0 ≤ t ≤ 126 sua derivada é:

a’ (t)= 0,0023808 t- 0,05504 o número crítico ocorre quando a´(t)= 0

U4

198 Otimização da derivada

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas.

Estudo da monotonicidade da função

1. Competência de Fundamentos de Área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagemAplicar os conceitos de monotonicidade de função e ponto máximo e mínimo.

3. Conteúdos relacionados Monotonicidade de função e ponto máximo e mínimo.

4. Descrição da SPA partir do estudo de monotonicidade de funções, determine os intervalos em que a função f(x) = x3 - 9x2 - 48x + 52 é crescente e decrescente.

Calculando a(t) no número crítico e nas extremidades, temos:

a(0)= 7,196 a(t1)= 6,56 a(126)= 19,16

Assim, a aceleração máxima é cerca de 19,16 m/s2, e a aceleração mínima é cerca de 6,56 m/s2.

Atenção!

Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f.

O maior valor entre os números críticos e as extremidades de f no intervalo (a, b) é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Lembre-se

(continua)

U4

199Otimização da derivada

5. Resolução da SP

Solução: para determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente, calcula-se a sua derivada que é f’(x) = 3x2 - 18x – 48.Para encontrar onde f’ > 0 ou f’ < 0 é preciso encontrar onde f’ = 0, isto é, onde 3x2 - 18x – 48 = 0. Por meio da fatoração, obtém-se 3(x - 8)(x + 2) = 0, ou seja, x = -2 ou x = 8. Como a derivada da função é zero apenas em x = -2 e em x = 8, e como f’ é contínua, f’ não pode mudar de sinal em qualquer dos três intervalos x < - 2; - 2 < x < 8 e x > 8. Como saber o sinal de f’ em cada um desses intervalos? A maneira mais simples é escolher um ponto no intervalo e calcular f’ nesse ponto. Por exemplo, quando x = -3, a derivada é f’(-3) = 3.(-3)2-18.(-3)-48 = 33. Esse resultado (f’(x) > 0) indica que f’ é positiva quando x < -2, logo f é crescente no intervalo x < -2. Seguindo o mesmo raciocínio, tem-se que f’(0) = -48 e f’(10) = 72, indicando que f é decrescente entre x = - 2 e x = 8, e é crescente para x > 8.

Conforme explica Hughes-Hallet (2011, p. 140), temos que f(-2) = 104 e f(8) = -396. Portanto, no intervalo -2 < x < 8, a função decresce de um valor alto de 104 até o valor negativo de -396. Um outro ponto do gráfico é fácil de encontrar: o ponto em que o gráfico intersecta o eixo dos y, f(0) = 52. Com apenas esses três pontos, podemos obter um gráfico muito mais útil.

Lembre-se

Faça você mesmo

Esboce o gráfico do exercício acima escolhendo a janela para o gráfico como sendo -10 ≤ x ≤ 20 e -400 ≤ y ≤ 400, assim teremos informações melhores sobre o comportamento de f(x) apresentado na situação-problema acima.

U4

200 Otimização da derivada

O enunciado a seguir corresponde às questões 1 e 3:

O ponto crítico ou estacionário, em matemática, representa um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é igual a zero, e são considerados como ponto máximo ou mínimo relativo.

Assim, dada a função f(x)= x³ -3x²- 9x + 7 faça o que se pede:

1. Sobre a monotonicidade da função f (x) é correto afirmar que:

a) f’(-2) = 15 e 15 > 0, portanto a função neste ponto será decrescente.

b) f’(0) = 3.0² - 6.0 – 9=> -9 e -9 < 0, portanto a função neste ponto será crescente.

c) f’(4) = 15 e 15 > 0, portanto neste ponto a função será decrescente.

d) f’(0) a função é constante.

e) f’(1) a função é decrescente.

2. Com relação ao ponto máximo e mínimo da função, marque a alternativa correta:

a) Quando x= -1 temos um ponto de mínimo.

b) Quando x = 3 temos o ponto de máximo.

c) (-1,12) é um ponto de mínimo da função.

d) (3,12) é um ponto de mínimo da função.

e) Os pontos críticos da função são -1 e -3.

3. Esboce o gráfico da função f(x)= x³ -3x²- 9x + 7:

4. As regras de derivação facilitam a resolução de problemas e auxiliam na análise e interpretação de funções, e em particular favorecem a determinação de pontos máximos e mínimos. Muitas situações envolvem mínimos e máximos de áreas que auxiliam, muitas vezes, na decisão de

Faça valer a pena!

U4

201Otimização da derivada

otimização para embalagens. Assim, os pontos críticos da função f(x) = x³ - 3x + 2 são:

a) -1 e 1

b) 0 e 2

c) 1 e 1

d) 4 e 3

e) -1 e 0

5. Dado o gráfico da função f(x) = x3- 3x2 + 1. Por meio da derivada primeira, verifique o intervalo em que a função é crescente e verifique a veracidade pelo gráfico. Assinale a alternativa que apresenta o(s) intervalo(s) em que a função é crescente:

a) [-1, 0] e [1, 3].

b) [-∞, 0] e [0, 2].

c) [-∞, 0] e [2, ∞].

d) (-1, 0] e [1, 3).

e) (-∞, 0] e [2, ∞).

Fonte: Extraído de Anton (2007, p. 271).

Gráfico da função f(x) = x3- 3x2 + 1.

U4

202 Otimização da derivada

6. Dada a função f(x) = x2 - 4x + 3 pode-se afirmar que:

a) f é decrescente em (-∞, 2]

b) f é crescente em (2, +∞)

c) f é constante (2, 0)

d) f é decrescente (2, 3)

e) f é crescente em (-∞, 2]

7. Usando a derivada, explique por que não existem máximos nem mínimos locais para x ≥ 0 para a função y= sen x + 2ex:

U4

203Otimização da derivada

Seção 4.3

Concavidade e pontos de inflexão

Na seção anterior vimos como a primeira derivada nos diz onde uma função é crescente e onde é decrescente, e se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. Nesta seção iremos ver como a segunda derivada nos fornece informações sobre o modo como o gráfico de uma função derivável muda de direção. Com esse conhecimento sobre a primeira e segunda derivada, podemos esboçar um gráfico preciso de uma função. Assim, identificaremos as principais características das funções, o que é de grande importância para a matemática e para suas aplicações em ciência e engenharia, especialmente em análise gráfica e interpretação de dados. Vamos lá! Bons estudos!

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t3 – 10,5 t2 + 30 t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?

E agora, como João poderá resolver este problema?

Diálogo aberto

Você pode encontrar mais sobre o estudo de ponto de inflexão e esboço de gráfico em <http://www.ime.uerj.br/~calculo/Ecomat/cap7.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.

Dica

U4

204 Otimização da derivada

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito de derivada, ponto de inflexão e concavidade.

Reflita

Concavidade e pontos de inflexão

Conhecer a concavidade de uma função pode ser útil para testar se um ponto crítico é um máximo ou um mínimo local. Suponha que p é um ponto crítico de f com f’(p) = 0, ou seja, o gráfico de f tem uma tangente horizontal em p. Se o gráfico é côncavo (concavidade aberta para cima) em p, então f tem um mínimo local em p. Similarmente, se o gráfico é côncavo (concavidade aberta para baixo), então f tem um máximo local.

Estudamos pontos onde a inclinação muda de sinal, o que nos levou aos pontos críticos. Vamos considerar agora pontos em que a concavidade muda.

Segundo Hughes-Hallet (2011, p. 1443), um ponto no qual o gráfico de uma função muda de concavidade é chamado de um ponto de inflexão da função. As palavras ponto de inflexão de f podem se referir tanto a um ponto no domínio de f quanto a um ponto no gráfico de f.

Não pode faltar

Assimile

Teste da segunda derivada para concavidade

Seja y= f(x) uma função duas vezes derivável em um intervalo I

1. Se f” > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I.

2. Se f” < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.

U4

205Otimização da derivada

Dessa forma, uma função f com derivada contínua tem um ponto de inflexão em p se uma das condições a seguir for válida:

• f' tem um mínimo local ou um máximo local em p.

• f’’ muda de sinal em p.

Assimile

Assimile

Como a concavidade muda em um ponto de inflexão, o sinal de f’’ muda nesse ponto. A derivada segunda é positiva de um lado do ponto de inflexão e negativa do outro, de forma que f’’ é nula ou não está definida no ponto de inflexão.

Teste da segunda derivada para extremos locais

Suponha que f” seja contínua em um intervalo aberto que contenha x=c

1. Se f´(c) = 0 e f” (c) < 0, então f tem um máximo local em x = c.

2. Se f´(c) = 0 e f” (c) > 0, então f tem um mínimo local em x = c.

3. Se f´(c) = 0 e f” (c) = 0, então o teste falha. A função f pode ter máximo local, ou mínimo local ou nenhum dos dois.

Mas, atenção! Nem todo ponto x em que f'(x) = 0 (ou f' não está definida) é um ponto de inflexão (assim como nem todo ponto em que f' = 0 é um ponto de máximo ou mínimo local).

Se p é um ponto de inflexão, então f'(p) = 0 (ou f'(p) não está definida) e, portanto, p é um ponto crítico da função derivada f’. Se f’ é contínua, esse ponto crítico é um máximo local ou um mínimo local de f’’, já que f' muda de sinal em p – ver Figura 4.12 - (HUGHES-HALLET, 2011, p. 143).

Reflita

U4

206 Otimização da derivada

Figura 4.12 | Mudança de concavidade em p: pontos de inflexão

Fonte: Extraído de Hughes-Hallet (2011).

Exemplificando

Exemplificando

Classifique os pontos críticos de f(x) = x3 - 9x2 - 48x + 52, dizendo se é máximo ou mínimo local.

Solução: A derivada primeira da função é dada por f'(x) = 3x2 - 18x – 48 e os pontos críticos de f são x = -2 e x = 8. A derivada segunda é f’’(x) = 6x – 18. Logo, substituindo os pontos críticos na derivada segunda tem-se:

f’’(8) = 30 > 0, que pelo teste da derivada segunda indica que f tem um mínimo local em x = 8. Seguindo o mesmo processo para o ponto crítico x = -2, tem-se: f’’(-2) = -30 < 0, que pelo teste da derivada segunda indica que f tem um máximo local em x = -2.

A Figura 4.13 sugere que a função f{x) = xe-x tem um ponto de inflexão, mas sua localização exata não é evidente a partir dessa figura. Use as derivadas primeira e segunda de f para determinar os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima (convexa) e côncava para baixo. Localize todos os pontos de inflexão.

U4

207Otimização da derivada

Solução:

Calculando as derivadas primeira e segunda de f, obtemos

f'(x) = (1 - x)e-x

f’’ (x) = (x - 2)e-x

Lembrando que e-x é positiva para todo x, a análise de sinais dessas derivadas é facilmente determinada:

A segunda tabela mostra que há um ponto de inflexão em x = 2, pois f muda de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto. Todas essas conclusões são consistentes com o gráfico de f.

Figura 4.13 | Função linear por partes que não possui derivada em x=0

Fonte: Extraído de Anton (2007).

Intervalo (1-x)(e-x) f´(x) Conclusão

x < 1 (+)(+) + f é crescente em (-∞,1]

x > 1 (-)(+) - f é decrescente em [1,+∞)

Intervalo (x-2)(e-x) f´´(x) Conclusão

x < 2 (-)(+) - f é côncava para baixo em (-∞,2]

x > 2 (+)(+) + f é côncava para cima em (2,+∞)

Assíntotas horizontais e verticais

Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas.

U4

208 Otimização da derivada

Figura 4.14 | Assíntotas horizontais e verticais

Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.

A figura acima apresenta assíntotas oblíqua, horizontais e verticais. Nesta seção iremos estudar apenas as assíntotas horizontais e verticais.

A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

Exemplificando

A reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico de

De fato,

Figura 4.15 | Gráfico de

Fonte: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.

U4

209Otimização da derivada

A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

Esboço do gráfico de uma função:

Para esboçar o gráfico de y= f(x) usaremos a seguinte estratégia:

1. Identificar o domínio de f e qualquer simetria que a curva possa ter;

2. Determinar as derivadas y´e y”;

3. Determinar os pontos críticos de f, se houverem, e identificar o comportamento da função em cada um deles;

4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;

5. Determine os pontos de inflexão, caso haja, e a concavidade da curva;

Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.

Exemplificando

As retas y= 1 e y= -1 são assíntotas horizontais do gráfico de

, pois

Figura 4.16 | Gráfico de

U4

210 Otimização da derivada

6. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;

7. Esboçar o gráfico;

Exemplificando

Esboçar o gráfico da função f(x)= x2 + x - 2.

• D(f)=R

• Interseção do eixo y: f(0) = -2, interseção do eixo x: x2+ x- 2=0 → x= -2 ou x= 1

• f´(x)= 2x +1 resolvendo 2x+1=0 temos x= -1/2 como ponto crítico.

• Fazendo f´(x) > 0, obtemos que 2x +1 > 0 quando x > - ½ . Portanto, f é decrescente para x< -1/2.

• f” (x)=2 > 0. Logo, concavidade do gráfico está sempre voltada para cima e assim x= -1/2 é ponto mínimo de f. f(-1/2) = -9/4, que é o valor mínimo assumido pela função.

• Não existem assíntotas ( e D(f)= R)

Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.

U4

211Otimização da derivada

Veja mais sobre derivada e suas aplicações em: <http://www.mat.ufmg.br/~emerson/Apostila-sacha.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Agora tente você esboçar o gráfico da função f(x)= x4- 4x3+10.

Sem medo de errar

Após o estudo da seção, vamos resolver a situação-problema apresentada ao João? Vamos relembrar!

Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t3 – 10,5 t2 + 30 t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?

Solução:

Devemos determinar o máximo e o mínimo absoluto da função v(t) no intervalo 1 ≤ t ≤ 6.

Assim, vamos calcular a primeira derivada e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

v’(t) = 3 t2 – 21 t + 30 = 0 ⇔ t = 2 ou t = 5.

Estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo (1,6). Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda derivada: v’’(t) = 6 t – 21

• v’’(2) = – 9 < 0 ⇒ t = 2 é ponto de máximo local de v;

• v’’(5) = 9 > 0 ⇒ t = 5 é ponto de mínimo local de v.

U4

212 Otimização da derivada

Atenção!

Estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo (1,6). Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda derivada: v’’(t) = 6 t – 21.

Para determinar os pontos de máximo e mínimo de v em [1,6], precisamos comparar os valores que v assume nos pontos críticos, com os respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como v é uma função contínua definida em um intervalo fechado, pode assumir seus valores máximo e mínimo ou nos pontos críticos, ou nos extremos do intervalo.

Lembre-se

Temos: v (1) = 40,5; v(2) = 46; v(5) = 32,5; v(6) = 38. Assim, concluímos que t = 2 é ponto de máximo e t = 5 é ponto de mínimo de v no intervalo de interesse [1,6]. Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14h, quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 46 km/h, e o trânsito é mais lento às 17h, quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 32,5 km/h.

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colega.

Máximos e Mínimos

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos de derivada segunda em situações-problema.

3. Conteúdos relacionados Derivada segunda, máximo e mínimo.

4. Descrição da SPEncontre os máximos e mínimos da função f(x)= 18x + 3x2 – 4x3 relativos de f aplicando o teste da derivada segunda e esboce o gráfico.

(continua)

U4

213Otimização da derivada

5. Resolução da SP

Temos f´(x)= 18+ 6x – 12x2 e f´´(x)= 6 – 24x. Fazendo f´(x)= 0, obtemos 18+ 6x -12x2=0. Resolvendo esta equação obtemos os pontos críticos de f, que são x

1= 3/2 e x

2= -1.

Como f´´(3/2) = -30 < 0, segue que x1= 3/2 é um ponto máximo

relativo de f. Seu valor máximo relativo em x1 é dado por f(3/2) =

20,25.Assim, como f´´(-1) = 30 > 0, segue que x

2= -1 é um ponto de

mínimo relativo de f.Seu valor mínimo relativo em x2 é dado por f(-1) = -11.

1.Se f´(c) = 0 e f” (c) < 0, então f tem um máximo local em x= c.

2. Se f´(c) =0 e f” (c) > 0, então f tem um mínimo local em x= c.

3. Se f´(c) =0 e f” (c) = 0, então o teste falha. A função f pode ter máximo local, ou mínimo local ou nenhum dos dois.

Lembre-se

Faça você mesmo

Agora encontre os máximos e mínimos da função f(x)= 6x – 3x2+ ½ x3

relativos de f aplicando o teste da derivada segunda.

U4

214 Otimização da derivada

1. Dada a curva y= x4- 4x3 podemos afirmar que:

a) A derivada segunda da função é y” = 12x – 24.

b) Os pontos críticos são x = 0 e x = - 3.

c) O ponto (0,1) é um ponto de inflexão.

d) A função tem um máximo local em zero.

e) O ponto (2,-16) é um ponto de inflexão.

2. Uma partícula se desloca ao longo de uma reta horizontal (positiva à direita) de acordo com a função posição: s(t)= 2t3- 14t2+22t -5, t ≥ 0. Com relação à velocidade e aceleração da partícula podemos afirmar que:

a) A velocidade é v(t)= (t -1). (3t-11).

b) A aceleração é a(t)= 4. (t – 3).

c) Quando s(t) é crescente, a partícula se desloca para a esquerda.

d) Quando s(t) é decrescente, a partícula se desloca para a direita.

e) A primeira derivada (v=s´) é zero nos pontos críticos t= 1 e t= 11/3.

3. A figura abaixo exibe o gráfico da derivada primeira f´(x) de uma função f: [0, 9] → R, assim pode-se afirmar que:

a) A função f é crescente nos intervalos [2, 4] e [6, 9] e ela é decrescente nos intervalos [0, 2] e [4, 6].

b) Os extremos locais de f são 0 (mínimo local), 2 (máximo local), 4 (mínimo local), 6 (máximo local) e 9 (máximo local).

c) O gráfico de f é côncavo para baixo nos intervalos [1, 3], [5, 7] e [8, 9] e

Faça valer a pena!

U4

215Otimização da derivada

ele é côncavo para cima nos intervalos [0, 1], [3, 5] e [7, 8].

d) As abscissas dos pontos de inflexão do gráfico de f são 1 e 3, apenas.

Dada a função f(x) = x3 − 2x faça o que se pede nas questões abaixo:

4. Determine o domínio natural da função f e, caso existam, as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados:

5. Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos de f:

6. Determine os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente. Determine os pontos críticos de f e os pontos de máximo e mínimo locais de f, caso existam:

7. Determine, caso existem, os pontos onde f não é derivável. Determine os intervalos onde f é côncava para cima (convexa), os intervalos onde f é côncava para baixo e, caso existam, os pontos de inflexão dos gráficos de f. Esboce o gráfico da função:

U4

216 Otimização da derivada

U4

217Otimização da derivada

Seção 4.4

Otimização

Para resolver alguns problemas, precisamos encontrar o maior ou menor valor de uma determinada quantidade. Por exemplo, determinar: a menor quantidade de combustível possível; o nível de produção mais econômico de uma fábrica; o ponto da órbita de um cometa mais próximo da Terra; a velocidade mínima necessária para que um foguete escape da atração gravitacional da Terra. etc.

Esses e outros problemas são chamados de problemas de otimização.

Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode assumir em um dado intervalo. Estes, podem ser enunciados por escrito e podem ser resolvidos sempre que for possível equacionar o fenômeno em estudo, mediante fórmulas matemáticas.

Assim, veremos nesta seção como a derivada fornece um modo eficiente de se resolver muitos problemas de otimização.

Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos! Bons estudos!

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?

Diálogo aberto

U4

218 Otimização da derivada

Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf>. Acesso em: 18 ago. 2015.

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Saber resolver problemas de otimização, aplicando os conceitos de derivada, máximos e mínimos aprendidos nesta e nas seções anteriores.

Reflita

No cálculo de limites, muitas vezes nos deparamos com situações as quais chamamos formas indeterminadas ou, simplesmente, indeterminações. Estas são limites cujos resultados não podemos determinar imediatamente e que, em princípio, podem resultar em números reais quaisquer, como também podem não existir (caso esse que inclui os resultados + ∞ ou − ∞).

Temos como exemplo aqueles quocientes de funções que tendem a zero ou a ± ∞.

Veremos, a seguir, que a Regra de l’Hospital nos ajudará a resolver indeterminações que ocorrem com quocientes de funções bem gerais.

Regras de l’Hospital: Se f e g são diferenciáveis com e g´(x) ≠ 0, em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que

Não pode faltar

Ou que

Então:

U4

219Otimização da derivada

Assimile

A regra de l’Hospital:

• Diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas estejam satisfeitas. Deve-se verificar as condições relativas aos limites de f e g antes de usar a Regra de l’Hospital.

• É válida também para os limites laterais e para os limites no infinito ou no infinito negativo: isto é, “x → a” pode ser substituído por quaisquer dos símbolos a seguir: x → a+, x → a-, x → ∞+ ou x → ∞-

• Para o caso especial no qual f(a)=g(a)=0, f´ e g´ são contínuas, e g´(x) ≠0

(STEWART, 2013)

Se o limite do lado direito existir (ou for ∞ ou - ∞).

Exemplificando

Encontre o

Solução

Podemos aplicar a Regra de l’Hospital:

U4

220 Otimização da derivada

Veja mais sobre a regra de l´Hospital em: <http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/Introducao%20ao%20Calculo%20Diferencial.pdf>. Acesso em: 18 ago. 2015.

Dica

Otimização

Para resolver alguns problemas, precisamos encontrar o maior ou menor valor de uma determinada quantidade. Vamos agora compreender como a derivada fornece um modo eficiente de se resolver muitos problemas de otimização.

Máximos e Mínimos Globais

O maior ou menor valor de uma função f em um domínio especificado é chamado de máximo global ou mínimo global de f.

Os máximos e mínimos locais nos dizem onde a função é, localmente, maior ou menor.

Os máximos ou mínimos globais nos fornecem o valor onde a função é maior ou menor em um domínio dado.

Máximos e mínimos globais são chamados, algumas vezes, de valores extremos ou valores ótimos.

Lembre-se

Assimile

• f tem um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual a todos os valores de f.

• f tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual a todos os valores de f.

U4

221Otimização da derivada

Como podemos encontrar o máximo e o mínimo globais?

• Para encontrar o máximo e o mínimo globais de uma função contínua em um intervalo fechado: compare os valores da função em todos os pontos críticos do intervalo e nos extremos do intervalo.

• Para encontrar o máximo e o mínimo globais de uma função contínua e um intervalo aberto ou no conjunto de todos os números reais: encontre o valor da função em todos os pontos críticos e esboce um gráfico. Considere os valores da função quando x se aproxima dos extremos do intervalo ou quando x tende a ±∞.

Exemplificando

Encontre o máximo e o mínimo globais de f(x)= x3- 9x2 -48x + 52 no seguinte intervalo -5 ≤ x ≤ 12.

Os pontos críticos desta função são x= -2 e x= 8 usando f´(x)= 3x2 -18x -48= 3 (x+2) (x-8), calculando os extremos do intervalo temos:

f(-5) = (-5)3- 9(-5)2- 48(-5)+ 52= -58

f(-2)= 104

f(8)= -396

f(12)= -92

Comparando esses valores, podemos ver que o máximo global no intervalo [-5,12] é 104 e ocorre em x= - 2, enquanto o mínimo global em [-5,12] é -396 e ocorre em x=8.

Assimile

Problemas de Otimização

Para auxiliar na resolução de situações-problema de otimização pode-se observar os seguintes passos:

1. Compreender o problema: consiste em ler e entender o problema.

U4

222 Otimização da derivada

2. Fazer um diagrama: fazer um diagrama indicando as quantidades dadas e pedidas no diagrama.

3. Introduzindo uma notação – Atribua um símbolo para a quantidade que deve ser maximizada ou minimizada (por ora vamos chamá-lo de Q). Selecione também símbolos (a, b, c, ..., x, y) para outras quantidades desconhecidas e coloque esses símbolos no diagrama.

4. Expresse Q em termos de outros símbolos da etapa 3.

5. Se Q for expresso como uma função de mais de uma variável na etapa 4, use as informações dadas para encontrar relações (na forma de equações) entre essas variáveis. Use então essas equações para eliminar todas menos uma das variáveis para a expressão Q. Assim Q = f(x), por exemplo. Escreva o domínio dessa função.

6. Use os métodos para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de f.

(STEWART, 2013)

Exemplificando

Um pacote pode ser enviado pelo reembolso postal desde que a soma de seu comprimento mais o perímetro de sua base não exceda 2 m. Determine as dimensões do pacote de volume máximo que pode ser enviado, se a base é quadrada.

Solução: Sejam V - volume do pacote (m3);

a - lado da base (m);

c- comprimento (m).

Objetivo: Determinar as dimensões a e c que minimizam o volume do pacote. Sabemos que a soma de seu comprimento mais o perímetro de sua base (que é quadrada) não pode exceder 2 m, ou seja, c + 4a = 2, logo: c = 2 – 4a.

O volume do pacote é V = a2.c V = a2 (2 - 4a) = 2a2 - 4a3, com a∈ ]0,1/2[.

Determinando os pontos críticos:

V´(a)= 0 → - 4a (3a - 1) = 0 ⇔ a=0 ou a= 1/3.

U4

223Otimização da derivada

Como 0 ∉ (0,1/2), o único ponto crítico é em a= 1/3.

Aplicando o teste da segunda derivada: V” (a) = 4 – 24a ⇒ V” (1/3) < 0.

Portanto, a=1/3 maximiza o volume do pacote. Assim, segue que c= 2/3.

Exemplificando

Um fazendeiro tem 1.200m de cerca e quer cercar um campo retangular que está à margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que têm maior área?

Ao tentar os campos rasos e extensos ou profundos e estreitos obtemos áreas relativamente pequenas, devemos encontrar aquela que produza a maior área.

Assim, temos que maximizar a área A do retângulo. Sejam x e y a profundidade e a largura do retângulo (em metros). Então, expressamos A em termos de x e y:

A= xy

Queremos expressar A como uma função de apenas uma variável: assim, eliminamos y expressando-o em termos de x. Sabemos que o comprimento total da cerca é de 1.200m. Logo,

2x+ y = 1.200

Dessa equação, temos y= 1.200 - 2x, resultando assim:

A= x (1200 - 2x) = 1.200x – 2x2

Observe que x≥ 0 e x≤ 600 (de outra forma resultaria A < 0). Logo, a função que devemos maximizar é A(x) = 1.200x- 2x2, 0 ≤ x ≤ 600.

A derivada é A´(x) = 1.200- 4x; logo, para encontrarmos os números críticos, resolve-se a equação: 1.200 – 4x= 0, que nos fornece x=300.

O valor máximo de A deve ocorrer ou nesse número crítico ou em uma extremidade do intervalo. Desse modo,

A(0) = 0, A(300) = 180.000 e A(600) = 0, logo o valor máximo é 180.000.

U4

224 Otimização da derivada

Observa-se que A” (x)= - 4 < 0 para todo x; logo, A é sempre côncava para baixo, e o máximo local em x= 300 deve ser um máximo absoluto. Assim, o campo retangular deve ter 300 m de profundidade e 600 m de extensão.

Reflita

Veja o material sobre aplicações de derivadas disponibilizado pela Universidade Federal de São Carlos. Disponível em <http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1_aula14.pdf>. Acesso em: 19 ago. 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo.

Sem medo de errar

Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada ao João? Vamos relembrar!

Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?

Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf>. Acesso em: 19 ago. 2015.

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225Otimização da derivada

Devemos achar o valor de forma a minimizar o custo de instalação do cabo. Logo, precisamos construir a função custo, baseada na figura apresentada no problema. Assim, a função é:

Como x e 3.000 – x não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do problema) é o intervalo (0, 3.000), onde devemos encontrar o mínimo absoluto de C. Então devemos derivar C para encontrar seus pontos críticos:

Como x deve ser positivo e 1.200 [0, 3.000], segue que é o único ponto crítico de C, no domínio de interesse. Vamos verificar se esse ponto é de mínimo relativo?

0 para todo x. Logo o ponto crítico x=1.200 é o ponto de

mínimo relativo de C.

Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos:

, assim temos

Logo

Atenção!

Para sabermos se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de C neste ponto com os valores nos extremos do domínio.

Assim, temos:

C(0) = 16.500 C(1.200) = 14.700 e C(3.000) = 15.660.

O custo mínimo para a instalação do cabo será de R$ 14.700 e, para obtê-lo deverá percorrer 1.800 metros por terra, a partir da fábrica, e depois ir por água até a usina.

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226 Otimização da derivada

• f tem um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual a todos os valores de f.

• f tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual a todos os valores de f.

Lembre-se

Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas.

Maximização da Receita

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagemAplicar o conceito de máximo e mínimo global em situações-problema.

3. Conteúdos relacionados Conceito de máximo e mínimo global.

4. Descrição da SP

Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray por semana a $ 350 cada. Uma pesquisa de mercado indicou que para cada $ 10 de desconto oferecido aos compradores, o número de unidades vendidas aumenta 20 por semana. Encontre a função demanda e a função receita. Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita?

5. Resolução da SP

Se x for o número de reprodutores de Blu-ray vendidos por semana, então o aumento semanal nas vendas será x- 200. Para cada aumento de 20 unidades vendidas, o preço cai em $ 10. Portanto, para cada unidade adicional vendida, o decréscimo no preço será 1/20 x 10 e a função demanda será P(x)= 350 – 10/20 (x- 200)= 450 – 1/2x. A função receita é R(x)= xp(x)= 450x – 1/2x2

Como R´(x)= 450 –x, vemos que R´(x)=0 quando x=450. Este valor de x dá um máximo absoluto pelo teste da primeira derivada (ou simplesmente observando que o gráfico de R é uma parábola que abre para baixo). O preço correspondente ép(450)= 450 – ½(450) = 225 e o desconto é 350 – 225= 125. Portanto, para maximizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de $ 125.

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227Otimização da derivada

Faça você mesmo

A soma de dois números positivos é 16. Qual é o menor valor possível para a soma de seus quadrados?

1. O valor do é:

a) 0

b) ∞

c) 1

d) lnx

e) 1/x

2. Quando uma pessoa tosse, o raio da traqueia diminui, afetando a velocidade do ar na traqueia. Se r0 é o raio normal da traqueia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traqueia é dada por uma função da forma v(r) = a r2 (r0 – r), onde a é uma constante positiva. Qual o raio para o qual a velocidade do ar é máxima:

a) r = 0

b) r = r0

c) r = 2 r0

d) r = r0/2

e) r = 2/3r0

3. Um jardineiro deseja construir um jardim retangular usando a lateral da sua casa e utilizando 40 metros de cerca. Determine a maior dimensão deste jardim:

Faça valer a pena!

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228 Otimização da derivada

a) 20

b) 15

c) 5

d) 25

e) 7

4. Um avicultor deseja construir um cercado retangular com 600 m², sendo que:

• A três laterais serão cercadas utilizando madeira a um custo de R$ 14,00 o m²

• A quarta lateral será construída utilizando bloco de cimento com o custo de R$ 28,00 o m²

Determine as dimensões que minimizarão o custo deste cercado.

a) 20 e 30

b) 15 e 10

c) 30 e 40

d) 50 e 60

e) 35 e 65

5. As dimensões de uma embalagem retangular que possui a base quadrada e volume igual a 8.000 cm³ que possam ser feitas com o mínimo de material possível são:

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229Otimização da derivada

a) 30, 30, 30

b) 10, 10, 10

c) 20, 20, 20

d) 40, 40, 40

e) 10, 20, 40

6. Construa o gráfico da função e da sua derivada. Estime a altura e a taxa de crescimento quando uma criança atinge a idade de 2 anos:

7. Quando a taxa de crescimento é máxima e mínima? Quanto valem estas taxas?

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230 Otimização da derivada

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231Otimização da derivada

Referências

REFERÊNCIAS FINAIS DA UNIDADE

ANTON, Howard. Cálculo – volume I. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2009. PLT 178.

REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Bookman, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4DgDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HUGHES-HALLET, Deborah; MCCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew M. et al. Cálculo: a uma e a várias variáveis. v. 1, 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. v. 2, 3. ed. Rio de Janeiro: PUC-RIO, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

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232 Otimização da derivada

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

STEWART, J. Cálculo I. v. 1, 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.