CÁLCULO FINANCEIRO - FintextVAL, TIR e Payback de um Projeto de Investimento _____ 317 6.7. VAL e...

CÁLCULO FINANCEIRO

APLICADO ÀS CIÊNCIAS

EMPRESARIAIS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

VOLUME II

JOÃO CALDEIRA

CARLA MARTINHO

EDIÇÕES FINTEXT, LDA

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, esta

obra, sendo as transgressões passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.

FICHA TÉCNICA:

Título: Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais – Exercícios Resolvidos – Volume II

Autores: João Caldeira, Carla Martinho

Capa: Renato Pires

©Edições Fintext, Lda

1ª Edição

Lisboa, 2019

Impressão e Acabamentos: Europress – Editores e Distribuidores de Publicações, Lda

Depósito Legal: […]

ISBN: 978-989-54394-1-6

EDIÇÕES FINTEXT, LDA

Tel.: 968 257 312

e-mail: [email protected]

www.fintext.pt

Website desenvolvido por Simdea® – https://simdea.pt/

Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais v

Índice

INTRODUÇÃO _______________________________________________________ 1

I – CONCEITOS BÁSICOS FUNDAMENTAIS _________________________________ 3

Breve Enquadramento Teórico ___________________________________________________ 5

II – REGIME DE JURO SIMPLES __________________________________________ 7

Breve Enquadramento Teórico ___________________________________________________ 9

2.1. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Simples – Desconto por Fora __________ 12



2.4. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Simples – Desconto por Dentro; Desconto

Bancário de Letras _______________________________________________________ 18





2.7. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Simples – Desconto por Dentro e Desconto

por Fora; Desconto Bancário de Letras ______________________________________ 27

2.8. Desconto Bancário de Letras ______________________________________________ 30



2.11. Desconto Bancário de Letras; Financiamento Titulado por Livrança _______________ 38





2.16. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Simples; Financiamento Titulado por

Livrança _______________________________________________________________ 52

2.17. Financiamento Titulado por Livrança ________________________________________ 55

III – REGIME DE JURO COMPOSTO ______________________________________ 59

Breve Enquadramento Teórico __________________________________________________ 61

vi Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais

3.1. Valor Acumulado em Regime de Juro Composto ______________________________ 63

3.2. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Composto _________________________ 64





3.7. Aplicação Financeira de Capitalização Automática (taxa variável)_________________ 77




3.11. Aplicações Financeiras: Regime de Juro Simples, Regime de Juro Composto,

Capitalização Automática (taxa variável)_____________________________________ 82

3.12. Aplicações Financeiras: Regime de Juro Simples, Regime de Juro Composto,

Capitalização Automática (taxa variável)_____________________________________ 84

3.13. Aplicações Financeiras: Regime de Juro Composto, Capitalização Automática (taxa

variável) _______________________________________________________________ 86

3.14. Aplicação Financeira de Capitalização Automática (taxa variável); Financiamento

Titulado por Livrança ____________________________________________________ 89

IV – RENDAS ________________________________________________________ 91

Breve Enquadramento Teórico __________________________________________________ 93

4.1. Renda Imediata, Antecipada, Temporária de Termos Constantes _________________ 97

4.2. Renda Imediata, Postecipada, Temporária de Termos Constantes; Renda Imediata,

Antecipada, Perpétua de Termos Constantes ________________________________ 100

4.3. Renda Imediata, Antecipada, Temporária de Termos Variáveis em Progressão

Geométrica ___________________________________________________________ 103

4.4. Renda Imediata, Postecipada, Temporária de Termos Constantes; Renda Imediata,

Postecipada, Temporária de Termos Variáveis em Progressão Geométrica; Renda

Imediata, Antecipada, Perpétua de Termos Variáveis em Progressão Geométrica __ 107

4.5. Renda Imediata, Postecipada, Temporária de Termos Constantes; Renda Diferida,

Temporária de Termos Constantes; Renda Imediata, Antecipada, Temporária de

Termos Variáveis em Progressão Geométrica ________________________________ 111


Geométrica; Renda Diferida, Temporária de Termos Constantes ________________ 115

Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais vii


Aritmética; Renda Diferida, Temporária de Termos Constantes _________________ 122


Geométrica ___________________________________________________________ 128


Aritmética; Renda Diferida, Temporária de Termos Variáveis em Progressão

Geométrica ___________________________________________________________ 130

4.10. Renda Diferida, Temporária de Termos Constantes; Renda Diferida Temporária de

Termos Variáveis em Progressão Aritmética _________________________________ 137

4.11. Renda Diferida, Postecipada, Temporária de Termos Variáveis em Progressão

Geométrica ___________________________________________________________ 140


Geométrica ___________________________________________________________ 145


Aritmética ____________________________________________________________ 149

4.14. Renda Diferida, Temporária de Termos Variáveis em Progressão Aritmética e em

Progressão Geométrica __________________________________________________ 153

V – REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS ____________________________________ 157

Breve Enquadramento Teórico _________________________________________________ 159

5.1. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Hamburguês ______________________ 163

5.2. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Hamburguês com Carência de Capital __ 166

5.3. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Hamburguês com Carência de Capital __ 170

5.4. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Hamburguês com carência de Capital __ 173

5.5. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Hamburguês com Carência de Capital e

Juro __________________________________________________________________ 177

5.6. Reembolso de Financiamento com Juros Pagos na Maturidade e Reembolso de Capital

Escalonado; Reembolso de Financiamento pelo Sistema Hamburguês ____________ 181

5.7. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês ___________________________ 185

5.8. Reembolso de Financiamento com Juros Pagos à Cabeça e Reembolso de Capital

Escalonado; Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês ________________ 190

5.9. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Americano; Reembolso de Financiamento

pelo Sistema Francês ____________________________________________________ 194

5.10. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês com Carência de Capital ______ 198

viii Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais

5.11. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês com Carência de Capital e Juro;

Sistema Americano _____________________________________________________ 204

5.12. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês; Reembolso de Financiamento pelo

Sistema Hamburguês ___________________________________________________ 209

5.13. Locação Financeira _____________________________________________________ 226




5.17. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês com Taxa de Juro Variável

Indexada _____________________________________________________________ 240

5.18. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Francês com Taxa de Juro Indexada –

Crédito à Habitação_____________________________________________________ 244






Indexada – Crédito à Habitação ___________________________________________ 255


Indexada – Crédito à Habitação ___________________________________________ 258

5.23. Fundo de Amortização __________________________________________________ 261






5.29. Reembolso de Financiamento pelo Sistema Americano; Fundo de Amortização ____ 282

5.30. Plano Poupança Reforma ________________________________________________ 288

5.31. Taxa Anual de encargos Efetiva Global (TAEG) _______________________________ 291

VI – O CÁLCULO FINANCEIRO E A ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ______________ 295

Breve Enquadramento Teórico _________________________________________________ 297

6.1. VAL de um Projeto de Investimento _______________________________________ 299

Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais ix

6.2. VAL e TIR de um Projeto de Investimento ___________________________________ 301




6.6. VAL, TIR e Payback de um Projeto de Investimento ___________________________ 317


FORMULÁRIO _____________________________________________________ 327

1

INTRODUÇÃO

Os autores publicaram no início do ano corrente a obra “Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências

Empresariais – Exercícios Resolvidos – Volume I”.

Esta obra, dirigida a todos os interessados nesta temática – estudantes e profissionais – teve

como propósito, proporcionar, de forma clara e objetiva, o desenvolvimento de conhecimentos e

a aquisição de competências em Cálculo Financeiro.

O livro centrou-se na abordagem de exercícios e casos práticos referentes aos diversos

problemas que se colocam no âmbito do Cálculo Financeiro, tendo sido estruturado numa

perspetiva prática, não procurando desenvolver conceitos de natureza teórica e concetual.

Com o propósito de proporcionar aos estudantes, profissionais e demais interessados o

aprofundamento dos conhecimentos adquiridos e aquisição de maiores competências nesta

área, é agora publicado o livro “Cálculo Financeiro Aplicado às Ciências Empresariais – Exercícios

Resolvidos – Volume II”.

O Volume II está estruturado em moldes idênticos ao Volume I: apresenta-se previamente a cada

capítulo um breve enquadramento teórico das matérias, no sentido de facilitar a compreensão

dos exercícios e a sua resolução. No entanto, ao contrário do Volume I que, em cada capítulo,

partia da base para exercícios de maior complexidade, no Volume II todos os exercícios e casos

práticos resolvidos, se configuram mais elaborados e de maior complexidade.

De referir que, à semelhança do Volume I, as propostas de resolução apresentadas são, no

entendimento dos autores, as que parecem mais óbvias, não esgotando outras possíveis

resoluções que naturalmente conduziriam aos mesmos resultados.

É convicção dos autores que este trabalho irá ao encontro das expetativas dos alunos e de todos

os interessados em consolidar e aprofundar conhecimentos e competências sobre esta temática

numa perspetiva prática aplicada às ciências empresariais.

Os autores agradecem os preciosos comentários e sugestões dos seus alunos e de todos os que,

de alguma forma, contribuíram para que este trabalho alcance plenamente os seus objetivos.

Muito obrigado a todos.

16 II – Regime de Juro Simples

2.3. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Simples – Desconto por Fora

Uma pessoa acaba de contrair uma dívida de € 100.000, que vai liquidar através de 25 prestações mensais, a primeira a realizar dentro de 1 mês, nas seguintes condições:

As últimas 5 têm cada uma um valor nominal igual ao dobro de cada uma das restantes; Taxa de Juro Anual Nominal de 6%.

a) Assumindo o Regime de Juro Simples de acordo com o desconto por fora e uma BC 360/360, calcule o valor nominal de cada prestação.

b) Qual o total de encargos suportados?

a)

Trata-se na realidade de uma equivalência de capitais em que os 25 pagamentos mensais terão de ser financeiramente equivalentes aos € 100.000. Assim, para se obter o valor atual dos 25 pagamentos mensais tem que se reportar todos ao mesmo momento temporal. Assim, para formular a equação, iguala-se o valor atual da dívida (€ 100.000) ao valor atual dos 25 pagamentos, utilizando a expressão do valor atual em regime de juro simples e de acordo com o desconto por fora:

𝑉 = 𝑀 × (1 − 𝑛𝑖)

É possível fazê-lo atualizando individualmente cada um dos pagamentos utilizando esta expressão, no entanto, uma vez que são muitos será mais fácil se utilizarmos uma simplificação da equação de valor de acordo com o desconto por fora (em que o lado esquerdo da equação é neste caso os € 100.000 e o lado direito a soma do valor atual dos 25 pagamentos):

∑ 𝑀𝑠

𝑘

𝑠=1

− 𝑖 ∑ 𝑀𝑠𝑛𝑠

𝑘

𝑠=1

= ∑ 𝑀′𝑠

𝑝

𝑠=1

− 𝑖 ∑ 𝑀′𝑠𝑛′𝑠

𝑝

𝑠=1

Porém, uma vez que temos dois blocos de pagamentos, os primeiros 20 todos iguais entre eles e os últimos 5 iguais entre eles mas com um valor nominal igual ao dobro de cada um dos primeiros, temos de repartir o lado direito da equação de valor igualmente em dois blocos, ficando:

II – Regime de Juro Simples 17

100.000 = ∑ 𝑀′𝑠

20

𝑠=1

− 0,06 ∑ 𝑀′𝑠𝑛′

𝑠

20

𝑠=1

+ ∑ 2𝑀′𝑝

5

𝑝=1

− 0,06 ∑ 2𝑀′𝑝𝑛′

𝑝

5

𝑝=1

Neste caso, uma vez que os M’ são constantes, é possível passa-los para fora dos somatórios (funciona como uma constante que é posta em evidência), ficando:

∑ 𝑀′𝑠

20

𝑠=1

= 20 × 𝑀′𝑠

∑ 𝑀′𝑠𝑛′

𝑠

20

𝑠=1

= 𝑀′𝑠 ∑ 𝑛′

𝑠

20

𝑠=1

∑ 2𝑀′𝑝

5

𝑝=1

= 5 × 2𝑀′𝑝

∑ 2𝑀′𝑝𝑛′

𝑝

5

𝑝=1

= 2𝑀′𝑝 ∑ 𝑛′

𝑝

5

𝑝=1

Assim:

100.000 = 20 × 𝑀′𝑠 − 0,06 × 𝑀′𝑠 ∑ 𝑛′

𝑠

20

𝑠=1

+ 5 × 2𝑀′𝑝 − 0,06 × 2𝑀′𝑝 ∑ 𝑛′

𝑝

5

𝑝=1

Relativamente aos somatórios dos prazos de cada pagamento, como estamos perante uma progressão aritmética, utilizando a expressão que nos permite calcular a Soma dos “n” primeiros termos de uma Progressão Aritmética, permite-nos facilmente obter o valor das somas (neste caso específico tínhamos 20 termos no primeiro caso e 5 termos no segundo, o que nos permitia sem grande transtorno fazer a soma simples de cada termo, no entanto, ilustra-se aqui a utilização desta expressão uma vez que poderão surgir exercícios em que a soma simples é praticamente inviável):

𝑆𝑛 =(𝐴1 + 𝐴𝑛) × 𝑛

2

𝐴1é 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝐴𝑛é 𝑜 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑛 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎

Então:

∑ 𝑛′𝑠

20

𝑠=1

=(𝑛′1 + 𝑛′20) × 20

2=

(1

12 +2012) × 20

2= 17,5

∑ 𝑛′𝑝

5

𝑝=1

=(𝑛′1 + 𝑛′5) × 20

2=

(2112 +

2512) × 5

2= 9,5833

Ao se considerar o prazo como

‘meses’/12 está-se a

transformar o prazo em anos.

Alternativamente, poder-se-ia

trabalhar diretamente com o

prazo em meses, mas

posteriormente na equação de

valor teria que se considerar

uma taxa de juro mensal.


Voltando à Equação de valor, temos:

100.000 = 20 × 𝑀′ − 0,06 × 𝑀′ × 17,5 + 5 × 2 × 𝑀′ − 0,06 × 2 × 𝑀′ × 9,5833 ⟺

⇔ 100.000 = 20𝑀′ − 1,05𝑀′ + 10𝑀′ − 1,15𝑀′ ⇔

⇔ 100.000 = 27,8𝑀′ ⇔

⇔ 𝑀′ =100.000

27,8⇔

⇔ 𝑀′ = 3.597,12 (primeiras 20 prestações)

2𝑀′ = 7.194,24 (últimas 5 prestações)

b) Para calcular os encargos basta somar o valor nominal de todas as prestações e subtrair o valor da dívida contraída (€ 100.000):

𝐸𝑛𝑐𝑎𝑟𝑔𝑜𝑠 = 20 × 3.597,12 + 5 × 7.194,24 − 100.000 ⇔

⇔ 𝐸𝑛𝑐𝑎𝑟𝑔𝑜𝑠 = 7.913,60

2.4. Equivalência de Capitais em Regime de Juro Simples – Desconto por Dentro; Desconto Bancário de Letras

Uma empresa adquiriu um equipamento no montante de € 100.000 nas seguintes condições financeiras:

(i) Dois pagamentos: o 1º dentro de 60 dias no montante de € 10.000 e o 2º dentro de 180 dias no montante de € 20.000.

(ii) 10 letras de igual valor nominal, vencendo-se a primeira dentro de 60 dias e as restantes de 15 em 15 dias a partir do vencimento da primeira.

Nos 2 primeiros pagamentos estão incluídos juros à taxa anual de 5% em regime de juro simples pelo tipo de desconto por dentro.

As letras vão ser descontadas num banco, à data da compra, com inclusão dos seguintes encargos bancários:

Prémio de desconto anual de 3% Taxa de comissão de cobrança: 0,2% Taxa de Imposto do selo de 4% Despesas diversas: € 2,5

Assumindo uma BC 360/360, determine o valor nominal de cada letra.

II – Regime de Juro Simples 19

Estamos perante um exercício de equivalência de capitais em que temos um capital inicial de € 100.000 e um conjunto de capitais substitutos, dos quais 2 pagamentos cujo juro foi apurado segundo o desconto por dentro à taxa de 5% e um conjunto de 10 letras que ao contrário dos 2 pagamentos anteriores, têm um conjunto de encargos associados e não só uma taxa de juro, sendo este calculado segundo o desconto por fora.

Assim, temos que o valor atual do capital original (€ 100.000, correspondente ao valor do equipamento hoje) tem que ser igual à soma das seguintes componentes:

(i) Valor atual dos capitais substitutos (i.e. ao valor atual dos dois pagamentos, € 10.000 e € 20.000, respetivamente), segundo o desconto por dentro e considerando unicamente o juro como encargo, e;

Desconto por Dentro: 𝑉 =𝑀

1+𝑛𝑖

(ii) Valor das 10 letras descontadas com todos os encargos associados.

Recorde-se que está convencionado que no desconto bancário de letras se utiliza o desconto por fora, pelo que a taxa de juro incide sobre o valor nominal da letra.

𝑃𝐿𝐷 = 𝑘 × 𝑀 − (𝑀 × ∑ 𝑛𝑠

𝑘

𝑠=1

× 𝑖 + 𝑘 × 𝑀 × 𝑡𝐶𝐶) × (1 + 𝑡𝐼𝑆) − 𝑘 × 𝑃

Assim:

100.000 =10.000

1 +60

360 × 0,05+

20.000

1 +180360 × 0,05

+

+ 10 × 𝑀 − (𝑀 × ∑ 𝑛𝑠

10

𝑠=1

× 0,03 + 10 × 𝑀 × 0,002) × (1 + 0,04) − 10 × 2,5 ⟺


Contagem dos Dias (∑ 𝒏𝒔𝟏𝟎𝒔=𝟏 ):

Como estamos perante uma progressão aritmética (cada letra vence-se 15 dias após a anterior), utilizando a expressão que nos permite calcular a Soma dos “n” primeiros termos de uma Progressão Aritmética, conseguimos facilmente obter o valor da soma (neste caso específico temos 10 termos, o que nos permitia sem grande transtorno fazer a soma simples de cada termo, no entanto, ilustra-se aqui a utilização desta expressão uma vez que poderão surgir exercícios em que a soma simples é praticamente inviável):

𝑆𝑛 =(𝐴1 + 𝐴𝑛) × 𝑛

2

𝐴1é 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝐴𝑛é 𝑜 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑛 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎

Então:

𝑆10 = ∑ 𝑛𝑠

10

𝑠=1

=(62 + 197) × 10

2= 1.295

Voltando à Equação:

100.000 =10.000

1 +60

360 × 0,05+

20.000

1 +180360 × 0,05

+

+ 10 × 𝑀 − (𝑀 ×1.295

360× 0,03 + 10 × 𝑀 × 0,002) × (1 + 0,04) − 10 × 2,5 ⟺

⟺ 100.000 = 9.917,36 + 19.512,20 + 10𝑀 − (0,1079𝑀 + 0,02𝑀) × 1,04 − 25 ⟺

⟺ 100.000 − 9.917,36 − 19.512,20 + 25 = 10𝑀 − (0,1079𝑀 + 0,02𝑀) × 1,04 ⟺

⟺ 70.595,45 = 9,8670𝑀 ⟺

⟺ 𝑀 =70.595,45

9,867⟺

⟺ 𝑀 = 7.154,73

A Lei Uniforme relativa a Letras e Livranças prevê mais dois dias úteis para a liquidação das

responsabilidades, pelo que, quando se desconta uma letra é sempre contado o prazo máximo que

o devedor tem para liquidar a letra.

Ao se considerar o prazo como

‘dias’/360 está-se a transformar o

prazo em anos, uma vez que a taxa é

anual.

𝐴10 = 62 + 9 × 15 = 197

Para se saber diretamente o prazo da última

letra (uma vez que estão em progressão

aritmética), adiciona-se ao prazo da primeira

o número de letras que faltam a multiplicar

pela razão da progressão (prazo que medeia

entre cada par de letras consecutivas):

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