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CÁLCULO, VARIEDADES EFORMAS DIFERENCIAIS

ROBERTO DE MARIA NUNES MENDESProfessor da PUC Minas

Belo Horizonte, 2017

Sumário

Prefácio v

1 Espaços Vetoriais Normados 1

1.1 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Aplicações Lineares Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Normas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Aplicações Multilineares Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Exercícios do Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Cálculo Diferencial 11

2.1 Aplicações Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


3 Integração de Caminhos e o Teorema do Valor Médio 23

3.1 Integração de Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

i

SUMÁRIO


4 Derivadas Parciais 34

4.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


5 Teorema da Função Inversa 41

5.1 Difeomorfismos. Teorema da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Aplicações de Posto Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


6 Derivação de Ordem Superior 55

6.1 Derivação de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


7 Variedades Diferenciais 66

7.1 Cartas, Atlas, Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2 Aplicações de Classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3 Espaço Tangente. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4 Identificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.5 Aplicações de Posto Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.6 Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ii

SUMÁRIO

7.7 Variedade Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.8 Partições da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.9 Métrica Riemaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.10 Campos de Vetores. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


8 Álgebra Exterior 111

8.1 Álgebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.3 Produto Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


9 Formas Diferenciais 127

9.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.2 Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.3 Orientação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.4 Variedades com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.5 Orientação no Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.6 Integração numa Variedade Orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.7 Formas Diferenciais em M × [0, 1]. Lema de

Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.8 Aplicação à Análise Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

iii

SUMÁRIO

9.9 Integração numa Variedade Riemaniana. Grau de Aplicação. . . . . 171


10 Sistemas Diferenciais 182

10.1 Colchete de Lie de Campos Vetoriais. Fluxos. . . . . . . . . . . . . . 182

10.2 Sistemas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.3 Campos vetoriais comutativos e fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.4 Variedades Simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.5 Exercícios do Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11 Grupos de Lie 209

11.1 Generalidades sobre Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.2 Campos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

11.3 Formas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.4 Exercícios do Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Bibliografia 230

Index 232

iv

Prefácio

As aplicações da teoria das variedades diferenciais são inúmeras, não só na

Matemática, mas também na Física Teórica, na Computação Gráfica, na Robótica,

e em outras partes da Ciência. Este livro foi concebido como uma introdução às

variedades diferenciais. Cremos que o leitor, após digeri-lo, estará em condições de

enfrentar textos mais sofisticados e exigentes, alguns deles citados na Bibliografia.

Os pré-requisitos são relativamente poucos: Álgebra Linear, Análise Real e

Topologia, em níveis modestos.

Nos Capítulos de 1 a 6 desenvolvemos o Cálculo Diferencial das funções

f : V → W , onde V e W são espaços vetoriais normados, ambos de dimensão finita.

Demos especial importância ao teorema da função inversa (e seu equivalente teo-

rema da função implícita), estudando com detalhe as aplicações de posto constante,

particularmente as imersões e submersões.

O Capítulo 7 versa sobre variedades diferenciais. Introduzimos a linguagem

básica da teoria, discutimos alguns exemplos, o conceito de subvariedade, e o fibrado

tangente.

Nos Capítulos 8 e 9 desenvolvemos a álgebra exterior e as formas diferenciais.

Estudamos as variedades com bordo, o conceito de orientação, a noção de integral

v

de uma forma, e demonstramos os teoremas de Stokes, Brouwer (diferenciável) e

Poincaré-Brouwer. Introduzimos a métrica riemaniana e as funções harmônicas.

Estudamos o grau de uma aplicação, e calculamos o grau da aplicação normal de

Gauss de uma hipersuperficie compacta do Rn.

No Capítulo 10 tratamos dos sistemas diferenciais, provamos o teorema de

Frobenius e apresentamos o conceito de folheação, estudando também a relação

entre a comutatividade de campos vetoriais e a de seus fluxos. O capítulo termina

com uma introdução às variedades simpléticas.

O Capitulo 11 é uma introdução à importante teoria dos Grupos de Lie e de

suas variedades homogêneas, sendo discutidos alguns exemplos.

Muitos assuntos importantes não foram tratados no livro. Dentre eles desta-

camos: transversalidade, teorema de Sard, teoremas de aproximação de Whitney,

aplicações de recobrimento, aplicação exponencial, correspondência entre grupos de

Lie simplesmente conexos e suas álgebras de Lie, representação adjunta, ...

Queremos agradecer a Mário Jorge Dias Carneiro, que leu parte do manuscrito,

e ao avaliador de uma primeira versão do livro, pelas várias sugestões que fizeram

para sua melhoria. Agradecemos também ao Eng. Alan Antônio Moreira pelo bom

trabalho na editoração. Ao leitor, bom proveito.

Belo Horizonte, Outubro de 2016

Roberto N. Mendes

vi

Capítulo 1

Espaços Vetoriais Normados

Neste capítulo fazemos uma revisão dos conceitos básicos concernentes aos

espaços vetoriais normados, em particular aos espaços de Banach, e estudamos as

aplicações lineares e multilineares contínuas, tendo em vista a utilização destes fatos

no estudo do Cálculo Diferencial.

1.1 Espaços Vetoriais Normados

Seja V um espaço vetorial sobre K (R ou C).

Definição 1.1. Uma norma em V é uma função x ∈ V 7→ ‖x‖ ∈ R tal que:

(1) ‖x‖ ≥ 0 ; ‖x‖ = 0⇔ x = 0;

(2) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ;

(3) ‖ax‖ = |a| ‖x‖ , quaisquer que sejam x ∈ V , y ∈ V , a ∈ K.

Consequências imediatas:

1

CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS

(a) ‖−x‖ = ‖x‖;

(b) | ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x− y‖ . De fato, como x = (x − y) + y , temos ‖x‖ ≤≤ ‖x− y‖+‖y‖ , donde ‖x‖−‖y‖ ≤ ‖x− y‖ . Analogamente, ‖y‖−‖x‖ ≤≤ ‖x− y‖, resultando (b).

Obs. (1) O par (V, ‖ · ‖) é um espaço vetorial normado (e.v.n). Definindo d (x, y) =

= ‖x− y‖ para x ∈ V , y ∈ V , obtemos uma distância em V e (V, d) é um

espaço métrico; essa métrica natural d satisfaz:

(i) d (x+ z, y + z) = d (x, y) ;

(ii) d (ax, ay) = |a| d (x, y), onde a ∈ K.

(2) Como | ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x− y‖, resulta que a norma é uma função contínua.

Exercício. Prove que (x, y) 7→ x+ y e (a, x) 7→ ax são contínuas.

Definição 1.2. Seja (xn)n≥1 uma sequência no e.v.n V . Dizemos que (xn)n≥1

converge para x ∈ V se limn→∞ ‖xn − x‖ = 0 , ou seja, dado ε > 0 arbitrário,existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ ‖xn − x‖ < ε .

Definição 1.3. A sequência (xn)n≥1 é uma sequência de Cauchy em V selimm→∞n→∞

‖xm − xn‖ = 0 , isto é, dado ε > 0 arbitrário, existe n0 ∈ N tal que

m ≥ n0, n ≥ n0 ⇒ ‖xm − xn‖ < ε . É fácil ver que toda sequência convergente é deCauchy, a recíproca sendo falsa em geral.

Definição 1.4. O e.v.n V é um espaço de Banach se ele é completo na métricanatural d, ou seja, se toda sequência de Cauchy em V é convergente.

Exemplo 1.1.1. Em V = Kn, definimos:

‖x‖1 =n∑i=1

|xi| ; ‖x‖2 =

Ãn∑i=1

|xi|2 ; ‖x‖∞ = sup1≤i≤n

|xi| ,

2


onde x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn. São as normas usuais em Kn . Com qualquer dessasnormas Kn é um espaço de Banach.

Exercício. Prove as afirmações feitas no Exemplo 1.1.1.

Exemplo 1.1.2. Seja V = C0 ([a, b],K) o espaço vetorial das funções contínuas

f : [a, b] → K, onde a e b são reais, a < b. Definamos: ‖f‖1 =b∫a|f(t)| dt;

‖f‖∞ = supa≤t≤b

|f(t)| . É fácil mostrar (faça-o!) que ‖·‖1 e ‖·‖∞ são normas em V .

Exemplo 1.1.3. Seja (V, 〈·〉) um espaço vetorial munido de um produto internopositivo. Definindo ‖x‖ =

»〈x, x〉 obtemos uma norma em V . Se V for completo

nessa norma, dizemos que V é um espaço de Hilbert.

Definição 1.5. Seja (xn)n≥1 uma sequência no espaço de Banach V . Dizemos quea série

∞∑n=1

xn é absolutamente convergente se∞∑n=1‖xn‖ é convergente.

Proposição 1.1. Num espaço de Banach V uma série absolutamente convergenteé convergente e ∥∥∥∥∥ ∞∑

n=1

xn

∥∥∥∥∥ ≤ ∞∑n=1

‖xn‖.

Dem. Como∞∑n=1‖xn‖ converge, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m ≥ n, n ≥ n0

implicam ‖xn+1‖ + · · · + ‖xm‖ < ε e, portanto, ‖xn+1 + · · ·+ xm‖ < ε para m ≥≥ n ≥ n0, isto é, ‖sm − sn‖ < ε para m ≥ n ≥ n0, onde sn = x1 + · · ·+ xn. ComoV é de Banach, resulta que a sequência (sn)n≥1 converge, ou seja, a série

∞∑n=1

xn

é convergente, e a desigualdade ‖x1 + · · · + xn‖ ≤ ‖x1‖ + · · · + ‖xn‖ para todo n,implica

∥∥∥∥ ∞∑n=1

xn

∥∥∥∥ ≤ ∞∑n=1‖xn‖.

1.2 Aplicações Lineares Contínuas

Sejam V e W espaços vetoriais normados sobre K.

Proposição 1.2. Se T : V → W é linear, são equivalentes:

(a) T é contínua em V ;

3


(b) T é contínua na origem 0 ∈ V ;

(c) ‖T (x)‖ é limitada em B1(0) = x ∈ V ; ‖x‖ ≤ 1.

Dem. (a)⇒ (b) - Óbvio.

(b) ⇒ (c) : Por hipótese, dado ε ∈ 0, existe δ > 0 tal que ‖y‖ ≤ δ implica‖T (y)‖ < ε. Seja x ∈ V , ‖x‖ ≤ 1. Se y = δx então ‖y‖ ≤ δ, donde‖T (y)‖ = δ‖T (x)‖ < ε e, portanto, ‖T (x)‖ < ε

δ, isto é, ‖T (x)‖ é limitada sobre

a bola unitária fechada B1(0) .

(c)⇒ (a): Seja ‖T (x)‖ ≤M para x ∈ V , ‖x‖ ≤ 1, onde M > 0.

Se x 6= 0, seja y =x

‖x‖, donde ‖y‖ = 1 , ‖T (y)‖ ≤ M , e

‖T (x)‖ = ‖x‖.‖T (y)‖ ≤M.‖x‖. Se a ∈ V , então ‖T (x)− T (a)‖ = ‖T (x− a)‖ e,dado ε > 0, ‖x− a‖ < ε

Mimplica ‖T (x)− T (a)‖ ≤ M.‖x− a‖ < ε, ou seja, T

é contínua em a.

Notação: L(V,W ) = T : V → W ; T é linear contínua .

Definição 1.6. Seja T ∈ L(V,W ). Se ‖T‖ = sup‖x‖61

‖T (x)‖, então ‖T‖ < ∞ e

T 7→ ‖T‖ é uma norma em L(V,W ). Se M > 0 é tal que ‖T (x)‖ ≤ M paratodo x ∈ B1(0), então ‖T‖ ≤ M , ou seja, ‖T‖ é o menor M > 0 tal que‖T (x)‖ ≤M.‖x‖, isto é,

sup‖x‖61

‖T (x)‖ = ‖T‖ = inf M > 0 ; ‖T (x)‖ ≤M.‖x‖, x ∈ V .

Exercício. Prove que T 7→ ‖T‖ é uma norma em L(V,W ).

Proposição 1.3. Se W é um espaço de Banach, então L(V,W ) é um espaço deBanach.

Dem. Seja (Tn)n≥1 uma sequência de Cauchy em L(V,W ). Dado ε > 0,existe n0 ∈ N tal que m ≥ n ≥ n0 ⇒ ‖Tm − Tn‖ < ε, donde ‖Tm(x)− Tn(x)‖ < ε,‖x‖ ≤ 1, e ‖Tm(x)− Tn(x)‖ < ε‖x‖ ∀x ∈ V ; logo, (Tn(x))n≥1 é de Cauchy emW e, portanto, converge para y = T (x) , e obtemos a aplicação T : V → W . Éfácil ver que T é linear.

4


Fazendo m→∞ , obtemos ‖T (x)− Tn(x)‖ ≤ ε‖x‖, x ∈ V . Logo, ‖T (x)‖ =

= ‖T (x) − Tn0(x) + Tn0(x)‖ ≤ ‖T (x) − Tn0(x)‖ + ‖Tn0(x)‖ ≤ ε‖x‖ + ‖Tn0‖.‖x‖ =

= (ε+ ‖Tn0‖) .‖x‖, o que mostra ser T contínua, isto é, T ∈ L(V,W ). Além disso,n ≥ n0 ⇒ ‖T (x)−Tn(x)‖ ≤ ε ‖x‖ , donde ‖T −Tn‖ ≤ ε, e (Tn)n≤1 converge paraT em L(V,W ).

Obs. Se T ∈ L(U, V ) , S ∈ L(V,W ), então S T ∈ L(U,W ) e, para todox ∈ U , ‖S T (x)‖ ≤ ‖S‖.‖T (x)‖ ≤ ‖S‖.‖T‖.‖x‖ , e ‖S T‖ ≤ ‖S‖.‖T‖.

1.3 Normas Equivalentes

Sejam V , W espaços vetoriais normados sobre K .

Definição 1.7. T : V → W é um isomorfismo se:

(a) T ∈ L(V,W ), isto é, T é linear contínua;

(b) existe S ∈ L(W,V ) tal que S T = idV e T S = idW .

Ou seja, T : V → W é um isomorfismo de e.v.n se, e só se, T é um homeomor-fismo linear.

Definição 1.8. T : V → W é uma isometria se T é bijeção linear tal que‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ V . É claro que toda isometria é um isomorfismo, mas arecíproca é falsa.

Definição 1.9. Duas normas, ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 , sobre o espaço vetorial V , sãoequivalentes se existem constantes positivas m e M tais que m ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤≤M · ‖x‖1 ∀x ∈ V .

Obs. Sejam i1 : V1 = (V, ‖ · ‖1) → V2 = (V, ‖ · ‖2) e i2 : V2 → V1 asaplicações induzidas por idV ; elas são inversas uma da outra. ‖x‖2 ≤ M ‖x‖1

mostra que i2 é contínua e ‖x‖1 ≤1

m‖x‖2 que i1 é contínua, ou seja, i1 e i2

são isomorfismos, e as topologias de V1 e V2 coincidem.

5


Reciprocamente, se i1 : V1 → V2 e i2 : V2 → V1 definem a mesma topologia,então ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 são equivalentes pois, neste caso, existem constantes positivas

M e M1 tais que ‖x‖2 ≤ M ‖x‖1 e ‖x‖1 ≤ M1. ‖x‖2. Pondo m =1

M1

, vem

m ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ M.‖x‖1. Resulta que duas normas em V são equivalentes se, esó se, elas definem a mesma topologia.

Proposição 1.4. Em Kn todas as normas são equivalentes.

Dem. Se x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, seja ‖x‖2 =

n∑i=1|xi|2 a norma euclidiana, seja

x 7→ ‖x‖ uma norma arbitrária, e seja (e1, . . . , en) a base canônica de Kn .

Temos: |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖ ≤n∑i=1|xi − yi| .‖ei‖, o que mostra que x 7→ ‖x‖

é contínua. Sobre a esfera unitária de Kn , que é compacta, x 7→ ‖x‖ é 6= 0 econtínua, donde existem constantes positivas m eM tais que ‖x‖ ≤M e ‖x‖ ≥ m

∀x ∈ Kn , ‖x‖2 = 1, resultando ‖x‖ ≤ M ‖x‖2 e ‖x‖ ≥ m ‖x‖2 ∀x ∈ Kn , ouseja, m ‖x‖2 ≤ ‖x‖ ≤M ‖x‖2 , e ‖ · ‖ é equivalente a ‖ · ‖2 , donde a tese.

Proposição 1.5. SejaW um e.v.n de dimensão finita n sobre K. Toda T : Kn → W

linear bijetora é um homeomorfismo, isto é, um isomorfismo entre espaços vetoriaisnormados.

Dem. Sejam (e1, . . . , en) a base canônica de Kn , T ei = ωi ∈ W . Então,(ω1, . . . , ωn) é base de W . Se x ∈ Kn , x =

n∑i=1

xi ei, vem T (x) =n∑i=1

xi T (ei) =

=n∑i=1

xiωi , donde ‖T (x)‖ ≤n∑i=1|xi|.‖wi‖, o que mostra que T é contínua em 0 ,

donde é contínua em Kn . Se S = T−1 : W → Kn, um raciocínio análogo mostraque S é contínua. Resulta que T é um homeomorfismo (linear), ou seja , umisomorfismo de e.v.n.

Corolário 1.1. Em W , dimKW = n, todas as normas são equivalentes.

Dem. Sejam ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 normas em W e T : Kn → W um isomorfismode e.v.n. ; então, x 7→ ‖T x‖1 e x 7→ ‖T x‖2 são normas em Kn, portantoequivalentes. Se ω = T (x), existem constantes positivas m eM tais que m ‖ω‖1 ≤≤ ‖ω‖2 ≤M ‖ω‖2, donde ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 são equivalentes.

6


Exemplo 1.3.1. Sejam V um e.v.n. sobre K ,

T : V −→ L(K, V ) ; S : L(K, V ) −→ V

x 7→ Tx : K→ V f 7−→ f(1)

a 7→ a x

É fácil ver que Tx é linear, que T é linear, e que ‖a x‖ = |a|.‖x‖, dondeTx é contínua e tem norma igual a ‖x‖ . Analogamente, é imediato que S é lineare que S = T−1 . Resulta que T é uma isometria. É a isometria canônica entre Ve L(K, V ).

Exemplo 1.3.2. Sejam V um e.v.n. sobre K , L(V ) = L(V, V ) e T ∈ L(V ).

A série∞∑n=0

1

n !T n (onde T n = T T

n^. . . T ) é absolutamente convergente pois

‖T n‖ ≤ ‖T‖n en∑n=0

1

n !‖T‖n = e‖T‖ converge. Definimos a exponencial de T ∈ L(V )

por

exp(T ) =∞∑n=0

1

n !T n. Escreve-se também exp(T ) = eT

Exercício. Sejam S , T ∈ L(V ) tais que S T = T S. Prove que eS eT =

= eT eS = eT+S. Em particular, como exp(0) = I , temos que eT .e−T = I, eT

é invertível, e (eT )−1 = e−T .

Exemplo 1.3.3. Em V = C0([0, 1],R) seja fn : [0, 1] → R, n ∈ N, como na

figura, isto é, fn(x) =

0 se x ∈î

1n, 1ó

n− n2x se x ∈î0, 1

n

ó .

11n

fn

n

y

x

Então: ‖fn‖∞ = n, ‖fn‖1 =1

2,‖fn‖∞‖fn‖1

= 2n, e ‖ · ‖∞ ‖ · ‖1 não são

7


equivalentes.

1.4 Aplicações Multilineares Contínuas

Para simplificar a escrita vamos considerar o caso das bilineares. Sejam V1 , V2 , Wespaços vetoriais sobre K .

Definição 1.10. T : V1 × V2 −→ W é bilinear se:

T (x1 + x′1, x2) = T (x1, x2) + T (x′1, x2);

T (x1, x2 + x′2) = T (x1, x2) + T (x1, x′2);

T (ax1, x2) = T (x1, ax2) = aT (x1, x2) ,

quaisquer que sejam x1 , x′1 em V1 , x2 , x′2 em V2 e a ∈ K .

É claro que T (0, 0) = 0, que T (x1, 0) = T (0, x2) = 0 e que T (a1x1, a2x2) =

= a1a2T (x1, x2) para a1, a2 em K .

Exemplo 1.4.1. V1 = V2 = W = K . O produto (a1, a2) −→ a1a2 é bilinear.

Exemplo 1.4.2. O produto interno (x, y) ∈ Rn×Rn 7→ 〈x, y〉 ∈ R , 〈x, y〉 =n∑i=1

xiyi,

onde x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), é bilinear.

Proposição 1.6. Sejam V1 , V2 , W e.v.n. sobre K , T : V1× V2 → W bilinear.São equivalentes:

(a) T é contínua em V1 × V2 ;

(b) T é contínua na origem (0, 0) ∈ V1 × V2;

(c) ‖T (x1, x2)‖ é limitada em B1×B2 , onde Bj = xj ∈ Vj ; ‖xj‖ ≤ 1, j = 1, 2.

Dem. Exercício.

Notação: L(V1, V2;W ) = T : V1 × V2 → W ; T é bilinear contínua.

8


Para T ∈ L(V1, V2;W ) definimos ‖T‖ = sup‖x1‖≤1

‖x2‖≤1

‖T (x1, x2)‖. T 7→ ‖T‖ é

uma norma em L(V1, V2 ; W ) e

sup‖x1‖≤1

‖x2‖≤1

‖T (x1, x2)‖ = ‖T‖ = inf M > 0 ; ‖T (x1, x2)‖ ≤M · ‖x1‖ · ‖x2‖ .

Exercício. Prove as afirmações acima.

Exemplo 1.4.3. Sejam U , V , W e.v.n. sobre K e

f : L(V,W )× L(U, V ) −→ L(U,W ).

(S, T ) 7−→ f(S, T ) = S T

f é bilinear e ‖S T‖ ≤ ‖S‖.‖T‖, donde ‖f‖ ≤ 1.

Exemplo 1.4.4. Sejam U , V , W e.v.n. sobre K ,

f : L(U, V ;W ) −→ L(U,L(V,W ))

T 7−→ f(T ) = S : U −→ L(V,W )

x 7−→ Sx : V −→ W

y 7−→ Sx(y) = T (x, y)

e

g : L(U,L(V,W )) −→ L(U, V ;W )

S 7−→ g(S) = T : U × V → W

(x, y) 7→ T (x, y) = S(x)(y)

É fácil ver que f está bem definida, é linear e ‖f‖ ≤ 1 , que g está bemdefinida, é linear, que ‖g‖ ≤ 1 e que g = f−1. Portanto, ‖f‖ = ‖g‖ = 1, isto é,‖S‖ = ‖T‖ e f (resp. g ) é isometria. É a isometria canônica entre L(U, V ;W )

e L(U,L(V,W )) .

9


1.5 Exercícios do Capítulo 1

1. Sejam.l1(K) =

ßx = (xn)x≥1 ; xn ∈ K e

∞∑n=1|xn| <∞

™;

l∞(K) =

®x = (xn)x≥1 ; xn ∈ K e sup

n∈N|xn| <∞

´.

Prove que, com as operações usuais, l1(K) e l∞(K) são espaços vetoriais,que x 7→ ‖x‖1 =

∞∑n=1|xn| é norma em l1(K), e que x 7→ ‖x‖∞ = sup

n∈N|xn| é

norma em l∞(K) .

2. Prove que se W é um subespaço de um e.v.n. V , então seu fecho W ésubespaço fechado de V .

3. Seja V um e.v.n e H um hiperplano de V , isto é, H é um subespaço de

V de codimensão 1 (ou seja, dimV

H= 1 ). Prove que H ou é fechado ou é

denso em V .

4. Sejam V = C0([0, 1],R) com a norma ‖f‖∞ = sup0≤x≤1

|f(x)|, W = C0([0, 1],R)

com a norma ‖f‖1 =1∫0|f(t)| dt, i1 : V → W e i2 : W → V as aplicações

induzidas pela identidade. Prove que i1 é contínua e ‖i1‖ = 1. Prove quei2 é descontínua.

5. Seja l2(K) =ßx = (xn)n≥1 ; xn ∈ K e

∞∑n=1|xn|2 <∞

™. Prove que l2(K)

e um espaço vetorial, que 〈x, y〉 =∞∑n=1

xn.yn, para x ∈ l2(K) , y ∈ l2(K), é

um produto interno e que x 7→ ‖x‖2 =

∞∑n=1|xn|2 é uma norma em l2(K) .

6. Sejam V = l2(R), a = (an)n≥1 ∈ V , f : V → R, f(x) =∞∑n=1

anxn para todo

x = (xn)x≥1 ∈ V . Prove que f é linear contínua e ache sua norma.

10

Capítulo 2

Cálculo Diferencial

Neste capítulo introduzimos intrinsecamente o conceito de derivada (ou dife-rencial) de funções f : A→ W , onde A ⊂ V é aberto, e V e W são espaços deBanach. Tendo em vista as aplicações futuras vamos nos limitar ao caso em que Ve W têm dimensão finita, apesar de que, em grande parte, as demonstrações sejamválidas no caso mais geral em que V e W são espaços de Banach arbitrários. Emparticular, provamos a regra da cadeia e a derivada da inversão de matrizes.

2.1 Aplicações Diferenciáveis

Sejam V e W espaços vetoriais normados A ⊂ V aberto e f : A→ W .Queremos definir o conceito de derivada (ou diferencial) de f .

Motivação: sejam f : A → R , A ⊂ R aberto, a ∈ A . Sabemos que a

derivada de f em a é o número real definido por. f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h,

caso este limite exista. Neste caso, pondo

r(h) = f(a+ h)− f(a)− f ′(a) · h,

vemos que limh→0

r(h)

h= 0. Reciprocamente, se existe m ∈ R tal que

limh→0

f(a+ h)− f(a)−mhh

= 0 , é imediato que m = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h= f ′(a).

11

CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL

Assim, f é derivável em a se , e só se, existe m = f ′(a) ∈ R tal que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ r(h) , onde limh→0

r(h)

h= 0.

Usando a isometria canônica entre L(R,R) e R (T ↔ T (1)) vemos quef ′(a) ∈ R define univocamente a aplicação linear d f(a) : R→ R , d f(a) · h =

= f ′(a) · h , chamada a diferencial de f em a. Podemos então dizer que f éderivável (ou diferenciável) em a se existe d f(a) ∈ L(R,R) tal que

f(a+ h) = f(a) + df(a) · h+ r(h) , com limh→0

r(h)

h= 0.

Voltando ao caso f : A→ W , A ⊂ V aberto , a ∈ A, V e W espaçosvetoriais normados, temos a seguinte:

Definição 2.1. f : A → W é derivável (ou diferenciável) em a ∈ A , se existeT ∈ L(V,W ) , isto é, uma aplicação linear contínua, tal que

f(a+ h) = f(a) + T · h+ r(h) , onde limh→0

r(h)

‖h‖= 0.

Unicidade de T: Sejam T1 e T2 aplicações lineares contínuas de V em W eε1 e ε2 aplicações de V em W tais que

f(a+ h) = f(a) + T1(h) + ε1(h) = f(a) + T2(h) + ε2(h)

para h ∈ V , a+ h ∈ A , limh→0

εj(h)

‖h‖= 0 (j = 1, 2).

Resulta,

‖(T1 − T2)(h)‖ = ‖ε3(h)‖ , onde ε3 = ε2 − ε1.

Como limh→0

ε3(h)

‖h‖= 0, dado α > 0 , existe δ > 0 tal que ‖h‖ ≤ δ im-

plica‖ε3(h)‖‖h‖

≤ α e, portanto, ‖(T1 − T2)(h)‖ ≤ α‖h‖ para todo h ∈ V , donde

‖T1 − T2‖ ≤ α, donde T1 = T2 .

Dizemos que T é a derivada (ou diferencial) de f em a e escrevemosT = f ′(a) = Df(a) = d f(a) . A igualdade

12


f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ r(h), com limh→0

r(h)

‖h‖= 0 ,

exprime o fato de que a função afim x 7→ f(a) + f ′(a) · (x− a) é uma boa aproxi-mação de f na vizinhança de a .

Obs.

T (h) =T (t h)

t=f(a+ t h)− f(a)

t± r(t h)

‖t h‖· ‖h‖ (t 6= 0).

Logo,

T (h) = limt→0

f(a+ t h)− f(a)

t=Dh f(a) =

∂f

∂h(a) = derivada de f em a na di-

reção de h 6= 0.

Proposição 2.1. f derivável em a⇒ f é contínua em a.

Dem. Imediata.

Definição 2.2. Dizemos que f : A→ W , A ⊂ V aberto, é derivável em A se fé derivável em cada ponto de A. Neste caso, a aplicação

f ′ = Df = d f : A −→ L(V,W )

x 7−→ f ′(x)

é a derivada (ou diferencial) de f em A . Dizemos que f é continuamentederivável em A, ou de classe C1 em A, e escrevemos f ∈ C1(A,W ) , se f ′ = Df

é contínua.

Exercício. (a) Se B ⊂ A é aberto e f for derivável em A , então f |B seráderivável em B.

(b) Se A = ∪i∈I

Ai com Ai aberto e f |Ai for derivável para cada i ∈ I , então fserá derivável em A.

(c) Mudando-se equivalentemente as normas de V e W não se altera a derivabili-dade de f nem sua derivada.

13


Obs. Daqui em diante, salvo menção expressa em contrário, vamos considerar ocaso em que V e W são espaços vetoriais normados reais de dimensão finita ,(em particular V = Rn e W = Rm). Neste caso a continuidade de T ∈ L(V,W )

é automática, e V e W são completos.

Exemplo 2.1.1. Sejam I ⊂ R intervalo aberto, f : I → W um caminho no es-paço vetorial W . Se f é derivável em a ∈ I então f ′(a) ∈ L(R,W ) ' W (isometriacanônica) f ′(a) correspondendo a f ′(a) · 1 ∈ W , ou seja, podemos considerar a

derivada de f em a como sendo um vetor v = f ′(a).1 = limt→0

f(a+ t)− f(a)

t, cha-

mado o vetor tangente a f em a, e representado por v =d f

d t(a) .

Se W = Rm e f = (f1, . . . , fm) , fi : I → R , 1 ≤ i ≤ m , entãod f

d t(a) =

=

Çd f1

d t(a), . . . ,

d fmd t

(a)

å, como é fácil verificar.

Exemplo 2.1.2. Sejam f : A→ Rm , A ⊂ Rn aberto, f = (f1, . . . , fm) , fi : A→ R .f é derivável em a ∈ A se, e só se, existe T ∈ L(Rn,Rm) , T = (T1, . . . , Tm) ,

Ti : Rn → R , 1 ≤ i ≤ m , tal que f(a+ h) = f(a) + T · h+ r(h) com limh→0

r(h)

‖h‖= 0,

r = (r1, . . . , rm), o que equivale a

fi(a+ h) = fi(a) + Ti(h) + ri(h) com limh→0

ri(h)

‖h‖= 0 ,

1 ≤ i ≤ m . Resulta que f é derivável em a se, e só se, cada fi é derivável em a.Além disso, ∀h ∈ Rn , Df(a) · h = (Df1(a) · h, . . . , Dfm(a) · h) .

Obs. (1) A derivada Df(a) : Rn → Rm , sendo linear, tem uma matriz em rela-ção às bases canônicas de Rn e Rm, que é m × n e anotada Jf(a) : é a jacobianade f em a .

Temos:

Df(a) · ej = Dj f(a) =∂ f

∂ xj(a) =

∂ f1

∂ xj(a)

...∂ fm∂ xj

(a)

, ej =

0...1...0

←− linha j

(1≤j≤n)

.

14


Então,

Jf(a) =

∂ f1

∂ x1

(a) · · · ∂ f1

∂ xn(a)

... . . . ...∂ fm∂ x1

(a) · · · ∂ fm∂ xn

(a)

=

ñ∂ fi∂ xj

(a)

ô1≤i≤m1≤j≤n

.

(2) Se existe f ′(a) então existem as derivadas direcionais∂ f

∂ h(a) = f ′(a) · h ;

em particular, existem as derivadas parciais∂f

∂xj(a). A recíproca é falsa, isto é,

pode existir∂f

∂h∀h ∈ Rn, mas não existir f ′(a) . Por exemplo, seja

f(x, y) =

0 se (x, y) = (0, 0);x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0).

Se h = (a, b)temos Dhf(0, 0) =a2b

a2 + b2. Para:

h1 = (1, 0) temos fx(0, 0) = 0;

h2 = (0, 1) temos fy(0, 0) = 0;

h = h1 + h2 = (1, 1) temos Dhf(0, 0) = 126= Dh1f(0, 0) +Dh2f(0, 0) = 0,

ou seja, Dhf(0, 0) não depende linearmente de h e, portanto, Df(0, 0) nãoexiste.

Exercício. Prove que, no exemplo acima,∂ f

∂ x(x, y) é descontínua em (0, 0).

2.2 Regras de Derivação

(1) Linearidade da derivada: sejam f, g : A→ W , A ⊂ V aberto, V e W es-paços vetoriais normados reais, λ ∈ R , h = f + g, k = λf . Se f e g são de-riváveis em a ∈ A então h′(a) = f ′(a) + g′(a) e k′(a) = λf ′(a) , ou seja, oconjunto das aplicações f : A→ W que são deriváveis em a ∈ A é um subes-

15


paço vetorial Va do espaço de todas as aplicações f : A→ W e a aplicaçãof ∈ Va 7→ f ′(a) ∈ L(V,W ) é linear. É imediato também que o conjunto dasaplicações f ∈ C1(A,W ) é um subespaço de Va.

(2) Aplicações constantes:

f : x ∈ V 7→ b ∈ W , b fixo, tem derivada igual à transforma-ção linear 0 ∈ L(V,W ) pois f(x+ h) = f(x) + 0 · h . Ela é de classe C1 .

(3) Aplicações Lineares:

se T ∈ L(V,W ) então T ′(x) = T para todo x ∈ V .De fato, T (x+ h) = T (x) + T (h) implica T ′(x) = T , e T ′ ∈ L(V, L(V,W ))

é constante, donde contínua, ou seja T ∈ C1(V,W ) .

(4) Aplicações Multilineares:

vamos considerar o caso bilinear. Seja B : U × V → W bili-near. Para (x, y) ∈ U × V e (h, k) ∈ U × V , temos:

B(x+ h, y + k) = B(x, y) +B(h, y) +B(x, k) +B(h, k) .

Usando em U × V a norma ‖(h, k)‖ = sup ‖h‖, ‖k‖ , vem:

‖B(h, k)‖ ≤ ‖B‖ · ‖h‖ · ‖k‖ ≤ ‖B‖ ‖(h, k)‖2, donde lim(h,k)→(0,0)

B(h, k)

‖(h, k)‖= 0

e, portanto,B′(x, y)(h, k) = B(x, k) +B(h, y).

No caso trilinear, temos:

B′(x, y, z)(h, k, l) = B(x, y, l) +B(x, k, z) +B(h, y, z) , e

assim por diante. Voltando ao caso bilinear, vemos que

B′ : U × V −→ L(U, V ;W ) e tal que B′(x, y)(h, k) = B(x, k) +B(h, y),

(x, y) 7→ B′(x, y)

16


e é fácil ver que B′ é linear , donde contínua, e B ∈ C1(U × V,W ) .

Casos Particulares :

(a)B : L(V,W )× L(U, V ) −→ L(U,W )

(g, f) 7−→ g f

é bilinear. Logo,

B′(g, f)(h, k) = B(g, k) +B(h, f) = g k + h f,

onde h ∈ L(V,W ) e k ∈ L(U, V ).

(b) O produto internoB : Rn × Rn −→ R

(x, y) 7→ 〈x, y〉 =n∑i=1

xiyi ,

x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) é bilinear. Logo,

B′(x, y)(h, k) = 〈x, k〉+ 〈h, y〉, para h ∈ Rn, k ∈ Rn.

(c) B : L(V,W )× V → W é bilinear.(f, x) 7→ f(x)

Logo,

B′(f, x)(g, y) = f(y) + g(x), para y ∈ V , g ∈ L(V,W ).

(5) Regra da Cadeia

Sejam U, V e W e.v.n.(reais e de dimensão finita), f : A→ V ,g : B → W , A ⊂ U , B ⊂ V abertos, f(A) ⊂ B , e h = g f . Se f é derivá-vel em a ∈ A e g é derivável em b = f(a) ∈ B , vamos provar que h = g fé derivável em a e h′(a) = (g f)′(a) = g′(b) · f ′(a) .

Dem. Por hipótese, temos:

f(x)− f(a) = f ′(a)(x− a) + ‖x− a‖r(x), com limx→a

r(x) = 0.

g(y)− g(b) = g′(b)(y − b) + ‖y − b‖s(y), com limy→b

s(y) = 0.

17


Então,

h(x)− h(a) = g(f(x))− g(f(a)) = g(y)− g(b) = g′(b) · (y − b)++‖y − b‖ s(y) = g′(b) [f(x)− f(a)] + ‖f(x)− f(a)‖ s(y) =

= g′(b) · [f ′(a)(x− a) + ‖x− a‖ r(x)] + ‖f(x)− f(a)‖ s(y) =

= g′(b) · f ′(a)(x− a) + ‖x− a‖ · t(x),

ondet(x) = g′(b) · r(x) +

‖f(x)− f(a)‖‖x− a‖

· s(f(x)).

Mas,limx→a

g′(b) · r(x) = 0

e

‖f(x)−f(a)‖ = ‖f ′(a) ·(x−a)+‖x−a‖·r(x)‖ ≤ (‖f ′(a)‖+ ‖r(x)‖) ·‖x−a‖,

donde‖f(x)− f(a)‖‖x− a‖

≤ ‖f ′(a)‖+ ‖r(x)‖

e, como limx→a

r(x) = 0, resulta que‖f(x)− f(a)‖‖x− a‖

é limitado numa vizinhança

de a e , portanto, limy→b

‖f(x)− f(a)‖‖x− a‖

s(f(x)) = 0 .

Resulta que limx→a

t(x) = 0 , o que prova que h = g f é derivável em a e queh′(a) = g′(b) · f ′(a)

Corolário 2.1. Se f ∈ C1(A, V ) e g ∈ C1(B,W ) , então g f =

= h ∈ C1(A,W ) .

Dem. Temos h′(x) = g′(f(x)).f ′(x) ∀x ∈ A , isto éx

(α,β)7−→ (g′ f(x), f ′(x))B7−→ g′(f(x)) f ′(x) , onde α = g′ f , β = f ′ ,

B(α, β) = α β , todas contínuas; logo h′ é contínua, isto é, h ∈ C1(A,W ) .

Corolário 2.2. Dado v ∈ U , seja α : t 7→ α(t) um caminho em A tal queα(0) = a e α′(0) = v . Então,

(f α)′(0) = f ′(a) · v , ou seja, f ′(a) · v é o vetor tangente ao caminhot 7→ f α(t) em t = 0 .

18


α(0) = a

v = α′(0)

f(a)

f ′(a).v

Corolário 2.3. Suponhamos que f admita inversa g = f−1 : B → A

derivável em b . Então f ′(a) é um isomorfismo cujo inverso é g′(b) · (U =

= V = W, Af→ B

g→ A) .

Dem. f g = i dB e gf = i dA implicam f ′(a) ·g′(b) = i dV e g′(b) ·f ′(a) =

= i dV , ou seja, g′(b) = (f ′(a))−1 .

Obs. (Regra da cadeia clássica)

Sejam: U = Rm, V = Rn, W = Rp, f = (f1, . . . , fn) : A→ Rn,g = (g1, . . . , gp) : B → Rp , A ⊂ Rm aberto, B ⊂ Rn aberto, f(A) ⊂ B, f

derivável em a ∈ A e g derivável em b = f(a).

Então: Jf(a) =

ñ∂fk∂ xj

(a)

ô− n×m ; Jg(b) =

ñ∂gi∂ yk

(b)

ô− p× n.

A fórmula (g f)′(a) = g′(b) · f ′(a) implica em J(g f)(a) = Jg(b) · Jf(a).

Como J(g f)(a) =

ñ∂(gi f)

∂ xj(a)

ô, resulta:

∂(gi f)

∂ xj(a) =

n∑k=1

∂ gi∂ yk

(b) · ∂ fk∂ xj

(a) que, na notação clássica, se escrevia

∂gi∂ xj

(a) =n∑k=1

∂ gi∂ yk

(b) · ∂ yk∂ xj

(a) .

(6) Inversão de Matrizes

Sejam V e W e.v.n. de mesma dimensão n sobre K . O con-junto Isom (V,W ) ⊂ L(V,W ) das aplicações lineares invertíveis T : V → W

se identifica (via escolha de bases) com o conjunto GL(n,K) das matrizes in-vertíveis, que é aberto em M(n,K) = M(n), pois T ∈ GL(n,K) se, e só se,

detT 6= 0, e det : M(n)→ K é contínua.

19


(a) Sejam T ∈ GL(n,K), I = In , ‖T‖ < 1 .

Então,N∑n=0‖T‖n =

1− ‖T‖N+1

1− ‖T‖≤ 1

1− ‖T‖; portanto, a série ∑

n≥0(−1)nT n

é absolutamente convergente em M(n,K). Além disso, (I + T )(I − T+

+T 2−· · ·+ (−1)NTN) = (I−T +T 2−· · ·+ (−1)NTN)(I +T ) = I−TN+1.

Pondo S =∞∑n=0

(−1)nT n, resulta (I + T )S = S(I + T ) = I, ou seja,

S = (I + T )−1 e, como (I + T )−1 − I + T = T 2(I − T + T 2 − · · · ), vem

‖(I + T )−1 − I + T‖ ≤ ‖T‖2

1− ‖T‖.

(b) Seja f : GL(n,K)→M(n,K), f(X) = X−1. Então, f é derivável no

ponto In e Df(I) = −idM(n) = −I. De fato, para ‖H‖ < 1, escrevamos

(I +H)−1 = I −H + r(H).

Vem: ‖r(H)‖ = ‖(I +H)−1 − I +H‖ ≤ ‖H‖2

1− ‖H‖(pela parte (a)) donde

limH→0

r(H)

‖H‖= 0, e Df(In) = −I.

Para X ∈ GL(n,K), f(H) = H−1 admite a decomposição

Hα7−→ X−1H

f7−→ H−1Xβ7−→ H−1 ,

onde α e β são lineares. Logo, Df(X) = β′(I)·f ′(I)·α′(X) = βf ′(I)·α ,

donde Df(X) · H = β f ′(I) · α(H) = β · f ′(I)(X−1H) = β(−X−1H) =

= −X−1 ·H ·X−1.

(c) Vamos mostrar que f : GL(n,K) → M(n,K) , f(X) = X−1 , é de classe

C1 . Vimos que f ′(X) ·H = −X−1 ·H ·X−1.

Sejam ξ : GL(n,K) → M(n,K) ×M(n,K), ξ(X) = (X−1, X−1); ξ é

contínua pois f(X) = X−1 é derivável (donde contínua).

20


Seja

φ : M(n)×M(n) −→ L(M(n),M(n))

(T, S) 7−→ φ(T, S) : M(n)→M(n)

H 7→ −T ·H · S

φ(T, S) é linear, φ é bilinear (donde contínua) e f ′ = φ ξ, donde f ′ é

contínua e f ∈ C1(GL(n,K),M(n,K)).


1. Seja Mn(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Sejaf : Mn(R)→Mn(R) definida por f(X) = X ·X t, onde X t é a transposta

de X ∈Mn(R). Ache a derivada f ′(X) : Mn(R)→Mn(R) e mostre quef ′(X) ·H é simétrica para cada H ∈Mn(R). Mostre também que se X t = X−1

então, para cada matriz simétrica S, existe matriz H tal que f ′(X) ·H = S.

2. Seja f : Mn(R)→ R, f(X) = detX. Dados X, H ∈Mn(R), ache f ′(X) · H,mostre que f ′(I) ·H = tr H, onde I é a matriz identidade n × n e tr H é otraço de H. Mostre também que f ′(X) = 0 se, e só se, o posto de X é menorque (n− 1).

3. Sejam U , V , W e.v.n. de dimensão finita, A ⊂ U aberto, f : A→ V eg : A→ W aplicações deriváveis. Seja ϕ : A→ R tal que ϕ(x) = 〈f(x), g(x)〉,

onde 〈, 〉 : V ×W → R é uma forma bilinear. Calcule ϕ′(x).

4. Seja f : I → Rn de classe C1, onde I é um intervalo aberto de R. Definag : I × I → Rn por g(x, y) = f(x)−f(y)

x−y se x 6= y e g(x, x) = f ′(x). Prove que gé contínua em I × I e de classe C1 em I × I −∆, onde ∆ = (x, x);x ∈ I éa diagonal de I × I.

5. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produtointerno 〈, 〉, e seja ‖x‖ =

»〈x, x〉, x ∈ V , a norma induzida.

(a) Prove que x 7→ ‖x‖ não é derivável em 0;

21


(b) Prove que x 7→ ‖x‖ é derivável em todo x 6= 0 e ache sua derivada;

(c) Prove que ϕ(x) =x

‖x‖2, x 6= 0 é derivável em V − 0 e ache ϕ′(x).

6. Seja f : A→ Rm derivável no aberto A ⊂ Rn. Se existe M > 0 tal que‖f(x)−f(y)‖ ≤M ·‖x−y‖ para x, y ∈ A quaisquer, prove que ‖f ′(x)‖ ≤M

para todo x ∈ A.

7. Seja f : A→ Rm derivável no aberto A ⊂ Rn.

Se, para algum b ∈ Rm, o conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulaçãoa, então f ′(a) : Rn → Rm não é injetora.

8. Seja A ⊂ Rm aberto. Uma aplicação T : A→ L(Rn;Rp) é derivável em a ∈ Ase, e só se, para cada vetor v ∈ Rn, a aplicação ϕv : A→ Rp, ϕv(x) = T (x) · v,é derivável em a e, neste caso, ϕ′v(a) · u = (T ′(a) · u) · v.

9. Seja f : Rn → Rn derivável, com f(0) = 0. Se f ′(0) não tem autovalor iguala 1 , então existe vizinhança V de 0 em Rn tal que f(x) 6= x para todox ∈ V − 0.

10. Seja f : Mn(R)→Mn(R), f(A) = (tr A) · A, onde tr A =n∑i=1

aii é o traço da

matriz A = (aij)− n× n. Ache f ′(A).

22

Capítulo 3

Integração de Caminhos e o Teoremado Valor Médio

Neste capítulo desenvolvemos a teoria elementar da integral de funçõesf : [a, b] → V , onde [a, b] é um intervalo real e V um espaço vetorial de dimensãofinita, funções para as quais existam os limites laterais f(a+0), f(b−0), f(c−0)

e f(c + 0) para todo c ∈ (a, b). Tais funções são chamadas reguladas. Comoaplicação demonstramos o teorema do valor médio, e algumas consequências.

3.1 Integração de Caminhos

Seja [a, b] ⊂ R um intervalo compacto e f : [a.b] → V um caminho no e.v.n.real V de dimensão finita. Uma partição de [a, b] é um conjunto finito P =

= to, t1, . . . , tp, ti ∈ [a, b], tal que a = to < t1 < . . . < tp = b.

Definição 3.1. f : [a, b]→ V é um caminho de saltos se existem partiçãoP = to, . . . , tp de [a, b] e vetores v1, . . . , vp ∈ V tais que f(t) = vi parati−1 < t < ti.

Assim, f tem valor constante em cada subintervalo aberto (ti−1, ti) deter-minado pela partição P . O valor de f na extremidade ti não interessa, e

23

CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO DE CAMINHOS E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO

definimos

IP (t) =p∑i=1

(ti − ti−1)vi ∈ V.

Se Q é outra partição de [a, b], em relação à qual f é um caminho de saltos,vamos provar que IQ(f) = IP (f). Consideremos primeiro a partição obtida de P

pelo acrescentamento de um único ponto c : Pc = to, . . . , tk, c, tk+1, . . . , tp.Então, IPc(f) = (t1− t0)v1 + · · ·+(c− tk)vk+1 +(tk+1−c)vk+1 + · · ·+(tp− tp−1)vp =

= (t1 − t0)v1 + · · ·+ (tk+1 − tk)vk+1 + · · ·+ (tp − tp−1)vp = IP (f) .

Logo, acrescentando-se um número finito de pontos à partição P obtemos Qtal que IQ(f) = IP (f), ou seja, se Q ⊃ P (isto é, se Q é um refinamento de P ),então IQ(f) = IP (f). Se R é uma partição arbitrária de [a, b] , então Q = P ∪Ré um refinamento comum a P e R, donde IR(f) = IQ(f) = IP (f), o que mostraque o vetor IP (f) independe da partição P ; ele é a integral de f em [a, b] :

IP (f) =∫ b

af(t) dt.

Representamos por S = S([a, b], V ) o conjunto dos caminhos de saltosf : [a, b]→ V . É fácil ver que S é um espaço vetorial real. Temos a aplicação

I : S −→ V

f 7−→ I(f) =b∫af.

I é linear e ‖I(f)‖ ≤ (b− a) supa≤t≤b

‖f(t)‖, como se verifica imediatamente.

Definição 3.2. f : [a, b]→ V é um caminho regulado se f é o limite uniformede uma sequência de caminhos de saltos.

Seja B = B([a, b], V ) o espaço vetorial real dos caminhos limitados f : [a, b]→ V

com a topologia da convergência uniforme, definida pela norma ‖f‖∞ = supa≤t≤b

‖f(t)‖.

S = S([a, b], V ) é um subespaço de B. O fecho (ou aderência) de S em B é o e.v.n.

R = R([a, b], V ) dos caminhos regulados. Sejam fn, gn ∈ S, fn → f , gn → f ,

In =b∫afn, Jn =

b∫agn, a convergência sendo uniforme.

24


Temos: ‖In − Im‖ =

∥∥∥∥∥ b∫a (fn − fm)

∥∥∥∥∥ ≤ (b− a)‖fn − fm‖∞, donde (In)n≥1 é de

Cauchy em V , e converge para I = limn→∞

In. Analogamente, seja J = limn→∞

Jn.

Vamos mostrar que I = J . Dado ε > 0 , existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 implica

‖fn − f‖∞ < ε e ‖gn − f‖∞ < ε, donde ‖fn − gn‖ < 2ε para n ≥ n0. Logo,

‖In − Jn‖ ≤ (b− a)‖fn − gn‖ < 2ε(b− a) para n ≥ n0, donde resulta

limn→∞

(In − Jn) = 0, e I = J .

Assim, se fn → f e gn → f , entãob∫afn e

b∫agn convergem em V para o

mesmo vetor I , e podemos definir:

Definição 3.3. Se fn ∈ S([a, b], V ) e fn → f uniformemente, então limn→∞

b∫afn

está bem definido e se chama a integral de f em [a, b] . Notação: I = limn→∞

b∫afn =

b∫af .

Proposição 3.1. Sejam f, g ∈ R = R([a, b], V ), λ ∈ R, T ∈ L(V,W ), V e W

e.v.n. (reais e de dimensão finita). Então,

(a)b∫a

(f + g) =b∫af +

b∫ag;

(b)b∫aλf = λ

b∫af ;

(c) ‖b∫af‖ ≤ (b− a)‖f‖∞;

(d)b∫aT f = T.

Çb∫af

å.

Dem. Deixemos (a),(b),(c) como exercício e provemos (d).

Temos: ‖T fn − T f‖ ≤ ‖T‖.‖fn − f‖, donde (T fn)n≥1 converge uni-formemente para T f se fn → f uniformemente, fn ∈ S, e T fn ∈ S. Logo,T f ∈ R e, então, limn→∞

∫ ba T fn =

∫ ba T f . Mas, é imediato que∫ b

a T fn = T.Ä∫ ba fnä, e resulta

∫ ba T f = limn→∞ T

Ä∫ ba fnä

= TÄ∫ ba fä, pois T é

contínua.

25


Proposição 3.2. Seja λ : [a, b]→ L(V,W ) um caminho regulado.

Para cada h ∈ V fixo, o caminho t ∈ [a, b] 7→ λ(t).h ∈ W é regulado e∫ ba λ(t).h dt =

Ä∫ ba λ(t) dt

ä.h .

Dem. Seja λn ∈ S ([a, b], L(V,W )), λn → λ uniformemente; então, f(t) = λ(t).h =

= limn→∞ λn(t).h. Pondo fn(t) = λn(t).h resulta que fn ∈ S ([a, b],W ) e que fn → f

uniformemente, donde f ∈ R([a, b],W ). Seja T : L(V,W ) −→ W , T (g) = g(h). Té linear. Então,

b∫a

λ(t).h dt =

b∫a

(T λ)(t) dt = T.

Ñb∫a

λ(t) dt

é=

Ñb∫a

λ(t) dt

é.h.

Proposição 3.3. Todo caminho contínuo f : [a, b] −→ V pode ser uniformementeaproximado por caminhos de saltos, ou seja, C0 ([a, b], V ) ⊂ R ([a, b], V ).

Dem. Como f é uniformemente contínua, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈∈ [a, b], |x− y| < δ implicam ‖f(x)− f(y)‖ < ε. Seja n ∈ N tal que b−a

n< δ e seja

P = t0, . . . , tp a partição de [a, b] tal que ti−ti−1 = b−an

para todo i. Se ti−1 ≤ t < ti

defina gn(t) = f(ti−1), donde gn ∈ S([a, b], V ) e supa≤t≤b ‖gn(t)− f(t)‖ ≤ ε.

A proposição abaixo generaliza a Proposição 3.3.

Proposição 3.4. f : [a, b] −→ V é regulada se, e só se, para cada c ∈ (a, b) exis-tem os limites laterais f(c− 0), f(c+ 0), bem como f(a+ 0) e f(b− 0) .

Dem. Seja a < c ≤ b e provemos que f(c−0) = limt→c−

f(t) existe, o caso f(c+0)

sendo análogo. Como f é regulada, existe sequência (fn)n≥1, fn ∈ S, tal que

fn → f uniformemente. Seja vn = fn(c − 0); dado ε > 0, existe no ∈ N tal

que m ≥ n ≥ no implica ‖fm(t) − fn(t)‖ < ε ∀t ∈ [a, b]. Seja t < c tal que

‖fn(t)− vn‖ < ε e ‖fm(t)− vm‖ < ε. Resulta, ‖vm − vn‖ < 3ε se m ≥ n ≥ n0,

isto é, (vn)n≥1 é de Cauchy em V , donde existe v = limn→∞

vn. Provemos que

v = f(c−0). Dado ε > 0 , seja n0 ∈ N tal que ‖vn0−v‖ < ε e ‖fn0(t)−f(t)‖ < ε

∀t ∈ [a, b]; existe δ > 0 tal que c − δ < t < c implica ‖fn0(t) − vn0‖ < ε. Logo

c− δ < t < c implica ‖f(t)− v‖ < 3ε, donde v = limt→c−

f(t).

26


Reciprocamente, dado ε > 0 , existe n ∈ N tal que c − 1

n< t < c ⇒

⇒ ‖f(t) − f(c − 0)‖ < ε2, e c < t < c + 1

n⇒ ‖f(t) − f(c + 0)‖ < ε

2. Resulta

que se x < c, y < c ou x > c, y > c, ambos em Ic =

Çc− 1

n, c+

1

n

å,

então ‖f(x) − f(y)‖ < ε (Nas extremidades os intervalos são Ia = [a, a +1

n) e

Ib = (b − 1

n, b]). Como [a, b] é compacto, existe número finito de tais intervalos

Ic0 , . . . , Icm , com a = co < c1 < . . . < cm = b, cuja união contém [a, b], e

podemos supor que nenhum Ici esteja contido na união dos demais, donde existe

ti ∈ Ici ∩ Ici+1, ci < ti < ci+1.

Assim, ‖f(x) − f(y)‖ < ε desde que x, y estejam ambos em (ci, ti) ou ambos

em (ti, ci+1) . Definamos gn ∈ S pondo gn(ci) = f(ci), gn(ti) = fn(ti) e, em cada

intervalo (ci, ti) ou (ti, ci+1), tomando gn constante e igual ao valor de f num ponto

(por exemplo, o ponto médio) do intervalo. Então, ‖f(t) − gn(t)‖ < ε ∀t ∈ [a, b],

gn −→ f uniformemente, e f é regulada.

Corolário 3.1. f : [a, b] −→ V contínuo ⇒ f regulado.

Corolário 3.2. f : [a, b] −→ R monótono ⇒ f regulado.

Corolário 3.3. f ∈ R([a, b], V ) tem quantidade enumerável de descontinuidades.

Dem. Seja fn ∈ S, fn → f uniformemente. Como fn tem número finito de

descontinuidades, o conjunto D das descontinuidades de todos os fn é enumerável.

Como f é contínua fora de D (pois o limite uniforme preserva a continuidade)

segue-se o resultado.

Proposição 3.5. Seja f ∈ R([a, b], V ). Para todo x ∈ [a, b], temos:x∫af +

b∫xf =

b∫af.

Dem. Sejam g ∈ S, P = to, . . . , tp partição de [a, b] tal que g(ti) = vi ,

27


ti−1 < t < ti. Então,b∫a

g =p∑i=1

(ti − ti−1)vi .

Seja Px = t0, t1, . . . , ti−1, x, ti, . . . , tp. Então,

x∫a

g =i−1∑k=1

(tk − tk−1)vk + (x− ti−1)vi,

b∫x

g = (ti − x)vi +p∑

k=1

(tk − tk−1)vk.

Logo,x∫ag+

b∫xg =

b∫ag, e o teorema vale para g ∈ S . Por passagem ao limite

obtemos o caso f ∈ R.

Proposição 3.6. Seja f ∈ R([a, b], V ), e seja F (x) =x∫af(t) dt.

Então:

(a) F é contínua;

(b) f contínua ⇒ F ′ = f ( donde F ∈ C1).

Dem. (a) F (x+ h)− F (x) =x+h∫xf , donde ‖F (x+ h)− F (x)‖ ≤ ‖h‖.‖f‖, e F ′ é

contínua.

(b) f contínua ⇒∥∥∥∥∥F (x+ h)− F (x)

h− f(x)

∥∥∥∥∥ =1

|h|

∥∥∥∥∥x+h∫x

[f(t)− f(x)] dt

∥∥∥∥∥ ≤≤ sup|t−x|≤|h|

‖f(t)− f(x)‖, donde F ′ = f , e F ∈ C1.

Corolário 3.4. (Teorema Fundamental do Cálculo) .

28


Seja f : [a, b]→ V de classe C1 . Então,

f(b)− f(a) =

b∫a

f ′(t) dt.

Dem. Seja F (x) =x∫af ′(t) dt , donde F ′(x) = f ′(x) , e f(x) = F (x) + C ,

resultando f(a) = C ,e F (x) = f(x) − f(a) , donde F (b) =b∫af ′(t) dt =

= f(b)− f(a) .

Proposição 3.7. Sejam f : A→ W , A ⊂ V aberto, f de classe C1, [a ; a+h] ⊂ A,

V e W e.v.n. (reais e de dimensão finita).

Então: f(a+ h)− f(a) =1∫0f ′(a+ th).h dt =

Ç1∫0f ′(a+ th) dt

å.h.

Dem. Seja ϕ : [0, 1] → W , ϕ(t) = f(a + th); então ϕ ∈ C1, ϕ(0) = f(a),

ϕ(1) = f(a+ h) e ϕ′(t) = f ′(a+ th).h.

Logo, ϕ(1) − ϕ(0) =1∫0ϕ′(t) dt, e f(a + h) − f(a) =

1∫0f ′(a + th).h dt =

=


å.h.

Proposição 3.8. (Teorema do Valor Médio) .

Sejam f : A → W , A ⊂ V aberto, f ∈ C1, V e W e.v.n. (reais e de

dimensão finita). Se [a, a+ h] ⊂ A , então

‖f(a+ h)− f(a)‖ ≤ ‖h‖ sup0<t<1

‖f ′(a+ th)‖ .

Dem. De f(a+ h)− f(a) =


å.h, vem

‖f(a+ h)− f(a)‖ ≤ ‖h‖.

∥∥∥∥∥∥∥1∫

0

f ′(a+ th) dt

∥∥∥∥∥∥∥ ≤ ‖h‖ sup0<t<1

‖f ′(a+ th)‖.

29


.

Corolário 3.5. Se A é convexo e ‖f ′(x)‖ ≤ k, então f é de Lipschitz :

‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ k‖x1 − x2‖ .

Se f ′(x) = 0 resulta que f é constante no convexo A .

Definição 3.4. Um espaço topológico X é conexo se X = A ∪ B, com A e B

abertos disjuntos, implica X = A, B = ø.

Proposição 3.9. Sejam X 6= ø e Y espaços topológicos, Y sendo de Hausdorff, e

f : X → Y contínua. Se X é conexo e f é localmente constante (isto é, cada ponto

possui uma vizinhança na qual f é constante), então f é constante em X.

Dem. Sejam a ∈ x e b = f(a) ∈ Y ; então f−1(b) é fechado em X e contém a.

Como fé localmente constante resulta que f−1(b) é aberto e, como X é conexo, vem

que X = f−1(b), donde f(x) = b ∀x ∈ X.

Proposição 3.10. Sejam f : A → W , f ∈ C1 , A ⊂ V aberto conexo, V e W

e.v.n. (reais e de dimensão finita).

Se f ′(x) = 0 ∀x ∈ A, então f é constante.

Dem. Sejam a ∈ A, B uma bola de centro a, contida em A. B é convexa, donde

f é constante em B, ou seja, f é localmente constante. Como A é conexo, f é

constante em A.

Obs. Para f : A → R, f ∈ C1, A ⊂ V aberto, temos uma igualdade do

valor médio: f(b) − f(a) = f ′(c).(b − a), com c ∈ [a, b] ⊂ A. Com efeito, seja

ϕ : [0, 1]C1

−→ R, ϕ(t) = f(a+ t(b− a)). Então: ϕ(0) = f(a) , ϕ(1) = f(b) e existe

30


a

b

A

c

t0 ∈ (0, 1) tal que ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ′(t0), donde f(b) − f(a) = f ′(c).(b − a), onde

c = a+ t0(b− a) ∈ [a, b] ⊂ A.

No caso f : A → W , dimW > 1, não temos igualdade em geral: por

exemplo, seja f : R → R2, f(t) = eit = (cos t, sen t) . Então, f ′(t) = i.eit =

= (− sen t, cos t) 6= 0 e f(2π)− f(0) = 0 6= f ′(t0).2π = 2πi.eit0 .

Proposição 3.11. Sejam f : A → W , f ∈ C1,A ⊂ V aberto, [a, a + h] ⊂ A,

T ∈ L(V,W ), V e W e.v.n. (de dimensão finita e reais). Então,

‖f(a+ h)− f(a)− T.h‖ ≤ ‖h‖ sup0<t<1

‖f ′(a+ th)− T‖.

Dem. Basta aplicar a Proposição 3.8 a g(x) = f(x)− T (x) .

Corolário 3.6. Sejam f : A → W , A ⊂ V aberto, a ∈ A , f ∈ C0(A,W ),

f ∈ C1(A−a,W ). Se existe T = limx→a

Df(x), então f ∈ C1(A,W ) e T = Df(a) .

Dem. Seja δ > 0 tal que (a+ h) ∈ A para ‖h‖ < δ.

Então,

r(a, h)

‖h‖=‖f(a+ h)− f(a)− T.h‖

‖h‖≤ sup

0<t<1‖f ′(a+ th)− T‖,

31


donde limh→0

r(a, h)

‖h‖= 0 e T = Df(a).

Proposição 3.12. Seja A ⊂ V aberto. Se uma sequência de aplicações fn : AC1

−→ W ,

onde V e W são e.v.n. (reais e de dimensão finita), converge para f : A → W

e a sequência das derivadas f ′n : AC0

−→ L(V,W ) converge uniformemente para

g : AC0

−→ L(V,W ), então f ′ = g e f ∈ C1.

Dem. fn(x+ h)− fn(x) =1∫0f ′n(x+ th).h dt. Por passagem ao limite, vem:

f(x+ h)− f(x) =

1∫0

g(x+ th).h dt.

Seja

r(h) = f(x+ h)− f(x)− g(x).h =

1∫0

[g(x+ th)− g(x)].h dt.

Então,

‖r(h)‖ ≤ ‖h‖ sup0<t<1

‖g(x+ th)− g(x)‖, donde limh→0

r(h)

‖h‖= 0, f ′ = g e f ∈ C1.

Proposição 3.13. Sejam A ⊂ V aberto, f : A → W de classe C1, a ∈ A. Se

f ′(a) : V → W é injetora, existe vizinhança de a na qual f é injetora.

Dem. T = f ′(a) : V → f ′(a).V é um homeomorfismo linear, donde existe m > 0

tal que ‖T.h‖ ≥ m · ‖h‖, h ∈ V . Seja δ > 0 tal que ‖h‖ < δ ⇒ a + h ∈ A e

f(a+ h)− f(a) = T.h+ r(h) com ‖r(h)‖ < m

2‖h‖. Então,

‖f(a+ h)− f(a)‖ ≥ ‖T · h‖ − ‖r(h)‖ ≥ m

2‖h‖.

De f(x) − f(a) = T (x − a) + r(x) resulta que f ∈ C1 implica r ∈ C1 e que

32


r′(a) = f ′(a)− T = 0, e podemos escolher δ > 0 de modo que se tenha também

‖r′(x)‖ < m

2desde que ‖x − a‖ < δ. Então, para x e y em Bδ(a) , temos ‖r(x)−

−r(y)‖ < m

2‖y − x‖ e, portanto, na bola Bδ(a), vale ‖f(y) − f(x)‖ = ‖T (y − x)+

+r(y)− r(x)‖ ≥ m

2‖y − x‖, donde f é injetora em Bδ(a) .


1. Seja f : I → Rn um caminho diferenciável. Se existirem a ∈ I , b ∈ Rn tais

que a seja ponto de acumulação de f−1(b), prove que f ′(a) = 0.

2. Sejam f : [a, b] → Rn e ϕ : [a, b] → R ambos de classe C1. Se

‖f ′(t)‖ ≤ ϕ′(t) para todo t ∈ (a, b), prove que ‖f(b)− f(a)‖ ≤ ϕ(b)− ϕ(a).

3. Sejam f, g : [a, b]→ Rn de classe C1. Prove que

b∫a

〈f(t), g′(t)〉 dt = 〈f(b), g(b)〉 − 〈f(a), g(a)〉 −b∫a

〈f ′(t), g(t)〉 dt,

onde 〈, 〉 é o produto interno usual de Rn.

4. Sejam f : [a, b] → R contínua, φ : [c, d] → R de classe C1 tal que

φ([c, d]) ⊂ [a, b]. Prove queβ∫αf(φ(t))φ′(t) dt =

φ(β)∫φ(α)

f(x) dx, quaisquer que

sejam α e β em [c, d] .

33

Capítulo 4

Derivadas Parciais

Neste Capítulo introduzimos o conceito de derivada parcial. Como aplicação ,

demostramos o teorema de Leibniz de derivação sob o sinal de integração.

4.1 Derivadas Parciais

Seja V = V1 × V2 o produto cartesiano dos e.v.n. V1 e V2; cada x ∈ V

se escreve de modo único como x = (x1, x2) com x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2, e a função

x 7−→ sup ‖x1‖, ‖x2‖ é uma norma em V . Sejam A ⊂ V aberto, W um e.v.n. e

consideremos a aplicação f : A→ W . Se a = (a1, a2) ∈ A , sejam:

A1 = x1 ∈ V1 ; (x1, a2) ∈ A ; A2 = x2 ∈ V2 ; (a1, x2) ∈ A .

A1 (resp. A2) é aberto em V1 (resp. V2) pois A1 = λ−11 (A) onde λ1 : V1 → V

é a função contínua λ1(x1) = (x1, a2) .

34

CAPÍTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

Seja f1 = f λ1 : A1 → W

V2

V1a1

a2

A1

A2A

a = (a1, a2)

)

)

( )

Definição 4.1. Dizemos que f é derivável parcialmente em relação a V1 no ponto

a = (a1, a2) ∈ A se f1 : A1 → W é derivável em a1 ∈ A1 , e definimos a derivada

parcial D1f(a) ∈ L(V1,W ) por D1f(a) = Df1(a1) . Usam-se também as notações

∂1f(a) ,∂f

∂x1

(a) e f ′x1(a) para D1f(a) .

Analogamente definimos a derivada parcial de f em relação a V2 no ponto

a = (a1, a2) , a saber, D2f(a) = Df2(a2) , onde f2 = f λ2 : A2 → W ,

λ2 : V2 → V sendo dada por λ2(x2) = (a1, x2) . Assim, as derivadas parciais

D1f(a) e D2f(a) são definidas pelas igualdades seguintes:

f(a1 + h1, a2) = f(a1, a2) +D1f(a1, a2).h1 + r1(h1);

f(a1, a2 + h2) = f(a1, a2) +D2f(a1, a2).h2 + r2(h2) ,

com limh1→0

r1(h1)

‖h1‖= lim

h2→0

r2(h2)

‖h2‖= 0.

Proposição 4.1. Com as notações acima, se f é derivável em a = (a1, a2) , então

35


as derivadas parciais existem e

Df(a)(h1, h2) = D1f(a).h1 +D2f(a).h2.

Dem. Como f é derivável em a, temos f(a + h) = f(a) + Df(a).h + r(h) , com

limh→0

r(h)

‖h‖= 0 .

Em particular,

f(a1 + h1, a2) = f(a) +Df(a)(h1, 0) + r(h1) , com limh1→0

r(h1)

‖h1‖= 0 , ou seja,

Df(a)(h1, 0) = D1f(a).h1 . Analogamente, Df(a).(0, h2) = D2f(a).h2.

Logo,

Df(a).(h1, h2) = D1f(a).h1 +D2f(a).h2.

Obs. A recíproca é falsa, isto é, a mera existência de D1f(a) e D2f(a)

não implica a derivabilidade de f em a, como já vimos (Obs 2 da Seção 2.1 do

Capítulo 2).

Exemplo 4.1.1. Seja Rn = R×n^· · · ×R . Se f : A → Rm , A ⊂ Rn aberto, é

derivável em a ∈ A , então : Dif(a) ∈ L(R,Rm) ' Rm (isometria canônica) é o

vetor∂f

∂xi(a) = Dif(a).1 =

Ç∂f1

∂xi(a), . . . ,

∂fm∂xi

(a)

å∈ Rm , onde f = (f1, . . . , fm).

Proposição 4.2. Sejam V1, V2, W e.v.n., V = V1×V2 , A ⊂ V aberto. f : A→ W

é de classe C1 se, e só se, as derivadas parciais D1f : A→ L(V1,W ) e

D2f : A→ L(V2,W ) existem e são contínuas.

Dem. Se f é derivável em a ∈ A vimos que Df(a).(h1, 0) = D1f(a).h1 . Seja

µ1 : V1 → V , µ1(x1) = (x1, 0) ; µ1 é linear e D1f(a) = Df(a) µ1 . A aplicação

ψ1 : L(V,W ) → L(V1,W ) , ψ1(g) = g µ1 ,é linear e D1f(a) = ψ1(Df(a)) ,

36


donde D1f = ψ1 Df , e a continuidade de Df implica a de D1f . Analogamente

se prova que D2f é contínua.

Reciprocamente, suponhamos D1f e D2f contínuas. Para mostrar que f é

derivável em a = (a1, a2) ∈ A , sejam h = (h1, h2) , e r(h) = f(a + h)−

−f(a)−D1f(a)h1 −D2f(a)h2.

Então: ‖r(h)‖ ≤ ‖f(a1 + h1, a2 + h2)− f(a1 + h1, a2)−D2f(a).h2‖+

+ ‖f(a1 + h1, a2)− f(a1, a2)−D1f(a).h1‖ ≤ ‖h2‖. sup0<t<1

‖D2f(a1 + h1, a2 + th2)−

−D2f(a)‖+ ‖h1‖. sup0<t<1

‖D1f(a1 + th1, a2)−D1f(a)‖.

Logo, devido à continuidade de D1f e D2f , resulta que limh→0

r(h)

‖h‖= 0 ,

mostrando que Df(a) existe e que Df(a)(h1, h2) = D1f(a).h1 +D2f(a).h2 .

Para i = 1, 2 , se ϕi : L(Vi,W ) → L(V,W ) , ϕi(g) = g πi , onde

πi : V → Vi é a projeção, então ϕi é linear e Df(a) = D1f(a) π1 +D2f(a) π2 ,

donde Df = ϕ1 D1f + ϕ2 D2f , o que mostra ser Df contínua, ou seja, f é de

classe C1.

Corolário 4.1. Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A→ Rm , f = (f1, . . . , fm) .

f ∈ C1(A,Rm) se, e só se, todas as derivadas parciais∂f

∂xi: A → R são

contínuas, 1 ≤ i ≤ m .

Proposição 4.3. Sejam A ⊂ Rn aberto e f : A× [a, b]→ Rm contínua.

Então f é contínua em x ∈ A , uniformemente em relação a t ∈ [a, b] .

Dem. Seja x0 ∈ A . Dado ε > 0, existem V (t) = vizinhança aberta de t e

r(t) > 0 tais que ‖x− x0‖ < r(t) e s ∈ V (t) implicam ‖f(x, s)− f(x0, t)‖ < ε .

Como [a, b] é compacto, existem vizinhanças V (t1), . . . , V (tp) que cobrem [a, b].

37


Seja δ = inf1≤i≤p

r(ti) > 0 . Então, ‖x− x0‖ < δ implica ‖f(x, t)− f(x0, t)‖ < ε para

todo t ∈ [a, b] , ou seja, ‖x− x0‖ < δ implica supa≤t≤b

‖f(x, t)− f(x0, t)‖ ≤ ε , que é a

tese.

Proposição 4.4. (Leibniz)

Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A× [a, b]→ Rm contínua e F : A→ Rm definida

por F (x) =b∫af(x, t) dt . Então F é contínua. Além disso, se existe e é contínua

a derivada parcial D1f : A× [a, b]→ L(Rn,Rm) , então F ′(x) =b∫aD1f(x, t) dt e

F ∈ C1 .

Dem. Temos:

‖F (x+h)−F (x)‖ =

∥∥∥∥∥∥∥b∫a

[f(x+ h, t)− f(x, t)]dt

∥∥∥∥∥∥∥ ≤ (b−a) supa≤t≤b

‖f(x+ h, t)− f(x, t)‖ .

Como f é contínua em x uniformemente em t, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖h‖ < δ implica supa≤t≤b

‖f(x+ h, t)− f(x, t)‖ < ε

b− a.

Então,

‖h‖ < δ implica ‖F (x+ h)− F (x)‖ < ε , e F é contínua.

Suponhamos agora D1f contínua. Temos:

‖r(h)‖ =

∥∥∥∥∥F (x+ h)− F (x)−Çb∫aD1f(x, t) dt

å.h

∥∥∥∥∥ =

=

∥∥∥∥∥ b∫a [f(x+ h, t)− f(x, t)−D1f(x, t).h] dt

∥∥∥∥∥ ≤≤ (b− a) sup

a≤t≤b0≤s≤1

‖D1f(x+ sh, t)−D1f(x, t)‖.‖h‖.

Como D1f é contínua em x uniformemente em t, dado ε > 0, existe δ > 0 tal

que ‖h‖ < δ implica supa≤t≤b

‖D1f(x+sh, t)−D1f(x, t)‖ < ε

b− a, donde ‖r(h)‖ < ε.‖h‖

38


para ‖h‖ < δ , ou seja, F ′(x) =b∫aD1f(x, t) dt , resultando F ∈ C1(A,Rm) .


1. Seja f : R2 → R definida por

f(x, y) =

y2. sen x

yse y 6= 0;

0 se y = 0.

Estude, em todo ponto de R2, a continuidade de f , a existência e a continui-

dade das derivadas parciais de f , e a derivabilidade de f .

2. Seja f : R2 → R definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) =xy√x2 + y2

sen1√

x2 + y2

se (x, y) 6= (0, 0) . Prove que D1f e D2f existem em cada ponto (x, y) ∈ R2 ,

e que as funções x 7→ D1f(x, b) , y 7→ D1f(a, y) , x 7→ D2f(x, b) ,

y 7→ D2f(a, y) são contínuas em R para cada (a, b) ∈ R2, mas que f não e

derivável em (0, 0).

3. Sejam I ⊂ R um intervalo aberto, A ⊂ Rn aberto, f : I×A→ Rm contínua

e tal que D2f existe e é contínua em I × A, α, β : A → I de classe C1, e

g : A → Rm , g(z) =β(z)∫α(z)

f(u, z) du . Prove que g ∈ C1 e que g′(z) é a

aplicação

t 7→

Öβ(z)∫α(z)

D2f(u, z) du

è.t+ (β′(z).t)f(β(z), z)− (α′(z).t)f(α(z), z) .

39


4. Sejam A ⊂ Rn aberto e f : A → R . Se as derivadas parciais∂f

∂xi= Dif

existem e são limitadas numa vizinhança de a ∈ A , prove que f é contínua

em a.

5. Seja f : R2 → R tal que f(0, 0) = 0 e f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2se

(x, y) 6= (0, 0) . Mostre que f ∈ C1(R2,R) .

6. Seja f : A → Rm , onde A ⊂ Rn é aberto. Se A contém o segmento [a, b],

e f é derivável em cada ponto de [a, b], prove que existe T ∈ L(Rn,Rm) tal

que f(b)− f(a) = T (b− a) .

7. Seja f : Rn → R homogênea de grau p, isto é, f(tx) = tpf(x) para todo

x ∈ Rn e t > 0 .

(a) Se f é derivável em Rn, prove a relação de Euler:

pf(x) =n∑i=1

xi∂f

∂xi(x) para todo x 6= 0 de Rn.

(b) Reciprocamente, se f satisfaz a relação de Euler acima, c ∈ Rn , c 6= 0 ,

e g(t) = f(tc) para t > 0, prove quef é homogênea de grau p.

40

Capítulo 5

Teorema da Função Inversa

O resultado central deste capítulo é o teorema da função inversa, ou o equiva-

lente teorema das funções implícitas. Dentre suas aplicações destacamos o teorema

do posto e as formas locais das imersões e submersões. Como sempre, vamos supor

que V e W sejam espaços vetoriais normados reais, ambos de dimensão finita.

5.1 Difeomorfismos. Teorema da Função Inversa

Definição 5.1. Sejam A ⊂ V , B ⊂ W abertos. Dizemos que f : A → B é um

difeomorfismo se f é bijetora, derivável, e a aplicação inversa f−1 : B → A é

derivável. Se f é f−1 são de classe C1 dizemos que f é um difeomorfismo de classe

C1 , ou um C1− difeomorfismo.

Obs. Uma aplicação f : A → B pode ser um homeomorfismo derivável sem

ser um difeomorfismo, isto é, a aplicação f−1 : B → A pode não ser derivável.

Por exemplo, f : R → R , f(x) = x3 , é um homeomorfismo derivável mas

41

CAPÍTULO 5. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA

f−1(x) = 3√x não é derivável na origem.

Proposição 5.1. Sejam A ⊂ V , B ⊂ W abertos e f : A→ B um homeomorfismo

derivável em a ∈ A . Então, g = f−1 : B → A é derivável em b = f(a) se, e só

se, f ′(a) : V → W é um isomorfismo e, neste caso, g′(b) = [f ′(a)]−1 .

Dem. A necessidade é consequência direta da regra da cadeia (como já vimos antes).

Suponhamos, então, que f ′(a) : V → W seja um isomorfismo. Temos:

y − b = f(x)− f(a) = f ′(a).(x− a) + ‖x− a‖r(x) ,

com limx→a

r(x) = 0 . Aplicando [f ′(a)]−1 , vem:

[f ′(a)]−1.(y − b) = x− a+ ‖x− a‖[f ′(a)]−1.r(x) , donde ‖f ′(a)−1.(y − b) ≥

≥ (1 − ‖f ′(a)−1.r(x)‖).‖x − a‖ e, pondo s(x) = f ′(a)−1.r(x), vem limx→a

s(x) = 0,

e ‖x − a‖ ≤ ‖y − b‖ ‖f′(a)−1‖

1− ‖s(x)‖desde que ‖x − a‖ seja suficientemente pequeno

para que ‖s(x)‖ < 1 .

Resulta:‖x− a‖ · ‖s(x)‖‖y − b‖

≤ ‖f ′(a)−1‖ · ‖s(x)‖1− ‖s(x)‖

,

que tende a 0 (zero) quando y → b (que equivale a x→ a).

Portanto,

g(y)− g(b) = f ′(a)−1 · (y − b)− ‖x− a‖ · s(x) ,

com limy→b

‖x− a‖s(x)

‖y − b‖= 0 , o que mostra que g = f−1 é derivável em b = f(a) e

que g′(b) = [f ′(a)]−1 .

Proposição 5.2. Sejam A ⊂ V e B ⊂ W abertos. Um homeomorfismo de classe

C1, f : A → B , é um difeomorfismo de classe C1 se, e só se, para todo x ∈ A ,

f ′(x) é um isomorfismo.

42


Dem. Se f ′(x) é um isomorfismo para cada x ∈ A, resulta, pela Proposição 5.1,

que g = f−1 é derivável em cada ponto y ∈ B e que g′(y) = f ′(x)−1 . Para provar

que g′ é contínua, observemos que g′ = h · f ′ · g (onde h(T ) = T−1), composta de

contínuas. A recíproca é imediata.

Definição 5.2. Um ponto fixo de uma aplicação f : A→ X , onde A ⊂ X, é um

ponto x ∈ A tal que f(x) = x .

Definição 5.3. Sejam M e N espaços métricos. f : M → N é uma contração se

existe k , 0 < k < 1, tal que d(f(x), f(y)) ≤ k · d(x, y) quaisquer que sejam x e y

em M .

Proposição 5.3. (Teorema do ponto fixo de Banach).

Seja M um espaço métrico completo. Toda contração f : M → M tem um,

e um único, ponto fixo.

Dem. (a) Unicidade: se tivermos f(a) = a e f(b) = b então d(a, b) =

= d(f(a), f(b)) ≤ k · d(a, b) , 0 < k < 1 , donde d(a, b) = 0, e a = b .

(b) Existência: Seja x0 ∈ M arbitrário, e definamos uma sequência (xn)n∈N por

x1 = f(x0) , xn+1 = f(xn) , n ∈ N . Temos: d(x2, x1) = d(f(x1), f(x0)) ≤

≤ k · d(x1, x0) e, por indução, d(xn+1, xn) ≤ knd(x1, x0). Se n, p ∈ N , temos:

d(xn+p, xn) ≤ d(xn, xn+1)+ · · ·+d(xn+p, xn+p−1) ≤ (kn+ · · ·+kn+p−1)d(x1, x0) ≤

≤ kn

1− kd(x1, x0) , donde (xn)n∈N é sequência de Cauchy em M e, portanto,

converge para um ponto a ∈ M . Então, a = limxn+1 = lim f(xn) = f(a) , e a

é ponto fixo de f .

Proposição 5.4. Sejam A ⊂ V aberto, f : A→ V tais que a aplicação ϕ : A→ V ,

ϕ(x) = f(x) − x, seja uma contração. Então, f é um homeomorfismo de A sobre

43


um aberto de V .

Dem. Sejam x e x′ em A ; temos:

‖f(x)− f(x′)‖ = ‖x− x′ + ϕ(x)− ϕ(x′)‖ ≥ ‖x− x′‖ − ‖ϕ(x)− ϕ(x′)‖ ≥

≥ (1 − k) · ‖x − x′‖ para algum k, 0 < k < 1 . Resulta que f e injetora e que sua

inversa g = f−1 : f(A)→ A satisfaz ‖g(y)− g(y′)‖ ≤ 1

1− k‖y− y′‖, donde g = f−1

é contínua e f : A → f(A) é um homeomorfismo. Resta provar que f(A) é aberto

em V : sejam b = f(a) , a ∈ A, e r > 0 tal que Br(a) = x ∈ V ; ‖x− a‖ ≤ r ⊂ A.

Vamos mostrar que B = B(1−k)r(b) está contida em f(A) ; para isso, seja y ∈ B e

vamos achar x ∈ A tal que y = f(x) = x + ϕ(x), isto é, x = y − ϕ(x) = ϕy(x), ou

seja, devemos achar um ponto fixo para ϕy : A → V . Como ‖ϕy(x) − ϕy(x0)‖ =

= ‖ϕ(x0) − ϕ(x)‖ ≤ k‖x − x0‖, ϕy é uma contração. Ora, se x ∈ Br(a) temos

‖ϕy(x)−a‖ = ‖y−ϕ(x)−a‖ ≤ ‖y−ϕ(a)−a‖+‖ϕ(x)−ϕ(a)‖ ≤ ‖y−b‖+k‖x−a‖ ≤

≤ (1 − k)r + kr = r , donde ϕy(x) ∈ Br(a), isto é, ϕy : Br(a) → Br(a) é uma

contração no espaço métrico completo Br(a), donde tem um único ponto fixo x ∈

∈ Br(a) ⊂ A, e y = f(x) ∈ f(A) , donde B ⊂ f(A) , e f(A) é aberto em V .

Proposição 5.5. Sejam a ∈ A , A ⊂ V aberto, f : A→ W de classe C1 tais que

f ′(a) seja um isomorfismo. Existem vizinhanças abertas Va de a, Wb de b = f(a),

tais que f : Va → Wb seja um homeomorfismo.

Dem. Seja g = f ′(a)−1 f : A → V ; g é de classe C1 e g′(a) = idV , donde

g(x) = g(a) + (x−a) +ϕ1(x) , e g(x)−x = g(a)−a+ϕ1(x) = ϕ(x) , ϕ : A→ V ,

ϕ′(a) = 0.

Seja k ∈ R , 0 < k < 1 ; existe r > 0 tal que x ∈ Br(a) implica ‖ϕ′(x)‖ < k,

donde ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ ≤ k · ‖x − y‖ (pelo Teorema do Valor Médio) para x e y

em Br(a), isto é, ϕ : Br(a) → V é uma contração. Pela Proposição 5.4, g é um

44


homeomorfismo de Br(a) sobre um aberto de V , donde f = f ′(a)−1 · g : Br(a)→ W

é um homeomorfismo de Br(a) sobre um aberto de W .

Proposição 5.6. (Teorema da função inversa)

Sejam A ⊂ V aberto e f : A → W de classe C1. Se, em a ∈ A , f ′(a) é

um isomorfismo, existem vizinhanças abertas Va de a e Wb de b = f(a) tais que

f : Va → Wb seja um difeomorfismo de classe C1.

Dem. Pela Proposição 5.5 existem vizinhanças abertas V ′a de a, W ′b de b = f(a)

tais que f : V ′a → W ′b seja um homeomorfismo; além disso, f ′(x) existe para todo

x ∈ V ′a.

Como f ′ : A → L(V,W ) é contínua e Isom (V,W ) é aberto em L(V,W ),

resulta que (f ′)−1(Isom(V,W )) é um aberto em A contendo a, donde existe vizi-

nhança aberta Va de a, Va ⊂ V ′a, tal que f ′(x) ∈ Isom(V,W ) para todo x ∈ Va. Seja

Wb = f(Va); Wb é aberto em W pois f é homeomorfismo. Assim, f : Va → Wb é

um homeomorfismo de classe C1 tal que f ′(x) é um isomorfismo para todo x ∈ Va ;

pela Proposição 5.2, f : Va → Wb é um difeomorfismo de classe C1.

Corolário 5.1. Com as notações da Proposição 5.6, f : A → W de classe C1

é um difeomorfismo de classe C1 se, e só se: (a) f é injetora; e (b) f ′(x) é um

isomorfismo para todo x ∈ A.

Dem. Se f é um difeomorfismo de classe C1 é claro que (a) e (b) se verificam. Re-

ciprocamente, suponhamos que (a) e (b) sejam verdadeiras. A condição (b) implica

que f : A→ W é uma aplicação aberta já que a Proposição 5.6 mostra que se a ∈ A,

a imagem por f de uma vizinhança aberta de a contém uma vizinhança aberta de

b = f(a); em particular, f(A) é aberto em W . Por (a) temos que f : A→ f(A) é bi-

45


jetora e, como ela é continua e aberta, g = f−1 é contínua e, portanto, f : A→ f(A)

é um homeomorfismo. Pela Proposição 5.2, f é um difeomorfismo de classe C1.

Definição 5.4. Sejam V e W e.v.n., A ⊂ V aberto. Uma aplicação f : A → W

é um difeomorfismo local se, para cada x ∈ A, existem vizinhanças Vx de x e Wf(x)

de f(x) tais que f : Vx → Wf(x) seja um difeomorfismo.

Obs. 1: Se f : A → W é um difeomorfismo local então f ′(x) : V → W é isomor-

fismo para todo x ∈ A e f : A → W é uma aplicação aberta. f : A → f(A) será

um difeomorfismo se, e só se, f for injetora. A Proposição 5.6 afirma que se f é de

classe C1 e f ′(x) é um isomorfismo para todo x ∈ A, então f é um difeomorfismo

local.

Obs. 2: No caso V = W = Rn, A ⊂ Rn aberto, f : A → Rn, f = (f1, . . . , fn) ∈

∈ C1 (A,Rn), dizer que f ′(a) : Rn → Rn é um isomorfismo é o mesmo que dizer que

a matriz jacobiana(∂fi∂xj

(a))é invertível, isto é, equivale a dizer que det

(∂fi∂xj

(a))

=

= ∂(f1,...,fn)∂(x1,...,xn)

(a) 6= 0. Assim, se este jacobiano é 6= 0, existem vizinhanças abertas Va

de a e Wb de b = f(a) tais que f : Va → Wb seja um difeomorfismo de classe C1.

5.2 Aplicações de Posto Constante

Definição 5.5. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V → W

linear. O posto de T é a dimensão de T (V ) = ImT .

Definição 5.6. Sejam V e W e.v.n., dimV = n, dimW = m, A ⊂ V aberto,

f : A→ W derivável. O posto de f em a ∈ A é o posto de f ′(a) ∈ L(V,W ).

Dizemos que: (a) f é uma imersão se, para todo x ∈ A, f ′(x) é injetora, ou seja, o

posto de f é igual a n em cada x ∈ A.

46


(b) f é uma submersão se, para todo x ∈ A, f ′(x) é sobrejetora, ou seja, o posto de

f é igual a m em cada x ∈ A.

(c) f é um mergulho se f é uma imersão e um homeomorfismo de A sobre f(A).

As imersões e submersões são aplicações de posto máximo.

Definição 5.7. Sejam U , V , W , Z e.v.n., f : U → V , g : W → Z aplicações de

classe C1.

(a) Dizemos que f é C1− conjugada a g se existem difeomorfismos de classe C1,

ϕ : U → W e ψ : V → Z tais que o diagrama abaixo seja comutativo, isto é,

U

W Z

Vf

ϕ ψ

g

g ϕ = ψ f .

(b) Dizemos que f é localmente C1- conjugada a g na vizinhança de a ∈ U se

existem aberto A ⊂ U , a ∈ A, aberto B ⊂ V , f(a) ∈ B, aberto C de W e aberto

D ⊂ Z tais que f : A→ B e g : C → D sejam C1−conjugadas.

Exemplo 5.2.1. A inclusão i : V → V ×W , i(x) = (x, 0), é uma imersão.

Exemplo 5.2.2. A projeção π : V ×W → W , π(x, y) = y, é uma submersão.

Exemplo 5.2.3. Todo C1− difeomorfismo é C1− conjugado à identidade pois o

diagrama abaixo é comutativo.

Proposição 5.7. (Teorema do posto)

47


U

U U

Vf

id f−1

id

Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A → Rm de classe C1 , de posto r numa

vizinhança Va de a ∈ A. Então, f é localmente C1− conjugada à aplicação linear

(x1, . . . , xn) 7−→ (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) de Rn em Rm.

Dem. Como f ′(a) : Rn → Rm tem posto r, existem bases ordenadas E = (v1, . . . , vn)

de Rn e F = (ω1, . . . , ωm) de Rm tais que B = [f ′(a)]EF =

Ir 0

0 0

, isto é,

B(x1, . . . , xn)t = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0)t.

Sejam:

p : Rm → Rr , p(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yr),

q : Rn → Rn−r , q(x1, . . . , xn) = (xr+1, . . . , xn),

f = (f1, . . . , fm) , e definamos ϕ : A → Rn por ϕ = (p f, q), ou seja,

ϕ(x) = ϕ(x1, . . . , xn) = (f1(x), . . . , fr(x), xr+1, . . . , xn).

Temos: (p f)′(a) = p f ′(a) e q′(a) = q, de modo que ϕ′(a)(x) =

= (x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xn), e ϕ′(a) = idRn. Pelo teorema da função inversa, existe

vizinhança Ua de a tal que ϕ : Ua → ϕ(Ua) seja um C1− difeomorfismo. Seja

Ω = Ua ∩ Va. Para u = ϕ(x), x ∈ Ω, temos f ϕ−1(u) = (f1(x), . . . , fm(x)) =

= (u1, . . . , ur, gr+1(u), . . . , gm(u)) , onde gj = fj ϕ−1 , r + 1 ≤ j ≤ m, é de classe

C1 e, como ϕ é um difeomorfismo, o posto de f ϕ−1 é r em todo u ∈ ϕ(Ω).

48


Temos:

J(f ϕ−1)(u) =

Ir 0

∗ñ∂gi∂uj

(u)

ô ,

de posto r.

Logo:∂gi∂uj

(u) = 0 para r+1 ≤ i ≤ m e r+1 ≤ j ≤ n . Sem perda de gene-

ralidade podemos considerar ϕ(Ω) como um aberto convexo ( por exemplo uma bola

aberta de centro ϕ(a)), o que implica que gr+1, . . . , gm independem de ur+1, . . . , un.

Assim, f ϕ−1(u1, . . . , un) = (u1, . . . , ur, gr+1(u1, . . . , ur), . . . . . . , gm(u1, . . . , ur)).

Definamos ψ , numa vizinhança de f(a), por ψ(z1, . . . , zr, zr+1, , . . . , zm) = (z1, . . . , zr,

zr+1 − gr+1(z1, . . . , zr), . . . , zm − gm(z1, . . . , zr)) .

Temos que ψ ∈ C1 tem inversa ψ−1(z1, . . . , zr, . . . , zm) = (z1, . . . , zr, zr+1 +

+ gr+1(z1, . . . , zr), . . . , zm + gm(z1, . . . , zr)) também de classe C1 , isto é, ψ é um

C1− difeomorfismo. Além disso, ψ f ϕ−1(u) = ψ(u1, . . . , ur, gr+1(u1, . . . , ur), . . .

. . . , gm(u1, . . . , ur)) = (u1, . . . , ur, 0, . . . , 0), donde f é localmente C1− conjugada a

(u1, . . . , un) 7−→ (u1, . . . , ur, 0, . . . , 0) :

Ω

ϕ(Ω) ψ(f(Ω))

f(Ω)f

ϕ ψ

ψ f ϕ−1

Corolário 5.2. (Forma local das imersões).

Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A→ Rm de classe C1, a ∈ A tais que f ′(a) : Rn → Rm

seja injetora. Então, f é localmente C1− conjugada à aplicação linear

(x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0) de Rn em Rm.

49


Dem. f ′(a) sendo injetora, existe vizinhança aberta de a na qual f ′(x) é injetora,

ou seja, de posto n, e a Proposição 5.7 se aplica.

Corolário 5.3. (Forma local das submersões).

Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A → Rm de classe C1, a ∈ A tais que

f ′(a) : Rn → Rm seja sobrejetora. Então, f é localmente C1− conjugada à aplicação

linear (x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xm) de Rn em Rm.

Dem. f ′(a) sendo sobrejetora, existe vizinhança aberta de a na qual f ′(x) é sobre-

jetora, ou seja, de posto m, e a Proposição 5.7 se aplica.

Obs. A demonstração da Proposição 5.7 mostra que, no caso das submersões (r = m),

temos ψ = idRn e ϕ = (f, q).

Escrevendo x = (s, t), onde s = (x1, . . . , xm) e t = (xm+1, . . . , xn), e

definindo β(s, t) = (t, s), temos que β é um difeomorfismo de classe C1, o mesmo

acontecendo com ϕ1 = β ϕ, e temos:

x = (s, t)ϕ7−→ ϕ(x) = (f(x), t)

β7−→ (t, f(x))π27−→ f(x), ou seja, π2 ϕ1 = f ,

isto é, f é localmente C1− conjugada à aplicação π2 : Rn−m × Rm −→ Rm,

π2(t, s) = s.

Corolário 5.4. (Teorema das funções implícitas).

Sejam A ⊂ Rn = Rm×Rn−m aberto, f : A→ Rm de classe C1. Suponha que

a = (s0, t0) ∈ A e que D1f(a) : Rm → Rm seja um isomorfismo. Existem abertos

V ⊂ Rn−m, t0 ∈ V , e Ω ⊂ A, a ∈ Ω, tais que para cada t ∈ V existe um único

g(t) ∈ Rm satisfazendo às condições: (g(t), t) ∈ Ω e f(g(t), t) = f(a) = c. A

aplicação g : V → Rm é de classe C1 e g′(t) = −D1f(g(t), t)−1 D2f(g(t), t).

50


Dem. Como f ′(a) : Rn → Rm é sobrejetora, existe C1 - difeomorfismo ϕ : Ω→ ϕ(Ω)

de um aberto Ω ⊂ A, a ∈ Ω, ϕ(s, t) = (f(s, t), t) tal que π1 ϕ = f .

Podemos tomar ϕ(Ω) = W × V , onde V é vizinhança aberta de t0 e W é vi-

Rm × Rn−m ⊃ Ω

Rm × Rn−m ⊃ ϕ(Ω) = W × V

f Rm

π1ϕ

zinhança aberta de f(a) = c . Seja h = ϕ−1, donde h ϕ(s, t) = (s, t) =

= h(f(s, t), t) = (h1(s, t), t). Definamos g : V → Rm por g(t) = h1(c, t).

Então, (g(t), t) ∈ Ω e f h(ω, t) = f(h1(ω, t), t) = ω , e f(g(t), t) = c. É claro

que g ∈ C1(pois h ∈ C1); derivando f(g(t), t) = c, vem D1f(g(t), t).g′(t)+

+D2f(g(t), t) = 0 , donde g′(t) = −D1f(g(t), t)−1 D2f(g(t), t) .

Unicidade. Seja (s, t) ∈ Ω tal que f(s, t) = c. Então, (s, t) = h ϕ(s, t) =

= h(f(s, t), t) = h(c, t) = (g(t), t) , e s = g(t) .

Obs. Na literatura é mais usual supor A ⊂ Rn−m × Rm, D2f(a) : Rm → Rm

isomorfismo, e obter a 2a variável em função da 1a. Para obter essa formulação

usa-se a simetria β(t, s) = (s, t) e aplica-se a forma local das submersões à função

f β, conforme o esquema:

Ω′ = β−1(Ω), ϕ1 = β ϕ β−1. Então, ϕ(s, t) = (f β(s, t), t) =

= (f(t, s), t) , donde ϕ1(t, s) = (t, f(t, s)), e π2 ϕ1 = f . Definimos g : V → Rm

por g(t) = h2(t, c). Como antes, obtemos g ∈ C1, f(t, g(t)) = c, e g′(t) =

= −D2f(t, g(t))−1 · D1f(t, g(t)).

51


Rn−m × Rm ⊃ Ω

Rm × Rn−m ⊃ Ω′

π2Rm × Rn−m ⊃ ϕ(Ω′)

Rn−m × Rm ⊃ βφ(Ω′) = ϕ1(Ω) = V ×W

Rm

f β

f

β

β

ϕ

Obs. (1) f−1(c) ∩Ω = (t, g(t)) ; t ∈ V é o gráfico da aplicação g : V → Rm de

classe C1 .

(2) Em coordenadas, f = (f1, . . . , fm). É dado o sistema f1(t, s) = c1, . . . , fm(t, s) =

= cm , onde as fi : A → R são de classe C1 . Supondo que o jacobiano∂(f1, . . . , fm)

∂(x1, . . . , xm)seja 6= 0 no ponto (t0, s0), concluímos que o sistema acima é equiva-

lente ao sistema si = gi(t), 1 ≤ i ≤ m, onde as gi são de classe C1 , desde que t

seja "vizinho" de t0 e s de s0. Como os nomes das variáveis mudam de um problema

a outro, devemos observar que o jacobiano a ser calculado é o das derivadas parciais

das funções dadas em relação às incógnitas que queremos obter.

(3) Toda submersão de classe C1 é uma aplicação aberta, pois é localmente C1 -

conjugada a uma projeção. De fato, f leva vizinhança aberta Ω de (t, s) em vizi-

nhança aberta W de f(t, s).

(4) Para bem compreender o significado geométrico da Proposição 5.7 e seus Co-

52


rolários, o leitor deverá estudar as figuras que aparecem na Seção 5 do capítulo de

Variedades Diferenciais.


1. Seja U um aberto do Rn contendo a origem, e seja A : U → L(Rn,Rn) de

classe C1 . Seja B : U → Rn definida por B(x) = A(x) · x. Mostre que se

A(0) é um isomorfismo, existem vizinhanças abertas V e W de 0 em Rn tais

que B seja um C1 -difeomorfismo de V sobre W .

2. Seja ϕ : L(Rn) → L(Rn) definida por ϕ(u) = u u. Mostre que ϕ é

um difeomorfismo de classe C1 de uma vizinhança da identidade I numa

vizinhança de I.

3. Seja f : R2 → R2, f(x, y) = (xey, xe−y). Mostre que para todo (a, b) ∈ R2

tal que a 6= 0, existe vizinhança U de (a, b) na qual a equação f(x, y) = (u, v)

admite uma solução única, qualquer que seja (u, v) ∈ f(U).

4. Seja o sistema de incógnita (x, y, z, t) ∈ R4 :

x3 + y3 + z3 + t2 = 0

x2 + y2 + z2 + t = 2

x+ y + z + t = 0

Verifique que o ponto (0,−1, 1, 0) é solução. Mostre que se pode resolver este

sistema em relação a (x, y, z) numa vizinhança deste ponto. Calcule a derivada

em t = 0 da aplicação t 7−→ (x(t), y(t), z(t)) assim definida.

53


5. Seja f : Mn(R) → Mn(R) tal que f(A) = A2 . Mostre que f é de classe

C1 e calcule f ′(A). Mostre que existe uma aplicação derivável g, definida

numa vizinhança V da identidade I em Mn(R) , a valores em Mn(R), tal que

g(A)2 = A para toda A ∈ V .

6. Seja f : R2 → R2 tal que f(x, y) = (x2 − y2, 2xy) . Mostre que f é injetora

em A = (x, y) ∈ R2 | x > 0 e ache g′(0, 1) , onde g = f−1 : f(A)→ A .

7. Seja f : Rn → Rn, f(x) = ‖x‖·x. Mostre que f ∈ C∞ e que f : B1(0)→ B1(0)

é bijetora, onde B1(0) = x ∈ Rn; ‖x‖ < 1. Se g = f−1 : B1(0) → B1(0),

mostre que g não é derivável em 0.

8. Seja f : R5 → R2 de classe C1 tal que f(a) = f(1, 2,−1, 3, 0) = 0 e Jf(a) = 1 3 1 −1 2

0 0 1 2 −4

. Mostre que existem B ⊂ R3 aberto e g : B → R2 ,

g ∈ C1 , tal que f(x1, g1(x), g2(x), x2, x3) = 0 para x = (x1, x2, x3) ∈ B , e

g(1, 3, 0) = (2,−1) . Ache g′(1, 3, 0) .

9. Seja f : [0, 1] → R, contínua e positiva, tal que1∫0f(t)dt = 3. Mostre que,

para cada x num certo intervalo [0, δ], existe um único g(x) ∈ [0, 1] tal queg(x)∫xf(t)dt = 2, e que a função g : [0, δ]→ [0, 1] é de classe C1. Ache g′(x).

10. Seja ϕ : Rm × Rn → Rm contínua em relação à segunda variável, e tal que

‖ϕ(x, t) − ϕ(y, t)‖ ≤ λ.‖x − y‖ para um certo λ, 0 < λ < 1, quaisquer

que sejam x e y em Rm e t em Rn. Prove que existe aplicação contínua

α : Rn → Rm tal que ϕ(α(t), t) = α(t) para todo t ∈ Rn.

54

Capítulo 6

Derivação de Ordem Superior

Neste capítulo introduzimos as derivadas de ordem superior, demonstramos o

teorema de Schwarz sobre a simetria da derivada segunda, e estudamos a fórmula

de Taylor.

6.1 Derivação de Ordem Superior

Sejam, como sempre, U , V e W e.v.n. reais de dimensão finita, A ⊂ V aberto

e f : A → W . Se f é derivável em todas os pontos de A, temos a aplicação

derivada Df = f ′ : A→ L(V,W ). Se Df é contínua então f é de classe C1 .

Definição 6.1. Se Df é derivável em a ∈ A então sua derivada D(Df)(a) =

= D2f(a) = f ′′(a) é a derivada segunda de f em a.

Temos: D2f(a) : V → L(V,W ), linear, ou seja, D2f(a) ∈ L(V ; L(V,W )) '

' L2(V,W ) (isometria canônica), de forma que f ′′(a) = D2f(a) é uma aplicação

55

CAPÍTULO 6. DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR

bilinear:

f ′′(a) : V × V −→ W

(u, v) 7−→ f ′′(a)(u, v) = D2f(a)(u)(v) .

Definição 6.2. Se f é duas vezes derivável em A e f ′′ : A→ L2(V,W ) é contínua,

dizemos que f é de classe C2 em A, e escrevemos f ∈ C2(A ; W ).

As derivadas de ordem superior são definidas por indução. Se f : A→ W é

(k − 1)−vezes derivável em A, então sua (k − 1)−ésima derivada é uma aplicação

Dk−1f : A → Lk−1(V ; W ), onde Lk−1(V ; W ) é o espaço vetorial real das

aplicações (k − 1)−lineares de V em W . Se Dk−1f for derivável em a ∈ A,

diremos que f é k−vezes derivável em a e definimos Dkf(a) = D(Dk−1f)(a).

Assim,

Dkf(a) : V → Lk−1(V ; W ) é linear, isto é, Dkf(a) ∈ L(V ; Lk−1(V , W )) '

' Lk(V,W )(isometria canônica), ou seja, Dkf(a) é uma aplicação k−linear de V

em W . Se f for k−vezes derivável em A, temos a aplicação

Dkf : A→ Lk(V ; W ).

Se Dkf é contínua, dizemos que f é de classe Ck em A, e escrevemos f ∈ Ck(A,W ).

Definição 6.3. Dizemos que f : A → W é de classe C∞ se ela é de classe Ck

para todo k ∈ N. f é de classe C0 se f é continua. Assim, C∞ =∞⋂k=0

Ck.

Obs. Ck = Ck(A ; W ) é um espaço vetorial real e

D : Ck(A ; W ) −→ Ck−1(A,L(V,W )) é linear.

56


Exemplo 6.1.1. Sejam A ⊂ Rn, f : A −→ Rm, f = (f1, . . . , fm) . f ∈ Ck ⇔ cada

fi ∈ Ck. Neste caso, Djf(x) = (Djf1(x), . . . , Djfm(x)).

Exemplo 6.1.2. Toda aplicação linear T : V −→ W é de classe C∞ pois T ′(x) = T

para todo x ∈ V , donde DkT = 0 para k ≥ 2.

Exemplo 6.1.3. Toda aplicação bilinear B : U × V −→ W é de classe C∞ pois

B′ : U × V −→ L(U, V ; W ) é linear. Em geral, toda aplicação multilinear é de

classe C∞.

Exemplo 6.1.4. L2(Rn,R) tem uma base natural que consiste das formas bilineares

dxi ⊗ dxj : Rn ×Rn −→ R definidas por (dxi ⊗ dxj)(u, v) = dxi(u) · dxj(v), donde

(dxi ⊗ dxj)(eh, ek) = δih · δjk, onde (e1, . . . , en) é a base canônica do Rn. De fato,

se g ∈ L2(Rn,R) então g(u, v) = g(n∑i=1

aiei ,n∑j=1

bjej) =n∑

i,j=1aibjg(ei, ej) =

=n∑

i,j=1gijaibj.

Mas, ai = dxi(u) e bj = dxj(v). Logo, g(u, v) =n∑

i,j=1gijdxi(u)dxj(v) =

=n∑

i,j=1gijdxi ⊗ dxj(u, v).

Portanto, g =n∑

i,j=1gijdxi ⊗ dxj, onde gij = g(ei, ej).

Assim, as formas εij = dxi⊗dxj geram L2(Rn,R). Elas são linearmente indepen-

dentes pois sen∑

i,j=1λijεij = 0, então ∑

i,jλijεij(eh, ek) = 0, isto é, ∑

i,jλijδih · δjk = 0,

donde λhk = 0 (h, k = 1, . . . , n).

Resulta que as formas εij = dxi ⊗ dxj formam uma base de L2(Rn,R).

Se f : A ⊂ Rn −→ R é 2−vezes derivável em A, então

D2f(x) ∈ L2(Rn,R), para todo x ∈ A. Procuremos a matriz de D2f(x) em relação

à base canônica do Rn.

Seja αi : L(Rn,R) −→ R linear, αi(u) = u(ei). Como∂f

∂xi(a) = f ′(a) · ei, temos

57


∂f

∂xi= αi f ′ : A −→ R.

Então: (αj Df)′(a) = Dαj(f′(a)) ·D2f(a) = αj D2f(a).

E : D2f(a)(ei)(ej) = αj(D2f(a))(ei) = (αj ·Df)′(a)(ei) =

∂

∂xi(αj Df)(a) =

=∂

∂xi

Ç∂f

∂xj

å(a) =

∂2f

∂xi∂xj(a).

Resulta que a matriz de D2f(a) procurada é a matriz hessiana

Hf (a) =

∂2f

∂x21

(a) · · · ∂2f

∂x1∂xn(a)

... . . . ...∂2f

∂xn∂x1

(a) · · · ∂2f

∂x2n

.

E a expressão de D2f(a) em função da base dxi ⊗ dxj de L2(Rn ; R) é

D2f(a) =n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(a) dxi ⊗ dxj ,

que classicamente se escrevia d2f(a) =n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(a) dxi dxj.

Exemplo 6.1.5. Função Composta.

Se f ∈ C1(A, V ) , g ∈ C1(B,W ) e f(A) ⊂ B, então

h = g f ∈ C1(A,W ), como já vimos antes. Vamos provar que f ∈ Ck ,

g ∈ Ck ⇒ g f = h ∈ Ck. Por indução, suponhamos o teorema verdadeiro para

(n− 1)(n ≥ 2), e provemos que h′ ∈ Cn−1. Ora,

h′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).

Como g′ f ∈ Cn−1, f ′ ∈ Cn−1 e a composição é bilinear (donde C∞)

58


resulta que h′ ∈ Cn−1 , e h ∈ Cn (Para mais detalhes veja a demonstração do

caso n=1 no Corolário 2.1, Seção 2.2 do Capítulo 2).

Exemplo 6.1.6. Inversão de matrizes.

Já vimos, no Capítulo 2, que f : GL(Rn) −→ L(Rn), f(X) = X−1 , é

de classe C1 e que f ′(X).H = −X−1.H.X−1, donde f ′ = ϕ ξ, onde ξ(X) =

= (X−1, X−1) = (f(X), f(X)) e ϕ(T, S).H = −T.H.S. Como ϕ é bilinear, donde

C∞, f ∈ Ck−1 implica ξ ∈ Ck−1 e resulta f ′ ∈ Ck−1, e f ∈ Ck para todo

k ∈ N, donde f ∈ C∞. (Veja o caso k=1 no Capítulo 2).

Proposição 6.1. Sejam A ⊂ V e B ⊂ W abertos e f : A −→ B um C1 -

difeomorfismo. Se f é de classe Ck então a inversa g = f−1 também é de classe

Ck (Dizemos que f é um Ck− difeomorfismo).

Dem. Como g′(y) = (f ′(g(y)))−1 para y ∈ B, g′ é a composta de:

(a) g : B −→ A;

(b) f ′ : A −→ L(V,W );

(c) X ∈ Isom(V,W )F7−→ X−1 ∈ L(W ;V ).

Por indução suponhamos o teorema verdadeiro para (k − 1).

Então, f ′ ∈ Ck−1, F ∈ C∞ e g ∈ Ck−1 . Logo, g′ ∈ Ck−1, e g ∈ Ck .

Corolário 6.1. Se um homeomorfismo f : A → B é de classe Ck (k ≥ 1) e se

f ′(x) ∈ Isom(V,W ) para todo x ∈ A, então f é um Ck−difeomorfismo.

Dem. Para k = 1 é a Proposição 5.2 do Capítulo 5, e f é um C1−difeomorfismo

de classe Ck, donde f−1 ∈ Ck, e f é um Ck - difeomorfismo.

59


Obs. (1) No teorema da função inversa (Proposição 5.6 do Capítulo 5), se supuser-

mos que f ∈ Ck, então f : Va → Wb (notação da Proposição 5.6 do Capítulo 5)

será um Ck−difeomorfismo.

(2) No teorema do posto (Proposição 5.7 do Capítulo 5), se supusermos que

f ∈ Ck(k ≥ 1), então f será localmente Ck−conjugada (definição óbvia) à aplicação

linear (x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0).

(3) No teorema das funções implícitas, se supusermos que f ∈ Ck (k ≥ 1),

poderemos concluir que g ∈ Ck (notação daquele teorema).

Proposição 6.2. (Teorema de Schwarz)

Sejam A ⊂ V aberto, f : A → W duas vezes derivável em a ∈ A. Então,

f ′′(a) ∈ L2(V ;W ) é simétrica, isto é , (f ′′(a) ·h) · k = (f ′′(a) · k) ·h para h, k ∈ V

quaisquer.

Dem. Para simplificar a demonstração vamos supor que f ∈ C2(A,W ). Seja

∆(h, k) = f(a+ h+ k)− f(a+ h)− f(a+ k) + f(a) = ∆(k, h). Então,

∆(h, k)− f ′′(a)(h, k) = ∆(h, k)− (f ′′(a) · h) · k =

=

1∫0

f ′(a+ h+ sk) · k ds−1∫

0

f ′(a+ sk) · k ds−1∫

0

f ′′(a) · h · k ds =

=

1∫0

[f ′(a+ h+ sk)− f ′(a+ sk)− f ′′(a) · h] · k ds =

=

1∫

0

ds

1∫0

[f ′′(a+ th+ sk)− f ′′(a)] dt

(h) · (k)

(utilizamos a Proposição 3.7 do Capítulo 3).

60


Como f ∈ C2, dado , ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖h‖ ≤ δ, ‖k‖ ≤ δ

implicam ‖f ′′(a+ sk + th)− f ′′(a)‖ < ε

2para s, t ∈ [0, 1] quaisquer.

Portanto, ‖∆(h, k)− f ′′(a)(h, k)‖ ≤ ε

2· ‖h‖ · ‖k‖ desde que ‖h‖ ≤ δ ,

‖k‖ ≤ δ.

Então, ‖f ′′(a)(h, k)− f ′′(a)(k, h)‖ < ε · ‖h‖ · ‖k‖ desde que ‖h‖ ≤ δ ,

‖k‖ ≤ δ. Os dois membros dessa desigualdade são homogêneos do 2 grau em h , k,

donde a mesma desigualdade vale para h , k arbitrários. Resulta que a aplicação

bilinear (h, k) 7−→ [f ′′(a)(h, k)− f ′′(a)(k, h)] tem norma menor do que ε, donde

ela é igual a zero, ou seja, f ′′(a)(h, k) = f ′′(a)(k, h) para h , k quaisquer, isto é,

f ′′(a) é simétrica.

Proposição 6.3. Sejam A ⊂ V aberto, f : A→ W de classe C2.

Se k ∈ V , então∂f

∂k: A→ W é de classe C1 e D

Ç∂f

∂k

å(a)h =

= D2f(a)(h, k) para todo h ∈ V , ou seja, se a ∈ A, ∂

∂h

Ç∂f

∂k

å(a) =

=∂2f

∂h∂k(a) = D2f(a)(h, k). Além disso,

∂2f

∂h∂k=

∂2f

∂k∂h.

Dem. A aplicação∂f

∂k: x ∈ A 7−→ ∂f

∂k(x) = Df(x).k ∈ W é a composta de

x ∈ A 7−→ Df(x), que é de classe C1 , com α : T ∈ L(V,W ) 7−→ T (k) que é

linear, donde de classe C∞.

Então :∂f

∂k= αDf , donde ∂f

∂k∈ C1 e D

Ç∂f

∂k

å(a) = αD2f(a), e D

Ç∂f

∂k

å(a).h =

= α (D2f(a)(h)) = D2f(a)(h, k), ou seja,∂2f

∂h∂k(a) = D2f(a)(h, k) = D2f(a)(k, h) =

=∂2f

∂k∂h(a), donde a tese.

Proposição 6.4. Seja f : A ⊂ V −→ W n−vezes derivável em a ∈ A. Então,

f (n)(a) ∈ Ln(V ;W ) é simétrica, isto é, se σ é uma permutação de 1, 2, . . . , n e

h1, . . . , hn ∈ V , temos f (n)(a)(h1, . . . , hn) = f (n)(a)(hσ(1), . . . , hσ(n)).

61


Dem. Para n = 2 é o teorema de Schwarz. Para n ≥ 3, suponhamos que f (n−1)(x)

seja simétrica para todo x numa vizinhança aberta Va de a. f (n)(a) é a derivada

de f (n−1) : Va → L(n−1)(V,W ). Para h1 ∈ V fixo, f (n)(a) · h1 é (n − 1)−linear

simétrica, isto é, (f (n)(a) · h1)(h2, . . . , hn) = f (n)(a)(h1, . . . , hn) é função simétrica

das últimas (n − 1) variáveis, e basta mostrarmos que f (n)(a)(h1, h2, . . . , hn) não

se altera quando permutamos h1 e h2 (já que toda σ é um produto de transposições).

Temos: f (n)(a) = (D2f (n−2))(a), donde

f (n)(a)(h1, h2) = D2f (n−2)(a)(h1, h2) = D2f (n−2)(a)(h2, h1).

Portanto, f (n)(a)(h1, . . . , hn) = f (n)(a)(hσ(1), . . . , hσ(n)).

6.2 Fórmula de Taylor

Proposição 6.5. Seja ϕ : [0, 1]→ W de classe Cn+1 (num aberto contendo [0, 1]).

Então:

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +ϕ′′(0)

2!+ · · ·+ ϕ(n)(0)

n!+

1∫0

(1− t)n

n!ϕ(n+1)(t) dt.

Dem. Seja f(t) =n∑k=0

(1− t)k

k!ϕ(k)(t), 0 ≤ t < 1, f(1) = ϕ(1).

Temos:

f ′(t) =n∑k=0

(1− t)k

k!ϕ(k+1)(t)−

n∑k=1

(1− t)k−1

(k − 1)!ϕ(k)(t) =

=n+1∑k=1

(1− t)k−1

(k − 1)!ϕ(k)(t)−

n∑k=1

(1− t)k−1

(k − 1)!ϕ(k)(t) =

(1− t)n

n!ϕ(n+1)(t).

62


Como f ∈ C1, temos:

f(1)− f(0) =

1∫0

(1− t)n

n!ϕ(n+1)(t) dt,

ou seja,

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) + · · ·+ ϕ(n)(0)

n!+

1∫0

(1− t)n

n!ϕ(n+1)(t) dt.

Corolário 6.2. Se ‖ϕ(n+1)(t)‖ ≤M para t ∈ [0, 1], então

‖ϕ(1)− ϕ(0)− · · · − 1

n!ϕ(n)(0)‖ ≤ M

n!

1∫0

(1− t)n dt =M

(n+ 1)!.

Proposição 6.6. Seja f : A ⊂ V → W de classe Cn+1. Se [a, a+ h] ⊂ A então:

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ · · ·+ 1

n!f (n)(a) · hn +

1∫0

(1− t)n

n!f (n+1)(a+ th) · hn+1 dt,

onde hn = (h, h,n

. . ., h) . Esta é a fórmula de Taylor.

Dem. Seja ϕ : [0, 1] → W , ϕ(t) = f(a + th). Então ϕ ∈ Cn+1 e ϕ(k)(t) =

= f (k)(a+ th) · hk. Pela Proposição 6.5, temos:

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) + · · ·+ 1

n!ϕ(n)(0) +

1∫0

(1− t)n

n!ϕ(n)(t) dt ,

donde

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+1

2!f ′′(a) · h2 + · · ·+ 1

n!f (n)(a) · hn+

63


+

1∫0

(1− t)n

n!f (n+1)(a+ th)hn+1 dt.

Corolário 6.3. Se ‖f (n+1)(x)‖ ≤M para todo x ∈ A, vem:

‖f(a+h)−f(a)−· · ·− 1

n!f (n)(a)·hn‖ = r(‖h‖n) ≤ M

(n+ 1)!‖h‖n+1, donde lim

h→0

r(‖h‖n)

‖h‖n= 0 ,

ou seja,

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ · · ·+ 1

n!f (n)(a) · hn + r(‖h‖n) ,

onde limh→0

r(‖h‖n)

‖h‖n= 0.

Obs. Pode provar-se que a fórmula acima é ainda válida supondo-se f : A → W

(n− 1)−vezes derivável em A e n−vezes derivável em a ∈ A .


1. Sejam V um e.v.n. (real e de dimensão finita) e f : L(V )→ L(V ), f(X) = Xn.

Prove que

‖f (i)(X)‖ ≤ n!

(n− i)!‖X‖n−i.

2. Sejam V um e.v.n. (real e de dimensão finita), A ⊂ V um aberto conexo

e fn : A → V , n ∈ N, uma sequência de funções de classe C∞ tal que a

série ∑fn(x) converge em cada x ∈ A e que a série das derivadas ∑

nf (i)n (x)

converge uniformemente em A, onde i = 1, 2, . . .. Conclua que f =∑fn é

de classe C∞ em A. Prove que exp : L(V )→ L(V ), exp(X) =∞∑n=0

Xn

n!é de

classe C∞.

3. Seja X uma matriz quadrada de ordem p. Prove que, se ‖X − I‖ < 1

2, a

64


série∞∑n=0

Ñ1/2

n

é(X − I)n converge para Y tal que Y 2 = X.

4. Sejam U , V , W e.v.n., A ⊂ U , B ⊂ V abertos, f : A→ B e g : B → W

duas vezes deriváveis. Para x ∈ A, prove que

(g f)′′(x)(h, k) = g′(f(x)) · f ′′(x) · (h, k)) + g′′(f(x)) · (f ′(x) · h, f ′(x) · k),

quaisquer que sejam h e k em U .

65

Capítulo 7

Variedades Diferenciais

O estudo das curvas e superfícies mergulhadas em R3 ocupa lugar de relevo

na Ciência desde os primórdios do Cálculo. Entretanto, a consideração dos sistemas

dinâmicos a n graus de liberdade levou naturalmente ao estudo das "variedades"

mergulhadas num espaço euclidiano Rm, onde m é um inteiro positivo qualquer. No

entanto , Gauss já sentia a necessidade de se definir o conceito de variedade de modo

intrínseco, sem considerá-la mergulhada num Rm. É o que vamos fazer, procurando

estender às variedades os conceitos do cálculo em abertos do Rm. A formalização

atual deve muito aos trabalhos de H. Whitney.

7.1 Cartas, Atlas, Variedades

Definição 7.1. Seja M um espaço topológico. Uma carta de dimensão m em M é

um homeomorfismo x de um aberto U ⊂ M sobre um aberto x(U) ⊂ Rm. Uma

carta x : U → Rm chama-se também sistema de coordenadas locais em M ; o

66

CAPÍTULO 7. VARIEDADES DIFERENCIAIS

aberto U é uma vizinhança coordenada.

· p

U M

x

·x(p)

x(U)

Rm

Se p ∈ U e x(p) = (x1(p), . . . , xm(p)) , os números x1(p), . . . , xm(p) são as

coordenadas de p na carta x. Se x : U → Rm, y : V → Rm são cartas em M , e

U ∩ V 6= ø, então as aplicações:

y x−1 : x(U ∩ V ) −→ y(U ∩ V ) e

x y−1 : y(U ∩ V ) −→ x(U ∩ V )

são chamadas de mudanças de coordenadas.

Obs. Se x : U → Rm é uma carta e V ⊂ U é um aberto, é claro que x|V : V → Rm

é também uma carta.

Definição 7.2. Um atlas de dimensão m e classe, Ck, k ∈ N, no espaço topológico

M é um conjunto A de cartas x : U → Rm de dimensão m, cujos domínios formam

67


uma cobertura de M , e cujas mudanças de coordenadas são aplicações de classe Ck.

Definição 7.3. Dois atlas A e A1, ambos de dimensão m e classe Ck, em M são

equivalentes se A ∪ A1 é um atlas de dimensão m e classe Ck em M . Em outras

palavras, A e A1 são equivalentes se, para toda carta x ∈ A e toda carta y ∈ A1,

as mudanças de coordenadas x y−1 e y x−1 são de classe Ck.

Proposição 7.1. A relação "A é equivalente a A1" é uma relação de equivalência

no conjunto dos atlas de dimensão m e classe Ck em M .

Dem. A única propriedade não evidente é a transitividade. Para prová-la sejam

A, A1 ,A2 atlas em M tais que A seja equivalente a A1 e A1 equivalente a A2.

Sejam x : U → Rm e x2 : U2 → Rm cartas tais que x ∈ A, x2 ∈ A2 e

U ∩ U2 6= ø. Queremos provar que x x−12 e x2 x−1 são Ck. Seja p ∈ U ∩ U2.

Existe carta x1 : U1 → Rm, x1 ∈ A1, tal que p ∈ U1. Seja V = U ∩ U1 ∩ U2.

Como A é equivalente a A1 e A1 equivalente a A2, resulta que x x−11 , x1 x−1,

x1 x−12 e x2 x−1

1 são Ck. Portanto,

x x−12 = (x x−1

1 ) · (x1 x−12 ) : x2(V )→ x(V ) e

x2 x−1 = (x2 x−11 ) · (x1 x−1) : x(V )→ x2(V )

são Ck. Resulta que A é equivalente a A2.

A união de todos os atlas de dimensão m e classe Ck de uma mesma classe de

equivalência é evidentemente um atlas, chamado de atlas máximo da classe.

Definição 7.4. Uma variedade diferencial de dimensão m e classe Ck é um espaço

topológico de Hausdorff, com base enumerável de abertos, dotado de um atlas máximo

de dimensão m e classe Ck.

68


Obs. A estrutura diferencial de M é obtida escolhendo-se um atlas A de classe Ck

e tomando-se o atlas máximo da classe de equivalência de A.

Exemplo 7.1.1. Seja M uma variedade de dimensão m e classe Ck e seja N uma

parte aberta de M . Então M induz em N uma estrutura de variedade de mesma

dimensão e classe que M . De fato, se A é um atlas em M , o conjunto A, das

restrições a N das cartas de A, é um atlas em N de mesma dimensão e classe

que A . Se B é um atlas equivalente a A, então A ∪ B é um atlas Ck em M e

A ∪ B = A∪B é também um atlas Ck em N . Logo, A e B são atlas equivalentes em

N , ou seja, a classe de equivalência de A só depende da de A e , portanto, define

em N uma estrutura diferencial que depende apenas da de M .

Exemplo 7.1.2. Seja Rn com a topologia usual e consideremos a aplicação identi-

dade x(p) = p de Rn. O atlas A = x é de dimensão n e classe C∞. A classe de

equivalência de A define em Rn uma estrutura de variedade diferencial de dimensão

n e classe C∞.

Exemplo 7.1.3. Seja a esfera S2 = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 = 1 . Conside-

remos o disco aberto unitário D de R2 e os abertos de S2, U3 = (x, y, z) ∈ S2 ; z > 0 =

=¶(x, y,

√1− x2 − y2) ; (x, y ∈ D)

©e V3 = (x, y, z) ∈ S2 ; z < 0 =

=¶(x, y,−

√1− x2 − y2) ; (x, y) ∈ D

©, e definamos ϕ3 : U3 → D, ψ3 : V3 → D por

meio de ϕ3(x, y,√

1− x2 − y2) = (x, y) e ψ3(x, y,−√

1− x2 − y2) = (x, y). É

fácil ver que ϕ3 e ψ3 são homeomorfismos, ou seja, cartas em S2. Considerando

os conjuntos e aplicações análogas, ϕ1 : U1 → D ; ϕ2 : U2 → D ; ψ1 : V1 → D;

ψ2 : V2 → D, obtemos ao todo 6 cartas cujos domínios cobrem S2. Quanto às

mudanças de coordenadas, tomemos por exemplo ϕ3 ψ−12 : ψ2(U3 ∩ V2) →

→ ϕ3(U3∩V2). Esta aplicação é dada por ϕ3ψ−12 (u, v) = ϕ3(u,−

√1− u2 − v2, v) =

69


= (u,−√

1− u2 − v2) e , portanto, é de classe C∞, o mesmo acontecendo com as

outras mudanças de coordenadas. Obtivemos, assim , um atlas de dimensão 2 e

classe C∞ em S2.

Exemplo 7.1.4. Seja M(n,R) o espaço vetorial real das matrizes quadradas reais

de ordem n. Identifiquemos M(n,R) com Rn2. O grupo linear geral GL(n,R)

é o aberto de M(n,R) formado pelas matrizes de determinante diferente de zero.

Logo, GL(n,R) tem uma estrutura diferencial natural induzida pela de Rn2.

Exemplo 7.1.5. Sejam M uma variedade diferencial de dimensão m e classe Ck,

N um espaço topológico e f : M → N um homeomorfismo. Se x : U → Rm é

uma carta em M , então xf−1 : f(U)→ Rm é uma carta em N . Se y : V → Rm

é outra carta em M , com U ∩ V 6= ø, então (y f−1) · (x f−1)−1 = y x−1 é de

classe Ck. Portanto, quando x percorre o atlas máximo de M , as aplicações xf−1

formam um atlas máximo em N , e obtemos uma estrutura de variedade diferencial

em N , de mesma dimensão e classe que a de M . Dizemos que a estrutura de N foi

obtida pelo transporte da estrutura de M por meio do homeomorfismo f.

Obs. (1) Existe exemplo de variedade topológica, isto é, de classe C0, que não é o

espaço topológico subjacente a nenhuma variedade diferencial de classe C1 .

(2) H. Whitney provou que todo atlas máximo de classe C1 em uma variedade M

contem um atlas C∞ (na realidade analítico).

Exemplo 7.1.6. Consideremos na esfera Sn ⊂ Rn+1 a relação de equivalência

x ∼ y ⇔ x = ±y. O conjunto quociente é representado por P n. Seja π : Sn → P n

a aplicação quociente. Cada π(x) determina uma e uma única reta, tx ; t ∈ R,

passando pela origem em Rn+1, e reciprocamente. Podemos então considerar P n

como sendo o conjunto de todas as retas de Rn+1 que passam pela origem. Co-

70


loquemos em P n a topologia quociente, isto é, A ⊂ P n é aberto se, e só se,

π−1(A) é aberto em Sn. Então, π é contínua. Se V ⊂ Sn é aberto, temos que

π−1(π(V )) = V ∪ (−V ) é aberto , logo, π(V ) ⊂ P n é aberto, ou seja, π é uma

aplicação aberta. Esta topologia em P n é de Hausdorff, pois se π(x) 6= π(y) então

x 6= ±y. Sejam U e V vizinhanças abertas de x e y em Sn tais que U ∩ V = ø,

U ∩ (−V ) = ø. Então, π(U) e π(V ) são vizinhanças disjuntas de π(x) e π(y) em

P n.

Seja p ∈ P n, p = π(x) com x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Sn, e seja Vα =

= x ∈ Sn ; xα 6= 0. Então Vα é aberto em Sn e π(Vα) = Uα é aberto em Pn·Vα =

= V +α ∪V −α , onde V +

α = x ∈ Sn ; xα > 0 e V −α = x ∈ Sn ; xα < 0. Definamos

ϕα : Uα → Rn por ϕα(p) =

Çx1

xα, . . . ,

xα−1

xα,xα+1

xα, . . . ,

xn+1

xα

å= (y1, . . . , yn). É fácil

ver que ϕα é uma bijeção de Uα sobre Rn. Temos que π−1(Uα) = V +α ∪ V −α ;

além disso , ξ+α = π|V +

α: V +

α → Uα é um homeomorfismo. Também, a composta

f+α = ϕαξ+

α : V +α → Rn é um homeomorfismo, pois é dada por f+

α (x1, . . . , xn+1) =

= (y1, . . . , yn), onde yı =xıxα

(1 ≤ ı < α) e yı =xi+1

xα(α ≤ i ≤ n) e xα > 0.

Resulta que ϕα é um homeomorfismo, donde uma carta em P n. Seja α < β.

Então,

ϕα(Uα ∩ Uβ) = y ∈ Rn ; yβ−1 6= 0 e

ϕβ(Uα ∩ Uβ) = y ∈ Rn ; yα 6= 0

são abertos em Rn, e a mudança de coordenadas ϕβ ϕ−1α é dada por

(ϕβ ϕ−1α )(y1, . . . , yn) =

1

yβ−1

(y1, . . . , yα−1, 1, yα, . . . , yβ−2, yβ, . . . , yn) e, portanto, é

de classe C∞ em ϕα(Uα∩Uβ). Como os domínios Uα(α = 1, 2, . . . , n+1) cobrem

P n, obtemos um atlas de dimensão n e classe C∞ em P n. Cada Uα, sendo home-

omorfo a Rn, tem base enumerável. P n tem, então, base enumerável, pois é união

71


finita de abertos Uα. Provamos assim que P n é uma variedade diferencial compacta

de dimensão n e classe C∞ (na realidade analítica). P n é o espaço projetivo real

n-dimensional.

7.2 Aplicações de Classe Ck

Definição 7.5. Sejam Mm, Nn variedades diferenciais de classe Cr, r ≥ 1. Uma

aplicação f : M → N é de classe Ck , k ≤ r, se, para cada ponto p ∈ M ,

existem cartas x : U → Rm em M e y : V → Rn em N , com p ∈ U , f(U) ⊂ V ,

com a propriedade de que a aplicação fxy = y f x−1 : x(U) → y(V ), entre

abertos de espaços euclidianos, seja de classe Ck . Se x1 e y1 são cartas com a

mesma propriedade, então, numa vizinhança de p, fx1y1 = (y1 · y−1) · fxy · (x · x−11 )

e, como as mudanças de coordenadas são de classe Cr, resulta que a definição

independe das cartas.

· p

U M

x

x(U)Rm

·

V N

y(V )

Rn

y

f

fxy = y f x−1

f(p)

A função fxy = y f x−1 é a expressão de f nas cartas x e y ; ela é da forma

fxy(x1, . . . , xm) = (f1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm))

e fxy é de classe Ck se, e só se, as funções fı são de classe Ck .

72


Obs. É claro que se f e g são funções reais de classe Ck em M , então f + g e f · g

são também de classe Ck . Se g(p) 6= 0 para todo p ∈ M , entãof

gé de classe

Ck .

Proposição 7.2. Sejam Mm, Nn, P p variedades, f : M → N , g : N → P

aplicações de classe Ck . Então, g f : M → P é de classe Ck .

Dem. Sejam x : U → Rm e y : V → Rn cartas em M e N tais que q ∈ U ,

f(q) ∈ V e f = y−1 · fxy · x em U , onde fxy ∈ Ck. Analogamente, sejam

y1 : V1 → Rn e z : W → Rp cartas em N e P tais que f(q) ∈ V1, g(f(q)) ∈ W e

g = z−1 · gy1z ·y1 em V1, onde gy1z ∈ Ck. Sem perda de generalidade podemos supor

V = V1 e U = f−1(V ). Então, em U, temos z · (g f) · x−1 = gy1z · (y1 · y−1) · fxy,

o que mostra que g f é de classe Ck .

Definição 7.6. Sejam M e N variedades diferenciais. Uma aplicação f : M → N

é um difeomorfismo de classe Ck se f é uma bijeção de classe Ck , e sua inversa

f−1 : N →M também é de classe Ck .

Duas variedades são difeomorfas se existe um difeomorfismo entre elas. Neste

caso, as estruturas diferenciais são isomorfas.

Obs. J. Milnor mostrou que, para vários valores de n ≥ 7, existem no espaço

topológico Sn várias estruturas diferenciais não isomorfas tendo a mesma topologia

subjacente (as chamadas esferas exóticas).

Exemplo 7.2.1. Sejam U ⊂ Rm aberto e f : U → Rn. Tomando x(p) = p

em U e y = idRn, temos que fxy = f ; logo, f é de classe Ck no sentido das

variedades se, e só se, f é de classe Ck no sentido usual.

Exemplo 7.2.2. Sejam Mm de classe Ck e f = x : U → Rm uma carta em M .

73


Tomando y = idRm temos fxy = idx(U) e, portanto, x ∈ Ck. Analogamente,

temos x−1 ∈ Ck. Logo, as cartas são difeomorfismos Ck .

Exemplo 7.2.3. Seja M = R com sua estrutura diferencial canônica. A função

f : M → R, f(t) =

t se t ≤ 0

2t se t > 0, sendo um homeomorfismo, podemos trans-

portar para R, por meio de f, a estrutura diferencial de M , obtendo uma variedade

diferencial N . Como f não é diferenciável em t = 0, resulta que obtivemos duas

estruturas diferenciais distintas em R. Mas estas estruturas são isomorfas, pois

f : M → N é um difeomorfismo.

Exemplo 7.2.4. Seja B = x ∈ Rm ; ‖x‖ < 1, ‖ · ‖ sendo a norma euclidiana.

A aplicação f : B → Rm, f(x) =2x

1− ‖x‖2é um difeomorfismo C∞ da bola

aberta B sobre Rm. O difeomorfismo inverso é dado por

g(y) = f−1(y) =y

1 + (1 + ‖y‖2)12

. Assim, se Mm é variedade Ck e ϕ : U → Rm

é carta em M , então ψ = g ϕ : U → B é carta em M com contradomínio B.

Exemplo 7.2.5. SejaMm uma variedade Cr . Um caminho emM é uma aplicação

α : I →M , onde I é um intervalo real aberto . α é de classe Ck , k ≤ r, se , para

cada carta x : U → Rm em M , o caminho em Rm, x α : J → x(U) (α(J) ⊂ U)

é de classe Ck .

7.3 Espaço Tangente. Derivada

Sejam Mm uma variedade Ck , p um ponto de M e C 1p o conjunto dos

caminhos α ∈ C1, definidos numa vizinhança aberta de 0 ∈ R, com valores em M

e tais que α(0) = p. Consideremos em C 1p a relação ∼ : ′′α ∼ β se existe carta

74


x : U → Rm em torno de p, tal que (xα)′(0) = (xβ)′(0)′′ . Como as mudanças de

coordenadas são Ck , resulta que a igualdade acima é verdadeira para toda carta.

Segue-se também da definição que "∼" é uma relação de equivalência em C 1p . As

classes de equivalência para esta relação são chamadas de vetores tangentes a M em

p, e o conjunto quociente C 1p /∼ é representado por TpM .

A carta x dá origem à aplicação θx,p = θx : TpM → Rm definida por

θx([α]) = (x α)′(0), onde [α] ∈ TpM . θx está bem definida e é injetora pois

θx([α]) = θx([β]) se, e só se, (x α)′(0) = (x β)′(0), ou seja, se, e só se, α ∼ β.

Além disso, θx é sobrejetora pois se v ∈ Rm, o caminho α(t) = x−1(x(p) + tv)

pertence a C 1p e θx([α]) = (x α)′(0) = v. Se y : U → Rm é outra carta

em torno de p, então θy([α]) = (y α)′(0) = (y x−1)′(x(p)) · (x α)′(0), donde

θy = (y x−1)′x(p) · θx : TpM → Rm. Como (y x−1)′x(p) é um isomorfismo de

Rm, resulta que podemos transportar a TpM , por meio de θ−1x , a estrutura vetorial

de Rm, ou seja, definimos

[α] + [β] = θ−1x (θx[α] + θx[β])

c · [α] = θ−1x (c θx[α]) , c ∈ R ,

de modo que θx : TpM → Rm é um isomorfismo. Esta estrutura vetorial independe

da escolha da carta já que θx e θy diferem por um isomorfismo do Rm.

O conjunto TpM , munido desta estrutura vetorial, é o espaço tangente a

M em p. A base canônica do Rm sendo e1, e2, . . . , em resulta que os vetores∂

∂x1

(p),∂

∂x2

(p), . . . ,∂

∂xm(p), definidos por θ−1

x,p(eı) =∂

∂xı(p), ı = 1, 2, . . . ,m , for-

mam uma base de TpM . É a base associada à carta x. Se vp =m∑ı=1

aı∂

∂xı(p) ∈ TpM ,

então θx(vp) =m∑ı=1

aıeı ∈ Rm é a expressão de vp na carta x.

75


x

Rmx αx(p)

v = θx([α])

MU

[α]

p

Obs. dimTpM = m = dimM.

Definição 7.7. Sejam Mm, Nn variedades Ck , f : M → N aplicação C1 e

p ∈M . A derivada de f em p é a aplicação (linear) f ′(p) : TpM → Tf(p)N definida

por f ′(p) · [α] = [f α] , ou seja, f ′(p) associa ao vetor tangente vp = [α] ∈ TpM ,

o vetor tangente f ′(p) · vp = [f α] ∈ Tf(p)N .

M

[α]p

N

[f α]

f(p)

0R

f αα

f

Mostremos que f ′(p) está bem definida. Sejam x : U → Rm e y : V → Rn

cartas locais em torno de p e f(p), respectivamente, com f(U) ⊂ V . Dado vp = [α] =

= [β] ∈ TpM , temos (y f α)′(0) = f ′xy(x(p)) · (x α)′(0) = f ′xy(x(p)) · (x β)′(0) =

= (y f β)′(0), donde [f α] = [f β], o que mostra que f ′(p) · vp depende do vetor

vp e não do caminho α.

76


Mostremos agora que f ′(p) é linear. Como (yf α)′(0) = f ′xy(x(p))·(xα)′(0)

vem que θy · [f α] = f ′xy(x(p)) · θx[α], ou seja, θy · f ′(p) = f ′xy(x(p)) · θx, donde

f ′(p) = θ−1y · f ′xy(x(p)) · θx : TpM → Tf(p)N , o que mostra ser f ′(p) linear, e também

que o diagrama comutativo

U V

y(V )x(U)

f

x

fxy

y

dá origem ao diagrama comutativo

TpM Tf(p)N

RnRm

f ′(p)

θx

f ′xy(x(p))

θy

A matriz de f ′(p) em relação às bases ordenadasÇ∂

∂x(p)

å=1,...,m

de TpM eÇ∂

∂yı(f(p))

åı=1,...,n

de Tf(p)N tem coluna genérica f ′(p) · ∂∂x

(p) =

= θ−1y · f ′xy(x(p)) · e = θ−1

y ·∂fxy∂x

(x(p)). Se fxy = (f1, . . . , fn), então

f ′(p) · ∂∂x

(p) = θ−1y ·

n∑ı=1

∂fı∂x

(x(p)) · eı =n∑ı=1

∂fı∂x

(x(p)) · ∂∂yı

(f(p)) ,

onde (e1, . . . , em) é a base canônica de Rm e (e1, . . . , en) a de Rn, ou seja, a matriz

de f ′(p) é a matriz jacobianaÇ∂fı∂x

(x(p))

å1≤ı≤n1≤≤m

(do tipo n×m) da expressão local

de f nas cartas x e y, calculada no ponto x(p).

77


São consequências das definições os seguintes fatos, deixados aos cuidados do

leitor:

(1) Regra da Cadeia: se M , N , P são variedades e f : M → N , g : N → P são

aplicações C1 então, para cada p ∈M , tem-se (g f)′(p) = g′(f(p)) · f ′(p).

(2) Se M é variedade Ck e f = id : M →M , então f ′(p) = id : TpM → TpM .

(3) Se M e N são variedades e f : M → N é um difeomorfismo Ck então, para

cada p ∈M , f ′(p) : TpM → Tf(p)N é um isomorfismo e f ′(p)−1 = (f−1)′(f(p)).

(4) Teorema da Função Inversa : sejam M , N variedades, f : M → N aplicação

Ck(k ≥ 1) e p ∈ M . Se f ′(p) : TpM → Tf(p)N é um isomorfismo, então

existe uma vizinhança aberta U de p em M e uma vizinhança aberta V de f(p)

em N tais que f |U : U → V seja um difeomorfismo Ck . (Usando cartas

reduzimos à situação usual em que M = Rm e N = Rm).

(5) Sejam M , N variedades e f : M → N de classe C1 . Se M é conexa e

f ′(p) = 0 para todo p ∈M , então f é constante.

7.4 Identificações

(1) A carta x = id : Rm → Rm nos dá θx[α] = (xα)′(0) = α′(0). Podemos, assim,

identificar TpRm com Rm por meio do isomorfismo θx,p , isto é, identificamos

[α] ∈ TpM com o vetor v ∈ Rm tal que v = β′(0) para todo β ∈ [α].

(2) SejaM uma variedade contida em Rn e suponhamos que a inclusão i : M → Rn

tenha derivada injetora em cada p ∈ M . Podemos, então, considerar TpM

78


como um subespaço vetorial de Rn, identificando-o com sua imagem pela deri-

vada i′(p) : TpM → TpRn = Rn. Assim, TpM = i′(p) · TpM ⊂ Rn.

(3) Sejam Mm uma variedade, U ⊂ M um aberto e i : U → M a inclusão.

Então, i′(p) : TpU → TpM é bijeção e identificamos TpU com TpM .

(4) Sejam U ⊂ Rm aberto e f : U → Rn de classe C1 . Então, f ′(p) : TpU →

→ Tf(p)Rn. Com as identificações acima f ′(p) coincide com a derivada usual

Df(p) : Rm → Rn.

(5) Seja x : U → Rn uma carta na variedade M . Então, x : U → x(U) é um

difeomorfismo. De fato, para cada p ∈ U , o diagrama comutativo

U x(U)

x(U)x(U)

x

x

id

id

nos dá o diagrama

TpM Rm

RmRm

x′(p)

θx,p

id

id

também comutativo, ou seja, x′(p) = θx,p, que é um isomorfismo, donde o

resultado.

(6) Seja α : I → M , α ∈ C1, α(0) = p (I é um intervalo aberto em R

e 0 ∈ I). Então, α′(0) : R → TpM e podemos identificar α′(0) com

79


α′(0) · 1 ∈ TpM . Calculemos α′(0) · 1. Para isso, tomemos um caminho λ

em R tal que λ(0) = 0 e λ′(0) = 1. Por exemplo, seja λ(t) = t. Então,

α λ(t) = α(t), α′(0) · 1 = [α λ] = [α] e obtemos, assim, a identificação

[α] = α′(0). Com essa identificação , a igualdade θx,p · [α] = (x α)′(0) se

escreve x′(p) · α′(0) = (x α)′(0), e nada mais é que a regra da cadeia.

Obs. Se f : M → N é de classe Ck e p ∈M , a derivada f ′(p) : TpM → Tf(p)N

é também representada por df(p) ou Df(p) e chamada de diferencial de f em p , ou

ainda aplicação linear tangente a f em p.

No caso em que N = R temos que df(p) : TpM → R é um elemento do dual

de TpM , isto é, df(p) ∈ (TpM)∗. Seja x : U → Rm uma carta em M , p ∈ U .

Se πı : Rm → R é a i-ésima projeção, então xı = πı · x : U → R é a i-ésima

função coordenada.

As diferenciais dxı(p), ı = 1, . . . ,m, formam uma base de (TpM)∗ dual de®∂

∂xı(p)

´ı=1,...,m

, já que

dxı(p)∂

∂x(p) = πı · x′(p)

∂

∂x(p) = πı(e) = δı .

Se f : U → R é de classe C1 , então df(p) =m∑=1

λdx(p) e

df(p) · ∂∂xı

(p) =m∑=1

λdx(p) ·∂

∂xı(p) =

m∑=1

λδı = λı.

Mas, f ′(p) · ∂∂xı

(p) = (f x−1)′(x(p)) · x′(p) · ∂∂xı

(p) = (f x−1)′(x(p)) · eı =

=∂(f x−1)

∂xı(x(p)).

Para simplificar a escrita vamos usar a notação∂f

∂xı(p) para significar

80


U R

x(U)

f

xf x−1

∂(f x−1)

∂xı(x(p)).

Assim,

df(p) =m∑=1

∂f

∂x(p)dx(p).

Proposição 7.3. Sejam Mm uma variedade Ck , U ⊂ M aberto, p ∈ U e

f : U → Rm de classe Ck e componentes fı : U → R (ı = 1, . . . ,m). Existe uma

vizinhança aberta V ⊂ U de p tal que f |V : V → Rm é carta em M se, e só se,

as diferenciais dfı(p), 1 ≤ i ≤ m, formam uma base de (TpM)∗ .

Dem. Seja x : W → Rm uma carta em torno de p, x(p) = (x1(p), . . . , xm(p)).

Temos, dfı(p) =m∑=1

∂fı∂x

(p) dx(p) , donde resulta que as diferenciais dfı(p),

1 ≤ ı ≤ m , formam base de (TpM)∗ se, e só se, a matriz jacobianaÇ∂fı∂x

(p)

å(1 ≤ ı, ≤ m) é invertível, ou seja, se, e só se, df(p) é um isomorfismo, e o resul-

tado decorre do Teorema da Função Inversa.

7.5 Aplicações de Posto Constante

Definição 7.8. Sejam Mm e Nn variedades e f : M → N de classe Ck . O posto

de f em p ∈ M é o posto da aplicação linear f ′(p) : TpM → Tf(p)N . f é uma

imersão (resp. submersão) em p se f ′(p) é injetora (resp. sobrejetora) ; neste caso

o posto de f em p é igual a m = dimM (resp. n = dimN). Se f é uma imersão

81


(resp. submersão) em cada p ∈M dizemos que f : M → N é uma imersão (resp.

submersão). As imersões e submersões são aplicações de posto máximo.

Resulta do Teorema do Posto em espaços euclidianos o seguinte.

Teorema do Posto: SejamMm e Nn variedades Ck e f : M → N uma aplicação

Ck , k ≥ 1 . Se, na vizinhança de p ∈M , f tem posto constante r, então existem

cartas x : U → Rm em M , y : V → Rn em N , com p ∈ U , f(U) ⊂ V , tais que

x(p) = 0, y(f(p)) = 0 e a expressão local fxy = y f x−1 de f é a restrição a

x(U) da aplicação

(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) ∈ Rm 7−→ (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) ∈ Rn.

Corolário 7.1. (Forma local das imersões). Sejam Mm e Nn variedades Ck e

f : M → N uma aplicação Ck , k ≥ 1 que é uma imersão em p ∈M . Existem

cartas x : U → Rm em M , y : V → Rn em N , com p ∈ U , f(U) ⊂ V , tais que

x(p) = 0 , y(f(p)) = 0 e a expressão fxy de f é a restrição a x(U) da inclusão de

Rm em Rn = Rm × Rn−m dada por (x1, . . . , xm) 7−→ (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0).

f

x

U p M f(p)V

N

y

Rn−m

Rmx(U)× 00 (s, 0)

y(V )

fxy(s) = (s, 0)

x(U) 0 sRm

Corolário 7.2. (Forma local das submersões). Sejam Mm e Nn variedades Ck e

82


f : M → N uma aplicação Ck , k ≥ 1, que é uma submersão em p ∈ M .

Existem cartas x : U → Rm em M , y : V → Rn em N , com p ∈ U , f(U) ⊂ V ,

tais que x(U) = W × Z, x(p) = 0, y(f(p)) = 0 e a expressão fxy de f é a

restrição a x(U) da projeção de Rm = Rm−n × Rn sobre Rn dada por

(x1, . . . , xm) 7−→ (xm−n+1, . . . , xm).

f

x

U

p

Mm

f(p)

V Nn

z

Rm−n

Rn

0

y(V )

fxy(ω, z) = z0

Rn

W × Z

(ω, z)

y

Obs. (1) Resulta do Corolário 7.1 que o conjunto dos pontos onde f ′(p) é injetora

é um aberto de M .

(2) Resulta do Corolário 7.2 que o conjunto dos pontos onde f ′(p) é sobrejetora é

um aberto em M, e que toda submersão é uma aplicação aberta.

Definição 7.9. Uma imersão f : M → N é um mergulho se f é um homeomorfismo

de M sobre o subespaço f(M) ⊂ N .

Proposição 7.4. Sejam Mm, Nn, P p variedades Ck e g : N → P uma imersão

Ck . Uma aplicação f : M → N é Ck se, e só se, f é contínua e g f : M → P

83


é Ck , k ≥ 1. Se g é um mergulho e g f ∈ Ck, então f é continua (e, portanto,

Ck ).

N P

M

g

fg f

Dem. Seja q ∈M ; pela forma local das imersões, existem cartas y : V → Rn em

N e z : W → Rn×Rp−n em P , com f(q) ∈ V , g(V ) ⊂ W , tais que a expressão

local gyz é da forma (y1, . . . , yn) 7−→ (y1, . . . , yn, 0, . . . , 0). Da continuidade de f

resulta que existe carta x : U → Rm em M com q ∈ U e f(U) ⊂ V . Portanto,

(g f)xz : x(U)→ z(W ) é da forma (g f)xz = (fxy, 0). Logo, g f ∈ Ck implica

f ∈ Ck. A recíproca é evidente. Se g é um mergulho Ck e g f ∈ Ck, então

f = g−1 · (g f) é contínua.

Corolário 7.3. Sejam Mm, Nn, P p variedades Ck e g : N → P uma imersão

injetora Ck . Seja f : M → P de classe Ck tal que f(M) ⊂ g(N). Existe uma,

e uma única, aplicação h : M → N tal que g h = f . Se h é contínua, então

h ∈ Ck. Se g é um mergulho, então h é contínua (donde Ck ).

N

PMf

gh

Proposição 7.5. Sejam M ,N , P variedades Ck e f : M → N uma submersão

sobrejetora de classe Ck , k ≥ 1. Uma aplicação g : N → P é de classe Ck se,

e só se, h = g f é de classe Ck .

84


N

P

Mf

gh

Dem. Suponhamos h ∈ Ck. Como f é sobrejetora, temos que f (f−1 (g−1(A))) =

= g−1(A) . Se A é aberto em P , então g−1(A) é aberto em N , pois h é continua

e f é aberta. Logo, g é contínua. Sejam r = f(q) ∈ N , q ∈ M e z : W → Rp

uma carta em P em torno de g(r). Pela forma local das submersões, existem cartas

x : U → Rn × Rm−n = Rm em M e y : V → Rn em N , com q ∈ U , f(U) ⊂ V

( e g(V ) ⊂ W ), tais que a expressão local de f é fxy(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn),

ou seja, fxy(a, b) = a . Portanto, (g f)xz(ω, b) = gyz (fxy(ω, b)) = gyz(ω). Seja

λ : Rn → Rn × Rm−n dada por λ(ω) = (ω, b), onde b é fixo. Então λ ∈ C∞ e

gyz = hxz λ, donde gyz ∈ Ck pois hxz ∈ Ck. Logo, g ∈ Ck. A recíproca é

evidente.

Proposição 7.6. Seja f : Mm −→ Nn de classe C1 e posto constante r.

Então:

(a) f é localmente injetora ⇔ f é uma imersão.

(b) f é sobrejetora ⇔ f é submersão.

(c) f é bijetora ⇔ f é um difeomorfismo.

Dem. (a) Se fosse r < m, então localmente f teria a expressão (x1, . . . , xr, . . . , xm) 7→

7→ (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0), e f não seria localmente injetora. A recíproca é imedi-

ata.

85


(b) Se f não é submersão, então r < n. Pelo teorema do posto, cada ponto de

M tem vizinhança coordenada na qual f tem expressão local (x1, . . . , xm) 7→

7→ (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0). Como toda cobertura aberta de M tem subcobertura

enumerável, podemos tomar uma quantidade enumerável de cartas locais

xi : Wi → Rm em M, e cartas yi : Vi → Rn em N tais que M =∞⋃i=1

Wi,

Wi, compacto, f(Wi) ⊂ Vi, e localmente f na forma acima. Como yi · f(Wi) ⊂

⊂ Rr ⊂ Rn temos que f(Wi) tem interior vazio em N, donde f(M) tem interior

vazio em N (pelo teorema de Baire), e f não pode ser sobrejetora. A reciproca

é imediata.

(c) Se f é bijetora, então f é uma imersão por (a) e uma submersão por (b), isto

é, r = m = n e f é um difeo local entre variedades de mesma dimensão, donde

um difeomorfismo.

7.6 Subvariedades

Proposição 7.7. Sejam Nn uma variedade diferencial de classe Ck e M ⊂ N

um subespaço topológico. Existe em M uma, e uma única, estrutura de variedade

diferencial de dimensão m e classe Ck tal que a inclusão i : M → N seja um

mergulho Ck se, e só se, para cada p ∈ M , existe carta y : V → Rn em N tal

que p ∈ V e y(M ∩ V ) = y(V ) ∩ (Rm × 0) .

Dem. Se Mm e Nn são variedades Ck , M ⊂ N ,i : M → N mergulho Ck , então

existem cartas y1 : V1 → Rn, x : M ∩V1 → Rm tais que ixy1(s) = y1 x−1(s) = (s, 0),

donde y1(M∩V1) ⊂ Rm×0 . Como y1 x−1 : x(M ∩ V1)→ y1(M ∩ V1) é mergulho

e x(M ∩ V1) é aberto em Rm, resulta que y1(M ∩ V1) é aberto em Rm × 0, isto é,

86


y1(M ∩ V1) = W ∩ (Rm × 0), onde W ⊂ Rn = Rm × Rn−m é aberto . Sejam,

W1 = W ∩ y1(V1) , V = y−11 (W1) , y = y1|V : V → Rn.

Então: y1(M ∩ V1) ⊂ W1, M ∩ V1 = M ∩ V e y(M ∩ V ) = y1(M ∩ V1) =

= W1 ∩ (Rm × 0) = y(V ) ∩ (Rm × 0) .

y

V

p

N

Rn−m

0

x(M ∩ V )Rm

y(M ∩ V )

π

y(V )

M

Reciprocamente, se , para cada p ∈M , existe carta y : V → Rn = Rm ×Rn−m

em N tal que p ∈M e y(M∩V ) = y(V )∩(Rm×0), tomemos x = πy : M∩V →

→ Rm, onde π : Rm×Rn−m → Rm é a projeção canônica. Então, x é homeomorfismo

sobre o aberto x(M ∩ V ) e y x−1 : x(M ∩ V ) → y(M ∩ V ) é um mergulho Ck .

A coleção A de todas essas aplicações x é um atlas Ck em M , pois se x1 = π y1

também pertence a A, então x x−11 = (y x−1)−1 · (y y−1

1 ) · (y1 x−11 ) ∈ Ck.

Resulta que M tem uma estrutura diferencial de dimensão m e classe Ck . Com

esta estrutura, a inclusão i : M → N tem expressão local ixy = y i x−1 = y x−1,

que é um mergulho Ck .

87


Unicidade: Sejam M1 e M2 duas cópias de M ⊂ N com estruturas diferenciais

tais que a inclusão i : M → N seja um mergulho Ck . Então, i ∈ Ck ⇒ idM ∈ Ck,

onde idM : M1 → M2. Analogamente, idM : M2 → M1 é também de classe Ck , ou

seja, idM é um difeomorfismo Ck , e as duas estruturas diferenciais são isomorfas.

NM2

ı

ıidM

M1

Definição 7.10. Sejam Nn uma variedade Ck e M ⊂ N um subespaço topológico.

Dizemos que M é uma subvariedade de classe Ck de N se a inclusão i : M → N

é um mergulho de classe Ck .

Pela Proposição 7.7, dizer que M ⊂ N é subvariedade Ck equivale a dizer

que, para todo p ∈ M , existe carta y : V → Rn = Rm × Rn−m tal que p ∈ V

e y(M ∩ V ) = y(V ) ∩ (Rm × 0) para algum m. Neste caso, dimM = m e

x = π y : M ∩ V → Rm é uma carta em M , onde π : Rm × Rn−m → Rm é a

projeção canônica.

Obs. (1) Identificamos TpM com o subespaço i′(p) · TpM de TpN .

(2) As subvariedades de Rn são também chamadas de superfícies.

(3) Um aberto U de uma variedade N é uma subvariedade de N de mesma dimensão

e classe que N .

88


Proposição 7.8. Se M e N são variedades Ck e f : M → N é um mergulho Ck ,

então f(M) é uma subvariedade Ck de N e f : M → f(M) é um difeomorfismo

Ck .

Dem. Seja g : M → f(M), g(p) = f(p) para todo p ∈ M ; g é um

homeomorfismo (f(M) com a topologia induzida pela de N). Considerando em

f(M) a estrutura diferencial obtida pelo transporte da estrutura de M por meio de

g , temos que g é um difeomorfismo Ck . Se i : f(M) → N é a inclusão , temos

f = i · g, donde i = f · g−1. Portanto, i é um mergulho Ck e f(M) é subvariedade

Ck de N .

Obs. Se f : M → N é uma imersão injetora, f(M) pode não ser uma subvarie-

dade, como mostra a imersão de R em R2 abaixo, onde f−1 não é contínua.

p = limt→∞

f(t)

7.7 Variedade Produto

Sejam Mm e Nn variedades Ck , A e B atlas em M e N , respectivamente. Se

x : U → Rm é uma carta de A e y : V → Rn uma de B, então x × y : U × V →

→ Rm+n, definida por (x× y)(p, q) = (x(p), y(q)), é uma carta em M ×N . Como

(x1 × y1) (x × y)−1 = (x1 x−1) × (y1 y−1), segue-se que o conjunto A × B de

tais cartas é um atlas em M × N , cuja classe de equivalência define a estrutura

diferencial de variedade produto em M ×N .

89


Se Mm , Nn11 , Nn2

2 são variedades e f : M → N1 × N2 é dada por f(p) =

= (f1(p), f2(p)), onde fı : M → Nı (ı = 1, 2) , então f ∈ Ck se, e só se, f1 e f2 são

Ck . De fato, se x : U → Rm é carta em M , y1 é carta em N1, e y2 é carta em N2,

então (y1 × y2) f x−1 = (y1 f1 x−1 , y2 f2 x−1) : x(U)→ Rn1 × Rn2 , donde

o resultado.

Seja Mm×Nn um produto de variedades Ck . Consideremos as aplicações

π1 : M × N → M ; π2 : M × N → N ; iq : M → M × q , onde

q ∈ N ; jp : N → p × N , onde p ∈ M , definidas por: π1(p, q) = p ;

π2(p, q) = q ; iq(p) = (p, q) ; jp(q) = (p, q). Elas são de classe Ck . Temos:

π1 iq = idM ; π2 jq = idN . Derivando, vem: π′1(p, q) · i′q(p) = idTpM ;

π′2(p, q) · j′p(q) = idTqN . Portanto, π′1(p, q) e π′2(p, q) são sobrejetoras, i′q(p) e j′p(q)

são injetoras, ou seja, π1 e π2 são submersões e iq e jp são mergulhos. Assim,M×q e

p×N são subvariedades Ck deM×N . Sejam E = T(p,q)(M×q) e F = T(p,q)(p×N).

Os vetores de E são da forma α′(0) com α(t) = (α1(t), q), α1(0) = p, e os vetores

de F são da forma β′(0) com β(t) = (p, β2(t)), β2(0) = q. Se x × y é uma carta

em torno de (p, q), temos o isomorfismo (x× y)′(p, q) : T(p,q)(M ×N)→ Rm × Rn,

(x× y)′(p, q) · α′(0) = (x α1, y(q))′(0) = (x′(p)α′1(0), 0) ∈ Rm × 0, e

(x × y)′(p, q) · β′(0) = (0, y′(q) · β′2(0)) ∈ 0 × Rn , ou seja, (x × y)′(p, q) leva E

sobre Rm × 0 e F sobre 0 × Rn. Logo, T(p,q)(M ×N) = E ⊕ F .

Identificando TpM com E via i′q(p) : TpM → E e TqN com F por meio de

j′p(q) : TqN → F , resulta que T(p,q)(M ×N) = TpM ⊕ TqN .

Definição 7.11. Sejam M , N e P variedades Ck e f : M × N → P de classe

C1 . Consideremos as aplicações f iq : M → P e f jp : N → P , onde

(p, q) ∈ M × N . As derivadas destas aplicações nos pontos p e q, respectivamente,

90


são as derivadas parciais de f em (p, q) :

D1f(p, q) : TpM → T(p,q)P ; D2f(p, q) : TqN → T(p,q)P .

Se v1 ∈ TpM , então D1f(p, q) ·v1 = D(f iq)(p) ·v1 = f ′(p, q) · i′q(p) ·v1 = f ′(p, q) ·v1.

Assim, D1f(p, q) = Df(p, q)|TpM . Analogamente, D2f(p, q) = Df(p, q)|TqN . Se

v = v1 + v2 ∈ TpM ⊕ TqN = T(p,q)(M × N), então Df(p, q) · v = D1f(p, q) · v1+

+D2f(p, q) · v2, ou seja, Df(p, q) = D1f(p, q) p1 +D2f(p, q) p2, onde p1 e p2 são

as aplicações canônicas p1(v1 + v2) = v1 e p2(v1 + v2) = v2.

Teorema das Funções Implícitas

Sejam M , N , P variedades, f : M × N → P de classe Ck , k ≥ 1,

e (p, q) ∈ M × N tal que D2f(p, q) : TqN → TcP é um isomorfismo, onde

c = f(p, q).

N

q

U

f−1(c)

(p, q)f

P

c = f(p, q)

V pM

Existem abertos V ⊂M , p ∈ V , e U ⊂M ×N , (p, q) ∈ U , tais que, para

91


cada t ∈ V , existe um e um único g(t) ∈ N com (t, g(t)) ∈ U e f(t, g(t)) = c,

ou seja, o conjunto f−1(c) ∩ U é o gráfico da aplicação g : V → N . Além disso,

g ∈ Ck e g′(t) = − [D2f(t, g(t))]−1 D1f(t, g(t)). [Reduzimos ao caso em que

M , N , P são abertos em espaços euclidianos e aplicamos o teorema das funções

implícitas usual].

Proposição 7.9. Sejam Mm, Nn variedades Ck e f : M → N de classe Ck .

Suponhamos que f tenha posto constante r. Para cada q ∈ N , f−1(q) ou é vazio

ou é uma subvariedade de classe Ck e dimensão (m−r) em M . O espaço tangente

a f−1(q) em p é o núcleo de f ′(p) .

Dem. Dado p ∈ f−1(q), existem cartas x : U → Rm em M e y : V → Rn em

N , com p ∈ U e q = f(p) ∈ V , tais que fxy = y f x−1 é a restrição da

aplicação (x1, . . . , xr, . . . , xm) 7→ (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) .

Podemos supor que x(p) = 0 ∈ Rm e que y(q) = y(f(p)) = 0 ∈ Rn.

Então, x(U ∩ f−1(q)) = 0 × Z e π2 x|U∩f−1(q) é uma carta em f−1(q) de

fq

V N

y

Rn−r

Rr(ω, 0)

y(V ) =W r1 × Zn−r1x(U) = W r × Zm−r

fxy(ω, z) = (ω, 0)

Rm−r

Rr

(ω, z)z

ω

π2

Rm−r

U

M

f−1(q)

x

p

92


dimensão (m− r) e classe Ck . A conclusão é imediata. Se v ∈ Tp(f−1(q)), seja

λ : (−ε, ε) 7→ f−1(q), λ(0) = p, λ′(0) = v, onde ε > 0. Então:

f ′(p) · v = (f λ)′(0) = 0, pois f λ é constante e igual a q. Logo, v pertence ao

núcleo de f ′(p). Como este núcleo tem dimensão (m − r), igual à dimensão de

Tp(f−1(q)), resulta a igualdade do enunciado.

Definição 7.12. Seja f : M → N de classe Ck . Um ponto c ∈ N é um valor

regular de f se, para cada p ∈ f−1(c), f é uma submersão em p. Um ponto q ∈ N

que não é valor regular de f é chamado um valor crítico de f.

Obs. Se c ∈ N − f(M), então c é valor regular de f.

Corolário 7.4. Sejam f : Mm → Nn de classe Ck e c ∈ N um valor regular de

f. Se f−1(c) 6= ø , então f−1(c) é uma subvariedade de M de dimensão (m− n)

e classe Ck . O espaço tangente a f−1(c) em p é o núcleo de f ′(p).

Exemplo 7.7.1. Seja f : Rn+1 → R, f(x) = 〈x, x〉 = ‖x‖2. Como f ′(x) · h =

= 2〈x, h〉, resulta que c = 1 é valor regular de f ∈ C∞, donde a esfera unitária

f−1(1) = Sn é subvariedade C∞ de Rn+1 de dimensão n. O espaço tangente a Sn

em x é o conjunto dos v ∈ Rn+1 tais que 〈x, v〉 = 0, ou seja, é o hiperplano

perpendicular a x.

Exemplo 7.7.2. No conjunto M(n,R) das matrizes reais n × n, a aplicação

det : M(n,R)→ R é de classe C∞ (já que é n-linear nos vetores-coluna).

Temos:

det′(X) ·H =n∑ı=1

det(X1, . . . , Hı, . . . , Xn) ,

onde X,H ∈M(n,R) e Xı é o i-ésimo vetor-coluna de X.

93


Para X = In , vem:

det′(In) ·H =n∑ı=1

det(E1, . . . , Hı, . . . , En) =n∑ı=1

hii = tr H ,

onde H = (hij) − n × n−, trH é o traço de H e Ej =

0...1...0

é o j-ésimo

vetor-coluna de In.

Se Ers é a matriz n× n cujos elementos são iguais a zero , exceto o situadona linha r e coluna s, que vale 1, então

∂ det

∂xrs= det′(X) · Ers = (−1)r+s det Xrs , onde

Xrs é a submatriz de X obtida eliminando-se a r-ésima linha e a s-ésima coluna. Se

X ∈ GL(n,R) então detXrs 6= 0 para algum par (r, s). Segue-se que∂ det

∂xrs(X) 6= 0,

e det : GL(n,R)→ R é submersão C∞ .

Logo, SL(n,R) = x ∈ GL(n,R) ; detX = 1 = det−1(1) é subvariedadede dimensão (n2 − 1) e classe C∞ de M(n,R). SL(n,R) é um subgrupo deGL(n,R) e tem o nome de grupo linear especial ou de grupo unimodular. O espaçotangente a SL(n,R) em In é o núcleo de det′(In), ou seja,TInSL(n,R) = X ∈M(m,R) ; tr X = 0.

Exemplo 7.7.3. Sejam S(n,R) e A(n,R) os subespaços de M(n,R) formados,

respectivamente, pelas matrizes simétricas e pelas antissimétricas. Temos:

dimS(n,R) =n(n+ 1)

2

dimA(n,R) =n(n− 1)

2

e M(n,R) = S(n,R)⊕A(n,R).

94


O grupo ortogonal O(n,R) é formado pelas matrizes X ∈M(n,R) tais que

X · X t = In, onde X t é a transposta de X; é um subgrupo de GL(n,R). Seja

f : M(n,R) → S(n,R), f(X) = X · X t. Então, f ′(X) · H = XH t + HX t.

Provemos que f ′(X) é sobrejetora. Se S ∈ S(n,R), tomemos U =1

2SX. Então,

f ′(X) ·U = XU t+UX t = XX t S2

+ SX2X t = S, o que mostra que f e uma submersão

em X ∈ O(n,R). Resulta que f−1(In) = O(n,R) é subvariedade de dimensão

n2 − n(n+ 1)

2=n(n− 1)

2e classe C∞ de M(n,R). Como cada vetor linha de

X ∈ O(n,R) tem comprimento 1, vemos que O(n,R) é limitado (e fechado) em

M(n,R) ' Rn2 e, portanto, compacto. O espaço tangente a O(n,R) em In é o

núcleo de f ′(In), isto é,

TInO(n,R) =¶X ∈M(n,R) ; X +X t = 0

©= A(n,R) .

Observemos que se X ∈ O(n,R) então (detX)2 = 1, donde detX =

= ±1 . SO(n,R) = X ∈ O(n,R) ; detX = 1 é o grupo das rotações de Rn.

7.8 Partições da Unidade

Definição 7.13. Seja M um espaço topológico. Uma família (Aı)i∈I de subcon-

juntos de M é localmente finita se, para cada x ∈M , existe vizinhança U de x tal

que U ∩ Aı = ø exceto para um número finito de índices i ∈ I, isto é, existem

ı1 ∈ I, . . . , ık ∈ I tais que U ∩ Aı = ø para ı 6= ı1, . . . , ı 6= ık.

Se K ⊂ M é compacto e (Aı)i∈I é localmente finita, segue-se que existe

uma cobertura de K por meio de um número finito de vizinhanças de pontos de K

em M , cada uma das quais intersecta apenas um número finito de conjuntos Aı, ou

95


seja, K intersecta apenas um número finito de conjuntos Aı.

Definição 7.14. Se (Aı)i∈I e (B)∈J são coberturas do espaço topológico M, a

cobertura (Bj)j∈J é um refinamento da cobertura (Aı)i∈I se, para cada j ∈ J ,

existe i ∈ I tal que Bj ⊂ Aı. Um espaço topológico M é paracompacto quando

toda cobertura aberta de M pode ser refinada por uma cobertura aberta localmente

finita.

Proposição 7.10. Seja M um espaço topológico de Hausdorff, localmente compacto

e com base enumerável. Existe uma sequência de subconjuntos compactos Kı tal que

Kı ⊂ int Ki+1 e M =∞⋃ı=1

Kı.

Dem. Consideremos uma base enumerável para a topologia deM , e seja A = (Aj)j∈N

a subcoleção que consiste de abertos com fecho compacto. É fácil ver que A é uma

base enumerável para a topologia de M .

Seja G1 = A1 e suponha Gn = A1 ∪ . . . ∪ Ajn onde cada Aı ∈ A. Seja

n+1 o menor inteiro positivo maior que jn e tal que Gn ⊂n+1⋃ı=1

Aı. Ponhamos

Gn+1 =jn+1⋃ı=1

Aı; isto define a sequência (Gn)n∈N indutivamente. Se Kı = Gı, a

sequência de compactos (Kı)i∈N é tal que Kı ⊂ intKi+1 e M =∞⋃ı=1

Kı .

Obs. Vamos representar por B(r) a bola aberta de Rm de centro na origem e raio

r > 0.

Proposição 7.11. Sejam Mm uma variedade diferencial e Γ uma cobertura aberta

de M. Γ pode ser refinada por uma cobertura aberta enumerável e localmente finita

Ω = (Ui)i∈N, onde cada Uı é o domínio de uma carta xı : Uı → Rm tal que

xı(Uı) = B(3). Além disso, se Wı = x−1i (B(1)), (Wı)i∈N é ainda uma cobertura

localmente finita de M . Em particular, M é paracompacta.

96


K4K3K2K1

KnKn+1

Dem. Podemos escrever M =∞⋃ı=1

Kı, onde cada Kı é compacto e Kı ⊂ intKi+1.

Para cada p ∈ K2, seja y : Z → Rm carta com p ∈ Z e y(p) = 0. Seja C

um aberto da cobertura Γ tal que p ∈ C. Então, Vp = Z ∩ C ∩ int K3 é aberto

contendo p. Seja r ∈ R tal que B(r) ⊂ y(Vp) e ponhamos Up = y−1(B(r)).

Se h : Rm → Rm é definida por h(v) =3v

re x = h y, então x : Up → Rm

é tal que x(Up) = B(3). Seja Wp = x−1(B(1)); Wp é aberto contendo p e,

portanto, um número finito deles cobre K2, cada U correspondente está contido em

intK3 e em algum aberto de Γ. Analogamente, o compacto (K3− int K2) pode ser

coberto por um número finito de abertos W , com cada U correspondente contido em

(K4 − K1) e em algum aberto de Γ. Repetindo o raciocínio para (K4 − intK3),

(K5 − int K4), etc, obtemos indutivamente uma cobertura enumerável (Wı)i∈N de

M e , correspondentemente, cobertura enumerável Ω = (Uı)i∈N. É claro que Ω

refina Γ. Como cada Uı está contido em algum Kj, resulta que cada Uı intersecta

apenas um número finito de elementos de Ω , ou seja Ω, é localmente finita.

Definição 7.15. SejaM um espaço topológico. O suporte da aplicação f : M → Rm,

denotado por supp (f), é o fecho do conjunto x ∈M ; f(x) 6= 0, ou seja,

supp (f) é o menor fechado S em M tal que f é nula em (M − S).

Se ϕı : M → R, i ∈ I, é família de funções cujos suportes formam uma

97


família localmente finita, então a soma ∑i∈Iϕı(x) está definida para todo x ∈ M ,

pois esta soma contém apenas um número finito de parcelas não nulas. Se cada ϕı

é contínua, então ϕ(x) =∑i∈Iϕı(x) também é contínua, pois existe vizinhança V de

x que intersecta apenas um número finito de conjuntos supp ϕı e, portanto, em V ,∑i∈Iϕı(x) é uma soma finita de funções contínuas.

Proposição 7.12. Existe uma função ϕ : Rm → R, de classe C∞ , tal que :

(a) 0 ≤ ϕ ≤ 1;

(b) ϕ(x) = 1 para todo x ∈ B(1);

(c) supp ϕ = B(2).

−2 −1 1 2

1

ϕ

Dem. Seja f : R → R definida por f(t) =

0 se t ≤ 0

e−1t se t > 0

. É fácil

ver, por indução, que Dnf(t) = e−1tPn(1

t), onde Pn(t) é um polinômio. Como

limt→0+

e−1t

tn= 0 para todo n ∈ N, vem que lim

t→0+Dnf(t) = 0. Logo, f ∈ C∞.

Seja g : R→ R definida por g(t) =f(t)

f(t) + f(1− t).

Então, g ∈ C∞, g(t) ≥ 0, g(t) = 1 para t ≥ 1 e g(t) = 0 para t ≤ 0.

Pondo h(t) = g(t+ 2) · g(2− t) obtemos uma função não-negativa, de classe

C∞ , que vale 1 em [−1, 1] e zero fora de (−2, 2). Basta agora definir ϕ : Rm → R

por ϕ(x) = h(‖x‖) . Como x 7−→ ‖x‖ é C∞ em Rm − 0 e h(t) = 1 na

98


0

g

1

1

vizinhança de 0, resulta que ϕ ∈ C∞, e as propriedades (a), (b) e (c) são satisfeitas

por construção.

Obs. Dado ε > 0, existe ϕε : Rm → R, de classe C∞ , tal que 0 ≤ ϕε ≤ 1,

ϕε(x) = 1 para todo x ∈ B(ε) e supp ϕε = B(2ε). Basta definir ϕε(x) = ϕÄxε

ä.

Se Mm é variedade Ck , x : U → Rm é carta tal que x(U) = B(3),

V = x−1(B(2)), W = x−1(B(1)) e definimos ϕx : M → R por

ϕx(q) =

ϕ(x(q)) se q ∈ U

0 se q ∈M − V ,

então a função ϕx é de classe Ck , 0 ≤ ϕx ≤ 1, ϕx(W ) = 1 e supp ϕx = V ; ϕx

é a função auxiliar associada à carta x.

Definição 7.16. Seja Mm uma variedade Ck . Uma partição da unidade de classe

Ck em M é uma família (ϕı)i∈I de funções ϕı : M → R, de classe Ck , tal

que 0 ≤ ϕı ≤ 1 para todo i ∈ I, (supp ϕı)i∈I é família localmente finita e∑i∈Iϕı(p) = 1 para todo p ∈ M . Se Γ = (Cj)j∈J é cobertura de M , a partição

da unidade (ϕı)i∈I é subordinada a Γ se a família (suppϕı)ı∈I é cobertura de M

que refina Γ. Se a cobertura Γ = (Cı)ı∈I e a partição da unidade (ϕı)ı∈I estão

indexadas pelo mesmo conjunto I e (supp ϕı) ⊂ Cı para todo i ∈ I, então dizemos

que (ϕı)ı∈I é estritamente subordinada a Γ.

99


Proposição 7.13. Sejam Mm uma variedade Ck e Γ uma cobertura aberta de M .

Existe uma partição da unidade (ψı)ı∈I , de classe Ck em M subordinada a Γ.

Dem. Seja Ω = (Uı)ı∈N cobertura aberta localmente finita que refina Γ , onde cada

Uı é o domínio de uma carta xı : Uı → Rm e xı(Uı) = B(3). Consideremos as

funções auxiliares ϕxı : M → R, ϕxı ∈ Ck, associadas às cartas xı. A soma

ϕ =∑i∈N

ϕxı está definida e é de classe Ck , já que Ω é localmente finita. Pondo

ψı =ϕxıϕ

temos que ∑ı∈N

ψı = 1, e cada ψı é de classe Ck . (ψı)ı∈N é a partição

da unidade procurada, já que supp ψı = Vı ⊂ Uı. Observemos que supp ψı é

compacto.

Obs. Se (Cı)ı∈I é uma família de subconjuntos do espaço topológico M , então

∪iCi ⊃ ∪

iCi. Isto é um fato geral. Vamos provar que se (Cı)ı∈I é localmente

finita então ∪iCi = ∪

iCi. De fato, seja p ∈ ∪Cı. Existe vizinhança W de p que

intersecta apenas um número finito Cı1 , . . . , Cın de elementos da família. Suponha

que p /∈ ∪ı∈ICı, donde p /∈ Ci1 ∪ . . . ∪ Cin, que é fechado; logo existe vizinhança V

de p em W tal que V ⊂ W −n∪j=1

Cı, donde V ∩ Cı = ø para todo i ∈ I, ou

seja, p /∈ ∪ıCı, contradição.

Proposição 7.14. Sejam M uma variedade Ck e Γ = (Cı)ı∈I uma cobertura

aberta de M . Existe partição da unidade (ϕı)ı∈I , de classe Ck em M , estritamente

subordinada a Γ.

Dem. Seja (ψı)ı∈N partição da unidade subordinada a Γ como na Proposição

7.13. Para cada n ∈ N seja An = ı ∈ I ; Un ⊂ Cı, onde Ω = (Un)n∈N é

cobertura aberta localmente finita que refina Γ, cada U sendo domínio de uma carta

x : U → Rm e x(U) = B(3). (An)n∈N é uma família não-vazia de partes não-

vazias de I. Para cada n ∈ N escolhamos um índice ı ∈ An e seja f : N → I

100


tal que f(n) = ı, donde Un ⊂ Cf(n) para cada n ∈ N. Definamos (ψı)ı∈I por

ψı =∑

f(n)=ıψn. Como Ω é localmente finita temos que suppψı = ∪

f(n)=ıVn = ∪

f(n)=ıVn

(já que suppψn = Vn). Observemos que suppψı pode não ser compacto. Provemos

agora que (suppψı)ı∈I é família localmente finita. Dado p ∈M , existe vizinhança

V de p tal que Un ∩ V = ø exceto para n ∈ J , J = n1., . . . , nk ⊂ N. Seja

Io = f(J). Se (suppψı) ∩ V 6=ø então Un ∩ V 6= ø para algum n tal que

f(n) = ı, donde n ∈ J , resultando i = f(n) ∈ Io. Logo, (suppψı) ∩ V 6=ø

implica i ∈ Io, e resulta que (suppψı)i∈I é localmente finita.

Pondo ψ =∑ı∈Iψı e ϕı =

ψıψ, então ∑

ı∈Iϕı = 1, ϕı ∈ Ck e (suppϕı) ⊂ Cı.

Proposição 7.15. (Lema de Urysohn diferenciável)

Seja M uma variedade de classe Ck . Se F e G são subconjuntos não-vazios,

fechados e disjuntos de M , existe f : M → R, f ∈ Ck tal que 0 ≤ f ≤ 1,

f(F ) = 0 e f(G) = 1.

Dem. M − F , M −G é cobertura aberta de M . Seja f + g = 1 partição da

unidade de classe Ck em M tal que supp f ⊂M − F e supp g ⊂M −G. Então,

0 ≤ f ≤ 1, f(F ) = 0 e f(G) = 1.

7.9 Métrica Riemaniana

Seja Mm uma variedade de classe Ck . Suponhamos que em cada ponto

p ∈M seja dado um produto interno gp : TpM×TpM → R. Se x : U → Rm é uma

carta em torno de p , seja gı : U → R definida por gı(q) = gq(

∂∂xı

(q) , ∂∂x

(q)).

A matriz (gı(q))1≤ı,≤m é (simétrica) positiva. Seja y : U → Rm outra carta em

101


torno de p. Ponhamos gı(q) = gq

Ç∂

∂yı(q),

∂

∂y(q)

å. Temos,

gı(q) = gq

Çm∑k=1

∂xk∂yı

(q)∂

∂xk(q) ,

m∑r=1

∂xr∂y

(q)∂

∂xr(q)

å=

m∑k,r=1

gkr(q)∂xk∂yı

(q)∂xk∂y

(q),

e gı(q) =m∑

k,r=1gkr(q)

∂yk∂xı

(q)∂yr∂x

(q).

Assim, se as funções gı são de classe Cr , r < k, em U , também o são as

funções gij, e reciprocamente, de modo que o fato de gı ser Cr independe do sis-

tema de coordenadas. Podemos, por definição, dizer que a função g : p 7→ gp é de

classe Cr se as funções gı são de classe Cr na vizinhança de cada ponto p ∈ M .

g é uma métrica riemaniana em M . O par (M, g) é uma variedade riemaniana.

Se v ∈ TpM , definimos a norma ou comprimento de v por ‖v‖ =»gp(v, v). Se

x : U → Rm é carta em torno de p e v =m∑i=1

vı∂

∂xı(p), então ‖v‖2 =

m∑i=1

gı(p) · vı · v .

Exemplo 7.9.1. Seja M = Rm. Se u = (u1, . . . , um) e v = (v1, . . . , vm) então

gp(u, v) = u1v1 + · · · + umvm = 〈u, v〉 define uma métrica riemaniana em Rm; é a

métrica euclidiana.

Exemplo 7.9.2. Seja f : M → N uma imersão C∞ e seja g uma métrica rie-

maniana Ck em N . Pondo hp(u, v) = gf(p)(f′(p)u , f ′(p)v), p ∈M , u ∈ TpM ,

v ∈ TpM , obtemos uma métrica riemaniana h em M , de classe Ck . h é a métrica

induzida pela imersão f . Se M é superfície do Rn, a inclusão ı : M → Rn induz

naturalmente uma métrica em M .

Exemplo 7.9.3. Seja H = (x, y) ∈ R2 ; y > 0 o semiplano superior. H é

subvariedade aberta de R2. Seja p = (x, y) ∈ H. Se u = (a, b) ∈ TpH e

v = (c, d) ∈ TpH , definimos uma métrica riemaniana g em H por gp(u, v) =

=ac+ bd

y2. A variedade riemaniana H é o plano hiperbólico.

102


Proposição 7.16. Toda variedade diferencial M de classe Ck, k ≥ 1, admite uma

métrica riemaniana de classe Ck−1 .

Dem. Seja Ω = (Uı)i∈N uma cobertura aberta localmente finita de M por domínios

de cartas xı : Uı → Rm. Seja (ϕı)ı∈N uma partição da unidade estritamente

subordinada a Ω. Em cada aberto Uı induzimos uma métrica gı, de classe Ck−1 , por

meio de gı(p)(u, v) = 〈x′ı(p) · u , x′ı(p) · v〉. Pondo gp(u, v) =∞∑i=1

ϕı(p) · gı(p)(u, v),

onde ϕı(p)gı(p)(u, v) = 0 se p /∈ Uı, obtemos uma métrica riemaniana g ∈ Ck−1

em M .

7.10 Campos de Vetores. Fibrado Tangente

Definição 7.17. Seja Mm uma variedade de classe Ck . Um campo de vetores X

em M é uma aplicação que a cada p ∈ M associa um vetor Xp ∈ TpM . Se

x : U → Rm é uma carta em torno de p, então Xq =m∑ı=1

aı(q)∂

∂xı(q), onde q ∈ U .

Se y : U → Rm é outra carta, então Xq =m∑=1

b(q)∂

∂y(q). Logo,

Xq =m∑ı=1

aı(q)∂

∂xı(q) =

m∑ı,=1

aı(q)∂y∂xı

(q)∂

∂y(q) .

Portanto, b(q) =m∑ı=1

aı(q)∂y∂xı

(q) e, como∂y∂xı∈ Ck−1, resulta que aı ∈ Ck−1

(ı = 1, . . . ,m) implica b ∈ Ck−1. De modo análogo, b ∈ Ck−1( = 1, . . . ,m)

implica aı ∈ Ck−1. Dizemos, por definição, que o campo X é de classe Cr , r < k,

se as funções aı : U → R(1 ≤ i ≤ m) são de classe Cr .

Consideremos um conjunto não-vazio M e uma família (xı)ı∈I de bijeções

xı : Uı → xı(Uı) , onde Uı ⊂M e xı(Uı) é um aberto de Rm. Seja ϕı =

103


= xı x−1 : x(Ui ∩U)→ xı(Uı ∩U) e suponhamos que M =

⋃ı∈IUı, que x(Uı ∩U)

seja aberto em Rm e que ϕı seja de classe Cr , quaisquer que sejam ı ∈ I, ∈ I.

Seja T a coleção dos subconjuntos A de M da forma A =⋃ı∈J

x−1ı (Aı), onde Aı é um

aberto qualquer de xı(Uı).

Lema 7.1. T é uma topologia em M e xı : Uı → xı(Uı) é um homeomorfismo.

Dem. De fato,

(a) M =⋃ı∈IUı =

⋃ı∈Ix−1ı (xı(Uı)) ∈ T ;

(b) se Ak ∈ T , então⋃kAk =

⋃k

⋃ıx−1ı (Ai,k) =

⋃ıx−1ı

Ç⋃kAi,k

å∈ T ;

(c) se A =⋃ıx−1ı (Aı) e B =

⋃x−1 (B) pertencem a T , então

A ∩B =⋃ı

⋃

Äx−1ı (Aı) ∩ x−1

(B)ä. Para provar que A ∩ B ∈ T , basta provar

que o conjunto G = x−1ı (Aı) ∩ x−1

(B) pertence a T . Ora,

x−1ı (Aı) ∩ x−1

(B) ⊂ Uı ∩ U e, portanto, podemos achar xı(G). Temos,

xı(G) = Aı ∩ xı · x−1 (B ∩ x(Uı ∩ U)) .

Como xı · x−1 = ϕı é um homeomorfismo, temos que Gı = xı(G) é aberto

em Rm e G = x−1ı (Gı) ∈ T .

Mostremos agora que, na topologia T, xı : Uı → xı(Uı) é um homeomorfismo.

Da definição de T resulta que xı é contínua. Seja A ⊂ Uı aberto. Então, A =

=⋃x−1 (A) e xı(A) =

⋃ϕı(A) e, como ϕı é um homeomorfismo, resulta que

xı(A) é um aberto de Rm e, portanto, xı é uma aplicação aberta, donde um homeo-

morfismo.

104


Lema 7.2. Sejam Mm uma variedade Ck , T a topologia em M e T a topologia

definida pelo atlas (xı)ı∈I em M . Então: T = T .

Dem. Se A ∈ T então A =⋃ıx−1ı (Aı), Aı ⊂ xı(Uı) aberto em Rm, donde

A ∈ T pois xı : Uı → Rm é um homeomorfismo. Reciprocamente, se B ∈ T

então B =⋃ı(B ∪ Uı) =

⋃ıBı e, como Bı ∈ T , resulta que Cı = xı(Bı) é aberto

em xı(Uı); logo, Bı = x−1ı (Cı) ∈ T , donde B ∈ T .

Definição 7.18. Se Mm é uma variedade Ck , seja

TM =⋃p∈Mp × TpM = (p, v) ; p ∈M e v ∈ TpM .

Vamos definir, a partir de um atlas A de classe Ck de Mm, um atlas A de classe

Ck−1 e dimensão 2m em TM . Seja π : TM → M , π(p, v) = p. Se U ⊂M é

aberto, então π−1(U) = (p, v) ; p ∈ U , v ∈ TpM = TU . Consideremos x ∈ A,

x : U → Rm, e definamos x : TU → Rm × Rm = R2m por x(p, v) =

= (x(p), x′(p) · v) . x é uma bijeção de TU sobre o aberto x(U) × Rm de R2m.

Seja y : V → Rm outra carta em M . Então, y · x−1(x(p), x′(p) · v) = y(p, v) =

= (y(p), y′(p) · v) = (y x−1(x(p)) , (y x−1)′(x(p)) · x′(p)v). Como y x−1 ∈ Ck,

vem que y x−1 : x(TU ∩ TV ) → y(TU ∩ TV ) é de classe Ck−1 no aberto

x(TU ∩ TV ) = x(U ∩ V ) × Rm. A é a família das aplicações x, quando x percorre

A. Consideremos em TM a topologia associada a A ; então TU é aberto em TM

e x : TU → x(U)× Rm é homeomorfismo. A projeção π : TM → M é contínua,

pois sua expressão nas cartas x e x é πxx(x(p) , x′(p)v) = x(p), isto é, πxx é a

restrição a x(U) × Rm da projeção π1 : Rm × Rm → Rm. A topologia de TM é

Hausdorff, pois se (p, v) 6= (q, ω) e p 6= q, então existem abertos disjuntos A e

B em M contendo p e q, respectivamente ; então π−1(A) e π−1(B) são abertos

105


disjuntos de TM contendo (p, v) e (q, ω), respectivamente. Se p = q, seja

x : U → Rm carta em M com p ∈ U . Então, x(p, v) e x(p, ω)são pontos

distintos em x(U) × Rm. Sejam A e B abertos disjuntos contendo esses pontos.

Resulta que x−1(A) e x−1(B) são abertos disjuntos contendo (p, v) e (p, ω). A

topologia de TM tem base enumerável pois TM tem cobertura (aberta) enumerável

por abertos do tipo TU , e TU é homeomorfo a um aberto de R2m.

Assim, a um atlas A de M de classe Ck , associamos um atlas A em TM ,

de classe Ck−1 . Se A1 é atlas equivalente a A ; então A ∪ A1 é atlas Ck em M

e, como A ∪A1 = A ∪ A1, resulta que A1 é equivalente a A, ou seja, à estrutura

de variedade Ck em M está associada uma estrutura natural de classe Ck−1 em

TM . Observemos que a projeção π : TM → M é submersão sobrejetora de classe

Ck−1 . Com esta estrutura diferencial, TM é o fibrado tangente a M .

Se f : M → N é de classe Ck , então Tf : TM → TN , definida por

Tf(p, v) = (f(p), f ′(p)v), é a derivada ou diferencial de f, representada também por

Df ou df . Temos o diagrama comutativo, onde π é a projeção do fibrado:

T M T N

NM

Tf

π

f

π

Obs. (1) Para cada p ∈M existe vizinhança aberta U de p em M e um difeomor-

fismo ϕ : U × Rm → π−1(U), ϕ(q, v) = (q, x′(q)−1 · v) tal que π(ϕ(q, v)) = q

para todo q ∈ U e todo v ∈ Rm, de modo que TM é um exemplo de um fibrado

diferencial com base M, projeção π e fibra típica Rm. Além disso, para cada p ∈M ,

a fibra π−1(p) = TpM é um espaço vetorial e a aplicação parcial ϕp : Rm → TpM

106


é um isomorfismo de espaços vetoriais, de modo que TM é um fibrado vetorial.

(2) Seja X um campo de vetores em M ∈ Ck. X define uma aplicação s : M → TM ,

s(p) = (p,Xp). É claro que π s = idM ; dizemos que s é uma seção do fibrado

TM . Reciprocamente, toda seção s : M → TM define um campo de vetores X.

Proposição 7.17. Sejam Mm uma variedade Ck e X um campo de vetores em M .

Se x : U → Rm é carta em M e x =m∑ı=1

aı∂

∂xıem U , são equivalentes:

(a) as funções aı : U → R, 1 ≤ ı ≤ m, são de classe Cr , r < k;

(b) s : U → TM , s(p) = (p,Xp), é uma aplicação Cr .

Dem. A expressão de s nas cartas x : U → Rm e x : TU → R2m é dada

por sxx(x(p)) = (x(p), x′(p) ·Xp) =Åx(p),

m∑i=1

aı(p) eı

ã, onde (e1, . . . , em) é a base

canônica de Rm e p ∈ U . Como x ∈ Ck e aı ∈ Cr, resulta que s ∈ Cr.

Reciprocamente, se s ∈ Cr, então a composta

px7−→ x(p)

s27−→m∑=1

a(p)eπı7−→ aı(p)

é de classe Cr pois s2(x(p)) = x′(p) ·Xp é de classe Cr e π1(a1, . . . , am) = ai é

de classe C∞ , ou seja aı : U → R é de classe Cr , 1 ≤ i ≤ m.

Podemos, assim, definir um campo de vetores X de classe Cr em M como

sendo uma aplicação X : M → TM , de classe Cr , tal que π X = idM , ou seja,

como uma seção Cr do fibrado tangente TM .

107



1. Sejam Mm uma variedade Ck , p ∈ M , v1, . . . , vn ∈ TpM , vetores linear-

mente independentes. Mostre que existe carta x : U → Rm com p ∈ U , tal

que vı =∂

∂xı(p) , ı = 1, 2, . . . , n.

2. Seja f : R2 → R de classe C∞ . Mostre que o gráfico

Γ(f) = (x, y, f(x, y)) ; (x, y) ∈ R2 é uma subvariedade C∞ de R3.

3. Sejam (M,A) e (N,B) variedades C∞ e f : M → N um homeomorfismo

que não é uma aplicação de classe C1 . Introduza em N uma estrutura

diferencial C de modo que f : (M,A) → (N,C ) seja um difeomorfismo.

Mostre que B e C não são atlas equivalentes.

4. S = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x5 + y5 + z5 + t5 = 1 é subvariedade de R4?

5. S = (x, y, z) ∈ R3 ; x3 + y3 + z3 = 1 , z = xy é subvariedade de R3?

6. Seja ϕ : Rn → Rn , ϕ(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) onde yı =n∑=1

aıx +

+ bı , ı = 1, . . . , n, onde b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn. Se det(aı) 6= 0 dizemos que

ϕ é uma transformação afim. As transformações afins do Rn formam o "grupo

afim" do Rn. Prove que toda transformação afim do Rn é um difeomorfismo.

7. Seja ϕ : Rn+1 → Rn+1 linear bijetora. Seja π : Rn+1 − 0 → P n, π(x) =

=reta definida por x, passando pela origem de Rn+1, onde P n é o espaço pro-

jetivo (real) n-dimensional. Seja ψ : P n → P n tal que ψ π = π ϕ.

ψ chama-se uma transformação projetiva de P n; o conjunto delas forma o

"grupo projetivo" de P n. Prove que toda transformação projetiva é um dife-

omorfismo. Se Z é o conjunto das matrizes λIn+1 , λ ∈ R , λ 6= 0 , In+1 =

108


Rn+1 − 0 Rn+1 − 0

PnPn

ϕ

π

ψ

π

= matriz identidade, então Z é subgrupo normal de GL(n + 1,R). Prove

que o grupo projetivo de P n é isomorfo a GL(n+ 1,R)/Z.

8. Seja Mm uma variedade Ck . Se p ∈ M representemos por Mp a coleção

das cartas x : U → Rm tais que p ∈ U . Um vetor tangente a M em p é uma

aplicação v :Mp → Rm que satisfaz à seguinte condição: se x, y ∈Mp , se

v(x) = (α1, . . . , αm) e v(y) = (β1, . . . , βm), então βı =m∑j=1

∂yı∂x

(p) · α ,

ı = 1, . . . ,m, ondeÇ∂yı∂x

(p)

åé a matriz jacobiana da mudança de coorde-

nadas y x−1, calculada em x(p). Mostre que esta definição é equivalente à

usual.

9. Sejam N variedade Ck , M espaço topológico e f : M → N contínua. Existe

no máximo uma estrutura de variedade Ck em M que torna f uma imersão

Ck .

10. Sejam M variedade Ck , N um conjunto e f : M → N sobrejetora. Existe

no máximo uma estrutura de variedade Ck em N que torna f uma submersão

Ck .

11. Sejam N uma variedade, M ⊂ N uma subvariedade de mesma dimensão.

Prove queM é um aberto de N . Se N é conexa eM compacta, então M = N .

12. Seja f : Mm → Nn uma imersão Ck . f(M) é subvariedade de dimensão m

e classe Ck de N se, e só se, f : M → f(M) é aplicação aberta, f(M) com

109


a topologia induzida de N .

13. Prove que uma aplicação f : R2 C∞→ R não pode ser injetora.

14. Sejam Mm variedade compacta e f : Mm → Rm de classe C∞ . Prove que

f não pode ser uma imersão.

15. Seja Mm ⊂ Rn uma superfície Ck . Todo ponto p ∈ M possui vizinhança

V parametrizada por aplicação ϕ : Vo → V , ϕ ∈ Ck, V0 ⊂ Rm, da forma

ϕ(y) = (y, f(y)), y ∈ V0.

16. Seja Mm ⊂ Rn superfície Ck . Para cada p ∈ M existe aberto A ⊂ Rn,

p ∈ A, e aplicação g : A → Rn−m de classe Ck , tal que 0 ∈ Rn−m é valor

regular de g e M ∩ A = g−1(0).

17. Prove que P 1 e S1 são difeomorfos.

18. Sejam Mm variedade Ck compacta e f : Mm → Rn de classe Ck . Mostre

que f tem um ponto crítico.

19. Seja f : M → N uma imersão injetora Ck . Prove que, se M é compacta,

então f(M) é subvariedade de N .

20. Sejam Mm uma variedade Ck e f : U → R uma função Ck definida numa

vizinhança U de p ∈ M . Prove que existe f : M → R de classe Ck que

coincide com f numa vizinhança V de p.

110

Capítulo 8

Álgebra Exterior

Este capítulo é de natureza puramente algébrica. Nele introduzimos as aplica-

ções multilineares alternadas, e o produto exterior de p-formas por q-formas. Como

aplicação definimos o determinante de um operador linear, e também o produto

interior de um vetor por uma p-forma.

8.1 Álgebra Exterior

Definição 8.1. Sejam V e W espaços vetoriais reais e r ∈ N. Uma aplicação

f : V× r. . . ×V → W é r-linear se:

f(v1, . . . , vı + uı, . . . , vr) = f(v1, . . . , vı, . . . , vr) + f(v1, . . . , uı, . . . , vr);

f(v1, . . . , λvı, . . . , vr) = λf(v1, . . . , vı, . . . , vr),

para ı = 1, . . . , r, e quaisquer λ ∈ R e v1, . . . , vı, uı, . . . , vr ∈ V . O conjunto de

todas as aplicações r-lineares de V em W , representado por Lr(V,W ), é um espaço

111

CAPÍTULO 8. ÁLGEBRA EXTERIOR

vetorial real, as leis sendo definidas do modo usual. Por convenção, Lo(V,W ) = W ,

e L1(V,W ) = L(V,W ) é o espaço das aplicações lineares de V em W .

Definição 8.2. f ∈ Lr(V,W ) é alternada se f(v1, . . . , vr) = 0 toda vez que dois

dos vetores vı são iguais.

As aplicações r-lineares alternadas formam um subespaço vetorial Ar(V,W )

de Lr(V,W ). Convenciona-se que A0(V,W ) = W e A1(V,W ) = L(V,W ).

É fácil ver que f ∈ Lr(V,W ) é alternada se, e só se, f é antissimétrica, isto é ,

f(v1, . . . , vı, . . . , v, . . . , vr) = −f(v1, . . . , v, . . . , vı, . . . , vr). No caso em que W = R,

os elementos de Lr(V,R) são chamados de formas r-lineares. Em particular,

L(V,R) = V ∗ é o dual de V . O espaço Ar(V,R) das formas r-lineares alternadas

é também representado porr∧V ∗. Assim,

0∧V = R e

1∧V ∗ = V ∗. Os elementos

der∧V ∗ são também chamados de r-covetores.

Definição 8.3. Seja Sr o grupo das permutações do conjunto 1, 2, . . . , r ; Sr tem

r! elementos. Uma transposição é um elemento σ ∈ Sr para o qual existem inteiros

ı e , 1 ≤ ı, ≤ r, tais que σ(ı) = , σ() = ı e σ(k) = k para k 6= ı, k 6= ,

ou seja, σ troca ı e mantendo os demais elementos fixos. É claro que σ2 = 1,

isto é, σ−1 = σ. A Proposição seguinte é bem conhecida.

Proposição 8.1. Toda permutação τ ∈ Sr pode ser escrita na forma τ =

= σ1 · σ2 . . . σk, onde cada σı é uma transposição e a paridade do número destas

transposições é sempre a mesma.

O sinal de τ ∈ Sr é +1 se τ é produto de número par de transposições (isto é,

se τ é uma permutação par ) e −1 se τ é produto de número ímpar de transposições

(ou seja, se τ é uma permutação ímpar). O sinal de τ é representado por ε(τ) ou

ετ . Se σ é uma transposição temos ε(σ) = −1.

112


Definição 8.4. Se f ∈ Lr(V,W ) e σ ∈ Sr, definimos (σf) ∈ Lr(V,W ) por

(σf)(v1, . . . , vr) = f(vσ(1), . . . , vσ(r)), quaisquer que sejam v1, . . . , vr ∈ V .

Proposição 8.2. Se f ∈ Lr(V,W ), τ ∈ Sr, σ ∈ Sr, então (τσ)f = τ(σf).

Dem. Temos:

τ(σf)(v1, . . . , vr) = (σf)(vτ(1), . . . , vτ(r)). Seja uı = vτ(ı).

Então,

(σf)(u1, . . . , ur) = f(uσ(1), . . . , uσ(r)) = f(vτσ(1), . . . , vτσ(r)) = (τσ)f(v1, . . . , vr),

para v1, . . . , vr quaisquer em V . Logo, τ(σf) = (τσ)f .

Proposição 8.3. Seja f ∈ Lr(V,W ). Então, f ∈ Ar(V,W ) se, e só se,

τf = ε(τ)f para toda τ ∈ Sr.

Dem. Se σ é uma transposição, temos σf = −f . Se τ ∈ Sr e τ = σ1 . . . σn,

onde σı é transposição (1 ≤ ı ≤ n), então

τf = (σ1 · · ·σn)f = (−1)nf = ε(τ)f .

A recíproca é imediata.

Definição 8.5. Se f ∈ Lp(V,R) e g ∈ Lq(V,R), definimos seu produto tensorial

f ⊗ g ∈ Lp+q(V,R) por (f ⊗ g)(v1, . . . , vp+q) = f(v1, . . . , vp) · g(vp+1, . . . , vp+q),

para v1, . . . , vp+q quaisquer em V .

Definição 8.6. Se f ∈ Lp(V,R), definimos Alt(f) por Alt f =1

p!

∑σ∈Sp

ε(σ)(σf),

ou seja, (Alt f)(v1, . . . , vp) =1

p!

∑σ∈Sp

ε(σ)f(vσ(1), . . . , vσ(p)), quaisquer que sejam

v1, . . . , vp em V .

113


Proposição 8.4. (a) f ∈ Lp(V,R) implica Alt f ∈p∧V ∗, e a aplicação

Alt : Lp(V,R) −→p∧V ∗ é linear.

(b) ω ∈p∧V ∗ implica Altω = ω. Em particular, f ∈ Lp(V,R) implica

Alt(Alt f) = Alt f .

Dem. (a) seja τ a transposição que troca ı e . Se α ∈ Sp e β = α τ , então

Alt f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vp) =1

p!

∑α∈Sp

ε(α)f(vα(1), . . . , vα(j), . . . , vα(i), . . . , vα(p)) =

=1

p!

∑α∈Sp

ε(α)f(vβ(1), . . . , vβ(i), . . . , vβ(j), . . . , vβ(p)) =1

p!

∑β∈Sp−ε(β)f(vβ(1), . . . , vβ(p)) =

= −Alt f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vp),

quaisquer que sejam v1, . . . , vp em V . Logo, Alt f ∈p∧V ∗.

(b) Se ω ∈p∧V ∗, então σω = ε(σ)ω para todo σ ∈ Sp. Logo,

Altω =1

p!

∑σ∈Sp

ε(σ)(σω) =1

p!

∑σ∈Sp

ω = ω .

Em particular, se f ∈ Lp(V,R) então Alt f ∈p∧V ∗, donde Alt(Alt f) = Alt f .

Definição 8.7. Se α ∈p∧V ∗ e β ∈

q∧V ∗, definimos o produto exterior α∧β ∈

p+q∧ V ∗

por

α∧ β =(p+ q)!

p! q!Alt(α⊗ β) , ou seja ,

(α∧ β)(v1, . . . , vp+q) =1

p!q!

∑σ∈Sp+q

ε(σ) · α(vσ(1), . . . , vσ(p)) · β(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)) ,

para v1, . . . , vp+q ∈ V quaisquer.

114


Exemplo 8.1.1. Sejam α e β duas formas lineares, isto é, α, β ∈ V ∗. Então,

α ∧ β ∈2∧V ∗ e (α ∧ β)(v1, v2) = α(v1)β(v2)− α(v2)β(v1). É claro que α ∧ α = 0.

Exemplo 8.1.2. Sejam α ∈ V ∗ e β ∈p∧V ∗. Então, (α ∧ β)(v0, v1, . . . , vp) =

=1

p!

∑σ∈Sp+1

ε(σ)α(vσ(0))·β(vσ(1), . . . , vσ(p)) =1

p!

p∑i=0

∑σ∈Sp+1

σ(0)=i

ε(σ)α(vi)·β(vσ(1), . . . , vσ(p)).

Seja πi a permutação , do conjunto 0, 1, . . . , i− 1, i+ 1, . . . , p = σ(1), . . . , σ(p),

tal que πi(0) = σ(1), . . . , πi(i− 1) = σ(i), πi(i + 1) = σ(i + 1), . . . , πi(p) = σ(p).

Então, ε(σ) = (−1)iε(πi) e obtemos

(α ∧ β)(v0, . . . , vp) =1

p!

p∑i=0

∑σ∈Sp+1

σ(0)=i

ε(σ)α(vi)ε(πi)β(v0, . . . , vi, . . . , vp) =

=1

p!

p∑i=0

∑σ∈Sp+1

σ(0)=i

(−1)iα(vi) · β(v0, . . . , vi, . . . , vp) =p∑i=0

(−1)iα(vi)β(vi, . . . , vi, . . . , vp) ,

onde o circunflexo "^" indica que o vetor correspondente deve ser omitido.

Obs. Da definição decorre imediatamente que a aplicação (α, β) 7−→ α ∧ β é

bilinear.

Proposição 8.5. Sejam α ∈p∧V ∗ e β ∈

q∧V ∗. Então, α ∧ β = (−1)pq β ∧ α.

Dem. Quaisquer que sejam v1, . . . , vp+q em V , temos p! q! (β ∧ α)(v1, . . . , vp+q) =

=∑

τ∈Sp+qε(τ)β(vτ(1), . . . , vτ(q))·α(vτ(q+1), . . . , vτ(p+q)). Seja ρ a permutação que trans-

forma 1, 2, . . . , p+ q em q + 1, . . . , q + p, 1, . . . , q. Então: ε(ρ) = (−1)pq.

115


Seja σ = τ ρ. Quando τ percorre Sp+q o mesmo acontece com σ, de modo que

∑τ∈Sp+q

ε(τ)β(vτ(1), . . . , vτ(q)) · α(vτ(q+1), . . . , vτ(p+q)) =

=∑τε(τ)β(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)) · α(vσ(1), . . . , vσ(p)) =

=∑σ

(−1)pqε(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(p)) · β(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)) =

= p! q! (−1)pq(α ∧ β)(v1, . . . , vp+q) ,

donde a tese.

Lema 8.1. Se f ∈ Lp(V,R), g ∈ Lq(V,R) e Alt f = 0, então Alt(f ⊗ g) =

= Alt(g ⊗ f) = 0.

Dem. Quaisquer que sejam v1, . . . , vp+q em V , temos Alt(f ⊗ g)(v1, . . . , vp+q) =

=1

(p+ q)!

∑σ∈Sp+q

ε(σ)f(vσ(1), . . . , vσ(p)).g(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)). Seja G ⊂ Sp+q o

subgrupo das permutações que deixam (p+ 1), . . . , (p+ q) fixos. Então,

∑σ∈G

ε(σ)f(vσ(1), . . . , vσ(p)).g(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)) =

=

ñ ∑τ∈Sp

ε(τ)f(vτ(1), . . . , vτ(p))

ô· g(vp+1, . . . , vp+q) =

= p! Alt f(v1, . . . , vp) · g(vp+1, . . . , vp+q) = 0 .

Sejam α ∈ Sp+q , α /∈ G , Gα = σ.α;σ ∈ G . Ponhamos vα(1) = u1,

vα(2) = u2 , . . . , vα(p+q) = up+q. Então,

∑σ∈G·α

ε(σ)f(vσ(1), . . . , vσ(p)) · g(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)) =

=

ñε(α)

∑τ∈G

ε(τ)f(uτ(1), . . . , uτ(p))

ô· g(up+1, . . . , up+q) = 0 .

Observemos que se σ ∈ G ∩ G · α, então σ = τ · α para algum τ ∈ G; logo,

α = σ · τ−1 ∈ G, absurdo. Então, G ∩ G · α = ø . Continuando desta forma,

116


dividimos Sp+q em subconjuntos disjuntos. Como a soma sobre cada um desses

subconjuntos é igual a zero, resulta que a soma sobre Sp+q também é igual a zero.

Portanto, Alt(f ⊗ g) = 0. Analogamente, Alt(g ⊗ f) = 0.

Proposição 8.6. Sejam α ∈p∧V ∗, β ∈

q∧V ∗ e γ ∈

r∧V ∗. Então,

(a) Alt(Alt(α⊗ β)⊗ γ) = Alt(α⊗ β ⊗ γ) = Alt(α⊗ Alt(β ⊗ γ));

(b) (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) =(p+ q + r)!

p! q! r!Alt(α⊗ β ⊗ γ).

Dem. (a) Como Alt [Alt(β ⊗ γ)− β ⊗ γ] = Alt(β ⊗ γ)−Alt(β ⊗ γ) = 0, o Lema

anterior nos dá,

0 = Alt α⊗ [Alt(β ⊗ γ)− β ⊗ γ] = Alt [α⊗ Alt(β ⊗ γ)] − Alt(α ⊗ β ⊗ γ),

donde

Alt [α⊗ Alt(β ⊗ γ)] = Alt(α⊗ β ⊗ γ).

Analogamente,

Alt [Alt (α⊗ β)⊗ γ] = Alt(α⊗ β ⊗ γ),

donde a tese.

(b) Temos,

(α ∧ β) ∧ γ =(p+ q + r)!

(p+ q)! r!Alt [(α ∧ β)⊗ γ] =

=(p+ q + r)!

(p+ q)! r!· (p+ q)!

p! q!Alt [Alt(α⊗ β)⊗ γ] =

=(p+ q + r)!

(p! q! r!Alt(α⊗ β ⊗ γ),

e analogamente para α ∧ (β ∧ γ), donde a igualdade.

117


Proposição 8.7. Seja (e1, . . . , en) uma base do espaço vetorial real V e seja

(e∗1, . . . , e∗n) a base dual associada. Todo elemento ω ∈

p∧V ∗ se escreve, de modo

único, na forma

ω =∑

1≤i1<...<ip≤nai1i2...ipe

∗i1∧ . . . ∧ e∗ip ,

onde ai1...ip ∈ R, ou seja, os elementos e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ip correspondentes a todas as

sequências crescentes 1 ≤ i1 < . . . < ip ≤ n de p inteiros, formam uma base parap∧V ∗.

Dem. Se v1, . . . , vp são vetores de V e ω ∈p∧V ∗, então vj =

n∑i=1

vijei,

1 ≤ j ≤ p, e temos

ω(v1, . . . , vp) = ω

Çn∑

i1=1vi11ei1 , . . . ,

n∑ip=1

vippeip

å=

=n∑

i1,...,ip=1vi11 . . . vipp ω(ei1 , . . . , eip) =

=n∑

i1,...,ip=1ai1 . . . aipvi11 . . . vipp,

onde ai1...ip = ω(ei1 , . . . , eip). Como ω é alternada, temos ω(vσ(1), . . . , vσ(p)) =

= ε(σ)ω(v1, . . . , vp) e, portanto, aiσ(1)...iσ(p) = ε(σ)ai1 ... ip. Além disso, ai1 ... ip = 0

toda vez que dois dos inteiros i1, . . . , ip são iguais . Basta, então, considerar o

caso em que estes inteiros são distintos. Se gruparmos o conjunto dos p! termos

que se deduzem uns dos outros por uma permutação de i1, . . . , ip, obteremos

ω(v1, . . . , vp) =∑

1≤i1<...<ip≤nai1...ip

Ç ∑σ∈Sp

ε(σ)vi1σ(1) . . . vipσ(p)

å.

Por outro lado,

(e∗i1 ∧ . . . e∗ip)(v1, . . . , vp) = p! Alt(e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e

∗ip)(v1, . . . , vp) =

=∑σ∈Sp

ε(σ)e∗i1(vσ(1)) · · · e∗ip(vσ(p)) =∑σ∈Sp

ε(σ)viσ(1) · · · vipσ(p) .

118


Portanto,

ω =∑

1≤i1<...<ip≤nai1 . . . aipe

∗i1∧ . . . ∧ e∗ip ,

e esta representação é única pois ai1···ip = ω(ei1 , . . . , eip).

Corolário 8.1. Se p > n = dimV , entãop∧V ∗ = 0. Se p = n, todo elemento de

n∧V ∗ é da forma ae∗1 ∧ . . . e∗n, com a ∈ R e, então, dim

n∧V ∗ = 1. A dimensão

dep∧V ∗, para p ≤ n, é

Ñn

p

é=

n!

p!(n− p)!.

Proposição 8.8. Se f ∈ Ap(V,W ) e v1, . . . , vp são vetores linearmente depen-

dentes em V , então f(v1, . . . , vp) = 0.

Dem. Existe i ∈ 1, . . . , p tal que vi =∑j 6=i

λjvj, λj ∈ R. Então, f(v1, . . . , vi, . . . , vp) =∑j 6=i

λjf(v1, . . . , vj, . . . , vp) = 0 pois f é alternada.

8.2 Determinantes

Se V eW são espaços vetoriais reais, toda T : V → W linear, induz aplicação

linear T ∗ :p∧W ∗ →

p∧V ∗ definida por (T ∗ω) (v1, . . . , vp) = ω(Tv1, . . . , T vp), onde

ω ∈p∧W ∗ e v1, . . . , vp são vetores de V .

Se S : U → V e T : V → W são lineares, é fácil ver que (T S)∗ =

= S∗ T ∗.

Definição 8.8. Seja T : V → V um operador linear, n = dimV . Então,

dimn∧V ∗ = 1 e T ∗ :

n∧V ∗ →

n∧V ∗ é da forma T ∗(ω) = aω, onde a ∈ R

e ω ∈n∧V ∗. Dizemos que este número a é o determinante do operador T , e

escrevemos a = detT . Assim, detT é o número real tal que ω(Tv1, . . . , T vn) =

= detT · ω(v1, . . . , vn) para todo ω ∈n∧V ∗ e v1, . . . , vn em V , arbitrários.

119


Proposição 8.9. Seja V um espaço vetorial real de dimensão n.

(a) Se I : V → V é a identidade, então det I = 1.

(b) Se S : V → V e T : V → V são lineares, então det(S T ) = detS. detT .

(c) O operador linear T : V → V é invertível se, e só se, detT 6= 0.

Dem. Para todo ω ∈n∧V ∗ e v1, . . . , vn em V , arbitrários, temos:

(a) ω(Iv1, . . . , Ivn) = ω(v1, . . . , vn), donde det I = 1.

(b) det(S T ).ω(v1, . . . , vn) = ω(STv1, . . . , STvn) = detS.ω(Tv1, . . . , T vn) =

= detS. detT.ω(v1, . . . , vn), donde det(S T ) = detS. detT .

(c) Se T é invertível, então detT. detT−1 = det I = 1, donde detT 6= 0 . Re-

ciprocamente, seja detT 6= 0. Se (v1, . . . , vn) é base de V , consideremos

ω ∈n∧V ∗ tal que ω(v1, . . . , vn) 6= 0. Então, ω(Tv1, . . . , T vn) =

= detT.ω(v1, . . . , vn) 6= 0, donde Tv1, . . . , T vn são linearmente independentes

e, portanto, T é invertível.

Definição 8.9. Seja A = (aij)1≤i ,j≤n uma matriz quadrada real. Se TA : Rn → Rn

é a transformação linear cuja matriz, relativamente à base canônica (e1, . . . , en) de

Rn, é A, definimos detA como sendo detTA.

Se ω ∈n∧(Rn)∗ é a n-forma tal que ω(e1, . . . , en) = 1, então

detA = ω(TAe1, . . . , TAen) = ω

(n∑i=1

ai1ei, . . . ,n∑i=1

ainei

)= ω(A1, . . . , An),

onde A1, . . . , An, são os vetores-coluna de A. Assim, det : M(n,R)→ R é a

única função n-linear alternada dos vetores-coluna de uma matriz, cujo valor na

120


identidade é igual a 1. Observemos que se (e∗1, . . . , e∗n) é a base de (Rn)∗ dual de

(e1, . . . , en), então

Alt(e∗1 ⊗ . . .⊗ e∗n)(e1, . . . , en) =1

n!

∑σ∈Sn

ε(σ)e∗1(eσ(1)) . . . e∗n(eσ(n)) =

1

n!,

ou seja ω = n! Alt(e∗1 ⊗ . . .⊗ e∗n). Resulta,

detA = ω(A1, . . . , An) =∑σ∈Sn

ε(σ)e∗1(Aσ(1)) . . . e∗n(Aσ(n)) =

∑σ∈Sn

ε(σ)a1σ(1) · · · anσ(n),

o que nos dá a definição clássica de detA, A = (aij)− n× n.

Corolário 8.2. Se ω1, . . . , ωn são formas lineares em V , isto é, elementos de V ∗,

e v1, . . . , vn são vetores em V , então

(ω1 ∧ . . . ∧ ωn)(v1, . . . , vn) = det(ωi(vj)).

Dem. Temos:

(ω1 ∧ . . . ∧ ωn)(v1, . . . , vn) = n! Alt(ω1 ⊗ . . .⊗ ωn)(v1, . . . , vn) =

=∑σ∈Sn

ε(σ)ω1(vσ(1)) . . . ωn(vσ(n)) = det(ωi(vj)) .

Proposição 8.10. As formas lineares ω1, . . . , ωn em V são linearmente dependen-

tes se, e só se, ω1 ∧ . . . ∧ ωn = 0.

Dem. Seja f(ω1, . . . , ωn) = ω1 ∧ . . . ∧ ωn. Então, f ∈ An(V ∗,n∧V ∗). Logo, pela

Proposição 8.8, se ω1, . . . , ωn são linearmente dependentes, temos f(ω1, . . . , ωn) = 0.

Se ω1, . . . , ωn são linearmente independentes, existem vetores v1, . . . , vn em

V tais que ωi(vj) = δij, donde det(ωi(vj)) = 1 e, portanto, ω1 ∧ . . . ∧ ωn 6= 0 .

121


Obs. Quando V é um espaço vetorial de dimensão finita n, sabemos que J : V → V ∗∗ ,

J(v) · ϕ = ϕ(v), v ∈ V , ϕ ∈ V ∗, é um isomorfismo canônico, de modo que pode-

mos identificar V com V ∗∗. Com esta identificação, Ap(V∗,R) =

p∧V ∗∗ =

p∧V

é a p-ésima potência exterior de V . Um elemento ϕ ∈p∧V é uma aplica-

ção ϕ : V ∗×p

˘. . . ×V ∗ −→ R que é p-linear alternada. Se v1, . . . , vp estão

em V , então v1 ∧ . . . ∧ vp ∈p∧V é tal que, para ω1, . . . , ωp em V ∗, se tem

(v1 ∧ . . . ∧ vp)(ω1, . . . , ωp) = det(vi(ωj)) = det(ωj(vi)). É usual a notação 〈ω, v〉

para indicar ω(v) ou v(ω). Os elementos dep∧V são chamados de p-vetores.

Consideremos a soma direta externa

∧V =0∧V ⊕

1∧V ⊕ · · · ⊕

n∧V =

n∑p=0

p∧V = ⊕

p≥0

p∧V,

onde n = dimV , isto é, ∧V = R⊕V ⊕2∧V ⊕· · ·⊕

n∧V . Cada z ∈ ∧V se escreve,

de modo único, na forma z = z0 + z1 + · · · + zn, onde zi ∈i∧V . Definimos a

aplicação bilinear

∧ : ∧V × ∧V −→ ∧V

(z, ω) 7−→ z ∧ ω

por (z ∧ ω) = (z0 + z1 + · · ·+ zn) ∧ (ω0 + ω1 + · · ·+ ωn) = z0 ∧ ω0 + (z1 ∧ ω0 + z0∧

∧ω1) + · · ·+ zn ∧ ωn.

Com este produto ∧, o espaço vetorial ∧V se torna uma álgebra e tem o nome

de álgebra exterior de V ou álgebra de Grassmann de V . Uma base (e1, . . . , en) de V

determina uma base de ∧V formada pelos elementos ei1 ∧ . . .∧ eip = eI onde I =

i1 < i2 < . . . < ip percorre todos os subconjuntos "crescentes" de 1, 2, . . . , n

com p elementos e eI = 1 se I = ø. Logo, dim∧V = 2n = 2dimV .

122


8.3 Produto Interior

Definição 8.10. Sejam v ∈ V e ω ∈p∧V ∗. Definimos o produto interior de ω

por v como sendo iv(ω) ∈p−1∧ V ∗ tal que ivω(v1, . . . , vp−1) = ω(v, v1, . . . , vp−1)

quaisquer que sejam v1, . . . , vp−1 em V .

Proposição 8.11. O produto interior i : V ×p∧V ∗ −→

p−1∧ V ∗ tem as seguintes

propriedades:

(a) iv1+v2(ω) = iv1(ω) + iv2(ω);

(b) iav(ω) = aiv(ω);

(c) iv(α1 + α2) = iv(α1) + iv(α2);

(d) iv(aω) = aiv(ω);

(e) iv(ω1 ∧ . . . ∧ ωp) =p∑i=1

(−1)i+1ωi(v).ω1 ∧ . . . ∧ ωi ∧ . . . ∧ ωp;

(f) iv(α ∧ β) = iv(α) ∧ β + (−1)pα ∧ iv(β);

(g) iv1(iv2(ω)) = −iv2(iv1(ω)),

quaisquer que sejam v, v1, v2,∈ V ; ω1, ω2, . . . , ωp ∈ V ∗ ; β ∈q∧V ∗ ; a ∈ R ;

ω, α, α1, α2 ∈p∧V ∗.

Dem. (a),(b),(c),(d) são imediatas.

(e) iv(ω1 ∧ . . . ∧ ωp)(v1, . . . , vp−1) = (ω1 ∧ . . . ,∧ωp)(v, v1, . . . , vp−1) =

= [v∧(v1∧. . .∧vp−1)](ω1, . . . , ωp) =p∑i=1

(−1)i+1〈v, ωi〉(v1∧. . .∧vp−1)(ω1, . . . , ωi, . . . , ωp) =

=p∑i=1

(−1)i+1ωi(v)(ω1, . . . , ωi, . . . , ωp)(v1, . . . , vp−1) para v1, v2, . . . , vp−1 em V , ar-

bitrários.

123


Portanto, iv(ω ∧ . . . ∧ ωp) =p∑i=1

(−1)i+1ωi(v)(ω1 ∧ . . . ∧ ωi ∧ . . . ∧ ωp).

(f) Basta provar no caso em que α e βsão da forma α = α1 ∧ . . . ∧ αp e

β = αp+1 ∧ . . . ∧ αp+q, onde αi ∈ V ∗, 1 ≤ i ≤ p+ q. Neste caso, temos:

iv(α ∧ β) =p+q∑i=1

(−1)i+1αi(v).α1 ∧ . . . ∧ αi ∧ . . . ∧ αp+q =

=p∑i=1

(−1)i+1αi(v).α1 ∧ . . . ∧ αi ∧ . . . ∧ αp ∧ . . . ∧ αp+q+

+(α1 ∧ . . . αp) ∧p+q∑j=p+1

(−1)j+1αj(v).αp+1 ∧ . . . ∧ αj ∧ . . . ∧ αp+q =

=Å p∑i=1

(−1)i+1αi(v).α1 ∧ . . . ∧ αi ∧ . . . ∧ αpã∧ (αp+1 ∧ . . . ∧ αp+q)+

+(−1)p(α1 ∧ . . . ∧ αp) ∧q∑j=1

(−1)j+1αp+j(v).αp+1 ∧ . . . ∧’αp+j ∧ . . . ∧ αp+q =

= iv(α) ∧ β + (−1)pα ∧ iv(β).

(g) iv1(iv2(ω))(v3, . . . , vp) = ω(v2, v1, v3, . . . , vp) = −ω(v1, v2, v3, . . . , vp) =

= −iv2(iv1(ω))(v3, . . . , vp) quaisquer que sejam v3, . . . , vp em V , donde a tese.


1. Sejam f = a1e∗1 + · · · + ane

∗n, g = b1e

∗1 + · · · + bne

∗n, onde (e∗1, . . . , e

∗n) é a

base dual da base canônica de Rn, e ω = f ∧ g =∑i<j

ωije∗i ∧ e∗j . Prove que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ωij ωik ωil

aj ak al

bj bk bl

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (i, j, k, l = 1, . . . , n).

2. Sejam (v1, . . . , vr) e (v′1, . . . , v′r) bases ordenadas do subespaço V ⊂ Rn.

Prove que existe c ∈ R tal que v′1 ∧ . . . ∧ v′r = cv1 ∧ . . . ∧ vr.

3. α ∈p∧V é decomponível se existem v1, . . . , vp ∈ V tais que α = v1 ∧ . . . ∧ vp .

124


Prove:

(a) Se α é decomponível então α ∧ α = 0.

(b) e1∧ e2 + e3∧ e4 não é decomponível, onde (e1, . . . , en) é a base canônica

do Rn .

4. (Lema de Cartan) Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n, v1, . . . , vr ∈ V

e ω1, . . . , ωr ∈ V tais quer∑j=1

vj ∧ ωj = 0. Prove que ωj =r∑i=1

aijvi, onde

aij = aji , 1 ≤ j ≤ r.

5. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n, x = v1∧. . .∧vr, y = u1 ∧ . . . ∧ ur,

v1, . . . , vr, u1, . . . , ur ∈ V . Prove que x = y se, e só se, existe matriz

r × r − A = (aij)− tal que uj =r∑i=1

aijvi e detA = 1.

6. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n e W ⊂ V um subespaço de

dimensão r. Se (ω1, . . . , ωr) é base ordenada de W e z = ω1∧ . . .∧ωr, prove

que W = v ∈ V ; v ∧ z = 0.

7. Duas sequências (u1, . . . , ur) e (v1, . . . , vr) de vetores do espaço vetorial

real V geram o mesmo subespaço W se, e só se, existe λ ∈ R tal que

u1 ∧ . . . ∧ ur = λv1 ∧ . . . ∧ vr.

8. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n e v1, . . . , vr vetores L. I. de

V. Prove que W = v ∧ v1 ∧ . . . ∧ vr; v ∈ V é um subespaço de dimensão

(n− r) der+1∧ V .

9. Sejam v1, . . . , v2r vetores L.I. do espaço vetorial real V e z = v1 ∧ v2 + v3∧

∧v4 + · · ·+ v2r−1 ∧ v2r. Prove que zr = z∧r

˘. . . ∧z = r!v1 ∧ . . . ∧ v2r.

125


10. Seja (e1, . . . , en) base ordenada do espaço vetorial real V e (e∗1, . . . , e∗n) a

base dual . Se f =n∑i=1

aie∗i e g =

n∑i,j=1

bije∗i ∧ e∗j , com bij = −bji, prove que

iek(f) = ak e iek(g) =n∑j=1

bkje∗j .

11. Sejam α1, . . . , αp 1-formas linearmente independentes em Rn. Se α é 1-forma

tal que α∧α1∧ . . .∧αp = 0, mostre que α é combinação linear de α1, . . . , αp

e, neste caso , que existe (p− 1)-forma β tal que α1 ∧ . . . ∧ αp = α ∧ β.

12. Seja (e1, . . . , en) base ordenada do espaço vetorial real V e (e∗1, . . . , e∗n) a

base dual. Se ω =∑

i<j<kaijk e

∗i ∧ e∗j ∧ e∗k, v =

n∑i=1

viei, e ivω =

=∑j<k

bjke∗j ∧ e∗k, prove que bjk =

n∑i=1

viaijk .

126

Capítulo 9

Formas Diferenciais

Começamos este capítulo introduzindo a noção fundamental de r−forma di-

ferencial numa variedade diferencial Mm. Achamos sua expressão local e definimos

sua diferencial exterior (que generaliza a diferencial de uma função f : M −→ R).

Estudamos as variedades com bordo e o conceito de orientação, introduzimos a no-

ção de integral de uma m−forma contínua de suporte compacto em uma variedade

orientada e , dentre outros, demonstramos os teoremas de Stokes, Brouwer diferen-

ciável, Poincaré-Brouwer, e o Lema de Poincaré. A seguir mostramos como se pode

integrar uma função f : M −→ R quando M é uma variedade riemaniana, e pro-

vamos que toda função harmônica numa variedade riemaniana compacta, conexa,

orientada, é constante. Terminamos o capítulo estudando o grau de uma aplicação,

e calculamos o grau da aplicação normal de Gauss de uma hipersuperficie compacta

do Rn.

127

CAPÍTULO 9. FORMAS DIFERENCIAIS

9.1 Generalidades

Definição 9.1. Seja Mm uma variedade diferencial de classe Ck, k ≥ 1. Uma

forma diferencial de grau r, ou uma r-forma, em M , é uma aplicação

p ∈M 7−→ ω(p) ∈r∧M∗

p , onde M∗p = (TpM)∗ é o espaço cotangente a M em p.

Por exemplo, uma forma de grau 0 é simplesmente uma função f : M → R. Se

ω(p) ∈r∧M∗

p e v1, . . . , vr ∈ TpM , então ω(p)(v1, . . . , vr) é também representado

por ω(p; v1, . . . , vr).

Definição 9.2. Sejam Mm e Nn variedades e f : M → N de classe C1. Se ω é

uma r−forma em N , definimos a r−forma (f ∗ω) em M por

(f ∗ω) (p; v1, . . . , vr) = ω (f(p); f ′(p)v1, . . . , f′(p) · vr) ,

onde v1, . . . , vr ∈ TpM . A forma f ∗ω é a imagem inversa de ω por f (ou o "pull

back" de ω por f).

Se ω é forma diferencial de grau r em M e x : U → Rm é uma carta em torno

de p ∈ M , então (x−1)∗

(ω) é uma r− forma em x(U). Logo, (x−1)∗

(ω)(x(p)) =

=∑

i1<...<irai1...ir(x(p))ui1∧. . .∧uir , onde ui : Rm → R é a i-ésima forma coordenada

e ai1...ir : x(U) → R. Pondo bi1...ir = ai1...ir x : U → R, xi = ui x : U → R,

ti = x′(p)vi, onde vi ∈ TpM , obtemos d xi(p) = ui x′(p) para todo p ∈ U,

e ω(p; v1, . . . , vr) = ω(p;x′(p)−1 · t1, . . . , x′ (p)−1 · tr) = (x−1)∗ (x(p); t1, . . . , tr) =

=∑

i1<...<irbi1...ir(p)d xi1(p) ∧ . . . ∧ dxir(p)(v1, . . . , vr) .

Logo, ω =∑

i1<...<irbi1...irdxi1 ∧ . . . ∧ dxir , que é a expressão de ω na carta

x : U → Rm.

128


Seja y : V → Rm outra carta em torno de p ∈M . Então, ω =∑

j1<...<jrcj1...jrdyj1∧

∧ . . . ∧ dyjr .

Temos: yi = ui · (y · x−1) · x, donde dyi =m∑j=1

∂yi∂xj

dxj, ondeÇ∂yi∂xj

(p)

åé a

matriz jacobiana de (y · x−1) no ponto x(p) . Portanto,

dyj1 ∧ . . . ∧ dyjr =m∑

i1,...,ir=1

∂yj1∂xi1

· · · ∂yjr∂xir

dxi1 ∧ . . . ∧ dxir =

=∑

i1<...,<ir

( ∑σ∈Sr

ε(σ)∂yj1∂xσ(i1)

. . .∂yjr∂xσ(ir)

)dxi1 ∧ . . . ∧ dxir =

=∑

i1<...<ir

∂(yj1 , . . . yjr)

∂(xi1 , . . . , xir)dxi1 ∧ . . . ∧ dxir ,

que também se escreve: dyJ =∑I

∂yJ∂xI

dxI .

Portanto, ω =∑

j1<...<jrcj1...jrd yj1 ∧ . . . ∧ dyjr =

∑JcJdyJ =

∑JcJ∑I

∂yJ∂xI

dxI =

=∑IbIdxI . Resulta, bI =

∑JcJ∂yJ∂xI

; , ou seja, bi1...ir =∑

j1<...<jrcj1...jr

∂(yj1 , . . . yjr)

∂(xi1 , . . . , xir),

expressão que mostra que, se s < k , cj1...jr ∈ Cs implica bi1...ir ∈ Cs.

Definição 9.3. Seja M uma variedade de classe Ck e ω uma r−forma diferencial

em M . Se, numa vizinhança coordenada U , ω =∑

i1<...<irai1...irdxi1 ∧ . . . ∧ dxir ,

dizemos que ω ∈ Cs, s < k, se as funções reais ai1,...,ir são de classe Cs .

As operações sendo definidas ponto a ponto, o conjunto Ωsr(M) das r− formas

diferenciais de classe Cs em M é um espaço vetorial real. Se α ∈ Ωsr(M) e

β ∈ Ωsq(M) então, para cada p ∈ M , temos que α(p) ∧ β(p) é um elemento de

r+q∧ M∗

p . A aplicação p 7→ α(p) ∧ β(p) é de classe Cs ; é o produto exterior α ∧ β

das formas α e β. Assim,

(α∧β)(p; v1, . . . , vq+r) =1

q!r!

∑σ∈Sq+r

ε(σ)α(p; vσ(1), . . . , vσ(r)) ·β(p; vσ(r+1), . . . , vα(r+q))

129


Se f : M → R é de classe Cs , isto é, f ∈ Ωso(M), e ω ∈ Ωs

r(M), entãof ∧ ω = fω é a r− forma definida por fω(p; v1, . . . , vr) = f(p) · ω(p; v1, . . . , vr),quaisquer que sejam v1, . . . , vr ∈ TpM.

Obs. Ωs(M) =⊕r≥0

Ωsr(M) é a álgebra das formas diferenciais de classe Cs em

Mm. Todo elemento ω ∈ Ωs(M) é da forma ω = ω0 + ω1 + . . . + ωm, onde

ωi ∈ Ωsi (M) e m = dimM . Ωs

r(M) é um módulo sobre o anel Ωs0(M) = Cs(M,R)

das funções numéricas de classe Cs em M .

9.2 Diferencial Exterior

Definição 9.4. Seja ω ∈ Ωkr(M). Se a expressão local de ω é ω =

∑IaIdxI ,

I = i1 < . . . < ir, definimos sua diferencial exterior dω ∈ Ωk−1r+1(M) por

dω =∑IdaI ∧ dxI =

∑i1<...<ir

dai1...ir ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxir =

=∑

i1<...<ir

n∑j=1

∂ai1...ir∂xj

dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxir .

Proposição 9.1. Seja M uma variedade de classe Ck+1. Então:

(a) d(α + β) = dα + dβ;

(b) df = f ′;

(c) d(α ∧ ω) = dα ∧ ω + (−1)rα ∧ dω;

(d) d2(γ) = d(dγ) = 0 para toda γ ∈ Ωk+1r (M),

quaisquer que sejam α ∈ Ωkr(M) , β ∈ Ωk

r(M), f ∈ Ωk0(M), ω ∈ Ωk

q(M),

sendo k ≥ 1.

130


Dem. Os cálculos serão feitos num mesmo sistema de coordenadas x : U → Rm

em M . (a) e (b) são imediatos.

Para provar (c), sejam α =∑IaIdxI e ω =

∑JbJdxJ .

Então, α ∧ ω =∑I,JaIbJdxI ∧ dxJ e d(α ∧ ω) =

∑I,J

(bJdaI + aIdbJ)∧

∧dxI ∧ dxJ =Å∑Id aI ∧ d xI

ã∧Å∑JbJd xJ

ã+Å∑IaI(−1)rd xI

ã∧Å∑JdbJ ∧ d xJ

ã=

= dα ∧ ω + (−1)rα ∧ dω .

(d) Basta considerar o caso em que γ = ad xi1 ∧ . . . ∧ d xir = ad xI . Então,

dγ = d a ∧ d xI =m∑j=1

∂a

∂xjdxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxir , e

d2γ =m∑j=1

m∑k=1

∂2a

∂xk∂xjd xk ∧ d xj ∧ d xi1 ∧ . . . ∧ d xir =

=∑j<k

Ç∂2a

∂xj∂xk− ∂2a

∂xk∂xj

åd xj ∧ d xk ∧ d xi1 ∧ . . . ∧ d xir = 0,

pois a ∈ C2 implica∂2a

∂xj∂xk=

∂2a

∂xk∂xj. Logo : d2 = 0.

Vamos mostrar agora que a definição de d independe da carta, isto é, se

x : U → Rm e y : V → Rm são cartas em torno de p ∈ M , então dxω = dyω.

De fato, se ω =∑KaKd xK =

∑LbLd yL, então

dyω =∑Ld bL ∧ d yL =

∑L

∑Kd

ÇaK

∂xK∂yL

å∧ d yL =

=∑L,K

∂xK∂yL

d aK ∧ dyL +∑L,K

aKd

Ç∂xK∂yL

å∧ d yL =

=∑KdaK ∧ dxK +

∑KaKd (d xK) =

∑KdaK ∧ dxK = dxω,

e a diferencial exterior dω é uma (r+1)−forma de classe Ck definida em M ∈ Ck+1 ,

k ≥ 1.

131


Exemplo 9.2.1. Seja ω = Pdx + Qdy + Rd z em R3, os coeficientes sendo de

classe Ck . Então,

dω = dP ∧ d x+ dQ ∧ d y + dR ∧ d z =

Ç∂R

∂y− ∂Q

∂z

åd y ∧ d z+

+

Ç∂P

∂z− ∂R

∂x

åd z ∧ d x+

Ç∂Q

∂x− ∂P

∂y

åd x ∧ d y ,

ou seja, se ω corresponde ao campo de vetores ~ω = (P,Q,R), então dω corresponde

ao campo rot ~ω.

Exemplo 9.2.2. Sejam U um aberto do Rn e ω ∈ Ωkr(U), isto é, ω : U →

r∧(Rn)∗.

Se ω =∑

i1,...,irai1...ird xi1 ∧ . . . ∧ d xir , se v ∈ Rn, e se p ∈ U , então

ω′(p) · v =∑

i1,...,ir

Äa′i1...ir(p) · v

äd xi1 ∧ . . . ∧ d xir .

Ora,

dω(p; v1, . . . , vr+1) =∑

i1,...,ird ai1...ir(p) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ d xir(v1, . . . , vr+1) =

=∑

i1,...,ir

r+1∑j=1

(−1)j+1(a′i1...ir(p) · vj)(d xi1 ∧ . . . ∧ d xir)(v1, . . . , vj, . . . , vr+1) =

=r+1∑j=1

(−1)j+1(ω′(p) · vj)(v1, . . . , vj, . . . , vr+1),

fórmula que relaciona a diferencial exterior dω : U →r+1∧ (Rn)∗ com a derivada

usual ω′ : U → L(Rn,r∧(Rn)∗).

Obs. Consideremos agora f : Mm → Nn de classe Ck+1 e ω ∈ Ωkr(N). Se

a expressão local de ω no sistema de coordenadas y : V → Rn, f(p) ∈ V , é

ω =∑KaK dyK e x : U → Rn, p ∈ U , é carta em M , então

f ∗ω =∑L,K

(aK f)

Ç∂yK∂xL

åd xL,

132


ondeÇ∂yK∂xL

å=∂ (yk1 , . . . , ykr)

∂(xl1 , . . . , xlr)é um subdeterminante do jacobiano da aplicação

(y f x−1) no ponto x(p). Esta expressão de f ∗ω mostra que ω ∈ Ck implica

f ∗ω ∈ Ck, ou seja, f ∗ω ∈ Ωkr(M). É fácil ver que:

(a) id∗Mω = ω, onde ω ∈ Ωkr(M);

(b) (g f)∗ω = f ∗ · g∗(ω), onde f : M → N , g : N → P , ω ∈ Ωkr(P );

(c) f ∗(α + cβ) = f ∗(α) + cf ∗(β), onde c ∈ R, α, β ∈ Ωkr(N), f : M → N .

Proposição 9.2. Seja f : Mm → Nn de classe Ck+1. Então:

(a) f ∗(α ∧ β) = f ∗(α) ∧ f ∗(β), onde α ∈ Ωkr(N) e β ∈ Ωk

q(N);

(b) f ∗(dω) = d(f ∗ω), onde ω ∈ Ωkr(N) .

Dem. (a)

f ∗(α ∧ β)(p; v1, . . . , vr+q) = (α ∧ β)(f(p); f ′(p)v1, . . . , f′(p)vr+q) =

=1

r!q!

∑σ∈Sr+q

ε(σ)α(f(p); f ′(p)vσ(1), . . . , f′(p)vσ(r)) · β(f(p); f ′(p)vσ(r+1), . . .

. . . , f ′(p)vσ(r+q)) =1

r!q!

∑σε(σ)f ∗α(p; vσ(1), . . . , vσ(r)) · f ∗β(p; vσ(r+1), . . . , vσ(r+q)) =

= (f ∗α ∧ f ∗β) (p; v1, . . . , vr+q) ,

quaisquer que sejam v1, . . . , vr+q em TpM . Logo, f ∗α∧ f ∗β = f ∗(α∧ β). Em

particular, se α = a ∈ Ωk0(N) é uma função Ck em N , então f ∗(aβ) =

= f ∗(a ∧ β) = (f ∗a) ∧ (f ∗β) = (a f)f ∗β.

(b) Basta considerar o caso em que ω = ad xi1∧. . .∧d xir numa carta x : U → Rn

em N . Então, f ∗dω = f ∗(da ∧ d xi1 ∧ . . . ∧ d xir) = f ∗(da)∧

∧f ∗(d xi1) ∧ . . . ∧ f ∗(d xir).

133


Mas, f ∗(da)(p; v) = da(f(p))df(p) · v = d(a f)(p) · v , donde f ∗(da) =

= d(a f) = d(f ∗a). Em particular, f ∗(dxi) = d(xi f) = dfi, onde f1, . . . , fn

são as componentes de x f . Logo,

f ∗dω = d(a f) ∧ dfi1 ∧ . . . ∧ dfir = d ((a f)dfi1 ∧ . . . ∧ dfir) =

= d (f ∗a ∧ f ∗dxi1 ∧ . . . ∧ f ∗dxir) = d (f ∗ω) .

Obs. (1) Seja ω ∈ Ωkr(M) e sejam X1, . . . , Xr campos de vetores de classe Ck

em M . ω(X1, . . . , Xr) : M → R é a função tal que ω(X1, . . . , Xr)(p) =

= ω(p;X1(p), . . . , Xr(p). Ela é de classe Ck (prove!). Se Xk(M) é o espaço

vetorial dos campos de vetores de classe Ck em M , então ω : Xk(M)× . . .×

×Xk(M)→ Ck(M) é uma aplicação r-linear alternada.

(2) Sejam X ∈ Xk(M) e ω ∈ Ωkr . A forma iX(ω) ∈ Ωk

r−1(M) é definida por

(iXω) (p) = iX(p)ω(p), ou seja, se v1, . . . , vr−1 ∈ TpM temos

(iXω) (p; v1, . . . , vr−1) = ω (p;X(p), v1, . . . , vr−1) .

(3) De modo análogo ao fibrado tangente a Mm ∈ Ck, definimos o fibrado

cotangente T ∗M =⋃p∈Mp × (TpM)∗ = (p, α)|p ∈M,α ∈ (TpM)∗. T ∗M

é uma variedade de dimensão 2m e classe Ck−1. Uma 1-forma diferencial ω de

classe Cs, s < k, pode ser definida como uma aplicação ω : M → T ∗M ,

de classe Cs, tal que π ω = idM , onde π : T ∗M → M é a projeção

π(p, α) = p, ou seja, ω é uma seção de classe Cs do fibrado cotangente. Se

x : U → Rm é uma carta em M e π : T ∗M → M é a projeção, então

134


x : π−1(U) → x(U)× (Rm)∗

(p, α) 7→ (x(p), α · x′(p)−1)

é uma carta em T ∗M . Se a expressão

local de α é α =m∑i=1

aidxi, então π∗α =m∑i=1

(ai π)2m∑j=1

∂xi∂xj

dxj =

=m∑i=1

(ai π)dxi, pois a matrizÇ∂xi∂xj

å1≤i≤m1≤j≤2m

= [Im 0] .

A 1− forma λ em T ∗M , tal que λ(p, α) = π∗α, tem o nome de 1−forma de

Poincaré, e é importante no estudo da Mecânica Clássica.

9.3 Orientação

Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n ≥ 1, e seja B o conjunto

das bases ordenadas de V .

Definição 9.5. Duas bases, ξ = (u1, . . . , un) e F = (v1, . . . , vn) de V são

equivalentes, anotado ξ ∼ F , se o determinante da matriz de passagem de ξ para

F é positivo.

Se vj =n∑i=1

pijui, a matriz de passagem de ξ para F é a matriz invertível

P = (pij), e ξ ∼ F se, e só se, detP > 0. Observemos que P = [I]Fξ , onde

I : V → V é a identidade.

Proposição 9.3. A relação ξ ∼ F é uma relação de equivalência sôbre B.

Dem. (a) ξ ∼ ξ pois det[I]ξξ = 1 > 0.

(b) ξ ∼ F ⇒ F ∼ ξ: com efeito, se P = [I]Fξ então P−1 = [I]ξF . Portanto,

detP > 0⇔ detP−1 > 0.

(c) ξ ∼ F , F ∼ G ⇒ ξ ∼ G: sejam P = [I]Fξ e Q = [I]GF as matrizes de

passagem de ξ para F e de F para G, respectivamente. A matriz de passagem

135


de ξ para G é R = [I]Gξ = [I]Fξ [I]GF = PQ. Logo, detR = detP · detQ > O e

ξ ∼ G.

Proposição 9.4. A relação ξ ∼ F determina duas classes de equivalência no

conjunto B das bases ordenadas do espaço vetorial real V .

Dem. Fixemos uma base ξ = (u1, . . . , un) de V e seja ξ = (−u1, u2, . . . , un). A

matriz de passagem de ξ para ξ tem determinante igual a −1, ou seja, ξ e ξ estão

em classes distintas, B1 e B2.

Se F é base arbitrária de V , temos R = [I]Fξ = [I]ξξ · [I]Fξ = PQ, onde

P , Q, R são as matrizes de passagem de ξ para ξ, de ξ para F e de ξ para F ,

respectivamente. Logo, detR = detP · detQ = − detQ, donde resulta que ou

F ∈ B1 ou F ∈ B2, ou seja, só existem duas classes de equivalência.

Definição 9.6. Qualquer uma das classes B1, B2 é dita uma orientação de V . Por-

tanto, V tem duas orientações. Um espaço vetorial orientado é um espaço vetorial

real associado a uma de suas orientações, ou seja, é um par (V,O), onde O é uma

orientação de V . As bases que pertencem à orientação O chamam-se positivas. As

outras são ditas negativas.

Exemplo 9.3.1. O espaço Rn possui uma orientação canônica, que é aquela deter-

minada pela base canônica (e1, . . . , en).

Uma outra maneira de se definir orientação do espaço vetorial V é a se-

guinte: Sejam ξ = (u1, . . . , un) e F = (v1, . . . , vn) bases ordenadas de V , e

ω ∈n∧V ∗ − 0.

Se vj =n∑i=1

pijui, P = (pij) é invertível, e ξ ∼ F se, e só se, detP > 0.

Como ω(v1, . . . , vn) = detP · ω(u1, . . . , un), vemos que ξ ∼ F se, e só se,

ω(v1, . . . , vn) e ω(u1, . . . , un) têm o mesmo sinal.

136


Definição 9.7. Dizemos que ω ∈n∧V ∗ , ω 6= 0, é positiva se ω(v1, . . . , vn) > 0

para toda base positiva F = (v1, . . . , vn). Resulta que ω(u1, . . . , un) < 0 para toda

base negativa ξ = (u1, . . . , un) .

Como dimn∧V ∗ = 1, se θ ∈

n∧V ∗, θ 6= 0, então θ = aω para algum

a 6= 0. Portanto, ou θ é positiva ou (−θ) é positiva ; neste último caso dizemos que

θ é negativa. Assim,n∧V ∗ − 0 = B∗1 ∪ B∗2 , onde B∗1 é o conjunto das n−formas

positivas e B∗2 o das negativas. Se θ(v1, . . . , vn) > 0, então F = (v1, . . . , vn) ∈ Bj

se, e só se, θ ∈ B∗j (j = 1, 2) . Resulta que podemos considerar B∗1 e B∗2 como

sendo as orientações de V .

Exemplo 9.3.2. Seja ξ = (e1, . . . , en) a base canônica do Rn e seja ξ∗ = (e∗1, . . . , e∗n)

a base dual. A n−forma e∗1 ∧ . . . ∧ e∗n define a orientação canônica do Rn.

Definição 9.8. Seja M uma variedade de classe Ck . Um atlas coerente sobre

M é um atlas A cujas mudanças de coordenadas têm jacobiano positivo, isto é, se

x ∈ A, y ∈ A, então y x−1 tem jacobiano positivo.

Proposição 9.5. Seja Mm uma variedade Ck . São equivalentes:

(a) M admite um atlas coerente;

(b) existe em M uma m−forma diferencial contínua diferente de zero em todos os

pontos.

Dem. (a)⇒ (b) : Seja (Ui)i∈N uma cobertura localmente finita de M por domínios

de cartas xi : Ui → Rm, onde xi pertence ao atlas coerente A de M . Seja

(ϕi)i∈N partição da unidade subordinada a (Ui)i∈N . Em cada Ui temos a m−forma

dx1i ∧ . . . ∧ dxmi , onde xαi : Ui → R, 1 ≤ α ≤ m são as funções coordenadas em

137


Ui. Seja ω =∞∑i=1

ϕi dx1i ∧ . . . ∧ dxmi , onde ωi = ϕi dx

1i ∧ . . . ∧ dxmi é considerada

nula fora de Ui e, em cada ponto, a soma∞∑i=1

ωi é finita. A m− forma ω =∞∑i=1

ωi

está definida em M e, como dx1i ∧ . . . ∧ dxmi = det

(∂xαi∂xβ1

)dx1

1 ∧ . . . ∧ dxm1 , temos

ωp =∞∑i=1

(ωi)p =s∑i=1

ϕi(p) det

(∂xαi∂xβ1

)(dx1

1 ∧ . . . ∧ dxm1 )p, onde 1, . . . , s são os índices

i para os quais ϕi(p) 6= 0, e o coeficiente de dx11 ∧ . . . ∧ dxm1 é positivo. Resulta

que ω é uma m−forma de classe Ck−1 diferente de zero em todas os pontos de M .

(b)⇒ (a) : Seja ω uma m−forma contínua diferente de zero em todos os pontos

de Mm. Em cada p ∈ M tomemos como positiva a orientação definida por ωp. Se

x : U → Rm é uma carta local e se, para cada p ∈ U , ωpÄ∂∂x1

(p), . . . , ∂∂xm

(p)ä> 0,

isto é, seÄ∂∂x1

(p), . . . , ∂∂xm

äé base positiva de TpM , então dizemos que x : U →

→ Rm é carta positiva e temos ω = a dx1 ∧ . . . ∧ dxm, onde a : U → R é função

contínua positiva. Se y : V → Rmé carta local arbitrária e V é conexo, então

ω = bdy1 ∧ . . . ∧ dym em V , com b(p) 6= 0 em todos os pontos de V . Assim, ou

b(p) > 0 ou b(p) < 0 em V , ou seja uma carta local num conexo ou é positiva ou

negativa. Se x : U → Rm e y : V → Rm são cartas positivas e U ∩ V 6= ø,

então ω = b dy1 ∧ . . .∧ d ym = ba

det(∂yi∂xj

)a dx1 ∧ . . .∧ dxm = b

adet

(∂yi∂xj

)ω, donde

det(∂yi∂xj

)= a

b> 0.

Os domínios das cartas positivas cobrem M pois se x : U → Rm pertence ao

atlas deM e é negativa, trocamos x por x : U → Rm, x(p) = (−x1(p), x2(p), . . . , xm(p))

e obtemos carta positiva. Resulta que o conjunto das cartas positivas formam um

atlas coerente sobre M .

Definição 9.9. Uma variedade diferencial Mm de classe Ck é orientável se M

satisfaz às condições equivalentes da Proposição 9.5 .

Corolário 9.1. Se Mm é orientável e de classe Ck , existe em M uma m− forma

138


de classe Ck−1 que não se anula em M .

Corolário 9.2. Sejam Mm uma variedade Ck e (Ui)i∈I uma cobertura aberta

de M . Se, para cada i ∈ I, existe uma m− forma ωi definida em Ui tal que

Ui ∩ Uj 6= ø implica ωi = fijωj com fij > 0 em Ui ∩ Uj, então M é orientável.

Dem. Seja x : U → Rm uma carta local na vizinhança U de um ponto. Tomando

U suficientemente pequena, existe j ∈ I tal que U ⊂ Uj. Dizemos que x é

uma carta positiva se ωj

Ç∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xm

å> 0 em U . Da hipótese resulta que

ωi

Ç∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xm

å> 0 para toda Ui tal que U ⊂ Ui. Se y : V → Rn é outra

carta positiva em U ∩ V , temos

ωj

Ç∂

∂y1

, . . . ,∂

∂ym

å= det

Ç∂yα∂xβ

å· ωjÇ∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xm

å,

de modo que det

Ç∂yα∂xβ

å> 0, isto é, as cartas x e y são coerentes. O conjunto das

cartas positivas formam um atlas coerente em M , ou seja, M é orientável.

Obs. Sejam V um espaço vetorial real, orientado, de dimensão (m + 1), munido

de produto interno 〈, 〉, e v1, . . . , vm ∈ V . A função f : V → R , f(x) =

= detξ(v1, . . . , vm, x), onde ξ = (e1, . . . , em+1) é base ortonormal positiva de V ,

é linear e, portanto, existe um único u ∈ V , anotado u = v1 × . . . × vm, tal

que f(x) = 〈u, x〉 para todo x ∈ V . Este vetor u = v1 × . . . × vm chama-se o

produto vetorial de v1, . . . , vm; ele é o único vetor de V que satisfaz às três seguintes

propriedades (veja [17] Capítulo 10):

(i) u ⊥ vj (1 ≤ j ≤ m);

(ii) ‖u‖ = volume do paralelepípedo de arestas v1, . . . , vm;

139


(iii) se v1, . . . , vm são L.I. então (v1, . . . , vm, u) é base positiva de V .

Definição 9.10. Seja Mm ⊂ Rm+1 uma hipersuperfície de classe Ck . Um campo

de vetores normais a M é uma aplicação N : M → Rm+1 tal que N(p) ∈ (TpM)⊥

para todo p ∈M . O campo é de classe Cr se a aplicação N é de classe Cr , onde

0 ≤ r ≤ k.

Exemplo 9.3.3. Se x : U → Rm é uma carta local em M ⊂ Rm+1, então∂

∂x1

× · · · × ∂

∂xmé um campo normal de classe Ck−1 no aberto U ⊂M .

Proposição 9.6. Seja Mm ⊂ Rm+1 uma hipersuperfície de classe Ck . M é

orientável se, e só se, existe em M um campo normal contínuo (respectivamente de

classe Ck−1 ) que não se anula em M .

Dem. SeM é orientável, existe uma m− forma diferencial contínua (resp. de classe

Ck−1 ) ω tal que ωp 6= 0 para todo p ∈M .

Se x : U → Rm é uma carta em torno de p ∈M , defina u(p) =

=∂

∂x1

(p)×. . .× ∂

∂xm(p), vetor normal a TpM . Sejam (e1, . . . , em+1) a base canônica

de Rm+1 e F a forma alternada em Rm+1 tal que F (e1, . . . , em+1) = 1. Como

dim(m∧M∗

p ) = 1, resulta que iu(p)F = ωpλu , onde λu ∈ R, λu 6= 0. Assim,

N(p) =u(p)

λué tal que iN(p)F = ωp, isto é, ωp(v1, . . . , vm) = F (N(p), v1, . . . , vm) para

quaisquer v1, . . . , vM ∈ TpM . Obtemos, pois , o campo normal p ∈ M 7−→ N(p),

sendo iNF = ω. Resulta que N é contínuo (resp. Ck−1 ) (prove!) e Np 6= 0 para

todo p ∈ M . Reciprocamente, seja N : p ∈ M 7−→ N(p) ∈ (TpM)⊥ um campo

normal contínuo (resp. Ck−1 ) em M tal que N(p) 6= 0 para todo p ∈ M . Seja

F como acima e defina ω = iNF . Então ω é m−forma contínua (resp. Ck−1 )

(prove!) em M e ωp 6= 0 para todo p ∈M , e M é orientável.

140


Exemplo 9.3.4. Seja Sn−1 = x ∈ Rn; ‖x‖ = 1 a esfera unitária do Rn. Se

x ∈ Sn−1 sabemos que N(x) = x é um campo de classe C∞ de vetores unitários

normais a Sn−1, de modo que iNdx1∧ . . .∧ dxn = ω é a forma elemento de volume

de Sn−1. Pela Proposição 8.11 do Capítulo 8, temos:

ω =n∑i=1

(−1)i+1dxi(N)dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn, donde

ω =n∑i=1

(−1)i+1xidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn.

Exemplo 9.3.5. Seja f : Rn − 0 → Sn−1 a projeção radial, f(x) =x

‖x‖. Se

h ∈ Rn, é fácil ver que f ′(x) · h =h

‖x‖− 〈h, x〉‖x‖3

x =h− cx‖x‖

, onde c =〈h, x〉‖x‖2

é a

projeção algébrica de h sobre x.

Por definição o "elemento de ângulo sólido" é a forma α = f ∗ω, onde ω é o

elemento de volume de Sn−1, isto é, se x ∈ Rn − 0, temos ω

Çx

‖x‖

å=

=n∑i=1

(−1)i+1 xi‖x‖

dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn.

Portanto, se v1, . . . , vn−1 ∈ Rn, temos:

α(x; v1, . . . , vn−1) = ω

Çx

‖x‖; f ′(x)v1, . . . , f

′(x)vn−1

å=

= ω

Çx

‖x‖;v1 − c1x

‖x‖, . . . ,

vn−1 − cn−1x

‖x‖

å=

= det

Çx

‖x‖,v1 − c1x

‖x‖, . . . ,

vn−1 − cn−1x

‖x‖

å=

=1

‖x‖ndet(x, v1, . . . , vn−1) =

1

‖x‖nn∑i=1

(−1)i+1xidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn.

Logo, α(x) =1

‖x‖nn∑i=1

(−1)i+1xidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn. Se n = 2, temos

141


α(x, y) =−ydx+ xdy

x2 + y2que é o "elemento de ângulo" em R2 − 0 .

9.4 Variedades com Bordo

O conjunto H1 = x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm;x1 ≤ 0 é um semi-espaço fechado

em Rm; seu bordo é ∂H1 = x ∈ H1;x1 = 0. Os pontos x ∈ H1 tais

∂H1

0x1

H1

que x1 < 0 formam o interior deH1, anotado intH1. Assim , H1 = intH1 ∪ ∂H1 ,

reunião disjunta.

Definição 9.11. Seja X ⊂ Rm um subconjunto arbitrário. f : X → Rn é de

classe Ck , k ≥ 1, quando f se estende localmente a uma aplicação de classe Ck ,

isto é, quando para cada p ∈ X existe aplicação Fp : Up → Rn de classe Ck numa

vizinhança aberta Up de p em Rm, tal que f(x) = Fp(x) para todo x ∈ Up ∩X .

Proposição 9.7. f : X → Rn é de classe Ck em X se, e só se, existem aberto

U ⊂ Rm, X ⊂ U , e função F : U → Rn, de classe Ck , tal que f = F |X .

Dem. Para cada p ∈ X existem aberto Up ⊂ Rm, p ∈ Up, e aplicação

Fp : Up → Rn, de classe Ck , tal que Fp(x) = f(x) para todo x ∈ Up ∩X. Seja

U =⋃p∈X

Up. O aberto U ⊂ Rm é uma variedade Ck e a família (Up)p∈X é uma

142


cobertura aberta de U . Seja ∑p∈X

ϕp = 1 uma partição da unidade estritamente

subordinada a essa cobertura. Definamos F : U → Rn por F =∑ϕpFp, isto é,

F (y) =∑p∈X

ϕp(y)Fp(y).

É claro que F ∈ Ck e que F (x) =∑ϕp(y)f(x) = f(x) para todo x ∈ X,

donde f = F |X . A reciproca é imediata.

Definição 9.12. f : X → Y , X ⊂ Rm, Y ⊂ Rm é um difeomorfismo de classe

Ck se f é bijetora, e f e g = f−1 : Y → X são de classe Ck .

Proposição 9.8. Sejam U aberto em H1 , mas não em Rm, e f : U → Rn de

classe C1 . Seja F : V → Rn uma extensão de classe C1 de f , definida num

aberto V ⊂ Rm. Para x ∈ U , a derivada F ′(x) : Rm → Rn só depende de f , e

independe da extensão F .

Rm−1 = ∂H1

RR

U

e10

V

Dem. Seja (e1, . . . , em) a base canônica de Rm. Observemos que x+te1 ∈ H1 para

t < 0. Como F ′(x) · ej = limt→0t<0

F (x+ tej)− F (x)

t= lim

t→0t<0

f(x+ tej)− f(x)

t, resulta

que os valores de F ′(x) dependem apenas de f e não da extensão F . Podemos,

assim, definir f ′(x) : Rm → Rn como sendo F ′(x) , qualquer que seja x ∈ H1 .

Proposição 9.9. Sejam U ⊂ Rm aberto, X ⊂ Rm e f : U → X um

difeomorfismo de classe C1 . Então X é aberto em Rm.

143


Dem. Seja p ∈ U . Existem aberto V ⊂ Rm, X ⊂ V e aplicação g : V → Rm, de

classe C1 , tal que g|X = f−1. Temos U f−→ Vg−→ Rm, g f = id : U → U ⊂ Rm,

e a regra da cadeia nos dá g′(f(p)) · f ′(p) = id : Rm → Rm e, portanto, f ′(p) é in-

vertível. Pelo teorema da função inversa, existem vizinhanças abertas Up de p em

U e Vf(p) de f(p) em V tais que f : Up → Vf(p) seja um difeomorfismo de classe

C1 . Resulta que Vf(p) ⊂ f(U) = X , e X é aberto em Rm.

Proposição 9.10. Sejam U e V abertos do semi-espaço H1 e f : U → V um

difeomorfismo de classe C1 . Então f leva pontos interiores em pontos interiores e

pontos do bordo em pontos do bordo.

Dem. Seja p ∈ U um ponto interior. Existe bola B, aberta em Rm, tal que

p ∈ B. Pela Proposição 9.9 f(B) é aberto em Rm e f(p) ∈ f(B) ⊂ V ⊂ H1,

donde f(p) é um ponto interior de H1. Se p é um ponto do bordo em U ∩ ∂H1,

então f−1 (f(p)) = p é um ponto do bordo e, portanto, f(p) não pode ser um ponto

interior; logo, f(p) é um ponto do bordo.

Definição 9.13. Seja M um espaço topológico. Uma carta de dimensão m em M

é um homeomorfismo x : U → H1 de um aberto U ⊂ M sobre um aberto x(U)

do semi-espaço H1 ⊂ Rm. Se y : V → H1 é outra carta em M e U ∩ V 6= ø, as

aplicações y x−1 : x(U ∩ V ) → y(U ∩ V ) e x y−1 : y(U ∩ V ) → x(U ∩ V ) são

chamadas de mudanças de coordenadas . Um atlas de dimensão m e classe Ck ,

k ≥ 1, é um conjunto A de cartas x : U → H1 de dimensão m, cujos domínios

cobrem M e cujas mudanças de coordenadas são de classe Ck .

Obs. Podemos usar, na definição de carta, qualquer semi-espaço fechado de Rm .

O uso de H1 é apenas por conveniência. Alguns autores usam o semi-espaço Hm

dos pontos x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm tais que xm ≥ 0.

144


Definição 9.14. Uma variedade diferencial com bordo, de dimensão m e classe

Ck , é um espaço topológico de Hausdorff, com base enumerável de abertos, dotado

de um atlas máximo de dimensão m e classe Ck . Um ponto p ∈ M é um

ponto interior (respectivamente ponto do bordo) se, em alguma carta x : U → H1,

x(p) ∈ intH1 (respectivamente, x(p) ∈ ∂H1). Esses conceitos independem da carta

pois se y : V → H1 é outra carta, o difeomorfismo y x−1 leva x(p) em y(p) e,

pela Proposição 9.10 , x(p) e y(p) são ambos interiores ou ambos pontos do bordo.

O conjunto dos pontos do bordo de M é anotado ∂M .

Obs. É importante não confundir os conceitos de bordo e fronteira. Por exemplo, se

A = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1, então FrA = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1 = S1, ao

passo que ∂A = ø. Se B = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1 , então FrB = ∂B = S1 .

Proposição 9.11. Se Mm é uma variedade com bordo de dimensão m e classe Ck ,

seu bordo ∂M é uma variedade (sem bordo ) de dimensão (m− 1) e classe Ck .

∂H1 = Rm−1

x(p) = (0, x(p))

x10

x

H1

p

U

Dem. Sejam x : U → H1, U ⊂ M , uma carta em M e x = x|U∩∂M . Como

x aplica pontos do bordo em pontos do bordo, x : U ∩ ∂M → ∂H1 = Rm−1 é uma

carta em ∂M . Se y : V → H1 é outra carta em ∂M , então

145


y (x)−1 : x (U ∩ V ∩ ∂M)→ y (U ∩ V ∩ ∂M) é de classe Ck , bem como sua in-

versa x·(y)−1. Assim , um atlas (Ui, xi)i∈I sobreM induz um atlas (Ui ∩ ∂M, xi)i∈I

sobre ∂M , tornando ∂M uma variedade de dimensão (m− 1) e classe Ck .

Proposição 9.12. SejamMm uma variedade de dimensãom e classe Ck , f : M → R

uma função de classe Ck , e 0 (zero) um valor regular de f . O conjunto

N = q ∈M ; f(q) ≤ 0 é uma variedade de dimensão m e classe Ck , cujo bordo é

∂N = f−1(0) .

U

p

Vf−1(o)

x

t t

R

(0, 0)

Vo

W × I

Rm−1

f x−1(ω, t) = t0

I

R

f

ω

Dem. O conjunto q ∈M ; f(q) < 0 é aberto em M, donde variedade de dimensão

m e classe Ck . Seja p ∈ N tal que f(p) = 0. Como f é submersão em p, existe

carta x : U → Rm, p ∈ U ⊂ M , tal que x(U) = W × I, onde I é um intervalo

aberto de centro 0 e W um aberto de Rm−1 contendo 0 ∈ Rm−1 , x(p) = (0, 0)

e f x−1(ω, t) = t. Seja H o semi-espaço de Rm tal que xm ≤ 0, e definamos

146


V0 = (W × I) ∩ H e V = x−1(V0). Então, x = x|V : V → V0 é uma carta

no aberto V ⊂ N , com p ∈ V , o que mostra ser N uma variedade com bordo

∂N = f−1(0).

Exemplo 9.4.1. Seja B = x ∈ Rm; ‖x‖ ≤ 1 a bola de centro 0 e raio 1 do Rm.

A função f : Rm → R, f(x) = 〈x, x〉 − 1 tem derivada f ′(x) : Rm → R tal que

f ′(x) · h = 2〈x, h〉, donde f ′(x) = 0 se , e só se, x = 0. Como x = 0 /∈ Sm−1

resulta que B é variedade cujo bordo é Sm−1 = f−1(0) = ∂B .

Obs. De modo análogo ao visto para variedades (sem bordo) definem-se, para as va-

riedades com bordo, os conceitos de espaço tangente, aplicação de classe Ck entre

duas variedades, orientação, formas diferenciais, etc. Por exemplo, uma orientação

numa variedade com bordo Mm, de dimensão m e classe Ck , é dada por uma

m−forma de classe Ck−1 que não se anula em ponto algum. Para uma variedade

sem bordo esta condição é equivalente à existência de um atlas coerente; isto foi

provado na Proposição 9.5. A mesma demonstração vale para uma variedade com

bordo. No final da demonstração é preciso substituir a carta (U, x1, . . . , xm) por

(U,−x1, x2, . . . , xm), o que não é possível no caso n = 1, a não ser que admita-

mos L1 = x ∈ R;x ≥ 0 como modelo local na definição de uma carta para uma

variedade de dimensão 1 com bordo, o que faremos.

Exemplo 9.4.2. M = [0, 1] é uma variedade com bordo, de classe C∞ ; ela tem

um atlas formado pelas cartas

x : [0, 1)→ (−1, 0] e y : (0, 1]→ (−1, 0]

t 7→ x(t) = −t t 7→ y(t) = t− 1

Então, y x−1(t) = y(−t) = −t − 1, cuja derivada é negativa, e o atlas não é

147


coerente.

Admitindo L1 = t ∈ R; t ≥ 0 como modelo local e substituindo y por

−y = z : (0, 1] → [0, 1) ⊂ L1

t 7→ −t+ 1

, então z x−1(t) = z(−t) = t + 1 e o atlas

x, z é coerente.

9.5 Orientação no Bordo

Seja M uma variedade com bordo, de dimensão m e classe Ck , orientada.

Proposição 9.13. Suponhamos m ≥ 2 e sejam x : U → Rm e y : V → Rm

cartas positivas em M , tais que U ∩ V ∩ ∂M 6= ø. Então,

y x−1 : B = x(U ∩ V ) ∩ ∂H1 → y(U ∩ V ) ∩ ∂H1 tem derivada positiva.

Dem. Sejam x = (x1, . . . , xm) em U e y = (y1, . . . , ym) em V . Como y x−1

leva pontos do bordo em pontos do bordo e pontos interiores em pontos interiores,

temos:

(i) y1(0, x2, . . . , xm) = 0, e

(ii) y1(x1, . . . , xm) < 0 para x1 < 0, onde (x1, . . . , xm) ∈ x(U ∩ V ) .

Então:∂y1

∂xj(0, x2, . . . , xm) = 0 para j = 2, . . . ,m, e

∂y1

∂x1

(0, x2, . . . , xm) = limt→0t<0

y1(t, x2, . . . , xm)− y1(0, x2, . . . , xm)

t= lim

t→0t<0

y1(t, x2, . . . , xm)

t≥ 0

148


Portanto,

J(y x−1) =

∂y1

∂x1

0 · · · 0

∂y2

∂x1

∂y2

∂x2

· · · ∂y2

∂xm...

... . . . ...∂ym∂x1

∂ym∂x2

· · · ∂ym∂xm

=

∂y1

∂x1

0

∗ J(y x−1|B)

.

Logo,

det J(y x−1) =∂y1

∂x1

det J [y x−1|B].

Como det J(y x−1) > 0 em todos os pontos de x(U ∩ V ), temos que∂y1

∂x1

(0, x2, . . . , xm) > 0, donde resulta det J(y x−1|B) > 0, como queríamos

provar.

Resulta que todo atlas coerente em M induz um atlas coerente em ∂M ; é a

orientação em ∂M induzida pela orientação de M .

Exemplo 9.5.1. A orientação canônica em H1 é dada pela forma dx1∧ . . .∧dxm,

e a orientação induzida em ∂H1 = Rm−1 é dada por dx2 ∧ . . . ∧ dxm, m ≥ 2.

Definição 9.15. Seja Mm uma variedade com bordo, de dimensão m e classe Ck .

Dizemos que um vetor Xp ∈ TpM "aponta para dentro" se Xp /∈ Tp(∂M) e existem

ε > 0 e curva α : [0, ε)→M de classe C1 tal que α(0) = p, α ((0, ε)) ⊂ intM , e

α′(0) = Xp. Um vetor Xp ∈ TpM "aponta para fora" se −Xp aponta para dentro.

Exemplo 9.5.2. Em H1,∂

∂x1

(p) aponta para fora.

Proposição 9.14. Xp ∈ TpM aponta para fora se, e só se, em cada carta x : U → H1,

x(p) = 0, o coeficiente de ∂∂x1

(p) em Xp é positivo.

149


Dem. Se Xp /∈ Tp(∂M) aponta para fora, existe curva α : [0, ε)→M, α ∈ C1, tal

que α(0) = p, α ((0, ε)) ⊂ intM e α′(0) = −Xp. Seja x : U → H1 carta local tal

que x(p) = 0 e x1(q) ≤ 0 para cada q ∈ U . Se (x α)(t) = (α1(t), . . . , αm(t)),

então x1(α(0)) = α1(0) = 0 e α1(t) < 0 para t > 0. Logo,

α′1(0) = limt→0t>0

α1(t)− α1(0)

t≤ 0.

Como −Xp =m∑i=0

α′i(0)∂

∂xi(p), o coeficiente de

∂

∂x1

(p) em Xp é −α′1(0) ≥ 0

e , como Xp /∈ Tp(∂M), temos −α′1(0) > 0 .

Reciprocamente, seja x : U → H1 carta local tal que x(p) = 0 e

−Xp =m∑i=1

ai∂

∂xi(p) com a1 < 0. A curva α(t) = x−1 (a1t, . . . , amt) é tal que

α(0) = p, α ((0, ε)) ⊂ intM e (x α)′(0) = (a1, . . . , am), donde α′(0) = −Xp,

ou seja, Xp aponta para fora.

Exemplo 9.5.3. Seja M o semi-espaço Hm = y ∈ Rm; ym ≥ 0 com a orientação

dada por dy1 ∧ . . . ∧ dym. Apliquemos M = Hm sobre H1 pela carta x1 = −ym,

x2 = y1, . . . , xm = ym−1. A orientação de M é dy1 ∧ . . . ∧ dym = dx2 ∧ . . . ∧ dxm∧

∧(−dx1) = (−1)mdx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxm, donde a orientação em ∂M é (−1)mdx2∧

∧ . . . ∧ dxm = (−1)mdy1 ∧ . . . ∧ dym−1.

Proposição 9.15. Seja Mm uma variedade com bordo, de dimensão m e classe

Ck . Se p ∈ M , a base ordenada (v2, . . . , vm) de Tp(∂M) define a orientação

de ∂M em p se, e só se, para cada vetor Xp ∈ TpM , que aponta para fora, a base

(Xp, v2, . . . , vm) define a orientação de M em p.

Dem. Seja x : U → H1 carta local tal que x(p) = 0. ω = dx1 ∧ . . . ∧ dxm

define a orientação em U ∩M , e a orientação em U ∩ ∂M é dx2 ∧ . . . ∧ dxm.

150


Temos: dx1 ∧ . . . ∧ dxm(Xp, v2, . . . , vm) = dx1(Xp)dx2 ∧ . . . ∧ dxm(v2, . . . , vm) já

que dx1(vj) = 0, 2 ≤ j ≤ m. Como dx1(Xp) > 0 e dx2 ∧ . . . ∧ dxm define a

orientação de ∂M ∩U , resulta que (Xp, v2, . . . , vm) define a orientação de M em

p se, e só se, (v2, . . . , vm) define a orientação de ∂M em p.

Definição 9.16. Um campo de vetores ao longo de ∂M é uma aplicação

X : p ∈ ∂M 7−→ Xp ∈ TpM .

Corolário 9.3. Se ω define a orientação de M e X é um campo de vetores ao longo

de ∂M , que aponta para fora, então iXω(v2, . . . , vm) = ω(Xp, v2, . . . , vm), donde

iXω define a orientação de ∂M .

Exemplo 9.5.4. Sejam Mm e Nn duas variedades orientadas de classe Ck . Seu

produto cartesiano M ×N é uma variedade de dimensão (m + n) e classe Ck .

Se x : U → Rm é carta em M e y : V → Rn é carta em N , ambas positivas,

então x × y : U × V → Rm+n é carta positiva em M × N . Se x percorre o

atlas coerente de M e y o de N, então as cartas x× y de M ×N constituem um

atlas coerente em M × N , que define a orientação produto. Se (p, q) ∈ M × N ,

então T(p,q)M × N = TpM ⊕ TqN . Se (u1, . . . , um) é base positiva de TpM e

(v1, . . . , vn) é base positiva de TqN , então (u1, . . . , um; v1, . . . , vn) é base positiva

de T(p,q)M ×N .

Exemplo 9.5.5. Seja Mm uma variedade orientada (sem bordo) e I = [0, 1] ori-

entada pelo atlas coerente α, β , onde α : [0, 1) → [0, 1) e β : (0, 1] → (0, 1] são

iguais à identidade. Em (t, p) ∈ I×M , uma base positiva de T(t,p)I×M = R⊕TpM ,

na orientação produto, é da forma (e1, v1, . . . , vm), onde e1 = 1 é a base canônica

de R e (v1, . . . , vm) uma base positiva de TpM . No ponto t = 0 o vetor e1 aponta

para dentro e no ponto t = 1 ele aponta para fora, de modo que (v1, . . . , vm) é base

151


0

M

e1 1

M1

e1

M0

negativa em (0, p) ∈M0 = 0×M e positiva em (1, p) ∈M1 = 1×M , na orien-

tação induzida em ∂(I×M) = M1∪ (−Mo), onde −M0 indica M0 com a orientação

oposta à vista acima.

9.6 Integração numa Variedade Orientada

Sejam Mm uma variedade orientada de dimensão m e classe C1 , e ω uma

m−forma contínua, definida em M , com suporte compacto. Se S = suppω

está contido no domínio de uma carta positiva x : U → Rm, então ω(p) =

= a(x(p))dx1 ∧ . . . ∧ dxm , onde a : x(U) → R é contínua e se anula no exterior

do compacto x(S) ⊂ x(U) ⊂ Rm, e definimos

∫M

ω =∫U

ω =∫

x(U)

(x−1)∗ω =∫

x(U)

a(x1, . . . , xm)dx1 . . . dxm,

onde o membro da direita é uma integral múltipla de Riemann.

Para provar que∫Mω independe da carta, seja y : V → Rm outra

carta (positiva) tal que S ⊂ V . Então , ω(p) = b(y(p))dy1 ∧ . . . ∧ dym =

= b(y(p)) det

Ç∂yi∂xj

(p)

ådx1 ∧ . . . ∧ dxm, donde a(x(p)) = b(y(p)) det

Ç∂yi∂xj

(p)

å,

onde J(p) = det

Ç∂yi∂xj

(p)

åé positivo. Pelo teorema da mudança de variá-

152


veis temos:∫

y(V )

b(y1, . . . , ym)dy1 . . . dym =∫

x(U)

b(y1, . . . , ym)J(p)dx1 . . . dxm =

=∫

x(U)

a(x1, . . . , xm)dx1 . . . dxm =∫Mω.

Se S = suppω não está contido numa vizinhança coordenada, seja (Uα)α∈A

uma cobertura de M por vizinhanças coordenadas, e seja (ϕα)α∈A uma partição

da unidade, de classe C1 , estritamente subordinada à cobertura M =⋃α∈A

Uα.

Seja ωα = ϕα · ω, donde∑αωα = ω. Como S é compacto e os suportes das ϕα

formam uma família localmente finita, resulta que S ∩ suppϕα 6= ø apenas para

um número finito de índices, donde a soma ∑αωα é uma soma finita. O suporte

de cada ωα sendo compacto e contido em Uα, existe∫Mωα, e podemos definir

∫Mω

por meio da igualdade ∫M

ω =∑α∈A

∫M

ωα.

Para provar que esta definição independe da cobertura e da partição da unidade

escolhidas, seja (Vβ)β∈B outra cobertura de M por vizinhanças coordenadas, e∑βψβ = 1 partição da unidade de classe C1 a ela estritamente subordinada.

Os abertos Uα ∩ Vβ(α ∈ A, β ∈ B) constituem uma cobertura de M , e

as funções θαβ = ϕα · ψβ formam uma partição da unidade subordinada a esta

cobertura. Assim,

∑α

∫M

ωα =∑α

∫M

ϕαω =∑α

∫M

ϕα

Ñ∑β

ψβω

é=∑α,β

∫M

ϕαψβω =∑α,β

∫M

θαβω,

e∑β

∫M

ψβω =∑β

∫M

ψβ

Ç∑α

ϕαω

å=∑α,β

θαβω,

o que prova que∫Mω tem caráter intrínseco.

Obs. Uma variedade compacta orientada M de dimensão zero é um conjunto finito

153


de pontos, cada um orientado por +1 ou −1. Escrevemos: M =∑ipi −

∑jnj. A

integral de uma 0−forma f : M → R é definida por∫Mf =

∑if(pi)−

∑if(nj).

Proposição 9.16. (1)∫M

(ω1 + cω2) =∫Mω1 + c

∫Mω2;

(2) Se ω ≥ 0 e ω(p) > 0 para algum p ∈ M , então∫Mω > 0, onde c ∈ R e

ω, ω1, ω2 são m−formas contínuas, de suporte compacto, na variedade orientada

M , de dimensão m e classe C1 .

Dem. Deixada para o leitor. ( Use partição da unidade).

Definição 9.17. Dizemos que um difeomorfismo f : (M,ωM)→ (N,ωN) entre va-

riedades orientadas (por ωM e ωN respectivamente) preserva a orientação se f ∗ωN

é forma positiva em M , ou seja, f ∗ωN = λωM onde λ : M → R é função positiva

em todo ponto de M . Se f ∗ωn é forma negativa em M , dizemos que f inverte a

orientação.

Proposição 9.17. Sejam U e V abertos do Rm. Um difeomorfismo f : UC1

−→ V

preserva a orientação se, e só se, det

Ç∂fi∂xj

(x)

å> 0 para cada x ∈ U , onde

f = (f1, . . . , fm) .

Dem. Sejam x = (x1, . . . , xm) ∈ U e y = (y1, . . . , ym) ∈ V . Temos: f ∗(dy1 ∧ . . .∧

∧dym) = d(f ∗y1) ∧ . . . ∧ d(f ∗ym) = d(y1 f) ∧ . . . ∧ d(ym f) = df1 ∧ . . . ∧ dfm =

= det

Ç∂fi∂xj

ådx1∧. . .∧dxm, donde f preserva a orientação se, e só se, det

Ç∂fi∂xj

å> 0

em todos os pontos de U .

Proposição 9.18. Seja f : Mm → Nm um difeomorfismo de classe C1 entre

variedades orientadas de dimensão m e classe Ck . Se f preserva a orienta-

ção e yα : Vα → Rmα∈A é atlas Ck que define a orientação de N , então

xα = yα f : Uα → Rmα∈A é atlas Ck que define a orientação de M .

154


Dem. Como xα x−1β = yα f f−1 y−1

β = yα y−1β é de classe Ck , e⋃

α∈AUα =

⋃α∈A

f−1(Vα) = f−1Å⋃αVα

ã= f−1(N) = M , resulta que xαα∈A é

atlas Ck em M . Seja y : V → Rm carta positiva em N , e x = y f carta

em M . Para p ∈ U = f−1(V ) temos, para 1 ≤ i ≤ m, x′(p)∂

∂xi(p) = ei =

= y′(q)f ′(p)∂

∂xi(p) = y′(q)

∂

∂yi(q) , onde q = f(p) e (e1, . . . , em) é a base canô-

nica do Rm. Como f ∗ωN = λωM , com λ(p) > 0 para todo p ∈ M , temos:

λ(p)ωMÄp; ∂

∂x1, . . . , ∂

∂xm

ä= ωN

Äq; f ′(p) ∂

∂x1, . . . , f ′(q) ∂

∂xm

ä= ωN

(q; ∂

∂y1, . . . , ∂

∂ym

)e,

y sendo carta positiva, resulta que x = y f é carta positiva em M , ou seja, o atlas

xα = yα fα∈A define a orientação de M .

Obs. Se f : M → N é um difeomorfismo entre variedades orientadas conexas,

então f ∗ωN ou é positiva ou é negativa e, portanto, ou f preserva a orientação ou

f inverte a orientação.

Proposição 9.19. Seja f : Mm → Nn aplicação Ck entre variedades de classe

Ck . Seja (ϕα)α∈A partição da unidade estritamente subordinada à cobertura aberta

(Vα)α∈A de N . Então, (supp f ∗ϕα)α∈A é família localmente finita e (f ∗ϕα)α∈A é

partição da unidade estritamente subordinada à cobertura abertaÄf−1(Vα)

äα∈A =

= (Uα)α∈A de M .

Dem. Sejam p ∈M , q = f(p) ∈ N ; existe vizinhança aberta Vq ⊂ N , q ∈ Vq, tal que

Vq ∩ Vα = ø exceto para um número finito de índices α. Up = f−1(Vq) é vizinhança

aberta de p e Up ∩ Uα = f−1(Vq) ∩ f−1(Vα) = f−1(Vq ∩ Vα) = ø exceto para um nú-

mero finito de índices, donde (Uα)α∈A é localmente finita. Como (supp f ∗ϕα) =

= supp(ϕα f) ⊂ f−1(suppϕα) ⊂ f−1(Vα) = Uα, resulta que (supp f ∗ϕα)α∈A é

localmente finita. Para p ∈ M temos ∑αf ∗ϕα(p) =

∑αϕα(f(p)) =

∑αϕα(q) = 1, o

que termina a demonstração.

155


Proposição 9.20. Seja f : Mm → Nm um difeomorfismo de classe C1 entre

variedades orientadas de dimensão m e classe Ck . Se f preserva a orientação,

então∫Mf ∗ω =

∫Nω para toda m− forma contínua ω de suporte compacto em N .

Dem. Seja yα : Vα → Rmα∈A um atlas Ck que define a orientação de N , e

seja ∑αϕα = 1 uma partição da unidade estritamente subordinada à cobertura

aberta Vαα∈A de N . Pela Proposição 9.18, xα = yα f : Uα → Rmα∈A é

atlas Ck que define a orientação de M e, pela Proposição 9.19, f ∗ϕαα∈A ; é

partição da unidade estritamente subordinada à cobertura aberta Uαα∈A de M .

Pela definição da integral,

∫M

f ∗ω =∑α

∫Uα

(f ∗ϕα) (f ∗ω) =∑α

∫Uα

f ∗ (ϕαω) =∑α

∫xα(Uα)

(x−1α )∗f ∗(ϕαω) =

=∑α

∫(yαf)(f−1(Vα))

(yα f)−1 ∗f ∗(ϕαω) =∑α

∫yα(Vα)

(y−1α )∗(ϕαω) =

=∑α

∫Vα

ϕαω =∫N

ω.

Obs. Se f inverte a orientação ,então∫Mf ∗ω = −

∫Nω.

Proposição 9.21. (Stokes) SejaMm uma variedade orientada de dimensão m ≥ 2

e classe Ck , cujo bordo ∂M tem a orientação induzida. Se ω é uma (m − 1)−

forma de classe C1 e suporte compacto em M , então

∫M

dω =∫∂M

ω.

Obs.∫∂M

ω significa a integral da restrição de ω a ∂M , ou seja,∫∂M

ω =∫∂M

i∗ω,

onde i : ∂M → M é a inclusão. Para facilitar a compreensão da demostração do

156


teorema de Stokes, vamos prová-lo no caso em que M = H1 ⊂ R2, e ω = fdx+gdy,

onde f e g são de classe C1 e suportes contidos no quadrado [−a, a]× [−a, a] . A

orientação de H1 é dada por dx ∧ dy, e a orientação de ∂H1 é dada por dy.

a−a

−a

a

suppω

x

y ∂H1

Como dω = (gx − fy) dx ∧ dy, temos∫H1

dω =∫H1

gxdxdy −∫H1

fydxdy =

=a∫−ady

0∫−agxdx−

0∫−adx

a∫−afydy =

a∫−a

[g(0, y)− g(−a, y)] dy −0∫−a

[f(x, a)− f(x,−a)] dx =

=a∫−ag(0, y)dy, pois g(−a, y) = f(x, a) = f(x,−a) = 0.

Em ∂H1 temos dx = 0 e , portanto,∫

∂H1

ω =∫

∂H1

gdy =a∫−ag(0, y)dy =

∫H1

dω,

o que prova o teorema de Stokes para M = H1 ⊂ R2 .

Dem. da Proposição 9.21 (Stokes)

Por meio de uma partição da unidade vimos que podemos supor ω igual a

uma soma finita de formas, cada uma delas com suporte contido numa vizinhança

coordenada. Basta então considerar o caso em que S = suppω ⊂ U , sendo

x : U → H1 uma carta positiva.

Para p ∈ U , temos ω =m∑i=1

(−1)i−1fidx1∧ . . .∧ dxi∧ . . .∧dxm, e é suficiente

157


x10

Rm−1 = ∂H1

x(S)

x(U)

considerar, para efeito da demonstração, apenas um termo desta soma, ou seja,

podemos tomar ω = (−1)i−1fdx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxm, onde f é de classe C1 e

tem suporte compacto. Neste caso, dω = (−1)i−1 ∂f

∂xidxi∧dx1∧. . .∧dxi∧. . .∧dxm =

=∂f

∂xidx1 ∧ . . . ∧ dxm. Seja a > 0 tal que suppω esteja contido no interior do

cubo [−a, a]m.

1 º Caso: x(U) ∩ ∂H1 = ø.

Temos: ∫M

dω =∫

Rm−1

dx1 . . . dxi . . . dxm

a∫−a

∂f

∂xidxi =

=∫

Rm−1

dx1 . . . dxi . . . dxm [f(· · · , xi−1, a, xi+1, · · · )−

−f(· · · , xi−1,−a, xi+1, · · · )] = 0− 0 = 0.

E:∫∂M

ω =∫øω = 0 . Portanto,

∫Mdω =

∫∂M

ω = 0 , neste caso.

2 º Caso: x(U) ∩ ∂H1 6= ø.

158


x1

Rm−1 = ∂H1

x(S)

(a) i 6= 1:

∫M

dω =∫

x(U)

∂f

∂xidx1 . . . dxm =

∫dx1 . . . dxi . . . dxm

a∫−a

∂f

∂xidxi = 0,

como no 1 º caso.

Como dx1 = 0 em ∂H1, temos i∗ω = 0, donde∫∂M

ω = 0.

(b) i = 1 :

∫M

dω =∫

x(U)

∂f

∂xidx1 . . . dxm =

∫Rm−1

dx2 . . . dxm

0∫−a

∂f

∂x1

dx1 =

=∫

Rm−1

f(0, x2, . . . , xm)dx2 . . . dxm =∫∂M

ω.

Obs. Seja ω uma m−forma de classe C1 definida numa variedade (sem bordo)

compacta, orientada Mm, de dimensão m e classe Ck . Se ω é exata, isto é, se

existe uma (m− 1) forma η tal que ω = dη, então

∫M

ω =∫M

dη =∫

∂M=ø

η = 0.

159


.

Se ω é uma m− forma contínua e positiva numa variedade (sem bordo) com-

pacta, orientada Mm, de dimensão m, então∫Mω > 0, donde ω não é exata, apesar

de ω ser fechada, isto é, de ser dω = 0.

Se Mm não é compacta, uma m− forma contínua positiva pode ser exata. Por

exemplo, se M = Rm, então ω = dx1 ∧ . . . ∧ dxm = d(x1dx2 ∧ . . . ∧ dxm) é exata

e positiva.

Proposição 9.22. Seja Mm uma variedade com bordo, compacta, orientada, de

dimensão m e classe C2. Não existe f : M → ∂M de classe C2 tal que f(x) = x

para todo x ∈ ∂M .

Dem. Suponhamos que exista uma tal f , e seja ω a (m − 1)forma que define a

orientação de ∂M . Então, ω é de classe C1 , dω = 0,∫∂M

ω 6= 0. Como

f |∂M = id∂M , o teorema de Stokes nos dá:

0 6=∫∂M

ω =∫∂M

f ∗ω =∫M

d(f ∗ω) =∫M

f ∗(dω) = 0 , absurdo.

Proposição 9.23. (Brouwer diferenciável)

Não existe g : B → B, de classe C2, sem pontos fixos, onde B = x ∈ Rm; ‖x‖ ≤ 1.

f(x) g(x)

0

x

v

160


Dem. Suponhamos que exista uma tal g e definamos f : B → Sm−1 = ∂B por

f(x) = x + tv, t > 0, v =x− g(x)

‖x− g(x)‖, f(x) sendo a interseção da semirreta

de origem g(x), que passa por x, com Sm−1. Portanto, f |Sm−1 = idSm−1. Temos

‖f(x)‖2 = 1, donde ‖x‖2+2t〈x, v〉+t2 = 1, donde t = −〈x, v〉+»

1− ‖x‖2 + 〈x, v〉2,

onde o radicando é positivo, o que mostra que t é função de classe C2 de x e,

portanto, f também. Outra maneira de provar que f ∈ C2 é observar que F (x, t) =

= t2 + 2t〈x, v〉 + ‖x‖2 = 1 define t como função implícita de x, e que∂F

∂t= 2t+

+2〈x, v〉 = 0 se , e só se, 〈x, v〉 + 〈f(x)− x, v〉 = 0, o que equivale a 〈f(x), v〉 = 0.

Por Pitágoras, temos ‖g(x)‖ > ‖f(x)‖ = 1, donde g(x) /∈ B, absurdo. Resulta que∂F

∂t6= 0 e f ∈ C2. Mas, pela Proposição 9.22, não existe f : B → ∂B = Sm−1,

f ∈ C2 tal que f |Sm−1 = idSm−1. Resulta que toda g : B → B, g ∈ C2, tem pelo

menos um ponto fixo.

Obs. O teorema clássico de Brouwer afirma que o resultado acima é válido para

aplicações g : B → B contínuas (Veja [13]).

Definição 9.18. Sejam M e N variedades de classe Ck . As aplicações

f, g : M → N , de classe Ck , são ditas Ck -homotópicas se existe aplicação

H : [0, 1]×M → N , de classe Ck , tal que H(0, x) = f(x) e H(1, x) = g(x), para

todo x ∈ M . Pode provar-se que a relação "f e g são Ck -homotópicas" é uma

equivalência no conjunto das aplicações f : M → N de classe Ck . (Veja [13]).

Proposição 9.24. Seja Mm uma variedade compacta, orientada, de dimensão m e

classe C2, e sejam f, g : M → N aplicações C2-homotópicas. Se ω é uma m-forma

fechada de classe C1 em N , então∫Mf ∗ω =

∫Mg∗ω .

Dem. Seja H : [0, 1] ×M → N uma homotopia de classe C2 entre f e g. Se

M1 = 1 ×M e M0 = 0 ×M vimos que ∂(I ×M) = M1 ∪ (−M0), onde

161


I = [0, 1] . Como H(0, x) = f(x) e H(1, x) = g(x) para todo x ∈M , temos

∫M

g∗ω−∫M

f ∗ω =∫M1

H∗ω−∫M0

H∗ω =∫

∂(I×M)

H∗ω =∫

I×M

d(H∗ω) =∫

I×M

H∗(dω) = 0,

pois dω = 0.

Obs. (1) Pode provar-se que toda aplicação contínua f : M → N entre variedades

Ck , é homotópica a uma aplicação g : M → N , g ∈ Ck. Além disso, se

f, g : M → N são Ck e existe uma homotopia contínua H entre f e g, então existe

uma homotopia Ck entre f e g. Veja a referência [13].

Obs. (2) SejamMm e Nn variedades orientadas, com ou sem bordo, e f : M → N

de classe Ck . Se ω é uma m−forma em N , definimos

∫f(M)

ω =∫M

f ∗ω.

Pondo Γ = f(M), ∂Γ = f(∂M), temos:

∫∂Γ

α =∫

f(∂M)

α =∫∂M

f ∗α =∫M

d(f ∗α) =∫M

f ∗(dα) =∫

f(M)

dα =∫Γ

dα,

para toda (m− 1)− forma α em N .

Exemplo 9.6.1. Seja ω =−ydx+ xdy

x2 + y2a 1− forma "elemento de ângulo" em

R2 − 0. Sejam f, g : [0, 2π]→ R2 − 0, f(θ) = a(cos θ, sen θ) ,

g(θ) = (a cos θ, b sen θ) onde a > b > 0.

H(t, θ) = (1− t)f(θ) + tg(θ) é uma homotopia entre f e g. C = f([0, 2π])

é a circunferência x2 + y2 = a2 e C1 = g([0, 2π]) é a elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.

162


(0, a)

(0, b)

θ

(b, 0) (a, 0)

f(θ)

g(θ)

y

x

Então,∫

[0,2π]

f ∗ω =∫Cω =

∫[0,2π]

g∗ω =∫C1

ω (pois dω = 0). Como∫Cω =

2π∫0dθ = 2π ,

vem∫C1

ω = 2π.

Exemplo 9.6.2. Seja α : Sm → Sm a aplicação antípoda, α(x) = −x. Seja ω a

m−forma que define a orientação de Sm. Temos:

α∗ω(x; v1, . . . , vm) = ω(−x;−v1, . . . ,−vm) = (−1)m+1ω(x; v1, . . . , vm)

para toda base (v1, . . . , vm) de TxSm = T−xS

m. Portanto, α∗ω = (−1)m+1ω, e

α preserva a orientação se, e só se, m é ímpar. Neste caso, isto é, m = 2p − 1 ,

α é homotópica a idSm. De fato, como Rm+1 = R2p , os pontos de S2p−1 têm

um número par de coordenadas e podem ser escritos como z = (z1, . . . , zp), cada

zi sendo um complexo, ep∑i=1|zi|2 = 1 . A aplicação H : [0, 1] × S2p−1 → S2p−1,

dada por H(t, z) = eiπtz, é tal que H(0, z) = z e H(1, z) = −z = α(z), ou seja,

H é uma homotopia C∞ entre α e idS2p−1. Reciprocamente, se existe homotopia

H ∈ C∞ entre α e idSm temos, pela Proposição 9.24, que∫Sm

α∗ω =∫Sm

ω. Mas,

α∗ω = (−1)m+1ω, o que implica∫Sm

ω = (−1)m+1∫Sm

ω, donde m é ímpar.

163


Proposição 9.25. (Poincaré e Brouwer)

A esfera Sm admite um campo contínuo de vetores tangentes não -nulos se, e

só se, m é ímpar.

Dem. Seja u : Sm → Rm+1 um campo contínuo de vetores u(x) 6= 0 tangentes a

Sm, isto é, 〈u(x), x〉 = 0 para todo x ∈ Sm. Pondo v(x) =u(x)

‖u(x)‖temos que

‖v(x)‖ = 1, e podemos considerar v : Sm → Sm, contínua, com 〈v(x), x〉 = 0

para todo x ∈ Sm.

Seja H(t, x) = x cos(πt)+v(x) sen(πt). É fácil ver que ‖H(t, x)‖ = 1, H(0, x) = x,

H(1, x) = −x = α(x), ou seja, H : [0, 1]×Sm → Sm é uma homotopia entre a apli-

cação antípoda α e idSm, o que só é possível se m é impar. Assim, para m par, todo

campo de vetores tangentes a Sm = S2p tem uma singularidade. Para m = 2p − 1,

o campo v(x) = v(x1, x2, . . . , x2p) = (x2,−x1, x4,−x3, . . . , x2p,−x2p−1) é tangente a

S2p−1 e nunca se anula.

Obs. Vimos que o elemento de volume de Sn−1 é a (n − 1)− forma ω(x) =

=n∑i=1

(−1)i+1xidx1∧. . .∧dxi∧. . .∧dxn e , então, dω = 0, e que o elemento de ângulo

sólido é a (n− 1)− forma em Rn−0 dada por α(x) =1

‖x‖nn∑i=1

(−1)i+1xidx1∧

∧ . . .∧ dxi∧ . . .∧dxn. Como α = f ∗ω , f(x) =x

‖x‖, x 6= 0 , e f ∗(dω) = d(f ∗ω),

temos que dω = 0 implica dα = 0. Mas α não é exata em Rn − 0,

pois se existisse uma (m − 2)− forma β em Rn − 0 tal que α = dβ, então

0 =∫

Sn−1

dβ =∫

Sn−1

α = volume de Sn−1 = cn−1 > 0, absurdo.

Se Sn−1r é a esfera de centro 0 e raio r em Rn, então

∫Sn−1r

α =∫

Sn−1

α = cn−1.

De fato, seja r < 1 (o caso r > 1 é análogo) e seja M = x ∈ Rn; r ≤ ‖x‖ ≤ 1,

donde ∂M = Sn−1 ∪ (−Sn−1r ) .

164


0

Sn−1r

Sn−1

Então, 0 =∫Mdα =

∫∂M

α =∫

Sn−1

α−∫

Sn−1r

α = cn−1 −∫

Sn−1r

α , donde∫

Sn−1r

α =

= cn−1.

Proposição 9.26. Sejam Mm e Nm variedades de mesma dimensão e f : M → N

de classe Ck . Se M é compacta e se q ∈ N é valor regular de f , então f−1(q) é

um conjunto finito.

Dem. Se p ∈ f−1(q) então f ′(p) : TpMm → TqN

m é bijetora, donde existe

vizinhança U de p tal que f : U → f(U) é um difeomorfismo , e p é o único ponto

de U tal que f(p) = q, ou seja, os pontos de f−1(q) são isolados. Por outro lado,

f−1(q) é fechado no compacto M , donde é também compacto. Sendo compacto e

formado por pontos isolados, f−1(q) é finito.

Proposição 9.27. Sejam Mm e Nm variedades de mesma dimensão e f : M → N

de classe Ck . Se M é compacta, e se q ∈ N é um valor regular de f , existe

uma vizinhança V de q, em N, tal que f−1(V ) é a reunião de um número finito de

abertos de M, disjuntos, cada um dos quais se aplica pela f difeomorficamente sobre

V .

Dem. Pela Proposição 9.26, f−1(q) = p1, . . . , ps , e existe vizinhança Ui de

pi que se aplica pela f difeomorficamente sobre um vizinhança Zi de q, e podemos

165


supor as vizinhanças U1, . . . , Us duas a duas disjuntas. Seja Z =s⋂i=1

Zi. Se

Wi = f−1i (Z) , onde fi = f |Ui, então W1, . . . ,Ws são vizinhanças disjuntas

de p1, . . . , ps, respectivamente, e f aplica cada Wi difeomorficamente sobre Z. Se

existir vizinhança V de q tal que f−1(V ) ⊂s⋃1Wi , então f−1(V ) = V1 ∪ . . . ∪ Vs,

onde Vi = f−1(V ) ∩Wi, e f : Vi → V difeomorfismo , o que provaria o teorema.

Suponhamos, por absurdo, que para toda vizinhança V de q, V ⊂ Z, exista

algum ponto y ∈ V tal que y = f(x), com x /∈s⋃1Wi. Tomando uma base

de vizinhanças de q, B1 ⊃ B2 ⊃ . . . podemos construir para cada Bj os pontos

yj ∈ Bj e xj ∈ M tais que yj = f(xj) e xj /∈s⋃1Wi. Como M é compacta,

(passando a uma subsequência se necessário), podemos supor que xj → p ∈ M ,

donde yj = f(xj) → f(p). Mas yj → q, donde q = f(p), ou seja, existe

k ∈ 1, . . . , s tal que p = pk. Como xj → p, existem valores de j suficiente

grandes para que seja xj ∈ Wj ⊂s⋃1Wi , contra a hipótese de que xj /∈

s⋃1Wi, o

que termina a demonstração.

Obs. Sejam Mm e Nm variedades compactas, orientadas, de dimensão m e classe

Ck , e f : M → N um difeomorfismo de classe C1 . Vimos que∫Mf ∗ω = ε

∫Nω

para toda m−forma ω de classe C1 em N , onde ε = 1 se f preserva a orientação

e ε = −1 caso contrário. Se f : M → N é de classe C1 mas não necessariamente

um difeomorfismo, vale a fórmula∫Mf ∗ω = γ

∫Nω, onde γ é um inteiro chamado

grau de f . Vamos provar uma versão local desta fórmula.

Proposição 9.28. Seja q ∈ N um valor regular de f : Mm → Nm, f de classe

C1 , dimM = dimN = m. Existe vizinhança U de q em N tal que∫Mf ∗ω = γ

∫Nω

para toda m−forma ω de classe C1 e suporte contido em U , onde γ é um inteiro.

Dem. Na vizinhança de cada ponto de f−1(q), f é um difeomorfismo local, donde

166


q tem vizinhança U tal que f−1(U) consiste de abertos disjuntos V1, . . . , Vs

e f : Vi → U é um difeomorfismo, 1 ≤ i ≤ s (vide Proposição 9.27). Se

suppω ⊂ U então supp f ∗ω ⊂ f−1(U). Portanto,∫Mf ∗ω =

s∑i=1

∫Vi

f ∗ω =s∑i=1

εi∫Uω,

onde εi = ±1 conforme f : Vi → U preserve ou não a orientação. Por definição,

γ =s∑i=1

εi, e obtemos∫Mf ∗ω = γ

∫Nω.

9.7 Formas Diferenciais em M × [0, 1]. Lema de

Poincaré

SejaMm uma variedade de dimensãom e classe Ck , e seja π : M × [0, 1]→M ,π(p, t) = p, a projeção. Vamos mostrar que toda forma diferencial de classe Ck emM × [0, 1] é uma soma localmente finita dos seguintes tipos de formas:

(I)f(p, t)π∗ϕ;

(II)f(p, t)dt ∧ π∗ϕ,

onde f : M × [0, 1]→ R é de classe Ck e ϕ é uma forma de classe Ck em M .

Sejam xαα∈A um atlas em M, xα : Uα → Rm, ϕαα∈A uma partiçãoda unidade estritamente subordinada a Uαα∈A , e gα : M → R , gα ∈ Ck,tal que supp gα ⊂ Uα e gα = 1 em suppϕα, cuja existência é garantidapelo lema de Urysohn diferenciável (Proposição 7.15 do Capítulo 7). Resulta queπ−1(Uα)α∈A é uma cobertura aberta de M × [0, 1] e π∗ϕαα∈A é partição daunidade estritamente subordinada a π−1(Uα)α∈A, conforme a Proposição 9.19.Seja ω uma r−forma de classe Ck em M × [0, 1]. Temos: ω =

∑α∈A

ωα, onde

ωα = (π∗ϕα)ω. Então, suppωα ⊂ supp π∗ϕα ⊂ π−1Uα. Em π−1Uα a forma ωαpode ser escrita na forma

ωα =∑I

aα,Idxα,I +∑J

bα,Jdt ∧ dxα,J ,

167


onde aα,I e bα,J são funções Ck em π−1Uα com suporte contidos em suppπ∗ϕα,ou seja, ωα é a soma de formas do tipo (I) e do tipo (II) em π−1Uα. Para estenderesta decomposição a M × [0, 1], observemos que, como suppωα ⊂ supp π∗ϕα eπ∗gα = 1 em supp π∗ϕα, temos

ωα = (π∗gα)ωα =∑

aα,I(π∗gα)dxα,I +

∑bα,Jdt ∧ (π∗gα) dxα,J =

=∑

aα,I (π∗gαdxα,I) +∑

bα,Jdt ∧ (π∗gαdxα,J) .

Como supp gα ⊂ Uα, podemos considerar gαdxα,I como sendo 0 em M−Uα,de modo que ω é uma soma localmente finita de formas das tipos (I) e (II) emM × [0, 1]. Além disso, dados Uα, ϕα e gα, a decomposição acima é única.

Definição 9.19. Uma variedade Mm é contrátil (a um ponto p0 ∈ M) se existeaplicação de classe C1 , H : M× [0, 1]→M , tal que H(p, 1) = p , H(p, 0) = p0,

para todo p ∈M .

Por exemplo, Rm e B = x ∈ Rm; ‖x‖ < 1 são contráteis, como é fácilverificar.

Proposição 9.29. (Lema de Poincaré)

SejamMm uma variedade contrátil e ω uma r−forma fechada, de classe C1 emM, isto é tal que dω = 0. Então ω é exata, ou seja, existe uma (r − 1)−forma αem M tal que ω = dα.

Dem. Vamos definir, para cada k, uma aplicação K : Ωk(M) → Ωk−1(M) damaneira seguinte:

(i) K(fπ∗ω) = 0 para as formas do tipo (I);

(ii) K(fdt ∧ π∗ω) =

Ç1∫0f(p, t)dt

åω para as formas do tipo (II), e estender por

linearidade.

Sejam i1 : M →M×[0, 1] e i0 : M →M×[0, 1] definidas por i1(p) = (p, 1)

e i0(p) = (p, 0). Vamos provar que dK + Kd = i∗1 − i∗0; para isto, basta prová-la numa vizinhança U × [0, 1], de coordenadas (x, t) = (π∗x1, . . . , π

∗xm, t), em

168


M × [0, 1] . Nas formas do tipo (I), temos:

Kd(fπ∗ω) = K

Ç∂f

∂tdt ∧ π∗ω +

m∑i=1

∂f

∂xiπ∗dxi ∧ π∗ω + fπ∗dω

å=

= K

Ç∂f

∂tdt ∧ π∗ω

å=

Ç1∫0

∂f

∂tdt

åω = (f(x, 1)− f(x, 0))ω = (i∗1 − i∗0) (f(x, t)π∗ω) .

Como dK (fπ∗ω) = 0, temos dK+Kd = i∗1− i∗0 nas formas do tipo (I). Nasformas do tipo (II), temos:

dK(fdt ∧ π∗ω) = d

ñÇ1∫0f(x, t)dt

åω

ô=∑Ç ∂

∂xi

1∫0f(x, t)dt

ådxi ∧ ω+

+

Ç1∫0f(x, t)dt

ådω =

∑i

Ç1∫0

∂f

∂xidt

ådxi ∧ ω +

Ç1∫0f(x, t)dt

ådω.

E:Kd (fdt ∧ π∗ω) = K

Ç∑i

∂f

∂xiπ∗dxi ∧ dt ∧ π∗ω

å−K (fdt ∧ π∗dω) =

= −∑i

Ç1∫0

∂f

∂xidt

ådxi ∧ ω −

Ç1∫0f(x, t)dt

ådω.

Portanto, Kd+dK = 0 nas formas de tipo (II), provando que Kd+dK = i∗1− i∗0.

Como H i1 = idM e H i0 = constante = p0, temos:

ω = (H i1)∗ω = i∗1(H∗ω);

0 = (H i0)∗ω = i∗0(H∗ω),

e d(H∗ω) = H∗dω = 0 pois dω = 0.

Logo, ω = i∗1(H∗ω) = d(K(H∗ω)) = dα, onde α = K(H∗ω).

9.8 Aplicação à Análise Vetorial

Sejam A ⊂ R3, aberto, f : AC∞−→ R, ~F = (P,Q,R) : A

C∞−→ R3. Sabemos que

grad : C∞(A,R) −→ X∞(A), grad f =

Ç∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

å, rot : X∞(A) −→ X∞(A),

169


rot ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

Ç∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

å,

div : X∞(A)→ C∞(A,R) , div(P,Q,R) =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z= div ~F

Definamos:α0 : C∞(A,R)→ Ω∞0 (A)

α1 : X∞(A)→ Ω∞1 (A)

β0 : X∞(A)→ Ω∞2 (A)

β1 : C∞(A,R)→ Ω∞3 (A) , por:

α0f = f ; α1~F = Pdx + Qdy + Rdz; β0

~F = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy eβ1f = fdx ∧ dy ∧ dz.

É fácil ver que α0, α1, β0, β1 são aplicação lineares bijetoras, isto é, isomorfis-mos. Além disso, o diagrama seguinte comuta:

C∞ (A,R)α0−→ Ω∞0 (A) = C∞(A,R)

grad d

X∞(A)α1−→ Ω∞1 (A)

rot d

X∞(A)β0−→ Ω∞2 (A)

div d

C∞ (A,R)β1−→ Ω∞3 (A) , ou seja :

dα0 = α1 grad

dα1 = β0 rot

dβ0 = β1 div ,

como mostra um cálculo simples.

Vamos mostrar que a Proposição 9.21 (Stokes) nos dá, no caso de R3, osteoremas clássicos de Gauss e Stokes.

170


Proposição 9.30. (Stokes) Seja S uma superfície compacta, com bordo , de classeC∞ , orientada, contida no aberto A do R3. Se ~F = (P,Q,R) : A

C∞−→ R3 é umcampo vetorial, então:

sS

Ç∂R

∂y− ∂Q

∂z

ådy ∧ dz +

Ç∂P

∂z− ∂R

∂x

ådz ∧ dx+

Ç∂Q

∂x− ∂P

∂y

ådx ∧ dy =

=∫∂SPdx+Qdy +Rdz,

ou seja, o fluxo de rot ~F através de S é igual à circulação de ~F ao longo do bordo∂S, onde ∂S tem a orientação induzida.

Dem. Seja ω = Pdx+Qdy + Rdz = α1~F , donde dω = β0 rot ~F , e

∫Sdω =

∫∂Sω

nos dá a tese.

Proposição 9.31. (Gauss)

Seja T uma superfície compacta de classe C∞ e dimensão 3 em R3, e seja~n o campo unitário C∞ normal a S = ∂T e que aponta para fora de T . Se~F = (P,Q,R) : A

C∞−→ R3 é um campo definido num aberto A que contém T , então

∫ ∫ ∫T

Ç∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

ådx ∧ dy ∧ dz =

∫ ∫S

Pdy ∧ dz +Qdz ∧ dx+Rdx ∧ dy .

Dem. Seja ω = β0~F = Pdy ∧ dz +Qdz ∧ dx+Rdx ∧ dy. Orientando T de modo

natural e dando a S a orientação induzida, então ~n define a orientação de S (Vejaa Proposição 9.15). Logo: dω = β1 div ~F , e

∫Tdω =

∫Sω nos dá a tese.

9.9 Integração numa Variedade Riemaniana. Grau

de Aplicação.

Seja Mm uma variedade compacta, orientada, de classe Ck e riemaniana. Aforma "elemento de volume" em Mm é a m−forma σ definida por σp(v1, . . . , vm) =

= vol(v1, . . . , vm), onde p ∈M e v1, . . . , vm ∈ TpM .

Seja (e1, . . . , em) uma base ortonormal positiva de TpM e seja vk =

171


=m∑i=1

aikei . Sabemos que, por definição, vol (v1, . . . , vm) = detA, onde A =

= (aik)−m×m. Assim , σp(v1, . . . , vm) = detA.

Definição 9.20. Seja f : M → R contínua. Definimos sua integral em M por∫Mf =

∫Mfσ. Assim, a existência da forma elemento de volume σ nos permite definir

a integral de uma 0−forma, isto é, de uma função.

Seja x : U → Rm uma carta local em M , positiva. Se p ∈ U temosσp = a(x(p))dx1 ∧ . . . ∧ dxm, onde a : x(U)→ R.

Temos:

σp

Ç∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xm

å= a(x(p)) det

Çdxi

Ç∂

∂xj

åå= a(x(p)).

Mas, se∂

∂xi=

m∑k=1

akiek, então

σp

Ç∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xm

å= detA, onde A = (aij).

E: gij =

Æ∂

∂xi,∂

∂xj

∏=

m∑k,r=1〈akiek, arjer〉 =

m∑k=1

akiakj , donde detG =

= det(AtA) = (detA)2, e detA =√

detG, onde G = (gij) .

Logo, a(x(p)) =√

detG e∫Uf =

∫Uf√

detG dx1 ∧ . . . ∧ dxm.

Obs. (1) Sejam Mm uma variedade orientada e D uma variedade com bordo, con-tida em M , de mesma dimensão que M , e com D compacto. Se ω é um ele-mento de volume de M e X ∈ X1(M), definimos a divergência de X comosendo a função divX tal que d(iXω) = (divX)ω. Do teorema de Stokes resulta:∫D

divXω =∫∂DiXω (teorema de Gauss).

Em particular, se M é compacta, então∫M

divXω = 0.

Obs. (2): Suponhamos agora que (Mm, g) seja uma variedade riemaniana declasse Ck , k ≥ 2, g(X, Y ) = 〈X, Y 〉 o produto interno de dois campos

X, Y ∈ Xr(M). Se x : U → Rm é carta local, então gp

Ç∂

∂xi(p),

∂

∂xj(p)

å=

= gij(p) , p ∈ U , as funções gij : U → R sendo de classe Cr , r < k.

172


Toda f : MC2

−→ R define um campo X = grad f , o gradiente de f , pormeio da igualdade df(Y ) = g(X, Y ) para todo Y ∈ X1(M).

Definimos o laplaciano ∆f de f por ∆f = div grad f . Do teorema de Gaussacima, resulta:

∫D

∆fσ =∫∂DiXσ, X = grad f .

Em particular, se M é compacta, então∫M

∆fσ = 0.

Se ∆f = 0, f é dita harmônica. Neste caso, a fórmula ∆f 2 = 2f∆f+

+2‖ grad f‖2 (vide Exercício 26 no final do capítulo), nos dá,se M é compacta e

conexa, que∫M‖ grad f‖2σ =

1

2

∫M

∆f 2σ = 0, donde grad f = 0, e f é constante,

ou seja, toda função harmônica numa variedade riemaniana compacta e conexa (eorientada) é constante.

Para a equação ∆h = f temos o seguinte resultado:

Proposição 9.32. Seja M uma variedade riemaniana compacta, orientada, declasse C∞ , e seja f : M

Ck−→ R tal que∫Mf = 0. Então a equação ∆h = f

tem uma única solução (veja a referência Aubin, T.).

Definição 9.21. Sejam Mm uma variedade de classe C∞ , Zp(M) o espaço veto-rial das p−formas fechadas e Bp(M) o subespaço das p−formas exatas. O espaço

quocienteZp(M)

Bp(M)= Hp(M) é o p-ésimo grupo de cohomologia de de Rham de M .

Se ω ∈ Ωp(M), representamos por [ω] a classe de cohomologia de ω. Se[ω] = [ω′], então ω − ω′ ∈ Bp(M), isto é, ω − ω′ = dθ para alguma θ ∈ Ωp−1(M), edizemos que ω e ω′ são cohomólogas.

Proposição 9.33. Se Mm tem n componentes conexas, então H0(M) = Rn.

Dem. Como B0(M) = 0, temos H0(M) = Z0(M) = f : M → R; df = 0.Se df = 0 então f é constante em cada componente conexa de M . Se M tem n

componentes conexas, então uma função constante em cada componente se identificacom uma n−pla ordenada de números reais, ou seja, a um elemento de Rn, dondeH0(M) = Rn.

Exemplo 9.9.1. H0(Rn) = R, pois Rn é conexo.

Hp(Rn) = 0, p ≥ 1, pelo Lema de Poincaré.

173


Toda variedade conexa contrátil de dimensão n tem a mesma cohomologia.

Proposição 9.34. Seja Mm uma variedade compacta, orientada, de classe C∞ , eseja ω uma m−forma de classe Ck em M . Se ω é exata, o teorema de Stokes nosdá que

∫Mω = 0. Reciprocamente, se

∫Mω = 0, então ω é exata.

Dem. Seja σ uma forma volume emM . Então, ω = fσ para alguma f ∈ C∞(M,R)

tal que∫Mf = 0. Seja h a solução de ∆h = f, e seja X = gradh, donde divX = f .

Definamos a (m−1)−forma α por α = iXσ. Resulta que dα = d(iXσ) = (divX)σ =

= fσ = ω, e ω é exata.

Corolário 9.4. Hm(Mm) = R.

Dem. Se σ é uma forma volume em M , e ω é uma m−forma em M então existeλ ∈ R tal que

∫Mω = λ

∫Mσ, donde

∫M

(ω−λσ) = 0. Pela Proposição acima temos que

ω − λσ = dθ para alguma (m − 1)−forma θ. Resulta que Hm(Mm) é gerado pelaclasse [σ] donde dimHm(Mm) = 1.

Exemplo 9.9.2. H0(S1) = R, pois S1 é conexa.

H1(S1) = R, pelo Corolário acima.

Hp(S1) = 0, se p ≥ 2.

Definição 9.22. Sejam Mm1 e Mm

2 variedades conexas, compactas, orientadas, dedimensão m e classe C∞ , σ1 e σ2 tais que

∫M1σ1 =

∫M2σ2 = 1. Se f : M1

Ck−→M2,existe λ ∈ R tal que [f ∗σ2] = λ[σ1]. Este número λ é o grau de f : λ = gr(f), ouseja, gr(f) =

∫M1 f

∗σ2.

Se θ é uma m−forma em M2, então∫M1

f ∗θ = gr(f)∫M2

θ.

De fato, se µ =∫M2θ, então θ−µσ2 = dβ, donde f ∗θ = µf ∗σ2 +df ∗β, e resulta

∫M1

f ∗θ = µ∫M1

f ∗σ2 = µgr(f) = gr(f)∫M2

θ,

174


o que mostra que grf independe da escolha de σ2, pois se σ é tal que∫M2

σ = 1,

então∫M1

f ∗σ = gr(f).

Proposição 9.35. Sejam Mm1 , Mm

2 variedades conexas, compactas, orientadas, dedimensão m e classe C∞ , e seja f : M1

Ck−→ M2. Se q ∈ M2 é um valor regularde f , então grf =

∑p∈f−1(q)

εp, onde εp = 1 ou εp = −1 conforme det f ′(p) > 0 ou

detf ′(p) < 0, respectivamente.

Dem. 1 Caso: f−1(q) 6= φ.

Vimos, na Proposição 9.27, que existe vizinhança (conexa) V de q, em M2,tal que f−1(V ) é uma reunião finita de abertos W1, . . . ,Ws de M1, disjuntos, cadaum dos quais se aplica difeomorficamente sobre V . Na Proposição 9.28, vimosque

∫M1f ∗ω = γ

∫M2ω para toda m−forma de classe C1 e suporte em V , sendo

γ =∑

p∈f−1(q)εp, onde εp = 1 ou εp = −1 conforme f |Wi

= fi : Wi → V preserve ou

não a orientação.

Seja h : M2Ck−→ R tal que h = 0 em M − V , e h > 0 numa vizinhança U de q,

U ⊂ V . Podemos supor que V é uma vizinhança coordenada e que y : V −→ Rm éuma carta positiva em V . Então, ω = hdy1 ∧ · · · ∧ dym é m−forma Ck em M2 cujosuporte está contido em V . Resulta,

∫M1

f ∗ω = gr(f)∫M2

ω = γ∫M2

ω, ou seja, gr(f) = γ =∑

p∈f−1(q)

εp.

Dem. 2 Caso: f−1(q) = φ.

Neste caso, q tem vizinhança V contida emM2−f(M1), pois f(M1) é fechado.Se ω é m− forma de classe C1 e suporte compacto contido em V , então

∫M1

f ∗ω = 0,

donde gr(f) = 0.

Obs. Do que foi visto acima, resultam:

a) gr(f) é um inteiro;

b) ∑p∈f−1(q)

εp (= gr(f)) independe do valor regular q de f ;

175


c) Se f(M1) 6= M2, então gr(f) = 0;

d) Se f1, f2 : M1 →M2 são C2− homotópicas, então gr(f1) = gr(f2);

e) O exemplo 9.6.2 mostra que a aplicação antípoda α : Sm → Sm, α(x) = −x, temgrau igual a (−1)m+1.

Exemplo 9.9.3. Seja Mm ⊂ Rm+1 uma hipersuperfície compacta, de classe C2,orientada por meio de um campo, de classe C1 , de vetores normais unitários,N : Mm → Sm. Os subespaços TpMm e TN(p)S

m coincidem, pois ambos são orto-gonais a N(p), de modo que dN(p) = N ′(p) : TpM → TpM . Por definição,K(p) = detN ′(p) é a curvatura gaussiana de M em p ∈ M . Quando m é par,K(p) não depende da orientação de Mm. Seja ω a m−forma volume que define aorientação de Mm, ω = iNdx1∧ . . .∧dxm+1, e orientemos Sm pela m−forma volumeσ tal que σ(N(p)) = ω(p). Para v1, . . . , vm ∈ TpM , temos:

(N∗σ)(p)(v1, . . . , vm) = σ(N(p))(N ′(p)v1, . . . , N′(p)vm) =

= ω(p)(N ′(p)v1, . . . , N′(p)vm) = detN ′(p)ω(p)(v1, . . . , vm),

donde N∗σ = Kω, e resulta

∫M

K =∫M

Kω =∫M

N∗σ = gr(N)∫Sm

σ = gr(N) vol(Sm),

que relaciona a curvatura integral com o grau de N . H. Hopf provou (em 1925)que se m é par, então gr(N) = 1

vol(Sm)

∫MK = 1

2χ(M), onde χ(M) é a característica

de Euler, que é um invariante topológico de M. No caso m impar, gr(N) não é uminvariante topológico de M .


1. Seja ω = f(x)ydx + dy definida na faixa D = (x, y) ∈ R2; a < x < b,onde f : (a, b)→ R é contínua. Seja F uma primitiva de f em (a, b), isto é,F ′ = f . Se g = eF , prove que (gω) é uma forma exata em D.

176


2. Sejam P,Q,R : D → R de classe C1 no aberto D ⊂ R3. Mostre que se

ω = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, então dω =

Ç∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

ådx∧

∧dy ∧ dz = div ~ωdx ∧ dy ∧ dz , onde ~ω é o campo (P,Q,R);

3. Ache uma (n− 1)− forma ω em Rn tal que dω = dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

4. Sejam a, b, c ∈ R. Prove que ω = ady ∧ dz + bdz ∧ dx+ cdx ∧ dy é exata.

5. Sejam α uma r−forma e β uma s−forma em Rn. Prove : (a) se α e β sãofechadas, então α ∧ β é fechada;

(b) se α é fechada e β é exata, então α ∧ β é exata.

6. Sejam α, β, θ formas em Rn, α e β de grau par. Ache d(dα∧ β ∧ θ+α∧ dβ∧∧θ + α ∧ β ∧ dθ).

7. Sejam ω1, . . . , ωp 1−formas no aberto D ⊂ Rn tais que ωi =n∑j=1

fijdgj,

1 ≤ i ≤ p, onde as funções fij são de classe C1 e as gj são de classe C2 em D.Se ω1(x), . . . , ωp(x) são L.I. em cada x ∈ D, mostre que existem 1−formasθij tais que dωi =

p∑j=1

θij ∧ ωj.

8. Seja α =xdy ∧ dz + ydz ∧ dx+ zdx ∧ dy

(x2 + y2 + z2)32

em R3 − 0. Prove que α é

fechada, calcule∫S2

α, e prove que α não é exata.

9. Sejam ω = ydx − xdy + dz, u, v : R3 C1

−→ R. Prove que se ω − vdu éfechada , então u e v independem de z e, neste caso, que du, dv e ω− vdu sãolinearmente independentes em cada ponto de R3.

10. Seja ϕ : MC1

−→ M um difeomorfismo de uma variedade compacta orientadaM . Se para uma forma volume ω em M temos ϕ∗ω = cω, onde c ∈ R,prove que c = ±1(donde ϕ preserva volume), e que

∫Mfω =

∫M

(f ϕ)ω para

toda f : M → R contínua.

11. Seja a 2−forma ω = dx1 ∧ dx2 + · · · + dx2n−1 ∧ dx2n em R2n. Prove quen∧ω = n!dx1 ∧ . . . ∧ dx2n .

177


12. Sejam Mm uma variedade de classe C∞ , e X um campo de vetores de classeC∞ , em M . A derivada de Lie em relação a X é a aplicação

LX : Ω∞r (M) −→ Ω∞r (M).

ω 7−→ LXω = diXω + iXdω

Prove:

(1) LX(α ∧ β) = (LXα) ∧ β + α ∧ (LXβ);

(2) LXf = Xf ;

(3) LXdω = dLXω;

(4) LfXω = fLXω + df ∧ iXω;

(5) LX(iXω) = iX(LXω);

(6) L[X,Y ]ω = LXLY ω − LYLXω = [LX , LY ]ω,

onde α, β, ω ∈ Ω∞r (M) e f : M → R é de classe C∞ .

13. Prove que o espaço projetivo real P n é orientável se, e só se, n é ímpar.

14. Seja (M, g) uma variedade riemaniana compacta orientada, com bordo ∂M ,e de classe C2. Para todo campo de vetores X ∈ C1(M,TM), prove que∫M

(divX)σ =∫∂M〈X,N〉iNσ (Gauss), onde σ é a forma volume induzida pela

métrica g, e N é um campo de vetores unitários ao longo de ∂M , de classeC1 , e que aponta para fora.

15. Sejam (M, g) uma variedade riemaniana compacta, orientada, de classe C∞ ,com bordo ∂M munido da orientação induzida, e N um campo normal unitáriode classe C∞ , que aponta para fora, ao longo de ∂M . Se X : M

C∞−→ TM éum campo de vetores e f : M → R é de classe C∞ , prove:

(a) div(fX) = f divX + 〈grad f,X〉;

(b)∫M〈grad f,X〉σ +

∫M

(f divX)σ =∫σM

f〈X,N〉iNσ , onde σ é a forma

volume induzida pela métrica g.

16. Calcule∫S2

xz dy ∧ dz + yz dz ∧ dx+ x2 dx ∧ dy.

178


17. Sejam (M, g) uma variedade riemaniana orientada, de classe C∞ , e P ⊂M

uma hipersuperfície orientada C∞ , com ou sem bordo. Mostre que existe umúnico campo normal unitário ao longo de P , de classe C∞ , que determina aorientação de P .

18. Seja (M, g) uma variedade riemaniana, C∞ , orientada, com bordo,∆ : C∞(M,R) −→ C∞(M,R) o laplaciano, e σ a forma volume induzida porg.

(a) Se M é compacta, prove as identidades de Green:

∫M

(u∆v)σ +∫M

〈gradu, grad v〉σ =∫∂M

Çu∂v

∂n

åinσ;

∫M

(u∆v − v∆u)σ =∫∂M

Çu∂v

∂n− v ∂v

∂n

åinσ ,

onde n é o campo normal unitário C∞ que determina a orientação de

∂M , e∂u

∂n= n(u) .

(b) Se M é conexa e ∂M = ø , mostre que as únicas funções harmônicas emM são as constantes.

(c) Se M é conexa, ∂M 6= ø , e u e v são funções harmônicas em M , cujasrestrições a ∂M coincidem , mostre que u = v.

19. Sejam (M, g) uma variedade compacta, conexa, orientada, riemaniana C∞ ,e ∆ o laplaciano. λ ∈ R é um autovalor de ∆ se existe u : M

C∞−→ R,u 6= 0, tal que ∆u = λu. Neste caso, u é uma autofunção correspondente aλ.

(a) Prove que 0 ∈ R é um autovalor de ∆, e que todo outro autovalor énegativo.

(b) Prove que se u e v são autofunções de ∆ correspondentes a autovaloresdistintos, então

∫M

(uv)σ = 0.

20. Seja (Mm, g) uma variedade riemaniana orientada C∞ . Prove que, dadop ∈ M , existe um referencial ortonormal positivo (E1, . . . , Em), definido

179


numa vizinhança aberta U de p, ou seja, E1, . . . , Em ∈ X∞(M) são tais que(E1(q), . . . , Em(q)) é base ortonormal positiva de TqM para todo q ∈ U .Sejam ω1, . . . , ωm 1− formas definidas em U tais que ωi(Ej) = δij, e sejaω = ω1 ∧ . . . ∧ ωm. Prove que ω = σ, onde σ é a forma volume induzidapela métrica g. Se X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Ym pertencem a X∞(M), prove queω(X1, . . . , Xm)ω(Y1, . . . , Ym) = det (〈Xi, Yj〉) .

21. Prove que ω =

dy

xse x 6= 0;

−dxy

se y 6= 0, é uma forma C∞ em S1 tal que ωp 6= 0

para todo p ∈ S1.

22. Seja 0 ∈ R um valor regular de f : R3 C∞−→ R, e seja M = f−1(0).

Mostre quedy ∧ dzfx

=dz ∧ dxfy

=dx ∧ dyfz

são satisfeitas nos pontos de M

onde fazem sentido, e defina uma 2−forma ω em M tal que ωp 6= 0 em todop ∈M , e de classe C∞ .

23. Seja o aberto A = (ρ, ϕ, θ)|ρ > 0; 0 < ϕ < π; 0 < θ < 2π do R3, e sejaf : A→ R3 definida por (x, y, z) = f(ρ, ϕ, θ) = (ρ cos θ senϕ, ρ sen θ senϕ, ρ cosϕ).Mostre que f ∗(dx ∧ dy ∧ dz) = ρ2 senϕdρ ∧ dϕ ∧ dθ.

24. As equações de Maxwell no vácuo R3, sem carga ou corrente, são:

rot ~E = −∂~B

∂t, rot ~B =

∂ ~E

∂t, div ~E = 0, div ~B = 0 onde ~E = (E1, E2, E3)

é o campo elétrico e ~B = (B1, B2, B3) é o campo magnético.

Sejam as formas :

E = E1dx+ E2dy + E3dz

B = B1dy ∧ dz +B2dz ∧ dx+B3dx ∧ dy

Seja R4 o espaço-tempo com coordenadas (x, y, z, t). E e B podem serconsideradas como formas em R4. Se F = E ∧ dt + B, mostre que dF = 0

equivale às duas equações div ~B = 0 e rot ~E = −∂~B

∂t, e que d ∗ F = 0

equivale às duas equações div ~E = 0 e rot ~B =∂ ~E

∂t, onde para uma

180


k− forma ω em Rn, ∗ω é uma (n − k)−forma (a estrela de Hodge) definidapor ∗ω(ej1 , . . . , ejn−k) = ε(σ)ω(ei1 , . . . , eik) com (i1, . . . , ik, j1, . . . , jn−k) =

= (σ(1), . . . , σ(n)) e ε(σ) = sinal da permutação σ.

25. Sejam (Mm, g) uma variedade riemaniana de classe Ck , k ≥ 2, e σ a formavolume induzida pela métrica g. Seja x : U → Rm uma carta local em M .

(a) Se f : MC2

→ R prove que , na carta x, grad f =m∑

i,j=1gij

∂f

∂xj

∂

∂xi, onde

(gij) é a matriz inversa de G = (gij).

(b) Se X =m∑i=1

ai∂

∂xiprove que, na carta x, divX =

m∑i=1

(∂ai∂xi

+1

2ai∂ ln√

detG

∂xi

).

(c) Se X = grad f , prove que ∆f = div grad f =m∑

i,j=1gij

∂2f

∂xi∂xj+

+m∑

i,j=1

(∂gij

∂xi+

1

2gij∂ ln√

detG

∂xi

)∂f

∂xj.

No caso em que M = Rm com a métrica usual, temos G = Im , divX =

=m∑i=1

∂ai∂xi

, e ∆f =m∑i=1

∂2f

∂x2i

.

26. Se (Mm, g) é variedade riemaniana, e f, g : MC2

−→ R, prove que ∆(fg) =

= f∆g + g∆f + 2〈grad f, grad g〉.

27. Sejam (Mm, g) uma variedade compacta, orientada, de classe C∞ , ω umaforma volume em M , e X um campo vetorial C∞ tal que divX = 0. Proveque, para toda f : M

C∞−→ R, temos∫M

(Xf)ω = 0.

28. Seja V um campo de classe C∞ em R3. Prove que:

(a) se div V = 0, então existe um campo X em R3 tal que rotX = V .

(b) se rotV = 0, então existe uma função f : R3 → R tal que grad f = V .

29. Seja M uma variedade compacta orientada de classe C∞ . Prove que M nãoé contrátil a um ponto.

30. Usando o teorema de Brouwer, prove que não existe r : B → ∂B = Sn−1,

r ∈ C2, tal que r(x) = x para todo x ∈ Sn−1.

181

Capítulo 10

Sistemas Diferenciais

Após introduzir o conceito de derivada de uma função numérica na variedadeM , f : M → R, relativamente a um campo vetorial X : M → TM , estudamoso "colchete de Lie" de dois campos de vetores em M , e o fluxo local de um campoX : M → TM . Generalizando o conceito de campo de direções no plano , definimosos sistemas diferenciais de dimensão r na variedade Mm, provamos o teorema deintegrabilidade de Frobenius, introduzimos a noção de folheação, apresentamos oteorema de Chevalley (sem demonstração) sobre a existência de variedade integralmáxima , estudamos a relação entre comutatividade de campos e a de seus fluxos, efinalizamos com uma introdução às variedades simpléticas.

10.1 Colchete de Lie de Campos Vetoriais. Fluxos.

Seja Mm uma variedade de dimensão m e classe Ck. Se X : M → TM é um

campo de vetores e x : U → Rm é uma carta local, então X =m∑i=1

ai∂

∂xi, onde

ai : U → R. X é de classe Cs, s < k , se, e só se, ai é de classe Cs.

Definição 10.1. Sejam A ⊂ M aberto e f : A→ R de classe Cs+1. A derivada

de f relativamente ao campo X ∈ Cs é a função Xf : A → R definida por

(Xf)(p) = f ′(p).Xp = Xpf . Xf é de classe Cs. Na carta x temos Xf =m∑i=1

ai∂f

∂xi,

182

CAPÍTULO 10. SISTEMAS DIFERENCIAIS

onde∂f

∂xi(p) =

∂(f x−1)

∂xi(x(p)). Em particular, X(xj) = aj. Se Y =

∑bj

∂

∂xjé outro campo de classe Cs em U , então Y (Xf) : U → R é de classe Cs−1 e

Y (Xf) =m∑

i,j=1bj

Ç∂ai∂xj

∂f

∂xi+ ai

∂2f

∂xj∂xi

å.

Proposição 10.1. Sejam X e Y campos vetoriais de classe Cs na variedade Mm

de classe Ck, s < k, s ≥ 1. Existe um único campo [X, Y ] em M , de classeCs−1, tal que [X, Y ]f = X(Y f)− Y (Xf) para toda f de classe C2 num aberto deM .

Dem. Na carta x : U → Rm, temos X =∑ai

∂

∂xi, Y =

∑bj

∂

∂xje

X(Y f) − Y (Xf) =m∑

i,j=1

Çai∂bj∂xi

∂f

∂xj− bj

∂ai∂xj

∂f

∂xi

å=∑i,j

Çai∂bj∂xi− bi

∂aj∂xi

å∂f

∂xj, ou

seja, [X, Y ]x =m∑k=1

ck∂

∂xk, com ck =

m∑i=1

Çai∂bk∂xi− bi

∂ak∂xi

å.

Se y : U → Rm é outra carta local, então X =∑a′α

∂

∂yα, Y =

∑b′j

∂

∂yje

[X, Y ]y =m∑j=1

dj∂

∂yj, com dj =

∑α

Ça′α∂b′j∂yα− b′α

∂a′j∂yα

å.

Como ai =∑βa′β∂xi∂yβ

e bk =∑jb′j∂xk∂yj

, temos

∑iai∂bk∂xi

=∑

i,j,α,βa′β∂xi∂yβ

Çb′j

∂2xk∂yj∂yα

+∂b′j∂yα

∂yα∂yj

å∂yα∂xi

=∑α,j

Ça′α∂b′j∂yα

∂xk∂yj

+ a′βb′j

∂2xk∂yj∂yα

å.

Analogamente,

∑i

bi∂ak∂xi

=∑α,j

b′α∂a′j∂yα

∂xk∂yj

+ a′αb′α

∂2xk∂yj∂yα

.

Logo,

ck =∑α,j


∂a′j∂yα

å∂xk∂yj

.

Portanto,

[X, Y ]x =m∑k=1

ck∂

∂xk=

∑j,k,α


∂a′k∂yα

å∂xk∂yj

∂

∂xk=

=∑j,α


∂a′j∂yα

å∂

∂yj=∑jdj

∂

∂yj= [X, Y ]y,

183


e [X, Y ] independe da carta e está definido em M . Por definição, [X, Y ] é ocolchete de Lie dos campos X e Y .

Proposição 10.2. (a) [aX + bY, Z] = a[X,Z] + b[Y, Z];

(b) [X, Y ] = −[Y,X];

(c) [fX, gY ] = fg[X, Y ] + fX(g)Y − gY (f)X;

(d) [[X, Y ], Z] + [[Z,X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0 (identidade de Jacobi), quaisquer quesejam os campos X, Y, Z : M → TM de classe Cs, f, g : M → R de classeC2 e a, b ∈ R.

Dem. Exercício.

Obs. Se Mm é de classe C∞ , o conjunto dos campos X ∈ C∞ em M é o espaçovetorial real X∞(M). Munido da aplicação bilinear (X, Y ) 7−→ [X, Y ], X∞(M)

é uma álgebra que satisfaz [X,X] = 0 e a identidade de Jacobi, isto é, é umaálgebra de Lie. No caso C∞ , um campo X pode ser pensado como uma aplicação

X : C∞(M,R) → C∞(M,R)

f 7→ Xf

que satisfaz às condições :

(a) X(af + bg) = aX(f) + bX(g);

(b) X(fg) = fX(g) + gX(f) ,

quaisquer que sejam f, g ∈ C∞(M,R), a, b ∈ R, ou seja, X é uma derivação naálgebra C∞(M,R).

Exemplo 10.1.1.ñ∂

∂xi,∂

∂xj

ô= 0.

Exemplo 10.1.2. X = x∂

∂x+ y

∂

∂y, Y =

∂

∂y, em M = R2.

Então [X, Y ] =

ñx∂

∂x,∂

∂y

ô+

ñy∂

∂y,∂

∂y

ô= x

ñ∂

∂x,∂

∂y

ô− ∂x

∂y

∂

∂x+

+y

ñ∂

∂y,∂

∂y

ô− ∂y

∂y

∂

∂y= − ∂

∂y= −Y .

184


Exemplo 10.1.3. Se A e B são matrizes n × n, pomos [A,B] = AB − BA.É fácil ver que (A,B) 7−→ [A,B] é bilinear, que [A,B] = −[B,A], e que vale aidentidade de Jacobi, ou seja, [A,B] é um colchete de Lie na álgebra M(n,R).

Definição 10.2. Seja X : M → TM um campo de vetores de classe Cs em M .Uma curva integral de X de origem p ∈ M , é um caminho ϕ : (a, b) → M ,ϕ ∈ Cs, tal que ϕ(0) = p e ϕ′(t) = X(ϕ(t)) , onde (a, b) é um intervalo abertocontendo 0. A imagem ϕ(a, b) é uma órbita ou trajetória de X. Uma curva integralé máxima quando seu domínio não pode ser estendido a um intervalo maior. Porcada p ∈ M passa uma única trajetória (máxima) de origem p devido ao seguinteteorema de equações diferenciais.

Proposição 10.3. Sejam V um aberto do Rm, yo ∈ V e f : V → Rm de classeC1 . Então a equação diferencial

dy

dt= f(y) , y(0) = y0

tem uma única solução y : (a0, b0) → V , de classe C1, onde (a0, b0) é o maiorintervalo aberto contendo 0 no qual y está definida.

Considerando a solução também como função do ponto inicial, y será funçãode t e de q, de modo que a condição para que y(t, q) seja curva integral de pontoinicial q é

∂y

∂t(t, q) = f(y(t, q)) , y(0, q) = q ,

e temos o seguinte teorema.

Proposição 10.4. Sejam V um aberto do Rm e f : V → Rm de classe C1.Para cada ponto q ∈ V existem vizinhança W de q, um ε > 0 e uma função

y : (−ε, ε) ×W → V de classe C1, tal que∂y

∂t(t, q) = f(y(t, q)) , y(0, q) = q para

todo (t, q) ∈ (−ε, ε)×W .

Se t 7→ ϕ(t, p) é a curva integral de X ∈ Cs de origem p ∈ M , entãoϕ : (−ε, ε)×W →M é de classe Cs, onde W é uma vizinhança de p. Esta aplicaçãoϕ(t, p) é o fluxo local gerado por X. É usual escrever ϕt(p) ao invés de ϕ(t, p).Se s, t pertencem a (−ε, ε), se ϕt(ϕs(q)) e ϕt+s(q) estão definidos, então

185


ϕt(ϕs(q)) = ϕt+s(q) pois ambos, como funções de t, são curvas integrais de X componto inicial ϕs(q) (correspondente a t = 0). Se o fluxo ϕ(t, p) está definido emR ×M , então ϕ é o fluxo global de X e, neste caso , dizemos que o campo X écompleto. Se ϕ é fluxo global, então ϕt : M → M é um difeomorfismo para cadat ∈ R, cujo inverso é ϕ−t. Quando Mm é uma variedade compacta, pode provar-seque todo campo X : M → TM , X ∈ Cs, é completo.

Obs. Seja X : M → TM um campo Cs em M . Se p ∈ M e Xp = 0, a órbitade X por p é p, e p é uma singularidade de X.

Proposição 10.5. Sejam ω uma 1-forma de classe Cs, X eY campos de classeCs na variedade Mm de classe Ck, s < k.Então: dω(X, Y ) = Xω(Y )− Y ω(X)− ω([X, Y ]).

Dem. A aplicação (X, Y ) 7−→ dω(X, Y ) é bilinear, de modo que basta provar a

fórmula acima no caso em que X = a∂

∂xi, Y = b

∂

∂xje ω = fkd xk numa carta

local x : U → Rm.Temos: [X, Y ] =

ña∂

∂xi, b

∂

∂xj

ô= a

∂b

∂xi

∂

∂xj− b ∂a

∂xj

∂

∂xi, donde

ω([X, Y ]) = fk

Ça∂b

∂xiδjk − b

∂a

∂xjδik

å=

0 se k 6= i e k 6= j

afj∂b

∂xise k = j

−bfi∂a

∂xjse k = i

ω(Y ) = fkd xk

Çb∂

∂xj

å= bfkδjk =

0 se k 6= j

bfj se k = j

e Xω(Y ) =

0 se k 6= j

a∂

∂xi(bfj) = a

Çb∂fj∂xi

+ fj∂b

∂xi

åse k = j

Analogamente: Y ω(X) =

0 se k 6= i

b

Ça∂fi∂xj

+ fi∂a

∂xj

åse k = i

186


Então:

Xω(Y )− Y ω(X)− ω([X, Y ]) =

0 se k 6= i e k 6= j

ab∂fj∂xi

se k = j

−ab ∂fi∂xj

se k = i.

Por outro lado,

dω(X, Y ) = d fk ∧ d xkÇa∂

∂xi, b

∂

∂xj

å=∑l

∂fk∂xl

d xl ∧ d xkÇa∂

∂xi, b

∂

∂xj

å=

=∑l

∂fk∂xl

∣∣∣∣∣∣∣∣∣d xl

Ça∂

∂xi

åd xl

Çb∂

∂xj

åd xk

Ça∂

∂xi

åd xk

Çb∂

∂xj

å ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∑l

∂fk∂xl

(abδilδjk − abδjlδik) =

= ab

Ç∂fk∂xi

δjk −∂fk∂xj

δik

å=

0 se k 6= i e k 6= j

ab∂fj∂xi

se k = j

−ab ∂fi∂xj

se k = i ,

o que prova o teorema.

Proposição 10.6. Sejam ϕ : Mm → Nn de classe Ck , k ≥ 2, X e X1 camposCk em M , Y e Y1 campos Ck em N . Se dϕ X = Y ϕ e dϕ X1 = Y1 ϕ,então dϕ [X,X1] = [Y, Y1] ϕ.

Dem. Sejam f : N → R de classe Ck , e p ∈M .Temos: [Y, Y1]ϕ(p)(f) = Yϕ(p)(Y1(f))−Y1|ϕ(p)(Y (f)) = dϕpXp(Y1(f))−dϕpX1|p(Y (f)) =

= Xp(Y1(f)ϕ)−X1|p(Y (f)ϕ) = Xp(dϕ(X1)(f))−X1|p(dϕX(f)) = Xp(X1fϕ)−−X1|p(X f ϕ) = dϕ[X,X1]p(f), donde [Y, Y1] ϕ = dϕ[X,X1].

Obs. Os campos como X e Y acima, isto é, tais que dϕ X = Y ϕ são ditos ϕ-relacionados.

187


10.2 Sistemas Diferenciais

Seja Mm uma variedade de dimensão m e classe Ck .

Definição 10.3. Um sistema diferencial de dimensão r, r ∈ N, r ≤ m, em M ,é uma aplicação D que a cada p ∈ M associa um subespaço Dp, de dimensão r,de TpM . Dizemos que D é de classe Cs, s < k, se, para cada p ∈ M , existemcarta local x : U → Rm, p ∈ U , e campos de vetores X1, . . . , Xr, de classe Cs,definidos em U , que formam uma base para Dq , qualquer que seja q ∈ U ; nestecaso, dizemos que X1, . . . , Xr é uma base local de D em U .

Definição 10.4. Um sistema diferencial D de dimensão r e classe Cs em Mm écompletamente integrável se, para cada p ∈ M , existe carta local x : U → Rm,

p ∈ U , tal que®∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xr

´seja base local para D em U . Dizemos que um

campo de vetores X : M → TM pertence a D, e escrevemos X ∈ D, seX(p) ∈ Dp para todo p ∈ M . Se X, Y ∈ D implica [X, Y ] ∈ D dizemos queD é involutivo; neste caso, se X1, . . . , Xr é base local de D , então [Xi, Xj] =

=r∑

k=1ckijXk para 1 ≤ i, j ≤ r.

Proposição 10.7. Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe Cs emMm. Se D é completamente integrável, então D é involutivo.

Dem. Existe carta local x : U → Rm tal que®∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xr

´seja base local de D

em U . Sejam X =r∑i=1

fi∂

∂xi, e Y =

r∑j=1

gj∂

∂xjcampos pertencentes a D. Temos:

[X, Y ] =∑i,j

ñfi

∂

∂xi, gj

∂

∂xj

ô=∑i,j

figj

ñ∂

∂xi,∂

∂xj

ô+∑i,j

Çfi∂gj∂xi

∂

∂xj− gj

∂fi∂xj

∂

∂xi

å∈ D,

poisñ∂

∂xi,∂

∂xj

ô= 0.

Proposição 10.8. Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe Cs emMm. Existe carta local y : V → Rm, y(p) = 0, tal que D tenha base local

X1, . . . , Xr, em torno de p, da forma Xi =∂

∂yi+

m∑j=r+1

cji∂

∂yj(1 ≤ i ≤ r).

188


Dem. Seja y : V ′ → Rm, y(p) = 0 carta local em M , e seja Y1, . . . , Yr base

local de D em V ′. Então, Yi =m∑j=1

aji∂

∂yj(1 ≤ i ≤ r), onde aji ∈ Cs. Como

os Yi são linearmente independentes, a matriz A = (aij) − r ×m− tem posto r,e podemos supor que B = (aki) − r × r − (1 ≤ i, k ≤ r), é invertível no abertoV ⊂ V ′. Seja B−1 = (bki) − r × r− e ponhamos Xi =

r∑k=1

bkiYk (1 ≤ i ≤ r).Então,

Xi =r∑

k=1bki

m∑j=1

ajk∂

∂yj=

r∑k=1

r∑j=1

ajkbki∂

∂yj+

r∑k=1

m∑j=r+1

ajkbki∂

∂yj=

r∑j=1

δji∂

∂yj+

+m∑

j=r+1

Çr∑

k=1ajkbki

å∂

∂yj, donde Xi =

∂

∂yi+

m∑j=r+1

cji∂

∂yj.

Corolário 10.1. Se D é involutivo a base local da Proposição 10.8 satisfaz [Xi, Xj] = 0,1 ≤ i, j ≤ r.

Dem. Para 1 ≤ i, j ≤ r, [Xi, Xj] pertence ao espaço W1 gerado por ∂∂yr+1

, . . . , ∂∂ym(

pois[∂∂yi, ∂∂yj

]= 0

)e , como D é involutivo, [Xi, Xj] pertence também ao espaço

W2 gerado por X1, . . . , Xr. Seja Z ∈ W1 ∩W2 ; então,

Z =m∑

k=r+1

ak∂

∂yk=

r∑i=1

biXi =r∑i=1

bi

Ñ∂

∂yi+

m∑k=r+1

cki∂

∂yk

é,

dondem∑

k=r+1

Åak −

r∑i=1

bicki

ã ∂

∂yk=

r∑i=1

bi∂

∂yi, donde bi = 0 e Z = 0, isto é,

W1 ∩W2 = 0, e resulta [Xi, Xj] = 0, 1 ≤ i, j ≤ r.

Proposição 10.9. Se X é um campo de vetores de classe Ck em M , p ∈ M e

X(p) 6= 0, existe carta local x : U → Rm, p ∈ U x(p) = 0, tal que X =∂

∂x1em U .

Dem. Seja α : A→M , A ⊂ Rm aberto, inversa de uma carta local, tal que 0 ∈ A,α(0) = p,

∂α

∂x1

(0) = X(p), e definamos β : A→M por β(t, x2, . . . , xm) =

= ϕt(α(0, x2, . . . , xm)), onde ϕt é o fluxo local definido por X. Temos,∂β

∂t(0) = X(p)

e∂β

∂xi(0) =

∂α

∂xi(0) para i ≥ 2, donde a matriz jacobiana de β em 0 é invertível.

Resulta que β : B → M , B ⊂ A, é um difeomorfismo do aberto B ⊂ Rm no

189


aberto β(B) ⊂ M . Pondo x = β−1 : β(B)→ B temos que x é carta local tal que

X =∂

∂x1

em U = β(B).

Proposição 10.10. (Frobenius)

Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe Cs em Mm. Se D éinvolutivo então D é completamente integrável.

Dem. (indução em r). O caso r = 1 decorre da Proposição 10.9. Suponhamosr ≥ 2 e que o resultado seja verdadeiro para os sistemas involutivos de dimensão(r − 1). Podemos supor que D tenha base local X1, . . . , Xr tal que [Xi, Xj] = 0,

1 ≤ i, j ≤ r. Pela hipótese de indução, existe carta local y : V → Rm, V conexo,y(p) = 0, tal que o espaço W1 gerado por X1, . . . , Xr−1 seja igual ao espaço W2

gerado por∂

∂y1

, . . . ,∂

∂yr−1

, donde∂

∂yi=

r−1∑j=1

ajiXj, 1 ≤ i ≤ r − 1, resultandoñ∂

∂yi, Xr

ô=

r−1∑j=1

[ajiXj, Xr] = −r−1∑j=1

Xr(aji)Xj ∈ W1 (1 ≤ i ≤ r − 1) .

Como Xr =m∑i=1

ai∂

∂yi, temos

ñ∂

∂yi, Xr

ô=

m∑j=1

ñ∂

∂yi, aj

∂

∂yj

ô=

m∑j=1

∂aj∂yi

∂

∂yj∈ W2,

donde∂aj∂yi

= 0 no conexo V , para r ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ r− 1, ou seja, as funções

aj(r ≤ j ≤ m) independem de y1, . . . , yr−1 .

Pondo Y = Xr −r−1∑i=1

ai∂

∂yi=

m∑j=r

aj∂

∂yj, temos que o espaço gerado por

X1, . . . , Xr é igual ao espaço gerado por∂

∂y1

, . . . ,∂

∂yr−1

, Y , onde Y depende apenas

de yr, . . . , ym. Pela Proposição 10.9 existe mudança de variáveis da forma:

xi = yi 1 ≤ i ≤ r − 1

xk = fk(yr, . . . , ym) , r ≤ k ≤ m

tal que∂

∂xi=

∂

∂yi(1 ≤ i ≤ r − 1) e

∂

∂xr= Y . Logo,

®∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xr

´é

base local de D, e D é completamente integrável.

Exemplo 10.2.1. Se r = 1 temos um campo de direções. Todo campo de vetoresX, sem singularidades (Xp 6= 0 , p ∈M) define um campo de direções, onde Dp =

=reta gerada por Xp. Prova-se que, se M é simplesmente conexa, todo campo dedireções provém de um campo sem singularidades. Na esfera S2, por exemplo, não

190


existe campo contínuo de direções pois todo campo de vetores contínuo em S2 temuma singularidade (teorema de Poincaré-Brouwer, Proposição 9.25 do Capítulo 9).

Exemplo 10.2.2. Em R2 seja ω = ad x + bd y onde a, b : R2 → R são C∞ ea2 + b2 6= 0. Se p = (x, y) ∈ R2 e v = (v1, v2) ∈ TpR2, então ω(p, v) =

= a(p)v1 + b(p)v2 = 0 se, e só se, v é perpendicular ao vetor (a(p), b(p)). Assim, aequação adx+bdy = 0 define o campo de direções D tal que Dp = reta perpendiculara (a(p), b(p)).

Exemplo 10.2.3. Em R3, sejam X =∂

∂z, Y =

∂

∂x+ z

∂

∂ye D(x, y, z) =plano

gerado por X e Y . Como [X, Y ] =∂

∂ynão pertence a D, temos que D não é

completamente integrável.

Proposição 10.11. Seja D um sistema diferencial de dimensão r em Mm. Dé de classe Cs se, e só se, para cada p ∈ M , existem (m − r) 1-formasω1, ω2, . . . , ωm−r , de classe Cs numa vizinhança coordenada U contendo p, tais que

Dq = v ∈ TqM ; ωj(q; v) = 0 , 1 ≤ j ≤ m− r ,

para todo q ∈ U . Dizemos que ω1 = . . . = ωm−r = 0 são equações locais para Dem U .

Dem. Sejam x : U → Rm carta local em M e Xm−r+1, . . . , Xm uma base lo-

cal de D em U . Então, Xα =m∑i=1

aiα∂

∂xi(m − r + 1 ≤ α ≤ m). Estendemos

Xm−r+1(p), . . . , Xm(p) a uma base X1(p), . . . , Xm(p) de TpM , e seja Xj(p) =

=m∑i=1

aij∂

∂xi(p) , onde aij ∈ R e 1 ≤ j ≤ m− r. Estendemos X1(p), . . . , Xm−r(p)

a U pondo Xj =m∑i=1

aij∂

∂xi, 1 ≤ j ≤ m − r , aij = constante. A matriz

A = (aik) −m ×m− é invertível em p, e, portanto, invertível numa vizinhança dep, que podemos considerar como sendo U , de modo que X1, . . . , Xm−r, . . . , Xmqé base de TqM para cada q ∈ U . Seja ω1, . . . , ωm−r, . . . , ωm a base dual , istoé, ωi(Xk) = δik em cada q ∈ U ; é claro que ω1, . . . , ωm−r são de classe Cs e queDq = v ∈ TqM ;ωj(q, v) = 0, 1 ≤ j ≤ m− r . A recíproca é análoga.

Proposição 10.12. Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe Cs ,

191


no aberto U da variedade Mm, de equações ω1 = . . . = ωm−r = 0 em U . Sãoequivalentes:

(a) D é completamente integrável;

(b) D é involutivo;

(c) existem 1−formas αij tais que dωi =m−r∑j=1

αij ∧ ωj;

(d) dωi = 0 quando restrita a D;

(e) dωi ∧ ω1 ∧ . . . ωm−r = 0 (1 ≤ i ≤ m− r).

Dem. (i) Já vimos que (a)⇔ (b) .

(ii) (c) ⇒ (d) ⇔ (b): sejam X , Y campos de classe C1 pertencentes a D, e

dωi =m−r∑j=1

αij ∧ ωj. Então, dωi(X, Y ) =∑j

[αij(X)ωj(Y )− αij(Y )ωj(X)] = 0,

pois ωj(X) = ωj(Y ) = 0, donde (c)⇒ (d) .

Mas, dωi(X, Y ) = Xωi(Y ) − Y ωi(X) − ωi([X, Y ]) = −ωi([X, Y ]), donde[X, Y ] ∈ D ⇔ dωi(X, Y ) = 0, isto é, (d)⇔ (b).

(iii) (d) ⇒ (c): seja ω1, . . . , ωm−r, . . . , ωm base de (TqM)∗ em cada q ∈ U,e sejam X1, . . . , Xm campos tais que Xm−r+1, . . . , Xm formem base deD em U . Então, dωi =

m∑j,k=1

cijkωj ∧ ωk e, para α, β > m − r temos

0 = dωi(Xα, Xβ) =∑j,kcijk(ωj(Xα)ωk(Xβ)− ωj(Xβ)ωk(Xα)) =

∑j,kcijk(δjαδkβ−

−δjβδkα), donde ciαβ − ciβα = 0 = 2ciαβ e, portanto, dωi =m−r∑j=1

αij ∧ ωj,

onde αij = −r∑

k=1cijkωk, e (c)⇔ (d).

(iv) (c) ⇔ (e): é claro que (c) ⇒ (e) . Seja θ uma 2− forma em U tal queθ∧ω1∧. . .∧ωm−r = 0. Vamos provar que existem 1− formas αi(1 ≤ i ≤ m−r)tais que θ =

m−r∑i=1

αi ∧ωi. Seja ω1, . . . , ωm−r, . . . , ωm base de (TqM)∗ em cadaq ∈ U . Podemos escrever θ =

∑i<j

aijωi ∧ ωj , donde∑i<j

aijωi ∧ ωj ∧ ω1 ∧ . . .∧∧ωm−r = 0, donde aij = 0 se m− r < i < j . Portanto, θ =

∑i≤m−ri<j

aijωi ∧ ωj.

192


p

x

Rm−r

Rrx(p) = (u1, c)

P

UM

U1 × U2

Pondo αi = − ∑j>i

aijωj, vem θ =m−r∑i=1

αi ∧ ωi, e (c) ⇔ (e), o que termina a

demonstração da proposição 10.12.

Seja D um sistema diferencial de dimensão r e classe Cs na variedade Mm.

Definição 10.5. Se N é uma variedade e ϕ : N → M , ϕ ∈ Cs, é uma imersãoinjetiva, dizemos que (N,ϕ) é uma subvariedade imersa de M . Uma variedadeintegral de D é uma subvariedade imersa N r de Mm tal que TpN = Dp para todop ∈ N (onde identificamos TpN com ϕ′(p) · TpN e Dp significa Dϕ(p) ).

Proposição 10.13. Se D é completamente integrável, então por cada ponto de Mm

passa uma variedade integral de D.

Dem. Se x : U → Rm é carta local em M , com x(U) = U1 × U2 ⊂ Rr × Rm−r, U1

e U2 discos abertos, e®∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xr

´é base de D em U , então P = x−1(U1 × c) é

variedade integral (mergulhada) conexa de D passando por p ∈ U , onde x(p) = (u1, c)

(c = constante). P é dita uma placa de D.

Obs. Se y : V → Rm, U ∩ V 6= ø, é outra carta local nas mesmas condiçõesde x acima, sejam x−1(U1 × c) e y−1(V1 × c′) as placas de D por p. Então,(y x−1)(u1, c) = (u′1, c

′), isto é, y x−1 leva o "plano" u2 = c no "plano" u′2 = c′,de modo que yx−1(u1, u2) = (h1(u1, u2), h2(u2)), a segunda coordenada dependendoapenas de u2.

Definição 10.6. Seja Mm uma variedade C∞ . Uma folheação de dimensão r e

193


classe Cs deM é um atlas máximo F , de dimensão r, e classe Cs , cujas mudançasde coordenadas são do tipo acima, isto é, y x−1(u1, u2) = (h1(u1, u2) , h2(u2)).

Assim, todo sistema diferencial completamente integrável D, de classe Cs ,define uma folheação de classe Cs em M . Reciprocamente, toda folheação F declasse Cs define um sistema diferencial completamente integrável de classe Cs−1,onde Dq = TqF é o subespaço de TqM tangente em q à placa de F que passa porq.

Dado p ∈ M , seja x : U → U1 × U2, p ∈ U , uma carta local de F . É

claro que Dp é o espaço gerado pelos vetores∂

∂x1

(p), . . . ,∂

∂xr(p), e D é de classe

Cs−1. Observemos, entretanto, que nem toda variedade M possui uma folheação dedimensão r, já que nem todo sistema diferencial é completamente integrável.

Definição 10.7. Uma variedade integral máxima (N,ϕ) do sistema diferencialD é uma variedade integral conexa de D cuja imagem em Mm não está contidapropriamente em nenhuma outra variedade integral conexa de D.

Proposição 10.14. (Chevalley)

Seja D um sistema diferencial completamente integrável de dimensão r e classeCs em Mm. Por cada p ∈ M passa uma e uma única variedade integral máximaN r de D, e toda variedade integral conexa de D que passa por p está contida emN . N é a folha por p. Para uma demostração veja a referência [23]. Para o estudodetalhado das folheações veja a referência [1].

Proposição 10.15. Seja D um sistema diferencial completamente integrável, dedimensão r e classe Cs , na variedade Mm de classe Ck , k > s. Sejax : U → U1 × U2 ⊂ Rr × Rm−r carta local, onde U1 e U2 são discos abertos, tal que¶

∂∂x1, . . . , ∂

∂xr

©seja base local de D. Se N ∈ Cs é uma variedade integral de D,

então N ∩ U é uma reunião enumerável disjunta de componentes conexas, cadauma delas contida numa única placa de D, abertas em N e mergulhadas em M . Sef : Q→M é Cs e f(Q) ⊂ N , então f : Q→ N é Cs .

Dem. A inclusão i : N →M é contínua, donde i−1(U) = N ∩ U é aberto em N

e, portanto, reunião enumerável disjunta de componentes conexas, cada uma delassendo um aberto de N . Seja V uma componente de N ∩U , e p ∈ V arbitrário. Se

194


p = f(q)

x

Rm−r

Rr

x(p) = (u1, c)

N

U M

q

WQ

B

f

U1 × U2

π2

Rm−r

c(0, c)

v ∈ Dp, então v =r∑i=1

ai∂

∂xi(p), donde (π2 x)′(p)v = 0, donde (π2 x)′(p) = 0,

donde π2 x|V = c = constante, e V está contida na placa P definida por xi = 0,i ≥ r + 1.

Como P é mergulhada emM e i : V →M é de classe Cs , resulta i : V → P

de classe Cs ( Proposição 7.4 do Capítulo 7), imersão injetiva entre variedades demesma dimensão, donde difeo local, aplicação aberta e homeomorfismo de V sobreum aberto de P .

Seja agora f : Q → M de classe Ck , k ≥ s, f(Q) ⊂ N . Vamos provarque f : Q→ N é de classe Cs . Pelo Corolário da Proposição 7.4 do Capítulo 7,basta provar que f : Q→ N é contínua. Sejam q ∈ Q , p = f(q) ∈M , Pp a placapor p e W uma vizinhança aberta de p em N . Podemos tomar U suficientementepequeno de modo que Pp ⊂ W . Como f : Q → M é contínua, existe vizinhançaconexa B de q tal que f(B) ⊂ U ∩ N donde f(B) está contida na componenteconexa de U ∩ N que contém p, donde f(B) ⊂ Pp ⊂ W , isto é, f : Q → N écontínua, donde de classe Cs .

Exemplo 10.2.4. Seja f : Mm → Nn submersão C∞ . Para cada q ∈ N

sabemos que f−1(q) ou é vazia ou é subvariedade C∞ de dimensão (m − n) deM , tal que Tpf

−1(q) = N f ′(p). Pela forma local das submersões, existem cartas

195


locais x : U → U1 × U2 ⊂ Rm−n × Rn e y : V → Rn, p ∈ U , q = f(p) ∈ Vtais que fxy(u1, u2) = u2. Defina Dp = Tpf

−1(q) = N f ′(p). O sistema diferencial

D tem base local∂

∂x1

, . . . ,∂

∂xm−n, donde é completamente integrável, e suas folhas

são as componentes conexas de f−1(q), q ∈ N .

Por exemplo, f : (−1, 1)× R→ R, f(x, y) = (1− x2)ey é uma submersão.Ela define uma folheação, da faixa (−1, 1) × R ⊂ R2, cuja folhas são as curvas(1− x2)ey = c > 0.

1−1 0 R

Obs. Para uma aplicação da Proposição 10.14, veja a Proposição 11.12 do Capítulo11.

Exemplo 10.2.5. Sejam P,Q,R : AC2

−→ R, onde A ⊂ R3 é aberto, e ω =

= Pdx + Qdy + Rd z . A condição de integrabilidade da equação ω = 0, segundoFrobenius, é que ω ∧ dω = 0.

Como dω =

Ç∂R

∂y− ∂Q

∂z

åd y∧d z+

Ç∂P

∂z− ∂R

∂x

åd z∧d x+

Ç∂Q

∂x− ∂P

∂y

åd x∧d y,

resulta que a condição de integrabilidade é

P

Ç∂R

∂y− ∂Q

∂z

å+Q

Ç∂P

∂z− ∂R

∂x

å+R

Ç∂Q

∂x− ∂P

∂y

å= 0

Se ω = Adx+Bd y − d z, é fácil ver que a condição ω ∧ dω = 0 se escreve∂A

∂y+ B

∂A

∂z=∂B

∂x+ A

∂B

∂z. Por exemplo, se d z = (y − 1)d x+

z

y − 1d y, y > 1, é

imediato que a condição de integrabilidade é verificada.

196


Para achar as superfícies integrais, suponhamos z constante donded x

d y=

=−z

(y − 1)2, que nos dá x =

z

y − 1+ ϕ(z), donde d x =

d z

y − 1− zd y

(y − 1)2+

+ϕ′(z)d z, e comparando com a expressão de dz, obtemos ϕ′(z) = 0, donde ϕ(z) = C

e, portanto, x =z

z − 1+ C, e z = (y − 1)(x− C), que é a família de superfícies

integrais no aberto A = (x, y, z) ∈ R3|y > 1.

Obs. Se dω = 0 no aberto simplesmente conexo A, então as superfícies integraissão as equipotenciais do campo (P,Q,R).

10.3 Campos vetoriais comutativos e fluxos

Proposição 10.16. Seja Mm uma variedade de classe Ck , k ≥ 2. Sejam X, Ycampos de vetores de classe C1 em M , e θt o fluxo local de X em torno de p ∈M .Então:

[X, Y ]p = limt→0

d θ−tYq − Ypt

,

onde q = θt(p) e d θ−t = d θ−t(q).

Dem. Seja Ip ⊂ R o domínio da curva integral θp(t), e consideremos a curva γp(t) =

= d θ−tYθt(p) = d θ−tYq. É claro que γp(0) = Yp. Vamos mostrar que γ′p(0) = [X, Y ]p.

1º Caso: Xp 6= 0. Seja x : U → Rm uma carta local em torno de p, tal

que X =∂

∂x1

em U . O fluxo x(θt(p)) é da forma

(t, x1, x2, . . . , xm) 7−→ (x1 + t, x2, . . . , xm), de modo que d θ−t ·∂

∂xi(q) =

∂

∂xi(p)

para todo i e todo t.

Se a expressão local de Y é Y =m∑i=1

fi∂

∂xi, onde fi : U

C1

−→ R, então

γp(t) = d θ−tYq = d θ−t

Çm∑i=1

fi(q)∂

∂xi(q)

å=

m∑i=1

fi(q)∂

∂xi(p) e, portanto, γ′p(0) =

=m∑i=1

d

dt(fi θt)

∂

∂xi(p) =

m∑i=1

Xp(fi)∂

∂xi(p).

Por outro lado, [X, Y ]p =

ñ∂

∂x1

,m∑i=1

fi∂

∂xi

ô=

m∑i=1

∂fi∂x1

∂

∂xi(p) =

m∑i=1

Xp(fi)∂

∂xi(p),

e γ′p(0) = [X, Y ]p.

197


2º Caso: X = 0 numa vizinhança U de p. Então [X, Y ]p = 0. Curvasintegrais, com ponto inicial em U , são constantes, donde θt = id para todo t ∈ Ip,e γp(t) , é constante, donde γ′p(0) = 0 = [X, Y ]p.

3º Caso:Xp = 0 mas existe sequência pj → p com Xpj 6= 0 , donde

γ′pj(0) =m∑i=1

Xpj(fi)∂

∂xi(p) = [X, Y ]pj −→ γ′p(0) = [X, Y ]p por continuidade.

Proposição 10.17. Sejam Mm e Nn variedades de classe Ck , k ≥ 2, eF : M

C1

−→ N . Sejam X e Y campos de vetores de classe C1 em M e N , e fluxos θte ψt, respectivamente. X e Y são F− relacionados (isto é, dF (p).Xp = YF (p)) ⇔⇔ ψt F = F θt .

Dem. Se Ip ⊂ R é o domínio da curva θp(t), então ψt F (p) = F θt(p) se, esó se, ψF (p)(t) = F θp(t) para todo t ∈ Ip.

⇐ : ψ′F (p)(0) = dF (p)θ′p(0), donde dF (p)Xp = YF (p).

⇒ : Seja a curva γp(t) = Fθp(t), t ∈ Ip. Então, γ′p(t) = dF (q).θ′p(t) =

= dFXq = YF (q) = Yγp(t), onde q = θt(p) = θp(t) , o que mostra que γp(t) é umacurva integral de Y com ponto inicial F (p) e, portanto, a curva integral máximaψF(p)

coincide com γp(t) em Ip, donde F θp = ψF (p), ou seja, ψt F = F θt.

Proposição 10.18. Sejam Mm uma variedade Ck, k ≥ 2, X e Y campos devetores de classe C1 , com fluxos locais θt e ψt, respectivamente.

São equivalentes:

(a) [X, Y ] = 0. Neste caso dizemos que X e Y comutam;

(b) Y é invariante pelo fluxo de X, isto é, d θtYp = Yθt(p);

(c) X é invariante pelo fluxo de Y ;

(d) θt ψs = ψs θt desde que definidos.

Dem. (a) ⇒ (b) . Seja Ip ⊂ R o domínio da curva integral θp(t), e sejaγp(t) = d θ−t · Yθt(p) = d θ−t · Yq. Como na Proposição 10.16, temos γp(t) =

=m∑i=1

fi(q)∂

∂xi(p), e γp(0) = Yp.

198


[X, Y ] = 0 significa que γ′p(0) = 0. Vamos mostrar que γ′p(t) = 0

para todo t ∈ Ip. Se t = t0 + s, então γ′p(t0) =d

dt

∣∣∣∣∣t=t0

Äd θ−t · Yθt(p)

ä=

=d

ds

∣∣∣∣∣s=0

Äd θ−t0−s · Yθs(θt0 (p))

ä= d θ−t0

d

ds

∣∣∣∣∣s=0

d θ−s · Yθs(θt0 (p)) = d θ−t0 [X, Y ]θt0 (p) = 0,

donde γp(t) = γp(0) para t ∈ Ip, e d θtYp = Yθt(p).

(b) ⇒ (a) : d θt · Yp = Yθt(p) = Yq nos dá d θ−t · Yq = Yp, donde

[X, Y ]p = limt→0

d θ−t · Yq − Ypt

= 0. Analogamente se prova que (a)⇔ (c).

(b)⇒ (d): seja Dt o domínio de θt, e seja F = θt : DtC1

−→ θt(Dt).

Pela Proposição 10.17, θt ψs = ψs θt no conjunto onde θt ψs está definidase, e só se , d θt · Y = Y , ou seja, se , e só se, Y é θt− invariante. Analogamente,trocando os papéis de X e Y , o mesmo acontece no conjunto onde ψs θt estádefinido.

Obs. O posto de uma variedade é o número máximo de campos de vetores comu-tativos linearmente independentes que a variedade admite. Em 1965, E.L. Limaprovou, dentre outras coisas, que S3 tem posto um. Em 1970, H. Rosenberg, R.Roussarie, e D. Weil acharam condições, necessárias e suficientes, para que umavariedade, compacta orientada de dimensão três, tenha posto dois.

10.4 Variedades Simpléticas

Sejam V um espaço vetorial real, ξ = (e1, . . . , em) uma base ordenada de V eb : V ×V −→ R uma forma bilinear. Se bij = b(ei, ej), então B = (bij)−m×m−é a matriz de b na base ξ. Se ξ′ = (e′1, . . . , e

′m) é outra base de V , e e′j =

m∑i=1

pijei,

então a matriz de b na base ξ′ é B′ = P tBP , onde P = (pij) − m × m− éa matriz de passagem da base ξ para a base ξ′. O espaço L2(V ;R) das formasbilineares sobre V é, como sabemos, canônicamente isomorfo ao espaço L(V, V ∗)

via o isomorfismo

199


ϕ : L2(V ;R)→ L(V, V ∗)

b 7−→ ϕb : V −→ V ∗

u 7−→ ϕb(u) : V −→ Rv 7−→ ϕ(u)v = b(u, v)

Proposição 10.19. Com as notações acima, são equivalentes:

(a) b(u, v) = 0 ∀v ∈ V ⇒ u = 0;

(b) ϕb : V → V ∗ é um isomorfismo;

(c) B = (bij) é invertível.

Dem. (a)⇔ (b):

É claro que ϕb : V → V ∗ é linear. Seu núcleo é Nϕb = u ∈ V ;ϕb(u) = 0 =

= u ∈ V ; b(u, v) = 0 ∀v ∈ V = 0 se, e só se, ϕb : V → V ∗ é um isomorfismo.

(b)⇔ (c) :

Seja ξ∗ = (e∗1, . . . , e∗m) a base dual de ξ = (e1, . . . , em).

Como ϕb(ei) : V −→ R leva ej em b(ei, ej) = bij , a matriz de ϕb : V −→ V ∗

nas bases ξ e ξ∗ é [ϕb]ξξ∗ = B = (bij) e , portanto , ϕb é isomorfismo se, e só se,

B = (bij) é invertível.

Definição 10.8. b ∈ L2(V ;R) é não-degenerada se b satisfaz às propriedadesequivalentes da Proposição 10.1.

Definição 10.9. Uma forma simplética no espaço vetorial V é uma forma bilinearalternada não-degenerada, isto é , é uma 2− forma ω ∈

2∧V ∗ tal que ω(u, v) = 0

∀v ∈ V ⇒ u = 0 . (V, ω) é um espaço vetorial simplético.

Exemplo 10.4.1. Sejam V = R2n, ξ = (u1, v1, . . . , un, vn) base ordenada de R2n

e ξ∗ = (u∗1, v∗1, . . . , u

∗n, v

∗n) a base dual.

A 2− forma ω =n∑i=1

u∗i ∧ v∗i é uma forma simplética em R2n. Ela é tal

que: ω(ui, vj) = −ω(vj, ui) = δij; ω(ui, uj) = 0 = ω(vi, vj). Reciprocamente, seω ∈

2∧(R2n)∗ e existe base ξ de R2n tal que as igualdades acima sejam satisfeitas,

200


então ω é dada por ω =n∑i=1

u∗i ∧ v∗i . De fato, temos ω =n∑

i,j=1aiju

∗i ∧ v∗j , donde

δrs = ω(ur, vs) =∑i,jaij

∣∣∣∣∣∣ δir 0

0 δjs

∣∣∣∣∣∣ =∑ijaijδirδjs = ars, e ω =

n∑i=1

u∗i ∧ v∗i .

Obs. Seja ξ = (u1, v1, . . . , un, vn) como acima e F = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn). Amatriz de ω =

n∑i=1

u∗i ∧ v∗i na base ξ é a matriz

Ωξ =

0 1−1 0

0 1−1 0

0

0...

0 1−1 0

e det Ωξ = 1 ,

enquanto que a matriz de ω na base F é ΩF =

0 In

−In 0

e det ΩF = 1.

A base F = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn) é dita simplética.

Em R2, ω = d x ∧ d y, e toda 2− forma é múltiplo de d x ∧ d y, ou seja, emdimensão 2 toda 2− forma 6= 0 é simplética.

Definição 10.10. Sejam (V, ω) um espaço vetorial simplético e W ⊂ V umsubespaço vetorial. O ortogonal simplético de W é o subespaçoW⊥ = u ∈ V ;ω(u, v) = 0 ∀v ∈ W .

Proposição 10.20. dimV = dimW + dimW⊥.

Dem. Se (t1, . . . , tk) é base de W então f1 = ϕω(t1), . . . , fk = ϕω(tk) sãoL. I. pois ϕω : V −→ V ∗ é isomorfismo. Sejam v1, . . . , vk em V tais quefj(vi) = δji, 1 ≤ i, j ≤ k, e ξ : V → Rk dada por ξ(v) = (f1(v), . . . , fk(v)). Dado

(x1, . . . , xk) ∈ Rk, seja v =k∑i=1

xivi. Então, fj(v) = xj, ou seja, ξ(v) = (x1, . . . , xk),

donde ξ é (linear) sobrejetora. Seu núcleo é N ξ = v ∈ V ; f1(v) = . . . = fk(v) = 0 =

= v ∈ V ;ω(t1, v) = . . . = ω(tk, v) = 0 = W⊥. Portanto, dimW⊥ =

= dimV − k = dimV − dimW .

Definição 10.11. Sejam (V, ω) um espaço vetorial simplético, e W ⊂ V umsubespaço. Dizemos que:

(a) W é simplético se W ∩W⊥ = 0;

201


(b) W é isotrópico se W ⊂ W⊥;

(c) W é coisotrópico se W⊥ ⊂ W ;

(d) W lagrangiano se W = W⊥.

Proposição 10.21. Seja (V, ω) um espaço vetorial simplético de dimensão m.Então, m é par e existe base de V , ξ = (u1, v1, . . . , uv, vn), tal que ω =

n∑i=1

u∗i ∧ v∗i .

Dem. (indução).

Sem = 0, nada a provar. Suponhamos o teorema verdadeiro para dimV < m,m ≥ 1. Como ω é não-degenerada, existem u1, v1 ∈ V tais que ω(u1, v1) = 1.u1 e v1 são L.I. ( pois v1 = λu1 ⇒ ω(u1, v1) = 0). Seja W = S(u1, v1) o espaçogerado por u1 e v1, donde dimW⊥ = m − 2. Vamos provar que W ∩W⊥ = 0;de fato, seja v = au1 + bv1 ∈ W ∩W⊥. Então 0 = ω(u1, v) = b e 0 = ω(v, v1) = a ,ou seja v = 0. Resulta que W é simplético, donde W⊥ é simplético (pois(W⊥)⊥ =

= W ). Por indução, dimW⊥ é par, donde m = 2n é par, e existe base dotipo (u2, v2, . . . , un, vn) para W⊥, e F = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn) é base simpléticapara (V, ω). Como vimos, na base ξ = (u1, v1, . . . , un, vn) a 2−forma ω se escreveω =

n∑i=1

u∗i ∧ v∗i , onde ξ∗ = (u∗1, v∗1, . . . , u

∗n, v

∗n) é a base dual de ξ.

Definição 10.12. Sejam (V1, ω1) e (V2, ω2) espaços vetoriais simpléticos.

Um isomorfismo T : V1 −→ V2 é dito simplético se T ∗ω2 = ω1.

Obs. O conjunto Sp(V, ω), dos automorfismos simpléticos do espaço vetorial sim-plético (V, ω), é um subgrupo do grupo SL(V ) dos automorfismos de determinanteigual a 1 de V . Vimos que na base F = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn) a matriz de ω é

J =

0 In

−In 0

. Se M é a matriz do automorfismo T : V → V na base F ,

T é simplético ⇔ M tJM = J . De fato, se u, v ∈ V , X = [u]F , Y = [v]F

então ω(u, v) = X tJY e (T ∗ω)(u, v) = ω(Tu, Tv) = (MX)tJ(MY ) = X tM tJMY

e, portanto, T ∗ω = ω se, e só se, M tJM = J · Sp(V, ω) é o grupo simplético.

Definição 10.13. Seja M2n uma variedade de classe Ck , k ≥ 2. Se ω é uma2−forma fechada (dω = 0) e não degenerada de classe Cs em M , dizemos que(M,ω) é uma variedade simplética, ou seja, p ∈M 7−→ ωp ∈

2∧(TpM)∗ é tal que ωp

202


é simplética para cada p ∈M . Se (M1, ω1) e (M2, ω2) são variedades simpléticase f : M1 → M2 é um difeomorfismo tal que f ∗ω2 = ω1, dizemos que f é umdifeomorfismo simplético. Uma subvariedade N ⊂ M é simplética, isotrópica,coisotrópica, lagrangiana se, para cada p ∈ N , o subespaço TpN ⊂ TpM tem essapropriedade.

Exemplo 10.4.2. Se ξ = (u1, v1, . . . , un, vn) é a base canônica de R2n e ξ∗ =

= (u∗1, v∗1, . . . , u

∗n, v

∗n) = (d x1, d y1, . . . , d xn, d yn) é a base dual, então ω =

n∑i=1

u∗i∧

∧v∗i =n∑i=1

d xi ∧ d yi é a forma simplética canônica em R2n.

Exemplo 10.4.3. SeM2 é uma variedade de dimensão dois e ω é uma 2−forma emM tal que ωp 6= 0 para todo p ∈M , então (M,ω) é uma variedade simplética.

Suponhamos que um corpo rígido tenha 0 ∈ R3 como ponto fixo. A confi-guração do corpo num instante t é dada pela transformação linear que leva a basecanônica do R3 numa base ortogonal positiva fixada ao corpo, isto é, o espaço deconfiguração do corpo é o grupo SO(3) das rotações do espaço. Sabemos queSO(3) é uma variedade de dimensão três e classe C∞ , e dizemos que três é onúmero de graus de liberdade. Em geral, o espaço de configuração de um sistemadinâmico a n graus de liberdade é uma variedade Mn de dimensão n. Cada pontoda variedade representa um estado do sistema dinâmico. Se x : U → Rn é umacarta local em M , as coordenadas x1 = q1, . . . , xn = qn são as "coordenadasgeneralizadas". Um vetor tangente a M é um "vetor velocidade", cujas compo-nentes são escritas q1, q2, . . . , qn: são as "velocidades generalizadas". O fibradotangente TM é o espaço (q, q) das velocidades generalizadas. Um sistema lagran-giano autônomo é definido pelo espaço de configuração M e uma função chamadalagrangiana, L : TM

C2

−→ R. Se L(q, q) é a expressão local de L nas coorde-nadas (q, q) = (q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) de TM , prova-se que γ : R C1

−→ M é um

movimento neste sistema lagrangiano se, e só se,∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q= 0 sobre a curva

γ(t). O espaço cotangente T ∗M é o espaço de fases do sistema dinâmico. Paracada carta local x : U → Rn em M , tem-se a carta local em T ∗M dada porx : π−1(U) −→ x(U)× (Rn)∗ , x(m,α) = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn), onde

(m,α) 7−→ (x(m), αx′(m)−1)

π : T ∗M → M é a projeção do fibrado, α =n∑i=1

aid qi é a expressão local de α e

203


pi = ai π; p1, . . . , pn são os "momentos generalizados".

Vimos, no final da seção 9.2 do Capítulo 9, que a 1− forma λ de Poincaré temexpressão local λ(m,α) = π∗α =

n∑i=1

pid qi. A 2−forma de Poincaré é ω = d λ,

que se escreve localmente como ω =n∑i=1

d pi ∧ d qi. É a forma simplética canônica

do fibrado cotangente T ∗M . É claro que λ ∈ Ck−1 se M ∈ Ck. Como ωn =

= ω∧ n

. . . ∧ω = ±n!d q1 ∧ d q2 ∧ . . . d qn ∧ d p1 ∧ . . .∧ d pn nunca se anula, resulta queT ∗M é sempre orientável, M o sendo ou não. A 2n− forma ωn = ω∧ n

. . . ∧ω é aforma de Liouville ou forma volume simplético para o espaço de fases. Um sistemahamiltoniano autônomo é definido pelo espaço de fases T ∗M , uma forma simplética ωe uma função H : T ∗M → R, a hamiltoniana. Seja L : TM

Ck−→ R a lagrangianae seja P : TM → T ∗M definida em coordenadas locais por (q, q)

P7−→ (q, p),

qi = qi, pi =∂L

∂qi.

Temos: P ∗d pi =n∑j=1

∂pi∂qj

d qj +n∑j=1

∂pi∂qj

d qj =n∑j=1

∂2L

∂qj∂qid qj +

∂2L

∂qj∂qid qj .

Logo, P ∗(dq1 ∧ . . . ∧ dqn ∧ dp1 ∧ . . . ∧ dpn) = det∂2L

∂qj∂qidq1 ∧ . . . ∧ dqn∧

∧dq1 ∧ . . . ∧ dqn. Supondo det∂2L

∂qj∂qi6= 0, podemos exprimir localmente q em

termos de q e p, e as "equações de Lagrange"∂L

∂qi=

d

dt

∂L

∂qidão origem, no espaço

de fases, às "equações de Hamilton":dqidt

=∂H

∂pied pidt

= −∂H∂qi

, se definimos

H(q, p) = p dq − L(q, q).

De fato, temos:

dH =∂H

∂qdq +

∂H

∂pdp = pdq + qdp− ∂L

∂qdq − ∂L

∂qdq = pdq + qdp− ∂L

∂qdq − pdq =

= qdp− ∂L

∂qdq = qdp− pdq,

donde∂H

∂q= −dp

dte

∂H

∂p=dq

dt, como queríamos.

Seja X um campo de vetores em T ∗M , X =n∑i=1

ai∂

∂qi+

n∑j=1

bj∂

∂pj. As curvas

204


integrais de X satisfazem às equações de Hamilton se, e só se, ai =dqidt

=∂H

∂pi

e bi =dpidt

= −∂H∂qi

, ou seja X =n∑i=1

Ç∂H

∂pi

∂

∂qi− ∂H

∂qi

∂

∂pi

å. É fácil ver que

iXω =n∑i=1−bidqi + aidpi, de modo que iXω = dH, e X = XH é chamado de

campo de vetores hamiltoniano. O fluxo (ϕt) gerado por X é o fluxo hamiltoniano.Como iXω = dH temos que XHH = dH(XH) = ω(XH , XH) = 0, ou seja Hé constante ao longo do campo XH . Se c é valor regular de H, então H−1(c) ésubvariedade tal que TpH

−1(c) = N (dH(p)). Como dH(XH) = 0 temos queXH(p) é tangente a H−1(c) em p ∈ H−1(c).

Proposição 10.22. Sejam M variedade compacta de classe Ck , k ≥ 2, eα : M → T ∗M uma 1−forma de classe C1 em M . α é um mergulho e dα = 0 ⇔⇔ α(M) ⊂ T ∗M é subvariedade lagrangiana.

Dem. Sejam (q, p) = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) coordenadas locais em T ∗M e α =

=n∑i=1

aid qi a expressão local de α. Para q ∈ M temos α(q) = (q1, . . . , qn, a1(q), . . . ,

. . . , an(q)), de modo que α é uma imersão. Se π : T ∗M −→ M é a projeção dofibrado, temos π α = idM , de modo que α é injetora. Seja g = α−1 : α(M) −→M .Provemos que g é contínua. Para isso, seja F ⊂M fechado, donde α(F ) = g−1(F ) éfechado em α(M) (pois α(M) é compacto), ou seja, g é contínua e α : M −→ T ∗M éum mergulho. Como dimα(M) = n, α(M) é subvariedade lagrangiana ⇔ α∗ω = 0,onde ω = d λ é a 2− forma de Poincaré em T ∗M . Ora, α∗λ = α∗ (

∑pid qi) =

=∑aid qi = α, donde α∗ω = α∗d λ = d(α∗λ) = dα, donde a tese.

Proposição 10.23. (Darboux)

Seja ω uma forma simplética na variedade M2n de classe Ck . Para cadap ∈ M existe carta local em torno de p, ϕ : U → R2n, ϕ(q) = (xi(q), yi(q)) tal

que ω =n∑i=1

d xi ∧ d yi. Para a demonstração desse teorema fundamental veja a

Referência [5].

Obs. Se D é um sistema diferencial de dimensão (m− 1) numa variedade Mm declasse C∞, isto é, se D é um campo de hiperplanos emM , sabemos que D ∈ C∞ se,e só se, para cada p ∈ M , existe 1−forma α ∈ C∞ numa vizinhança coordenadaU de p, tal que Dq = v ∈ TqM ;α(q; v) = 0 qualquer que seja q ∈ U , ou seja,

205


α = 0 é equação local para D em U . Se α ∧ dα = 0, o teorema de Frobenius nosdiz que D é completamente integrável em U . Numa direção oposta a esta temos:

Definição 10.14. Seja Mm uma variedade de classe C∞ e dimensão m = 2n+ 1.Uma estrutura de contato em M é definida pela existência de uma 1− forma α

globalmente definida em M , tal que α ∧ (dα)n 6= 0 em todo ponto de M . η =

= α ∧ (dα)n é uma forma volume em M , de modo que M é orientável. O campode hiperplanos ξ = kerα é não-integrável em M . Se β é outra 1−forma tal queξ = ker β, então β = λα, onde λ ∈ C∞ e λ(p) 6= 0 em todo p ∈ M , de modo queβ ∧ (d β)n = λn+1α ∧ (dα)n 6= 0.

Obs. No caso particular importante de n = 1(m = 3), a condição α ∧ dα 6= 0

pode ser escrita dα|ξ 6= 0. Se X, Y ∈ ξ são L.I., então dα(X, Y ) = X(α(Y ))−−Y (α(X))−α([X, Y ]) = −α([X, Y ]) 6= 0, ou seja, α∧ dα 6= 0 equivale a X, Y ∈ ξ,L.I,⇒ [X, Y ] /∈ ξ.

Exemplo 10.4.4. Em R3, α = dz + x dy é uma forma contato pois α ∧ dα =

= dx ∧ dy ∧ dz.

Exemplo 10.4.5. Em S3, α0 = xdy − ydx+ zdt− tdz é uma forma contato poisdα0 = 2(dx ∧ dy + dz ∧ dt) e αo ∧ dα0 = 2xdy ∧ dz ∧ dt− 2ydx ∧ dz ∧ dt+ 2zdx∧∧dy ∧ dt− 2tdx ∧ dy ∧ dz 6= 0 em S3, pois d(α0 ∧ dα0) = 8dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt 6= 0.

Exemplo 10.4.6. Seja (N2n+2, ω) uma variedade simplética. Um campo de vetoresX : N

C∞−→ TN é dito de Liouville se d(iXω) = ω. Seja M2n+1 uma hipersuperfíciede N transversal a X, isto é, tal que Xp /∈ TpM , p ∈M . Neste caso, α = iXω éuma forma contato em M . De fato, α ∧ (dα)n = (iXω) ∧ (d(iXω))n = (iXω) ∧ ωn.Mas, iXω

2 = iX(ω∧ω) = 2(iXω)∧ω e , por indução, iXωn+1 = (n+1)(iXω)∧ωn,

donde (iXω) ∧ ωn =1

n+ 1iX(ωn+1) 6= 0, pois ω é não-degenerada (e fechada).

Se N = R4, M = S3, ω = dx ∧ dy + dz ∧ dt, então X =1

2(xe1 + ye2+

+ze3 + te4) é de Liouville, e se v = (v1, v2, v3, v4), temos (iXω)(v) =1

2(xv2−

−yv1 + zv4 − tv3) =1

2(xdy − ydx + zdt − tdz)(v), donde iXω =

1

2α0, como no

exemplo acima de S3.

206



(1) Consideremos em R3 os campos X = z∂

∂x+

∂

∂z; Y =

∂

∂y+

∂

∂z; Z =

z∂

∂x− ∂

∂y. Prove que X, Y , Z definem um sistema diferencial involutivo de

classe C∞ em R3, e ache sua dimensão.

(2) Seja D = (x, y, z) ∈ R3|x > 0, y > 0, z > 0. Considere em D os campos

X = x∂

∂x− 2y

∂

∂ye Y = xy

∂

∂y− xz

∂

∂z. Prove que eles geram um sistema

diferencial involutivo em D, e que x2yz = constante é superfície integral.

(3) Ache as curvas integrais do campo de vetores em R3 definido por X = y∂

∂x+

+y∂

∂z+ 2

∂

∂z.

(4) Para cada t ∈ R, seja ϕt : R2 → R2 tal que ϕt(x, y) = (x cos t+

+y sen t,−x sen t+ y cos t). Prove que (ϕt) é um grupo a 1 parâmetro de trans-formações de R2, ache o campo de vetores associado e descreva as órbitas.

(5) Seja o sistema∂z

∂x= h(x, y, z)

∂z

∂y= g(x, y, z)

onde g e h são C∞ num aberto do R3.

Sejam: X =∂

∂x+ h

∂

∂z, Y =

∂

∂y+ g

∂

∂z.

(a) Se z = f(x, y) é uma solução do sistema, prove que X e Y geram o espaçotangente em cada ponto da superfície z = f(x, y) em R3.

(b) Seja D o sistema diferencial gerado por X e Y . Prove que D involutivoequivale a fxy = fyx.

(6) Sejam (V, ω) um espaço vetorial simplético, dimV = 2n, e W ⊂ V umsubespaço. Prove:

(a) (W⊥)⊥ = W.

207


(b) W é simplético ⇔ ω|W é não -degenerada.

(c) W é isotrópico ⇔ ω|W = 0.

(d) W é lagrangiano ⇔ ω|W = 0 e dimW = n.

(7) Seja (V, ω) um espaço vetorial simplético, dimV = 2n. Existe base ξ =

= (u1, v1, . . . , un, vn) tal que:

(a) W simplético ⇒ W = S(u1, v1, . . . , uk, vk) para algum k.

(b) W isotrópico ⇒ W = S(u1, u2, . . . , uk) para algum k.

(c) W coisotrópico ⇒ W = S(u1, . . . , un, v1, . . . , vk) para algum k.

(d) W lagrangiano ⇒ W = S(u1, . . . , un) , onde S(u, v, ω, . . .) significa oespaço gerado por u, v, ω, . . ..

208

Capítulo 11

Grupos de Lie

Neste capítulo introduzimos os conceitos básicos da teoria dos grupos de LieG e de seus subgrupos fechados H. Estudamos as ações de G numa variedade M ,enunciamos o teorema central sobre o espaço de órbitas M/G , e o aplicamos ao casodos espaços homogêneos M = G/H, onde H é um subgrupo de Lie de G. Dentreoutros exemplos, consideramos as variedades de Grassmann. Após introduzir oconceito de álgebra de Lie G do grupo de Lie G, demonstramos, usando o teoremade Frobenius, que para toda subálgebra H de G existe um grupo de Lie H, que ésubgrupo conexo de G e variedade imersa, cuja álgebra de Lie é H. Terminamoscom o teorema de Weyl sobre a existência de um produto interno G−invariante noespaço vetorial real V quando se tem uma representação linear de G em V .

11.1 Generalidades sobre Grupos de Lie

Definição 11.1. Um grupo de Lie G é um grupo, que é também uma variedadediferencial de classe C∞ , no qual as operações de grupo , (x, y) 7−→ xy ex 7−→ x−1, são de classe C∞ .

Obs. É fácil verificar que se as operações de grupo são C∞ então a aplicação(x, y) 7−→ xy−1 é C∞ , e reciprocamente.

Exemplo 11.1.1. GL(n,R) = X ∈M(n,R) ; detX 6= 0 é subvariedade C∞ deM(n,R) ' Rn2 , e um grupo com a operação de multiplicação matricial. Como

209

CAPÍTULO 11. GRUPOS DE LIE

(X, Y ) −→ XY −1 é uma aplicação C∞ de GL(n,R)×GL(n,R) −→ GL(n,R),resulta que GL(n,R) é um grupo de Lie de dimensão n2.

Exemplo 11.1.2. Seja C∗ = R2 − 0 o conjunto dos complexos não-nulos. Coma multiplicação de complexos C∗ é um grupo. Se z = (x, y) e z′ = (x′, y′), então

zz′ = (xx′ − yy′, xy′ + yx′) e z−1 =

Çx

x2 + y2,−y

x2 + y2

å.

Resulta que (z, z′) 7−→ zz′ e z 7−→ z−1 são de classe C∞ , e C∗ é um grupode Lie (de dimensão 2).

Exemplo 11.1.3. Sejam G e H grupos de Lie. O produto cartesiano G ×H tem,como vimos, estrutura de variedade diferencial, a saber, se x : U −→ Rm écarta em G e y : V −→ Rn é carta em H, então x × y : U × V −→ Rm+n,(x × y)(g, h) = (x(g), y(h)) é carta em G × H. O produto G × H tem tambémestrutura de grupo com a multiplicação (g1, h1)(g2 · h2) = (g1g2, h1h2). É imediatoverificar que , então, G×H , é um grupo de Lie .

Obs. Se a ∈ G , as translações La : x ∈ G 7−→ ax ∈ G e Ra : x ∈ g 7−→ xa ∈ Gsão difeomorfismos, bem como x 7−→ x−1 , e os automorfismos internos x 7−→ axa−1 .Se V percorre um sistema fundamental de vizinhanças do elemento neutro e ∈ G,então os conjuntos aV (resp. V a) formam um sistema fundamental de vizinhançasde a.

Como (x, y) 7−→ xy−1 é contínua em (e, e), dada uma vizinhança U de e,existe vizinhança V de e tal que V ·V −1 ⊂ U , onde V −1 = g−1 ∈ G ; g ∈ V . E,como x 7−→ axa−1 é contínua em e, existe vizinhança W de e tal que aWa−1 ⊂ U .

Uma vizinhança V de e é simétrica se V = V −1. Se U é vizinhança de e,U−1 também o é, e V = U ∩U−1 é vizinhança simétrica de e contida em U . Logo,as vizinhanças simétricas de e formam um sistema fundamental de vizinhanças dee em G.

Proposição 11.1. Sejam G um grupo de Lie, e H um subgrupo que é também umasubvariedade (mergulhada). Então H é um grupo de Lie .

Dem. Vamos provar que g : H × H −→ H , g(x, y) = xy−1 é de classe C∞ .

210


Sejam:f : G×G→ G, f(x, y) = xy−1;

j : H ×H → G×G, j(x, y) = (x, y);

i : H → G, i(x) = x.

f ∈ C∞ por hipótese, j ∈ C∞, pois H × H é subvariedade de G × G, e i émergulho C∞ , pois H é subvariedade de G, e temos o diagrama comutativo

H G

H ×H

i

g f j

isto é, i g = f j.

Pela Proposição 7.4 do Capítulo 7 resulta que g ∈ C∞, donde H é um grupode Lie .

Exemplo 11.1.4. S1 = z ∈ C∗ ; |z| = 1 é um grupo com a operação demultiplicação de complexos, um subgrupo de C∗. S1 sendo subvariedade de C∗ =

= R2 − 0, resulta que S1 é um grupo de Lie e que T n = S1 × · · · × S1− o toron−dimensional − é também um grupo de Lie . Como S1 é um grupo comutativo,T n também é comutativo.

Definição 11.2. Se G é um grupo de Lie e H é um subgrupo de G que é tambémuma subvariedade de G, dizemos que H é um subgrupo de Lie de G. (A Proposição11.1 garante que H é um grupo de Lie ).

Proposição 11.2. Se H é um subgrupo de Lie de G, então H é fechado em G.

Dem. Sejam x ∈ H e V vizinhança de e em G tal que V ∩ H seja compacta.Seja W uma vizinhança simétrica de e em G tal que W 2 ⊂ V . Então xW évizinhança de x e xW ∩ H 6= ø. Se y0 ∈ xW ∩ H, para cada y ∈ xW ∩ Htemos y−1

0 · y = ω−10 x−1xω = ω−1

0 ω ∈ W 2 ∩ H ⊂ V ∩ H, donde y ∈ y0(V ∩ H).Como y0(V ∩ H) é compacto, é fechado em G. Assim, para cada y ∈ xW ∩ Hachamos vizinhança fechada y0(V ∩H) de y0 tal que y ∈ y0(V ∩H) ⊂ H, dondexW ∩H ⊂ xW ∩H ⊂ y0(V ∩H) = y0(V ∩H) ⊂ H, ou seja, x ∈ H e H é fechadoem G.

211


Exemplo 11.1.5. (a) O(n,R) = X ∈ GL(n,R);XX t = In é subgrupo de Lie;

(b) SL(n,R) = X ∈ GL(n,R) ; detX = 1 é subgrupo de Lie;

(c) SO(n,R) = 0(n,R) ∩ SL(n,R) é subgrupo de Lie de GL(n,R);

(d) S1 ⊂ C∗ é subgrupo de Lie.

Exemplo 11.1.6. Seja c ∈ R um irracional. A aplicação

h : t ∈ R g7−→ (t, ct) ∈ R2 f7−→Äe2πit, e2πict

ä∈ T 2 = S1 × S1

é uma imersão injetora, como se verifica sem dificuldade . Além disso, h ∈ C∞ e hé um homomorfismo de grupos, de modo que sua imagem h(R) em T 2 é um subgrupoe uma subvariedade imersa, mas h(R) não é fechado em T 2; pode provar-se que h(R)

é denso em T 2.

Obs. Sejam G e H dois grupos de Lie. Se H é subgrupo de G e subvariedade imersafechada de G, pode provar-se que H é subvariedade (mergulhada) de G e, portanto,um subgrupo de Lie de G. Muitos autores, na definição de subgrupo de Lie H de G,exigem que H seja apenas subvariedade imersa de G (e não mergulhada). É o casode h(R) no Exemplo 6 acima.

Definição 11.3. Sejam G um grupo de Lie e M uma variedade de classe C∞ .Uma ação (à esquerda) de G em M é uma aplicação θ : G×M −→ M de classeC∞ , θ(g, p) = g · p, tal que:

(i) e · p = p , onde e é o elemento neutro de G;

(ii) g1 · (g2 · p) = (g1 · g2) · p, quaisquer que sejam p ∈M , g1 e g2 em G.

Obs. Analogamente se define uma ação à direita de G em M .

Para g ∈ G, se θg : M →M é definida por θg(p) = θ(g, p) = g · p, então θgé um C∞−difeomorfismo cujo inverso é θ−1

g = θg−1. As condições (i) e (ii) acimase escrevem também como:

(i) θe = idM ;

212


(ii) θg1 · θg2 = θg1g2 .

O grupo de isotropia de p ∈ M é Gp = g ∈ G; g · p = p. A órbita dep ∈ M é G · p = g · p ; g ∈ G. A ação θ é transitiva se G · p = M para todop ∈M , ou seja, dados p e q em M , existe g ∈ G tal que q = g · p. A ação é livrese Gp = e para todo p ∈M .

Exemplo 11.1.7. Seja H um subgrupo de Lie do grupo de Lie G.A aplicação H ×G→ G

(h, g) 7−→ hg

é uma ação de H em G.

O grupo de isotropia de g ∈ G é Gg = h ∈ H ; hg = g = e , de modoque a a ação é livre. A órbita de g ∈ G é hg : h ∈ H = H.g , a classe lateral àdireita. Se H = G a ação é transitiva.

Exemplo 11.1.8. GL(n,R)× Rn → Rn

(A, x) 7−→ Ax

é a ação natural de GL(n,R) em Rn.

Existem duas órbitas : 0 e Rn − 0.

Exemplo 11.1.9. SO(n,R)× Sn−1 → Sn−1

(A, x) 7−→ Ax

é ação transitiva (Prove!) de SO(n,R)

em Sn−1. As órbitas são 0 e as esferas de centro na origem.

Exemplo 11.1.10. Em G = GL(n,R) × Rn = (A, x); detA 6= 0, x ∈ Rndefinamos o produto (A, x)(B, y) = (AB,Ay + x). É fácil verificar que, munidodeste produto, G é um grupo no qual o elemento neutro é (I, 0), onde I = idRn e0 ∈ Rn, e que (A, x)−1 = (A−1,−A−1x). G é um grupo de Lie chamado de grupoafim do Rn.

Exemplo 11.1.11. No espaço R4, se p = (t, x, y, z) e q = (t′, x′, y′, z′) definimosp+ q = (t+ t′, x+ x′, y+ y′, z+ z′) e p.q = (tt′− xx′− yy′− zz′, tx′+ xt′+ yz′− zy′,ty′− xz′+ yt′+ zx′, tz′+ xy′− yx′+ zt′). Verifica-se que H = (R4,+, ·) é um anelde divisão; seus elementos são os quatérnios. Os da forma (t, 0, 0, 0) formam umsubanel isomorfo ao corpo R dos reais.

Temos: (k, 0, 0, 0)(t, x, y, z) = (t, x, y, z) · (k, 0, 0, 0) = (kt, kx, ky, kz) .

Vamos identificar (k, 0, 0, 0) com k ∈ R, e chamar os elementos deste tipode escalares. Os quatérnios do tipo (0, x, y, z) são chamados de imaginários puros.

213


Observemos que (0, x, y, z) · (0, x, y, z) = (−x2 − y2 − z2, 0, 0, 0). O conjugadode p = (t, x, y, z) é p = (t,−x,−y,−z); é fácil ver que pq = q · p, quep · p = (t2 + x2 + y2 + z2, 0, 0, 0) = t2 + x2 + y2 + z2 = |p|2 , e que |p · q| = |p||q|.Pondo p−1 =

p

|p|2, temos p · p−1 = 1 para todo p 6= 0. Os elementos 1 = (1, 0, 0, 0);

i = (0, 1, 0, 0);j = (0, 0, 1, 0) e k = (0, 0, 0, 1) formam uma base do espaço vetorialH, e são tais que i2 = j2 = k2 = −1 , ijk = −1 , ij = −ji = k , j ·k = −k ·j = i ,k · i = −i · k = j , 1 · i = i , 1 · j = j , 1 · k = k .

Os elementos da forma (0, x, y, z) = xi + yj + zk formam um subespaçoisomorfo a R3. A esfera S3 é o conjunto dos quatérnios unitários:S3 = (t, x, y, z); t2 + x2 + y2 + z2 = 1 .

A multiplicação (p, q) 7−→ pq e a inversão p 7−→ p−1 tornam S3 um grupode Lie .

Se p = (t, x, y, z) = t + xi + yj + zk, então p · i = −x + ti + zj + yk ei · p = −x + ti − zj + yk, de modo que p · i = i · p se, e só se, z = y = 0.Analogamente, p · j = j · p se, e só se, x = z = 0, e p · k = k · p se, e sóse, x = y = 0. Assim, se p · q = q · p para todo q = xi + yj + zk, entãop = (t, 0, 0, 0) = t e, se p ∈ S3, então t = ±1.

Para p ∈ S3, seja ϕp : R3 → R3

q = (0, x, y, z) 7−→ ϕp(q) = pqp−1 = pqp

É claro que ϕp é linear e que |ϕp(q)| = |q|, ou seja, ϕp é ortogonal. Paracada p = (t, x, y, z) ∈ S3, as colunas da matriz de ϕp na base canônica são pip−1 ,pjp−1 , pkp−1 , onde, por exemplo, pip−1 = (t2 + x2 − y2 − z2)i + (2tz + 2xy)j+

+(2xz− 2yt)k, de modo que ϕ : S3 → O(3) é de classe C∞ . Além disso, ϕ(S3) éconexo e contém a identidade, de forma que ϕ : S3 → SO(3). É imediato verificarque ϕ é um homomorfismo de grupos cujo núcleo é p ∈ S3|pq = qp = 1,−1.

Vamos mostrar que ϕ é sobrejetora: dado T ∈ SO(3) sabemos que T temum auto-valor λ de módulo 1, isto é, λ = ±1. Seja v1, |v1| = 1, tal que Tv1 =

= ±v1. Tomemos v2, |v2| = 1, ortogonal a v1, e v3 = v1 × v2 (produto vetorial).F = (v1, v2, v3) é base ortonormal positiva de R3. Como Rv1 é T−invariante temosque v⊥1 = espaço gerado por v2 e v3, também é T−invariante, de modo que existeθ ∈ R tal que Tv2 = cos θv2 + sen θv3 e Tv3 = − sen θv2 + cos θv3.

214


Como T ∈ SO(3) temos det[T ]FF = 1, donde λ = +1 e [T ]FF = A =

=

1 0 0

0 cos θ − sen θ

0 sen θ cosθ

.Seja p = cos θ

2+ sen θ

2v1. Então: p−1 = p = cos θ

2− sen θ

2v1, ϕp(v1) = v1,

ϕp(v2) = cos θv2 + sen θv3, ϕp(v3) = − sen θv2 + cos θv3 como mostra um cálculosimples, ou seja, ϕp = T , e ϕ é sobrejetora.

Temos o diagrama comutativo:

S3 SO(3)

P 3 = S3¿−1, 1

ϕ

πf

onde π é a aplicação canônica. Como f π = ϕ ∈ C∞, resulta que f ∈ C∞ .Como SO(3) é de Hausdoff, P 3 é compacto, f π = ϕ é contínua, resulta quef−1 é contínua, ou seja, f : P 3 → SO(3) é um homeomorfismo C∞ . Além disso,ϕ é localmente injetora e um homomorfismo , de modo que seu posto é 3, dondesubmersão (sobrejetora). Pela Proposição 7.5 do Capítulo 7, resulta que f−1 ∈ C∞,já que f−1 ϕ = π ∈ C∞. Assim, f : P 3 → SO(3) é um difeomorfismo entre oespaço projetivo P 3 e o grupo SO(3) das rotações de R3.

Obs. Os subgrupos finitos próprios de SO(3) são, a menos de conjugação, os se-guintes:

T = grupo do tetraedro, de ordem 12;

O = grupo do octaedro, de ordem 24;

Q = grupo do icosaedro, de ordem 60;

Cn = grupo cíclico de ordem n;

Dn = grupo diedral de ordem 2n.

Resulta que os subgrupos finitos próprios de S3, a menos de conjugação, são:T = ϕ−1(T ), de ordem 24;

215


O = ϕ−1(O), de ordem 48;I = ϕ−1(Q) , de ordem 120;

Cn =

ϕ−1(Cn) se n é ímparϕ−1(Cn

2) se n é par

, de ordem n;

Dn = ϕ−1(Dn) , de ordem 4n.

Definição 11.4. Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplicação f : G → H é umhomomorfismo de grupos de Lie (Lie-homomorfismo, por brevidade) se f ∈ C∞ ef é um homomorfismo de grupos.

Definição 11.5. Sejam p ∈ Mθg−→ g · p ∈ M e q ∈ N

ϕg7−→ g · q ∈ N açõesC∞ do grupo de Lie G em M e N , respectivamente. Uma aplicação f : M

C∞−→ N

é equivariante em relação a estas ações se é comutativo o diagrama

Mf−→ N

θg ↓ ↓ ϕgM −→

fN , ou seja,

se f(g · p) = g · f(p) quaisquer que sejam p ∈M , g ∈ G .

Proposição 11.3. Com as notações acima, suponhamos θ transitiva. Então, oposto de f é constante. Em particular, os conjuntos de nível de f são subvariedadesfechadas de M .

Dem. Seja p0 ∈ M fixo e p ∈ M arbitrário. Seja g ∈ G tal que p = g · p0.Como f θg = ϕg f , temos f ′(θg(p0)) · θ′g(p0) = ϕ′g(f(p0)) · f ′(p0), isto é,f ′(p) · θ′g(p0) = ϕ′g(f(p0)) · f ′(p0). Como θ′g(p0) e ϕ′g(f(p0)) são isomorfismos,resulta que posto f ′(p) = posto f ′(p0), ou seja, posto (f) é constante.

Corolário 11.1. Seja f : G −→ H um Lie-homomorfismo. O núcleo def , ker f = g ∈ G|f(g) = e, é um subgrupo de Lie de G, de dimensão igual adimG−posto(f).

Dem. Consideremos em G a ação Lg(x) = g · x, que é transitiva, e em H a açãoθg(h) = f(g) · h. Então: f Lg(x) = f(gx) = f(g) · f(x) = θg · f(x), dondef é equivariante. Resulta que ker f é subvariedade fechada de G e, portanto, umsubgrupo de Lie de G. Além disso, o espaço tangente a ker f = f−1(e) é igual aonúcleo da derivada f ′(e) : TeG −→ TeH, donde dim ker f = dimG− posto (f).

216


Definição 11.6. Seja G × Mθ−→ M uma ação C∞ do grupo de Lie G na

variedade M . Dizemos que a ação é própria se, para todo compacto K ⊂ M , oconjunto GK = g ∈ G|(g ·K) ∩K 6= ø é compacto.

Proposição 11.4. A ação G × Mθ−→ M é própria se, e só se, a aplicação

ϕ : G×M −→M ×M , ϕ(g, p) = (g · p, p) é uma aplicação própria, isto é, ϕ−1(L)

é compacto qualquer que seja L ⊂M ×M compacto.

Dem. Sejam L ⊂ M ×M compacto, πi : M ×M −→ M(i = 1, 2) as projeções, eK = π1(L) ∪ π2(L). Então, ϕ−1(L) ⊂ ϕ−1(K × K) ⊂ (g, p)|g · p ∈ K, p ∈ K ⊂⊂ GK × K. Como GK × K é compacto e ϕ−1(L) é fechado, resulta que ϕ−1(L) écompacto.

Reciprocamente, seja K ⊂ M compacto, donde ϕ−1(K ×K) é compactoe πG(ϕ−1(K ×K)) é compacto, onde πG : G × M → G é a projeção. Mas,πG(ϕ−1 (K ×K) ) = g ∈ G| existe p ∈ K tal que ϕ(g, p) ∈ K ×K =

= g ∈ G| existe p ∈ K tal que g · p ∈ K = GK, donde GK é compacto.

Corolário 11.2. Se G é compacto então G×M θ7−→M é uma ação própria.

Dem. Se K ⊂ M é compacto, então GK = πG(ϕ−1(K × K)) é fechado em G,donde compacto.

Proposição 11.5. Seja G×M −→M uma ação do grupo de Lie G na variedadeM . Se a ação é C∞ , livre e própria, existe uma e uma única estrutura diferencialC∞ no espaço de órbitas M/G tal que a aplicação quociente π : M → M/G sejauma submersão C∞ .

Dem. Veja a Referência [9].

Proposição 11.6. Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie de G. Aação à direita de H em G, G×H θ−→ G

(g, h) 7−→ gh

é C∞ , livre, e própria. Portanto, o

espaço de órbitas G/H é uma variedade C∞ , e π : G → G/H é uma submersãoC∞ .

Dem. É claro que a ação θ é de classe C∞ e livre. Para provar que a ação éprópria, seja K ⊂ G× G compacto e ϕ : G×H −→ G× G, ϕ(g, h) = (gh, g).

217


Para mostrar que ϕ−1(K) é compacto, seja (gi, hi) uma sequência em ϕ−1(K).Passando a uma subsequência, podemos supor que (gihi) e (gi) convergem em G,donde hi = g−1

i (gihi) converge para um ponto de H (pois H é fechado) e, portanto,(gi, hi) converge em G×H. Resulta que ϕ−1(K) é compacto e ϕ é própria.

Exemplo 11.1.12. Seja, por exemplo, I ⊂ S3 o subgrupo de ordem 120. Então,S3

/I é subvariedade de dimensão 3 e classe C∞ , e π : S3 → S3/I é submersão

C∞ .

Definição 11.7. Sejam G um grupo de Lie e M uma variedade C∞ . Se G operatransitivamente em M , dizemos que M é um espaço homogêneo de G.

Exemplo 11.1.13. A ação natural de O(n)(respectivamente SO(n)) em Sn−1(n ≥ 2)

é transitiva, de modo que Sn−1 é um espaço homogêneo de O(n)(respectivamenteSO(n)).

Exemplo 11.1.14. Seja G o grupo afim do Rn, isto é, G = GL(n,R) × Rn como produto (A, x) · (B, y) = (AB,Ay + x) .

θ : G × Rn → Rn, θ[(A, b), x] = Ax + b é uma ação transitiva de G em Rn.Assim, Rn é um espaço homogêneo do grupo afim. A Geometria Afim do Rn é oestudo das propriedades das figuras que são invariantes sob a ação do grupo afim.

Exemplo 11.1.15. Se, no Exemplo 11.1.14, tomarmos Gm = O(n) × Rn como mesmo produto, obteremos uma ação transitiva ((A, b), x) 7−→ Ax + b, comA ∈ O(n). Gm é o grupo dos movimentos rígidos do Rn. A Geometria Métrica doRn é o estudo das propriedades das figuras que são invariantes sob a ação do grupodos movimentos rígidos.

Obs. Pode provar-se que os elementos g ∈ SO(4) são da forma g(x) = `xr−1,onde ` e r são quatérnios unitários. Se, por exemplo, G ⊂ SO(4) é o subgrupoformado pelas rotações g(x) = `xr−1, com ` ∈ S3 e r ∈ I (subgrupo de ordem120 de S3), como a ação G× S3 → S3

(g, x) 7→ g(x)

é própria e livre, resulta (da Proposição

11.5) que S3/G tem uma estrutura diferencial tal que a projeção π : S3 → S3

/Gseja uma submersão C∞ .

218


Proposição 11.7. Seja θ : G ×M C∞−→ M uma ação transitiva do grupo de LieG na variedade M . Seja H = Gp o grupo de isotropia de p ∈ M . Então,f : G/H → M , f(g(H)) = g · p, é um difeomorfismo equivariante. Além disso,f(g1g2H) = g1f(g2H) quaisquer que sejam g1, g2 ∈ G.

Dem. A aplicação f : G/H → M está bem definida e é injetora, pois f(g1H) =

= f(g2H) ⇔ g1p = g2p ⇔ g−12 g1p = p ⇔ g−1

2 g1 = h ∈ H ⇔ g1 = g2h ⇔ g1H =

= g2H. Como a ação é transitiva, f é sobrejetora, donde bijetora. Definamos

M

f

G

G/H

π

ψ

ψ : g ∈ G 7−→ g · p ∈ M ,donde f π = ψ, onde π é a submersão sobrejetoracanônica. Como ψ ∈ C∞ e π ∈ C∞ , resulta f ∈ C∞.

Como H = ψ−1(p), temos que H é fechado em G. Como ψ(g1g) = g1gp =

= g1(ψ(g)), temos o diagrama comutativo abaixo, , ou seja, ψ é equivariante, donde

G M

MG

Lg1 θg1

ψ

ψ

de posto constante, resultando H uma subvariedade de G e, portanto, um subgrupode Lie de G. f : G/H → M também é equivariante, pois f(g1, gH) = g1gp =

= g1f(gH), donde de posto constante. Como f é bijetora e tem posto constante,resulta,pela Proposição 7.6 do Capítulo 7, que f é um difeomorfismo.

Obs. A proposição acima mostra que todo espaço homogêneo M é da forma G/H,onde H é um subgrupo fechado do grupo de Lie G.

Corolário 11.3. Sejam X um conjunto e θ : G×X → X uma ação transitiva dogrupo de Lie G em X. Se o grupo de isotropia de um ponto x ∈ X, Gx = H,

219


é um subgrupo de Lie de G, então X tem uma única estrutura diferencial tal que aação θ seja C∞ .

Dem. Com as notações da Proposição 11.7, sabemos que G/H é uma variedadeC∞ , e que f : G/H → X, f(gH) = g · x, é uma bijeção equivariante.Transportando para X a estrutura que torna f um difeomorfismo C∞ , temosque θ(g, x) = g · x = f(g · f−1(p)), donde θ ∈ C∞. A unicidade resulta do fato deX ser difeomorfo a G/H.

Exemplo 11.1.16. A ação natural de O(n) em Sn−1, θ : (A, x) 7−→ A.x ,A ∈ O(n), x ∈ Sn−1 , é transitiva, bem como a de SO(n) em Sn−1, n ≥ 2. Tomandoo ponto en = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sn−1, o grupo de isotropia H = A ∈ O(n);Aen = ené o conjunto das matrizes

B0

0...0

0 · · · 0 1

,

com B ∈ O(n − 1), ou seja, H se identifica com O(n − 1). Resulta que Sn−1 édifeomorfa a O(n)/O(n− 1)

. Analogamente temos um difeomorfismo entre Sn−1 e

SO(n)/SO(n− 1).

Exemplo 11.1.17. O grupo Gm dos movimentos rígidos do Rn opera em Rn por(A, b)x = Ax + b, onde A ∈ O(n), b ∈ Rn e x ∈ Rn. É claramente uma açãotransitiva. O subgrupo de isotropia da origem 0 ∈ Rn é formado pelos elementos(A, 0) e se identifica com O(n), de modo que Rn é difeomorfo a Gm/O(n).

Exemplo 11.1.18. Variedades de Grassmann

Seja Gk(n) o conjunto dos subespaços de dimensão k do Rn. O(n) opera emGk(n) por O(n)×Gk(n) −→ Gk(n)

(T, V ) 7−→ T (V )

.

Esta ação é transitiva pois se V,W ∈ Gk(n), tomando bases ortonormaisE = (e1, . . . , ek, . . . , en), F = (f1, . . . , fk, . . . , fn) de Rn tais que (e1, . . . , ek)

seja base de V e (f1, . . . , fk) de W , existe T ∈ O(n) que leva E em F ,

220


donde V em W . O grupo de isotropia H de V é formado pelas matrizes do tipoÑA 0

0 D

é, A ∈ O(k), D ∈ O(n − k). H é subgrupo de Lie de O(n), difeo-

morfo a O(k)×O(n− k), de modo que Gk(n) é uma variedade C∞ difeomorfaa O(n)/O(k)×O(n− k)

e, portanto, compacta.

11.2 Campos Invariantes

Definição 11.8. Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X : G → TG éinvariante à esquerda se, para cada g ∈ G, o diagrama

G TG

TGG

Lg dLg

X

X

comuta, isto é, se dLg X = X Lg, ou seja, X é Lg−relacionado com si mesmo.

Analogamente se define um campo de vetores invariante à direita.

Proposição 11.8. Todo campo vetorial invariante à esquerda é de classe C∞ .

Dem. Basta provar que f ∈ C∞(G,R) implica Xf ∈ C∞(G,R). Para isto, sejaγ : R→ G um caminho C∞ tal que γ(0) = e , γ′(0) = Xe, e definamos α : R→ G

por α(t) = g·γ(t). α é C∞ pois é a composta t 7→ (g, t) 7→ (g, γ(t)) 7→ g·γ(t) = α(t),todas de classe C∞ . Além disso, α(0) = g, α′(0) = dLg · Xe = Xg, já que X éinvariante à esquerda.

Seja F (g, t) =d

dtf(α(t)); F ∈ C∞ e (Xf)(g) = f ′(g)·α′(0) =

d

dt

∣∣∣∣∣t=0

f(α(t)) =

= F (g, 0). Como g 7→ (g, 0) 7→ F (g, 0) é C∞ , resulta que Xf ∈ C∞, ou seja,X ∈ C∞.

Representamos por L(G) o conjunto dos campos de vetores invariantes à es-querda do grupo de Lie G. L(G) é um subespaço vetorial do espaço X(G) de todos

221


os campos de vetores X : G→ TG de classe C∞ .

Proposição 11.9. Se X, Y ∈ L(G) então [X, Y ] ∈ L(G).

Dem. Como dLg X = X Lg e dLg Y = Y Lg, a Proposição 10.6 do Capítulo10 nos dá que dLg[X, Y ] = [X, Y ] Lg, ou seja, [X, Y ] ∈ L(G) .

Definição 11.9. Sejam V um espaço vetorial real e (x, y) ∈ V × V 7→ [x, y] ∈ Vuma aplicação bilinear tal que

(a) [x, y] = −[y, x];

(b) [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 (identidade de Jacobi).(V, [, ]) é dita uma álgebra de Lie.

Resulta que L(G) é uma álgebra de Lie quando munida do colchete de Lie: L(G) éa algebra de Lie do grupo de Lie G.

Proposição 11.10. A aplicação F : L(G) 7→ TeG definida por F (X) = Xe é umisomorfismo , resultando dimL(G) = dimG.

Dem. F é claramente linear; ela é injetora pois se F (X) = 0 então Xe = 0 e ,então, Xg = dLg · Xe = 0 para todo g ∈ G, donde X = 0. F é sobrejetora poisse x ∈ TeG, seja Xg = dLg(x), donde Xe = x e F (X) = x. X ∈ L(G) já queX Lσ(g) = X(σg) = dLσg(x) = dLσ · dLg(x) = dLσ ·Xg, donde X Lσ = dLσ ·Xpara todo σ ∈ G.

Obs. Por meio do isomorfismo F : L(G) → TeG podemos induzir em TeG umaestrutura de álgebra de Lie, e considerar a álgebra de Lie de G como sendo TeG.Sob este ponto de vista, na Seção 7.7 do Capítulo 7, vimos por exemplo, que paraG = O(n,R) temos L(G) = An(R) = espaço das matrizes antissimétricas n× n,e que para G = SL(n,R) temos L(G) = espaço das matrizes n× n de traçonulo.

Proposição 11.11. Sejam G e G1 grupos de Lie, e F : G→ G1 um homomorfismode classe C∞ . Então:

(a) LF (σ) F = F Lσ para todo σ ∈ G;

222


(b) dF = dF (e) : TeG = L(G)→ TeG1 = L(G1) é tal que dF (X) F = dF X,para todo X ∈ L(G), ou seja, X e dF (X) são F−relacionados;

(c) dF : L(G)→ L(G1) é um homomorfismo de álgebras.

Dem. (a) Como F é homomorfismo, temos F (Lσ(g)) = F (σg) = F (σ)F (g) =

= LF (σ)F (g) para todo g ∈ G, donde F Lσ = LF (σ) F .

(b) Seja X1 = dF (X), onde X ∈ L(G). Então, X1 ∈ L(G1) e X1 LF (σ) =

= dLF (σ) X1. Temos: X1(F (σ)) = X1FLσ(e) = X1LF (σ)F (e) = X1LF (σ)(e) =

= dLF (σ)X1(e) = dLF (σ)dF (X)(e) = d(LF (σ) · F )X(e) = d(F Lσ)X(e) =

= dF (X)σ = X1(σ), donde X1 F = X1, ou seja, dF (X) F = dF (X).

(c) Pela Proposição 10.6 do Capítulo 10 sabemos que [X, Y ] é F−relacionado com[X1, Y1]. Em particular, [X1, Y1](e) = dF [X, Y ](e), donde [dF (X), dF (Y )] =

= dF [X, Y ] e F é homomorfismo de álgebras.

Definição 11.10. Sejam G uma álgebra de Lie e H um subespaço vetorial de G.Dizemos que H é uma sub-álgebra de G se X, Y ∈ H implica [X, Y ] ∈ H.

Proposição 11.12. Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie L(G) = G eH ⊂ G uma subálgebra. Existe um grupo de Lie H, que é um subgrupo de G, que éconexo, e que é subvariedade imersa de G, tal que L(H) = H.

Dem. Se g ∈ G, definamos Dg = Xg;X ∈ H · D : g 7→ Dg é um sistemadiferencial em G. Se Y1, . . . , Yr é base de H, então Y1, . . . , Yr é base local deD, donde D é C∞ . Como H subálgebra de G, temos que [Yi, Yj] =

r∑k=1

ckijYk, donderesulta que D é involutivo. Seja H a folha de D pelo elemento neutro e ∈ G. Sea ∈ G, o difeomorfismo La é tal que dLa · Dg = Dag, e La : G → G transformacada folha de D em folha de D. Se h1, h2 ∈ H, então Lh1h−1

2(h2) = h1, ou

seja, Lh1h−12

(H) é a folha de D que passa por h1 ∈ H, donde Lh1h−12

(H) = H,e h1h

−12 ∈ H, o que mostra que H é subgrupo de G. Além disso, H é conexo e

subvariedade imersa de G, por ser uma folha de D.

A aplicação f : H × H → G, f(h1, h2) = h1h−12 é de classe C∞ como

compostaH ×H j−→ G×G µ−→ G

(h1, h2) 7−→ (h1, h−12 ) 7−→ h1h

−12

223


de aplicações C∞ . Como a imersão injetora i : H −→ G é C∞ , resulta quef : H ×H → H é C∞ (Proposição 7.4 do Capítulo 7) e H é um grupo de Lie . Éclaro que L(H) = H. Observemos que, em geral, H não é um subgrupo de Lie deG, pois não é subvariedade (mergulhada) de G.

11.3 Formas Invariantes

Definição 11.11. Sejam G um grupo de Lie e ω uma p−forma em G. Dizemosque ω é invariante à esquerda se L∗gω = ω para todo g ∈ G, ou seja, se para todosx ∈ G e v1, . . . , vp ∈ TxG, tivermos ωx(v1, . . . , vp) = ωgx(L

′g(x)v1, . . . , L

′g(x)vp) .

Proposição 11.13. Sejam G um grupo de Lie e ω uma p−forma invariante àesquerda em G:

(a) quaisquer que sejam os campos vetoriais invariantes à esquerda X1, . . . , Xp emG, a função ω(X1, . . . , Xp) : G→ R é constante;

(b) ω é de classe C∞ .

Dem. (a) Temos:

(L∗gω)(X1(x), . . . , Xp(x)) = ωgxÄL′g(x)X1(x), . . . , L′g(x)Xp(x)

ä=

= ωgx(X1(gx), . . . , Xp(gx)).

Como L∗gω = ω, pondo x = e, vem:

ωe(X1(e), . . . , Xp(e)) = ωg(X1(g), . . . , Xp(g)),

ou seja, ω(X1, . . . , Xp) é constante.

(b) Para provar que ω ∈ C∞ devemos mostrar que a função ω(Y1, . . . , Yp) ∈ C∞,quaisquer que sejam Y1, . . . , Yp ∈ X(G). Para isso, sejam X1, . . . , Xp, . . . , Xn

campos vetoriais invariantes à esquerda (de classe C∞ ), tais que X1(g), . . . , Xn(g)

formem uma base de TgG para cada g ∈ G.

224


Então, Yj =n∑i=1

aijXi, onde aij ∈ C∞, e basta provar que ω(Xi1 , . . . , Xip) ∈ C∞

quaisquer que sejam Xi1 , . . . , Xip, o que resulta de (a), já que ω(Xi1 , . . . , Xip) éconstante.

Obs. Se R∗gω = ω para todo g ∈ G dizemos que a p−forma ω é invariante àdireita. Como acima, prova-se que toda forma invariante à direita no grupo de LieG, é de classe C∞ . Quando L∗gω = ω = R∗gω para todo g ∈ G, dizemosque ω é invariante; neste caso, A∗gω = ω, onde Ag é o automorfismo internoAg(x) = gxg−1 de G, isto é, Ag = Lg ·Rg−1.

Sejam G um grupo de Lie e ω uma forma volume, invariante à esquerda, quedefine a orientação deG. Se g ∈ G, Lg : G→ G , Lg(x) = gx é um difeomorfismoC∞ tal que L∗gω = ω, ou seja, Lg preserva a orientação. Se f : G→ R é contínuae de suporte compacto, então∫

G

fω =∫G

L∗gfω =∫G

(f Lg)ω,

às vezes escrito como∫Gf(x)dx =

∫Gf(gx)dx, e dizemos que a integral é invariante

à esquerda. No caso de G ser compacto, podemos escolher ω de modo que∫Gω = 1.

A forma R∗σω, onde Rσx = xσ, é invariante à esquerda , pois L∗g(R∗σω) =

= (RσLg)∗ω = (LgRσ)∗ω = R∗σL∗gω = R∗σω. Resulta que existe função α : G→ R

tal que R∗σω = αω. Seja λ(σ) = |α(σ)|. Então:∫G

fω = ±∫G

R∗σ(fω) = ±∫G

(f Rσ)R∗σω = ±∫G

(f Rσ)α(σ)ω =∫G

(f Rσ)λ(σ)ω,

ou seja, a integral é invariante à direita se, e só se, λ = 1 e, neste caso, dizemosque G é unimodular, resultando

∫Gfω =

∫G

(f Rσ)ω, ou ainda,∫Gf(x)dx =

=∫Gf(xσ)dx .

Se G é compacto, então G é unimodular, pois 1 =∫Gω =

∫Gλ(σ)ω = λ(σ) , e

a integral num grupo compacto é invariante.

Definição 11.12. Sejam G um grupo de Lie e V um espaço vetorial. Uma representaçãolinear de G em V é um homomorfismo ρ : G→ GL(V ).

225


Proposição 11.14. (Weyl) Seja (ρ, V ) uma representação linear do grupo de LieG, compacto. Existe um produto interno 〈u, v〉 em V tal que 〈ρ(x)u, ρ(x)v〉 =

= 〈u, v〉 para todo x ∈ G, u ∈ V , v ∈ V , ou seja, 〈,〉 é G−invariante.

Dem. Seja (u|v) um produto interno qualquer em V . Definamos f : G× V × V → Rpor f(t;u, v) = f(t; v, u) = (ρ(t)u|ρ(t)v). Para u e v fixos, f é contínua em t ef(st;u, v) = f(s; ρ(t)u, ρ(t)v). Definamos 〈u, v〉 =

∫Gf(s;u, v)ds. É imediato

verificar que 〈,〉 é um produto interno em V , e temos:

〈ρ(t)u, ρ(t)v〉 =∫G

f(st;u, v)ds =∫G

f(s;u, v)ds = 〈u, v〉.


1. Seja G um grupo de Lie conexo, e U uma vizinhança aberta do elementoneutro. Prove que G =

∞⋃n=1

Un.

2. Na Proposição 11.12, prove que H é único a menos de isomorfismo.

3. Sejam G um grupo de Lie conexo, M uma variedade conexa, orientada, e

θ : G×M C∞−→ M

(g, p) 7−→ θ(g, p) = gp

uma ação de G em M .

Prove que o difeomorfismo θg : MC∞−→M , θg(p) = gp, preserva orientação.

4. Seja Mm uma variedade C∞ . Dizemos que M é paralelizável se existemcampos vetoriais Xi : M

C∞−→ TM , 1 ≤ i ≤ m, tais que X1(p), . . . , Xm(p)seja base de TpM para todo p ∈M . [ R. Bott e J. Milnor provaram (em 1958)que as únicas esferas paralelizáveis são S1, S3 e S7. S1 e S3 têm estrutura degrupo de Lie, S7 não ]. Prove que todo grupo de Lie G é paralelizável.

5. Seja

H =

1 x y

0 1 z

0 0 1

;x, y, z ∈ R

.

226


(a) Mostre que H tem uma estrutura diferencial C∞ com a qual é difeomorfaa R3.

(b) Mostre que H, com a multiplicação matricial, é um grupo de Lie (chamadogrupo de Heisenberg).

(c) Mostre que®∂

∂x,∂

∂y, x

∂

∂y+

∂

∂z

´é uma base para a álgebra de Lie de

H.

6. O conjunto das matrizes complexas n×n, munido da multiplicação matricial,é o grupo de Lie GL(n,C), de dimensão 2n2. Sejam:

SL(n,C) = A ∈ GL(n,C); detA = 1;

U(n) = A ∈ GL(n,C) ; A∗A = In ,

onde A∗ = At é a adjunta de A;

SU(n) = U(n) ∩ SL(n,C).

(a) Mostre que U(n) é um subgrupo de Lie de GL(n,C), de dimensão n2.

(b) Mostre que SL(n,C) é um subgrupo de Lie de GL(n,C), de dimensão2n2 − 2.

(c) Mostre que SU(n) é um subgrupo de Lie de GL(n,C), de dimensãon2 − 1.

7. Sejam G um grupo de Lie , Mm uma variedade C∞ , e θ : G ×M C∞−→ M

uma ação C∞ , livre e própria. Prove que as G−órbitas são subvariedades deM , de mesma dimensão que G.

8. Uma sequência de n subespaços de Rn, Vn = Rn ⊃ Vn−1 ⊃ · · · ⊃ V1, comdimVj = j, 1 ≤ j ≤ n, é chamada de uma bandeira em Rn. Mostre que a açãonatural de GL(n,R) em Rn é transitiva no conjunto M das bandeiras de Rn,e obtenha uma estrutura diferencial C∞ em M . Qual a dimensão de M?

9. Se α e β são formas invariantes à esquerda no grupo de Lie G, prove que α ∧ βe dα o são também.

227


10. Prove que se ω é uma p−forma no grupo de Lie G tal que ω(X1, . . . , Xp) =

=constante, quaisquer que sejam os campos vetoriais invariantes à esquerda,então ω é invariante à esquerda.

11. Sejam G um grupo de Lie, G = L(G) sua álgebra de Lie, e Ep(G) o espaçovetorial das p−formas em G, invariantes à esquerda. Se ω ∈ Ep(G) eX1, . . . , Xp ∈ G, seja f : Ep(G) −→

p∧G∗

ω 7−→ fω

tal que fω(X1, . . . , Xp) =

= ω(X1, . . . , Xp) ∈ R.

Prove que f é um isomorfismo. Em particular, E1(G) é isomorfo a G∗.

12. Sejam G um grupo de Lie , µ(a, b) = ab a multiplicação em G, e ϕ(a) = a−1

a inversão em G.

Prove:

(a) dµ(a, b)(Xa, Yb) = dRb(a)Xa + dLa(b)Yb;

(b) dϕ(a)Xa = −dRa−1(e)dLa−1(a)Xa,

onde a, b ∈ G , Xa ∈ TaG e Yb ∈ TbG.

13. Seja α(t) ; t ∈ R um subgrupo a 1−parâmetro do grupo de Lie G, ou seja,α : R C∞−→ G é tal que α(0) = e, e α(s)α(t) = α(s + t) . Lα(t) ; t ∈ Re Rα(t) ; t ∈ R são subgrupos a 1−parâmetro de G. As órbitas de e ∈ Gpor esses grupos coincidem com a curva α : R −→ G. Para cada x ∈ G,seja βx(t) = xα(t) = Rα(t) · x, e definamos o campo de vetores X porX(x) = β′x(0). Prove que X é invariante à esquerda e que X(e) = α′(0).

14. Se G é conexo, unimodular e L∗gω = ω, prove que R∗σω = ω.

15. Seja G conexo e unimodular. Se ω é forma volume invariante à esquerda, eϕ(x) = x−1 é a inversão, prove que ϕ∗ω = (−1)nω, e que

∫Gf(x)dx =

=∫Gf(x−1)dx .

16. Seja G =

Ña 0

b 1

é; a, b ∈ R, a > 0

.

228


Prove que G tem uma estrutura de grupo de Lie que o torna um subgrupo deLie de GL(2,R).

17. Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie de G que é normal em G.Prove que G/H é um grupo de Lie e que a aplicação quociente π : G→ G/Hé um Lie-homomorfismo.

18. Sejam ϕ : G→ G′ um Lie-homomorfismo sobrejetor e N = kerϕ seu núcleo.Prove que G/N é Lie-isomórfico a G′.

19. Dê um exemplo de uma ação C∞ e própria de um grupo de Lie G numavariedade diferencial M , tal que M/G não seja uma variedade.

20. Sejam G um grupo de Lie e H um Lie - subgrupo de G. Prove que se H eG/H são conexos, então G é conexo. Prove, por indução, que SO(n) é conexo.

229

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231

http://www.pucminas.br/pos/eletrica

Índice

Ação, 213livre, 214própria, 218transitiva, 214

Álgebradas formas diferenciais, 131de Lie, 185, 223exterior, 123

Ângulo sólido, 141Aplicação

antípoda, 164de classe Ck , 13, 56, 72, 148derivada, 55, 76equivariante, 217linear contínua, 3multilinear contínua, 8própria, 218r-linear alternada, 135

Atlas, 67, 145coerente, 138máximo, 68

Caminho, 74de saltos, 23regulado, 24

Campo de Vetores, 103, 151hamiltoniano, 206completo, 187comutativo, 199que aponta para dentro, 150que aponta para fora, 150

Carta, 66, 145Cobertura

localmente finita, 96, 100Colchete de Lie, 185Conjunto de nível, 217Contração, 43Coordenadas generalizadas, 204Curva integral, 186

Derivação, 185Derivada, 12, 76, 107

de Lie, 178parcial, 35

Determinante, 120Difeomorfismo, 41

equivariante, 220de classe C1 , 41de classe Ck , 73, 144local, 46

232

ÍNDICE

Diferencial exterior, 131Divergência de Campo, 173

Equaçõesde Hamilton, 205, 206de Lagrange, 205

Espaçocotangente, 204de órbitas, 218de Banach, 2de fases, 204homogêneo, 219projetivo, 72, 216tangente, 75, 148vetorial normado, 2vetorial orientado, 137vetorial simplético, 201, 203

Fibradocotangente, 135tangente, 106, 204

Fluxoglobal, 187hamiltoniano, 206local, 187

Folha, 195Folheação, 195Forma

contato, 207de Liouville, 205de Poincaré, 136diferencial, 129exata, 161fechada, 161, 162

local das imersões, 49, 82local das submersões, 50, 83negativa, 155positiva, 155simplética, 201, 204, 205volume, 142

Funçãoauxiliar, 100harmônica, 174

Gradiente, 174Grau de aplicação, 175Grupo

das rotações, 95de cohomologia, 174de isotropia, 214de Lie, 210linear especial, 94linear geral, 70simplético, 203unimodular, 226

Hamiltoniana, 205Hessiana, 58Homotopia, 162

Imersão, 47, 81Integral, 24, 25, 173Invariante

à direita, 222, 226à esquerda, 222, 225pelo fluxo, 199

Lagrangiana, 203–205Laplaciano, 174, 179

233

ÍNDICE

Lemade Cartan, 126de Poincaré, 168, 169de Urysohn, 101

Lie-isomorfismo, 217

Métrica riemaniana, 102Matrix jacobiana, 14Matriz jacobiana, 78Mergulho, 47, 84, 88Momentos generalizados, 205Mudanças de coordenadas, 67, 145

Norma, 1Normas equivalentes, 5

Órbita, 186, 214Orientável, 139Orientação, 137, 148, 155

no bordo, 150produto, 152

Paracompacto, 96Paralelizável, 227Partição da unidade, 100Placa, 194Ponto

crítico, 110do bordo, 146fixo, 43interior, 146

Posto, 46, 81Posto constante, 85Produto

exterior, 115, 130

interior, 124tensorial, 114

Pull back, 129

Regra da Cadeia, 17, 78

Seçãodo fibrado cotangente, 136do fibrado tangente, 107

Sistemade coordenadas locais, 66diferencial, 189base local, 189, 192equações locais, 192

lagrangiano, 204Subespaço

coisotrópico, 202isotrópico, 202, 209lagrangiano, 203, 209ortogonal simplético, 202simplético, 202, 209

Subgrupo de Lie, 210, 212Submersão, 47, 81Subvariedade, 88

lagrangiana, 206Suporte, 98

Teoremada função implícita, 50, 91da função inversa, 45, 78de Brouwer, 161de Chevalley, 195de Darboux, 206de Frobenius, 190de Gauss, 173

234

ÍNDICE

de Leibniz, 38de Poincaré-Brouwer, 164, 192de Schwarz, 60de Stokes, 158do ponto fixo de Banach, 43do posto, 48, 82do Valor Médio, 29fundamental do Cálculo, 28

Trajetória, 186

Valorcrítico, 93

regular, 93, 110, 166Variedade

de Grassmann, 221diferencial, 68, 139diferencial com bordo, 146integral, 194, 195produto, 90riemaniana, 102, 172, 179, 181simplética, 203, 207

Vetortangente, 75, 109velocidade, 204

235

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