COLAPSOPLÁSTICOEMMATERIAISPOROSOSECONDIÇÕES...

COLAPSO PLÁSTICO EM MATERIAIS POROSOS E CONDIÇÕESUNILATERAIS

Fabio da Costa Figueiredo

Tese de Doutorado apresentada ao Programade Pós-graduação em Engenharia Mecânica,COPPE, da Universidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisitos necessáriosà obtenção do título de Doutor em EngenhariaMecânica.

Orientador: Lavinia Maria Sanabio AlvesBorges

Rio de JaneiroMarço de 2015



TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZCOIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOSREQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOREM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

Profa. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.

Prof. José Luís Lopes da Silveira, D.Sc.

Prof. José Luis Drummond Alves, D.Sc.

Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco, D.Sc.

Prof. Licia Mouta da Costa, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASILMARÇO DE 2015

Figueiredo, Fabio da CostaColapso Plástico em Materiais Porosos e Condições

Unilaterais/Fabio da Costa Figueiredo. – Rio de Janeiro:UFRJ/COPPE, 2015.

X, 187 p. 29, 7cm.Orientador: Lavinia Maria Sanabio Alves BorgesTese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Mecânica, 2015.Referências Bibliográficas: p. 154 – 160.1. Análise Limite. 2. Elementos Finitos. 3. Contato

Unilateral com Atrito. 4. Materiais Porosos. I. Borges,Lavinia Maria Sanabio Alves. II. Universidade Federaldo Rio de Janeiro, COPPE, Programa de EngenhariaMecânica. III. Título.

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Agradecimentos

É com muita satisfação que chego ao final dessa etapa. Foi prazeroso vencer cadaobstáculo e valeu cada dia dedicado para a elaboração deste trabalho, pois gostode desafios. Porém, sem a ajuda de pessoas especiais nada disso seria possível. Avocês, meus sinceros agradecimentos.

Agradeço em especial à profa. Lavinia, pelo incentivo no reingresso à vida aca-dêmica, pela amizade e pela orientação neste trabalho. Sua dedicação e profissiona-lismo são exemplos que procuro seguir.

Agradeço aos professores da engenharia mecânica que contribuíram com minhaformação.

Aos meus pais, Hermínio e Manuela, pelo apoio nesse projeto. Ao meu avôPorfírio e meu irmão Marcelo, companheiro de todas as horas.

À Adriane Mougo, pelo incentivo e pela compreensão, principalmente na partefinal desta tese.

Aos meus colegas de laboratório e funcionários da secretaria do PEM.

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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessáriospara a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)



Março/2015

Orientador: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges

Programa: Engenharia Mecânica

O objetivo desta tese é propor formulações em análise limite que permitam asolução de problemas onde efeitos tais como porosidade, peso próprio e atrito nainterface entre os corpos não são normalmente considerados em modelos convencio-nais. O efeito da porosidade do material é descrito por uma função de escoamentocujos parâmetros são determinados em função da coesão, o ângulo de atrito e a poro-sidade. No âmbito dos problemas em geotecnia, o peso próprio da estrutura é umavariável decisiva na determinação da carga de colapso, sendo tratada como cargaviva ou carga morta, dependendo da aplicação. Além disso, a contribuição maisoriginal desta tese é a proposta de uma formulação em análise limite com prescriçãode velocidades e o posterior desenvolvimento de uma formulação que contempla averificação das condições unilaterais com atrito no mesmo contorno. A formulaçãoem velocidades é uma forma natural de descrever a ação de movimento de um corposobre o outro e conveniente quando a geometria da interface entre os corpos não éplana.

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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

LIMIT ANALYSIS MODELS FOR POROUS MATERIALS


March/2015

Advisor: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges

Department: Mechanical Engineering

The aim of this thesis is to propose limit analysis formulations in order to solveproblems where effects such as porosity, own weight and friction at bodies interfaceare not normally considered in conventional models. The effect of the porosity ofthe material is described by an yield function whose parameters are determined as afunction of cohesion, friction angle and porosity. Within the geotechnical problems,the own weight of the structure is a critical variable in determining the collapse load.Depending on the application, it is treated as live load or dead load. In addition, themost original contribution of this thesis is to propose a limit analysis formulationwith prescribed velocity. Further, under this condition, the unilateral conditionswith friction is verified at the prescription velocity boundary. This formulation isconvenient since the move action of a body on the other is known and the interfacegeometry is not planar.

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Sumário

1 Introdução 11.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Resumo das Etapas de Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Conteúdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Princípios Gerais 132.1 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Prescrição de Forças com Velocidades Prescritas Homogêneas . 152.2.2 Prescrição de Velocidades e Forças Prescritas Nulas . . . . . . 16

2.3 Relação Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Função de Escoamento 203.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Parâmetros de Solos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Desenvolvimento da Função de Escoamento de Ulm-Gathier-Cariou . 22

3.3.1 Sólido de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Sólido de Drucker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.3 Morfologias dos Poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.4 Coeficientes das Morfologias Mori-Tanaka e Auto-Consistente 27

3.4 Formulação da Função Ulm-Gathier-Cariou para o Estado Plano deDeformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2 Função Elíptica para o Estado Plano de Deformação . . . . . 313.4.3 Função Hiperbólica para o Estado Plano de Deformação . . . 33

3.5 Dissipação Plástica para o Estado Plano de Deformação . . . . . . . . 363.5.1 Dissipação Plástica para a Função de Escoamento Elíptica . . 373.5.2 Dissipação Plástica para a Função de Escoamento Hiperbólica 40

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4 Formulações de Análise Limite no Contínuo 434.1 Análise Limite para Problemas com Prescrição de Forças . . . . . . . 454.2 Análise Limite para Problemas com Carga Morta . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Carga de Corpo como Carga Viva . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Análise Limite para Problemas com Prescrição de Velocidades . . . . 49

4.3.1 Formulação Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.2 Formulação Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.3 Formulação Mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Formulações Discretas de Análise Limite 515.1 Elemento Triangular Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Formulação Discreta de Análise Limite com Prescrição de Forças . . . 51

5.2.1 Dualidade no Problema Discreto e Programação não-Linear . 525.3 Formulação Discreta com Prescrição de Força e Carga Morta . . . . . 535.4 Formulação Discreta de Análise Limite com Prescrição de Velocidades 55

5.4.1 Procedimento Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Análise Limite com Prescrição de Velocidade e Atrito na Interfaceentre Corpos 586.1 Fundamentos de Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Contato Unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3.1 Atrito de Coulomb e Deslizamento Tangencial . . . . . . . . . 646.4 Equilíbrio para o Problema de Contato Unilateral com Atrito . . . . . 67

6.4.1 Princípio das Potências Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4.2 Bipotencial para Lei de Atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . 70

6.5 Estados Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.5.1 Princípio Cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.5.2 Princípio Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5.3 Princípio Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.6 Procedimento de Solução de Problemas com Condições Unilateriaiscom Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6.1 Discretização das Condições Unilaterais com Atrito . . . . . . 776.6.2 Discretização da Formulação Mista com Condições de Contato

com Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6.3 Condições de Ótimo da Formulação Mista Discretizada . . . . 806.6.4 Algoritmo de Solução: Processo Iterativo de Newton . . . . . 816.6.5 Condensação dos Graus de Liberdade Livres . . . . . . . . . . 836.6.6 Solução do Problema de Contato . . . . . . . . . . . . . . . . 846.6.7 Pós-Processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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7 Aplicações Numéricas 887.1 Indentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.1 Indentação Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.1.2 Estudo de Capacidade de Carga de Solos e Fundações . . . . . 97

7.2 Estabilidade de Taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2.1 Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.2 Materiais Porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3 Riscamento (Scratch Test) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.1 Prescrição de Velocidades e Forças . . . . . . . . . . . . . . . 1107.3.2 Caso sem Atrito na Interface Corpo-Ferramenta . . . . . . . . 111

7.4 Riscamento sob Condições Unilaterais com Atrito e Prescição de Ve-locidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.4.1 Velocidade Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.4.2 Velocidade Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.5 Análise da Resistência Lateral do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.5.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.5.2 Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.5.3 Problema de Contato com Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Conclusões 1508.1 Considerações Finais e Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.2 Proposta de Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Referências Bibliográficas 154

A Bipotenciais 161

B Parâmetros do solo 164B.1 Parâmetros do solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.1.1 Ângulo de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164B.1.2 Coesão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

C Elementos Triangulares Mistos 168

D Procedimento Numérico para Solução do Problema Discreto: For-ças Prescritas 170

E Procedimento Numérico para Solução do Problema Discreto: Ve-locidades Prescritas 173

F Procedimento Numérico para Solução do Problema Discreto: Ve-locidades Prescritas e Condições Unilateriais com Atrito 176

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G Soluções Semi-Analíticas para Indentação e Riscamento 179G.1 Indentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

G.1.1 Região I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180G.1.2 Região III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180G.1.3 Região II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181G.1.4 Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

G.2 Riscamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182G.2.1 Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182G.2.2 Solução para Contato sem Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 185G.2.3 Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

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Capítulo 1

Introdução

O objetivo desta tese é propor formulações em análise limite para solução de proble-mas em plasticidade, onde efeitos tais como porosidade, o peso próprio da estruturae atrito na interface entre os corpos não são normalmente considerados em modelosconvencionais.

A porosidade do material é descrita pela função de escoamento proposta porGATHIER [1] e CARIOU [2], deduzida a partir da teoria de homogeneização erelaciona as propriedades da fase sólida com a morfologia dos poros. Por esta teoriadesenvolve-se uma função de escoamento em nível macro, cujos parâmetros são acoesão, o ângulo de atrito e a porosidade do material. Esta função é aplicada paradescrever o comportamento em plasticidade de solos drenados, materiais metálicossinterizados através da metalurgia do pó e concretos.

No âmbito de aplicação em problemas de geotecnia, além da inclusão da porosi-dade, verifica-se que em projetos de fundações e em estabilidade de taludes, o pesopróprio da massa de solo pode desempenhar um papel importante na avaliação dacapacidade de carga solo e na determinação de sua estabilidade. A depender da apli-cação, verifica-se que o peso próprio pode atuar como carga viva ou carga morta. Opeso atua como carga viva quando esta é uma carga de referência a ser amplificadapelo fator de colapso. Em contrapartida, o peso atua como carga morta quandoestá presente na estrutura, porém, não é uma carga a ser amplificada. Portanto,formaliza-se uma formulação em análise limite que descreve ambos comportamentos.

Entretanto, em problemas em que a interface de contato entre dois corpos nãoé plana, a prescrição de forças pode não ser uma condição de contorno conveniente,pois sua distribuição ao longo do contorno de contato não é conveniente. Destaforma, a prescrição de velocidades se apresenta como uma alternativa mais adequadae natural, pois representa a ação de movimento que um corpo realiza sobre outro.

Além disso, a contribuição mais original desta tese é desenvolvimento de umaformulação em análise limite com prescrição de velocidades e verificação de condiçõesunilaterais com atrito no mesmo contorno de prescrição de velocidades.

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1.1 Motivação

A demanda cada vez mais crescente por fontes de energia, entre elas o petróleo,leva ao desenvolvimento de tecnologias para extraí-lo em condições cada vez maisadversas. No Brasil, grande parte dos campos de petróleo estão em alto mar etransportados por meio de dutos. Com a descoberta de novos campos localizadosa profundidades cada vez maiores, maiores serão também as solicitações impostasa essas estruturas, que devem possuir resistência mecânica e atender uma vida útilrequerida.

Ao se analisar com mais detalhes esse duto, ele transporta um fluido a uma de-terminada pressão interna. Sabe-se também que o petróleo é um fluido bastanteviscoso e a viscosidade é uma propriedade que depende da temperatura. Dessaforma, transportar o petróleo a uma alta temperatura é conveniente para haver ummelhor escoamento da produção, assim evitar a formação de parafina, formada abaixas temperaturas e que pode se depositar nas paredes do duto, causando en-tupimento. Então, devido às altas temperaturas e sabendo que esses dutos sãoancorados no leito marinho, impondo restrições de movimento, tensões térmicas sãodesenvolvidas ao longo de seu comprimento, levando ao desenvolvimento de forçascompressivas. Somando-se à ancoragem, há ainda o atrito longitudinal entre o solo-estrutura, responsável por mais uma restrição de movimento ao longo de todo ocomprimento e assim contribuindo no desenvolvimento das forças compressivas.

Em resumo, o desenvolvimento de tensões térmicas e o efeito da pressão externa,aliadas com as condições de apoio localizadas (ancoragem) e o atrito ao longo detoda extensão do duto resultam no desenvolvimento de forças compressivas. Então,do ponto de vista mecânico, por ser uma estrutura esbelta, um duto se comportacomo uma coluna, que se submetido a uma força de compressão acima de um valorcrítico pode levar a ocorrência de flambagem.

Ao contrário do que se intui, a ocorrência da flambagem pode ser um interressantemecanismo de alívio de tensões, desde que ocorra de forma controlada e ao longode um comprimento limitado, conforme visto em [3] e [4]. Contudo, quando ocorrede forma não-controlada, pode levar ao colapso de toda estrutura, causando paradada produção e grandes prejuízos. Essa flambagem pode ser vertical, quando o dutoperde contato com o solo, ou lateral, quando ocorre no plano do solo, conforme asFiguras 1.1 e 1.2:

Quanto à flambagem lateral, para que esse fenômeno seja desencadeado o dutodeve vencer duas resistências: a resistência do solo depositado em seu entorno e aresistência devido ao atrito entre o solo-estrutura. Assim, estimar a potência (ouforça horizontal) suficiente para vencer essas resistências é importante para avaliara ocorrência deste fenômeno e em que condições ocorre. Uma das abordagens do

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Figura 1.1: Flambagem vertical. Figura 1.2: Flambagem lateral.

problema é através da teoria da plasticidade, seja na forma incremental que é maisusual ou pelo método de estados limites como é aqui proposto. Como hipótesebásica, o duto será considerado como um corpo rígido, que em contato com o soloprovocará um movimento horizontal que causará o fluxo plástico do solo, este tratadocomo um corpo deformável, conforme mostrado na Figura 1.3.

Figura 1.3: A flambagem lateral ocorre no plano do solo e pode haver acúmulo dematerial.

Então, a partir desse problema-motivação desenvolve-se uma abordagem regidapela teoria da plasticidade, através da aplicação dos princípios de análise limite, paracálculo da resistência do solo à movimentação lateral do duto sob flambagem. Con-tudo, antes de chegar a solução desse problema foram revisitados alguns problemasclássicos, como indentação e riscamento, bastante estudados e com soluções analíti-cas fechadas para validação das soluções obtidas pelo método proposto nesta tese.Como este problema lida com solos, uma função de escoamento cujos parâmetrosenglobam a porosidade do material, entre outras propriedades, é utilizada. Alémdisso, estudam-se também problemas que envolvem condições unilaterais, tambémdenominadas condições de Signorini, com contato com atrito de Coulomb.

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1.2 Metodologia

No âmbito da metologia usada para solução do problema de colapso plástico oufluxo plástico, contextualizam-se os princípios de análise limite. A análise limite éum método direto, que visa a determinação de uma carga ou uma potência externaque provocará o fenômeno do colapso plástico incipitente em um material elásticoidealmente plástico, caracterizado pelo desenvolvimento de deformações crescentesa carregamentos constantes, de acordo com HILL [5], MAUGIN [6]. Diferente daanálise elastoplástica incremental onde se calculam as tensões ao longo da evoluçãodas cargas, a análise limite é um método dito direto por dispensar uma análiseevolutiva para determinar níveis críticos de carregamento. Dessa forma, este é ummétodo atraente quando o foco é a situação de colapso incipiente, as tensões e osmecanismos de colapso sem a preocupação com a história do processo.

Os princípios clássicos de análise limite são embasados por dois teoremas funda-mentais de plasticidade, denominados Princípio Estático e Princípio Cinemático, de-senvolvidos na década de 1950, por GREENBERG, PRAGER e DRUCKER (1952)e CHARNES e GREENBERG [7]. Além deles, o trabalho de SYMONDS e NEAL[8, 9] mostra a aplicação dos princípios de análise limite em problemas de vigas, tre-liças e pórticos. Ambos teoremas estão fortemente ligados à solução de um problemade otimização com restrições e após a dedução da dualidade desses princípios, Char-nes e Greenberg reconheceram que o problema de análise limite em treliças poderiaser colocado em forma de programação matemática, de acordo com CHARNES eGREENBERG [10].

Esses trabalhos pioneiros permitiram o desenvolvimento e a consolidação da te-oria de análise limite para análise estrutural, através da aplicação do método deelementos finitos e aplicação de algoritmos de otimização para solução do problemade dualidade. Mais especificamente, os trabalhos de BORGES [11], BORGES et al.[12], SAXCÉ e BOUSSHINE [13] e HJIAJ et al. [14] mostram que as condições deótimo são diretamente deduzidos como consequência da formulação variacional, emque os campos de tensão e a taxa de deformação são expressos como elementos doconjunto subdiferencial de pseudopotenciais conjugados.

No processo de solução dos problemas propostos nesta tese é conveniente o esta-belecimento do princípio misto de análise limite, obtido a partir dos princípios está-tico e cinemático deduzidos para um meio contínuo, conforme visto em SILVEIRA[15], ZOUAIN et al. [16], BORGES et al. [12] e BORGES [11]. Uma discretização nocampo de tensões e velocidades é proposta e a partir da formulação discreta as con-dições de ótimo são deduzidas. Portanto, solucionar um problema de análise limiteé solucionar o problema de otimização com restrição estabelecido pelas condições deótimo, definido por equações e inequações.

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O algoritmo aqui utilizado para solução do conjunto de equações de ótimo ébaseado no método de Quasi-Newton e de ponto interior proposto em BORGES [11],BORGES et al. [12], SILVEIRA [15]. Porém, a estimativa inicial obtida da iteraçãoQuasi-Newton determina uma direção do incremento que não é viável com respeitoà admissibilidade plástica das tensões. Essa factibilidade de tensões é garantidaatravés da técnica de contração e relaxação para as tensões e o fator de colapsoou a potência externa de colapso, no caso do problema de velocidade prescrita.Essa metodologia proposta por BORGES [11], BORGES et al. [12] e em ZOUAINet al. [17] foi desenvolvida e implementada pelo Grupo de Mecânica dos Sólidosda COPPE/UFRJ. Além disso, o programa permite a realização de adaptação demalha, alocando mais elementos em regiões de interesse e estirando o elemento nadireção ortogonal às linhas de deslizamento, identificadas através de uma técnica deidentificação de fortes gradientes em funções BORGES et al. [18].

Quanto às condições de contorno aplicadas, os problemas e as formulações exis-tentes de análise limite contemplam, na maioria dos casos, em prescrição de forças,que serão amplificadas por um fator de modo que se alcance o fenômeno do colapsoplástico incipiente. Entretanto, a prescrição de forças nem sempre retrata a açãode um corpo sobre o outro, como por exemplo, o movimento de uma ferramentasobre um corpo ou a ação do duto sobre o solo. Nessas ocasiões, quando a ação demovimento que um corpo executa sobre o outro é conhecida torna-se conveniente aprescrição de velocidades, principalmente quando há atrito na interface de contatoe/ou a interface não é plana. A partir dos princípios variacionais de análise limite emvelocidades prescritas para este caso estabelecidos em BORGES [11], desenvolveu-sea formulação discreta e adaptou-se o algoritmo de solução para solução de problemascom prescrição de velocidades.

Além disso, a formulação por velocidade prescrita possibilitou o desenvolvimentode uma formulação para tratar problemas de contato unilateral com atrito. Esse tipode formulação torna-se conveniente em problemas onde se conhece a ação de movi-mento de um corpo em relação a outro e a região de contato é conhecida a priori.Para aplicação desta formulação, apresentam-se o problema de riscamento e o pro-blema de flambagem lateral que envolve o contato de um corpo rígido (indentador,duto) com um corpo deformável (corpo de prova, solo). Por este modelo, calcula-sea potência externa de colapso e sua variação com o coeficiente de atrito na interface,além de possibilitar o estudo dos regimes de adesão e deslizamento no contato entreos corpos.

O desenvolvimento desta tese ocorreu a partir de um problema-motivação envolvea interação entre o duto e o solo. Dessa forma, para estudar o comportamento deum corpo em plasticidade deve-se utilizar uma função de escoamento que descrevaas características do material: para metais dúteis e independentes da tensão média,

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o critério de Tresca ou von Mises tornam-se adequados. Para solos, em alguns casos,estes dependem da aplicação de uma tensão média (confinamento) e do atrito entresuas partículas para existir como material, como areias. Neste caso, os critériosde Mohr-Coulomb e Drucker-Prager são mais adequados [19]. Entretanto, solossão materiais heterogêneos e são constituídos por partículas, inclusões e tambémpor poros, cuja presença não é descrita por essas funções. Assim, para incluir esseefeito, a função de escoamento de Ulm-Gathier-Cariuou, deduzida a partir da teoriade homogeneização, é empregada para analisar o comportamento em plasticidadede materiais porosos, tais como solos e metais sinterizados pela metalurgia do pócomo visto em GATHIER [1], CARIOU [2] e BOBKO et al. [20]. Nesta função,além da coesão e ângulo de atrito, o efeito da porosidade são captados através deparâmetros da função de escoamento, que tende à função de Drucker-Prager quandoa porosidade é nula (material maciço) e a von Mises quando a porosidade é nula eo ãngulo de atrito é nulo.

Então, de forma a simular o comportamento de solos ou materiais com porosidadeimplementou-se computacionalmente a função de Ulm-Gathier-Cariou, adaptadapara aplicação em problemas em estado plano de deformação.

Como esta função de escoamento é não-convencional, alguns problemas clássicosforam revisitados de forma a validar os resultados obtidos por esta função, como oestudo do problema de indentação, onde soluções analíticas calculadas pelos métodosestático e cinemático e critério de von Mises são encontradas em livros clássicos deplasticidade como LUBLINER [19], KACHANOV [21]. Visto por uma outra escala,o problema de indentação pode ser também interpretado como um problema defundação.

Ainda no problema de indentação, para o critério de Drucker-Prager, soluçõesanalíticas baseadas no método cinemático são apresentadas em CHEN e LIU [22].Em PONTES [23] e PONTES et al. [24] os resultados para os mesmos problemasobtidos por análise limite e elementos finitos. Além disso, um modelo semi-analíticoe baseado no método estático foi desenvolvido e implementado. Esses resultadosforam utilizados para validação do problema de indentação utilizando a função deUlm-Gathier-Cariou com parâmetros que atendem ao critério de Drucker-Prager.

Nos modelos clássicos de análise limite para aplicações em geotecnia, em geral, opeso próprio do solo e a condição de sobrecarga, quando a estaca já se encontra comalguma penetração em relação ao nível do solo, não tem sido incluídos no estudode capacidade de carga em fundações. No estudo desta aplicação, é convenienteconsiderar a carga de corpo (peso próprio) como carga morta, pois é uma cargapresente na estrutura porém esta não será amplificada pelo fator de colapso. Assim,para contemplar esses fatores, formalizou-se um princípio de análise limite misto,com prescrição de força, de modo que o efeito do peso como carga morta fosse

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contemplado. Embora PONTES [23] tenha implementado computacionalmente esseproblema, a formulação em análise limite não havia sido formalizada. Soluçõesanalíticas propostas por Hansen (1970) e Vesić (1973, 1975) para este problemasão encontradas em livros sobre fundações e cálculo de capacidade de solos, comoBOWLES [25] e CHEN e LIU [26], que utilizaram os critérios de Mises e Drucker-Prager em suas soluções. Neste trabalho, como contribuição realizou-se análise decapacidade de carga do solo considerando a variação de porosidade do solo, atravésda função de Ulm-Gathier-Cariou.

Ainda na aplicação em geotecnia, em problemas de estabilidade de taludes, acarga de corpo é tratada como uma carga viva, uma vez que esta é amplificada pelofator de colapso. Este tipo de problema é importante para avaliação de contenção deencostas e deposição de aterros, quando há o depósito de camadas de material sobreum solo-base e se requer que o solo não alcance o estado de colapso plástico. Soluçõesanalíticas são propostas em CHEN e LIU [22] e CAPUTO [27], pelo método doequilíbrio limite e sob o critério de Drucker-Prager. Além disso, em FIGUEIREDOet al. [28] é mostrada uma solução pelo método incremental e elementos finitos,implementadas no software CodeBright c©, OLIVELLA et al. [29].

Vencidas essas etapas iniciais de formulação do modelo constitutivo do solo e dasdiferentes formulações do problema de análise limite com prescrição de forças, demodo a buscar a solução do problema-motivação estudou-se o problema do ensaiode riscamento por ser um modelo análogo ao primeiro problema, mas com condiçõesde contorno e geometria menos complexa. Este ensaio consiste basicamente em ar-rastar um indentador na superfície de um corpo de prova e assim medir a chamadadureza ao riscamento. A sua finalidade compreende a avaliação da resistência derevestimentos, adesão, dureza e determinação de propriedades mecânicas. Emboraseja o problema de riscamento seja fisicamente diferente do problema de flamba-gemm lateral, do ponto de vista mecânico são semelhantes, a não ser pela interfacede contato: no riscamento a interface é uma linha ou plano e na flambagem a in-terface é curva. Assim, além aa maior simplicidade de sua interface, o problemade riscamento foi estudado primeiro e usado para validar o modelo com as soluçõesapresentadas nos trabalhos de BARD [30], BARD e ULM [31, 32]. Nesses traba-lhos, os autores desenvolvem uma solução para o problema de riscamento atravésdo método estático, empregando a função de escoamento de Mises, Drucker-Pragere Ulm-Gathier-Cariou. Além disso, há resultados experimentais realizados em umapasta de cimento (cement paste), que também serão utilizados para validação domodelo desenvolvido nesta tese, com prescrição de velocidades.

Como primeira abordagem para solução do problema de riscamento, utilizou-sea formulação de análise limite com força prescrita, sem condições de contato comatrito. Neste método, porém, as forças não são aplicadas diretamente no contorno de

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contato entre a ferramenta e a peça: o problema é solucionado de forma equivalente,onde na região de contato são colocadas restrições de movimento (apoios) na direçãonormal à superfície de contato e as forças são aplicada na lateral da peça.

Posteriormente, notou-se que em vez de prescrever forças, a prescrição de veloci-dades é uma condição mais conveniente e natural para problemas onde se conhece aação de movimento que um corpo realiza sobre outro, sem que haja preocupação emprescrever as forças no contato e a maneira como agem em cada ponto do contorno.Então, após consolidação dos resultados com prescrição de forças, solucionou-se oproblema de riscamento com a prescrição de velocidades e comparou-se as duasmetodologias.

A partir da formulação de análise limite com velocidade prescrita, a propostafoi desenvolver uma formulação de análise limite com velocidade prescrita que con-temple a dissipação por atrito. A formulação e solução de problemas de contatounilateral, com e sem atrito normalmente separam os contornos de aplicação decarregamento dos contorno de contato. Essa proposta é interessante quando não seconhece a priori a região de contato entre os corpos e a possibilidade de separa-ção, adesão ou deslizamento é investigada. Estas condições são mostradas em livrosclássicos de contato como WRIGGERS e PANAGIOTOPOULOS [33] e artigos deWRIGGERS [34], GITTERLE et al. [35] onde técnicas para determinar a aproxi-mação dos corpos e em que pontos haverá contato são descritas. Entretanto, nosproblemas a serem abordados com a formulação de análise limite supõe-se que aregião de contato entre o corpo e a ferramenta é conhecida e que haverá contatoentre eles durante todo o processo. Assim a partir dessa premissa torna-se possívelaplicar no mesmo contorno a prescrição de velocidades, resultado do movimento im-posto por um ferramenta, e aplicação de condições de contato unilateral, impondonula a velocidade normal relativa entre os corpos (garantindo contato) e admitindovelocidade tangencial relativa entre o corpo rígido e o deformável.

Os problemas de contato unilateral envolvem uma série de particularidades, acomeçar pela formulação, em que o equilíbrio é expresso por uma desigualdadeKIKUCHI e ODEN [36], FEIJÓO [37], levando a discussões sobre a existência eunicidade de soluções. Apesar da relevância, a demonstração da existência e uni-cidade de soluções de problemas de contato unilateral com atrito é um assuntobastante discutido e não será discutido nesta tese. Entretanto, em GASTALDI [38],DEMKOWICZ e ODEN [39], ANDERSON [40], AREZKI e ALAIN [41] e, maisrecentemente, no livro CAPATINA [42] abordam a questão de existência e unici-dade de soluções, apenas no âmbito da elasticidade. Em RENARD [43] um critériode unicidade é proposto para um coeficiente de atrito suficientemente pequeno euma condição sobre o deslocamento tangencial. Estas mesmas análises envolvendoa plasticidade são escassas.

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Quanto ao equilíbrio em condições unilaterais, em KIKUCHI e ODEN [36], RA-OUS [44] e KLARBRING [45] aborda-se a formulação variacional para problemade contato unilateral em termos de desigualdade, aplicado na elasticidade. Estesprincípios variacionais são aplicáveis também na plasticidade, pois não há relaçãoconstitutiva envolvida. Esta abordagem será utilizada neste trabalho, desenvolvidaa partir do princípio das potências virtuais aplicado à condições unilaterais conformevisto em FEIJÓO [37], juntamente com a lei de atrito de Coulomb.

Em problemas de contato com atrito de Coulomb ressalta-se a não-normalidadeda velocidade tangencial de deslizamento com o cone de Coulomb. Essa caracterís-tica viola os princípios básicos da teoria de análise limite, calcadas na convexidadedo domínio plástico e normalidade das leis de fluxo. Isso caracteriza os chama-dos materiais Standard. Entretanto, a teoria de Materais Standard Implícitos foidesenvolvida para estender propriedades dos materiais Standard a problemas não-associativos, através da representação da lei de Coulomb por meio de um potencialdependente de variáveis duais, como forças de reação e velocidades relativas SAXCÉe BOUSSHINE [13]. Além dos trabalhos de SAXCÉ e BOUSSHINE [13], SAXCÉe FENG [46], outros trabalhos abordaram a questão dos problemas com condiçõesunilaterais com atrito, definindo um pseudo-potencial associado a lei de Coulomb,como MICHALOWSKI e MROZ [47], LEBON [48] e TYAN e YANG [49], que aplicao princípio cinemático para solução de problema de corte ortogonal com atrito nainterface peça-ferramenta. No entanto, a abordagem desenvolvida por SAXCÉ eFENG [46] será utilizada e será fundamental para dedução da formulação mista deanálise limite com velocidade prescrita mostrada neste tese. A teoria de bipotencialde atrito de Coulomb foi aplicada por BOUSSHINE et al. [50] para solução de pro-blemas em pórticos, apoiados em suportes onde se verificam as condições unilateraiscom atrito.

Uma vez estabelecido o princípio misto de análise limite com atrito de Coulombe velocidade prescrita, é necessário discretizar a forma variacional contínua e obteras condições de ótimo. Para solução do problema de contato unilateral com atritoé utilizado um algoritmo proposto por STAVROULAKIS e ANTES [51] e que foiutilizado por NACCARATO [52] para solução de problemas de corte ortogonal eextrusão angular em canal. Essa metodologia consiste basicamente em efetuar umasequência de substituições e condensações de graus de liberdade, reduzindo a umproblema de complementaridade. Essa metodologia foi utilizada e adaptada paraa formulação com velocidade prescrita e simplificada para atender à hipótese quea região de contato é conhecida e que haverá contato permanente entre a ferra-menta e o corpo deformável durante todo o processo. Nos problemas aqui estudadosdestinguem-se do corte ortogonal e extrusão em canais, tendo em vista que a velo-cidade é prescrita na região deformada.

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Por fim, com o problema de riscamento consolidado e validado, sob as condiçõessem e com atrito na interface corpo-ferramenta, foi possível estudar o problemade resistência do solo ao movimento lateral do duto. Mais que no problema deriscamento, este constituiu um caso onde se justifica a aplicação da formulação comvelocidade prescrita, pois se supõe conhecida a ação de movimento que o duto realizae a interface de contato é curva. A distribuição de forças no contorno de contato éobtida como solução do problema.

Para o problema sem atrito, soluções analíticas foram propostas para o cálculo daresistência lateral por MARIFIELD et al. [53].Em AUBENY et al. [54] é apresentadauma solução por elementos finitos por meio de análise elastoplástica incremental.Além disso, para o cálculo da resistência vertical, soluções pelos métodos estáticoe cinemático são propostas por MURFF et al. [55]. Essas soluções encontradaspara o cálculo de resistência horizontal e vertical foram utilizadas para validação.Posteriormente, estudam-se os casos de condição unilateral com atrito e não foiencontrado na literatura dados para comparação. A saída do programa permite,além da determinação da potência de colapso, dos campos de tensão e velocidade edo multiplicador plástico, o estudo do contorno de contato através da determinaçãodas forças de reação normal e tangencial e da velocidade tangencial relativa, quepossibilita avaliar regiões do contato que encontram-se em adesão ou deslizamento.

1.3 Resumo das Etapas de Desenvolvimento

Nesta tese diferentes tópicos foram abordados e exigiram o desenvolvimento de pro-cedimentos específicos, que constituíram objetivos e metas parciais a serem alcança-das e as contribuições realizadas nesta tese. Para tornar mais clara essa sequência,apresentam-se a seguir um resumo das etapas de trabalho e os resultados parciaisobtidos, já discutidos previamente.

Para solução do problema-motivação algumas etapas foram cumpridas, de modoa chegar em um modelo que pudesse descrever o comportamento em plasticidadede um solo e no cálculo de sua resistência lateral. O movimento lateral do duto emcontato com o solo é responsável pelo fornecimento de potência externa ao corpodeformável (solo), que pode ser consumida na forma de dissipação plástica e/oudissipada pelo atrito. Então, para alcançar esta meta os objetivos parciais traçadosforam:

• Descrever o comportamento em plasticidade de solos, estudar a função deUlm-Gathier-Cariou para materiais porosos e desenvolvê-la para aplicação emproblemas em estado plano de deformação;

• Aplicar a formulação mista de análise limite com prescrição de forças sem atrito

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e revisitar problemas clássicos de indentação e riscamento, a fim de fazer umavalidação do modelo e da nova função de escoamento utilizada;

Essa formulação foi aplicada também na solução de problema de estabilidade detaludes, onde a carga de corpo é tratada como carga viva, amplificada pelo fator decolapso.

• Formalização de uma formulação em análise limite em que a carga de corpoé tratata como carga morta. Essa formulação é aplicada para o cálculo decapacidade de carga de solos em projeto de fundações;

• Desenvolver uma formulação mista de análise limite com prescrição de veloci-dades, sem atrito, para aplicação em problemas em que a ação de movimentode um corpo rígido em contato com um corpo deformável é conhecida. Estaformulação foi aplicada nos problemas de indentação e riscamento, e uma com-paração com os resultados oriundos da formulação com prescrição de forças foirealizada.

• Desenvolver uma formulação mista em análise limite com prescrição de velo-cidades e atrito na interface entre corpos, em que um deles é rígido e outrodeformável. A prescrição de velocidades e a verificação das condições de con-tato unilaterais são aplicadas no mesmo contorno;

• A formulação com velocidade prescrita com atrito é aplicada para solução doproblema de riscamento com atrito na interface corpo-ferramenta e as soluçõesencontradas foram comparadas com outras obtidas nas referências bibliográfi-cas;

• Avaliar a viabilidade de aplicação da metodologia de análise limite aqui pro-posta para determinar a resistência de solos ao movimento lateral do duto emflambagem lateral.

1.4 Conteúdo

No capítulo 2 são apresentados princípios gerais, que envolvem a cinemática, equi-líbrio e relação constitutiva, necessários para o estabelecimento dos princípios deanálise limite desenvolvidos nos capítulos subsequentes.

De modo a descrever o efeito da porosidade, no Capítulo 3 apresenta-se a funçãode escoamento de Ulm-Gathier-Cariou e alguns aspectos da teoria de homogeneiza-ção utilizada para sua dedução. Mostra-se também a particularização desta função

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para aplicação em problemas em estado plano de deformação e a dedução da dissi-pação plástica, de modo a atender essa hipótese.

No capítulo 4 deduzem-se as formulações de análise limite, contemplando as con-dições de contorno de prescrição de forças e velocidades em sua forma no contínuo.São apresentadas também as formulações em que forças de corpo são tratadas comocarga viva ou carga morta.

No capítulo 5 apresentam-se as formas discretas das formulações mistas no con-tínuo apresentadas, assim como os procedimentos numéricos para solução dos pro-blemas em análise limite com prescrição de forças e velocidades.

No capítulo 6 aborda-se exclusivamente o desenvolvimento de uma formulaçãoem análise limite envolvendo condições unilaterais e atrito, aplicando prescrição develocidade como condição de contorno.

O capítulo 7 é dedicado a apresentação de problemas que envolvem as formula-çãoes em análise limite desenvolvidas, contemplando a formulação clássica de pres-crição de forças como no problema de indentação, a inclusão do peso próprio comocarga morta no problema de fundações e o estudo do peso próprio como carga vivano problema de estabilidade de taludes. Nesses problemas abordou-se também ainfluência da porosidade, através da função de Ulm-Gathier-Cariou. No problemade indentação compara-se as soluções com prescrição de forças e velocidades. Porfim, aos problemas de riscamento e resistência lateral do solo à flambagem lateralabordam a formulação com prescrição de velocidade e condições unilaterais comatrito.

E finalmente, no capítulo 8 são feitas as conclusões e propostas de trabalhosfuturos.

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Capítulo 2

Princípios Gerais

Neste capítulo introduzem-se alguns conceitos, hipóteses adotadas e princípios uti-lizados para formulação e solução de problemas em plasticidade por meio da análiselimite, para estabelecer o comportamento em plasticidade de corpos constituídos pormateriais elásticos idealmente plásticos, submetidos a carregamentos quasi-estáticos.

Em linhas gerais, o método de análise limite visa a obtenção de uma carga ouuma potência externa de colapso necessária para levar a ocorrência do fenômenodo colapso plástico incipiente. O método de análise limite é vantajoso por ser ummétodo direto, sem que o estado de tensão do corpo seja determinado durante ospassos de carregamento como no método incremental.

Ao se estabelecer a cinemática, define-se uma relação entre os campos de ve-locidade cinematicamente admissível com as taxas de deformações plásticas. Estecampo de velocidades cinematicamente admissível é entendido com um campo develocidades que satisfazem as condições homogêneas de velocidade, ou seja, satisfa-zem às restrições de movimento impostas pelos suportes. O equilíbrio é estabelecidopelo princípio das potências virtuais, relacionando as potências interna e externa.Entretanto, quando se aborda problemas com condições unilaterais, mostra-se queo equilíbrio é estabelecido por uma desigualdade. Por fim, as relações constitutivasrelacionam as tensões com as taxas de deformação, através do conceito do subdife-rencial da função dissipação plástica e a lei de normalidade.

Ressalta-se que quando se aborda problemas que envolvem contato unilateralcom atrito, verifica-se a não-normalidade da lei de Coulomb, violando os princípiosnos quais estão calcados a formulação de análise limite. Neste contexto, introduz-seo conceito de bipotencial para a lei de atrito de Coulomb, estudado em [13, 46], demodo a estender as propriedades de materiais Standard a materiais não-Stardard.

Por se tratar de um assunto complexo, o desenvolvimento de toda teoria queenvolve contato unilateral com atrito será abordado em um capítulo a parte.

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2.1 Cinemática

Em um determinado instante de tempo t, seja um corpo B limitado pelo contorno Γ,onde forças de superfície τ são aplicadas em Γτ , b são as forças de corpo. No contornoΓD são prescritas velocidades homogêneas e em Γv são prescritas velocidades não-nulas, conforme mostra a Figura 2.1:

Figura 2.1: Corpo submetido a forças de corpo e de superfície.

Apesar da Figura 2.1 mostrar prescrição de forças e velocidades não-homogêneas,ressalta-se que na formulação de análise limite com força prescrita não se admiteprescrição de velocidades e vice-versa. Porém, essa restrição não altera os princípiosestabelecidos para cinemática.

Define-se o conjunto V, espaço de funções de todos os campos de velocidades vcinematicamente admissíveis, que satisfazem as prescrições de velocidades, homogê-neas e não homogêneas. Definem-se também os subespaços V 0 e V , tais que:

V = {v ∈ V |v = v em Γv} (2.1)

V 0 = {v ∈ V |v = 0 em ΓD} (2.2)

O campo de velocidades total v ∈ V é a soma de elementos v ∈ V e v ∈ V 0.Portanto:

v = v + v (2.3)

Ao se assumir que nos problemas de prescrição de força se admite apenas pres-crição de velocidades homogêneas, implica v = 0 e V = V 0.

A cinemática das deformações é descrita pelo campo de taxas de deformações D,que são elementos suficientemente regulares do espaço W e mapeado pelo espaço Vpelo operador linear tangente D:

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D = Dv, para v ∈ V e D ∈ W (2.4)

onde: D = 1/2(∇v + (∇v)T ).

2.2 Equilíbrio

O equilíbrio será estabelecido a partir do princípio das potências virtuais. Dado quenas aplicações de nosso interesse, as condições de contorno de força e velocidadenão são aplicadas de forma simultânea. Então, as equações de equilíbrio serãodeduzidas de modo a atender às duas condições de prescrição de força e velocidadeseparadamente.

2.2.1 Prescrição de Forças com Velocidades Prescritas Ho-mogêneas

Pelo princípio das potências virtuais, relaciona-se a potência interna Pi, definidapor um produto de dualidade entre o campo de tensões T ∈ W ′ e as taxas dedeformações D ∈ W e a potência externa Pe, que relacionam um sistema de cargasF ∈ V ′ e o campo de velocidades cinematicamente admissível v ∈ V . Assim, se astensões T e as taxas de deformações D são armazenadas na forma de um vetor, asEquações (2.5) e (2.6) representam as expressões para as potências interna e externa:

Pi = 〈T,D〉 =∫B

T ·D dB (2.5)

Pe =∫B

b · v dB +∫

Γττ · v dΓτ (2.6)

onde b e τ são vetores que armazenam as forças de corpo e superfície respectiva-mente.

Em um corpo submetido a um programa de cargas proporcionais e L(v), a po-tência externa será αL(v), sendo α o fator de amplificação de cargas. Portanto,utilizando a relação entre o campo de velocidades e taxas de deformação estabele-cido em (2.4), o equilíbrio é estabelecido:

〈T,Dv〉 = αL(v) + Lm(v), ∀v ∈ V (2.7)

onde Lm(v) representa a carga morta.Desta forma, o equilíbrio acima pode ser representado por uma forma compacta,

em que Sα representa o conjunto dos campos de tensão em equilíbrio com um sistemade forças:

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Sα = {T ∈ W ′|〈T,Dv〉 = αL(v) + Lm(v), ∀v ∈ V } (2.8)

2.2.2 Prescrição de Velocidades e Forças Prescritas Nulas

Ao se estabelecer o princípio das potências virtuais para o caso em que se admiteprescrição de velocidades não-homogêneas, pelo mesmo princípio define-se um campode tensões auto-equilibrados:

S0 = {T ∈ W ′|〈T,Dv〉 = 0,∀v ∈ V 0} (2.9)

Como não se admite prescrição de forças de corpo e superfície, a potência de-senvolvida por estas forças é nula. Entretanto, isso não implica que não há potên-cia externa envolvida. A partir da composição do campo de velocidades em (2.3),v = v + v, o princípio estabelecido em (2.9) é reescrito:

〈T,Dv〉 − 〈T,Dv〉 = 0, v ∈ V (2.10)

Aplicando o teorema de Gauss, define-se a potência externa:

Πe = 〈T,Dv〉 = 〈Tn, v〉Γv (2.11)

onde: n é o vetor unitário externo ao contorno de prescrição de velocidade Γv.Portanto, o equilíbrio é estabelecido para um corpo em que são admitidas apenas

prescrições de velocidades, homogêneas e não-homogêneas:

〈T,Dv〉 − 〈Tn, v〉Γv = 0,∀ v ∈ V (2.12)

2.3 Relação Constitutiva

O desenvolvimento das equações constitutivas para materiais elásticos idealmenteplásticos são deduzidas a partir de conceitos termodinâmicos para processos irre-versíveis, conforme visto em MAUGIN [6], LUBLINER [19] e GURTIN et al. [56].As relações constitutivas apresentadas são restritas a materiais elásticos idealmenteplásticos, sob a hipótese de pequenas deformações. Esses princípios são admitidospara materiais estáveis, através do princípio da máxima dissipação plástica, impli-cando a normalidade da lei de fluxo associativa e o conceito de material Standard.

Para modelos de comportamento independentes do tempo, que admitem a ocor-rência de taxas de deformação plástica, existe um conjunto P, que define o espaçode tensões plasticamente admissíveis:

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P = {T ∈ W ′|f(T) ≤ 0} (2.13)

Este conjunto é convexo e a fronteira de P é a superfície de escoamento, ondetensões nessa região estão associadas taxas de deformação plásticas.

As relações constitutivas são deduzidas a partir do princípio da máxima dissi-pação plástica de acordo com [5, 6, 19, 21], onde na sua condição de extremo sedefine:

χ(Dp) = T ·Dp (2.14)

Uma vez que T é um campo de tensão no colapso e T∗ ∈ P , pelo princípio damáxima dissipação se estabelece que:

〈T−T∗,Dp〉 ≥ 0 (2.15)

Substituindo a condição de extremo da Equação (2.14) na desigualdade (2.15),a função dissipação plástica é definida como um supremo sobre o campo de tensões,conforme (2.16):

χ(Dp) = supT∗∈P〈T∗,Dp〉 (2.16)

O princípio da máxima dissipação plástica acarreta importantes consequênciaspara a teoria de plasticidade, conforme LUBLINER [19]. Se a desigualdade (2.15)é válida para qualquer tensão T∗ ∈ P , e sendo a superfície de escoamento suave econvexa, existe um plano tangente e vetores normais em todos os pontos da superfíciede P, conforme mostra a Figura 2.2. Portanto, para uma tensão T na superfície deP, de modo a obedecer a desigualdade em (2.15), a taxa de deformação plástica Dp

estará orientada na direção normal à superfície de escoamento e essa consequênciaé a lei da normalidade.

Figura 2.2: Convexidade da função de escoamento e normalidade.

A lei da normalidade implica a proporcionalidade entre a taxa de deformação eo gradiente da função de escoamento. A lei de fluxo plástico pode ser escrita como:

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Dp = λ∇f(T) (2.17)

onde λ é o multiplicador plástico e se relaciona com a função de escoamento f(T)pela complementaridade:

λf(T) = 0, f(T) ≤ 0, λ ≥ 0 (2.18)

Este conceito pode ser estendido para o caso em que a função de escoamento nãoapresenta um contorno suave, ou seja, apresenta pontos singulares. Neste caso, anormal não é única e a taxa de deformação plástica deve estar no cone das normaisdefinidas pelas tangentes nesse ponto e o conceito de gradiente é substituído pelosubdiferencial [6]. Na Figura 2.3 mostra-se que a taxa de deformação plástica estácontida no cone das normais à tensão T na superfície de f(T).

Figura 2.3: Cone das normais na superfície de P.

Através do conceito de subdiferencial ∂χ(Dp) para a função dissipação plástica,estabelece-se:

χ(Dp∗)− χ(Dp) ≥ 〈T,Dp∗ −Dp〉 (2.19)

Graficamente:O cone das normais exteriores a P em T é definido por:

Cp = {Dp ∈ W |〈(T−T∗,Dp〉 ≥ 0, ∀T ∈ P} (2.20)

Então, de forma compacta as relações constitutivas são estabelecidas em (2.21):

T ∈ ∂χ(Dp)⇐⇒ Dp ∈ Cp(T) (2.21)

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Figura 2.4: Subdiferencial da função dissipação plástica.

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Capítulo 3

Função de Escoamento

3.1 Introdução

As soluções de problemas em plasticidade são bastante sensíveis à função de es-coamento utilizada, principalmente o campo de tensões e as taxas de deformaçõesplásticas. Uma vez que a admissibilidade plástica das tensões deve ser satisfeita, ouseja, f(T ) ≤ 0, o campo de tensões deverá atender a essa restrição. Além disso, atra-vés da lei da normalidade, a taxa de defomação plástica é proporcional ao gradienteda função de escoamento.

A função de escoamento deve englobar parâmetros do material estudado. Paramateriais metálicos, as funções de Tresca e von Mises são as funções clássicas utili-zadas e são independentes da tensão média, isto é, esses sólidos sob ação de tensãohidrostática não se deformam plasticamente e dependem apenas da parcela desvia-dora do tensor de tensões. Em um estado de tensão multi-axial, a tensão equivalenteé então calculada e comparada à tensão de escoamento do material (ou a coesão cs,no caso de solos). Denotando como J2 o invariante associado à norma do desviador,mostra-se a função de von Mises em 3.1 e sua representação gráfica na Figura 3.1:

f(T ) =√J2 − cs ≤ 0 (3.1)

Entretanto, para o estudo de plasticidade em solos, os critérios de von Mises eTresca podem não descrever adequadamente o seu comportamento plástico, pois sãonecessários parâmetros adicionais. Assim, os critérios de Drucker-Prager e Mohr-Coulomb são utilizados. Além da tensão de escoamento (ou coesão), o ângulo deatrito do material (αs) é um parâmetro adicional, conforme mostra a Figura 3.2.Em contraste com os metais, os solos possuem grande sensibilidade à tensão médiae alguns tipos de solos como a areia dependem desta tensão para existir na forma deum sólido. Solos são constituídos por diversas partículas, desde tamanhos da ordemde micrometros como a argila até alguns milímetros como são as partículas de areia.

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Figura 3.1: Função de escoamento de von Mises: independente da tensão média.

O critério de Drucker-Prager é dada pela expressão em 3.2, dependente da tensãomédia Tm e representado graficamente na Figura 3.2:

f(T ) =√J2 − αsTm − cs ≤ 0 (3.2)

Figura 3.2: Função de escoamento de Drucker-Prager.

Do ponto de vista do comportamento mecânico, solos podem ser consideradosmateriais plásticos sujeitos a grandes deformações por cisalhamento, ocasionado pelodeslizamento de umas partículas sobre as outras. Além disso, o solo possui vazios,que são preenchidos por ar e água, onde essa água pode estar livre na massa sólidaou então adsorvida pelas partículas que o constituem. Um solo é classificado comosaturado se todos seus vazios forem preenchidos por água, parcialmente saturado sepossuir ar e água e seco se não houver água, como visto em LUBLINER [19].

Em materiais como argila há a formação de filmes de água adsorvida e assim,os grãos de argila podem deslizar sobre os outros sem que haja uma desintegraçãoda matriz ao se aplicar uma tensão de cisalhamento no solo. Solos que apresentamesse comportamento são coesivos. Entretanto, em tipos de solo como cascalho eareia, esse movimento entre grãos é resistido pelo atrito seco, resultando em tensõescisalhantes que dependem da compressão do material. Desta forma, são classificadoscomo solos friccionais.

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Entretanto, as funções clássicas utilizadas para análise de solos em plasticidadenão consideram a porosidade como parâmetro. A função de escoamento propostapor GATHIER [1] e CARIOU [2], deduzida a partir da teoria de homogeneização,quantifica a influência da porosidade em um critério de resistência, relacionando ocomportamento plástico da fase sólida e os poros dos solos.

3.2 Parâmetros de Solos

Alguns parâmetros utilizados para análise de solos não são usuais na engenhariamecânica. Desta forma, apresentam-se alguns conceitos básicos sobre ângulo deatrito e coesão, mostrados com maiores detalhes no Apêndice B.

3.3 Desenvolvimento da Função de Escoamentode Ulm-Gathier-Cariou

O desenvolvimento desta função de escoamento, nomeada Ulm-Gathier-Cariou,parte da teoria de homogeneização, empregada por GATHIER [1] e CARIOU [2]que tiveram como base a teoria de homogeneização exposta em DORMIEUX et al.[57] e DORMIEUX [58], para a dedução de um critério de resistência macroscó-pico a partir do conhecimento dos critérios microscópicos dos diversos materiais queconstituem o solo.

A determinação de um comportamento efetivo para o material envolve multiescalas e sua separabilidade. Por esse conceito, entende-se que a dimensão de umporo (dimensão micro) difere em escala da dimensão do problema em estudo, comopor exemplo, no deslocamento provocado por um punção em uma peça (dimensãomacro). Haverá portanto um campo de tensões e deformações em escalas micro emacro. Baseadas nas propriedades da fase sólida e nas informações da morfologiados poros , uma função de escoamento macroscópica é desenvolvida através de umateoria de homogeneização não-linear.

Na análise em escala micro, extrai-se um volume elementar representativo (rev,em inglês), formado por fases sólida e porosa, como mostra a Figura 3.3. Em escalamacro, este rev localiza-se em um ponto x do espaço e o vetor z localiza cada pontode sua microestrutura:

Dependendo da posição z, pode-se localizar um ponto do rev como sólido (V s)ou poro (V p). Denotando o campo de tensões em microescala como σ:

σ(z) ={6= 0, se z ∈ V s

= 0, se z ∈ V p(3.3)

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Figura 3.3: Volume representativo elementar (rev).

Em macroescala denota-se o campo de tensões T, que se relaciona com o campode tensões em microescala conforme a Equação 3.4:

T = σ(z) = (1− ϕ)σ(z)s (3.4)

onde: ϕ é a porosidade (ϕ = 1− η, η é a concentração de sólido), a barra acima deσ indica uma média em volume e o índice "s"indica uma média volumétrica na fasesólida.

A Equação 3.5 estabelece a tensão média volumétrica da fase sólida:

σ(z)s = 1V s

∫V sσ(z)dV (3.5)

Na análise da fase sólida, considera-se um critério de resistência f s isotrópico edependente dos invariantes de tensões em micro-escala:

f s(σ) = F(I1 = trσ, I2 = 12tr(σ · σ), I3 = 1

3tr(σ · σ · σ)) (3.6)

Dentre uma série de critérios isotrópicos, destacam-se o critério de von Mises(função do segundo invariante do desviador) e o critério de Drucker-Prager, de-pendente também do primeiro invariante. Portanto, para a fase sólida, as funçõesde escoamento e as funções de dissipação desenvolvidas para o nível macro podemser estendidas para o nível micro. Posteriormente, é feita uma relação entre essasescalas.

Uma maneira de relacionar essas diferentes escalas é submeter o rev a uma con-dição de contorno de tensão, como na Figura 3.3. Assim, no contorno ∂V :

t(z) = T · n(z) (3.7)

23

onde: T é a tensão macroscópica relacionada com o campo de tensões microscópicoatravés da Equação 3.4.

A potência externa induzida por esse carregamento:

δW =∫∂V

t(z) · v(z)da = T ·DV (3.8)

onde: D é a taxa de deformação macroscópica, calculada a partir de uma médiavolumétrica da taxa de deformação microscópica.

Desta forma, as funções dissipação das escalas macro e micro se relacionam deforma similar como as tensões:

χ(D) = (1− ϕ)πs(d(z)) (3.9)

onde: χ(D) é a dissipação na escala macro, D é a taxa de deformações plásticasna escala macro, πs(d(z)) é a dissipação da fase sólida, d(z) é o campo taxa dedeformações em escala micro e a barra indica uma média no volume de sólido.

Um ponto-chave para o desenvolvimento do critério de resistência é a relaçãoentre as taxas de deformação em micro e macro-escala. Uma relação interessante éobtida pela micromecânica linear, através da média volumétrica de primeira ordemda taxa deformação volumétrica em escala micro tr(d(z)) e a taxa de deformaçãodesviadora em escala micro δ(z), relacionando-se com a taxa de deformação emmacro-escala D e sua parcela desviadora Td:

(1− ϕ)tr d(z)s = khom

kstr(D)

(1− ϕ)‖δ(z)s‖2 = µhom

µs‖Td‖2 (3.10)

onde: khom e µhom são os módulos volumétrico e cisalhante macroscópicos e ks e µs

são os módulos volumétrico e cisalhante da fase sólida. Td armazena as componentesde tensão desviadora na forma de um vetor.

Médias quadráticas acoplam as deformações volumétrica e desviadora e são con-sideradas adequadas por capturar uma melhor aproximação da heterogeneidade docampo de deformações da microestrutura, conforme CARIOU [2]:

12(1− ϕ)(tr d(z))2s = 1

2∂khom

∂ks[tr(D)]2 + ∂µhom

∂k2 ‖Td‖2

(1− ϕ)‖δ(z)s‖2 = 12∂khom

∂µs[tr(D)]2 + ∂µhom

∂µ2 ‖Td‖2 (3.11)

3.3.1 Sólido de von Mises

Um sólido de von Mises deforma-se plasticamente de forma incompressível, impli-cando:

∂khom

∂ks= ∂µhom

∂ks= 0 (3.12)

24

Os módulos volumétrico khom e cisalhante µhom são módulos homogeneizados deum material poroso constituído por um sólido incompressível, ks → ∞. Sob essacondição, khom e µhom são funções lineares de módulo cisalhante da fase sólida:

∂khom

∂µs= khom

µs= K(ϕ, η0)

∂µhom

∂µs= µhom

µs=M(ϕ, η0)

(3.13)

onde as funções K(ϕ, η0) eM(ϕ, η0) dependem da porosidade ϕ e da morfologia domeio poroso (através do limite de percolação η0).

Desta forma, através da manipulação algébrica, substituem-se as funções defini-das em 3.13 nas expressões 3.11 e assim, relacionam-se as deformações nas diferentesescalas. Posteriormente, pela substituição na função dissipação desenvolve-se o cri-tério de resistência de um material poroso em função das tensões em escala macro,cuja fase sólida é regida pelo critério de von Mises:

f(Tm,Td) = 1KT 2m + 1M

J22 − (1− ϕ)c2

s = 0 (3.14)

onde: J2 =√

12Td ·Td, sendo Td um vetor que armazena as componentes de tensão

desviadora em escala macro.

3.3.2 Sólido de Drucker-Prager

De forma similar, desenvolve-se a expressão para o critério de resistência de um ma-terial poroso, cuja fase sólida se comporta como um material friccional, dependenteda tensão média.

f(Tm,Td) =(

1K− αs

1− ϕ

)(Tm−T cm)2 + 1

MJ2

2 − (1−ϕ)c2s

1− ϕ1− ϕ− α2

sK= 0 (3.15)

O domínio desse critério de resistência é uma elipse centrada em Tm = T cm eJ2 = 0, onde:

T cm = − αscs1K −

α2s

1−ϕ

(3.16)

Ao se considerar o ângulo de atrito αs nulo, a função de escoamento homo-geneizada de Drucker-Prager recai na função de von Mises. Neste caso, a funçãohomogeneizada de von Mises será também uma elipse, entretanto com centro em(0, 0).

De maneira simplificada, o critério expresso em 3.15 pode ser escrito como:

25

f(Tm,Td) =(Tm − CA

)2

+(J2

B

)2

− 1 (3.17)

onde as constantes A, B e C são determinadas em função da morfologia adotada.A tabela 3.1 mostra as expressões para o cálculo das constantes A, B e C de

acordo com o critério de resistência adotado para a fase sólida. As expressões sãoválidas para o critério de von Mises quando αs é nulo.

Tabela 3.1: Parâmetros para o critério de resistência de um material poroso comfase sólida de von Mises e Drucker-Prager.

Coeficiente Sólido von Mises (αs = 0) e Drucker-PragerA cs

√(1− ϕ)K 1−ϕ

1−ϕ−α2sK

B cs√

(1− ϕ)M√

1−ϕ1−ϕ−α2

sKC T cm = −csαsK 1−ϕ

1−ϕ−α2sK

3.3.3 Morfologias dos Poros

A morfologia dos poros estuda a forma como a fase sólida do material e os porosse relacionam para formar o material poroso. A morfologias Mori-Tanaka e Auto-Consistente apresentam dois modelos distintos para relacionar fase sólida e poros:material sólido com inclusões de poros e outro modelo que considera partículasde fase sólida em contato e confinadas em um espaço. Neste caso, existe umaconcentração mínima de fase sólida de modo que o material poroso mantenha acontinuidade. Esse é o limite de percolação, representado por η0.

Morfologia Mori-Tanaka

Neste modelo, há um predomínio da fase sólida no material poroso e os poros sãoinclusões, conforme ilustra a Figura 3.4. A matriz permanece contínua em todafaixa de concentração de sólido 0 ≤ η ≤ 1 e o limite de percolação η0 = 0. Umexemplo clássico de materiais sob essa morfologia são argilas, e em seu volume podehaver vazios.

Morfologia Auto-Consistente

De forma distinta da morfologia Mori-Tanaka, a morfologia auto-consistente modelao material como grãos desordenados e a existência de poros entre os grãos. Este mo-delo é caracterizado pelo limite de percolação η0 = 1/2, abaixo do qual as partículassólidas perdem a continuidade. A areia ou a brita podem ser caracterizadas por

26

Figura 3.4: Fase sólida como matriz, com coesão cs e ângulo de atrito αs e inclusõesde poros.

essa morfologia, uma vez que são constituídas por grãos que estão em contato. AFigura 3.5 mostra esse modelo:

Figura 3.5: Grãos desordenados e poros são descritos pela morfologia auto-consitente.

3.3.4 Coeficientes das Morfologias Mori-Tanaka e Auto-Consistente

A função de escoamento 3.17 será parametrizada pela coesão e apresenta a seguinteforma:

f(Td, Tm) = J22α2d

+ (Tm + σ0)2

α2m

− 1 (3.18)

A Tabela 3.2 apresenta os coeficientes utilizados na Equação 3.18 para as mor-fologias Mori-Tanaka e Auto-Consistente, parametrizados pela coesão cs.

Os coeficientes desta tabela expressam informações sobre o sólido (coesão e ân-gulo de atrito) e sobre a microestrutura (porosidade e percolação). Como casos-limite, para αs → 0 e η → 1, o critério de von Mises é alcançado assintoticamente;para αs 6= 0 e η → 1, o critério de Drucker-Prager é alcançado.

Para a morfologia Mori-Tanaka há uma concentração de sólido crítica (ηcr), emfunção do ângulo de atrito, onde abaixo dessa concentração a função de escoamento

27

Tabela 3.2: Coeficientes da função de escoamento para as morfologias Mori-Tanakae Auto-Consistente.

Coeficiente Mori-Tanaka Auto-Consistenteαm = A/cs

2(1−ϕ)−√

3ϕ3ϕ−4α2

s

2(1−ϕ)√ϕ(1−2ϕ)(3−ϕ)

3ϕ−ϕ2−4α2s(1−2ϕ)

αd = B/cs3√ϕ(1−ϕ)√

(3+2ϕ)(3ϕ−4α2s)

√3ϕ(1−2ϕ)(1−ϕ)

3ϕ−ϕ2−4α2s(1−2ϕ)

σ0 = C/cs4(1−ϕ)αs3ϕ−4α2

s

4(1−ϕ)(1−2ϕ)αs3ϕ−ϕ2−4α2

s(1−2ϕ)

possui a forma de uma elípse; acima deste valor a função de escoamento assumeuma forma hiperbólica. Além disso, como 0 ≤ ηcr ≤ 1, isso implica que o ângulo deatrito pode assumir valores αs ≥ 0 e αs ≤

√3/2. A concentração crítica é calculada

em função do ângulo de atrito, dada pela Equação (3.19):

ηcrit = 1− 43α

2s (3.19)

A Figura 3.6 mostra um exemplo para este comportamento ao se plotar o gráficoda função de escoamento em Σm × J2. Para um ângulo de atrito αs = 0, 4, o valorde concentração de sólido crítica é ηcr = 0, 786. Abaixo desse valor a função éelíptica e acima deste é hiperbólica, até que alcança assintoticamente o critério deDrucker-Prager quando η → 1.

Figura 3.6: Comportamento da função de escoamento com a variação de porosidade.

Para o caso hiperbólico, deve-se lembrar que a hipérbole é composta por dois

28

ramos. Para representar essa função, apenas o ramo que contém o estado de tensãonulo é considerado, uma vez que este estado de tensão deve ser admissível.

3.4 Formulação da Função Ulm-Gathier-Carioupara o Estado Plano de Deformação

Os problemas para os quais a função de escoamento de Ulm-Gathier-Cariou seráaplicada utilizam a hipótese básica de estado plano de deformação. Essa hipóteseimplica que a taxa de deformação plástica em uma dada direção é nula e atravésda aplicação da lei da normalidade nesta direção, é possível encontrar uma relaçãoentre a tensão desenvolvida e as tensões no plano ortogonal a esta direção.

Para esta função de escoamento aplica-se a morfologia Mori-Tanaka e, conformecomentado, há uma concentração de sólido crítica que define os regimes dessa função:elíptica ou hiperbólica. Para concentrações de sólido abaixo da concentração críticadefinida pela Equação (3.19), a função tem a forma elíptica; acima desta, hiperbólica.

Devido a esse comportamento distinto, desenvolvem-se separadamente as funçõespara os casos elíptico e hiperbólico. Além disso, desenvolvem-se também as formula-ções dos gradientes, dos Hessianos e de seus autovalores e autovetores, fundamentaispara implementação computacional do algoritmo de solução do problema de análiselimite. Na formulação elíptica utiliza-se uma forma quadrática para a função, poisapresenta um hessiano positivo-definido. Entretanto, esse mesmo requisito não éalcançado quando a função adquire a forma hiperbólica e uma abordagem distintase faz necessária.

3.4.1 Definições

O vetor T será usado para armazenar as componentes de tensão, admitindo a hipó-tese de estado plano de deformação:

T = [Tx, Ty, Tz, Txy]T (3.20)

Define-se o tensor P como um operador que projeta o vetor de tensões T noespaço das tensões desviadoras Td, tem-se:

Td = PT (3.21)

Definindo-se agora o vetor unitário m = 1√3 [1, 1, 1]T na direção do eixo hidrostá-

tico, calcula-se a tensão média conforme a Equação (3.22):

Tm = 1√3

T ·m (3.22)

29

No espaço das tensões principais observa-se o vetor m e perpendicular a este, oplano desviador, conforme mostra a Figura 3.7:

Figura 3.7: Representação do eixo hidrostático e plano desviador.

Admitindo a hipótese de estado plano de deformação, impõe-se que εz = 0 eutiliza-se a lei da normalidade na Equação (3.23).

εz = λ∇f(T ) = 0 (3.23)

Como λ 6= 0, a componente Tz é determinada em função das componentes detensão Tx e Ty, conforme a Equação (3.24):

Tz = c1Tx + Ty

2 − c2 (3.24)

onde c1 e c2 são constantes e dependentes das propriedades do material e terãovalores distintos para a forma elíptica ou hiperbólica.

Eliminando a componente Tz, dependente de Tx e Ty, definem-se para o estadoplano de deformação o vetor de tensões Tp em 3.25 e o vetor unitário mp em 3.26:

Tp = [Tx, Ty, Txy]T (3.25)

mp = 1√2

[1, 1, 0]T (3.26)

Definido o vetor unitário mp, define-se também a tensão média Tmp no estadoplano de deformação em 3.27 e reescreve-se a expressão da tensão média :

Tmp = 1√2

Tp ·mp (3.27)

30

Tm = 13[Tmp(2 + c1)− c2] (3.28)

Nas seções subseqüentes apresentam-se as funções de escoamento elíptica e hi-perbólica, particularizadas para o estado plano de deformação. Os seus respectivosGradientes e Hessianos, necessários para implementação no algoritmo de solução doproblema de análise limite. Os autovalores dos Hessianos também são calculados,de forma a avaliar singularidades nas funções de escoamento.

Essa abordagem distinta justifica-se por singularidades no Hessiano da funçãohiperbólica. A função elíptica apresenta-se na forma quadrática e esta é uma fun-ção estritamente convexa, pois seu Hessiano é positivo-definido. Entretanto, para afunção hiperbólica, escrevê-la da mesma forma implica a inclusão de um espaço detensões não admissíveis e a função é não-convexa. Então, escrever a função hiperbó-lica na forma radical elimina este problema, sem no entanto eliminar a singularidadedo Hessiano, pois este será positivo semi-definido. No caso de presença de singulari-dades, o trabalho de PONTES et al. [24] propõe perturbações no Hessiano atravésdo conhecimento de seu núcleo, de modo que o Hessiano seja inversível. A condiçãode inversibilidade do Hessiano é importante para o cálculo da matriz de rigidez,estimativa do multiplicador plástico e cálculo do incremento de tensão no Programade Análise Limite.

Os desenvolvimentos detalhados das funções elíptica e hiperbólica são mostradosnas seções seguintes.

3.4.2 Função Elíptica para o Estado Plano de Deformação

A partir da função de escoamento definida em 3.18 desenvolve-se a função de es-coamento para o caso elíptico. A função originalmente definida em função de T éreescrita em função de Tp, vetor de tensões no estado plano de deformação.

Para a função elíptica, as constantes c1 e c2 serão denotadas por ce1 e ce2 paradistinguir do caso hiperbólico e são calculadas conforme as Equações (3.29) e (3.30):

ce1 = 3α2m − 2α2

d

α2d + 3α2

m

(3.29)

ce2 = 3α2dσ0

α2d + 3α2

m

(3.30)

A Equação 3.31 relaciona os vetores de tensão T e Tp:

T = PDTp + ce (3.31)

31

onde PD é definido como:

PD =

1 0 00 1 0

ce1/2 ce1/2 00 0 1

e o vetor ce = [0, 0,−ce2, 0]T .

Através dessa relação, calcula-se o invariante J2 e a tensão média Tm em funçãodo vetor Tp. Assim, a função de escoamento elíptica é calculada:

f(Tp) = 12C Tp ·Tp + aTp ·mp +Rk (3.32)

onde:

C = 9α2m(mp ⊗mp)

(α2d + 3α2

m)2 + PTD P PDα2d

(3.33)

a = 3√

2σ0

(α2d + 3α2

m) (3.34)

e:

Rk = −1 + 3σ20

(α2d + 3α2

m) (3.35)

Gradiente

Definida a função de escoamento em 3.32, seu gradiente é calculado:

∇f(Tp) = C Tp + a mp (3.36)

Hessiano

O Hessiano da função é calculado conforme a Equação 3.37:

∇2f(Tp) = C (3.37)

Autovalores e autovetores de C

Calculando-se os autovalores de C, obtêm-se:λ1= 1

α2d;

λ2= 1α2d;

λ3= 3α2d+3α2

m

32

Autovetores de C

v1 =[0,0,1];v2 =[ −1√

2 ,1√2 , 0];

v3 =[ 1√2 ,

1√2 , 0]

Os autovetores v1 e v2 são vetores no plano desviador e o autovetor v3

corresponde ao vetor orientado na direção do eixo hidrostático definido pelo vetorunitário mp no estado plano de deformação.

Pode-se a partir dos autovalores e autovetores calculados reescrever o tensor Ccomo uma decomposição espectral. Verifica-se que tensor C possui dois autovaloresdistintos: λ1 = λ2 6= λ3. Se I representa a identidade:

C = λ3(mp ⊗mp) + λ1(I−mp ⊗mp) (3.38)

Como P = (I−mp ⊗mp), tem-se:

C = λ3(mp ⊗mp) + λ1P (3.39)

Portanto, o tensor C é escrito em uma base ortogonal e esta forma torna-seconveniente ao se implementar computacionalmente. Ao se analisar os autovaloresde C, verificar-se que C é positiva-definida, pois para o caso elíptico as constantesαd > 0 e αm > 0.

3.4.3 Função Hiperbólica para o Estado Plano de Deforma-ção

Caso o valor de η supere o valor de ηcrit, pela morfologia de Mori-Tanaka a proprie-dade α2

d assume um valor negativo e escreve-se α2d = − | α2

d |. A função representadapela Equação (3.18) é reescrita e obtém-se uma equação hiperbólica, como a Equa-ção (3.40):

f(Td, Tm) = J22

− | α2d |

+ (Tm + σ0)2

α2m

− 1 (3.40)

O procedimento é semelhante ao caso elíptico e deve-se relacionar os vetores Te Td. A componente Tz é computada da mesma forma que em 3.24:

Tz = ch1Tx + Ty

2 − ch2 (3.41)

onde as constantes ch1 e ch2 são calculadas em função das propriedades do material:

ch1 = 3α2m + 2 | α2

d |− | α2

d | +3α2m

(3.42)

33

ch2 = 3 | α2d | σ0

| α2d | −3α2

m

(3.43)

A Equação relaciona os vetores de tensão T e Td:

T = PDTp + ch (3.44)

onde:

PD =

1 0 00 1 0

ch1/2 ch1/2 00 0 1

e ch = [0, 0,−ch2 , 0]T .

Assim, a função de escoamento para o caso hiperbólico tem a forma apresentadaem Equação (3.45):

f(Tp) = J2 −√I2

1 (3.45)

onde:

J2 =√

12PTp ·Tp (3.46)

e

I21 = b(mp ⊗mp)Tp ·Tp + cTp ·mp −Rk (3.47)

sendo as constantes b, c e Rk dependentes das propriedades e calculadas como asEquações (3.48), (3.49) e (3.50) :

b = −3 | α2d |

2 | α2d | −6α2

m

(3.48)

c = 2√

2c1σ0 (3.49)

Rk =| α2d |(

1 + 3σ20

| α2d | −3α2

m

)(3.50)

De uma forma mais compacta, escreve-se de forma equivalente a função de esco-amento:

f(Tp) = J2 −√b[Tp ·mp +

√2σ0]2− | α2

d | (3.51)

34

Gradiente

O gradiente da função de escoamento hiperbólica é calculado na Equação (3.52)como:

∇f(Tp) = PTp√2PTp ·Tp

− 2b(mp ⊗mp)Tp + cmp

2√b(mp ⊗mp)Tp ·Tp + cTp ·mp −Rk

(3.52)

Hessiano

∇2f(Tp) = 1√2PTp ·Tp

(P− χd ⊗ χd)− b(mp ⊗mp)− χm ⊗ χm

2√Tlim

(3.53)

onde:

χd = PTp√PTp ·Tp

(3.54)

Tlim = b(mp ⊗mp)Tp ·Tp + cTp ·mp −Rk (3.55)

χm = (2bTp ·mp + c)mp√2Tlim

(3.56)

Autovalores e Autovetores do Hessiano

Ao se decompor os tensores da função de escoamento hiperbólica, os tensores P e(mp ⊗mp) realizam transformações de vetores que estarão em espaços ortogonais,ou seja, o espaço das tensões médias e desviadoras. Escrever a função neste formatotorna-se conveniente e o cálculo dos autovalores e autovetores do Hessiano torna-seuma tarefa mais simples.

Analisando os vetores χd e χm, pode-se perceber que estes são ortogonais: χd

está no espaço das tensões desviadoras e χm pertence ao espaço das tensões médias,sendo este vetor proporcional ao vetor unitário mp. Desta forma, os vetores mp eχd serão analisados como possíveis autovetores do Hessiano.

Vetor χd

Multiplicando-se o Hessiano calculado na Equação (3.53) pelo vetor χd e sendo ostensores ortogonais, somente a 1a parcela relacionada ao desviador será diferente dezero e será avaliada. De acordo com a Equação (3.57):

[∇2f(Tp)]χd = Λ1χd (3.57)

onde Λ1 é o autovalor associado ao vetor χd.

35

Efetuando-se o cálculo da 1a parcela, o resultado será nulo e desta forma, oautovalor do autovetor χd será Λ1 = 0.

Vetor mp

Para calcular o autovalor associado ao autovetor mp, utiliza-se a Equação (3.58):

[∇2f(Tp)]mp = Λ2mp (3.58)

Como a 1a parcela se refere a transformação de um vetor ao espaço das ten-sões desviadoras, somente a 2a parcela de Equação (3.53) será utilizada no cálculo.Efetuando-se o cálculo representado na Equação (3.58), Λ2 = 3α4

d

2T 3/2lim

(3α2m−|α2

d|).

Utilizando a morfologia Mori-Tanaka e reescrevendo as propriedades α2m e | α2

d |em função de seu empacotamento η e seu ângulo de atrito αs, pode-se avaliar se otermo (3α2

m− | α2d |) será positivo. Caso seja sempre positivo, ou seja, avaliando-se

para as concentrações de sólido 0 < η < 1 e para os ângulos de atrito 0 < αs <√

3/2,garante-se que o autovalor Λ2 será maior que zero. Desta forma, esse termo é escritode acordo com a Equação (3.59):

3α2m− | α2

d |=9η2(1− η)(11η + 4α2

s − 23)(2η − 5)(3η + 4α2

s − 3)2 (3.59)

Avaliando-se esta expressão para os intervalos abertos para η e αs, prova-se queo termo da Equação (3.59) assumirá sempre valores positivos e Λ2 > 0. Para ocritério de Drucker-Prager, η → 1, portanto Λ2 →∞.

3.5 Dissipação Plástica para o Estado Plano deDeformação

Para as funções de escoamento elíptica e hiperbólica no estado plano de deformação,avalia-se a admissibilidade dos processos plásticos através da função de dissipaçãoplástica, de modo que o processo seja termodinamicamente admissível.

Denotando D como a taxa de deformação plástica e T como o campo de tensões,a dissipação plástica é descrita pela Eq. (3.60):

T ·D ≥ 0 (3.60)

onde a taxa de deformação plástica D é calculada pela lei da normalidade:

D = λ∇f(Tp) (3.61)

36

onde Tp é o vetor de tensões no estado plano de deformação, λ é o multiplicadorplástico, sujeito às restrições: λ ≥ 0, f(Tp) ≤ 0 e λ f(Tp) = 0.

A dissipação plástica das funções de escoamento no estado plano de deformaçãopara os casos elíptico e hiperbólico serão estudados separadamente nas seções aseguir.

3.5.1 Dissipação Plástica para a Função de EscoamentoElíptica

Aplicando-se a lei da normalidade, a taxa de deformação plástica, considerando-sea função de escoamento elíptica da Eq. (3.32), é calculada como:

D = λ

[Td

α2d

+ 23

(Tm + σ0)Iα2m

](3.62)

onde: Td é um vetor que contém as tensões desviadoras e o vetor I = [1, 1, 1]T .Desta equação pode-se separar duas parcelas de taxas de deformação plástica:

a primeira associada a uma deformação desviadora, denotada por Dd e a outraassociada a uma deformação média, dm, e assim escreve-se:

D = Dd + dmI (3.63)

onde:

Dd = λTd

α2d

(3.64)

e

dm = λ23

(Tm + σ0)α2m

(3.65)

Calcula-se também a norma de Dd:

‖ Dd ‖=√

2λJ2

α2d

(3.66)

Quando se alcança o escoamento, a condição de complementaridade estabeleceque f(Tp) = 0 e λ > 0. A partir da Eq. (3.66) e Eq. (3.65), isola-se J2 e Tm e a funçãode escoamento elíptica da Eq. (3.32) pode ser escrita em função das componentesde deformação:

α2d ‖ Dd ‖2

2λ2 + 94d2mα

2m

2λ2 − 1 = 0 (3.67)

A partir de Eq. (3.67), o multiplicador plástico λ é calculado:

37

λ = 12

√9α2

md2m + 2α2

d ‖ Dd ‖2 (3.68)

Calculando-se a dissipação plástica através da Equação (3.60) e dados que o vetorde tensões pode ser decomposto na parcela desviadora e média, T = Td + TmI, eutilizando-se a Eq. (3.63), deduz-se que:

T ·D = Td ·Dd + TmI · dmI = 2λJ22

α2d

+ 2λTm(Tm + σ0) (3.69)

Reescrevendo Eq. (3.69) em função das componentes de deformação:

T ·D =√

9α2md

2m + 2α2

d ‖ Dd ‖2 − 3dmσ0 = 2λ[1− σ0

α2m

(Tm + σ0)]≥ 0 (3.70)

Se λ > 0, a condição da Eq. (3.71) deve ser satisfeita para o processo ser termo-dinamicamente admissível:

Tm ≤α2m − σ2

0σ0

(3.71)

Para analisar essa desigualdade, considera-se uma variável T ∗m que estará com-preendida entre os limites Σm1 = (−αm − σ0) e Σm2 = (αm − σ0), conforme ilustraa Figura 3.8:

38

Figura 3.8: Raizes da função elíptica e tensão média flutuante.

Assim, para pertencer ao domínio da função de escoamento elíptica, escreve-seuma função para T ∗m, tal que:

T ∗m = Σm1 + γαm | 0 ≤ γ ≤ 2 (3.72)

Substituindo a Equação (3.72) na desigualdade da Equação (3.71), obtem-se:

σ0(γ − 1)− αm ≤ 0, ∀γ | 0 ≤ γ ≤ 2 (3.73)

Na particularização para o critério de Mises, os parâmetros da função deescoamento de Ulm-Gathier-Cariou tendem aos seguintes valores:(αd/cs)2 = 1,(αm/cs)2 =∞ e σ0/cs = 0. Assim, para o critério de Mises, deduz-se que:

dm = 0 (3.74)

λ =√

22 ||Dd|| (3.75)

E a dissipação plástica é calculada, a partir da Equação (3.70):

χ(D) =√

2||Dd|| (3.76)

39

3.5.2 Dissipação Plástica para a Função de Escoamento Hi-perbólica

Aplicando-se a lei da normalidade, a taxa de deformação plástica, considerando-sea função de escoamento hiperbólica para o estado plano de deformação dada pelaEquação (3.40), é calculada como:

D = λ

[− Td

| α2d |

+ 23

(Tm + σ0)Iα2m

](3.77)

onde: Td é um vetor que contém as tensões desviadoras e o vetor I = [1, 1, 1]T .Pela Equação (3.77), a taxa de deformação plástica pode ser entendida como

a soma de uma parcela de deformação desviadora e outra de deformação média.Assim, definem-se:

Dd = − Td

| α2d |

(3.78)

Calcula-se também a norma de Dd:

‖ Dd ‖= −√

2λJ2

| α2d |

(3.79)

Denota-se a parcela da deformação média como:

dm = 23λ

(Tm + σ0)α2m

(3.80)

Assim, escreve-se a taxa de deformação plástica como a soma das parcelas des-viadora e média:

D = Dd + dmI (3.81)

Quando se alcança o escoamento, a condição de complementaridade estabeleceque f(Tp) = 0 e λ > 0. A partir da Equação (3.79) e Equação (3.80), isola-se J2

e Tm e a função de escoamento hiperbólica de Equação (3.40) pode ser escrita emfunção das componentes de deformação:

−| α2d |‖ Dd ‖2

2λ2 + 94d2mα

2m

λ2 − 1 = 0 (3.82)

A partir de Equação (3.82), o multiplicador plástico λ é calculado:

λ = 12

√9α2

md2m − 2 | α2

d |‖ Dd ‖2 (3.83)

Dado que o vetor de tensões pode ser decomposto na parcela desviadora e média,ou seja, T = Td +TmI, e utilizando Equação (3.81) a função dissipação é calculada:

40

T ·D = Td ·Dd + TmI · dmI = −2λJ22

| α2d |

+ 2λTm(Tm + σ0) (3.84)

Reescrevendo Equação (3.84) em função das componentes de deformação:

T ·D =√

9α2md

2m − 2 | α2

d |‖ Dd ‖2 − 3dmσ0 = 2λ[1− σ0

α2m

(Tm + σ0)]≥ 0 (3.85)

Se λ ≥ 0, a expressão entre colchetes de Equação (3.85) também deverá sermaior ou igual a zero. Essa condição será satisfeita se:

Tm ≤α2m − σ2

0σ0

(3.86)

No caso hiperbólico, para a morfologia Mori-Tanaka, | σ0 |>| αm | e σ0 = − | σ0 |e αm = − | αm |.

Para não violar a 2a lei da termodinâmica, deve-se avaliar se para qualquer valorde Tm, sendo esta plasticamente admissível, se a desigualdade da Equação (3.86)será satisfeita. Para isso, um estudo paramétrico será feito.

Para este estudo, denota-se por Σm1 a raiz da hipérbole correspondente ao ramoque contém a origem (Tm = 0, J2 = 0). Neste caso, Σm1 = (αm − σ0), conformemostrado na Figura 3.9 .

Figura 3.9: Raiz da função hiperbólica e tensão média flutuante.

41

Seja agora T ∗m uma tensão média flutuante cuja variação pode ser descrita pelafunção da Equação (3.87) :

T ∗m = Tm1 + γαm (3.87)

Substituindo Equação (3.87) na desigualdade da Equação (3.86), obtem-se:

− | σ0 | (1 + γ)+ | αm |≤ 0, ∀γ | 0 ≤ γ ≤ ∞ (3.88)

Como para morfologia Mori-Tanaka | σ0 |>| αm |, mostra-se que a desigualdadeda Equação (3.88) será sempre satisfeita e conseqüentemente a função de dissipaçãoplástica não será violada.

42

Capítulo 4

Formulações de Análise Limite noContínuo

Através dos princípios gerais estabelecidos, de cinemática, equilíbrio e relação cons-titutiva para um corpo elástico perfeitamente plástico, os princípios de análise limiteno contínuo são deduzidos neste capítulo, contemplando as condições de contornode força e velocidade, não se admitindo as prescrições simultâneas.

Ressalta-se ainda que nos princípios a serem estabelecidos neste capítulo não hápreocupação ainda com o estudo do contato entre os corpos e as restrições acarreta-das pelas condições unilaterais com atrito. Assim, as formulações de análise limiteque serão deduzidas contemplam apenas as condições de deslizamento sem atrito ouadesão total. A situação de deslizamento e adesão total são simuladas através daimposição de restrições de movimento na direção tangencial. Ao desenvolvimentode uma formulação em análise limite que abrange condições unilaterais com atritoserá dedicado um capítulo a parte.

A teoria de análise limite se insere como um método direto, utilizado para so-lução de problemas em plasticidade, com aplicação na determinação de cargas decolapso em estruturas, cálculo da capacidade de cargas em solos, estabilidade, pro-blemas de conformação mecânica de materiais, entre outras aplicações. Este métodoconsiste basicamente na determinação de uma carga (ou uma potência externa) queprovocará em um corpo elástico idealmente plástico o fenômeno do colapso plásticoincipiente, caracterizado pelo desenvolvimento de taxas de deformações plásticas sobcarregamento constante [12, 19, 21]. Para o desenvolvimento desta teoria, algumashipóteses são adotadas, conforme visto em [19] e [26]:

1. as deformações prévias são de mesma ordem de magnitude das deformaçõeselásticas e variações da geometria podem ser desprezadas;

2. a aceleração pode ser desprezada e o problema é tratado como quasi-estático;

43

3. o material é considerado perfeitamente plástico ou com encruamento cinemá-tico limitado;

4. a superfície de escoamento deve ser convexa e as taxas de deformação estãosob a lei da normalidade.

Os conceitos de colapso plástico e fluxo plástico são essencialmente equivalentes,embora na prática possuam significados distintos. O colapso plástico descreve asituação iminente de desenvolvimento de grandes e indesejáveis deformações em umadeterminada configuração do corpo. Por outro lado, o conceito de fluxo plástico éaplicado para descrever o processo estácionário onde se deseja moldar um sólido emdeterminada forma, através de forças convenientemente aplicadas, conforme vistoem BORGES et al. [59].

Sob a adoção da hipótese de plasticidade ideal e na ocorrência do fluxo ou colapsoplástico, fazer referência a uma deformação plástica total εp não faz sentido, poisa magnitude do fluxo plástico é ilimitada. Neste caso, emprega-se o termo taxa dedeformação, que pode ser decomposta nas parcelas elástica e plástica:

D = De + Dp (4.1)

Portanto, através desta hipótese mostra-se também que no colapso a componenteelástica da taxa de deformações é nula, implicando D = Dp. Isso pode ser demons-trado pela Lei de Hooke, pois De = C−1T e onde C é a matriz de elasticidade.Então, na situação de colapso incipiente para materiais idealmente plásticos T = 0,mostra-se que De = 0.

O modelo matemático para definição do colapso plástico é definido pelo conjuntode variáveis a se determinar, a saber: o fator de amplificação de carga α ∈ R quandohá prescrição de forças ou a potência externa de colapso Πe ∈ R quando houverprescrição de velocidades, o campo de tensões T ∈ W ′ plasticamente admissíveis, ocampo de velocidades v ∈ V cinematicamente admissíveis e a taxa de deformaçãoplástica Dp ∈ W compatível ao campo de velocidades v, relacionadas conforme acinemática, e o multiplicador plástico λ ∈ R.

De forma compacta, um problema em análise limite com prescrição de forças édefinido pela cinemática em (4.2), o equilíbrio em (4.3) e a relação constitutiva em(4.5). Para prescrição de velocidades, pela cinemática (4.2), equilíbrio em (4.4) e arelação constitutiva em (4.5).

44

Dp = Dv, v ∈ V (4.2)

T ∈ Sα, α ≥ 0 (4.3)

T ∈ S0, Πe ≥ 0 (4.4)

T ∈ ∂χ(Dp)⇔ D ∈ Cp(T) (4.5)

Portanto, sob as hipóteses e os princípios básicos apresentados, desenvolvem-senas seções subsequentes as formulações de análise limite com prescrição de forçase velocidades. Ressalta-se que não se admite a prescrição simultânea de forçase velocidades. Para o caso de prescrição de forças, aborda-se o caso clássico eposteriormente, os casos em que as cargas de corpo são tratadas como carga mortae carga viva, definidas conforme a seguir:

• carga morta: a força de corpo está presente, porém, não é amplificada;

• carga viva: o peso é um carregamento ativo e levado em conta no cálculo docolapso plástico da estrutura.

4.1 Análise Limite para Problemas com Prescri-ção de Forças

A partir da cinemática, equilíbrio e relação constitutiva desenvolvem-se os princípiosestático, cinemático e o princípio misto de análise limite: o princípio estático éproposto como um supremo sobre o campo de tensões e o cinemático como umproblema de ínfimo sobre o campo de velocidades. O princípio misto resulta em umproblema de min-máx sobre os campos de tensões e velocidades.

Para o princípio estático admite-se um relaxamento sobre o campo de velocidadese reforça-se que as condições de equilíbrio e admissibilidade plástica sejam satisfeitas.Para o princípio cinemático, admite-se um campo de velocidades cinematicamenteadmissíveis, de modo a estas sejam compatíveis com as condições de vínculos vigentese relaxa-se na verificação das condições de equilíbrio, que não são necessariamenteatendidas.

Então, através do princípio da máxima dissipação plástica, da convexidade dafunção dissipação plástica e do equilíbrio, as fomulações estática, cinemática e mistasão estabelecidas, conforme em (4.6), (4.7) e (4.8), que abrangem apenas os proble-mas com carga externa prescritas e prescrição de velocidades homogêneas:

45

1. Formulação estática:

α = supα∗∈R,T∈W ′

α∗ | T ∈ P ∩ Sα (4.6)

2. Formulação cinemática

α = infv∗∈V

χ(Dv∗) | 〈F,v∗〉 = 1 (4.7)

3. Formulação mista

α = infv∗∈V

supT∗∗∈W ′

〈T∗∗,Dv∗〉∣∣∣∣∣ 〈F,v

∗〉 = 1T∗∗ ∈ P

(4.8)

Mostra-se em [12, 17, 18] que estes princípios serão propostos como problemasde otimização de funcionais duais entre si. Essa dualidade é caracterizada ao seconsiderar que as equações que governam o problema de análise limite são condiçõesnecessárias de ótimo para cada funcional. Posteriormente, através da forma discretadeduzem-se as condições de ótimo que caracterizam o problema de análise limite eum algoritmo é utilizado para a solução do problema de otimização.

4.2 Análise Limite para Problemas com CargaMorta

Em alguns casos, em especial os problemas de geotecnia, o peso da estrutura é deci-sivo para determinação do carregamento de colapso, como por exemplo, na avaliaçãoda capacidade de solos para o projeto de fundações, problema de aterros e taludes,onde se deposita material sobre um material-base e deseja-se calcular a altura crí-tica que se pode alcançar de modo que se mantenha a estabilidade da massa de solo.Nesses exemplos o peso do solo deve ser considerado, porém, este deve ser tratadode formas distintas dependendo da aplicação. No estudo de capacidade de solos ointeresse é calcular a potência externa que uma estaca deve desenvolver de modoque o solo alcance o colapso plástico. Neste caso o peso do solo é decisivo, porém,não é um carregamento a ser amplificado, pois sua massa pemanece constante eassim, o peso é tratado como carga morta. Entretanto, em estabilidade de aterros etaludes a finalidade é determinar a altura máxima que o solo depositado sobre ummaterial-base deve alcançar de modo que estabilidade da estrutura seja mantida.Neste caso, o peso do solo é uma carga de corpo ativa a ser amplificada e nestescasos o peso constitui uma carga viva.

46

Os princípios estabelecidos anteriormente pela cinemática continuam aplicáveis eo equilíbrio é estabelecido pelo princípio da potência virtuais, formulado de maneiraa atender a forma como as forças de corpo são tratadas. Considera-se que a potênciaexterna pode ser decomposta como a soma das potências desenvolvidas pelas forçasde superfície e as forças de corpo, denotando respectivamente por τ , aplicadas nocontorno Γτ do corpo B, e por γ, o peso específico atuando em todo volume ocupadopor B. Assim, as equações de equilíbrio são estabelecidas.

Para o caso em que a carga de corpo é tratada como carga viva, o equilíbrio éestabelecido pela Equação (4.9). Neste caso, as forças de superfície e de corpo sãoamplificadas, embora nesses casos somente o peso seja considerado pois o interesseé amplificar a força-peso até um limite de estabilidade do corpo.

〈T,Dv〉 = α〈F,v〉, v ∈ V (4.9)

onde: 〈F,v〉 = 〈τ,v〉Γτ + 〈γ,v〉Para o caso de carga de corpo como carga morta, a Equação (4.10) mostra o

equilíbrio. Neste caso somente a força de superfície é amplificada.

〈T,Dv〉 = α〈τ,v〉Γτ + 〈γ,v〉, v ∈ V (4.10)

Desta forma, estabelecidas as condições de equilíbrio, deduzem-se os princípiosde análise limite para atender as duas condições, carga morta e carga viva.

Formulação Estática

De maneira similar à formulação clássica, a partir do princípio de máxima dissipaçãoe do equilíbrio estabelecido na Equação (4.10), a formulação estática é estabelecida:

〈T−T∗,Dv〉 ≥ 0←→ 〈T∗,Dv〉 ≤ α〈τ,v〉Γτ + 〈γ,v〉 ,T∗ ∈ P (4.11)

O equilíbrio também deve ser satisfeito para 〈T∗,Dv〉 = α∗〈F,v〉+〈γ,v〉. Então,a formulação estática é alcançada, conforme (4.12):

α = supα∗∈R,T∈W ′

α∗∣∣∣∣∣ 〈T

∗,Dv〉 ≤ α〈τ,v〉Γτ + 〈γ,v〉T∗ ∈ P

(4.12)

Formulação Cinemática

O princípio cinemático é deduzido a partir do conceito de subdiferencial para afunção dissipação plástica:

47

χ(Dv∗)− χ(Dv) ≥ 〈T, (Dv∗ −Dv)〉, v ∈ V (4.13)

Ao aplicar a condição de extremo χ(Dv) = 〈T,Dv〉 e dado que o equilíbriotambém deve ser satisfeito para v∗, estabelece-se que 〈T,Dv∗〉 = α〈F,v∗〉+ 〈γ,v∗〉.Ao utilizar esse equilíbrio em (4.13), alcança-se a desigualdade:

χ(Dv∗) ≥ α〈τ,v∗〉Γτ + 〈γ,v∗〉, v ∈ V (4.14)

Logo, o princípio cinemático é estabelecido:

α = infv∗∈V

χ(Dv∗)− 〈γ,v∗〉 | 〈τ,v∗〉Γτ = 1 (4.15)

Formulação Mista

A função dissipação plástica é deduzida a partir de um supremo sobre o campo detensões:

χ(Dv) = supT∗∈P〈T∗,v〉 (4.16)

Então, substituindo essa expressão na formulação cinemática (4.15), o princípiomisto é estabelecido:

α = infv∗∈V

supT∗∗∈W ′

〈T∗∗,Dv∗〉 − 〈γ,v∗〉∣∣∣∣∣ 〈τ,v〉Γτ = 1,

T∗∗ ∈ P(4.17)

4.2.1 Carga de Corpo como Carga Viva

Os princípios estático, cinemático e misto estabelecidos para este caso são deduzidosde forma semelhante às formulações clássicas em (4.6), (4.7) e (4.8). A diferençaencontra-se na forma de apresentação da potência externa, pois esta é decompostanas potências das forças de corpo e superfície, de modo a satisfazerem as condiçõesde equilíbrio estabelecidas em (4.9).

Desta forma, as formulações estática, cinemática e mista são obtidas ao se con-siderar a decomposição da potência externa:

〈F,v〉 = 〈τ,v〉Γτ + 〈γ,v〉 (4.18)

Caso não haja aplicação de forças de superfície, como na determinação da esta-bilidade de solos, 〈τ,v〉Γτ = 0 e a potência externa aplicada nos princípios clássicosse escreve como 〈F,v〉 = 〈γ,v〉.

48

4.3 Análise Limite para Problemas com Prescri-ção de Velocidades

Em determinados problemas nem sempre é possível quantificar e caracterizar asforças externas que agem em um corpo, como em problemas que envolvem contatoentre dois corpos. A distribuição dessas forças de interação podem ocorrer de formanão uniforme ao longo da superfície, caso a superfície possua ainda uma geometrianão convencional. Então, em vez de forças, prescrever velocidades torna-se conveni-ente, pois a ação de movimento que um corpo executa em outro é uma condição quese pode quantificar e representar, pois a direção e o sentido da ação são conhecidas.Portanto, o desenvolvimento de uma formulação de análise limite que contemple essacondição de contorno se justifica. Nas formulações em análise limite a serem apre-sentadas a prescrição de forças não é permitida, somente condições não-homogêneasem velocidades.

De maneira análoga à formulação de análise limite com carga prescrita, o pro-blema com prescrição de velocidades não-homogêneas consiste na obtenção de umcampo de velocidade cinematicamente admissível, um campo de deformações compa-tível e não-rígido, associado a um campo de tensão autoequilibrado e plasticamenteadmissível, soluções do seguinte sistema de equações:

D = Dv, v ∈ V (4.19)

T ∈ S0 (4.20)

T ∈ ∂χ(D)⇔ D ∈ Cp(T) (4.21)

Entretanto, na análise limite com velocidade prescrita não faz sentido calcularum fator de colapso α e nas formulações a restrição de potência externa unitárianão é aplicável. Portanto, as formulações estática cinemática e mista são deduzidas.

4.3.1 Formulação Estática

Do ponto de vista da estática, esta formulação consiste na obtenção de um campode tensões autoequilibrado e plasticamente admissível, ou seja, T ∈ S0 ∩ P . Odesenvolvimento da formulação estática baseia-se no princípio da máxima dissipação,conjugado com a equação de equilíbrio (2.12) e a definição de potência externa em(2.11). Assim:

〈T−T∗,Dv〉 ≥ 0 (4.22)

Dado que o equilíbrio é também satisfeito a potência correspondente a tensão

49

T∗: 〈T∗,Dv〉 = 〈T∗n, v〉 e assim:

Πe = supT∗〈T∗n,v〉Γv | T ∈ P ∩ S0 (4.23)

A solução deste problema permite o conhecimento da potência de colapso e adeterminação do campo de tensões de colapso autoequilibrados.

4.3.2 Formulação Cinemática

A formulação cinemática do problema de análise limite para velocidades prescritasconsiste em encontrar um campo de velocidade v ∈ V , cinematicamente admissívele puramente plástico.

O princípio cinemático é desenvolvido a partir da função dissipação plásticae seu subdiferencial, conforme já estabelecido em formulações anteriores. Dadoque a condição de extremo é atendida, ou seja, χ(Dv) = 〈T,Dv〉, e o equilíbrio〈T,Dv∗〉 = 〈Tn, v〉, a desigualdade é alcançada:

χ(Dv∗) ≥ 〈Tn, v〉 (4.24)

Dada a definição de potência externa, o princípio cinemático é deduzido:

Πe = infv∗∈V

χ(Dv∗) (4.25)

A solução deste problema de otimização (4.25) permite a obtenção da potênciade colapso e de um mecanismo de colapso.

4.3.3 Formulação Mista

De maneira análoga à formulação mista para problemas com carga prescrita,substitui-se a definição da função dissipação plástica na formulação cinemática(4.25), e a formulação mista é deduzida:

Πe = infv∗

supT∗∗〈T∗∗,Dv∗〉

∣∣∣∣∣ v∗ ∈ VT∗∗ ∈ P

(4.26)

50

Capítulo 5

Formulações Discretas de AnáliseLimite

Após o desenvolvimento das formulações de análise limite no contínuo para os casosde prescrição de força e velocidades, neste cápítulo abordam-se as formas discre-tizadas destes princípios. No contínuo, as formulações são definidas em espaçosde dimensão infinita; na versão discreta das formulações de análise limite haverá aaproximação via elementos finitos, em espaços de funções de dimensão finita. Se-rão apresentadas apenas as formas discretas para as formulações mistas, que serãoimplementadas para solução dos problemas propostos.

5.1 Elemento Triangular Misto

Para discretização do domínio contínuo são propostos elementos triangulares, cominterpolação quadrática para os campos de velocidade, com continuidade C0. Parao campo de tensões a interpolação é linear e há descontinuidade entre elementos,conforme [15] e [16]. No elemento misto proposto o campo de tensões é obtido comoresultado direto do processo, em vez relacioná-lo com um campo de velocidades e fa-zer a integração da relação constitutiva como na formulação cinemática. Os camposde tensões descontínuos são posteriormente recuperados de modo a se obter umaaproximação contínua entre elementos. Mais detalhes sobre o elemento triangularutilizado encontra-se no Apêndice C.

5.2 Formulação Discreta de Análise Limite comPrescrição de Forças

O princípio misto discreto é um problema do tipo min-máx, definido sobre um campode tensões e velocidades, sob as restrições de potência externa unitária e de admis-

51

sibilidade plástica de tensões. Os campos de tensão e velocidade estão acopladospela função dissipação e são interpolados independentemente. Uma restrição a essainterpolação diz respeito à possibilidade de se poder impor a admissibilidade plás-tica das tensões em todo domínio, considerando-se estas restrições em apenas umnúmero finito de pontos BORGES [11].

A versão discreta da forma variacional mista é obtida pela aproximação doscampos de tensão conforme a Equação (C.2) e de velocidades conforme (C.1). Assim,define-se também um vetor-força, constituído por forças de corpo γ que agem novolume do corpo e as forças de superfície τ no contorno Γτ i de B:

Fi =∫Biφi Tv γ dBi +

∫Γiτφi Tv τ dΓτ i (5.1)

A admissibilidade das tensões, definida pelo conjunto P abrange um númeroinfinito de restrições. Na forma discreta essa admissibilidade será verificada em umnúmero infinito de pontos, que deve ser suficiente para garantir a verificação destasrestrições em todo corpo. Redefine-se o conjunto P:

P = {T ∈ Rq|f(T) ≤ 0} (5.2)

onde T ∈ Rq é um vetor que armazena os parâmetros de tensão elementares ef(T) indica uma função m-vetorial que agrupa os vetores elementares f i, sendo adesigualdade entendida componente a componente. Assim:

f(T) = [f i(Ti)]T , i = 1, ne (5.3)

onde: ne é o número total de elementos e f i são as funções de escoamento necessáriaspara garantir a admissibilidade plástica das tensões no elemento i.

Desta forma, escreve-se o modelo misto discreto de análise limite com prescriçãode forças:

α = infv∈Rn

supT∈Rq

T ·Bv∣∣∣∣∣ F · v = 1,f(T) ≤ 0

(5.4)

onde: F contém os vetores elementares Fi definidos em (5.1).

5.2.1 Dualidade no Problema Discreto e Programação não-Linear

As versões discretas das formulações variacionais (4.6), (4.7) e (4.8) levam a for-mulações duais, pois mostra-se em BORGES [11] que existe um ponto de sela paraa formulação mista. Então, o problema discreto de análise limite pode ser postode quatro maneiras equivalentes: estática, cinemática, mista e pelo conjunto das

52

condições de ótimo discretas, conforme apresentadas em (5.6), (5.7), (5.8) e (5.9.Essas condições de ótimo são calculadas a partir da inclusão das restrições da for-mulação mista e derivando o Lagrangeano obtido em (5.5) em relação às variáveis{T,v, α, λ}. Assim:

L(T,v, α, λ) = T ·Bv− α(F · v)− λf(T) (5.5)

Bv−∇f(T)λ = 0, (5.6)

BTT− αF = 0, (5.7)

F · v = 1, (5.8)

fj(T)λj = 0, j = 1, ...,m,←→ f(T) ≤ 0, /; λ ≥ 0 (5.9)

Alguns aspectos do procedimento de solução são mostrados no Apêndice D e oprocedimento completo é encontrado em [12], [17] e [24].

5.3 Formulação Discreta com Prescrição de Forçae Carga Morta

Para a dedução da forma discreta com prescrição de força e carga morta, convém-seseparar o vetor de força definido em (5.1) nas parcelas de forças de superfície Fs

e as forças de corpo Fm, a força-peso tratada como carga morta. Desta forma, olagrangeano é calculado a minimizar é escrito:

L(T,v, α, λ) = T ·Bv− α(Fs · v)− Fm · v− λf(T) (5.10)

A partir daí, as condições de ótimo são armazenadas em ψ(x):

Ψ(x) =

Bv−∇f(T)λ

BTT− Fm − αFs

−F · v + 1−G(T)λ

(5.11)

onde: Ψ(x) = 0.O vetor x armazena as variáveis conforme indicado em (E.2) e calcula-se o incre-

mento em (D.5) através do método de Quasi-Newton, conforme (D.4). A série de

53

substituições é semelhante ao caso de prescrição de forças apenas, entretanto, umaalteração no algoritmo é necessária em sua inicialização, uma vez que na condiçãoinicial o campo de tensões não é mais nulo, pois há um campo de tensão permanenteassociado ao peso próprio do corpo. Assim, o campo de tensões total T contém umaparcela fixa Tf , associado ao peso próprio da estrutura e o campo de tensões variávelTv, associado à força de superfície amplificada e de modo que T = Tf + Tv.

Em caso de presença de carga morta, realiza-se uma iteração inicial para deter-minar o campo de tensões fixo. Do equilíbrio:

BTT = αFs + Fm (5.12)

Na iteração inicial, Fs = 0 e o equilíbrio é posto em (5.15):

BT T = αmFm −→ Fm = BT Tαm

(5.13)

Como o interesse é pela tensão fixa, o campo de tensões T será dividido pelofator αm e a tensão fixa é determinada:

Tf = Tαm−→ Fm = BTTf (5.14)

De forma equivalente, utilizando a composição do campo de tensões Tv = T−Tf

e reescreve-se o equilíbrio:

BTT = αFs +BTTf −→ BTTv = αFs (5.15)

No algoritmo isso implica uma translação da origem, pois o estado inicial detensões não é nulo. Assim, no cálculo de contração no algoritmo de solução ocorrerásomente na parcela de tensão variável Tv, conforme mostra a Figura 5.1:

Figura 5.1: Algoritmo: contração da parcela variável.

54

5.4 Formulação Discreta de Análise Limite comPrescrição de Velocidades

De maneira análoga à discretização em problemas com carga prescrita, os camposde tensão e velocidade de (4.26) definidos em espaços de dimensão infinita são apro-ximados por elementos finitos, através de funções de dimensão finita.

Para desenvolver a forma discreta da formulação mista (4.26), segue-se a mesmaproposta para aproximar os campos de tensão e velocidade, garantindo a admissibi-lidade plástica das tensões como em (5.2) considerando (5.3). O operador discretode deformação B é calculado da mesma forma como no caso de prescrição de forças.Então, a forma discreta mista é estabelecida como se segue:

Πe = infv∈Rn

supT∈Rq

T ·Bv∣∣∣∣∣ v = v + v,v ∈ V

f(T) ≤ 0(5.16)

onde v corresponde às velocidades prescritas não-homogêneas e v corresponde aocampo de velocidade-solução do problema.

As condições de ótimo que serão utilizadas para solução do problema de análiselimite são obtidas através do problema dual Lagrangeano BAZARAA et al. [60],através da minimização do funcional dual L(T,v, λ), onde a restrição f(T) ≤ 0 émultiplicada pelo parâmetro de Lagrange λ, o multiplicador plástico. Assim:

Πe = infv∈Rn

supT∈Rq

T ·B(v + v)− λf(T)∣∣∣∣∣ v ∈ V 0 (5.17)

Minimizando o funcional L(T,v, λ) = T ·B(v + v)− λf(T), sujeito a λ ≥ 0, ascondições de ótimo são calculadas:

Bv−Bv−∇f(T)λ = 0, (5.18)

BTT = 0, (5.19)

fj(T)λj = 0, j = 1, ...,m, (5.20)

f(T) ≤ 0, (5.21)

λ ≥ 0 (5.22)

55

5.4.1 Procedimento Numérico

A solução do problema discreto com prescrição de velocidades é uma adaptaçãoda metodologia apresentada para o caso de prescrição de força, entretanto, comalgumas particularidades e detalhamentos que são demonstrados no Apêndice E.As condições de ótimo (5.6, 5.7, 5.9) são armazenadas na variável ψ(x), onde x =[T,v, λ]. Deve-se ressaltar que a equação que impõe a potência unitária devido àforça externa não se estabelece nesta formulação.

Nesta formulação, o conjunto de equações ψ(x) que armazena as condições deótimo do problema com velocidade prescrita possui a seguinte forma:

ψ(x) =

Bv +Bv− λ∇f(T)

BTT−G(T)λ

(5.23)

O método de Quasi-Newton também será aplicado para estimativa do incrementod0x e consequentemente, a estimativa de um novo conjunto de variáveis x, mostrados

a seguir:

x = [T, v, λ], (5.24)

d0x = [d0

T , v− v0, λ0 − λ] (5.25)

A aplicação do fator de relaxação s e a posterior contração p ocorrerá apenas natensão, conforme as Equações D.10 e D.12.

O gradiente de (E.3) a ser utilizado na estimativa do incremento no método deQuasi-Newton é dado por:

∇ψ(x)d0x =

−Hd0

T +B(v− v0)−∇f(T)(λ− λ0)BTd0

T

−Λ∇f(T)d0T −G(T)(λ− λ0)

(5.26)

A solução de (D.4) permite o cálculo de (5.25). A sequência de substituiçõespara solução desse sistema encontra-se no Apêndice E.

A estimativa do campo de velocidades é calculada a partir da solução do sistema:

Kv = 0 (5.27)

Como o campo de velocidades v = v + v, com v ∈ V 0 e v ∈ V , o sistema (5.27)a solucionar pode ser expandido:

Kv = −F (5.28)

56

onde: v ∈ V 0 e F = KvUma vez determinado o campo de velocidade-solução v, o campo de velocidades

total é determinado e os cálculos de incrementos seguem da mesma forma que oalgoritmo para o caso de força prescrita.

57

Capítulo 6

Análise Limite com Prescrição deVelocidade e Atrito na Interfaceentre Corpos

Neste capítulo apresenta-se uma abordagem para problemas de análise limite em quehá atrito na interface entre corpos. A abordagem mais comum para este problemaconsidera um anteparo rígido estático e prescrição de forças no corpo deformávelfora da região de contato, conforme se observa na Figura 6.1. Essa metodologia foiutilizada por NACCARATO [52] na análise do processo de corte ortogonal, onde aferramenta é considerada um anteparo rígido e verificam-se as condições unilateraiscom atrito nesta interface. Essa abordagem também é adequada em problemas ondehá um fluxo plástico de material, como por exemplo em processos de fabricação comotrefilação e extrusão, como mostra a Figura 6.2, onde a matriz se comporta comoum anteparo rígido em relação ao fluxo de material dentro da câmara.

Figura 6.1: Usinagem: contato entrea ferramenta e a peça.

Figura 6.2: Extrusão: contato entre otarugo e o atrito.

Entretanto, a prescrição de força pode não refletir adequadamente o campo develocidades em um corpo quando há o movimento de um corpo rígido, representadopor uma ferramenta, em contato com um corpo deformável. Neste capítulo é pro-posta uma metodologia em que as condições de contato e de atrito são verificadas

58

diretamente na interface entre o corpo rígido e o corpo deformável, através do es-tudo da velocidade relativa tangencial é possível avaliar se haverá deslizamento ouadesão entre os corpos. Essa abordagem é conveniente, por exemplo, nos problemasde riscamento e na avaliação da resistência lateral do solo à flambagem lateral deum duto, como mostram as Figuras 6.3 e 6.4. No contorno de contato substitui-sea ação do corpo rígido por uma prescrição de velocidades e no mesmo contorno,impõe-se as condições de contato unilateral com atrito.

Figura 6.3: O indentador rígido emcontato com um corpo deformável.

Figura 6.4: Flambagem lateral: contatoentre o duto e o solo.

De modo a desenvolver essa formulação, introduzem-se alguns conceitos de me-cânica do contato, tais como a cinemática e as condições unilaterais com atrito deCoulomb, o equilíbrio e a relação constitutiva, deduzida a partir do conceito debi-potencial estabelecido por [13], onde a não-normalidade da lei de deslizamento étratada de maneira implícita, e assim estende-se os conceitos de material Standardpara materiais não-Standard.

6.1 Fundamentos de Contato

A noção de contato pode ser entendida através da combinação das noções de ad-jacência e toque. Geometricamente, duas partículas estão em continuidade se sãoadjacentes, impenetráveis e inseparáveis; entretanto, estão em contato se forem adja-centes, impenetráveis e separáveis. Por essa idéia de separação a uma menor traçãoque se aplique, define-se o contato unilateral. A mecânica do contato é o estudo domovimento relativo, forças de interação e o comportamento tribológico entre doiscorpos, rígidos ou deformáveis, que se tocam e se friccionam em algum trecho deseu contorno. A mecânica do contato é composta por duas partes complementares,conforme [61]:

• princípios de contato, que governam a relação e a interação de dois corpos,independente de seus materiais constituintes;

• leis tribológicas que governam a relação e a interação de dois materiais, inde-pendente dos corpos, sendo decomposta em contato normal e leis de resistência

59

tangenciais, divididas também em classes, de acordo com o comportamentonuma dada direção. Entre elas, destacam-se o contato unilateral normal eatrito lateral.

O desenvolvimento de uma formulação em que há contato entre dois corpos é umproblema de alta complexidade. Dentre as dificuldades, alguns problemas envolvemgrandes deformações e nem sempre a região onde haverá o contato entre dois corposé óbvia, necessitando assim de algoritmos para detectar essas regiões. E quandoesses corpos alcançam o contato, a região de contato continua desconhecida, poiscomo se tratam de dois corpos deformáveis, a região de contato varia ao longo doprocesso de carregamento.

Desta forma, algumas hipóteses simplificadoras são adotadas para formulaçãodos problemas de estados limites. Como hipóteses básicas, adotam-se:

• os corpos já encontram-se em contato;

• a região de contato é conhecida a priori;

• pequenas deformações;

• processos quasi-estáticos;

A aplicação dessas hipóteses é justificada pelo desenvolvimento da formulaçãode problemas onde há contato de um corpo rígido (uma ferramenta) com um corpodeformável. Assim, considera-se que não há afastamento inicial entre os corpos e aferramenta encontra-se totalmente em contato com o corpo. A adoção da hipótese depequenas deformações permite utilizar a configuração indeformável como referência.

Os problemas de contato com deslizamento tangencial envolvem movimento.Portanto, desenvolve-se uma formulação em velocidades onde a aceleração dos cor-pos é pequena e as forças de inércia são desprezadas.

A seguir apresenta-se o conceito de contato unilateral e as restrições que essacondição acarreta. Depois aborda-se a cinemática de contato e posteriormente asleis de deslizamento, que envolvem componentes normal e tangencial à superfície decontato. Mostra-se também o equilíbrio, estabelecido pela princípio das potênciasvirtuais em conjunto com as restrições unilaterais, de acordo com [37]. Devido arestrições unilaterais, o equilíbrio é expresso por uma desigualdade. Entretanto, con-forme visto em [62] e [33] a igualdade no equilíbrio é recuperada pela aplicação dasrestrições de contato na forma de um método de penalização de Lagrange. Outrastécnicas são apresentadas em [34] e [63]. A dissipação por atrito e as relações cons-titutivas são introduzidas através de um bi-potencial para a lei de atrito, propostoem [13] e [46].

60

6.2 Contato Unilateral

A chamada lei de contato unilateral combina uma condição geométrica de não-penetração, uma condição estática de não-tração e uma condição energética de com-plementaridade. Nos modelos de análise limite com contato unilateral, em um casogeral, as condições de contato ou separação devem ser verificadas: se houver contato,verifica-se se o corpo permanecerá em contato com adesão ou deslizamento ou aindase haverá separação da superfície de contato. Nos problemas estudados considera-sepor hipótese que:

• o contato ocorre entre um corpo rígido (uma ferramenta, por exemplo) comum corpo deformável;

• a região de contato do anteparo com o corpo deformável é conhecida a priori.

A aplicação dessas hipóteses implicam que há contato permanente entre os cor-pos, não fazendo sentido definir uma folga na região de contato e por sua vez, umaseparação entre eles.

A Figura 6.5 mostra um corpo deformável B, em contato com um corpo rígidoque executa uma velocidade v. A região de contato unilateral é definida por Γc e nodetalhe define-se o sistema de coordenadas locais {n, t} no corpo deformável. Porsimplicidade, os índices serão suprimidos.

Figura 6.5: Contato de um corpo rígido e um deformável e a orientação dos vetoresunitários no contorno de contato do corpo.

Desta forma, em Γc define-se o vetor vc, cujas componentes são as velocidadesrelativas na direção normal n e tangencial t, onde:

vc = vnn + vtt (6.1)

Define-se agora o vetor R, que armazenas as forças normal e tangencial de con-tato na região Γc, de modo que:

61

R = Rnn +Rtt (6.2)

O problema de contato unilateral, conhecido como problema de Signorini, éimposto na forma de um problema de complementaridade, de modo a descrever acondição de impenetrabilidade e não-tração, de acordo com [33, 36, 44, 61]:

vn ≤ 0 , Rn ≤ 0 , Rnvn = 0 em Γc (6.3)

As restrições descritas pelas relações em (6.3) são representadas graficamentepela Figura 6.5, definindo uma relação de complementaridade entre as variáveis:

Figura 6.6: Gráfico da lei de Signorini.

Tomando-se como referência o sistema de coordenadas {n, t} definido no con-torno Γc do corpo, definem-se duas situações distintas para os corpos em contatounilateral:

• separação: vn < 0 e Rn = 0, pois há um afastamento entre os corpos e não háforça de contato;

• contato: vn = 0 e Rn < 0, há forças de contato entre os corpos.

As relações formuladas em (6.3) são válidas para contato sem atrito. Entretanto,quando há atrito, a esta formulação deve ser combinada uma lei de deslizamento.

6.3 Cinemática

Considera-se inicialmente que os corpos encontram-se inicialmente separados, naiminência de entrar em contato. Com a ação de estímulos externos (apenas velo-cidades prescritas) os dois corpos entram em contato e apresentam em comum ocontorno Γc.

Sejam os corpos B1 e B2, que possuem contornos ΓiD, i = 1, 2, com velocidadesprescritas nulas e contorno Γiv onde velocidades não-nulas são prescritas. No con-

62

torno Γc estabelecem-se os sistemas locais {ti,ni}, onde as normais são exterioresaos corpos conforme se observa no detalhe da Figura 6.7:

Figura 6.7: Corpos na eminência de contato.

Definem-se também os vetores-posição p1 e p2, que localizam os pontos A1,pertencente ao corpo B1 e A2, pertencente ao corpo B2 em relação ao sistema dereferência {x, y}.

Após essas definições, a separação entre os corpos é medida pela função gap:

g = p1 − p2 (6.4)

A partir do vetor gap, estuda-se o contato normal e tangencial através das pro-jeções do vetor g nas direções definidas pelo sistema local {n2, t2}.

Contato Normal

Ao analisar o contato normal, após assumir que os corpos B1 e B2 estão em contato,é necessário desenvolver uma condição que expresse a não-penetração dos corpos.A função gap normal mede a separação normal entre as superfícies de contato doscorpos:

gn = n2 · g ≥ 0 (6.5)

onde: gn > 0 indica separação e gn = 0 indica contato.A adoção da hipótese de que os corpos já encontram-se em contato (gn = 0) é

interessante para o estudo de estados limites, onde a superfície de contato é supos-tamente conhecida.

Como os problemas de contato unilateral com atrito estão associados a ocorrênciade movimentos relativos entre corpos, o emprego da variável velocidade relativatorna-se conveniente. Assim, define-se a velocidade normal relativa:

vn = (p1 − p2) · n2 = (v1n − v2n) (6.6)

63

Contato Tangencial

No estudo de contato, em certas ocasiões pode ocorrer um deslizamento tangencialentre os corpos. Assim, a exemplo do contato normal, define-se o deslizamentotangencial em termos de velocidade relativa:

vt = (p1 − p2) · t2 = (v1t − v2t) (6.7)

Após estudo das condições unilaterais e da cinemática, ao se analisar a direçãotangencial verifica-se que não há restrição de movimento, indicando a possibilidadede movimento relativo entre os corpos em contato. Entretanto, a sua ocorrência estáligada a uma lei de atrito e a uma complementaridade de uma função que expressaessa lei e a velocidade relativa tangencial.

6.3.1 Atrito de Coulomb e Deslizamento Tangencial

Após a introdução do conceito de contato unilateral e as restrições que essa con-dição implica na direção normal, deve-se estudar uma lei que rege o deslizamentotangencial. Ao se estudar a lei de Coulomb, na iminência de ocorrência de des-lizamento verifica-se que a força de reação e a velocidade tangencial desenvolvidapossuem sentidos opostos. Dessa forma, define-se uma função que representa a leide atrito de Coulomb em (6.8) e mostra-se que na direção tangencial há uma relaçãode complementaridade entre o cone de Coulomb e a velocidade tangencial relativa.Definindo-se o vetor reação tangencial Rt = Rtt:

f(Rt, Rn) = ||Rt||+ µRn ≤ 0 (6.8)

Em (6.9) calcula-se o gradiente da função:

∇f(Rt, Rn) = Rt

||Rt||+ µn (6.9)

De modo a satisfazer as condições de contato unilaterais, a direção e sentido dedeslizamento é não-normal à superfície de f(Rt, Rn), conforme mostra a Figura 6.8:

Definindo o vetor velocidade relativa tangencial vt = vtt, em 6.11 descreve-se ma-tematicamente a relação entre os sentidos da velocidade tangencial de deslizamentoe a força de reação:

vn = 0 (6.10)

vt = −λ∇Rtf(Rt, Rn) = −λ Rt

||Rt||(6.11)

64

Figura 6.8: Não-normalidade do vetor velocidade.

A partir de (6.11) é possível deduzir que |vt| = λ e uma condição de complemen-taridade entre a função de Coulomb e a velocidade tangencial relativa se verifica,implicando a ocorrência de adesão ou deslizamento. Ou seja, se |vt| 6= 0, R ∈ ∂Kµ,implicando f(Rt, Rn) = 0 e verifica-se deslizamento. Por outro lado, se |vt| = 0,R ∈ Kµ, implicando adesão e f(Rt, Rn) < 0. A relação de complementaridade éexpressa a seguir:

f(Rt, Rn) ≤ 0 , λ ≥ 0 , λf(Rt, Rn) = 0 (6.12)

Além disso, deduz-se uma relação inversa para a lei de deslizamento. Ao seassumir que há contato entre os corpos, vn = 0, através da condição unilateral eda lei de deslizamento, pode-se deduzir os sentidos das forças de reação normal etangencial:

Rn < 0 (6.13)

Rt = µRnvt||vt||

(6.14)

Portanto, de modo a complementar a lei de contato estabelecida para as con-dições unilaterais, quando há contato unilateral com atrito 3 casos são possíveis:separação, contato com adesão e deslizamento, conforme visto em [13] e [33]. A leide contato com atrito é posta de duas formas: pela análise das forças de reação e alei inversa, através da análise das velocidades relativas na região de contato. Assim:

Na condição de afastamento, a reação normal é nula, implicando falta de contatoentre os corpos. Na condição de contato com adesão, há reações normais e tangenci-ais, sendo esta última de magnitude insuficiente para causar um movimento relativoentre as superfícies de contato, acarretando velocidades relativas normal e tangencialnulas. Na condição de deslizamento, a igualdade na lei de Coulomb é alcançada e assuperfícies estão na iminência de deslizamento, acarretando o desenvolvimento deuma velocidade tangencial relativa não-nula e no sentido oposto à força tangencial.

65

Se Rn = 0, então:vn < 0 → separação, não há contato

Se (Rn < 0 e |Rt| < −µRn), então:vn = 0 e vt = 0→ contato com adesão

Se (Rn < 0 e |Rt| = −µRn, então:vn = 0 e vt = −λ Rt

‖Rt‖ , λ ≥ 0→ contato com deslizamento

Em termos de velocidades relativas no contato, a lei inversa de contato com atritotambém é válida e enunciada como se segue:

Se vn < 0, então:Rn = 0 → separação, não há contato

Se vn = vt = 0, então:Rn < 0 e |Rt| < −µRn → contato com adesão

Se vn = 0 e |vt| > 0, então:Rn < 0 e Rt = µRn

vt‖vt‖→ contato com deslizamento

Esta é uma forma similar de analisar as condições de contato unilateral comatrito, porém, através das velocidades relativas: vn < 0 implica afastamento e por-tanto não há forças de interação entre os corpos. Se as velocidades relativas normale tangencial são nulas, há contato com adesão, onde as velocidades tangenciais doscorpos são nulas ou iguais e por fim, contato com deslizamento se a velocidaderelativa tangencial for não-nula.

Ao se considerar a hipótese que há contato permanente entre os corpos, a con-dição de separação é descartada, uma vez que a potência externa só poderá sertransmitida ao corpo deformável se houver contato entre eles.

Desta forma, ao admitir que a velocidade relativa normal é nula, pode-se concluirque as leis de deslizamento formam uma lei não associativa, uma vez que a direção dedeslizamento não é normal ao cone de Coulomb, porém na direção do vetor unitáriodefinido pela reação tangencial e proporcional a este, conforme mostra a Figura 6.8.

Na seção seguinte apresenta-se o equilíbrio para um problema com condições uni-laterais com atrito, estabelecido pelo princípio das potências virtuais, sob a formade uma desigualdade, de modo a atender as restrições unilaterais. Devido à não-normalidade do deslizamento tangencial, apresenta-se também o conceito de bipo-tencial e um bipotencial para a lei de atrito de Coulomb é proposto por [13, 46].

66

6.4 Equilíbrio para o Problema de Contato Uni-lateral com Atrito

Considerando os corpos B1 e B2 da Figura 6.7 e seus contornos ΓiD, onde velocidadesnulas são prescritas, seus contornos Γiv, onde velocidades são prescritas e a lei deatrito de Coulomb, a forma local ou forte do equilíbrio é estabelecida. Pelo princípiode ação e reação, verifica-se que R1

t = R2t = Rt e R1

n = R2n = Rn. A Figura 6.9

mostra as forças de interação entre os corpos:

Figura 6.9: Princípio de ação e reação nas interfaces.

Na forma local, conforme [63], estabelecem-se as equações de equilíbrio, junta-mente com as restrições impostas pelas condições unilaterais com atrito:

−divT = 0, em B1 (6.15)

−divT = 0, em B2 (6.16)

v = 0, em ΓiD, i = 1, 2 (6.17)

v = v, em Γiv, i = 1, 2 (6.18)

Tn2 = R em Γc (6.19)

Rn ≤ 0, gn ≥ 0, Rngn = 0 em Γc (6.20)

vt = 0, |Rt| ≤ −µ Rn em Γc (6.21)

vt 6= 0, |Rt| = −µRn em Γc (6.22)

Verifica-se que as restrições de contato unilateral com atrito são descritas emforma de desigualdades. Assim, a forma fraca dos problemas de contato são desi-gualdades variacionais, implicando a possibilidade de diferentes soluções para essesproblemas. Para inclusão das condições de contato, a aplicação de técnicas de pe-nalização para solução de problemas, recuperando assim a igualdade no equilíbrio,

67

é um procedimento usual e proposto em referências como KIKUCHI e ODEN [36] eWRIGGERS [34].

6.4.1 Princípio das Potências Virtuais

Ao se analisar os corpos B1 e B2 separadamente, verificam-se forças de interação entreos corpos, cujos sentidos e magnitudes se estabelecem conforme o princípio de ação ereação, mostrado na Figura 6.9. A teoria de contato apresentada até este ponto levaem conta o contato de dois corpos deformáveis, entretanto, nas aplicações estudadasneste trabalho será admitido que a interação ocorre entre um corpo rígido e umcorpo deformável. Isso implica que a região de ocorrência de contato é conhecida.

Se o corpo B1 é rígido, qualquer ponto de seu domínio executa movimento decorpo rígido e v1 = v, transmitida ao corpo deformável B2 na forma de uma prescri-ção de velocidades no seu contorno de contato. Por simplicidade de notação e comoo princípio das potências virtuais será aplicado no corpo deformável, este corpo serádenotado apenas por B, como a Figura 6.10:

Figura 6.10: Corpo deformável B.

Pelo princípio das potências virtuais, é possível reduzir a uma expressão todos oselementos relacionados ao problema analisado, como equações de equilíbrio, cinemá-tica, equações constitutivas e condições de contorno. Esse princípio deve expressartambém as condição de contato unilateral, mostrado na dedução deste princípio.

Admitindo um campo de velocidades v ∈ V 0 cinematicamente admissíveis (com-patíveis com os vínculos do corpo) e que as forças externas f ao corpo B podem serativas (a) e reativas (r), a potência externa pode ser decomposta como se segue:

〈f , v〉 = 〈a, v〉+ 〈r, v〉 (6.23)

Como são permitidas apenas a prescrição de velocidades, a parcela relativa apotência de cargas ativas é nula. Portanto:

〈f ,v〉 = 〈r, v〉 (6.24)

68

onde sob condições de apoio bilaterais a potência 〈r, v〉 = 0.A potência interna é dada por (6.25) e deve equilibrar a potência externa (6.24).

Admitindo que a taxa de deformações D é compatível com o campo de velocidadesv:

Pi = 〈T,Dv〉 (6.25)

O equilíbrio entre as potências interna e externa é estabelecido se:

〈T,Dv〉 = 〈r, v〉 (6.26)

Embora a potência externa 〈r, v〉 seja nula em problemas com condições deapoios bilaterais e T constituir um campo de tensões autoequilibradas, em casode contato unilateral, conforme visto em FEIJÓO [37] e PANAGIOTOPOULOS[64], é estabelecido que 〈r, v〉 ≥ 0. Esta condição é uma propriedade das restriçõesunilaterais sem atrito e permite caracterizar o sentido da reação de vínculo. A partirdesta propriedade, logo:

〈T,Dv〉 ≥ 0 (6.27)

A desigualdade (6.27) constitui o conjunto de todas as distribuições de tensõesautoequilibradas (equilibradas com um sistema de cargas nulas).

Lembrando que v = v + v, com v ∈ V , a inequação pode ser expandida:

〈T,Dv〉 ≥ 〈Tn, v〉 (6.28)

Conforme se configura a desigualdade (6.28), o termo 〈Tn,v〉 constitui a potênciaexterna Πe e por sua vez, o termo 〈T,Dv〉 é redefinido como potência interna.

De acordo comWRIGGERS [34], uma vez que a interface de contato é conhecida,pode-se escrever (6.28) como uma igualdade, através da introdução das restriçõesativas no contato através de penalizações. Assim:

〈T,Dv〉 − 〈Tn, v〉+ Cc = 0 (6.29)

onde Cc são as contribuições de contato associadas às restrições ativas de contato.Introduzindo os multiplicadores de Lagrange nas direções normal e tangencial

na interface de contato:

Cc = 〈βn, vn〉Γc + 〈βt, vt〉Γc (6.30)

onde: vn ≤ 0, βn ≥ 0. E conforme visto na teoria de contato com atrito, a velocidadetangencial tem sentido oposto à reação tangencial.

69

Como Rn ≤ 0, adota-se −Rn = βn. Na parcela tangencial, convenciona-seβt = −Rt e −〈Rt, vt〉 ≥ 0.

Para atender as condições de contato e lembrando que o vetor normal é externoao corpo deformável, a velocidades normal deve satisfazer:

vn ≤ 0 (6.31)

Se vn = 0, ocorre contato. Caso vn < 0, não há contato entre os corpos. Nadireção normal a complementaridade é verificada:

〈Rn, vn〉 = 0 (6.32)

No estudo da velocidade tangencial verifica-se que não há restrição de sentido,pois o deslizamento é possível em qualquer sentido e vt assume qualquer valor real,associado ao sentido da reação Rt. Desta forma, na direção tangencial a relação decomplementaridade não se verifica, pois se há deslizamento, vt 6= 0 e a desigualdadeem (6.33) se verifica. Em caso de adesão, vt = 0 e a igualdade é alcançada.

−〈Rt, vt〉 ≥ 0 (6.33)

6.4.2 Bipotencial para Lei de Atrito de Coulomb

Conceito

O conceito de potenciais de dissipação convexos são ferramentas úteis para modela-mento de leis constitutivas dissipativas. Os chamados materiais Standard, aplicadosna dedução dos princípios de análise limite, apresentam potenciais convexos e a leida normalidade é satisfeita BOUSSHINE et al. [50]. Para essa classe de materiais,há algoritmos eficientes e robustos para solução de problemas HJIAJ et al. [14].Entretanto, conforme comentado em seções anteriores, os problemas que envolvemcondições de contato unilateral com atrito de Coulomb são derivados de uma lei não-associativa, não satisfazendo a lei da normalidade. Assim, introduz-se o conceito debipotencial.

Como definição, uma função b é dita bipotencial se a desigualdade é satisfeita[13]:

∀(x′, y′), b(x′, y′) ≥ x′ · y′ (6.34)

Postula-se que para Materiais Standard Implícitos a existência de uma funçãob(x, y), separadamente convexa com respeito às variáveis x e y. Isso implica quea função b(x, y) é convexa em relação a x mantendo-se y e convexa em relação ay mantendo-se a variável x fixa. Aplicando esse conceito para a lei de atrito de

70

Coulomb, as variáveis x e y em questão estão associadas às forças de reação e avelocidade relativa tangencial.

Dado que b(x, y) = x·y é uma condição de extremo, para um bipotencial verifica-se que as variáveis duais x e y se relacionam através dos subdiferenciais, conforme(6.35):

y ∈ ∂xb(x, y), x ∈ ∂yb(x, y) (6.35)

Nos trabalhos de [13, 46] prova-se que a função definida para a lei de atritode Coulomb é um bipotencial e as leis de contato são verificadas. Esses princípiosserão posteriormente aplicados na dedução de uma formulação em análise limite comprescrição de velocidades e condições unilateriais com atrito.

Bipotencial para Lei de Atrito de Coulomb

Com base neste conceito, os trabalhos de [13] e [46] lidam com a questão de leisnão-associativas através da proposição de um bipotencial para a lei de atrito deCoulomb, que representa a base para os chamados Materiais Standard Implícitos.Os autores propõem um bipotencial convexo para a lei de atrito, a partir de relaçõessubdiferenciais entre suas variáveis. Admitindo que há contato permanente entre oscorpos, a Equação (6.36) define o bipotencial para a lei de Coulomb:

bc(v,R) = 〈−µRn, ||vt||〉 ≥ −〈Rt, vt〉 − 〈Rn, vn〉 (6.36)

onde: vn = 0 e Rn < 0.O bipotencial definido em (6.36) verifica as leis de deslizamento:

1. Se vn = 0, há contato entre os corpos e Rn ≤ 0. Uma vez que há contato,pode haver adesão ou deslizamento:

• Se vt = 0, ocorre adesão e |Rt|+ µRn < 0;

• Se |vt| 6= 0, ocorre deslizamento e |Rt|+ µRN = 0.

2. Se vn ≤ 0, Rn = 0 e não há contato entre os corpos.

No apêndice A mostra-se a prova que a função bc(v,R) é um bipotencial everifica as condições de contato. Após a introdução do bipotencial, o equilíbrio éreescrito com a inclusão do bipotencial, que representará uma parcela responsávelpela dissipação por atrito.

71

Equilíbrio

Após relacionar os parâmetros de Lagrange com as reações no contato e as consi-derações feitas sobre os contatos normal e tangencial, o equilíbrio estabelecido em(6.29) é reescrito:

〈T,Dv〉 − 〈Tn, v〉 − (6.37)

−〈Rn,vn〉Γc − 〈Rt,vt〉Γc = 0

onde:Γc é o contorno onde há contato.A partir desta equação de equilíbrio, combinada com o bipotencial (6.36),

introduz-se na equação de equilíbrio uma parcela responsável pela dissipação poratrito, formulada agora como uma desigualdade:

〈T,Dv〉 − 〈Tn, v〉+ 〈−µRn, |vt|〉Γc ≥ 0 (6.38)

Analisando-se a equação de equilíbrio 6.38, é possível verificar que ela é abran-gente a diversas condições de contato, inclusive a formulação de análise limite comprescrição de velocidades apenas, apresentada previamente. Para este caso, µ = 0e a lei de Coulomb implica no princípio das potências virtuais estabelecido para oequilíbrio para um problema de contato unilateral sem atrito na Equação (6.28). Senão há atrito na região de contato, não há potência dissipada por este mecanismonesta região e o corpo deformável encontra-se livre para deslizar tangencialmente.Portanto, se o coeficiente de atrito é nulo, somente Rt = 0 verifica a lei de Coulomb.

O caso de adesão é caracterizado pela velocidade tangencial nula. Entretanto,a reação tangencial é não-nula e pode assumir um valor real, limitada pela lei deCoulomb, onde |Rt| ≤ µRn. Este comportamento pode ser analisado por outra ótica:se a velocidade tangencial é nula, o corpo deformável se comporta como se houvesseum apoio nesta direção e Rt seria uma reação de apoio, obtida pelo equilíbrio.

Em caso de deslizamento, a igualdade no equilíbrio (6.38) se verifica. A veloci-dade tangencial é não-nula e |Rt| = −µRN e há dissipação por atrito.

Dado que T é um campo de tensões admissível, o termo 〈Tn, v〉 é definido comopotência externa, onde:

Πe = 〈Tn, v〉 (6.39)

Além disso, se v é um campo de velocidade cinematicamente admissível, o termo〈T,Dv〉 equivale a dissipação plástica χ(Dv). Utilizando também a definição debipotencial em (6.36):

72

Πe = 〈T,Dv〉+ bc(v,R) (6.40)

No deslizamento, pela Equação (6.40) é possível concluir que a potência externaaplicada ao corpo é consumida como uma dissipação plástica ou é perdida por atrito,onde o bipotencial representa a dissipação por atrito.

Estabelecido o equilíbrio, os princípios de análise limite serão deduzidos naspróximas seções.

6.5 Estados Limites

Nesta seção deduzem-se os princípios de análise limite para solução de problemascom prescrição de velocidade: os princípios cinemático, estático e misto. Os princí-pios são estabelecidos no contínuo e posteriormente, o princípio misto será discreti-zado por elementos finitos, as condições de ótimo serão calculadas para solução dosproblemas plástico e de contato.

A partir das propriedades dos potenciais de dissipação plástica e de contato,definem-se as condições de extremo:

χ(Dv) = 〈T,Dv〉 (6.41)

bc(v,R) = 〈−µRn, |vt|〉Γc = −〈Rt,vt〉Γc − 〈Rn,vn〉Γc (6.42)

Assim, para um estado limite:

χ(Dv) + bc(v,R) = 〈T,Dv〉 − 〈Rt,vt〉Γc − 〈Rn,vn〉Γc (6.43)

6.5.1 Princípio Cinemático

O princípio cinemático é deduzido a partir do conceito de subdiferencial dos po-tenciais plástico e de contato. Assim, para qualquer campo de velocidade v∗ ∈ Vcinematicamente admissível:

χ(Dv∗)− χ(Dv) + bc(v∗,R)− bc(v,R) ≥ 〈T,D(v∗ − v)〉 − (6.44)

−〈Rt,v∗t − vt〉Γc − 〈Rn,v∗n − vn〉Γc

Aplicando as condições de extremo em (6.41) e (6.42), a Equação (6.44) reduz-sea:

73

χ(Dv∗) + bc(v∗,R) ≥ 〈T,D(v∗)〉 − 〈Rt,v∗t 〉Γc − 〈Rn,v∗n〉Γc (6.45)

Pelo equilíbrio estabelecido em (6.37):

Πe = 〈T,Dv∗〉 − 〈Rt,v∗t 〉Γc − 〈Rn,v∗n〉Γc (6.46)

Logo, substituindo (6.46) em (6.45), o princípio cinemático é deduzido:

Πe = infv∗∈V

χ(Dv∗) + bc(v∗, R) (6.47)

tais que:

v = v + v, v ∈ V 0 (6.48)

vn ≤ 0 (6.49)

6.5.2 Princípio Estático

Para o princípio estático, é válido estabelecer o princípio da máxima dissipaçãoplástica:

〈T−T∗,Dv〉 ≥ 0 −→ χ(Dv) = supT∗〈T∗,Dv〉 (6.50)

Para a parcela relacionada à dissipação por atrito, a partir dos princípios variaci-onais complementares estabelecidos em [64], combinados com a condição de extremodo bipotencial definido na Equação (6.42), é válido estabelecer que:

−〈Rt −R∗t ,vt〉Γc − 〈Rn −R∗n,vn〉Γc ≥ 0 (6.51)

Então, a condição de extremo estabelece que bc(v,R) = −〈Rt,vt〉Γc−〈Rn,vn〉Γc ,que substituído em (6.51) leva a desigualdade:

bc(v,R) ≥ 〈−R∗t ,vt〉Γc + 〈−R∗n,vn〉Γc (6.52)

E finalmente é estabelecido que:

bc(v,R) = supR∗〈−R∗t ,vt〉Γc + 〈−R∗n,vn〉Γc (6.53)

Este princípio expressa que, para uma velocidade tangencial relativa fixa a dis-

74

sipação por atrito ocorrerá quando a reação tangencial Rt alcançar a superfíciedefinida pelo cone de Coulomb, ou seja, Rt = −µRn.

Assim, combinando as equações (6.50) e (6.53) com a condição de extremo (6.40),o princípio estático é deduzido:

Πe = supT∗〈T∗,Dv〉+ sup

R∗〈−R∗t ,vt〉Γc + 〈−R∗n,vn〉Γc (6.54)

tais que:

f(T∗) ≤ 0 em B (6.55)

R∗n ≤ 0 em Γc (6.56)

|R∗t | − µR∗n ≤ 0 em Γc (6.57)

6.5.3 Princípio Misto

Através da aplicação de (6.50) no princípio cinemático (6.47), o princípio misto édeduzido:

Πe = infv∗

[supT∗∗〈T∗∗,Dv∗〉+ λf(T∗∗) + sup

R∗∗〈−R∗∗n ,v∗t 〉Γc + 〈−R∗∗n ,v∗n〉Γc ] (6.58)

tais que:

v = v + v, v ∈ V 0 (6.59)

vn ≤ 0, Rn ≤ 0←→ Rnvn = 0 (6.60)

−|vt| ≤ 0, |Rt| − µRn ≤ 0←→ (|Rt| − µRn)|vt| = 0 (6.61)

Uma vez estabelecido este princípio misto, e juntamente com as restrições decontato, o próximo passo é escrever a forma discreta deste princípio. A discretizaçãodo termo de potência interna ocorrerá conforme realizado na Seção 5.4. Desta forma,nas próximas seções será discutida apenas a discretização das condições de contato.E após a discretização, deduz-se as condições de ótimo a partir do princípio mistodiscreto e apresenta-se o algoritmo de solução e a metodologia de solução para oproblema de contato.

75

6.6 Procedimento de Solução de Problemas comCondições Unilateriais com Atrito

Esse procedimento, proposto em STAVROULAKIS e ANTES [51] e aplicado comsucesso em NACCARATO [52] em um caso de contato unilateral com atrito, tratadocomo um anteparo fixo e em caso de força prescrita. Este procedimento será aplicadopara o caso estudado neste capítulo, onde ocorre contato entre dois corpos e existeatrito na interface entre eles.

No procedimento proposto nesta tese, a condição de contato unilateral será veri-ficada no mesmo contorno de prescrição de velocidades. Para tal, o campo de velo-cidades do corpo será descrito pelo campo de velocidades no contato e pelo campode velocidades fora desta região, os chamados graus de liberdade livres. Além disso,o campo de velocidades no contato são também decompostos pelo campo prescrito,correspondente à velocidade imposta pela ferramenta, e pelo campo de velocidadesdesconhecidas (incógnitas), pertencente ao corpo deformável.

A distinção entre esses campos de velocidades permite a aplicação das técnicasde condensação dos graus de liberdade proposto por STAVROULAKIS e ANTES[51], solucionando primeiro o problema no contato, representado por um problemade complementaridade, e a partir desta solução determina-se o campo de velocidadeslivres.

Ao se admitir que há contato permanente entre os corpos, sabe-se de antemão quevn = 0, que implica vn = vn e a força de reação normal Rn é uma variável dependente.Sob esta hipótese, o problema de complementaridade se reduz a encontrar o campode velocidades tangenciais vt e as reações tangenciais Rt.

Ressalta-se que o problema de contato é solucionado nos nós de velocidade e acada nó estão associadas velocidades e forças de reação normal e tangencial. Deve-seobservar que as forças de reação são parâmetros obtidos da solução do problema decontato e não são interpolados. Em contrapartida, o campo de tensões é interpoladolinearmente e calculado a partir do campo de velocidades. Além disso, o campo detensões é descontínuo e estas são posteriormente regularizadas. Desta forma, ocampo de tensões no contato e as forças de reação podem não estar relacionadas.

A discretização do problema (6.58) ocorre de forma similar a formulação mistacom velocidade prescrita e sem atrito. Assim, somente a discretização da parcelarelativa ao contato será apresentada nesta seção. A partir da solução do problemade contato, o algoritmo segue o mesmo procedimento estabelecido pelo processoiterativo de Newton, aliado com as técnicas de relaxação e contração previamenteapresentados.

76

6.6.1 Discretização das Condições Unilaterais com Atrito

As condições de deslizamento ou adesão são definidas pelo vetor de velocidade tan-gencial. Deve-se lembrar que nesse contorno aplicam-se também velocidades prescri-tas e portanto, esse vetor armazena uma velocidade tangencial relativa, constituídapelo campo de velocidade-solução e o campo de velocidades prescritas.

Na formulação contínua, a reação e a velocidade tangenciais foram tratadas naforma modular. Entretanto, devido à não-normalidade da lei de atrito de Coulomb,estuda-se agora os sentidos de vt e Rt:

vt = −λ Rt

||Rt||(6.62)

Assim, a velocidade tangencial é orientada em um sentido oposto ao definidopelo unitário do vetor de reação tangencial. Isso implica tornar ativo um dos modosda lei de Coulomb. Se Rn ≤ 0 e |Rt| = ±Rt:

• Se Rt ≤ −µRn, Rt ≥ 0 e vt ≤ 0;

• Se −Rt ≤ −µRn, Rt ≥ 0 e vt ≤ 0

A discretização dos potenciais de contato, em função das velocidades e reaçõesnormais e tangenciais, a forma contínua (integral) da formulação será discretizadaatravés da análise de cada ponto discreto no contato.

O vetor velocidade tangencial vt, que expressa as condições de adesão e desliza-mento para cada nó i de contato, pode ser escrito de uma maneira vetorial, ondecada componente é não-negativa e se relaciona com o modo de atrito ativo.

vti = ρ2ti − ρ1

ti (6.63)

onde: vti expressa uma velocidade relativa entre os corpos em contato: vti = vti− vti,com ρ2

ti ≥ 0 e ρ1ti ≥ 0.

Essas parcelas são definidas como se segue:

ρ2ti = vti + |vti|

2 = vti + |vti|2 − vti + |vti|

2 (6.64)

ρ1ti = −vti + |vti|

2 = vti + |vti|2 − −vti + |vti|

2 (6.65)

De maneira simplificada, para cada modo j, j = 1, 2:

ρjti = ρjti − ρjti (6.66)

Cada modo é armazenado em um vetor, de forma que:

77

ρ = [ρ1ti ρ

2ti] (6.67)

A lei de atrito de Coulomb pode ser estabelecida através de uma variável defolga γ ≥ 0, que representa os possíveis modos da lei de atrito para um cada nó ide contato: −|Rt| − µRn ≥ 0.

γi = −GTNiRni −GT

T iRti (6.68)

onde: Rni ≤ 0, as matrizes GNi = [µ µ] e GT i = [1 − 1].Após a definição deGT i, a velocidade tangencial é recuperada através da Equação

(6.69):

vti = −GTT iρi (6.69)

O uso do parâmetro de velocidade ρ em vez do vetor vt torna-se convenientepara a solução do problema de complementaridade deste parâmetro com a variávelde folga, uma vez que garante-se que γ ≥ 0 e ρ ≥ 0 e

γiρi = 0 (6.70)

onde: γ1i = −Rt − µRn e γ2

i = Rt − µRn.Então, pode-se verificar que essa complementaridade satisfaz a lei de Coulomb e

as leis de deslizamento de atrito:

• Se vt > 0, há deslizamento e assim:ρ2t > 0 e ρ1

t = 0 e ρ = [0 ρ2t ].

A complementaridade deve ser atendida: γ1ρ1t = 0 e γ2ρ2

t = 0.Como ρ2

t > 0, a complementaridade será satisfeita se γ2 = 0.Assim: Rt = µRn e Rt < 0, pois Rn < 0 e verifica-se que neste caso vt > 0 eRt < 0;

• Se vt < 0, há deslizamento e:ρ2t = 0 e ρ1

t > 0 e ρ = [ρ1t 0].

A complementaridade deve ser atendida: γ1ρ1t = 0 e γ2ρ2

t = 0.Como ρ1

t > 0, a complementaridade será satisfeita se γ1 = 0.Assim: Rt = −µRn e Rt > 0, pois Rn < 0 e verifica-se que neste caso vt < 0 eRt > 0;

• Se vt = 0, há adesão e:ρ2t = 0 e ρ1

t = 0 e ρ = [0 0].A complementaridade deve ser atendida: γ1ρ1

t = 0 e γ2ρ2t = 0.

Assim: Rt − µRn > 0 e −Rt − µRn > 0.

78

6.6.2 Discretização da Formulação Mista com Condições deContato com Atrito

A partir da formulação no contínuo do princípio misto apresentado em (6.58), junta-mente com as restrições de contato, deduz-se agora a sua forma discreta. A parcelacorrespondente à potência interna é discretizada da mesma forma que na Seção 5.4 eno Apêndice C. No desenvolvimento da discretização, por simplicidade de notação,os parâmetros de interpolação de tensão e velocidade são armazenados nos vetoresT e v.

A discretização da potência das forças de reação no contato será realizada pelométodo da colocação, [65, 66]. As forças de reação e as velocidades no contatosão função da posição x, ou seja, R = R(x) e vc = vc(x). Denotando a funçãoπR(x) = R(x) · vc(x) como a potência das forças de reação, por este método afunção πR(x) é poderada pela função delta de Dirac, de modo que:

∫ΓcπR(x)δ(x− xi)dx = πR(xi) = Rivc i (6.71)

onde a potência das forças de reação será avaliada a cada ponto i do contorno decontato.

Desta forma, as forças de reação e as velocidades no contorno de contato sãoarmazenadas respectivamente, nos vetores R e vc. Se nc é o número de nós nocontato:

R = [Rn1, Rt1, ..., Rni, Rti]T , i = 1...2.nc (6.72)

vc = [vn1, vt1, ..., vni, vti]T , i = 1...2.nc (6.73)

onde: vc = vc − vc é um vetor que armazena as velocidades relativas.Portanto, desta forma deduz-se a forma discreta da formulação mista 6.58:

Πe = minv

maxT

T ·Bv−R · vc − λifi(T) (6.74)

onde v = v + v, v ∈ V 0.As condições de contato com atrito devem ser atendidas:

Rnvn = 0 (6.75)

γ ≥ 0, ρ ≥ 0 e γρ = 0 (6.76)

Neste momento torna-se interessante fazer uma separação entre as variáveis decontato, denotadas pelo índice c e e as variáveis ditas livres, presentes no restante do

79

corpo deformável e representadas pelo índice l. Como v = v + v, pode-se reescrevero termo de dissipação plástica:

T ·Bv = T ·Bv + T ·Bv (6.77)

A prescrição de velocidade v é imposta pelo corpo rígido em contato com o corpodeformável no contorno Γc. Como ocorre no contorno, será representada por vc.Concomitante, nesta mesma região o corpo deformável terá uma velocidade v, otidapela solução do problema de análise limite. Como ocorre em Γc, será representadapor vc. O campo de velocidades fora do contorno Γc serão indicadas por vl. Assume-se também que o operador de deformação B é dissociada por colunas relacionadasàs parcelas livres e de contato. Assim:

T ·Bv = T ·Blvl + T ·Bcvc + T · Bvc (6.78)

Portanto, após a separação de variáveis reescreve-se a forma discreta (6.74):

Πe = minv

maxT

T ·Blvl + T ·Bcvc + T · Bcvc −Rvc + Rvc − λifi(T) (6.79)

e juntamente com as restrições do contato com atrito:

Rnvn = 0 (6.80)

γ ≥ 0, ρ ≥ 0 e γρ = 0 (6.81)

6.6.3 Condições de Ótimo da Formulação Mista Discreti-zada

Seguindo o mesmo procedimento realizado em capítulos precedentes, a partir daformulação mista deve-se calcular as condições de ótimo do problema min-max, demodo que o problema plástico atenda às restrições de contato com atrito. Poste-riormente, o problema de análise limite representado por essas condições de ótimocalculadas será solucionado através do processo iterativo de Newton.

Dado o vetor de variáveis a determinar x, as condições de ótimo são calculadasem respeito a cada uma delas:

x = [T, vl, vc,R, λ] (6.82)

As condições de ótimo são armazenadas em Ψ(x) = 0, onde:

80

Ψ(x) =

Blvl +Bcvc + Bcvc − λi∇fi(T)

BTl T

BTc T−R−G(T)λ

(6.83)

sendo: G(T) = diag(fj(T)).Além dessas condições de ótimo, a solução depende das condições de atrito:

Rnivni = 0 (6.84)

γi ≥ 0, ρi ≥ 0 e γiρi = 0, para i = 1, ..., nc (6.85)

6.6.4 Algoritmo de Solução: Processo Iterativo de Newton

Inicialmente, o procedimento de solução é semelhante ao aplicado na solução doproblema sem atrito, por meio do processo iterativo de Newton. Entretanto, parasolução do problema de contato com atrito é utilizado um método de solução pro-posto em STAVROULAKIS e ANTES [51] e aplicado por NACCARATO [52] parasolução de problemas com condições unilaterais com atrito. Este procedimento seráaplicado para solução do problema com prescrição de velocidade e este método con-siste basicamente em efetuar uma sequência de substituições e condensações dosgraus de liberdade livres, solucionando o problema no contato, através da soluçãodo problema de complementaridade pelo método de Lemke BAZARAA et al. [60].

Em linhas gerais, o procedimento consiste em solucionar as equações de ótimodefinidas em (F.1), incrementando as variáveis contidas em (D.3) conforme indicadoem (6.86):

∇Ψ(x)dx0 = −Ψ(x0) (6.86)

onde: dx0 = [d0T , vl − v0

l , vc − v0c ,R −R0, λ− λ0].

Uma vez calculados os incrementos, uma nova estimativa para as variáveis écalculada:

x = x0 + dx0 (6.87)

Definindo-se H = λ∇2f(T), calcula-se o gradiente de Ψ(x):

∇Ψ(x) =

−H Bl Bc 0 −∇fi(T)BTl 0 0 0 0

BTc 0 0 −1 0

−Λ∇Tfi(T) 0 0 0 −G(T)

(6.88)

81

onde: Λ = diag(λi).Expandindo (6.86), encontram-se um conjunto de quatro equações:

Hd0T−Blvl−Bcvc−Bcvc+λ∇f(T) = 0 −→ d0

T = H−1(Blvl+Bcvc+Bcvc−λ∇f(T))(6.89)

BTl d0

T = 0 (6.90)

BTc d0

T −R = −BTc T0 (6.91)

Λ∇f(T)d0T + λG(T) = 0 (6.92)

Na Equação (6.91), o termo da direita tem relação com o estado de tensão naregião de contato na iteração anterior. Por conveniência, este termo será denominadoresíduo, onde:

Res = BTc T0 (6.93)

Substituindo o resultado de (6.89) em (6.92) obtém-se a expressão para o parâ-metro de escoamento:

λ = W−1Q(Blvl +Bcvc + Bcvc) (6.94)

onde: W = ∇Tf(T)H−1∇f(T)− Λ−1G(T) e Q = ∇Tf(T)H−1.Ao se substituir (6.94) no resultado de (6.89):

d0T = Dep(Blvl +Bcvc + Bcvc) , v ∈ V (6.95)

onde: Dep = H−1 −QTW−1Q.Uma vez determinado d0

T em (6.95), substitui-se este resultado em (6.90) e assim:

BTl D

ep(Blvl +Bcvc + Bcvc) = 0 (6.96)

E daí:

Kllvl +Klcvc = −Klcvc (6.97)

onde: Kll = BTl D

epBl, Klc = BTl D

epBc e Klc = BTl D

epBc.Fazendo a mesma substituição de (6.94) em (6.91):

82

BTc D

ep(Blvl +Bcvc + Bcvc)−R = −BTc T0 (6.98)

Introduzindo a Equação (6.93) em (6.98):

Kclvl +Kccvc = −Kccvc + R −Res (6.99)

onde: Kcl = KTlc , Kcc = BT

c DepBc e Kcc = BT

c DepBc.

Definindo-se:

Fl = −Klcvc (6.100)

Fc = −Kccvc (6.101)

Portanto, o sistema a resolver definido por (6.97) e (6.99) após substituir (6.100)e (6.101) é obtido:

Kllvl +Klcvc = Fl (6.102)

KTlc vl +Kccvc = Fc + R −Res (6.103)

juntamente com as condições de contato com atrito:

Rn ≤ 0, vn ≤ 0 e Rnvn = 0 (6.104)

γ ≥ 0, ρ ≥ 0 e γρ = 0 (6.105)

onde: γ está associado aos modos da lei de atrito e ρ são parâmetros relacionadoscom a velocidade tangencial.

6.6.5 Condensação dos Graus de Liberdade Livres

Pelo sistema de equações (6.102) e (6.103), é possível realizar a chamada condensa-ção dos graus de liberdade livres e solucionar o problema somente para o contato,determinando o campo de velocidades vc nesta região e posteriormente calculam-seas velocidades associadas aos graus de liberdade livres, isto é, fora da região decontato.

De (6.102) extrai-se a velocidade relacionada aos graus de liberdade livres, escritaem função das velocidades no contato:

vl = K−1ll (Fl −Klcvc) (6.106)

83

Substitui-se (6.106) em (6.103) e isola-se o termo de velocidade no contorno decontato:

(Kcc −KTlcK

−1ll Klc)vc = (−Res + R + Fc −KT

lcK−1ll Fl) (6.107)

A fim de escrever esta equação em uma forma compacta, definem-se algumasvariáveis:

F = Fc −KTlcK

−1ll Fl (6.108)

M = Kcc −KTlcK

−1ll Klc (6.109)

q = −F + Res (6.110)

Então, em uma forma equivalente a (6.107), calcula-se a solução:

vc = A(R − q) (6.111)

onde: A = M−1.

6.6.6 Solução do Problema de Contato

A solução do problema de contato baseia-se na solução da Equação (6.111), que serádesenvolvida em termos das componentes de cada vetor. Os vetores e as matrizesde (6.111) serão explicitados, em termos de suas componentes.

Para o vetor de velocidades no contorno, como a normal é orientada exterior àsuperfície, e ao admitir uma ação de um corpo rígido sobre o deformável, este vetorpode ser representado por:

vc = [vn, vt]T (6.112)

onde vc armazena os vetores de velocidades normal e tangencial para cada nó nocontorno de contato.

Seguindo essa mesma convenção, a componente normal da reação também éorientado no sentido negativo ao vetor normal e a componente tangencial, pela leide deslizamento, apresenta um sentido oposto ao convencionado para a velocidadetangencial vt. Então, o sistema (6.111), em termos de componentes:

vnvt

= ANN ANT

ATNT ATT

Rn − qnRt − qt

(6.113)

Sujeito às condições de contato com atrito:

84

γ ≥ 0, ρ ≥ 0 e γρ = 0 (6.114)

O sistema para solução do problema de contato é definido em coordenadas locaispor (6.111). Para solução deste problema de contato admite-se que há contatopermanente entre os corpos e que essa região é conhecida. Propõe-se uma mudançade variáveis para a velocidade normal e a reação normal, de modo que satisfaça ascondições de não-negatividade necessária para solução do problema de contato noalgoritmo de Lemke. Desta forma, faz-se v∗n = −vn e R∗n = −Rn. Considera-seainda vt = −GT ρ e as equações que compõem o sistema (6.111) são escritas como:

v∗n = ANNR∗n − ANTRt + ANNqN + ANTqt (6.115)

GT ρ = ATNTR∗n − ATTRt + ATNTqn + ATTqt (6.116)

Associado a (6.115) e (6.116), deve-se considerar a variável de folga definida em(6.68).

Da equação (6.116), pode-se obter:

Rt = A−1TT (−GT ρ+ ATNTR∗n + ATNTqn + ATTqt) (6.117)

A partir daí, substiui-se (6.117) em (6.115) e obtém-se:

(ANN − ANTA−1NNA

TNT )R∗n + (ANTA−1

TTGT )ρ+ (ANN − ANTA−1TTA

TNT )qn − v∗n = 0

(6.118)Posteriormente substitui-se v∗n = −vn.Da variável de folga: GT

TRt = GTNR∗n − γ. Pré-multiplicando (6.117) por GT

T eutilizando a variável de folga:

(GTN −GT

TA−1TTA

TNT )R∗n + (GT

TA−1TTGT )ρ−GT

TA−1TTA

TNTqn −GT

Tqt = γ (6.119)

Finalmente as equações (6.118) e (6.119) podem ser agrupadas em uma formamatricial, seguidas pelas condições de complementaridade a ser resolvido pelo mé-todo de Lemke. Desta forma:

Mz + b = w (6.120)

onde:

85

M = ANN − ANTA−1

NNATNT ANTA

−1TTGT

GTN −GT

TA−1TTA

TNT GT

TA−1TTGT

(6.121)

z = R∗n

ρ

(6.122)

b = (ANN − ANTA−1

TTATNT )qn + vn

−GTTA−1TTA

TNTqn −GT

TqT

(6.123)

w = 0γ

(6.124)

Esta formulação pode ser ainda simplificada: utilizando a equação homogêneapode-se isolar a reação normal R0∗

n . Considerando os sub-índices como indicadoresdas componentes da matriz e dos vetores:

R∗n = −M−111 (M12ρ+ b1) (6.125)

Assim, o problema de complementaridade é simplificado e é expresso por:

(M22 −M21M−111 M12)ρ+ (b2 −M21M

−111 b1) = γ (6.126)

Deve-se ressaltar que a condição de complementaridade somente será satisfeitaao somar a parcela prescrita ρ ao parâmetro de velocidade-solução ρ:

γρ = 0↔ γ(ρ− ρ) = 0 (6.127)

Para satisfazer a complementaridade, faz-se uma mudança de variáveis, ondeρ = ρ − ρ e finalmente o problema de complementaridade a ser solucionado pelométodo de Lemke é posto:

Mρ+ b = γ (6.128)

onde: M = M22 −M21M−111 M12, b = b2 +M22ρ−M21M

−111 (b1 +M12ρ).

6.6.7 Pós-Processamento

A solução do problema de complementaridade fornece como resultados o parâmetrode velocidade ρ e a folga γ.

A partir daí:

1. Calcular os parâmetros de velocidade-não prescritos (campos de velocidade-solução): ρ = ρ+ ρ;

86

2. Calcular a reação normal utilizando (6.125) e fazer Rn = −R∗n;

3. Calcular a velocidade tangencial-solução: vt = −GT ρ;

4. Utilizando a variável de folga: Rt = −1/2GTγ;

5. Calcular o campo de velocidades livres: vll = K−1ll (Fl −Klcvc).

87

Capítulo 7

Aplicações Numéricas

Neste capítulo apresentam-se as aplicações numéricas, apresentando alguns proble-mas estudados e os aspectos teóricos envolvidos para suas soluções. Como pri-meiro passo, buscou-se fazer a validação dos resultados obtidos e em consequenciado modelo físico e matemático utilizados, comparando com os resultados obtidosnas referências bibliográficas. A função de escoamento de Ulm-Gathier-Cariou éconstruída em função de propriedades do material, tais como coesão (tensão de es-coamento) e ângulo de atrito, e a porosidade. E conforme visto no Capítulo 3, emsituações especiais esta função tende assintoticamente às funções de von Mises eDrucker-Prager. Essas funções são clássicas e soluções analíticas, semi-analíticas epor elementos finitos são propostas em diversas fontes consultadas, sendo esta etapafundamental para se desenvolver a confiabilidade no modelo e nos resultados encon-trados. Destaca-se que as soluções são ditas semi-analíticas por serem desenvolvidasa partir do método estático e a sua solução é obtida através de um problema deotimização implementado em um software.

Uma vez validados, realizam-se as análises dos problemas em que as contribuiçõesforam implementadas, tais como o efeito da porosidade, o peso próprio como cargaviva e carga morta, a aplicação da formulação com prescrição de velocidades e ainclusão do atrito entre a interface material e ferramenta.

Na análise dos problemas que envolvem a porosidade do material, este é consi-derado seco ou drenado, de modo que não haja o efeito da pressão interna exercidapelo fuido confinado no poro na fase sólida do material que o circunda.

O modelo computacional foi implementado em FORTRAN c©, desenvolvido peloGrupo de Mecânica dos Sólidos da COPPE/UFRJ.

7.1 Indentação

Este teste consiste em utilizar um indentador rígido, que de forma geral pode apre-sentar geometria plana, piramidal ou cônico, e em contato com a superfície do ma-

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terial a ensaiar, é pressionado contra o corpo de prova, conforme mostra esquema-ticamente a Figura 7.1:

Figura 7.1: Indentador rígido aplica uma carga q sobre o corpo deformável.

Este ensaio é empregado para determinação de propriedades mecânicas do ma-terial e dentre estas, a determinação de sua dureza. Esta técnica é também aplicadaem ensaios de nanoindentação, conforme visto em CARIOU [2], e assim, determinarpropriedades em materiais porosos, que podem apresentar heterogeneidades em suacomposição. Os materiais porosos compreendem solos (areias, argilas), cerâmicosou metais metálicos sinterizados pela metalurgia do pó. Esses materiais são ditosfriccionais, como as areais por exemplo, que dependem do atrito entre suas par-tículas e de uma pressão de confinamento para atingir uma configuração estável.Em contraponto, as argilas são materiais coesivos, pois suas partículas mantém-seunidas e são também friccionais, pois há atrito entre as particulas que constituemo material. Assim, para o estudo de plasticidade dessas materiais, os critérios deDrucker-Prager ou Mohr-Coulomb são clássicos e bastante empregados no modela-mento de problemas. Entretanto, além de inclusões, esses materiais possuem vazios(poros) ao longo de seu volume. Para incluir os efeitos da porosidade, uma funçãode escoamento que inclui essa imperfeição foi proposta em GATHIER [1] e CARIOU[2].

Além das funcionalidades citadas, o problema de indentação é também objetode estudo nas áreas de engenharia civil e geotecnia, principalmente na avaliaçãodas resistência de solos e em problemas de estaqueamento, para o lançamento defundações de construções. Portanto, pode-se observar que o ensaio de indentação éaplicado e estudado em diversas escalas.

A dureza do material é calculada dividindo-se a carga aplicada P pela área decontato Ac e normalmente adimensionalizada pela coesão cs do material, permitindoa utilização dos resultados para as diversas aplicações citadas anteriormente:

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H = P

csAc(7.1)

As aplicações apresentadas nessa seção incluem alguns casos de identação clássi-cos, onde o peso do corpo não é considerado. Este caso é analisado em diversos livrossobre plasticidade e sob o critério de von Mises ou Tresca, que apresenta soluçõesanalíticas desenvolvidas a partir do método estático LUBLINER [19], CHEN e LIU[22].

Entretanto, em aplicações em geotecnia, o peso próprio do solo é uma variávelimportante, assim como o caso em que a ferramenta encontra-se com algum grau depenetração no solo. Estes casos também serão analisados e métodos de cálculo sãoapresentados em BOWLES [25], CHEN e LIU [26] e CHEN e LIU [22].

Hipóteses adotadas:

• Não há atrito entre a ferramenta e o material;

• Material elástico perfeitamente plástico;

• Prescrição de forças ou velocidades apenas;

7.1.1 Indentação Clássica

Este problema, dito clássico, visa a obtenção da carga necessária para iniciar apenetração da ferramenta em um material.

Modelo Semi-Analítico

O desenvolvimento de uma solução analítica justifica-se por ser mais uma ferramentade comparação com a solução numérica obtida pelo método de elementos finitos ea formulação mista de análise limite. Para este problema de indentação deduziu-seuma solução em análise limite pelo método estático baseado nos trabalhos de [30],dita semi-analítica por se tratar de um problema de otimização, implementado nosoftware MATLAB c©. A Figura 7.2 mostra o particionamento proposto por BARD[30] para estabelecimento do equilíbrio entre as regiões.

Para aplicação do método estático, estabelece-se que a distribuição de tensõesem um corpo deve:

• satisfazer as equações de equilíbrio;

• satisfazer as condições de contorno, no caso, em equilíbrio com as forças ex-ternas aplicadas;

• as tensões devem ser plasticamente admissíveis em todo o domínio do corpo,f(σ)≤ 0.

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Neste método estático, o domínio do corpo em estudo é particionado em umcerto número de regiões, cujos estados de tensão são constantes. Entre essas regiõesexistem interfaces e para satisfazer as condições de equilíbrio, as componentes normale cisalhante entre cada região adjacente devem ser contínuas e satisfazer o critériode escoamento. Para solução do problema, a função de escoamento de Ulm-Gathierjá adaptada à deformação plana será aplicada. Consideram-se ainda como hipóteseso estado plano de deformações e contato entre indentador e material sem atrito.

Figura 7.2: Particionamento do corpo deformável: estudo do equilíbrio entre asregiões.

O desenvolvimento dessa solução é mostrado no Apêndice G.

Modelo Computacional

Para solução deste problema utilizou-se o critério de Ulm-Gatheir-Cariou para mo-delar o comportamento plástico do material a ensaiar e conforme mostrado, estafunção tende assintoticamente a Mises e Drucker-Prager.

No modelo computacional, forças são prescritas e utiliza-se a formulação mistade análise limite. Além disso, em vez de forças, pode-se prescrever velocidades,aplicando-se a formulação de análise limite pertinente para este caso.

A Figura 7.3 mostra o exemplo de uma malha com adaptação utilizada, os con-tornos onde são aplicadas as cargas e as condições de apoio e simetria. Verifica-seem [23] uma relação de 1/10 entre o contato da ferramenta e o comprimento docorpo, de modo que o tamanho não interfira na linha de deslizamento.

Ainda de acordo com PONTES [23], essa relação entre o comprimento da regiãode contato da ferramenta e o comprimento do corpo deve ser ampliada a partir deângulos de atrito de 30o, de modo a acomodar o campo de velocidades e a linha dedeslizamento em uma configuração de regime permanente.

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Figura 7.3: Modelo de elementos finitos, com malha adaptativa, forças aplicadas econdições de apoio.

Validação

Para validação da solução, a dureza adimensional H calculada por meio do critério deDrucker-Prager (a partir do critério de Ulm-Gathier-Cariou) é comparada a soluçãopor elementos finitos e análise limite encontrada em PONTES [23] e PONTES et al.[24], com a solução semi-analítica estática desenvolvida e as soluções pelo métodocinemático mostradas em CHEN e LIU [22]. Quando o ângulo de atrito é nuloa solução converge para o critério de von Mises, obtida pelo método de linhas dedeslizamento em LUBLINER [19].

O gráfico da Figura 7.4 mostra a variação da dureza adimensional H com oângulo de atrito do material. Quando o ângulo de atrito é nulo, H → (2 + π),correspondente à solução do problema pelo critério de von Mises.

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Figura 7.4: Valores de dureza x variação do ângulo de atrito do material.

Esse problema também foi solucionado pela aplicação da formulação mista deanálise limite com prescrição de velocidade. O gráfico da Figura 7.5 mostra a com-paração entre as metodologias: prescrição de forças e velocidades.

Figura 7.5: Formulação mista de análise limite: comparação dos modelos com pres-crição de forças e velocidade.

Deve-se ressaltar que no critério de Drucker-Prager há uma relação entre o pa-râmetro αs deste critério para estado plano de deformação e o ângulo de atritoφ:

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αs = 3tgφ√9 + 12tg2φ

(7.2)

A tabela 7.1 mostra os resultados da dureza adimensional obtidas a partir daformulação mista comparando as prescrições de força e velocidade e também a com-paração com os resultados de PONTES [23], a solução semi-analítica baseada nométodo estático proposta por BARD [30] e a solução baseada no método cinemáticovista em CHEN e LIU [26].

φ Força Prescrita Vel. Prescrita PONTES (1993) Semi-analítica CHEN (1990)0 5,1428 5,1055 5,1778 4,7317 5,141595 6,5044 6,4218 6,5099 6,0753 6,488810 8,4489 8,4519 8,3418 7,9780 8,344915 11,3005 11,3761 10,8121 10,7138 10,976520 15,6285 15,8214 14,5902 14,6379 14,834725 21,8265 21,9783 20,5713 20,6512 20,720530 30,1102 33,4269 29,8464 29,7034 30,1396

Tabela 7.1: Comparação da dureza adimensional entre diversos métodos.

Ao se analisar os resultados verifica-se uma proximidade entre as durezas adimen-sionais obtidas pelas diferentes metodologias. Ao se prescrever forças e velocidades,utilizou-se a formulação mista, assim como os resultados obtidos por PONTES [23].A solução semi-analítica proposta por BARD [30] é baseada no princípio estático,portanto, fornece um limite inferior para a carga de colapso. Em contrapartida, asolução de CHEN e LIU [26] é calculada através do método cinemático, fornecendoum limite superior para o fator de colapso. Dessa forma, verifica-se que os resultadosobtidos pela formulação mista encontram-se entre esses limites.

Materiais Porosos

Após a validação do modelo com as funções de escoamento clássicas, analisa-se agoraa dureza em materiais em que a porosidade é uma variável. Desta forma, emprega-sea função de escoamento de Ulm-Gathier-Cariou, dependente da coesão cs, ângulode atrito e porosidade ϕ (ou concentração de material η = 1− ϕ).

Desta forma, fixa-se um valor para o ângulo de atrito e estuda-se o comporta-mento da medida de dureza com a variação de concentração de sólido. Quando η = 1,o material é maciço. Abaixo desse valor, há ocorrência de porosidade (vazios) aolongo do corpo. Os resultados obtidos são comparados com a solução semi-analítica,desenvolvida pelo método estático de análise limite.

Os gráficos das Figuras 7.6, 7.7 e 7.8 mostram, para um valor fixo de ângulo deatrito, a variação da dureza adimensional com a concentração de sólido do material.

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A Figura 7.9 mostra a variação da dureza adimensional com o ângulo de atrito e seucomportamento com a concentração de material.

Figura 7.6: Dureza adimensional paraum material com ângulo de atrito de5o.



Figura 7.9: Dureza adimensional x ân-gulo de atrito: variação da concentra-ção de material.

Os gráficos mostrados nas Figuras 7.6, 7.7 e 7.8 comparam as soluções obtidas porelementos finitos e pela formulação mista com as soluções semi-analíticas, baseada nométodo estático. Para os ângulos de atrito de 5o e 20o verifica-se que a solução pelaformulação mista encontra-se superior ou próxima à solução pelo método estático,que fornece um limite inferior para o valor da dureza adimensional. Para o ângulode 34o verifica-se a solução estática ligeiramente acima da formulação mista paraalgumas concentrações de material.

Na Figura 7.9 mostra-se para cada ângulo de atrito o valor da dureza adimensio-nal variando com a concentração do material. Esses dados podem ser interpretados

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também como um encruamento devido à compressão de material: ao se realizar aoperação com o indentador repetidas vezes, cada operação ocasiona compressão domaterial e consequentemente, a diminuição da porosidade e verifica-se o aumentoda dureza na operação seguinte. Esses resultados constituem uma das contribuiçõesdesta tese.

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7.1.2 Estudo de Capacidade de Carga de Solos e Fundações

Esta é uma aplicação bastante difundida em geotecnia e engenharia civil, no que dizrespeito ao estudo de fundações. A fundação é um elemento presente em construçõese responsável por transmitir carregamentos ao solo ou à rocha, BOWLES [25]. Esteelemento esta presente em todos os tipos de construções, como prédios e pontes etambém em instalações industriais, como torres e tanques. Como se sabe, para estestipos de construção a estabilidade deve ser garantida para a estrutura manter suafinalidade, e dessa forma, encontrar uma carga limite para que isso seja satisfeito éimportante. Ultrapassar esse limite de carga pode levar a uma falha catastrófica,podendo vir a ocorrer desabamentos. Assim, estimar a capacidade do solo em resistira tais esforços é o objetivo.

Para modelagem e solução deste problema limita-se a aplicação em fundaçõesrasas, em que h/B ≤ 1, onde h é a profundidade e B é a largura da sapata, conformea Figura 7.10:

Figura 7.10: Fundação rasa.

Neste contexto, em vez de se referir a dureza, a variável a se determinar é acapacidade de carga do solo q (bearing capacity). Observa-se também que o peso dosolo é tratado como carga morta.

Soluções Analíticas

Em TERZAGHI [67], CHEN e LIU [26] e BOWLES [25] apresentam-se soluçõesanalíticas para estimar a capacidade de carga do solo. De modo geral, a capacidadede carga total do solo é uma combinação dos vários carregamentos envolvidos: asua capacidade sem peso próprio (como no problema de indentação anterior), acapacidade da coluna de solo e do peso próprio abaixo da sapata. A equação básicaé escrita em função de cada uma das parcelas:

qult = csNc + qNq + γBNγ (7.3)

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onde: cs é a coesão, Nc é a capacidade de carga sem peso próprio (comparada aoensaio de indentação), q é o peso da altura de solo h, Nq é a capacidade do solodevido a esse sobrepeso, γ é o peso específico do solo, B é a largura da sapata e Nγ

é a capacidade devido ao peso próprio do solo.Baseado no método de Prandtl, Terzaghi estabeleceu uma das primeiras equações

para cálculo da capacidade de carga. Modificações na forma básica da Equação (7.4)foram propostas por Hansen (1970) e Vesić (1973, 1975), com a inclusão de fatoresde forma, como por exemplo, devido à forma da sapata, fatores de profundidade,inclinação e outros. Mais detalhes dessas metodologias podem ser encontradas emCHEN e LIU [26] e BOWLES [25], onde são apresentadas também as tabelas paraos fatores para Nc, Nγ e Nq. Uma solução por elementos finitos com aplicação dométodo cinemático é proposto em MAKRODIMOPOULOS e MARTIN [68], porém,somente o peso próprio é considerado, sem o sobrepeso da coluna de material.

De forma a parametrizar a Equação (7.4), define-se q = qult/cs e:

q = Nc + q

csNq +GNγ (7.4)

onde: G = γBcs.

Modelo Computacional

Validação

Para validação desse modelo, a solução em elementos finitos e análise limite consi-derando o peso próprio como carga morta é comparada com as soluções analíticasde Hansen e Vesic encontrada em BOWLES [25], a solução em elementos finitos e li-mite superior de MAKRODIMOPOULOS e MARTIN [68] e a solução em elementosfinitos e análise limite de PONTES [23].

Considerando a largura da sapata B = 10, cs = 1, o estudo foi feito para doisvalores de peso específico: γ = 0, 1, ocasionando G = 1 e γ = 0, 01, ocasionandoG = 0, 1. A altura do sobrepeso h é parametrizada pela largura da sapata B.

Os gráficos das Figuras 7.11, 7.12, 7.13 e 7.14 apresentam a capacidade de cargado solo q, variando o ângulo de atrito aplicado no critério de Drucker-Prager evariando também a razão de profundidade h/B. Lembrando para o ângulo de atritonulo, o critério expressa o resultado para o critério de von Mises.

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Figura 7.11: Capacidade de carga dosolo: cálculo com peso próprio sem so-brecarga.

Figura 7.12: Capacidade de carga dosolo: cálculo com peso próprio comsobrecarga (h/B = 0, 2).



Observando o gráfico da Figura 7.11 verifica-se que para baixos ângulos de atrito(até 10o) verifica-se uma convergência das soluções. Para ângulos de atrito maioresverifica-se uma proximidade com a solução de MAKRODIMOPOULOS e MARTIN[68]. Observa-se também que nos gráficos das Figuras 7.11, 7.13 e 7.14 que ascapacidades de carga determinadas pelos diversos métodos convergem para o mesmovalor pelo critério de Mises (ângulo de atrito nulo).

Além disso, embora consagrada nas referências bibliográficas consultadas, a te-oria para o cálculo analítico da capacidade de carga total do solo considera umasuperposição de efeitos, conforme mostra a Equação (7.4). Entretanto, na formula-ção em análise limite aqui proposta, esse princípio de superposição de efeitos não

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Figura 7.15: Capacidade do solo: comparação entre profundidades relativas da so-lução por elementos finitos e análise limite.

é aplicado, sendo a capacidade de carga calculada através dos princípios de análiselimite e das equações de equilíbrio.

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Materiais Porosos

Após a validação com soluções analíticas e por elementos finitos em materiais regidospelos critério de von Mises e Drucker-Prager, apresentam-se agora os resultados paraa capacidade do solo q para materiais porosos.

Os gráficos das Figuras 7.16, 7.17 e 7.18 mostram a variação da capacidade dosolo com a porosidade do material, para os ângulos de atrito de 5o, 20o e 30o. Alémda variação da porosidade, avalia-se também a capacidade de carga do solo comsobrepeso e peso próprio do solo, como carga morta, onde G = 1.

Figura 7.16: Capacidade do solo: ângulode atrito de 5o x concentração de material,com peso próprio e sobrecarga.

Figura 7.17: Capacidade do solo: ângulode atrito de 20o x concentração de mate-rial, com peso próprio e sobrecarga.

Devido às simetrias de geometria e de carregamento, a análise é feita apenascom metade do corpo, visando a eficiência computacional. A Figura 7.19 mostra umrebatimento da solução, mostrando a linha de deslizamento e o campo de velocidadespara o problema simétrico, quando h/B = 0, 2, ângulo de atrito 20o e concentraçãode material de η = 0, 99 (1% de porosidade). A linha de deslizamento constitui umaregião de dissipação plástica no material.

A linha de deslizamento da Figura 7.19 com o rebatimento representa tambémuma região de cisalhamento, pois acima desta há um campo de velocidades e abaixodesta a massa de sólido permanece fixa. Para a mesma razão de profundidadeh/B = 0, 2 e ângulo de atrito de 20o, as Figuras 7.20 e 7.21 mostram o campo develocidades e as linhas de deslizamento para as concentrações de material η = 0, 70 eη = 0, 50. Deve-se destacar que representa-se a metade do corpo, devido à simetria.

Observando as linhas de deslizamento das Figuras 7.20 e 7.21, verifica-se que àmedida que a porosidade aumenta, a região onde ocorre dissipação plástica passaa se concentrar nas proximidades da região de contato do corpo deformável com o

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Figura 7.18: Capacidade do solo: ângulo de atrito de 30o x concentração de material,com peso próprio e sobrecarga.

Figura 7.19: Linhas de deslizamento e campo de velocidades: ângulo de atrito de20o, com peso próprio, sobrecarga h/B = 0, 2 e concentração de sólido=0, 99.

Figura 7.20: Linhas de deslizamentoe campo de velocidades: ângulo deatrito de 20o, com peso próprio, so-brecarga h/B = 0, 2, concentração desólido=0, 70.

Figura 7.21: Linhas de deslizamentoe campo de velocidades: ângulo deatrito de 20o, com peso próprio, so-brecarga h/B = 0, 2, concentração desólido=0, 50.

indentador.A Figura 7.22 mostra uma superposição das linhas de deslizamento para o caso

em que a razão h/B = 0, 4 para o sobrepeso, ângulo de atrito de 30o e concentração

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de material de η = 0, 5, η = 0, 7 e η = 0, 9. Observa-se que à medida que aporosidade aumenta, a extensão da região plastificada diminui.

Figura 7.22: Superposição das linhas de deslizamemto: avaliação do comportamentocom a porosidade.

Após a validação, a análise da capacidade de carga do solo com a porosidade dosolo constitui uma contribuição desta tese. Nas Figuras 7.16, 7.17 e 7.18 estuda-sea capacidade de carga para solos com ângulos de atrito de 5o, 20o e 30o, respecti-vamente. Ressalta-se que para esta aplicação não há na literatura resultados paracomparação. Assim, verifica-se que para a concentração de sólido η = 1, 0 recupera-se o resultado para o critério de Drucker-Prager, para as razões de profundidadeanalisadas. À medida que a porosidade aumenta, a capacidade de carga do solodiminui. Este é um compotamento coerente, pois o aumento da porosidade confereuma diminuição da resistência mecânica do material e as soluções numéricas ob-tidas pela formulação mista encontram-se acima das soluções analíticas propostaspelo método estático.

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7.2 Estabilidade de Taludes

Este é um problema clássico de geotecnia e visa a caracterização de uma potencialsuperfície de falha e o cálculo de um fator de segurança para uma dada geometria econdições de carga. O estudo de estabilidade de taludes é importante no projeto decontenção de encostas, a fim de evitar deslizamentos. A sua ocorrência consiste nodeslizamento de uma massa de solo em relação a uma parte fixa, por cisalhamento.

Do ponto de vista da modelagem deste problema, este é um caso da aplicaçãoda formulação de análise limite onde o peso próprio é uma carga a ser amplificada,também denominada carga viva, e através do cálculo do fator de colapso, para umadada geometria do talude pode-se calcular a altura máxima que este pode alcançarde modo que a estrutura seja estável. A sua estabilidade é medida pelo número deestabilidade (adimensional), conforme visto em [27]:

N = αγH

cs(7.5)

onde α é o fator de colapso, γ é o peso específico, H é a altura do talude e cs é acoesão.

A Figura 7.23 mostra esquematicamente as características geométricas do taludee terminologias utilizadas.

Figura 7.23: Geometria do talude e terminologias.

Para validação da metodologia, foram utilizadas soluções analíticas encontradasem CHEN e LIU [22] e CAPUTO [27], onde aplica-se o método do equilíbrio limitepara solução do problema de estabilidade. Nesse método alguns modelos para asuperfície de falha são propostos: o método de Cullmann que propõe uma superfíciede falha plana e outro método que propõe um asuperfície de falha log-espiral. Nessesmétodos a forma da superfície de falha é uma hipótese que pode implicar eventuaisimprecisões nos resultados. Pelo método de elementos finitos e pela formulaçãomista proposta é possível se determinar essa superfície de falha, através da linha dedeslizamento.

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A validação é feita comparando-se os números de estabilidade para os ângulosde talube de 40o, 60o e 80o, considerando um solo sob o critério de escoamentode Drucker-Prager, plotando a variação do número de estabilidade com o ângulo deatrito do material. Um método incremental implementado no software CodeBright c©

também é utilizado.Após a validação apresenta-se um estudo da variação do número de estabilidade

considerando agora um material com porosidade, através do emprego da função deUlm-Gathier-Cariou, para um ângulu de atrito 30o e ângulo de talude 60o.

7.2.1 Validação

Através da proposição da forma da superfície de falha, o método do equilíbrio limitecalcula o número de estabilidade a partir do equilíbrio de forças da massa de soloque desliza, como mostra a Figura 7.24.

Figura 7.24: Equilíbrio limite para superfície de falha plana.

Os números de estabilidade também foram determinados pelo método incremen-tal, simulados pelo software CodeBright c© para o ângulo de talude 60o e 80o. Para oângulo de talude 40o somente os resultados obtidos pelo equilíbrio limite são usados.Assim, os gráficos das Figuras 7.25, 7.26 e 7.27 mostram os números de estabilidadecom a variação do ângulo de atrito para o critério de Drucker-Prager.

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Figura 7.25: Número de estabilidade paraângulo de talude 40o.



Ao se analisar os gráficos do número de estabilidade versus ângulo de atrito,verifica-se uma proximidade entre as soluções. O ângulo de atrito nulo compreendeo critério de Mises e ângulos de atrito não-nulos implica npo critério de Drucker-Prager. Para o ângulo de talude 40o comparou-se com as soluções analíticas, de-duzidas pelo método do equilíbrio limite, constituindo um método estático. Apesarda diferença entre as superfícies de falha propostas por Culmann (plana) e a su-perfície log-espiral, os números de estabilidade apresentam pouca divergência com asolução do problema de análise limite proposto. Para os ângulos de talude de 60o e80o comparou-se ainda com a solução elasto-plástica incremental, implementada nosoftware CodeBright c©.

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Os números de estabilidade para estes casos apresentam certa conformidade,onde as diferenças podem ser explicadas pelas diferentes metodologias: o métodoestático fornece uma solução em limite inferior e o método incremental um limitesuperior. No método incremental implementado no CodeBright ressalta-se que amalha utilizada não foi adaptada e esta pode ocasionar diferença em alguns pontosestudados.

7.2.2 Materiais Porosos

Após a validação dos resultados para o critério de Drucker-Prager, para avaliaçãodos números de estabilidade de materiais porosos fixa-se o valor do ângulo de atritoe varia-se a concentração de material η. A concentração de material unitária η = 1indica que o material é maciço e corresponde ao critério de Drucker-Prager.

Para os ângulos de atrito de 20o e 30o e um ângulo de talude 60o, avaliam-seos números de estabilidade com a variação da concentração de material, como nosgráficos das Figuras 7.28 e 7.29:

Figura 7.28: Número de estabilidadepara um material poroso com ângulode atrito 20o.

Figura 7.29: Número de estabilidadepara um material poroso com ângulode atrito 30o.

Para estes resultados não há dados na literatura para realizar a comparaçãodas soluções. Verifica-se que quando a concentração de material se aproxima deη = 1, 0, o número de estabilidade tende ao resultado de Drucker-Prager, comoesperado. Verifica-se também nos gráficos das Figuras 7.28 e 7.29 que para umadada concentração de material, o número de estabilidade obtido para o ângulo deatrito 30o é maior que o calculado para 20o, pois o ângulo de atrito do material estáassociado ao atrito entre as partículas que compõe a massa de solo. Os resultadoobtidos estão, portanto, coerentes com a concentração de sólido e os ângulos deatrito analisados.

Esses comportamentos podem ser observados no gráfico da Figura 7.30, ondepara talude de ângulo 60o mostram-se os números de estabilidade com as variações

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de ângulo de atrito e concentração de sólido do material.

Figura 7.30: Variação do número de estabilidade com o ângulo de atrito e a concen-tração de material.

Na Figura 7.31 observa-se a superfície de ruptura e o campo de velocidades paraum talude de ângulo 60o, ângulo de atrito 20o e concentração de material 0, 80.

Figura 7.31: Campo de velocidades e linha de deslizamento: ângulo de talude de60o e porosidade 0, 20.

A Figura 7.32 mostra as superfícies de falha para as concentrações de sólidoη = 1, 0, 0, 85 e 0, 70. Observa-se que à medida que a porosidade aumenta, a massade solo em deslizamento é maior que para uma porosidade menor.

Por esta figura, devido à utilização do método de elementos finitos, é possívelobter a linha de deslizamento (superfície de falha) como um resultado do problema,enquanto que para as soluções analíticas encontradas a forma da superfície de falhaé proposta a priori.

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Figura 7.32: Superfícies de falha e concentração de material.

7.3 Riscamento (Scratch Test)Como alternativa à indentação, o ensaio de riscamento é também empregado paradeterminação de propriedades mecânicas. Além disso, este teste permite determinara adesão de um revestimento aplicado sobre um material de base ou ainda, avaliara resistência de materiais rochosos BARD e ULM [31]. O teste é realizado a umaprofundidade entre 0, 1 ≤ d ≤ 1, 0 mm, e por esta razão, o ensaio é consideradonão-destrutivo.

Este ensaio consiste em arrastar horizontalmente um indentador rígido sobrea superfície de um material a ensaiar. Normalmente o ensaio é realizado a umaprofundidade fixa e as forças aplicadas no indentador são monitoradas.

Figura 7.33: Ensaio de riscamento.

Por definição, como visto em BARD e ULM [32], a chamada dureza de riscamentoé quantificada pela relação entre a força horizontal aplicada e a área vertical de

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atuação dessa força, compreendida pela altura d e a espessura w , consideradaunitária no modelo bi-dimensional desenvolvido. Assim:

Ht = Ftw.d

(7.6)

Através desse modelo bi-dimensional, sob a hipótese de estado plano de defor-mação, a dureza de riscamento será avaliada via método de elementos finitos ecom a aplicação da teoria de análise limite e da função de escoamento de Ulm-Gathier-Cariou. Serão apresentadas aplicações com prescrição de forças e velocida-des, lembrando que no modelo computacional desenvolvido não é possível aplicaçãosimultânea dessas prescrições.

No caso de prescrição de forças, analisam-se os casos sem atrito e com atrito nainterface da ferramenta com o corpo. Nesses modelos, a interface ferramenta-corpoé tratada como um anteparo e a força é aplicada em um dos contornos do corpo. Arestrição de movimento na interface limita-se apenas a direção normal, para satisfa-zer a condição de não-penetração, e a direção tangencial é livre, de modo que possahaver deslizamento com ou sem atrito entre o corpo e a ferramenta. Os resultadosobtidos por esta metodologia são comparados com as soluções analíticas desenvol-vidadas em BARD e ULM [32], sem e com atrito na interface. Baseado nessassoluções, desenvolveu-se uma solução semi-analítica, implementada em MATLAB ecujo desenvolvimento encontra-se no Apêndice G.

7.3.1 Prescrição de Velocidades e Forças

Para este caso estudado, aplicou-se um campo de velocidades prescritas na regiãode contato entre a ferramenta e o corpo, conforme mostrado na Figura 7.34, quemostra a região de prescrição de velocidades v, regiões onde há apoios (restrições demovimento) e exemplo de uma malha adaptativa. Para solução deste caso utilizou-sea formulação mista de análise limite com prescrição de velocidade.

Figura 7.34: Malha adaptativa e condições de contorno aplicadas: prescrição develocidades.

O mesmo problema pode ser solucionado pela formulação de análise limite com

110

prescrição de forças. Neste caso, as forças são prescritas em um dos contornos docorpo e a região de contato do corpo com a ferramenta é tratado como um apoio,com restrição apenas na direção normal. Na direção tangencial o corpo é livre,conforme mostra a Figura 7.35.

Figura 7.35: Malha adaptativa e condições de contorno aplicadas: prescrição deforça.

Ao se prescrever forças no contorno distinto da região de contato, um problemaequivalente ao original é solucionado. Entretanto, para encontrar um campo develocidades compativel ao problema original deve-se fazer um tratamento de dados,descontando-se o campo de velocidades obtido no contorno de prescrição de forças.

7.3.2 Caso sem Atrito na Interface Corpo-Ferramenta

Para os casos de velocidade prescrita e força prescrita avaliaram-se as durezas aoriscamento para materiais que se comportam segundo o critério de Mises e Drucker-Prager, através da variação do ângulo de atrito. Os resultados obtidos por essasformulações foram comparadas com a solução semi-analítica, desenvolvida pelo mé-todo estático de análise limite. O gráfico da Figura 7.36 mostra a comparação dasdurezas ao riscamento obtidas pelas metodologias citadas. Observa-se que o resul-tado para ângulo de atrito nulo corresponde ao critério de von Mises.

A Figura 7.37 mostra a linha de deslizamento e o campo de velocidades paraum material regido pelo critério de Drucker-Prager, com ângulo de atrito 17, 73o

(αs = 0, 3).

111

Figura 7.36: Dureza ao riscamento para os critérios de von Mises e Drucker-Prager:solução com prescrição de velocidades.

Figura 7.37: Linha de deslizamento e campo de velocidades: Drucker-Prager, ângulode atrito 17, 73o para o caso de prescrição de velocidades.

Analisando o gráfico da Figura 7.36 observa-se uma boa convergência entre assoluções para determinação da dureza ao riscamento. O método estático propostopor BARD [30] e a solução pela formulação mista e elementos finitos com prescriçãode forças apresentam-se próximas à solução com prescrição de velocidades. Assim,uma vez validada, a formulação com velocidade prescrita e condições unilaterais comatrito foi desenvolvida e o problema de riscamento com condições unilaterais comatrito será abordado na seção seguinte.

112

7.4 Riscamento sob Condições Unilaterais comAtrito e Prescição de Velocidades

Nos problemas de riscamento abordados até o momento, o estudo da iteração en-tre dois corpos não foi levado em conta. A rigor, quando se prescreve um campode velocidades, há um corpo rígido, no caso a ferramenta, que exerce uma açãode movimento e está em contato com o corpo deformável. No caso específico doriscamento, um indentador rígido que realiza um movimento horizontal a uma pro-fundidade constante em um corpo deformável. Dessa forma, o uso da formulação deanálise limite com prescrição de velocidades e atrito na interface se justifica. Em umprimeiro estudo, prescreve-se apenas um campo de velocidades na direção normalà superfície de contato. Posteriormente, prescreveu-se um campo de velocidadeshorizontal, apresentando portanto componentes normal e tangencial à superfície decontato.

No estudo do caso com prescrição de velocidade normal é possível comparar assoluções desenvolvidas pela teoria de análise limite com velocidade prescrita e atritocom os modelos analíticos desenvolvidos em BARD e ULM [32] e BARD [30], basea-dos no método estático da análise limite. Esse método desenvolvido prevê o cálculoda dureza ao riscamento para casos sem e com atrito entre o corpo e a ferramenta.Para o caso sem atrito, uma solução baseada no método cinemático também é apre-sentada, contemplando os critérios de von Mises e Drucker-Prager. Além disso,resultados experimentais realizados em pasta de cimento (cement pastes) são tam-bém apresentados e utilizados para validação do modelo analítico desenvolvido poreste autor. Esses resultados serão também utilizados para validação do modelo deanálise limite e elementos finitos desenvolvido nesta tese.

Como primeira etapa faz-se uma validação do modelo desenvolvido com as so-lução proposta por BARD [30], onde as durezas ao riscamento serão comparadaspara o caso de prescrição de velocidades na direção normal à superficie de contatoapenas. Na segunda etapa, os resultados experimentais obtidos pelo mesmo autorserão avaliadas, porém, com o modelo onde se aplica um campo de velocidades nahorizontal, para reproduzir os requisitos do ensaio realizado, a uma velocidade eprofundidade constantes.

Conforme já mencionado, no estudo de problemas com atrito pode resultar emdeslizamento de um corpo em relação ao outro ou em adesão. O modelo analíticode BARD [30] para solução de casos com atrito mostra a existência de um valor decoeficiente de atrito, chamado coeficiente de atrito crítico, que limita a ocorrência dedeslizamento e o início da adesão. Uma vantagem do método de elementos finitos éa possibilidade de se verificar que na interface de contato os regimes de deslizamentoe adesão coexistem, não havendo uma adesão instantânea de toda região conforme

113

previsto no modelo analítico. A coexistência desses dois estados é verificada pelocampo de velocidades tangenciais no contorno de contato e a verificação da lei deCoulomb nesta região. Assim, o coeficiente de atrito que vai ocasionar uma adesãototal da região de contato é maior que o valor crítico previsto por BARD [30], poishaverá pontos do contato em que parte da potência externa fornecida será dissipadaainda na forma de atrito.

7.4.1 Velocidade Normal

Neste caso, aplica-se como condição de contorno um campo de velocidades prescritassegundo a direção definida pela normal à superfície de contato, como mostra a Figura7.34. Para esta condição, fez-se a variação do coeficiente de atrito na interface edeterminou-se a dureza ao riscamento para cada caso. Além disso, é possível obteros campos de velocidades no contorno de contato e juntamente com a lei de Coulomb,pode-se analisar em que pontos há deslizamento e adesão.

Para o estudo do contorno de contato considera-se a coordenada s para posicio-namento de cada ponto do contorno de contato, cujo comprimento é L, medido emrelação à origem determinada conforme a Figura 7.38. Os campos de velocidadese as forças de reação são escritas de acordo com o referencial definido pelo sistemalocal {n, t}. O ângulo θ mede a inclinação da ferramenta, também denominadoback-rake angle.

Figura 7.38: Sistemas de referência no contorno de contato.

Validação

Uma vez estabelecidas essas referências, o gráfico da Figura 7.39 mostra a variaçãoda dureza ao riscamento de acordo com a variação do coeficiente de atrito. Parafazer a validação de sua solução analítica, BARD [30] implementou uma solução

114

incremental no software comercial Abaqus, utilizada também para comparar os re-sultados obtidos nessa tese:

Figura 7.39: Influência do coeficiente de atrito no cálculo da dureza ao riscamento .

Por este gráfico pode-se observar a ocorrência do deslizamento e da adesão. Naporção do gráfico onde se verifica um aumento da dureza com o coeficiente de atrito,este comportamento caracteriza a ocorrência de deslizamento, pois há energia dissi-pada por atrito e há uma demanda crescente para que a potência externa fornecidaseja suficiente para causar o colapso plástico no material. Neste caso, |Rt| = −µRn,a velocidade tangencial relativa vt é não-nula, ocasionando uma potência dissipadapor atrito: bc = 〈−µRn, |vt|〉 > 0.

Por outro lado, quando ocorre adesão não há ocorrência de movimento relativoentre os corpos: vt = 0 e pela lei de Coulomb |Rt| < −µRn. Neste caso, a reação tan-gencial é calculada pelo equilíbrio, como se fosse a solução de um problema em quehá restrição de movimento na direção tangencial, na forma de um apoio. Por estarazão, como não há perda de parte da potência externa fornecida pela ferramenta, apotência necessária para ocasionar o colapso plástico do material mantém-se cons-tante. Há um aumento da dureza devido ao aumento da rigidez do corpo ocasionadopela restrição de movimento na direção tangencial.

Outro aspecto a ser observado tange a diferença de comportamento entre assoluções analítica e por elementos finitos: pela solução analítica verifica-se que ocoeficiente de atrito µ = 0, 15 seria limítrofe entre deslizamento e adesão, enquantona solução obtida nesta tese por elementos finitos o valor crítico ocorre em cerca de

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µ = 0, 30. Essa disparidade ocorre porque a solução analítica não é capaz de captarque deslizamento e adesão podem ocorrer simultaneamente no contorno de contato,como se a partir de µ = 0, 15 toda a extensão do contato se encontrasse em adesão.

Além disso, a diferença entre os métodos de análise limite devem ser discutidos:a solução analítica proposta por BARD [30] foi desenvolvida a partir do métodoestático de análise limite, onde o equilíbrio e a admissibilidade plástica das tensõesdevem ser satisfeitos. E juntamente com o princípio da máxima dissipação, mostra-seque o método estático fornece um limite inferior. A solução pelo método incrementalutiliza um elemento cinemático, portanto, fornece um limite superior para a durezaao riscamento.

Desta forma, a solução obtida pela formulação mista proposta nesta teseencontra-se entre as soluções em limites inferior e superior propostas por [30], queimplica uma solução bastante plausível.

Estudo do Contorno de Contato

Nesta seção realiza-se um estudo do contorno de contato, de suas forças de reaçãonormal e tangencial, das velocidades tangenciais relativas e assim verificar que partesdo contorno em que há dissipação por atrito. Essas variáveis são analisadas atravésda prescrição de velocidades normais à superfície de contato, para os coeficientes deatrito de µ = 0, 05; 0, 20; 0, 28, 0, 35 e 0, 50, onde pode-se acompanhar a evolução dasforças de reação e das velocidades tangenciais, analisando-se as regiões do contatosob adesão ou deslizamento.

As Figuras 7.40, 7.44, 7.48, 7.52 e 7.56 apresentam os campos de velocidadesno contorno de contato, mostrados no eixo vertical esquerdo e a verificação da leide Coulomb, mostrado no eixo vertical direito, permitindo observar a ocorrência dedeslizamento e adesão no contato. As grandezas mostradas são adimensionalizadase parametrizadas conforme a seguir:

• 0 ≤ s/L ≤ 1;

• as velocidades são divididas pelo máximo valor e assim: −1 ≤ vt/vtmáx ≤ 1;

• as forças de reação Rn e Rt são parametrizadas pela coesão cs.

Além da distribuição de velocidades ao longo do contorno de contato, simulta-neamente mostra-se o campo de velocidades no contorno e a linha de deslizamentoe assim a ocorrência de deslizamento ou adesão é verificada. Em caso de adesão, ocampo de velocidades no contorno do corpo deformável alinha-se com o campo develocidades imposto v, ocasionando vt = 0. No deslizamento verifica-se a ocorrên-cia de velocidade relativa tangencial entre o campo de velocidades desenvolvido no

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corpo deformável e o corpo rígido (a ferramenta). Mostram-se também os gráficosda distribuição da reação tangencial Rt e µRn ao longo do contorno de contato everifica-se ponto a ponto a desigualdade Rt ≤ −µRn.

Deve-se salientar ainda que as reações que são mostradas nos gráficos são oriun-das da solução de complementaridade, via algoritmo de Lemke. Outra opção seriaatravés do tensor de tensões no contorno de contato, através da determinação dascomponentes normal e tangencial. Entretanto essa alternativa não descreve comprecisão a desigualdade da lei do Coulomb, pois a lei de Coulomb não é impostaem uma forma forte. Além disso, o campo de tensões é descontínuo por elementos,posteriormente regularizadas e desta maneira, a lei de Coulomb não é verificada aose relacionar a tensão normal e a tensão tangencial.

A falta de regularidade na distribuição das forças de reação no contorno decontato é outro aspecto a ser observado. Isso pode ser explicado pela sensibilidadedo problema de contato com a malha utilizada. Ressalta-se também que a rotinade adaptação de malha eventualmente pode retirar elementos da região de contato,resultando na irregularidade de distribuição das forças de reação.

117

1. Coeficiente de atrito µ = 0, 05

Figura 7.40: Distribuição de velocidades tangenci-ais e lei de Coulomb no contorno de contato.

Figura 7.41: Velocidades tan-genciais no contorno de con-tato: deslizamento em todocontorno de contato.

Figura 7.42: Campo de velocida-des e linha de deslizamento.

Figura 7.43: Distribuição das forças de re-ação: Rt e µRn.

Analisando-se a distribuição de velocidades tangenciais na Figura 7.40 e aomesmo tempo a Figura 7.41, verifica-se que em todo contorno as velocidades sãonão-nulas, ou seja, deslizamento. Essa situação implica: se vt 6= 0, a lei de Cou-lomb é verificada em sua igualdade: |Rt| = −µRn, conforme se verifica no eixo daordenada direita da Figura 7.43.

118


Figura 7.44: Distribuição de velocidades tangenci-ais e lei de Coulomb.

Figura 7.45: Velocidadestangenciais no contornode contato: início de ade-são.

Figura 7.46: Velocidades tangen-ciais no contorno de contato: iní-cio de adesão.


Para este coeficiente de atrito observa-se início de adesão nas proximidades dacoordenada s = 0. Isso se verifica pelo gráfico da Figura 7.44, onde se observaa ocorrência de velocidade tangencial nula. Assim, nos pontos de ocorrência deadesão somente a desigualdade da lei de Coulomb é verificada: |Rt|+ µRn < 0. Demaneira equivalente, esse desigualdade é verificada no gráfico da Figura 7.47, emque |Rt| < −µRn.

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Figura 7.49: Velocidadestangenciais no contorno decontato: adesão e desliza-mento na maior parte docontorno de contato.



Com o aumento do coeficiente de atrito, verifica-se um aumento de pontos deocorrência de adesão. Entretanto, verifica-se ainda um predomínio das regiões ondehá deslizamento. Nas proximidades de s = 0 verifica-se que havia adesão quandoµ = 0, 20 e passou a haver deslizamento no sentido positivo do eixo local t. Verifica-se a desigualdade da lei de Coulomb em pontos de adesão e a igualdade satisfeitaquando há deslizamento.

120



Figura 7.53: Velocidadestangenciais no contorno decontato: adesão em quasetodo contorno de contato.



Para este coeficiente de atrito observa-se a adesão em grande parte do contorno decontato. Assim, |Rt| < −µRn ou |Rt|+µRn < 0 é satisfeito. Verifica-se deslizamentonas proximidades de s = 0 e em s = L.

121


Figura 7.56: Distribuição de velocidades tangenci-ais e lei de Coulomb no contorno de contato:µ =0, 50 .

Figura 7.57: Velocidadestangenciais no contorno decontato: adesão em quasetotalidade do contorno decontato.



Para este coeficiente de atrito µ = 0, 50 observam-se velocidades tangenciais nu-las em grande parte do contorno de contato, acarretanto a ocorrência da condição deadesão, exceto nas proximidades da superfície livre em s = L onde há deslizamento.Nos pontos de adesão, |Rt|+µRn < 0 ou |Rt| < −µRn conforme o gráfico da Figura7.59.

122

Pelos gráficos apresentados pode-se perceber que os dados plotados de velocidadetangencial e lei de Coulomb são complementares. Para um coeficiente de atrito µ =0, 05 verifica-se que há deslizamento em toda região de contato e logo, vt/vtmáx 6= 0.Isso implica que a lei de Coulomb está sendo atendida, ou seja, |Rt| = −µRn ou|Rt|+µRn = 0. À medida que o coeficiente de atrito aumenta, mais regiões do corpoem contato aderem à ferramenta e verifica-se que nesses pontos |Rt| + µRn < 0.O gráfico de dureza ao riscamento da Figura 7.39 mostra o aumento gradual dadureza com o coeficiente de atrito quando há deslizamento, que implica dissipaçãode parte da potência fornecida por atrito. Quando a dureza se torna constanteindica que houve adesão e a reação tangencial Rt < −µRn, obtida como uma reaçãooriunda do equilíbrio estático. Esse comportamento assintótico é verificado ao seimpor um campo de velocidades normal não-nulo e impor velocidade tangencial nula,implicando em uma restrição de movimento tangencial. Nessa condição, a durezaao riscamento Ht = 3, 1237, onde há adesão de toda região de contato.

A Figura 7.60 mostra a variação da distribuição das velocidades tangenciais como coeficiente de atrito:

Figura 7.60: Distribuição de velocidades tangenciais no contorno de contato.

Neste gráfico verifica-se que à medida que o coeficiente de atrito aumenta, o perfilde velocidades alcança magnitudes cada vez menores. Observa-se também que háocorrência de regiões do contato onde ocorre adesão e deslizamento, até que parao coeficiente de atrito µ = 0, 50 há o predomínio de adesão. Nas proximidades dacoordenada s = L ocorre deslizamento, visto que há uma superfície livre.

123

7.4.2 Velocidade Horizontal

Neste caso aplica-se uma prescrição de velocidade horizontal no contorno de contato,que implica na prescrição de uma componente normal e tangencial ao se observar osistema local no contorno de contato.

Figura 7.61: Prescrição de velocidades horizontais.

Esse tipo de condição aplicada reflete com mais precisão o procedimento experi-mental e serão comparados com os resultados obtidos pela simulação computacional.Através da medida da dureza experimental, algumas hipóteses acerca do compor-tamento em plasticidade do material ensaiado serão tomadas, afim de caracterizarsuas propriedades mecânicas. Com este modelo direto desenvolvido não é possíveldeterminar com precisão e de maneira automática as propriedades do material. Odesenvolvimento de um método inverso e de um algoritmo adequado seria mais in-dicado para tal. No problema direto as propriedades mecânicas são conhecidas euma solução é calculada. No método inverso, dados experimentais são conhecidose por meio de um algoritmo e o desenvolvimento de um modelo computacional,determinam-se as propriedades de um material.

Para este caso de prescrição de velocidade horizontal, plota-se o gráfico da va-riação da dureza ao riscamento com o coeficiente de atrito na interface na Figura7.62.

124

Figura 7.62: Variação da dureza ao riscamento com o coeficiente de atrito no con-torno de contato.

Ao se analisar o comportamento da dureza ao riscamento, pode-se perceber umaumento gradual de seu valor até cerca de µ = 0, 175. A partir desse valor, in-dependente do coeficiente de atrito o valor da dureza continua aproximadamenteconstante, caracterizando adesão. Abaixo de µ = 0, 175, verifica-se dissipação poratrito através do movimento relativo tangencial entre a ferramenta e o corpo de-formável. Esses resultados não são comparáveis à solução analítica proposta porBARD [30] porque a condição de carregamento eterno aplicado não é compatívelcom a condição de prescrição de velocidade horizontal.

Entretanto, de acordo com CHEN e LIU [26], o valor da dureza é limitado in-feriormente pelo caso de deslizamento sem atrito e superiormente pelo caso ondeocorre adesão de toda região de contato. Desta forma, de modo a simular a condi-ção de adesão total, prescreveu-se um campo de velocidades horizontal e impôs-sevelocidade vertical nula. A dureza calculada sob essas condições corresponde ao casoassintótico de adesão de todo contorno, a qual a solução do problema de riscamentocom condições unilaterais com atrito deve alcançar assintoticamente. Então, quandotodo o contorno de contato atinge a condição de adesão a dureza adimensional tendea esse valor assintótico de Ht/k = 2, 7125.

Validação Experimental

Em BARD [30] encontram-se resultados experimentais para o teste de riscamento,realizado em uma pasta de cimento (cement paste), de densidade 0, 44 e do teste decompressão uniaxial obteve-se σexp0 = 43± 2 MPa. Deve-se lembrar que σ0 =

√3k.

O ensaio foi realizado a uma velocidade constante conforme mostrado esquemati-camente na Figura 7.33, por um indentador de diamante policristalino, de espessuras

125

w = 2, 5 mm, 5 mm e 10 mm, com profundidades de corte entre 0, 1 mm e 0, 6 mme ângulo de inclinação da ferramenta (back-rake angle) θ = 15o.Os resultados expe-rimentais obtidos em BARD e ULM [32] e BARD [30] foram interpolados por umpolinômio de 2o grau, como mostra a Figura 7.63:

Figura 7.63: Curva interpolada dos resultados experimentais: forças horizontais everticais X área projetada.

onde: Ft = −5, 1588A2 + 61, 786A e Fv = −2, 2349A2 + 37, 002A, sendo A a área daregião de contato projetada no eixo vertical, definida pela profundidade d e espessuraw.

Por esses resultados e a partir da Equação (7.7), a dureza ao riscamento é calcu-lada. As curvas mostradas em 7.63 indicam que a dureza ao riscamento varia com aárea projetada, demonstrando a dependência de efeitos que não são explicados pelateoria de resistência de materiais BARD [30]. Entretanto, considerando a dureza aoriscamento como uma tensão de contato média, em analogia à definição de tensão:

Ht = limAprojetada→0

FtAprojetada

= dFtdAprojetada

|Aprojetada=0 (7.7)

Assim, como resultado experimental calcula-se Hexpt = 61, 786 MPa. Admitindo

a variação de σ0, a dureza ao riscamento adimensionalizada por esta propriedadeencontra-se entre 1, 3730 ≤ Ht

σ0≤ 1, 5069. O valor da dureza adimensionalzada pelo

valor médio de σ0 é Ht/σ0 = 1, 4388Admitindo algumas hipóteses acerca do comportamento em plasticidade do ma-

terial ensaiado e da presença de atrito na interface corpo-ferramenta, discute-se arelação entre os resultados experimentais e obtidos numericamente por elementos

126

finitos e sob a teoria de análise limite:

1. Critério de von Mises

Realizando uma simulação sob esses requisitos e aplicando um campo de velocida-des horizontal, Ht/σ0 = 1, 4231 e verifica-se que este resultado encontra-se dentroda faixa de valores experimentais admissíveis para a dureza ao riscamento adimen-sionalizada.

Apesar de satisfazer o resultado experimental, a hipótese de material de vonMises e contato sem atrito é discutível, pois o material ensaiado é uma pasta decimento e seu comportamento em plasticidade depende da tensão média. Além disso,a hipótese de contato sem atrito é uma condição ideal e difícil de ser reproduzidaexperimentalmente.

Entretanto, se o critério de Mises for admitido, o modelo computacional desen-volvido permite que se estime um valor para o coeficiente de atrito de modo quesatisfaça a dureza ao riscamento experimental. O gráfico abaixo mostra a evoluçãoda dureza ao riscamento adimensionalizada com o coeficiente de atrito na interface.As linhas horizontais pontilhadas representam o valores máximo, mínimo e médioque a dureza experimental pode assumir:

Figura 7.64: Evolução da dureza ao riscamento com o coeficiente de atrito.

Ao se analisar o gráfico verifica-se que há uma faixa de valores de coeficientes deatrito que satisfazem os dados experimentais. Considerando o valor médio da durezaexperimental, o coeficiente de atrito admissível é cerca de µ = 0, 015. Entretanto, ao

127

se considerar o valor máximo que a dureza experimental pode alcançar, o coeficientede atrito máximo é cerca de µ = 0, 15.

2. Critério Drucker-Prager

Como o material ensaiado é dependente da tensão média, o critério de Drucker-Prager pode descrever de forma mais adequada o comportamento em plasticidade dapasta de cimento. Entretanto, além da coesão, agora existem mais dois parâmetrosenvolvidos no problema: o ângulo de atrito do material e o coeficiente de atrito dainterface.

O critério de von Mises é alcançado a partir do critério de Drucker-Prager quandoo ângulo de atrito do material é nulo. Portanto, a dureza experimental para umângulo de atrito não-nulo ocasionará um valor acima ao determinado pelo critériode von Mises. Entretanto, para um teste em que o ângulo de atrito do materialαs = 0, 05 e contato sem atrito, fornece uma dureza ao riscamento de cerca deHt/cs = 2, 7380. Dado que σ0 = 2cs, Ht/σ0 = 1, 3690, aproximadamente o valormínimo da dureza experimental. Ao se verificar a dureza para um ângulo de atritoαs = 0, 10, Ht/cs = 3, 0625, acarretando Ht/σ0 = 1, 5312, acima da dureza aoriscamento máxima.

Portanto, por essa breve análise e sem levar em conta que há atrito no contatocorpo-ferramenta, pode-se supor que com a inclusão do atrito na interface ocasio-naria valores mais elevados para a dureza ao riscamento e ultrapassaria os valoresadmissíveis experimentalmente. Por esta razão, o critério de Drucker-Prager não éadequado para caracterizar o material ensaiado e não reproduz os resultados expe-rimentais.

Dessa forma, apesar dos resultados obtidos pelo critério de Mises apresentaremconformidade com os resultados experimentais, o material ensaiado não apresentaum comportamento em plasticidade descrito por esta função. O critério de Drucker-Prager tampouco mostrou conformidade com os resultados experimentais. Então,uma análise mais apurada das características do material deve ser realizada, comodeterminar a existência de porosidade no material e aplicar uma morfologia quepossa se aproximar de suas características e utilizar a função de escoamento deUlm-Gathier-Cariou para caracterizar o comportamento em plasticidade do materialensaiado.

3. Critério Ulm-Gathier-Cariou

Experimentalmente determinou-se a porosidade do material em ϕ = 0, 33(η = 0, 67).Então, o problema agora é caracterizar um material, que consiste em determinarum ângulo de atrito interno e uma coesão, de modo que satisfaça a condição de

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1, 3730 ≤ Htσ0≤ 1, 5069, levando em conta a flutuação de σ0 e de forma similar,

satisfazer a dureza vertical, 0, 8222 ≤ Hvσ0≤ 0, 9024. Além disso, deve-se caracterizar

também o coeficiente de atrito entre o indentador e o material ensaiado.Considerando que são muitas variáveis a determinar, encontrar um material cu-

jas propriedades estejam em conformidade com os resultados experimentais podeser bastante oneroso. O emprego de técnicas de métodos inversos seria mais indi-cado para melhor caracterizar as propriedades do material e o coeficiente de atritona interface com a ferramenta. Na falta dessa técnica, alguns valores de ângulo deatrito do material e coeficiente de atrito entre a ferramenta e o corpo serão testa-dos, de modo que se aproxime dos resultados experimentais e que o material sejacaracterizado.

A partir da porosidade medida, a estrátégia adotada para caracterização domaterial foi fixar um ângulo de atrito do material e admitir a condição de atritona interface corpo-ferramanta na condição de adesão forçada (prescrição de veloci-dade horizontal não-nula e velocidade vertical forçadamente nula). Esses ângulosde atrito foram testados até que se atingisse um valor de Ht/σ0 compatível com oexperimental. Como a condição de adesão forçada acarreta o maior valor de durezaadimensional para um material com uma determinada coesão e ângulo de atrito, acondição de deslizamento estará sempre abaixo desse valor e assim, ajusta-se umcoeficiente de atrito que atenda aos requisitos experimentais. A Tabela 7.2 mostraos ângulos de atrito do material e os valores de dureza adimensional obtidos para acondição de adesão forçada:

αs Ht/cs0,40 1,29500,45 1,45440,50 1,6475

Tabela 7.2: Ângulo de atrito do material e dureza adimensional: condição de adesãoforçada.

Analisando-se os resultados mostrados, verifica-se que para o ângulo de atritoαs = 0, 45 obtém-se um valor de dureza adimensional que se encontra dentro dafaixa tolerável para Ht/σ0. Dessa forma, os ângulos de atrito αs = 0, 40 e αs = 0, 50são descartados por estarem respectivamente abaixo e acima da faixa tolerável paraa dureza adimensional.

Até este ponto apenas o ângulo de atrito foi selecionado αs = 0, 45. Ressalta-seque a dureza adimensional Ht/σ0 é o valor máximo assintótico para o caso de adesãode toda região de contato. Então, o próximo passo é solucionar o problema de análiselimite com atrito na interface e estimar um coeficiente de atrito. Então, o valor deHt/σ0 vai depender dos coeficientes de atrito na interface e estará abaixo do valor

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assintótico. Portanto, será feita uma busca pelo coeficiente de atrito de modo que ovalor da dureza se aproxime do valor médio experimental, onde Hexp

t /σ0 = 1, 4368.Pelo gráfico da Figura 7.65 mostram-se os valores de dureza adimensional simu-

lados, através da variação do coeficiente de atrito na interface corpo-ferramenta. Aomesmo tempo plotam-se os valor experimental e o assintótico para o caso de adesãoforçada.

Figura 7.65: Evolução da dureza ao riscamento com o coeficiente de atrito.

Ao se analisar o gráfico, observa-se que o resultado experimental é inteceptadopelo resultado simulado em aproximadamente µ = 0, 275. Calculando a durezaadimensional para este coeficiente de atrito, obtém-se Ht/σ0 = 1, 4346. Verifica-setambém neste ponto ocorrência de deslizamento, pois a adesão de toda interfaceocorre a partir de aproximadamente µ = 0, 40, onde a dureza torna-se constante etende ao valor assintótico de adesão forçada.

Estudo do Contorno de Contato

O estudo do contorno de contato para este caso segue a mesma convenção do sis-tema local estabelecido na Figura 7.38, e onde se estabelece a origem do perfil develocidades e da lei de Coulomb dos gráficos. De maneira similar à prescrição develocidades normais, realiza-se o estudo da distribuição de velocidades tangenciaisrelativas e das forças de reação normal e tangencial, a fim de verificar partes docontorno que encontram-se em deslizamento ou adesão.

130



Figura 7.67: Velocidades tan-genciais no contorno de con-tato: apenas deslizamento nocontorno de contato.

Figura 7.68: Campo de velocidades elinha de deslizamento.

Figura 7.69: Distribuição das forçasde reação: Rt e µRn.

Para este coeficiente de atrito observa-se deslizamento em todo contorno de con-tato, confirmado pela distribuição de velocidades tangenciais e pela verificação daigualdade da lei de Coulomb no gráfico da Figura 7.66. Na Figura 7.67 mostram-seas velocidades tangenciais no contorno de contato.

131



Figura 7.71: Velocidades tan-genciais no contorno de con-tato.

Figura 7.72: Velocidades tangenciaisno contorno de contato: início de ade-são.


Neste caso verifica-se a ocorrência de regiões em que há adesão e deslizamento.A ocorrência de deslizamento é ainda predominante ao se observar que a lei deCoulomb é satisfeita em sua igualdade, apesar da baixa magnitude das velocidadestangenciais.

132



Figura 7.75: Velocidadestangenciais no contorno decontato: adesão em quasetotalidade do contorno decontato.

Figura 7.76: Velocidades tangenciaisno contorno de contato: início de ade-são.


Para este coeficiente de atrito verifica-se adesão na maior parte da região decontato, pois verificam-se velocidades tangenciais nulas e a desigualdade da lei deCoulomb: |Rt| + µRn < 0. Há deslizamento nas imediações da superfície livre ems = L há deslizamento.

Nesta aplicação, aplicou-se um campo de velocidades horizontal, simulando aação de movimento provocado pelo indentador. Ao se decompor esse campo develocidades no sistema de coordenadas locais, haverá componentes normal e tangen-cial prescritas. Para componente normal a hipótese de contato permanente entre aferramenta e o corpo durante todo o processo é mantida. Entretanto, ao se analisara componente tangencial admite-se que pode haver deslizamento do corpo deformá-vel em relação ao corpo rígido (ferramenta). Então, adesão ocorre se a velocidade

133

tangencial no corpo foi igual à componente de velocidade tangencial da ferramental.Caso haja velocidade relativa, verifica-se deslizamento. A ocorrência de adesão oudeslizamento pode ser entendido ao se observar simultaneamente as Figuras 7.66 e7.67 para o coeficiente de atrito µ = 0, 05, Figuras 7.70 e 7.72 para µ = 0, 20 e Figu-ras 7.74 e 7.76 para µ = 0, 30: à medida que o coeficiente de atrito aumenta, maisregiões do contorno de contato encontram-se em adesão e verifica-se que o campode velocidades-solução se aproximam da direção horizontal, imposta pela prescriçãode velocidades.

Ao se analisar a distribuição dos campos de velocidades, independente da im-posição pela ferramanta de um campo velocidade prescrita normal ou horizontal,os efeitos de singularidade em s = 0 devem ser observados, uma vez que há umamudança abrupta da geometria neste ponto. Em s = L e suas proximidades, comoa superfície é livre pode haver deslizamento e fluxo tangencial de material.

134

7.5 Análise da Resistência Lateral do Solo

Este problema é uma aplicação direta da formulação de análise limite com pres-crição de velocidade. Durante a ocorrência da flambagem lateral, o duto apoiadosobre o leito marinho se move lateralmente, como forma de alívio das grandes forçascompressivas desenvolvidas ao longo de seu comprimento. Essas forças compressivassão induzidas pela pressão externa, devido à altura de coluna de água, e a tensõestérmicas geradas pelas altas temperaturas do fluido que escoa pelo duto. Comoessas estruturas são ancoradas, ou seja, tem seus movimentos restritos, altas for-ças compressivas são induzidas ao longo de seu comprimento e o duto se comportacomo uma coluna. Conforme visto em BRUTON et al. [3] e BRUTON et al. [4], aocorrência de uma flambagem lateral controlada é uma forma de reduzir as tensõesaxiais em que o duto é submetido.

De maneira esquemática, a Figura 7.78 mostra um duto parcialmente enterradono solo, com assentamento raso.

Figura 7.78: Duto parcialmente enterrado.

A validação do problema é feita comparando-se os resultados de forças horizontale vertical do modelo proposto com os resultados encontrados em MARIFIELD et al.[53], AUBENY et al. [54], RANDOLPH e WHITE [69] e MURFF et al. [55]. Assoluções são válidas para dutos enterrados parcialmente e rasos, onde a razão entreprofundidade de assentamento h pelo diâmetro D é h/D ≤ 0, 5.

Em RANDOLPH e WHITE [69], uma metodologia baseada no método cinemá-tico de análise limite é proposta para o cálculo das forças requeridas para ocasionaro movimento lateral do duto, considerando o solo macio e sob o critério de Trescapara descrever seu comportamento em plasticidade. Em MARIFIELD et al. [53], asolução pelo método cinemático é comparada com a solução por elementos finitos,

135

por meio do software comercial Abaqusr, através do método incremental. Em AU-BENY et al. [54] uma solução em elementos finitos é apresentada e a força verticalde resistência em função das razões de profundidade é aproximada por uma função:

V

csD= a(h/D)b (7.8)

onde: V é a força vertical, cs é a coesão, a e b são coeficientes que dependem dotipo de interface entre o solo-estrutura. Para baixa rugosidade, a = 5, 42 e b = 0, 29.

O tipo de interface entre o solo-estrutura é importante para obtenção de soluçõesmais precisas e dependem da rugosidade da estrutura e do solo, obtidas de formaexperimental, como visto em ZAMAN e ALVAPPILLAI [70]. As interfaces podemapresentam rugosidade alta (rough), intermediária e baixa (smooth). Para análisedesta aplicação, serão considerados apenas os casos com baixa rugosidade (smooth).

Em MURFF et al. [55], baseado nas soluções pelos métodos estático e cinemá-tico de Randolph e Houlsby, soluções são apresentadas para determinação da forçavertical máxima de resistência do solo à penetração do duto, sob o critério de Tresca.

7.5.1 Modelo

Para o duto iniciar a flambagem lateral, este deve vencer basicamente duas resistên-cias: a resistência do material (solo) que o circunda e o atrito que há entre o solo ea estrutura. Para modelar este processo, é necessário admitir algumas hipóteses:

• o duto é longo e a hipótese de estado plano de deformação é adotada;

• o peso do solo não é considerado;

• como o duto move-se lateralmente, é conveniente prescrever velocidades;

• o duto é um material rígido e o solo é um material deformável;

• desconsideram-se imperfeições de relevo no solo;

• dutos com assentamento raso.

Para modelagem do problema bi-dimensional, estuda-se apenas o material defor-mável e a iteração do duto com o solo é substituída por uma prescrição de velocidade,considerada constante porque o duto executa um movimento de corpo rígido. Asdemais condições de apoio homogêneas são mostradas a seguir:

136

Figura 7.79: Contorno de prescrição de velocidade e condições de apoio.

7.5.2 Validação

A validação é feita comparando os resultados de forças horizontais e verticais adi-mensionais com os autores citados, que utilizaram soluções baseadas nos métodoscinemático, estático e método dos elementos finitos, através de um software comer-cial e utilizando o critério de von Mises.

Figura 7.80: Forças horizontais.

137

Figura 7.81: Forças verticais.

Ao analisar os gráficos de forças horizontal na Figura 7.80 e vertical na Figura7.81 observa-se que os valores obtidos encontram-se em conformidade com os re-sultados dos autores citados. Na análise da força horizontal os valores ficaram naordem de grandeza ou inferiores aos obtidos pelo método cinemático. Para forçavertical, os valores desta força encontram-se acima dos resultados calculados pelométodo estático de Murff e abaixo ou na mesma ordem de grandeza obtidos pelométodo cinemático de Murff e Randolph e Houlsby.

7.5.3 Problema de Contato com Atrito

Os problemas tratados anteriormente abordam, a rigor, casos em que ocorre adesãoem todo o contorno de contato do duto com o solo, uma vez que o campo de velocida-des do corpo deformável está na mesma direção da velocidade prescrita. Isso implicaque o deslizamento entre os corpos não é admitido e conforme experiência com oproblema do riscamento, este caso constitui um valor assintótico para o problemade contato com atrito quando todo o contorno atingiu a condição de adesão.

Então, nesta seção estudam-se os casos onde o movimento tangencial relativoé admitido e a condição de deslizamento ou adesão serão obtidas pela solução deproblema de contato com atrito. As condições de contorno aplicadas serão as mesmasda Figura 7.79 e serão avaliadas as forças horizontais adimensionalizadas necessáriaspara provocar o colapso plástico do corpo, porém, com dissipação por atrito na

138

interface solo-duto. Os campos de velocidades e a verificação da lei de Coulombserão estudados para alguns casos de razão de profundidade e com a variação docoeficiente de atrito.

Para o estudo do contorno devem-se estabelecer algumas convenções como aorigem e o sistema local utilizado:

Figura 7.82: Sistemas de referência no contorno de contato.

O sistema local varia com a posição do contorno, de modo a manter o vetorn sempre normal à superfície de contato. A coordenada s tem origem na posiçãoinferior de contato duto-solo e L indica o comprimento do contorno de contato. Eda mesma forma como estabelecido, a grandeza a ser avaliada será a força horizontaladimensional.

Deve-se notar que na coordenada s = 0 a velocidade tangencial adimensional ésempre 1, 0, indicando que há sempre um fluxo de material deslizando sob o duto.

Estudo de casos: critério de Mises

Neste caso serão estudados casos para a razão de assentamento h/D = 0, 10 eh/D = 0, 30, onde h é a profundidade de assentamento e D é o diâmetro do duto.Serão avaliados a distribuição de velocidades tangenciais ao longo do contorno decontato, mostrado na ordenada esquerda, bem como a verificação da lei de Coulombno eixo das ordenadas direito. Quando for nulo, a lei de Coulomb é satisfeita emsua igualdade e há deslizamento. Caso contrário, há adesão. Ao mesmo tempomostra-se a representação gráfica dos vetores de velocidade tangencial no contornode contato.

Mostra-se também a distribuição das forças de reação tangencial Rt e sua com-paração com µRn. Se |Rt| = −µRn, indica deslizamento. Se |Rt| < −µRn, adesão.

Por fim, mostra-se também a distribuição de velocidades no corpo e a linha dedeslizamento.

139

1. h/D=0,10

Para esta razão de assentamento analisa-se o comportamento do contorno de contatopara os coeficientes de atrito µ = 0, 001; 0, 05; 0, 10; 0, 125 e 0, 145. Os gráficos dedistribuição de velocidades e os gráficos que mostram as velocidades tangenciaisrelativas podem ser observados simultaneamente e assim verificar a ocorrência deadesão e deslizamento na região de contato.

1.1. Coeficiente de atrito µ = 0, 001

Figura 7.83: Distribuição de velocida-des tangenciais e lei de Coulomb.

Figura 7.84: Distribuição das forçasde reação.

Figura 7.85: Velocidades tangenciais nocontorno de contato.


Neste caso, com coeficiente de atrito baixo, verificam-se as distribuições de ve-locidades tangenciais ao longo do contorno de contato, assim como a verificação dalei de Coulomb na Figura 7.83. A Figura 7.85 mostra a distribuição das velocida-des tangenciais no próprio contorno de contato. Em aproximadamente s = 0, 975Lobserva-se que há um ponto de adesão natural (vt = 0), a partir do qual as veloci-dades tangenciais apresentam sentidos opostos.

A lei de Coulomb é satisfeita em sua igualdade e há deslizamento em toda ex-tensão do contorno de contato.

140






Uma vez que |Rt| + µRn < 0 em aproximadamente s = 0, 975L, verifica-se quea velocidade tangencial é nula. Observa-se neste ponto o início de adesão, conformea Figura 7.87. Para s > 0, 975L a velocidade tangencial tem sentido positivo es < 0, 975L o sentido é negativo.

141






Pelo gráfico da distribuição de velocidades, verifica-se adesão a partir do pontos = 0, 975L e diminuição da magnitude das velocidades tangenciais entre 0, 90L <

s < 0, 975L, aproximadamente nulas. Como as velocidades não são identicamentenulas, |Rt|+ µRn = 0 nesse intervalo.

142






A distribuição de velocidades tangenciais mostra um aumento da extensão docontorno de contato com adesão: a partir de s = 0, 85L até nas proximidades des = L. Apesar de |Rt| + µRn = 0 em alguns pontos desse intervalo, as razões develocidades vt/vtmáx tem ordem de grandeza de 10−4, havendo praticamente adesão.

143





Figura 7.102: Campo de velocidadese linha de deslizamento.

Para a razão de assentamento h/D = 0, 1 verifica-se que há apenas deslizamentopara coeficientes de atrito abaixo de µ = 0, 05, pois a partir deste valor se verificaadesão em região próxima a s/L = 1, onde vt/vvmáx = 0 e se verifica |Rt| < −µRn.Exatamente em s/L = 1 a superfície é livre e ocorre deslizamento. À medidaque o coeficiente de atrito aumenta verifica-se a ocorrência de uma maior extensãodo contorno de contato em adesão. O gráfico da Figura 7.103 mostra o perfil develocidades com a variação do coeficiente de atrito.

O gráfico da Figura 7.104 mostra os valores das forças horizontais adimensionaiscom a variação do coeficiente de atrito. A força adimensional H/(csD) = 0, 4844,obtido na validação, é o valor assintótico para adesão de todo contorno de contato,visto que não há movimento relativo entre a velocidade prescrita (ação de movimentoda ferramenta) e o corpo deformável (o solo) e não ocorre deslizamento.

144

Figura 7.103: Perfil de velocidades.

Figura 7.104: Força horizontal adimensional x coeficiente de atrito.

2. h/D=0,30

Serão analisados casos em que a razão de assentamento h/D = 0, 3. As análisespara esta razão de assentamento são feitas de modo similar à razão de assentamentoh/D = 0, 1. Serão estudadas as forças de reação normal e tangencial e as velocidadestangenciais relativas na região de contato, analisadas para os coeficientes de atrito

145

µ = 0, 001; 0, 05 e 0, 10.


Figura 7.105: Distribuição de veloci-dades tangenciais e lei de Coulomb.



Figura 7.108: Campo de veloci-dades e linha de deslizamento.

No gráfico de distribuição de velocidades observa-se que em aproximadamentes = 0, 65L a velocidade é nula, ou seja, um ponto de adesão e a partir do qual ossentidos das velocidades tangenciais são opostos: vt < 0 para s > 0, 65L e vt > 0para s < 0, 65L.

146






Para este coeficiente de atrito verifica-se o aumento da região de adesão, apro-ximadamente em 0, 6L < s < 0, 7L. Embora a igualdade da lei de Coulomb sejasatisfeita em alguns pontos desse intervalo, as velocidades tangenciais vt/vtmáx nesseintervalo possui ordem de grandeza 10−4.

147






Pela distribuição de velocidades tangenciais verifica-se que a região de adesãocompreende aproximadamente 0, 50L < s < 0, 70. Em alguns pontos desse intervaloas velocidades são nulas e a lei de Coulomb é satisfeita em sua igualdade. Embora|Rt| + µRn = 0 em alguns pontos nesse intervalo, a magnitude das velocidadestangenciais é da ordem de 10−4.

Nos casos analisados observa-se que, diferentemente do caso h/D = 0, 1, os perfisde velocidade para uma razão de profundidade maior apresenta sentidos opostos emdeterminadas regiões de contato. Em aproximadamente s/L = 0, 65 há um pontoa partir do qual o material flui em sentidos opostos. Conforme o coeficiente deatrito aumenta, as regiões de adesão se formam no entorno desse ponto, conformese verifica também no gráfico da Figura 7.117 , que mostra a o perfil de velocidadesno contorno de contato:

Quanto às forças horizontais, o gráfico da Figura 7.118 mostra sua variação como coeficiente de atrito. No caso de adesão de todas as regiões de contato, o valorda força horizontal adimensional tende a 1, 0744, obtido na solução do problemade validação do modelo. Neste problema houve a imposição de uma velocidade

148

Figura 7.117: Perfil de velocidades.

horizontal, de modo que o deslizamento foi impedido. Aumentando-se o coeficientede atrito e solucionando o problema de contato, um valor próximo ao assintótico seriaatingido. Nos problemas com interface curva houve a limitação para coeficientes deatrito baixo, devido a limitações do algoritmo de solução do problema de contato ea uma grande sensibilidade com a malha utilizada na discretização do problema.

Figura 7.118: Força horizontal adimensional x coeficiente de atrito.

149

Capítulo 8

Conclusões

8.1 Considerações Finais e Contribuições

Nesta tese, a partir da motivação para solução do problema de resistência lateral dosolo à flambagem lateral de um duto, problemas clássicos foram revisitados de modoa incluir efeitos que normalmente não são considerados em modelos convencionais.

Como primeira contribuição desta tese, estudou-se a função de escoamento pro-posta por Ulm-Gathier-Cariou, que além da coesão e ângulo de atrito do material,a porosidade é um parâmetro da função de escoamento. Quanto à porosidade,considera-se que o solo é seco ou drenado, de modo que não há acúmulo de fluido nointerior do poro e consequentemente este não exerce uma pressão na massa de solo.De modo a atender a hipótese de estado plano de deformação utilizada nas solu-ções dos problemas aqui propostos, a função foi adaptada para atender este estado.Em condições especiais, esta função tende aos critérios de Mises e Drucker-Prager.Então, sob esses critérios, estudaram-se os problemas de indentação, capacidade decarga de solos e projeto de fundações, estabilidade de taludes e riscamento para fazera validação com os modelos e resultados propostos na literatura. Após a validação,apresentaram-se os resultados para materiais porosos.

Com o estudo de problemas aplicados a solos, verificou-se que o peso próprio dosolo é uma variável importante para avaliação da sua capacidade de carga, tratadonesta aplicação como carga morta. Em contrapartida, no estudo de estabilidade detaludes o peso próprio é tratado como carga viva. Então, formalizou-se uma formu-lação em análise limite que contempla esses comportamentos distintos, aplicados nasolução dos problemas citados.

Outra contribuição foi a implementação de uma formulação em análise limitecom prescrição de velocidades. Em condições em que a interface entre os corposnão é plana, a prescrição de forças não é conveniente, uma vez que não se conhecea sua distribuição ao longo do contorno de contato. Diante disso, descrever a ação

150

de movimento que um corpo executa sobre outro torna-se apropriado, através daprescrição de velocidades. Outra vantagem desta formulação é prescrever as veloci-dades diretamente no contorno de contato entre os corpos, em vez de solucionar umproblema equivalente quando se prescreve forças.

Ainda sem considerar as condições unilaterais com atrito, validou-se a formu-lação de análise limite com velocidade prescrita nos problemas de riscamento e naverificação da resistência lateral do solo. Somente as condições de deslizamentoou adesão total podem ser simuladas por esta formulação, através da aplicação derestrições tangenciais no contorno de contato.

No problema de riscamento, as soluções com força e velocidade prescritas foramcomparadas e verificou-se uma conformidade entre as soluções. Aplicou-se tambémesta formulação para solução do problema de resistência lateral do solo, comparadacom as soluções analíticas baseadas nos métodos estático e cinemático. Verifica-seque a solução pela formulação mista proposta nesta tese encontra-se compreendidaentre as solução analíticas estática e cinemática, que fornecem soluções em limiteinferior e superior.

A contribuição mais original desta tese é a implementação das condições uni-laterais com atrito a partir da formulação em análise limite com prescrição de ve-locidades. Através do estudo de um bipotencial para a lei de atrito de Coulomb,implementou-se na formulação de análise limite com velocidade prescrita uma par-cela responsável pela dissipação por atrito. Ressalta-se que a verificação das condi-ções unilaterais com atrito e a prescrição de velocidades ocorre no mesmo contorno,de forma distinta das formulações normalmente estudadas, onde o anteparo é fixo ea prescrição de força ocorre em outro contorno.

Aplicou-se essa formulação para solução dos problemas de riscamento e resistên-cia lateral do solo. No problema de riscamento foi feita uma validação experimentale mostra-se que por esta técnica é possível caracterizar propriedades do material e ocoeficiente de atrito entre o corpo de prova e a ferramenta. Posteriormente, aplicou-se a metodologia para a solução do problema-motivação. Nas soluções pesquisadasnas referências bibliográficas consultadas não há o estudo da influência do atrito nainterface do duto com o solo. Por esta metodologia proposta, além da determinaçãodo comportamento da força horizontal com o coeficiente de atrito na interface entreos corpos, é possível fazer um estudo detalhado da região de contato e obter as forçasde reação normal e tangencial em cada nó de contato, assim como a distribuição develocidades tangenciais relativas e avaliar partes da região de contato em adesão edeslizamento.

Por esta metodologia observa-se também que a potência externa para um casocom atrito na interface está limitada inferiormente por um caso em que há desliza-mento sem atrito e superiormente por um caso de adesão total. Portanto, mesmo

151

com a ausência de soluções com atrito nas referências consultadas, os resultadosobtidos são coerentes e encontram-se dentro desses limites.

8.2 Proposta de Trabalhos Futuros

Quando se aborda a função de escoamento de Ulm-Gathier-Cariou, a porosidadeé tratada como um vazio. Isso implica que não há acúmulo de fluido no poro eportanto, não há pressão do fluido exercida sobre a fase sólida. Essa condição indicaa análise de um solo seco ou drenado, onde não há acúmulo de líquido nos poros.Então, deve-se desenvolver um modelo que inclua esse efeito ou pesquisar uma funçãode escoamento para solos saturados.

Nos problemas de contato estudados verificou-se que as forças de reação normale tangencial se distribuem de forma irregular ao longo do contorno de contato. Essairregularidade poderia ser atenuada ao se alterar a rotina de adaptação de malha,que considera apenas as regiões onde há dissipação plástica e pode retirar elementosna região de contato. A dissipação por atrito deve ser um critério para o processode adaptação da malha.

Por outro lado, ao se estudar o estado de tensões no contorno de contato verifica-se que as condições impostas pela lei de atrito de Coulomb não são atendidas emalguns pontos. Isso se explica pelo fato das restrições de contato unilateral comatrito serem impostas apenas na forma fraca, verificadas apenas nos nós de discre-tização. As tensões são obtidas em função do processo iterativo e são parâmetrosde interpolação. Além disso, devido à descontinuidade das tensões, característicado elemento triangular utilizado, tensões são regularizadas e isso contribui para queessas relações de contato sejam perdidas.

No âmbito dos problemas de contato, deve-se estudar uma entrada de dadosmais racional no algoritmo de Lemke, utilizado para solução do problema de com-plementaridade. A entrada de dados ocorre por meio de matrizes cheias, podendochegar a grandes dimensões e ultrapassando a capacidade de memória de compu-tador convencional. Então, mesmo que haja um número considerável de elementosno contato, essa limitação impede a obtenção de uma solução com tal número deelementos. Além disso, um algoritmo de solução alternativo e eficiente em relaçãoao Lemke poderia ser pesquisado. O uso da programação cônica pode ser verificado.

Quanto às aplicações estudadas com condições unilaterais com atrito, o problemade resistência lateral do solo deve ser avaliado também sob os critérios de Drucker-Prager e Ulm-Gathier-Cariou. Além disso, este modelo pode ser enriquecido ao seconsiderar o peso próprio do solo como carga morta.

A hipótese de estado plano de deformação pode não ser adequada para certasaplicações: as ferramentas possuem largura finita. O problema de riscamento é

152

intrisicamente tridimensional uma vez que a largura da ferramenta é menor que docorpo de prova. Entretanto, para a avaliação da resistência lateral à flambagemlateral do duto a hipótese de estado plano de deformação é plausível, uma vezque o duto é longo. Para uma avaliação mais precisa, um modelo tridimensionalque leve em conta a configuração do duto (este pode apresentar uma curvaturainicial em sua configuração de repouso) pode levar a resultados mais precisos e adeterminação de pontos e que condições de curvatura levaria ao colapso plástico dosolo. A implementação de um modelo tridimensional implica mudanças significativasnas rotinas do software de Análise Limite, uma vez que as matrizes terão dimensõesmaiores, demandando maior custo computacional e a necessidade de implementaçãode um algoritmo mais eficiente e robusto.

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160

Apêndice A

Bipotenciais

Para modelagem dos materiais standard implícitos, assume-se a existência de umafunção b de duas variáveis duais x e y, a partir da generalização da desigualdade deFenchel, tal que:

b(x′, y′) ≥ x′ · y′, ∀(x′, y′) (A.1)

O par (x,y) é chamado extremo se a igualdade da Equação (A.1) foralcançada:b(x, y) = x · y. Ao se fazer na Equação (A.1) x′ = x e subtraindo membroa membro do par extremo:

b(x, y′)− b(x, y) ≥ x · (y′ − y), ∀y′ (A.2)

Figura A.1: Conceito de subdiferencial.

A relação expressa pela Equação é equivalente ao conceito de subdiferencial,onde: x ∈ ∂yb(x, y) e de maneira similar, y ∈ ∂xb(x, y). Dessa teoria, conforme apre-sentado em SAXCÉ e FENG [46], pode-se observar que considerando-se bipotenciaisseparados, os materiais padrões são um caso particular dos materiais implícitos se:

161

b(x, y) = ϑ(x) +$(y) (A.3)

onde ϑ(x) é um subpotencial e $(y) é seu conjugado. Assim, as leis constitutivasapresentam as seguintes formas diferenciais explícitas:

y ∈ ∂ϑ(x) e x ∈ ∂$(y) (A.4)

Define-se portanto, o bipotencial para a lei de atrito de Coulomb:

bc(v,R) = 〈−µRn, |vt|〉 ≥ −〈Rt, vt〉 − 〈Rn,vn〉 (A.5)

onde: −〈Rt, vt〉 = 〈|Rt|, |vt|〉.Através desses princípios, verifica-se que o bipotencial para a lei de atrito de

Coulomb verifica três teoremas, de acordo com [13]:Teorema 1: A lei de contato é equivalente a:

vc = [(vn − µ‖vt|)n,vt] ∈ ∂Kµ (A.6)

Esta equação representa o conceito de subdiferencial, onde vc ∈ ∂Kµ. Aplicandoesse conceito ao bipotencial (A.5) e agrupando as reações no vetor R = [Rn, Rt]:

bc(vc,R′)− bc(vc,R) ≥ 〈|Rt|, |vt|〉 − 〈Rn,vn〉

〈R′n −Rn,vn − µ|vt|〉 − 〈|R′t| − |Rt |vt|〉 (A.7)

A partir desse resultado, alguns eventos são examinados, considerando que hácontato entre os corpos:

1. R ∈ Kµ: contato com adesão, implicando vc = 0 e assim, vt = 0 e vn = 0;

2. R ∈ ∂Kµ − {0}: contato com deslizamento, onde vt 6= 0. Assim, pela leide deslizamento vt = −λ Rt

‖Rt‖ e vn − µ‖vt‖ = −λµ, implicando a velocidadetangencial vt colinear e em sentido oposto a Rt e a velocidade normal vn seanula, pois λ = |vt|.

Assim, prova-se que vc ∈ ∂Kµ.Teorema 2: A função (A.5) é um bipotencial.Como prova, aplica-se a desigualdade da Equação (A.1) em (A.5):

bc(v′c,R′) ≥ v′c ·R′ (A.8)

Se R ∈ Kµ e considerando a desigualdade de Cauchy-Schwartz:

162

Figura A.2: Cone de Coulomb e o cone polar.

µRn‖vt‖ ≥ ‖Rt‖‖vt‖ ≥ −vt ·Rt (A.9)

Para vn ≤ 0 e se R ∈ Kµ, então Rn ≤ 0 e −Rnvn ≤ 0. Desta forma, adesigualdade é provada e bc é um bipotencial.

Teorema 3:Os pares extremos do bipotencial (A.8) verificam a lei de contato.O extremo do bipotencial (A.8) é expresso pela igualdade da Equação (A.10):

〈−µRn, ‖vt‖〉 = 〈|Rt|, vt〉 − 〈Rn,vn〉 (A.10)

Analisam-se as três condições de contato unilateral com atrito:

1. Contato com adesão: vn = 0 e vt = 0 e a igualdade trivial da Equação (A.10)é satisfeita;

2. Contato com deslizamento: vn = 0 e |vt| 6= 0 e recupera-se a lei de Coulomb‖Rt‖ = µRn e vt é colinear a Rt, em sentidos opostos;

3. Sem contato: Rn = Rt = 0 e a igualdade trivial da Equação (A.10) é alcançada.

163

Apêndice B

Parâmetros do solo

Este apêndice mostra com detalhes parâmetros que regem as funções de escoamentode Drucker-Prager e Ulm-Gathier-Cariou, tais como ângulo de atrito e coesão. Aparticularização para o estado plano de deformação da função de Ulm-Gathier-Cariou também é apresentada.

B.1 Parâmetros do solo

B.1.1 Ângulo de Atrito

O conceito de ângulo de atrito em solos pode ser introduzido através de um problemasimples:

Seja um bloco apoiado em uma superfície com atrito conforme mostrado naFigura B.1, onde se aplicam as forças H e V. A superfície possui atrito e medianteessas forças externas, a resultante R que faz um ângulo α com a vertical mantém oequilíbrio estático do corpo.

Figura B.1: Conceito básico de ângulo de atrito em um bloco.

O ângulo α é chamado de ângulo de obliquidade. Ao se aumentar gradativamentea magnitude de força horizontal H até o iminente movimento do corpo, o ângulo αalcançará o valor φ. A partir desse instante, mesmo que se aumente a magnitude da

164

força horizontal e o corpo se movimente, o valor do ângulo φ continuará invariável.Sendo Rx a componente horizontal de R e N a sua componente vertical (ou anormal), estas forças relacionam-se por Rx = N tg φ e o ângulo φ é o chamadoângulo de atrito e tg φ o coeficiente de atrito.

Este conceito pode ser estendido para o caso de uma massa de solo confinada,conforme a Figura B.2, e no trecho superior A-B-C-D aplicam-se as forças H e W.Diferente dos metais, a tensão de cisalhamento em solos é bastante influenciada porforças compressivas que agem no plano de cisalhamento LUBLINER [19], ou seja,dependem da tensão hidrostática. Neste problema, chamado de teste de cisalha-mento direto, ao fazer um corte através de A-B, isola-se este trecho superior, faz-seo diagrama de corpo livre e representa-se ao longo do corte A-B as forças cisalhanteV e normal N. A resultante dessas forças internas é representada por R, que fazum ângulo α com a vertical.

Figura B.2: Cisalhamento em um solo confinado.

Este estado de tensões (σn, τ) pode ser representado através do círculo de Mohrda Figura B.3 e assim encontra-se uma relação entre a tensão de cisalhamento τ ea tensão normal σn: τ = σntgα. E de forma similar ao problema inicial, a forçahorizontal é aumentada até a iminência de falha por cisalhamento, que ocorreráquando o ângulo α alcançar o valor φ.

Figura B.3: Estado de tensões no círculo de Mohr.

165

No estado limite de cisalhamento, diz-se que a máxima resistência ao cisalha-mento é alcançada quando o ângulo α alcança o ângulo φ. Pelo gráfico da Figura B.4,a linha OB que tangencia o círculo é a que fornece o maior ângulo, ou seja, o ângulode atrito φ. Por este círculo de Mohr pode-se perceber que esse plano de falha porcisalhamento possui um ângulo θ com a direção de tensão principal. Além disso, oplano de falha não é o plano sujeito à maior tensão de cisalhamento, a 45◦ da dire-ção principal como ocorre nos metais. O critério de falha neste caso é o de máximaobliquidade, não de máxima tensão de cisalhamento SMITH e SMITH [71].

Figura B.4: Círculo de Mohr para o estado limite de cisalhamento.

Desta forma, estabelece-se a lei de atrito de Coulomb para solos não-coesivos,como areia e cascalho, cuja resistência ao cisalhamento é essencialmente devido aoatrito seco entre os grãos e:

τ = σ tg φ (B.1)

B.1.2 Coesão

Em materiais coesivos, como a argila, é possível fazer um corte em uma massa desolo, tomar um elemento e este continua íntegro. Entretanto, em materiais friccionaiscomo areia isso não seria possível e o material em seu estado livre de tensões alcan-çaria a configuração final determinada pelo seu ângulo de repouso. Nos materiaiscomo a argila existe um fator que contribui para que estes resistam ao cisalhamentoe a chamada coesão resulta em uma mútua atração entre as finas partículas demodo que a massa de solo se mantém íntegra mesmo sem aplicação de força externaSMITH e SMITH [71]. A Figura B.5 mostra graficamente a lei de Coulomb, onde cé a coesão:

Assim, para um material coesivo a lei de Coulomb é expressa pela Equação (B.2):

166

Figura B.5: Lei de Coulomb para um material coesivo.

τ = c+ σ tg φ (B.2)

167

Apêndice C

Elementos Triangulares Mistos

A Figura (C.1) mostra o elemento triangular misto utilizado:

Figura C.1: Elemento triangular misto.

Para um corpo B discretizado, para cada elemento i, o campo de velocidades etensões são expressos de forma compacta pelas Equações (C.1) e (C.2):

v = φivvi (C.1)

onde: vi ∈ R12 são os parâmetros de velocidades nodais e φiv é o operador deinterpolação.

T = φiTTi (C.2)

onde: T i ∈ R9 são os parâmetros de tensões e φiT é o operador de interpolação.O campo de deformações relaciona-se com o campo de velocidades pelo operador

tangente D, através da Equação (C.3):

D = Dv (C.3)

onde: D = [Dx Dy Dxy]T e D é dado pela Equação (C.4):

168

D =

∂∂x

00 ∂

∂y∂√2∂y

∂√2∂x

(C.4)

Aplicando-se os campos de tensão e velocidades na expressão da potência interna,deduz-se o operador de deformação B a partir da Equação (C.5):

∫VT Dv dV =

∫VφiTT

i Dφivvi dV =∫VT iφi TT Dφivvi dV (C.5)

Como T i e vi são vetores, o operador de deformação Bi elementar é definido pelaEquação (C.6):

Bi =∫Vφi TT Dφiv dV (C.6)

onde Bi tem dimensão 9 x 12.E assim, potência interna na forma discreta é calculada como na Equação (C.7):

Pint = T i Bvi (C.7)

Portanto, a partir dos campos discretos de tensões e velocidades, mostram-se asformas discretas das formulações mistas de análise limite com prescrição de forças evelocidades.

169

Apêndice D

Procedimento Numérico paraSolução do Problema Discreto:Forças Prescritas

Para solução do problema discreto de análise limite com forças prescritas, a metodo-logia envolve uma solução iterativa do sistema de equações definidas pelas condiçõesde ótimo 5.6, 5.7, 5.8 e 5.9. A partir de um estado presente das variáveis, pelaaplicação do método de Quasi-Newton, é possível estimar-se um incremento paracada uma das variáveis, conforme se mostra a seguir. Para as tensões e o fator decolapso, suas estimativas são relaxadas de um fator s. Em seguida, calcula-se umfator de contração p de modo a garantir a admissibilidade das tensões. O parâmetrode relaxação s deve garantir a condição de ascenço de α no processo iterativo.

O conjunto de condições ótimas podem ser agrupadas, conforme a seguir:

Ψ(x) = 0, f(T) ≤ 0, λ ≥ 0 (D.1)

onde:

Ψ(x) =

Bv−∇f(T)λBTT− αF−F · v + 1−G(T)λ

(D.2)

sendo: G(T) = diag(fj(T)) e x é o vetor que contém as variáveis:

x = [T,v, α, λ] (D.3)

Uma estimativa para o incremento das variáveis é determinada através de umaiteração Quasi-Newton:

170

∇ψ(x)d0x = −ψ(x) (D.4)

onde:

d0x = [d0

T ,v− v0, dα0, λ− λ0] (D.5)

Uma vez calculados os incrementos, uma nova estimativa para as variáveis écalculada:

x = x0 + d0x (D.6)

O gradiente de ψ(x) é calculado conforme (D.7):

∇ψ(x) =

−H B 0 −∇f(T)BT 0 −F 00 −FT 0 0

−Λ∇Tf(T) 0 0 −G(T)

(D.7)

e:

Λ = diag(λj) (D.8)

H =∑

λj∇2fj (D.9)

Pela solução do sistema D.4, obtêm-se d0T , v0, λ e d0

α, através de uma série desubstituições conforme visto em BORGES [11], ZOUAIN et al. [17].

A Figura D.1 mostra esquematicamente o procedimento básico do algoritmo,baseado em técnicas de relaxação e contração:

Figura D.1: Procedimento esquemático do algoritmo de solução.

A direção da estimativa inicial do incremento de tensão é tangente às restriçõesde admissibilidade plásticas, relaxada de um fator s e que será incrementado aoestado de tensão T. O mesmo procedimento se aplica à estimativa do fator decolapso α:

171

T = T0 + sd0T (D.10)

α = α0 + sd0α (D.11)

Em seguida, calcula-se o fator de contração p, garantindo a admissibilidade dastensões e esta mesma modificação aplica-se a estimativa α do fator de colapso:

T = pT (D.12)

α = pα (D.13)

O algoritmo proposto é dito de ponto interior, pois garante que a cada iteraçãosejam satisfeitas as restrições de desigualdade f(T) ≤ 0 e λ ≥ 0. Escolhido o fatorde relaxação s, a admissibilidade plástica é garantida por uma redução radial dastensões, conforme D.12.

A condição de equilíbrio BT T − αF = 0 deverá ser satisfeita a cada iteração.Tendo em vista que d0

T e d0α também são equilibráveis, basta supor uma redução

uniforme para as tensões e o fator de colapso.Os principais passos do algoritmo estão sumarizados em [12].

172

Apêndice E

Procedimento Numérico paraSolução do Problema Discreto:Velocidades Prescritas

O conjunto de condições de otimalidade definidas pelas equações (5.6, 5.7, 5.9)podem ser agrupadas na forma:

ψ(x) = 0 f(T) ≤ 0 λ ≥ 0 (E.1)

onde:

x = [T,v, λ], (E.2)

ψ(x) =

Bv +Bv− λ∇f(T)

BTT−G(T)λ

(E.3)

G(T) = diag(fi(T)) (E.4)

Deve-se ressaltar que v ∈ V 0 e v ∈ V .Para se obter um novo x a partir do valor atual de x, define-se primeiramente x0

a partir de uma estimativa do incremento d0x, de forma que:

x0 = x+ d0x (E.5)

onde d0x é determinado realizando uma iteração Quasi-Newton no sistema E.1:

∇ψ(x0)d0x = −ψ(x0) (E.6)

e:

173

d0x = [d0

T , v0 − v, λ0 − λ] (E.7)

Definindo-se H = λ∇2f(T) e desenvolvendo a Equação E.6:

−Hd0

T +B(v− v0)−∇f(T)(λ− λ0)BTd0

T

−Λ∇f(T)d0T −G(T)(λ− λ0)

=

−Bv0 −Bv +∇f(T)λ0)

−BTT0

G(T)λ0

(E.8)

onde: Λ = diag(λj).Dado que o campo de tensões é auto-equilibrado e portanto, BTT0 = 0, a igual-

dade em E.8 conduz a um conjunto de equações não lineares. Através de umasequência de substituições, determinam-se o incremento d0

T e as estimativas para ocampo de velocidade v e o parâmetro de escoamento λ:

Hd0T −Bv + λ∇f(T) −→ d0

T = H−1(Bv− λ∇f(T)) (E.9)

BTd0T = 0 (E.10)

Λ∇f(T)d0T + λG(T) (E.11)

Substituindo o resultado de E.9 em E.11 obtém-se a expressão para o parâmetrode escoamento:

λ = W−1QBv (E.12)

onde: W = ∇Tf(T)H−1∇f(T)− Λ−1G(T) e Q = ∇Tf(T)H−1.Ao se substituir E.12 no resultado de E.9:

d0T = DepBv ,v ∈ V (E.13)


T em E.13, substitui-se este resultado em E.10:

BTDepBv = 0 (E.14)

Analisando a EquaçãoE.14, sabendo-se que v = v + v e definindo-se a matrizK = BTDepB:

Kv = F (E.15)

174

onde: F = −Kv.As matrizes B e Dep são calculadas para cada elemento, possibilitando obter

uma matriz K elementar. Uma matriz K global é montada e impõe-se as restriçõescinemáticas são impostas de modo a eliminar os movimentos rígidos.

175

Apêndice F

Procedimento Numérico paraSolução do Problema Discreto:Velocidades Prescritas eCondições Unilateriais com Atrito

Detalhadamente, a solução do conjunto de equações definidas por (6.86) é mostradaneste apêndice.

As condições de ótimo da formulação mista discreta é armazenada em Ψ(x), demodo que a igualdade Ψ(x) = 0 é satisfeita.

Ψ(x) =

Blvl +Bcvc +Bcvc − λi∇fi(T)

BTl T

BTc T + R−G(T)λ

(F.1)

onde: x = [T, vl, vc, R, λ] e Ψ(x) = 0.O procedimento de solução e estimativa dos incrementos das variáveis armaze-

nadas em x envolve o método de Newton, onde:

∇Ψ(x)dx0 = −Ψ(x0) (F.2)

Definindo-se H = λ∇2f(T), calcula-se o gradiente de Ψ(x):

∇Ψ(x) =

−H Bl Bc 0 −∇fi(T)BTl 0 0 0 0

BTc 0 0 1 0

−Λ∇Tfi(T) 0 0 0 −G(T)

(F.3)

onde: Λ = diag(λi).

176

Expandindo (6.86), encontram-se um conjunto de quatro equações:

Hd0T−Blvl−Bcvc−Bcvc+λ∇f(T) = 0 −→ d0

T = H−1(Blvl+Bcvc+Bcvc−λ∇f(T))(F.4)

BTl d0

T = 0 (F.5)

BTc d0

T + R = −BTc T0 (F.6)

Por equilíbrio:

〈T,Dv〉 − 〈Tn, v〉+ 〈Rn, vn〉Γc + 〈|Rt|, |vt|〉Γc = 0 (F.7)

BTc T0 = −R0 (F.8)

Λ∇f(T)d0T + λG(T) = 0 (F.9)

Substituindo o resultado de F.4 em F.9 obtém-se a expressão para o parâmetrode escoamento:

λ = W−1Q(Blvl +Bcvc +Bcvc) (F.10)

onde: W = ∇Tf(T)H−1∇f(T)− Λ−1G(T) e Q = ∇Tf(T)H−1.Ao se substituir F.10 no resultado de F.4:

d0T = Dep(Blvl +Bcvc +Bcvc) , v ∈ V (F.11)


T em F.11, substitui-se este resultado em (F.5) e assim:

BTl D

ep(Blvl +Bcvc +Bcvc) = 0 (F.12)

E daí:

Kllvl +Klcvc = −Klcvc (F.13)

onde: Kll = BTl D

epBl e Klc = BTl D

epBc.Fazendo a mesma substituição em (F.6):

BTc D

ep(Blvl +Bcvc +Bcvc) + R = R0 (F.14)

177

Assim:

Kclvl +Kccvc −R0 = −R −Kccvc (F.15)

Definindo-se:

Fl = −Klcvc (F.16)

Fc = −Kccvc (F.17)

Portanto, o sistema a resolver definido por (F.13) e (F.15) após substituir (F.16)e (F.17) é obtido:

Kllvl +Klcvc = Fl (F.18)

Kclvl +Kccvc = R0 −R + Fc (F.19)

178

Apêndice G

Soluções Semi-Analíticas paraIndentação e Riscamento

G.1 Indentação

O problema de indentação é clássico em estudo de plasticidade e sua solução pelométodo cinemático (ou limite superior) é encontrado em LUBLINER [19] e KA-CHANOV [21]. Para o desenvolvimento da solução estática, o corpo foi dividido emcinco regiões, conforme a Figura G.1:

Figura G.1: Geometria do problema de indentação.

Devido à simetria do problema, apenas as regiões I, II e III serão analisadas.Para cada uma delas, os tensores de tensão serão escritos e deverão satisfazer àscondições de contorno e ao equilíbrio entre as fronteiras. Por simplicidade, serãorepresentadas apenas as componentes de tensão no plano x e y. Apesar de existir,

179

a componente ortogonal é uma função das duas componentes normais no plano x ey e depende da função de escoemanto utilizada. A dedução pode ser encontrada noApêndice A.

G.1.1 Região I

Para esta região, define-se o tensor de tensões:

σI = σIx τ Ixy

τ Ixy σIy

(G.1)

Definido o tensor, o equilíbrio com o carregamento externo é calculado:

σI · ey = [0,−Hv, 0]T (G.2)

onde Hv = − Paw

. O resultado da Equação (G.2) implica τ Ixy = 0 e σy = −Hv.Determinada a componente σIy e considerando que a região I alcança o escoa-

mento, a componente σIx pode ser determinada aplicando f(σI) = 0 e diz-se queσIx = σ1.

Assim, o tensor de tensões nesta região é determinado:

σI = σ1(ex ⊗ ex)−Hv(ey ⊗ ey) (G.3)

G.1.2 Região III

A exemplo da região I, supõe-se a priori que o tensor de tensões σIII é similar aoapresentado na Equação (G.1). Como não há carregamento externo aplicado nestaregião, aplica-se o equilíbrio:

σIII · ey = 0 (G.4)

O resultado desta equação implica τ Ixy = 0 e σy = 0. Desta forma, denotandoσIIIx = σ3, o tensor de tensões nesta região apresenta a seguinte forma:

σIII = σ3(ex ⊗ ex) (G.5)

Aplicando-se a função de Ulm-Gathier e fazendo f(σIII) = 0, determina-se acomponente σ3, função apenas de propriedades do material, a saber: c1, σ0 e αd:

σ3 =4c1σ0 − 2

√2c1σ2

0− | α2d | (1− 2c1)

(1− 2c1) (G.6)

180

G.1.3 Região II

As componentes do tensor de tensões desta região são determinadas a partir doequilíbrio entre as interfaces I-II e II-III.

Interface I-II

Nesta interface pode-se relacionar as componentes de tensão dos campos I e II atravésda Equação (G.7):

σI · n = σII · n (G.7)

Desenvolvendo esta equação: σ1senθ

Hvcosθ

= σIIx senθ + τ IIxycosθ

−τ IIxysenθ − σIIy cosθ

(G.8)

Interface II-III

Nesta região, os vetores de tensão se relacionam através da Equação (G.9):

σII · η = σIII · η (G.9)

E de forma similar à interface I-II, desenvolve-se esta equação e encontra-se: −σ3senθ

0

= −σIIx senθ + τ IIxycosθ

−τ IIxysenθ + σIIy cosθ

(G.10)

Manipulando-se adequadamente os conjuntos de equações G.8 e G.10, as com-ponentes do tensor de tensões da região II é determinado em função de σ3, Hv e oângulo θ. É possível ainda encontrar uma relação entre σ1 e σ3:

σ1 = σ3 −Hvcotg2θ (G.11)

Desta forma, finalmente, escrevem-se os tensores de tensão nas regiões I e II,agora em função de Hv e o ângulo θ. A tensão σ3 depende apenas da definição daporosidade e ângulo de atrito do material. Assim:

σI = σ3 −Hvcotg

2θ 00 −Hv

(G.12)

e

σII = σ3 − Hv

2 cotg2θ Hv

2 cotgθHv2 cotgθ −Hv

2

(G.13)

181

G.1.4 Problema de Otimização

Uma vez definidos os tensores de tensões de I e II, em função apenas de Hv e θ,admite-se que o escoamento é alcançado em ambas as regiões f(σI) = 0 e f(σII) = 0.A partir daí, encontra-se uma função Hv(θ) para cada região e a condição de ótimoé alcançada quando f(σI) = f(σII). O valor do ângulo θ que torna essa igualdadeverdadeira levará à determinação de Hv. Matematicamente, o problema é postocomo na Equação (G.14):

Hs ≥ maxθHv | f(σI) = f(σII) (G.14)

G.2 Riscamento

O corpo é dividido em três regiões, onde os estados de tensões são relacionados entresi pelo equilíbrio entre as fronteiras. A Figura (G.2) mostra esquematicamente adivisão do corpo em três regiões:

Figura G.2: Geometria do problema de riscamento.

A interação entre o indentador e o material é representada pela força horizon-tal FT e pela força vertical FV . Estabelecem-se os eixos cartesianos {x,y}, seusvetores unitários {ex, ey} e um sistema local determinado pelos unitários{t,n}. Aprofundidade do ensaio é mantida constante em d e a largura é dada por w.

G.2.1 Equilíbrio

A partir de um corte realizado na região I do material, a Figura (G.3) mostra asforças externas aplicadas, que estarão em equilíbrio com as forças internas represen-tadas nos cortes:

182

Figura G.3: Equilíbrio de forças internas e forças externas

Desta forma, as equações de equilíbrio de forças são determinadas:

1. ∑Fx = 0

σxwd− τxywdtgθ + FT = 0 =⇒ HT = τxytgθ − σx (G.15)

2. ∑Fy = 0

−σywdtgθ + τxywd− FV = 0 =⇒ HV = τxycotgθ − σy (G.16)

onde: HT = FT/(wd) e HV = FV /(wdtgθ).Pode-se então determinar o tensor de tensões da região I e um tensor com os

carregamentos externos, conforme as Equações (G.17) e (G.18):

σI =

σx τxy 0τxy σy 00 0 σz

(G.17)

H =

−HT 0 0

0 −HV 00 0 0

(G.18)

Se o unitário n = −cosθex + senθey, o equilíbrio representado pelas Equa-ções (G.15) e (G.16), o equilíbrio é escrito de forma alternativa como:

σI · n = H · n (G.19)

Analisando os contornos das regiões II e III percebe-se a ausência de carrega-mento externo. Desta forma é válido que σII · ey = 0 e σIII · ey = 0. Estabelece-se

183

assim os tensores nestas duas regiões:

σII = σIII =

σx 0 00 0 00 0 σz

(G.20)

Interfaces I-II e I-III

Determinados os tensores de tensão das três regiões, uma relação entre as componen-tes de tensão entre as regiões pode ser deduzida a partir do equilíbrio nas interfaces.Para simplificar, somente a interface I-II será utilizada, dado que os tensores detensão em II e III são iguais.

Se ηβ = cosθex + senθey, pode-se estabelecer que:

σI · ηβ = σII · ηβ (G.21)

E daí, expandindo-se essa igualdade:

tgβ = −τ IxyσIy

(G.22)

σIIx = σIx + τxytgβ =⇒ σIIx = σIx + (τxy)2

σIy

(G.23)

Geometricamente verifica-se uma restriçaõ quantos aos ângulos:−β < θ. Destaforma, é valido estabelecer que:

−tgβ < tgθ (G.24)

Relacionando a Equação (G.21) com (G.24):

τ IxyσIy

− tgθ < 0 (G.25)

Interface Indentador-Material

Na interface indentador-material, as tensões tangencial (cisalhante) e normal se-rão determinadas a partir do sistema de referência local. Os unitários t e n sãodeterminados como se segue:

t = −cosθex + senθey (G.26)

n = senθex + cosθey (G.27)

184

Determinados os unitários locais, a relação entre as tensões tangencial e normalcom os arregamentos externos poderãoser determinados.

Tensão Tangencial

A tensão tangencial é definida como τnt = t · σI · n, que se relaciona com o carrega-mento externo através de t ·H · n. Assim:

τnt =σIy − σIx

2 sen(2θ)− τxycos(2θ) = (HT −HV )cosθsenθ (G.28)

Tensão Normal

De forma similar, a tensão normal é definida como σn = n ·σI ·n e relaciona-se como carregamento externo através de n ·H · n. Assim:

σn = σIxcos2θ + σIysen

2θ − τxysen(2θ) = HT cos2θ −HV sen

2θ ≤ 0 (G.29)

A condição σn ≤ 0 é necessária para assegurar o contato entre o indentador e omaterial.

G.2.2 Solução para Contato sem Atrito

Se o contato é sem atrito, isso implica que a tensão de cisalhamento prescrita énula. Em conseqüência, τnt = 0. Sob essa hipótese, pela Equação (G.28) resultamas seguintes relações:

τ Ixy =σIy − σIx

2 tg(2θ) (G.30)

e

HT = HV (G.31)

Utilizando a Equação (G.31), a tensão normal é escrita:

σn = −HT (G.32)

Ainda analisando a região I, devido à condição de contato sem atrito, a compo-nente de tensão tangencial é nula. Desta forma, o estado de tensão de um elementoinfinitesimal caracteriza-se apenas por tensões normais, que leva à conclusão que asdireções definidas pelos unitários {t,n, ez} são direções principais, conforme mostraa Figura G.4:

185

Figura G.4: Direções principais em contato sem atrito.

O tensor de tensões da região I pode ser então reescrito na base de autovetores:

σI = σtt⊗ t + σnn⊗ n + σzez ⊗ ez (G.33)

Interface região I-II

Dado que o vetor unitário na interface I-II seja dado por ηβ = sen(θ+β)t− cos(θ+β)n, entre estas duas regiões pode-se estabelecer que:

σI · ηβ = σII · ηβ (G.34)

Expandindo a Equação (G.38) e escrevendo a base {ex, ey, ez}, encontra-se:σtsenθsen(θ + β) + σncosθcos(θ + β)σtcosθsen(θ + β)− σnsenθcos(θ + β)

0

=

σIIx cosβ

00

(G.35)

Aplicando a condição obtida na Equação (G.32), é possível relacionar compo-nente a componente da igualdade da Equação (G.35), os tensores de tensão dasregiões I,II e III podem ser reescritos em função do carregamento externo:

σI =

− HT tgθtg(θ+β) 0 0

0 −HT 00 0 σIz

(G.36)

σII = σIII =

−HT (1− tgθtgβ) 0 0

0 0 00 0 σIIz

(G.37)

186

Para a hipótese de estado plano de deformação, a tensão componente de tensãoσz pode ser obtida pela lei da normalidade, fazendo-se:

εz = λ∇f (G.38)

G.2.3 Problema de Otimização

Definidos os tensores de tensão e as relações entre as componentes de tensão com oscarregamentos externos, pode-se enunciar o problema de otimização.

Hs ≥ maxβ

HT | f(σI) = f(σII) (G.39)

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