COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS...

COLÉGIO FAMÍLIA STELLA

GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA

A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS

DE FÍSICA CLÁSSICA

PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO

Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada

Noções de Função

Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.

Exemplo

2xy Entrada x Saída yfunção



x y

0 0

1 1

4 2

-1 1

-2 4

2xy




EXEMPLOS:

xxyouxy cos)(cos

221

41

0)(

r

qqrE

221

221

)( attvxtx

ou

attvxx

oo

oo




Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo t dada pela equação

22105)( tttx Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é

mx

x

x

13)10(

0,20,105)0,1(

)0,1(2)0,1(105)0,1( 2




Função Linear:

a

x

y

x0

y0

(x0,y0)

(x1,y0)y1

x1

x1-x0

y1-y0




01

01

xx

yymtg

)( 0101 xxmyy

)( 0101 xxmyy

mxay com a = y0 –

mx0




a

x

y

mxay




NOCÕES DE DERIVADA - Origens do Cálculo

-KEPLER, GALILEU,

SIMON STEVIN, PIÈRRE

DE FERMAT, RENÉ

DESCARTES, BLAISE

PASCAL ....

Gottfried Wilhelm Leibnz

(1646 – 1716)

CRIADOR DO CÁLCULO

Isaac Newton

(1642 – 1727)




O “PROBLEMA DOS MATEMÁTICOS”Como traçar a reta tangente a uma curva dada

num determinado ponto das curva?

tangente

Circunferência

raio

P

1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto




OUTRAS CURVAS: PROBLEMAS!

P

Qual o raio?

P

Tangente?P

Tangente. Mas toca duas vezes a reta




x

y

y = f(x)

x

f(x+ x)-f(x)

Logo, a secante msec é dada por x

xfxxfm

)()(

sec




secante

P

Definindo a tangente em P:

x

f(x)

Q

x+x

f(x+x)

x

y = f(x)

P


x

f(x)

Q

x+x

f(x+x)

x

f(x+ x)-f(x)

Q1

secante

y




x

y

y = f(x)

P


x

f(x)

Q

x+x

f(x+x)

x

f(x+ x) - f(x)

Q1

secante

Q2




A tangente mtang é definida por

x

xfxxfm

xg

)()(lim

0tan

P

x

f(x)

Q

tangente em P

f(x+x)

x+x

secante




“PROBLEMA DOS FÍSICOS”:

Como calcular a velocidade instantânea?

Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t.

t

x(t)x(t)







t

x(t)x(t)

P

t0

x(t0)

x(t0) = posição da partícula no instante t0

t0+t

Qx(t0+t)

x(t0+t) = posição da partícula no instante t0

t

txttx

t

xvm

)()(

t

x

Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?

t

x(t)

P

t0

x(t0) t

x

t0+t

Qx(t0+t)

Paradoxo do Zenão de Eléia




t

txttxtv

t

)()(lim)(

0

DEFINIÇÃO DE DERIVADA

A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por

t

txttx

dx

dff

t

)()(lim

0

´

se este limite existir

Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!!




Duas Interpretações:

1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x.

2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y com relação a x no ponto x.

Exemplos:

dt

dxtv )(

dt

dQtI )(




t

x(t))]([)( tx

dt

dtv

t0

v(t0)

v(t0) 0

t1

v(t1)v(t1)= 0

t2

v(t2)v(t2) 0




Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função

f(x) = 3+x2

x

xfxxff

x

)()(lim´

0

x

xxxx

x

xxxxf

23)(3)(

222

xxxx

xxxf

xx2]2[lim]

2[lim´

0

2

0

xxdx

dxf

dx

d

dx

dff 2]3[)]([´ 2




ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO

Regra da Constante: para qualquer constante c

0)( cdx

d

x

y

cy = c

Inclinação = 0

Regra da Potência: para qualquer número real n

1)( nn nxxdx

d




Regra da Multiplicação por uma Constante:se c é uma constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma função derivável e

)()]([ xcfxcfdx

d

Exemplo: seja 2)( cxxf

cxcxdx

d2)( 2




Regra da Soma: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável.

)]([)]([)]()([ xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

Exemplo: seja a função

25410)( tttx f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2

ttttdx

d1041040)5410( 2




Regra da Produto: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x) . g(x) também é derivável .

dx

dfxg

dx

dgxfxgxf

dx

d).().()]().([

´.´)´.( fgfggf

Exemplo: seja a função )13()( 2 xxxP

f(x) = x2 g(x) =3x+1

xxxxxxP 29)2).(13()3).(()´( 22 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO



Regra da Quociente: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é derivável.

0´´.

)´(2

comg

fgfg

g

f

)(

).().(

)(

)(2 xg

dxdg

xfdxdf

xg

xg

xf

dx

d

Exemplo: seja a função

)3/()212( 2 xxxy

2

2

2

2

)3(

156

)3(

)]1.(212()22).(3()´(

x

xx

x

xxxxxQ




Regra da Cadeia: se g(x) for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e

)´()).(´())`(( xgxgfxgf

dx

du

du

dy

dx

dy

Exemplos:

a) Seja a função 12 xy21

)(12 uuyxu PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO



12

1)1(

2

1)(

2

12

2 21

21

xxu

du

dy

1)2(

12

122

x

xx

xdx

dy

xdx

du2




b) Seja a função geral do tipo nxfy )(

nuyexfu )(

)´(1 xfdx

dunu

du

dy n

)´(1 xfnudx

du

du

dy

dx

dy n




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